Espaços Duais
Um funcional linear transforma vetores em escalares. O espaço dual é formado por todos esses funcionais. Seu estudo relaciona as coordenadas dos vetores, as equações que definem subespaços e as transformações lineares entre espaços. Essas relações são descritas pelas bases duais, pelos aniquiladores e pela transformação transposta.
6.1 Espaços Duais
Como \(\operatorname {im}f\) é um subespaço de \(\mathbb {K}\), há apenas duas possibilidades:
\(\operatorname {im}f=\{ 0\} \), caso em que \(f\) é o funcional nulo;
\(\operatorname {im}f=\mathbb {K}\), caso em que \(f\) é sobrejetivo.
Portanto, todo funcional linear não nulo é sobrejetivo. Se, além disso, \(V\) tem dimensão finita, o teorema do núcleo e da imagem fornece
Para cada vetor não nulo \(\bm {v}\in V\), existe \(f\in V^{\ast }\) tal que \(f(\bm {v})\neq 0\).
Um vetor \(\bm {v}\in V\) é nulo se, e somente se, \(f(\bm {v})=0\) para todo \(f\in V^{\ast }\).
Se \(f\in V^{\ast }\) e \(f(\bm {x})\neq 0\), então
\[ V=\langle \bm {x}\rangle \oplus \ker f. \]Dois funcionais não nulos \(f,g\in V^{\ast }\) têm o mesmo núcleo se, e somente se, existe \(\lambda \in \mathbb {K}\), com \(\lambda \neq 0\), tal que \(f=\lambda g\).
a Estenda o conjunto linearmente independente \(\{ \bm {v}\} \) a uma base \(\underline{\textsc{B}}\) de \(V\). Existe um único funcional \(f\) que assume o valor \(1\) em \(\bm {v}\) e o valor \(0\) nos demais vetores de \(\underline{\textsc{B}}\). Em particular, \(f(\bm {v})=1\neq 0\).
b Se \(\bm {v}=\vec0\), então \(f(\bm {v})=0\) para todo \(f\in V^{\ast }\). A recíproca é a contrapositiva do item a.
c Para qualquer \(\bm {v}\in V\),
e o termo entre parênteses pertence a \(\ker f\). Além disso, se \(a\bm {x}\in \ker f\), então \(af(\bm {x})=0\) e, portanto, \(a=0\). Logo, a soma é direta.
d Se \(f=\lambda g\), com \(\lambda \neq 0\), então \(\ker f=\ker g\). Reciprocamente, suponha que \(K=\ker f=\ker g\) e escolha \(\bm {x}\notin K\). Pelo item c, \(V=\langle \bm {x}\rangle \oplus K\). Tomando \(\lambda =f(\bm {x})/g(\bm {x})\), os funcionais \(f\) e \(\lambda g\) coincidem em \(\bm {x}\) e se anulam em \(K\); logo, coincidem em todo \(V\).
6.1.1 Bases duais
Seja \(V\) um espaço vetorial com base \(\underline{\textsc{B}}=\{ \bm {x}_i\, \mid \, i\in \Delta \} \). Para cada \(i\in \Delta \), definimos o funcional coordenada \(\bm {x}_i^{\ast }\in V^{\ast }\) por
onde \(\delta _{ij}\) é o delta de Kronecker: vale \(1\) se \(i=j\) e \(0\) caso contrário. Como todo vetor de \(V\) é combinação linear de um número finito de elementos de \(\underline{\textsc{B}}\), esses valores determinam \(\bm {x}_i^{\ast }\) de maneira única por linearidade.
O conjunto \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }=\{ \bm {x}_i^{\ast }\, \mid \, i\in \Delta \} \) é linearmente independente.
Se \(V\) tem dimensão finita, então \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }\) é uma base de \(V^{\ast }\), denominada base dual de \(\underline{\textsc{B}}\).
a Considere uma combinação linear finita
Aplicando ambos os lados a \(\bm {x}_{i_k}\), obtemos \(a_k=0\). Portanto, \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }\) é linearmente independente.
b Escreva \(\underline{\textsc{B}}=(\bm {x}_1,\ldots ,\bm {x}_n)\). Para todo \(f\in V^{\ast }\), temos
pois os dois lados assumem o mesmo valor em cada vetor da base \(\underline{\textsc{B}}\). Assim, \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }\) também gera \(V^{\ast }\).
Segue-se do teorema anterior que, se \(V\) tem dimensão finita, então
Em dimensão infinita, os funcionais coordenada continuam linearmente independentes, mas em geral não geram todo o espaço dual.
