Capítulo 9

Curvas Parametrizadas e Regiões do Plano

Neste capítulo estudaremos a descrição de curvas por parâmetros e de regiões do plano por suas fronteiras e cortes coordenados. A parametrização permite examinar o traço de uma curva e o modo como é percorrido. A descrição por cortes permite expressar uma região por condições sobre suas coordenadas.

Começaremos com curvas parametrizadas, estudando traço, orientação, regularidade, coordenadas polares, cilíndricas e esféricas e comprimento. Na parte final, voltaremos ao plano para descrever regiões limitadas por curvas, usando cortes verticais, horizontais e coordenadas polares. Essas representações serão úteis em aplicações posteriores e podem ser estudadas aqui sem desenvolver a teoria do cálculo multivariável.

9.1 Parametrização de Curvas

Uma curva admite diferentes formas de representação. Uma equação cartesiana descreve os pontos que pertencem à curva; uma parametrização descreve, além disso, como esses pontos são percorridos quando um parâmetro varia.

Já conhecemos esse ponto de vista para retas. Se \(S_0=(a,b,c)\) pertence a uma reta \(r\) e \(\boldsymbol {v}=(v_1,v_2,v_3)\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\) é um vetor diretor, então

\begin{equation} \label{curvareta} r:\left\{ \begin{array}{rcl} x& =& a+v_1t,\\ y& =& b+v_2t,\\ z& =& c+v_3t. \end{array} \right. \tag{9.1} \end{equation}

Equivalentemente,

\[ X(t)=S_0+t\boldsymbol {v}. \]

Para cada valor de \(t\) obtemos um ponto da reta; quando \(t\) percorre \(\mathbb {R}\), a imagem de \(X\) é toda a reta. A mesma ideia permitirá descrever círculos, parábolas, hélices e curvas muito mais gerais.

A interpretação física de \(t\) como tempo é útil, mas não faz parte da definição: o parâmetro pode representar tempo, ângulo, comprimento, ou simplesmente servir para enumerar os pontos da curva.

Definição 9.1

Se \(I\subset \mathbb {R}\) é um intervalo, uma curva parametrizada em \(\mathbb {R}^n\) é uma função contínua

\[ X:I\longrightarrow \mathbb {R}^n. \]

O conjunto

\[ X(I)=\{ X(t):t\in I\} \]

é chamado de traço ou imagem geométrica da parametrização.

Essa distinção é importante: a parametrização contém mais informação que o traço. Por exemplo,

\[ X_1(t)=(\cos t,\operatorname {sen}t),\qquad 0\le t\le 2\pi , \]

\[ X_2(t)=(\cos 2t,\operatorname {sen}2t),\qquad 0\le t\le 2\pi , \]

têm a mesma imagem geométrica — o círculo unitário — mas \(X_2\) percorre esse círculo duas vezes. Trocar \(t\) por \(-t\) conserva a imagem e inverte o sentido do percurso. Portanto, ao parametrizar uma curva, devemos sempre perguntar não apenas quais pontos aparecem, mas também como eles são percorridos.

Quando \(X\) é diferenciável, sua derivada descreve a direção instantânea do percurso.

Definição 9.2

\[ X(t)=(x_1(t),\ldots ,x_n(t)) \]

é diferenciável, definimos o vetor tangente ou vetor velocidade por

\[ X'(t)=(x_1'(t),\ldots ,x_n'(t)). \]

Dizemos que a parametrização é regular no instante \(t\) quando \(X'(t)\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

As hipóteses de regularidade serão especificadas conforme o problema; não suporemos, em geral, a existência de derivadas de todas as ordens.

Exemplo 9.3

A equação mais simples para uma parábola

\[ y= x^2 \]

pode ser representada parametricamente tomando um parâmetro livre \(t\) e escrevendo

\[ x = t, y = t ^2 \quad \text{ para } -\infty \lt t \lt \infty \]

Exemplo 9.4

Parametrize o círculo de raio \(2\) em \(\mathbb {R}^2\) e descreva seu vetor tangente.

Solução

Para parametrizar o círculo, é natural usar o ângulo \(t\) como parâmetro. Com essa escolha, as coordenadas de um ponto \(P=(x,y)\) são dadas por \(x=2 \cos t\) e que \(y=2 \operatorname {sen}t\). Fazendo \(t\) variar em \([0,2\pi ]\), percorremos uma volta completa.

Assim, a curva plana \(X: [0,2\pi ] \to \mathbb {R}^2\) dada por \(X(t) = (2 \cos t, 2 \operatorname {sen}t)\) descreve um círculo de raio \(2\) em \(\mathbb {R}^2\).

O vetor tangente é obtido derivando a parametrização \(X(t) = (2 \cos t, 2 \operatorname {sen}t)\) e é dado por \(X'(t) = (-2\operatorname {sen}t, 2 \cos t)\).

Observação 9.5

Uma curva \(X:[a,b] \to \mathbb {R}^2\), como por exemplo a curva descrita no Exemplo 9.4, para a qual o ponto inicial é igual ao ponto final \(X(a) = X(b)\) é denominada curva fechada.

Exemplo 9.6

Descreva a curva espacial cuja parametrização é \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t, t/10)\).

Solução

Para descrevermos a curva começamos observando que a projeção da curva \(X(t)\) no plano \(xy\) é \((\cos t,\operatorname {sen}t)\) e consequentemente é um ponto do círculo de raio unitário. Logo a curva está contida no cilindro \(x^2 + y^2 = 1\).

