Capítulo 11

Classificação das Cônicas

Nos capítulos anteriores estudamos as cônicas em posições especialmente simples. O problema agora é o inverso: dada uma equação quadrática geral

\[ Ax^2+Cxy+By^2+Dx+Ey+F=0, \]

como reconhecer a curva que ela descreve?

Para identificar a cônica, escolheremos coordenadas que simplifiquem sua equação. Usaremos duas operações:

translação da origem: os eixos mantêm suas direções, mas a origem muda;
rotação dos eixos: a origem permanece fixa e a base ortonormal é girada.

A translação permite controlar os termos lineares; a rotação permite eliminar o termo misto \(xy\). Depois dessas duas operações, completar quadrados conduz às formas canônicas e torna possível classificar a cônica, inclusive nos casos degenerados.

Ao longo do capítulo adotaremos o ponto de vista passivo: a curva geométrica não se move; apenas mudamos o sistema cartesiano usado para descrevê-la.

11.1 Translação

Seja

\[ \mathcal{B}=(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2) \]

uma base ortonormal e considere os sistemas cartesianos

\[ \Sigma =(O,\mathcal{B}), \qquad \Sigma '=(O',\mathcal{B}), \]

que possuem a mesma base e origens distintas. Se \(O'\) possui coordenadas \((h,k)\) em \(\Sigma \), e um ponto \(P\) possui coordenadas \((x,y)\) em \(\Sigma \) e \((x',y')\) em \(\Sigma '\), então

\[ \overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OO’}+\overrightarrow {O’P}. \]

Logo

\[ (x,y)=(h,k)+(x',y'), \]

ou seja,

\begin{equation} \label{eq:translacao-coord} x=x'+h, \qquad y=y'+k. \tag{11.1} \end{equation}

A transformação inversa é

\[ x'=x-h, \qquad y'=y-k. \]

O ponto \(P\) permanece fixo; suas coordenadas mudam em razão da mudança de origem.

Figura 11.1 Uma translação altera a origem do sistema, mas não move a cônica.

11.2 Translação de uma Equação Quadrática

Escreva

\[ f(x,y)=Ax^2+Cxy+By^2+Dx+Ey+F. \]

É útil separar a parte quadrática da parte linear. Com

\[ \boldsymbol {x}=\binom {x}{y}, \qquad M=\begin{pmatrix} A & C/2 \\ C/2 & B \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol {\ell }=\binom {D}{E}, \]

temos

\[ f(\boldsymbol {x})=\boldsymbol {x}^{T}M\boldsymbol {x}+\boldsymbol {\ell }^{T}\boldsymbol {x}+F. \]

Faça agora a translação

\[ \boldsymbol {x}=\boldsymbol {x}'+\boldsymbol {h}, \qquad \boldsymbol {h}=\binom {h}{k}. \]

Substituindo e agrupando os termos,

\[ f(\boldsymbol {x}'+\boldsymbol {h}) =(\boldsymbol {x}')^TM\boldsymbol {x}' +(2M\boldsymbol {h}+\boldsymbol {\ell })^T\boldsymbol {x}' +f(\boldsymbol {h}). \]

Portanto os termos lineares desaparecem exatamente quando

\begin{equation} \label{eq:centro-quadrica} 2M\boldsymbol {h}+\boldsymbol {\ell }={\boldsymbol {\displaystyle 0}}. \tag{11.2} \end{equation}

Em coordenadas, isso significa

\[ \begin{cases} 2Ah+Ck+D=0,\\ Ch+2Bk+E=0. \end{cases} \]

\[ \det M=AB-\frac{C^2}{4}\neq 0, \]

ou equivalentemente \(4AB-C^2\neq 0\), existe uma única translação que elimina ambos os termos lineares. Quando \(\det M=0\), o sistema pode não ter solução ou pode ter infinitas soluções.

O termo constante na nova equação é

\[ F'=f(h,k), \]

e não precisa ser zero.