Leitura opcional: o dual em dimensão infinita.
O restante desta subseção compara cardinalidades em dimensão infinita e pode ser omitido numa primeira leitura.
Os funcionais coordenada associados a uma base de \(V\) formam um conjunto linearmente independente em \(V^{\ast }\); portanto, \(\dim (V)\leq \dim (V^{\ast })\). A igualdade no caso de dimensão finita foi provada no Teorema 6.8.
Para a reflexividade, não precisamos comparar essas dimensões por aritmética cardinal. Há um argumento direto que mostra que a aplicação natural ao bidual não é sobrejetiva em dimensão infinita.
Seja \(\underline{\textsc{B}}\) uma base de \(V\) e, para cada \(\bm {b}\in \underline{\textsc{B}}\), seja \(\bm {b}^*\in V^*\) o funcional coordenada correspondente. A família \(\{ \bm {b}^*: \bm {b}\in \underline{\textsc{B}}\} \) é linearmente independente, mas não gera \(V^*\): por exemplo, o funcional \(f\) definido por \(f(\bm {b})=1\) para todo \(\bm {b}\in \underline{\textsc{B}}\) não tem suporte finito nessa família.
Complete \(\{ \bm {b}^*: \bm {b}\in \underline{\textsc{B}}\} \) a uma base de \(V^*\) que contenha algum vetor \(f\) fora de seu span. Defina \(\Phi \in V^{**}\) em uma base assim obtida por
e atribua valor zero aos demais vetores da base.
Se \(\Phi =\tau _V(\bm {v})\) para algum \(\bm {v}\in V\), então \(\bm {b}^*(\bm {v})=0\) para todo \(\bm {b}\in \underline{\textsc{B}}\), o que força \(\bm {v}=\vec0\). Mas nesse caso \(\Phi =\tau _V(\vec0)=0\), contradizendo \(\Phi (f)=1\). Logo \(\Phi \) não pertence à imagem de \(\tau _V\).
Se \(0\neq f\in V^{\ast }\), então \(\ker f\) é um hiperplano.
Todo hiperplano de \(V\) é o núcleo de algum funcional não nulo em \(V^{\ast }\).
O primeiro item decorre do teorema do núcleo e da imagem, pois \(\dim (\operatorname {im}f)=1\). Para o segundo, seja \((\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_{n-1})\) uma base de um hiperplano \(H\) e complete-a com \(\bm {v}_n\) para obter uma base de \(V\). O funcional definido por \(f(\bm {v}_i)=0\) para \(i\lt n\) e \(f(\bm {v}_n)=1\) satisfaz \(\ker f=H\).
6.1.2 Bidual
Aplicando novamente a construção do dual, obtemos o espaço dos funcionais lineares definidos em \(V^{\ast }\).
Cada vetor \(\bm {v}\in V\) determina um elemento de \(V^{**}\) por avaliação. Isso define a aplicação natural
A notação \(\tau _V\) ressalta que a aplicação depende apenas do espaço \(V\), e não da escolha de uma base.
Para \(a,b\in \mathbb {K}\), \(\bm {u},\bm {v}\in V\) e \(f\in V^{\ast }\), temos
Logo, \(\tau _V\) é linear. Se \(\tau _V(\bm {v})=0\), então \(f(\bm {v})=0\) para todo \(f\in V^{\ast }\); pelo Teorema 6.7, \(\bm {v}=\vec0\). Portanto, \(\tau _V\) é injetiva. Quando \(V\) tem dimensão finita,
de modo que a injetividade implica a sobrejetividade.
Um espaço \(V\) é denominado algebricamente reflexivo quando a aplicação natural \(\tau _V\) é sobrejetiva. Em dimensão finita, podemos então identificar canonicamente \(V\) e \(V^{**}\). A proposição anterior mostra que um espaço vetorial é algebricamente reflexivo se, e somente se, tem dimensão finita.
Seja \(V=\mathbb {R}_2[x]\) o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a dois. Mostre que os funcionais \(f_1(p)=\displaystyle \int _0^1p(x)\, dx\), \(f_2(p)=\displaystyle \int _0^2p(x)\, dx\) e \(f_3(p)=\displaystyle \int _0^3p(x)\, dx\) formam uma base de \(V^{\ast }\). Encontre a base de \(V\) dual à base \((f_1,f_2,f_3)\) de \(V^{\ast }\).
