Capítulo 9

Curvas Parametrizadas e Regiões do Plano

Neste capítulo estudaremos a descrição de curvas por parâmetros e de regiões do plano por suas fronteiras e cortes coordenados. A parametrização permite examinar o traço de uma curva e o modo como é percorrido. A descrição por cortes permite expressar uma região por condições sobre suas coordenadas.

Começaremos com curvas parametrizadas, estudando traço, orientação, regularidade, coordenadas polares, cilíndricas e esféricas e comprimento. Na parte final, voltaremos ao plano para descrever regiões limitadas por curvas, usando cortes verticais, horizontais e coordenadas polares. Essas representações serão úteis em aplicações posteriores e podem ser estudadas aqui sem desenvolver a teoria do cálculo multivariável.

9.1 Parametrização de Curvas

Uma curva admite diferentes formas de representação. Uma equação cartesiana descreve os pontos que pertencem à curva; uma parametrização descreve, além disso, como esses pontos são percorridos quando um parâmetro varia.

Já conhecemos esse ponto de vista para retas. Se \(S_0=(a,b,c)\) pertence a uma reta \(r\) e \(\boldsymbol {v}=(v_1,v_2,v_3)\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\) é um vetor diretor, então

\begin{equation} \label{curvareta} r:\left\{ \begin{array}{rcl} x& =& a+v_1t,\\ y& =& b+v_2t,\\ z& =& c+v_3t. \end{array} \right. \tag{9.1} \end{equation}

Equivalentemente,

\[ X(t)=S_0+t\boldsymbol {v}. \]

Para cada valor de \(t\) obtemos um ponto da reta; quando \(t\) percorre \(\mathbb {R}\), a imagem de \(X\) é toda a reta. A mesma ideia permitirá descrever círculos, parábolas, hélices e curvas muito mais gerais.

Figura 9.1 Curva parametrizada e vetor de posição X(t), da origem ao ponto (x(t),y(t),z(t)).

Figura 9.1 Curva parametrizada e vetor de posição \(X(t)\), da origem ao ponto \((x(t),y(t),z(t))\).

A interpretação física de \(t\) como tempo é útil, mas não faz parte da definição: o parâmetro pode representar tempo, ângulo, comprimento, ou simplesmente servir para enumerar os pontos da curva.

Definição 9.1
Se \(I\subset \mathbb {R}\) é um intervalo, uma curva parametrizada em \(\mathbb {R}^n\) é uma função contínua
\[ X:I\longrightarrow \mathbb {R}^n. \]
O conjunto
\[ X(I)=\{ X(t):t\in I\} \]
é chamado de traço ou imagem geométrica da parametrização.

Essa distinção é importante: a parametrização contém mais informação que o traço. Por exemplo,

\[ X_1(t)=(\cos t,\operatorname {sen}t),\qquad 0\le t\le 2\pi , \]

e

\[ X_2(t)=(\cos 2t,\operatorname {sen}2t),\qquad 0\le t\le 2\pi , \]

têm a mesma imagem geométrica — o círculo unitário — mas \(X_2\) percorre esse círculo duas vezes. Trocar \(t\) por \(-t\) conserva a imagem e inverte o sentido do percurso. Portanto, ao parametrizar uma curva, devemos sempre perguntar não apenas quais pontos aparecem, mas também como eles são percorridos.

Quando \(X\) é diferenciável, sua derivada descreve a direção instantânea do percurso.

Definição 9.2
Se
\[ X(t)=(x_1(t),\ldots ,x_n(t)) \]
é diferenciável, definimos o vetor tangente ou vetor velocidade por
\[ X'(t)=(x_1'(t),\ldots ,x_n'(t)). \]
Dizemos que a parametrização é regular no instante \(t\) quando \(X'(t)\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

As hipóteses de regularidade serão especificadas conforme o problema; não suporemos, em geral, a existência de derivadas de todas as ordens.

Exemplo 9.3
A equação mais simples para uma parábola
\[ y= x^2 \]
pode ser representada parametricamente tomando um parâmetro livre \(t\) e escrevendo
\[ x = t, y = t ^2 \quad \text{ para } -\infty \lt t \lt \infty \]

Exemplo 9.4
Parametrize o círculo de raio \(2\) em \(\mathbb {R}^2\) e descreva seu vetor tangente.

Ilustração: Parametrização de Curvas

Solução

Para parametrizar o círculo, é natural usar o ângulo \(t\) como parâmetro. Com essa escolha, as coordenadas de um ponto \(P=(x,y)\) são dadas por \(x=2 \cos t\) e \(y=2 \operatorname {sen}t\). Fazendo \(t\) variar em \([0,2\pi ]\), percorremos uma volta completa.

Assim, a curva plana \(X: [0,2\pi ] \to \mathbb {R}^2\) dada por \(X(t) = (2 \cos t, 2 \operatorname {sen}t)\) descreve um círculo de raio \(2\) em \(\mathbb {R}^2\).

O vetor tangente é obtido derivando a parametrização \(X(t) = (2 \cos t, 2 \operatorname {sen}t)\) e é dado por \(X'(t) = (-2\operatorname {sen}t, 2 \cos t)\).

Observação 9.5
Uma curva \(X:[a,b] \to \mathbb {R}^2\), como por exemplo a curva descrita no Exemplo 9.4, para a qual o ponto inicial é igual ao ponto final \(X(a) = X(b)\) é denominada curva fechada.

Figura 9.2 Hélice

Figura 9.2 Hélice

Exemplo 9.6
Descreva a curva espacial cuja parametrização é \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t, t/10)\).

Solução

Para descrevermos a curva começamos observando que a projeção da curva \(X(t)\) no plano \(xy\) é \((\cos t,\operatorname {sen}t)\) e consequentemente é um ponto do círculo de raio unitário. Logo a curva está contida no cilindro \(x^2 + y^2 = 1\).

Na direção \(z\) a curva se move com velocidade constante.

Assim, a curva espacial \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t, t/10)\) descreve uma hélice contida no cilindro \(x^2 + y^2 = 1\). Tal curva caminha \(\dfrac {2\pi }{10}\) na direção de \(z\) para completar uma volta em torno do cilindro. Observe a figura ao lado.

Exemplo 9.7 (Gráfico de Função)

O gráfico de uma função \(f: \mathbb {R}\supset D \to \mathbb {R}\) diferenciável é uma curva em \(\mathbb {R}^2\). Tal curva pode ser representada pelas equações paramétricas \(X(t) = (t, f(t))\). Observe que o vetor velocidade de tal curva é dado por \(X'(t) = (1, f'(t))\).

