Produtos Tensoriais e Álgebra Multilinear
Uma aplicação linear recebe um vetor por vez. Muitas operações naturais, entretanto, dependem linearmente de várias entradas: o produto de polinômios, a multiplicação de matrizes, o determinante e as formas bilineares estudadas no Capítulo 15 são exemplos fundamentais. O produto tensorial é a construção que permite tratar essas operações multilineares por meio das ferramentas usuais da álgebra linear.
A propriedade que caracteriza o produto tensorial é a correspondência entre aplicações bilineares e transformações lineares. Uma aplicação bilinear
passará a ser representada por uma única transformação linear
O símbolo \(\bm {v}\otimes \bm {w}\) não representa um par ordenado nem um produto numérico. Ele é um vetor de um novo espaço, construído precisamente para que a igualdade acima faça sentido.
Para uma apresentação clássica e sistemática de álgebra multilinear, veja Greub (1978).
Neste capítulo trabalharemos sempre sobre um mesmo corpo \(\mathbb {K}\). Quando tratarmos da decomposição entre partes simétrica e alternada, suporemos \(\operatorname {char}(\mathbb {K})\neq 2\). Salvo indicação em contrário, os espaços envolvidos serão de dimensão finita; a construção do produto tensorial, contudo, não depende dessa hipótese.
16.1 Aplicações Multilineares
O ponto de partida é ampliar a bilinearidade para qualquer número finito de variáveis.
Se \(F\) é alternada, trocar duas entradas troca o sinal de seu valor. De fato, expandindo por multilinearidade uma entrada duplicada, obtemos
Em característica diferente de \(2\), vale a recíproca; em característica \(2\), ela pode falhar, como já vimos na Proposição 15.29.
Para \(r=1\), recuperamos as transformações lineares; para \(r=2\), recuperamos as aplicações bilineares. Como na situação bilinear, uma aplicação multilinear se anula sempre que uma de suas entradas é o vetor nulo.
Em dimensão finita, os valores de uma aplicação multilinear nos vetores de bases determinam todos os seus valores.
Escreva cada entrada na base correspondente:
Se \(F\) existir, sua multilinearidade obrigará
Essa fórmula define uma aplicação multilinear com os valores prescritos e, como qualquer outra aplicação com a mesma propriedade teria de satisfazer a mesma expansão, também prova a unicidade.
Verifique a multilinearidade das aplicações abaixo, indicando seus domínios e contradomínios: \((p,q)\mapsto pq\), de \(\mathcal P_n(\mathbb {K})\times \mathcal P_m(\mathbb {K})\) em \(\mathcal P_{n+m}(\mathbb {K})\); \(F(x,y,z)=x_1y_1z_1+x_2y_2z_2\) e \(G(x,y,z)=x_1y_2z_1\), de \((\mathbb {R}^2)^3\) em \(\mathbb {R}\); \((f_1,\ldots ,f_r)\mapsto \int _a^b\prod _i f_i(x)\, dx\), de \(C([a,b])^r\) em \(\mathbb {R}\); \((f_1,\ldots ,f_r)\mapsto (\prod _i f_i)'\), de \(C^1([a,b])^r\) em \(C([a,b])\); \((v_1,\ldots ,v_r)\mapsto \prod _i\ell _i(v_i)\), para \(\ell _i\in V^*\); \(\Delta ((a,b),(c,d))=ad-bc\), de \((\mathbb {R}^2)^2\) em \(\mathbb {R}\). Prove também que \(\Delta \) é alternada. Mostre que \(G\) pode se anular em uma tripla de vetores não nulos.
Prove que somas e múltiplos escalares de aplicações \(r\)-lineares são \(r\)-lineares, assim como a composição com uma transformação linear no contradomínio.
Se \(f\) e \(g\) são formas de graus \(p\) e \(q\), prove que \((f\boxtimes g)(v_1,\ldots ,v_p,w_1,\ldots ,w_q)=f(v_1,\ldots ,v_p)g(w_1,\ldots ,w_q)\) é \((p+q)\)-linear.
Prove que as aplicações simétricas, antissimétricas e alternadas formam subespaços do espaço de aplicações multilineares. Mostre que uma aplicação alternada se anula em famílias dependentes.
Em característica diferente de \(2\), decomponha uma aplicação bilinear como soma única de uma parte simétrica e uma parte antissimétrica.
Para uma aplicação \(r\)-linear \(f:V^r\to W\) e \(\sigma \in S_r\), defina \(f^\sigma (v_1,\ldots ,v_r)=f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (r)})\). Determine \((f^\sigma )^\rho \) usando a convenção \((\rho \circ \sigma )(i)=\rho (\sigma (i))\). Prove que essa operação preserva multilinearidade e combinações lineares. Mostre que simetria e antissimetria podem ser verificadas somente nas transposições.