Seja \(V\) um espaço vetorial e sejam \(\bm {v}_1\neq \bm {v}_2\) em \(V\). Prove que existe \(f\in V^{\ast }\) tal que \(f(\bm {v}_1)\neq f(\bm {v}_2)\).
Sejam \(f,g\in V^{\ast }\) não nulos. Suponha que \(f(\bm {v})=0\) se, e somente se, \(g(\bm {v})=0\). Prove que \(f=\lambda g\) para algum \(\lambda \in \mathbb {K}\) não nulo.
Sejam \(\bm {y}\in V\setminus \{ \vec0\} \) e \(f\in V^{\ast }\setminus \{ 0\} \). Defina \(T\colon V\to V\) por \(T(\bm {x})=f(\bm {x})\bm {y}\). Uma transformação definida dessa maneira é denominada díade.
Mostre que \(\dim (\operatorname {im}T)=1\).
Se \(S\in \operatorname {Hom}(V,V)\) satisfaz \(\dim (\operatorname {im}S)=1\), mostre que \(S\) é uma díade.
Seja \(V=C([0,1])\) o espaço real das funções contínuas em \([0,1]\). Defina
Mostre que \(\phi \) é linear e injetiva.
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita e seja \(W=V\boxplus V^{\ast }\). Usando a aplicação natural \(\tau _V\colon V\to V^{**}\) e a identificação \(W^{\ast }\cong V^{\ast }\boxplus V^{**}\), mostre que
é um isomorfismo.
Prove que \((V_1\boxplus \cdots \boxplus V_n)^{\ast }\cong V_1^{\ast }\boxplus \cdots \boxplus V_n^{\ast }\).
Seja \(\bm {v}\in V\) fixo. Prove que a aplicação de avaliação
é um elemento de \(V^{**}\).
Seja \(V=\mathbb {R}[x]\). Quais das aplicações a seguir são elementos de \(V^{\ast }\)?
\( T(p)=\displaystyle \int _{0}^{1}p(x)dx. \)
\( T( p)=\displaystyle \int _{0}^{1}p(x)^{2}dx. \)
\( T(p)=\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}p(x)dx. \)
\( T(p)=p'. \)
\( T(p)=p'(0). \)
Suponha que \(\mathbb {K}\) seja um corpo finito e que \(\dim (V)=n\). Para cada \(m\leq n\), mostre que o número de subespaços de \(V\) de dimensão \(m\) é igual ao número de subespaços de dimensão \(n-m\).
Defina \(\operatorname {tr}(A)=\displaystyle \sum _{i=1}^n a_{ii}\) para \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\). Mostre que
Mostre que \(\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)\) para todo \(A, B\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K}) .\)
Sejam \(m,n\in \mathbb {N}\) e \(f_1,\ldots ,f_m\in (\mathbb {K}^n)^{\ast }\). Defina \(T\colon \mathbb {K}^n\to \mathbb {K}^m\) por
Mostre que \(T\in \operatorname {Hom}_{\mathbb {K}}(\mathbb {K}^{n},\ \mathbb {K}^{m})\).
Mostre que todo \(T\in \operatorname {Hom}_{\mathbb {K}}(\mathbb {K}^{n},\ \mathbb {K}^{m})\) é dado desta maneira para alguns \(f_{1}, \ldots , f_{m}.\)
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita sobre \(\mathbb {C}\). Dados vetores não nulos \(\bm {x}_1,\ldots ,\bm {x}_n\in V\), mostre que existe \(f\in V^{\ast }\) tal que \(f(\bm {x}_k)\neq 0\) para todo \(k=1,\ldots ,n\).
Seja \(V\) um espaço vetorial complexo. Determine todos os funcionais complexos lineares \(f:V\to \mathbb {C}\) cuja imagem está contida em \(\mathbb {R}\).
Determine todos os funcionais complexos lineares \(f:\mathbb {C}^3\to \mathbb {C}\) que se anulam em \((1,1,1)\) e \((1,i,3)\). Exiba um funcional não nulo com essa propriedade.
Sejam \(f,g\) funcionais em um espaço vetorial complexo. Se \(h(v)=f(v)g(v)\) também é linear, prove que \(f=0\) ou \(g=0\).
Prove que \(\mathbb {Q}[x]\) não é isomorfo a seu dual algébrico. Identifique esse dual com um espaço de sequências e compare as cardinalidades dos conjuntos subjacentes.
