Gabaritos das listas

Este apêndice reúne os gabaritos dos exercícios acrescentados a partir das listas. As referências remetem à numeração de cada exercício no capítulo correspondente.

C.1 Estruturas algébricas e polinômios

Exercício 1.5: Identidades, idempotentes e inversos

O primeiro item é a definição de identidade aplicada a \(e\). No segundo, \((a\circ b)\circ (a\circ b)=(a\circ a)\circ (b\circ b)=a\circ b\). No terceiro, o inverso é \(b^{-1}\circ a^{-1}\): os dois produtos, em qualquer ordem, são a identidade.

Exercício 1.6: Construção dos racionais

Reflexividade e simetria são imediatas. Para a transitividade, de \(ad=bc\) e \(cf=de\) segue \(adf=bde\); como \(d\neq 0\), \(af=be\). Representantes: \((1,3),(2,6),(-1,-3)\). Multiplicação e soma preservam a igualdade dos produtos cruzados. A regra falsa pode produzir denominador zero; mesmo com denominadores positivos, \((1,1)\sim (2,2)\), mas \((1,1)\oplus (1,2)=(2,3)\) e \((2,2)\oplus (1,2)=(3,4)\) não são equivalentes. O isomorfismo com \(\mathbb {Q}\) é \([(a,b)]\mapsto a/b\).

Exercício 1.15: Identidades de um subcorpo

Da igualdade \(0_F+0_F=0_F\), cancelando em \(\mathbb {K}\), resulta \(0_F=0_{\mathbb {K}}\). Como \(1_F\neq 0_F\), podemos cancelar \(1_F\) em \(1_F^2=1_F\) e obter \(1_F=1_{\mathbb {K}}\).

Exercício 1.16: Inversos módulo 12

Todas as classes possuem inverso aditivo: o inverso de \(\overline a\) é \(\overline{-a}\). As unidades são \(\overline1,\overline5,\overline7,\overline{11}\), pois \(\gcd (a,12)=1\); cada uma é seu próprio inverso multiplicativo.

Exercício 1.17: Divisores de zero módulo um composto

Escreva \(n=ab\) com \(1\lt a,b\lt n\). Então \(\overline a\) e \(\overline b\) são não nulos, mas \(\overline a\, \overline b=\overline0\).

Exercício 1.40: Multiplicidade e derivadas

Expanda \(p(x)=\sum c_j(x-a)^j\). Então \(p^{(j)}(a)=j!c_j\), e os fatoriais relevantes são invertíveis sob a hipótese. A multiplicidade é o menor índice com \(c_j\neq 0\). Em característica \(\ell \gt 0\), \(p=x^\ell \) tem raiz \(0\) de multiplicidade \(\ell \), mas todas as derivadas de ordem positiva são nulas.

C.2 Espaços vetoriais

Exercício 2.21: Subespaços de vetores e matrizes

Todos são subespaços. As bases podem ser \((0,1)\), as duas matrizes \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) e \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\), e os seis \(E_{ij}\) com \(1\leq i\leq j\leq 3\), respectivamente. As dimensões são \(1,2,6\).

Exercício 2.46: Independência de somas de vetores

Uma relação com coeficientes \(a,b,c\) implica \(a+c=a+b=b+c=0\). Logo \(a=b=c=0\), pois \(2\neq 0\). Em característica \(2\), a soma dos três vetores é zero; portanto são dependentes.

Exercício 2.47: Dimensões de espaços de polinômios em várias variáveis

(1) A base é \(x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\) com \(a_i\geq 0\) e \(\sum a_i\lt p\); a dimensão é \(\binom {n+p-1}{n}\). (2) Restrinja a \(\sum a_i=d\), obtendo dimensão \(\binom {n+d-1}{d}\). (3) Para \(p\geq 2\), \(1\) e \(x_1\) são homogêneos, mas \(1+x_1\) não é. O espaço gerado é todo o espaço do primeiro item. Para \(p=1\), só há constantes, e o conjunto é um subespaço.

Exercício 2.48: Contagem de soluções sobre um corpo finito

O espaço tem \(q^n\) elementos. Se algum \(a_j\neq 0\), cada escolha das outras \(n-1\) coordenadas determina exatamente um \(x_j\), logo há \(q^{n-1}\) soluções. Se todos os coeficientes forem zero, todos os \(q^n\) vetores são soluções.

Exercício 3.4: Somas de subespaços e dimensões

As primeiras identidades decorrem de reordenar e reagrupar somas de vetores; o neutro é \(\{ 0\} \). Estenda uma base da interseção a bases dos dois subespaços; a união, contando a base comum uma só vez, é base da soma. Para o último item, a aplicação sobrejetiva \(\bigoplus _i L_i\to \sum _i L_i\), \((v_i)\mapsto \sum _i v_i\), dá a desigualdade pelo teorema do núcleo-imagem. Há igualdade exatamente quando seu núcleo é nulo, isto é, quando a soma é direta.

Exercício 3.10: Decomposição de polinômios pares e ímpares

As condições são lineares. As projeções são \(p\mapsto (p(x)+p(-x))/2\) e \(p\mapsto (p(x)-p(-x))/2\). Bases: \(1,x^2,x^4,\ldots \) para \(E\) e \(x,x^3,x^5,\ldots \) para \(O\), truncadas no grau \(n\). As dimensões são \(\lfloor n/2\rfloor +1\) e \(\lceil n/2\rceil \). Em característica \(2\), \(-x=x\) e \(-p=p\), de modo que \(E=O=\mathcal P_n\); a decomposição proposta não é direta. Para funções reais de variável real, use as mesmas fórmulas \((f(x)+f(-x))/2\) e \((f(x)-f(-x))/2\); elas produzem partes par e ímpar de modo único.

Exercício 3.19: Base a partir de uma bandeira enumerável

Cada quociente \(V_j/V_{j-1}\) tem dimensão \(1\): um vetor não nulo nele gera um subespaço que, pela ausência de intermediários, é todo o quociente. Por indução, \(V_j=\langle e_1,\ldots ,e_j\rangle \) e esses vetores são independentes. Toda relação é finita e todo vetor está em algum \(V_j\), logo \((e_j)_{j\geq 1}\) é base de \(V\).

C.3 Transformações lineares

Exercício 4.24: Sequências definidas por recorrência

A recorrência é preservada por somas e escalares. Os dois valores iniciais determinam uma única sequência, dando linearidade, injetividade e sobrejetividade. Uma base é formada pelas sequências com valores iniciais \((1,0)\) e \((0,1)\). Não é necessário supor \(a,b\) não nulos.

Exercício 4.25: Isomorfismos entre espaços de aplicações

A inversa da avaliação envia \(v\) à aplicação \(\lambda \mapsto \lambda v\). No segundo item, a linearidade segue da composição com aplicações lineares fixas, e a inversa é \(T'\mapsto R^{-1}T'S\).

Exercício 4.35: Duas provas do teorema do núcleo-imagem

Aplique \(T\) a uma relação linear para anular os coeficientes dos \(v_j\); a independência dos \(u_i\) anula os restantes. Para gerar \(v\in V\), expresse \(T(v)\) na base da imagem e observe que \(v-\sum _j a_jv_j\in \ker T\). Alternativamente, se \(V=\ker T\oplus C\), a restrição \(T|_C:C\to \operatorname {im}T\) é um isomorfismo. Assim \(\dim V=\dim \ker T+\dim \operatorname {im}T\).

Exercício 4.36: Núcleo igual à imagem

Se \(\ker T=\operatorname {im}T\), então \(n=2\dim \ker T\). Reciprocamente, em uma base \((e_1,\ldots ,e_r,f_1,\ldots ,f_r)\), defina \(T(e_i)=0\) e \(T(f_i)=e_i\). Núcleo e imagem são \(\langle e_1,\ldots ,e_r\rangle \).

Exercício 4.37: Um núcleo impossível

O subespaço indicado tem base \((3,1,0,0,0),(0,0,1,1,1)\), em qualquer característica, logo dimensão \(2\). Núcleo-imagem exigiria posto \(5-2=3\), maior que a dimensão do contradomínio.

Exercício 4.38: Postos: verdadeiro ou falso

(1) Verdadeira: \(\dim \operatorname {im}T\leq 2\), e um complemento tem dimensão pelo menos \(2\). (2) Falsa: \(T(x,y,z)=(x,0)\). (3) Falsa: \(T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1,x_2,0,0)\) tem núcleo e imagem de dimensão \(2\). (4) Falsa: tal núcleo exigiria posto \(4\), impossível no contradomínio \(\mathbb {R}^3\).

Exercício 4.39: Desigualdades para o posto

Use \(\operatorname {im}(ST)=S(\operatorname {im}T)\subseteq \operatorname {im}S\) e \(\operatorname {im}(S+T)\subseteq \operatorname {im}S+\operatorname {im}T\). Isomorfismos preservam dimensões e, quando atuam no domínio, não alteram a imagem. No último item, \(T|_{\operatorname {im}T}\) tem imagem \(\operatorname {im}T^2\) de mesma dimensão que seu domínio; seu núcleo, \(\ker T\cap \operatorname {im}T\), é zero.

Exercício 4.40: Uma raiz simples em zero

Escreva \(P=xQ\), com \(Q(0)\neq 0\). Bézout fornece \(ux+vQ=1\), logo \(I=u(T)T+v(T)Q(T)\). A primeira parcela de cada vetor está em \(\operatorname {im}T\), a segunda em \(\ker T\). Se \(z=Ty\in \ker T\), então \(Q(T)z=TQ(T)y=P(T)y=0\); a identidade de Bézout dá \(z=0\). Na aplicação, \(P'(0)=a^2\neq 0\).

Exercício 4.47: Derivação em uma base não canônica

Numere os vetores da base de \(0\) a \(n\). A coluna \(0\) é nula, a coluna \(1\) é \((1,0,\ldots ,0)^t\) e, para \(j\geq 2\), a coluna \(j\) tem \(-j\) na linha \(0\), \(j\) na linha \(j-1\) e zeros nas demais, pois \(D(1+x^j)=j((1+x^{j-1})-1)\). Os inteiros são interpretados no corpo.

Exercício 4.48: Coordenadas de uma transformação real

Se \((z_1,z_2)=(r+si,t+ui)\), suas coordenadas em \(\mathcal C\) são \((r-t-u,s,t,u)\). Logo

Exercício 4.49: Projeções e operadores que comutam

Use \(V=\operatorname {im}P\oplus \ker P\) nos dois primeiros itens. No terceiro, \(P+Q\) é idempotente exatamente quando \(PQ+QP=0\). Multiplicando à esquerda e à direita por \(P\), obtém-se \(PQP=-PQ=-QP\), logo \(PQ=QP\) e \(2PQ=0\). A imagem é \(\operatorname {im}P\oplus \operatorname {im}Q\) e o núcleo \(\ker P\cap \ker Q\). Em característica \(2\), \(P=Q=I\) dá \(P+Q=0\), mas \(PQ=I\).

C.4 Espaços quocientes

Exercício 5.30: Complementos e quocientes

O mapa é injetivo por \(U\cap W=0\) e sobrejetivo pela decomposição. Para a última pergunta, em \(V=\mathbb {R}[x]\) tome \(U=V\) e \(U'=x\mathbb {R}[x]\). São isomorfos via \(p\mapsto xp\), mas o único complemento de \(U\) é \(0\), que não complementa \(U'\). Em dimensão finita, subespaços de mesma dimensão admitem complemento comum.

C.5 Dualidade

Exercício 6.15: Funcionais complexos com valores reais

Somente o funcional nulo. Se \(f(v)\in \mathbb {R}\), então \(f(iv)=if(v)\) também é real, o que força \(f(v)=0\).

Exercício 6.16: Um funcional com duas condições

Escreva \(f(x,y,z)=ax+by+cz\). As condições são \(a+b+c=0\) e \(a+ib+3c=0\). Portanto \(f=t((i-3)x+2y+(1-i)z)\), \(t\in \mathbb {C}\); para \(t=1\) obtém-se um exemplo não nulo.

Exercício 6.17: Produto de funcionais

Linearidade e homogeneidade quadrática dão \(h(2v)=2h(v)=4h(v)\), logo \(h(v)=0\). Se ambos fossem não nulos, escolha \(u\) com \(f(u)\neq 0\) e \(v\) com \(g(v)\neq 0\). Então \(g(u)=f(v)=0\), mas \(h(u+v)=f(u)g(v)\neq 0\), contradição.

Exercício 6.18: O dual dos polinômios racionais

Um funcional é determinado livremente pelos valores \(f(x^j)\), logo \((\mathbb {Q}[x])^*\simeq \mathbb {Q}^{\mathbb {N}}\). O conjunto \(\mathbb {Q}[x]\) é enumerável, enquanto \(\mathbb {Q}^{\mathbb {N}}\) contém \(\{ 0,1\} ^{\mathbb {N}}\), que não é enumerável. Portanto não existe sequer uma bijeção entre os dois.

Exercício 6.19: Derivada como combinação de avaliações

Se \(L_k(x)=\prod _{j\neq k}(x-a_j)/(a_k-a_j)\), a interpolação \(p=\sum _kp(a_k)L_k\) dá \(\lambda _k=L_k'(0)\). Aplicar a identidade a cada \(L_k\) prova a unicidade. Explicitamente, \(\lambda _k=\bigl(\sum _{i\neq k}\prod _{j\neq k,i}(-a_j)\bigr)/\prod _{j\neq k}(a_k-a_j)\), inclusive quando algum nó é zero.

Exercício 6.20: Caracterização do traço e dual das matrizes

Para \(i\neq j\), \(E_{ii}E_{ij}=E_{ij}\) e \(E_{ij}E_{ii}=0\), logo \(f(E_{ij})=0\). De \(E_{ij}E_{ji}=E_{ii}\) segue \(f(E_{ii})=f(E_{jj})=c\). A normalização determina \(c\) quando \(n\cdot 1_{\mathbb {K}}\neq 0\); se \(n\cdot 1=0\), qualquer múltiplo do traço satisfaz a normalização. No segundo item, \(\operatorname {tr}(AE_{ij})=a_{ji}\) prova a injetividade; a igualdade das dimensões dá a sobrejetividade.

Exercício 6.21: Bases recuperadas de funcionais

Na base canônica \((1,x,x^2)\), as colunas das matrizes abaixo são os coeficientes dos polinômios procurados:

São as inversas das matrizes cujas linhas representam os respectivos funcionais.