Na direção \(z\) a curva se move com velocidade constante.

Assim, a curva espacial \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t, t/10)\) descreve uma hélice contida no cilindro \(x^2 + y^2 = 1\). Tal curva caminha \(\dfrac {2\pi }{10}\) na direção de \(z\) para completar uma volta em torno do cilindro. Observe a figura ao lado.

Exemplo 9.7 (Gráfico de Função)

O gráfico de uma função \(f: \mathbb {R}\supset D \to \mathbb {R}\) diferenciável é uma curva em \(\mathbb {R}^2\). Tal curva pode ser representada pelas equações paramétricas \(X(t) = (t, f(t))\). Observe que o vetor velocidade de tal curva é dado por \(X'(t) = (1, f'(t))\).

Na figura 9.3 apresentamos a curva \((t, \operatorname {sen}t)\) dada pelo gráfico da função \(\operatorname {sen}x\) em \(\mathbb {R}^2\), cujo vetor velocidade no tempo \(t\) é \((1, \cos t)\).

Figura 9.3 Gráfico de senx — Figura 9.3 Gráfico de \(\operatorname {sen}x\)

Exemplo 9.8

A curva \(X(t) = (t^3 - 4t, t^2 - 4)\) é uma curva parametrizada não injetora (ver Figura 9.4), pois \(X(2) = X(-2) = (0,0)\). Esse exemplo mostra que que nem toda curva do plano pode ser descrita como gráfico de uma função.

Observação 9.9

Uma curva parametrizada injetora (sem auto-intersecções) é dita ser uma curva simples

Figura 9.5 Curva diferenciável com “bico”

Exemplo 9.10

Observamos, por fim, um fato que pode parecer a princípio contradizer nossa intuição de diferenciabilidade propiciada pelo estudo de funções reais e seus gráficos em cursos de cálculo diferenciável. Uma curva parametrizada pode ser diferenciável e ter “bicos” ou “arestas” desde que o vetor velocidade se anule nesses pontos. Observe a curva \(X(t) = (t^3, t^2)\) cujo vetor velocidade existe para todo \(t\) e é dado por \(X'(t) = (3t^2, 2t)\).

Observação 9.11

Uma curva parametrizada diferenciável \(X(t)\) tal que \(X'(t) \neq 0\) para todo \(t\) é dita ser uma curva regular.

Pode-se mostrar que curvas regulares não admitem “bicos”.

Exemplo 9.12

A cicloide, uma curva clássica estudada por Galileu (entre outros), consiste na curva traçada por um ponto fixado numa circunferência que rola ao longo de uma reta (ver Figura ??).

A ciclóide está ligada, por exemplo, ao problema da braquistócrona, que descreve uma curva ligando dois pontos \(A\) e \(B\), com \(B\) localizado a uma altura menor que \(A\), e que tem a propriedade de ser a trajetória (“rampa”) capaz de minimizar o tempo para um corpo ir de \(A\) à \(B\) quando este está submetido apenas à gravidade.

Além disso, a ciclóide (invertida) também é solução do problema da tautócrona que trata de uma curva onde não importa onde uma partícula seja colocada, ela leva o mesmo tempo para deslizar até o fundo.

Obtenha as equações paramétricas da ciclóide passando pela origem \(O\) do sistema de coordenadas e obtida a partir de um círculo de raio \(r\) “rolando” sobre o eixo \(x\).

Solução

Seja \(t\) o parâmetro que representa o ângulo de rotação do círculo. Quando o círculo girar de um ângulo \(t\) teremos que a distância percorrida ao longo do eixo será o comprimento do setor circular entre \(A\) e \(B\) (ver Figura 9.7), ou seja \(rt\). Dessa forma é fácil concluir que as coordenadas de \(A\) são:

\[ \left\{ \begin{array}{cc} x & = rt - r \operatorname {sen}t\\ y & = r - r \cos t \end{array} \right. \]

Logo a equação que representa tal curva é dada por \(X(t) = \left(r(t -\operatorname {sen}t), r(1 - \cos t)\right)\).

9.2 Curvas em Coordenadas Polares

Coordenadas polares são muito úteis quando trabalhamos com curvas com algum tipo de simetria em relação à origem do sistema de coordenadas. Observe isso nos próximos exemplos.

Figura 9.8 Círculo de raio 2 — Figura 9.8 Círculo de raio \(2\)

Exemplo 9.13

Um círculo de raio \(2\) pode ser descrito cartesianamente por

\[ x^2+y^2=4 \]

e, em coordenadas polares, simplesmente por

\[ r=2. \]

Como curva parametrizada, uma escolha natural é

\[ X(t)=(2\cos t,2\operatorname {sen}t),\qquad 0\le t\le 2\pi . \]

Nas coordenadas polares correspondentes, essa mesma parametrização é

\[ (r(t),\theta (t))=(2,t), \]

com o ângulo entendido módulo \(2\pi \). Não precisamos calcular \(\theta \) por \(\arctan (y/x)\); essa expressão isolada não distingue corretamente os quadrantes.

