Apêndice A

Funções Trigonométricas

Este apêndice reúne as relações trigonométricas usadas ao longo do livro. A exposição parte da interpretação de seno e cosseno como coordenadas no círculo unitário. A partir dessas funções, obtemos as demais funções trigonométricas, suas identidades e as fórmulas utilizadas no estudo de ângulos, rotações e coordenadas polares.

A.1 Do triângulo retângulo ao círculo trigonométrico

Para um ângulo agudo \(\theta \) em um triângulo retângulo,

\[ \operatorname {sen}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \cos \theta =\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}, \]

\[ \operatorname {tg}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}. \]

Essas fórmulas são úteis, mas não abrangem ângulos obtusos, negativos ou maiores que uma volta. Para isso usamos o círculo trigonométrico.

Figura A.1 No círculo unitário, cosseno e seno são as coordenadas do ponto associado ao ângulo.

Definição A.1

Para \(\theta \in \mathbb {R}\), considere o ponto do círculo unitário obtido girando o vetor \((1,0)\) de um ângulo orientado \(\theta \). Se esse ponto é

\[ P=(x,y), \]

definimos

\[ \boxed {\cos \theta =x,\qquad \operatorname {sen}\theta =y.} \]

Como o círculo unitário tem equação \(x^2+y^2=1\), obtemos a identidade fundamental

\begin{equation} \label{identidadefundamental} \boxed {\operatorname {sen}^2\theta +\cos ^2\theta =1.} \tag{A.1} \end{equation}

As demais funções são definidas, quando os denominadores são não nulos, por

\[ \operatorname {tg}\theta =\frac{\operatorname {sen}\theta }{\cos \theta }, \qquad \operatorname {cotg}\theta =\frac{\cos \theta }{\operatorname {sen}\theta }, \]

\[ \sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }, \qquad \operatorname {cossec}\theta =\frac{1}{\operatorname {sen}\theta }. \]

Portanto:

\(\operatorname {tg}\theta \) e \(\sec \theta \) não estão definidas quando \(\theta =\frac\pi 2+k\pi \);
\(\operatorname {cotg}\theta \) e \(\operatorname {cossec}\theta \) não estão definidas quando \(\theta =k\pi \),

com \(k\in \mathbb {Z}\).

A.1.1 Radianos

Ao longo do livro os ângulos são medidos em radianos, salvo indicação contrária. Uma volta completa corresponde a \(2\pi \) radianos e

\[ 180^\circ =\pi \ \text{rad}. \]

Assim,

\[ 30^\circ =\frac\pi 6, \qquad 45^\circ =\frac\pi 4, \qquad 60^\circ =\frac\pi 3, \qquad 90^\circ =\frac\pi 2. \]

Os valores mais usados são:

\[ \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0& \pi /6& \pi /4& \pi /3& \pi /2\\ \hline \operatorname {sen}\theta & 0& 1/2& \sqrt2/2& \sqrt3/2& 1\\ \cos \theta & 1& \sqrt3/2& \sqrt2/2& 1/2& 0 \end{array} \]

A.2 Simetrias e periodicidade

A geometria do círculo unitário fornece

\[ \operatorname {sen}(-\theta )=-\operatorname {sen}\theta , \qquad \cos (-\theta )=\cos \theta . \]

Logo o seno é ímpar e o cosseno é par.

Além disso,

\[ \operatorname {sen}(\theta +2k\pi )=\operatorname {sen}\theta , \qquad \cos (\theta +2k\pi )=\cos \theta , \qquad k\in \mathbb {Z}. \]

Assim seno e cosseno têm período \(2\pi \). A tangente e a cotangente têm período \(\pi \):

\[ \operatorname {tg}(\theta +k\pi )=\operatorname {tg}\theta , \qquad \operatorname {cotg}(\theta +k\pi )=\operatorname {cotg}\theta . \]

Também são úteis as relações

\[ \cos \theta =\operatorname {sen}\left(\theta +\frac\pi 2\right), \qquad \operatorname {sen}\theta =\cos \left(\theta -\frac\pi 2\right). \]

A.3 Identidades trigonométricas

Dividindo a identidade fundamental (A.1) por \(\cos ^2\theta \), quando \(\cos \theta \neq 0\), obtemos

\[ \boxed {1+\operatorname {tg}^2\theta =\sec ^2\theta .} \]

Dividindo por \(\operatorname {sen}^2\theta \), quando \(\operatorname {sen}\theta \neq 0\), obtemos

\[ \boxed {1+\operatorname {cotg}^2\theta =\operatorname {cossec}^2\theta .} \]

A.3.1 Soma e diferença de ângulos

As fórmulas fundamentais são

\begin{equation} \label{adicaodeangulos1} \boxed {\operatorname {sen}(x+y)=\operatorname {sen}x\cos y+\cos x\operatorname {sen}y} \tag{A.2} \end{equation}

\begin{equation} \label{adicaodeangulos2} \boxed {\cos (x+y)=\cos x\cos y-\operatorname {sen}x\operatorname {sen}y.} \tag{A.3} \end{equation}

