Capítulo 8

Cônicas

8.1 Introdução

As curvas cônicas ou seções cônicas são as curvas obtidas pela interseção de um cone com planos que não contenham o vértice desse cone.

Figura 8.1 Uma seção cônica obtida por um plano que não contém o vértice do cone.

Existem essencialmente três tipos de cônicas que podem ser obtidas a partir de um cone cuja reta geratriz faz ângulo \(\alpha \) com o eixo desse cone:

parábola: obtida pela interseção do cone com um plano que forma ângulo \(\alpha \) com o eixo do cone;
elipse: obtida pela interseção do cone com um plano que forma um ângulo \(\theta \gt \alpha \) com o eixo do cone;
hipérbole: obtida pela interseção do cone com um plano que forma um ângulo \(\theta \lt \alpha \) com o eixo do cone.

Pode-se mostrar que o lugar geométrico de tais curvas num plano pode ser caracterizado por relações envolvendo a distância de seus pontos a seus focos e retas diretrizes como descrito a seguir (ver Seção 8.6). Assim, definimos:

Definição 8.1

Uma elipse \(\mathcal{E}\) de focos \(F_1\) e \(F_2\) de eixo maior medindo \(2a\gt \lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert \) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos \(F_1\) e \(F_2\) é igual a \(2a\). Ou seja, dados \(F_1\) e \(F_2\), com \(\lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert = 2c\), e um número \(a \gt c\), dizemos que \(P\) é um ponto da elipse \(\mathcal{E}\) se somente se:

\begin{equation} \label{eq:elipse} \lVert \overrightarrow {F_1P}\rVert + \lVert \overrightarrow {F_2P}\rVert =2a. \tag{8.1} \end{equation}

Definição 8.2

Uma hipérbole \(\mathcal{H}\) de focos \(F_1\) e \(F_2\) de eixo transverso medindo \(2a\lt \lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert \) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos \(F_1\) e \(F_2\) é igual a \(2a\). Ou seja, dados \(F_1\) e \(F_2\), com \(\lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert = 2c\), e um número \(0\lt a\lt c\), dizemos que \(P\) é um ponto da hipérbole \(\mathcal{H}\) se somente se:

\begin{equation} \label{eq:hiperbole} \left\lvert \lVert \overrightarrow {F_1P}\rVert - \lVert \overrightarrow {F_2P}\rVert \right\rvert =2a. \tag{8.2} \end{equation}

Definição 8.3

Uma parábola \(\mathcal{P}\) de foco \(F\) e reta diretriz \(d\) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujas distâncias ao ponto \(F\) e a reta \(d\) são iguais. Ou seja, dados um ponto \(F\) e uma reta \(d\) com \(F\notin d\), dizemos que \(P\) é um ponto da parábola \(\mathcal{P}\) se somente se:

\begin{equation} \label{eq:parabola} \lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d). \tag{8.3} \end{equation}

8.2 Elipse

Conforme descrito na Definição 8.1, uma elipse \(\mathcal{E}\) é o lugar geométrico formado por pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, \(F_1\) e \(F_2\), é constante.

Nesta seção estudaremos a forma canônica da elipse, que corresponde à escolha de eixos coordenados alinhados com os eixos da elipse e de origem em seu centro. Introduziremos primeiro a terminologia necessária a essa descrição.

8.2.1 Terminologia

Os pontos \(F_1\) e \(F_2\) descritos na Definição 8.1 são denominados focos da elipse. O segmento \(\overline{F_1F_2}\) de comprimento \(2c\) é o segmento focal da elipse e \(2c\) é a distância focal da elipse.
A reta \(r\) contendo \(F_1\) e \(F_2\) é denominada reta focal da elipse.
A interseção de \(\mathcal{E}\) com \(r\) consiste de dois pontos \(A_1\) e \(A_2\) que são os vértices da elipse sobre a reta focal. O segmento \(\overline{A_1A_2}\) de comprimento \(2a\) é o chamado eixo focal da elipse (ou eixo maior da elipse).
O ponto médio \(O\in r\) do segmento \(\overline{F_1F_2}\) é o centro da elipse;
A reta \(s\) perpendicular a \(r\) por \(O\) é a reta não focal da elipse.
A interseção de \(\mathcal{E}\) com \(s\) consiste de dois pontos \(B_1\) e \(B_2\) que são os vértices da elipse sobre a reta não focal. O segmento \(\overline{B_1B_2}\) é o chamado eixo não focal da elipse (ou eixo menor da elipse).
Qualquer segmento cujos extremos estão sobre \(\mathcal{E}\) é denominado corda da elipse;
Chamamos de amplitude focal o comprimento de uma corda que contenha um dos focos da elipse e que seja perpendicular ao eixo focal desta. Notamos que existem duas dessas cordas, usualmente denominadas individualmente por latus rectum.
A menor região retangular que contém a elipse é chamada retângulo fundamental da elipse.
A menor coroa circular que contém a elipse é denominada coroa fundamental da elipse.

8.2.2 Equação da Elipse

Os dois exemplos a seguir mostram como a escolha das coordenadas influencia a equação da elipse.

Exemplo 8.4

Usando a mesma notação descrita na Subseção 8.2.1, consideremos num sistema de coordenadas cartesiano uma elipse de focos \(F_1 = (0,0)\) e \(F_2 = (2,1)\) e eixo focal medindo \(2a=4\).

Tomando \(P=(x,y)\) a equação (8.1) fica:

\[ \sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2} = 4. \]

Para obter uma equação quadrática, eliminaremos as raízes quadradas por operações algébricas.

Isolando o termo \(\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}\) e elevando ao quadrado, obtemos:

\[ \left(x^2-4x+4\right) + \left(y^2-2y+1\right) = 16 - 8\sqrt{x^2+y^2} + \left(x^2 + y^2\right). \]

Simplificando e isolando \(8\sqrt{x^2+y^2}\):

\[ 4x + 2y + 11 = 8\sqrt{x^2+y^2}. \]

Finalmente, elevando ao quadrado e simplificando a expressão obtida, chegamos a:

\begin{equation} \label{eq:eliptorta} 48x^2 + 60y^2 -16xy - 88x - 44y - 121 = 0. \tag{8.4} \end{equation}

Essa equação quadrática é, então, a representação cartesiana procurada da elipse \(\mathcal{E}\).

Exemplo 8.5

Considere agora, num sistema de coordenadas cartesiano, \(F_1 = (-4,0)\) e \(F_2 = (4,0)\) de modo que o eixo focal \(r\) fica alinhado com o eixo \(Ox\) e o centro \(O\) da elipse fica sobre a origem do sistema de coordenadas. Estudemos uma elipse de eixo focal medindo \(2a = 10\). Seja \(P=(x,y)\) um ponto qualquer da elipse \(\mathcal{E}\).

Em coordenadas cartesianas, a equação (8.1) fica:

\[ \sqrt{\left( x+4\right) ^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}}=10. \]

Vamos simplificar essa equação eliminando as raízes quadradas por manipulações algébricas.

Inicialmente, isolemos a raiz \(\sqrt{\left( x+4\right) ^{2}+y^{2}}\) e elevemos a igualdade obtida ao quadrado:

\[ \begin{aligned} \left(x+4\right)^2+y^2 & =100+\left[\left(x-4\right)^2+y^2\right]\\ & \qquad -20\sqrt{\left(x-4\right)^2+y^2}. \end{aligned} \]

Simplificando a equação e isolando o termo \(20\sqrt{\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}}\), obtemos:

\[ 100 - 16x = 20\sqrt{\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}}, \]

ou ainda:

\[ 5 - \dfrac {4}{5}x = \sqrt{\left( x-4\right) ^{2}+y^{2}}, \]

Elevando esta igualdade ao quadrado chegamos a:

\[ 25 + \dfrac {16}{25}x^2 - 8x = x^2 + 16 -8x +y^2. \]

Portanto temos:

\[ \dfrac {9}{25}x^2 + y^2 = 9. \]

Finalmente, dividindo-a por \(9\), segue:

\begin{equation} \label{eq:elipalinhada} \dfrac {x^2}{25} + \dfrac {y^2}{9} = 1, \tag{8.5} \end{equation}

que é a forma canônica da elipse \(\mathcal{E}\).

Esses exemplos e os cálculos neles envolvidos sugerem que toda elipse pode ser representada no plano cartesiano por um equação quadrática da forma:

\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, \]

onde \(A, B, C, D, E\) e \(F\) são constantes (que dependem da elipse a ser representada). A afirmação segue pelo mesmo procedimento de eliminação das raízes usado nos exemplos anteriores.

A Equação (8.5), obtida no segundo exemplo, tem menos termos que a Equação (8.4), obtida no primeiro. No Exemplo 8.5, os eixos coordenados estão alinhados com os eixos da elipse e a origem coincide com seu centro; essa escolha simplifica a expressão algébrica.

Encontremos, então, a equação da elipse \(\mathcal{E}\) num sistema de coordenadas adequado a \(\mathcal{E}\).

Assuma que os focos \(F_1\) e \(F_2\) possuem coordenadas \(\left(c,0\right)\) e \(\left(-c,0\right)\), respectivamente. Tomando \(P = \left( x,y\right)\). Da Equação (8.1) obtemos:

\[ \sqrt{\left( x-c\right) ^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left( x+c\right) ^{2}+y^{2}}=2a \]

e logo \(\sqrt{\left( x+c\right) ^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{\left( x-c\right) ^{2}+y^{2}}.\) Elevando ao quadrado ambos os lados dessa expressão obtemos:

\[ c^{2}+2cx+x^{2}+y^{2}=4a^{2}-2cx-4a\sqrt{c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}}+c^{2}+x^{2}+y^{2} \]

Simplificando temos que

\[ a\sqrt{c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}}=a^{2}-cx \]

Elevando novamente ao quadrando ambos os lados da equação obtemos

\begin{align*} a^{2}\left( c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}\right) & =\left( a^{2}-cx\right) ^{2}\\ a^{2}\left( c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}\right) & =a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ a^{2}\left( c^{2}-2cx+x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\right) & =0\\ -a^{4}+a^{2}c^{2}+a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-c^{2}x^{2} & =0\\ a^{2}\left( a^{2}-c^{2}\right) & =\left( a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2}y^{2} \end{align*}

Substituindo \(b^{2}=\) \(\left( a^{2}-c^{2}\right) \) temos

\[ a^{2}b^{2}=b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}. \]

Dividindo ambos os lados por \(a^{2}b^{2}\) chegamos finalmente à equação

\[ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1. \]

Reciprocamente, suponha que \(P=(x,y)\) satisfaça essa equação. Então \(|x|\leq a\) e, usando \(b^2=a^2-c^2\),

\[ \begin{aligned} (x-c)^2+y^2& =\left(a-\frac{cx}{a}\right)^2,\\ (x+c)^2+y^2& =\left(a+\frac{cx}{a}\right)^2. \end{aligned} \]

Como \(c\lt a\) e \(|x|\leq a\), os dois termos entre parênteses são positivos. Portanto

\[ \lVert \overrightarrow {F_1P}\rVert +\lVert \overrightarrow {F_2P}\rVert =\left(a-\frac{cx}{a}\right)+\left(a+\frac{cx}{a}\right)=2a. \]

Assim, a equação canônica descreve exatamente o lugar geométrico definido pelos dois focos.