Exemplo 9.14

Considere a espiral de Arquimedes

\[ r=2\theta ,\qquad \theta \ge 0. \]

Usando o próprio ângulo como parâmetro,

\[ r(t)=2t, \qquad \theta (t)=t, \qquad t\ge 0. \]

Passando para coordenadas cartesianas,

\[ \boxed {X(t)=(2t\cos t,2t\operatorname {sen}t),\qquad t\ge 0.} \]

Este é um bom exemplo de por que parametrizações são úteis. O ponto \((x,y)\) determina seu ângulo polar apenas módulo \(2\pi \), enquanto a espiral precisa lembrar quantas voltas já foram percorridas para determinar o raio. Uma tentativa de escrever a curva usando apenas \(\arctan (y/x)\) perde essa informação de enrolamento. A parametrização conserva naturalmente tanto a posição quanto o número de voltas.

Mais alguns exemplos de curvas classicamente representadas em coordenadas polares estão descritos abaixo. Tente verificar e comparar nesses exemplos as equações nos sistemas cartesiano e polar.

Exemplo 9.15

O cardioide de equação polar

\[ r=a(1+\cos \theta ),\qquad a\gt 0, \]

pode ser parametrizado diretamente pelo próprio ângulo polar:

\[ X(\theta )=\bigl(a(1+\cos \theta )\cos \theta ,\; a(1+\cos \theta )\operatorname {sen}\theta \bigr), \qquad 0\le \theta \le 2\pi . \]

Eliminando \(\theta \), obtemos a equação cartesiana

\[ (x^2+y^2-ax)^2=a^2(x^2+y^2). \]

Também existe uma parametrização racional. Fazendo

\[ u=\tan \frac{\theta }{2}, \]

usamos

\[ \cos \theta =\frac{1-u^2}{1+u^2}, \qquad \operatorname {sen}\theta =\frac{2u}{1+u^2} \]

e obtemos

\[ X(u)=\left( 2a\frac{1-u^2}{(1+u^2)^2}, 4a\frac{u}{(1+u^2)^2} \right). \]

Aqui \(u\) é um novo parâmetro: ele não deve ser confundido com o ângulo polar \(\theta \).

Figura 9.11 Elipse de eixos 10 e 6 — Figura 9.11 Elipse de eixos \(10\) e \(6\)

Exemplo 9.16

A elipse ao lado com eixo maior \(10\), eixo menor \(6\) e com um dos focos na origem pode ser representada em coordenadas polares pela equação:

\[ r=\dfrac {9}{5-4\cos t}. \]

Num sistema cartesiano tal curva seria descrita por:

\[ \dfrac {(x-4)^2}{25} + \dfrac {y^2}{9} = 1. \]

9.3 Coordenadas Esféricas e Cilindrı̀cas

Durante o século XV, quando a Europa vivenciava o período das grandes navegações, os navegadores, que sabiam caminhar sobre um globo aproximadamente esférico, começaram a usar um sistema de localização na Terra formado pela latitude e longitude de um ponto.

Nesse sistema a Terra fica dividida por paralelos, círculos centrados no eixo de rotação da Terra e localizados em planos perpendiculares a este mesmo eixo, e meridianos, círculos com centro localizado no centro do globo terrestre passando pelos pólos norte e sul (determinados pela intersecção do eixo de rotação do planeta com o globo).

Como podemos observar na Figura 9.12, podemos localizar um ponto na Terra pela sua latitude, que mede o ângulo (entre \(-90^o\) e \(90^o\)) com vértice no centro da Terra formado entre o ponto e a linha do Equador, e pela sua longitude, que mede o ângulo (entre \(-180^o\) e \(180^o\)) entre o ponto e o meridiano de Greenwich, tido desde 1884 como o meridiano de referência para navegação.

O sistema de coordenadas esférico, de grande utilidade em problemas com simetrias em relação a origem do espaço, é semelhante ao sistema de latitudes e longitudes usado em navegação. A única diferença é que para localizar um ponto qualquer do espaço é necessária, além dos dois ângulos, a distância do ponto a origem do espaço. Observe que para localizar uma estrela qualquer no universo poderíamos dar a distância da mesma à Terra e a latitude e longitude do ponto onde aquela estrela estará exatamente em cima de nós.

Para definir um sistema de coordenadas esférico precisamos escolher um ponto de origem \(O\) e duas direções ortogonais, conhecidas como zênite e referência do azimute.

No caso do exemplo descrito acima o zênite é dado pela direção do eixo de rotação da Terra e a referência de azimute é dada pela reta que liga o centro da Terra ao meridiano de Greenwich.

As coordenadas esféricas \((r,\phi ,\theta )\) de um ponto \(P\) são então dadas por:

raio ou distância radial \(r\) que é a distância (Euclideana) entre \(O\) e \(P\);
ângulo polar ou colatitude \(\phi \) dado pelo ângulo (entre \(0\) e \(\pi \)) entre o zênite e a direção do segmento \(\overline{OP}\);
azimute ou longitude \(\theta \), ângulo (entre \(0\) e \(2\pi \)) entre a referência de azimute e a projeção ortogonal de \(\overrightarrow {OP}\) sobre um plano ortogonal ao zênite (plano de referência).

Notamos que no exemplo dado pelos paralelos e meridianos da Terra, o ângulo de longitude é igual ao azimute \(\theta \), mas o ângulo dado pela latitude de um dado ponto é o ângulo complementar ao ângulo polar \(\phi \).

Note que no sistema de coordenadas esférico os pontos localizados sobre o zênite podem ser representados por mais de uma tripla \((r,\phi , \theta )\). De fato para tais pontos (com \(\phi =0\) ou \(\phi =\pi \)) o ângulo \(\theta \) não importa.