Na figura 9.3 apresentamos a curva \((t, \operatorname {sen}t)\) dada pelo gráfico da função \(\operatorname {sen}x\) em \(\mathbb {R}^2\), cujo vetor velocidade no tempo \(t\) é \((1, \cos t)\).

Figura 9.3 Gráfico de senx

Figura 9.3 Gráfico de \(\operatorname {sen}x\)

Figura 9.4 Curva não injetora

Figura 9.4 Curva não injetora

Exemplo 9.8
A curva \(X(t) = (t^3 - 4t, t^2 - 4)\) é uma curva parametrizada não injetora (ver Figura 9.4), pois \(X(2) = X(-2) = (0,0)\). Esse exemplo mostra que nem toda curva do plano pode ser descrita como gráfico de uma função.

Observação 9.9
Uma curva parametrizada injetora (sem auto-intersecções) é dita ser uma curva simples

Figura 9.5 Curva diferenciável com “bico”

Figura 9.5 Curva diferenciável com “bico”

Exemplo 9.10
Observamos, por fim, um fato que pode parecer a princípio contradizer nossa intuição de diferenciabilidade propiciada pelo estudo de funções reais e seus gráficos em cursos de cálculo diferenciável. Uma curva parametrizada pode ser diferenciável e ter “bicos” ou “arestas” desde que o vetor velocidade se anule nesses pontos. Observe a curva \(X(t) = (t^3, t^2)\) cujo vetor velocidade existe para todo \(t\) e é dado por \(X'(t) = (3t^2, 2t)\).

Observação 9.11

Uma curva parametrizada diferenciável \(X(t)\) tal que \(X'(t) \neq 0\) para todo \(t\) é dita ser uma curva regular.

Pode-se mostrar que curvas regulares não admitem “bicos”.

Figura 9.6 Ciclóide

Figura 9.6 Ciclóide

Figura 9.7 Ciclóide parametrizada

Figura 9.7 Ciclóide parametrizada

Exemplo 9.12

A cicloide, uma curva clássica estudada por Galileu (entre outros), consiste na curva traçada por um ponto fixado numa circunferência que rola ao longo de uma reta (ver Figura 9.7).

A ciclóide está ligada, por exemplo, ao problema da braquistócrona, que descreve uma curva ligando dois pontos \(A\) e \(B\), com \(B\) localizado a uma altura menor que \(A\), e que tem a propriedade de ser a trajetória (“rampa”) capaz de minimizar o tempo para um corpo ir de \(A\) à \(B\) quando este está submetido apenas à gravidade.

Além disso, a ciclóide (invertida) também é solução do problema da tautócrona que trata de uma curva onde não importa onde uma partícula seja colocada, ela leva o mesmo tempo para deslizar até o fundo.

Obtenha as equações paramétricas da ciclóide passando pela origem \(O\) do sistema de coordenadas e obtida a partir de um círculo de raio \(r\) “rolando” sobre o eixo \(x\).

Solução

Seja \(t\) o ângulo, em radianos, girado pelo círculo enquanto ele rola para a direita. Como não há deslizamento, o deslocamento horizontal do centro é igual ao comprimento do arco que entrou em contato com o chão: \(rt\). O centro permanece à altura \(r\), de modo que sua posição é

\[ C(t)=(rt,r). \]

Para localizar o ponto marcado \(A\), falta determinar sua posição em relação ao centro. Inicialmente ele está na parte inferior do círculo, com deslocamento \((0,-r)\). Depois de uma rotação de \(t\) no sentido horário, esse deslocamento passa a ser

\[ \overrightarrow {C(t)A(t)}=(-r\operatorname {sen}t,-r\cos t). \]

Somando a posição do centro ao deslocamento relativo a ele, obtemos

\[ A(t)=(rt,r)+(-r\operatorname {sen}t,-r\cos t). \]

Portanto, as coordenadas procuradas são

\[ \left\{ \begin{array}{cc} x & = rt - r \operatorname {sen}t\\ y & = r - r \cos t \end{array} \right. \]

Logo a parametrização é \(X(t) = \left(r(t -\operatorname {sen}t), r(1 - \cos t)\right)\). Podemos conferir a construção em dois instantes: para \(t=0\), o ponto está na origem; para \(t=2\pi \), ele volta a tocar o chão, agora em \((2\pi r,0)\). Nesse intervalo o centro percorreu exatamente uma circunferência de comprimento \(2\pi r\).

9.2 Curvas em Coordenadas Polares

Mantemos a convenção introduzida no Capítulo 3: \(r\geq 0\) e o ângulo é entendido módulo \(2\pi \); quando for necessário recuperar um ângulo principal a partir de \((x,y)\), usamos \(\operatorname {atan2}(y,x)\).

Coordenadas polares são muito úteis quando trabalhamos com curvas com algum tipo de simetria em relação à origem do sistema de coordenadas. Observe isso nos próximos exemplos.

Figura 9.8 Círculo de raio 2

Figura 9.8 Círculo de raio \(2\)

Exemplo 9.13
Um círculo de raio \(2\) pode ser descrito cartesianamente por
\[ x^2+y^2=4 \]
e, em coordenadas polares, simplesmente por
\[ r=2. \]
Como curva parametrizada, uma escolha natural é
\[ X(t)=(2\cos t,2\operatorname {sen}t),\qquad 0\le t\le 2\pi . \]
Nas coordenadas polares correspondentes, essa mesma parametrização é
\[ (r(t),\theta (t))=(2,t), \]
com o ângulo entendido módulo \(2\pi \). Não precisamos calcular \(\theta \) por \(\arctan (y/x)\); essa expressão isolada não distingue corretamente os quadrantes.

Figura 9.9 Espiral

Figura 9.9 Espiral

Exemplo 9.14

Considere a espiral de Arquimedes

\[ r=2\theta ,\qquad \theta \ge 0. \]

Usando o próprio ângulo como parâmetro,

\[ r(t)=2t, \qquad \theta (t)=t, \qquad t\ge 0. \]

Passando para coordenadas cartesianas,

\[ \boxed {X(t)=(2t\cos t,2t\operatorname {sen}t),\qquad t\ge 0.} \]

Este é um bom exemplo de por que parametrizações são úteis. O ponto \((x,y)\) determina seu ângulo polar apenas módulo \(2\pi \), enquanto a espiral precisa lembrar quantas voltas já foram percorridas para determinar o raio. Uma tentativa de escrever a curva usando apenas \(\arctan (y/x)\) perde essa informação de enrolamento. A parametrização conserva naturalmente tanto a posição quanto o número de voltas.