Exercício 6.22: Funcionais com valores prescritos

(1) \(f(x,y,z)=-\frac23x+\frac73y+\frac53z\). (2) Como \((2,3,-1)=3u_1+2u_2+u_3\), seu valor é \(f(u_3)\neq 0\).

Exercício 6.23: Bases coordenadas e bidual em dimensão infinita

Avalie uma relação finita nos \(e_j\) para provar independência. Quando \(I\) é infinito, o funcional \(f(e_i)=1\) para todo \(i\) não é combinação finita dos \(e_i^*\). Para o bidual, em \(\mathbb {K}^I\) tome o subespaço \(C\) das famílias de suporte finito e a família constante \(\mathbf1\). Defina \(L(c+a\mathbf1)=a\) em \(C\oplus \mathbb {K}\mathbf1\) e estenda \(L\) a \(\mathbb {K}^I\) usando uma base. Se \(L=\tau _V(v)\), seus valores nulos nas famílias coordenadas forçam todos os coeficientes de \(v\) a zero, mas \(L(\mathbf1)=1\). Em dimensão finita, \(\tau _V\) é injetiva entre espaços de mesma dimensão.

Exercício 6.24: Avaliações e dimensão do dual

Em uma relação entre avaliações em pontos distintos \(a_1,\ldots ,a_r\), avalie nos polinômios de Lagrange \(L_j\), com \(L_j(a_i)=\delta _{ij}\), para anular cada coeficiente. A família independente tem cardinalidade não enumerável, enquanto \(V\) tem a base enumerável \((1,x,x^2,\ldots )\).

Exercício 6.25: Bases duais e biduais

Para a base canônica, a dual é \((x\mapsto x_1,x\mapsto x_2,x\mapsto x_3)\) e a bidual é \((\tau (e_1),\tau (e_2),\tau (e_3))\). Para a segunda base, a dual é \((-3x_1-5x_2-2x_3,\ 2x_1+x_2,\ x_1+2x_2+x_3)\), e a bidual é formada pelas avaliações nos três vetores originais, isto é, \((\tau (v_1),\tau (v_2),\tau (v_3))\).

Exercício 6.26: Imagem de um comutador

A ciclicidade do traço dá \(\operatorname {tr}(T(A)C)=\operatorname {tr}(A(BC-CB))\). Logo a imagem está contida no aniquilador de \(Z(B)\) para esse emparelhamento. Como \(\ker T=Z(B)\), sua dimensão é \(n^2-\dim Z(B)\), igual à dimensão desse aniquilador, pois o emparelhamento é não degenerado. A inclusão é, portanto, igualdade, e \(\operatorname {posto}T=n^2-\dim Z(B)\).

Exercício 6.27: Funcionais em funções contínuas

A primeira, a terceira e a quarta são lineares pela linearidade da integral e da avaliação. A segunda não é: para a função constante \(f=1\), seu valor é \(2\), enquanto para \(2f\) é \(8\), em vez de \(4\).

Exercício 6.41: Aniquilador em dimensão quatro

Se \(f(x)=ax_1+bx_2+cx_3+dx_4\), então \(a=-3c+2d\) e \(b=-3c\). Uma base é \(f_1(x)=-3x_1-3x_2+x_3\) e \(f_2(x)=2x_1+x_4\).

Exercício 6.42: Aniquilador em dimensão cinco

Uma base é dada pelos funcionais com vetores de coeficientes \((0,1,-2,2,0)\) e \((-2,3,-4,0,14)\). Ambos se anulam nos três geradores, que são independentes; logo o aniquilador tem dimensão \(5-3=2\).

Exercício 6.43: Uma interseção infinita de hiperplanos

Se \(c_{2j}\) extrai o coeficiente de \(x^{2j}\), então \(W=\bigcap _{j\geq 0}\ker c_{2j}\). Cada núcleo é um hiperplano. A codimensão de \(W\) é infinita, pois as classes de \(1,x^2,x^4,\ldots \) formam uma base do quociente; uma interseção de \(r\) hiperplanos tem codimensão no máximo \(r\).

Exercício 6.44: Hiperplanos de matrizes e invertibilidade

Escreva \(H=\ker \operatorname {tr}(A\, \cdot )\), \(A\neq 0\), e escolha \(P,Q\) invertíveis com \(PAQ=D=\operatorname {diag}(I_r,0)\). Seja \(N\) a matriz da permutação cíclica de \(n\) elementos; ela é invertível e tem diagonal nula. Então \(X=QNP\) é invertível e \(\operatorname {tr}(AX)=\operatorname {tr}(PAQN)=\operatorname {tr}(DN)=0\). O argumento vale sobre qualquer corpo.

Exercício 6.45: Dual do hiperplano da soma nula

O núcleo da restrição a \(W\) é \(W^\perp \), a reta das famílias constantes. O subespaço \(\sum _i c_i=0\) complementa essa reta exatamente quando \(n\neq 0\) no corpo. Se \(n=0\) no corpo, a família constante \((1,\ldots ,1)\) pertence aos dois subespaços, impedindo a injetividade. Em qualquer característica, subtrair \(c_n(1,\ldots ,1)\) produz o único representante com última coordenada zero.

Exercício 6.46: Bases de funções e pontos de avaliação

As avaliações \(\operatorname {ev}_x|_W\) separam os elementos de \(W\): uma função anulada em todos os pontos é zero. Portanto geram \(W^*\), pois, caso contrário, seu aniquilador em \(W\) seria não nulo. Escolha \(n\) avaliações que formem base de \(W^*\) e tome a base dual em \(W\).

Exercício 6.47: Somas de quadrados de funcionais

Sobre \(\mathbb {R}\), a igualdade implica igualdade dos núcleos comuns, pois uma soma de quadrados é zero exatamente quando todos os termos são zero. Tome aniquiladores para recuperar os subespaços gerados. Sobre \(\mathbb {C}\), tome \(V=\mathbb {C}^2\), \(\phi _1=x\), \(\phi _2=ix\), \(\psi _1=y\), \(\psi _2=iy\): as duas somas são identicamente zero, mas seus espaços gerados são distintos.

Exercício 6.59: Cálculos com a transposta

Por definição, \(T^*(\phi )=\phi \circ T\). Os resultados são \(3x+y-2z\) e \(-x+5y\). No segundo item, \(D^*(f)(p)=\int _a^bp'(x)\, dx=p(b)-p(a)\), ou seja, \(D^*(f)=\operatorname {ev}_b-\operatorname {ev}_a\).

Exercício 6.60: Um critério para fórmulas de quadratura

A avaliação \(E:\mathcal P_n\to \mathbb {R}^n\) é sobrejetiva e seu núcleo é a reta gerada por \(q=\prod _i(x-a_i)\). O funcional integral é combinação das avaliações exatamente quando se anula nesse núcleo. Os pesos únicos são \(\lambda _i=\int _{-1}^1L_i(x)\, dx\). Equivalentemente, divida \(p=cq+r\), \(\deg r\lt n\), e interpole \(r\).

Exercício 6.61: Transposição dos espaços de operadores

Em bases duais, \(\Psi \) é a transposição de matrizes, uma aplicação linear bijetiva. A composição inverte a ordem: \((ST)^*=T^*S^*\). Assim \(\Psi \) é um anti-isomorfismo de álgebras; em dimensão pelo menos \(2\), operadores que não comutam mostram por que não preserva o produto na ordem original.

C.6 Produto interno

Exercício 7.47: Determinante de Gram e volume

A matriz de Gram é positiva semidefinida e é definida positiva exatamente quando os vetores são independentes: \(c^tGc=\| \sum _i c_iv_i\| ^2\). Se os demais vetores são independentes, subtrair sua combinação \(w\) da primeira entrada nas linhas e colunas não altera o determinante e produz uma matriz em blocos \([\| h\| ^2]\oplus G(v_2,\ldots ,v_r)\). Se forem dependentes, os dois lados são zero. A regra altura vezes volume da base dá a fórmula por indução, incluindo volume zero em famílias dependentes. Em uma base ortonormal, \(G=A^tA\), logo \(\det G=(\det A)^2\).

Exercício 7.48: Matrizes unitárias triangulares

A primeira coluna tem somente a primeira entrada, cujo módulo é \(1\). Sua ortogonalidade com as outras colunas força todas as demais entradas da primeira linha a zero. Repita no bloco restante. Uma entrada real positiva de módulo \(1\) só pode ser \(1\).

C.7 Determinantes

Exercício 9.25: Determinante e complemento de Schur

A multiplicação dos blocos reproduz \(A,B,C,D\). Os dois fatores são triangulares por blocos, de determinantes \(\det A\) e \(\det (D-CA^{-1}B)\), respectivamente. Portanto o determinante procurado é \(\det A\, \det (D-CA^{-1}B)\).

Exercício 9.26: Invertibilidade em uma família de matrizes

O polinômio \(p(t)=\det (A+tB)\) tem grau no máximo \(n\) e não é nulo: se \(A\) é invertível, \(p(0)\neq 0\); se \(B\) é invertível, o coeficiente de \(t^n\) é \(\det B\neq 0\). Um polinômio não nulo de grau no máximo \(n\) tem no máximo \(n\) raízes. Sobre um corpo finito, o resultado é essa contagem; não implica a existência de um parâmetro admissível.

C.8 Estrutura dos operadores

Exercício 10.4: Semelhança real e complexa

Se \(AP=PB\) com \(P=R+iS\) invertível, \(R,S\) reais, então \(AR=RB\) e \(AS=SB\). O polinômio real \(d(t)=\det (R+tS)\) não é nulo, pois \(d(i)=\det P\neq 0\). Escolha \(t\in \mathbb {R}\) fora de suas finitas raízes. Assim \(Q=R+tS\) é real, invertível e satisfaz \(AQ=QB\).

Exercício 10.45: Operadores sem polinômio anulador

(1) Se \(p=\sum a_jx^j\), então \(p(T)e_0=\sum a_je_j\) força \(p=0\). (2) O subespaço \(\operatorname {im}T\) é finito e invariante; um polinômio não nulo \(q\) anula \(T|_{\operatorname {im}T}\), logo \(xq\) anula \(T\). (3) Em dimensão finita vale Cayley–Hamilton. Em dimensão infinita, escolha uma família enumerável da base, faça o deslocamento nessa família e defina \(T=0\) nos demais vetores da base; o argumento do primeiro item prova que não há anulador não nulo. (4) Escreva \(T(x)=f(x)v\), com \(v\neq 0\) e \(f\) linear; então \(T^2(x)=f(x)f(v)v\), logo \(a=f(v)\).

C.9 Forma de Jordan real

Exercício 11.19: Uma base de Jordan real

O polinômio característico é \((x^2-2x+2)^2\). Tomando

obtém-se \(P^{-1}AP=\begin{bmatrix} C & I_2 \\ 0 & C \end{bmatrix}\). As colunas de \(P\) formam a base procurada. São as partes real e imaginária de uma cadeia complexa de comprimento \(2\) para o autovalor \(1+i\); a verificação \(AP=PJ\) também fornece uma prova direta.

C.10 Formas bilineares

Exercício 15.1: Formas integrais em polinômios

Os pesos são estritamente positivos e a integral de um quadrado não nulo é positiva. Nas bases canônicas,

Em \(\mathcal B\), as matrizes são, respectivamente,

Para \(g\), normalize os polinômios \(1,x,x^2-1/3,x^3-3x/5\), cujas normas ao quadrado são \(2,2/3,8/45,8/175\). Para \(h\), normalize \(1,x,x^2-2/5,x^3-9x/14\), cujas normas ao quadrado são \(8/3,16/15,136/525,148/2205\). Os dois radicais são nulos. As formas \(b_0,b_1\) são bilineares e não alternadas; apenas \(b_0\) é simétrica (e hermitiana real).

Exercício 15.2: Forma em matrizes retangulares

Como \(f(E_{ij},E_{k\ell })=a_{ik}\delta _{j\ell }\),

Não é simétrica, pois \(f(E_{11},E_{21})=2\neq 3=f(E_{21},E_{11})\).

Exercício 15.3: Bilinearidade e espaços de aplicações lineares

Bilinearidade em \(v\) garante que \(\Omega (F)(u)\in \operatorname {Hom}(V,W)\), e bilinearidade em \(u\) garante que \(u\mapsto \Omega (F)(u)\) é linear. A inversa envia \(L\) a \(F(u,v)=L(u)(v)\); a linearidade das duas aplicações e suas composições iguais à identidade seguem diretamente das fórmulas.

Exercício 15.4: Uma forma de traço degenerada

Bilinearidade e simetria decorrem das propriedades do traço. Pelo emparelhamento não degenerado \(\operatorname {tr}(CB)\), \(A\) está no radical exatamente quando \(nA-\operatorname {tr}(A)I=0\). Logo o radical é \(\mathbb {C}I\) e o posto é \(n^2-1\), incluindo \(n=1\), quando a forma é nula.

Exercício 15.5: Representar uma forma por outra

As equações matriciais são \(T_1^tG=F\) e \(GT_2=F\), logo \([T_1]=(G^{-1})^tF^t\) e \([T_2]=G^{-1}F\). Para \(g=0\) e \(f\neq 0\), não existe representação; para \(g=f=0\) em um espaço não nulo, todos os operadores servem, portanto não há unicidade.

Exercício 15.6: Formas bilineares de posto um

Se \(f=a\otimes b\), a imagem do mapa \(u\mapsto f(u,\cdot )\) é a reta gerada por \(b\). Reciprocamente, se essa imagem é \(\mathbb {K}b\), escreva \(f(u,\cdot )=a(u)b\). Escolhendo \(v_0\) com \(b(v_0)=1\), temos \(a(u)=f(u,v_0)\), que é linear.

Exercício 15.7: Quocientes pelos radicais

Se \(B\) é a matriz de \(b\), então \(\dim U/L=\operatorname {posto}(B^t)=\operatorname {posto}B=\dim V/R\). Adicionar elementos dos radicais não altera o valor da forma. Se uma classe se anula contra todas as classes no outro fator, seu representante está no respectivo radical, logo a classe é zero.

Exercício 15.8: Independência e matriz de Gram

Uma relação entre os vetores fornece uma relação entre as linhas da matriz de Gram. A recíproca falha para \(b\) de matriz \(\operatorname {diag}(1,-1)\) e o único vetor \((1,1)\): ele é independente, mas a matriz de Gram é \((0)\). A equivalência vale se a restrição ao subespaço gerado for não degenerada; em particular, vale para produtos internos positivos definidos.

