Formas Bilineares
Uma transformação linear descreve uma dependência linear em uma única variável. Muitas construções naturais, porém, recebem dois vetores: o produto de polinômios, o produto de matrizes, o determinante em dimensão dois e as várias noções de ortogonalidade são exemplos desse fenômeno. A condição adequada não é pedir linearidade no par de variáveis, mas linearidade em cada uma delas quando a outra permanece fixa.
Em dimensão finita, uma forma bilinear é determinada por uma matriz. A relação com o espaço dual permite descrever sua degenerescência. Estudaremos, em seguida, as formas simétricas, alternadas e hermitianas, e sua classificação por decomposições em blocos ortogonais elementares.
Uma referência dedicada à teoria algébrica das formas bilineares e quadráticas é Szymiczek (1997).
Salvo indicação em contrário, todos os espaços vetoriais serão considerados sobre um mesmo corpo \(\mathbb {K}\). As formas hermitianas aparecerão apenas sobre \(\mathbb {C}\), sempre com a convenção adotada no Capítulo 7: linearidade na primeira variável e linearidade conjugada na segunda.
15.1 Aplicações Bilineares
Fixar a segunda variável transforma \(F\) em uma aplicação linear de \(V\) em \(Z\); fixar a primeira transforma \(F\) em uma aplicação linear de \(W\) em \(Z\). Em particular,
para todos \(\bm {v}\in V\) e \(\bm {w}\in W\).
Uma aplicação bilinear \(g:V\times W\to \mathbb {K}\) é denominada forma bilinear em \(V\times W\). Quando \(V=W\), dizemos simplesmente que \(g\) é uma forma bilinear em \(V\).
Denotaremos por \(\operatorname {Bil}(V,W;Z)\) o conjunto das aplicações bilineares de \(V\times W\) em \(Z\) e escreveremos \(\operatorname {Bil}(V,W)\) quando \(Z=\mathbb {K}\).
A aplicação nula é bilinear. Se \(F,G\in \operatorname {Bil}(V,W;Z)\) e \(c\in \mathbb {K}\), devemos verificar que \(F+G\) e \(cF\) continuam lineares em cada variável. Para a primeira variável, por exemplo,
e
Os mesmos cálculos na segunda variável completam a verificação. As demais propriedades de espaço vetorial são herdadas do espaço de todas as funções de \(V\times W\) em \(Z\).
Para a primeira variável,
A demonstração para a segunda variável é idêntica.
Se \(\pi _k:Z\to \mathbb {K}\) é o funcional que fornece a \(k\)-ésima coordenada na base \(\underline{\textsc{z}}\), então \(F_k=\pi _k\circ F\). Logo, se \(F\) é bilinear, a Proposição 15.8 mostra que cada \(F_k\) é bilinear.
Reciprocamente, se todas as funções \(F_k\) são bilineares, a linearidade em cada variável de \(F\) segue da linearidade de cada coordenada e da unicidade da representação na base \(\underline{\textsc{z}}\).
15.2 Matrizes de Formas Bilineares
Como ocorre com as transformações lineares, uma forma bilinear em espaços de dimensão finita fica determinada por seus valores nos vetores de duas bases. A diferença é que agora há um índice para cada variável.
Escreva
A bilinearidade permite expandir uma variável de cada vez:
Essa soma dupla é precisamente o produto matricial \([\bm {v}]_{\underline{\textsc{v}}}^{\mathrm{t}}G[\bm {w}]_{\underline{\textsc{w}}}\).
Reciprocamente, dado \(G\), o Exemplo 15.4 mostra que a fórmula define uma forma bilinear. Seus valores nos pares \((\bm {v}_i,\bm {w}_j)\) são as entradas de \(G\), de modo que a forma é única.
Escolhidas bases de \(V\), \(W\) e \(Z\), uma aplicação bilinear \(F:V\times W\to Z\) fica determinada pelos coeficientes das imagens \(F(\bm {v}_i,\bm {w}_j)\) na base de \(Z\). Há \((\dim V)(\dim W)(\dim Z)\) coeficientes, que podem ser escolhidos arbitrariamente. O critério por coordenadas garante que cada escolha produz uma aplicação bilinear.