Substituindo \(y\) por \(-y\),

\[ \operatorname {sen}(x-y)=\operatorname {sen}x\cos y-\cos x\operatorname {sen}y, \]

\[ \cos (x-y)=\cos x\cos y+\operatorname {sen}x\operatorname {sen}y. \]

Quando as expressões envolvidas estão definidas,

\[ \boxed { \operatorname {tg}(x+y)=\frac{\operatorname {tg}x+\operatorname {tg}y}{1-\operatorname {tg}x\operatorname {tg}y} } \]

\[ \boxed { \operatorname {tg}(x-y)=\frac{\operatorname {tg}x-\operatorname {tg}y}{1+\operatorname {tg}x\operatorname {tg}y}. } \]

A.3.2 Ângulo duplo e redução de potências

Tomando \(y=x\) nas fórmulas anteriores,

\[ \operatorname {sen}(2x)=2\operatorname {sen}x\cos x, \]

\[ \cos (2x)=\cos ^2x-\operatorname {sen}^2x =2\cos ^2x-1 =1-2\operatorname {sen}^2x. \]

Consequentemente,

\[ \boxed {\cos ^2x=\frac{1+\cos (2x)}{2},} \qquad \boxed {\operatorname {sen}^2x=\frac{1-\cos (2x)}{2}.} \]

Essas identidades são particularmente úteis ao simplificar equações de cônicas e quádricas após rotações.

A.4 Aspecto dos gráficos

As funções seno e cosseno oscilam entre \(-1\) e \(1\). Seus gráficos diferem apenas por uma translação horizontal de \(\pi /2\).

A tangente é periódica de período \(\pi \) e possui assíntotas verticais em

\[ x=\frac\pi 2+k\pi . \]

Em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas ela é estritamente crescente.

Figura A.3 Gráfico da tangente próximo da origem.

As funções secante, cossecante e cotangente podem ser entendidas diretamente pelas relações recíprocas. Em particular, suas descontinuidades ocorrem exatamente onde os denominadores das definições se anulam.

A.5 Funções trigonométricas inversas

Seno, cosseno e tangente não são injetoras em seus domínios naturais. Para definir inversas, escolhemos intervalos nos quais cada função é bijetora.

O seno é bijetor de \([-\pi /2,\pi /2]\) em \([-1,1]\). Sua inversa é

\[ \operatorname {arcsen}:[-1,1]\longrightarrow [-\pi /2,\pi /2]. \]

Assim,

\[ \operatorname {arcsen}y=x \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname {sen}x=y, \qquad -\frac\pi 2\le x\le \frac\pi 2. \]
O cosseno é bijetor de \([0,\pi ]\) em \([-1,1]\). Sua inversa é

\[ \arccos :[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ]. \]

Assim,

\[ \arccos y=x \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x=y, \qquad 0\le x\le \pi . \]
A tangente é bijetora de \((-\pi /2,\pi /2)\) em \(\mathbb {R}\). Sua inversa é

\[ \operatorname {arctg}:\mathbb {R}\longrightarrow (-\pi /2,\pi /2). \]

Assim,

\[ \operatorname {arctg}y=x \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname {tg}x=y, \qquad -\frac\pi 2\lt x\lt \frac\pi 2. \]

Observação A.2 (Atenção aos quadrantes)

A expressão

\[ \theta =\operatorname {arctg}\left(\frac yx\right) \]

não determina, sozinha, o ângulo polar de um ponto \((x,y)\) em todos os quadrantes. Ela também não está definida quando \(x=0\). Ao recuperar um ângulo a partir das coordenadas cartesianas, é necessário usar os sinais de \(x\) e \(y\) para escolher o quadrante correto. Computacionalmente, essa escolha é realizada pela função de dois argumentos usualmente chamada atan2.

A.6 Exercícios

Exercício 6.1

Calcule exatamente:

\(\operatorname {sen}(5\pi /6)\) e \(\cos (5\pi /6)\).
\(\operatorname {tg}(7\pi /4)\).
\(\operatorname {sen}(-\pi /3)\) e \(\cos (-\pi /3)\).

Ver solução

Como \(5\pi /6=\pi -\pi /6\),

\[ \operatorname {sen}(5\pi /6)=\operatorname {sen}(\pi /6)=\frac12, \qquad \cos (5\pi /6)=-\cos (\pi /6)=-\frac{\sqrt3}2. \]
Como \(7\pi /4=2\pi -\pi /4\),

\[ \operatorname {tg}(7\pi /4)=\operatorname {tg}(-\pi /4)=-1. \]
\[ \operatorname {sen}(-\pi /3)=-\operatorname {sen}(\pi /3)=-\frac{\sqrt3}2, \qquad \cos (-\pi /3)=\cos (\pi /3)=\frac12. \]

Exercício 6.2

Use as fórmulas de adição para obter \(\operatorname {sen}(\pi /12)\) e \(\cos (\pi /12)\).

