Capítulo 7

Círculos e Esferas

7.1 Equações Canônicas de Círculos e Esferas

Figura 7.1 Círculo de centro A e raio r.

Figura 7.1 Círculo de centro \(A\) e raio \(r\).

Um círculo de centro \(C=(a,b)\) e raio \(r\gt 0\) é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a \(C\) é igual a \(r\). Assim, \(P=(x,y)\) pertence ao círculo se e somente se

\[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}=r \]

ou equivalentemente:

\[ \left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}=r^{2}\text{\ } \]

De modo análogo, a equação reduzida de uma esfera de centro \(\left( a,b,c\right) \) e raio \(r\) é

\[ \left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}+\left( z-c\right) ^{2}=r^{2} \]

Figura 7.2 Esfera de Centro C e raio r.

Figura 7.2 Esfera de Centro \(C\) e raio \(r\).

Exemplo 7.1
Determine a equação do círculo de centro \(\left( -3,1\right) \) que é tangente a reta \(3x-4y-2=0\)

Solução

Já conhecemos o centro e precisamos determinar o raio. Nesse caso o raio é a distância entre a reta e o ponto, já que a tangente a um círculo é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangência. Logo:

\[ r=\dfrac {\left\vert 3(-3)-4\cdot 1-2\right\vert }{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=3 \]

e assim a equação do círculo é:

\[ \left( x+3\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}=9\text{ ou }x^{2}+y^{2}+6x-2y+1=0 \]

Exemplo 7.2
Determine a equação da esfera cujo diâmetro é o segmento que liga \(\left( 3,-1,2\right) \) a \(\left( 5,3,4\right) .\)

Solução

O segmento dado é um diâmetro. Seu ponto médio determina o centro da esfera, e metade de seu comprimento determina o raio. Logo:

\[ r=\dfrac {1}{2}\sqrt{\left( 5-3\right) ^{2}+\left( 3+1\right) ^{2}+\left( 4-2\right) ^{2}}=\sqrt{6} \]

O ponto médio é \(\left( 4,1,3\right) \) e logo a equação da esfera é:

\[ \left( x-4\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}+\left( z-3\right) ^{2}=6 \]

Exemplo 7.3
Identifique a curva cuja equação é:
\[ x^2+y^2-6 x-4 y-12=0 \]

Solução
Identificaremos a curva completando quadrados. O termo \(x^2-6x\) pode ser convertido num quadrado, se somarmos \(9\) e \(y^2-4y\) pode ser convertido num quadrado somando \(4\). Desta forma, somaremos \(4+9\) em cada lado da equação \(x^2+y^2-6 x-4 y-12=0\). Logo temos:
\begin{eqnarray} x^2+y^2-6 x-4 y-12=0 \tag{7.1}\\ \Rightarrow (x^2-6x+9)+(y^2-4y+4)=12+4+9 \tag{7.2}\\ \Rightarrow (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5^2 \tag{7.3} \end{eqnarray}
Logo a curva é um círculo de raio \(5\) e centro \((3,2)\).

Podemos generalizar o exemplo anterior:

Exemplo 7.4
Identifique a curva cuja equação é:
\[ x^2+y^2+A x+B y+C=0 \]

Solução

Como no exemplo anterior, identificaremos a curva completando quadrados. O termo \(x^2+Ax\) pode ser convertido num quadrado, se somarmos \(\dfrac {A^2}{4}\) e \(y^2+By\) pode ser convertido num quadrado somando \(\dfrac {B^2}{4}\). Desta forma, somaremos \(\dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}\) em cada lado da equação:

\begin{eqnarray} x^2+y^2+A x+B y+C=0 \label{circ1} \tag{7.4}\\ \Rightarrow \left(x^2+Ax+\dfrac {A^2}{4}\right)+\left(y^2+By+\dfrac {B^2}{4}\right)=\dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}-C \tag{7.5}\\ \Rightarrow \left(x +\dfrac {A}{2}\right)^2 + \left(y +\dfrac {B}{2}\right)^2 = \dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}-C \label{circ2} \tag{7.6} \end{eqnarray}

A equação representa um círculo não degenerado exatamente quando \(r^2=\dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}-C\), e assim temos que ter \(\dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}-C\gt 0\).

Se \(\dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}-C\lt 0\), o lugar geométrico é vazio, pois uma soma de quadrados não pode ser negativa.

Se \(\dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}-C=0\), o lugar geométrico reduz-se ao ponto \(\left(-\dfrac {A}{2}, -\dfrac {B}{2} \right)\), pois se a soma de quadrados perfeitos é \(0\) cada termo da soma é zero.