Pela definição das matrizes de mudança de base,
Substituindo essas relações na representação matricial de \(g\), obtemos
Pela unicidade da matriz que representa a forma nas novas bases, \(G'=P^{\mathrm{t}}GQ\).
Em \(V=\mathcal P_3(\mathbb {R})\), considere Prove que ambas são bilineares, simétricas e positivas definidas. Calcule suas matrizes nas bases \(\mathcal C=(1,x,x^2,x^3)\) e \(\mathcal B=(1,1+x,1+x+x^2,x+x^3)\). Encontre uma base ortonormal para cada forma e determine seus radicais. Classifique \(b_0(p,q)=p(0)q(0)\) e \(b_1(p,q)=p(0)q(1)\) quanto à bilinearidade, simetria e alternância. Sobre \(\mathbb {R}\), ser hermitiana equivale a ser simétrica.
Em \(V=M_{2\times 3}(\mathbb {R})\), seja \(f(X,Y)=\operatorname {tr}(X^tAY)\), com \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\). Determine \([f]_{\mathcal B}\) para \(\mathcal B=(E_{11},E_{12},E_{13},E_{21},E_{22},E_{23})\). A forma é simétrica?
Para espaços vetoriais \(U,V,W\), prove que
é um isomorfismo. Escreva sua inversa.
15.3 Dualidade e Degenerescência
Uma forma bilinear determina uma transformação linear com valores no espaço dual: fixada uma das entradas, a outra permanece como argumento de um funcional. Essa correspondência relaciona o estudo das formas bilineares ao das transformações lineares.
A uma forma \(g\in \operatorname {Bil}(V,W)\) associamos a transformação
Para cada \(\bm {v}\), a função \(g_L(\bm {v})\) é um funcional em \(W\) porque \(g\) é linear na segunda variável. A linearidade de \(g_L\) segue da linearidade de \(g\) na primeira variável.
Reciprocamente, se \(T\in \operatorname {Hom}(V,W^\ast )\), definimos
A linearidade de \(T\) fornece a linearidade na primeira variável, e o fato de \(T(\bm {v})\) ser um funcional fornece a linearidade na segunda. Logo, \(g_T\) é bilinear. As construções \(g\mapsto g_L\) e \(T\mapsto g_T\) são lineares e inversas entre si.
O segundo isomorfismo é obtido do mesmo modo, associando a \(g\) a
Pelo Teorema 15.18,
Em particular, ambos são subespaços. Essa identificação caracteriza os radicais pelos vetores que anulam a forma quando colocados, respectivamente, na primeira ou na segunda entrada.
Um vetor \(\bm {v}\) pertence ao radical esquerdo se, e somente se,
para toda coluna \([\bm {w}]_{\underline{\textsc{w}}}\). Isso equivale a \(G^{\mathrm{t}}[\bm {v}]_{\underline{\textsc{v}}}=\vec0\). A afirmação sobre o radical direito é análoga. As fórmulas das dimensões seguem do teorema do núcleo e da imagem.
\(g\) é não degenerada;
\(\operatorname {Rad}_{\! E}(g)=\{ \vec0\} \);
\(\operatorname {Rad}_{\! D}(g)=\{ \vec0\} \);
\(g_L:V\to V^\ast \) é um isomorfismo;
a matriz de \(g\) em alguma — e, portanto, em toda — base é invertível.
Em uma base qualquer, os radicais correspondem aos núcleos de \(G^{\mathrm{t}}\) e \(G\). Como \(G\) é quadrada,
Além disso, \(\ker g_L=\operatorname {Rad}_{\! E}(g)\) e \(\dim V=\dim V^\ast \); assim, \(g_L\) é injetiva se, e somente se, é um isomorfismo. Isso prova todas as equivalências.