Exercício 15.9: Separar o radical antes de ortogonalizar

Se \(u\in U\) se anula contra \(U\), também se anula contra \(R\), portanto contra \(V\); logo \(u\in U\cap R=0\). Diagonalize \(b|_U\) por indução: existe \(u\) com \(b(u,u)\neq 0\), pois, se todos os quadrados fossem zero, a polarização daria \(b=0\). Separe \(\langle u\rangle \oplus \langle u\rangle ^\perp \) e repita. Acrescente uma base de \(R\) ao final. Na etapa com uma base \((e_i)\), os vetores \(e_i-\sum _{j=1}^k b(e_i,u_j)u_j/b(u_j,u_j)\) geram o complemento ortogonal dos vetores já obtidos.

Exercício 15.10: Polarização e discriminante

A expansão dá \((f(u,v)+f(v,u))/2\), igual a \(f\) exatamente quando \(f\) é simétrica. No segundo item, a matriz é \(\begin{bmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{bmatrix}\), de determinante \(ac-b^2/4\).

Exercício 15.11: Reciprocidade da ortogonalidade

Como \(f(u,f(u,w)v-f(u,v)w)=0\), a hipótese dá \(f(u,w)f(v,u)=f(u,v)f(w,u)\). Se existe \(a\) com \(f(a,a)\neq 0\), tomando \(w=a\) e depois aplicando a mesma identidade a \(u=a+tv\) mostra-se a simetria. Mais diretamente, para cada \(u\) não radical os funcionais \(f(u,\cdot )\) e \(f(\cdot ,u)\) têm o mesmo núcleo, logo \(f(\cdot ,u)=c_u f(u,\cdot )\). Se o posto é pelo menos \(2\), compare \(u,v,u+v\) com as respectivas linhas independentes: os \(c_u\) são um mesmo escalar \(c\); a transposição dá \(c^2=1\), e a presença de \(f(a,a)\neq 0\) força \(c=1\). Se o posto é \(1\), escreva \(f=a\otimes b\); a reciprocidade força \(a,b\) proporcionais, dando simetria. Se todos os \(f(u,u)\) são zero, \(f\) é alternada por definição, e expandir \(f(u+v,u+v)=0\) dá antissimetria. Em característica \(2\), uma forma alternada também é simétrica.

Exercício 15.12: Ortogonalidade para formas possivelmente degeneradas

As inclusões e a igualdade para a soma seguem das definições e da reciprocidade da ortogonalidade; aplicar a inclusão \(U\subseteq U^{\perp \perp }\) aos dois lados dá a igualdade tripla. Na situação não degenerada, \(U^{\perp \perp }=U\); aplique a fórmula da soma aos ortogonais. Para o contraexemplo, em \(\mathbb {R}^2\) tome \(b((x,y),(z,t))=xz\), \(U=\langle (1,0)\rangle \) e \(W=\langle (1,1)\rangle \). Então \((U\cap W)^\perp =\mathbb {R}^2\), mas \(U^\perp +W^\perp =\langle (0,1)\rangle \).

Exercício 15.13: Bases duais relativas a uma forma

O mapa é linear e tem núcleo igual ao radical nulo. Se \(G=(b(e_i,e_j))\), as colunas de \(G^{-1}\) são as coordenadas dos \(e'_j\). Avaliar as duas expansões contra as respectivas bases duais confirma os coeficientes e sua unicidade.

Exercício 15.15: Positividade e critério de Sylvester

Para o primeiro item, as restrições de uma forma positiva são positivas, logo têm determinante positivo. Reciprocamente, eliminação simétrica fornece \(A=LDL^*\) com pivôs \(d_k=\Delta _k/\Delta _{k-1}\gt 0\) (\(\Delta _0=1\)), logo a forma é positiva. Para o segundo, restrições semidefinidas têm autovalores não negativos. Na recíproca, para \(t\gt 0\), cada menor principal inicial de \(A+tI\) é uma soma de menores principais de \(A\) multiplicados por potências de \(t\), incluindo o termo estritamente positivo \(t^k\); pelo primeiro item, \(A+tI\gt 0\). Faça \(t\downarrow 0\). No caso real, \(P=D^{1/2}L^t\) satisfaz \(P^tP=A\). A condição apenas de menores iniciais não negativos é insuficiente: \(\operatorname {diag}(0,-1)\) é um contraexemplo.

Exercício 15.16: Formas unidimensionais sobre um corpo finito

Na base \((e)\), uma forma tem matriz \((a)\). Mudar \(e\) para \(te\) substitui \(a\) por \(t^2a\). Há uma classe degenerada (\(a=0\)) e duas classes não degeneradas, representadas por \(1\) e por um não quadrado \(\nu \). De fato, o homomorfismo \(t\mapsto t^2\) em \(\mathbb F_q^*\) tem núcleo \(\{ 1,-1\} \) e imagem de índice \(2\).

Exercício 15.17: Minkowski e espaço euclidiano

Não. Suas inércias são \((1,3,0)\) e \((4,0,0)\), respectivamente. Além disso, o vetor não nulo \((1,1,0,0)\) é isotrópico para Minkowski, enquanto no espaço euclidiano nenhum vetor não nulo tem quadrado da norma zero.

Exercício 15.18: Redução por congruência

Para \(A\), uma base é \((e_1,e_2-2e_1,e_3-e_1/2-5e_2/4)\), com diagonal \((1,-4,-15/4)\). Para \(B\), use \((e_1+e_2,e_1-e_2,e_3-3e_1/10-e_2/5)\), com diagonal \((20,-20,-6/5)\). Ambas têm inércia \((1,2,0)\) e são congruentes a \(\operatorname {diag}(1,-1,-1)\) por normalização. Para \(C\), a base \((e_1,e_2,3e_1-2e_2+e_3)\) dá \(J\oplus (0)\). Para \(D\), a base \((e_1,e_2,e_1-e_2+e_3,e_2-e_4)\) dá \(J\oplus J\).

Exercício 15.19: Forma quadrática e operador associado

A matriz é \(A=\mathbf1\mathbf1^t-2I\), com autovalor \(1\) em \((1,1,1)\) e \(-2\) no plano \(x+y+z=0\). Uma base ortonormal é \((a,b,c)=((1,1,1)/\sqrt3,(1,-1,0)/\sqrt2,(1,1,-2)/\sqrt6)\); ambas as matrizes são \(\operatorname {diag}(1,-2,-2)\), de inércia \((1,2,0)\). Na base \((a+b,a+b/2,c)\), a forma tem diagonal \((-1,1/2,-2)\), enquanto \(T(a+b)=-5(a+b)+6(a+b/2)\), portanto a matriz do operador não é diagonal.

Exercício 15.20: Restrição a um complemento ortogonal

A matriz é \(A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 3 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\). A condição para \(W\) é \(z=-x\), logo tome \(u=(1,0,-1)\) e \(v=(0,1,0)\). A matriz restrita é \(\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}\); a base \((u,v-u)\) dá diagonal \((3,-3)\). Acrescentar \(e_3\), ortogonal a \(W\) e de quadrado \(-1\), dá inércia \((1,2,0)\) e posto \(3\).

Exercício 15.21: Formas alternadas de posto dois

Na forma canônica de uma forma alternada de posto \(2\), a matriz é \(J\oplus 0\); os dois funcionais coordenados dão \(f,g\). Na recíproca, a independência torna \(v\mapsto (f(v),g(v))\) sobrejetiva em \(\mathbb {K}^2\). O radical é \(\ker f\cap \ker g\), de codimensão \(2\), logo o posto é \(2\).

Exercício 15.22: Assinatura de uma forma construída de funcionais

A simetria e a bilinearidade seguem da expressão. Escolha coordenadas em que \(f=x_1\) e \(g=x_2\); a matriz é \(\begin{bmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}\oplus 0\). A inércia é \((1,1,n-2)\) e o radical é \(\ker f\cap \ker g\).

Exercício 15.23: Formas quadráticas na esfera unitária

Em uma base ortonormal de autovetores, \(q(\sum _i a_ie_i)=\sum _i\lambda _i a_i^2\). Isso prova o primeiro item e, quando todos os \(\lambda _i\) têm o mesmo sinal fraco, o segundo. Se \(u\) é um extremo local unitário e \(z\perp u\), diferencie \(q((u+tz)/\| u+tz\| )\) em \(t=0\): obtém-se \(2\langle Tu,z\rangle =0\). Portanto \(Tu\) é múltiplo de \(u\), e \(Tu=q(u)u\). Na esfera, os \(a_i^2\) somam \(1\); assim o mínimo global é o menor autovalor e o máximo é o maior.

C.11 Produtos tensoriais

Exercício 16.1: Exemplos de aplicações multilineares

Fixadas as demais variáveis, cada expressão é linear na variável restante. Nos itens com funções, use a distributividade do produto e a linearidade da integral e da derivada; a derivada de um produto de funções não é, em geral, um escalar, por isso o contradomínio correto é \(C([a,b])\). Para \(\Delta \), \(\Delta (v,v)=0\). Finalmente, \(G(e_2,e_2,e_1)=0\), embora os três vetores sejam não nulos.

Exercício 16.2: Operações e subespaços de aplicações multilineares

Nos dois primeiros itens, fixe todas as variáveis menos uma e aplique linearidade. As condições de simetria, antissimetria e alternância são preservadas por combinações lineares. Em uma família dependente, expresse um vetor em termos dos demais e expanda; cada parcela contém duas entradas iguais e é nula. A decomposição bilinear é \(f=(f+f^{\mathrm{op}})/2+(f-f^{\mathrm{op}})/2\), com \(f^{\mathrm{op}}(u,v)=f(v,u)\). A interseção é zero porque \(2f=0\) implica \(f=0\).

Exercício 16.3: Permutações das variáveis

A substituição dá \((f^\sigma )^\rho =f^{\rho \circ \sigma }\). Reordenar variáveis preserva a linearidade em cada uma, e a definição comuta com somas e escalares. Toda permutação é produto de transposições; uma forma simétrica é fixa por cada uma, e uma antissimétrica muda de sinal a cada troca. O produto dos sinais é \(\operatorname {sgn}\sigma \).

Exercício 16.4: A imagem de uma aplicação bilinear

Tome \(F:\mathbb {K}^2\times \mathbb {K}^2\to M_2(\mathbb {K})\), \(F(u,v)=uv^t\). Sua imagem consiste nas matrizes de posto no máximo \(1\); contém \(E_{11}\) e \(E_{22}\), mas não sua soma \(I_2\). A aplicação linear induzida \(\widetilde F:\mathbb {K}^2\otimes \mathbb {K}^2\to M_2(\mathbb {K})\) é sobrejetiva, pois sua imagem contém todos os \(E_{ij}\).

Exercício 16.5: Uma aplicação bilinear sem divisores de zero

A fórmula é linear em cada entrada. Identificando \((x_1,x_2)\) com \(x_1+ix_2\), \(\mu \) é a multiplicação complexa, que não tem divisores de zero. Também se pode usar \(\| \mu (x,y)\| ^2=\| x\| ^2\| y\| ^2\).

Exercício 16.6: Troca dos fatores tensoriais

A aplicação bilinear \((v,w)\mapsto w\otimes v\) induz uma transformação linear \(\sigma \). A troca no sentido oposto induz sua inversa, pois ambas as composições fixam os tensores puros, que geram o espaço. Em bases, \(e_i\otimes f_j\mapsto f_j\otimes e_i\). As dimensões são \((\dim V)(\dim W)\), mas a contagem não determina uma aplicação específica.

Exercício 16.7: Funções de suporte finito e produtos tensoriais

As funções indicadoras \(\delta _x\) e \(\delta _y\) formam bases, e o mapa envia \(\delta _x\otimes \delta _y\) a \(\delta _{(x,y)}\), uma base do destino. Se os conjuntos são finitos, toda função tem suporte finito. Para \(X=Y=\mathbb {N}\), a função \(h(i,j)=\delta _{ij}\) não é soma finita de produtos \(f_k(i)g_k(j)\): suas colunas são as infinitas funções coordenadas independentes, enquanto as colunas de uma soma de \(r\) produtos estão no espaço gerado pelas \(r\) funções \(f_k\).

Exercício 16.8: Produto de Kronecker e operações

Expanda \((S\otimes T)(e_j\otimes f_\ell )=\sum _{i,k}a_{ij}b_{k\ell }e'_i\otimes f'_k\), dando os blocos e a indexação. A composição e a linearidade seguem da ação em tensores puros, que geram. O traço é \(\sum _{i,k}a_{ii}b_{kk}\). Para o determinante, estenda os escalares a um corpo em que os polinômios característicos se decomponham e triangularize \(A,B\) separadamente; o produto tensorial das mudanças de base triangulariza \(A\otimes B\), cuja diagonal tem entradas \(a_{ii}b_{kk}\). Seu produto é a fórmula desejada, que permanece uma igualdade no corpo original. Em particular, para \(A=B\), o traço é \((\operatorname {tr}A)^2\) e o determinante é \((\det A)^{2n}\).

Exercício 16.9: Matrizes como modelo de produto tensorial

O mapa é bilinear e envia os pares de vetores das bases a \(E_{ij}\). Defina \(L(\sum x_{ij}E_{ij})=\sum x_{ij}F(e_i,f_j)\). A expansão bilinear mostra \(L\phi =F\). A unicidade segue porque os \(E_{ij}\) são uma base.

Exercício 16.10: Interseções de subespaços tensoriais

Escolha decomposições \(V=(V_1\cap V_2)\oplus A_1\oplus A_2\oplus A_0\), com \(V_i=(V_1\cap V_2)\oplus A_i\), e decomposições análogas para \(W\). Bases adaptadas tornam os produtos tensoriais subespaços coordenados. Os únicos vetores da base tensorial presentes em ambos os espaços são aqueles com o primeiro fator na interseção dos \(V_i\) e o segundo na interseção dos \(W_i\).

Exercício 16.11: Polinômios de um operador tensorizado

Potências e combinações lineares dão a primeira identidade. Se \(w\neq 0\) e \(p(S)=0\), então \(p(T)v\otimes w=0\) para todo \(v\); aplique \(I_V\otimes f\), com \(f(w)=1\), para obter \(p(T)v=0\). Os ideais anuladores e, portanto, os minimais coincidem. O critério de raízes simples do polinômio minimal dá a conclusão sobre diagonalização. A condição \(W\neq 0\) é necessária.