De modo análogo, podemos demonstrar que a equação

\[ x^2+y^2+z^2+A x+B y+Cz+D=0 \]

descreve uma esfera se \(\dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}+\dfrac {C^2}{4}-D\gt 0\), um ponto se \(\dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}+\dfrac {C^2}{4}-D=0\) e o conjunto vazio se \(\dfrac {A^2}{4}+\dfrac {B^2}{4}+\dfrac {C^2}{4}-D\lt 0\).

Exemplo 7.5
A superfície cuja equação é:
\[ 12 - 2 x + x^2 + 4 y + y^2 + 8 z + z^2=0 \]
é uma esfera. Encontre seu centro e raio.

Solução
Completando os quadrados temos
\[ (x^2 -2x +1) + (y^2 +4y + 4) + (z^2 + 8z + 16) -1 -4 -16 +12=0. \]
Daí segue que:
\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 4)^2 =9 \]
E logo o centro dessa esfera é \((1,-2,-4)\) e o raio é \(3\).

7.1.1 Círculo por três pontos

Três pontos não colineares determinam um único círculo. Dados \(P_1,P_2\) e \(P_3\) não colineares, sua equação pode ser obtida impondo que as coordenadas dos três pontos satisfaçam uma equação geral da forma

\[ x^2+y^2+Ax+By+C=0 \]

e que um ponto pertence ao círculo se e somente se suas coordenadas satisfazem tal equação. A substituição das coordenadas de cada ponto fornece uma equação linear nas incógnitas \(A,B,C\). As três condições determinam, portanto, um sistema linear de três equações nas incógnitas \(A,B,C\). Sua solução fornece os coeficientes da equação procurada.

Exemplo 7.6
Determine a equação do círculo que passa pelos pontos \((-1,2)\), \((0,1)\) e \((-3,2)\).

Solução
Escreva a equação procurada na forma
\[ x^2+y^2+Ax+By+C=0. \]
Substituindo os três pontos, obtemos o sistema linear
\[ \left\{ \begin{array}{l} 5-A+2B+C=0,\\ 1+B+C=0,\\ 13-3A+2B+C=0. \end{array} \right. \]
Sua solução é \(A=4\), \(B=0\) e \(C=-1\). Portanto
\[ x^2+y^2+4x-1=0, \]
ou, completando quadrados,
\[ (x+2)^2+y^2=5. \]
Assim, o círculo tem centro \((-2,0)\) e raio \(\sqrt5\).

Uma alternativa é determinar o centro geometricamente. Os pontos \(P_1,P_2,P_3\) formam um triângulo inscrito na circunferência, cujo centro é o circuncentro do triângulo, isto é, a interseção de suas mediatrizes.

Ilustração: Círculo por três pontos

Exemplo 7.7
Determine a equação do círculo que passa pelos pontos \((-1,2)\), \((0,1)\) e \((-3,2)\).

Solução

A equação da reta passando pelos pontos \((-1,2)\), \((0,1)\) é \(y - 1 = -x\), e como o ponto médio desses pontos é: \((-\dfrac {1}{2},\dfrac {3}{2})\) temos que a mediatriz relativa a esse lado é: \(y-\dfrac {3}{2}=x+\dfrac {1}{2}\) (lembrando que como a mediatriz é perpendicular ao lado seu coeficiente angular é igual a menos o inverso do coeficiente da reta).

De modo análogo a equação da reta passando pelos pontos \((0,1)\) e \((-3,2)\) é \(y=-\dfrac {x}{3}+1\) e a equação da mediatriz é: \(3 x =- 6 + y\)

temos o sistema:

\[ \left\{ \begin{array}{l} 3 x =- 6 + y\\ y-\dfrac {3}{2}=x+\dfrac {1}{2}\\ \end{array}\right. \]

cujas solução é \(x = -2,y=0\), ou seja o centro da circunferência é \((-2,0)\). O raio pode ser calculado observando que este será a distância do centro \((-2,0)\) a um dos vértices do triângulo, por exemplo \((0,1)\). Assim \(r^2=5\), e logo a equação é:

\[ (x+2)^2 + y^2 =5. \]

Exemplo 7.8
Obtenha a equação da esfera que passa pelos pontos \((0, 0, 1),(2, 0, 0),(1, 1, 1),(0, 1, 0)\)
Solução

Impondo que os pontos pertençam a esfera temos o seguinte sistema linear:

\[ \begin{array}{l} 1 + C + D = 0\\ 4 + 2 A + D = 0\\ 3 + A + B + C + D = 0\\ 1 + B + D = 0 \end{array} \]

cuja solução é \(A= -\dfrac {5}{3},B= -\dfrac {1}{3},C= -\dfrac {1}{3},D= -\dfrac {2}{3}\) e assim a equação da esfera é:

\[ x^2+y^2+z^2-\dfrac {5 x}{3}-\dfrac {y}{3}-\dfrac {z}{3} -\dfrac {2}{3}=0 \]

