Teoremas Espectrais e Decomposições
As potências, o núcleo e a imagem de uma matriz diagonal podem ser calculados diretamente a partir de suas entradas. Para obter uma descrição semelhante de um operador, procuramos uma base de autovetores. Quando essa base é ortonormal, a representação em coordenadas também preserva o produto interno do espaço.
O teorema espectral caracteriza os operadores que admitem tal base. Sobre os complexos, são exatamente os operadores normais; sobre os reais, são os operadores autoadjuntos. Desse resultado decorrem a forma canônica dos operadores normais reais, a descrição das isometrias, a raiz quadrada de um operador positivo, a decomposição polar e a decomposição em valores singulares.
Para tratamentos mais amplos de teoria espectral e decomposições em álgebra linear avançada, veja Weintraub (2011); Roman et al. (2005Roman, Axler, and Gehring).
Em todo o capítulo, \(V\) e \(W\) serão espaços com produto interno de dimensão finita sobre \(\mathbb {K}=\mathbb {R}\) ou \(\mathbb {K}=\mathbb {C}\). Mantemos a convenção do Capítulo 7: o produto interno é linear na primeira variável e conjugado-linear na segunda. Para uma matriz complexa \(A\), escreveremos
No caso real, essa operação se reduz à transposição.
14.1 Operadores Autoadjuntos e Normais
A adjunta relaciona um operador ao produto interno do espaço. As classes introduzidas a seguir são definidas por relações entre o operador e sua adjunta.
autoadjunto se \(T^\ast =T\);
anti-autoadjunto se \(T^\ast =-T\);
normal se \(T^\ast T=TT^\ast \).
Em espaços complexos, os operadores autoadjuntos também são chamados de hermitianos. Em espaços reais, suas matrizes em bases ortonormais são simétricas. Todo operador autoadjunto ou anti-autoadjunto é normal, mas a classe dos operadores normais é maior.
\(T\) é autoadjunto se, e somente se, \(A=A^\ast \);
\(T\) é anti-autoadjunto se, e somente se, \(A=-A^\ast \);
\(T\) é normal se, e somente se, \(A^\ast A=AA^\ast \).
Em uma base ortonormal, a matriz da adjunta é \([T^\ast ]_{\underline{\textsc{v}}}=A^\ast \). As duas primeiras equivalências seguem imediatamente dessa identidade. Para a terceira, observamos que
Como operadores são iguais se, e somente se, têm a mesma matriz em uma base fixada, o resultado segue.
Das propriedades da adjunta,
A prova para \(TT^\ast \) é idêntica. Finalmente, pela definição de adjunta,
e a segunda identidade é obtida trocando \(T\) por \(T^\ast \).
Os próximos resultados descrevem as restrições que a adjunta impõe aos autovalores e aos autovetores. Essas relações serão usadas nas demonstrações dos teoremas espectrais.
Suponha \(T\bm {v}=\lambda \bm {v}\), com \(\bm {v}\neq \vec0\). Como \(T=T^\ast \),
Como \(\lVert \bm {v}\rVert \gt 0\), temos \(\lambda =\overline\lambda \); portanto, \(\lambda \in \mathbb {R}\).
Agora sejam \(T\bm {v}=\lambda \bm {v}\) e \(T\bm {w}=\mu \bm {w}\), com \(\lambda \neq \mu \). Os dois autovalores são reais, e
Logo \((\lambda -\mu )\langle \bm {v},\bm {w}\rangle =0\), o que implica \(\langle \bm {v},\bm {w}\rangle =0\).
Para operadores normais, a relação entre os autovetores de \(T\) e de \(T^\ast \) é dada pelo lema seguinte.
O operador \(S=T-\lambda I\) é normal, pois \(S^\ast =T^\ast -\overline\lambda I\) e os termos cruzados nas expressões \(S^\ast S\) e \(SS^\ast \) coincidem. Para todo \(\bm {v}\in V\), a normalidade fornece
Assim, \(S\bm {v}=\vec0\) se, e somente se, \(S^\ast \bm {v}=\vec0\), o que é exatamente a igualdade dos núcleos anunciada.