Chegamos assim à seguinte proposição:

Proposição 8.6

Uma elipse \(\mathcal{E}\) de focos \(F_1 = (c,0)\) e \(F_2 = (-c,0)\) e eixo maior medindo \(2a\) tem equação

\begin{equation} \label{eq:formacanelip} \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \tag{8.6} \end{equation}

onde \(b\) é tal que \(a^2 = b^2 + c^2\).

Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da elipse (ou equação reduzida da elipse).

Os números \(a,b\) e \(c\) são conhecidos como parâmetros geométricos da elipse.

Observação 8.7

Se na dedução da equação da elipse tivéssemos adotado o sistema de coordenadas com os focos sobre o eixo \(y\) e a origem entre os focos, isto é o sistema com o eixo maior \(\overline{A_1A_2}\) de comprimento \(2a\) sobre o eixo \(y\) e o eixo menor \(\overline{B_1B_2}\) de comprimento \(2b\) sobre o eixo \(x\), teríamos, no final, a equação:

\[ \dfrac {x^{2}}{b^{2}}+\dfrac {y^{2}}{a^{2}}=1. \]

Observação 8.8

Para uma elipse de equação:

\[ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \]

com \(a\gt b\), é fácil ver que:

O retângulo fundamental da elipse é a região retangular \(R = \{ (x,y)\in \mathbb {E}^2 ; x\in [-a,a], y \in [-b,b]\} \) .
A coroa fundamental da elipse é a região \(C = \{ (x,y)\in \mathbb {E}^2; b^2 \leq x^2 + y^2 \leq a^2\} \).

8.2.3 Esboço da Elipse

Considere uma elipse \(\mathcal{E}\) de equação:

\[ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \]

com \(a,b\gt 0\).

Observe inicialmente que, se um ponto \(P=(x,y)\) está na elipse \(\mathcal{E}\), também a ela pertencem os pontos \(P' = (-x,y)\), \(P' = (x,-y)\) e \(P' = (-x,-y)\). Desse modo, basta para esboçarmos \(\mathcal{E}\) basta estudarmos a elipse no primeiro quadrante do sistema de coordenadas e refletirmos tal esboço ao longo dos eixos \(Ox\) e \(Oy\) (que são eixos de simetria da elipse).

Além disso, isolando-se o parâmetro \(y\) da equação de \(\mathcal{E}\) obtemos:

\[ y = \pm \dfrac {b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}, \]

donde observamos que para esboçarmos \(\mathcal{E}\) no primeiro quadrante basta estudarmos o gráfico da função:

\begin{align*} f: [0,a] & \longrightarrow \mathbb {R}\\ x & \longmapsto \dfrac {b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}. \end{align*}

Observação 8.9

Note que para \(x\gt a\), temos \((a^2 - x^2) \lt 0\) e, portanto, \(f\) não fica bem definida.

Como \(f(0) = b\) e \(f(a) = 0\) temos que dois dos vértices da elipse têm coordenadas \((0,b)\) e \((a,0)\).

Além disso, temos que \(f\) é decrescente, já que, para \(x_0,x_1\in [0,a]\), temos:

\begin{align*} x_0 \lt x_1 & \Longleftrightarrow x_0^2 \lt x_1^2 \Longleftrightarrow a^2 - x_0^2 \gt a^2 -x_1^2\\ & \Longleftrightarrow \dfrac {b}{a} \sqrt{a^2 - x_0^2} \gt \dfrac {b}{a} \sqrt{a^2 - x_1^2} \Longleftrightarrow f(x_0) \gt f(x_1). \end{align*}

O uso de cálculo diferencial nos permite concluir que o gráfico de \(f\) é côncavo, isto é fixos dois pontos \(P_0\) e \(P_1\) quaisquer sobre o gráfico de \(f\), temos que o gráfico de \(f\) fica acima do segmento \(\overline{P_0P_1}\).

A concavidade do gráfico de \(f\) decorre do fato de que a segunda derivada de \(f\) é dada por:

\[ f''(x) = -\dfrac {ab}{(a^2-x^2)^{3/2}}, \]

que é negativa para todo \(x\in (-a,a)\).

Observação 8.10

Uma elipse pode ser facilmente desenhada com o auxílio de um barbante de comprimento \(2a\). Basta para isso fixarmos as extremidades do barbante nos focos e traçarmos uma curva com o lápis apoiado (porém não preso) no barbante de modo a manter este sempre esticado.

8.2.4 Exemplos

Exemplo 8.11

Determine a equação da elipse de focos \((3,0)\) e \((-3,0)\) e vértices \((0,4)\) e \((0,-4)\).

Solução

Primeiramente notamos que temos uma elipse de focos no eixo \(Ox\) (pois a segunda coordenada dos focos é \(0\)). Então, usando a mesma notação da Proposição 8.6, temos \(c = 3\) e \(b = 4\), e, como \(a^2 = b^2 + c^2\), segue que \(a=5\). Desse modo a equação procurada é:

\[ \dfrac {x^2}{25} + \dfrac {y^2}{16} = 1, \]

que é uma elipse com vértices \(A_1 = (5,0)\), \(A_2 = (-5,0)\), \(B_1 = (0,4)\), \(B_2=(0,-4)\) e focos \(F_1 = (3,0)\) e \(F_2 = (-3,0)\).

Exemplo 8.12

Determine a equação da elipse de focos \((0,4)\) e \((0,-4)\) e eixo maior medindo \(12\).

Solução

Nesse exemplo temos uma elipse de focos no eixo \(Oy\) (pois a primeira coordenada dos focos é \(0\)). Assim, usando a notação da Observação 8.7, temos \(c = 4\) e \(2a = 12\) e, como \(a^2 = b^2 + c^2\), segue que \(b = 2\sqrt{5}\). Desse modo a equação procurada é:

\[ \dfrac {x^2}{20} + \dfrac {y^2}{36} = 1, \]

que é uma elipse com vértices \(A_1 = (0,6)\), \(A_2 = (0,-6)\), \(B_1 = (2\sqrt{5},0)\), \(B_2=(-2\sqrt{5},0)\) e focos \(F_1 = (0,4)\) e \(F_2 = (0,-4)\).

Exemplo 8.13

Seja \(\mathcal{E}\) uma elipse de centro na origem e tal que um de seus vértices sobre a reta focal é \((0,5)\). Sabendo que \(\mathcal{E}\) passa pelo ponto \(\left(\dfrac {6\sqrt{5}}{5},\sqrt{5}\right)\), determine a equação da elipse.

Solução

Nesse exemplo temos novamente uma elipse de focos no eixo \(Oy\) (nesse caso porque nos é informado que o centro da elipse está na origem e o ponto \((0,5)\) sobre a reta focal). Assim, usando a notação da Observação 8.7, temos \(a = 5\). Desse modo a equação procurada é do tipo:

\[ \dfrac {x^2}{b^2} + \dfrac {y^2}{25} = 1, \]

com \(0\lt b\lt 5\).

Usando agora que o ponto \(\left(\dfrac {6\sqrt{5}}{5},\sqrt{5}\right)\) pertence a \(\mathcal{E}\) temos que:

\[ \dfrac {\left(6\sqrt{5}/5\right)^2}{b^2} + \dfrac {\left(\sqrt{5}\right)^2}{25} = 1. \]

Resolvento tal equação (de incógnita \(b\)) obtemos \(b = 3\). Logo a equação da elipse é:

\[ \dfrac {x^2}{9} + \dfrac {y^2}{25} = 1. \]

8.3 Hipérbole

De acordo com a Definição 8.2, uma hipérbole \(\mathcal{H}\) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias a \(F_1\) e \(F_2\) é igual a \(2a\) (onde \(2a\lt \lVert \overrightarrow {F_1F_2}\rVert \)).

Desenvolveremos nesta seção a equação tida como a forma canônica da hipérbole, que descreve uma hipérbole cujos focos estão em um dos eixos coordenados simetricamente dispostos em relação à origem. Assim como fizemos para a elipse, fixemos primeiramente a terminologia básica envolvida no estudo de hipérboles.

8.3.1 Terminologia

Os pontos \(F_1\) e \(F_2\) descritos na Definição 8.2 são denominados focos da hipérbole. O segmento \(\overline{F_1F_2}\) de comprimento \(2c\) é o segmento focal da hipérbole e \(2c\) é a distância focal da hipérbole.
A reta \(r\) contendo \(F_1\) e \(F_2\) é denominada reta focal da hipérbole.
A interseção de \(\mathcal{H}\) com \(r\) consiste de dois pontos \(A_1\) e \(A_2\) que são os vértices da hipérbole sobre a reta focal. O segmento \(\overline{A_1A_2}\) de comprimento \(2a\) é o chamado eixo transverso da hipérbole.
O ponto médio \(O\in r\) do segmento \(\overline{F_1F_2}\) é o centro da hipérbole;
O segmento \(\overline{B_1B_2}\) de comprimento \(2b\) (onde \(c^2 = a^2 + b^2\)), cujos extremos \(B_1\) e \(B_2\) estão simetricamente localizados em relação ao centro \(O\) da hipérbole sobre a reta \(s\) perpendicular a \(r\) por \(O\), é denominado eixo conjugado da hipérbole;
Os números \(a,b\) e \(c\) são conhecidos como parâmetros geométricos da hipérbole.
As retas \(r_-\) e \(r_+\) pelo centro \(O\) de inclinação \(-b/a\) e \(b/a\) respectivamente são as assíntotas da hipérbole (ver Subseção 8.3.3);
Qualquer segmento cujos extremos estão sobre \(\mathcal{H}\) é denominado corda da hipérbole;
Chamamos de amplitude focal da hipérbole o comprimento de uma corda que contenha um dos focos da hipérbole e que seja perpendicular à reta focal desta.
O retângulo fundamental da hipérbole é a região retangular \(R = \{ (x,y)\in \mathbb {E}^2 ; x\in [-a,a], y \in [-b,b]\} \).
Uma hipérbole é dita equilátera quando os parâmetros geométricos \(a\) e \(b\) dessa hipérbole são iguais.

8.3.2 Equação da Hipérbole

A definição focal e a forma canônica são equivalentes, como mostra a proposição a seguir.