Sejam \(f,g\) formas bilineares em um espaço de dimensão finita, com \(g\) não degenerada. Prove que existem únicos operadores \(T_1,T_2\) tais que \(f(u,v)=g(T_1u,v)=g(u,T_2v)\). Expresse suas matrizes em função das matrizes \(F,G\) das formas e dê um exemplo que mostre o que falha quando \(g\) é degenerada.
Seja \(f\neq 0\) uma forma bilinear em \(V\), com \(\dim V\lt \infty \). Prove que \(f\) tem posto \(1\) se, e somente se, \(f(u,v)=a(u)b(v)\) para funcionais não nulos \(a,b\in V^*\).
Seja \(b:U\times V\to \mathbb {K}\) bilinear, com \(U,V\) de dimensões finitas. Defina \(L=\{ u:b(u,v)=0\ \forall v\} \) e \(R=\{ v:b(u,v)=0\ \forall u\} \). Prove que \(\dim U/L=\dim V/R\) e que \(\bar b(u+L,v+R)=b(u,v)\) está bem definida e tem ambos os radicais nulos.
Se \(b\) é uma forma bilinear não degenerada e \(u_1,\ldots ,u_r\) são vetores, prove que a invertibilidade de \((b(u_i,u_j))\) implica sua independência linear. Mostre que a recíproca pode falhar. Determine a hipótese adicional sobre a restrição de \(b\) ao subespaço gerado que torna a equivalência válida.
Seja \(b\) uma forma simétrica ou alternada em um espaço \(V\) de dimensão finita e \(R\) seu radical. Se \(V=U\oplus R\), prove que \(b|_U\) é não degenerada. No caso simétrico e em característica diferente de \(2\), explique como essa decomposição permite construir uma base ortogonal de \(V\), mesmo quando \(b\) é degenerada.
15.4 Simetria, Alternância e Formas Hermitianas
Até aqui as duas entradas de uma forma desempenharam papéis independentes. Quando ambas pertencem ao mesmo espaço, podemos compará-las e impor condições de simetria.
simétrica se \(g(\bm {u},\bm {v})=g(\bm {v},\bm {u})\);
antissimétrica se \(g(\bm {u},\bm {v})=-g(\bm {v},\bm {u})\);
alternada se \(g(\bm {v},\bm {v})=0\) para todo \(\bm {v}\in V\).
Se \(g\) é alternada, então \(g\) é antissimétrica.
Se \(\operatorname {char}(\mathbb {K})\neq 2\) e \(g\) é antissimétrica, então \(g\) é alternada.
Se \(\operatorname {char}(\mathbb {K})=2\), as condições de simetria e antissimetria coincidem, mas não implicam alternância.
Se \(g\) é alternada, então
pois os termos diagonais são nulos. Logo, \(g(\bm {u},\bm {v})=-g(\bm {v},\bm {u})\).
Reciprocamente, se \(g\) é antissimétrica,
e, portanto, \(2g(\bm {v},\bm {v})=0\). Quando a característica é diferente de \(2\), segue que \(g(\bm {v},\bm {v})=0\).
Em característica \(2\), temos \(-1=1\), de modo que simetria e antissimetria expressam a mesma igualdade, mas essa igualdade não força os valores diagonais a serem nulos. Por exemplo, a forma em \(\mathbb {K}^2\) dada por
tem matriz \(\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\). Ela é simétrica e, portanto, também antissimétrica em característica \(2\), mas \(g(\bm {e}_1,\bm {e}_1)=1\); logo não é alternada.
As identidades \(g_s^{\mathrm{t}}=g_s\) e \(g_a^{\mathrm{t}}=-g_a\) seguem diretamente das definições; pela Proposição 15.29, \(g_a\) é alternada. Além disso, \(g_s+g_a=g\).
Se \(g=s+a\) com \(s\) simétrica e \(a\) antissimétrica, então \(g^{\mathrm{t}}=s-a\). Somando e subtraindo as duas igualdades, obtemos necessariamente \(s=g_s\) e \(a=g_a\).