Mais alguns exemplos de curvas classicamente representadas em coordenadas polares estão descritos abaixo. Tente verificar e comparar nesses exemplos as equações nos sistemas cartesiano e polar.

Figura 9.10 Cardioide

Figura 9.10 Cardioide

Exemplo 9.15

O cardioide de equação polar

\[ r=a(1+\cos \theta ),\qquad a\gt 0, \]

pode ser parametrizado diretamente pelo próprio ângulo polar:

\[ X(\theta )=\bigl(a(1+\cos \theta )\cos \theta ,\; a(1+\cos \theta )\operatorname {sen}\theta \bigr), \qquad 0\le \theta \le 2\pi . \]

Para eliminar \(\theta \), multiplicamos a equação polar por \(r\) e usamos \(r\cos \theta =x\):

\[ r^2=ar+ax, \qquad r^2-ax=ar. \]

Como \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), elevando a última igualdade ao quadrado obtemos

\[ (x^2+y^2-ax)^2=a^2(x^2+y^2). \]

Convém conferir que essa operação não acrescentou pontos. Se \(r\gt 0\), a alternativa \(r^2-ax=-ar\) daria \(r^2=a(x-r)\leq 0\), pois \(x\leq r\), o que é impossível. Assim, todo ponto não nulo da equação cartesiana satisfaz a relação polar original; a origem também pertence ao cardioide.

Também existe uma parametrização racional. Fazendo

\[ u=\tan \frac{\theta }{2}, \]

usamos

\[ \cos \theta =\frac{1-u^2}{1+u^2}, \qquad \operatorname {sen}\theta =\frac{2u}{1+u^2} \]

e obtemos

\[ X(u)=\left( 2a\frac{1-u^2}{(1+u^2)^2}, 4a\frac{u}{(1+u^2)^2} \right). \]

Aqui \(u\) é um novo parâmetro: ele não deve ser confundido com o ângulo polar \(\theta \). A substituição não está definida em \(\theta =\pi \), que corresponde à origem. Por isso, com \(u\in \mathbb {R}\) a fórmula racional percorre o cardioide exceto a origem, que deve ser acrescentada para recuperar o traço completo.

Figura 9.11 Elipse de eixos 10 e 6

Figura 9.11 Elipse de eixos \(10\) e \(6\)

Exemplo 9.16

A elipse ao lado com eixo maior \(10\), eixo menor \(6\) e com um dos focos na origem pode ser representada em coordenadas polares pela equação:

\[ r=\dfrac {9}{5-4\cos t}. \]

Num sistema cartesiano tal curva seria descrita por:

\[ \dfrac {(x-4)^2}{25} + \dfrac {y^2}{9} = 1. \]

9.3 Coordenadas Esféricas e Cilindrı̀cas

Figura 9.12 Latitude e Longitude

Figura 9.12 Latitude e Longitude

Durante o século XV, quando a Europa vivenciava o período das grandes navegações, os navegadores, que sabiam caminhar sobre um globo aproximadamente esférico, começaram a usar um sistema de localização na Terra formado pela latitude e longitude de um ponto.

Nesse sistema a Terra fica dividida por paralelos, círculos centrados no eixo de rotação da Terra e localizados em planos perpendiculares a este mesmo eixo, e meridianos, círculos com centro localizado no centro do globo terrestre passando pelos pólos norte e sul (determinados pela intersecção do eixo de rotação do planeta com o globo).

Como podemos observar na Figura 9.12, podemos localizar um ponto na Terra pela sua latitude, que mede o ângulo (entre \(-90^o\) e \(90^o\)) com vértice no centro da Terra formado entre o ponto e a linha do Equador, e pela sua longitude, que mede o ângulo (entre \(-180^o\) e \(180^o\)) entre o ponto e o meridiano de Greenwich, tido desde 1884 como o meridiano de referência para navegação.

Figura 9.13 As duas projeções que definem as coordenadas esféricas (r,φ ,θ ).

Figura 9.13 As duas projeções que definem as coordenadas esféricas \((r,\phi ,\theta )\).

O sistema de coordenadas esférico, de grande utilidade em problemas com simetrias em relação a origem do espaço, é semelhante ao sistema de latitudes e longitudes usado em navegação. A única diferença é que para localizar um ponto qualquer do espaço é necessária, além dos dois ângulos, a distância do ponto a origem do espaço. Observe que para localizar uma estrela qualquer no universo poderíamos dar a distância da mesma à Terra e a latitude e longitude do ponto onde aquela estrela estará exatamente em cima de nós.

Para definir um sistema de coordenadas esférico precisamos escolher um ponto de origem \(O\) e duas direções ortogonais, conhecidas como zênite e referência do azimute.

No caso do exemplo descrito acima o zênite é dado pela direção do eixo de rotação da Terra e a referência de azimute é dada pela reta que liga o centro da Terra ao meridiano de Greenwich.

As coordenadas esféricas \((r,\phi ,\theta )\) de um ponto \(P\) são então dadas por:

  • raio ou distância radial \(r\) que é a distância (Euclideana) entre \(O\) e \(P\);

  • ângulo polar ou colatitude \(\phi \) dado pelo ângulo (entre \(0\) e \(\pi \)) entre o zênite e a direção do segmento \(\overline{OP}\);

  • azimute ou longitude \(\theta \), ângulo (entre \(0\) e \(2\pi \)) entre a referência de azimute e a projeção ortogonal de \(\overrightarrow {OP}\) sobre um plano ortogonal ao zênite (plano de referência).

Notamos que no exemplo dado pelos paralelos e meridianos da Terra, o ângulo de longitude é igual ao azimute \(\theta \), mas o ângulo dado pela latitude de um dado ponto é o ângulo complementar ao ângulo polar \(\phi \).

Note que no sistema de coordenadas esférico os pontos localizados sobre o zênite podem ser representados por mais de uma tripla \((r,\phi , \theta )\). De fato para tais pontos (com \(\phi =0\) ou \(\phi =\pi \)) o ângulo \(\theta \) não importa.

