Capítulo 8

Cônicas

8.1 Introdução

As curvas cônicas ou seções cônicas são as curvas obtidas pela interseção de um cone com planos que não contenham o vértice desse cone.

Existem essencialmente três tipos de cônicas que podem ser obtidas a partir de um cone cuja reta geratriz faz ângulo \(\alpha \) com o eixo desse cone:

parábola: obtida pela interseção do cone com um plano que forma ângulo \(\alpha \) com o eixo do cone;
elipse: obtida pela interseção do cone com um plano que forma um ângulo \(\theta \gt \alpha \) com o eixo do cone;
hipérbole: obtida pela interseção do cone com um plano que forma um ângulo \(\theta \lt \alpha \) com o eixo do cone.

Pode-se mostrar que o lugar geométrico de tais curvas num plano pode ser caracterizado por relações envolvendo a distância de seus pontos a seus focos e retas diretrizes como descrito a seguir (ver Seção 8.6). Assim, definimos:

Definição 8.1

Uma elipse \(\mathcal{E}\) de focos \(F_1\) e \(F_2\) de eixo maior medindo \(2a\gt \lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert \) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos \(F_1\) e \(F_2\) é igual a \(2a\). Ou seja, dados \(F_1\) e \(F_2\), com \(\lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert = 2c\), e um número \(a \gt c\), dizemos que \(P\) é um ponto da elipse \(\mathcal{E}\) se somente se:

\begin{equation} \label{eq:elipse} \lVert \overrightarrow {F_1P}\rVert + \lVert \overrightarrow {F_2P}\rVert =2a. \tag{8.1} \end{equation}

Definição 8.2

Uma hipérbole \(\mathcal{H}\) de focos \(F_1\) e \(F_2\) de eixo transverso medindo \(2a\lt \lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert \) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos \(F_1\) e \(F_2\) é igual a \(2a\). Ou seja, dados \(F_1\) e \(F_2\), com \(\lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert = 2c\), e um número \(a \lt c\), dizemos que \(P\) é um ponto da hipérbole \(\mathcal{H}\) se somente se:

\begin{equation} \label{eq:hiperbole} \left\lvert \lVert \overrightarrow {F_1P}\rVert - \lVert \overrightarrow {F_2P}\rVert \right\rvert =2a. \tag{8.2} \end{equation}

Definição 8.3

Uma parábola \(\mathcal{P}\) de foco \(F\) e reta diretriz \(d\) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujas distâncias ao ponto \(F\) e a reta \(d\) são iguais. Ou seja, dados \(F\) e \(d\), dizemos que \(P\) é um ponto da parábola \(\mathcal{P}\) se somente se:

\begin{equation} \label{eq:parabola} \lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d). \tag{8.3} \end{equation}

8.2 Elipse

Conforme descrito na Definição 8.1, uma elipse \(\mathcal{E}\) é o lugar geométrico formado por pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, \(F_1\) e \(F_2\), é constante.

Nesta seção estudaremos a forma canônica da elipse, que corresponde à escolha de eixos coordenados alinhados com os eixos da elipse e de origem em seu centro. Introduziremos primeiro a terminologia necessária a essa descrição.

8.2.1 Terminologia

Os pontos \(F_1\) e \(F_2\) descritos na Definição 8.1 são denominados focos da elipse. O segmento \(\overline{F_1F_2}\) de comprimento \(2c\) é o segmento focal da elipse e \(2c\) é a distância focal da elipse.
A reta \(r\) contendo \(F_1\) e \(F_2\) é denominada reta focal da elipse.
A interseção de \(\mathcal{E}\) com \(r\) consiste de dois pontos \(A_1\) e \(A_2\) que são os vértices da elipse sobre a reta focal. O segmento \(\overline{A_1A_2}\) de comprimento \(2a\) é o chamado eixo focal da elipse (ou eixo maior da elipse).
O ponto médio \(O\in r\) do segmento \(\overline{F_1F_2}\) é o centro da elipse;
A reta \(s\) perpendicular a \(r\) por \(O\) é a reta não focal da elipse.
A interseção de \(\mathcal{E}\) com \(s\) consiste de dois pontos \(B_1\) e \(B_2\) que são os vértices da elipse sobre a reta não focal. O segmento \(\overline{B_1B_2}\) é o chamado eixo não focal da elipse (ou eixo menor da elipse).
Qualquer segmento cujos extremos estão sobre \(\mathcal{E}\) é denominado corda da elipse;
Chamamos de amplitude focal o comprimento de uma corda que contenha um dos focos da elipse e que seja perpendicular ao eixo focal desta. Notamos que existem duas dessas cordas, usualmente denominadas individualmente por latus rectum.
A menor região retangular que contém a elipse é chamada retângulo fundamental da elipse.
A menor coroa circular que contém a elipse é denominada coroa fundamental da elipse.

8.2.2 Equação da Elipse

Os dois exemplos a seguir mostram como a escolha das coordenadas influencia a equação da elipse.

Exemplo 8.4

Usando a mesma notação descrita na Subseção 8.2.1, consideremos num sistema de coordenadas cartesiano uma elipse de focos \(F_1 = (0,0)\) e \(F_2 = (2,1)\) e eixo focal medindo \(2a=4\).

Tomando \(P=(x,y)\) a equação (8.1) fica:

\[ \sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2} = 4. \]

Para obter uma equação quadrática, eliminaremos as raízes quadradas por operações algébricas.

Isolando o termo \(\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}\) e elevando ao quadrado, obtemos:

\[ \left(x^2-4x+4\right) + \left(y^2-2y+1\right) = 16 - 8\sqrt{x^2+y^2} + \left(x^2 + y^2\right). \]

Simplificando e isolando \(8\sqrt{x^2+y^2}\):

\[ 4x + 2y + 11 = 8\sqrt{x^2+y^2}. \]

Finalmente, elevando ao quadrado e simplificando a expressão obtida, chegamos a:

\begin{equation} \label{eq:eliptorta} 48x^2 + 60y^2 -16xy - 88x - 44y - 121 = 0. \tag{8.4} \end{equation}

Essa equação quadrática é, então, a representação cartesiana procurada da elipse \(\mathcal{E}\).

Exemplo 8.5

Considere agora, num sistema de coordenadas cartesiano, \(F_1 = (-4,0)\) e \(F_2 = (4,0)\) de modo que o eixo focal \(r\) fica alinhado com o eixo \(Ox\) e o centro \(O\) da elipse fica sobre a origem do sistema de coordenadas. Estudemos uma elipse de eixo focal medindo \(2a = 10\). Seja \(P=(x,y)\) um ponto qualquer da elipse \(\mathcal{E}\).

Em coordenadas cartesianas, a equação (8.1) fica:

\[ \sqrt{\left( x+4\right) ^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}}=10. \]

Vamos simplificar essa equação eliminando as raízes quadradas por manipulações algébricas.

Inicialmente, isolemos a raiz \(\sqrt{\left( x+4\right) ^{2}+y^{2}}\) e elevemos a igualdade obtida ao quadrado:

\[ \left( x+4\right) ^{2}+y^{2} = 100 + \left[\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}\right] - 20\sqrt{\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}}. \]

Simplificando a equação e isolando o termo \(20\sqrt{\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}}\), obtemos:

\[ 100 - 16x = 20\sqrt{\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}}, \]

ou ainda:

\[ 5 - \dfrac {4}{5}x = \sqrt{\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}}, \]

Elevando esta igualdade ao quadrado chegamos a:

\[ 25 + \dfrac {16}{25}x^2 - 8x = x^2 + 16 -8x +y^2. \]

Portanto temos:

\[ \dfrac {9}{25}x^2 + y^2 = 9. \]

Finalmente, dividindo-a por \(9\), segue:

\begin{equation} \label{eq:elipalinhada} \dfrac {x^2}{25} + \dfrac {y^2}{9} = 1, \tag{8.5} \end{equation}

que é a forma canônica da elipse \(\mathcal{E}\).

Esses exemplos e os cálculos neles envolvidos sugerem que toda elipse pode ser representada no plano cartesiano por um equação quadrática da forma:

\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, \]

onde \(A, B, C, D, E\) e \(F\) são constantes (que dependem da elipse a ser representada). A afirmação pode ser demonstrada pelo mesmo procedimento de eliminação das raízes; deixamos essa verificação como exercício.

A Equação (8.5), obtida no segundo exemplo, tem menos termos que a Equação (8.4), obtida no primeiro. No Exemplo 8.5, os eixos coordenados estão alinhados com os eixos da elipse e a origem coincide com seu centro; essa escolha simplifica a expressão algébrica.

Encontremos, então, a equação da elipse \(\mathcal{E}\) num sistema de coordenadas adequado a \(\mathcal{E}\).

Assuma que os focos \(F_1\) e \(F_2\) possuem coordenadas \(\left( -c,0\right) \) e \(\left( c,0\right) \) respectivamente. Tomando \(P = \left( x,y\right)\). Da Equação (8.1) obtemos:

\[ \sqrt{\left( x-c\right) ^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left( x+c\right) ^{2}+y^{2}}=2a \]

e logo \(\sqrt{\left( x+c\right) ^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{\left( x-c\right) ^{2}+y^{2}}.\) Elevando ao quadrado ambos os lados dessa expressão obtemos:

\[ c^{2}+2cx+x^{2}+y^{2}=4a^{2}-2cx-4a\sqrt{c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}}+c^{2}+x^{2}+y^{2} \]

Simplificando temos que

\[ a\sqrt{c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}}=a^{2}-cx \]

Elevando novamente ao quadrando ambos os lados da equação obtemos

\begin{align*} a^{2}\left( c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}\right) & =\left( a^{2}-cx\right) ^{2}\\ a^{2}\left( c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}\right) & =a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ a^{2}\left( c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\right) & =0\\ -a^{4}+a^{2}c^{2}+a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-c^{2}x^{2} & =0\\ a^{2}\left( a^{2}-c^{2}\right) & =\left( a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2}y^{2} \end{align*}

Substituindo \(b^{2}=\) \(\left( a^{2}-c^{2}\right) \) temos

\[ a^{2}b^{2}=b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}. \]

Dividindo ambos os lados por \(a^{2}b^{2}\) chegamos finalmente a equação

\[ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1. \]

Chegamos assim à seguinte proposição:

Proposição 8.6

Uma elipse \(\mathcal{E}\) de focos \(F_1 = (c,0)\) e \(F_2 = (-c,0)\) e eixo maior medindo \(2a\) tem equação

\begin{equation} \label{eq:formacanelip} \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \tag{8.6} \end{equation}

onde \(b\) é tal que \(a^2 = b^2 + c^2\).

Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da elipse (ou equação reduzida da elipse).