A função \(q_g:V\to \mathbb {K}\) definida por \(q_g(\bm {v})=g(\bm {v},\bm {v})\) é a forma quadrática associada a \(g\). Quando \(g\) é simétrica e \(\operatorname {char}(\mathbb {K})\neq 2\), a identidade de polarização
mostra que os valores diagonais determinam toda a forma. Para uma forma bilinear arbitrária, esses valores enxergam apenas sua parte simétrica: a parte alternada desaparece em \(g(\bm {v},\bm {v})\).
\([g^{\mathrm{t}}]_{\underline{\textsc{v}}}=G^{\mathrm{t}}\);
\(g\) é simétrica se, e somente se, \(G^{\mathrm{t}}=G\);
\(g\) é antissimétrica se, e somente se, \(G^{\mathrm{t}}=-G\);
\(g\) é alternada se, e somente se, \(G^{\mathrm{t}}=-G\) e todas as entradas diagonais de \(G\) são nulas.
A entrada \((i,j)\) da matriz de \(g^{\mathrm{t}}\) é \(g^{\mathrm{t}}(\bm {v}_i,\bm {v}_j)=g(\bm {v}_j,\bm {v}_i)\), que é a entrada \((j,i)\) de \(G\). Isso prova o primeiro item, e os dois itens seguintes seguem imediatamente.
Se \(g\) é alternada, ela é antissimétrica e \(g(\bm {v}_i,\bm {v}_i)=0\) para todo \(i\). Reciprocamente, se \(G^{\mathrm{t}}=-G\) e sua diagonal é nula, então, para \(\bm {x}=(x_1,\ldots ,x_n)^{\mathrm{t}}\), os termos \(g_{ij}x_ix_j\) e \(g_{ji}x_jx_i\) se cancelam aos pares, enquanto os termos diagonais são nulos. Logo \(\bm {x}^{\mathrm{t}}G\bm {x}=0\).
No caso sesquilinear, a mesma comparação de entradas mostra que a matriz da forma adjunta é \(\overline H^{\mathrm{t}}\).
Suponha \(\operatorname {char}\mathbb {K}\neq 2\). Para uma forma bilinear \(f\), defina \(q(v)=f(v,v)\). Mostre que \(\frac14(q(u+v)-q(u-v))\) recupera a parte simétrica de \(f\). Quando recupera \(f\) inteira? Para \(q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2\) sobre \(\mathbb {R}\), encontre a forma simétrica associada e prove que ela é não degenerada se, e somente se, \(b^2-4ac\neq 0\).
Seja \(f\) uma forma bilinear tal que \(f(u,v)=0\) implica \(f(v,u)=0\) para todos \(u,v\). Prove que \(f\) é simétrica ou alternada. Em característica diferente de \(2\), conclua que é simétrica ou antissimétrica.
15.5 Ortogonalidade
Para uma forma bilinear arbitrária, a igualdade \(g(\bm {u},\bm {v})=0\) não implica necessariamente \(g(\bm {v},\bm {u})=0\). Nas formas simétricas, alternadas e hermitianas, entretanto, uma igualdade implica a outra. Nessas três classes, a ortogonalidade é uma relação simétrica.
Seja \(V\) munido de uma forma simétrica, alternada ou hermitiana. Dizemos que \(\bm {u},\bm {v}\in V\) são ortogonais se \(g(\bm {u},\bm {v})=0\), e escrevemos \(\bm {u}\perp \bm {v}\).
Se \(U\subseteq V\) é um subespaço, seu complemento ortogonal é
O complemento ortogonal é sempre um subespaço. Além disso, \(V^\perp =\operatorname {Rad}(g)\), onde, para as formas consideradas nesta seção, os radicais esquerdo e direito coincidem.