Observando a Figura 9.13 concluímos facilmente que as coordenadas esféricas se relacionam com as coordenadas cartesianas segundo as seguintes equações:

Figura 9.14 Sphere Spirals , de M. C. Escher — Figura 9.14 *Sphere Spirals*, de M. C. Escher

\[ \begin{array}{l} x = r \operatorname {sen}\phi \cos \theta \\ y = r \operatorname {sen}\phi \operatorname {sen}\theta \\ z = r \cos \phi \end{array} \]

e Reciprocamente, para \(P\neq O\),

\[ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \]

\[ \phi =\operatorname {atan2}\! \left(\sqrt{x^2+y^2},z\right), \qquad \theta =\operatorname {atan2}(y,x)\pmod{2\pi }. \]

A notação \(\operatorname {atan2}\) é importante: uma única expressão \(\arctan (y/x)\) não distingue corretamente os quadrantes. Nos polos (\(\phi =0\) ou \(\phi =\pi \)), o azimute \(\theta \) é indeterminado.

Exemplo 9.17

Curva Loxodrómica:

Problemas com simetria esférica em geral tem uma representação mais simples em coordenadas esféricas. Observe a curva desenhada por M.C. Escher em sua obra “Sphere Spirals”. Tal curva é conhecida como curva loxodrómica e é a curva que cruza os meridianos sempre com o mesmo ângulo. Tal curva é representada por uma linha reta na projeção de Mercator (ver Wikipedia), isto é, se \(m\) é a inclinação da reta e \(t_0\) é o instante onde a curva cruza o Equador, na projeção de Mercator teríamos:

\[ \begin{array}{l} x(t) = t\\ y(t) = m(t-t_0) \end{array} \]

Olhando para a curva numa esfera de raio \(1\) teríamos em coordenadas esféricas:

\[ \begin{array}{l} r(t) = 1\\ \theta (t) = t\\ \phi (t)=\dfrac {\pi }{2}-\arcsin \! \bigl(\tanh (m(t-t_0))\bigr) \end{array} \]

Em coordenadas cartesianas, no entanto, tal curva seria representada pelas equações:

\[ \begin{array}{l} x(t)=\dfrac {\cos t}{\cosh (m(t-t_0))}\\ y(t)=\dfrac {\operatorname {sen}t}{\cosh (m(t-t_0))}\\ z(t) = \tanh (m(t-t_0)) \end{array} \]

Observe que no sistema cartesiano é difícil à primeira vista até mesmo saber que a curva se encontra numa esfera, fato que no sistema esférico é imediato.

O sistema de coordenadas cilíndrico é, simplificadamente, o sistema de coordenadas polar do plano euclideano complementado com uma terceira coordenada para descrever a altura \(z\) do ponto em relação ao plano \(Oxy\). Para definir as coordenadas cilíndricas de um ponto é necessária a escolha de um ponto de origem \(O\), eixo \(Oz\) para marcar a altura e uma referência de azimute no plano perpendicular a \(Oz\) pela origem (plano de referência). As coordenadas \((r,\theta , z)\) do ponto \(P\) são definidas por:

distância radial dada pela distância euclideana de \(P\) ao eixo \(Oz\);
azimute \(\theta \), ângulo entre a referência de azimute e a projeção de \(\overrightarrow {OP}\) sobre o plano de referência;
altura \(z\), a coordenada orientada ao longo do eixo \(Oz\); ela é positiva de um lado do plano de referência e negativa do outro.

As coordenadas cilíndricas e cartesianas se relacionam de forma muito parecida com a a relação entre coordenadas polares e cartesianas:

\[ \begin{array}{l} x = r \cos \theta \\ y = r \operatorname {sen}\theta \\ z = z \end{array} \]

e, inversamente:

\[ \begin{array}{l} r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta =\operatorname {atan2}(y,x)\pmod{2\pi }\\ z = z \end{array} \]

Exemplo 9.18

Hélice:

Voltemos ao Exemplo 9.6 que descrevia uma hélice que em coordenadas cartesianas possuía parametrização \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t, t/10)\). Em coordenadas cilíndricas as equações paramétricas se simplificariam a:

\[ X(t) = (1, t, t/10). \]

Estude isso.

9.4 Comprimento de uma Curva

Provavelmente em cursos de física você já se deparou com a fórmula:

\[ \Delta s = v \Delta t \]

que indica a distância percorrida \(\Delta s\) por um corpo que se move durante um período de tempo \(\Delta t\) com velocidade constante \(v\) (onde \(v\) é igual ao comprimento do vetor velocidade \(\boldsymbol {v}\)).

Consideremos agora um corpo cuja velocidade varia entre os instantes \(t_0\) e \(t\), ao longo de uma curva parametrizada \(X(t) = (x(t), y(t))\).

Para velocidade variável, a distância percorrida é obtida pela integral da rapidez:

\[ \Delta s = \int _{t_0}^{t} v(t) dt, \]

onde \(v(t) = \lVert \boldsymbol {v} (t)\rVert \).

Para uma curva diferenciável \(X:I\to \mathbb {R}^3\), escreva

\[ X(u)=(x(u),y(u),z(u)). \]

O comprimento percorrido entre os parâmetros \(t_0\) e \(t\) é

\[ s(t)=\int _{t_0}^{t}\lVert X'(u)\rVert \, du, \]

ou, explicitamente,

\[ s(t)=\int _{t_0}^{t}\sqrt{(x'(u))^2+(y'(u))^2+(z'(u))^2}\, du. \]

A variável \(u\) dentro da integral é muda; usar uma letra diferente evita confundir o limite superior \(t\) com a variável de integração.