Exemplo 11.1

Elimine os termos lineares de

\[ x^2-5xy-11y^2-x+37y+52=0. \]

Solução

As equações para a nova origem são

\[ \begin{cases} 2h-5k-1=0,\\ -5h-22k+37=0. \end{cases} \]

A solução é \((h,k)=(3,1)\). Fazendo

\[ x=x'+3, \qquad y=y'+1, \]

obtemos

\[ (x')^2-5x'y'-11(y')^2+69=0. \]

A translação eliminou os termos lineares, mas o termo misto permanece. Ele será removido por uma rotação.

Exemplo 11.2

Elimine os termos lineares de

\[ 4x^2-4xy+7y^2+12x+6y-9=0. \]

Solução

Devemos resolver

\[ \begin{cases} 8h-4k+12=0,\\ -4h+14k+6=0. \end{cases} \]

Daí \((h,k)=(-2,-1)\). Como

\[ f(-2,-1)=-24, \]

a equação nas novas coordenadas é

\[ 4(x')^2-4x'y'+7(y')^2-24=0. \]

Exercício 2.1

Em cada item, use uma translação dos eixos para transformar a equação, tomando como nova origem o ponto indicado.

\(x^{2}+y^{2}+2x-6y+6=0\), nova origem \((-1,3)\);
\(3x^{2}+2y^{2}+12x-4y+8=0\), nova origem \((-2,1)\);
\(y^{3}-x^{2}+3y^{2}-4x+3y-3=0\), nova origem \((-2,-1)\);
\(xy-3x+4y-13=0\), nova origem \((-4,3)\).

Ver solução

Usando \(x=x'+h\) e \(y=y'+k\), obtemos, respectivamente,

\((x')^2+(y')^2=4\);
\(3(x')^2+2(y')^2=6\);
\((y')^3-(x')^2=0\);
\(x'y'=1\).

No item (c), a equação não é quadrática; ele serve apenas para praticar a regra de translação.

Exercício 2.2

Em cada item, determine uma translação que elimine os termos do primeiro grau e escreva a equação nas novas coordenadas.

\(2x^{2}+y^{2}+16x-4y+32=0\);
\(3x^{2}-2y^{2}-42x-4y+133=0\);
\(xy-x+2y-10=0\).

Ver solução

Uma escolha possível é:

origem \((-4,2)\): \(2(x')^2+(y')^2=4\);
origem \((7,-1)\): \(3(x')^2-2(y')^2=12\);
origem \((-2,1)\): \(x'y'=8\).

Exercício 2.3

Dada uma equação quadrática em duas variáveis \(Ax^2+Cxy+By^2+Dx+Ey+F=0\), prove que, se \(4AB-C^2\neq 0\), é possível eliminar os termos lineares por uma translação. Verifique que a recíproca não é verdadeira mostrando que

\[ 4x^2+y^2+4xy+2x+y=0 \]

satisfaz \(4AB-C^2=0\) e, mesmo assim, admite infinitas translações que eliminam os termos lineares.

Ver solução

Os termos lineares desaparecem quando

\[ \begin{cases} 2Ah+Ck+D=0,\\ Ch+2Bk+E=0. \end{cases} \]

O determinante desse sistema é \(4AB-C^2\), portanto a condição dada garante solução única. No exemplo,

\[ 8h+4k+2=0,\qquad 4h+2k+1=0, \]

que são a mesma equação; assim todo \((h,k)\) com \(4h+2k+1=0\) elimina os termos lineares.

Exercício 2.4

Prove que, na equação \(f(x,y)=Ax^{2}+Cxy+By^{2}+Dx+Ey+F=0\), quando a origem é transladada para \((h,k)\), o termo constante da nova equação é \(f(h,k)\).

Ver solução

Substituindo \(x=x'+h\) e \(y=y'+k\), o termo independente de \(x',y'\) é exatamente o valor obtido ao tomar \(x'=y'=0\), isto é, \(f(h,k)\).