Se \(U\subseteq V\) é não degenerado, então
\[ V=U\oplus U^\perp . \]Se a forma em \(V\) é não degenerada, então, para todo subespaço \(U\subseteq V\),
\[ \dim U^\perp =\dim V-\dim U \qquad \text{e}\qquad (U^\perp )^\perp =U. \]
Considere a aplicação
No caso bilinear, \(T\) é linear; no caso hermitiano, é conjugado-linear. Neste último caso, podemos considerar \(T\) como uma transformação linear do espaço conjugado \(\overline V\) em \(U^\ast \); as dimensões de \(V\) e \(\overline V\) são iguais. Em ambos os casos, portanto, seu núcleo é \(U^\perp \) e vale a fórmula do núcleo e da imagem.
Se a restrição de \(g\) a \(U\) é não degenerada, a restrição de \(T\) a \(U\) é uma bijeção de \(U\) em \(U^\ast \) — conjugado-linear no caso hermitiano. Logo, \(T\) é sobrejetiva e
Como \(U\cap U^\perp =\{ \vec0\} \), as dimensões mostram que \(V=U\oplus U^\perp \).
Agora suponha que a forma em \(V\) seja não degenerada. A aplicação associada de \(V\) em \(V^\ast \) é uma bijeção; compondo-a com a restrição \(V^\ast \to U^\ast \), vemos que \(T\) é sobrejetiva para qualquer \(U\). Portanto, \(\dim U^\perp =\dim V-\dim U\). A inclusão \(U\subseteq (U^\perp )^\perp \) é imediata, e
A inclusão entre subespaços de mesma dimensão é uma igualdade.
Seja \(b\) uma forma simétrica, alternada ou hermitiana em um espaço \(V\) de dimensão finita, e defina \(U^\perp =\{ v:b(u,v)=0\ \forall u\in U\} \). Para subespaços \(U,W\), prove Se \(b\) for não degenerada, prove também \((U\cap W)^\perp =U^\perp +W^\perp \). Dê um contraexemplo à última igualdade para uma forma degenerada.
Seja \(b\) simétrica e não degenerada em um espaço finito \(V\). Prove que \(v\mapsto b(v,\cdot )\) é um isomorfismo \(V\to V^*\). Para uma base \((e_i)\), encontre a única base \((e'_j)\) com \(b(e_i,e'_j)=\delta _{ij}\) e prove
Use a forma simplética \(\omega \) em \(\mathbb {R}^{2n}\) definida por \(\omega (e_i,f_j)=\delta _{ij}\), \(\omega (e_i,e_j)=\omega (f_i,f_j)=0\).
Em \(\mathbb {R}^2\), prove que toda reta \(U\) satisfaz \(U^\omega =U\).
Em \(\mathbb {R}^4\), calcule \(U^\omega \) para \(U=\langle e_1,e_2\rangle \), \(U=\langle e_1,f_1\rangle \) e \(U=\langle f_1,f_2\rangle \).
15.6 Classificação
A congruência compara as matrizes de duas formas após mudanças de base; a noção intrínseca correspondente é a de isometria.
Se duas bases são relacionadas por uma matriz \(P\), o Teorema 15.14 mostra que as matrizes de uma forma bilinear são relacionadas por
No caso hermitiano, com nossa convenção de linearidade na primeira variável, a relação correspondente é
Assim, classificar formas equivale a classificar matrizes por congruência.
Suponha agora que \(V\) seja real e esteja munido de um produto interno. Pelo Teorema de Representação de Riesz, toda forma bilinear simétrica \(g\) pode ser escrita de maneira única como
para um operador autoadjunto \(T\). Em uma base ortonormal, a matriz de \(g\) coincide com a matriz de \(T\). Como mudanças entre bases ortonormais são ortogonais, \(P^{\mathrm{t}}=P^{-1}\); nesse caso, congruência e semelhança assumem a mesma forma matricial.
O Teorema Espectral fornece então uma base ortonormal que diagonaliza \(g\). Geometricamente, essas direções são os eixos principais; na classificação abaixo, os sinais dos autovalores correspondentes dão os índices positivo e negativo da forma.
