Apêndice B

Matrizes e Sistemas Lineares

Este apêndice reúne os resultados de Álgebra Linear elementar usados ao longo do livro: operações com matrizes, transposta, determinantes, inversas e resolução de sistemas lineares. Destina-se à consulta, com ênfase nos métodos utilizados no estudo de coordenadas e mudanças de base.

B.1 Matrizes

Definição B.1
Uma matriz real \(m\times n\) é uma disposição retangular de números reais com \(m\) linhas e \(n\) colunas:
\[ A=(a_{ij})= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}. \]
A entrada \(a_{ij}\) ocupa a linha \(i\) e a coluna \(j\).

Uma matriz é quadrada quando possui o mesmo número de linhas e colunas. Uma matriz \(1\times n\) é uma matriz linha; uma matriz \(m\times 1\) é uma matriz coluna. A matriz identidade de ordem \(n\) é

\[ I_n= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. \]

B.1.1 Soma e multiplicação por escalar

Se \(A=(a_{ij})\) e \(B=(b_{ij})\) têm o mesmo tamanho e \(\lambda \in \mathbb {R}\), definimos

\[ A+B=(a_{ij}+b_{ij}), \qquad \lambda A=(\lambda a_{ij}). \]

Exemplo B.2
Se
\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \]
então
\[ A+B=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 6 \\ 7 & 7 & 2 \end{pmatrix} \]
e
\[ 2A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 6 & 10 & -2 \end{pmatrix}. \]

B.1.2 Produto de matrizes

Definição B.3
Se \(A=(a_{ij})\) é \(m\times p\) e \(B=(b_{ij})\) é \(p\times n\), o produto \(AB\) é a matriz \(m\times n\) dada por
\[ (AB)_{ij}=\sum _{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}. \]

O número de colunas de \(A\) deve coincidir com o número de linhas de \(B\). Em geral,

\[ AB\neq BA, \]

e um dos produtos pode até estar definido sem que o outro esteja.

Exemplo B.4
Para
\[ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}, \]
temos
\[ AB= \begin{pmatrix} 2\cdot 2+1\cdot 1+0(-1) & 2\cdot 3+1\cdot 4+0\cdot 5 \\ 3\cdot 2+2\cdot 1+(-1)(-1) & 3\cdot 3+2\cdot 4+(-1)5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}. \]

B.1.3 Transposta

Definição B.5
A transposta de uma matriz \(A=(a_{ij})\), denotada \(A^T\), é obtida trocando linhas por colunas:
\[ (A^T)_{ij}=a_{ji}. \]

Valem as identidades

\[ (A+B)^T=A^T+B^T, \qquad (\lambda A)^T=\lambda A^T, \qquad (AB)^T=B^TA^T. \]

Uma matriz quadrada é simétrica quando \(A^T=A\).

B.2 Determinantes

O determinante associa um número real a cada matriz quadrada. Para ordens pequenas,

\[ \det (a)=a \]

e

\[ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc. \]

Para uma matriz quadrada \(A\), seja \(A_{ij}\) a matriz obtida removendo a linha \(i\) e a coluna \(j\). O número

\[ C_{ij}=(-1)^{i+j}\det (A_{ij}) \]

é chamado cofator da entrada \(a_{ij}\).

Teorema B.6 (Expansão por cofatores)
Fixada uma linha \(i\),
\[ \boxed {\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}.} \]
Fixada uma coluna \(j\),
\[ \boxed {\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}.} \]

Por exemplo,

\[ \det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = a\det \begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix} -b\det \begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix} +c\det \begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix}. \]

As propriedades mais usadas são:

  • \(\det (A^T)=\det A\);

  • trocar duas linhas ou duas colunas muda o sinal do determinante;

  • multiplicar uma linha ou coluna por \(\lambda \) multiplica o determinante por \(\lambda \);

  • adicionar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante;

  • se duas linhas ou colunas são iguais, o determinante é zero;

  • \(\det (AB)=\det A\, \det B\).