11.3 Rotação

Sejam

\[ \mathcal{B}=(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2) \qquad \text{e}\qquad \mathcal{C}=(\boldsymbol {f}_1,\boldsymbol {f}_2), \]

onde \(\mathcal{C}\) é obtida girando a base \(\mathcal{B}\) de um ângulo \(\alpha \) no sentido anti-horário. Considere os sistemas cartesianos

\[ \Sigma =(O,\mathcal{B}), \qquad \Sigma '=(O,\mathcal{C}). \]

Se \((x,y)\) e \((x',y')\) são as coordenadas do mesmo ponto nos dois sistemas, então

\begin{align} x’& =x\cos \alpha +y\operatorname {sen}\alpha , \tag{11.3}\\ y’& =-x\operatorname {sen}\alpha +y\cos \alpha . \tag{11.4} \end{align}

Equivalentemente,

\[ \binom {x}{y} =R_\alpha \binom {x’}{y’}, \qquad R_\alpha = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\operatorname {sen}\alpha \\ \operatorname {sen}\alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}. \]

Como \(R_\alpha \) é ortogonal,

\[ R_\alpha ^{-1}=R_\alpha ^T. \]

Na notação de matrizes de mudança de base, que será sistematizada no Capítulo 12, essa convenção significa

\[ M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=R_\alpha , \qquad M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=R_\alpha ^T. \]

Figura 11.2 A rotação dos eixos pode alinhar o sistema com os eixos principais da cônica.

11.3.1 Eliminando o termo misto

Considere novamente a parte quadrática

\[ Q(x,y)=Ax^2+Cxy+By^2 =\boldsymbol {x}^TM\boldsymbol {x}, \qquad M=\begin{pmatrix} A & C/2 \\ C/2 & B \end{pmatrix}. \]

Sob a rotação \(\boldsymbol {x}=R_\alpha \boldsymbol {x}'\), temos

\[ Q=(\boldsymbol {x}')^T\bigl(R_\alpha ^TMR_\alpha \bigr)\boldsymbol {x}'. \]

Assim, a matriz da forma quadrática no novo sistema é

\[ M'=R_\alpha ^TMR_\alpha . \]

O coeficiente \(C'\) do termo \(x'y'\) é

\[ C'=C\cos (2\alpha )+(B-A)\operatorname {sen}(2\alpha ). \]

Portanto a rotação elimina o termo misto quando

\begin{equation} \label{eq:angulo-eixos-principais} C\cos (2\alpha )+(B-A)\operatorname {sen}(2\alpha )=0. \tag{11.5} \end{equation}

Se \(C\neq 0\), uma forma equivalente é

\[ \cot (2\alpha )=\frac{A-B}{C}. \]

Duas quantidades permanecem invariantes sob rotação:

\[ A'+B'=A+B \]

\[ A'B'-\frac{(C')^2}{4}=AB-\frac{C^2}{4}. \]

Em particular, o sinal de

\[ C^2-4AB \]

não depende da orientação escolhida para os eixos.

Exemplo 11.3

Considere novamente

\[ 4(x')^2-4x'y'+7(y')^2-24=0. \]

Aqui \(A=4\), \(B=7\) e \(C=-4\). A condição (11.5) pode ser escrita como

\[ \cot (2\alpha )=\frac{4-7}{-4}=\frac34. \]

Os dois coeficientes quadráticos após a rotação são \(3\) e \(8\). Escolhendo a ordem dos novos eixos de modo conveniente, obtemos

\[ 3u^2+8v^2=24, \]

\[ \frac{u^2}{8}+\frac{v^2}{3}=1. \]

Figura 11.3 No sistema de eixos principais, o exemplo revela diretamente a elipse u^2/8+v^2/3=1. — Figura 11.3 No sistema de eixos principais, o exemplo revela diretamente a elipse \(u^2/8+v^2/3=1\).

11.3.2 Eixos principais no plano

A fórmula para \(C'\) mostra que o termo misto não é uma característica intrínseca da cônica: ele pode surgir apenas porque os eixos escolhidos não estão alinhados com as direções mais simples da curva.

Teorema 11.4 (Eixos principais no plano)

Para toda equação quadrática

\[ Ax^2+Cxy+By^2+Dx+Ey+F=0, \]

existe uma rotação dos eixos cartesianos que elimina o termo misto \(xy\).

Demonstração ▼

Após uma rotação de ângulo \(\alpha \), o coeficiente do termo misto é

\[ C'=C\cos (2\alpha )+(B-A)\operatorname {sen}(2\alpha ). \]

Se \(C=0\), o termo misto já está ausente. Suponha \(C\neq 0\).