Sejam \(a_0,\ldots ,a_n\in \mathbb {R}\) distintos. Prove que existem únicos escalares \(\lambda _0,\ldots ,\lambda _n\) tais que \(p'(0)=\sum _{k=0}^n\lambda _kp(a_k)\) para todo \(p\in \mathbb {R}_n[x]\). Determine-os em função dos polinômios de Lagrange.
Se \(f:M_n(\mathbb {K})\to \mathbb {K}\) é linear e \(f(AB)=f(BA)\) para todas as matrizes \(A,B\), mostre que \(f=c\operatorname {tr}\). Sob que condição sobre a característica a normalização \(f(I)=n\) força \(c=1\)?
Mostre que \(A\mapsto (X\mapsto \operatorname {tr}(AX))\) é um isomorfismo \(M_n(\mathbb {K})\to M_n(\mathbb {K})^*\).
Em \(\mathbb {R}_2[x]\), encontre a base \((p_1,p_2,p_3)\) que satisfaz \(f_i(p_j)=\delta _{ij}\) em cada caso:
\(f_1(p)=\int _0^1p\), \(f_2(p)=\int _0^2p\), \(f_3(p)=\int _0^{-1}p\);
\(f_1(p)=\int _0^1p\), \(f_2(p)=p'(1)\), \(f_3(p)=p(0)\).
Sejam \(u_1=(1,0,1)\), \(u_2=(0,1,-2)\) e \(u_3=(-1,1,0)\).
Determine \(f\in (\mathbb {R}^3)^*\) com \(f(u_1)=1\), \(f(u_2)=-1\), \(f(u_3)=3\).
Se \(f(u_1)=f(u_2)=0\) e \(f(u_3)\neq 0\), prove que \(f(2,3,-1)\neq 0\).
Seja \((e_i)_{i\in I}\) uma base de \(V\), e defina \(e_i^*(e_j)=\delta _{ij}\).
Prove que os \(e_i^*\) são linearmente independentes e formam uma base de \(V^*\) se, e somente se, \(I\) é finito.
Prove que a aplicação canônica \(\tau _V:V\to V^{**}\) é sobrejetiva se, e somente se, \(V\) tem dimensão finita. Para o caso infinito, identifique \(V^*\) com \(\mathbb {K}^I\) e use extensão de funcionais definidos em subespaços.
Em \(V=\mathbb {R}[x]\), para \(a\in \mathbb {R}\) defina \(\operatorname {ev}_a(p)=p(a)\). Mostre que a família \((\operatorname {ev}_a)_{a\in \mathbb {R}}\) é linearmente independente. Conclua que \(V^*\) não tem base enumerável e que \(V\not\simeq V^*\).
Determine as bases duais e biduais das bases \((e_1,e_2,e_3)\) e \(((1,-2,3),(1,-1,1),(2,-4,7))\) de \(\mathbb {R}^3\). Expresse os elementos do bidual usando a aplicação canônica \(\tau _{\mathbb {R}^3}\).
Fixe \(B\in M_n(\mathbb {K})\) e considere \(T(A)=AB-BA\). Seja \(Z(B)=\{ C:BC=CB\} \). Usando o emparelhamento \(\operatorname {tr}(AC)\), prove
Deduza o posto de \(T\) em termos de \(\dim Z(B)\).
Em \(C([-1,1],\mathbb {R})\), decida quais aplicações são funcionais lineares:
onde \(g\) é uma função contínua fixa. Justifique todas as respostas.
Separação por funcionais
Seja \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\) e defina
Prove que \(L=\ker T\).
6.2 Aniquiladores
Assim, \(M^0\) reúne os funcionais que anulam todos os vetores de \(M\). Ele é um subespaço de \(V^{\ast }\) mesmo quando \(M\) não é um subespaço de \(V\).
\(M^0=(\langle M\rangle )^0\).
Se \(M\subseteq N\subseteq V\), então \(N^0\subseteq M^0\).
Se \(V\) tem dimensão finita, então
\[ \tau _V(\langle M\rangle )=M^{00}. \]Em particular, sob a identificação natural entre \(V\) e \(V^{**}\), temos \(S^{00}=S\) para todo subespaço \(S\subseteq V\).