Dê um exemplo de aplicação bilinear cuja imagem não seja um subespaço de seu contradomínio. Compare sua imagem com a imagem da transformação linear induzida pelo produto tensorial.
Prove que \(\mu :\mathbb {R}^2\times \mathbb {R}^2\to \mathbb {R}^2\), dada por \(\mu ((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(x_1y_1-x_2y_2,x_1y_2+x_2y_1)\), é bilinear e que \(\mu (x,y)=0\) implica \(x=0\) ou \(y=0\).
16.2 O Problema que o Produto Tensorial Resolve
Considere uma aplicação bilinear \(B:V\times W\to Z\). Embora \(V\times W\) seja um espaço vetorial, \(B\) não é em geral linear nesse espaço. De fato,
contém quatro termos, enquanto a linearidade no par produziria apenas dois. Queremos substituir \(V\times W\) por um espaço no qual a bilinearidade de \(B\) se torne linearidade ordinária.
No diagrama, a propriedade afirma que toda aplicação bilinear definida em \(V\times W\) se fatora de maneira única pelo produto tensorial: 
A correspondência \(B\mapsto \widetilde B\) é bijetiva: sua inversa envia \(L:V\otimes W\to Z\) em \(L\circ \tau \). Ela também é linear, pois a unicidade da fatoração implica
Portanto, a propriedade universal pode ser escrita como o isomorfismo natural
O lado esquerdo envolve apenas transformações lineares; o lado direito reúne as aplicações bilineares que desejamos compreender.
Pela universalidade de \((T,\tau )\) aplicada a \(\tau '\), existe uma única transformação linear \(S:T\to T'\) tal que \(S\circ \tau =\tau '\). Analogamente, existe uma única transformação linear \(R:T'\to T\) tal que \(R\circ \tau '=\tau \).
Temos
A unicidade na propriedade universal implica \(RS=\operatorname {I}_T\). Da mesma forma, \(SR=\operatorname {I}_{T'}\). Logo, \(S\) é um isomorfismo, com inversa \(R\), e sua própria unicidade já foi obtida na primeira aplicação da propriedade universal.
Esse resultado permite falar em o produto tensorial sem escolher uma realização particular. Ainda precisamos mostrar que ele existe.
16.3 Construção e Cálculo com Tensores
A construção seguinte começa com símbolos formais e impõe exatamente as relações necessárias para que o mapa \((\bm {v},\bm {w})\mapsto \bm {v}\otimes \bm {w}\) seja bilinear.
Seja \(F(V\times W)\) o espaço vetorial livre sobre o conjunto \(V\times W\): concretamente, seus elementos são combinações lineares finitas de símbolos \([\bm {v},\bm {w}]\), e esses símbolos formam uma base. Seja \(R\) o subespaço gerado pelos vetores
onde os vetores e o escalar \(a\) são arbitrários. Definimos
e denotamos por \(\bm {v}\otimes \bm {w}\) a classe de \([\bm {v},\bm {w}]\) nesse quociente.
Pela definição de \(R\), as quatro famílias de relações acima tornam-se igualdades no quociente. Logo, \(\tau \) é bilinear.
Seja agora \(B:V\times W\to Z\) uma aplicação bilinear. Como \(F(V\times W)\) é livre sobre \(V\times W\), existe uma única transformação linear
A bilinearidade de \(B\) mostra que cada gerador de \(R\) pertence a \(\ker L\). Assim, \(R\subseteq \ker L\), e a Propriedade Universal do Quociente, Teorema 5.17, fornece uma única transformação linear
com \(\widetilde B(\bm {v}\otimes \bm {w})=B(\bm {v},\bm {w})\). Como os tensores \(\bm {v}\otimes \bm {w}\) geram o quociente, essa condição também garante a unicidade de \(\widetilde B\).
Da construção obtemos imediatamente as regras de cálculo fundamentais:
Em particular,
Uma das implicações segue das regras de cálculo. Para a recíproca, suponha \(\bm {v}\neq \vec0\) e \(\bm {w}\neq \vec0\). Escolha funcionais \(f\in V^*\) e \(g\in W^*\) tais que \(f(\bm {v})=g(\bm {w})=1\). A forma bilinear \((\bm {x},\bm {y})\mapsto f(\bm {x})g(\bm {y})\) induz um funcional em \(V\otimes W\) que assume o valor \(1\) em \(\bm {v}\otimes \bm {w}\). Logo, \(\bm {v}\otimes \bm {w}\neq \vec0\).
16.4 Bases e Tensores Puros
O próximo resultado descreve uma base de \(V\otimes W\) a partir de bases de \(V\) e de \(W\). Ele permite calcular a dimensão do produto tensorial e escrever seus elementos em coordenadas.