Se \(A\neq B\), podemos escolher \(\alpha \) de modo que

\[ \tan (2\alpha )=\frac{C}{A-B}; \]

para essa escolha, \(C'=0\). Se \(A=B\), basta tomar

\[ \alpha =\frac{\pi }{4}, \]

pois então \(\cos (2\alpha )=0\). Em todos os casos existe uma rotação que elimina o termo misto.

Os novos eixos são chamados eixos principais da equação quadrática. O teorema reduz o estudo de uma equação geral do segundo grau ao caso sem termo misto. Nesse caso, o completamento de quadrados determina uma translação que permite reconhecer a cônica pela forma de sua equação.

Observação 11.5

Em Álgebra Linear, o Teorema 11.4 aparece como um caso particular do teorema espectral para matrizes reais simétricas. Não precisaremos dessa teoria aqui: no plano, a fórmula trigonométrica acima fornece diretamente a rotação necessária.

Exercício 3.1

Determine as novas coordenadas dos pontos \((1,0)\) e \((0,1)\) quando os eixos coordenados são girados de \(30^\circ \).

Ver solução

Pelas fórmulas

\[ x'=x\cos 30^\circ +y\operatorname {sen}30^\circ , \qquad y'=-x\operatorname {sen}30^\circ +y\cos 30^\circ , \]

os pontos passam a ter coordenadas

\[ \left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right) \quad \text{e}\quad \left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right). \]

Exercício 3.2

Em cada item, transforme a equação por uma rotação dos eixos com o ângulo indicado.

\(2x+5y-3=0\), \(\alpha =\arctan (2/5)\);
\(x^{2}-2xy+y^{2}-x=0\), \(\alpha =45^\circ \);
\(\sqrt{3}y^{2}+3xy-1=0\), \(\alpha =60^\circ \).

Ver solução

Denotando as novas coordenadas por \((u,v)\):

\(20u+21v-3\sqrt{29}=0\);
\(2v^2-\dfrac {u}{\sqrt2}+\dfrac {v}{\sqrt2}=0\);
\(\dfrac {3\sqrt3}{2}u^2-\dfrac {\sqrt3}{2}v^2-1=0\).

Exercício 3.3

Por uma rotação dos eixos coordenados, transforme cada equação em outra sem termo misto \(xy\).

\(4x^{2}+4xy+y^{2}+\sqrt{5}x=1\);
\(9x^{2}+3xy+9y^{2}=5\);
\(x^{2}-2xy+y^{2}-4=0\);
\(16x^{2}+24xy+9y^{2}+25x=0\).

Ver solução

Uma escolha conveniente de eixos fornece:

com \(u=(2x+y)/\sqrt5\), \(v=(-x+2y)/\sqrt5\):

\[ 5u^2+2u-v=1; \]
com \(u=(x+y)/\sqrt2\), \(v=(-x+y)/\sqrt2\):

\[ 21u^2+15v^2=10; \]
com a mesma rotação de \(45^\circ \):

\[ 2v^2=4; \]
com \(u=(4x+3y)/5\), \(v=(-3x+4y)/5\):

\[ 25u^2+20u-15v=0. \]

Exercício 3.4

Prove que \(A+B\) e \(C^2-4AB\) são invariantes por rotações dos eixos.

Ver solução

Sob uma rotação, \(M'=R^TMR\). Logo

\[ \operatorname {tr}M'=\operatorname {tr}M, \qquad \det M'=\det M. \]

Como \(\operatorname {tr}M=A+B\) e \(-4\det M=C^2-4AB\), as duas quantidades são invariantes.

11.4 Equações Gerais do Segundo Grau no Plano

Considere uma equação de segundo grau

\[ Ax^2+Cxy+By^2+Dx+Ey+F=0, \]

isto é, pelo menos um entre \(A,B,C\) é não nulo. A parte quadrática é representada pela matriz simétrica

\[ M=\begin{pmatrix} A & C/2 \\ C/2 & B \end{pmatrix}. \]

Pelo Teorema 11.4, uma rotação elimina o termo misto. Completando quadrados, determinamos então uma translação que simplifica os termos lineares. Esse procedimento produz as formas canônicas estudadas no capítulo de cônicas, inclusive os casos degenerados.