Essas propriedades permitem calcular determinantes por escalonamento e explicam o critério de independência linear usado no Capítulo 3.

B.3 Matrizes Invertíveis

Definição B.7
Uma matriz quadrada \(A\) é invertível se existe uma matriz \(A^{-1}\) tal que
\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I. \]

Teorema B.8
Uma matriz quadrada \(A\) é invertível se e somente se
\[ \det A\neq 0. \]

Para uma matriz \(2\times 2\),

\[ A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad ad-bc\neq 0, \]

temos a fórmula

\[ \boxed { A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.} \]

Em dimensão geral, se \(\operatorname {cof}(A)=(C_{ij})\) é a matriz dos cofatores e

\[ \operatorname {adj}(A)=\operatorname {cof}(A)^T, \]

então

\[ \boxed {A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname {adj}(A).} \]

Exemplo B.9
Considere
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Como \(\det A=2\), a matriz é invertível. Uma conta por cofatores ou por eliminação de Gauss fornece
\[ A^{-1}=\frac12 \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]
A identidade \(AA^{-1}=I\) fornece uma verificação imediata do resultado.

B.3.1 Matrizes ortogonais

Definição B.10
Uma matriz quadrada real \(Q\) é ortogonal quando
\[ Q^TQ=I. \]

Nesse caso,

\[ \boxed {Q^{-1}=Q^T.} \]

Equivalentemente, as colunas de \(Q\) formam uma base ortonormal de \(\mathbb {R}^n\). É essa propriedade que aparece nas mudanças entre sistemas cartesianos estudadas nos Capítulos 11 e 12.

B.4 Sistemas Lineares

Um sistema de \(m\) equações lineares em \(n\) incógnitas pode ser escrito na forma matricial

\[ AX=b, \]

onde \(A\) é a matriz dos coeficientes,

\[ X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \]

é a coluna das incógnitas e \(b\) é a coluna dos termos independentes.

Quando \(A\) é quadrada e invertível, a solução é única e vale

\[ \boxed {X=A^{-1}b.} \]

B.5 Regra de Cramer

A regra de Cramer fornece uma expressão explícita para a solução de um sistema quadrado com determinante não nulo.

Teorema B.11 (Regra de Cramer)
Considere
\[ AX=b, \]
com \(A=(A_1\ A_2\ \cdots \ A_n)\) e \(\det A\neq 0\). Seja \(A_i(b)\) a matriz obtida substituindo a coluna \(A_i\) por \(b\). Então
\[ \boxed {x_i=\frac{\det A_i(b)}{\det A},\qquad i=1,\ldots ,n.} \]

Demonstração ▼

Como

\[ b=AX=x_1A_1+\cdots +x_nA_n, \]

pela linearidade do determinante na coluna \(i\),

\[ \det A_i(b) = \sum _{j=1}^{n}x_j\det (A_1,\ldots ,A_{i-1},A_j,A_{i+1},\ldots ,A_n). \]

Todos os termos com \(j\neq i\) possuem duas colunas iguais e, portanto, determinante zero. Resta

\[ \det A_i(b)=x_i\det A, \]

e a fórmula segue porque \(\det A\neq 0\).

Exemplo B.12
Resolva
\[ \begin{cases} 2x-y+5z=1,\\ -x+2y-2z=2,\\ -3x+y-7z=-1. \end{cases} \]

Solução
A matriz de coeficientes é
\[ A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & -2 \\ -3 & 1 & -7 \end{pmatrix}, \qquad \det A=2. \]
Substituindo sucessivamente as colunas por \(b=(1,2,-1)^T\), obtemos
\[ \det A_1(b)=-8, \qquad \det A_2(b)=2, \qquad \det A_3(b)=4. \]
Logo
\[ \boxed {x=-4,\qquad y=1,\qquad z=2.} \]

A regra de Cramer fornece uma expressão explícita para a solução. Para cálculos com sistemas maiores, a eliminação de Gauss é mais eficiente.