Os números \(a,b\) e \(c\) são conhecidos como parâmetros geométricos da elipse.

Observação 8.7

Se na dedução da equação da elipse tivéssemos adotado o sistema de coordenadas com os focos sobre o eixo \(y\) e a origem entre os focos, isto é o sistema com o eixo maior \(\overline{A_1A_2}\) de comprimento \(2a\) sobre o eixo \(y\) e o eixo menor \(\overline{B_1B_2}\) de comprimento \(2b\) sobre o eixo \(x\), teríamos, no final, a equação:

\[ \dfrac {x^{2}}{b^{2}}+\dfrac {y^{2}}{a^{2}}=1. \]

Observação 8.8

Para uma elipse de equação:

\[ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \]

com \(a\gt b\), é fácil ver que:

O retângulo fundamental da elipse é a região retangular \(R = \{ (x,y)\in \mathbb {E}^2 ; x\in [-a,a], y \in [-b,b]\} \) .
A coroa fundamental da elipse é a região \(C = \{ (x,y)\in \mathbb {E}^2; b^2 \leq x^2 + y^2 \leq a^2\} \).

8.2.3 Esboço da Elipse

Considere uma elipse \(\mathcal{E}\) de equação:

\[ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \]

com \(a,b\gt 0\).

Observe inicialmente que, se um ponto \(P=(x,y)\) está na elipse \(\mathcal{E}\), também a ela pertencem os pontos \(P' = (-x,y)\), \(P' = (x,-y)\) e \(P' = (-x,-y)\). Desse modo, basta para esboçarmos \(\mathcal{E}\) basta estudarmos a elipse no primeiro quadrante do sistema de coordenadas e refletirmos tal esboço ao longo dos eixos \(Ox\) e \(Oy\) (que são eixos de simetria da elipse).

Além disso, isolando-se o parâmetro \(y\) da equação de \(\mathcal{E}\) obtemos:

\[ y = \pm \dfrac {b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}, \]

donde observamos que para esboçarmos \(\mathcal{E}\) no primeiro quadrante basta estudarmos o gráfico da função:

\begin{align*} f: [0,a] & \longrightarrow \mathbb {R}\\ x & \longmapsto \dfrac {b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}. \end{align*}

Observação 8.9

Note que para \(x\gt a\), temos \((a^2 - x^2) \lt 0\) e, portanto, \(f\) não fica bem definida.

Como \(f(0) = b\) e \(f(a) = 0\) temos que dois dos vértices da elipse têm coordenadas \((0,b)\) e \((a,0)\).

Além disso, temos que \(f\) é decrescente, já que, para \(x_0,x_1\in [0,a]\), temos:

\begin{align*} x_0 \lt x_1 & \Longleftrightarrow x_0^2 \lt x_1^2 \Longleftrightarrow a^2 - x_0^2 \gt a^2 -x_1^2\\ & \Longleftrightarrow \dfrac {b}{a} \sqrt{a^2 - x_0^2} \gt \dfrac {b}{a} \sqrt{a^2 - x_1^2} \Longleftrightarrow f(x_0) \gt f(x_1). \end{align*}

O uso de cálculo diferencial nos permite concluir que o gráfico de \(f\) é côncavo, isto é fixos dois pontos \(P_0\) e \(P_1\) quaisquer sobre o gráfico de \(f\), temos que o gráfico de \(f\) fica acima do segmento \(\overline{P_0P_1}\).

A concavidade do gráfico de \(f\) decorre do fato de que a segunda derivada de \(f\) é dada por:

\[ f''(x) = -\dfrac {ab}{(a^2-x^2)^{3/2}}, \]

que é negativa para todo \(x\in (-a,a)\).

Observação 8.10

Uma elipse pode ser facilmente desenhada com o auxílio de um barbante de comprimento \(2a\). Basta para isso fixarmos as extremidades do barbante nos focos e traçarmos uma curva com o lápis apoiado (porém não preso) no barbante de modo a manter este sempre esticado.

8.2.4 Exemplos

Exemplo 8.11

Determine a equação da elipse de focos \((3,0)\) e \((-3,0)\) e vértices \((0,4)\) e \((0,-4)\).

Solução

Primeiramente notamos que temos uma elipse de focos no eixo \(Ox\) (pois a segunda coordenada dos focos é \(0\)). Então, usando a mesma notação da Proposição 8.6, temos \(c = 3\) e \(b = 4\), e, como \(a^2 = b^2 + c^2\), segue que \(a=5\). Desse modo a equação procurada é:

\[ \dfrac {x^2}{25} + \dfrac {y^2}{16} = 1, \]

que é uma elipse com vértices \(A_1 = (5,0)\), \(A_2 = (-5,0)\), \(B_1 = (0,4)\), \(B_2=(0,-4)\) e focos \(F_1 = (3,0)\) e \(F_2 = (-3,0)\).

Exemplo 8.12

Determine a equação da elipse de focos \((0,4)\) e \((0,-4)\) e eixo maior medindo \(12\).

Solução

Nesse exemplo temos uma elipse de focos no eixo \(Oy\) (pois a primeira coordenada dos focos é \(0\)). Assim, usando a notação da Observação 8.7, temos \(c = 4\) e \(2a = 12\) e, como \(a^2 = b^2 + c^2\), segue que \(b = 2\sqrt{5}\). Desse modo a equação procurada é:

\[ \dfrac {x^2}{20} + \dfrac {y^2}{36} = 1, \]

que é uma elipse com vértices \(A_1 = (0,6)\), \(A_2 = (0,-6)\), \(B_1 = (2\sqrt{5},0)\), \(B_2=(-2\sqrt{5},0)\) e focos \(F_1 = (0,4)\) e \(F_2 = (0,-4)\).

Exemplo 8.13

Seja \(\mathcal{E}\) uma elipse de centro na origem e tal que um de seus vértices sobre a reta focal é \((0,5)\). Sabendo que \(\mathcal{E}\) passa pelo ponto \(\left(\dfrac {6\sqrt{5}}{5},\sqrt{5}\right)\), determine a equação da elipse.

Solução

Nesse exemplo temos novamente uma elipse de focos no eixo \(Oy\) (nesse caso porque nos é informado que o centro da elipse está na origem e o ponto \((0,5)\) sobre a reta focal). Assim, usando a notação da Observação 8.7, temos \(a = 5\). Desse modo a equação procurada é do tipo:

\[ \dfrac {x^2}{b^2} + \dfrac {y^2}{25} = 1, \]

com \(0\lt b\lt 5\).

Usando agora que o ponto \(\left(\dfrac {6\sqrt{5}}{5},\sqrt{5}\right)\) pertence a \(\mathcal{E}\) temos que:

\[ \dfrac {\left(6\sqrt{5}/5\right)^2}{b^2} + \dfrac {\left(\sqrt{5}\right)^2}{25} = 1. \]

Resolvento tal equação (de incógnita \(b\)) obtemos \(b = 3\). Logo a equação da elipse é:

\[ \dfrac {x^2}{9} + \dfrac {y^2}{25} = 1. \]

8.3 Hipérbole

De acordo com a Definição 8.2, uma hipérbole \(\mathcal{H}\) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias a \(F_1\) e \(F_2\) é igual a \(2a\) (onde \(2a\lt \lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert \)).

Desenvolveremos nesta seção a equação tida como a forma canônica da hipérbole, que descreve uma hipérbole cujos focos estão em um dos eixos coordenados simetricamente dispostos em relação à origem. Assim como fizemos para a elipse, fixemos primeiramente a terminologia básica envolvida no estudo de hipérboles.

8.3.1 Terminologia

Os pontos \(F_1\) e \(F_2\) descritos na Definição 8.2 são denominados focos da hipérbole. O segmento \(\overline{F_1F_2}\) de comprimento \(2c\) é o segmento focal da hipérbole e \(2c\) é a distância focal da hipérbole.
A reta \(r\) contendo \(F_1\) e \(F_2\) é denominada reta focal da hipérbole.
A interseção de \(\mathcal{H}\) com \(r\) consiste de dois pontos \(A_1\) e \(A_2\) que são os vértices da hipérbole sobre a reta focal. O segmento \(\overline{A_1A_2}\) de comprimento \(2a\) é o chamado eixo transverso da hipérbole.
O ponto médio \(O\in r\) do segmento \(\overline{F_1F_2}\) é o centro da hipérbole;
O segmento \(\overline{B_1B_2}\) de comprimento \(2b\) (onde \(c^2 = a^2 + b^2\)), cujos extremos \(B_1\) e \(B_2\) estão simetricamente localizados em relação ao centro \(O\) da hipérbole sobre a reta \(s\) perpendicular a \(r\) por \(O\), é denominado eixo conjugado da hipérbole;
Os números \(a,b\) e \(c\) são conhecidos como parâmetros geométricos da hipérbole.
As retas \(r_-\) e \(r_+\) pelo centro \(O\) de inclinação \(-b/a\) e \(b/a\) respectivamente são as assíntotas da hipérbole (ver Subseção 8.3.3);
Qualquer segmento cujos extremos estão sobre \(\mathcal{H}\) é denominado corda da hipérbole;
Chamamos de amplitude focal da hipérbole o comprimento de uma corda que contenha um dos focos da hipérbole e que seja perpendicular à reta focal desta.
O retângulo fundamental da hipérbole é a região retangular \(R = \{ (x,y)\in \mathbb {E}^2 ; x\in [-a,a], y \in [-b,b]\} \).
Uma hipérbole é dita equilátera quando os parâmetros geométricos \(a\) e \(b\) dessa hipérbole são iguais.

8.3.2 Equação da Hipérbole

Escrevendo a equação (8.2), apresentada na Definição 8.2, e manipulando-a algébricamente de modo análogo ao que fizemos para a elipse chegamos ao seguinte resultado:

Proposição 8.14

Uma hipérbole \(\mathcal{H}\) de focos \(F_1 = (c,0)\) e \(F_2 = (-c,0)\) e eixo transverso medindo \(2a\) tem equação

\begin{equation} \label{eq:formacanhip} \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \tag{8.7} \end{equation}

onde \(b\) é tal que \(c^2 = a^2 + b^2\).

Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da hipérbole (ou equação reduzida da hipérbole).

Observação 8.15

Se na dedução da equação da hipérbole tivéssemos partido de focos localizados sobre o eixo \(Oy\) (ou seja \(F_1 = (0,c)\) e \(F_2 = (0,-c)\)), teríamos chegado à equação:

\[ \dfrac {y^{2}}{a^{2}}-\dfrac {x^{2}}{b^{2}}=1. \]

8.3.3 Assíntotas

Definição 8.16

Uma reta \(r\) de equação \(y = mx + n\) é dita ser uma assíntota de uma dada função \(f: (a,+\infty )\to \mathbb {R}\) em \(+\infty \) (\(a\in \mathbb {R}\)) se a distância entre o ponto \((x,f(x))\) do gráfico e a reta \(r\) tende a zero quando \(x\) vai para infinito, isto é se:

\begin{equation} \label{eq:assint} \lim _{x\to +\infty } d(P,r) = 0, \tag{8.8} \end{equation}

onde \(P = (x,f(x))\). Analogamente podemos definir assíntota de \(f\) em \(-\infty \).