Exercício 16.12: Tensores e operadores definidos no dual

A fórmula é bilinear em \(v,w\), dando existência e unicidade. Escreva um tensor como \(\sum _{i=1}^r v_i\otimes w_i\) com os \(v_i\) independentes e escolha funcionais \(f_j(v_i)=\delta _{ij}\); \(\Gamma (z)=0\) força cada \(w_j=0\). A imagem é composta exatamente por somas \(f\mapsto \sum _i f(v_i)w_i\), o que dá a descrição pedida. Em dimensão finita, esses operadores incluem todos os elementos de \(\operatorname {Hom}(V^*,W)\), pois toda forma linear em \(V^*\) é avaliação em algum vetor de \(V\).

Exercício 16.13: Dual de um produto tensorial

A propriedade universal define o mapa. Todo tensor usa subespaços finitos de cada \(V_i^*\); funcionais independentes \(f_1,\ldots ,f_k\) em \(V_i\) admitem vetores \(v_j\) com \(f_i(v_j)=\delta _{ij}\), pois o mapa para \(\mathbb {K}^k\) é sobrejetivo. Avaliar nesses vetores mostra que todos os coeficientes de um tensor no núcleo são zero. Em dimensão finita, produtos de bases duais fornecem a base dual da base tensorial. Para \(V=W=\mathbb {K}^{(\mathbb {N})}\), a forma \(b(e_i,e_j)=\delta _{ij}\) define um funcional no tensor, mas não é soma finita de produtos de funcionais: sua matriz tem posto infinito.

Exercício 16.14: Uma identificação que depende de bases

Escolha \((e_i)\) e sua dual \((e_i^*)\); o isomorfismo \(e_i\mapsto e_i^*\) induz \(e_i\otimes w\mapsto e_i^*\otimes w\). Uma mudança de base altera a identificação de \(V\) com seu dual; não há forma bilinear ou base distinguida nos dados. Em dimensão infinita, \(V\) e \(V^*\) podem nem ser isomorfos: tome \(V=\mathbb {Q}[x]\) e \(W=\mathbb {Q}\).

Exercício 16.35: Simetrização em qualquer grau

Reindexar a soma dá \(P_\tau S_r=S_r\), e \(S_r\) fixa todo tensor invariante, logo \(S_r^2=S_r\). Os valores são \(e_1\otimes e_1\), \((e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1)/2\), \(e_1^{\otimes 3}\) e a média dos seis produtos com fatores \(e_1,e_2,e_3\) permutados. Somas sobre órbitas dos vetores da base tensorial formam uma base da imagem; as órbitas correspondem a multiconjuntos de tamanho \(r\), em número \(\binom {n+r-1}{r}\). Para um tensor antissimétrico e \(r\geq 2\), a soma dos sinais das permutações é zero, logo \(S_rz=0\).

Exercício 16.36: Antissimetrização e dimensões exteriores

Reindexar dá \(P_\tau A_r=\operatorname {sgn}(\tau )A_r\), e \(A_r\) fixa cada tensor antissimétrico; logo é idempotente. O mapa \(v_1\wedge \cdots \wedge v_r\mapsto A_r(v_1\otimes \cdots \otimes v_r)\) identifica as bases de índices estritamente crescentes. A soma dos sinais anula tensores simétricos para \(r\geq 2\). Há \(\binom nr\) vetores na base exterior e \(\sum _{r=0}^n\binom nr=2^n\) na álgebra exterior. A descrição por quociente continua válida sem a hipótese sobre \(r!\), mas a média escrita acima não.

Exercício 16.37: Produto exterior e normalização

A média total absorve as médias em blocos: \(A_{p+q+s}(A_{p+q}(\alpha \otimes \beta )\otimes \gamma )=A_{p+q+s}(\alpha \otimes \beta \otimes \gamma )\). Isso dá associatividade. Trocar os blocos realiza \(pq\) transposições, dando o sinal. A expansão de Leibniz mostra \(\det (f_i(v_j))=r!\, A_r(f_1\otimes \cdots \otimes f_r)(v_1,\ldots ,v_r)\). Sob a identificação \(v_1\wedge \cdots \wedge v_r\mapsto A_r(v_1\otimes \cdots \otimes v_r)\), o produto por quociente corresponde a \(\star \). Na convenção determinantal das formas, o produto de graus \(p,q\) é \((p+q)!/(p!q!)\) vezes a média alternada do produto tensorial das formas; ambas as convenções são coerentes, mas seus fatores não devem ser misturados.

Exercício 16.38: Formas alternadas e o dual da potência exterior

Envie \(f_1\wedge \cdots \wedge f_r\) ao funcional \(v_1\wedge \cdots \wedge v_r\mapsto \det (f_i(v_j))\). Em bases duais, os produtos de índices crescentes são duais, logo o mapa é um isomorfismo. A propriedade universal identifica os funcionais em \(\bigwedge ^rV\) com as formas alternadas em \(V\). Formas recebem vetores como entradas e têm fatores no dual; identificar \(V\) com \(V^*\) requer uma escolha adicional.

Exercício 16.39: Aplicações induzidas em potências exteriores e simétricas

O operador \(T^{\otimes r}\) preserva as relações de alternância e de simetria, logo desce aos quocientes. Identidades e composições são verificadas em produtos puros, que geram. Se \(T\) é injetivo, existe uma inversa à esquerda linear, obtida estendendo bases; se é sobrejetivo, existe uma inversa à direita, escolhendo pré-imagens de uma base. Aplicar as construções às identidades dessas inversas prova injetividade e sobrejetividade. Para isomorfismos, a inversa induzida é a construção aplicada a \(T^{-1}\).

Exercício 16.40: Projeções universais e formas simétricas

As projeções têm os núcleos indicados por definição. Tensores puros geram, garantindo unicidade. Uma linearização desce ao quociente exatamente quando anula suas relações: alternância ou simetria, respectivamente. Isso prova os isomorfismos, em qualquer característica.

C.12 Gabaritos da coleção adicional

Os exercícios seguintes vieram da pasta adicional de exercícios de ALA I. Mantém-se a referência à numeração e à página do enunciado em cada capítulo.

C.12.1 Espaços vetoriais e geometria afim

Exercício 2.22: Espaços gerados por uniões e interseções

A primeira igualdade é falsa: em \(\mathbb {R}^2\), tome \(U=\{ e_1,e_2\} \) e \(W=\{ e_1+e_2\} \). A interseção dos conjuntos é vazia, mas a dos espaços gerados é \(\langle e_1+e_2\rangle \). Sempre vale \(\langle U\cap W\rangle \subseteq \langle U\rangle \cap \langle W\rangle \). A segunda igualdade é verdadeira: toda combinação de vetores da união se separa em uma combinação de \(U\) e outra de \(W\), e reciprocamente.

Exercício 2.49: Classificação de pares de subespaços

Escolha, em cada par, uma base da interseção e complete-a separadamente a bases de \(U_i\) e de \(W_i\). A união dessas três famílias é uma base de \(U_i+W_i\). Complete-a a uma base ambiente. As dimensões dadas permitem emparelhar as quatro partes; a aplicação que envia uma base à outra é o automorfismo desejado.

Exercício 5.5: Coordenadas baricêntricas

Escolha uma base \(u_1,\ldots ,u_{m-1}\) de \(U\) e tome \(p_1=p\), \(p_{j+1}=p+u_j\). Se \(x=p+\sum _jc_ju_j\), ponha \(\lambda _{j+1}=c_j\) e \(\lambda _1=1-\sum _jc_j\). A unicidade dos coeficientes na base dá a unicidade dos \(\lambda _i\), e a recíproca segue subtraindo duas representações afins.

Exercício 5.6: Interseção com um hiperplano

Se \(f|_U\neq 0\), essa aplicação é sobrejetiva sobre o corpo e existe \(u\in U\) com \(f(p+u)=c\). Logo a interseção vazia força \(f|_U=0\), e \(S\subseteq \{ x:f(x)=f(p)\} \). No segundo item, \(f|_U\) não pode ser zero: caso contrário \(S\subseteq H\). Assim \(S\cap H=q+(U\cap \ker f)\), com \(q\) na interseção, e o teorema do posto reduz a dimensão em um.

Exercício 5.7: Paralelismo de subespaços afins

Se \(S_i=p_i+U\) são distintos, então \(p_2-p_1\notin U\), e \(p_1+(U+\langle p_2-p_1\rangle )\) tem dimensão \(k+1\) e contém os dois. Reciprocamente, dentro de um espaço afim de dimensão \(k+1\), duas direções distintas de dimensão \(k\) somam toda a direção ambiente; assim as classes se intersectariam. Em dimensão três, direções distintas de planos somam \(\mathbb {R}^3\) e sua interseção tem dimensão um. Para três planos sem ponto comum, as duas retas de interseção contidas em qualquer um deles são disjuntas; sendo coplanares, são paralelas.

Exercício 5.8: Codimensões e compatibilidade de classes

O núcleo de \(\Phi \) é \(\bigcap _iW_i\) e a interseção das classes é não vazia exatamente quando \((p_i+W_i)_i\) pertence à imagem. Se a interseção é vazia, \(\Phi \) não é sobrejetiva; logo \(\operatorname {posto}\Phi \lt \sum _i e_i\). O teorema do posto dá a desigualdade estrita desejada.

C.12.2 Transformações lineares

Exercício 4.17: Dependência pontual e operadores escalares

Para \(v\neq 0\), escreva \(Tv=\lambda _vv\). Se \(u,v\) são independentes, comparar \(T(u+v)\) com \(Tu+Tv\) força \(\lambda _u=\lambda _v=\lambda _{u+v}\). Se dois vetores não nulos são dependentes, a linearidade já iguala seus escalares. Fixando um vetor não nulo, obtemos um único \(\lambda \) em todo o espaço. Para \(V=\{ 0\} \), qualquer escalar serve.

Exercício 4.26: Contagem de automorfismos sobre um corpo finito

O primeiro vetor pode ser escolhido de \(q^n-1\) maneiras. Escolhidos \(j\) vetores independentes, seu espaço gerado tem \(q^j\) elementos, deixando \(q^n-q^j\) escolhas para o seguinte. Assim, \(|\mathrm{GL}(V)|=\prod _{j=0}^{n-1}(q^n-q^j)\). Para \(n=0\), o produto vazio é um, correspondente à única aplicação do espaço zero.

Exercício 5.18: Aplicações induzidas em cohomologia

Se \(d_iz=0\), então \(d'_iT_iz=T_{i+1}d_iz=0\). Se \(z=d_{i-1}u\), então \(T_iz=d'_{i-1}T_{i-1}u\); portanto a classe da imagem depende apenas de \([z]\). As identidades de composição seguem calculando em representantes. Finalmente, \(H^i=0\) equivale a \(\ker d_i=\operatorname {im}d_{i-1}\), que é a condição de exatidão.

Exercício 4.41: Desigualdade de Sylvester para o posto

A restrição \(S|_{\operatorname {im}T}\) tem núcleo \(\operatorname {im}T\cap \ker S\), logo \(\operatorname {posto}(ST)=\operatorname {posto}T-\dim (\operatorname {im}T\cap \ker S)\). Use \(\dim \ker S=\dim V-\operatorname {posto}S\) para a cota inferior. No segundo item, os postos possíveis são dois e três. Tome as colunas de \(A\) como \(e_1,e_2,e_3,0,0\) em \(\mathbb {R}^4\). Para posto três, use \(B=A\); para posto dois, use as colunas \(e_1,e_2,e_4,0,0\).

C.12.3 Quocientes e dualidade

Exercício 5.31: Integração como inversa no quociente

O núcleo de \(D\) é \(K\). Toda função contínua \(f\) tem a primitiva \(F(x)=\int _a^xf(t)\, dt\), de modo que \(D\) é sobrejetiva. O primeiro teorema de isomorfismo dá \(\overline D([F])=F'\) e a inversa é \(f\mapsto [F]\). Duas primitivas diferem por uma constante e representam a mesma classe.

Exercício 5.32: Identidade num subespaço e no quociente

A identidade no quociente significa \(R(V)\subseteq W\), enquanto \(T|_W=I_W\) significa \(R(W)=0\). Portanto \(R^2=0\) e \(T^{-1}=I_V-R\). Reciprocamente, tome \(W=\ker R\), que contém \(\operatorname {im}R\). Sem a hipótese sobre a restrição, tome em \(\mathbb {R}^2\) \(W=\langle e_1\rangle \) e \(T=\operatorname {diag}(2,1)\): o quociente é fixado, mas \((T-I)^2\neq 0\).

C.12.4 Ortogonalização e fatoração QR

Exercício 7.1: Cálculos de Gram–Schmidt e QR

As fatorações são dadas por

Exercício 7.2: Gram–Schmidt e fatoração QR

Cada passo subtrai combinações dos vetores anteriores e conserva o espaço gerado. Assim, \(r_{ij}=0\) para \(i\gt j\) e \(r_{jj}\) é a norma do resíduo não nulo do passo \(j\). Se \(QR=Q'R'\), os espaços gerados são iguais; \(Q^TQ'=RR'^{-1}\) é triangular superior e ortogonal, logo diagonal com entradas \(\pm 1\). A diagonal positiva dos fatores força \(Q^TQ'=I\). Uma extensão ortonormal das colunas de \(Q\) fornece \(\widehat Q\).

Exercício 7.3: Reflexões de Householder

Como \(vv^T/(v^Tv)\) é uma projeção ortogonal de posto um, a reflexão tem autovalores \(-1\) em \(\langle v\rangle \) e \(1\) em \(v^\perp \). A identidade \(2v^Ta=v^Tv\) dá \(H_va=a-v=\alpha e_1\). Aplique depois reflexões aos segmentos das colunas abaixo do pivô, preservando os zeros já obtidos. Ajustando sinais para tornar positiva a diagonal de \(R\), uma resposta é

C.12.5 Mínimos quadrados e regressão

Exercício 7.15: Sistemas inconsistentes e mínimos quadrados

As respostas são \(x=(4/3,-1/3)\) no primeiro caso; \(x=(0,2,5)+t(1,-1,-1)\), \(t\in \mathbb {R}\), no segundo; e \(x=(1,1)\) no terceiro. Os resíduos \(b_i-A_ix\) são, respectivamente, \((1,3,-3,1)\), \((-1,1,3,-3)\) e \((1,1,-2)\). A multiplicação por \(A_i^T\) dá zero em cada caso.