Se \(T\bm {v}=\lambda \bm {v}\) e \(T\bm {w}=\mu \bm {w}\), o lema anterior dá \(T^\ast \bm {w}=\overline\mu \bm {w}\). Portanto,
Se \(\lambda \neq \mu \), segue que \(\bm {v}\perp \bm {w}\).
14.2 Teoremas Espectrais
Diagonalizar um operador significa decompor o espaço em retas invariantes. Os teoremas a seguir caracterizam os operadores para os quais essas retas podem ser escolhidas mutuamente ortogonais. Normalizando um vetor em cada reta, obtemos uma base ortonormal de autovetores.
Suponha primeiro que \(T\) possua uma base ortonormal de autovetores. Nessa base, \(T\) e \(T^\ast \) são representados, respectivamente, por
As duas matrizes comutam; logo \(T\) é normal.
Reciprocamente, suponha que \(T\) seja normal. A prova será por indução em \(n=\dim V\). O caso \(n=1\) é imediato. Como o corpo é \(\mathbb {C}\), o polinômio característico de \(T\) possui uma raiz. Portanto, existem \(\lambda \in \mathbb {C}\) e um vetor unitário \(\bm {e}_1\) tais que \(T\bm {e}_1=\lambda \bm {e}_1\). Pelo Lema 14.7, \(T^\ast \bm {e}_1=\overline\lambda \bm {e}_1\).
A reta \(L=\langle \bm {e}_1\rangle \) e seu complemento ortogonal \(L^\perp \) são invariantes por \(T\) e por \(T^\ast \). De fato, se \(\bm {w}\in L^\perp \), então
e o mesmo argumento, trocando \(T\) por \(T^\ast \), mostra a outra invariância. Assim, a restrição \(T_1=T|_{L^\perp }\) é normal; sua adjunta é justamente \(T^\ast |_{L^\perp }\). Pela hipótese de indução, \(L^\perp \) possui uma base ortonormal \(\bm {e}_2,\ldots ,\bm {e}_n\) formada por autovetores de \(T_1\). Juntando \(\bm {e}_1\) a essa base, obtemos a base ortonormal desejada de \(V\).
No caso real, um operador normal pode conter planos invariantes nos quais atua como uma rotação. Por isso, normalidade não basta para garantir uma base real de autovetores. A diagonalização em uma base ortonormal real é caracterizada pela autoadjunção.
Se existe uma base ortonormal de autovetores, a matriz de \(T\) nessa base é diagonal e real. Ela é, portanto, simétrica, e o Teorema 14.3 mostra que \(T\) é autoadjunto.
Para a recíproca, começamos justificando a existência de um autovetor real. Escolha uma base ortonormal e seja \(A\) a matriz real simétrica de \(T\). Vista como matriz complexa, \(A\) é hermitiana e, pelo teorema espectral complexo, possui um autovetor \(\bm {z}=\bm {x}+i\bm {y}\) associado a um autovalor real \(\lambda \). Da igualdade
seguem \(A\bm {x}=\lambda \bm {x}\) e \(A\bm {y}=\lambda \bm {y}\). Como \(\bm {z}\neq \vec0\), pelo menos um dos vetores \(\bm {x},\bm {y}\) é não nulo. Assim, \(T\) possui um autovetor real, que podemos normalizar e denotar por \(\bm {e}_1\).
Agora procedemos por indução em \(\dim V\). Como \(T=T^\ast \), o complemento ortogonal de \(\langle \bm {e}_1\rangle \) é invariante por \(T\), e a restrição de \(T\) a esse complemento continua autoadjunta. A hipótese de indução fornece uma base ortonormal de autovetores no complemento. Acrescentando \(\bm {e}_1\), obtemos uma base ortonormal de autovetores de \(V\).
uma matriz complexa \(A\) é normal se, e somente se, existe uma matriz unitária \(Q\) tal que \(Q^\ast AQ\) é diagonal;
uma matriz real \(A\) é simétrica se, e somente se, existe uma matriz ortogonal \(Q\) tal que \(Q^{\mathrm{t}}AQ\) é diagonal.
