Capítulo 3

Vetores em Coordenadas

Nos capítulos anteriores estudamos os vetores a partir de suas propriedades geométricas. A escolha de coordenadas permite representar essas propriedades algebricamente e realizar os cálculos por meio de operações com números reais. Neste capítulo construiremos essa representação, relacionando-a às definições já estabelecidas.

O ponto de partida é o conceito de base, introduzido no capítulo anterior. Uma base fornece coordenadas para vetores; escolhendo também uma origem, obtemos coordenadas para os pontos do plano ou do espaço.

Mais precisamente, escolher coordenadas no espaço euclidiano significa escolher uma origem $O$ e uma base ordenada de vetores. Essa escolha fornece uma bijeção entre os pontos do espaço e $\mathbb {R}^3$: a cada ponto associamos as coordenadas de seu vetor posição na base escolhida. No plano, o procedimento é análogo, com uma base de dois vetores.

3.1 Coordenadas de Vetores e Pontos

A construção será feita em duas etapas. Primeiro, uma base ordenada fornece coordenadas para os vetores. Depois, escolhendo uma origem, usamos o vetor posição para atribuir coordenadas aos pontos.

3.1.1 Coordenadas de vetores

Se considerarmos $\mathcal{B}= ( \boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2,\boldsymbol {e}_3)$ uma base de $\mathbb {V}^3$, pelo teorema da base para o espaço, temos que qualquer vetor $v$ pode ser representado como:

\[ \boldsymbol {v}=\lambda _1\boldsymbol {e}_{1}+\lambda _2\boldsymbol {e}_{2}+\lambda _3\boldsymbol {e}_{3}, \]

onde os coeficientes $\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$ são únicos.

Tal igualdade nos permite construir a seguinte bijeção entre $\mathbb {V}^3$ e $\mathbb {R}^3$:

\begin{align*} \iota _1: \mathbb {V}^3 & \longrightarrow \mathbb {R}^3\\ \boldsymbol {v} & \longmapsto (\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3) \end{align*}

A existência e a unicidade dos coeficientes mostram que essa aplicação é uma bijeção: cada vetor determina uma única tripla e toda tripla de números reais determina um único vetor. Escreveremos, portanto,

\[ \boldsymbol {v}: (\lambda _1, \lambda _2, \lambda _3)_{\mathcal{B}}. \]

E denominamos a tripla $(\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3)$ de coordenadas do vetor $\boldsymbol {v}$ na base $\mathcal{B}$.

3.1.2 Coordenadas de pontos

Considere agora o espaço euclidiano ($\mathbb {E}^3$). Uma base determina coordenadas para vetores, mas não é suficiente para atribuir coordenadas aos pontos: precisamos também de um ponto de referência. Fixemos um ponto $O\in \mathbb {E}^3$, chamado de origem do sistema de coordenadas. A posição de cada ponto de $\mathbb {E}^3$ será descrita em relação a essa origem.

Observe que, fixado $O$, um ponto $P$ qualquer em $\mathbb {E}^3$ pode ser escrito como $P=O+\overrightarrow {OP}$. Tal igualdade nos permite identificar univocamente pontos de $\mathbb {E}^3$ com vetores de $\mathbb {V}^3$:

\begin{align*} \iota _2: \mathbb {E}^3 & \longrightarrow \mathbb {V}^3\\ P & \longmapsto \overrightarrow {OP} \end{align*}

O vetor $\overrightarrow {OP}$ é denominado vetor posição de $P$.

Tomando a função composta $\iota : = \iota _1 \circ \iota _2$ obtemos uma bijeção entre os pontos de $\mathbb {E}^3$ e os elementos de $\mathbb {R}^3$: a cada ponto $P$ podemos associar a tripla $(\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3)$.

3.2 Sistemas de Coordenadas

Motivado pelo exposto acima, definimos

Definição 3.1

Um sistema de coordenadas no espaço é um par $\Sigma =(O,\mathcal{B})$, em que $O$ é um ponto, chamado de origem, e $\mathcal{B}=(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2,\boldsymbol {e}_3)$ é uma base ordenada de $\mathbb {V}^3$. A base determina as coordenadas dos vetores; a origem é necessária para determinar as coordenadas dos pontos.

A escolha de $\Sigma $ determina uma bijeção entre $\mathbb E^3$ e $\mathbb {R}^3$. Escreveremos

\[ P: (\lambda _1, \lambda _2, \lambda _3)_{\Sigma }, \]

onde $(\lambda _1, \lambda _2, \lambda _3)$ são as coordenadas do vetor posição $\overrightarrow {OP}$ na base $\mathcal{B}$. Chamamos, nesse caso, $(\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3)$ de coordenadas do ponto $P$ no sistema de coordenadas $\Sigma $.

Observação 3.2

Fixado um sistema de coordenadas $\Sigma $, é usual representar as coordenadas de um vetor $\boldsymbol {v}$ na base $\mathcal{B}$ associada a $\Sigma $ também por $(\lambda _1, \lambda _2, \lambda _3)_{\Sigma }$.

Muitas vezes quando o sistema de coordenadas $\Sigma $ e a base $\mathcal{B}$ estão claros pelo contexto é comum, também, denotar tanto o ponto $P$ quanto seu vetor posição $\overrightarrow {OP}$ indistintamente por suas coordenadas: $(\lambda _1, \lambda _2, \lambda _3)$ (sem indicar os sub-índices $\Sigma $ ou $\mathcal{B}$). Nesse caso cabe ao leitor entender pelo contexto a quem se referem as coordenadas descritas, a um ponto ou a um vetor.

Finalmente, observamos que podemos de forma totalmente análoga à descrita acima identificar pontos do plano euclidiano $\mathbb E ^2$ com vetores de $\mathbb {V}^2$ e com elementos de $\mathbb {R}^2$. Para isso tudo que precisamos é de um sistema de coordenadas $\Sigma = (O, \mathcal{B})$ onde $\mathcal{B}$ é uma base de $\mathbb {V}^2$, ou seja, um conjunto formado por dois vetores linearmente independentes.

Quando escrevermos as fórmulas em $\mathbb {V}^3$, a versão planar será obtida simplesmente omitindo a terceira coordenada.

Até aqui não foi necessário supor que a base fosse ortogonal ou que seus vetores tivessem norma $1$. Uma base qualquer permite atribuir coordenadas e efetuar as operações algébricas deste capítulo. Bases ortonormais se tornarão especiais apenas quando quisermos traduzir diretamente para coordenadas noções métricas, como comprimento, distância e ângulo; voltaremos a esse ponto na Seção 3.5.

Exemplo 3.3

Dado um retângulo $ABCD$ conforme a figura abaixo, vamos encontrar as coordenadas dos pontos $A,B,C,D$ e dos vetores $\overrightarrow {BD}$ e $\overrightarrow {AC}$ nos seguintes sistemas de coordenadas:

$\Sigma _{1}=\left( A, \mathcal{B}_1\right) $ onde $\mathcal{B}_1=(\boldsymbol {e}_{1}\boldsymbol {,e}_{2})$.
$\Sigma _{2}=\left( B, \mathcal{B}_2\right) $ onde $\mathcal{B}_2= (\boldsymbol {e}_{3},\dfrac {1}{2}\boldsymbol {e}_{1})$.

Figura 3.1 Retângulo ABCD e vetores boldsymbol e_1,boldsymbol e_2,boldsymbol e_3. — Figura 3.1 Retângulo $ABCD$ e vetores $\boldsymbol {e_1},\boldsymbol {e_2},\boldsymbol {e_3}$.

Solução

$\left( 1\right) $ Vamos primeiro escrever as coordenadas de $A,B,C,D$ no sistema $\Sigma _{1}$. Para isso devemos escrever os vetores $\overrightarrow {AA},\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}$ e $\overrightarrow {AD}$ como combinação linear de $\boldsymbol {e}_{1}$ e $\boldsymbol {e}_{2}$. Por definição

\[ \overrightarrow {AB}=\boldsymbol {e}_{1}\ \text{ e }\ \overrightarrow {AD}=\boldsymbol {e}_{2}. \]

Temos também que

\[ \overrightarrow {AC}=\boldsymbol {e}_{1}+\boldsymbol {e}_{2} \]

e que $\overrightarrow {AA}$, sendo o vetor nulo, é igual a $0\boldsymbol {e}_{1}+0\boldsymbol {e}_{2}.$ Assim as coordenadas são

\begin{align*} A & :\left( 0,0\right)_{\Sigma _{1}}\ \text{ pois }\ \overrightarrow {AA}=0\boldsymbol {e}_{1}+0\boldsymbol {e}_{2}\\ B & :\left( 1,0\right)_{\Sigma _{1}}\ \text{ pois }\ \overrightarrow {AB}=1\boldsymbol {e}_{1}+0\boldsymbol {e}_{2}\\ C & :\left( 1,1\right)_{\Sigma _{1}}\ \text{ pois }\ \overrightarrow {AC}=1\boldsymbol {e}_{1}+1\boldsymbol {e}_{2}\\ D & :\left( 0,1\right)_{\Sigma _{1}}\ \text{ pois }\ \overrightarrow {AD}=0\boldsymbol {e}_{1}+1\boldsymbol {e}_{2}. \end{align*}

Para encontrar as coordenadas dos vetores $\overrightarrow {BD}$ e $\overrightarrow {AC}$ basta observar que

\[ \overrightarrow {BD}=-\boldsymbol {e}_1+\boldsymbol {e}_2\ \text{ e }\ \overrightarrow {AC}=\boldsymbol {e}_1+\boldsymbol {e}_2, \]

e portanto temos

\[ \overrightarrow {BD}: (-1,1)_{\Sigma _{1}} \]

\[ \overrightarrow {AC}: (1,1)_{\Sigma _{1}} \]

$\left( 2\right)$ Vamos agora escrever as coordenadas dos pontos $A,B,C,D$ no sistema $\Sigma _{2}=\left( B, (\boldsymbol {e}_{3},\dfrac {1}{2}\boldsymbol {e}_{1})\right) .$

Para tanto devemos escrever os vetores $\overrightarrow {BA},\overrightarrow {BB},\overrightarrow {BC}$ e $\overrightarrow {BD}$ como combinação de $\boldsymbol {f}_{1}$ e $\boldsymbol {f}_{2}$ sendo $\boldsymbol {f}_{1}=\boldsymbol {e}_{3}$ e $\boldsymbol {f}_{2}=\dfrac {1}{2}\boldsymbol {e}_{1}.$

Observe que

\[ \overrightarrow {BA}=-\boldsymbol {e}_{1}=-2\left( \dfrac {1}{2}\boldsymbol {e}_{1}\right) =-2\boldsymbol {f}_{2}, \]

\[ \overrightarrow {BB}=0\boldsymbol {f}_{1}+0\boldsymbol {f}_{2}\ \text{(vetor nulo)}, \]

\[ \overrightarrow {BC}=\boldsymbol {e}_{2}=\boldsymbol {e}_{3}-\boldsymbol {e}_{1}=\boldsymbol {f}_{1}-2\boldsymbol {f}_{2} \]

\[ \overrightarrow {BD}=\boldsymbol {e}_{3}-2\boldsymbol {e}_{1}=\boldsymbol {f}_{1}-4\boldsymbol {f}_{2}. \]

E assim as coordenadas dos pontos são

\begin{align*} A & :\left( 0,-2\right)_{\Sigma _{2}} \\ B & :\left( 0,0\right)_{\Sigma _{2}}\\ C & :\left( 1,-2\right)_{\Sigma _{2}}\\ D & :\left( 1,-4\right)_{\Sigma _{2}} \end{align*}

Calculando as coordenadas dos vetores $\overrightarrow {BD}$ e $\overrightarrow {AC}$, usando que $\boldsymbol {e}_2=\boldsymbol {e}_3-\boldsymbol {e}_1$ obtemos que

\[ \overrightarrow {BD}=-\boldsymbol {e}_1+\boldsymbol {e}_2=\boldsymbol {e}_3-2\boldsymbol {e}_1=\boldsymbol {f}_1-4\boldsymbol {f}_2 \]

\[ \overrightarrow {AC}=\boldsymbol {e}_3=\boldsymbol {f}_1, \]

e portanto vale

\[ \overrightarrow {BD}: (1,-4)_{\Sigma _{2}} \]

\[ \overrightarrow {AC}: (1,0)_{\Sigma _{2}}. \]

3.3 Operações em Coordenadas

Escolher coordenadas não modifica as operações vetoriais; apenas as traduz em operações com números reais. A proposição seguinte torna essa correspondência explícita.

Proposição 3.4

Se $\boldsymbol {u}:\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)_\Sigma $, $\boldsymbol {v}:\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)_\Sigma $ e $P:\left(p_1,p_2,p_3\right)_\Sigma $ então:

$\boldsymbol {u+v}:\left( a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}\right)_\Sigma $
$\lambda \boldsymbol {u}:\left( \lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)_\Sigma $
$P+\boldsymbol {u}:\left( a_{1}+p_{1} ,a_{2}+p_{2},a_{3}+p_{3}\right)_\Sigma $

Demonstração ▼

Dado um sistema de coordenadas $\Sigma =\left(O,\mathcal{B}\right)$, onde $\mathcal{B}= (\boldsymbol {e_1,e_2,e_3})$, como $\boldsymbol {u}:\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)_\Sigma $ e $\boldsymbol {v}:\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)_\Sigma $, por definição temos que:

\begin{eqnarray*} \boldsymbol {u}& =& a_1\boldsymbol {e}_{1}+a_2\boldsymbol {e}_{2}+a_3\boldsymbol {e}_{3}\\ \boldsymbol {v}& =& b_1\boldsymbol {e}_{1}+b_2\boldsymbol {e}_{2}+b_3\boldsymbol {e}_{3} \end{eqnarray*}

E logo

\begin{eqnarray*} \boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}& =& a_1\boldsymbol {e}_{1}+a_2\boldsymbol {e}_{2}+a_3\boldsymbol {e}_{3}+b_1\boldsymbol {e}_{1}+b_2\boldsymbol {e}_{2}+b_3\boldsymbol {e}_{3} \\ & =& (a_1+b_1)\boldsymbol {e}_{1}+(a_2+b_2)\boldsymbol {e}_{2}+(a_3+b_3)\boldsymbol {e}_{3} \end{eqnarray*}

E desta forma as coordenadas de $\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}$ no sistema de coordenadas $\Sigma $ são

\[ \boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}:(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) \]
Como $\boldsymbol {u}:\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)_\Sigma $, por definição temos que:

\begin{eqnarray*} \boldsymbol {u}& =& a_1\boldsymbol {e}_{1}+a_2\boldsymbol {e}_{2}+a_3\boldsymbol {e}_{3}\\ \end{eqnarray*}

Desta forma temos que

\begin{eqnarray} \lambda \boldsymbol {u}& =& \lambda \left(a_1\boldsymbol {e}_{1}+a_2\boldsymbol {e}_{2}+a_3\boldsymbol {e}_{3} \right) \tag{3.1} \\ & =& \lambda a_1\boldsymbol {e}_{1}+\lambda a_2\boldsymbol {e}_{2}+\lambda a_3\boldsymbol {e}_{3} \tag{3.2} \end{eqnarray}

E consequentemente:

\[ \lambda \boldsymbol {u}:(\lambda a_1,\lambda a_2, \lambda a_3) \]
Deixaremos como exercício para o leitor.