Exercício 7.16: Mínimos quadrados e equações normais

A decomposição ortogonal \(b=P_{\operatorname {im}A}b+(I-P_{\operatorname {im}A})b\) mostra que \(\| Ax-b\| ^2=\| Ax-P_{\operatorname {im}A}b\| ^2+\| (I-P_{\operatorname {im}A})b\| ^2\). O primeiro termo se anula precisamente quando \(A^\ast (Ax-b)=0\). Além disso, \(\langle A^\ast Ax,x\rangle =\| Ax\| ^2\), provando a igualdade dos núcleos; o teorema do posto dá a igualdade dos postos. Duas soluções diferem por um elemento de \(\ker A\), e há unicidade exatamente quando \(A\) é injetiva. Na fatoração QR, \(R^TRx=R^TQ^Tb\); cancele \(R^T\) e resolva de baixo para cima.

Exercício 7.17: Quociente de Rayleigh como aproximação

A projeção de \(Av\) sobre \(\langle v\rangle \) dá \(\lambda =\langle Av,v\rangle /\| v\| ^2\). O mínimo ao quadrado é \(\| Av\| ^2-\langle Av,v\rangle ^2/\| v\| ^2\); ele é zero exatamente quando \(v\) é autovetor. Assim, o quociente de Rayleigh fornece a melhor aproximação escalar para esse vetor fixo.

Exercício 7.18: Matrizes de projeto para diferentes modelos

As linhas são, respectivamente, \((1,x_i,\ldots ,x_i^k)\); \((1,t_i,\cos (2\pi t_i/T),\sin (2\pi t_i/T))\); \((1,u_i,v_i)\); e \((1,\cos (\omega u_i),\sin (\omega u_i),v_i,v_i^2,u_iv_i)\). Em cada caso, o ajuste usa \(X^TX\widehat\beta =X^Ty\); a unicidade depende do posto das colunas amostradas, não apenas do número de observações.

Exercício 7.19: Regressão linear e centralização

A matriz de projeto tem linhas \((1,x_i)\); suas colunas são independentes precisamente quando os \(x_i\) não são todos iguais. O ajuste é a projeção do vetor \(y\) no espaço dessas colunas, e o resíduo é ortogonal a \(1\) e a \(x\). No modelo centrado, \(X^TX=\operatorname {diag}(N,\sum z_i^2)\), que em geral não é identidade; tampouco \(XX^T=I\). Se \(\sum z_i^2\gt 0\),

Para os quatro pontos, a reta é \(y=43/10-7x/10\). Dados próximos de uma parábola, por exemplo, podem exigir um modelo quadrático.

Exercício 7.20: Ajuste quadrático de dados

A solução das equações normais é \(\widehat\beta =(29/50,941/700,-19/140)\), isto é, \(y\approx 0{,}58+1{,}344286x-0{,}135714x^2\). O coeficiente quadrático negativo expressa a diminuição dos incrementos dos valores observados.

Exercício 7.21: Interpolação e matriz de Vandermonde

Uma combinação nula das colunas define um polinômio de grau menor que \(N\) com \(N\) raízes distintas, logo todos os coeficientes são zero. Para os cinco pontos, \(p(t)=5-2t/3-t^2/2+t^3/6\). O interpolador passa por todos os pontos, enquanto \(5-t/10-t^2/2\) minimiza o erro entre os polinômios de grau no máximo dois.

Exercício 7.22: Mínimos quadrados ponderados

Temos \(E(\beta )=\| D(X\beta -y)\| ^2\) e as equações são \(X^TD^2X\beta =X^TD^2y\). É o problema usual com matriz \(DX\) e vetor \(Dy\). Como \(D\) é invertível, há solução única precisamente quando as colunas de \(X\) são independentes.

Exercício 7.23: Linearização de um modelo orbital

A linha \(i\) da matriz é \((1,r_i\cos \theta _i)\) e o vetor de observações é \((r_i)\). As equações normais dão \(\beta \approx 1{,}450929\) e \(e\approx 0{,}811053\), correspondendo a uma elipse. De \(r=\beta /(1-e\cos \theta )\) resulta \(r(4{,}6)\approx 1{,}329954\).

Exercício 7.24: Polinômios ortogonais e análise de tendência

Se \(\| p\| =0\), o polinômio tem \(N\gt k\) raízes distintas e é zero. Sem essa condição, o produto dos fatores \((t-x_i)\) pode ter norma zero. No segundo item, uma base ortogonal é \(1,t,t^2-2\), com normas ao quadrado \(5,10,14\). As colunas de avaliações dos \(p_j\) são ortogonais, de modo que as equações normais se desacoplam e dão os \(c_j\) indicados diretamente a partir dos \(y_i\). As tendências são \(4-t/10\) e \(5-t/10-t^2/2\).

C.12.6 Produto interno e álgebras

Exercício 7.49: Estabilidade de uma base ortonormal

Se \(\sum _jc_j(u_j+y_j)=0\), então

A hipótese força todos os coeficientes a serem zero. A desigualdade não estrita é insuficiente: tome \(y_1=-u_1\) e \(y_j=0\) para \(j\gt 1\).

Exercício 8.4: Uma equação de comutadores

Se \(A\) fosse invertível, multiplicar à esquerda por \(A^{-1}\) daria \(B-A^{-1}BA=I_n\). O traço do lado esquerdo é zero, enquanto o do lado direito é \(n\neq 0\), contradição.

Exercício 8.5: Traço e comutadores

Para \(n\geq 2\), uma base é formada por \(E_{ij}\), \(i\neq j\), e \(E_{ii}-E_{nn}\), \(1\leq i\lt n\). Todo comutador tem traço zero. Reciprocamente, \(E_{ij}=[E_{ii},E_{ij}]\) para \(i\neq j\), e \(E_{ii}-E_{nn}=[E_{in},E_{ni}]\). Para \(n=1\), ambos os subespaços são \(\{ 0\} \) e a base é vazia.

C.12.7 Determinantes e estrutura dos operadores

Exercício 9.27: Matrizes binárias com o maior número de uns

O máximo é \(n^2-n+1\). Se houvesse menos de \(n-1\) zeros, pelo menos duas linhas teriam somente uns e a matriz seria singular. A cota é atingida pela matriz de todos os uns, trocando por zero as primeiras \(n-1\) entradas diagonais. Subtraindo a última linha das anteriores, obtêm-se \(-e_1^T,\ldots ,-e_{n-1}^T\) e a linha de uns, com determinante \((-1)^{n-1}\). Para \(n=1\), a matriz \([1]\) atinge a mesma fórmula.

Exercício 10.46: Cálculos de diagonalização e polinômio minimal

As duas primeiras matrizes têm polinômio característico \((t+2)^2(t-1)\). Para \(A\), uma base é \((-1,1,0),(-1,0,1),(1,-1,1)\), com autovalores \(-2,-2,1\). Para \(B\), o autoespaço de \(-2\) tem dimensão um, gerado por \((-1,1,0)\), e não há diagonalização. No segundo item, o autoespaço de um é gerado por \(e_1\); sua multiplicidade algébrica é dois se \(\lambda \neq 1\) e três se \(\lambda =1\). No terceiro, \(m_C(t)=t^2-3t-10\). Como \(C\) não é escalar, nenhum polinômio não nulo de grau um o anula; todos os anuladores de grau dois são os múltiplos escalares não nulos de \(m_C\).

Exercício 10.47: Uma matriz com diagonal constante

Escreva \(M=(k-1)I+\mathbf1\mathbf1^T\). Em \(\langle \mathbf1\rangle \), o autovalor é \(k+n-1\); em \(\mathbf1^\perp \), é \(k-1\), com multiplicidade \(n-1\). Logo \(\det M=(k+n-1)(k-1)^{n-1}\) e há invertibilidade exatamente quando \(k\neq 1,1-n\).

Exercício 10.48: Critérios de diagonalização por potências e núcleos

Se os autovalores distintos de \(A^k\) são \(\mu _1,\ldots ,\mu _r\), então \(p(t)=\prod _j(t^k-\mu _j)\) anula \(A\). Como todos os \(\mu _j\neq 0\), esse polinômio tem raízes simples; logo o minimal de \(A\) tem raízes simples e \(A\) é diagonalizável. A recíproca é imediata. O bloco \(J_2(0)\) mostra a necessidade da invertibilidade. No segundo item, a igualdade \(\ker B=\ker B^2\) implica por indução \(\ker B^s=\ker B\) para todo \(s\geq 1\). Pela decomposição primária obtida com a identidade de Bézout, \(V\) é a soma direta dos núcleos de \((A-\lambda I)^{s_\lambda }\); a estabilização mostra que cada um deles já é um autoespaço. Portanto existe uma base de autovetores.

Exercício 10.49: Operadores de ordem finita

No primeiro item, os autovalores são as \(n\) raízes da unidade; para \(\lambda ^n=1\), use \(v_\lambda =\sum _{j=1}^n\lambda ^{-(j-1)}e_j\). São distintos e formam uma base; o autoespaço de um é \(\langle e_1+\cdots +e_n\rangle \). No segundo, \(t^3-1\) tem raízes simples. Sobre \(\mathbb {R}\), as formas possíveis são \(I_3\) e \(\operatorname {diag}(1,R_{2\pi /3})\), onde \(R_\theta \) é a rotação plana de ângulo \(\theta \); \(R_{-2\pi /3}\) é semelhante à de ângulo positivo por uma reflexão. No terceiro, use \(R_{2\pi j/11}\), \(1\leq j\leq 10\). Cada matriz tem ordem onze, elas são distintas e as rotações planas comutam.

Exercício 10.50: Densidade e espectro simples

A primeira afirmação é falsa, pois o determinante é contínuo e o limite de matrizes de determinante um ainda tem determinante um; a matriz zero, por exemplo, não pode ser aproximada dessa maneira. A segunda é verdadeira: triangularize \(A=PTP^{-1}\) e perturbe arbitrariamente pouco as entradas diagonais de \(T\) para torná-las distintas. A matriz triangular perturbada tem espectro simples e é diagonalizável; conjugando de volta, aproxima-se \(A\).

Exercício 10.51: Separação de dois espectros

Primeiro, existe um vetor unitário \(v\) com \(v^\ast Av\neq 0\), pois a identidade de polarização implicaria \(A=0\) se essa expressão fosse sempre nula. Complete \(v\) a uma base ortonormal. Se alguma outra entrada diagonal é zero, faça uma pequena rotação real entre seu vetor e o primeiro: a nova entrada é uma função de seno e cosseno que não é identicamente zero, pois contém a contribuição \(\sin ^2\theta \, a_{11}\) com \(a_{11}\neq 0\). Escolha um ângulo arbitrariamente pequeno que torne essa entrada não nula e conserve as anteriores não nulas. Repetindo, obtém-se a base sugerida. Nessa base, ponha \(D=\operatorname {diag}(1,\ldots ,n)\). Para cada \(i\),

é um polinômio cujo coeficiente de \(t^{n-1}\) é \(a_{ii}\prod _{j\neq i}(j-i)\neq 0\). Escolha \(t\neq 0\) fora da união finita das raízes dos \(q_i\). Nenhum dos autovalores \(ti\) de \(tD\) é autovalor de \(A+tD\). Conjugue \(tD\) de volta à base original para obter \(B\).

Exercício 10.52: Autovalores de uma matriz inteira

Temos \(\sum _i\lambda _i^2=\operatorname {tr}(A^2)\in \mathbb {Z}\). A identidade vale para qualquer matriz inteira, contando os autovalores complexos com multiplicidade algébrica; realidade e distinção são desnecessárias.

Exercício 10.53: Autovetor comum de uma família comutativa

Escolha um subespaço não nulo \(W\) de dimensão mínima entre os invariantes por toda a família; existe tal espaço, pois \(V\) é um deles. Para cada \(T\in \mathcal Y\), a restrição a \(W\) tem um autovalor e seu autoespaço em \(W\) é não nulo e invariante por todos os operadores, pela comutatividade. A minimalidade força esse autoespaço a ser todo \(W\). Assim cada operador age como um escalar em \(W\), e qualquer vetor não nulo de \(W\) serve. Não é preciso diagonalizabilidade individual.

C.12.8 Formas de Jordan e racional

Exercício 11.15: Jordan determinado por traço e posto

O polinômio é \((t-1)(t+1)^3\). Se a multiplicidade de um é \(a\), a de \(-1\) é \(4-a\), e o traço vale \(2a-4\). Logo \(a=1\) ou \(3\). A condição sobre o posto exclui \(a=3\), pois \(A+I\) já é invertível no autoespaço de um. Assim \(a=1\) e, na componente primária de \(-1\), de dimensão três, o nilpotente \(A+I\) tem posto um. Seus blocos são de tamanhos dois e um. A forma é \(\operatorname {diag}(1,J_2(-1),-1)\).

Exercício 11.16: Raízes quadradas de nilpotentes

Se \(S^2=T\), então \(S^{12}=0\) e \(S^{10}=T^5\neq 0\). Em dimensão seis, um nilpotente satisfaz \(S^6=0\), contradição. Em dimensão doze, tome \(S=J_{12}(0)\) e \(T=S^2\), que é semelhante a \(J_6(0)\oplus J_6(0)\). Nem todo \(T\) admite raiz: \(J_6(0)\oplus 0_6\) não admite. De fato, o quadrado de um bloco \(J_m(0)\) tem blocos de tamanhos \(\lceil m/2\rceil \) e \(\lfloor m/2\rfloor \) (omitindo tamanho zero). Para produzir um bloco de tamanho seis, seria necessário um bloco de tamanho onze ou doze na raiz, que produziria também um bloco de tamanho cinco ou seis, ausente nesse \(T\).

Exercício 12.19: Polinômio minimal e subespaços reais invariantes

Use a matriz companheira \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\). O vetor \(e_1\) é cíclico, dando polinômios característico e minimal iguais a \(t^4+1\). Porém \(t^4+1=(t^2+\sqrt2t+1)(t^2-\sqrt2t+1)\). Os núcleos de \(A^2+\sqrt2A+I\) e de \(A^2-\sqrt2A+I\) são invariantes de dimensão dois e sua soma é direta e igual a \(\mathbb {R}^4\). Assim a afirmação é falsa. Para um operador cíclico, a ausência de subespaços invariantes próprios não nulos equivale à irredutibilidade do polinômio minimal; apenas a ausência de raízes reais não basta.

C.12.9 Aplicações

Exercício 13.1: Recorrências com raízes distintas e repetidas

No primeiro item, \(A=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) tem autovalores \(1,3\), e \(a_n=(3^n-1)/2\), dando limite três. No segundo, \(b_n=(a+n(b/2-a))2^n\). Pode-se tomar \(P=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) e \(J=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\). Como \((B-2I)^2=0\),

Exercício 13.2: Convergência de uma iteração afim

O ponto fixo é \(x_\ast =(-1,-1)\). Escreva \(x_0-x_\ast =\alpha (1,1)+\beta (1,-1)\). Então \(x_k=x_\ast +\alpha (3/2)^k(1,1)+\beta (1/2)^k(1,-1)\). Há convergência exatamente quando \(\alpha =0\), ou seja, quando a soma das coordenadas de \(x_0\) é \(-2\); nesse caso o limite é \(x_\ast \).