Intuitivamente a fórmula acima admite a seguinte interpretação. Dividamos o intervalo \([t_0,t]\) em partes de modo que \(t_0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \dots \lt t_{n+1} = t\). O comprimento do segmento de reta que liga \(X(t_i)\) à \(X(t_{i+1})\), obtido pelo Teorema de Pitágoras, é dado por:

\[ \Delta s_i = \sqrt{(\Delta x_i)^2 + (\Delta y_i)^2 + (\Delta z_i)^2}, \]

onde \(\Delta x_i = (x(t_{i+1}) - x(t_i))\), \(\Delta y_i = (y(t_{i+1}) - y(t_i))\) e \(\Delta z_i = (z(t_{i+1}) - z(t_i))\). Usaremos aqui apenas uma notação compacta para somas: se \(a_0,\ldots ,a_n\) são números,

\[ \sum _{i=0}^{n} a_i=a_0+a_1+\cdots +a_n. \]

O símbolo \(\sum \) indica, portanto, que somamos os termos enquanto o índice \(i\) percorre os valores indicados. Assim, o comprimento \(\Delta s\) da curva parametrizada \(X(t)\) de \(t_0\) a \(t\) é dado aproximadamente por

\[ \Delta s\approx \sum _{i=0}^{n}\Delta s_i. \]

Ver Figura 9.16.

Mas, se \(\Delta t_i=t_{i+1}-t_i\) temos:

\begin{multline*} \Delta s_i = \sqrt{\left(\left(\dfrac {\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2 + \left(\dfrac {\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2 + \left(\dfrac {\Delta z_i}{\Delta t_i}\right)^2\right) (\Delta t_i)^2} =\\ = \left(\sqrt{(v^x_i)^2 + (v^y_i)^2 + (v^z_i)^2}\right)\Delta t_i, \end{multline*}

onde \(v^x_i = \left(\dfrac {\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)\), \(v^y_i = \left(\dfrac {\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)\) e \(v^z_i = \left(\dfrac {\Delta z_i}{\Delta t_i}\right)\). Aumentando a partição e diminuindo os intervalos \([t_i, t_{i+1}]\) temos que no limite a expressão

\[ \Delta s \approx \sum _{i=0}^n \left(\sqrt{(v^x_i)^2 + (v^y_i)^2 + (v^z_i)^2}\right)\Delta t_i \]

torna-se

\[ s(t)=\int _{t_0}^{t}\sqrt{(x'(u))^2+(y'(u))^2+(z'(u))^2}\, du \]

Exemplo 9.19

Qual o comprimento do círculo de raio \(1\)?

Solução

O círculo de raio \(1\) pode ser representado como uma curva parametrizada por \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t)\). Para obtermos o comprimento do círculo integramos a norma do vetor velocidade \(X'(t) = (-\operatorname {sen}t, \cos t)\):

\[ s(2\pi ) = \int _0^{2\pi } \sqrt{\operatorname {sen}^2 t + \cos ^2 t} dt = \int _0^{2\pi } 1 dt = 2\pi . \]

Exemplo 9.20

Qual o comprimento da hélice dada por \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t, t/10)\) entre os instantes \(0\) e \(4\pi \)?

Solução

O vetor velocidade da curva é dado por \(X'(t) = (-\operatorname {sen}t, \cos t, 1/10)\). Logo:

\[ s(4\pi ) = \int _0^{4\pi } \sqrt{\operatorname {sen}^2 t + \cos ^2 t + \left(\dfrac {1}{10}\right)^2}dt = \int _0^{4\pi } \sqrt{\dfrac {101}{100}}dt = \dfrac {4 \pi \sqrt{101}}{10} \]

9.5 Regiões planas limitadas por curvas

A descrição de regiões planas aparece em problemas de cálculo de áreas e de determinação da massa ou do centro de massa de uma placa. Esses cálculos utilizam técnicas de integração, mas sua formulação exige primeiro identificar as fronteiras da região e expressar as condições satisfeitas por seus pontos. Nesta seção, estudaremos essa etapa geométrica: descrever regiões limitadas por curvas mediante intervalos e desigualdades nas coordenadas. As aplicações à integração serão apenas indicadas, sem desenvolver sua teoria.

Em coordenadas cartesianas, podemos descrever uma região por suas interseções com retas verticais, de equação \(x= k\), onde \(k\) é uma constante real. Variando essa constante, determinamos os intervalos percorridos pela outra coordenada.

Figura 9.17 Região limitada por 3 retas — Figura 9.17 Região limitada por \(3\) retas

Exemplo 9.21

Considere o triângulo da Figura 9.17, com vértices

\[ O=(0,0),\qquad A=(2,0),\qquad B=(1,2). \]

Para descrevê-lo por cortes verticais, precisamos observar que a fronteira superior muda em \(x=1\). A reta \(OB\) tem equação \(y=2x\), enquanto a reta \(AB\) tem equação \(y=-2x+4\).

Assim,

\[ 0\le x\le 1\quad \Longrightarrow \quad 0\le y\le 2x, \]

\[ 1\le x\le 2\quad \Longrightarrow \quad 0\le y\le -2x+4. \]

Portanto a região é descrita simbolicamente por

\[ \int _0^1\int _0^{2x}dy\, dx + \int _1^2\int _0^{-2x+4}dy\, dx. \]

A mudança de fronteira exige dois pares de limites para descrever a região. Essa divisão deve ser estabelecida antes de qualquer cálculo de área.