Fixemos um sistema de coordenadas $\Sigma = (O, \mathcal{B})$. Dados os pontos $A:(a_1,a_2,a_3)$ e $B:(b_1,b_2,b_3)$, determinaremos as coordenadas do vetor $\overrightarrow {AB}$ a partir das operações já estudadas.

Observe que, pela definição de subtração de vetores, vale que $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA}$. Então, como $\overrightarrow {OA}=a_{1}\boldsymbol {e}_{1}+a_{2}\boldsymbol {e}_{2}+a_{3}\boldsymbol {e}_{3}$ e $\overrightarrow {OB}=b_{1}\boldsymbol {e}_{1}+b_{2}\boldsymbol {e}_{2}+b_{3}\boldsymbol {e}_{3}$, temos:

\begin{align*} \overrightarrow {AB} & =(b_1-a_1)\boldsymbol {e}_{1}+(b_2-a_2)\boldsymbol {e}_{2}+(b_3-a_3)\boldsymbol {e}_{3}\\ \overrightarrow {AB} & =\left( b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3\right) \end{align*}

Tal igualdade dá origem a notação de Grassmann que diz:

\[ \overrightarrow {AB} = B -A. \]

Observe que a igualdade acima é, no entanto, apenas uma notação já que em nenhum momento foi definida soma ou subtração de pontos.

Exemplo 3.5

Dados os pontos $A:(1,3,2)$, $B:(1,1,1)$ e $C:(1,1,0)$ determine as coordenadas

dos vetores $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {BC}$
do vetor $\overrightarrow {AB}+\dfrac {1}{3}\overrightarrow {BC}$
do ponto $C+\dfrac {1}{2}\overrightarrow {AB}$

Solução

$\overrightarrow {AB}:(1-1,1-3,1-2)=(0,-2,-1)$

$\overrightarrow {BC}:(1-1,1-1,0-1)=(0,0,-1)$
$\overrightarrow {AB}+\dfrac {1}{3}\overrightarrow {BC}=(0,-2,-1)+\dfrac {1}{3}(0,0,-1)= (0,-2,-1-\dfrac {1}{3})=(0,-2,-\dfrac {4}{3}) $
$C+\dfrac {1}{2}\overrightarrow {AB}=(1,1,0)+\dfrac {1}{2}(0,-2,-1)= (1,0,-\dfrac {1}{2}) $

Exemplo 3.6

Determine o ponto médio $M=\left( m_1,m_2,m_3\right) $ de um segmento com ponto inicial $A =\left( a_1,a_2,a_3\right) $ e $B=\left( b_1,b_2,b_3\right) $, num sistema de coordenadas $\Sigma =\left(O,\mathcal{B}\right) $, onde $\mathcal{B}= (\boldsymbol {e_1,e_2,e_3})$.

Solução

Primeiro observamos que $\overrightarrow {AB}=2\overrightarrow {AM}$ pois os vetores possuem o mesmo sentido e o comprimento $\left\Vert \overrightarrow {AB}\right\Vert $ é duas vezes o comprimento $\left\Vert \overrightarrow {AM}\right\Vert $.

Assim,

\[ (b_1-a_1)\boldsymbol {e}_1+(b_2-a_2)\boldsymbol {e}_2+(b_3-a_3)\boldsymbol {e}_3 =2(m_1-a_1)\boldsymbol {e}_1+2(m_2-a_2)\boldsymbol {e}_2+2(m_3-a_3)\boldsymbol {e}_3. \]

Como $\mathcal{B}$ é uma base, os coeficientes correspondentes são iguais. Portanto,

\[ b_i-a_i=2(m_i-a_i), \]

para $i=1,2,3$, e assim

\[ m_i=\dfrac {a_i+b_i}{2}. \]

Logo,

\[ M:\left(\dfrac {a_1+b_1}{2},\dfrac {a_2+b_2}{2},\dfrac {a_3+b_3}{2}\right). \]

3.4 Independência Linear e Mudança de Base

Uma vez escolhida uma base, questões de dependência linear podem ser decididas por meio de sistemas lineares e determinantes. Essa é a primeira situação em que a representação em coordenadas não apenas codifica os vetores, mas simplifica de fato um problema geométrico.

3.4.1 Critério por determinantes

Teorema 3.7

Sejam

\[ \boldsymbol {u}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \boldsymbol {v}=(b_1,b_2,b_3),\qquad \boldsymbol {w}=(c_1,c_2,c_3) \]

as coordenadas de três vetores numa mesma base. Então $\boldsymbol {u},\boldsymbol {v},\boldsymbol {w}$ são linearmente independentes se e somente se

\[ \det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}\neq 0. \]

Demonstração ▼

Os vetores são linearmente independentes se e somente se a relação

\[ x\boldsymbol {u}+y\boldsymbol {v}+z\boldsymbol {w}={\boldsymbol {\displaystyle 0}} \]

possui apenas a solução $x=y=z=0$. Em coordenadas, essa relação equivale ao sistema homogêneo

\[ \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Um sistema homogêneo quadrado possui apenas a solução trivial exatamente quando sua matriz de coeficientes é invertível, isto é, quando seu determinante é não nulo.

Exemplo 3.8

Determine $m$ de modo que os vetores $\boldsymbol {u},\boldsymbol {v}$ e $\boldsymbol {w}$ sejam linearmente dependentes, onde:

\[ \boldsymbol {u}=(1, m + 1, m + 2), \qquad \boldsymbol {v}=(1, 0, m), \qquad \boldsymbol {w}=(0, 2, 3). \]

Solução

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, pelo Teorema 3.7 o determinante da matriz cujas colunas são suas coordenadas deve se anular:

\[ \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1+m & 0 & 2 \\ 2+m & m & 3 \end{pmatrix}=0 \]

Calculando o determinante temos que:

\[ \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1+m & 0 & 2 \\ 2+m & m & 3 \end{pmatrix}=1-3m \]

Logo $1-3m=0$, e portanto $m=\dfrac {1}{3}$.

3.4.2 Um primeiro exemplo de mudança de base

Uma mesma base pode ser usada para descrever as coordenadas de outros vetores que, por sua vez, formam uma nova base. O vetor geométrico não muda quando trocamos de base; mudam apenas os números usados para representá-lo.

Exemplo 3.9

Considere uma base $\mathcal{B}=(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2,\boldsymbol {e}_3)$ e os vetores

\[ \boldsymbol {f}_1=(1,1,1)_{\mathcal{B}},\qquad \boldsymbol {f}_2=(1,0,1)_{\mathcal{B}},\qquad \boldsymbol {f}_3=(0,-1,1)_{\mathcal{B}}. \]

Mostre que $\mathcal{C}=(\boldsymbol {f}_1,\boldsymbol {f}_2,\boldsymbol {f}_3)$ é uma base de $\mathbb {V}^3$.
Encontre as coordenadas de $\boldsymbol {u}=(1,2,3)_{\mathcal{C}}$ na base $\mathcal{B}$.
Encontre as coordenadas de $\boldsymbol {v}=(1,2,3)_{\mathcal{B}}$ na base $\mathcal{C}$.

Solução

A matriz cujas colunas são as coordenadas de $\boldsymbol {f}_1,\boldsymbol {f}_2,\boldsymbol {f}_3$ na base $\mathcal{B}$ é

\[ M= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Como $\det M=-1\neq 0$, os três vetores são linearmente independentes. Como estamos em $\mathbb {V}^3$, eles formam uma base.
Aqui conhecemos as coordenadas de $\boldsymbol {u}$ na base $\mathcal{C}$. Basta expandir a combinação linear:

\begin{align*} \boldsymbol {u} & =\boldsymbol {f}_1+2\boldsymbol {f}_2+3\boldsymbol {f}_3\\ & =(1,1,1)_{\mathcal{B}}+2(1,0,1)_{\mathcal{B}}+3(0,-1,1)_{\mathcal{B}}\\ & =(3,-2,6)_{\mathcal{B}}. \end{align*}
Agora o sentido da conversão é o contrário. Procuramos escalares $a,b,c$ tais que

\[ \boldsymbol {v}=a\boldsymbol {f}_1+b\boldsymbol {f}_2+c\boldsymbol {f}_3. \]

Escrevendo tudo na base $\mathcal{B}$, obtemos

\[ a(1,1,1)+b(1,0,1)+c(0,-1,1)=(1,2,3), \]

ou seja,

\[ \begin{cases} a+b=1,\\ a-c=2,\\ a+b+c=3. \end{cases} \]

Da primeira e da terceira equações, $c=2$; então $a=4$ e $b=-3$. Portanto

\[ \boldsymbol {v}=(4,-3,2)_{\mathcal{C}}. \]

Observação 3.10

O exemplo mostra as duas direções de uma mudança de base. Quando conhecemos as novas coordenadas, voltar à base antiga é uma combinação linear direta. No sentido inverso, precisamos resolver um sistema linear. No Capítulo 12 organizaremos esse procedimento por meio de matrizes de mudança de base.

3.5 Bases Ortonormais e Coordenadas Cartesianas

Até este ponto trabalhamos com bases arbitrárias. Isso é suficiente para representar vetores, somá-los, multiplicá-los por escalares e estudar independência linear. Entretanto, numa base qualquer, as coordenadas de um vetor não fornecem imediatamente seu comprimento, e as fórmulas usuais de distância e ângulo deixam de ter a forma elementar que conhecemos.

É exatamente essa dificuldade que torna as bases ortonormais especiais.

Definição 3.11

Uma base é dita ortonormal quando seus vetores são ortogonais dois a dois e todos têm norma $1$. Um sistema de coordenadas $\Sigma =(O,\mathcal{B})$ é chamado cartesiano quando a base $\mathcal{B}$ é ortonormal.

Quando a base não é ortogonal, diremos que o sistema é oblíquo.

Observe que “cartesiano” e “oblíquo” não são categorias complementares: uma base pode ser ortogonal sem ser ortonormal, se seus vetores forem perpendiculares mas não tiverem todos norma $1$.

Usaremos $(\boldsymbol {i},\boldsymbol {j})$ para uma base ortonormal do plano e $(\boldsymbol {i},\boldsymbol {j},\boldsymbol {k})$ para uma base ortonormal do espaço. A figura abaixo contrasta um sistema cartesiano com um sistema oblíquo.

Figura 3.2 Sistema cartesiano no plano. Figura 3.3 Sistema oblíquo no plano. — Figura 3.2 Sistema cartesiano no plano.

3.5.1 Norma e distância em coordenadas cartesianas

Ilustração: Norma e distância em coordenadas cartesianas

Seja $\mathcal{B}=(\boldsymbol {i},\boldsymbol {j})$ uma base ortonormal de $\mathbb {V}^2$ e seja $O$ um ponto do plano. O par $\Sigma =(O,\mathcal{B})$ determina um sistema cartesiano. Dado um ponto $P$, considere o vetor $\boldsymbol {r}=\overrightarrow {OP}$ e sua representação no sistema $\Sigma $ dada por $\boldsymbol {r}: (x,y)$, ou seja:

\[ \boldsymbol {r}=x\boldsymbol {i}+y\boldsymbol {j}. \]

Como $x\boldsymbol {i}$ e $y\boldsymbol {j}$ são ortogonais, o Teorema de Pitágoras fornece

\begin{eqnarray*} \left\Vert \boldsymbol {r}\right\Vert ^2 & =& \left\Vert x\boldsymbol {i}\right\Vert ^2+\left\Vert y\boldsymbol {j}\right\Vert ^2\\ & =& x^2\left\Vert \boldsymbol {i}\right\Vert ^2+y^2\left\Vert \boldsymbol {j}\right\Vert ^2\\ & =& x^2+y^2. \end{eqnarray*}

Assim, se denotarmos por $r$ o tamanho do vetor $\boldsymbol {r}$ temos que

\[ r=\sqrt{x^2+y^2}. \]

A mesma ideia pode ser generalizada para o espaço, onde obtemos que se $\boldsymbol {r}=x\boldsymbol {i}+y\boldsymbol {j}+z\boldsymbol {k}$, então

\[ r=\left\Vert \boldsymbol {r}\right\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]

A fórmula da distância é uma consequência imediata. Como $\overrightarrow {PQ}=(b_1-a_1,b_2-a_2)$, temos

\[ d(P,Q)=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2} \]

Figura 3.4 Distância entre dois pontos no plano.

No espaço tridimensional, a distância entre os pontos $P:(a_1,a_2,a_3)$ e $Q:(b_1,b_2,b_3)$ é dada por:

\[ d(P,Q)=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2} \]

Observação 3.12

As fórmulas simples para norma e distância dependem da ortonormalidade da base. Em uma base geral, ainda podemos calcular essas quantidades, mas aparecem fatores que registram os comprimentos e os ângulos entre os vetores da base. Essa diferença é precisamente o motivo para privilegiarmos sistemas cartesianos quando o problema envolve geometria métrica.

Exemplo 3.13

Suponha fixado um sistema de coordenadas cartesiano. Calcule a distância dos pontos $A:(1,0,2)$ e $B:(3,2,1)$.