Se \(S,T\subseteq V\) são subespaços, então
\[ (S\cap T)^0=S^0+T^0 \quad \text{e}\quad (S+T)^0=S^0\cap T^0. \]
a Um funcional se anula em \(M\) se, e somente se, pela linearidade, se anula em todas as combinações lineares de elementos de \(M\).
b Se \(f\) se anula em \(N\), então se anula no subconjunto \(M\).
c Ponha \(S=\langle M\rangle \). Se \(\bm {s}\in S\) e \(f\in S^0\), então \(\tau _V(\bm {s})(f)=f(\bm {s})=0\); logo, \(\tau _V(S)\subseteq S^{00}\). Como \(V\) tem dimensão finita, todo elemento de \(V^{**}\) é da forma \(\tau _V(\bm {v})\). Se \(\bm {v}\notin S\), estenda uma base de \(S\) acrescentando \(\bm {v}\) e defina \(g\in V^{\ast }\) de modo que \(g\) se anule em \(S\) e \(g(\bm {v})=1\). Então \(g\in S^0\), mas \(\tau _V(\bm {v})(g)\neq 0\). Portanto, \(\tau _V(\bm {v})\notin S^{00}\), o que prova a inclusão inversa.
d Um funcional se anula em \(S+T\) se, e somente se, anula \(S\) e \(T\); daí
Além disso, \(S^0+T^0\subseteq (S\cap T)^0\). Para provar a inclusão inversa, escolha decomposições
e um complemento \(U\) tais que
Se \(f\in (S\cap T)^0\), defina \(g\) como \(f\) em \(S'\oplus U\) e como zero em \((S\cap T)\oplus T'\). Defina \(h\) como \(f\) em \(T'\) e como zero nos demais termos. Então \(g\in T^0\), \(h\in S^0\) e \(f=g+h\).
6.2.1 Aniquiladores e Somas Diretas
A extensão por zero em \(S\) define um isomorfismo \(\operatorname {Hom}(T,\mathbb {K})\cong S^0\).
Se \(V\) tem dimensão finita, então
\[ \dim (S^0)=\mathrm{codim}\, _V(S)=\dim (V)-\dim (S). \]
Dado \(f\in \operatorname {Hom}(T,\mathbb {K})\), defina \(\widetilde f\in V^{\ast }\) por
A aplicação \(f\mapsto \widetilde f\) é linear, tem imagem em \(S^0\) e sua inversa é a restrição a \(T\). Isso prova o primeiro item. Se \(V\) tem dimensão finita, então
O aniquilador fornece uma maneira de descrever o espaço dual de uma soma direta.
Como \(S\cap T=\{ \vec0\} \), o Teorema 6.19 dá
Além disso, um funcional que pertence a \(S^0\cap T^0\) anula \(S+T=V\) e, portanto, é nulo. A soma é, assim, direta.
Seja \(A=\{ f_1,\ldots ,f_r\} \subseteq V^{\ast }\). Defina o aniquilador de \(A\) em \(V\) por Mostre que \(\operatorname {Aniq}_{V}(A)=\displaystyle \bigcap _{i=1}^r\ker f_i\).
Seja \(V\) de dimensão finita, seja \(A=\{ f_1,\ldots ,f_r\} \subseteq V^{\ast }\) e suponha que \(g\in V^{\ast }\) se anule em \(\operatorname {Aniq}_{V}(A)\). Mostre que \(g\in \langle A\rangle \).
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita. Para subespaços \(W_1,W_2\subseteq V\), mostre que:
\(\operatorname {Aniq}(W_1\cap W_2)=\operatorname {Aniq}(W_1)+\operatorname {Aniq}(W_2)\).
\(\operatorname {Aniq}(W_1+W_2)=\operatorname {Aniq}(W_1)\cap \operatorname {Aniq}(W_2)\).
Seja \(U\subseteq V\) um subespaço. Mostre diretamente que \(U^0\) é um subespaço de \(V^{\ast }\).
Determine os aniquiladores de \(\{ \vec0\} \) e de \(V\).
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita e seja \(U\subseteq V\) um subespaço não nulo. Mostre que \(U^0\neq V^{\ast }\).
Seja \(V\) de dimensão finita e seja \(U\subseteq V\) um subespaço. Mostre que \(\dim V=\dim U+\dim U^0\).
Sejam \(U,W\subseteq V\) subespaços. Mostre que \(U\subseteq W\) implica \(W^0\subseteq U^0\).
Suponha que \(m\lt n\) e que \(f_1,\ldots ,f_m\) sejam funcionais em um espaço \(n\)-dimensional \(V\). Prove que existe \(\bm {x}\neq \vec0\) tal que \(f_j(\bm {x})=0\) para todo \(j=1,\ldots ,m\). O que esse resultado afirma sobre sistemas lineares homogêneos?