Figura 9.18 Região limitada por 3 retas — Figura 9.18 Região limitada por \(3\) retas

Exemplo 9.22

Considere agora o triângulo \(\triangle OAB\) limitado pelos pontos \(O=(0,0)\), \(A=(2,4)\) e \(B=(4,2)\) (Figura 9.18). Nesse caso, \(x\) deve variar no intervalo \([0,4]\) para cobrir todo o triângulo. No entanto, quando \(x\) pertence ao intervalo \([0,2]\) a coordenada \(y\) fica limitada pelas retas \(\overleftrightarrow {OB}\) e \(\overleftrightarrow {OA}\), e quando \(x\) está no intervalo \([2,4]\) a coordenada \(y\) fica limitada por \(\overleftrightarrow {OB}\) e \(\overleftrightarrow {AB}\). Assim sendo, para simplificar a descrição da região “escaneada” por retas verticais, descrevemos a área do triângulo \(\triangle OAB\) como a soma dos triângulos \(\triangle OAE\) e \(\triangle EAB\).

Descrevendo o triângulo \(\triangle OAE\) temos então que, para \(x\) entre \(0\) e \(2\), os pontos do triângulo ficam entre as retas \(\overleftrightarrow {OB}\) e \(\overleftrightarrow {OA}\), de equações \(y=\dfrac {1}{2}x\) e \(y = 2x\), respectivamente. Logo, para \(x\in [0,2]\) devemos ter \(\dfrac {1}{2}x\leq y\leq 2x\), ou seja, \(y\in [\dfrac {1}{2}x,2x]\). Simbolicamente:

\[ A_{\triangle OAE} = \int _{x=0}^{x=2}\int _{y=\dfrac {1}{2}x}^{y=2x}dydx. \]

Para o triângulo \(\triangle EAB\) teríamos \(x\) variando entre \(2\) e \(4\). Nesse caso, os pontos do triângulo ficam entre as retas \(\overleftrightarrow {OB}\) e \(\overleftrightarrow {AB}\), de equações \(y=\dfrac {1}{2}x\) e \(y = -x + 6\), respectivamente. Logo, para \(x\in [2,4]\) devemos ter \(\dfrac {1}{2}x\leq y\leq -x + 6\), ou seja, \(y\in [\dfrac {1}{2}x,-x+6]\). O que simbolicamente ficaria:

\[ A_{\triangle EAB} = \int _{x=2}^{x=4}\int _{y=\dfrac {1}{2}x}^{y=-x + 6}dydx. \]

Finalmente, a área do triângulo \(\triangle OAB\) seria representada por:

\begin{multline*} A_{\triangle OAB} = A_{\triangle OAE} + A_{\triangle EAB} =\\ = \int _{x=0}^{x=2}\int _{y=\dfrac {1}{2}x}^{y=2x}dydx + \int _{x=2}^{x=4}\int _{y=\dfrac {1}{2}x}^{y=-x + 6}dydx. \end{multline*}

Exemplo 9.23

Considere agora a região do plano acima do eixo \(Ox\) e limitada pelo círculo de equação \(x^2 + y^2 = 4\) (Figura 9.19). Podemos descrevê-la variando \(x\) no intervalo \([-2,2]\) e, para cada \(x\) fixado, fazer \(y\) percorrer o intervalo de \(0\) (reta \(y=0\)) até \(y = \sqrt{4-x^2}\) (parte da curva \(x^2 + y^2 = 4\) sobre o eixo \(Ox\)). Desse modo, a área seria simbolicamente indicada por:

\[ A_{AOB} = \int _{x=-2}^{x=2}\int _{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx. \]

Exemplo 9.24

Suponha agora que queiramos descrever a região do plano acima do eixo \(Ox\) e limitada pelos círculos centrados em \(0=(0,0)\) e de raios \(1\) e \(2\) (Figura 9.20). Novamente, podemos descrevê-la variando \(x\) no intervalo \([-2,2]\). Mas agora, para \(x\in [-2,-1]\) e \(x\in [1,2]\), \(y\) fica entre a reta \(y=0\) e a curva \(y = \sqrt{4-x^2}\) e, para \(x\in [-1,1]\), \(y\) está limitado pelas curvas \(y = \sqrt{1-x^2}\) e \(y = \sqrt{4-x^2}\). Desse modo, a área seria simbolicamente indicada por:

\[ A_{CGHA} = \int _{x=-2}^{x=-1}\int _{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx + \int _{x=-1}^{x=1}\int _{y=\sqrt{1-x^2}}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx+ \int _{x=1}^{x=2}\int _{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx. \]

Alternativamente, poderíamos descrever a mesma área subtraindo a área entre o eixo \(Ox\) e o círculo de raio \(1\) da área entre \(Ox\) e o círculo de raio \(2\), ou seja:

\[ A_{CGHA} = \int _{x=-2}^{x=2}\int _{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx - \int _{x=-1}^{x=1}\int _{y=0}^{y=\sqrt{1-x^2}}dydx. \]

Quando as regiões a serem descritas têm certa simetria circular como nos Exemplos 9.23 e 9.24, um modo interessante de descrever as áreas é através do uso de coordenadas polares. Podemos descrever uma dada região variando a coordenada \(\theta \) e olhando para a intersecção da região com a semi-reta de equação \(\theta = k\) (em coordenadas polares).