Exercício 13.3: Taxa de crescimento de potências simétricas

O limite existe para todo \(x\). Como \(x^TA^{2k}x=\sum _j\lambda _j^{2k}\| P_jx\| ^2\), temos \(L(0)=0\) e \(L(x)=\max \{ \lambda _j^2:P_jx\neq 0\} \) para \(x\neq 0\). Os valores possíveis são \(\{ 0\} \cup \{ \lambda _j^2:1\leq j\leq r\} \).

Exercício 13.4: Potências inteiras limitadas

As potências positivas impedem autovalores de módulo maior que um, e as negativas impedem módulo menor que um. Um bloco de Jordan de tamanho pelo menos dois, com \(|\lambda |=1\), tem termo \(k\lambda ^{k-1}\) e produz crescimento não limitado. Reciprocamente, \(A=PDP^{-1}\), com \(|d_{ii}|=1\), dá \(\| A^k\| \leq \| P\| \| P^{-1}\| \) para todos os inteiros. O bloco \(J_2(1/2)\) não é diagonalizável, mas suas potências não negativas são limitadas e tendem a zero.

Exercício 13.5: Exponencial e impossibilidade de logaritmo real

Os autovalores são \(4,-2\), com projeções \((M+2I)/6\) e \((4I-M)/6\). Logo

Não há logaritmo real, pois \(\det M=-8\), enquanto \(\det (e^A)=e^{\operatorname {tr}A}\gt 0\) para toda matriz real \(A\).

Exercício 13.6: A hipótese de comutatividade na exponencial

No caso comutativo, use o binômio para \((F+G)^k\) e rearranje as séries absolutamente convergentes. No exemplo, \(F^2=G^2=0\), mas \((F+G)^2=I\). Assim,

Os resultados são diferentes.

Exercício 13.9: Independência de funções exponenciais

Se \(\sum _jb_je^{\alpha _jt}=0\), derive de zero até \(n-1\) vezes num ponto \(t_0\) do intervalo. A matriz do sistema para \(b_je^{\alpha _jt_0}\) é a Vandermonde \((\alpha _j^{i-1})\), que é invertível. Logo todos os \(b_j\) são zero. Cada exponencial resolve a equação diferencial; pelo teorema de existência e unicidade para a equação de ordem \(n\), essas \(n\) soluções independentes formam uma base do espaço de soluções.

Exercício 13.10: Um sistema periódico singular

A identidade \(u^TAu=-\sum _j(u_{j+1}-u_j)^2\) mostra que o núcleo consiste nos vetores constantes. Como \(A\) é simétrica, \(\operatorname {im}A=(\ker A)^\perp =\{ f:\sum _jf_j=0\} \). Assim, a condição é \(\sum _jf_j=0\); quando ela vale, as soluções são \(u_0+c(1,\ldots ,1)\), \(c\in \mathbb {R}\).

Exercício 13.15: Estados estacionários em dimensão dois

Se \(a+b\gt 0\), o estado é único e vale \((b,a)^T/(a+b)\), pois a equação estacionária é \(ax_1=bx_2\) juntamente com \(x_1+x_2=1\). Se \(a=b=0\), temos \(P=I_2\) e qualquer \((t,1-t)\), \(0\leq t\leq 1\), é estacionário.

Exercício 13.16: Convexidade e o simplexo de probabilidades

Combinações convexas de combinações convexas ainda são combinações convexas, o que dá as inclusões e a caracterização. Para a primeira igualdade proposta, use \(A=\{ (0,0)\} \) e \(B=\{ (1,0)\} \): a união de seus fechos convexos contém só as extremidades, e o fecho da união contém o segmento. Para a segunda, use \(A=\{ (0,0)\} \) e \(B\) um disco que contenha a origem. No simplexo, os coeficientes da combinação dos \(e_i\) são as próprias coordenadas. Entradas não negativas e \(\mathbf1^TP=\mathbf1^T\) preservam a soma um. A mesma identidade e a não negatividade são preservadas por produtos; inclua \(P^0=I\).

Exercício 13.17: Existência de estado estacionário sem regularidade

Some \(|\sum _jp_{ij}x_j|\leq \sum _jp_{ij}|x_j|\) nas linhas e use a soma um nas colunas. No caso real, há igualdade exatamente quando, em cada linha, as parcelas não nulas têm todas o mesmo sinal; não se exige um único sinal para todas as coordenadas de \(x\). Por exemplo, \(P=I_2\), \(x=(1,-1)\). Como \(P^T\mathbf1=\mathbf1\), a matriz real \(P-I\) é singular e possui um vetor real não nulo no núcleo. De \(|v|=|Pv|\leq P|v|\) e da igualdade das somas das coordenadas resulta igualdade componente a componente. Portanto \(|v|/\| v\| _1\) é um estado estacionário.

Exercício 13.18: Uma cadeia de Markov com três estados

O estado estacionário é \(s=(9,15,4)^T/28\). Os outros autovalores são \(3/5\) e \(3/10\), com autovetores \((-1,1,0)\) e \((-2,-1,3)\). Assim,

que converge para \(s\). Todas as entradas de \(P\) são positivas, de modo que também se aplica Perron–Frobenius.

Exercício 13.19: Exemplos de matrizes estocásticas

Para os dois primeiros casos, use \(I_2\) e \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\). A matriz \(\frac12\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) é singular e já tem todas as entradas positivas, resolvendo também o último caso. Uma matriz não diagonalizável é \(\begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}\): o autovalor \(1/2\) tem multiplicidade algébrica dois e geométrica um.

C.12.10 Problemas espectrais e componentes principais

Exercício 14.28: Uma decomposição espectral explícita

Uma escolha é \(u_1=(1,1,1)/\sqrt3\), \(u_2=(-1,-1,2)/\sqrt6\) e \(u_3=(-1,1,0)/\sqrt2\), com autovalores \(3,6,8\). Portanto \(A=3u_1u_1^T+6u_2u_2^T+8u_3u_3^T\) e \(A^k=3^ku_1u_1^T+6^ku_2u_2^T+8^ku_3u_3^T\).

Exercício 14.29: Existência e unicidade de Cholesky

Se \(A\gt 0\), tome \(C=\sqrt A\) e sua fatoração \(C=QR\), com diagonal positiva. Então \(A=C^TC=R^TQ^TQR=R^TR\). Reciprocamente, \(R\) é invertível e \(x^TAx=\| Rx\| ^2\gt 0\) para \(x\neq 0\). Se \(R^TR=S^TS\), a matriz \(RS^{-1}\) é triangular superior e ortogonal, portanto diagonal com entradas \(\pm 1\); as diagonais positivas forçam \(R=S\).

Exercício 14.30: SVD, imagem de uma esfera e posto

Para \(A\), tome

Então \(A=U\Sigma V^T\); a forma reduzida usa as duas primeiras colunas de \(V\). Para \(B\), o único valor singular positivo é \(3\sqrt2\), com \(u_1=(1,-2,2)/3\) e \(v_1=(1,-1)/\sqrt2\); logo \(B=3\sqrt2\, u_1v_1^T\). Complete usando \(u_2=(2,1,0)/\sqrt5\), \(u_3=(-2,4,5)/(3\sqrt5)\) e \(v_2=(1,1)/\sqrt2\). O máximo para \(A\) é \(360\), atingido em \(\pm (1,2,2)/3\). Sua imagem é o disco elíptico \(\{ \alpha u_1+\beta u_2:\alpha ^2/360+\beta ^2/90\leq 1\} \); a componente no núcleo permite atingir o interior. Por fim, \(n\) valores singulares positivos significam injetividade; a inversa bilateral exige ainda \(m=n\).

Exercício 14.31: Pseudoinversa e solução de norma mínima

Pela SVD, \(AA^+b=P_{\operatorname {im}A}b\), e \(A^+b\in (\ker A)^\perp \). Todos os minimizadores são \(A^+b+z\), \(z\in \ker A\), com norma ao quadrado \(\| A^+b\| ^2+\| z\| ^2\). Logo o mínimo é único. No sistema dado, a solução é \(x=(43,37,25,13)^T/59\); ela satisfaz as equações e é ortogonal ao núcleo, gerado por \((2,-3,1,0)\) e \((4,-5,0,1)\).

Exercício 14.32: Covariância e componentes principais

A primeira identidade segue de \(\mu =X\mathbf1/N\). Para todo \(v\), \(v^TSv=\| X_c^Tv\| ^2/(N-1)\geq 0\); as entradas são as somas de produtos dos desvios das observações, divididas por \(N-1\). A mudança ortogonal dá \(Y\mathbf1=0\) e \(YY^T/(N-1)=P^TSP\), cujo traço é o mesmo de \(S\). Escolha as colunas de \(P\) como autovetores ortonormais de \(S\), ordenados pela variância decrescente. Se \(X_c^T/\sqrt{N-1}=U\Sigma V^T\), essas direções são as colunas de \(V\) e suas variâncias são os quadrados dos valores singulares, incluindo zeros quando necessário.

Exercício 14.33: Cálculos de componentes principais

No primeiro item, \(\mu =(12,10)^T\),

Ponha \(d=\sqrt{1954}\). Os autovalores são \(51+d\) e \(51-d\); normalize os vetores ortogonais \((27,35-d)\) e \((27,35+d)\) para formar \(P\). Os novos dados são \(P^TX_c\), com covariância \(\operatorname {diag}(51+d,51-d)\). No segundo item, as direções são \(e_1\), \((0,\sqrt3/2,1/2)\) e \((0,-1/2,\sqrt3/2)\), com variâncias \(70,25,5\), respectivamente: \(70\% \), \(25\% \) e \(5\% \) do total. Projetar sobre o espaço das duas primeiras retém \(95\% \) da variância. As observações reduzidas são suas duas primeiras coordenadas principais; para reconstrução em \(\mathbb {R}^3\), ponha zero na terceira coordenada e volte pela matriz \(P\).

Exercício 14.34: Controle do erro de um autovalor aproximado

Numa base ortonormal de autovetores, escreva \(x=\sum _jc_ju_j\), com \(\sum _j|c_j|^2=1\). Então \(\| Lx-\mu x\| ^2=\sum _j|c_j|^2|\lambda _j-\mu |^2\). Se todas as distâncias fossem maiores que \(\varepsilon \), essa soma seria maior que \(\varepsilon ^2\), contradição.

Exercício 14.35: Uma identidade envolvendo a adjunta

O lado esquerdo é autoadjunto, logo \(4T-3I\) e \(T\) são autoadjuntos. A identidade vira \(T^2-4T+3I=0\), cujas raízes são \(1,3\). O teorema espectral dá \(T=I+2P\), com \(P\) a projeção ortogonal sobre o autoespaço de três. Em particular, \(\langle Tx,x\rangle \geq \| x\| ^2\gt 0\) para \(x\neq 0\).

Exercício 14.36: Revisão de afirmações espectrais

O primeiro item é falso: \(\operatorname {diag}(2,3,1/6)\) é um contraexemplo. A afirmação vale para matrizes ortogonais reais de ordem ímpar com determinante um, pois os autovalores não reais vêm em pares conjugados e os reais são \(\pm 1\). No segundo item, a implicação direta é verdadeira, mas a inversa pode falhar: tome \(A=\operatorname {diag}(1,2)\), \(p(t)=t^2\) e \(\lambda =-1\). A versão correta é \(\sigma (p(A))=p(\sigma (A))\). O terceiro item é verdadeiro, pois \(x^TA^2x=\| Ax\| ^2\); o determinante é \((\det A)^2\) e o traço é a soma dos quadrados dos autovalores.

Exercício 14.37: Duas famílias de matrizes positivas

A matriz de Hilbert é a matriz de Gram de \(1,t,\ldots ,t^{n-1}\) em \(L^2([0,1])\); para \(x\neq 0\), \(x^THx=\int _0^1(\sum _{i=1}^nx_it^{i-1})^2\, dt\gt 0\). A segunda é \(\operatorname {diag}(1,\ldots ,n)+\mathbf1\mathbf1^T\), de modo que \(x^TMx=\sum _i i x_i^2+(\sum _ix_i)^2\gt 0\) para \(x\neq 0\).

C.12.11 Formas bilineares e geometria simplética

Exercício 15.14: Complementos ortogonais simpléticos

Na dimensão dois, a alternância dá \(U\subseteq U^\omega \) e ambos têm dimensão um. Na dimensão quatro, as respostas são, respectivamente, \(\langle e_1,e_2\rangle \), \(\langle e_2,f_2\rangle \) e \(\langle f_1,f_2\rangle \). Basta escrever \(v=a_1e_1+a_2e_2+b_1f_1+b_2f_2\) e impor \(\omega (v,u)=0\) para os geradores de \(U\).

Exercício 15.24: Matrizes e classificação de formas quadráticas

As matrizes do primeiro item são \(I_n\), \(\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 7 \end{bmatrix}\) e \(\begin{bmatrix} 5 & -1/2 & 0 \\ -1/2 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix}\). As duas primeiras são definidas positivas; a terceira é indefinida, pois vale \(5\gt 0\) em \((1,0,0)\) e \(-3\lt 0\) em \((0,1,-1)\). No segundo item, os autovalores são \(3,-7\) com direções ortonormais \((2,-1)/\sqrt5\) e \((1,2)/\sqrt5\). Nas coordenadas correspondentes, a forma é \(3u^2-7v^2\). No terceiro, os menores principais iniciais são \(9,18,9\), todos positivos; pelo critério de Sylvester, a forma é definida positiva e não assume valores negativos.

Exercício 15.25: Subespaços isotrópicos e lagrangianos

A isotropia equivale a \(U\subseteq U^\omega \). Como \(\dim U^\omega =2n-\dim U\), segue \(\dim U\leq n\), e a igualdade dá \(U=U^\omega \). Se um isotrópico tem dimensão menor que \(n\), escolha \(v\in U^\omega \setminus U\); então \(U+\langle v\rangle \) ainda é isotrópico, pois a forma é alternada. Assim, a maximalidade equivale à dimensão \(n\). Repetir essa extensão termina num lagrangiano.