Proposição 8.14

Uma hipérbole \(\mathcal{H}\) de focos \(F_1 = (c,0)\) e \(F_2 = (-c,0)\) e eixo transverso medindo \(2a\) tem equação

\begin{equation} \label{eq:formacanhip} \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \tag{8.7} \end{equation}

onde \(b\) é tal que \(c^2 = a^2 + b^2\).

Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da hipérbole (ou equação reduzida da hipérbole).

Demonstração ▼

Escreva

\[ d_- = \sqrt{(x-c)^2+y^2}, \qquad d_+ = \sqrt{(x+c)^2+y^2}. \]

No ramo direito, \(d_+-d_-=2a\). Logo

\[ 4cx=4a\, d_-+4a^2, \qquad d_-=\frac{cx-a^2}{a}. \]

Elevando ao quadrado e usando \(c^2=a^2+b^2\), obtemos

\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1. \]

No ramo esquerdo o cálculo é o mesmo, com os papéis de \(d_+\) e \(d_-\) trocados.

Reciprocamente, suponha que

\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1. \]

Então \(|x|\geq a\). Se \(x\geq a\), novamente por \(c^2=a^2+b^2\),

\[ d_- = \frac{cx}{a}-a, \qquad d_+ = \frac{cx}{a}+a, \]

e portanto \(|d_+-d_-|=2a\). Para \(x\leq -a\), a mesma igualdade vale trocando os dois focos. Logo a equação canônica descreve exatamente o lugar geométrico da definição focal.

Observação 8.15

Se na dedução da equação da hipérbole tivéssemos partido de focos localizados sobre o eixo \(Oy\) (ou seja \(F_1 = (0,c)\) e \(F_2 = (0,-c)\)), teríamos chegado à equação:

\[ \dfrac {y^{2}}{a^{2}}-\dfrac {x^{2}}{b^{2}}=1. \]

8.3.3 Assíntotas

Definição 8.16

Uma reta \(r\) de equação \(y = mx + n\) é dita ser uma assíntota de uma dada função \(f: (a,+\infty )\to \mathbb {R}\) em \(+\infty \) (\(a\in \mathbb {R}\)) se a distância entre o ponto \((x,f(x))\) do gráfico e a reta \(r\) tende a zero quando \(x\) vai para infinito, isto é se:

\begin{equation} \label{eq:assint} \lim _{x\to +\infty } d(P,r) = 0, \tag{8.8} \end{equation}

onde \(P = (x,f(x))\). Analogamente podemos definir assíntota de \(f\) em \(-\infty \).

A proposição abaixo mostra que hipérboles admitem duas assíntotas.

Proposição 8.17

As retas \(r_+\) e \(r_-\) de equações

\[ r_+: y = \dfrac {b}{a} x \qquad \textrm{e}\qquad r_-: y = -\dfrac {b}{a} x \]

são assíntotas da hipérbole \(\mathcal{H}\) de equação

\[ \dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2} = 1. \]

Demonstração ▼

De fato, para uma tal hipérbole \(\mathcal{H}\), temos que \(P=(x,y)\in \mathcal{H}\) se e somente se \(b^2x^2-a^2y^2 = a^2b^2\). Então temos:

\begin{align*} d(P,r_+) & = \dfrac {|bx-ay|}{\sqrt{b^2+a^2}}\\ & = \dfrac {|bx-ay|}{\sqrt{b^2+a^2}}\dfrac {|bx+ay|}{|bx+ay|}\\ & = \dfrac {|b^2x^2-a^2y^2|}{\sqrt{b^2+a^2}}\dfrac {1}{|bx+ay|}\\ & = \dfrac {a^2b^2}{\sqrt{b^2+a^2}}\dfrac {1}{|bx+ay|} \end{align*}

Assim, temos que

\[ \lim _{(x,y)\to (\pm \infty ,\pm \infty )} d(P,r_+) = 0. \]

Analogamente, temos também que

\[ \lim _{(x,y)\to (\pm \infty ,\mp \infty )} d(P,r_-) = 0. \]

Observação 8.18

Escrevendo os dois ramos como

\[ f_+(x)=b\sqrt{\dfrac {x^2}{a^2}-1}, \qquad f_-(x)=-b\sqrt{\dfrac {x^2}{a^2}-1}, \]

temos: \(f_+\) aproxima \(r_+\) quando \(x\to +\infty \) e \(r_-\) quando \(x\to -\infty \); para \(f_-\) ocorre o contrário. Essa formulação torna precisa a afirmação de que as duas retas são assíntotas da hipérbole.

8.3.4 Esboço da Hipérbole

Seja uma Hipérbole \(\mathcal{H}\) de equação:

\[ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1, \]

com \(a,b\gt 0\).

Como na elipse observamos que, se um ponto \(P=(x,y)\) está na hipérbole \(\mathcal{H}\), também a ela pertencem os pontos \(P' = (-x,y)\), \(P' = (x,-y)\) e \(P' = (-x,-y)\). Assim, a hipérbole \(\mathcal{H}\) é simétrica em relação aos eixos \(Ox\) e \(Oy\).

Além disso, isolando-se o parâmetro \(y\) da equação de \(\mathcal{H}\) obtemos:

\[ y = \pm \dfrac {b}{a} \sqrt{x^2 - a^2}. \]

Estudemos então o gráfico da função:

\begin{align*} f: [a,+\infty ) & \longrightarrow \mathbb {R}\\ x & \longmapsto \dfrac {b}{a} \sqrt{x^2 - a^2}. \end{align*}

Observação 8.19

Observe que, no caso da hipérbole, para \(x\in [0,a)\), temos \((x^2 - a^2) \lt 0\) e, portanto, \(f\) não fica bem definida.

Note agora que \(f(a) = 0\) nos dá o vértice \(A_1 =(a,0)\) da hipérbole. Além disso, temos que \(f\) é crescente, já que, para \(x_0,x_1\in [a,+\infty )\), temos:

\begin{align*} x_0 \lt x_1 & \Longleftrightarrow x_0^2 \lt x_1^2 \Longleftrightarrow x_0^2 -a^2\lt x_1^2 -a^2\\ & \Longleftrightarrow \dfrac {b}{a} \sqrt{x_0^2 -a^2} \lt \dfrac {b}{a} \sqrt{x_1^2 -a^2} \Longleftrightarrow f(x_0) \lt f(x_1). \end{align*}

Cálculo diferencial nos permite concluir que o gráfico de \(f\) também é côncavo no caso da hipérbole.

A concavidade do gráfico de \(f\) decorre do fato de que a segunda derivada de \(f\) é dada por:

\[ f''(x) = -\dfrac {ab}{(x^2-a^2)^{3/2}}, \]

que é negativa para todo \(x\in (a,+\infty )\).

Finalmente, sabemos que \(f(x)\) tem a reta \(r_+: y = \dfrac {b}{a} x\) como assíntota e é tal que \(f(x) \lt \dfrac {b}{a} x\) para todo \(x\in [a,+\infty )\). Desse modo sabemos que \(f(x)\) se aproxima assintoticamente de \(r_+\), por baixo dessa reta, quando \(x\) tende a \(+\infty \).

8.3.5 Exemplos

Exemplo 8.20

Uma hipérbole \(\mathcal{H}\) tem vértices nos pontos \((0,4)\) e \((0,-4)\), e um foco no ponto \((0,-5)\). Obtenha a equação da hipérbole e de suas assíntotas.

Solução

Observamos que \(\mathcal{H}\) é uma hipérbole com centro na origem e focos no eixo \(Oy\). Assim sua equação é do tipo:

\[ \dfrac {y^2}{a^2}-\dfrac {x^2}{b^2} = 1, \]

com \(c^2 = a^2 + b^2\) e \(2c\) a distância focal.

Como \(\mathcal{H}\) tem vértices \((0,4)\) e \((0,-4)\) segue que \(a = 4\). Como um dos focos de \(\mathcal{H}\) é \((0,-5)\), segue que \(c=5\). Logo, a partir da igualdade \(c^2 = a^2 + b^2\), obtemos \(b = 3\). Assim a equação de \(\mathcal{H}\) é:

\[ \dfrac {y^2}{16}-\dfrac {x^2}{9} = 1. \]

As assíntotas de \(\mathcal{H}\) são \(r_+: x = (b/a)y\) e \(r_-: x = -(b/a)y\), ou seja:

\[ r_+: x = \left(\dfrac {3}{4}\right) y\qquad r_-: x = -\left(\dfrac {3}{4}\right)y. \]

Exemplo 8.21

Uma hipérbole \(\mathcal{H}\) tem os focos num dos eixos coordenados e centro na origem. Sabendo que uma das assíntotas de \(\mathcal{H}\) é a reta \(3x-2y=0\) e que \(P=(4\sqrt{2},6)\in \mathcal{H}\), determine a equação de \(\mathcal{H}\).

Solução

Focos no eixo \(Ox\):

Seja \(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1\) a equação da hipérbole procurada. Como a reta \(3x-2y=0\), que é a também a reta de equação \(y = \dfrac {3}{2}x\), é uma das assíntotas obtemos:

\[ \dfrac {b}{a} = \dfrac {3}{2}, \]

ou seja \(b = \dfrac {3}{2}a\).

Usando que \(P\in \mathcal{H}\) obtemos:

\[ \dfrac {(4\sqrt{2})^2}{a^2} - \dfrac {6^2}{b^2} = 1. \]

Usando que \(b = \dfrac {3}{2}a\) e simplificando algebricamente a igualdade chegamos então a:

\[ \dfrac {16}{a^2} = 1. \]

Portanto \(a^2 = 16\), ou seja \(a = 4\). Usando novamente que \(b = \dfrac {3}{2}a\) obtemos então \(b = 6\). Logo chegamos à equação:

\[ \mathcal{H}: \dfrac {x^2}{16} - \dfrac {y^2}{36} = 1. \]
Focos no eixo \(Oy\):

Seja agora \(\dfrac {y^2}{a^2} - \dfrac {x^2}{b^2} = 1\) a equação da hipérbole procurada. Como a reta \(3x-2y=0\), que é a também a reta de equação \(x = \dfrac {2}{3}y\), é uma das assíntotas obtemos:

\[ \dfrac {b}{a} = \dfrac {2}{3}, \]

ou seja \(b = \dfrac {2}{3}a\).

Usando que \(P\in \mathcal{H}\) obtemos:

\[ \dfrac {6^2}{a^2} - \dfrac {(4\sqrt{2})^2}{b^2} = 1. \]

Usando que \(b = \dfrac {2}{3}a\) e simplificando a equação chegamos a:

\[ -\dfrac {36}{a^2}= 1. \]

Como \(a^2\gt 0\) observamos que não existe \(a\) tal que a igualdade acima seja satisfeita, ou seja, não existe hipérbole com focos no eixo \(Oy\) contendo \(P\) e com assíntota \(3x-2y=0\).