B.6 Eliminação de Gauss

As seguintes operações sobre as equações de um sistema não alteram seu conjunto de soluções:

  1. trocar duas equações;

  2. multiplicar uma equação por um escalar não nulo;

  3. adicionar a uma equação um múltiplo de outra.

Na matriz aumentada, essas operações correspondem às operações elementares sobre linhas.

O objetivo do método de Gauss é transformar o sistema em outro equivalente, de forma escalonada, no qual as incógnitas possam ser determinadas por substituição retroativa.

Exemplo B.13 (Solução única)
Considere
\[ \begin{cases} 2x+8y+6z=30,\\ 2x-y=3,\\ 4x+y+z=12. \end{cases} \]

Solução
A matriz aumentada é
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2& 8& 6& 30\\ 2& -1& 0& 3\\ 4& 1& 1& 12 \end{array} \right). \]
Uma sequência de operações elementares produz
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1& 4& 3& 15\\ 0& 1& 2/3& 3\\ 0& 0& -1& -3 \end{array} \right). \]
Da última linha, \(z=3\). A segunda fornece \(y=1\) e a primeira fornece \(x=2\). Portanto
\[ \boxed {(x,y,z)=(2,1,3).} \]

Exemplo B.14 (Infinitas soluções)
Considere
\[ \begin{cases} 2x+6y+2z+4w=34,\\ 3x-2y=-2,\\ 2x+2y+z+2w=15. \end{cases} \]

Solução
O escalonamento leva a
\[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1& 0& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 0& 4\\ 0& 0& 1& 2& 3 \end{array} \right). \]
A variável \(w\) é livre. Escrevendo \(w=t\), temos
\[ x=2, \qquad y=4, \qquad z=3-2t. \]
Logo o conjunto de soluções é
\[ \boxed {(x,y,z,w)=(2,4,3-2t,t),\qquad t\in \mathbb {R}.} \]

Exemplo B.15 (Sistema impossível)
O sistema
\[ \begin{cases} x+y=1,\\ 2x+2y=3 \end{cases} \]
não possui solução.

Solução
Subtraindo duas vezes a primeira equação da segunda, obtemos
\[ 0=1, \]
uma contradição. Na matriz aumentada aparece uma linha do tipo
\[ (0\ \ 0\mid 1). \]

B.6.1 Dependência das soluções em relação a um parâmetro

Exemplo B.16
Discuta, em função de \(m\), o sistema
\[ \begin{cases} mx+y=1,\\ x+my=1. \end{cases} \]

Solução

A matriz dos coeficientes é

\[ A_m=\begin{pmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix}, \]

com

\[ \det A_m=m^2-1. \]

Se \(m\neq \pm 1\), o determinante é não nulo e o sistema possui solução única.

Se \(m=1\), as duas equações coincidem:

\[ x+y=1, \]

e há infinitas soluções.

Se \(m=-1\), as equações são

\[ -x+y=1, \qquad x-y=1. \]

Somando-as obtemos \(0=2\), portanto não há solução.

B.7 Exercícios

Exercício 7.1
Calcule, quando os produtos estiverem definidos,
\[ AB\quad \text{e}\quad BA, \]
para
\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. \]
Explique por que os resultados não precisam coincidir.
Ver solução
\[ AB=\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad BA=\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}. \]

Os resultados são diferentes: o produto de matrizes não é comutativo em geral, pois \((AB)_{ij}=\sum _k a_{ik}b_{kj}\) combina as linhas de \(A\) com as colunas de \(B\), enquanto \(BA\) combina as linhas de \(B\) com as colunas de \(A\) — não há razão para essas combinações coincidirem.

Exercício 7.2
Calcule os determinantes:

  1. \(\displaystyle \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\);

  2. \(\displaystyle \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).

Ver solução

Na ordem dos itens:

  1. \(2\cdot 4-3\cdot (-1)=8+3=11\).