Solução

Temos que $d(A,B)=\lVert \overrightarrow {AB}\rVert $. Como $\overrightarrow {AB} = B - A = (2,2,-1)$, segue que:

\[ d(A,B) = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = 3. \]

3.6 Produto Escalar: Ângulo entre dois Vetores

É de fundamental importância em toda geometria a determinação de medidas angulares. Veremos mais adiante que, além de diversas outras aplicações, ângulos entre vetores (ou entre vetores e retas) podem ser usados na definição de uma nova forma de representar pontos do espaço euclidiano (coordenadas polares). Surge então a pergunta: como podemos utilizar os sistemas de coordenadas para determinar o ângulo entre dois vetores $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$?

Figura 3.5 Ângulo entre boldsymbol u e boldsymbol v — Figura 3.5 Ângulo entre $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$

Conforme vimos no Capítulo 1, se $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$ são não nulos, o ângulo entre eles é o ângulo $\theta $, com $0\leq \theta \leq \pi $, formado por representantes com a mesma origem.

Para determinarmos uma expressão para ângulo entre dois vetores $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$ o primeiro passo é escolher um sistema de coordenadas cartesiano $\Sigma =(O,\mathcal{B})$ com $\mathcal{B}= (\boldsymbol {i},\boldsymbol {j},\boldsymbol {k})$ e escrever os vetores neste sistema:

\begin{align*} \boldsymbol {u} & =a_{1}\boldsymbol {i}+a_{2}\boldsymbol {j}+a_{3}\boldsymbol {k}\\ \boldsymbol {v}& =b_{1}\boldsymbol {i}+b_{2}\boldsymbol {j}+b_{3}\boldsymbol {k} \end{align*}

Utilizando a lei dos cossenos temos que:

Ilustração: Produto Escalar: Ângulo entre dois Vetores

\[ \lVert \boldsymbol {v-u}\rVert ^{2}=\lVert \boldsymbol {u}\rVert ^{2}+\lVert \boldsymbol {v}\rVert ^{2}-2\lVert \boldsymbol {u}\rVert \lVert \boldsymbol {v}\rVert \cos (\theta ), \]

e consequentemente

\[ (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}= a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}-2\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert \cos (\theta ). \]

Assim

\begin{equation} \label{eq:angpesc} \cos (\theta )=\dfrac {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert }. \tag{3.3} \end{equation}

Ao termo $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$ daremos o nome de produto escalar de $\boldsymbol {u}$ por $\boldsymbol {v}$ e denotaremos por $\boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}$.

Resumindo:

Definição 3.14

Se $\Sigma =(O,\mathcal{B})$, com $\mathcal{B}=(\boldsymbol {i},\boldsymbol {j},\boldsymbol {k})$, é um sistema cartesiano, e se $\boldsymbol {u}=(a_1,a_2,a_3)_\Sigma $ e $\boldsymbol {v}=(b_1,b_2,b_3)_\Sigma $, definimos o produto escalar (ou produto interno) por

\[ \boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}:=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. \]

Assim, o produto escalar associa a dois vetores um número real. Se ambos são não nulos e $\theta $ é o ângulo entre eles, a dedução anterior fornece a interpretação geométrica

\[ \boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}=\lVert \boldsymbol {u}\rVert \, \lVert \boldsymbol {v}\rVert \cos \theta . \]

Observação 3.15

É importante observar que a expressão:

\[ \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} = \left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert \cos (\theta ) \]

independe da escolha do sistema de coordenadas, ou seja, tal igualdade é válida também em sistemas de coordenadas não cartesianos. No entanto, a igualdade:

\[ \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} \]

só é válida em sistemas de coordenadas cartesianos (ortonormais).

Além disso, os argumentos apresentados anteriormente provam que:

Proposição 3.16

Dados dois vetores não nulos $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$, o ângulo $\theta $ entre eles satisfaz:

\[ \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} = \lVert \boldsymbol {u}\rVert \lVert \boldsymbol {v}\rVert \cos \theta , \]

e, portanto,

\[ \theta =\arccos \left(\dfrac {\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v}}{\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert }\right). \]

Como consequência imediata da definição de produto escalar temos:

Proposição 3.17

Dois vetores $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$ são perpendiculares se e somente se $\boldsymbol {u\cdot v}=0$.

Observação 3.18

Dado um vetor $\boldsymbol {v} = (x,y)$ num sistema cartesiano no plano, é interessante notar que o vetor $\boldsymbol {n} = (-y,x)$ é ortogonal a $\boldsymbol {v}$ e tem mesma norma de $\boldsymbol {v}$. Note:

\[ \begin{array}{rl} \boldsymbol {v} \cdot \boldsymbol {n} & = -xy +xy = 0\\ \lVert \boldsymbol {n}\rVert & = \sqrt{x^2 + y^2} = \lVert \boldsymbol {v}\rVert . \end{array} \]

De fato, veremos no Capítulo 11, Seção 11.3 que $\boldsymbol {n}_1 = (-y,x)$ é obtido rotacionado de $90^\circ $ o vetor $\boldsymbol {v}$ no sentido anti-horário, e $\boldsymbol {n}_2 = (y,-x)$ é obtido rotacionado de $90^\circ $ o vetor $\boldsymbol {v}$ no sentido horário.

Exemplo 3.19

Determine o ângulo entre $\boldsymbol {u}=\boldsymbol {i}+2\boldsymbol {j}+\boldsymbol {k}$ e $\boldsymbol {v}=-\boldsymbol {i}+\boldsymbol {j}+2\boldsymbol {k}$.

Solução

\begin{eqnarray*} \cos \theta & =& \dfrac {\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v}}{\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert } \\ & =& \dfrac {3}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \dfrac {1}{2}\\ & \Rightarrow & \theta =\arccos \left(\dfrac {1}{2}\right) = \dfrac {\pi }{3} = 60^\circ \end{eqnarray*}

Exemplo 3.20

Mostre que os vetores $\boldsymbol {u} = 3\boldsymbol {i}+4\boldsymbol {j}+\boldsymbol {k}$ e $\boldsymbol {v} = 2\boldsymbol {i}-3\boldsymbol {j} +6\boldsymbol {k}$ são ortogonais.

Solução

\[ \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} = (3,4,1)\cdot (2,-3,6)= 3\cdot 2+4\cdot (-3)+1\cdot 6= 6-12+6=0. \]

Logo $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$ são ortogonais.

Proposição 3.21

O produto escalar possui as seguintes propriedades:

$\boldsymbol {u\cdot v=v\cdot u}$
$\boldsymbol {u\cdot }\left( \boldsymbol {v+w}\right) =\boldsymbol {u\cdot v+u\cdot w}$
$\boldsymbol {u\cdot u} = \lVert \boldsymbol {u}\rVert ^2\geq 0$
$\boldsymbol {u\cdot u=0}$ se e somente se $\boldsymbol {u=0}$
$\boldsymbol {u\cdot }\left( \lambda \boldsymbol {v}\right) =\lambda \boldsymbol {u\cdot v}$

Observação 3.22

De modo geral, fixado um espaço vetorial $V$, qualquer função binária $\cdot : V \times V \to \mathbb {R}$ que satisfaz as propriedades descritas acima é dita ser um produto interno de $V$.

Demonstração ▼

Se $\boldsymbol {u}:(a_1,a_2,a_3)$ e $\boldsymbol {v}:(b_1,b_2,b_3)$ e $\boldsymbol {w}:(c_1,c_2,c_3)$

\[ \boldsymbol {u\cdot v} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=b_1a_1+b_2a_2+b_3a_3=\boldsymbol {v\cdot u} \]
\begin{eqnarray*} \boldsymbol {u\cdot }\left( \boldsymbol {v+w}\right) & =& (a_1,a_2,a_3)\cdot (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3)\\ & =& a_1(b_1+c_1)+a_2(b_2+c_2)+a_3(b_3+c_3)\\ & =& (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 )+(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)\\ & =& \boldsymbol {u\cdot v+u\cdot w} \end{eqnarray*}
\[ \boldsymbol {u\cdot u}=a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2 = \lVert \boldsymbol {u}\rVert ^2\geq 0 \]
Se $\boldsymbol {u\cdot u}= 0$ então $\lVert \boldsymbol {u}\rVert = 0$ e consequentemente $\boldsymbol {u} = {\boldsymbol {\displaystyle 0}}$. Reciprocamente, se $\boldsymbol {u} = {\boldsymbol {\displaystyle 0}}$ temos $\boldsymbol {u} = (0,0,0)$, e então $\boldsymbol {u\cdot u} = 0^2+0^2+0^2= 0$.
A demonstração desse item é deixada como exercício ao leitor.

Exemplo 3.23

Num quadrado $\operatorname {ABCD}$ tem se $A=(3,-4)$ e $B=\left( 5,6\right) .$ Quais são as coordenadas dos pontos $C$ e $D$?

Figura 3.6 Quadrados de lado AB — Figura 3.6 Quadrados de lado $AB$

Solução (Solução 1)

Denotando as coordenadas de $C$ e $D$ por $C=(c_{1},c_{2})$ e $D=(d_{1},d_{2})$, temos que $\overrightarrow {\operatorname {AB}}=(2,10),$ $\overrightarrow {\operatorname {BC}}=(c_{1}-5,c_{2}-6),$ $\overrightarrow {\operatorname {CD}}=(d_{1}-c_{1},d_{2}-c_{2})$ e $\overrightarrow {\operatorname {DA}}=(3-d_{1},-4-d_{2}).$

O vetor $\overrightarrow {\operatorname {BC}}$ é perpendicular ao vetor $\overrightarrow {\operatorname {AB}}$ logo o produto escalar entre eles é nulo, ou seja,

\[ \overrightarrow {\operatorname {BC}}\cdot \overrightarrow {\operatorname {AB}} =0. \]

Isto implica que $2(c_{1}-5)+10(c_{2}-6)=0$, que simplificando resulta em

\begin{equation} 2c_{1}+10c_{2}=70 \label{kjjj} \tag{3.4}\end{equation}

Temos ainda que $\lVert \overrightarrow {AB}\rVert =\lVert \overrightarrow {BC}\rVert =\sqrt{104},$ logo

\begin{equation} (c_{1}-5)^{2}+(c_{2}-6)^{2}=104 \label{kj3} \tag{3.5}\end{equation}

Substituindo (3.4) $\ $em (3.5) teremos que $(c_{2}-6)^{2}=4$ e logo $c_{2}=8\operatorname {ou}c_{2}=4$

Quando $c_{2}=8$ por (3.4) $c_{1}=-5$ e quando $c_{2}=4$ então $c_{1}=15$, ou seja, $C = (-5,8)$ ou $C= (15,4)$.

O cálculo de $D$ é análogo.

Solução (Solução 2)

Uma segunda solução para o exemplo acima faz uso da Observação 3.18. Temos que $\overrightarrow {AB} = (2,10)$ e daí, rotacionando $\overrightarrow {AB}$ de $90^\circ $ no sentido anti-horário, temos $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} = (-10,2)$. Logo:

\[ \begin{array}{rl} C & = B + \overrightarrow {BC} = (-5,8)\\ D & = A + \overrightarrow {AD} = (-7,-2). \end{array} \]

Finalmente, se rotacionamos $\overrightarrow {AB}$ de $90^\circ $ no sentido horário, temos $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} = (10,-2)$. Assim:

\[ \begin{array}{rl} C & = B + \overrightarrow {BC} = (15,4)\\ D & = A + \overrightarrow {AD} = (13,-6). \end{array} \]

Exemplo 3.24

Mostre que as três alturas de um triângulo são concorrentes em único ponto.

Solução

Dado um triângulo $\Delta ABC$, então as alturas $BB'$ e $CC'$ se interceptam num ponto $O$. O problema fica resolvido se mostrarmos que $AA'$ é a altura relativa ao lado $BC$. Sejam então os vetores: $\boldsymbol {a}=\overrightarrow {OA}, \boldsymbol {b}=\overrightarrow {OB}$ e $\boldsymbol {c}=\overrightarrow {OC}$.

Como as retas $OB$ e $CA$ são perpendiculares:

\[ \overrightarrow {OB}\cdot \overrightarrow {CA}=0 \Rightarrow \boldsymbol {b}\cdot (\boldsymbol {a}-\boldsymbol {c})=0 \Rightarrow \boldsymbol {b}\cdot \boldsymbol {a}=\boldsymbol {b}\cdot \boldsymbol {c} \]

De modo análogo, como as retas $OC$ e $AB$ são perpendiculares:

\[ \overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow {AB}=0 \Rightarrow \boldsymbol {c}\cdot (\boldsymbol {b}-\boldsymbol {a})=0 \Rightarrow \boldsymbol {c}\cdot \boldsymbol {b}=\boldsymbol {c}\cdot \boldsymbol {a} \]

E logo $\boldsymbol {b}\cdot \boldsymbol {a}=\boldsymbol {c}\cdot \boldsymbol {a}$, ou seja,

\[ \boldsymbol {a}\cdot (\boldsymbol {c}-\boldsymbol {b})=0 \Rightarrow \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {BC}=0 \]

Desta forma a reta $OA$ é perpendicular ao lado $BC$, sendo assim a altura relativa ao vértice $A$. Essa reta intercepta as outras alturas no ponto $O$, e assim as três retas se interceptam num único ponto, que é denominado ortocentro do triângulo $\Delta ABC$.