Para obter as relações com as coordenadas cartesianas, projetemos \(P\) ortogonalmente no plano \(xy\), obtendo \(Q=(x,y,0)\), como na Figura 9.13. O segmento \(OP\) tem comprimento \(r\) e forma o ângulo \(\phi \) com o semieixo positivo \(z\). Suas componentes vertical e horizontal são, portanto,

\[ z=r\cos \phi , \qquad \rho =OQ=r\operatorname {sen}\phi . \]

A primeira componente pode ser negativa, enquanto \(\rho \geq 0\) porque \(0\leq \phi \leq \pi \). No plano \(xy\), o ponto \(Q\) tem coordenadas polares \((\rho ,\theta )\), logo

\[ x=\rho \cos \theta , \qquad y=\rho \operatorname {sen}\theta . \]

Substituindo \(\rho =r\operatorname {sen}\phi \), chegamos às três relações

\[ \begin{array}{l} x = r \operatorname {sen}\phi \cos \theta \\ y = r \operatorname {sen}\phi \operatorname {sen}\theta \\ z = r \cos \phi \end{array} \]

Para fazer o caminho inverso, calculamos primeiro a distância à origem. Se \(P\neq O\),

\[ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \]
\[ \phi =\operatorname {atan2}\! \left(\sqrt{x^2+y^2},z\right), \qquad \theta =\operatorname {atan2}(y,x)\pmod{2\pi }. \]

A função \(\operatorname {atan2}(b,a)\) devolve o ângulo de um vetor de componentes \((a,b)\), levando em conta os sinais das duas componentes. Assim, a primeira expressão determina \(\phi \) a partir das componentes \((z,\rho )\) e a segunda determina \(\theta \) a partir de \((x,y)\). Uma única expressão \(\arctan (y/x)\) não distingue corretamente os quadrantes e nem está definida quando \(x=0\). Nos polos (\(\phi =0\) ou \(\phi =\pi \)), temos \(\rho =0\) e o azimute \(\theta \) é indeterminado; na origem, ambos os ângulos são indeterminados.

Aprofundamento. O exemplo a seguir usa derivadas, exponenciais e funções hiperbólicas.

Figura 9.14 Projeção ortogonal de uma loxodromia na esfera unitária.

Figura 9.14 Projeção ortogonal de uma loxodromia na esfera unitária.

Exemplo 9.17 (Curva loxodrómica)
Uma loxodromia cruza os meridianos de uma esfera sempre com o mesmo ângulo. A Figura 9.14 mostra uma projeção desse tipo de percurso. Vamos obter uma parametrização na esfera unitária. A dedução usa derivadas e funções exponenciais; seu interesse aqui é mostrar como a escolha de coordenadas acompanha uma propriedade geométrica.

Solução

Escreva \(\lambda =\pi /2-\phi \) para a latitude. Num paralelo de latitude \(\lambda \), o raio é \(\cos \lambda \); uma pequena variação de longitude \(d\theta \) corresponde, portanto, a um deslocamento de comprimento \(\cos \lambda \, |d\theta |\). Ao longo de um meridiano, uma variação \(d\lambda \) corresponde a um deslocamento de comprimento \(|d\lambda |\), pois a esfera tem raio \(1\).

Tomando a longitude desenrolada como parâmetro, \(\theta =t\), a condição de ângulo constante significa que a razão entre as componentes meridiana e paralela do vetor tangente é constante. Para uma constante real \(m\), isso se escreve

\[ \frac{\lambda '(t)}{\cos \lambda (t)}=m. \]

O caso de um meridiano, cuja longitude é constante, deve ser parametrizado separadamente. Para resolver a equação acima, fazemos a mudança de variável

\[ V=\log \tan \left(\frac\pi 4+\frac\lambda 2\right), \qquad -\frac\pi 2\lt \lambda \lt \frac\pi 2. \]

Para conferir a derivada, ponha \(q=\pi /4+\lambda /2\). Então

\[ \frac{dV}{d\lambda } =\frac{\sec ^2q}{2\tan q} =\frac1{2\operatorname {sen}q\cos q} =\frac1{\cos \lambda }, \]

pois \(2\operatorname {sen}q\cos q=\operatorname {sen}(2q)=\cos \lambda \). A regra da cadeia dá então \(V'(t)=m\). Se a curva cruza o Equador em \(t=t_0\), nesse instante \(\lambda =V=0\), de modo que

\[ V(t)=m(t-t_0). \]

As coordenadas \(U=\theta \) e \(V\) são as da projeção de Mercator. A loxodromia aparece nessa projeção como a reta

\[ \begin{array}{l} U(t) = t\\ V(t) = m(t-t_0). \end{array} \]

Para voltar à esfera, escreva \(s=m(t-t_0)\). Da definição de \(V\) temos \(\tan (\pi /4+\lambda /2)=e^s\), o que fornece

\[ \operatorname {sen}\lambda =\frac{e^{2s}-1}{e^{2s}+1}=\tanh s, \qquad \cos \lambda =\frac{2e^s}{e^{2s}+1}=\frac1{\cosh s}. \]

Aqui usamos as funções hiperbólicas \(\cosh s=(e^s+e^{-s})/2\) e \(\tanh s=(e^s-e^{-s})/(e^s+e^{-s})\). Como \(\lambda \) está entre \(-\pi /2\) e \(\pi /2\), segue que \(\lambda =\arcsin (\tanh s)\). Assim, em coordenadas esféricas,

\[ \begin{array}{l} r(t) = 1\\ \theta (t) = t\\ \phi (t)=\dfrac {\pi }{2}-\arcsin \! \bigl(\tanh (m(t-t_0))\bigr) \end{array} \]

Substituindo essas expressões nas relações cartesianas, com \(r=1\), obtemos

\[ \begin{array}{l} x(t)=\dfrac {\cos t}{\cosh (m(t-t_0))}\\ y(t)=\dfrac {\operatorname {sen}t}{\cosh (m(t-t_0))}\\ z(t) = \tanh (m(t-t_0)) \end{array} \]

Podemos conferir que a curva permanece na esfera: \(x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=1/\cosh ^2s+\tanh ^2s=1\). Nas coordenadas esféricas, essa informação já estava contida na igualdade \(r(t)=1\); a dedução explica também de onde vem a lei de variação da latitude.

Figura 9.15 As duas informações geométricas nas coordenadas cilíndricas (r,θ ,z).

Figura 9.15 As duas informações geométricas nas coordenadas cilíndricas \((r,\theta ,z)\).