  2. Expandindo pela primeira linha:

    \[ 1\det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-2\det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+0=1(1)-2(-6)=1+12=13. \]
Exercício 7.3
Determine quais matrizes são invertíveis e calcule as inversas quando existirem:

  1. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\);

  2. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).

Ver solução

Na ordem dos itens:

  1. \(\det =2\cdot 2-1\cdot 3=1\neq 0\): a matriz é invertível e

    \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}. \]

  2. \(\det =2\cdot 2-4\cdot 1=0\): a matriz não é invertível (a segunda linha é a primeira dividida por \(2\), isto é, as linhas são proporcionais).

Exercício 7.4
Verifique diretamente que
\[ Q=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \]
é ortogonal. Qual transformação geométrica essa matriz representa?
Ver solução

Calculando,

\[ Q^TQ=\frac{1}{25}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} =\frac{1}{25}\begin{pmatrix} 9+16 & -12+12 \\ -12+12 & 16+9 \end{pmatrix} =\frac{1}{25}\begin{pmatrix} 25 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix}=I, \]

logo \(Q\) é ortogonal. Como \(Q\) tem a forma \(\begin{pmatrix} \cos \theta & -\operatorname {sen}\theta \\ \operatorname {sen}\theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) com \(\cos \theta =3/5\) e \(\operatorname {sen}\theta =4/5\) (isto é, \(\theta =\operatorname {arcsen}(4/5)\approx 53{,}13^\circ \)), \(Q\) representa a rotação de ângulo \(\theta \) em torno da origem.

Exercício 7.5
Resolva por eliminação de Gauss:

  1. \(\displaystyle \begin{cases} x+5y=13,\\ 4x+3y=1;\end{cases}\)

  2. \(\displaystyle \begin{cases} x+2y-3z=0,\\ 5x-3y+z=-10,\\ -2x-y+z=1;\end{cases}\)

  3. \(\displaystyle \begin{cases} x+y+2z=6,\\ 2x-y+z=3,\\ x+3y-z=3.\end{cases}\)

Ver solução

Na ordem dos itens:

  1. \(\boxed {(x,y)=(-2,3)}\).

  2. \(\boxed {(x,y,z)=(-1,2,1)}\).

  3. \(\boxed {(x,y,z)=\left(\dfrac 65,\dfrac 65,\dfrac 95\right)}\).

Exercício 7.6
Classifique, em função de \(m\), o sistema
\[ \begin{cases} mx+3y=12,\\ 2x+\frac12y=5. \end{cases} \]
Determine para quais valores de \(m\) ele possui solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Ver solução

A matriz dos coeficientes é

\[ A_m=\begin{pmatrix} m & 3 \\ 2 & 1/2 \end{pmatrix}, \qquad \det A_m=\frac m2-6. \]

Se \(m\neq 12\), \(\det A_m\neq 0\) e o sistema tem solução única

\[ x=\frac{18}{12-m}, \qquad y=\frac{2(24-5m)}{12-m}. \]

Se \(m=12\), as equações tornam-se \(4x+y=4\) e \(4x+y=10\): os dois primeiros membros são idênticos mas os termos independentes diferem, logo o sistema é impossível (nenhuma solução). Não há valor de \(m\) para o qual as duas equações se tornem múltiplas uma da outra também nos termos independentes, de modo que este sistema nunca tem infinitas soluções.

Exercício 7.7
Classifique, em função de \(k\), o sistema
\[ \begin{cases} x+2y+kz=1,\\ 2x+ky+8z=3. \end{cases} \]
Mostre que ele nunca possui solução única e determine quando não possui solução e quando possui infinitas soluções. Relacione o resultado ao fato de haver mais incógnitas do que equações.
Ver solução

Com \(2\) equações e \(3\) incógnitas, o posto da matriz dos coeficientes é no máximo \(2\lt 3\); uma solução única exigiria posto \(3\), o que é impossível para qualquer \(k\) — daí o sistema nunca ter solução única.