As colunas de \(Q\) são os vetores de uma base ortonormal escritos na base canônica. A expressão \(Q^{-1}AQ\) é a matriz do mesmo operador na nova base. Como \(Q^{-1}=Q^\ast \) no caso complexo e \(Q^{-1}=Q^{\mathrm{t}}\) no caso real, as afirmações são exatamente as versões matriciais dos dois teoremas espectrais.
14.2.1 Decomposição Espectral e Cálculo Funcional
O teorema espectral pode ser escrito sem escolher vetores dentro de cada autoespaço. Essa formulação é especialmente útil quando um autovalor tem multiplicidade maior que um.
Escolha uma base ortonormal de autovetores e agrupe seus elementos segundo o autovalor. O Corolário 14.8 mostra que os autoespaços associados a autovalores distintos são ortogonais. Se \(\bm {v}=\bm {v}_1+\cdots +\bm {v}_r\), com \(\bm {v}_j=P_j\bm {v}\in E_{\lambda _j}\), então
Como essa igualdade vale para todo \(\bm {v}\), obtemos a fórmula para \(T\). As demais identidades seguem das propriedades das projeções ortogonais.
Se \(f\) é uma função definida no conjunto finito \(\{ \lambda _1,\ldots ,\lambda _r\} \), definimos
Quando \(f\) é um polinômio, essa definição coincide com a substituição usual de \(T\) no polinômio. A vantagem é que também podemos usar funções como \(f(t)=\sqrt t\) ou \(f(t)=1/t\), desde que estejam definidas no espectro de \(T\).
Pelo teorema espectral, \(V\) é a soma ortogonal dos autoespaços de \(T\). A comutação mostra que cada um desses autoespaços é invariante por \(S\): se \(T\bm {v}=\lambda \bm {v}\), então
A restrição de \(S\) a cada autoespaço de \(T\) é autoadjunta. Diagonalizando essas restrições e reunindo as bases ortonormais obtidas, construímos uma base de autovetores simultâneos.
14.2.2 Triangularização Unitária
Leitura opcional.
Esta subseção pode ser omitida em uma primeira leitura. A decomposição de Schur não é necessária para os resultados posteriores do capítulo. Ela estabelece que todo operador complexo admite uma matriz triangular em uma base ortonormal, mesmo quando não admite diagonalização.
O teorema seguinte vale para qualquer operador complexo, sem a hipótese de normalidade. A representação obtida é, em geral, triangular, e não diagonal.
Apresentamos a versão para operadores. A prova é por indução em \(n\). Escolha um autovetor unitário \(\bm {e}_1\) de \(T\) e escreva \(V=\langle \bm {e}_1\rangle \odot \langle \bm {e}_1\rangle ^\perp \). Seja \(P\) a projeção ortogonal sobre \(\langle \bm {e}_1\rangle ^\perp \) e considere o operador comprimido
Pela hipótese de indução, existe uma base ortonormal \(\bm {e}_2,\ldots ,\bm {e}_n\) do complemento na qual \(S\) é triangular superior. Como a reta gerada por \(\bm {e}_1\) é \(T\)-invariante, a matriz de \(T\) na base \(\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n\) também é triangular superior. Tomando para colunas de \(Q\) os vetores dessa base, obtemos \(Q^\ast AQ\) triangular superior.
Para uma matriz normal, a forma triangular de Schur é necessariamente diagonal. De fato, se \(R=(r_{ij})\) é triangular superior e normal, então \(\lVert R\bm {e}_1\rVert =\lVert R^\ast \bm {e}_1\rVert \) implica
Logo a primeira linha não possui entradas fora da diagonal. O argumento se repete no bloco restante. Assim, a decomposição de Schur também oferece uma prova matricial do teorema espectral complexo.