Completando quadrado obtemos:

\begin{multline*} \left(x^2 -\dfrac {5 x}{3} + \left(\dfrac {5}{6}\right) ^2\right) + \left(y^2-\dfrac {y}{3} + \left(\dfrac {1}{6}\right)^2\right) +\\ +\left(z^2-\dfrac {z}{3} + \left(\dfrac {1}{6}\right)^2\right) - \left(\dfrac {5}{6}\right) ^2 -\left(\dfrac {1}{6}\right) ^2 -\left(\dfrac {1}{6}\right) ^2-\dfrac {24}{36}=0. \end{multline*}

Donde segue:

\[ \left(x^2 - \dfrac {5}{6}\right)^2 + \left(y^2 - \dfrac {1}{6}\right)^2 + \left(z^2- \dfrac {1}{6}\right)^2 = \dfrac {51}{36}. \]

Exercício 1.1

Determine as equações dos círculos descritos a seguir:

  1. Centro \(\left( -2,5\right) \) e raio \(r=3\).

  2. Centro \(\left( 1,3\right) \) e raio \(r=2\)

  3. Centro na origem e raio \(r=a\)

  4. Centro \(\left( 5,2\right) \) e que passa pelo ponto \(\left( 2,3\right) \)

  5. Tangente ao eixo \(y\) na origem e raio \(a\)

  6. Extremos de um diâmetro em \(\left( 5,2\right) \) e \(\left( -2,10\right) \)

  7. Centro \(\left( 3,-2\right) \) e tangente à reta \(2x-y=0\)

  8. Tangente à reta \(2x-5y+1=0\) no ponto \(\left( 2,1\right) \) e de raio \(3\) (duas respostas)

Ver solução

Na ordem dos itens:

  1. \((x+2)^2+(y-5)^2=9\).

  2. \((x-1)^2+(y-3)^2=4\).

  3. \(x^2+y^2=a^2\).

  4. \((x-5)^2+(y-2)^2=10\).

  5. Para \(a\gt 0\), há duas soluções: \((x-a)^2+y^2=a^2\) e \((x+a)^2+y^2=a^2\).

  6. O centro é \((3/2,6)\) e \(r=\sqrt{113}/2\):

    \[ \left(x-\frac32\right)^2+(y-6)^2=\frac{113}{4}. \]

  7. A distância do centro \((3,-2)\) à reta é \(8/\sqrt5\), logo

    \[ (x-3)^2+(y+2)^2=\frac{64}{5}. \]

  8. Os centros são

    \[ C_{\pm }=(2,1)\pm \frac3{\sqrt{29}}(2,-5), \]

    e as duas circunferências são

    \[ (x-C_{\pm ,x})^2+(y-C_{\pm ,y})^2=9. \]
Exercício 1.2

Identifique as figuras descritas pelas equações a seguir e determine, quando aplicável, o centro e o raio.

  1. \(x^{2}+ y^{2}-4x+6y=12\)

  2. \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+5=0\)

  3. \(x^{2}+ y^{2}=2ax\)

  4. \(4x^{2}-4x=5y-4y^{2}\)

  5. \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az\)

Ver solução

Na ordem dos itens:

  1. \((x-2)^2+(y+3)^2=25\): centro \((2,-3)\), raio \(5\).

  2. \((x-1)^2+(y-2)^2=0\): caso degenerado, centro \((1,2)\) e raio \(0\).

  3. \((x-a)^2+y^2=a^2\): centro \((a,0)\) e raio \(|a|\).

  4. \[ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac58\right)^2=\frac{41}{64}; \]

    centro \((1/2,5/8)\) e raio \(\sqrt{41}/8\).

  5. \(x^2+y^2+(z-a)^2=a^2\): centro \((0,0,a)\) e raio \(|a|\).

Exercício 1.3
Determine a equação do círculo que passa pelos pontos \(\left( 4,0\right) , \left( 0,3\right) \) e a origem.
Ver solução

O círculo pelos pontos \((4,0)\), \((0,3)\) e \((0,0)\) é

\[ x^2+y^2-4x-3y=0, \]

ou

\[ (x-2)^2+\left(y-\frac32\right)^2=\frac{25}{4}. \]
Exercício 1.4

Determine os círculos descritos a seguir.