3.6.1 Projeção Ortogonal

Figura 3.7 Projeção de boldsymbol v sobre boldsymbol u — Figura 3.7 Projeção de $\boldsymbol {v}$ sobre $\boldsymbol {u}$

Passemos agora a um novo problema. Dados dois vetores $\boldsymbol {v}$ e $\boldsymbol {u}$, com $\boldsymbol {u}$ não nulo, queremos decompor o vetor $\boldsymbol {v}$ em dois vetores $\boldsymbol {p,q}$ tais que $\boldsymbol {p}$ é paralelo a $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {q}$ é perpendicular a $\boldsymbol {u}$, ou seja, queremos encontrar $\boldsymbol {p,q}$ tais que

\[ \boldsymbol {v=p+q},\ \ \boldsymbol {p}=\lambda \boldsymbol {u}\ \text{ para algum $\lambda \in \mathbb {R}$ e }\ \boldsymbol {q\cdot u}=0. \]

Reescrevendo as condições acima temos que

\[ \left( \boldsymbol {v-p}\right) \cdot \boldsymbol {u=0} \]

e logo

\begin{align*} \left( \boldsymbol {v}-\lambda \boldsymbol {u}\right) \cdot \boldsymbol {u} & \boldsymbol {=0}\\ \boldsymbol {v\cdot u}-\lambda \left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2} & =\boldsymbol {0}\end{align*}

Desta forma

\[ \lambda =\dfrac {\boldsymbol {u\cdot v}}{\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}} \]

\[ \boldsymbol {p} =\left(\dfrac {\boldsymbol {u\cdot v}}{\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}}\right)\boldsymbol {u} \]

Do mesmo modo podemos ver que o vetor $\boldsymbol {p}$ assim determinado é único. Tal vetor é chamado de projeção ortogonal de $\boldsymbol {v}$ sobre $\boldsymbol {u}$ e é denotado por $\operatorname *{Proj}_{\boldsymbol {u}}\boldsymbol {v.}$

Demostramos assim o seguinte resultado.

Proposição 3.25

Dado $\boldsymbol {u}$ um vetor não nulo, e $\boldsymbol {v}$ um vetor qualquer, então a projeção ortogonal $\operatorname *{Proj}_{\boldsymbol {u}}\boldsymbol {v}$ de $\boldsymbol {v}$ em $\boldsymbol {u}$ existe e é única:

\begin{equation} \label{eq:projort} \operatorname *{Proj}\nolimits _{\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {v}} = \left(\dfrac {\boldsymbol {u\cdot v}}{\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}}\right)\boldsymbol {u} \tag{3.6} \end{equation}

Observação 3.26

Uma forma útil de interpretar a fórmula é separar a componente escalar da direção. O número

\[ \operatorname {comp}_{\boldsymbol {u}}(\boldsymbol {v})=\dfrac {\boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}}{\lVert \boldsymbol {u}\rVert } \]

é a componente escalar orientada de $\boldsymbol {v}$ na direção de $\boldsymbol {u}$. Multiplicando-a pelo versor $\boldsymbol {u}/\lVert \boldsymbol {u}\rVert $ obtemos

\[ \operatorname *{Proj}\nolimits _{\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {v}}=\left(\dfrac {\boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}}{\lVert \boldsymbol {u}\rVert }\right) \left(\dfrac {\boldsymbol {u}}{\lVert \boldsymbol {u}\rVert }\right) =\left(\dfrac {\boldsymbol {u\cdot v}}{\lVert \boldsymbol {u}\rVert ^2}\right)\boldsymbol {u}. \]

A projeção tem a mesma direção de $\boldsymbol {u}$, mas seu sentido depende do sinal de $\boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}$. Sua norma é $|\boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}|/\lVert \boldsymbol {u}\rVert $.

Note também que a projeção não depende do comprimento escolhido para representar a direção de $\boldsymbol {u}$: substituir $\boldsymbol {u}$ por qualquer múltiplo não nulo não altera o vetor projetado.

Exemplo 3.27

Determine a área do triângulo $\triangle ABC$ cujos vértices num sistema de coordenadas cartesiano são $A = (1,2)$, $B = (3,1)$ e $C=(2,5)$

Solução

Temos que $\overrightarrow {AB} = (2,-1)$ e $\overrightarrow {AC} = (1,3)$. Além disso, $\boldsymbol {n} = (1,2)$ é um vetor ortogonal a $\overrightarrow {AB}$.

A área do triângulo $\triangle ABC$ é dada por:

\[ S = \dfrac {1}{2}\lVert \overrightarrow {AB}\rVert h, \]

onde $h = \lVert \operatorname *{Proj}_{\boldsymbol {n}}\overrightarrow {AC}\rVert = \dfrac {|\overrightarrow {AC}\cdot \boldsymbol {n}|}{\lVert \boldsymbol {n}\rVert }$, é a altura do triângulo $\triangle ABC$ relativa ao lado $AB$.

Como $\lVert \boldsymbol {n}\rVert = \lVert \overrightarrow {AB}\rVert $, temos que $S = \dfrac {1}{2}|\overrightarrow {AC}\cdot \boldsymbol {n}|$. Logo:

\[ S = \left(\dfrac {1}{2}\right)|1+6| = \dfrac {7}{2}. \]

3.7 Produto Vetorial: Vetor Perpendicular a dois Vetores Dados

Voltemos nossa atenção agora para um novo problema: dado dois vetores não paralelos $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$ como podemos encontrar um novo vetor $\boldsymbol {w}$ perpendicular aos dois vetores dados? Note que, ao contrário do que ocorre com a projeção, este problema não possui uma única solução. De fato, se encontrarmos um vetor $\boldsymbol {w}$ satisfazendo as condições acima, qualquer vetor $\lambda \boldsymbol {w}$ também satisfará.

Passemos à solução. Como sempre, tomemos primeiro uma base ortonormal $(\boldsymbol {i,j,k})$ e façamos $\boldsymbol {u}=a_{1}\boldsymbol {i}+a_{2}\boldsymbol {j}+a_{3}\boldsymbol {k}$ e $\boldsymbol {v}=b_{1}\boldsymbol {i}+b_{2}\boldsymbol {j}+b_{3}\boldsymbol {k}$. Vamos denotar por $\boldsymbol {w}=x\boldsymbol {i}+y\boldsymbol {j}+z\boldsymbol {k}$ o vetor que queremos determinar. Como queremos que o vetor $\boldsymbol {w}$ seja perpendicular aos vetores $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$, precisamos então que $\boldsymbol {w}\cdot \boldsymbol {u}=0$ e que $\boldsymbol {w}\cdot \boldsymbol {v}=0.$

Temos assim o seguinte sistema linear:

\[ \left\{ \begin{array}{c} a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z=0\\ b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z=0 \end{array}\right. \]

ou ainda

\[ \left\{ \begin{array}{c} a_{1}x+a_{2}y=-a_{3}z \\ b_{1}x+b_{2}y=-b_{3}z \end{array}\right. \]

Como $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$ não são paralelos, pelo exercício 11.10 podemos supor sem perda de generalidade que:

\[ \left\lvert \begin{array}{lll} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \end{array}\right\rvert \neq 0, \]

e, usando a regra de Cramer, concluímos que

\[ x=\dfrac {\left\vert \begin{array}[c]{cc}-a_{3}z & a_{2}\\ -b_{3}z & b_{2}\end{array} \right\vert }{\left\vert \begin{array}[c]{cc}a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2}\end{array} \right\vert }=-z\dfrac {\left\vert \begin{array}[c]{cc}a_{3} & a_{2}\\ b_{3} & b_{2}\end{array} \right\vert }{\left\vert \begin{array}[c]{cc}a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2}\end{array} \right\vert }=z\dfrac {\left\vert \begin{array}[c]{cc}a_{2} & a_{3}\\ b_{2} & b_{3}\end{array} \right\vert }{\left\vert \begin{array}[c]{cc}a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2}\end{array} \right\vert } \]

\[ \operatorname {y} = \dfrac {\left| \begin{array}[c]{cc}a_{1} & - a_{3} z\\ b_{1} & - b_{3} z\end{array} \right| }{\left| \begin{array}[c]{cc}a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2}\end{array} \right| } = - z \dfrac {\left| \begin{array}[c]{cc}a_{1} & a_{3}\\ b_{1} & b_{3}\end{array} \right| }{\left| \begin{array}[c]{cc}a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2}\end{array} \right| } = z \dfrac {\left| \begin{array}[c]{cc}a_{3} & a_{1}\\ b_{3} & b_{1}\end{array} \right| }{\left| \begin{array}[c]{cc}a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2}\end{array} \right| } \]

Escolhendo

\[ z = \left| \begin{array}[c]{cc}a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2}\end{array} \right| \]

temos que

\[ \boldsymbol {w}=\left| \begin{array}[c]{cc}a_{2} & a_{3}\\ b_{2} & b_{3}\end{array} \right| \boldsymbol {i}+ \left| \begin{array}[c]{cc}a_{3} & a_{1}\\ b_{3} & b_{1}\end{array} \right| \boldsymbol {j} + \left| \begin{array}[c]{cc}a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2}\end{array} \right| \boldsymbol {k} \]

Motivados pelos cálculos acima, definimos:

Definição 3.28

O produto vetorial de $\boldsymbol {u} = (a_1, a_2, a_3)$ e $\boldsymbol {v} = (b_1,b_2,b_3)$ (num sistema de coordenadas cartesiano), denotado por $\boldsymbol {u} \times \boldsymbol {v}$, é o vetor obtido pelo seguinte determinante formal:

\[ \boldsymbol {u\times v=}\left\vert \begin{array}[c]{ccc}\boldsymbol {i} & \boldsymbol {j} & \boldsymbol {k}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} \right\vert . \]

Observação 3.29

Note que, diferentemente do produto escalar que associa a dois vetores um número real, o produto vetorial associa a dois vetores um terceiro vetor. O seja, dados vetores $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$ de $\mathrm{V}^3$ temos que $\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \in \mathbb {R}$, mas $\boldsymbol {u} \times \boldsymbol {v} \in \mathrm{V}^3$.

Antes de continuar apresentaremos algumas propriedades do produto vetorial.

Teorema 3.30

Dados os vetores $\boldsymbol {u}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)$, $\boldsymbol {v}=\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)$ e $\boldsymbol {w}=\left( c_{1},c_{2},c_{3}\right)$ o produto vetorial possui as seguintes propriedades:

Anti-simetria: $\boldsymbol {u\times v=-v\times u}$
Distributiva: $(\boldsymbol {u+v})\times \boldsymbol {w}=\boldsymbol {u\times w+v\times w}$
$\left\Vert \boldsymbol {u\times v}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert ^{2}- \left\vert \boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}\right\vert ^{2}$
$\left\Vert \boldsymbol {u\times v}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert \sin \left( \theta \right) ,$ onde $\theta $ é o ângulo entre os vetores $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$

Demonstração ▼

A demonstração dos dois primeiros itens é direta e será deixada como exercícios:

Para demonstrarmos a terceira propriedade, basta observar que

\begin{align*} \lVert \boldsymbol {u}\rVert ^2\lVert \boldsymbol {v}\rVert ^2-(\boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v})^2 & =(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2\\ & =\lVert \boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}\rVert ^2. \end{align*}

A quarta propriedade decorre facilmente da anterior, bastando para isso lembrar que

\[ \left\vert \boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}\right\vert ^{2}=\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert ^{2}\cdot \cos ^2\left( \theta \right) \]

e portanto

\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}\right\Vert ^{2} & =\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert ^{2}-\left\vert \boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}\right\vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert ^{2}\cdot \cos ^2\left( \theta \right) \\ & =\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert ^{2}\left( 1-\cos ^2\left( \theta \right)\right) =\\ & =\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert ^{2}\operatorname {sen}^{2}\left( \theta \right) \end{align*}

Vamos agora explorar algumas consequências geométricas do produto vetorial.

3.7.1 Área de um Paralelogramo e de um Triângulo

Primeiro considere o paralelogramo determinado por dois vetores não paralelos $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$, como na figura abaixo

Figura 3.8 Paralelogramo gerado pelos vetores boldsymbol u e boldsymbol v. — Figura 3.8 Paralelogramo gerado pelos vetores $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$.

A altura do paralelogramo é dada por $\left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert \operatorname {sen}(\theta ) $ e portanto, da propriedade $4$ do produto vetorial, concluímos facilmente que sua área é dada por $\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert \operatorname {sen}\left(\theta \right)=\left\Vert \boldsymbol {u\times v}\right\Vert $. Em resumo, mostramos que a área do paralelogramo de lados $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$ é igual ao comprimento do produto vetorial destes vetores.

\[ A=\left\Vert \boldsymbol {u\times v}\right\Vert \]

Observação 3.31

Para vetores não paralelos, o produto vetorial também pode ser caracterizado geometricamente: $\boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}$ é o vetor cuja norma é a área do paralelogramo gerado por $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$, cuja direção é perpendicular a ambos e cujo sentido é determinado pela regra da mão direita. Se $\boldsymbol {u}$ e $\boldsymbol {v}$ são paralelos, então $\boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}$.

Ilustração: Área de um Paralelogramo e de um Triângulo

A partir da expressão anterior obtemos imediatamente a área de um triângulo $\Delta ABC$. Os vetores $\overrightarrow {AB}$ e $\overrightarrow {AC}$ determinam um paralelogramo que se decompõe em dois triângulos de mesma área. Portanto,

\[ A=\dfrac {1}{2}\left\Vert \overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}\right\Vert . \]

3.8 Produto Misto

O produto misto é uma operação que associa a três vetores $\boldsymbol {u,v,w}$ o número real obtido pelo produto escalar de $\boldsymbol {u}$ com o produto vetorial $\boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w}$. Denotamos o produto misto entre $\boldsymbol {u,v,w}$ por $\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w}$.

É importante salientar que, como o produto escalar entre dois vetores é um número real e o produto vetorial é uma operação entre dois vetores, no cálculo do produto misto realizamos sempre o produto vetorial antes do produto escalar, ou seja, mesmo sem a utilização de parênteses, temos $\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w} = \boldsymbol {u} \cdot (\boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w})$. A operação $(\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v}) \times \boldsymbol {w}$ não é bem definida!