O sistema de coordenadas cilíndrico é, simplificadamente, o sistema de coordenadas polar do plano euclideano complementado com uma terceira coordenada para descrever a altura \(z\) do ponto em relação ao plano \(Oxy\). Para definir as coordenadas cilíndricas de um ponto é necessária a escolha de um ponto de origem \(O\), eixo \(Oz\) para marcar a altura e uma referência de azimute no plano perpendicular a \(Oz\) pela origem (plano de referência). As coordenadas \((r,\theta , z)\) do ponto \(P\) são definidas por:

  • distância radial dada pela distância euclideana de \(P\) ao eixo \(Oz\);

  • azimute \(\theta \), ângulo entre a referência de azimute e a projeção de \(\overrightarrow {OP}\) sobre o plano de referência;

  • altura \(z\), a coordenada orientada ao longo do eixo \(Oz\); ela é positiva de um lado do plano de referência e negativa do outro.

Para deduzir as relações cartesianas, projetamos novamente \(P\) no plano \(xy\). A projeção \(Q=(x,y,0)\) está a uma distância \(r\) da origem desse plano e tem ângulo polar \(\theta \), enquanto a altura do ponto permanece \(z\). Aplicando as relações polares apenas à projeção, obtemos

\[ \begin{array}{l} x = r \cos \theta \\ y = r \operatorname {sen}\theta \\ z = z \end{array} \]

e, inversamente:

\[ \begin{array}{l} r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta =\operatorname {atan2}(y,x)\pmod{2\pi }\\ z = z \end{array} \]

Voltemos ao Exemplo 9.6 que descrevia uma hélice que em coordenadas cartesianas possuía parametrização \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t, t/10)\). Em coordenadas cilíndricas as equações paramétricas se simplificariam a:

\[ X(t) = (1, t, t/10). \]

O primeiro valor fixa a distância ao eixo em \(1\), o segundo faz o ponto girar e o terceiro o faz subir. Em uma volta, \(t\) aumenta em \(2\pi \) e a altura aumenta em \(2\pi /10\). Essa leitura em coordenadas cilíndricas recupera diretamente a geometria da hélice.

9.4 Comprimento de uma Curva

Para medir um percurso curvo, podemos aproximá-lo por pequenos segmentos de reta e somar seus comprimentos. Essa construção liga a geometria da curva à fórmula integral do comprimento. Nesta seção usaremos noções de derivada e integral de uma variável.

Considere uma parametrização \(X(u)=(x(u),y(u),z(u))\), com derivada contínua no intervalo \([t_0,t]\), onde \(t\geq t_0\). Se o parâmetro representa tempo, \(X'(u)\) é o vetor velocidade e sua norma é a rapidez. Para um intervalo pequeno, o deslocamento é aproximadamente \(X'(u)\Delta u\); seu comprimento é, portanto, aproximadamente \(\lVert X'(u)\rVert \Delta u\). Vamos acompanhar como a soma desses pequenos comprimentos conduz à integral.

Figura 9.16 Comprimento de uma curva

Figura 9.16 Comprimento de uma curva

Dividamos o intervalo \([t_0,t]\) em partes de modo que \(t_0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \dots \lt t_{n+1} = t\). O comprimento do segmento de reta que liga \(X(t_i)\) à \(X(t_{i+1})\), obtido pelo Teorema de Pitágoras, é dado por:

\[ \Delta s_i = \sqrt{(\Delta x_i)^2 + (\Delta y_i)^2 + (\Delta z_i)^2}, \]

onde \(\Delta x_i = (x(t_{i+1}) - x(t_i))\), \(\Delta y_i = (y(t_{i+1}) - y(t_i))\) e \(\Delta z_i = (z(t_{i+1}) - z(t_i))\). Usaremos aqui apenas uma notação compacta para somas: se \(a_0,\ldots ,a_n\) são números,

\[ \sum _{i=0}^{n} a_i=a_0+a_1+\cdots +a_n. \]

O símbolo \(\sum \) indica, portanto, que somamos os termos enquanto o índice \(i\) percorre os valores indicados. Assim, o comprimento \(\Delta s\) da curva parametrizada \(X(t)\) de \(t_0\) a \(t\) é dado aproximadamente por

\[ \Delta s\approx \sum _{i=0}^{n}\Delta s_i. \]

Ver Figura 9.16.

Mas, se \(\Delta t_i=t_{i+1}-t_i\) temos:

\begin{multline*} \Delta s_i = \sqrt{\left(\left(\dfrac {\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2 + \left(\dfrac {\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2 + \left(\dfrac {\Delta z_i}{\Delta t_i}\right)^2\right) (\Delta t_i)^2} =\\ = \left(\sqrt{(v^x_i)^2 + (v^y_i)^2 + (v^z_i)^2}\right)\Delta t_i, \end{multline*}

onde \(v^x_i = \left(\dfrac {\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)\), \(v^y_i = \left(\dfrac {\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)\) e \(v^z_i = \left(\dfrac {\Delta z_i}{\Delta t_i}\right)\). Quando os intervalos da partição se tornam pequenos, os quocientes de diferenças se aproximam das componentes de \(X'\). Como a derivada é contínua, a soma dos comprimentos dos segmentos converge para a integral da rapidez. Assim, a expressão

\[ \Delta s \approx \sum _{i=0}^n \left(\sqrt{(v^x_i)^2 + (v^y_i)^2 + (v^z_i)^2}\right)\Delta t_i \]

conduz à fórmula

\[ s(t)=\int _{t_0}^{t}\sqrt{(x'(u))^2+(y'(u))^2+(z'(u))^2}\, du =\int _{t_0}^{t}\lVert X'(u)\rVert \, du. \]

A variável \(u\) dentro da integral é muda; usar uma letra diferente evita confundi-la com o limite superior \(t\). A fórmula mede o comprimento percorrido: se a parametrização dá duas voltas no mesmo círculo, ambas são contadas. Para medir apenas uma volta, devemos escolher o intervalo correspondente.

Exemplo 9.18
Qual o comprimento do círculo de raio \(1\)?

Solução
O círculo de raio \(1\) pode ser representado como uma curva parametrizada por \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t)\). Para obtermos o comprimento do círculo integramos a norma do vetor velocidade \(X'(t) = (-\operatorname {sen}t, \cos t)\):
\[ s(2\pi ) = \int _0^{2\pi } \sqrt{\operatorname {sen}^2 t + \cos ^2 t} dt = \int _0^{2\pi } 1 dt = 2\pi . \]

Exemplo 9.19
Qual o comprimento da hélice dada por \(X(t) = (\cos t, \operatorname {sen}t, t/10)\) entre os instantes \(0\) e \(4\pi \)?