A proposição abaixo mostra que hipérboles admitem duas assíntotas.

Proposição 8.17

As retas \(r_+\) e \(r_-\) de equações

\[ r_+: y = \dfrac {b}{a} x \qquad \textrm{e}\qquad r_-: y = -\dfrac {b}{a} x \]

são assíntotas da hipérbole \(\mathcal{H}\) de equação

\[ \dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2} = 1. \]

Demonstração ▼

De fato, para uma tal hipérbole \(\mathcal{H}\), temos que \(P=(x,y)\in \mathcal{H}\) se e somente se \(b^2x^2-a^2y^2 = a^2b^2\). Então temos:

\begin{align*} d(P,r_+) & = \dfrac {|bx-ay|}{\sqrt{b^2+a^2}}\\ & = \dfrac {|bx-ay|}{\sqrt{b^2+a^2}}\dfrac {|bx+ay|}{|bx+ay|}\\ & = \dfrac {|b^2x^2-a^2y^2|}{\sqrt{b^2+a^2}}\dfrac {1}{|bx+ay|}\\ & = \dfrac {a^2b^2}{\sqrt{b^2+a^2}}\dfrac {1}{|bx+ay|} \end{align*}

Assim, temos que

\[ \lim _{(x,y)\to (\pm \infty ,\pm \infty )} d(P,r_+) = 0. \]

Analogamente, temos também que

\[ \lim _{(x,y)\to (\pm \infty ,\mp \infty )} d(P,r_-) = 0. \]

Observação 8.18

Escrevendo os dois ramos como

\[ f_+(x)=b\sqrt{\dfrac {x^2}{a^2}-1}, \qquad f_-(x)=-b\sqrt{\dfrac {x^2}{a^2}-1}, \]

temos: \(f_+\) aproxima \(r_+\) quando \(x\to +\infty \) e \(r_-\) quando \(x\to -\infty \); para \(f_-\) ocorre o contrário. Essa formulação torna precisa a afirmação de que as duas retas são assíntotas da hipérbole.

8.3.4 Esboço da Hipérbole

Seja uma Hipérbole \(\mathcal{H}\) de equação:

\[ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \]

com \(a,b\gt 0\).

Como na elipse observamos que, se um ponto \(P=(x,y)\) está na hipérbole \(\mathcal{H}\), também a ela pertencem os pontos \(P' = (-x,y)\), \(P' = (x,-y)\) e \(P' = (-x,-y)\). Assim, a hipérbole \(\mathcal{H}\) é simétrica em relação aos eixos \(Ox\) e \(Oy\).

Além disso, isolando-se o parâmetro \(y\) da equação de \(\mathcal{H}\) obtemos:

\[ y = \pm \dfrac {b}{a} \sqrt{x^2 - a^2}. \]

Estudemos então o gráfico da função:

\begin{align*} f: [a,+\infty ) & \longrightarrow \mathbb {R}\\ x & \longmapsto \dfrac {b}{a} \sqrt{x^2 - a^2}. \end{align*}

Observação 8.19

Observe que, no caso da hipérbole, para \(x\in [0,a)\), temos \((x^2 - a^2) \lt 0\) e, portanto, \(f\) não fica bem definida.

Note agora que \(f(a) = 0\) nos dá o vértice \(A_1 =(a,0)\) da hipérbole. Além disso, temos que \(f\) é crescente, já que, para \(x_0,x_1\in [a,+\infty )\), temos:

\begin{align*} x_0 \lt x_1 & \Longleftrightarrow x_0^2 \lt x_1^2 \Longleftrightarrow x_0^2 -a^2\lt x_1^2 -a^2\\ & \Longleftrightarrow \dfrac {b}{a} \sqrt{x_0^2 -a^2} \lt \dfrac {b}{a} \sqrt{x_1^2 -a^2} \Longleftrightarrow f(x_0) \lt f(x_1). \end{align*}

Cálculo diferencial nos permite concluir que o gráfico de \(f\) também é côncavo no caso da hipérbole.

A concavidade do gráfico de \(f\) decorre do fato de que a segunda derivada de \(f\) é dada por:

\[ f''(x) = -\dfrac {ab}{(x^2-a^2)^{3/2}}, \]

que é negativa para todo \(x\in (a,+\infty )\).

Finalmente, sabemos que \(f(x)\) tem a reta \(r_+: y = \dfrac {b}{a} x\) como assíntota e é tal que \(f(x) \lt \dfrac {b}{a} x\) para todo \(x\in [a,+\infty )\). Desse modo sabemos que \(f(x)\) se aproxima assintoticamente de \(r_+\), por baixo dessa reta, quando \(x\) tende a \(+\infty \).

8.3.5 Exemplos

Exemplo 8.20

Uma hipérbole \(\mathcal{H}\) tem vértices nos pontos \((0,4)\) e \((0,-4)\), e um foco no ponto \((0,-5)\). Obtenha a equação da hipérbole e de suas assíntotas.

Solução

Observamos que \(\mathcal{H}\) é uma hipérbole com centro na origem e focos no eixo \(Oy\). Assim sua equação é do tipo:

\[ \dfrac {y^2}{a^2}-\dfrac {x^2}{b^2} = 1, \]

com \(c^2 = a^2 + b^2\) e \(2c\) a distância focal.

Como \(\mathcal{H}\) tem vértices \((0,4)\) e \((0,-4)\) segue que \(a = 4\). Como um dos focos de \(\mathcal{H}\) é \((0,-5)\), segue que \(c=5\). Logo, a partir da igualdade \(c^2 = a^2 + b^2\), obtemos \(b = 3\). Assim a equação de \(\mathcal{H}\) é:

\[ \dfrac {y^2}{16}-\dfrac {x^2}{9} = 1. \]

As assíntotas de \(\mathcal{H}\) são \(r_+: x = (b/a)y\) e \(r_-: x = -(b/a)y\), ou seja:

\[ r_+: x = \left(\dfrac {3}{4}\right) y\qquad r_-: x = -\left(\dfrac {3}{4}\right)y. \]

Exemplo 8.21

Uma hipérbole \(\mathcal{H}\) tem os focos num dos eixos coordenados e centro na origem. Sabendo que uma das assíntotas de \(\mathcal{H}\) é a reta \(3x-2y=0\) e que \(P=(4\sqrt{2},6)\in \mathcal{H}\), determine a equação de \(\mathcal{H}\).

Solução

Focos no eixo \(Ox\):

Seja \(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1\) a equação da hipérbole procurada. Como a reta \(3x-2y=0\), que é a também a reta de equação \(y = \dfrac {3}{2}x\), é uma das assíntotas obtemos:

\[ \dfrac {b}{a} = \dfrac {3}{2}, \]

ou seja \(b = \dfrac {3}{2}a\).

Usando que \(P\in \mathcal{H}\) obtemos:

\[ \dfrac {(4\sqrt{2})^2}{a^2} - \dfrac {6^2}{b^2} = 1. \]

Usando que \(b = \dfrac {3}{2}a\) e simplificando algebricamente a igualdade chegamos então a:

\[ \dfrac {16}{a^2} = 1. \]

Portanto \(a^2 = 16\), ou seja \(a = 4\). Usando novamente que \(b = \dfrac {3}{2}a\) obtemos então \(b = 6\). Logo chegamos à equação:

\[ \mathcal{H}: \dfrac {x^2}{16} - \dfrac {y^2}{36} = 1. \]
Focos no eixo \(Oy\):

Seja agora \(\dfrac {y^2}{a^2} - \dfrac {x^2}{b^2} = 1\) a equação da hipérbole procurada. Como a reta \(3x-2y=0\), que é a também a reta de equação \(x = \dfrac {2}{3}y\), é uma das assíntotas obtemos:

\[ \dfrac {b}{a} = \dfrac {2}{3}, \]

ou seja \(b = \dfrac {2}{3}a\).

Usando que \(P\in \mathcal{H}\) obtemos:

\[ \dfrac {6^2}{a^2} - \dfrac {(4\sqrt{2})^2}{b^2} = 1. \]

Usando que \(b = \dfrac {2}{3}a\) e simplificando a equação chegamos a:

\[ -\dfrac {36}{a^2}= 1. \]

Como \(a^2\gt 0\) observamos que não existe \(a\) tal que a igualdade acima seja satisfeita, ou seja, não existe hipérbole com focos no eixo \(Oy\) contendo \(P\) e com assíntota \(3x-2y=0\).

Conclusão: A única hipérbole cuja equação resolve o problema é:

\[ \mathcal{H}: \dfrac {x^2}{16} - \dfrac {y^2}{36} = 1. \]

Exemplo 8.22

Encontre o centro, os focos e vértices da hipérbole de equação:

\[ 9x^2 - 4y^2 - 18x - 8y -31 = 0. \]

Solução

Tentaremos aqui manipular a equação dada de forma a obter uma equação da forma:

\[ \dfrac {(x-x_0)^2}{a^2} - \dfrac {(y-y_0)^2}{b^2} = 1, \]

que representa uma hipérbole de centro \(C = (x_0,y_0)\), focos \(F_1 = (x_0 + c, y_0)\) e \(F_2 = (x_0 - c, y_0)\), onde \(c^2 = a^2 + b^2\), e vértices \(V_1=(x_0+a,y_0)\) e \(V_2=(x_0-a,y_0)\).

Comecemos completando quadrados escrevendo:

\[ (9x^2 - 18x + 9) - (4y^2 + 8y + 4) -9 + 4 -31 = 0. \]

Portanto temos:

\[ 9(x-1)^2 - 4(y+1)^2 = 36. \]

E, finalmente:

\[ \dfrac {(x-1)^2}{4} - \dfrac {(y+1)^2}{9} = 1. \]

Tal equação representa uma hipérbole de centro \(C = (1,-1)\) de parâmetros \(a=2\), \(b=3\) e \(c=\sqrt{13}\). Logo seus focos são \(F_1=(1+\sqrt{13},-1)\) e \(F_2=(1-\sqrt{13},-1)\), e seus vértices são \(V_1=(3,-1)\) e \(V_2=(-1,-1)\).

8.4 Parábola

Conforme descrito na Definição 8.3, uma parábola \(\mathcal{P}\) de foco \(F\) e reta diretriz \(d\) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujas distâncias a \(F\) e \(d\) são iguais.