14.3 Operadores Normais Reais
Uma rotação não trivial do plano real é normal, mas não possui autovetores reais. Em vez de uma diagonalização, devemos esperar uma decomposição em retas e planos ortogonais invariantes.
Ideia geométrica.
Ao complexificar o espaço, cada autovalor real ainda fornece uma direção real. Já um par de autovalores não reais conjugados \(a\pm ib\) fornece um plano real: nesse plano, o operador é a composição de uma rotação com uma dilatação. A prova consiste em recuperar essas retas e esses planos a partir de uma base ortonormal complexa e verificar que continuam mutuamente ortogonais no espaço real.
A fórmula define uma extensão sesquilinear do produto interno real e
de modo que é positiva definida. A identidade envolvendo a conjugação é imediata pela fórmula. Finalmente, para \(\bm {z},\bm {w}\in V^{\mathbb {C}}\),
por extensão complexa da identidade correspondente em \(V\); logo \((T^{\mathbb {C}})^*=(T^*)^{\mathbb {C}}\).
Suponha que \(T\) seja normal e estenda os escalares de \(\mathbb {R}\) para \(\mathbb {C}\). O operador complexificado \(T^{\mathbb {C}}\) continua normal e, pelo teorema espectral complexo, possui uma base ortonormal de autovetores.
Se \(\lambda \) é real, o autoespaço complexo correspondente é a complexificação de \(\ker (T-\lambda I)\). Escolhendo uma base ortonormal nesse autoespaço real, obtemos blocos unidimensionais \([\lambda ]\).
Os autovalores não reais aparecem em pares conjugados. Fixe \(\lambda =a+ib\), com \(b\gt 0\), e escolha uma base ortonormal \(\bm {z}_1,\ldots ,\bm {z}_k\) de seu autoespaço. Escreva \(\bm {z}_j=\bm {x}_j+i\bm {y}_j\), com \(\bm {x}_j,\bm {y}_j\in V\). Da igualdade \(T^{\mathbb {C}}\bm {z}_j=\lambda \bm {z}_j\) obtemos
Como \(\overline{\bm {z}_1},\ldots ,\overline{\bm {z}_k}\) são autovetores associados a \(\overline\lambda \), a ortogonalidade dos autoespaços de um operador normal fornece
Separando partes real e imaginária nessas duas identidades, obtemos
Portanto, os vetores \(\sqrt2\, \bm {x}_j,\sqrt2\, \bm {y}_j\) formam um conjunto ortonormal real. Em cada plano gerado pelo par correspondente, a matriz da restrição de \(T\) é
Autoespaços correspondentes a diferentes pares conjugados são ortogonais; logo o mesmo cálculo produz planos reais mutuamente ortogonais. Agrupando esses planos com os autoespaços reais, obtemos uma decomposição ortogonal de \(V\) e a matriz anunciada.
Reciprocamente, cada bloco exibido comuta com sua transposta. Uma matriz diagonal por blocos desse tipo também comuta com sua transposta e, pelo Teorema 14.3, representa um operador normal.
Pelo Teorema 14.21, um operador normal real é autoadjunto se, e somente se, não aparecem blocos bidimensionais na forma canônica. Nesse caso, a matriz na base ortonormal é diagonal.
14.4 Operadores Unitários e Ortogonais
As isometrias lineares são as transformações que preservam comprimentos. A identidade de polarização mostra que, para uma transformação linear, preservar todos os comprimentos equivale a preservar todo o produto interno.
\(U\) é uma isometria;
\(\langle U\bm {v},U\bm {w}\rangle =\langle \bm {v},\bm {w}\rangle \) para todos \(\bm {v},\bm {w}\in V\);
\(U^\ast U=I\);
\(U\) é invertível e \(U^{-1}=U^\ast \);
\(U\) envia toda base ortonormal de \(V\) em uma base ortonormal.