Solução

O vetor velocidade da curva é dado por \(X'(t) = (-\operatorname {sen}t, \cos t, 1/10)\). Logo:

\[ s(4\pi ) = \int _0^{4\pi } \sqrt{\operatorname {sen}^2 t + \cos ^2 t + \left(\dfrac {1}{10}\right)^2}dt = \int _0^{4\pi } \sqrt{\dfrac {101}{100}}dt = \dfrac {4 \pi \sqrt{101}}{10} \]

9.5 Regiões planas limitadas por curvas

Aprofundamento. Esta seção antecipa a notação de integração apenas para organizar geometricamente regiões do plano.

A descrição de regiões planas aparece em problemas de cálculo de áreas e de determinação da massa ou do centro de massa de uma placa. Esses cálculos utilizam técnicas de integração, mas sua formulação exige primeiro identificar as fronteiras da região e expressar as condições satisfeitas por seus pontos. Nesta seção, estudaremos essa etapa geométrica: descrever regiões limitadas por curvas mediante intervalos e desigualdades nas coordenadas. As aplicações à integração serão apenas indicadas, sem desenvolver sua teoria.

Em coordenadas cartesianas, podemos descrever uma região por suas interseções com retas verticais, de equação \(x= k\), onde \(k\) é uma constante real. Variando essa constante, determinamos os intervalos percorridos pela outra coordenada.

Figura 9.17 Região limitada por 3 retas

Figura 9.17 Região limitada por \(3\) retas

Exemplo 9.20

Considere o triângulo da Figura 9.17, com vértices

\[ O=(0,0),\qquad A=(2,0),\qquad B=(1,2). \]

Para descrevê-lo por cortes verticais, precisamos observar que a fronteira superior muda em \(x=1\). A reta \(OB\) tem equação \(y=2x\), enquanto a reta \(AB\) tem equação \(y=-2x+4\).

Assim,

\[ 0\le x\le 1\quad \Longrightarrow \quad 0\le y\le 2x, \]

e

\[ 1\le x\le 2\quad \Longrightarrow \quad 0\le y\le -2x+4. \]

Portanto a região é descrita simbolicamente por

\[ \int _0^1\int _0^{2x}dy\, dx + \int _1^2\int _0^{-2x+4}dy\, dx. \]

A mudança de fronteira exige dois pares de limites para descrever a região. Essa divisão deve ser estabelecida antes de qualquer cálculo de área.

Figura 9.18 Região limitada por 3 retas

Figura 9.18 Região limitada por \(3\) retas

Exemplo 9.21

Considere agora o triângulo \(\triangle OAB\) limitado pelos pontos \(O=(0,0)\), \(A=(2,4)\) e \(B=(4,2)\) (Figura 9.18). Nesse caso, \(x\) deve variar no intervalo \([0,4]\) para cobrir todo o triângulo. No entanto, quando \(x\) pertence ao intervalo \([0,2]\) a coordenada \(y\) fica limitada pelas retas \(\overleftrightarrow {OB}\) e \(\overleftrightarrow {OA}\), e quando \(x\) está no intervalo \([2,4]\) a coordenada \(y\) fica limitada por \(\overleftrightarrow {OB}\) e \(\overleftrightarrow {AB}\). Assim sendo, para simplificar a descrição da região “escaneada” por retas verticais, descrevemos a área do triângulo \(\triangle OAB\) como a soma dos triângulos \(\triangle OAE\) e \(\triangle EAB\).

Descrevendo o triângulo \(\triangle OAE\) temos então que, para \(x\) entre \(0\) e \(2\), os pontos do triângulo ficam entre as retas \(\overleftrightarrow {OB}\) e \(\overleftrightarrow {OA}\), de equações \(y=\dfrac {1}{2}x\) e \(y = 2x\), respectivamente. Logo, para \(x\in [0,2]\) devemos ter \(\dfrac {1}{2}x\leq y\leq 2x\), ou seja, \(y\in [\dfrac {1}{2}x,2x]\). Simbolicamente:

\[ A_{\triangle OAE} = \int _{x=0}^{x=2}\int _{y=\dfrac {1}{2}x}^{y=2x}dydx. \]

Para o triângulo \(\triangle EAB\) teríamos \(x\) variando entre \(2\) e \(4\). Nesse caso, os pontos do triângulo ficam entre as retas \(\overleftrightarrow {OB}\) e \(\overleftrightarrow {AB}\), de equações \(y=\dfrac {1}{2}x\) e \(y = -x + 6\), respectivamente. Logo, para \(x\in [2,4]\) devemos ter \(\dfrac {1}{2}x\leq y\leq -x + 6\), ou seja, \(y\in [\dfrac {1}{2}x,-x+6]\). O que simbolicamente ficaria:

\[ A_{\triangle EAB} = \int _{x=2}^{x=4}\int _{y=\dfrac {1}{2}x}^{y=-x + 6}dydx. \]

Finalmente, a área do triângulo \(\triangle OAB\) seria representada por:

\begin{multline*} A_{\triangle OAB} = A_{\triangle OAE} + A_{\triangle EAB} =\\ = \int _{x=0}^{x=2}\int _{y=\dfrac {1}{2}x}^{y=2x}dydx + \int _{x=2}^{x=4}\int _{y=\dfrac {1}{2}x}^{y=-x + 6}dydx. \end{multline*}

Figura 9.19 Setor circular

Figura 9.19 Setor circular

Exemplo 9.22
Considere agora a região do plano acima do eixo \(Ox\) e limitada pelo círculo de equação \(x^2 + y^2 = 4\) (Figura 9.19). Podemos descrevê-la variando \(x\) no intervalo \([-2,2]\) e, para cada \(x\) fixado, fazer \(y\) percorrer o intervalo de \(0\) (reta \(y=0\)) até \(y = \sqrt{4-x^2}\) (parte da curva \(x^2 + y^2 = 4\) sobre o eixo \(Ox\)). Desse modo, a área seria simbolicamente indicada por:
\[ A_{AOB} = \int _{x=-2}^{x=2}\int _{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx. \]