As regras de cálculo mostram que todo tensor puro é combinação linear dos vetores \(\bm {v}_i\otimes \bm {w}_j\). Como os tensores puros geram \(V\otimes W\), essa família gera o espaço.
Para provar a independência linear, sejam \(\bm {v}_1^\ast ,\ldots ,\bm {v}_m^\ast \) e \(\bm {w}_1^\ast ,\ldots ,\bm {w}_n^\ast \) as bases duais. Para cada par \((k,\ell )\), a forma bilinear
induz um funcional \(\widetilde B_{k\ell }\) em \(V\otimes W\). Se
aplicar \(\widetilde B_{k\ell }\) fornece \(a_{k\ell }=0\). Como isso vale para todo par, a família é linearmente independente.
Assim, todo \(z\in V\otimes W\) possui uma expressão única
Os coeficientes \(a_{ij}\) podem ser organizados em uma matriz. Essa observação fornece nosso exemplo recorrente.
Na identificação com matrizes, um tensor puro \(\bm {u}\otimes \bm {w}\) corresponde ao produto de um vetor-coluna por um vetor-linha e, portanto, tem posto no máximo um. Assim, uma soma de \(r\) tensores puros produz uma matriz de posto no máximo \(r\). Reciprocamente, uma matriz de posto \(r\) é soma de \(r\) matrizes de posto um; pela identificação inversa, o tensor é soma de \(r\) tensores puros. Os dois postos são, portanto, iguais.
Quando as bases são ortonormais, aplicamos o Teorema 14.37 à matriz de coeficientes. A decomposição \(A=Q\Sigma P^{\mathrm{t}}\) se traduz exatamente na expressão exibida, com os vetores singulares como fatores. A minimalidade decorre da primeira parte.
O produto interno dos fatores induz em \(V\otimes W\) o produto interno caracterizado por
Assim, os termos da decomposição anterior são ortogonais. Essa é a ligação entre o posto tensorial e a decomposição em valores singulares estudada no Capítulo 14. Para três ou mais fatores, a situação se torna consideravelmente mais delicada: não existe uma forma canônica análoga à SVD.
Em \(\mathbb {R}^2\otimes \mathbb {R}^2\), considere
Sob a identificação com \(\mathcal{M}_{2, 2}(\mathbb {R})\), esse tensor corresponde à matriz identidade. Como essa matriz tem posto dois, \(z\) não pode ser escrito na forma \(\bm {u}\otimes \bm {v}\).
Em contraste,
é puro; sua matriz de coeficientes tem posto um.
Uma implicação é imediata. Para a outra, escreva \(z-z'\) na base \(\bm {v}_i\otimes \bm {w}_j\) e use as formas \(B_{ij}\) construídas na prova do Teorema 16.19. Elas recuperam individualmente todos os coeficientes de \(z-z'\).
16.5 Transformações Lineares e Produtos Tensoriais
Se \(S:V\to V'\) e \(T:W\to W'\) são transformações lineares, a aplicação
é bilinear. A propriedade universal produz a transformação seguinte.
\(\operatorname {I}_V\otimes \operatorname {I}_W=\operatorname {I}_{V\otimes W}\);
\((S_2\circ S_1)\otimes (T_2\circ T_1) =(S_2\otimes T_2)\circ (S_1\otimes T_1)\);
se \(S\) e \(T\) são isomorfismos, então \(S\otimes T\) é um isomorfismo e
\[ (S\otimes T)^{-1}=S^{-1}\otimes T^{-1}; \]em dimensão finita,
\[ \operatorname {posto}(S\otimes T)=\operatorname {posto}(S)\operatorname {posto}(T). \]
Nos três primeiros itens, basta verificar as igualdades nos tensores puros, que geram o domínio. Por exemplo,
Para o último item, observe que
pois ambos os lados são gerados pelos tensores \(S(\bm {v})\otimes T(\bm {w})\). O Teorema 16.19 fornece então \(\dim \operatorname {im}(S\otimes T)=\dim \operatorname {im}(S)\dim \operatorname {im}(T)\), que é a igualdade desejada.
Em bases, o produto tensorial de transformações aparece como o produto de Kronecker de matrizes.
A coluna de índice \((j,\ell )\) é o vetor de coordenadas de
Sua entrada de índice \((i,k)\) é \(a_{ij}b_{k\ell }\), exatamente a entrada correspondente do bloco \(a_{ij}B\).
Os isomorfismos seguintes são canônicos; suas fórmulas nos tensores puros determinam completamente as transformações.
A associatividade requer duas aplicações sucessivas da propriedade universal. Fixado \(\bm {u}\in U\), a aplicação \((\bm {v},\bm {w})\mapsto \bm {v}\otimes (\bm {w}\otimes \bm {u})\) é bilinear e induz uma transformação \(L_{\bm {u}}:V\otimes W\to V\otimes (W\otimes U)\). A dependência de \(L_{\bm {u}}\) em \(\bm {u}\) é linear; logo \((z,\bm {u})\mapsto L_{\bm {u}}(z)\) é bilinear e induz a transformação do primeiro isomorfismo. Repetindo o argumento com os parênteses invertidos, obtemos sua inversa.