A implicação de a para b segue das identidades de polarização: todos os termos do lado direito dessas identidades são normas, e \(U\) preserva somas e multiplicações por escalares por ser linear. A implicação inversa é obtida tomando \(\bm {w}=\bm {v}\).
Além disso,
Logo b equivale a \(U^\ast U=I\), o que prova a equivalência com c. Essa identidade mostra que \(U\) é injetivo; como \(V\) tem dimensão finita, \(U\) é invertível e \(U^\ast =U^{-1}\). Isso fornece d, cuja recíproca é imediata.
Finalmente, a preservação do produto interno mostra que a imagem de qualquer base ortonormal é ortonormal. Como \(U\) é invertível, essa imagem é uma base. Reciprocamente, se \(U\) envia uma base ortonormal em outra, a expansão de um vetor nessa base e a identidade de Parseval mostram que \(U\) preserva sua norma.
Pela Definição 14.13, as matrizes de um operador unitário ou ortogonal em bases ortonormais são, respectivamente, unitárias ou ortogonais. As colunas dessas matrizes formam uma base ortonormal do espaço coordenado.
Um operador unitário é normal, pois \(U^\ast U=UU^\ast =I\). Pelo teorema espectral complexo, ele possui uma base ortonormal de autovetores. Se \(U\bm {v}=\lambda \bm {v}\), então
de modo que \(|\lambda |=1\). A recíproca segue diretamente: em uma base ortonormal de autovetores, a matriz de \(U\) é diagonal e suas entradas têm módulo \(1\), logo \(U^\ast U=I\).
Um operador ortogonal é normal. Na forma do Teorema 14.21, cada bloco deve ser ortogonal. Nos blocos unidimensionais isso força \(\lambda =\pm 1\). Em um bloco bidimensional, \(a^2+b^2=1\); portanto, \(a=\cos \theta \) e \(b=\operatorname {sen}\theta \) para algum \(0\lt \theta \lt \pi \).
Em particular, o determinante de uma matriz ortogonal é \(1\) ou \(-1\). Os blocos de rotação têm determinante \(1\); assim, o sinal do determinante registra a paridade do número de blocos \([-1]\).
14.5 Operadores Positivos e Raízes Quadradas
Para números reais, a condição \(a\geq 0\) pode ser reconhecida pela existência de uma raiz quadrada real. O análogo para operadores exige a autoadjunção e será obtido diretamente do teorema espectral.
\(A\geq 0\);
\(A\) é autoadjunto e todos os seus autovalores são não negativos;
existe um operador \(S\) tal que \(A=S^\ast S\).
Se \(A\geq 0\) e \(A\bm {v}=\lambda \bm {v}\), com \(\bm {v}\neq \vec0\), então
Como \(A\) é autoadjunto, \(\lambda \) é real, e a desigualdade implica \(\lambda \geq 0\).
Reciprocamente, suponha que \(A\) seja autoadjunto. Sejam \(\lambda _1,\ldots ,\lambda _n\) seus autovalores, repetidos de acordo com suas multiplicidades, e suponha que todos sejam não negativos. Escolha uma base ortonormal de autovetores e defina \(S\) nessa base por
Então \(S=S^\ast \) e \(A=S^2=S^\ast S\).
Por fim, se \(A=S^\ast S\), então \(A\) é autoadjunto e
Isso fecha o ciclo de equivalências. A afirmação sobre positividade definida segue pelo mesmo cálculo: em uma base ortonormal de autovetores, \(\langle A\bm {v},\bm {v}\rangle \) é uma soma dos termos \(\lambda _j|x_j|^2\).
Se
é a decomposição espectral de \(A\), defina
Esse operador é autoadjunto, positivo semidefinido e seu quadrado é \(A\).