Nesta seção estudaremos funções quadráticas de uma variável, cujos gráficos representam parábolas com retas diretrizes paralelas aos eixos coordenados. Em particular veremos a chamada forma canônica da parábola que é a equação que representa uma parábola com vértice na origem, foco sobre um dos eixos coordenados e reta diretriz paralela ao outro eixo coordenado.

8.4.1 Terminologia

O ponto \(F\) descrito na Definição 8.3 é denominado foco da parábola.
A reta \(d\), também descrita na Definição 8.3 é denominada diretriz da parábola.
A distância \(2p\) entre o foco \(F\) e a reta diretriz \(d\) da parábola é chamada parâmetro da parábola.
O ponto \(V\) de interseção da perpendicular à \(d\) por \(F\) com a parábola é o vértice da parábola;
A reta perpendicular a \(d\) por \(F\) é o eixo de simetria da parábola.
Qualquer segmento cujos extremos estão sobre \(\mathcal{P}\) é denominado corda da parábola;
Tomando \(A\) e \(B\) os extremos da corda que contém \(F\) e é paralela a diretriz \(d\), obtemos o triângulo \(\triangle VAB\) denominado triângulo fundamental da parábola.

8.4.2 Equação da Parábola

Para uma parábola com diretriz paralela ao eixo \(Ox\) e vértice na origem do sistema de coordenadas vale o seguinte resultado:

Proposição 8.23

Uma parábola \(\mathcal{P}\) de foco \(F = (0,p)\) e reta diretriz \(d: y = -p\) (\(p\neq 0\)) tem equação

\begin{equation} \label{eq:formacanpar} y = \left(\dfrac {1}{4p}\right) x^2. \tag{8.9} \end{equation}

Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da parábola (ou equação reduzida da parábola).

Demonstração ▼

Seja \(P = (x,y)\) um ponto da parábola. A partir da equação \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d)\) obtemos:

\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|. \]

Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos:

\[ x^2 + y^2 -2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2. \]

Simplificando e isolando \(y\) chegamos então a:

\[ y = \left(\dfrac {1}{4p}\right) x^2. \]

Observação 8.24

Para uma parábola de foco \(F = (p,0)\) e reta diretriz vertical \(d: x = -p\) uma demonstração análoga nos levaria a equação:

\begin{equation} \label{eq:formacanpar2} x = \left(\dfrac {1}{4p}\right) y^2, \tag{8.10} \end{equation}

a qual também é conhecida como forma canônica da parábola.

No caso particular da parábola, porém, é importante destacar sua descrição como gráfico de funções quadráticas de uma variável real.

Definição 8.25

Uma função \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) é dita quadrática quando existem \(a,b,c\) reais com \(a\neq 0\), tais que \(f(x) = ax^2 + bx + c\) para todo \(x\in \mathbb {R}\).

Sobre funções quadráticas vale o seguinte resultado:

Proposição 8.26

O gráfico da função quadrática \(f(x) =ax^2 + bx + c\) é uma parábola com:

foco:

\[ F = \left(-\dfrac {b}{2a},-\dfrac {\Delta -1}{4a}\right), \]
diretriz:

\[ d: y = -\dfrac {\Delta + 1}{4a}, \]
vértice:

\[ V = \left(-\dfrac {b}{2a},-\dfrac {\Delta }{4a}\right), \]

onde \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Observação 8.27

O gráfico de uma função \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) é o lugar geométrico dado pela equação \(y = f(x)\). Logo, pela Proposição 8.26, \(y =ax^2 + bx + c\) é a equação de uma parábola com diretriz paralela ao eixo \(Ox\).

É análoga a demonstração da proposição acima o fato de que \(x =ay^2 + by + c\) é equação de uma parábola com:

foco:

\[ F = \left(-\dfrac {\Delta -1}{4a},-\dfrac {b}{2a}\right), \]
diretriz:

\[ d: x = -\dfrac {\Delta + 1}{4a}, \]
vértice:

\[ V = \left(-\dfrac {\Delta }{4a},-\dfrac {b}{2a}\right), \]

onde \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Observação 8.28

É importante notar que as funções \(f(x)=ax^2+bx+c\) e \(g(x)=a'x^2+b'x+c'\), com \((a,b,c) = \lambda (a',b',c')\) para algum \(\lambda \neq 0\), têm mesmas raízes, ou seja \(f(x) = 0\) se e somente se \(g(x) = 0\), no entanto seus gráficos são distintos e, portanto, representam parábolas diferentes.

A Proposição 8.26 segue imediatamente dos Lemas 8.29 e 8.30, abaixo demonstrados.

Lema 8.29

O gráfico de uma função quadrática \(f(x) = a(x-m)^2 + k\) é uma parábola com:

foco:

\[ F = \left(m,k+\dfrac {1}{4a}\right), \]
diretriz:

\[ d: y = k -\dfrac {1}{4a}, \]
vértice \(V = (m,k)\).

Demonstração ▼

Seja \(P = (x,y)\) um ponto qualquer do gráfico de \(f\) (de modo que \(y = a(x-m)^2 + k\)). Tome \(F = \left(m,k+\dfrac {1}{4a}\right)\) e \(d: y = k -\dfrac {1}{4a}\). Mostremos que \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d)\) (ver Definição 8.3).

Por um lado temos:

\[ \overrightarrow {FP} = \left(x - m, a(x-m)^2 -\dfrac {1}{4a} \right). \]

Portanto segue:

\begin{align*} \lVert \overrightarrow {FP}\rVert & = \sqrt{(x-m)^2 + a^2(x-m)^4 -2a(x-m)^2\dfrac {1}{4a} + \left(\dfrac {1}{4a}\right)^2}\\ & = \sqrt{a^2(x-m)^4 +2a(x-m)^2\dfrac {1}{4a} + \left(\dfrac {1}{4a}\right)^2}\\ & =\sqrt{\left(a(x-m)^2 + \dfrac {1}{4a}\right)^2}\\ & =\left|a(x-m)^2 + \dfrac {1}{4a}\right| . \end{align*}

Por outro lado:

\[ d(P,d) = \left|a(x-m)^2 + k - \left(k -\dfrac {1}{4a}\right)\right| = \left|a(x-m)^2 + \dfrac {1}{4a}\right|. \]

Logo, vale \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d)\).

Como o vértice da parábola é o ponto médio do menor segmento que liga \(F\) à \(d\) é fácil ver que \(V = (m,k)\).

Lema 8.30

Vale a igualdade:

\[ ax^2 + bx + c = a\left(x+ \dfrac {b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac {b^2-4ac}{4a}\right). \]

Essa forma de escrever a função quadrática é conhecida como forma canônica do trinômio de segundo grau.

Demonstração ▼

De fato:

\[ ax^2 + bx + c = a\left(x^2+ \dfrac {b}{a}x + \dfrac {c}{a}\right) \]

Completando quadrado de modo a obter \(\left(x + \dfrac {b}{2a}\right)^2\) temos:

\begin{align*} a\left(x^2+ \dfrac {b}{a}x + \dfrac {c}{a}\right) & = a\left(x^2+ 2\dfrac {b}{2a}x + \dfrac {b^2}{4a^2} - \dfrac {b^2}{4a^2}+\dfrac {c}{a}\right)\\ & = a\left[\left(x + \dfrac {b}{2a}\right)^2 - \dfrac {b^2-4ac}{4a^2}\right]\\ & = a\left(x+ \dfrac {b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac {b^2-4ac}{4a}\right). \end{align*}

Observação 8.31

A recíproca também é verdadeira. Se \(F=(m,n)\) e a diretriz é \(d:y=p\), com \(n\neq p\), então o vértice é

\[ V=\left(m,\dfrac {n+p}{2}\right). \]

Comparando com o Lema 8.29, obtemos

\[ a=\dfrac {1}{2(n-p)}. \]

Logo a parábola é o gráfico de

\[ y=a(x-m)^2+\dfrac {n+p}{2}, \]

ou, na forma \(y=ax^2+bx+c\),

\[ a=\dfrac {1}{2(n-p)},\qquad b=-\dfrac {m}{n-p},\qquad c=\dfrac {m^2}{2(n-p)}+\dfrac {n+p}{2}. \]

8.4.3 Esboço da Parábola

Figura 8.7 Vértice, foco e diretriz de uma parábola com eixo vertical.

O esboço da parábola de equação \(y = ax^2 + bx +c\) (ou gráfico de \(f(x) = ax^2 + bx +c\)) pode ser facilmente estudado a partir da forma canônica do trinômio (Lema 8.30):

\[ f(x) = ax^2 + bx + c = a\left(x+ \dfrac {b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac {b^2-4ac}{4a}\right). \]

Fixemos, para estudo, \(a\gt 0\). Observamos que \(f\) tem seu mínimo no ponto onde \(\left(x+ \dfrac {b}{2a}\right) = 0\), ou seja quando \(x = -\dfrac {b}{2a}\).

Além disso, para \(-\dfrac {b}{2a} \leq x_1 \lt x_2\) temos que:

\[ \left(x_1+ \dfrac {b}{2a}\right)^2 \lt \left(x_2+ \dfrac {b}{2a}\right)^2, \]

donde segue que \(f(x_1) \lt f(x_2)\), ou seja \(f\) é crescente em \(\left[-\dfrac {b}{2a},+\infty \right)\). Analogamente vemos que \(f\) é decrescente em \(\left(-\infty ,-\dfrac {b}{2a}\right]\).

Um pouco de cálculo diferencial nos permite concluir que, para \(a\gt 0\), o gráfico de \(f\) é convexo, isto é fixos dois pontos \(P_0\) e \(P_1\) quaisquer sobre o gráfico de \(f\), temos que o gráfico de \(f\) fica abaixo do segmento \(\overline{P_0P_1}\).

A convexidade do gráfico de \(f\) decorre do fato de que a segunda derivada de \(f\) é dada por:

\[ f''(x)=2a\gt 0. \]

Finalmente, se \(\Delta = b^2-4ac \gt 0\), podemos obter as raízes de \(f\) facilmente igualando a forma canônica do trinômio e isolando o parâmetro \(x\), obtendo assim a Fórmula de Bhaskara:

\[ x = \dfrac {-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

Observação 8.32

Se \(a\lt 0\), \(f(x) = ax^2 + bx + c\) tem seu máximo em \(x = -\dfrac {b}{2a}\), é decrescente em \(\left[-\dfrac {b}{2a},+\infty \right)\) e crescente em \(\left(-\infty ,-\dfrac {b}{2a}\right]\), tem gráfico côncavo e tem suas raízes dadas pela (mesma) Fórmula de Bhaskara (quando \(\Delta \gt 0\)).