  1. Tangente aos eixos coordenados no segundo quadrante e com raio \(r=4\).

  2. Todos os círculos tangentes às três retas que contêm os lados do triângulo limitado pelos eixos coordenados e pela reta que intercepta os eixos \(x\) e \(y\) em \(3\) e \(2\), respectivamente.

Ver solução

  1. No segundo quadrante, o centro é \((-4,4)\):

    \[ (x+4)^2+(y-4)^2=16. \]

  2. A terceira reta é \(2x+3y=6\). Os quatro círculos têm raios

    \[ r_1=\frac{5-\sqrt{13}}2, \qquad r_2=\frac{5+\sqrt{13}}2, \qquad r_3=\frac{1+\sqrt{13}}2, \qquad r_4=\frac{-1+\sqrt{13}}2, \]

    com centros, respectivamente, \((r_1,r_1)\), \((r_2,r_2)\), \((r_3,-r_3)\) e \((-r_4,r_4)\).

Exercício 1.5

Verifique se as equações a seguir descrevem esferas. Em caso afirmativo, determine o centro e o raio:

  1. \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+10=0\)

  2. \(x^{2}-6x+y^{2}-4y+z^{2}+14z+58=0\)

  3. \(x^{2}+y^{2}-6y+z^{2}+4z+16=0\)

  4. \(x^{2}+2x+y^{2}+4y-z^{2}+6z-29=0\)

Ver solução

  1. Não há esfera real: a equação equivale a

    \[ (x-1)^2+(y-2)^2+z^2=-5. \]
  2. \[ (x-3)^2+(y-2)^2+(z+7)^2=4; \]

    centro \((3,2,-7)\) e raio \(2\).

  3. Não há esfera real:

    \[ x^2+(y-3)^2+(z+2)^2=-3. \]

  4. Não é esfera, pois os coeficientes dos termos quadráticos não são iguais: o termo \(z^2\) aparece com sinal oposto.

Exercício 1.6
Prove que, dados \(P_{1}=\left( x_{1},y_{1},z_{1}\right) \) e \(P_{2}=\left( x_{2},y_{2},z_{2}\right) \), a equação da esfera que tem \(P_{1}P_{2}\) como diâmetro é
\[ \left( x-x_{1}\right) \left( x-x_{2}\right) +\left( y-y_{1}\right) \left( y-y_{2}\right) +\left( z-z_{1}\right) \left( z-z_{2}\right) =0 \]
Ver solução

Expanda

\[ (X-P_1)\cdot (X-P_2)=0. \]

A condição significa que os vetores \(\overrightarrow {P_1X}\) e \(\overrightarrow {P_2X}\) são ortogonais; pelo teorema de Tales, o lugar geométrico é a esfera de diâmetro \(P_1P_2\). Em coordenadas, a expansão fornece exatamente a equação proposta.

7.2 Retas Tangentes e Planos Tangentes

Uma reta é tangente a um círculo quando possui exatamente um ponto em comum com ele. Se \(T\) é o ponto de tangência e \(C\) é o centro, então o raio \(\overrightarrow {CT}\) é perpendicular à reta tangente. Equivalentemente, a distância de \(C\) à reta tangente é igual ao raio do círculo.

Figura 7.3 Reta tangente a um círculo

Figura 7.3 Reta tangente a um círculo

De modo análogo, um plano é tangente a uma esfera quando a intersecta em um único ponto \(T\). Nesse caso, o vetor radial que liga o centro da esfera a \(T\) é normal ao plano tangente. Equivalentemente, a distância do centro da esfera ao plano é igual ao raio.

Figura 7.4 Plano tangente a uma esfera

Figura 7.4 Plano tangente a uma esfera

Exemplo 7.9
Encontre a reta tangente ao círculo de equação \(x^2+y^2-2y-4x=0\) no ponto \((3,3)\)

Solução
Completando quadrados,
\[ x^2+y^2-2y-4x=0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-2)^2+(y-1)^2=5. \]
Logo o centro é \(C=(2,1)\). Como \(T=(3,3)\) pertence ao círculo,
\[ \overrightarrow {CT}=(1,2) \]
é normal à reta tangente. Portanto a tangente em \(T\) satisfaz
\[ (1,2)\cdot \bigl((x,y)-(3,3)\bigr)=0, \]
isto é,
\[ x+2y=9. \]

Ilustração: Retas Tangentes e Planos Tangentes

Podemos generalizar o argumento sem recorrer a coeficientes angulares. Considere o círculo

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]

e um ponto \(T=(x_1,y_1)\) do círculo. O vetor radial

\[ \boldsymbol {n}=(x_1-a,y_1-b) \]

é normal à reta tangente em \(T\). Assim, sua equação é

\[ (x_1-a)(x-x_1)+(y_1-b)(y-y_1)=0. \]

Como \(T\) pertence ao círculo,

\[ (x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2, \]

e a equação também pode ser escrita na forma

\[ \boxed {(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2.} \]

Exemplo 7.10
Obtenha as equações dos planos tangentes à esfera \(-3 - 2 x + x^2 + 4 y + y^2 + 2 z + z^2 = 0\) que são paralelos ao plano \(x - 2 y + 2 z = 3 \).