Se $\boldsymbol {u,v,w}$ são descritos numa base ortonormal $(\boldsymbol {i,j,k})$ o cálculo do produto $\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w}$ é simples conforme podemos observar no teorema a seguir:

Teorema 3.32

Dados os vetores $\boldsymbol {u}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)$, $\boldsymbol {v}=\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)$ e $\boldsymbol {w}=\left( c_{1},c_{2},c_{3}\right)$ descritos numa base ortonormal $(\boldsymbol {i,j,k})$, temos:

\[ \boldsymbol {u\cdot } \boldsymbol {v}\times \boldsymbol {w} =\boldsymbol {(u\times v)\cdot w}=\left\lvert \begin{array}[c]{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array} \right\rvert \]

Demonstração ▼

Calculando $\boldsymbol {v} \times w$ temos:

\[ \boldsymbol {v} \times w = \left\lvert \begin{array}[c]{ccc}\boldsymbol {i} & \boldsymbol {j} & \boldsymbol {k}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array} \right\rvert = (b_2c_3 - b_3c_2, b_3c_1 -b_1c_3, b_1c_2 - b_2c_1) . \]

Fazendo então o produto escalar segue:

\begin{multline*} \boldsymbol {u\cdot } \boldsymbol {v}\times \boldsymbol {w} = (a_1, a_2, a_3) \cdot (b_2c_3 - b_3c_2, b_3c_1 -b_1c_3, b_1c_2 - b_2c_1)\\ = a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 + a_2b_3c_1 - a_2b_1c_3 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1 = \left\lvert \begin{array}[c]{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array} \right\rvert . \end{multline*}

Calculando de maneira análoga o produto $\boldsymbol {(u\times v)\cdot w}$ é fácil ver que vale a igualdade $\boldsymbol {u\cdot } \boldsymbol {v}\times \boldsymbol {w} =\boldsymbol {(u\times v)\cdot w}$.

A partir do Teorema acima e das propriedades de determinantes, são praticamente imediatas as propriedades de produto misto descritas na próxima proposição:

Proposição 3.33

Dados vetores $\boldsymbol {u,v,w,m}$ e $\lambda \in \mathbb {R}$ valem:

Permutação de dois vetores inverte sinal:

\[ \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w} = -\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {w} \times \boldsymbol {v} = -\boldsymbol {v} \cdot \boldsymbol {u} \times \boldsymbol {w} = -\boldsymbol {w} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {u}; \]
Igualdade por permutação circular:

\[ \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w} = \boldsymbol {v} \cdot \boldsymbol {w} \times \boldsymbol {u} = \boldsymbol {w} \cdot \boldsymbol {u} \times \boldsymbol {v}; \]
Se dois vetores são iguais o produto é zero:

\[ \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {u} \times \boldsymbol {v} = \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {u} = \boldsymbol {v} \cdot \boldsymbol {u} \times \boldsymbol {u}. \]
Escalares comutam:

\[ (\lambda \boldsymbol {u}) \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w} = \boldsymbol {u} \cdot (\lambda \boldsymbol {v}) \times \boldsymbol {w} = \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times (\lambda \boldsymbol {w}) = \lambda \left(\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w}\right) \]
Vale a distributiva:

\begin{align*} (\boldsymbol {u+m}) \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w} & = \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w} + \boldsymbol {m} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w}\\ \boldsymbol {u} \cdot (\boldsymbol {v+m}) \times \boldsymbol {w} & = \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w} + \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {m} \times \boldsymbol {w}\\ \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times (\boldsymbol {w+m}) & = \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w} + \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {m} \end{align*}

Veja um exemplo de aplicação de tais propriedades:

Exemplo 3.34

Sabendo que $\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w} = 2$ calcule $\boldsymbol {v} \cdot (2\boldsymbol {u} + \boldsymbol {v})\times (3\boldsymbol {w})$.

Solução

\begin{align*} \boldsymbol {v} \cdot (2\boldsymbol {u} + \boldsymbol {v})\times (3\boldsymbol {w}) & = \boldsymbol {v} \cdot (2\boldsymbol {u}) \times (3\boldsymbol {w}) + \boldsymbol {v} \cdot \boldsymbol {v}\times (3\boldsymbol {w})\\ & = (2\cdot 3) \boldsymbol {v} \cdot \boldsymbol {u} \times \boldsymbol {w} + 0\\ & = -6 (\boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {v} \times \boldsymbol {w}) = -12. \end{align*}

3.8.1 Volume de um Paralelepípedo

A seguir vamos calcular o volume de um paralelepípedo, em função dos vetores $\boldsymbol {u}=\overrightarrow {AB},$ $\boldsymbol {v}=\overrightarrow {AD}$ e $\boldsymbol {w}=\overrightarrow {AE}.$

Sabemos que o volume do paralelepípedo é dado pelo produto $V=A_{b}h$ da área $A_b$ da base pela altura $h$. Como já vimos a área da base pode ser calculada por $A_{b}=\left\Vert \boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}\right\Vert .$ Já a altura é dada pela norma da projeção do vetor $\boldsymbol {w}$ sobre o vetor $\boldsymbol {u\times v}$. Como

\[ \operatorname *{Proj}\nolimits _{\boldsymbol {u\times v}}\boldsymbol {w} =\dfrac {\boldsymbol {(u\times v)\cdot w}}{\left\Vert \boldsymbol {u\times v}\right\Vert ^{2}}(\boldsymbol {u\times v}), \]

segue que

\begin{align*} \left\Vert \operatorname *{Proj}\nolimits _{\boldsymbol {u\times v}}\boldsymbol {w}\right\Vert & =\dfrac {\left\vert \boldsymbol {(u\times v)\cdot w}\right\vert }{\left\Vert \boldsymbol {u\times v}\right\Vert ^{2}}\left\Vert \boldsymbol {u\times v}\right\Vert \\ & =\dfrac {\left\vert \boldsymbol {(u\times v)\cdot w}\right\vert }{\left\Vert \boldsymbol {u\times v}\right\Vert }. \end{align*}

Segue portanto que

\[ V=A_{b}h=\left\Vert \boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}\right\Vert \dfrac {\left\vert \boldsymbol {(u\times v)\cdot w}\right\vert }{\left\Vert \boldsymbol {u\times v}\right\Vert }=\left\vert \boldsymbol {(u\times v)\cdot w}\right\vert . \]

Observação 3.35

Esse resultado nos dá (para bases ortonormais) uma interpretação geométrica para a propriedade de que três vetores $\boldsymbol {u,v,w}$ são LD se e somente se o determinante da matriz com suas coordenadas é nulo. Os vetores $\boldsymbol {u,v,w}$ são LD se e somente se são coplanares, o que “colapsaria” o paralelepípedo num plano, gerando um “sólido” de volume zero.

Exemplo 3.36

Sejam $A=(a_1,a_2), B=(b_1,b_2), C=(c_1,c_2)$ pontos no plano. Então a área do $\triangle ABC$ é dada por

\[ S_{\triangle ABC} = \dfrac {1}{2} \left\lvert \det \left(\begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & 1\\ b_1 & b_2 & 1\\ c_1 & c_2 & 1 \end{array}\right)\right\rvert \]

Solução

Considere os vetores $\boldsymbol {a}$, $\boldsymbol {b}$ e $\boldsymbol {c}$ de coordenadas $\boldsymbol {a} = (a_1,a_2,1)$, $\boldsymbol {b} = (b_1,b_2,1)$ e $\boldsymbol {c} = (c_1,c_2,1)$.

É fácil ver que eles são arestas de um tetraedro de altura $1$ formado pela origem $O$ do sistema de coordenadas e pelos pontos $A' = (O + \boldsymbol {a})$, $B' = (O + \boldsymbol {b})$ e $C' = (O + \boldsymbol {c})$, que tem como base o triângulo $\triangle A'B'C'$, congruente ao triângulo $\triangle ABC$. Se $S_{\triangle ABC}$ é a área do triângulo $\triangle ABC$, o volume $V_{T}$ desse tetraedro é:

\begin{equation} \label{eq:Vtetra1} V_{T} = \dfrac {1}{3} S_{\triangle ABC}. \tag{3.7} \end{equation}

Por outro lado, temos que, se $V_{P}$ é o volume do paralelepípedo de arestas $\boldsymbol {a}$, $\boldsymbol {b}$ e $\boldsymbol {c}$, também vale:

\begin{equation} \label{eq:Vtetra2} V_{T} = \dfrac {1}{6} V_{P}. \tag{3.8} \end{equation}

Igualando as equações (3.7) e (3.8) segue:

\[ S_{\triangle ABC} = \dfrac {1}{2} V_{P} = \dfrac {1}{2} |\boldsymbol {a} \times \boldsymbol {b} \cdot \boldsymbol {c}| = \dfrac {1}{2} \left\lvert \det \left(\begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & 1\\ b_1 & b_2 & 1\\ c_1 & c_2 & 1 \end{array}\right)\right\rvert . \]

O resultado anterior nos dá um critério simples para que três pontos no plano sejam colineares.

Proposição 3.37

Sejam $A=(a_1,a_2), B=(b_1,b_2), C=(c_1,c_2)$ pontos no plano. Então eles são colineares se e somente se a área do triângulo formado por eles for zero, ou seja, se e somente se:

\[ \left\lvert \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & 1\\ b_1 & b_2 & 1\\ c_1 & c_2 & 1 \end{array}\right\rvert =0 \]

3.9 Escolha do Sistema de Coordenadas (*)

Um sistema de coordenadas cartesianas do plano pode ser escolhido tomando qualquer ponto $O$ como origem e qualquer duas retas perpendiculares como os eixos. Em geral resultados geométricos não dependem de como escolhemos nosso sistema de coordenadas, mas ao fazermos a escolha correta podemos simplificar significativamente o resolução de um problema. É possível, por exemplo, fazer com que as coordenadas dos vértices de certas figuras geométricas fiquem mais simples, aumentando a quantidade zeros em suas coordenadas, simplificando assim a manipulação algébrica.

Considere, por exemplo, um triângulo $\Delta ABC.$ Vamos descrever esse triângulo através de coordenadas $A:\left( x_{1},y_{1}\right) ,B:\left( x_{2},y_{2}\right) $ e $C:\left( x_{3},y_{3}\right) $ em um sistema de coordenadas $\Sigma $.

Ilustração: Escolha do Sistema de Coordenadas (*)

Consideraremos o seguinte sistema de coordenadas: escolha como eixo $x$ a reta $AB$, e como eixo $y$ a reta perpendicular a $AB$ passando por $C$. Determine o sistema de coordenadas colocando a origem no ponto $O$ dado pela intersecção dos dois eixos, e escolhendo uma base ortonormal $(\boldsymbol {i},\boldsymbol {j})$ formada por vetores unitários paralelos a estes eixos. Neste sistema o vértice $A$ tem então coordenadas do tipo $\left( a,0\right) $ e o ponto $B$ coordenadas do tipo $\left( b,0\right) $, já que ambos estão sobre o eixo $x$. Já o ponto $C$, que está posicionado sobre o eixo $y$, tem coordenadas do tipo $\left( 0,c\right)$.

Veja que com a escolha adequada do sistema de coordenadas conseguimos reduzir o número de variáveis de $6$ para apenas $3$.

A seguir apresentamos exemplos onde a escolha de um sistema de coordenadas adequado facilita a demonstração de propriedades geométricas. Você consegue demonstrar estas propriedades usando um sistema de coordenadas arbitrário?

Exemplo 3.38

Se um triângulo é isósceles, as medianas dos dois lados de mesmo comprimento possuem o mesmo tamanho.

Solução

Consideremos o mesmo sistema de coordenadas descrito acima. Neste sistema temos $A:\left( a,0\right) $, $B:\left( b,0\right) $ e $C:\left( 0,c\right)$.

Supondo que segmentos $\overline{CA}$ e $\overline{CB}$ possuem o mesmo comprimento, concluímos que

\[ \sqrt{a^{2}+c^{2}}=\left\vert \overline{CA}\right\vert =\left\vert \overline{CB}\right\vert =\sqrt{b^{2}+c^{2}} \]

e logo $a^{2}=b^{2}$. Segue que $a=b$ ou $a=-b$. Se $a=b$ não temos um triângulo já que dois vértices coincidem, de onde segue que $a=-b.$

Seja $M_{1}$ o ponto médio de $\overline{AC}$. Pelo exemplo 3.6 temos que as coordenadas de $M_{1}=\left( \dfrac {a}{2},\dfrac {c}{2}\right) =\left( \dfrac {-b}{2},\dfrac {c}{2}\right) .$ Analogamente, o ponto médio $M_{2}$ de $\overline{BC}$ tem coordenadas $\left( \dfrac {b}{2},\dfrac {c}{2}\right) .$

Como a mediana de $\overline{CA}$ é dada pelo segmento $\overline{BM_1}$ e a de $\overline{CB}$ é dada pelo segmento $\overline{AM_2}$, segue que

\[ \left\vert \overline{BM_{1}}\right\vert =\left\Vert (-\dfrac {b}{2},\dfrac {c}{2})-(b,0)\right\Vert =\sqrt{\dfrac {9b^{2}}{4}+\dfrac {c^{2}}{4}} \]

\[ \left\vert \overline{AM_{2}}\right\vert =\left\Vert (\dfrac {b}{2},\dfrac {c}{2})-(-b,0)\right\Vert =\sqrt{\dfrac {9b^{2}}{4}+\dfrac {c^{2}}{4}} \]

e as medianas relativas aos vértices $A$ e $B$ possuem o mesmo tamanho.

Exemplo 3.39

Num triângulo retângulo o ponto médio da hipotenusa é equidistante dos três vértices.

Solução

Para um triângulo retângulo $\Delta ABC$ com hipotenusa $AB$ um sistema de coordenadas adequado é o que toma como origem o vértice $C=O$ e como eixos as retas que ligam $C$ a $A$ e $C$ a $B.$

Neste Sistema de coordenadas temos que $A:\left( a,0\right) ,$ $B:\left( 0,b\right) $ e $C:\left( 0,0\right) .$ O comprimento da hipotenusa é

\[ \left\vert AB\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}} \]

Já o ponto médio $M$ da hipotenusa tem coordenadas

\[ M:\left(\dfrac a2,\dfrac b2\right), \]

e, portanto,

\[ |CM|=\sqrt{\dfrac {a^2}{4}+\dfrac {b^2}{4}}=\dfrac 12\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac 12|AB|. \]

Como $M$ é o ponto médio de $AB$, também $|AM|=|BM|=\frac12|AB|$. Assim $|AM|=|BM|=|CM|$, e $M$ é equidistante dos três vértices.