Suponha que \(m\lt n\) e que \(f_1,\ldots ,f_m\in V^{\ast }\), onde \(\dim (V)=n\). Determine as condições sobre \(\alpha _1,\ldots ,\alpha _m\in \mathbb {K}\) para que exista \(\bm {x}\in V\) tal que \(f_j(\bm {x})=\alpha _j\) para todo \(j\). Interprete o resultado em termos de sistemas lineares.
Seja \(V_0\subset V_1\subset \cdots \subset V_n\) uma bandeira maximal em \(V\). Mostre que
é uma bandeira maximal em \(V^{\ast }\).
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão \(n\) e seja \(W\subsetneq V\) um subespaço de dimensão \(k\).
Mostre que existem funcionais \(f_1,\ldots ,f_{n-k}\in V^{\ast }\) tais que
\[ W=\bigcap _{i=1}^{n-k}\ker f_i. \]Conclua, usando o Teorema 6.14, que \(W\) é a interseção de \(n-k\) hiperplanos.
Encontre uma base dos funcionais \(f\in (\mathbb {R}^4)^*\) que se anulam em \((1,0,3,-2)\) e \((0,1,3,0)\).
Seja \(W\subseteq \mathbb {R}^5\) gerado por \((1,2,1,0,0)\), \((1,0,3,3,1)\) e \((1,4,6,4,1)\). Determine uma base de \(W^\perp \subseteq (\mathbb {R}^5)^*\).
Seja \(W\subset \mathbb {K}[x]\) gerado pelos monômios de grau ímpar. Mostre que \(W\) é uma interseção infinita de hiperplanos. Explique por que ele não pode ser uma interseção finita de hiperplanos.
Seja \(n\geq 2\). Mostre que todo hiperplano de \(M_n(\mathbb {K})\) contém uma matriz invertível. Sugestão: represente seu funcional definidor como \(X\mapsto \operatorname {tr}(AX)\) e reduza \(A\) por operações invertíveis de linhas e colunas.
Seja \(W=\{ x\in \mathbb {K}^n:\sum _i x_i=0\} \), com \(n\geq 2\).
Prove que \(W^\perp \) é gerado pelo funcional \(x\mapsto \sum _i x_i\) e identifique \(W^*\) com \((\mathbb {K}^n)^*/W^\perp \).
Mostre que a restrição dos funcionais \(\sum _i c_ix_i\) com \(\sum _i c_i=0\) identifica esse espaço com \(W^*\) exatamente quando \(n\cdot 1_{\mathbb {K}}\neq 0\).
Dê uma identificação válida em qualquer característica impondo \(c_n=0\).
Se \(W\) é um subespaço \(n\)-dimensional de \(\mathcal F(X,\mathbb {K})\), prove que existem \(x_1,\ldots ,x_n\in X\) e uma base \((f_1,\ldots ,f_n)\) de \(W\) com \(f_i(x_j)=\delta _{ij}\).
Sejam \(\phi _1,\ldots ,\phi _p,\psi _1,\ldots ,\psi _q\in V^*\), onde \(V\) é real e de dimensão finita. Se \(\sum _i\phi _i(v)^2=\sum _j\psi _j(v)^2\) para todo \(v\), prove que as duas famílias geram o mesmo subespaço de \(V^*\). A conclusão vale sobre \(\mathbb {C}\) quando se mantêm quadrados, sem módulos?
6.3 Transposta de uma Transformação Linear
Para \(T,S\in \operatorname {Hom}(V,W)\) e \(a,b\in \mathbb {K}\),
\[ (aT+bS)^{\mathrm{t}}=aT^{\mathrm{t}}+bS^{\mathrm{t}}. \]Para \(S\in \operatorname {Hom}(V,W)\) e \(T\in \operatorname {Hom}(W,U)\),
\[ (T\circ S)^{\mathrm{t}}=S^{\mathrm{t}}\circ T^{\mathrm{t}}. \]Se \(T\colon V\to W\) é invertível, então
\[ (T^{-1})^{\mathrm{t}}=(T^{\mathrm{t}})^{-1}. \]
As igualdades seguem diretamente da definição. Para \(f\in W^{\ast }\),
Para \(f\in U^{\ast }\),
Por fim,
e, analogamente, \((T^{-1})^{\mathrm{t}}\circ T^{\mathrm{t}}=\operatorname {I}_{W^{\ast }}\).
Aplicando duas vezes a construção anterior, obtemos \((T^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}}\colon V^{**}\to W^{**}\). Embora \(T\) e \((T^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}}\) tenham domínios e contradomínios diferentes, eles são compatíveis com as aplicações naturais.