8.4.4 Exemplos

Exemplo 8.33

Determine a equação da parábola de foco \(F=(1,2)\) e reta diretriz \(r: y = 4\).

Solução

Seja \(P=(x,y)\) um ponto da parábola. A equação \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,r)\) em coordenadas fica:

\[ \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = |y-4|. \]

Elevando essa igualdade ao quadrado obtemos:

\[ (x^2 -2x + 1) + (y^2 -4y + 4) = y^2 -8y + 16. \]

Isolando então o parâmetro \(y\) chegamos à:

\[ y = \left(-\dfrac {1}{4}\right)x^2 + \left(\dfrac {1}{2}\right)x + \left(\dfrac {11}{4}\right). \]

Exemplo 8.34

Considere uma parábola \(\mathcal{P}\) com vértice na origem e com o eixo \(Ox\) como reta focal. Suponha que o ponto \((3,-6)\) pertença à \(\mathcal{P}\). Determine a equação de \(\mathcal{P}\), seu foco \(F\) e reta diretriz \(d\).

Solução

Sabemos que \(\mathcal{P}\) é uma parábola de parâmetro \(2p\) com equação da forma:

\[ x = \pm \left(\dfrac {1}{4p}\right)y^2. \]

Como a primeira coordenada do ponto \((3,-6)\) é positiva temos:

\[ \mathcal{P}: x = + \left(\dfrac {1}{4p}\right)y^2. \]

Substituindo as coordenadas do ponto \((3,-6)\) na equação acima chegamos à \(p = 3\). Logo temos:

\[ \mathcal{P}: x = \left(\dfrac {1}{12}\right)y^2. \]

Tal parábola tem, assim, foco \(F=(3,0)\) e reta diretriz \(d: x = -3\).

Exemplo 8.35

Considere a função quadrática \(f(x) = x^2 - 6x + 8\). Escreva \(f\) na forma quadrática canônica e a partir de tal determine suas raízes. Determine as coordenadas do vértice, foco e a equação da reta diretriz da parábola que é gráfico de \(f\).

Solução

Completando quadrado obtemos \(f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 1 = (x-3)^2 - 1\) que é a forma canônica de \(f\).

Igualando a forma canônica a zero chegamos a:

\[ (x-3)^2 = 1. \]

Portanto temos \(x-3 = \pm 1\) ou ainda \(x = 3 \pm 1\). Logo \(x= 2\) e \(x = 4\) são as raízes de \(f\).

O vértice da parábola que é gráfico de \(f\), ocorre no ponto onde \(f\) é mínimo, ou seja em \(x= 3\). Logo as coordenadas do vértice são \((3,-1)\).

Claramente o eixo de simetria da parábola em questão é paralelo ao eixo \(Oy\). Suponhamos então que o foco da parábola tenha coordenadas \(F = (3,-1+c)\) e a diretriz tenha equação \(d: y = -1 - c\) (Note que o vértice da parábola dista o mesmo do foco e da diretriz da parábola).

Considere um ponto \(P\) qualquer da parábola diferente do vértice. Tome por exemplo \(P = (0, 8)\). Devemos ter \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d)\).

Por um lado, temos então \(\overrightarrow {FP} = (-3,9-c)\) e:

\[ \lVert \overrightarrow {FP}\rVert = \sqrt{9 + (9-c)^2}. \]

Por outro lado:

\[ d(P,d) = 8 - (-1-c)= 9+c. \]

Deve valer então:

\[ 9 + (9-c)^2 = (9+c)^2. \]

Portanto temos \(c = (1/4)\).

Logo \(F = (3,-3/4)\) e \(d: y = -5/4\).

8.5 Excentricidade

Proposição 8.36

Sejam \(\eta \gt 0\), \(\eta \neq 1\) e \(c\gt 0\). Tome \(F=(c,0)\). Tome \(r\) a reta de equação \(x = c/\eta ^2\) (logo paralela ao eixo \(Oy\)).

Então, se \(P=(x,y)\) satisfaz a igualdade

\begin{equation} \label{eq:elipFD} \lVert \overrightarrow {FP}\rVert =\eta d(P,r), \tag{8.11} \end{equation}

temos que:

se \(0 \lt \eta \lt 1\), então \(P\) pertence à elipse de equação

\[ \dfrac {x^2}{a^2} +\dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

onde \(a = c/\eta \) e \(b\) tal que \(a^2 = b^2 + c^2\).
se \(\eta \gt 1\), então \(P\) pertence à hipérbole de equação

\[ \dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

onde \(a = c/\eta \) e \(b\) tal que \(c^2 = a^2 + b^2\).

Demonstração ▼

Escrevendo a equação (8.11) em coordenadas cartesianas temos:

\[ \sqrt{(x-c)^2+y^2}=\eta \left|x-\dfrac {c}{\eta ^2}\right|. \]

Elevando essa equação ao quadrado e manipulando algebricamente o resultado facilmente chegamos na igualdade:

\[ x^2\left(1-\eta ^2\right) + y^2 = c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right). \]

Dividindo tal equação por \(c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right)\) obtemos:

\[ \dfrac {x^2}{c^2/\eta ^2} + \dfrac {y^2}{c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right)} = 1. \]

Então, para \(0 \lt \eta \lt 1\), observamos que \(c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right) \gt 0\). Tomando então \(a^2 = c^2/\eta ^2\) e \(b^2 = c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right)\) (de modo que \(a^2 = b^2 + c^2\)) temos:

\[ \dfrac {x^2}{a^2} +\dfrac {y^2}{b^2} = 1. \]

Caso \(\eta \gt 1\) temos que \(c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right) \lt 0\). Tomando \(a^2 = c^2/\eta ^2\) e \(b^2 = - c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right)\) (de modo que \(c^2 = a^2 + b^2\)) segue:

\[ \dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1. \]

Proposição 8.37

Sejam \(\eta = 1\) e \(F = (c,0)\). Tome \(r\) a reta de equação \(x = - c\).

Então, se \(P=(x,y)\) satisfaz a igualdade

\begin{equation} \label{eq:parFD} \lVert \overrightarrow {FP}\rVert =\eta d(P,r), \tag{8.12} \end{equation}

temos que:

\[ y^2 = 4cx. \]

Demonstração ▼

Escrevendo a equação (8.12) em coordenadas cartesianas temos:

\[ \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = \left(c + x \right). \]

Elevando essa equação ao quadrado e manipulando algebricamente o resultado facilmente obtemos:

\[ y^2 = 4cx. \]

Observação 8.38

A reta \(r\) e o ponto \(F\) descritos nas proposições 8.36 e 8.37 são denominados respectivamente reta diretriz e foco da cônica em questão.

O parâmetro \(\eta \), que aparece em ambas as proposições, é denominado excentricidade da cônica.

Observação 8.39

É fácil mostrar que as recíprocas das proposições acima são válidas, ou seja:

Se \(P = (x,y)\) é um ponto da elipse de equação:

\[ \dfrac {x^2}{a^2} +\dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

então, tomando \(c\gt 0\) tal que \(a^2 = b^2 + c^2\), \(\eta = c/a\) (note \(0\lt \eta \lt 1\)), \(F = (c,0)\) e \(r: x = c/\eta ^2\) temos que \(P\) satisfaz a equação (8.11).
Se \(P = (x,y)\) é um ponto da hipérbole de equação:

\[ \dfrac {x^2}{a^2} -\dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

então, tomando \(c\gt 0\) tal que \(c^2 = a^2 + b^2\), \(\eta = c/a\) (note \(\eta \gt 1\)), \(F = (c,0)\) e \(r: x = c/\eta ^2\) temos que \(P\) satisfaz a equação (8.11).
Se \(P = (x,y)\) é um ponto da parábola de equação:

\[ y^2 = 4cx, \]

então, tomando \(\eta = 1\), \(F = (c,0)\) e \(r: x = -c\) temos que \(P\) satisfaz a equação (8.12) (que é a mesma que a equação (8.11)).

Excentricidade e a forma de uma cônica

A excentricidade \(\eta \) de uma cônica é usualmente usada para estudar o formato das cônicas.

No caso da elipse, quanto mais \(\eta \) for próximo à \(0\) maior a “semelhança” da elipse com um círculo. De fato, dividindo \(a^2 = b^2 + c^2\) por \(a^2\), teríamos que \((b/a)^2 = 1 -\eta ^2\). Logo para \(\eta \) pequeno \((b/a)\) estaria próximo de \(1\). Assim, \(a\) e \(b\) seriam aproximadamente iguais. Tomando \(b = a\) teríamos então a equação do círculo: \(x^2 + y^2 = a^2\).

Para \(\eta \lt 1\) próximo de \(1\) teríamos por outro lado que \((b/a)\) seria próximo de \(0\), ou seja, \(b\) seria muito menor que \(a\), o que nos levaria a uma elipse bem alongada ao longo do eixo \(Ox\).

Na hipérbole, por sua vez, se \(\eta \gt 0\) estiver perto de \(1\) teremos \((b/a)\) próximo de \(0\), pois dividindo \(c^2 = a^2 + b^2\) por \(a^2\) obtemos \(\eta ^2 = 1 + (b/a)^2\). Isso implica que as assíntotas da hipérbole tem inclinação próxima a \(0\), ou seja, a medida que \(\eta \) fica mais perto de \(1\) as hipérboles ficam mais próximas do eixo \(Ox\).

Por outro lado, a medida que \(\eta \) tende à \(+\infty \) temos que \((b/a)\) também tende a \(+\infty \), ou seja, a inclinação das assíntotas da hipérbole crescem de modo que as hipérboles se aproximam do eixo \(Oy\).

Em geometria, dizemos que duas figuras são semelhantes se pode-se obter uma a partir da outra pela composição de isometrias (translação, rotação, reflexão) e homotetias (fixos centro \(O\) e razão \(k\), uma homotetia leva \(P\) em \(P'\) pela relação \(\overrightarrow {OP’} = k\overrightarrow {OP}\)).

Sobre a semelhança das cônicas valem o seguinte resultado:

Proposição 8.40

Se duas cônicas têm mesma excentricidade então elas são semelhantes, em particular todas as parábolas são semelhantes entre si.

Demonstração ▼

Consideraremos apenas as cônicas cujas equações estão na sua forma canônica (pois, como veremos no capítulo ??, todas as cônicas podem ser transformadas na forma canônica por rotações e translações).

Considere duas elipses \(\mathcal{E}\) e \(\mathcal{E}'\) de equações:

\[ \mathcal{E} : \dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

\[ \mathcal{E}' : \dfrac {x^2}{a’^2} + \dfrac {y^2}{b’^2} = 1. \]

Se ambas têm a mesma excentricidade, então \(b/a=b'/a'\). Portanto

\[ k=\dfrac {a’}{a}=\dfrac {b’}{b}\gt 0. \]

Considere a homotetia \(h(x,y)=(kx,ky)\). Se \(P=(x,y)\in \mathcal E\), então

\[ \dfrac {(kx)^2}{a’^2}+\dfrac {(ky)^2}{b’^2} =\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1, \]

de modo que \(h(P)\in \mathcal E'\).