Solução

Completando quadrados temos que a equação da esfera pode ser escrita como:

\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 \]

Logo o centro dessa esfera é \((1,-2,-1)\) e o raio é \(3\).

A equação geral de um plano paralelo a \(x - 2 y + 2 z = 3 \) tem equação da forma: \(x - 2 y + 2 z = d\)

Como o plano é tangente à esfera, sua distância ao centro \(C=(1,-2,-1)\) deve ser igual ao raio \(3\). Portanto:

\[ d(C,\pi )=\dfrac {\left\lvert 1 - 2(-2) + 2(-1) - d\right\rvert }{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac {|3-d|}{3}=3 \]

Logo \(d=-6\) ou \(d=12\). Os planos tangentes são \(x-2y+2z=-6\) e \(x-2y+2z=12\).

Exercício 2.1

Resolva os itens a seguir.

  1. Determine a equação da reta tangente a \(x^{2}+y^{2}=25\) no ponto \(\left( -3,4\right) \).

  2. Determine a equação da reta tangente a \(x^{2}+y^{2}=2x-4y\) na origem.

  3. Determine as retas tangentes ao círculo \(x^{2}+y^{2}=4x\) que passam pelo ponto \(\left( 3,2\right) \).

  4. Uma corda da circunferência \(x^{2}+y^{2}=25\) está sobre a reta \(x-7y+25=0\). Determine o comprimento dessa corda.

Ver solução

Na ordem dos itens:

  1. \(3x-4y+25=0\).

  2. \(x-2y=0\).

  3. As duas tangentes por \((3,2)\) são

    \[ y=2 \quad \text{e}\quad 4x+3y-18=0. \]

  4. A distância do centro à reta é \(5/\sqrt2\). Assim a meia corda mede \(5/\sqrt2\) e o comprimento da corda é

    \[ 5\sqrt2. \]
Exercício 2.2
Para um triângulo qualquer, determine:

  1. a equação da circunferência circunscrita ao triângulo;

  2. a equação da circunferência inscrita no triângulo;

  3. a equação da circunferência que passa pelos pontos médios dos lados do triângulo.

Ver solução

Para um triângulo \(ABC\):

  1. o circuncentro é a interseção de duas mediatrizes; o raio é a distância desse ponto a qualquer vértice;

  2. o incentro é a interseção de duas bissetrizes internas; o raio é a distância do incentro a qualquer lado;

  3. os três pontos médios pertencem à circunferência dos nove pontos; seu centro é o ponto médio entre circuncentro e ortocentro e seu raio é metade do circunraio. Para obter apenas a equação, basta determinar o círculo pelos três pontos médios.

A escolha \(A=(0,0)\), \(B=(0,a)\), \(C=(b,c)\) simplifica as contas.

Exercício 2.3
As equações dos lados de um triângulo são \(9x+2y+13=0\), \(3x+8y-47=0\) e \(x-y-1=0\). Determine a equação da circunferência circunscrita.
Ver solução

Os vértices do triângulo são

\[ (-3,7),\qquad (5,4),\qquad (-1,-2). \]

A circunferência circunscrita é

\[ 11x^2+11y^2-x-65y-186=0. \]
Exercício 2.4
Mostre que as tangentes de inclinação \(m\) à circunferência \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) são \(y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}\).
Ver solução

Para \(y=mx+b\), a distância da origem à reta é \(|b|/\sqrt{1+m^2}\). A tangência a \(x^2+y^2=r^2\) exige essa distância igual a \(r\), portanto

\[ b=\pm r\sqrt{1+m^2}. \]
Exercício 2.5
Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos \(\left( 1,2\right) ,\left( 3,4\right) \) e que tem centro sobre o eixo \(y\).
Ver solução

O centro está em \((0,k)\). Igualando as distâncias a \((1,2)\) e \((3,4)\), obtemos \(k=5\). Logo

\[ x^2+(y-5)^2=10. \]
Exercício 2.6
Fixado \(a\), determine os dois valores de \(b\) para que a reta \(y=ax+b\) seja tangente ao círculo de centro na origem e raio \(r\).
Ver solução
\[ b=\pm r\sqrt{1+a^2}. \]
Exercício 2.7
Uma circunferência de raio \(5\) é tangente à reta \(3x-4y-1=0\) no ponto \(\left( 3,2\right) \). Determine sua equação (duas soluções).
Ver solução