Conclusão: A única hipérbole cuja equação resolve o problema é:

\[ \mathcal{H}: \dfrac {x^2}{16} - \dfrac {y^2}{36} = 1. \]

Exemplo 8.22

Encontre o centro, os focos e vértices da hipérbole de equação:

\[ 9x^2 - 4y^2 - 18x - 8y -31 = 0. \]

Solução

Tentaremos aqui manipular a equação dada de forma a obter uma equação da forma:

\[ \dfrac {(x-x_0)^2}{a^2} - \dfrac {(y-y_0)^2}{b^2} = 1, \]

que representa uma hipérbole de centro \(C = (x_0,y_0)\), focos \(F_1 = (x_0 + c, y_0)\) e \(F_2 = (x_0 - c, y_0)\), onde \(c^2 = a^2 + b^2\), e vértices \(V_1=(x_0+a,y_0)\) e \(V_2=(x_0-a,y_0)\).

Comecemos completando quadrados escrevendo:

\[ (9x^2 - 18x + 9) - (4y^2 + 8y + 4) -9 + 4 -31 = 0. \]

Portanto temos:

\[ 9(x-1)^2 - 4(y+1)^2 = 36. \]

E, finalmente:

\[ \dfrac {(x-1)^2}{4} - \dfrac {(y+1)^2}{9} = 1. \]

Tal equação representa uma hipérbole de centro \(C = (1,-1)\) de parâmetros \(a=2\), \(b=3\) e \(c=\sqrt{13}\). Logo seus focos são \(F_1=(1+\sqrt{13},-1)\) e \(F_2=(1-\sqrt{13},-1)\), e seus vértices são \(V_1=(3,-1)\) e \(V_2=(-1,-1)\).

8.4 Parábola

Conforme descrito na Definição 8.3, uma parábola \(\mathcal{P}\) de foco \(F\) e reta diretriz \(d\) é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujas distâncias a \(F\) e \(d\) são iguais.

Nesta seção estudaremos funções quadráticas de uma variável, cujos gráficos representam parábolas com retas diretrizes paralelas aos eixos coordenados. Em particular veremos a chamada forma canônica da parábola que é a equação que representa uma parábola com vértice na origem, foco sobre um dos eixos coordenados e reta diretriz paralela ao outro eixo coordenado.

8.4.1 Terminologia

O ponto \(F\) descrito na Definição 8.3 é denominado foco da parábola.
A reta \(d\), também descrita na Definição 8.3 é denominada diretriz da parábola.
A distância \(2p\) entre o foco \(F\) e a reta diretriz \(d\) da parábola é chamada parâmetro da parábola.
O ponto \(V\) de interseção da perpendicular à \(d\) por \(F\) com a parábola é o vértice da parábola;
A reta perpendicular a \(d\) por \(F\) é o eixo de simetria da parábola.
Qualquer segmento cujos extremos estão sobre \(\mathcal{P}\) é denominado corda da parábola;
Tomando \(A\) e \(B\) os extremos da corda que contém \(F\) e é paralela a diretriz \(d\), obtemos o triângulo \(\triangle VAB\) denominado triângulo fundamental da parábola.

8.4.2 Equação da Parábola

Para uma parábola com diretriz paralela ao eixo \(Ox\) e vértice na origem do sistema de coordenadas vale o seguinte resultado:

Proposição 8.23

Uma parábola \(\mathcal{P}\) de foco \(F = (0,p)\) e reta diretriz \(d: y = -p\) (\(p\neq 0\)) tem equação

\begin{equation} \label{eq:formacanpar} y = \left(\dfrac {1}{4p}\right) x^2. \tag{8.9} \end{equation}

Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da parábola (ou equação reduzida da parábola).

Demonstração ▼

Seja \(P = (x,y)\) um ponto da parábola. A partir da equação \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d)\) obtemos:

\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|. \]

Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos:

\[ x^2 + y^2 -2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2. \]

Simplificando e isolando \(y\) chegamos então a:

\[ y = \left(\dfrac {1}{4p}\right) x^2. \]

Observação 8.24

Para uma parábola de foco \(F = (p,0)\) e reta diretriz vertical \(d: x = -p\) uma demonstração análoga nos levaria a equação:

\begin{equation} \label{eq:formacanpar2} x = \left(\dfrac {1}{4p}\right) y^2, \tag{8.10} \end{equation}

a qual também é conhecida como forma canônica da parábola.

No caso particular da parábola, porém, é importante destacar sua descrição como gráfico de funções quadráticas de uma variável real.

Definição 8.25

Uma função \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) é dita quadrática quando existem \(a,b,c\) reais com \(a\neq 0\), tais que \(f(x) = ax^2 + bx + c\) para todo \(x\in \mathbb {R}\).

Sobre funções quadráticas vale o seguinte resultado:

Proposição 8.26

O gráfico da função quadrática \(f(x) =ax^2 + bx + c\) é uma parábola com:

foco:

\[ F = \left(-\dfrac {b}{2a},-\dfrac {\Delta -1}{4a}\right), \]
diretriz:

\[ d: y = -\dfrac {\Delta + 1}{4a}, \]
vértice:

\[ V = \left(-\dfrac {b}{2a},-\dfrac {\Delta }{4a}\right), \]

onde \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Observação 8.27

O gráfico de uma função \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) é o lugar geométrico dado pela equação \(y = f(x)\). Logo, pela Proposição 8.26, \(y =ax^2 + bx + c\) é a equação de uma parábola com diretriz paralela ao eixo \(Ox\).

É análoga a demonstração da proposição acima o fato de que \(x =ay^2 + by + c\) é equação de uma parábola com:

foco:

\[ F = \left(-\dfrac {\Delta -1}{4a},-\dfrac {b}{2a}\right), \]
diretriz:

\[ d: x = -\dfrac {\Delta + 1}{4a}, \]
vértice:

\[ V = \left(-\dfrac {\Delta }{4a},-\dfrac {b}{2a}\right), \]

onde \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Observação 8.28

É importante notar que as funções \(f(x)=ax^2+bx+c\) e \(g(x)=a'x^2+b'x+c'\), com \((a,b,c) = \lambda (a',b',c')\) para algum \(\lambda \neq 0\), têm mesmas raízes, ou seja \(f(x) = 0\) se e somente se \(g(x) = 0\), no entanto seus gráficos são distintos e, portanto, representam parábolas diferentes.

A Proposição 8.26 segue imediatamente dos Lemas 8.29 e 8.30, abaixo demonstrados.

Lema 8.29

O gráfico de uma função quadrática \(f(x) = a(x-m)^2 + k\) é uma parábola com:

foco:

\[ F = \left(m,k+\dfrac {1}{4a}\right), \]
diretriz:

\[ d: y = k -\dfrac {1}{4a}, \]
vértice \(V = (m,k)\).

Demonstração ▼

Seja \(P = (x,y)\) um ponto qualquer do gráfico de \(f\) (de modo que \(y = a(x-m)^2 + k\)). Tome \(F = \left(m,k+\dfrac {1}{4a}\right)\) e \(d: y = k -\dfrac {1}{4a}\). Mostremos que \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d)\) (ver Definição 8.3).

Por um lado temos:

\[ \overrightarrow {FP} = \left(x - m, a(x-m)^2 -\dfrac {1}{4a} \right). \]

Portanto segue:

\begin{align*} \lVert \overrightarrow {FP}\rVert & = \sqrt{(x-m)^2 + a^2(x-m)^4 -2a(x-m)^2\dfrac {1}{4a} + \left(\dfrac {1}{4a}\right)^2}\\ & = \sqrt{a^2(x-m)^4 +2a(x-m)^2\dfrac {1}{4a} + \left(\dfrac {1}{4a}\right)^2}\\ & =\sqrt{\left(a(x-m)^2 + \dfrac {1}{4a}\right)^2}\\ & =\left|a(x-m)^2 + \dfrac {1}{4a}\right| . \end{align*}

Por outro lado:

\[ d(P,d) = \left|a(x-m)^2 + k - \left(k -\dfrac {1}{4a}\right)\right| = \left|a(x-m)^2 + \dfrac {1}{4a}\right|. \]

Logo, vale \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d)\).

Como o vértice da parábola é o ponto médio do menor segmento que liga \(F\) à \(d\) é fácil ver que \(V = (m,k)\).

Lema 8.30

Vale a igualdade:

\[ ax^2 + bx + c = a\left(x+ \dfrac {b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac {b^2-4ac}{4a}\right). \]

Essa forma de escrever a função quadrática é conhecida como forma canônica do trinômio de segundo grau.

Demonstração ▼

De fato:

\[ ax^2 + bx + c = a\left(x^2+ \dfrac {b}{a}x + \dfrac {c}{a}\right) \]

Completando quadrado de modo a obter \(\left(x + \dfrac {b}{2a}\right)^2\) temos:

\begin{align*} a\left(x^2+ \dfrac {b}{a}x + \dfrac {c}{a}\right) & = a\left(x^2+ 2\dfrac {b}{2a}x + \dfrac {b^2}{4a^2} - \dfrac {b^2}{4a^2}+\dfrac {c}{a}\right)\\ & = a\left[\left(x + \dfrac {b}{2a}\right)^2 - \dfrac {b^2-4ac}{4a^2}\right]\\ & = a\left(x+ \dfrac {b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac {b^2-4ac}{4a}\right). \end{align*}

Observação 8.31

A recíproca também é verdadeira. Se \(F=(m,n)\) e a diretriz é \(d:y=p\), com \(n\neq p\), então o vértice é

\[ V=\left(m,\dfrac {n+p}{2}\right). \]

Comparando com o Lema 8.29, obtemos

\[ a=\dfrac {1}{2(n-p)}. \]

Logo a parábola é o gráfico de

\[ y=a(x-m)^2+\dfrac {n+p}{2}, \]

ou, na forma \(y=ax^2+bx+c\),

\[ a=\dfrac {1}{2(n-p)},\qquad b=-\dfrac {m}{n-p},\qquad c=\dfrac {m^2}{2(n-p)}+\dfrac {n+p}{2}. \]

8.4.3 Esboço da Parábola

Figura 8.8 Vértice, foco e diretriz de uma parábola com eixo vertical.

O esboço da parábola de equação \(y = ax^2 + bx +c\) (ou gráfico de \(f(x) = ax^2 + bx +c\)) pode ser facilmente estudado a partir da forma canônica do trinômio (Lema 8.30):

\[ f(x) = ax^2 + bx + c = a\left(x+ \dfrac {b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac {b^2-4ac}{4a}\right). \]

Fixemos, para estudo, \(a\gt 0\). Observamos que \(f\) tem seu mínimo no ponto onde \(\left(x+ \dfrac {b}{2a}\right) = 0\), ou seja quando \(x = -\dfrac {b}{2a}\).