Nos outros três casos, cada fórmula e sua fórmula inversa provêm diretamente de aplicações bilineares. As composições fixam todos os tensores puros; como estes geram os espaços envolvidos, são as identidades. No terceiro isomorfismo, escrevemos os elementos da soma direta externa \(V\boxplus W\) como pares \((\bm {v},\bm {w})\).
Graças ao primeiro isomorfismo, escreveremos produtos com três ou mais fatores sem indicar parênteses. O segundo isomorfismo não afirma que \(\bm {v}\otimes \bm {w}=\bm {w}\otimes \bm {v}\): em geral, esses vetores pertencem a espaços diferentes. Ele afirma que existe uma identificação natural entre os dois espaços.
Construa, sem escolher bases, o isomorfismo \(V\otimes W\to W\otimes V\) que envia \(v\otimes w\) a \(w\otimes v\). Descreva-o também em bases e, no caso finito, compare as dimensões. Explique por que a igualdade de dimensões, sozinha, não identifica o isomorfismo canônico.
Seja \(\mathcal F_0(X,\mathbb {K})\) o espaço das funções de suporte finito. Prove o isomorfismo canônico
Quando \(X,Y\) são finitos, deduza a mesma afirmação para todas as funções. Mostre que essa versão para funções arbitrárias pode falhar se ambos os conjuntos forem infinitos.
Se \(S:V\to V'\) e \(T:W\to W'\) têm matrizes \(A,B\), ordene as bases tensoriais lexicograficamente, com o primeiro índice como índice externo.
Prove que \([S\otimes T]=A\otimes B=(a_{ij}B)_{ij}\).
Prove \((C\otimes D)(A\otimes B)=CA\otimes DB\) para composições compatíveis. Deduza \((A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}\) quando \(A,B\) são invertíveis.
Verifique linearidade em cada fator e \(I_V\otimes I_W=I_{V\otimes W}\).
Para matrizes quadradas de ordens \(n,m\), prove \(\operatorname {tr}(A\otimes B)=\operatorname {tr}A\operatorname {tr}B\) e \(\det (A\otimes B)=(\det A)^m(\det B)^n\).
Sejam \(V,W\) de dimensões \(m,n\) e bases \(\mathcal B,\mathcal C\). Prove que \(\phi (v,w)=[v]_{\mathcal B}[w]_{\mathcal C}^t\) torna \(M_{m\times n}(\mathbb {K})\) um produto tensorial de \(V,W\). Explicite a fatoração de qualquer aplicação bilinear \(F:V\times W\to Z\).
Sejam \(V_1,V_2\subseteq V\) e \(W_1,W_2\subseteq W\). Usando as inclusões canônicas no produto tensorial, prove
Sejam \(V,W\) finitos, com \(\dim W\geq 1\), e \(T:V\to V\). Para \(S=T\otimes I_W\), prove \(p(S)=p(T)\otimes I_W\). Mostre que \(p(S)=0\) se, e somente se, \(p(T)=0\), e conclua que \(S\) e \(T\) têm o mesmo polinômio minimal e são diagonalizáveis simultaneamente (isto é, um é diagonalizável se, e somente se, o outro é).
16.6 Dualidade, Operadores e Contrações
O produto tensorial permite descrever relações entre espaços duais, formas bilineares e operadores por meio de isomorfismos independentes de bases.
A aplicação \((f,\bm {w})\mapsto (\bm {v}\mapsto f(\bm {v})\bm {w})\) é bilinear e, portanto, induz \(\Phi \). Se \(\underline{\textsc{v}}=(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_m)\) é uma base de \(V\), com base dual \((\bm {v}_1^\ast ,\ldots ,\bm {v}_m^\ast )\), e \(\underline{\textsc{w}}=(\bm {w}_1,\ldots ,\bm {w}_n)\) é uma base de \(W\), então \(\Phi (\bm {v}_i^\ast \otimes \bm {w}_j)\) é a transformação que leva \(\bm {v}_i\) a \(\bm {w}_j\) e anula os demais vetores da base. Essas transformações são as que correspondem às matrizes elementares e, pelo Teorema 4.47, formam uma base de \(\operatorname {Hom}(V,W)\). Assim, \(\Phi \) leva uma base em uma base e é um isomorfismo.
Há também um isomorfismo canônico
que envia um funcional \(\lambda \) à forma \((\bm {v},\bm {w})\mapsto \lambda (\bm {v}\otimes \bm {w})\). Em dimensão finita, o Teorema 16.31 e o Teorema 15.18 fornecem a cadeia
Sob o isomorfismo \(V^*\otimes V\cong \operatorname {Hom}(V,V)\), a contração é exatamente o traço.