Se \(V\) e \(W\) têm dimensão finita, as aplicações naturais identificam \((T^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}}\) com \(T\). Para \(\bm {v}\in V\) e \(f\in W^{\ast }\),
Isso prova a igualdade das transformações.
O próximo resultado descreve o núcleo e a imagem da transposta de uma transformação linear.
\(\ker (T^{\mathrm{t}})=(\operatorname {im}T)^0\);
\(\operatorname {im}(T^{\mathrm{t}})=(\ker T)^0\).
a Um funcional \(g\in W^{\ast }\) pertence a \(\ker (T^{\mathrm{t}})\) se, e somente se, \(g\circ T=0\), isto é, se, e somente se, \(g\) se anula em \(\operatorname {im}T\).
b Se \(f=T^{\mathrm{t}}(g)=g\circ T\), então \(f\) se anula em \(\ker T\). Logo, \(\operatorname {im}(T^{\mathrm{t}})\subseteq (\ker T)^0\).
Reciprocamente, seja \(f\in (\ker T)^0\) e escolha um complemento \(S\) de \(\ker T\) em \(V\). A restrição \(T\mathord {\upharpoonright }_S\colon S\to \operatorname {im}T\) é um isomorfismo. Defina \(g_0\colon \operatorname {im}T\to \mathbb {K}\) por
Essa definição é válida, e \(g_0\) pode ser estendido a um funcional \(g\in W^{\ast }\). Se \(\bm {v}=\bm {u}+\bm {s}\), com \(\bm {u}\in \ker T\) e \(\bm {s}\in S\), então
Portanto, \(f=T^{\mathrm{t}}(g)\).
Pelo teorema anterior e pelo Teorema 6.20,
Escreva \(T(\vec b_j)=\sum _{i=1}^m a_{ij}\vec c_i\). Para todo \(i\) e \(j\),
Portanto, as coordenadas de \(T^{\mathrm{t}}(\vec c_i^{\ast })\) na base \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }\) formam a \(i\)-ésima linha de \([T]_{\underline{\textsc{B}},\underline{\textsc{C}}}\), o que prova a fórmula.
Se \(V=S\oplus T\), prove que \(V^{\mathrm{t}}=S^{\perp }\oplus T^{\perp }\).
Mostre que a transposta da transformação nula é nula e que \((\operatorname {I}_V)^{\mathrm{t}}=\operatorname {I}_{V^{\mathrm{t}}}\).
Seja \(S\subseteq V\) um subespaço. Prove que \((V/S)^{\mathrm{t}}\cong S^{\perp }\).
Verifique as seguintes identidades:
\((T+S)^{\mathrm{t}}=T^{\mathrm{t}}+S^{\mathrm{t}}\), para \(T,S\in \operatorname {Hom}(V,W)\).
\((\lambda T)^{\mathrm{t}}=\lambda T^{\mathrm{t}}\), para \(\lambda \in \mathbb {K}\) e \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\).
Sejam \(V\) e \(W\) de dimensões finitas e \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\). Prove que \(\operatorname {posto}(T)=\operatorname {posto}(T^{\mathrm{t}})\).
Se \(T\colon U\to V\) e \(S\colon V\to W\) são lineares, prove que
Observe a inversão da ordem na transposta de uma composição.
Se \(T\colon V\to W\) é invertível, prove que \(T^{\mathrm{t}}\colon W^{\mathrm{t}}\to V^{\mathrm{t}}\) também é invertível e que \((T^{-1})^{\mathrm{t}}=(T^{\mathrm{t}})^{-1}\).
Se \(T\) é uma díade em \(V\), mostre que \(T^{\mathrm{t}}\) é uma díade em \(V^{\mathrm{t}}\).
Sejam \(\tau _V\colon V\to V^{**}\) e \(\tau _W\colon W\to W^{**}\) as aplicações naturais. Mostre que, para todo \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\), o diagrama a seguir é comutativo: 
Se 
é uma sequência exata curta de espaços vetoriais, mostre que 
é exata.
Sejam \(V,W\) espaços vetoriais de dimensão finita e \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\). Mostre que:
\(T\) é injetiva se, e somente se, \(T^{\mathrm{t}}\) é sobrejetiva.
\(T\) é sobrejetiva se, e somente se, \(T^{\mathrm{t}}\) é injetiva.
\(T\) é bijetiva se, e somente se, \(T^{\mathrm{t}}\) é bijetiva.