Além disso, para \(-\dfrac {b}{2a} \leq x_1 \lt x_2\) temos que:

\[ \left(x_1+ \dfrac {b}{2a}\right)^2 \lt \left(x_2+ \dfrac {b}{2a}\right)^2, \]

donde segue que \(f(x_1) \lt f(x_2)\), ou seja \(f\) é crescente em \(\left[-\dfrac {b}{2a},+\infty \right)\). Analogamente vemos que \(f\) é decrescente em \(\left(-\infty ,-\dfrac {b}{2a}\right]\).

Um pouco de cálculo diferencial nos permite concluir que, para \(a\gt 0\), o gráfico de \(f\) é convexo, isto é fixos dois pontos \(P_0\) e \(P_1\) quaisquer sobre o gráfico de \(f\), temos que o gráfico de \(f\) fica abaixo do segmento \(\overline{P_0P_1}\).

A convexidade do gráfico de \(f\) decorre do fato de que a segunda derivada de \(f\) é dada por:

\[ f''(x)=2a\gt 0. \]

Finalmente, se \(\Delta = b^2-4ac \gt 0\), podemos obter as raízes de \(f\) facilmente igualando a forma canônica do trinômio e isolando o parâmetro \(x\), obtendo assim a Fórmula de Bhaskara:

\[ x = \dfrac {-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

Observação 8.32

Se \(a\lt 0\), \(f(x) = ax^2 + bx + c\) tem seu máximo em \(x = -\dfrac {b}{2a}\), é decrescente em \(\left[-\dfrac {b}{2a},+\infty \right)\) e crescente em \(\left(-\infty ,-\dfrac {b}{2a}\right]\), tem gráfico côncavo e tem suas raízes dadas pela (mesma) Fórmula de Bhaskara (quando \(\Delta \gt 0\)).

8.4.4 Exemplos

Exemplo 8.33

Determine a equação da parábola de foco \(F=(1,2)\) e reta diretriz \(r: y = 4\).

Solução

Seja \(P=(x,y)\) um ponto da parábola. A equação \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,r)\) em coordenadas fica:

\[ \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = |y-4|. \]

Elevando essa igualdade ao quadrado obtemos:

\[ (x^2 -2x + 1) + (y^2 -4y + 4) = y^2 -8y + 16. \]

Isolando então o parâmetro \(y\) chegamos à:

\[ y = \left(-\dfrac {1}{4}\right)x^2 + \left(\dfrac {1}{2}\right)x + \left(\dfrac {11}{4}\right). \]

Exemplo 8.34

Considere uma parábola \(\mathcal{P}\) com vértice na origem e com o eixo \(Ox\) como reta focal. Suponha que o ponto \((3,-6)\) pertença à \(\mathcal{P}\). Determine a equação de \(\mathcal{P}\), seu foco \(F\) e reta diretriz \(d\).

Solução

Sabemos que \(\mathcal{P}\) é uma parábola de parâmetro \(2p\) com equação da forma:

\[ x = \pm \left(\dfrac {1}{4p}\right)y^2. \]

Como a primeira coordenada do ponto \((3,-6)\) é positiva temos:

\[ \mathcal{P}: x = + \left(\dfrac {1}{4p}\right)y^2. \]

Substituindo as coordenadas do ponto \((3,-6)\) na equação acima chegamos à \(p = 3\). Logo temos:

\[ \mathcal{P}: x = \left(\dfrac {1}{12}\right)y^2. \]

Tal parábola tem, assim, foco \(F=(3,0)\) e reta diretriz \(d: x = -3\).

Exemplo 8.35

Considere a função quadrática \(f(x) = x^2 - 6x + 8\). Escreva \(f\) na forma quadrática canônica e a partir de tal determine suas raízes. Determine as coordenadas do vértice, foco e a equação da reta diretriz da parábola que é gráfico de \(f\).

Solução

Completando quadrado obtemos \(f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 1 = (x-3)^2 - 1\) que é a forma canônica de \(f\).

Igualando a forma canônica a zero chegamos a:

\[ (x-3)^2 = 1. \]

Portanto temos \(x-3 = \pm 1\) ou ainda \(x = 3 \pm 1\). Logo \(x= 2\) e \(x = 4\) são as raízes de \(f\).

O vértice da parábola que é gráfico de \(f\), ocorre no ponto onde \(f\) é mínimo, ou seja em \(x= 3\). Logo as coordenadas do vértice são \((3,-1)\).

Claramente o eixo de simetria da parábola em questão é paralelo ao eixo \(Oy\). Suponhamos então que o foco da parábola tenha coordenadas \(F = (3,-1+c)\) e a diretriz tenha equação \(d: y = -1 - c\) (Note que o vértice da parábola dista o mesmo do foco e da diretriz da parábola).

Considere um ponto \(P\) qualquer da parábola diferente do vértice. Tome por exemplo \(P = (0, 8)\). Devemos ter \(\lVert \overrightarrow {FP}\rVert = d(P,d)\).

Por um lado, temos então \(\overrightarrow {FP} = (-3,9-c)\) e:

\[ \lVert \overrightarrow {FP}\rVert = \sqrt{9 + (9-c)^2}. \]

Por outro lado:

\[ d(P,d) = 8 - (-1-c)= 9+c. \]

Deve valer então:

\[ 9 + (9-c)^2 = (9+c)^2. \]

Portanto temos \(c = (1/4)\).

Logo \(F = (3,-3/4)\) e \(d: y = -5/4\).

8.5 Excentricidade

Proposição 8.36

Sejam \(\eta \gt 0\), \(\eta \neq 1\) e \(c\gt 0\). Tome \(F=(c,0)\). Tome \(r\) a reta de equação \(x = c/\eta ^2\) (logo paralela ao eixo \(Oy\)).

Então, se \(P=(x,y)\) satisfaz a igualdade

\begin{equation} \label{eq:elipFD} \lVert \overrightarrow {FP}\rVert =\eta d(P,r), \tag{8.11} \end{equation}

temos que:

se \(0 \lt \eta \lt 1\), então \(P\) pertence à elipse de equação

\[ \dfrac {x^2}{a^2} +\dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

onde \(a = c/\eta \) e \(b\) tal que \(a^2 = b^2 + c^2\).
se \(\eta \gt 1\), então \(P\) pertence à hipérbole de equação

\[ \dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

onde \(a = c/\eta \) e \(b\) tal que \(c^2 = a^2 + b^2\).

Demonstração ▼

Escrevendo a equação (8.11) em coordenadas cartesianas temos:

\[ \sqrt{(x-c)^2+y^2}=\eta \left|x-\dfrac {c}{\eta ^2}\right|. \]

Elevando essa equação ao quadrado e manipulando algebricamente o resultado facilmente chegamos na igualdade:

\[ x^2\left(1-\eta ^2\right) + y^2 = c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right). \]

Dividindo tal equação por \(c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right)\) obtemos:

\[ \dfrac {x^2}{c^2/\eta ^2} + \dfrac {y^2}{c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right)} = 1. \]

Então, para \(0 \lt \eta \lt 1\), observamos que \(c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right) \gt 0\). Tomando então \(a^2 = c^2/\eta ^2\) e \(b^2 = c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right)\) (de modo que \(a^2 = b^2 + c^2\)) temos:

\[ \dfrac {x^2}{a^2} +\dfrac {y^2}{b^2} = 1. \]

Caso \(\eta \gt 1\) temos que \(c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right) \lt 0\). Tomando \(a^2 = c^2/\eta ^2\) e \(b^2 = - c^2\left(\dfrac {1}{\eta ^2} - 1\right)\) (de modo que \(c^2 = a^2 + b^2\)) segue:

\[ \dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1. \]

Proposição 8.37

Sejam \(c\gt 0\), \(\eta =1\) e \(F=(c,0)\), e seja \(r\) a reta de equação \(x=-c\). Então um ponto \(P=(x,y)\) satisfaz

\begin{equation} \label{eq:parFD} \lVert \overrightarrow {FP}\rVert =\eta d(P,r) \tag{8.12} \end{equation}

se e somente se

\[ y^2=4cx. \]

Demonstração ▼

A equação foco–diretriz é

\[ \sqrt{(x-c)^2+y^2}=|x+c|. \]

Elevando ao quadrado obtemos imediatamente

\[ y^2=4cx. \]

Reciprocamente, se \(y^2=4cx\) e \(c\gt 0\), então \(x=y^2/(4c)\geq 0\), de modo que \(x+c\gt 0\). Além disso,

\[ (x-c)^2+y^2=(x+c)^2. \]

Tomando a raiz quadrada,

\[ \lVert \overrightarrow {FP}\rVert =x+c=|x+c|=d(P,r). \]

Portanto a equação cartesiana e a definição foco–diretriz determinam o mesmo lugar geométrico.

Observação 8.38

A reta \(r\) e o ponto \(F\) descritos nas proposições 8.36 e 8.37 são denominados respectivamente reta diretriz e foco da cônica em questão.

O parâmetro \(\eta \), que aparece em ambas as proposições, é denominado excentricidade da cônica.

Observação 8.39

É fácil mostrar que as recíprocas das proposições acima são válidas, ou seja:

Se \(P = (x,y)\) é um ponto da elipse de equação:

\[ \dfrac {x^2}{a^2} +\dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

então, tomando \(c\gt 0\) tal que \(a^2 = b^2 + c^2\), \(\eta = c/a\) (note \(0\lt \eta \lt 1\)), \(F = (c,0)\) e \(r: x = c/\eta ^2\) temos que \(P\) satisfaz a equação (8.11).
Se \(P = (x,y)\) é um ponto da hipérbole de equação:

\[ \dfrac {x^2}{a^2} -\dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

então, tomando \(c\gt 0\) tal que \(c^2 = a^2 + b^2\), \(\eta = c/a\) (note \(\eta \gt 1\)), \(F = (c,0)\) e \(r: x = c/\eta ^2\) temos que \(P\) satisfaz a equação (8.11).
Se \(P = (x,y)\) é um ponto da parábola de equação:

\[ y^2 = 4cx, \]

então, tomando \(\eta = 1\), \(F = (c,0)\) e \(r: x = -c\) temos que \(P\) satisfaz a equação (8.12) (que é a mesma que a equação (8.11)).

Excentricidade e a forma de uma cônica

A excentricidade \(\eta \) de uma cônica é usualmente usada para estudar o formato das cônicas.

No caso da elipse, quanto mais \(\eta \) for próximo à \(0\) maior a “semelhança” da elipse com um círculo. De fato, dividindo \(a^2 = b^2 + c^2\) por \(a^2\), teríamos que \((b/a)^2 = 1 -\eta ^2\). Logo para \(\eta \) pequeno \((b/a)\) estaria próximo de \(1\). Assim, \(a\) e \(b\) seriam aproximadamente iguais. Tomando \(b = a\) teríamos então a equação do círculo: \(x^2 + y^2 = a^2\).