Os centros estão sobre a normal \((3,-4)\) à reta, a distância \(5\) do ponto de tangência \((3,2)\). Assim são

\[ (6,-2)\quad \text{e}\quad (0,6), \]

e as circunferências são

\[ (x-6)^2+(y+2)^2=25 \]

e

\[ x^2+(y-6)^2=25. \]
Exercício 2.8
Mostre analiticamente que nenhuma reta que passa pelo ponto \(\left( -1,5\right) \) pode ser tangente à circunferência \(x^{2}+y^{2}+4x-6y+6=0.\) Interprete o resultado geometricamente.
Ver solução

A circunferência é

\[ (x+2)^2+(y-3)^2=7. \]

O ponto \((-1,5)\) está a distância \(\sqrt5\) do centro, menor que o raio \(\sqrt7\). Portanto está no interior do círculo e nenhuma reta por ele pode ser tangente.

Exercício 2.9

Determine a equação dos círculos que passam pelos seguintes conjuntos de pontos. Em cada caso, determine o centro e o raio e esboce o círculo.

  1. \(\left( 3,4\right) , \left( -1,2\right) , \left( -2,4\right) \)

  2. \(\left( 4,2\right) , \left( -2,3\right) , \left( -1,6\right) \)

  3. \(\left( a,0\right) , \left( b,0\right) , \left( 0,c\right) \)

Ver solução

Na ordem dos itens:

  1. \[ x^2+y^2-x-8y+10=0, \]

    centro \((1/2,4)\), raio \(5/2\).

  2. \[ 19x^2+19y^2-45x-137y+74=0, \]

    centro \((45/38,137/38)\) e \(r^2=7585/722\).

  3. Supondo \(c\neq 0\) e \(a\neq b\), a equação é

    \[ x^2+y^2-(a+b)x-\frac{c^2+ab}{c}\, y+ab=0. \]
Exercício 2.10
Mostre que o plano tangente à esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\) no ponto \(\left( a,b,c\right) \) tem equação \(ax+by+cz=r^{2}\).
Ver solução

No ponto \((a,b,c)\) da esfera, o vetor radial \((a,b,c)\) é normal ao plano tangente. Portanto

\[ a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0. \]

Como \(a^2+b^2+c^2=r^2\), segue

\[ ax+by+cz=r^2. \]
Exercício 2.11
Determine a equação da esfera que passa pelos pontos \(\left( 0,0,1\right) \),\(\left( 1,0,0\right) ,\left( 0,1,0\right) \) e cujo centro está no plano \(x+y-z=0\).
Ver solução

O centro é a origem e o raio é \(1\). Portanto

\[ x^2+y^2+z^2=1. \]
Exercício 2.12
Determine a esfera que tem centro na reta
\[ r:\left\{ \begin{array}[c]{c}x=2z-3\\ y=z-1 \end{array} \right. \]
e passa pelos pontos \(\left( 6,-1,3\right) \) e \(\left( 0,7,5\right) \).
Ver solução

Parametrize o centro por

\[ C=(2t-3,t-1,t). \]

Igualando suas distâncias aos dois pontos dados, obtém-se \(t=-2\). Assim

\[ C=(-7,-3,-2),\qquad r^2=198, \]

e

\[ (x+7)^2+(y+3)^2+(z+2)^2=198. \]
Exercício 2.13
Calcule a distância do ponto \(\left( 2,3,4\right) \) à esfera \(x^{2}+4x+y^{2}-2y+z^{2}+4=0.\)
Ver solução

Completando quadrados,

\[ (x+2)^2+(y-1)^2+z^2=1, \]

logo a esfera tem centro \((-2,1,0)\) e raio \(1\). O ponto \((2,3,4)\) está a distância

\[ \sqrt{(2+2)^2+(3-1)^2+4^2}=\sqrt{36}=6 \]

do centro; portanto sua distância à superfície esférica é

\[ 6-1=5. \]
Exercício 2.14
Determine a equação da esfera de centro \(\left( 3,2,-2\right) \) que é tangente ao plano
\[ \left( \begin{array}[c]{c}x\\ y\\ z \end{array} \right) =\left( \begin{array}[c]{c}1\\ 0\\ 1 \end{array} \right) +\left( \begin{array}[c]{c}-3\\ 1\\ 0 \end{array} \right) t+\left( \begin{array}[c]{c}2\\ 0\\ 1 \end{array} \right) s \]
Ver solução