Para um operador de posto um \(T(\bm {x})=f(\bm {x})\bm {v}\), o caso \(\bm {v}=\vec0\) é imediato. Se \(\bm {v}\neq \vec0\), escolha uma base cujo primeiro vetor seja \(\bm {v}\). A soma dos elementos diagonais da matriz de \(T\) é \(f(\bm {v})\). O resultado geral segue pela linearidade do traço e da contração.
Construa a única transformação \(\Gamma :V\otimes W\to \operatorname {Hom}(V^*,W)\) com \(\Gamma (v\otimes w)(f)=f(v)w\). Prove que ela é injetiva e descreva sua imagem como os operadores de posto finito cujos funcionais coordenados pertencem à imagem canônica de \(V\) em \(V^{**}\). Mostre que, se \(V\) e \(W\) forem finitos, \(\Gamma \) é um isomorfismo.
Construa o mapa canônico
Prove que é injetivo e que é um isomorfismo quando todos os fatores têm dimensão finita. Dê um exemplo em que não seja sobrejetivo em dimensão infinita.
Para \(\dim V\lt \infty \), prove que \(V\otimes W\simeq V^*\otimes W\) escolhendo uma base de \(V\). Explique qual escolha entra na construção e por que não se deve afirmar essa equivalência para espaços arbitrários sem uma hipótese adicional.
16.7 Potências Tensoriais e Tipos de Tensores
Os isomorfismos associativos do Teorema 16.30 permitem definir
Se \(\dim V=n\) e \(\underline{\textsc{e}}=(\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n)\), então os vetores
formam uma base de \(V^{\otimes r}\); portanto,
Aplicamos repetidamente a propriedade universal bilinear e o isomorfismo associativo do Teorema 16.30. Equivalentemente, podemos repetir a construção por quociente do Teorema 16.14, impondo linearidade em cada uma das \(r\) entradas. Em ambos os casos, os tensores puros \(\bm {v}_1\otimes \cdots \otimes \bm {v}_r\) geram o domínio e garantem a unicidade.
vetores são tensores de tipo \((1,0)\);
funcionais são tensores de tipo \((0,1)\);
formas bilineares são tensores de tipo \((0,2)\);
operadores lineares são tensores de tipo \((1,1)\);
formas \(r\)-lineares são tensores de tipo \((0,r)\).
Se \(\underline{\textsc{e}}=(\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n)\) e \((\bm {e}_1^\ast ,\ldots ,\bm {e}_n^\ast )\) é a base dual, todo \(T\in \mathcal T^1_2(V)\) se escreve de modo único como
Os índices superiores registram fatores em \(V\) e os inferiores, fatores em \(V^*\).
Se \(\bm {e}'_j=\sum _iP_{ij}\bm {e}_i\) e \(Q=P^{-1}\), então \((\bm {e}'_j)^\ast =\sum _iQ_{ji}\bm {e}_i^\ast \), e as coordenadas mudam segundo
Um índice superior transforma-se por \(Q\) e um inferior, por \(P\). Essa lei não é uma definição de tensor: é consequência da mudança simultânea das bases de \(V\) e de \(V^*\).
A avaliação entre um fator \(V^*\) e um fator \(V\) permite contrair qualquer tensor de tipo \((p,q)\), produzindo um tensor de tipo \((p-1,q-1)\). Em termos intrínsecos, usamos os isomorfismos de troca e associatividade para aproximar os dois fatores escolhidos e aplicamos \(\operatorname {contr}:V^*\otimes V\to \mathbb {K}\). Como todas essas transformações são canônicas, a operação não depende de bases. Em coordenadas, ela corresponde a igualar um índice superior e um inferior e somar sobre esse índice.
Seja \(V\) de dimensão \(n\gt 0\), com base \((e_i)\) e base dual \((e^i)\). Determine os tipos de \(v\otimes w\), \(f\otimes h\) e \(v\otimes f\), para \(v,w\in V\) e \(f,h\in V^*\). Escreva seus componentes na base correspondente. Uma aplicação bilinear \(B:V\times V\to V\) satisfaz \(B(e_j,e_k)=\sum _i b^i_{jk}e_i\). Escreva o tensor que representa \(B\) e conte seus componentes independentes, sem impor simetria. Dê uma base de \(\mathcal T^p_q(V)\) e determine sua dimensão, incluindo \(p=q=0\).
Em \(\mathbb R^2\), use a base canônica \((e_1,e_2)\) e a nova base \(e'_1=e_1\), \(e'_2=e_1+e_2\). Considere
Aqui \(A\) é um operador e \(b\) uma forma bilinear. Determine as novas coordenadas de \(v,f,A,b\). Confirme numericamente que \(f(v)\) e \(b(v,v)\) não mudam. Explique por que as regras para \(A\) e \(b\) são diferentes.