3.10 O Problema do Lugar Geométrico (*)

Até este ponto estudamos como representar algebricamente o espaço euclidiano, e como podemos usar tais representações na resolução de alguns problemas geométricos. Nesta seção vamos dar uma passo além, e iniciar os estudos sobre um dos problemas fundamentais da geometria analítica: o problema do lugar geométrico. Em poucas palavras, dada uma figura ou condição geométrica queremos determinar uma equação ou condições algébrica que a represente. Ou ainda, de modo contrário, dada uma equação ou condição algébrica determinar sua representação geométrica.

3.10.1 O lugar geométrico de uma equação

Dada uma equação (por simplicidade, em duas $x,y$ ou três variáveis $x,y,z$)

\begin{equation} f\left( x,y\right) =0\ \ \text{ ou }\ \ g(x,y,z)=0 \label{lugargeom} \tag{3.9}\end{equation}

cada par ou tripla de números reais que satisfizer a equação acima é dito solução da equação e o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (3.9) acima é chamado de lugar geométrico da equação.

É importante ressaltar que o lugar geométrico, como definido acima, depende do sistema de coordenados escolhidos. Em outras palavras, uma certa figura ou condição geométrica pode ser descrita algebricamente de várias formas distintas, dependendo, dentre outros fatores, do sistema de coordenadas escolhido. Por esta razão, buscaremos dentre as possíveis representações aquela que proporcione a maior simplicidade algébrica.

Durante esse processo (e em vários outros) podemos substituir uma certa equação por outra que possua as mesmas soluções, ou seja, que defina o mesmo lugar geométrico. Neste sentido, duas equações algébricas são ditas equivalentes se definem o mesmo lugar geométrico.

Exemplo 3.40

Analisemos a equação

\[ (x-2)^2+(y-3)^2=25. \]

Observe que tomando $C=(2,3)$ a distância $r$ de um ponto qualquer $(x,y)$ no plano euclidiano até $C$ é dada por

\[ r=\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}, \]

ou de modo equivalente

\[ r^2=(x-2)^2+(y-3)^2. \]

Deste modo vemos que um ponto $(x,y)$ no plano satisfaz a equação acima se, e somente se, sua distância para o ponto $C: (2,3)$ for igual a $5$.

Em outras palavras, escolhido o sistema de coordenadas descrito acima, o lugar geométrico da equação

\[ \left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}=r^{2} \]

é um círculo de raio $r$ e centro no ponto de coordenadas $\left( a,b\right) $.

Exemplo 3.41

Generalizando o exemplo anterior, um circulo de centro $C$ e raio $r$ é definido como o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é igual a $r$. Esta é a condição geométrica que descreve o círculo. Busquemos agora uma representação algébrica. Se escolhermos um sistema de coordenadas cartesiano no qual $C:\left( a,b\right)$, então todo ponto $P:\left( x,y\right) $ no círculo deve satisfazer

\[ \left\vert CP\right\vert =r, \]

ou seja,

\[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}=r, \]

ou ainda a equação algébrica equivalente

\[ \left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}=r^{2}. \]

É importante observar que um ponto pertence ao círculo (ou seja esse ponto dista $r$ do centro) se e somente se satisfizer a equação $\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}=r^{2}.$

Em geral, sempre que tivermos este tipo de relação entre uma curva e uma equação diremos que esta é a equação da curva.

Definição 3.42

Diremos que uma equação $f\left(x,y\right)=0$ é a equação de um dado lugar geométrico se todo ponto que satisfaz a equação pertence ao lugar geométrico e todo ponto que pertence ao lugar geométrico satisfaz a equação.

Exemplo 3.43

Dado um sistema de coordenadas cartesiano, lugar geométrico conhecido descrito pelo eixo $x$ é formado por todos os pontos cuja segunda coordenada ($y$) é zero, ou seja, a equação do eixo $x$ é $y=0$.

Exemplo 3.44

Como vimos $\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}=r^{2}$ é a equação do círculo de raio $r$ e centro em $P:\left( a,b\right) .$

Exemplo 3.45

Determinar a equação do lugar geométrico formado por todos os pontos cuja a distãncia a um ponto fixo$F$ é igual a distância a uma reta fixa $d.$

Ilustração: O lugar geométrico de uma equação

Solução

Dados uma reta fixa $d,$ chamada diretriz, e um ponto fixo $F$ chamado foco, a parábola é o conjunto dos pontos $P$ equidistantes do foco e da diretriz, ou seja, o ponto P tal que

\[ \left\Vert \overrightarrow {PD}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow {PF}\right\Vert , \]

onde $D$ é o ponto de $d$ mais próximo de $P$.

A reta passando por $F$ perpendicular a $d$ é chamada eixo da parábola. O ponto de intersecção entre o eixo da parábola e a parábola é chamado vértice da parábola. Observe que o vértice está localizado na metade da distância do foco a diretriz.

Escolheremos como sistema de coordenadas os eixos formados pelo eixo da parábola

e a reta passando pelo vértice da parábola, perpendicular ao eixo. Essa última reta é paralela a diretriz da parábola.

Seja $2m$ a distância entre o foco e a diretriz $d.$ No sistema de coordenadas que adotamos $F$ tem coordenadas $\left(m,0\right) $ e a equação da diretriz é $x=-m.$ Como $P$ satisfaz $\left\Vert \overrightarrow {PD}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow {PF}\right\Vert $ temos que

\[ \sqrt{\left( x-m\right) ^{2}+y^{2}}=|x+m|. \]

Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade concluímos que

\begin{align*} \left( x-m\right) ^{2}+y^{2} & =\left( x+m\right) ^{2}\\ m^{2}-2mx+x^{2}+y^{2} & =\left( m^{2}+2mx+x^{2}\right) \\ y^{2} & =4mx \end{align*}

é a equação satisfeita pelos pontos da parábola neste sistema de coordenadas.

Intersecção

Dadas duas equações

\begin{align*} f\left( x,y\right) & =0\\ g\left( x,y\right) & =0, \end{align*}

os pontos que pertencem ao lugar geométrico de ambas as equações é chamados de pontos de intersecção. Analiticamente as coordenadas de tal ponto satisfazem ambas as equações.

A intersecção de duas equações pode ser vazia, neste caso diremos que os seus lugares geométrico não se interceptam.

Exemplo 3.46

Determinar analítica e graficamente os pontos de intersecção de

\begin{align*} x-12 & =0\\ y^{2}-3x & =0 \end{align*}

Solução

Primeiro observemos que $x-12=0$ é a equação de uma reta paralela ao eixo $y$, enquanto $y^2-3x=0$ é a equação de uma parábola com vértice na origem e diretriz paralela ao eixo $y$. Assim o conjunto dos pontos de intersecção dos dois lugares geométricos é formado de no máximo dois pontos.

Analiticamente, concluímos da primeira equação que todo ponto de intersecção $(x,y)$ deve ter $x=12$. Substituindo na equação da parábola encontramos que

\[ y^2=36, \]

e portanto

\[ y=\pm 6. \]

De modo que os pontos de intersecção são $(12,6)$ e $(12,-6)$.

3.11 Coordenadas Polares (*)

Nesta seção estudaremos uma nova forma de descrever a localização de pontos no plano euclidiano $\mathbb {E}^2$: as coordenadas polares. A principal motivação para a utilização desse sistema de coordenadas é que, neste sistema, curvas com algum tipo de simetria em relação a origem $O$ do plano, como por exemplo o círculo e a elipse, podem ser descritas de maneira mais simples que nos sistemas de coordenadas vetoriais.

Num sistema de coordenadas polares um ponto $P$ é localizado no plano em relação a uma semi-reta $\overrightarrow {OA}$. A origem $O$ dessa semi reta é denominada origem do sistema de coordenadas polares ou polo e a semi-reta $\overrightarrow {OA}$ é dito eixo polar.

As coordenadas de um ponto $P$ num sistema de coordenadas polares é um par $(r,\theta )$, onde $r$ é a distância do ponto ao polo, isto é, $r=d(O,P)$ e $\theta $ é o ângulo orientado que a semi-reta $\overrightarrow {OP}$ faz com a semi-reta $\overrightarrow {OA}$. Claramente a posição do ponto fica bem determinada se conhecemos $r$ e $\theta .$ O par $\left(r,\theta \right) $ é denominado coordenadas polares do ponto $P$, e neste caso escreveremos simplesmente $P:(r,\theta )$

Como $\theta $ é o ângulo orientado entre o eixo $OA $ e a reta $OP$ seus valores podem ser positivo ou negativo conforme a orientação no sentido anti-horário ou horário do ângulo.

Por outro lado, o raio $r$, sendo a distância de $P$ a origem, é naturalmente um número real positivo, porém podemos estender seu significado de modo a termos raios negativos. Para isso convencionamos que o ponto $\left( -r,\theta \right) $ com $r\gt 0$ deve ser construído do seguinte modo: construímos uma semi-reta faz uma ângulo $\theta $ com o eixo polar e estendemos essa semi-reta. marcarmos o ponto $\left( -r,\theta \right) $ como sendo o ponto sobre a extensão da semi reta que dista $r$ do polo $O.$

Uma diferença fundamental entre os sistemas de coordenadas cartesianas e o sistema de coordenadas polares é que em coordenadas polares um ponto $P$ pode ser descrito por uma infinidade de coordenadas. Por exemplo, a origem $O$ é descrita por todas as coordenadas da forma $\left( 0,\theta \right) .$, enquanto que um ponto $P:\left(r,\theta \right) $ distinto da origem é descrito por todas as coordenadas da forma $\left( r,\theta +2\pi n\right) $ e $\left( -r,\theta +\pi \left( 2n+1\right) \right)$.

Todo ponto distinto da origem possui pelo menos uma coordenada na qual o raio é positivo e o angulo $\theta $ esteja entre $0\leq \theta \lt 2\pi .$ Denominamos esse par como o conjunto principal de coordenadas polares do ponto em questão.

3.11.1 Relação entre Coordenadas Cartesianas e Polares

A cada sistema de coordenadas polares podemos associar um sistema cartesiano escolhendo como a origem o polo, o eixo $x$ como o eixo polar e o eixo $y$ como a reta perpendicular ao eixo polar passando pela origem. Esse sistema de coordenadas é chamado sistema cartesiano associado . Quando, ao tratarmos de coordenadas polares, nos referirmos as coordenadas $x$, $y$, eixos $x$ ou $y$, etc. de um sistema cartesiano este sempre será o sistema cartesiano associado.

Observe a Figura 3.10:

É fácil ver que:

\begin{align*} x_0 & =r\cos (\theta )\\ y_0 & =r\sin (\theta )\\ r & =\pm \sqrt{x_0^{2}+y_0^{2}}\\ \tan \theta & =\dfrac {y_0}{x_0}\end{align*}

Assim temos que as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas do sistemas associado se relacionam segundo a seguinte tabela:

{\itshape Coordenadas Cartesianas}	{\itshape Coordenadas Polares}
$(r\cos\theta,r\sin\theta)$	$(r,\theta)$
$(x,y)$	$(\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \arctan(\dfrac{y}{x}))$

Exemplo 3.47

Determinar as coordenadas retangulares do ponto $P$ cujas coordenadas polares são $\left( 3,120^{o}\right) $

Solução

Neste caso $r=3$ e $\theta =120^{o}$ logo as coordenadas são:

\begin{eqnarray} x=r\cos \left(\theta \right) =3\cdot \left( -\dfrac {1}{2}\right) =-\dfrac {3}{2} \tag{3.10}\\ y=r\sin \left( \theta \right) =3\cdot \dfrac {\sqrt{3}}{2}. =\dfrac {3\sqrt{3}}{2} \tag{3.11} \end{eqnarray}

Ou seja, $P:\left( -\dfrac {3}{2},\dfrac {3\sqrt{3}}{2}\right) $

Exemplo 3.48

Determinar as coordenadas polares do ponto cujas coordenadas retangulares são $\left( 1,-1\right) $.

Solução

Temos que $r=\pm \sqrt{1+1}=\pm \sqrt{2}$ e que $\theta =\arctan \left( -1\right) $ .Para $0\leq \theta \lt 2\pi .$ temos que $\theta =$ $\dfrac {7}{4}\pi .$

Logo o conjunto principal de coordenadas do ponto é $\left( 1,\dfrac {7}{4}\pi \right) .$

Outras coordenadas possíveis para o ponto são $\left( 1,\dfrac {7}{4}\pi +2\pi n\right) $ e $\left( -1,\dfrac {7}{4}\pi +\pi \left( 2\pi n+1\right) \right) .$

Exemplo 3.49

Determinar a equação retangular do lugar geométrico cuja equação polar é

\[ r=\dfrac {2}{1-\cos \theta } \]

Solução

A equação dada é equivalente a $r-r\cos \theta =2.$ Substituindo $r$ e $r\cos \theta $ temos:

\[ \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}-x=2 \]

Transpondo $x$ e elevando ao quadrado temos

\[ x^{2}+y^{2}=\left( 2+x\right) ^{2} \]

que simplifica para $y^{2}=4(x+1)$ (uma parábola).

Exemplo 3.50

Mostre que a distância $d$ entre os pontos $\left( r_{1},\theta _{1}\right) $ e $\left( r_{2},\theta _{2}\right) $ em coordenadas polares é

\[ d=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos (\theta _{1}-\theta _{2})} \]

Ilustração: Relação entre Coordenadas Cartesianas e Polares

Solução

Usando a lei dos cossenos temos:

\begin{eqnarray} \lVert PQ\rVert ^2& =& \lVert OP\rVert ^2+\lVert OQ\rVert ^2 - 2 \lVert OP\rVert ^2\lVert OQ\rVert \cos (\theta _2- \theta _1) \tag{3.12}\\ & =& r_1^2 +r_2^2 - 2r_1 r_2 \cos (\theta _2-\theta _1) \tag{3.13} \end{eqnarray}

E consequentemente a distância do ponto $P$ ao ponto $Q$ é:

\[ \lVert PQ\rVert =\sqrt{r_1^2 +r_2^2 - 2r_1 r_2 \cos (\theta _2-\theta _1)} \]

Exercício 11.1

Os pontos médios dos lados $AB$, $BC$ e $CA$ de um triângulo são, respectivamente,

\[ M=(2,5),\qquad N=(4,2),\qquad P=(1,1). \]

Determine os vértices $A,B,C$.