15.6.1 Os Blocos Elementares
Em dimensão um, uma forma bilinear simétrica tem a expressão
Se substituímos \(\bm {v}\) por \(c\bm {v}\), o coeficiente \(a\) é substituído por \(c^2a\). Portanto, sobre um corpo arbitrário, os blocos unidimensionais não nulos são classificados pelas classes de \(\mathbb {K}^\ast /(\mathbb {K}^\ast )^2\). Em particular:
sobre \(\mathbb {R}\), todo bloco não nulo é isométrico a \(xy\) ou a \(-xy\);
sobre \(\mathbb {C}\), todo bloco bilinear simétrico não nulo é isométrico a \(xy\).
Para uma forma hermitiana em uma reta complexa,
onde \(a=h(\bm {v},\bm {v})\in \mathbb {R}\). A troca \(\bm {v}\mapsto c\bm {v}\) multiplica \(a\) por \(|c|^2\); logo os blocos não nulos são \(z\overline w\) e \(-z\overline w\).
Uma forma alternada é nula em toda reta. Seu primeiro bloco não trivial tem dimensão dois:
Esse plano é não degenerado e será o bloco básico da geometria simplética.
Se \(g\) é uma forma bilinear simétrica e \(\operatorname {char}(\mathbb {K})\neq 2\), existe uma base na qual
\[ [g]=\operatorname {diag}(a_1,\ldots ,a_s,0_{n-s}), \qquad a_i\neq 0. \]Se \(h\) é uma forma hermitiana em um espaço complexo, existe uma base na qual
\[ [h]=\operatorname {diag}(I_p,-I_q,0_r). \]Nesse caso, \(p+q+r=\dim V\).
Se \(\omega \) é uma forma alternada, existe uma base na qual
\[ [\omega ] =\operatorname {diag}( \underbrace{J,\ldots ,J}_{s\text{ blocos}}, 0_r). \]Nesse caso, \(2s+r=\dim V\).
A ideia é a mesma nos três casos: encontrar um pequeno subespaço não degenerado, separá-lo por meio do Teorema 15.39 e aplicar indução ao complemento ortogonal.
No caso simétrico, suponha que \(g\) não seja nula. A identidade de polarização mostra que existe \(\bm {v}\in V\) com \(g(\bm {v},\bm {v})\neq 0\); caso contrário, \(g\) seria identicamente nula. A reta \(U=\langle \bm {v}\rangle \) é não degenerada. Logo \(V=U\oplus U^\perp \), e repetimos o argumento em \(U^\perp \). Quando a restrição restante se torna nula, completamos a base com uma base de seu radical. Isso produz a matriz diagonal do item a.
Para uma forma hermitiana não nula, também existe \(\bm {v}\) com \(h(\bm {v},\bm {v})\neq 0\). De fato, se todos os valores diagonais fossem nulos, as expansões de \(h(\bm {u}+\bm {v},\bm {u}+\bm {v})\) e \(h(\bm {u}+i\bm {v},\bm {u}+i\bm {v})\) mostrariam, respectivamente, que as partes real e imaginária de \(h(\bm {u},\bm {v})\) são nulas. A reta gerada por \(\bm {v}\) é, portanto, não degenerada. Após multiplicar \(\bm {v}\) por um escalar adequado, fazemos \(h(\bm {v},\bm {v})\) igual a \(1\) ou \(-1\). Decompomos novamente \(V=U\oplus U^\perp \) e aplicamos indução.
Finalmente, suponha que \(\omega \) seja alternada e não nula. Existem \(\bm {u},\bm {v}\) com \(\omega (\bm {u},\bm {v})\neq 0\). Reescalando \(\bm {u}\), podemos supor que \(\omega (\bm {u},\bm {v})=1\). Os vetores \(\bm {u},\bm {v}\) são linearmente independentes, e a matriz da restrição ao plano \(U=\langle \bm {u},\bm {v}\rangle \) é \(J\); em particular, \(U\) é não degenerado. Assim, \(V=U\oplus U^\perp \), e a indução fornece os demais blocos. A parte restante, quando nula, é o radical.