Assim a área do Exemplo 9.23 poderia ser representada variando \(\theta \) no intervalo \([0,\pi ]\) e, fazendo, para cada \(\theta \) fixado, \(r\) percorrer o intervalo \([0,2]\). Simbolicamente representaríamos isso por:

\[ A_{AOB} = \int _{\theta =0}^{\theta = \pi }\int _{r=0}^{r=2}rdrd\theta . \]

Observação 9.25

Em coordenadas cartesianas usualmente escrevemos \(dydx\) na descrição da área motivados pelo fato de que a área de um retângulo de base \(\Delta x\) e altura \(\Delta y\) é \(\Delta y \Delta x\).

Em coordenadas polares escrevemos \(rdrd\theta \) ao invés de apenas \(drd\theta \), pois a área de um setor circular definido por um dado \(\Delta \theta \) e com raio variando entre \(r\) e \(r+\Delta r\) é aproximadamente dada por \(r\Delta r\Delta \theta \) se \(\Delta r\) é pequeno.

Mais detalhes podem ser encontrados em referências clássicas de cálculo.

A região do Exemplo 9.24, por sua vez, poderia ser representada variando \(\theta \) no intervalo \([0,\pi ]\) e, fazendo, para cada \(\theta \) fixado, \(r\) percorrer o intervalo \([1,2]\). Simbolicamente representaríamos isso por:

\[ A_{AOB} = \int _{\theta =0}^{\theta = \pi }\int _{r=1}^{r=2}rdrd\theta . \]

Exemplo 9.26

Imagine que queiramos usar coordenadas polares para descrever a região do plano limitada pelo cardióide de equação \(r=1+\cos \theta \). Para isso, fazemos \(\theta \) variar no intervalo \([0,2\pi ]\) e, para cada \(\theta \) fixado, fazemos \(r\) variar entre \(0\) e \(1+\cos \theta \). Assim tal região seria descrita por:

\[ A = \int _{\theta =0}^{\theta = 2\pi }\int _{r=0}^{r=1+\cos \theta }rdrd\theta . \]

9.6 Exercícios

Os exercícios abaixo seguem o percurso do capítulo: traço e orientação, parametrizações, curvas polares, coordenadas cilíndricas e esféricas, comprimento e descrição de regiões por cortes.

Exercício 6.1

Considere as parametrizações

\[ X_1(t)=(\cos t,\operatorname {sen}t), \qquad X_2(t)=(\cos 2t,\operatorname {sen}2t), \qquad 0\le t\le 2\pi . \]

Compare os traços, o número de voltas e o sentido do percurso.

Ver solução

As duas têm como traço o círculo unitário. \(X_1\) percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário; \(X_2\) o percorre duas vezes no mesmo sentido. Portanto parametrizações diferentes podem ter a mesma imagem geométrica.

Exercício 6.2

Parametrize o segmento orientado que vai de

\[ A=(1,-1,2) \quad \text{a}\quad B=(3,2,0) \]

com \(0\le t\le 1\). Determine o vetor tangente e o comprimento do segmento.

Ver solução

Como \(B-A=(2,3,-2)\),

\[ X(t)=A+t(B-A)=(1+2t,-1+3t,2-2t). \]

Logo

\[ X'(t)=(2,3,-2) \]

\[ L=\int _0^1\lVert X'(t)\rVert \, dt =\sqrt{17}. \]

Exercício 6.3

Para cada parametrização, elimine o parâmetro, descreva o traço e determine onde ela é regular:

\(X(t)=(t,t^2)\), \(t\in \mathbb {R}\);
\(Y(t)=(t^2,t^3)\), \(t\in \mathbb {R}\).

Ver solução

Como \(x=t\), temos \(y=x^2\). Além disso,

\[ X'(t)=(1,2t)\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}, \]

logo a parametrização é regular para todo \(t\).
Temos \(x=t^2\ge 0\) e \(y=t^3\), portanto

\[ y^2=x^3. \]

O traço é a cúspide \(y^2=x^3\), \(x\ge 0\). Como

\[ Y'(t)=(2t,3t^2), \]

a parametrização não é regular apenas em \(t=0\).

Exercício 6.4

Seja

\[ X(t)=(\cos t,\operatorname {sen}t), \qquad 0\le t\le 2\pi , \]

e defina

\[ Y(s)=X(2\pi -s). \]

Mostre que as duas parametrizações têm o mesmo traço e explique o que muda no percurso.

Ver solução

Temos

\[ Y(s)=(\cos s,-\operatorname {sen}s), \]

portanto o traço continua sendo o círculo unitário. Além disso,

\[ Y'(s)=-X'(2\pi -s), \]

logo o sentido do percurso é invertido.

Exercício 6.5

Considere a hélice

\[ X(t)=(3\cos t,3\operatorname {sen}t,4t), \qquad 0\le t\le 2\pi . \]

Determine o vetor tangente, a rapidez e o comprimento do arco percorrido.

Ver solução

\[ X'(t)=(-3\operatorname {sen}t,3\cos t,4) \]

\[ \lVert X'(t)\rVert =\sqrt{9\operatorname {sen}^2t+9\cos ^2t+16}=5. \]

A rapidez é constante e

\[ \boxed {L=10\pi }. \]

Exercício 6.6

Um círculo de raio \(r\) rola sem deslizar sobre o eixo \(x\). Um ponto marcado na circunferência começa na origem. Usando como parâmetro o ângulo \(t\) girado pelo círculo, obtenha uma parametrização da ciclóide.