Para \(T\in V\otimes V\otimes V^*\), defina em tensores puros
Justifique que essas fórmulas definem aplicações lineares independentes da base. Se \(T=\sum _{i,j,k}T^{ij}_k e_i\otimes e_j\otimes e^k\), escreva os componentes de \(C_1(T)\) e \(C_2(T)\). Calcule ambos para
em um espaço de dimensão dois. As duas contrações têm sempre o mesmo resultado?
Seja \(S\in \mathcal T^2_2(V)\), com componentes \(S^{ij}_{k\ell }\). Considere as contrações completas
Prove que ambas são independentes da base. Para operadores \(A,B:V\to V\), forme o tensor de componentes \(S^{ij}_{k\ell }=A^i_kB^j_\ell \). Expresse \(c(S)\) e \(d(S)\) em termos de traços. As duas contrações coincidem para quaisquer \(A,B\)? Dê um exemplo em dimensão dois.
Seja \(V\) um espaço vetorial real de dimensão finita e \(g\) uma forma bilinear simétrica não degenerada, de matriz \(G=(g_{ij})\). Defina \(v^\flat =g(v,\cdot )\in V^*\).
Mostre que \(v\mapsto v^\flat \) é um isomorfismo e escreva as fórmulas para abaixar e levantar um índice usando \(G\) e \(G^{-1}\).
Para \(G=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) e \(v=(1,2)^T\), calcule \(v^\flat \) e recupere \(v\).
Sob \(e'_j=\sum _iP_{ij}e_i\), prove que a coluna de componentes de \(v^\flat \) transforma-se por \(P^T\). Explique por que simplesmente manter os componentes de \(v\) não define, em geral, um covetor independente da base.
16.8 Simetria, Alternância e
Potências Exteriores
Considere o operador de troca
Suponha nesta primeira parte que \(\operatorname {char}(\mathbb {K})\neq 2\). Como \(\sigma ^2=\operatorname {I}_{V\otimes V}\), seus autovalores possíveis são \(1\) e \(-1\), que são distintos nessa característica.
Os operadores
são projeções complementares.
Todo tensor admite a decomposição
A primeira parcela é simétrica e a segunda é antissimétrica. Um tensor que pertence aos dois subespaços satisfaz \(z=-z\), portanto \(2z=0\) e \(z=0\).
Para uma base \((\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n)\), escreva \(z=\sum _{i,j}a_{ij}\bm {e}_i\otimes \bm {e}_j\). A igualdade \(\sigma (z)=z\) equivale a \(a_{ij}=a_{ji}\); portanto, a parte simétrica é gerada por
Analogamente, \(\sigma (z)=-z\) equivale a \(a_{ij}=-a_{ji}\) e, como \(2a_{ii}=0\), a parte antissimétrica é gerada por
Em cada lista, a comparação dos coeficientes na base \((\bm {e}_i\otimes \bm {e}_j)\) mostra imediatamente a independência linear. As listas são, portanto, bases, e sua contagem fornece as dimensões.
Essa decomposição é especial do grau dois. Se, em potências maiores, chamarmos de totalmente simétricos os tensores fixados por todas as permutações e de totalmente antissimétricos os que mudam pelo sinal da permutação, em geral esses dois subespaços não esgotam \(V^{\otimes r}\). Por exemplo, para \(V=\mathbb {R}^2\),
Logo, \(V^{\otimes 3}\neq \operatorname {Sym}^3(V)\oplus \operatorname {Alt}^3(V)\).
Para graus maiores, é mais natural caracterizar diretamente o objeto que lineariza aplicações alternadas.
Seja \(R_r\) o subespaço de \(V^{\otimes r}\) gerado pelos tensores puros \(\bm {v}_1\otimes \cdots \otimes \bm {v}_r\) nos quais duas entradas são iguais. Tome
e denote por \(\bm {v}_1\wedge \cdots \wedge \bm {v}_r\) a classe de \(\bm {v}_1\otimes \cdots \otimes \bm {v}_r\). A aplicação que envia uma \(r\)-upla nessa classe é multilinear e alternada.
Se \(F:V^r\to Z\) é multilinear e alternada, o Teorema 16.37 fornece uma transformação linear \(L:V^{\otimes r}\to Z\) com \(L(\bm {v}_1\otimes \cdots \otimes \bm {v}_r)=F(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_r)\). A alternância implica \(R_r\subseteq \ker L\); pelo Teorema 5.17, \(L\) se fatora de modo único pelo quociente. Essa é a propriedade universal da Definição 16.43.