O plano dado tem normal \((1,3,-2)\) e equação

\[ x+3y-2z+1=0. \]

A distância do centro \((3,2,-2)\) ao plano é \(\sqrt{14}\), portanto

\[ (x-3)^2+(y-2)^2+(z+2)^2=14. \]
Exercício 2.15
Determine a equação da esfera cujo centro se encontra sobre o eixo \(X\) e que passa pelos pontos \(\left( 3,-4,2\right) \) e \(\left( 6,2,-1\right) .\)
Ver solução

Se o centro é \((h,0,0)\), a igualdade das distâncias aos pontos dados fornece \(h=2\). O raio satisfaz \(r^2=21\), logo

\[ (x-2)^2+y^2+z^2=21. \]
Exercício 2.16

A equação de uma esfera é \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+6y-4z+9=0\). Determine a equação da esfera concêntrica que é tangente ao plano:

\[ \left( \begin{array}[c]{c}x\\ y\\ z \end{array} \right) =\left( \begin{array}[c]{c}-1\\ 0\\ -1 \end{array} \right) +\left( \begin{array}[c]{c}\dfrac {1}{2}\\ 1\\ 1 \end{array} \right) s+\left( \begin{array}[c]{c}-1\\ 0\\ 1 \end{array} \right) t \]
Ver solução

A esfera dada tem centro \((0,-3,2)\). O plano parametrizado tem equação

\[ 2x-3y+2z+4=0. \]

A distância do centro ao plano é \(\sqrt{17}\); a esfera concêntrica procurada é

\[ x^2+(y+3)^2+(z-2)^2=17. \]
Exercício 2.17
Determine os planos tangentes à esfera \(x^{2}+y^{2}+\left( z-1\right) ^{2}=1\) que são paralelos ao plano \(4x-y+3z=2\).
Ver solução

Os planos paralelos a \(4x-y+3z=2\) são \(4x-y+3z=d\). A distância do centro \((0,0,1)\) ao plano deve ser \(1\), portanto

\[ d=3\pm \sqrt{26}. \]
Exercício 2.18
Determine as equações dos planos que contêm a reta \(r\) e são tangentes à esfera \(S\):
\[ r:\dfrac {x+6}{2}=y+3=z+1 \]
e \(S:x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2y-4z+4=0.\)
Ver solução

A esfera tem centro \((2,-1,2)\) e raio \(\sqrt5\). A distância desse centro à reta

\[ \frac{x+6}{2}=y+3=z+1 \]

é \(\sqrt{14}/2\lt \sqrt5\). Logo a reta atravessa o interior da esfera. Consequentemente, não existe plano real que contenha a reta e seja tangente à esfera.

7.3 Circunferência em coordenadas polares

Centrada na Origem

O caso mais simples ocorre quando a circunferência está centrada na origem nesse caso a circunferência é o conjunto de pontos que distam uma constante \(a\) da origem ou seja a equação em coordenadas polares é

\[ r=a. \]

A equivalência com a equação cartesiana pode ser verificada pela relação entre as coordenadas. Observe que, em coordenadas cartesianas, \(P=(x,y)\) pertence a tal círculo se e somente se: \(x = a\cos \theta \) e \(y = a\sin \theta \). Daí segue que:

\[ x^2 + y^2 = a^2 (\cos ^2\theta + \sin ^2\theta ) = a^2. \]

Passando pela Origem

Dada uma circunferência de raio \(a\) e passando pela origem. As coordenadas polares do centro dessa circunferência são \(\left( a,\alpha \right) \).

Ilustração: Circunferência em coordenadas polares

Considere o triângulo \(\Delta OKP\). Como \(\overline{OK}\) é diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo vemos que \(\Delta OKP\) é retângulo em \(P\). Da definição de cosseno segue então:

\[ r=2a\cos \left( \theta -\alpha \right). \]

Forma Geral

Dado uma circunferência de centro \(\left( c,\alpha \right) \) e raio \(a\), usando a lei dos cossenos temos que:

\[ a^{2}=r^{2}+c^{2}-2rc\cos \left( \theta -\alpha \right) \]

que é a equação da circunferência na forma geral.