A semelhança de hipérboles de mesma excentricidade segue de modo análogo.

No caso de duas parábolas \(\mathcal{P}: y = ax^2\) e \(\mathcal{P'}: y = a'x^2\), tome \(k = (a/a')\). Daí se \(P = (x,y)\) está em \(\mathcal{P}\) temos que vale \(y = ax^2\). Por outro lado tomando a homotetia \(h(x,y) = (kx,ky)\) temos:

\[ a' (kx)^2 = a' \left(\dfrac {a}{a’}\right)^2x^2 = \left(\dfrac {a}{a’}\right) ax^2 = ky. \]

8.6 Construções de Dandelin

Elipse

Dado um cone com ângulo de abertura \(2\alpha \) e um plano \(\pi \) que intersecta o cone e faz um ângulo superior à \(\alpha \) com o eixo do cone temos na interseção uma elipse. É possível encontrar duas esferas \(S_1\) e \(S_2\) que tangenciam o plano \(\pi \) e o cone internamente (ver Figura 8.8). Tais esferas são conhecidas como esferas de Dandelin da elipse.

Mostremos usando as esferas de Dandelin que a soma das distâncias de um ponto \(X\) da elipse aos focos \(F_1\) e \(F_2\) é constante, isto é:

\[ \lVert \overrightarrow {F_1X}\rVert + \lVert \overrightarrow {F_2X}\rVert = k, \]

onde \(k\) é um número real fixado (obviamente maior que a distância focal da elipse).

Suponha que \(S_1\) e \(S_2\) tangenciam o cone nos círculos \(C_1\) e \(C_2\) respectivamente. Seja \(X\) um ponto qualquer da elipse. A reta \(\overleftrightarrow {OX}\) que passa por \(X\) e pelo vértice \(O\) do cone intersecta \(C_1\) e \(C_2\) em pontos \(H_1\) e \(H_2\) respectivamente.

Observe que \(XH_1\) e \(XF_1\) são segmentos tangentes à mesma esfera \(S_1\) traçados a partir de \(X\); portanto têm o mesmo comprimento. Do mesmo modo, \(XH_2=XF_2\). Além disso, \(H_1\) e \(H_2\) pertencem à mesma geratriz do cone, e a distância entre os círculos de tangência \(C_1\) e \(C_2\) medida ao longo de qualquer geratriz é constante. Assim,

\[ \lVert \overrightarrow {F_1X}\rVert +\lVert \overrightarrow {F_2X}\rVert =\lVert \overrightarrow {XH_1}\rVert +\lVert \overrightarrow {XH_2}\rVert =\lVert \overrightarrow {H_1H_2}\rVert , \]

que independe de \(X\). Isso recupera a caracterização foco–foco da elipse.

Parábola

Mostraremos no que se segue que a curva (parábola) formada pela interseção de um cone de ângulo de abertura \(2\alpha \) e vértice \(O\) com plano \(\pi \) que faz um ângulo \(\alpha \) com o eixo do cone, obedece de fato a equação:

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta = 1\), onde \(F\) é o foco da parábola, \(r\) a sua diretriz e \(X\) um ponto qualquer da cônica.

Considere a esfera simultaneamente tangente interna ao cone e tangente ao plano \(\pi \). Seja \(\gamma \) o plano que contém os pontos de tangência da esfera com o cone. Afirmamos que o ponto de tangência da esfera com o plano \(\pi \) é o foco da parábola e que a reta \(r\) obtida pela interseção de \(\pi \) e \(\gamma \) é a reta diretriz da parábola.

Seja \(X\) um ponto qualquer da parábola. Seja \(C\) a interseção da reta \(\overleftrightarrow {OX}\) (uma geratriz no cone) com \(\gamma \). Considere \(B\) a projeção ortogonal de \(X\) em \(\gamma \) e \(D\) o ponto na diretriz \(r = \pi \cap \gamma \) tal que o triângulo \(\Delta XBD\) se encontre num plano ortogonal a \(\pi \). Afirmamos que qualquer que seja \(X\), ponto da parábola, os triângulos \(\Delta XBC\) e \(\Delta XBD\) são congruentes.

Observação 8.41

Cuidado não confundir sua intuição com a Figura 8.9 que é apenas uma projeção no plano de uma figura tridimensional. O triângulo \(\Delta XBC\) não está contido no plano da figura desenhada no papel (ele “entra no papel”).

A congruência dos triângulos segue do fato de que os ângulos \(\alpha \), \(\beta \), \(\theta \) e \(\Phi \) são todos congruentes (por quê?), \(\widehat{XBC} = \widehat{XBD} = \dfrac {\pi }{2}\) e \(\overline{XB}\) é um lado comum a ambos os triângulos (Congruência “ALA”).

Observe assim que \(\lVert \overrightarrow {XC}\rVert = \lVert \overrightarrow {XD}\rVert \). Mas \(\lVert \overrightarrow {XD}\rVert = d(X,r)\) e \(\lVert \overrightarrow {XC}\rVert = \lVert \overrightarrow {XF}\rVert \), onde \(F\) é o foco da parábola (pois \(\overline{XC}\) e \(\overline{XF}\) são tangentes a esfera em \(C\) e \(F\)). Logo:

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta = 1\).

Exercício 6.1

Prove que a curva (elipse) formada pela interseção de um cone de ângulo de abertura \(2\alpha \) com um plano \(\pi \) que faz um ângulo \(\theta \gt \alpha \) com o eixo do cone satisfaz a equação

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta \lt 1\), onde \(F\) é o foco da elipse e \(r\) a sua diretriz.

Considere, como no caso da parábola, a esfera simultaneamente tangente internamente ao cone e tangente ao plano \(\pi \) (esfera de Dandelin).

Determine o foco \(F\) e a diretriz \(r\) da elipse por uma construção análoga à usada para a parábola;
Considere \(X\) e \(X'\) dois pontos da elipse. Defina os pontos \(B\), \(C\) e \(D\) como no caso da parábola e defina \(B'\), \(C'\) e \(D'\) analogamente a partir de \(X'\);
Mostre que os seguintes triângulos são semelhantes:

\[ \begin{array}{c} \triangle XBD \simeq \triangle X’B’D’\\ \triangle XBC \simeq \triangle X’B’C’\\ \end{array} \]
Mostre que

\[ \dfrac {\lVert \overrightarrow {XC}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XD}\rVert } = \dfrac {\lVert \overrightarrow {X’C’}\rVert }{\lVert \overrightarrow {X’D’}\rVert } = \eta , \]

onde \(\eta \) é uma constante real;
Conclua que

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta \lt 1\).

Ver solução

Seguindo a mesma construção usada para a parábola:

O foco \(F\) é o ponto de tangência da esfera de Dandelin com o plano \(\pi \), e a diretriz \(r\) é a interseção de \(\pi \) com o plano \(\gamma \) que contém o círculo de tangência da esfera com o cone.
Para \(X\) na elipse, seja \(C\) a interseção da geratriz \(\overleftrightarrow {OX}\) com \(\gamma \), seja \(B\) a projeção ortogonal de \(X\) em \(\gamma \), e seja \(D\) o ponto de \(r\) tal que \(\triangle XBD\) esteja num plano ortogonal a \(\pi \). Definem-se \(B'\), \(C'\), \(D'\) do mesmo modo a partir de \(X'\).
Em \(\triangle XBD\) e \(\triangle X'B'D'\) o ângulo reto está em \(B\) (resp. \(B'\)) e o ângulo em \(D\) (resp. \(D'\)) é o ângulo \(\theta \) que \(\pi \) faz com o eixo do cone — o mesmo para todo ponto da elipse, pois \(\pi \) é fixo. Logo \(\triangle XBD\sim \triangle X'B'D'\) (caso AA). Do mesmo modo, em \(\triangle XBC\) e \(\triangle X'B'C'\) o ângulo reto está em \(B\) (resp. \(B'\)) e o ângulo em \(C\) (resp. \(C'\)) é o ângulo \(\alpha \) de abertura do cone, também fixo; logo \(\triangle XBC\sim \triangle X'B'C'\).
Das semelhanças do item anterior,

\[ \frac{\lVert \overrightarrow {XC}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XB}\rVert }=\frac{\lVert \overrightarrow {X’C’}\rVert }{\lVert \overrightarrow {X’B’}\rVert } \qquad \text{e}\qquad \frac{\lVert \overrightarrow {XD}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XB}\rVert }=\frac{\lVert \overrightarrow {X’D’}\rVert }{\lVert \overrightarrow {X’B’}\rVert }. \]

Dividindo uma razão pela outra,

\[ \frac{\lVert \overrightarrow {XC}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XD}\rVert }=\frac{\lVert \overrightarrow {X’C’}\rVert }{\lVert \overrightarrow {X’D’}\rVert }=\eta , \]

onde \(\eta \) depende apenas dos ângulos fixos \(\alpha \) e \(\theta \), não de \(X\).
Como \(\overline{XC}\) e \(\overline{XF}\) são segmentos tangentes à mesma esfera traçados a partir de \(X\), tem-se \(\lVert \overrightarrow {XC}\rVert =\lVert \overrightarrow {XF}\rVert \); e, exatamente como no caso da parábola, \(\lVert \overrightarrow {XD}\rVert =d(X,r)\). Substituindo na razão do item anterior,

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert =\eta \, d(X,r). \]

Como aqui \(\theta \gt \alpha \) (o plano \(\pi \) é mais inclinado em relação ao eixo do que a geratriz), tem-se \(\eta \lt 1\).

Exercício 6.2

Mostre que a curva (hipérbole) formada pela interseção de um cone de ângulo de abertura \(2\alpha \) com um plano \(\pi \) que faz um ângulo \(\theta \lt \alpha \) com o eixo do cone satisfaz a equação

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta \gt 1\), onde \(F\) é o foco da hipérbole e \(r\) a sua diretriz.