Como a aplicação universal é alternada,
A segunda igualdade é a regra de troca deduzida após a Definição 16.2. Quando \(\operatorname {char}(\mathbb {K})\neq 2\), a aplicação
identifica canonicamente \(\bigwedge ^2V\) com o subespaço \(\operatorname {Alt}^2(V)\) definido acima.
Pela multilinearidade, os produtos exteriores dos vetores da base geram \(\bigwedge ^rV\). Um produto com índice repetido é nulo; trocando fatores, podemos ordenar os índices ao custo do sinal da permutação. Logo, os vetores indicados geram.
Para a independência linear, para cada sequência \(I=(i_1\lt \cdots \lt i_r)\) considere a forma alternada que associa a \((\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_r)\) o determinante da submatriz formada pelas coordenadas nas linhas \(i_1,\ldots ,i_r\). A transformação linear induzida em \(\bigwedge ^rV\) vale \(1\) no vetor de índice \(I\) e \(0\) nos demais vetores da família. Portanto, todos os coeficientes de uma relação linear são nulos.
A operação está bem definida nas classes do quociente. Uma maneira conceitual de ver isso é considerar a álgebra tensorial
e o ideal bilateral gerado pelos elementos \(\bm {v}\otimes \bm {v}\). O quociente por esse ideal possui multiplicação induzida pela concatenação; sua componente homogênea de grau \(r\) satisfaz a mesma propriedade universal que \(\bigwedge ^rV\) e, portanto, identifica-se canonicamente com a potência exterior construída acima. Assim, a concatenação de representantes induz uma operação associativa em \(\bigwedge V\), independentemente dos representantes escolhidos.
Se \(\alpha \in \bigwedge ^pV\) e \(\beta \in \bigwedge ^qV\) são homogêneos, mover os \(p\) fatores de \(\alpha \) através dos \(q\) fatores de \(\beta \) fornece
Além disso, o Teorema 16.45 e o binômio de Newton dão
A aplicação \(V^r\to \bigwedge ^rW\) que envia \((\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_r)\) em \(T\bm {v}_1\wedge \cdots \wedge T\bm {v}_r\) é multilinear e alternada. Pela propriedade universal, ela induz uma única transformação linear
Escolha uma base \((\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n)\) de \(V\). Pelo Teorema 16.45, \(\bm {e}_1\wedge \cdots \wedge \bm {e}_n\) é uma base de \(\bigwedge ^nV\), e basta calcular a imagem desse vetor. Escrevendo \(A=[T]_{\underline{\textsc{e}}}=(a_{ij})\), temos \(T\bm {e}_j=\sum _i a_{ij}\bm {e}_i\); logo, a multilinearidade fornece
Pela alternância, as parcelas com algum índice repetido se anulam. Restam as que correspondem a uma permutação \(\sigma \in S_n\), e reordenar os fatores custa \(\operatorname {sgn}(\sigma )\). Portanto,
pela fórmula de Leibniz. Como \(\det A=\det T\), concluímos que \(\bigwedge ^nT=(\det T)\operatorname {I}_{\bigwedge ^nV}\).
Retomamos aqui o determinante definido no Capítulo 9. O determinante, introduzido ali a partir de matrizes, admite assim uma descrição intrínseca: é o escalar pelo qual o operador induzido age na potência exterior de grau máximo, que tem dimensão um. Essa descrição relaciona a construção multilinear às propriedades do determinante estudadas anteriormente.
Fundamentos
Verifique diretamente que a aplicação
é trilinear. Determine seus oito coeficientes na base canônica.
Mostre que \((\bm {u},\bm {v})\mapsto \bm {u}+\bm {v}\) não é bilinear, exceto no espaço vetorial nulo.
Expanda
na base \(\bm {e}_i\otimes \vec f_j\).
Prove diretamente, usando a propriedade universal, que \(V\otimes \mathbb {K}\cong V\).
Em \(\mathbb {R}^2\otimes \mathbb {R}^2\), determine quais dos tensores seguintes são puros:
\(\bm {e}_1\otimes \bm {e}_1+\bm {e}_1\otimes \bm {e}_2\);
\(\bm {e}_1\otimes \bm {e}_1+\bm {e}_2\otimes \bm {e}_2\);
\(\bm {e}_1\otimes \bm {e}_1+2\bm {e}_1\otimes \bm {e}_2 +2\bm {e}_2\otimes \bm {e}_1+4\bm {e}_2\otimes \bm {e}_2\).
Consolidação
Se \(z\in V\otimes W\) tem posto tensorial \(r\) e \(a\neq 0\), prove que \(az\) também tem posto \(r\).
Se \(S:V\to V'\) e \(T:W\to W'\) são sobrejetivas, prove que \(S\otimes T\) é sobrejetiva. Faça o mesmo para injetividade em dimensão finita.