Se a forma alternada é não degenerada, não há bloco nulo na decomposição do Teorema 15.43. Como cada bloco \(J\) tem dimensão dois, \(\dim V=2s\).
15.6.2 Invariantes e Teorema de Inércia
A decomposição do teorema anterior não é única: há muitas bases ortogonais possíveis. O número de blocos de cada tipo, contudo, não depende da base.
uma forma bilinear simétrica real é determinada, a menos de isometria, por sua inércia \((p,q,r)\);
uma forma hermitiana complexa é determinada, a menos de isometria, por sua inércia \((p,q,r)\);
uma forma bilinear simétrica complexa é determinada, a menos de isometria, por sua dimensão e seu posto;
uma forma alternada sobre \(\mathbb {K}\) é determinada, a menos de isometria, por sua dimensão e seu posto, sendo este sempre par.
A existência das formas normais segue do Teorema 15.43. No caso real simétrico, cada coeficiente diagonal não nulo pode ser normalizado para \(1\) ou \(-1\). No caso hermitiano, os coeficientes diagonais são reais e a mesma normalização é possível. No caso bilinear simétrico complexo, todo número complexo não nulo possui raiz quadrada, de modo que todos os coeficientes não nulos podem ser normalizados para \(1\). A forma alternada já aparece em blocos \(J\).
Resta justificar a unicidade de \(p\) e \(q\) nos dois primeiros casos. Considere uma decomposição
obtida de uma base diagonalizante. Os três somandos são mutuamente \(g\)-ortogonais; a forma é positiva definida em \(V_+\), negativa definida em \(V_-\) e nula em \(V_0\). Se \(L\subseteq V\) é um subespaço no qual a forma é positiva definida, a projeção \(L\to V_+\) é injetiva. De fato, um vetor não nulo no núcleo dessa projeção pertenceria a \(V_-\oplus V_0\) e teria valor quadrático menor ou igual a zero, uma contradição. Logo, \(\dim L\leq \dim V_+=p\). Como \(V_+\) tem dimensão \(p\), esse número é a maior dimensão possível de um subespaço positivo definido e, portanto, é intrínseco à forma. O mesmo argumento aplicado a \(-g\) mostra que \(q\) também é intrínseco. Por fim, \(r=\dim \operatorname {Rad}(g)\).
Nos itens c e d, o posto determina o número de blocos não nulos: um por coordenada no caso simétrico complexo e metade do posto no caso alternado. A dimensão determina então o tamanho do bloco nulo. Formas com os mesmos invariantes possuem a mesma matriz normal e, por isso, são isométricas.
A representação por matrizes e a congruência permitem formular a classificação das formas em coordenadas. A decomposição ortogonal reduz suas matrizes a blocos elementares, cujos invariantes distinguem as classes de formas, independentemente das bases escolhidas.
No Capítulo 16, essa passagem da bilinearidade para a linearidade ganhará uma realização concreta. O produto tensorial transforma o Teorema 15.18 na identificação natural
reunindo formas bilineares, dualidade e transformações lineares em uma mesma construção.
Seja \(A\) uma matriz real simétrica ou complexa hermitiana. Prove que \(A\) é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais iniciais são estritamente positivos. Prove que \(A\) é positiva semidefinida se, e somente se, todos os menores principais são não negativos. No caso real positivo definido, prove que \(A=P^tP\) para alguma matriz invertível \(P\). Um menor principal usa o mesmo conjunto de índices nas linhas e nas colunas; um menor principal inicial usa os primeiros \(k\) índices.
Classifique, a menos de isometria, as formas bilineares simétricas em um espaço unidimensional sobre um corpo finito \(\mathbb F_q\) de característica ímpar. Distinga o caso degenerado dos não degenerados.
A forma de Minkowski \(b(x,y)=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4\) em \(\mathbb {R}^4\) é isométrica ao produto interno euclidiano usual? Justifique por um invariante e por um argumento direto.