Ver solução

A construção é a mesma do exercício anterior (elipse): a esfera de Dandelin tangencia o cone e o plano \(\pi \); o ponto de tangência com \(\pi \) é o foco \(F\), e a interseção de \(\pi \) com o plano \(\gamma \) dos pontos de tangência da esfera com o cone é a diretriz \(r\). Para \(X\) na hipérbole, com \(B\), \(C\), \(D\) definidos como no exercício anterior, os triângulos \(\triangle XBC\) e \(\triangle XBD\) continuam retângulos em \(B\), com ângulos \(\alpha \) (abertura do cone) e \(\theta \) (inclinação de \(\pi \) em relação ao eixo) fixos — os mesmos para qualquer ponto da hipérbole. Como antes,

\[ \frac{\lVert \overrightarrow {XC}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XD}\rVert }=\eta \]

para uma constante \(\eta \) que não depende de \(X\), e, como \(\lVert \overrightarrow {XC}\rVert =\lVert \overrightarrow {XF}\rVert \) (tangentes à mesma esfera a partir de \(X\)) e \(\lVert \overrightarrow {XD}\rVert =d(X,r)\), segue

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert =\eta \, d(X,r). \]

Neste caso \(\theta \lt \alpha \) (o plano é mais próximo do eixo do cone do que a geratriz), o que dá \(\eta \gt 1\).

Exercício 6.3

Mostre, usando as esferas de Dandelin, que os pontos \(X\) da hipérbole satisfazem a equação

\[ \left|\lVert \overrightarrow {F_1X}\rVert - \lVert \overrightarrow {F_2X}\rVert \right| = k, \]

onde \(F_1\) e \(F_2\) são os focos da hipérbole e \(k\) uma constante real.

Ver solução

Sejam \(S_1\) e \(S_2\) as esferas de Dandelin da hipérbole, tangentes ao cone nos círculos \(C_1\), \(C_2\) e ao plano \(\pi \) nos focos \(F_1\), \(F_2\) respectivamente. Para \(X\) num dos ramos, a geratriz que passa por \(X\) intersecta \(C_1\) e \(C_2\) em pontos \(H_1\), \(H_2\). Como antes, \(\lVert \overrightarrow {XH_1}\rVert =\lVert \overrightarrow {XF_1}\rVert \) e \(\lVert \overrightarrow {XH_2}\rVert =\lVert \overrightarrow {XF_2}\rVert \), pois cada par é formado por segmentos tangentes à mesma esfera traçados a partir de \(X\). Diferentemente do caso da elipse, aqui \(X\) está no mesmo ramo do cone que apenas uma das duas circunferências de tangência, de modo que \(H_1\) e \(H_2\) ficam em lados opostos de \(X\) ao longo da geratriz; assim

\[ \left|\lVert \overrightarrow {XH_1}\rVert -\lVert \overrightarrow {XH_2}\rVert \right|=\lVert \overrightarrow {H_1H_2}\rVert , \]

que é a distância entre \(C_1\) e \(C_2\) medida ao longo de qualquer geratriz — a mesma para todas as geratrizes, por simetria do cone. Chamando essa distância de \(k\), concluímos

\[ \left|\lVert \overrightarrow {F_1X}\rVert -\lVert \overrightarrow {F_2X}\rVert \right|=k. \]

8.7 Cônicas em Coordenadas Polares

Considere a cônica de equação \(\lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,l),\). Consideremos agora coordenadas polares com a origem \(O\) localizada em \(F\) e com o eixo polar perpendicular a diretriz \(l\) da cônica.

Suponha que a distância entre a diretriz \(l\) e o foco \(F\) é uma dada constante \(p\) e que a cônica está localizada, em relação a \(l\), no mesmo lado de \(F\), como na Figura 8.10. É fácil ver que no sistema de coordenadas acima descrito \(\lVert \overrightarrow {FX}\rVert =r\) e \(d(X,l)=(p-r\cos \theta )\), donde temos:

\[ r = \eta (p-r\cos \theta ). \]

Isolando \(r\) segue que:

\[ r = \dfrac {\eta p}{1+\eta \cos \theta } \]

Suponha agora que que a cônica está localizada, em relação a \(l\), no lado oposto a \(F\), como na Figura 8.11. A equação \(\lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,l),\) torna-se então:

\[ r = \eta (r\cos \theta - p). \]

Portanto segue:

\[ r = \dfrac {\eta p}{\eta \cos \theta - 1}. \]

Observe no entanto que, como \(r\) é positivo, para que a equação acima represente um lugar geométrico não vazio devemos ter \(\eta \gt 1\), ou seja, a cônica deve ser uma hipérbole.

Temos então:

Teorema 8.42

Considere uma cônica com excentricidade \(\eta \), foco \(F\) na origem e com uma diretriz \(l\) distando \(p\) de \(F\) e perpendicular ao eixo polar \(Ox\). Se \(0 \lt \eta \leq 1\), a cônica é uma elipse (\(\eta \in (0,1)\)) ou uma parábola (\(\eta = 1\)), e todo ponto da curva está localizado no mesmo semi-plano em relação a \(l\) que \(F\). Nesse caso a cônica tem equação:

\begin{equation} \label{eq:ramoesq} r = \dfrac {\eta p}{\eta \cos \theta +1}. \tag{8.13} \end{equation}

Se \(\eta \gt 1\), a curva é uma hipérbole com ramos em ambos os lados de \(l\). O ramo à esquerda de \(l\) satisfaz a Equação 8.13 e o ramo à direita de \(l\) satisfaz:

\begin{equation} \label{eq:ramodir} r = \dfrac {\eta p}{\eta \cos \theta - 1}. \tag{8.14} \end{equation}

8.8 Cônicas e a Trajetória dos Planetas

Nesta seção mostraremos, a partir das leis de Newton, que a trajetória de planetas sujeitos apenas à força gravitacional exercida por um sol é uma cônica. Tal trajetória será uma elipse, parábola ou hipérbole dependendo da velocidade inicial do planeta. A prova que fazemos aqui foi fortemente inspirada na demonstração das leis de Kepler apresentada no livro Calculus - Volume I de Tom Apostol ([1]).

Assim, suponha um sol e um planeta de massas \(M\) e \(m\), respectivamente.

A segunda lei de Newton relaciona a força resultante \(\boldsymbol {F}\) e a aceleração \(\boldsymbol {a}\) por:

\begin{equation} \label{eq:2aLei} \boldsymbol {F}=m\boldsymbol {a}. \tag{8.15} \end{equation}

Denotando por \(\boldsymbol {r}\) o vetor que liga o sol ao planeta, por \(\boldsymbol {u_r}\) o versor de \(\boldsymbol {r}\) e por \(r\) a norma de \(\boldsymbol {r}\), a lei universal da gravitação afirma que a força exercida pelo sol no planeta obedece:

\begin{equation} \label{eq:leigrav} \boldsymbol {F} = - \dfrac {GMm}{r^2} \boldsymbol {u_r}, \tag{8.16} \end{equation}

onde \(G\) é a constante gravitacional.

A partir das equações (8.15) e (8.16) temos:

\begin{equation} \label{eq:acgrav} \boldsymbol {a} = - \dfrac {GM}{r^2} \boldsymbol {u_r}. \tag{8.17} \end{equation}

Mostremos inicialmente que a trajetória do planeta está contida num plano fixo. Esse plano contém os vetores posição \(\boldsymbol {r}\) e velocidade \(\boldsymbol {v}\) e é perpendicular ao vetor momento angular específico \(\boldsymbol {r}\times \boldsymbol {v}\). Observe, para isso, que o vetor \(\boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v}\) é constante:

\[ \dfrac {d}{dt}(\boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v}) = \dfrac {d\boldsymbol {r}}{dt} \times \boldsymbol {v} + \boldsymbol {r} \times \dfrac {d\boldsymbol {v}}{dt} = \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {v} + \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {a} = \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {a} = {\boldsymbol {\displaystyle 0}}. \]

Denotemos \(\boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v}\) por \(\boldsymbol {c}\).

Como \(\boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {c} = \boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v} = 0\) segue que o vetor posição é sempre perpendicular a \(\boldsymbol {c}\), logo a trajetória é de fato plana. Observe que se \(\boldsymbol {c} = {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\) temos que \(\boldsymbol {r}\) e \(\boldsymbol {v}\) são paralelos e a trajetória será uma reta (cônica degenerada). Suponhamos no que se segue que \(\boldsymbol {c} \neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

Mostremos agora que a trajetória é de fato uma cônica.

Fixe um eixo polar passando pelo sol e seja \(\theta \) o ângulo entre \(\boldsymbol {r}\) e tal eixo. Seja \(\boldsymbol {u}_{\theta }\) o vetor unitário perpendicular a \(\boldsymbol {r}\) dado por \(\dfrac {d \boldsymbol {u_r}}{d\theta }\). Usando coordenadas polares temos que \(\boldsymbol {r} = r \boldsymbol {u_r}\). Disso segue:

\[ \dfrac {d\boldsymbol {r}}{dt} = \dfrac {d r\boldsymbol {\hat r}}{dt} =\dfrac {dr}{dt} \boldsymbol {u_r} + r\dfrac {\boldsymbol {u_r}}{dt} = \dfrac {dr}{dt} \boldsymbol {u_r} + r\dfrac {d\boldsymbol {u_r}}{d\theta }\dfrac {d\theta }{dt} = \dfrac {dr}{dt} \boldsymbol {u_r} + r\dfrac {d\theta }{dt}\boldsymbol {u}_{\theta }. \]

Portanto obtemos:

\[ \boldsymbol {c} = \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v} = (r \boldsymbol {u_r}) \times \left(\dfrac {dr}{dt} \boldsymbol {u_r} + r\dfrac {d\theta }{dt}\boldsymbol {u}_{\theta }\right) = r^2 \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u_r} \times \boldsymbol {u}_{\theta }. \]

Dessa expressão segue:

\begin{multline} \label{eq:plan0} \boldsymbol {a} \times \boldsymbol {c} = \left( - \dfrac {GM}{r^2} \boldsymbol {u_r} \right) \times \left( r^2 \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u_r} \times \boldsymbol {u}_{\theta } \right) =\\ = - GM \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u_r} \times (\boldsymbol {u_r} \times \boldsymbol {u}_{\theta }) = GM \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u}_{\theta }. \tag{8.18} \end{multline}

Observe agora que:

\begin{equation} \label{eq:plan1} \dfrac {d}{dt}(\boldsymbol {v} \times \boldsymbol {c}) = \dfrac {d\boldsymbol {v}}{dt} \times \boldsymbol {c} + \boldsymbol {v} \times \dfrac {d\boldsymbol {c}}{dt} = \boldsymbol {a} \times \boldsymbol {c}. \tag{8.19} \end{equation}

Por outro lado:

\begin{equation} \label{eq:plan2} \dfrac {d}{dt} (GM\boldsymbol {u_r}) = GM \dfrac {d\boldsymbol {u_r}}{dt} = GM \dfrac {d\boldsymbol {u_r}}{d\theta } \dfrac {d\theta }{dt} = GM \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u}_{\theta }. \tag{8.20} \end{equation}

Das equações (8.18), (8.19) e (8.20) segue então que:

\[ \dfrac {d}{dt}(\boldsymbol {v} \times \boldsymbol {c}) = \dfrac {d}{dt} (GM\boldsymbol {u_r}). \]

Portanto, por integração obtemos:

\[ \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {c} = GM\boldsymbol {u_r} + \boldsymbol {b}, \]

onde \(\boldsymbol {b}\) é um vetor constante.