Para \(\phi (x,y)=3x-2y\), calcule \(T^{\mathrm{t}}(\phi )\) nos casos \(T(x,y,z)=(x+y,y+z)\) e \(T(x,y,z)=(x+y,2x-y)\).
Em \(\mathbb {R}[x]\), sejam \(D(p)=p'\) e \(f(p)=\int _a^bp(x)\, dx\). Determine \(D^{\mathrm{t}}(f)\).
Sejam \(a_1,\ldots ,a_n\in \mathbb {R}\) distintos. Prove que existem pesos \(\lambda _i\) com \(\int _{-1}^1p(x)\, dx=\sum _i\lambda _ip(a_i)\) para todo \(p\in \mathcal P_n(\mathbb {R})\) se, e somente se,
Quando existirem, determine os pesos em termos dos polinômios de Lagrange de grau \(n-1\).
Para \(\dim V\lt \infty \), prove que \(\Psi :\operatorname {Hom}(V,V)\to \operatorname {Hom}(V^{\mathrm{t}},V^{\mathrm{t}})\), \(T\mapsto T^{\mathrm{t}}\), é um isomorfismo de espaços vetoriais. Explique por que, em geral, não é um isomorfismo de álgebras.
6.4 Sistemas de Equações
Um sistema de \(m\) equações lineares em \(n\) variáveis pode ser escrito como
onde \(A\) é a matriz dos coeficientes. Nesta seção, usaremos funcionais lineares para interpretar o sistema homogêneo \(A\bm {x}=\vec0\).
Seja \(\underline{\textsc{e}}=(\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n)\) a base padrão de \(\mathbb {K}^n\), e seja \(\underline{\textsc{e}}^{\ast }\) sua base dual. Todo funcional \(f\in (\mathbb {K}^n)^{\ast }\) pode ser escrito como
Para \(\bm {x}=x_1\bm {e}_1+\cdots +x_n\bm {e}_n\), temos
Assim, uma equação linear homogênea é precisamente a condição de pertencer ao núcleo de um funcional.
A \(i\)-ésima coordenada de \(A\bm {x}\) é \(f_i(\bm {x})\). Portanto, \(A\bm {x}=\vec0\) se, e somente se, \(f_i(\bm {x})=0\) para todo \(i\).
Logo, resolver um sistema homogêneo equivale a determinar a interseção dos núcleos dos funcionais associados às linhas de sua matriz.
As operações elementares sobre as linhas admitem a seguinte interpretação na lista \((f_1,\ldots ,f_m)\):
trocar duas linhas corresponde a permutar dois funcionais;
multiplicar uma linha por \(\lambda \neq 0\) corresponde a substituir \(f_i\) por \(\lambda f_i\);
somar \(\lambda \) vezes a linha \(i\) à linha \(j\) corresponde a substituir \(f_j\) por \(f_j+\lambda f_i\).
Cada operação preserva o subespaço gerado pelos funcionais. Portanto, se \(U\) é obtida de \(A\) por operações elementares, os funcionais associados às linhas de \(A\) e de \(U\) geram o mesmo subespaço de \((\mathbb {K}^n)^{\ast }\). Como as linhas não nulas de uma matriz escalonada reduzida são linearmente independentes, elas formam uma base desse subespaço.
Já demonstramos no Teorema 3.30, por meio de operações elementares, que os postos por linhas e por colunas coincidem. A dualidade fornece agora uma segunda demonstração.
Se \(T_A\) é a transformação representada por \(A\), então \(\operatorname {posto}_c A=\operatorname {posto}(T_A)\). A matriz da transposta \(T_A^*\) nas bases duais é \(A^{\mathrm{t}}\); portanto, \(\operatorname {posto}_l A=\operatorname {posto}_c(A^{\mathrm{t}})=\operatorname {posto}(T_A^*)\). Pelo corolário anterior, \(\operatorname {posto}(T_A^*)=\operatorname {posto}(T_A)\), e o resultado segue.
Sejam \(f_1,\ldots ,f_m\) os funcionais associados às linhas de \(A\) e \(g_1,\ldots ,g_r\) os associados às linhas não nulas de \(U\). As operações elementares preservam o espaço gerado pelas linhas; logo,
Os dois espaços gerados têm o mesmo aniquilador em \(\mathbb {K}^n\). Pelo Teorema 6.29, esse aniquilador é o conjunto de soluções tanto de \(A\bm {v}=\vec0\) quanto de \(U\bm {v}=\vec0\).