Subtraindo \(2\) vezes a primeira equação da segunda obtemos

\[ (k-4)y+(8-2k)z=1, \qquad \text{isto é}\qquad (k-4)y-2(k-4)z=1, \qquad \text{ou}\qquad (k-4)(y-2z)=1. \]

Se \(k=4\), o primeiro membro se anula e a igualdade fica \(0=1\): o sistema é impossível.

Se \(k\neq 4\), podemos tomar \(z=t\) livre e obter \(y=2t+\dfrac 1{k-4}\); substituindo na primeira equação, \(x=1-2y-kz=-(k+4)t+\dfrac {k-6}{k-4}\). Logo, para \(k\neq 4\), há infinitas soluções

\[ (x,y,z)=\left(-(k+4)t+\frac{k-6}{k-4},\ 2t+\frac1{k-4},\ t\right),\qquad t\in \mathbb {R}. \]

Isso ilustra o fato geral: um sistema linear com mais incógnitas do que equações nunca tem solução única — ou é impossível, ou tem infinitas soluções, dependendo de sua consistência.

Exercício 7.8
Mostre que o sistema homogêneo quadrado
\[ AX=0 \]
possui uma solução não nula se e somente se \(\det A=0\).
Ver solução

(\(\Leftarrow \), contrapositiva) Se \(\det A\neq 0\), então \(A\) é invertível. De \(AX=0\) segue \(X=A^{-1}(AX)=A^{-1}0=0\): a única solução é a trivial, ou seja, não há solução não nula.

(\(\Rightarrow \)) Suponha \(\det A=0\). Aplicando eliminação de Gauss a \(A\), chegamos a uma forma escalonada \(U\) usando apenas as operações elementares descritas no texto; nenhuma delas transforma um determinante nulo em não nulo (trocar linhas apenas muda o sinal, multiplicar uma linha por escalar não nulo multiplica o determinante por esse escalar, e somar a uma linha um múltiplo de outra não o altera). Logo \(\det U=0\) também. Como \(U\) é triangular, \(\det U\) é o produto dos elementos da diagonal (expansão sucessiva por cofatores na primeira coluna), e esse produto só se anula se algum elemento da diagonal for \(0\) — ou seja, alguma das \(n\) linhas de \(U\) ficou inteiramente nula após o escalonamento. Essa linha nula corresponde a uma equação \(0=0\), de modo que restam no máximo \(n-1\) equações independentes para as \(n\) incógnitas, sobrando ao menos uma variável livre. Atribuindo um valor não nulo a essa variável livre obtemos uma solução \(X\neq 0\) de \(AX=0\) (o sistema é homogêneo, logo qualquer escolha da variável livre fornece uma solução).

Portanto \(AX=0\) tem solução não nula se, e somente se, \(\det A=0\).

Exercício 7.9
Use a regra de Cramer para resolver
\[ \begin{cases} 2x-y=1,\\ x+3y=8. \end{cases} \]
Depois resolva o mesmo sistema por eliminação de Gauss e compare os dois métodos.
Ver solução

Pela regra de Cramer, com \(A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\), \(\det A=6+1=7\),

\[ \det A_1(b)=\det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}=3+8=11, \qquad \det A_2(b)=\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}=16-1=15, \]

logo

\[ \boxed {x=\frac{11}7,\qquad y=\frac{15}7.} \]

Por eliminação de Gauss: da primeira equação, \(y=2x-1\); substituindo na segunda, \(x+3(2x-1)=8\Rightarrow 7x=11\Rightarrow x=11/7\), e então \(y=2(11/7)-1=15/7\) — o mesmo resultado.

Os dois métodos coincidem, como esperado. Para um sistema \(2\times 2\) o esforço é comparável, mas a regra de Cramer exige calcular \(n+1\) determinantes de ordem \(n\), o que a torna computacionalmente cara para \(n\) grande; a eliminação de Gauss, por outro lado, permanece eficiente e é o método preferido na prática para sistemas maiores.