Figura 9.20 Meio anel

Figura 9.20 Meio anel

Exemplo 9.23
Suponha agora que queiramos descrever a região do plano acima do eixo \(Ox\) e limitada pelos círculos centrados em \(0=(0,0)\) e de raios \(1\) e \(2\) (Figura 9.20). Novamente, podemos descrevê-la variando \(x\) no intervalo \([-2,2]\). Mas agora, para \(x\in [-2,-1]\) e \(x\in [1,2]\), \(y\) fica entre a reta \(y=0\) e a curva \(y = \sqrt{4-x^2}\) e, para \(x\in [-1,1]\), \(y\) está limitado pelas curvas \(y = \sqrt{1-x^2}\) e \(y = \sqrt{4-x^2}\). Desse modo, a área seria simbolicamente indicada por:
\[ A_{CGHA} = \int _{x=-2}^{x=-1}\int _{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx + \int _{x=-1}^{x=1}\int _{y=\sqrt{1-x^2}}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx+ \int _{x=1}^{x=2}\int _{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx. \]
Alternativamente, poderíamos descrever a mesma área subtraindo a área entre o eixo \(Ox\) e o círculo de raio \(1\) da área entre \(Ox\) e o círculo de raio \(2\), ou seja:
\[ A_{CGHA} = \int _{x=-2}^{x=2}\int _{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}}dydx - \int _{x=-1}^{x=1}\int _{y=0}^{y=\sqrt{1-x^2}}dydx. \]

Quando as regiões a serem descritas têm certa simetria circular como nos Exemplos 9.22 e 9.23, um modo interessante de descrever as áreas é através do uso de coordenadas polares. Podemos descrever uma dada região variando a coordenada \(\theta \) e olhando para a intersecção da região com a semi-reta de equação \(\theta = k\) (em coordenadas polares).

Assim a área do Exemplo 9.22 poderia ser representada variando \(\theta \) no intervalo \([0,\pi ]\) e, fazendo, para cada \(\theta \) fixado, \(r\) percorrer o intervalo \([0,2]\). Simbolicamente representaríamos isso por:

\[ A_{AOB} = \int _{\theta =0}^{\theta = \pi }\int _{r=0}^{r=2}rdrd\theta . \]

Observação 9.24

Em coordenadas cartesianas usualmente escrevemos \(dydx\) na descrição da área motivados pelo fato de que a área de um retângulo de base \(\Delta x\) e altura \(\Delta y\) é \(\Delta y \Delta x\).

Em coordenadas polares escrevemos \(rdrd\theta \) ao invés de apenas \(drd\theta \), pois a área de um setor circular definido por um dado \(\Delta \theta \) e com raio variando entre \(r\) e \(r+\Delta r\) é aproximadamente dada por \(r\Delta r\Delta \theta \) se \(\Delta r\) é pequeno.

Mais detalhes podem ser encontrados em referências clássicas de cálculo.

A região do Exemplo 9.23, por sua vez, poderia ser representada variando \(\theta \) no intervalo \([0,\pi ]\) e, fazendo, para cada \(\theta \) fixado, \(r\) percorrer o intervalo \([1,2]\). Simbolicamente representaríamos isso por:

\[ A_{AOB} = \int _{\theta =0}^{\theta = \pi }\int _{r=1}^{r=2}rdrd\theta . \]

Figura 9.21 Cardioide

Figura 9.21 Cardioide

Exemplo 9.25
Imagine que queiramos usar coordenadas polares para descrever a região do plano limitada pelo cardióide de equação \(r=1+\cos \theta \). Para isso, fazemos \(\theta \) variar no intervalo \([0,2\pi ]\) e, para cada \(\theta \) fixado, fazemos \(r\) variar entre \(0\) e \(1+\cos \theta \). Assim tal região seria descrita por:
\[ A = \int _{\theta =0}^{\theta = 2\pi }\int _{r=0}^{r=1+\cos \theta }rdrd\theta . \]

9.6 Exercícios

Os exercícios abaixo seguem o percurso do capítulo: traço e orientação, parametrizações, curvas polares, coordenadas cilíndricas e esféricas, comprimento e descrição de regiões por cortes.

Exercício 6.1
Considere as parametrizações
\[ X_1(t)=(\cos t,\operatorname {sen}t), \qquad X_2(t)=(\cos 2t,\operatorname {sen}2t), \qquad 0\le t\le 2\pi . \]
Compare os traços, o número de voltas e o sentido do percurso.
Ver solução

As duas têm como traço o círculo unitário. \(X_1\) percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário; \(X_2\) o percorre duas vezes no mesmo sentido. Portanto parametrizações diferentes podem ter a mesma imagem geométrica.

Exercício 6.2
Parametrize o segmento orientado que vai de
\[ A=(1,-1,2) \quad \text{a}\quad B=(3,2,0) \]
com \(0\le t\le 1\). Determine o vetor tangente e o comprimento do segmento.
Ver solução

Como \(B-A=(2,3,-2)\),

\[ X(t)=A+t(B-A)=(1+2t,-1+3t,2-2t). \]

Logo

\[ X'(t)=(2,3,-2) \]

e

\[ L=\int _0^1\lVert X'(t)\rVert \, dt =\sqrt{17}. \]
Exercício 6.3
Para cada parametrização, elimine o parâmetro, descreva o traço e determine onde ela é regular:

  1. \(X(t)=(t,t^2)\), \(t\in \mathbb {R}\);

  2. \(Y(t)=(t^2,t^3)\), \(t\in \mathbb {R}\).

Ver solução

  1. Como \(x=t\), temos \(y=x^2\). Além disso,

    \[ X'(t)=(1,2t)\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}, \]

    logo a parametrização é regular para todo \(t\).

  2. Temos \(x=t^2\ge 0\) e \(y=t^3\), portanto

    \[ y^2=x^3. \]

    O traço é a cúspide \(y^2=x^3\), \(x\ge 0\). Como

    \[ Y'(t)=(2t,3t^2), \]

    a parametrização não é regular apenas em \(t=0\).

Exercício 6.4
Seja
\[ X(t)=(\cos t,\operatorname {sen}t), \qquad 0\le t\le 2\pi , \]
e defina
\[ Y(s)=X(2\pi -s). \]
Mostre que as duas parametrizações têm o mesmo traço e explique o que muda no percurso.
Ver solução

Temos

\[ Y(s)=(\cos s,-\operatorname {sen}s), \]

portanto o traço continua sendo o círculo unitário. Além disso,

\[ Y'(s)=-X'(2\pi -s), \]

logo o sentido do percurso é invertido.