Ver solução

Como \(\pi /12=\pi /3-\pi /4\), as Equações (A.2) e (A.3) (com \(y\to -y\)) dão

\[ \operatorname {sen}\! \left(\frac\pi {12}\right) =\operatorname {sen}\frac\pi 3\cos \frac\pi 4-\cos \frac\pi 3\operatorname {sen}\frac\pi 4 =\frac{\sqrt3}2\cdot \frac{\sqrt2}2-\frac12\cdot \frac{\sqrt2}2 =\frac{\sqrt6-\sqrt2}4, \]

\[ \cos \! \left(\frac\pi {12}\right) =\cos \frac\pi 3\cos \frac\pi 4+\operatorname {sen}\frac\pi 3\operatorname {sen}\frac\pi 4 =\frac12\cdot \frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt3}2\cdot \frac{\sqrt2}2 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}4. \]

Exercício 6.3

Prove que

\[ \cos (x-y)=\cos x\cos y+\operatorname {sen}x\operatorname {sen}y. \]

Explique por que essa identidade aparece naturalmente na fórmula do produto escalar entre dois vetores unitários.

Ver solução

Sejam \(\boldsymbol {u}=(\cos x,\operatorname {sen}x)\) e \(\boldsymbol {v}=(\cos y,\operatorname {sen}y)\), ambos unitários. Por um lado, o produto escalar em coordenadas é

\[ \boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}=\cos x\cos y+\operatorname {sen}x\operatorname {sen}y. \]

Por outro lado, como \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) são unitários e fazem ângulos \(x\) e \(y\) com o eixo \(Ox\), o ângulo entre eles é \(x-y\), e

\[ \boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}=\lVert \boldsymbol {u}\rVert \, \lVert \boldsymbol {v}\rVert \cos (x-y)=\cos (x-y). \]

Comparando as duas expressões, \(\cos (x-y)=\cos x\cos y+\operatorname {sen}x\operatorname {sen}y\). A identidade é, portanto, exatamente a fórmula geométrica do produto escalar entre dois vetores unitários escrita em coordenadas.

Exercício 6.4

Mostre que, sempre que as expressões estão definidas,

\[ 1+\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x \qquad \text{e}\qquad 1+\operatorname {cotg}^2x=\operatorname {cossec}^2x. \]

Ver solução

Partindo da identidade fundamental \(\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1\): dividindo por \(\cos ^2x\) (quando \(\cos x\neq 0\)),

\[ \frac{\operatorname {sen}^2x}{\cos ^2x}+1=\frac1{\cos ^2x}, \qquad \text{isto é,}\qquad \operatorname {tg}^2x+1=\sec ^2x. \]

Dividindo em vez disso por \(\operatorname {sen}^2x\) (quando \(\operatorname {sen}x\neq 0\)),

\[ 1+\frac{\cos ^2x}{\operatorname {sen}^2x}=\frac1{\operatorname {sen}^2x}, \qquad \text{isto é,}\qquad 1+\operatorname {cotg}^2x=\operatorname {cossec}^2x. \]

Exercício 6.5

Determine todos os \(x\in [0,2\pi )\) que satisfazem:

\(\operatorname {sen}x=1/2\);
\(\cos x=-\sqrt2/2\);
\(\operatorname {tg}x=1\).

Ver solução

\(\operatorname {sen}x=1/2\): \(x=\pi /6\) ou \(x=5\pi /6\).
\(\cos x=-\sqrt2/2\): \(x=3\pi /4\) ou \(x=5\pi /4\).
\(\operatorname {tg}x=1\): \(x=\pi /4\) ou \(x=5\pi /4\).

Exercício 6.6

Explique por que \(\operatorname {arctg}(1)=\pi /4\), mas o ponto \((-1,-1)\) não tem ângulo polar principal igual a \(\pi /4\).

Ver solução

A função \(\operatorname {arctg}\) tem imagem \((-\pi /2,\pi /2)\), de modo que \(\operatorname {arctg}(y/x)\) só devolve o ângulo polar correto quando o ponto \((x,y)\) está no semiplano \(x\gt 0\) (primeiro ou quarto quadrante). Para o ponto \((-1,-1)\) temos \(y/x=(-1)/(-1)=1\), e \(\operatorname {arctg}(1)=\pi /4\) é apenas a razão entre as coordenadas, não o ângulo do ponto: como \(x=-1\lt 0\), o ponto está no terceiro quadrante, e seu ângulo polar principal é

\[ \pi /4+\pi =5\pi /4 \]

(o ponto \((1,1)\), sim, tem ângulo polar \(\pi /4\), mas \((-1,-1)=-(1,1)\) aponta na direção oposta). Em geral, a fórmula correta exige somar \(\pi \) ao valor de \(\operatorname {arctg}(y/x)\) sempre que \(x\lt 0\).