Para \(\eta \lt 1\) próximo de \(1\) teríamos por outro lado que \((b/a)\) seria próximo de \(0\), ou seja, \(b\) seria muito menor que \(a\), o que nos levaria a uma elipse bem alongada ao longo do eixo \(Ox\).

Na hipérbole, por sua vez, se \(\eta \gt 1\) estiver perto de \(1\) teremos \((b/a)\) próximo de \(0\), pois dividindo \(c^2 = a^2 + b^2\) por \(a^2\) obtemos \(\eta ^2 = 1 + (b/a)^2\). Isso implica que as assíntotas da hipérbole tem inclinação próxima a \(0\), ou seja, a medida que \(\eta \) fica mais perto de \(1\) as hipérboles ficam mais próximas do eixo \(Ox\).

Por outro lado, a medida que \(\eta \) tende à \(+\infty \) temos que \((b/a)\) também tende a \(+\infty \), ou seja, a inclinação das assíntotas da hipérbole crescem de modo que as hipérboles se aproximam do eixo \(Oy\).

Em geometria, dizemos que duas figuras são semelhantes se pode-se obter uma a partir da outra pela composição de isometrias (translação, rotação, reflexão) e homotetias (fixos centro \(O\) e razão \(k\), uma homotetia leva \(P\) em \(P'\) pela relação \(\overrightarrow {OP’} = k\overrightarrow {OP}\)).

Sobre a semelhança das cônicas valem o seguinte resultado:

Proposição 8.40

Se duas cônicas têm mesma excentricidade então elas são semelhantes, em particular todas as parábolas são semelhantes entre si.

Demonstração ▼

Consideraremos apenas as cônicas cujas equações estão na sua forma canônica (pois, como veremos no capítulo 11, todas as cônicas podem ser transformadas na forma canônica por rotações e translações).

Considere duas elipses \(\mathcal{E}\) e \(\mathcal{E}'\) de equações:

\[ \mathcal{E} : \dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

\[ \mathcal{E}' : \dfrac {x^2}{a’^2} + \dfrac {y^2}{b’^2} = 1. \]

Se ambas têm a mesma excentricidade, então \(b/a=b'/a'\). Portanto

\[ k=\dfrac {a’}{a}=\dfrac {b’}{b}\gt 0. \]

Considere a homotetia \(h(x,y)=(kx,ky)\). Se \(P=(x,y)\in \mathcal E\), então

\[ \dfrac {(kx)^2}{a’^2}+\dfrac {(ky)^2}{b’^2} =\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1, \]

de modo que \(h(P)\in \mathcal E'\).

A semelhança de hipérboles de mesma excentricidade segue de modo análogo.

No caso de duas parábolas \(\mathcal{P}: y = ax^2\) e \(\mathcal{P'}: y = a'x^2\), tome \(k = (a/a')\). Daí se \(P = (x,y)\) está em \(\mathcal{P}\) temos que vale \(y = ax^2\). Por outro lado tomando a homotetia \(h(x,y) = (kx,ky)\) temos:

\[ a' (kx)^2 = a' \left(\dfrac {a}{a’}\right)^2x^2 = \left(\dfrac {a}{a’}\right) ax^2 = ky. \]

8.6 Construções de Dandelin

Elipse

Dado um cone com ângulo de abertura \(2\alpha \) e um plano \(\pi \) que intersecta o cone e faz um ângulo superior à \(\alpha \) com o eixo do cone temos na interseção uma elipse. É possível encontrar duas esferas \(S_1\) e \(S_2\) que tangenciam o plano \(\pi \) e o cone internamente (ver Figura 8.9). Tais esferas são conhecidas como esferas de Dandelin da elipse.

Mostremos usando as esferas de Dandelin que a soma das distâncias de um ponto \(X\) da elipse aos focos \(F_1\) e \(F_2\) é constante, isto é:

\[ \lVert \overrightarrow {F_1X}\rVert + \lVert \overrightarrow {F_2X}\rVert = k, \]

onde \(k\) é um número real fixado (obviamente maior que a distância focal da elipse).

Suponha que \(S_1\) e \(S_2\) tangenciam o cone nos círculos \(C_1\) e \(C_2\) respectivamente. Seja \(X\) um ponto qualquer da elipse. A reta \(\overleftrightarrow {OX}\) que passa por \(X\) e pelo vértice \(O\) do cone intersecta \(C_1\) e \(C_2\) em pontos \(H_1\) e \(H_2\) respectivamente.

Observe que \(XH_1\) e \(XF_1\) são segmentos tangentes à mesma esfera \(S_1\) traçados a partir de \(X\); portanto têm o mesmo comprimento. Do mesmo modo, \(XH_2=XF_2\). Além disso, \(H_1\) e \(H_2\) pertencem à mesma geratriz do cone, e a distância entre os círculos de tangência \(C_1\) e \(C_2\) medida ao longo de qualquer geratriz é constante. Assim,

\[ \lVert \overrightarrow {F_1X}\rVert +\lVert \overrightarrow {F_2X}\rVert =\lVert \overrightarrow {XH_1}\rVert +\lVert \overrightarrow {XH_2}\rVert =\lVert \overrightarrow {H_1H_2}\rVert , \]

que independe de \(X\). Isso recupera a caracterização foco–foco da elipse.

Parábola

Mostraremos no que se segue que a curva (parábola) formada pela interseção de um cone de ângulo de abertura \(2\alpha \) e vértice \(O\) com plano \(\pi \) que faz um ângulo \(\alpha \) com o eixo do cone, obedece de fato a equação:

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta = 1\), onde \(F\) é o foco da parábola, \(r\) a sua diretriz e \(X\) um ponto qualquer da cônica.

Considere a esfera simultaneamente tangente interna ao cone e tangente ao plano \(\pi \). Seja \(\gamma \) o plano que contém os pontos de tangência da esfera com o cone. Afirmamos que o ponto de tangência da esfera com o plano \(\pi \) é o foco da parábola e que a reta \(r\) obtida pela interseção de \(\pi \) e \(\gamma \) é a reta diretriz da parábola.

Seja \(X\) um ponto qualquer da parábola. Seja \(C\) a interseção da reta \(\overleftrightarrow {OX}\) (uma geratriz no cone) com \(\gamma \). Considere \(B\) a projeção ortogonal de \(X\) em \(\gamma \) e \(D\) o ponto na diretriz \(r = \pi \cap \gamma \) tal que o triângulo \(\Delta XBD\) se encontre num plano ortogonal a \(\pi \). Afirmamos que qualquer que seja \(X\), ponto da parábola, os triângulos \(\Delta XBC\) e \(\Delta XBD\) são congruentes.

Observação 8.41

Cuidado não confundir sua intuição com a Figura 8.10 que é apenas uma projeção no plano de uma figura tridimensional. O triângulo \(\Delta XBC\) não está contido no plano da figura desenhada no papel (ele “entra no papel”).

Os dois triângulos são retângulos em \(B\), pois \(XB\) é perpendicular a \(\gamma \). Além disso,

\[ \angle BXC=\alpha , \qquad \angle BXD=\theta , \]

onde \(\alpha \) é o ângulo entre uma geratriz e o eixo do cone e \(\theta \) é o ângulo entre o plano secante \(\pi \) e esse eixo, medidos no plano perpendicular à diretriz \(r\). No caso parabólico, \(\pi \) é paralelo a uma geratriz, portanto \(\theta =\alpha \). Como os triângulos retângulos têm o cateto \(XB\) em comum e o mesmo ângulo agudo em \(X\), são congruentes.

Observe assim que \(\lVert \overrightarrow {XC}\rVert = \lVert \overrightarrow {XD}\rVert \). Mas \(\lVert \overrightarrow {XD}\rVert = d(X,r)\) e \(\lVert \overrightarrow {XC}\rVert = \lVert \overrightarrow {XF}\rVert \), onde \(F\) é o foco da parábola (pois \(\overline{XC}\) e \(\overline{XF}\) são tangentes a esfera em \(C\) e \(F\)). Logo:

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta = 1\).

Exercício 6.1

Prove que a curva (elipse) formada pela interseção de um cone de ângulo de abertura \(2\alpha \) com um plano \(\pi \) que faz um ângulo \(\theta \gt \alpha \) com o eixo do cone satisfaz a equação

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta \lt 1\), onde \(F\) é o foco da elipse e \(r\) a sua diretriz.

Considere, como no caso da parábola, a esfera simultaneamente tangente internamente ao cone e tangente ao plano \(\pi \) (esfera de Dandelin).

Determine o foco \(F\) e a diretriz \(r\) da elipse por uma construção análoga à usada para a parábola;
Considere \(X\) e \(X'\) dois pontos da elipse. Defina os pontos \(B\), \(C\) e \(D\) como no caso da parábola e defina \(B'\), \(C'\) e \(D'\) analogamente a partir de \(X'\);
Mostre que os seguintes triângulos são semelhantes:

\[ \begin{array}{c} \triangle XBD \simeq \triangle X’B’D’\\ \triangle XBC \simeq \triangle X’B’C’\\ \end{array} \]
Mostre que

\[ \dfrac {\lVert \overrightarrow {XC}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XD}\rVert } = \dfrac {\lVert \overrightarrow {X’C’}\rVert }{\lVert \overrightarrow {X’D’}\rVert } = \eta , \]

onde \(\eta \) é uma constante real;
Conclua que

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta \lt 1\).