Se \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) e \(B\in \mathcal{M}_{q, q}(\mathbb {K})\), a fórmula geral é \(\det (A\otimes B)=\det (A)^q\det (B)^n\). Calcule \(A\otimes B\) e verifique a fórmula no caso \(n=q=2\), para
Descreva explicitamente o isomorfismo
e escreva sua inversa.
Seja \(T:\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}^3\) representada na base canônica por
Escreva o tensor de \((\mathbb {R}^2)^*\otimes \mathbb {R}^3\) correspondente a \(T\).
Prove diretamente que o traço do operador de posto um \(\bm {x}\mapsto f(\bm {x})\bm {v}\) é \(f(\bm {v})\).
Aprofundamento
Para \(\bm {u}=(1,2,0)\) e \(\bm {v}=(0,1,3)\), calcule \(\bm {u}\wedge \bm {v}\) na base
Mostre que \(\bm {u}_1\wedge \cdots \wedge \bm {u}_r=0\) se os vetores \(\bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_r\) são linearmente dependentes. Prove a recíproca usando o Teorema 16.45.
Se \(T:V\to V\) tem posto menor que \(r\), prove que \(\bigwedge ^rT=0\).
Seja \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) e, para \(1\leq i\leq n\), defina
Mostre que a matriz de \(\bigwedge ^{n-1}A\) na base \((\omega _1,\ldots ,\omega _n)\) é a matriz dos cofatores de \(A\). Conclua que sua transposta é a matriz adjugada de \(A\).
Fixe \(r\geq 1\) e suponha que \(r!\) seja invertível em \(\mathbb {K}\). Denote por \(P_\sigma \) o operador que permuta os fatores de \(V^{\otimes r}\) e defina \(S_r=\frac1{r!}\sum _{\sigma \in \mathfrak S_r}P_\sigma \). Prove que \(S_r\) é uma projeção sobre os tensores invariantes por todas as permutações. Calcule \(S_2(e_1\otimes e_1)\), \(S_2(e_1\otimes e_2)\), \(S_3(e_1^{\otimes 3})\) e \(S_3(e_1\otimes e_2\otimes e_3)\). Nos cálculos, suponha que os vetores da base indicados existam. Determine \(\dim \operatorname {im}S_r\) quando \(\dim V=n\geq 1\) e o valor de \(S_r\) em um tensor totalmente antissimétrico quando \(r\geq 2\).
Sob a hipótese de invertibilidade de \(r!\), defina \(A_r=\frac1{r!}\sum _\sigma \operatorname {sgn}(\sigma )P_\sigma \). Prove que é uma projeção sobre os tensores totalmente antissimétricos, identifique sua imagem com \(\bigwedge ^rV\) e calcule sua ação em tensores simétricos para \(r\geq 2\). Deduza \(\dim \bigwedge ^rV\) e \(\dim \bigwedge V\) para \(\dim V=n\).
Suponha que os fatoriais utilizados sejam invertíveis. Na realização das potências exteriores como tensores antissimétricos pela média \(A_r\), defina \(\alpha \star \beta =A_{p+q}(\alpha \otimes \beta )\) para graus \(p,q\).
Prove associatividade e \(\alpha \star \beta =(-1)^{pq}\beta \star \alpha \).
Para \(f_1,\ldots ,f_r\in V^*\), compare a forma determinantal \(\det (f_i(v_j))\) com \(A_r(f_1\otimes \cdots \otimes f_r)\).
Explique como transportar a definição da potência exterior por quociente para essa realização, distinguindo-a da convenção em que o produto de formas é definido pelo determinante sem divisão por \(r!\).
Para \(\dim V\lt \infty \), construa o isomorfismo canônico \(\bigwedge ^r(V^*)\simeq (\bigwedge ^rV)^*\) pela fórmula determinantal. Identifique este último espaço com as formas \(r\)-lineares alternadas em \(V\). Explique por que a potência exterior de \(V^*\), e não a de \(V\), aparece no lado das formas.
Defina \(S^rV\) como o quociente de \(V^{\otimes r}\) pelas relações que permutam seus fatores. Para \(T:V\to W\), construa \(\bigwedge ^rT\) e \(S^rT\), enviando produtos de vetores aos produtos de suas imagens. Prove que ambas as construções preservam identidades, composições, injetividade, sobrejetividade e isomorfismos.
Construa as únicas aplicações lineares \(V^{\otimes r}\to \bigwedge ^rV\) e \(V^{\otimes r}\to S^rV\) que enviam tensores puros aos respectivos produtos de vetores.
Identifique o núcleo da primeira com o subespaço gerado pelos tensores puros com duas entradas iguais, e o da segunda com as diferenças entre um tensor puro e suas permutações.
Prove os isomorfismos canônicos entre formas alternadas, respectivamente simétricas, \(V^r\to W\) e os espaços \(\operatorname {Hom}(\bigwedge ^rV,W)\), respectivamente \(\operatorname {Hom}(S^rV,W)\).