Exercício 6.5
Considere a hélice
\[ X(t)=(3\cos t,3\operatorname {sen}t,4t), \qquad 0\le t\le 2\pi . \]
Determine o vetor tangente, a rapidez e o comprimento do arco percorrido.
Ver solução
\[ X'(t)=(-3\operatorname {sen}t,3\cos t,4) \]

e

\[ \lVert X'(t)\rVert =\sqrt{9\operatorname {sen}^2t+9\cos ^2t+16}=5. \]

A rapidez é constante e

\[ \boxed {L=10\pi }. \]
Exercício 6.6
Um círculo de raio \(r\) rola sem deslizar sobre o eixo \(x\). Um ponto marcado na circunferência começa na origem. Usando como parâmetro o ângulo \(t\) girado pelo círculo, obtenha uma parametrização da ciclóide.
Ver solução

O centro do círculo desloca-se horizontalmente de uma distância \(rt\). Em relação ao centro, o ponto marcado tem deslocamento

\[ (-r\operatorname {sen}t,-r\cos t) \]

medido a partir da posição adequada. Assim

\[ \boxed {X(t)=\bigl(r(t-\operatorname {sen}t),\, r(1-\cos t)\bigr)}. \]
Exercício 6.7
A espiral de Arquimedes é dada em coordenadas polares por
\[ r=2\theta , \qquad \theta \ge 0. \]
Obtenha uma parametrização cartesiana usando o próprio ângulo como parâmetro. Quanto o raio aumenta após uma volta completa?
Ver solução

Tomando \(\theta =t\),

\[ \boxed {X(t)=(2t\cos t,2t\operatorname {sen}t)}, \qquad t\ge 0. \]

Após uma volta, \(t\) aumenta em \(2\pi \), e o raio aumenta em

\[ 2(2\pi )=\boxed {4\pi }. \]
Exercício 6.8
O cardioide
\[ r=a(1+\cos \theta ), \qquad a\gt 0, \]
pode ser parametrizado pelo ângulo polar. Escreva essa parametrização e elimine o parâmetro para obter uma equação cartesiana.
Ver solução

Uma parametrização é

\[ X(\theta )=\bigl(a(1+\cos \theta )\cos \theta , a(1+\cos \theta )\operatorname {sen}\theta \bigr). \]

Como \(r^2=x^2+y^2\) e \(r\cos \theta =x\),

\[ r^2=a r+a x, \]

portanto

\[ r^2-a x=a r. \]

Elevando ao quadrado,

\[ \boxed {(x^2+y^2-a x)^2=a^2(x^2+y^2)}. \]
Exercício 6.9
Use as convenções do capítulo para converter coordenadas:

  1. escreva \((1,1,\sqrt2)\) em coordenadas cilíndricas e esféricas principais;

  2. converta

    \[ (r,\phi ,\theta )=\left(4,\frac\pi 3,\frac\pi 6\right) \]

    de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas e cilíndricas.

Ver solução

  1. Em coordenadas cilíndricas,

    \[ (r,\theta ,z)=\left(\sqrt2,\frac\pi 4,\sqrt2\right). \]

    Como a distância à origem é \(2\) e \(\cos \phi =\sqrt2/2\),

    \[ (r,\phi ,\theta )=\left(2,\frac\pi 4,\frac\pi 4\right). \]
  2. \[ x=3,\qquad y=\sqrt3,\qquad z=2. \]

    Logo as coordenadas cilíndricas são

    \[ \left(2\sqrt3,\frac\pi 6,2\right). \]
Exercício 6.10
Uma curva tem coordenadas cilíndricas
\[ r=2, \qquad \theta =t, \qquad z=3t. \]
Escreva sua parametrização cartesiana, identifique a superfície cilíndrica que a contém e determine quanto ela sobe em uma volta completa.
Ver solução
\[ \boxed {X(t)=(2\cos t,2\operatorname {sen}t,3t)}. \]

A curva está contida no cilindro

\[ x^2+y^2=4. \]

Quando \(t\) aumenta de \(2\pi \), a coordenada \(z\) aumenta de

\[ \boxed {6\pi }. \]
Exercício 6.11
A loxodromia apresentada no capítulo possui parametrização cartesiana
\[ x(t)=\frac{\cos t}{\cosh (m(t-t_0))}, \quad y(t)=\frac{\operatorname {sen}t}{\cosh (m(t-t_0))}, \quad z(t)=\tanh (m(t-t_0)). \]
Verifique diretamente que seu traço está contido na esfera unitária.
Ver solução

Escrevendo \(u=m(t-t_0)\),

\[ x^2+y^2=\frac{1}{\cosh ^2u}. \]

Como

\[ 1-\tanh ^2u=\frac1{\cosh ^2u}, \]

segue que

\[ x^2+y^2+z^2=1. \]
Exercício 6.12
Descreva a região interior à elipse
\[ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1 \]
de duas maneiras:

  1. por cortes verticais, indicando o intervalo de \(x\) e os limites de \(y\);

  2. por cortes horizontais, indicando o intervalo de \(y\) e os limites de \(x\).

Ver solução
  1. \[ -3\le x\le 3, \qquad -2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}} \le y\le 2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}. \]
  2. \[ -2\le y\le 2, \qquad -3\sqrt{1-\frac{y^2}{4}} \le x\le 3\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}. \]
Exercício 6.13
Considere a parte, no primeiro quadrante, do anel centrado na origem com raio interno \(1\) e raio externo \(2\).

  1. descreva a região por desigualdades cartesianas;

  2. descreva-a em coordenadas polares.

Ver solução
  1. \[ x\ge 0,\qquad y\ge 0, \qquad 1\le x^2+y^2\le 4. \]
  2. \[ \boxed {1\le r\le 2, \qquad 0\le \theta \le \frac\pi 2}. \]
Exercício 6.14
Considere o triângulo de vértices
\[ O=(0,0),\qquad A=(2,4),\qquad B=(4,2). \]
Descreva-o por cortes verticais, sem usar integrais. Indique por que é necessário separar a descrição em dois intervalos de \(x\).
Ver solução

As retas dos lados são

\[ OA:y=2x, \qquad OB:y=\frac{x}{2}, \qquad AB:y=-x+6. \]

Assim,

\[ 0\le x\le 2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x}{2}\le y\le 2x, \]

e

\[ 2\le x\le 4 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x}{2}\le y\le -x+6. \]

A separação é necessária porque a fronteira superior muda em \(x=2\).