Tomando \(\boldsymbol {e}\) tal que \(GM \boldsymbol {e} = \boldsymbol {b}\) segue que:

\[ \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {c} = GM(\boldsymbol {u_r} + \boldsymbol {e}). \]

Tomando o produto escalar com \(\boldsymbol {r}\) em ambos os lados, obtemos

\[ \boldsymbol {r}\cdot (\boldsymbol {v}\times \boldsymbol {c}) =GM\bigl(r+\boldsymbol {r}\cdot \boldsymbol {e}\bigr) =GMr(1+\eta \cos \phi ), \]

onde \(\eta =\lVert \boldsymbol {e}\rVert \) e \(\phi \) é o ângulo entre \(\boldsymbol {r}\) e \(\boldsymbol {e}\). Como \(\boldsymbol {c}=\boldsymbol {r}\times \boldsymbol {v}\), a invariância cíclica do produto misto fornece

\[ \boldsymbol {r}\cdot (\boldsymbol {v}\times \boldsymbol {c}) =(\boldsymbol {r}\times \boldsymbol {v})\cdot \boldsymbol {c} =\boldsymbol {c}\cdot \boldsymbol {c} =c^2, \]

onde \(c=\lVert \boldsymbol {c}\rVert \).

Assim temos, finalmente,

\[ GMr(1+\eta \cos \phi )=c^2. \]

Se \(\eta =0\), segue que \(r=c^2/(GM)\) é constante, e a órbita é circular. Se \(\eta \gt 0\), definindo

\[ p=\dfrac {c^2}{GM\eta }, \]

obtemos

\[ r=\dfrac {\eta p}{1+\eta \cos \phi }, \]

que é a equação polar de uma cônica com foco no sol e excentricidade \(\eta \).

Observação 8.43

Como \(\boldsymbol {e}\) é uma constante de integração e \(\eta =\lVert \boldsymbol {e}\rVert \) temos que a excentricidade depende fundamentalmente das condições iniciais do movimento, isto é, da posição e velocidade iniciais do planeta (Verifique!).

8.9 Exercícios complementares

As listas históricas deste capítulo concentram-se nas construções de Dandelin. Os exercícios abaixo completam a prática com formas canônicas, elementos geométricos, translações, completar quadrados e excentricidade.

Exercício 9.1

Considere a elipse

\[ 9x^2+4y^2=36. \]

Determine centro, vértices, focos, comprimentos dos eixos e excentricidade.

Ver solução

A forma canônica é

\[ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1. \]

Logo o eixo maior é vertical, \(a=3\), \(b=2\) e

\[ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt5. \]

Centro: \((0,0)\). Vértices principais: \((0,\pm 3)\). Vértices secundários: \((\pm 2,0)\). Focos: \((0,\pm \sqrt5)\). Os eixos medem \(6\) e \(4\), e

\[ e=\frac{\sqrt5}{3}. \]

Exercício 9.2

Determine a equação da elipse cujos focos são \((\pm 4,0)\) e cujo eixo maior mede \(10\).

Ver solução

Temos \(c=4\) e \(2a=10\), portanto \(a=5\). Como \(a^2=b^2+c^2\),

\[ b^2=25-16=9. \]

Logo

\[ \boxed {\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1}. \]

Exercício 9.3

Identifique a cônica

\[ 9x^2+16y^2-36x+32y-92=0 \]

e determine seus elementos geométricos principais.

Ver solução

Completando quadrados,

\[ 9(x-2)^2+16(y+1)^2=144, \]

isto é,

\[ \frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{9}=1. \]

É uma elipse de centro \((2,-1)\), com \(a=4\), \(b=3\), \(c=\sqrt7\). O eixo maior é horizontal; os focos são

\[ (2\pm \sqrt7,-1), \]

e os vértices principais são \((6,-1)\) e \((-2,-1)\).

Exercício 9.4

Para a hipérbole

\[ 9x^2-16y^2=144, \]

determine vértices, focos, assíntotas e excentricidade.

Ver solução

A forma canônica é

\[ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1. \]

Logo \(a=4\), \(b=3\) e \(c=5\). Os vértices são \((\pm 4,0)\), os focos \((\pm 5,0)\) e as assíntotas

\[ y=\pm \frac34x. \]

A excentricidade é

\[ e=\frac54. \]

Exercício 9.5

Determine a equação da hipérbole de centro na origem, focos \((\pm 5,0)\) e vértices \((\pm 3,0)\).

Ver solução

Temos \(c=5\), \(a=3\) e

\[ b^2=c^2-a^2=25-9=16. \]

Portanto

\[ \boxed {\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1}. \]

Exercício 9.6

Identifique e esboce a cônica

\[ 4x^2-9y^2-8x-36y-68=0. \]

Determine centro, vértices, focos e assíntotas.

Ver solução

Completando quadrados,

\[ 4(x-1)^2-9(y+2)^2=36, \]

logo

\[ \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{4}=1. \]

É uma hipérbole de centro \((1,-2)\), com \(a=3\), \(b=2\) e \(c=\sqrt{13}\). Vértices:

\[ (1\pm 3,-2). \]

Focos:

\[ (1\pm \sqrt{13},-2). \]

Assíntotas:

\[ y+2=\pm \frac23(x-1). \]

Exercício 9.7

Para a parábola

\[ y^2=12x, \]

determine vértice, foco, diretriz, eixo de simetria e comprimento da corda focal perpendicular ao eixo.

Ver solução

Comparando com \(y^2=4px\), temos \(p=3\). Logo

\[ V=(0,0),\qquad F=(3,0),\qquad d:x=-3. \]

O eixo é \(y=0\). A corda focal perpendicular ao eixo passa por \(x=3\); seus extremos são \((3,\pm 6)\), portanto seu comprimento é \(12=4p\).

Exercício 9.8

Determine a equação da parábola de foco \((0,-2)\) e diretriz \(y=2\).

Ver solução

O vértice é a origem e \(p=-2\). Assim

\[ x^2=4py=-8y, \]

\[ \boxed {y=-\frac{x^2}{8}}. \]

Exercício 9.9

Identifique a parábola

\[ x^2-6x-8y+1=0 \]

e determine vértice, foco e diretriz.

Ver solução

Completando quadrados,

\[ (x-3)^2=8(y+1). \]

Logo \(4p=8\), isto é, \(p=2\). Portanto

\[ V=(3,-1),\qquad F=(3,1),\qquad d:y=-3. \]

Exercício 9.10

Determine focos, diretrizes e excentricidade das cônicas:

\(\dfrac {x^2}{25}+\dfrac {y^2}{9}=1\);
\(\dfrac {x^2}{9}-\dfrac {y^2}{16}=1\);
\(y^2=12x\).

Ver solução

\(a=5\), \(b=3\), \(c=4\), \(e=4/5\). Focos \((\pm 4,0)\) e diretrizes

\[ x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{25}{4}. \]
\(a=3\), \(b=4\), \(c=5\), \(e=5/3\). Focos \((\pm 5,0)\) e diretrizes

\[ x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac95. \]
Excentricidade \(e=1\), foco \((3,0)\) e diretriz \(x=-3\).

Exercício 9.11

Um ponto \(P=(x,y)\) satisfaz

\[ d(P,(4,0))=\frac45\, d\! \left(P,\, x=\frac{25}{4}\right). \]

Sem usar uma tabela pronta, desenvolva a equação e identifique a cônica.

Ver solução

Elevando ao quadrado,

\[ (x-4)^2+y^2=\frac{16}{25}\left(x-\frac{25}{4}\right)^2. \]

Simplificando,

\[ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1. \]

Trata-se da elipse de focos \((\pm 4,0)\) e excentricidade \(4/5\).

Exercício 9.12

Compare as elipses

\[ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 \qquad \text{e}\qquad \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1. \]

Mostre diretamente que são semelhantes e determine a razão da homotetia que leva a primeira na segunda.

Ver solução

Na primeira, \((a,b)=(5,3)\); na segunda, \((a',b')=(10,6)\). Assim

\[ \frac{a'}a=\frac{b'}b=2. \]

A homotetia de centro na origem e razão \(2\) leva \((x,y)\) em \((2x,2y)\) e transforma a primeira elipse na segunda. Ambas têm a mesma excentricidade \(4/5\).

Gabaritos dos exercícios de Dandelin já existentes

Elipse: foco–diretriz a partir de Dandelin. Tome uma das esferas de Dandelin. O ponto em que ela toca o plano secante \(\pi \) é o foco \(F\). O plano que contém o círculo de tangência da esfera com o cone intercepta \(\pi \) numa reta \(r\), que é a diretriz. Para dois pontos \(X,X'\) da elipse, construa \(B,C,D\) e \(B',C',D'\) como no caso da parábola. Os pares de triângulos indicados são semelhantes porque os ângulos envolvidos dependem apenas dos ângulos fixos do cone e do plano. Da semelhança segue que

\[ \frac{XC}{XD}=\frac{X'C'}{X'D'}=\eta , \]

independente do ponto. Como os segmentos \(XC\) e \(XF\) são tangentes traçados de \(X\) à mesma esfera, \(XC=XF\); analogamente para \(X'\). Portanto

\[ XF=\eta \, d(X,r). \]

No caso elíptico o plano secante é mais inclinado que a geratriz correspondente, o que produz \(0\lt \eta \lt 1\).
Hipérbole: foco–diretriz. Repita a construção com a esfera de Dandelin tangente à folha correspondente do cone. O ponto de tangência com \(\pi \) é o foco e a interseção de \(\pi \) com o plano do círculo de tangência é a diretriz. Os mesmos triângulos semelhantes fornecem uma razão constante

\[ XF=\eta \, d(X,r). \]

Agora a geometria do corte hiperbólico produz \(\eta \gt 1\).
Diferença das distâncias aos focos. Use as duas esferas de Dandelin associadas à hipérbole. Para \(X\) em uma das componentes, sejam \(H_1,H_2\) os pontos em que a geratriz por \(X\) toca os círculos de contato das duas esferas com o cone. Pela igualdade dos segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto a uma esfera,

\[ XF_1=XH_1, \qquad XF_2=XH_2. \]

Ao longo de qualquer geratriz, a distância entre os dois círculos de tangência é constante. Portanto

\[ |XF_1-XF_2|=|XH_1-XH_2|=H_1H_2=k, \]

independente de \(X\).