Exercício 15.26: Aplicações e matrizes simpléticas

Se \(Tu=0\), a identidade dá \(\omega _V(u,v)=0\) para todo \(v\), logo \(u=0\) pela não degenerescência. A igualdade das dimensões dá bijetividade. Substituir \(u=T^{-1}a\), \(v=T^{-1}b\) prova a propriedade da inversa; a da composição é imediata. Escolha bases simpléticas nos dois espaços e envie uma à outra. Por fim, \(\omega (u,v)=u^TJv\), de modo que a preservação equivale à identidade matricial. A identidade, os produtos e as inversas satisfazem a mesma condição, formando \(\mathrm{Sp}(2n,\mathbb {R})\).

C.12.12 Cálculo matricial

Exercício B.9: Fatoração LU e solução de sistemas

As fatorações são

Os vetores intermediários são \(y_1=(-7,-2,6)\) e \(y_2=(2,0,6)\); as soluções são \(x_1=(3,4,-6)\) e \(x_2=(-11,-6,-3)\). A eliminação é feita uma única vez; para cada novo vetor \(b\), restam duas substituições triangulares.

Exercício B.10: Cálculo de uma potência inversa

Uma eliminação exata dá

A verificação pode ser feita multiplicando a matriz exibida por \(M^2\), obtendo \(I_4\).

C.13 Gabaritos dos exercícios clássicos

Esta seção reúne as soluções dos exercícios clássicos acrescentados aos capítulos de álgebras, aplicações, decomposição polar e tensores. As referências indicam a numeração final dos enunciados.

C.13.1 Definições e exemplos de álgebras

Exercício 8.1: Multiplicação nula e ausência de unidade

A multiplicação é bilinear e ambos os lados da identidade associativa são zero. Se \(e\) fosse uma identidade, teríamos \(v=ev=0\) para todo \(v\), contradizendo \(V\neq 0\). O produto de quaisquer dois elementos de um subespaço é zero e, portanto, pertence ao subespaço. Esta álgebra fornece um contraexemplo à implicação entre associatividade e existência de unidade.

Exercício 8.2: Álgebra de funções

Todas as identidades algébricas são verificadas ponto a ponto; a identidade é a função constante \(1\). Uma função \(f\) é invertível exatamente quando \(f(x)\neq 0\) para todo \(x\), e nesse caso \(f^{-1}(x)=1/f(x)\). Para \(X\) finito, \(\delta _i\delta _j=\delta _{ij}\delta _i\) e \(1=\sum _i\delta _i\). O mapa \(f\mapsto \operatorname {diag}(f(1),\ldots ,f(n))\) é um isomorfismo unital.

Exercício 8.3: Unidades em uma álgebra triangular

O produto de duas matrizes triangulares superiores permanece em \(\mathfrak T\), e \(I_2\) é a identidade. As matrizes \(E_{11}\) e \(E_{12}\) não comutam: \(E_{11}E_{12}=E_{12}\) e \(E_{12}E_{11}=0\). Uma matriz indicada é invertível se, e somente se, \(ac\neq 0\), com inverso

Por exemplo, \(E_{11}E_{22}=0\).

C.13.2 Homomorfismos e álgebras quocientes

Exercício 8.6: Quociente pela parte estritamente triangular

Para \(A=\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\), temos \(AE_{12}=aE_{12}\) e \(E_{12}A=cE_{12}\); logo \(J\) é bilateral. Como \(E_{12}^2=0\), temos \(J^2=0\). O mapa \(\varphi (A)=(a,c)\) é linear, multiplicativo, unital e sobrejetivo, e seu núcleo é \(J\). Portanto \([A]\mapsto (a,c)\) é o isomorfismo procurado. A classe de uma matriz depende apenas da diagonal.

Exercício 8.7: Complexos, números duais e produto de corpos

O algoritmo da divisão dá representantes únicos \(a+bx\). Se \([x]^2=d\), a multiplicação é \((a+bu)(c+eu)=(ac+dbe)+(ae+bc)u\), com \(d=-1,0,1\), respectivamente. Os mapas \([a+bx]\mapsto a+bi\) e \([a+bx]\mapsto (a+b,a-b)\) dão os dois isomorfismos pedidos. Nos números duais, \(\varepsilon \neq 0\) e \(\varepsilon ^2=0\). O elemento \(a+b\varepsilon \) é invertível exatamente quando \(a\neq 0\), com inverso \(a^{-1}-ba^{-2}\varepsilon \). A primeira álgebra é um corpo; as outras têm divisores de zero. A segunda possui um elemento nilpotente não nulo, enquanto no produto \(\mathbb R\times \mathbb R\) o único nilpotente é zero. Essas propriedades são preservadas por isomorfismos.

Exercício 8.8: Avaliação e interpolação como isomorfismo de álgebras

A avaliação simultânea é um homomorfismo unital. Seu núcleo é \((p)\): um polinômio que se anula nos \(a_j\) é divisível pelo produto dos fatores distintos \(x-a_j\). Os polinômios

satisfazem \(L_j(a_i)=\delta _{ij}\). Assim, \(\Phi \) é sobrejetiva e \(\Phi ^{-1}(c_1,\ldots ,c_r)=[\sum _jc_jL_j]\). As classes \([L_j]\) são os idempotentes procurados, pois suas imagens são os vetores da base canônica de \(\mathbb {K}^r\). Em particular, \([L_j]^2=[L_j]\), \([L_i][L_j]=0\) para \(i\neq j\) e \(\sum _j[L_j]=[1]\).

C.13.3 Constantes de estrutura

Exercício 8.9: Álgebras de dimensão dois dadas por uma tabela

Com \(z_1=1,z_2=u\), os coeficientes são \(\gamma _{11}^1=1\), \(\gamma _{12}^2=\gamma _{21}^2=1\), \(\gamma _{22}^1=\alpha \) e \(\gamma _{22}^2=\beta \); os restantes são zero. Os valores \(\alpha ,\beta \) podem ser nulos. As identidades com \(1\) são imediatas, e \((u^2)u=u(u^2)=\alpha \beta 1+(\alpha +\beta ^2)u\). A avaliação em \(u\) induz um homomorfismo sobrejetivo do quociente indicado; a base \(\{ [1],[x]\} \) mostra que ele é um isomorfismo. Sobre \(\mathbb R\), ponha \(v=u-\beta /2\), de modo que \(v^2=\Delta /4\). Se \(\Delta \gt 0\), normalizar \(v\) reduz ao caso \(v^2=1\); se \(\Delta =0\), ao caso \(v^2=0\); se \(\Delta \lt 0\), ao caso \(v^2=-1\). Obtêm-se as três álgebras na ordem pedida.

Exercício 8.10: Mudança de base nas constantes de estrutura

Expandir \(z'_iz'_j\) e escrever \(z_c=\sum _kQ_{kc}z'_k\) fornece

A multiplicação corresponde ao tensor \(\sum _{a,b,c}\gamma _{ab}^{c}z_c\otimes z_a^*\otimes z_b^*\), que envia \((x,y)\) a \(xy\). Seus coeficientes mudam, mas a aplicação bilinear permanece a mesma. Como \((xy)z=x(yz)\) é uma identidade intrínseca, vale em uma base se, e somente se, vale em qualquer outra; consequentemente, as equações das constantes de estrutura permanecem satisfeitas.

C.13.4 Álgebras de grupo

Exercício 8.11: Idempotentes e característica em um grupo de ordem dois

Na base \((e,g)\), a multiplicação por \(ae+bg\) tem matriz \(\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}\); portanto o elemento é invertível se, e somente se, \(a^2-b^2\neq 0\). Seu inverso é \((ae-bg)/(a^2-b^2)\). Em característica diferente de dois, \(e_\pm ^2=e_\pm \), \(e_+e_-=0\) e \(e_++e_-=e\). O isomorfismo é \(ae+bg\mapsto (a+b,a-b)\). Em característica dois, \(\varepsilon =g-e\neq 0\) satisfaz \(\varepsilon ^2=0\), e \((e,\varepsilon )\) é uma base. Assim, a álgebra é a dos números duais; \(ae+bg=(a+b)e+b\varepsilon \) é invertível exatamente quando \(a+b\neq 0\).

Exercício 8.12: Homomorfismo de aumentação

Ao somar todos os coeficientes de um produto, obtemos \(\epsilon (ab)=\sum _{g,h}a_gb_h=(\sum _ga_g)(\sum _hb_h)\). Além disso, \(\epsilon (e)=1\), logo o mapa é unital e sobrejetivo. Se \(\sum _ga_g=0\), então \(\sum _ga_gg=\sum _{g\neq e}a_g(g-e)\). Esses vetores são independentes comparando os coeficientes de cada \(g\neq e\). Portanto a dimensão do núcleo é \(|G|-1\), e o Primeiro Teorema do Isomorfismo dá o quociente indicado.

Exercício 8.13: Álgebra de um grupo cíclico

A avaliação é unital, multiplicativa e sobrejetiva, pois \(e,g,\ldots ,g^{m-1}\) formam a base do contradomínio. Ao dividir um polinômio por \(x^m-1\), seu resto tem grau menor que \(m\) e só se anula em \(g\) quando todos os coeficientes são zero. Portanto o núcleo é \((x^m-1)\). Se as raízes são distintas e pertencem ao corpo, a avaliação simultânea nelas identifica o quociente com \(\mathbb {K}^m\). Em característica \(p\), os coeficientes binomiais intermediários se anulam e \((g-e)^p=g^p-e=0\). Como \(g\) e \(e\) são vetores distintos da base, \(g-e\neq 0\).

C.13.5 Sistemas diferenciais

Exercício 13.7: Condição inicial em um bloco de Jordan

A matriz é \(-I+N\), com \(N^2=0\), de modo que \(e^{tA}=e^{-t}(I+tN)\) e \(x(t)=e^{-t}(a+bt,b)^T\). Para quaisquer \(a,b\), o limite é zero. Quando \((a,b)=(0,1)\), a primeira coordenada é \(te^{-t}\); sua derivada é \((1-t)e^{-t}\), e o máximo para \(t\geq 0\) ocorre em \(t=1\), com valor \(e^{-1}\). A contribuição polinomial do bloco de Jordan pode crescer inicialmente, embora a exponencial decrescente domine no limite.

Exercício 13.8: Rotação com amortecimento e estabilidade

A parte escalar comuta com a matriz de rotação, portanto

Para \(x_0\neq 0\) e \(\omega \neq 0\), as trajetórias são espirais em direção à origem se \(\alpha \gt 0\), círculos se \(\alpha =0\), e espirais que se afastam se \(\alpha \lt 0\). Quando \(\omega =0\), as soluções ficam na reta gerada por \(x_0\) e são estacionárias se também \(\alpha =0\). A solução \(x_0=0\) é sempre estacionária. Os autovalores \(-\alpha \pm i\omega \) separam decaimento ou crescimento da oscilação.

Exercício 13.11: Variação das constantes e ressonância

Derivando \(y(t)=e^{-tA}x(t)\), obtemos \(y'=e^{-tA}f(t)\). Integrar e multiplicar por \(e^{tA}\) dá a fórmula; ela verifica a condição inicial e a equação. A diferença de duas soluções satisfaz o problema homogêneo com condição inicial nula e, portanto, é zero. No exemplo,

A primeira componente da força tem a mesma exponencial da solução homogênea correspondente; o integrando transformado é constante, produzindo o fator \(t\), fenômeno de ressonância.

C.13.6 Perron–Frobenius

Exercício 13.12: Limites para a raiz de Perron e monotonicidade

Se \(w\gt 0\) é um autovetor à esquerda, então

Essa é uma média com todos os pesos positivos, dando os limites. Igualdade em qualquer extremidade exige que todas as razões sejam iguais, ou seja, que \(Ax=rx\). Para \(x=\mathbf1\), obtêm-se o mínimo e o máximo das somas das linhas. Para a monotonicidade, tome \(Au=r(A)u\) e \(z^TB=r(B)z^T\), com \(u,z\gt 0\). Então

porque ao menos uma entrada de \(B-A\) é positiva e nenhuma é negativa.

Exercício 13.13: Autovetores à esquerda e à direita e crescimento assintótico

O espaço \(\mathbb R^n\) se decompõe em \(\langle u\rangle \oplus \ker w^T\), pois \(w^Tu\gt 0\). Ambos os subespaços são invariantes. Na reta, \(A/r\) é a identidade; no complemento, todos os autovalores têm módulo menor que um. A forma de Jordan mostra que suas potências tendem a zero, pois termos polinomiais são dominados pelo decaimento exponencial. A projeção sobre a reta é \(x\mapsto u(w^Tx)/(w^Tu)\), provando o limite. No exemplo, os autovalores são \(5\) e \(1\), e podemos escolher \(u=(2,1)^T\), \(w=(1,2)^T\), de modo que

Como \(w^Tx_0\gt 0\), as proporções convergem para \(u/(\mathbf1^Tu)=(2/3,1/3)^T\). A raiz \(r\) determina o fator de crescimento por iteração; o vetor \(u\) normalizado determina a composição, enquanto \(w^Tx_0\) determina o coeficiente da contribuição dominante.

Exercício 13.14: O papel da positividade estrita

Como \(B^2=I\), seus autovalores são \(1,-1\), seu raio espectral é \(1\) e os autovetores não negativos não nulos para \(1\) são os múltiplos positivos de \((2,1)^T\). Suas potências alternam entre \(I\) e \(B\), logo não convergem; falta a dominância estrita em módulo. Para \(C\), \(r(C)=2\), e seu autoespaço é \(\langle e_1\rangle \), sem vetor estritamente positivo. Em ambos os casos há entradas zero, portanto não se aplica o teorema para matrizes estritamente positivas. A matriz \(B+\varepsilon I\) é positiva e tem autovalores \(1+\varepsilon \) e \(\varepsilon -1\), com \(|\varepsilon -1|\lt 1+\varepsilon \); sua raiz de Perron é estritamente dominante.

C.13.7 Decomposição polar

Exercício 14.1: Decomposição polar de uma matriz invertível

Uma escolha é

De fato, \(H^2=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}=A^TA\); os menores principais de \(H\) são positivos, e \(U^TU=I\). A multiplicação verifica \(UH=A\). A parte positiva à esquerda é

com \(K^2=AA^T\) e \(KU=A\). Como \(A\) é invertível, os fatores indicados são únicos.

Exercício 14.2: Não unicidade do fator ortogonal no caso singular

Com \(q=(1,1)^T/\sqrt2\) e \(r=(1,-1)^T/\sqrt2\), temos \(H=\sqrt2\, qq^T=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\). A igualdade \(A=UH\) impõe \(Uq=e_1\). A ortogonalidade então impõe \(Ur=\pm e_2\), dando exatamente

O fator com extensão nula ao núcleo é \(W=e_1q^T=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\). Ele satisfaz \(Wq=e_1\), \(Wr=0\) e \(WH=A\); essas condições determinam \(W\) unicamente. Esse \(W\) é uma isometria parcial, e não uma matriz ortogonal.