Ver solução

Como

\[ A=M+P-N,\quad B=M+N-P,\quad C=N+P-M, \]

obtemos

\[ \boxed {A=(-1,4),\quad B=(5,6),\quad C=(3,-2).} \]

Exercício 11.2

Dados $P=(x_1,y_1,z_1)$ e $Q=(x_2,y_2,z_2)$, determine o ponto $R$ do segmento $PQ$ tal que

\[ d(R,Q)=\lambda d(R,P),\qquad \lambda \ge 0. \]

Ver solução

Escreva $R=P+t(Q-P)$, com $0\le t\le 1$. Então

\[ (1-t)d(P,Q)=\lambda t\, d(P,Q), \]

logo $t=1/(1+\lambda )$ e

\[ \boxed {R=\frac{\lambda }{1+\lambda }P+\frac1{1+\lambda }Q.} \]

Exercício 11.3

Prove por coordenadas que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e tem comprimento igual à média aritmética dos comprimentos das bases.

Ver solução

Escolha coordenadas $A=(0,0)$, $B=(b,0)$, $D=(d,h)$ e $C=(d+c,h)$, de modo que $AB$ e $DC$ sejam as bases. Os pontos médios dos lados $AD$ e $BC$ são

\[ M=(d/2,h/2),\qquad N=((b+d+c)/2,h/2). \]

Logo $MN$ é horizontal e

\[ |MN|=\frac{b+c}{2}. \]

Exercício 11.4

Se $\boldsymbol {u}=(a_1,a_2,a_3)_\Sigma $ e $P=(p_1,p_2,p_3)_\Sigma $, prove que

\[ P+\boldsymbol {u}=(p_1+a_1,p_2+a_2,p_3+a_3)_\Sigma . \]

Ver solução

Se $O$ é a origem, então

\[ \overrightarrow {O(P+u)}=\overrightarrow {OP}+\boldsymbol {u}. \]

Somando as componentes na base de $\Sigma $ obtemos a fórmula.

Exercício 11.5

Determine quais conjuntos são linearmente independentes.

$\{ (1,-1,2),(1,1,0),(1,-1,1)\} $.
$\{ (1,-1,1),(-1,2,1),(-1,2,2)\} $.
$\{ (1,0,1),(0,0,1),(2,0,5)\} $.

Ver solução

Os determinantes das matrizes com esses vetores como colunas são, respectivamente,

\[ -2,\qquad 1,\qquad 0. \]

Portanto os dois primeiros conjuntos são LI e o terceiro é LD.

Exercício 11.6

Escreva $\boldsymbol {w}=(1,1)$ como combinação linear de $\boldsymbol {u}=(2,-1)$ e $\boldsymbol {v}=(1,-1)$.

Ver solução

Resolvendo $a\boldsymbol {u}+b\boldsymbol {v}=\boldsymbol {w}$ obtemos

\[ \boxed {\boldsymbol {w}=2\boldsymbol {u}-3\boldsymbol {v}.} \]

Exercício 11.7

Sejam $\boldsymbol {u}=(2,1)$ e $\boldsymbol {v}=(1,3)$. Mostre que todo vetor $(c_1,c_2)$ é combinação linear de $\boldsymbol {u},\boldsymbol {v}$ e encontre os coeficientes.

Ver solução

O determinante é $2\cdot 3-1=5\neq 0$. Se $(c_1,c_2)=a\boldsymbol {u}+b\boldsymbol {v}$, então

\[ \boxed {a=\frac{3c_1-c_2}{5},\qquad b=\frac{2c_2-c_1}{5}.} \]

Exercício 11.8

Considere a base

\[ \boldsymbol {u}=(1,1,1),\qquad \boldsymbol {v}=(0,1,1),\qquad \boldsymbol {w}=(1,1,0). \]

Determine as coordenadas de $\boldsymbol {z}=(a,b,c)$ nessa base.
Verifique diretamente que o vetor nulo tem coordenadas $(0,0,0)$.
Determine as coordenadas de $(1,2,3)$.

Ver solução

Se $\boldsymbol {z}=\alpha \boldsymbol {u}+\beta \boldsymbol {v}+\gamma \boldsymbol {w}$, então

\[ \boxed {\alpha =a-b+c,\quad \beta =-a+b,\quad \gamma =b-c.} \]

Para $\boldsymbol {z}=0$ todos são nulos. Para $(1,2,3)$,

\[ \boxed {(\alpha ,\beta ,\gamma )=(2,1,-1).} \]

Exercício 11.9

Prove que dois vetores não nulos $\boldsymbol {u}=(a_1,a_2,a_3)$ e $\boldsymbol {v}=(b_1,b_2,b_3)$ são LD se e somente se existe $\lambda $ tal que $\boldsymbol {u}=\lambda \boldsymbol {v}$. Use o critério para classificar:

$(1,2,3)$ e $(4,5,6)$;
$(1,0,3)$ e $(-2,0,-6)$;
$(1,2,5)$ e $(1/2,1,5/4)$.

Ver solução

A caracterização é a definição geométrica/algebraica de dependência para dois vetores não nulos. Nos três casos: LI, LD (o segundo é $-2$ vezes o primeiro), LI.

Exercício 11.10

Mostre que dois vetores não nulos de $\mathbb {R}^3$ são LI se e somente se pelo menos um dos menores

\[ a_1b_2-a_2b_1,\qquad a_2b_3-a_3b_2,\qquad a_1b_3-a_3b_1 \]

é não nulo.

Ver solução

Os três menores se anulam exatamente quando todas as razões entre componentes não nulas são compatíveis com um mesmo escalar $\lambda $, isto é, quando $\boldsymbol {u}=\lambda \boldsymbol {v}$. Pelo exercício anterior, isso equivale a dependência linear.

Exercício 11.11

Determine $m,n$ para que os pares sejam linearmente dependentes.

$(1,m,n+1)$ e $(m,n,2)$.
$(1,m-1,m)$ e $(m,n,4)$.

Ver solução

$\boxed {m=1,n=1}$.
$\boxed {(m,n)=(2,2)\ \text{ou}\ (-2,6)}$.

Exercício 11.12

Para

\[ \boldsymbol {u}=(m,-1,m^2+1),\quad \boldsymbol {v}=(m^2+1,m,0),\quad \boldsymbol {w}=(m,1,1), \]

mostre que os três vetores formam uma base de $\mathbb {R}^3$ para todo $m\in \mathbb {R}$.

Ver solução

O determinante da matriz com essas colunas é

\[ \boxed {3m^2+2\gt 0}. \]

Logo os vetores são LI para todo $m$ e, sendo três vetores em $\mathbb {R}^3$, formam uma base.

Exercício 11.13

Seja $(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2,\boldsymbol {e}_3)$ uma base. Determine condições sobre $a,b$ para que os três vetores indicados sejam LI.

$\boldsymbol {u}=\boldsymbol {e}_1-\boldsymbol {e}_2$, $\boldsymbol {v}=\boldsymbol {e}_1+\boldsymbol {e}_2+\boldsymbol {e}_3$, $\boldsymbol {w}=a\boldsymbol {e}_1+b\boldsymbol {e}_2+\boldsymbol {e}_3$.
$\boldsymbol {u}=\boldsymbol {e}_1-\boldsymbol {e}_2+\boldsymbol {e}_3$, $\boldsymbol {v}=\boldsymbol {e}_1+\boldsymbol {e}_2+3\boldsymbol {e}_3$, $\boldsymbol {w}=a\boldsymbol {e}_1+b\boldsymbol {e}_2+(b^2+2a)\boldsymbol {e}_3$.

Ver solução

Os determinantes das matrizes de coordenadas são

\[ 2-a-b \qquad \text{e}\qquad 2b(b-1). \]

Logo:

$\boxed {a+b\neq 2}$;
$\boxed {b\neq 0,1}$.

Exercício 11.14

Num tetraedro $ABCD$, use o sistema de coordenadas com origem $A$ e base $(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AD})$. Determine as coordenadas dos pontos médios de $AB$, $CD$, $BD$ e $BC$.

Ver solução

Nesse sistema $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $D=(0,0,1)$. Os pontos pedidos são

\[ \boxed {(1/2,0,0),\ (0,1/2,1/2),\ (1/2,0,1/2),\ (1/2,1/2,0).} \]

Exercício 11.15

Dados $A=(-3,2)$, $B=(3,5)$ e $C=(0,3)$, determine:

$d(A,B)$ e $d(B,C)$;
$\overrightarrow {BA}$, $\overrightarrow {AC}$ e sua soma;
o ponto médio de $AC$;
os pontos da reta $AB$ cuja distância a $A$ é três vezes a distância a $B$.

Ver solução

$\boxed {3\sqrt5,\sqrt{13}}$.
$\overrightarrow {BA}=(-6,-3)$, $\overrightarrow {AC}=(3,1)$ e a soma é $(-3,-2)=\overrightarrow {BC}$.
$\boxed {(-3/2,5/2)}$.
Parametrizando $A+t(B-A)$, a condição dá $t=3/4$ ou $3/2$. Logo

\[ \boxed {(3/2,17/4)\quad \text{e}\quad (6,13/2).} \]

Exercício 11.16

Dados $A=(4,8,11)$, $B=(-3,1,4)$ e $C=(2,3,-3)$, determine os comprimentos dos lados, os pontos médios, os vetores dos lados, os ângulos internos, a área e todos os pontos $D$ que completam um paralelogramo usando $A,B,C$ como três vértices.

Ver solução

\[ |AB|=7\sqrt3,\qquad |BC|=\sqrt{78},\qquad |CA|=15. \]

Os vetores são $\overrightarrow {AB}=(-7,-7,-7)$, $\overrightarrow {BC}=(5,2,-7)$, $\overrightarrow {CA}=(2,5,14)$ e somam zero. Os ângulos são aproximadamente

\[ 36.07^\circ ,\quad 90^\circ ,\quad 53.93^\circ . \]

A área é

\[ \boxed {\frac{21\sqrt{26}}2}. \]

Os três possíveis quartos vértices são

\[ \boxed {(9,10,4),\ (-1,6,18),\ (-5,-4,-10).} \]

Os pontos médios são obtidos pelas médias coordenada a coordenada.

Exercício 11.17

Determine o ponto do eixo $x$ equidistante de $A=(1,-3)$ e $B=(3,-1)$.

Ver solução

Pondo $P=(x,0)$ e igualando os quadrados das distâncias, obtemos $x=0$. Logo

\[ \boxed {P=(0,0).} \]

Exercício 11.18

O triângulo com $A=(-a,0)$, $B=(a,0)$ e $C=(0,y)$ é equilátero, com $a\neq 0$. Determine $y$.

Ver solução

De $AC^2=AB^2$,

\[ a^2+y^2=4a^2, \]

logo

\[ \boxed {y=\pm \sqrt3\, a} \]

(os dois sinais já descrevem as duas posições, independentemente do sinal escolhido para $a$).

Exercício 11.19

Três vértices de um retângulo são $(2,-1)$, $(7,-1)$ e $(7,3)$. Determine o quarto vértice e a área.

Ver solução

\[ \boxed {(2,3)},\qquad \boxed {A=20}. \]

Exercício 11.20

Determine os ângulos do triângulo de vértices $(2,-1)$, $(7,-1)$ e $(7,3)$ e do triângulo de vértices $(4,7,11)$, $(-3,1,4)$ e $(2,3,-3)$.

Ver solução

O primeiro é retângulo, com ângulos aproximadamente

\[ 38.66^\circ ,\quad 90^\circ ,\quad 51.34^\circ . \]

No segundo, os ângulos são aproximadamente

\[ \boxed {36.93^\circ ,\quad 91.12^\circ ,\quad 51.95^\circ }. \]

Exercício 11.21

Para $\boldsymbol {u}=(2,1,-1)$ e $\boldsymbol {v}=(1,-1,2)$, encontre um vetor não nulo ortogonal a ambos.

Ver solução

Uma escolha é o produto vetorial:

\[ \boxed {\boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}=(1,-5,-3).} \]

Exercício 11.22

Para $\boldsymbol {u}=(2,-1,2)$ e $\boldsymbol {v}=(1,2,-2)$, encontre uma combinação não nula $\boldsymbol {w}=a\boldsymbol {u}+b\boldsymbol {v}$ que seja ortogonal a $\boldsymbol {v}$.

Ver solução

Como $\boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}=-4$ e $\boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {v}=9$, precisamos $-4a+9b=0$. Por exemplo,

\[ \boxed {a=9,\ b=4,\quad \boldsymbol {w}=(22,-1,10).} \]

Exercício 11.23

Verifique que os vetores

\[ (7,-3,6),\qquad (3,3,-2),\qquad (6,-16,-15) \]

são dois a dois ortogonais.

Ver solução

Os três produtos escalares são zero.

Exercício 11.24

Determine os ângulos e a área do triângulo de vértices $(3,1)$, $(5,-2)$ e $(6,3)$.

Ver solução

Os ângulos são

\[ \boxed {90^\circ ,45^\circ ,45^\circ }, \]

e a área é

\[ \boxed {13/2}. \]

Exercício 11.25

Se $\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}+\boldsymbol {c}=0$, com $\lVert \boldsymbol {a}\rVert =3$, $\lVert \boldsymbol {b}\rVert =5$ e $\lVert \boldsymbol {c}\rVert =7$, determine o ângulo entre $\boldsymbol {a}$ e $\boldsymbol {b}$.

Ver solução

Como $\lVert \boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}\rVert ^2=\lVert \boldsymbol {c}\rVert ^2$,

\[ 9+25+30\cos \theta =49. \]

Logo $\cos \theta =1/2$ e

\[ \boxed {\theta =\pi /3}. \]

Exercício 11.26

Prove a identidade de polarização

\[ \boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {w}=\frac14\left(\lVert \boldsymbol {v}+\boldsymbol {w}\rVert ^2-\lVert \boldsymbol {v}-\boldsymbol {w}\rVert ^2\right). \]

Ver solução

Expanda os dois quadrados usando o produto escalar e subtraia. Os termos $\lVert v\rVert ^2$ e $\lVert w\rVert ^2$ se cancelam e resta $4\boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {w}$.

Exercício 11.27

Mostre que, se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares, então ele é um losango.