O número

\[ \Delta _q=C^2-4AB=-4\det M \]

é invariante por rotações e separa os três tipos principais:

\(\Delta _q\lt 0\): tipo elíptico; após a redução podemos obter uma elipse, uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio;
\(\Delta _q=0\): tipo parabólico; podemos obter uma parábola, uma reta dupla, duas retas paralelas ou o conjunto vazio;
\(\Delta _q\gt 0\): tipo hiperbólico; podemos obter uma hipérbole ou duas retas concorrentes.

Figura 11.4 Os três tipos determinados pelo sinal de Δ _q=C^2-4AB. O sinal determina o tipo, não a degenerescência. — Figura 11.4 Os três tipos determinados pelo sinal de \(\Delta _q=C^2-4AB\). O sinal determina o tipo, não a degenerescência.

Exemplo 11.6

Alguns casos simples ilustram a classificação:

\(x^2+y^2-1=0\): circunferência, tipo elíptico;
\(x^2+2y^2-1=0\): elipse, tipo elíptico;
\(x^2+y^2=0\): ponto, tipo elíptico degenerado;
\(x^2+y^2+1=0\): conjunto vazio;
\((x+y)^2=0\): reta dupla, tipo parabólico degenerado;
\((x+y)(x+y+1)=0\): duas retas paralelas, tipo parabólico degenerado;
\(x-y^2=0\): parábola;
\(x^2-y^2=0\): duas retas concorrentes, tipo hiperbólico degenerado;
\(x^2-y^2-1=0\): hipérbole.

Figura 11.5 Alguns casos degenerados que aparecem naturalmente na classificação.

Um procedimento uniforme é:

eliminar o termo misto por uma rotação dos eixos;
completar quadrados nas variáveis cujos coeficientes quadráticos são não nulos;
fazer uma translação para chegar à forma canônica;
identificar a cônica, incluindo a possibilidade de degenerescência.

Quando \(\det M\neq 0\), também podemos inverter a ordem das operações: existe uma única translação que elimina os dois termos lineares; uma rotação elimina, em seguida, o termo misto. Quando \(\det M=0\), começar pela rotação costuma facilitar a análise.

11.4.1 Exemplo com \(\det M\neq 0\)

Retomemos

\[ x^2-5xy-11y^2-x+37y+52=0. \]

A translação \((x,y)=(x'+3,y'+1)\) produz

\[ (x')^2-5x'y'-11(y')^2+69=0. \]

Após uma rotação que elimina o termo misto, escreva os novos coeficientes quadráticos como \(A'\) e \(B'\). Pelos invariantes já obtidos,

\[ A'+B'=A+B=-10 \]

e, como \(C'=0\),

\[ A'B'=AB-\frac{C^2}{4} =-11-\frac{25}{4} =-\frac{69}{4}. \]

Logo \(A'\) e \(B'\) são as raízes de

\[ t^2+10t-\frac{69}{4}=0, \]

isto é,

\[ A'=\frac32, \qquad B'=-\frac{23}{2}, \]

possivelmente trocando a ordem dos novos eixos. Assim, nas coordenadas rotacionadas,

\[ \frac32u^2-\frac{23}{2}v^2+69=0. \]

Equivalentemente,

\[ \boxed {\frac{v^2}{6}-\frac{u^2}{46}=1,} \]

portanto a curva é uma hipérbole.

Figura 11.6 Após translação e rotação, a hipérbole do exemplo aparece em seus eixos principais.

11.4.2 Exemplo com \(\det M=0\)

Considere

\[ x^2+2xy+y^2-2x+2y=0. \]

A parte quadrática é \((x+y)^2\) e possui uma direção nula. Introduza as coordenadas rotacionadas

\[ u=\frac{x+y}{\sqrt2}, \qquad v=\frac{-x+y}{\sqrt2}. \]

Então

\[ x^2+2xy+y^2=2u^2 \]

\[ -2x+2y=2\sqrt2\, v. \]

Logo a equação se reduz a

\[ 2u^2+2\sqrt2\, v=0, \]

\[ \boxed {v=-\frac{u^2}{\sqrt2},} \]

que é uma parábola. Este exemplo mostra por que, quando \(\det M=0\), a rotação deve ser entendida antes de tentar eliminar todos os termos lineares.