Ver solução

Seguindo a mesma construção usada para a parábola:

O foco \(F\) é o ponto de tangência da esfera de Dandelin com o plano \(\pi \), e a diretriz \(r\) é a interseção de \(\pi \) com o plano \(\gamma \) que contém o círculo de tangência da esfera com o cone.
Para \(X\) na elipse, seja \(C\) a interseção da geratriz \(\overleftrightarrow {OX}\) com \(\gamma \), seja \(B\) a projeção ortogonal de \(X\) em \(\gamma \), e seja \(D\) o ponto de \(r\) tal que \(\triangle XBD\) esteja num plano ortogonal a \(\pi \). Definem-se \(B'\), \(C'\), \(D'\) do mesmo modo a partir de \(X'\).
Em \(\triangle XBD\) e \(\triangle X'B'D'\) o ângulo reto está em \(B\) (resp. \(B'\)) e o ângulo em \(X\) (resp. \(X'\)) é o ângulo fixo \(\theta \) que \(\pi \) faz com o eixo do cone. Logo \(\triangle XBD\sim \triangle X'B'D'\) (caso AA). Do mesmo modo, em \(\triangle XBC\) e \(\triangle X'B'C'\) o ângulo reto está em \(B\) (resp. \(B'\)) e o ângulo em \(X\) (resp. \(X'\)) é o ângulo fixo \(\alpha \) entre uma geratriz e o eixo do cone; logo \(\triangle XBC\sim \triangle X'B'C'\).
Nos dois triângulos retângulos construídos a partir de \(X\),

\[ \cos \alpha =\frac{\lVert \overrightarrow {XB}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XC}\rVert }, \qquad \cos \theta =\frac{\lVert \overrightarrow {XB}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XD}\rVert }. \]

Portanto

\[ \frac{\lVert \overrightarrow {XC}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XD}\rVert } =\frac{\cos \theta }{\cos \alpha } =: \eta . \]

A mesma razão vale para \(X'\), pois \(\alpha \) e \(\theta \) dependem apenas do cone e do plano secante, e não do ponto escolhido.
Como \(\overline{XC}\) e \(\overline{XF}\) são segmentos tangentes à mesma esfera traçados a partir de \(X\), tem-se \(\lVert \overrightarrow {XC}\rVert =\lVert \overrightarrow {XF}\rVert \); e, exatamente como no caso da parábola, \(\lVert \overrightarrow {XD}\rVert =d(X,r)\). Substituindo na razão do item anterior,

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert =\eta \, d(X,r). \]

Como aqui \(\theta \gt \alpha \) (o plano \(\pi \) é mais inclinado em relação ao eixo do que a geratriz), tem-se \(\eta \lt 1\).

Exercício 6.2

Mostre que a curva (hipérbole) formada pela interseção de um cone de ângulo de abertura \(2\alpha \) com um plano \(\pi \) que faz um ângulo \(\theta \lt \alpha \) com o eixo do cone satisfaz a equação

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,r), \]

com \(\eta \gt 1\), onde \(F\) é o foco da hipérbole e \(r\) a sua diretriz.

Ver solução

A construção é a mesma do exercício anterior (elipse). Nos triângulos retângulos \(\triangle XBC\) e \(\triangle XBD\), os ângulos em \(X\) são, respectivamente, \(\alpha \) e \(\theta \). Assim,

\[ \frac{\lVert \overrightarrow {XC}\rVert }{\lVert \overrightarrow {XD}\rVert } =\frac{\cos \theta }{\cos \alpha } =: \eta . \]

Como \(\lVert \overrightarrow {XC}\rVert =\lVert \overrightarrow {XF}\rVert \) (segmentos tangentes à mesma esfera a partir de \(X\)) e \(\lVert \overrightarrow {XD}\rVert =d(X,r)\), segue

\[ \lVert \overrightarrow {FX}\rVert =\eta \, d(X,r). \]

Neste caso \(\theta \lt \alpha \), logo \(\cos \theta \gt \cos \alpha \) e, portanto, \(\eta \gt 1\).

Exercício 6.3

Mostre, usando as esferas de Dandelin, que os pontos \(X\) da hipérbole satisfazem a equação

\[ \left|\lVert \overrightarrow {F_1X}\rVert - \lVert \overrightarrow {F_2X}\rVert \right| = k, \]

onde \(F_1\) e \(F_2\) são os focos da hipérbole e \(k\) uma constante real.

Ver solução

Sejam \(S_1\) e \(S_2\) as esferas de Dandelin da hipérbole, tangentes ao cone nos círculos \(C_1\), \(C_2\) e ao plano \(\pi \) nos focos \(F_1\), \(F_2\) respectivamente. Para \(X\) num dos ramos, a geratriz que passa por \(X\) intersecta \(C_1\) e \(C_2\) em pontos \(H_1\), \(H_2\). Como antes, \(\lVert \overrightarrow {XH_1}\rVert =\lVert \overrightarrow {XF_1}\rVert \) e \(\lVert \overrightarrow {XH_2}\rVert =\lVert \overrightarrow {XF_2}\rVert \), pois cada par é formado por segmentos tangentes à mesma esfera traçados a partir de \(X\). Diferentemente do caso da elipse, no ramo considerado os pontos \(H_1\) e \(H_2\) ficam no mesmo lado de \(X\) ao longo da geratriz; por isso a distância entre eles é o módulo da diferença das distâncias a \(X\). Assim

\[ \left|\lVert \overrightarrow {XH_1}\rVert -\lVert \overrightarrow {XH_2}\rVert \right|=\lVert \overrightarrow {H_1H_2}\rVert , \]

que é a distância entre \(C_1\) e \(C_2\) medida ao longo de qualquer geratriz — a mesma para todas as geratrizes, por simetria do cone. Chamando essa distância de \(k\), concluímos

\[ \left|\lVert \overrightarrow {F_1X}\rVert -\lVert \overrightarrow {F_2X}\rVert \right|=k. \]

8.7 Cônicas em Coordenadas Polares

Figura 8.11 Cônica com foco no polo e diretriz l. — Figura 8.11 Cônica com foco no polo e diretriz \(l\).

Considere a cônica de equação \(\lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,l),\). Consideremos agora coordenadas polares com a origem \(O\) localizada em \(F\) e com o eixo polar perpendicular a diretriz \(l\) da cônica.

Suponha que a distância entre a diretriz \(l\) e o foco \(F\) é uma dada constante \(p\) e que a cônica está localizada, em relação a \(l\), no mesmo lado de \(F\), como na Figura 8.11. É fácil ver que no sistema de coordenadas acima descrito \(\lVert \overrightarrow {FX}\rVert =r\) e \(d(X,l)=(p-r\cos \theta )\), donde temos:

\[ r = \eta (p-r\cos \theta ). \]

Isolando \(r\) segue que:

\[ r = \dfrac {\eta p}{1+\eta \cos \theta } \]

Figura 8.12 Ramo hiperbólico no lado oposto ao foco em relação à diretriz.

Suponha agora que que a cônica está localizada, em relação a \(l\), no lado oposto a \(F\), como na Figura 8.12. A equação \(\lVert \overrightarrow {FX}\rVert = \eta d(X,l),\) torna-se então:

\[ r = \eta (r\cos \theta - p). \]

Portanto segue:

\[ r = \dfrac {\eta p}{\eta \cos \theta - 1}. \]

Observe no entanto que, como \(r\) é positivo, para que a equação acima represente um lugar geométrico não vazio devemos ter \(\eta \gt 1\), ou seja, a cônica deve ser uma hipérbole.

Temos então:

Teorema 8.42

Considere uma cônica com excentricidade \(\eta \), foco \(F\) na origem e com uma diretriz \(l\) distando \(p\) de \(F\) e perpendicular ao eixo polar \(Ox\). Se \(0 \lt \eta \leq 1\), a cônica é uma elipse (\(\eta \in (0,1)\)) ou uma parábola (\(\eta = 1\)), e todo ponto da curva está localizado no mesmo semi-plano em relação a \(l\) que \(F\). Nesse caso a cônica tem equação:

\begin{equation} \label{eq:ramoesq} r = \dfrac {\eta p}{\eta \cos \theta +1}. \tag{8.13} \end{equation}

Se \(\eta \gt 1\), a curva é uma hipérbole com ramos em ambos os lados de \(l\). O ramo à esquerda de \(l\) satisfaz a Equação 8.13 e o ramo à direita de \(l\) satisfaz:

\begin{equation} \label{eq:ramodir} r = \dfrac {\eta p}{\eta \cos \theta - 1}. \tag{8.14} \end{equation}

8.8 Cônicas e a Trajetória dos Planetas

Aprofundamento. Esta seção usa derivadas e identidades vetoriais além do núcleo do curso de Geometria Analítica.

Nesta seção mostraremos, a partir das leis de Newton, que a trajetória de planetas sujeitos apenas à força gravitacional exercida por um sol é uma cônica. Tal trajetória será uma elipse, parábola ou hipérbole dependendo da velocidade inicial do planeta. A prova que fazemos aqui foi fortemente inspirada na demonstração das leis de Kepler apresentada no livro Calculus - Volume I de Tom Apostol ([1]).

Assim, suponha um sol e um planeta de massas \(M\) e \(m\), respectivamente.

A segunda lei de Newton relaciona a força resultante \(\boldsymbol {F}\) e a aceleração \(\boldsymbol {a}\) por:

\begin{equation} \label{eq:2aLei} \boldsymbol {F}=m\boldsymbol {a}. \tag{8.15} \end{equation}

Denotando por \(\boldsymbol {r}\) o vetor que liga o sol ao planeta, por \(\boldsymbol {u_r}\) o versor de \(\boldsymbol {r}\) e por \(r\) a norma de \(\boldsymbol {r}\), a lei universal da gravitação afirma que a força exercida pelo sol no planeta obedece:

\begin{equation} \label{eq:leigrav} \boldsymbol {F} = - \dfrac {GMm}{r^2} \boldsymbol {u_r}, \tag{8.16} \end{equation}

onde \(G\) é a constante gravitacional.

A partir das equações (8.15) e (8.16) temos:

\begin{equation} \label{eq:acgrav} \boldsymbol {a} = - \dfrac {GM}{r^2} \boldsymbol {u_r}. \tag{8.17} \end{equation}

Mostremos inicialmente que a trajetória do planeta está contida num plano fixo. Esse plano contém os vetores posição \(\boldsymbol {r}\) e velocidade \(\boldsymbol {v}\) e é perpendicular ao vetor momento angular específico \(\boldsymbol {r}\times \boldsymbol {v}\). Observe, para isso, que o vetor \(\boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v}\) é constante:

\[ \dfrac {d}{dt}(\boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v}) = \dfrac {d\boldsymbol {r}}{dt} \times \boldsymbol {v} + \boldsymbol {r} \times \dfrac {d\boldsymbol {v}}{dt} = \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {v} + \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {a} = \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {a} = {\boldsymbol {\displaystyle 0}}. \]

Denotemos \(\boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v}\) por \(\boldsymbol {c}\).

Como \(\boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {c} = \boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v} = 0\) segue que o vetor posição é sempre perpendicular a \(\boldsymbol {c}\), logo a trajetória é de fato plana. Observe que se \(\boldsymbol {c} = {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\) temos que \(\boldsymbol {r}\) e \(\boldsymbol {v}\) são paralelos e a trajetória será uma reta (cônica degenerada). Suponhamos no que se segue que \(\boldsymbol {c} \neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

Mostremos agora que a trajetória é de fato uma cônica.