Ver solução

O centro do círculo desloca-se horizontalmente de uma distância \(rt\). Em relação ao centro, o ponto marcado tem deslocamento

\[ (-r\operatorname {sen}t,-r\cos t) \]

medido a partir da posição adequada. Assim

\[ \boxed {X(t)=\bigl(r(t-\operatorname {sen}t),\, r(1-\cos t)\bigr)}. \]

Exercício 6.7

A espiral de Arquimedes é dada em coordenadas polares por

\[ r=2\theta , \qquad \theta \ge 0. \]

Obtenha uma parametrização cartesiana usando o próprio ângulo como parâmetro. Quanto o raio aumenta após uma volta completa?

Ver solução

Tomando \(\theta =t\),

\[ \boxed {X(t)=(2t\cos t,2t\operatorname {sen}t)}, \qquad t\ge 0. \]

Após uma volta, \(t\) aumenta em \(2\pi \), e o raio aumenta em

\[ 2(2\pi )=\boxed {4\pi }. \]

Exercício 6.8

O cardioide

\[ r=a(1+\cos \theta ), \qquad a\gt 0, \]

pode ser parametrizado pelo ângulo polar. Escreva essa parametrização e elimine o parâmetro para obter uma equação cartesiana.

Ver solução

Uma parametrização é

\[ X(\theta )=\bigl(a(1+\cos \theta )\cos \theta , a(1+\cos \theta )\operatorname {sen}\theta \bigr). \]

Como \(r^2=x^2+y^2\) e \(r\cos \theta =x\),

\[ r^2=a r+a x, \]

portanto

\[ r^2-a x=a r. \]

Elevando ao quadrado,

\[ \boxed {(x^2+y^2-a x)^2=a^2(x^2+y^2)}. \]

Exercício 6.9

Use as convenções do capítulo para converter coordenadas:

escreva \((1,1,\sqrt2)\) em coordenadas cilíndricas e esféricas principais;
converta

\[ (r,\phi ,\theta )=\left(4,\frac\pi 3,\frac\pi 6\right) \]

de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas e cilíndricas.

Ver solução

Em coordenadas cilíndricas,

\[ (r,\theta ,z)=\left(\sqrt2,\frac\pi 4,\sqrt2\right). \]

Como a distância à origem é \(2\) e \(\cos \phi =\sqrt2/2\),

\[ (r,\phi ,\theta )=\left(2,\frac\pi 4,\frac\pi 4\right). \]
\[ x=3,\qquad y=\sqrt3,\qquad z=2. \]

Logo as coordenadas cilíndricas são

\[ \left(2\sqrt3,\frac\pi 6,2\right). \]

Exercício 6.10

Uma curva tem coordenadas cilíndricas

\[ r=2, \qquad \theta =t, \qquad z=3t. \]

Escreva sua parametrização cartesiana, identifique a superfície cilíndrica que a contém e determine quanto ela sobe em uma volta completa.

Ver solução

\[ \boxed {X(t)=(2\cos t,2\operatorname {sen}t,3t)}. \]

A curva está contida no cilindro

\[ x^2+y^2=4. \]

Quando \(t\) aumenta de \(2\pi \), a coordenada \(z\) aumenta de

\[ \boxed {6\pi }. \]

Exercício 6.11

A loxodromia apresentada no capítulo possui parametrização cartesiana

\[ x(t)=\frac{\cos t}{\cosh (m(t-t_0))}, \quad y(t)=\frac{\operatorname {sen}t}{\cosh (m(t-t_0))}, \quad z(t)=\tanh (m(t-t_0)). \]

Verifique diretamente que seu traço está contido na esfera unitária.

Ver solução

Escrevendo \(u=m(t-t_0)\),

\[ x^2+y^2=\frac{1}{\cosh ^2u}. \]

Como

\[ 1-\tanh ^2u=\frac1{\cosh ^2u}, \]

segue que

\[ x^2+y^2+z^2=1. \]

Exercício 6.12

Descreva a região interior à elipse

\[ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1 \]

de duas maneiras:

por cortes verticais, indicando o intervalo de \(x\) e os limites de \(y\);
por cortes horizontais, indicando o intervalo de \(y\) e os limites de \(x\).

Ver solução

\[ -3\le x\le 3, \qquad -2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}} \le y\le 2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}. \]
\[ -2\le y\le 2, \qquad -3\sqrt{1-\frac{y^2}{4}} \le x\le 3\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}. \]

Exercício 6.13

Considere a parte, no primeiro quadrante, do anel centrado na origem com raio interno \(1\) e raio externo \(2\).

descreva a região por desigualdades cartesianas;
descreva-a em coordenadas polares.

Ver solução

\[ x\ge 0,\qquad y\ge 0, \qquad 1\le x^2+y^2\le 4. \]
\[ \boxed {1\le r\le 2, \qquad 0\le \theta \le \frac\pi 2}. \]

Exercício 6.14

Considere o triângulo de vértices

\[ O=(0,0),\qquad A=(2,4),\qquad B=(4,2). \]

Descreva-o por cortes verticais, sem usar integrais. Indique por que é necessário separar a descrição em dois intervalos de \(x\).

Ver solução

As retas dos lados são

\[ OA:y=2x, \qquad OB:y=\frac{x}{2}, \qquad AB:y=-x+6. \]

Assim,

\[ 0\le x\le 2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x}{2}\le y\le 2x, \]

\[ 2\le x\le 4 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x}{2}\le y\le -x+6. \]

A separação é necessária porque a fronteira superior muda em \(x=2\).