Exercício 14.3: Normalidade e comutação dos fatores polares

Temos \(A^\ast A=H^2\) e \(AA^\ast =UH^2U^\ast \). Portanto normalidade equivale a \(UH^2=H^2U\). Por interpolação nos autovalores distintos de \(H^2\), existe um polinômio \(p\) com \(H=p(H^2)\); logo \(U\) também comuta com \(H\). A recíproca é imediata das mesmas igualdades. A comutação permite multiplicar os fatores separadamente. Pelo teorema espectral para \(A\) normal, uma base unitária diagonaliza \(A\); nessa base, \(A^\ast A\) tem entradas \(|\lambda _i|^2\) e \(H\) tem entradas \(|\lambda _i|\).

Exercício 14.4: A matriz ortogonal mais próxima

Para \(Q\) ortogonal,

Diagonalize \(H=P\operatorname {diag}(h_i)P^T\) e ponha \(R=P^TQ^TUP\), que é ortogonal. Então \(\operatorname {tr}(Q^TUH)=\sum _i h_iR_{ii}\leq \sum _i h_i\), pois \(R_{ii}\leq 1\). Como todos os \(h_i\) são positivos, a igualdade exige todos os \(R_{ii}=1\); a norma das linhas de uma matriz ortogonal força então \(R=I\) e \(Q=U\). Assim, a distância mínima é \(\sqrt{\sum _i(h_i-1)^2}\). Para \(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(\operatorname {tr}(H^2)=6\) e \(\operatorname {tr}H=\sqrt{10}\); a distância é \(\sqrt{8-2\sqrt{10}}\).

C.13.8 Tipos de tensores, coordenadas e contrações

Exercício 16.15: Tipos e componentes de tensores

Os tipos são \((2,0)\), \((0,2)\) e \((1,1)\), e seus componentes são, respectivamente, \(v^iw^j\), \(f_ih_j\) e \(v^if_j\). A aplicação bilinear corresponde a

com \(n^3\) componentes. Uma base de \(\mathcal T^p_q(V)\) é formada por \(e_{i_1}\otimes \cdots \otimes e_{i_p}\otimes e^{j_1}\otimes \cdots \otimes e^{j_q}\), e a dimensão é \(n^{p+q}\). Adota-se \(V^{\otimes 0}=\mathbb {K}\); logo \(\mathcal T^0_0(V)=\mathbb {K}\), de dimensão um.

Exercício 16.16: Uma mudança de base para vetores, covetores e formas

Com \(P=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), temos \(v'=P^{-1}v\), \(f'=P^Tf\) para a coluna de componentes do covetor, \(A'=P^{-1}AP\) e \(b'=P^TbP\). Portanto

Nas duas bases, \(f(v)=-4\) e \(b(v,v)=56\). O operador tem tipo \((1,1)\): há uma mudança inversa no índice de saída e uma direta no de entrada. A forma tem tipo \((0,2)\): ambos os índices transformam-se diretamente por \(P\).

Exercício 16.17: Duas contrações de um tensor de tipo (2,1)

As fórmulas são trilineares, logo passam ao produto tensorial; usam apenas avaliação e permutação dos fatores, sem escolha de base. Os componentes são

No exemplo, \(C_1(T)=e_2\) e \(C_2(T)=2e_2\), que são distintos em qualquer corpo. Assim, é necessário especificar quais fatores são emparelhados; a independência de bases não torna diferentes emparelhamentos iguais.

Exercício 16.18: Contrações completas e traço de um produto

Em um tensor puro \(v\otimes w\otimes f\otimes h\), as contrações são \(f(v)h(w)\) e \(f(w)h(v)\), respectivamente. Essas fórmulas são intrínsecas e induzem funcionais lineares, provando a independência da base e que a ordem de execução de emparelhamentos disjuntos não importa. Para o tensor de operadores indicado,

Tomando \(A=E_{11}\) e \(B=E_{22}\), obtemos \(c(S)=1\) e \(d(S)=0\).

Exercício 16.19: Abaixar índices exige uma forma bilinear

Pela simetria, a coluna de componentes é \(v_\flat =Gv\), isto é, \(v_i=\sum _jg_{ij}v^j\). Como \(G\) é invertível, \(v^i=\sum _jg^{ij}v_j\), onde \((g^{ij})=G^{-1}\). No exemplo, \(v_\flat =(4,5)^T\) e \(G^{-1}=\frac13\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\), que recupera \((1,2)^T\). Como \(G'=P^TGP\) e \(v'=P^{-1}v\), temos \(G'v'=P^TGv\). Portanto os componentes obtidos obedecem à lei de um covetor. A mesma coluna numérica, sem o uso de \(g\), se transformaria como vetor por \(P^{-1}\), o que em geral difere de \(P^T\). A identificação depende da forma escolhida.

C.14 Gabaritos de polinômios ortogonais e Fourier finito

As soluções a seguir usam Gram–Schmidt, produtos internos em espaços de dimensão finita, integrais e somas finitas. As normalizações dos polinômios clássicos são explicitadas em cada família.

C.14.1 Construção dos polinômios clássicos

Exercício 7.4: Gerar os polinômios de Legendre

A construção dá

Em cada grau, o resultado mônico de Gram–Schmidt é \(P_n\) dividido pelo seu coeficiente líder. A derivação da fórmula de Rodrigues reproduz a lista. Nas \(n\) integrações por partes de \(\int _{-1}^1P_nq\), todos os termos de fronteira se anulam: \((x^2-1)^n\) e suas derivadas de ordem menor que \(n\) se anulam em \(\pm 1\). A integral restante contém \(q^{(n)}=0\) quando \(\deg q\lt n\). O mesmo cálculo com \(q=P_n\) fornece

Aqui a última integral vale \(2^{2n+1}(n!)^2/(2n+1)!\), como se verifica por integração por partes. Para \(n=0,\ldots ,4\), as normas ao quadrado são \(2,2/3,2/5,2/7,2/9\); a base ortonormal é \(\{ \sqrt{(2n+1)/2}\, P_n:0\leq n\leq 4\} \).

Exercício 7.5: Gerar os polinômios de Chebyshev

A recorrência fornece \(T_2=2x^2-1\), \(T_3=4x^3-3x\) e \(T_4=8x^4-8x^2+1\). A identidade \(\cos ((n+1)\theta )=2\cos \theta \cos (n\theta )-\cos ((n-1)\theta )\) prova a representação trigonométrica. Para \(n\geq 1\), o grau é \(n\) e o coeficiente líder é \(2^{n-1}\); \(T_0\) tem coeficiente líder \(1\). A substituição dá

O resultado é zero para \(n\neq m\), \(\pi \) para \(n=m=0\) e \(\pi /2\) para \(n=m\gt 0\). Portanto a base ortonormal é \(T_0/\sqrt\pi \), \(\sqrt{2/\pi }\, T_1,\ldots ,\sqrt{2/\pi }\, T_4\). A unicidade do polinômio mônico ortogonal identifica Gram–Schmidt com \(T_0\) e \(2^{1-n}T_n\) para \(n\geq 1\).

Exercício 7.6: Gerar os polinômios de Laguerre

A lista normalizada é

A fórmula de Rodrigues tem termo constante \(1\) e coeficiente líder \((-1)^n/n!\). Integrando por partes \(n\) vezes,

Na origem, as derivadas de ordem menor que \(n\) de \(e^{-x}x^n\) se anulam; no infinito, o decaimento exponencial anula os termos de fronteira. Assim, há ortogonalidade se \(\deg q\lt n\). Como \(L_n^{(n)}=(-1)^n\), tomando \(q=L_n\) obtemos norma ao quadrado \(1\). Os polinômios mônicos dos exemplos são \((-1)^nn!L_n\), cujas normas ao quadrado são \((n!)^2\). Logo a mudança de sinais e fatores não muda a família ortogonal.

Exercício 7.7: Gerar os polinômios de Hermite

Os resultados são

Os polinômios mônicos são \(2^{-n}H_n\). As derivadas de \(e^{-x^2}\) são polinômios vezes \(e^{-x^2}\); seus produtos por polinômios tendem a zero em ambas as extremidades. Portanto,

Se \(\deg q\lt n\), o resultado é zero. A expressão de Rodrigues tem coeficiente líder \(2^n\), de modo que \(H_n^{(n)}=2^nn!\); tomando \(q=H_n\), obtemos a norma indicada. Dividir cada \(H_n\) por \(\sqrt{2^nn!\sqrt\pi }\) dá a base ortonormal. As normas ao quadrado até grau quatro são \(\sqrt\pi ,2\sqrt\pi ,8\sqrt\pi ,48\sqrt\pi ,384\sqrt\pi \).

Exercício 7.8: Construção por momentos e Gram–Schmidt

Um polinômio não nulo é não nulo em algum subintervalo de \(I\); ali, seu quadrado e o peso positivo dão uma integral estritamente positiva. O passo de Gram–Schmidt

subtrai termos de grau menor, conservando o coeficiente líder \(1\). As equações são

Para \(G=(\mu _{j+k})_{0\leq j,k\lt n}\) e \(c\neq 0\), \(c^TGc=\int _I(\sum _jc_jx^j)^2w(x)\, dx\gt 0\). Logo \(G\) é invertível. Se o peso e o intervalo são simétricos, \((-1)^np_n(-x)\) é outro polinômio mônico de grau \(n\) ortogonal aos graus menores; a unicidade implica a paridade indicada.

Exercício 7.9: Recorrência de três termos

Expanda \(xp_n-p_{n+1}\) na base \(p_0,\ldots ,p_n\). Se \(j\leq n-2\), então \(\langle xp_n,p_j\rangle _w=\langle p_n,xp_j\rangle _w=0\). Restam apenas \(p_n,p_{n-1}\). O coeficiente do primeiro é \(\alpha _n\); para o segundo, \(xp_{n-1}=p_n+q\), com \(\deg q\lt n\), fornece \(\langle xp_n,p_{n-1}\rangle _w=h_n\). Além disso, \(p_0=1\) e \(p_1=x-\mu _1/\mu _0\). Os coeficientes mônicos são

Nos pesos pares, \(\alpha _n=0\) por paridade. Para Laguerre, o coeficiente de \(x^{n-1}\) no polinômio mônico é \(-n^2\), e comparar esse coeficiente na recorrência dá \(\alpha _n=2n+1\). As normas dão os \(\beta _n\). As normalizações clássicas fornecem, para \(n\geq 1\),

Os valores iniciais são os já calculados. Assim, cada novo polinômio é produzido a partir dos dois anteriores, sem repetir toda a ortogonalização.

Exercício 7.10: Zeros reais e simples dos polinômios ortogonais

Sejam \(r_1,\ldots ,r_m\) os zeros de multiplicidade ímpar em \(I\) e \(q(x)=\prod _{j=1}^m(x-r_j)\), com \(q=1\) se \(m=0\). O produto \(p_nq\) não muda de sinal no intervalo, pois cada troca de sinal foi compensada por um fator de \(q\). Ele não é identicamente zero; o peso positivo implica \(\int _Ip_nq\, w\neq 0\). Se \(m\lt n\), isso contradiz a ortogonalidade a \(q\). Logo \(m\geq n\). Como o grau é \(n\), existem exatamente \(n\) desses zeros e todos têm multiplicidade um; não restam outros zeros. Os intervalos pedidos são aqueles em que os respectivos pesos são positivos.

C.14.2 Projeções e transformada discreta de Fourier

Exercício 7.11: Aproximar um polinômio com dois pesos

As decomposições finitas são

Ao remover a parcela de grau quatro, obtemos

Os resíduos são \((8/35)P_4\) e \(T_4/8\), respectivamente, e se anulam por produto interno contra todos os graus até dois. Os erros mínimos ao quadrado são \(128/11025\) e \(\pi /128\). Por Pitágoras, qualquer outro elemento de \(\mathbb R_2[x]\) acrescenta uma parcela positiva ao erro. Os pesos definem produtos internos diferentes e, portanto, projeções diferentes.

Exercício 7.12: Fourier em um subespaço trigonométrico finito

As identidades de produto de senos e cossenos dão produtos cruzados nulos. O quadrado da norma de \(1\) é \(2\pi \); o de cada seno ou cosseno com frequência positiva é \(\pi \). A base ortonormal é

de dimensão \(2N+1\). Os coeficientes da projeção nessa base dão exatamente \(p_N\). O resíduo é ortogonal a \(E_N\), logo, para \(p\in E_N\), \(\| f-p\| ^2=\| f-p_N\| ^2+\| p_N-p\| ^2\); isso prova existência e unicidade do minimizador. A norma ao quadrado da projeção é \(\pi a_0^2/2+\pi \sum _{n=1}^N(a_n^2+b_n^2)\), e Pitágoras fornece a identidade. Como \(E_N\subset E_{N+1}\), o erro não aumenta; precisamente, sua redução ao quadrado é \(\pi (a_{N+1}^2+b_{N+1}^2)\).

Exercício 7.13: Aproximação trigonométrica de uma função par

A paridade dá \(b_n=0\). Temos \(a_0=\pi \) e

Assim, \(a_n=0\) para \(n\) par e \(a_n=-4/(\pi n^2)\) para \(n\) ímpar. Portanto

Como \(\| f\| ^2=2\pi ^3/3\), a identidade finita fornece

Em \(E_2\), o resultado é \(\pi ^3/6-16/\pi \). As novas frequências ao passar de \(E_1\) a \(E_2\) têm coeficientes zero, por isso as duas projeções coincidem.

Exercício 7.14: Transformada discreta de Fourier

Temos \(\langle e_k,e_\ell \rangle =m^{-1}\sum _{j=0}^{m-1}\omega ^{j(k-\ell )}\). A soma é \(1\) se \(k=\ell \) e zero nos outros casos pela fórmula da progressão geométrica. Os \(m\) vetores ortonormais são uma base; suas coordenadas são os \(\widehat f_k\) indicados. A expansão e a identidade de Pitágoras dão a inversão e a igualdade das normas, com somas finitas. No exemplo,

A norma ao quadrado é \(6/4=3/2\), igual a \(1/4+10/16+10/16\). Finalmente, \(S(e_k)_j=\omega ^{(j-1)k}=\omega ^{-k}(e_k)_j\), de modo que os autovalores são \(\omega ^{-k}\).