Fixe um eixo polar passando pelo sol e seja \(\theta \) o ângulo entre \(\boldsymbol {r}\) e tal eixo. Seja \(\boldsymbol {u}_{\theta }\) o vetor unitário perpendicular a \(\boldsymbol {r}\) dado por \(\dfrac {d \boldsymbol {u_r}}{d\theta }\). Usando coordenadas polares temos que \(\boldsymbol {r} = r \boldsymbol {u_r}\). Disso segue:

\[ \dfrac {d\boldsymbol {r}}{dt} = \dfrac {d r\boldsymbol {\hat r}}{dt} =\dfrac {dr}{dt} \boldsymbol {u_r} + r\dfrac {\boldsymbol {u_r}}{dt} = \dfrac {dr}{dt} \boldsymbol {u_r} + r\dfrac {d\boldsymbol {u_r}}{d\theta }\dfrac {d\theta }{dt} = \dfrac {dr}{dt} \boldsymbol {u_r} + r\dfrac {d\theta }{dt}\boldsymbol {u}_{\theta }. \]

Portanto obtemos:

\[ \boldsymbol {c} = \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {v} = (r \boldsymbol {u_r}) \times \left(\dfrac {dr}{dt} \boldsymbol {u_r} + r\dfrac {d\theta }{dt}\boldsymbol {u}_{\theta }\right) = r^2 \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u_r} \times \boldsymbol {u}_{\theta }. \]

Dessa expressão segue:

\begin{multline} \label{eq:plan0} \boldsymbol {a} \times \boldsymbol {c} = \left( - \dfrac {GM}{r^2} \boldsymbol {u_r} \right) \times \left( r^2 \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u_r} \times \boldsymbol {u}_{\theta } \right) =\\ = - GM \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u_r} \times (\boldsymbol {u_r} \times \boldsymbol {u}_{\theta }) = GM \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u}_{\theta }. \tag{8.18} \end{multline}

Observe agora que:

\begin{equation} \label{eq:plan1} \dfrac {d}{dt}(\boldsymbol {v} \times \boldsymbol {c}) = \dfrac {d\boldsymbol {v}}{dt} \times \boldsymbol {c} + \boldsymbol {v} \times \dfrac {d\boldsymbol {c}}{dt} = \boldsymbol {a} \times \boldsymbol {c}. \tag{8.19} \end{equation}

Por outro lado:

\begin{equation} \label{eq:plan2} \dfrac {d}{dt} (GM\boldsymbol {u_r}) = GM \dfrac {d\boldsymbol {u_r}}{dt} = GM \dfrac {d\boldsymbol {u_r}}{d\theta } \dfrac {d\theta }{dt} = GM \dfrac {d\theta }{dt} \boldsymbol {u}_{\theta }. \tag{8.20} \end{equation}

Das equações (8.18), (8.19) e (8.20) segue então que:

\[ \dfrac {d}{dt}(\boldsymbol {v} \times \boldsymbol {c}) = \dfrac {d}{dt} (GM\boldsymbol {u_r}). \]

Portanto, por integração obtemos:

\[ \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {c} = GM\boldsymbol {u_r} + \boldsymbol {b}, \]

onde \(\boldsymbol {b}\) é um vetor constante.

Tomando \(\boldsymbol {e}\) tal que \(GM \boldsymbol {e} = \boldsymbol {b}\) segue que:

\[ \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {c} = GM(\boldsymbol {u_r} + \boldsymbol {e}). \]

Tomando o produto escalar com \(\boldsymbol {r}\) em ambos os lados, obtemos

\[ \boldsymbol {r}\cdot (\boldsymbol {v}\times \boldsymbol {c}) =GM\bigl(r+\boldsymbol {r}\cdot \boldsymbol {e}\bigr) =GMr(1+\eta \cos \phi ), \]

onde \(\eta =\lVert \boldsymbol {e}\rVert \) e \(\phi \) é o ângulo entre \(\boldsymbol {r}\) e \(\boldsymbol {e}\). Como \(\boldsymbol {c}=\boldsymbol {r}\times \boldsymbol {v}\), a invariância cíclica do produto misto fornece

\[ \boldsymbol {r}\cdot (\boldsymbol {v}\times \boldsymbol {c}) =(\boldsymbol {r}\times \boldsymbol {v})\cdot \boldsymbol {c} =\boldsymbol {c}\cdot \boldsymbol {c} =c^2, \]

onde \(c=\lVert \boldsymbol {c}\rVert \).

Assim temos, finalmente,

\[ GMr(1+\eta \cos \phi )=c^2. \]

Se \(\eta =0\), segue que \(r=c^2/(GM)\) é constante, e a órbita é circular. Se \(\eta \gt 0\), definindo

\[ p=\dfrac {c^2}{GM\eta }, \]

obtemos

\[ r=\dfrac {\eta p}{1+\eta \cos \phi }, \]

que é a equação polar de uma cônica com foco no sol e excentricidade \(\eta \).

Observação 8.43

Como \(\boldsymbol {e}\) é uma constante de integração e \(\eta =\lVert \boldsymbol {e}\rVert \) temos que a excentricidade depende fundamentalmente das condições iniciais do movimento, isto é, da posição e velocidade iniciais do planeta (Verifique!).

8.9 Exercícios complementares

As listas históricas deste capítulo concentram-se nas construções de Dandelin. Os exercícios abaixo completam a prática com formas canônicas, elementos geométricos, translações, completar quadrados e excentricidade.

Exercício 9.1

Considere a elipse

\[ 9x^2+4y^2=36. \]

Determine centro, vértices, focos, comprimentos dos eixos e excentricidade.

Ver solução

A forma canônica é

\[ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1. \]

Logo o eixo maior é vertical, \(a=3\), \(b=2\) e

\[ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt5. \]

Centro: \((0,0)\). Vértices principais: \((0,\pm 3)\). Vértices secundários: \((\pm 2,0)\). Focos: \((0,\pm \sqrt5)\). Os eixos medem \(6\) e \(4\), e

\[ e=\frac{\sqrt5}{3}. \]

Exercício 9.2

Determine a equação da elipse cujos focos são \((\pm 4,0)\) e cujo eixo maior mede \(10\).

Ver solução

Temos \(c=4\) e \(2a=10\), portanto \(a=5\). Como \(a^2=b^2+c^2\),

\[ b^2=25-16=9. \]

Logo

\[ \boxed {\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1}. \]

Exercício 9.3

Identifique a cônica

\[ 9x^2+16y^2-36x+32y-92=0 \]

e determine seus elementos geométricos principais.

Ver solução

Completando quadrados,

\[ 9(x-2)^2+16(y+1)^2=144, \]

isto é,

\[ \frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{9}=1. \]

É uma elipse de centro \((2,-1)\), com \(a=4\), \(b=3\), \(c=\sqrt7\). O eixo maior é horizontal; os focos são

\[ (2\pm \sqrt7,-1), \]

e os vértices principais são \((6,-1)\) e \((-2,-1)\).

Exercício 9.4

Para a hipérbole

\[ 9x^2-16y^2=144, \]

determine vértices, focos, assíntotas e excentricidade.

Ver solução

A forma canônica é

\[ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1. \]

Logo \(a=4\), \(b=3\) e \(c=5\). Os vértices são \((\pm 4,0)\), os focos \((\pm 5,0)\) e as assíntotas

\[ y=\pm \frac34x. \]

A excentricidade é

\[ e=\frac54. \]

Exercício 9.5

Determine a equação da hipérbole de centro na origem, focos \((\pm 5,0)\) e vértices \((\pm 3,0)\).

Ver solução

Temos \(c=5\), \(a=3\) e

\[ b^2=c^2-a^2=25-9=16. \]

Portanto

\[ \boxed {\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1}. \]

Exercício 9.6

Identifique e esboce a cônica

\[ 4x^2-9y^2-8x-36y-68=0. \]

Determine centro, vértices, focos e assíntotas.

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Completando quadrados,

\[ 4(x-1)^2-9(y+2)^2=36, \]

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\[ \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{4}=1. \]

É uma hipérbole de centro \((1,-2)\), com \(a=3\), \(b=2\) e \(c=\sqrt{13}\). Vértices:

\[ (1\pm 3,-2). \]

Focos:

\[ (1\pm \sqrt{13},-2). \]

Assíntotas:

\[ y+2=\pm \frac23(x-1). \]

Exercício 9.7

Para a parábola

\[ y^2=12x, \]

determine vértice, foco, diretriz, eixo de simetria e comprimento da corda focal perpendicular ao eixo.

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Comparando com \(y^2=4px\), temos \(p=3\). Logo

\[ V=(0,0),\qquad F=(3,0),\qquad d:x=-3. \]

O eixo é \(y=0\). A corda focal perpendicular ao eixo passa por \(x=3\); seus extremos são \((3,\pm 6)\), portanto seu comprimento é \(12=4p\).

Exercício 9.8

Determine a equação da parábola de foco \((0,-2)\) e diretriz \(y=2\).

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O vértice é a origem e \(p=-2\). Assim

\[ x^2=4py=-8y, \]

\[ \boxed {y=-\frac{x^2}{8}}. \]

Exercício 9.9

Identifique a parábola

\[ x^2-6x-8y+1=0 \]

e determine vértice, foco e diretriz.

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Completando quadrados,

\[ (x-3)^2=8(y+1). \]

Logo \(4p=8\), isto é, \(p=2\). Portanto

\[ V=(3,-1),\qquad F=(3,1),\qquad d:y=-3. \]

Exercício 9.10

Determine focos, diretrizes e excentricidade das cônicas:

\(\dfrac {x^2}{25}+\dfrac {y^2}{9}=1\);
\(\dfrac {x^2}{9}-\dfrac {y^2}{16}=1\);
\(y^2=12x\).

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\(a=5\), \(b=3\), \(c=4\), \(e=4/5\). Focos \((\pm 4,0)\) e diretrizes

\[ x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{25}{4}. \]
\(a=3\), \(b=4\), \(c=5\), \(e=5/3\). Focos \((\pm 5,0)\) e diretrizes

\[ x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac95. \]
Excentricidade \(e=1\), foco \((3,0)\) e diretriz \(x=-3\).

Exercício 9.11

Um ponto \(P=(x,y)\) satisfaz

\[ d(P,(4,0))=\frac45\, d\! \left(P,\, x=\frac{25}{4}\right). \]

Sem usar uma tabela pronta, desenvolva a equação e identifique a cônica.

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Elevando ao quadrado,

\[ (x-4)^2+y^2=\frac{16}{25}\left(x-\frac{25}{4}\right)^2. \]

Simplificando,

\[ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1. \]

Trata-se da elipse de focos \((\pm 4,0)\) e excentricidade \(4/5\).

Exercício 9.12

Compare as elipses

\[ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 \qquad \text{e}\qquad \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1. \]

Mostre diretamente que são semelhantes e determine a razão da homotetia que leva a primeira na segunda.

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Na primeira, \((a,b)=(5,3)\); na segunda, \((a',b')=(10,6)\). Assim

\[ \frac{a'}a=\frac{b'}b=2. \]

A homotetia de centro na origem e razão \(2\) leva \((x,y)\) em \((2x,2y)\) e transforma a primeira elipse na segunda. Ambas têm a mesma excentricidade \(4/5\).