Exercício 4.1

Identifique e esboce as curvas, indicando o centro ou o vértice, quando houver, e a direção dos eixos principais após rotação e translação.

\(2x^{2}+4xy+5y^{2}-8x-14y+5=0\);
\(x^{2}-5xy+13y^{2}+7x-31y-37=0\);
\(3x^{2}+12xy+8y^{2}-24x-40y+60=0\);
\(11x^{2}+6xy+3y^{2}-12x-12y-12=0\);
\(7x^{2}-8xy+y^{2}+14x-8y+16=0\);
\(6x^{2}+12xy+y^{2}-36x-6y=0\);
\(9x^{2}-15xy+y^{2}+63x=0\);
\(25x^{2}+120xy+144y^{2}+86x+233y+270=0\);
\(5x^{2}+120xy+144y^{2}-312x+130y+156=0\);
\(x^{2}-4xy+4y^{2}+3x-6y-28=0\);
\(4x^{2}+12xy+9y^{2}-2x-3y\pm 2=0\) (dois casos).

Ver solução

Uma classificação concisa é:

elipse, centro \((1,1)\); os eixos principais são paralelos a \((-2,1)\) e \((1,2)\), e a forma reduzida pode ser escrita como \(u^2/6+v^2=1\);
elipse, centro \((-1,1)\); eixos paralelos a \((5,1)\) e \((-1,5)\);
hipérbole, centro \((2,1)\); eixos paralelos a \((-3,2)\) e \((2,3)\);
elipse, centro \((0,2)\); eixos paralelos a \((-1,3)\) e \((3,1)\);
hipérbole, centro \((-1,0)\); eixos paralelos a \((1,2)\) e \((-2,1)\);
hipérbole, centro \((0,3)\); eixos paralelos a \((-2,3)\) e \((3,2)\);
hipérbole, centro \((2/3,5)\); eixos paralelos a \((3,5)\) e \((-5,3)\);
parábola; a parte quadrática é \((5x+12y)^2\), e o eixo da parábola é paralelo a \((-12,5)\);
hipérbole, centro \((-2197/240,\, 1937/576)\); uma rotação com \(\cot (2\alpha )=-139/120\) fornece os eixos principais;
duas retas paralelas:

\[ x-2y=4 \qquad \text{e}\qquad x-2y=-7; \]
escrevendo \(w=2x+3y\): para o sinal \(+\), \(w^2-w+2=0\) não tem raízes reais, portanto o conjunto é vazio; para o sinal \(-\), \(w^2-w-2=0\), logo

\[ 2x+3y=2 \qquad \text{ou}\qquad 2x+3y=-1. \]

Exercício 4.2

Classifique geometricamente os casos degenerados abaixo e compare o sinal de \(\Delta _q=C^2-4AB\).

\[ x^2+y^2=0, \qquad x^2+y^2+1=0, \qquad (x+y)^2=0, \]

\[ (x+y)(x+y+1)=0, \qquad x^2-y^2=0. \]

Ver solução

Os conjuntos são, respectivamente: um ponto; o conjunto vazio; uma reta dupla; duas retas paralelas; duas retas concorrentes. Os dois primeiros são de tipo elíptico, os dois seguintes de tipo parabólico e o último de tipo hiperbólico.

Exercício 4.3

Explique por que o sinal de \(\Delta _q\) determina o tipo elíptico, parabólico ou hiperbólico, mas não decide sozinho se a cônica é não degenerada nem mesmo se possui pontos reais.

Ver solução

O sinal de \(\Delta _q\) depende apenas da parte quadrática. Por exemplo,

\[ x^2+y^2=1, \qquad x^2+y^2=0, \qquad x^2+y^2=-1 \]

têm o mesmo valor \(\Delta _q=-4\), mas representam, respectivamente, uma circunferência, um ponto e o conjunto vazio. É preciso examinar também os termos lineares e o termo constante após a redução.