Trabalhe sobre \(\mathbb {R}\).
Para cada matriz simétrica
\[ A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} 0 & 10 & 2 \\ 10 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}, \]encontre uma base ortogonal e uma diagonal congruente. Determine a inércia.
Para as matrizes alternadas
\[ C=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{bmatrix}, \qquad D=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}, \]determine suas formas canônicas por congruência, usando o bloco \(J=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\), e apresente bases que realizam as reduções.
Considere \(q(x,y,z)=2(xy+xz+yz)-(x^2+y^2+z^2)\) e a forma simétrica \(b\) com \(b(v,v)=q(v)\). Seja \(T\) definido por \(\langle Tv,w\rangle =b(v,w)\) no produto interno usual. Encontre uma base que diagonalize simultaneamente \(T\) e \(b\), determine a inércia de \(b\) e dê uma base em que \(b\) seja diagonal, mas a matriz de \(T\) não seja diagonal.
Para \(q(x,y,z)=2x^2+6xy-2xz-z^2\), determine a forma simétrica associada \(b\) e uma base de \(W=\langle (0,0,1)\rangle ^\perp \). Calcule a matriz de \(b|_W\), encontre uma base ortogonal de \(W\) e determine a inércia e o posto de \(b\).
Seja \(b\) uma forma alternada em um espaço finito sobre um corpo de característica diferente de \(2\). Prove que seu posto é \(2\) se, e somente se, existem funcionais independentes \(f,g\) com \(b(u,v)=f(u)g(v)-g(u)f(v)\).
Sejam \(f,g\in V^*\) independentes, com \(V\) real de dimensão \(n\). Prove que \(b(u,v)=(f(u)g(v)+g(u)f(v))/2\) é simétrica e determine sua inércia e seu radical.
Seja \(V\) um espaço euclidiano real de dimensão finita positiva, \(T\) autoadjunto e \(q(v)=\langle Tv,v\rangle \).
Mostre que cada autovalor de \(T\) é um valor de \(q\) na esfera unitária.
Se \(q\) não muda de sinal, prove que \(q(x)=0\) se, e somente se, \(x\in \ker T\).
Mostre que todo extremo local de \(q\) na esfera unitária é atingido em um autovetor \(u\), com autovalor \(q(u)\). Identifique o mínimo e o máximo globais.
Escreva as matrizes simétricas das formas \(\| x\| ^2\) em \(\mathbb {R}^n\), \(3x^2-4xy+7y^2\) e \(5x^2+3y^2+2z^2-xy+8yz\). Classifique-as quanto à positividade.
Elimine o termo misto de \(x^2-8xy-5y^2\) por uma mudança ortogonal de coordenadas.
A forma \(9x^2+6y^2+6z^2+12xy-10xz-2yz\) pode assumir valores negativos? Justifique sem aproximar os autovalores.
Seja \((V,\omega )\) simplético de dimensão \(2n\). Um subespaço \(U\) é isotrópico se \(\omega |_{U\times U}=0\) e lagrangiano se \(U=U^\omega \). Prove que \(\dim U\leq n\) para todo isotrópico e que são equivalentes: \(U\) é lagrangiano; \(U\) é isotrópico de dimensão \(n\); \(U\) é maximal entre os subespaços isotrópicos. Mostre ainda que todo isotrópico está contido num lagrangiano.
Sejam \((V,\omega _V)\) e \((W,\omega _W)\) simpléticos de mesma dimensão finita. Uma aplicação linear \(T:V\to W\) preserva as formas se \(\omega _W(Tu,Tv)=\omega _V(u,v)\).
Prove que \(T\) é invertível e que inversas e composições também preservam as formas.
Prove que quaisquer dois espaços simpléticos de mesma dimensão finita são isomorfos dessa maneira.
Numa base com \(\omega (e_i,f_j)=\delta _{ij}\), ponha \(J=\begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}\). Prove que \(L\) preserva a forma se, e somente se, \(L^TJL=J\), e que essas matrizes formam um grupo.