Ilustração: Circunferência em coordenadas polares

Exercício 3.1
Mostre que, supondo \(A\gt 0\), o centro do círculo de equação \(r=A\cos \theta +B\sin \theta \) é
\[ \left(\dfrac {\sqrt{A^2+B^2}}{2}, \arctan \dfrac {B}{A} \right) \]
Ver solução

De

\[ r=A\cos \theta +B\sin \theta \]

segue

\[ x^2+y^2=Ax+By, \]

portanto o centro cartesiano é

\[ \left(\frac A2,\frac B2\right) \]

e o raio é \(\sqrt{A^2+B^2}/2\). Como \(A\gt 0\), o centro está no semiplano \(x\gt 0\) e sua direção polar é exatamente

\[ \alpha =\arctan \frac BA\in \left(-\frac\pi 2,\frac\pi 2\right). \]

Assim o centro polar é

\[ \left(\frac{\sqrt{A^2+B^2}}2,\arctan \frac BA\right). \]

(Sem a hipótese \(A\gt 0\), a direção correta em todos os quadrantes é dada por \(\alpha =\operatorname {atan2}(B,A)\), que coincide com \(\arctan (B/A)\) apenas quando \(A\gt 0\).)

Exercício 3.2
Mostre que a reta \(r\sin \theta =4\) é tangente ao círculo \(r=8\cos \theta \).
Ver solução

\(r=8\cos \theta \) equivale a

\[ (x-4)^2+y^2=16. \]

A reta \(r\sin \theta =4\) é \(y=4\), cuja distância ao centro \((4,0)\) é \(4\), igual ao raio. Logo é tangente.

Exercício 3.3
Mostre que a equação da tangente ao círculo
\[ r=2a \cos \theta \]
no ponto \((r_1,\theta _1)\) é:
\[ r\cos (\theta - 2 \theta _1)=2a \cos ^2 \theta _1 \]
Ver solução

O círculo \(r=2a\cos \theta \) equivale a

\[ (x-a)^2+y^2=a^2. \]

No ponto \((r_1,\theta _1)\), usando \(r_1=2a\cos \theta _1\), a equação do raio normal à tangente leva a

\[ r\cos (\theta -2\theta _1)=2a\cos ^2\theta _1. \]
Exercício 3.4
Mostre que, para todos os valores de \(a\), a reta
\[ r \cos (\theta -\alpha )=a+r_1\cos \alpha \]
é tangente ao círculo
\[ r^2-2rr_1\cos \theta +r_{1}^2-a^2=0 \]
Ver solução

A equação

\[ r^2-2rr_1\cos \theta +r_1^2-a^2=0 \]

é o círculo

\[ (x-r_1)^2+y^2=a^2, \]

de centro \((r_1,0)\) e raio \(|a|\). A reta

\[ r\cos (\theta -\alpha )=a+r_1\cos \alpha \]

é

\[ x\cos \alpha +y\sin \alpha =a+r_1\cos \alpha . \]

Sua distância ao centro é \(|a|\), portanto ela é tangente ao círculo.

7.4 Exercícios complementares

Dica (Para o exercício do triângulo)
Uma escolha conveniente de coordenadas para um triângulo genérico é
\[ A=(0,0),\qquad B=(0,a),\qquad C=(b,c), \]
com \(ab\neq 0\).

Exercício 4.1
Considere o círculo
\[ (x-2)^2+(y+1)^2=25 \]
e a reta \(3x-4y=20\). Determine se a reta é secante, tangente ou exterior ao círculo. No caso secante, determine o comprimento da corda.
Ver solução

O centro é \(C=(2,-1)\) e o raio é \(5\). A distância do centro à reta é

\[ d=\frac{|6+4-20|}{5}=2\lt 5, \]

portanto a reta é secante. Se \(\ell \) é o comprimento da corda,

\[ \frac\ell 2=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}, \]

logo

\[ \ell =2\sqrt{21}. \]
Exercício 4.2
Determine o plano tangente à esfera
\[ (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25 \]
no ponto \(P=(4,2,3)\).
Ver solução

O centro é \(C=(1,-2,3)\) e

\[ \overrightarrow {CP}=(3,4,0) \]

é normal ao plano tangente. Assim

\[ 3(x-4)+4(y-2)=0, \]

ou

\[ 3x+4y-20=0. \]
Exercício 4.3
Escreva em coordenadas cartesianas o círculo polar
\[ r=6\cos \theta -2\sin \theta \]
e determine o centro e o raio.
Ver solução

Multiplicando por \(r\),

\[ r^2=6r\cos \theta -2r\sin \theta , \]

logo

\[ x^2+y^2=6x-2y. \]

Completando quadrados,

\[ (x-3)^2+(y+1)^2=10. \]

O centro é \((3,-1)\) e o raio é \(\sqrt{10}\).

Exercício 4.4
O círculo de centro \((2,-1)\) e raio \(\sqrt5\) passa pela origem. Encontre sua equação polar.
Ver solução

A equação cartesiana é

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=5, \]

ou

\[ x^2+y^2=4x-2y. \]

Portanto

\[ \boxed {r=4\cos \theta -2\sin \theta }. \]