Ver solução

Se os lados adjacentes são $\boldsymbol {u},\boldsymbol {v}$, as diagonais são $\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}$ e $\boldsymbol {u}-\boldsymbol {v}$. A ortogonalidade implica

\[ 0=(\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v})\cdot (\boldsymbol {u}-\boldsymbol {v})=\lVert u\rVert ^2-\lVert v\rVert ^2. \]

Logo os lados adjacentes têm o mesmo comprimento.

Exercício 11.28

Decomponha $\boldsymbol {u}=(-1,-3,2)$ como $\boldsymbol {u}=\boldsymbol {v}_1+\boldsymbol {v}_2$, com $\boldsymbol {v}_1$ paralelo a $(0,1,3)$ e $\boldsymbol {v}_2$ ortogonal a esse vetor.

Ver solução

\[ \boldsymbol {v}_1=\operatorname {Proj}_{(0,1,3)}\boldsymbol {u} =\frac3{10}(0,1,3)=\left(0,\frac3{10},\frac9{10}\right), \]

\[ \boxed {\boldsymbol {v}_2=\left(-1,-\frac{33}{10},\frac{11}{10}\right).} \]

Exercício 11.29

Se $AB$ é um diâmetro de uma circunferência e $C$ é outro ponto da circunferência, prove que $\overrightarrow {CA}\perp \overrightarrow {CB}$.

Ver solução

Com origem no centro, escreva $\overrightarrow {OA}=\boldsymbol {u}$, $\overrightarrow {OB}=-\boldsymbol {u}$ e $\overrightarrow {OC}=\boldsymbol {v}$, com $\lVert u\rVert =\lVert v\rVert $. Então

\[ \overrightarrow {CA}=\boldsymbol {u}-\boldsymbol {v}, \qquad \overrightarrow {CB}=-\boldsymbol {u}-\boldsymbol {v}, \]

e seu produto escalar é $-\lVert u\rVert ^2+\lVert v\rVert ^2=0$.

Exercício 11.30

Para $\boldsymbol {u}\neq 0$, prove as propriedades da projeção ortogonal:

$\operatorname {Proj}_{u}(\lambda v)=\lambda \operatorname {Proj}_{u}v$;
$\operatorname {Proj}_{u}(v+w)=\operatorname {Proj}_{u}v+\operatorname {Proj}_{u}w$;
$\operatorname {Proj}_{u}(\operatorname {Proj}_{u}v)=\operatorname {Proj}_{u}v$;
$v\cdot \operatorname {Proj}_{u}w=\operatorname {Proj}_{u}v\cdot w$.

Ver solução

Use diretamente

\[ \operatorname {Proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}\, u. \]

Linearidade do produto escalar prova os dois primeiros itens; o terceiro segue porque a projeção já é paralela a $u$; no quarto, ambos os lados são

\[ \frac{(v\cdot u)(w\cdot u)}{u\cdot u}. \]

Exercício 11.31

Calcule o cosseno do menor ângulo entre duas diagonais espaciais distintas de um cubo.

Ver solução

Podemos usar os vetores $(1,1,1)$ e $(1,1,-1)$. Portanto

\[ \boxed {\cos \theta =\frac{|1+1-1|}{3}=\frac13.} \]

Exercício 11.32

Prove a desigualdade de Cauchy–Schwarz

\[ |u\cdot v|\le \lVert u\rVert \lVert v\rVert , \]

e caracterize a igualdade.

Ver solução

Pela definição do ângulo,

\[ |u\cdot v|=\lVert u\rVert \lVert v\rVert \, |\cos \theta |\le \lVert u\rVert \lVert v\rVert . \]

Há igualdade exatamente quando $|\cos \theta |=1$, isto é, quando os vetores são paralelos (incluindo o caso nulo).

Exercício 11.33

Prove a desigualdade triangular

\[ \lVert u+v\rVert \le \lVert u\rVert +\lVert v\rVert . \]

Ver solução

Eleve ao quadrado e use Cauchy–Schwarz:

\[ \lVert u+v\rVert ^2=\lVert u\rVert ^2+2u\cdot v+\lVert v\rVert ^2 \le (\lVert u\rVert +\lVert v\rVert )^2. \]

Exercício 11.34

Mostre que

\[ \lVert u+v\rVert =\lVert u-v\rVert \]

se e somente se $u\cdot v=0$.

Ver solução

Compare os quadrados: a diferença entre eles é $4u\cdot v$.

Exercício 11.35

Prove que, se $u\cdot v=0$ para todo vetor $v$, então $u=0$.

Ver solução

Tome $v=u$. Então $\lVert u\rVert ^2=u\cdot u=0$.

Exercício 11.36

Num triângulo retângulo, prove que a altura relativa à hipotenusa é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Ver solução

Coloque a hipotenusa no eixo $x$, com seus extremos em $(-p,0)$ e $(q,0)$, e o vértice reto em $(0,h)$. A ortogonalidade dos catetos dá

\[ (-p,-h)\cdot (q,-h)=0, \]

logo

\[ \boxed {h^2=pq}. \]

Exercício 11.37

Decida se é verdadeira a afirmação: “o ângulo entre $\operatorname {Proj}_w u$ e $\operatorname {Proj}_w v$ é igual ao ângulo entre $u$ e $v$”. Em caso negativo, determine o que se pode afirmar quando as duas projeções são não nulas.

Ver solução

A afirmação é falsa. Ambas as projeções são múltiplos de $w$, portanto são paralelas. O ângulo entre elas é $0$ quando os coeficientes têm o mesmo sinal e $\pi $ quando têm sinais opostos.

Exercício 11.38

Calcule os produtos vetoriais:

$(7,-3,6)\times (5,-15,-13)$;
$(6,-16,-15)\times (3,3,-2)$;
$(3,3,0)\times (5,4,0)$.

Ver solução

\[ \boxed {(129,121,-90),\quad (77,-33,66),\quad (0,0,-3).} \]

Exercício 11.39

Se $u=(3,4,1)$, $v=(2,3,2)$ e $w=(4,2,3)$, calcule $2u+3v-7w$, os três produtos escalares, $u\times v$, $v\times u$ e $w\cdot (v\times u)$.

Ver solução

\[ 2u+3v-7w=(-16,3,-13), \]

\[ u\cdot w=23,\quad v\cdot w=20,\quad u\cdot v=20, \]

\[ u\times v=(5,-4,1),\quad v\times u=(-5,4,-1), \]

\[ \boxed {w\cdot (v\times u)=-15.} \]

Exercício 11.40

Para $u=(1,2,-1)$ e $v=(2,1,0)$, expresse $a=(2,2,3)$ na base $(u,v,u\times v)$.

Ver solução

\[ \boxed {a=-\frac9{14}u+\frac{12}{7}v-\frac{11}{14}(u\times v).} \]

Exercício 11.41

Dado $b=(1,2,1)$, determine um vetor $a$ ortogonal ao eixo $z$ tal que

\[ a\times b=(1,-1,1). \]

Ver solução

\[ \boxed {a=(1,1,0).} \]

Exercício 11.42

Determine $v=(x,y,z)$ tal que

\[ v\times (1,2,-1)=(1,1,3), \qquad v\cdot (3,1,1)=3. \]

Ver solução

\[ \boxed {v=\left(\frac54,-\frac12,-\frac14\right).} \]

Exercício 11.43

Os pontos $P=(1,1,2)$, $Q=(1,2,0)$ e $R=(3,1,2)$ são pontos médios dos lados de um triângulo $ABC$. Calcule a área de $ABC$.

Ver solução

O triângulo $PQR$ tem área

\[ \frac12\lVert (Q-P)\times (R-P)\rVert =\sqrt5. \]

O triângulo medial tem $1/4$ da área do original. Portanto

\[ \boxed {[ABC]=4\sqrt5.} \]

Exercício 11.44

Prove $u\times v=-v\times u$ e $u\times (v+w)=u\times v+u\times w$.

Ver solução

Expanda as componentes pela definição do produto vetorial. A troca de duas linhas no determinante muda o sinal; a distributividade segue da linearidade de cada componente.

Exercício 11.45

Prove que

\[ u\cdot (u\times v)=v\cdot (u\times v)=0 \]

de duas maneiras: por cálculo direto e geometricamente.

Ver solução

Pelo determinante, repetir uma linha produz determinante zero. Geometricamente, $u\times v$ foi construído perpendicular a $u$ e a $v$.

Exercício 11.46

Mostre que $u$ e $v$ são paralelos se e somente se $u\times v=0$.

Ver solução

Use

\[ \lVert u\times v\rVert =\lVert u\rVert \lVert v\rVert \, |\operatorname {sen}\theta |. \]

Para vetores não nulos, isso se anula exatamente quando $\theta =0$ ou $\pi $. Os casos com vetor nulo são imediatos.

Exercício 11.47

Prove que o produto misto é o determinante

\[ u\cdot (v\times w)=\det \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix} \]

e deduza sua invariância por permutações cíclicas.

Ver solução

Expanda o determinante pela primeira linha e compare termo a termo com $u\cdot (v\times w)$. Uma permutação cíclica é par, portanto não altera o determinante.

Exercício 11.48

Usando produto vetorial, prove a lei dos senos para um triângulo de lados $a,b,c$ opostos aos ângulos $\alpha ,\beta ,\gamma $:

\[ \frac{a}{\operatorname {sen}\alpha }=\frac{b}{\operatorname {sen}\beta }=\frac{c}{\operatorname {sen}\gamma }. \]

Ver solução

A área $K$ pode ser escrita como

\[ 2K=bc\operatorname {sen}\alpha =ca\operatorname {sen}\beta =ab\operatorname {sen}\gamma . \]

Dividindo por $abc$, obtemos a lei dos senos.

Exercício 11.49

Se $a=\overrightarrow {OA}$, $b=\overrightarrow {OB}$ e $c=\overrightarrow {OC}$, prove que a área do triângulo $ABC$ é

\[ \frac12\lVert a\times b+b\times c+c\times a\rVert . \]

Ver solução

Como

\[ \overrightarrow {AB}=b-a,\qquad \overrightarrow {AC}=c-a, \]

expandindo

\[ (b-a)\times (c-a)=a\times b+b\times c+c\times a. \]

A área é metade da norma desse produto vetorial.

Exercício 11.50

Mostre que $(-5,0)$, $(0,2)$ e $(0,-2)$ formam um triângulo isósceles e calcule sua área.

Ver solução

As duas distâncias do ponto $(-5,0)$ aos demais são $\sqrt{29}$. A base vertical mede $4$ e sua distância horizontal ao vértice é $5$, logo

\[ \boxed {A=10}. \]

Exercício 11.51

Sejam $A=(a,0)$ e $B=(0,a)$, $a\neq 0$. Determine $x$ para que $C=(x,x)$ complete um triângulo equilátero.

Ver solução

Igualando $AC^2=AB^2$:

\[ (x-a)^2+x^2=2a^2. \]

Logo

\[ \boxed {x=\frac a2(1\pm \sqrt3).} \]

Exercício 11.52

Prove a lei do paralelogramo

\[ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2. \]

Ver solução

Se os lados adjacentes são $u,v$, o lado esquerdo é $2\lVert u\rVert ^2+2\lVert v\rVert ^2$, enquanto as diagonais são $u+v$ e $u-v$. Expanda seus quadrados e some.

Exercício 11.53

Se, em um triângulo, as medianas que partem de $A$ e $B$ têm o mesmo comprimento, prove que $AC=BC$.

Ver solução

Pela fórmula da mediana,

\[ m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},\qquad m_b^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}. \]

A igualdade implica $a^2=b^2$, logo $a=b$.

Exercício 11.54

Enuncie e prove a recíproca do teorema de Pitágoras usando produto escalar.

Ver solução

Se os lados satisfazem $c^2=a^2+b^2$, tome vetores $u,v$ dos dois lados adjacentes ao ângulo oposto a $c$. Como

\[ c^2=\lVert u-v\rVert ^2=a^2+b^2-2u\cdot v, \]

segue $u\cdot v=0$; portanto o ângulo é reto.

Exercício 11.55

Prove que, se as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo comprimento, então ele é um retângulo.

Ver solução

Com lados adjacentes $u,v$, a igualdade $\lVert u+v\rVert =\lVert u-v\rVert $ implica $u\cdot v=0$. Logo os lados adjacentes são perpendiculares.

Exercício 11.56

Se os lados de um triângulo medem $a,b,c$, mostre que a soma dos quadrados das três medianas é

\[ \boxed {\frac34(a^2+b^2+c^2)}. \]

Ver solução

Some as três fórmulas

\[ m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}, \]

e suas permutações cíclicas.

Exercício 11.57

Determine os lugares geométricos no plano:

pontos duas unidades à esquerda do eixo $y$;
pontos a distância $2$ do eixo $x$;
pontos cuja abscissa é o inverso da ordenada;
pontos equidistantes dos eixos coordenados.

Ver solução

Respectivamente,

\[ \boxed {x=-2},\qquad \boxed {y=\pm 2},\qquad \boxed {xy=1},\qquad \boxed {y=\pm x}. \]

Exercício 11.58

Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a $(c,0)$ e $(-c,0)$ é $2a$, com $a\gt c\gt 0$.

Ver solução

Após duas elevações ao quadrado e simplificação,

\[ \boxed {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1.} \]

É uma elipse.

Exercício 11.59

No espaço, determine o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a $(c,0,0)$ e $(-c,0,0)$ é $2a$, com $a\gt c\gt 0$.

Ver solução

\[ \boxed {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{a^2-c^2}=1.} \]

É um elipsoide de revolução.

Exercício 11.60

No espaço, determine o lugar geométrico dos pontos para os quais a diferença absoluta das distâncias a $(c,0,0)$ e $(-c,0,0)$ é $2a$, com $c\gt a\gt 0$.

Ver solução

\[ \boxed {\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2-a^2}=1.} \]

É um hiperboloide de duas folhas de revolução.

Exercício 11.61

Determine o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja distância a $(1,0,0)$ é igual à distância ao plano $YZ$.

Ver solução

\[ \sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}=|x|. \]

Elevando ao quadrado,

\[ \boxed {y^2+z^2=2x-1}, \]

um paraboloide de revolução.