Para a unicidade, suponha que \(R\geq 0\) e \(R^2=A\). Como \(R\) comuta com \(A=R^2\), cada autoespaço \(E_\lambda (A)\) é invariante por \(R\). A restrição de \(R\) a esse autoespaço é positiva semidefinida e satisfaz \(R^2=\lambda I\). Seus autovalores são, portanto, não negativos e têm quadrado igual a \(\lambda \); todos são iguais a \(\sqrt\lambda \). Pelo teorema espectral, a restrição é \(\sqrt\lambda I\). Logo \(R\) coincide com o operador construído em cada autoespaço de \(A\).
14.6 Decomposição Polar
Todo número complexo não nulo pode ser escrito como \(z=u|z|\), em que \(|u|=1\). A decomposição polar substitui o módulo por um operador positivo e a fase por uma isometria.
Como \(|T|\) é autoadjunto e \(|T|^2=T^\ast T\),
A igualdade dos núcleos segue porque um vetor tem norma zero se, e somente se, é o vetor nulo.
Defina inicialmente
O Lema 14.34 mostra simultaneamente que essa aplicação é bem definida e preserva normas. Ela é sobrejetiva por construção. Escolha uma base ortonormal de \(\operatorname {im}|T|\) e transporte-a por \(U_0\) para uma base ortonormal de \(\operatorname {im}T\). Como esses subespaços têm a mesma dimensão, podemos completar as duas bases nos respectivos complementos ortogonais e definir uma isometria \(U:V\to V\) que estende \(U_0\). Para todo \(\bm {v}\in V\),
Se \(T\) é invertível, então \(|T|\) também é invertível e a igualdade \(T=U|T|\) força \(U=T|T|^{-1}\). No caso singular, a construção deixa livre a escolha da isometria entre os complementos ortogonais.
Calcule \(H=\sqrt{A^TA}\) e a decomposição polar \(A=UH\) de Verifique diretamente que \(H\) é simétrica definida positiva, que \(U\) é ortogonal e que \(UH=A\). Determine também a decomposição à esquerda \(A=KU\), com \(K=\sqrt{AA^T}\).
Para \(A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\), calcule \(H=\sqrt{A^TA}\) e encontre todas as matrizes ortogonais reais \(U\) com \(A=UH\). Mostre que elas coincidem em \((\ker A)^\perp \) e diferem apenas na extensão ao núcleo. Se exigirmos que um fator \(W\) seja zero em \(\ker A\) e preserve o produto interno em \((\ker A)^\perp \), determine o único \(W\) com \(A=WH\).
Seja \(A\) uma matriz complexa invertível e \(A=UH\) sua decomposição polar, com \(U\) unitária e \(H\) definida positiva. Prove que \(A\) é normal se, e somente se, \(UH=HU\). Nesse caso, mostre que \(A^k=U^kH^k\) para todo inteiro \(k\geq 0\) e que os autovalores de \(H\) são os módulos dos autovalores de \(A\).
Seja \(A\in M_n(\mathbb R)\) invertível e \(A=UH\) sua decomposição polar. Para a norma de Frobenius \(\| B\| _F^2=\operatorname {tr}(B^TB)\), prove que \(U\) é a única matriz ortogonal que minimiza \(\| A-Q\| _F\). Expresse a distância mínima em termos dos autovalores \(h_1,\ldots ,h_n\gt 0\) de \(H\) e calcule-a para a matriz do exercício de decomposição polar invertível desta seção.
14.7 Decomposição em Valores Singulares
A diagonalização espectral se aplica a operadores normais e atua no mesmo espaço na partida e na chegada. A decomposição em valores singulares não exige normalidade e vale também para transformações \(T:V\to W\) entre espaços de dimensões diferentes. Em vez de usar uma única base de autovetores, ela escolhe uma base ortonormal no domínio e outra no contradomínio.
O operador \(T^\ast T\) em \(V\) é positivo semidefinido. Pelo teorema espectral, existe uma base ortonormal \(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_n\) de autovetores, ordenada de modo que
onde \(s_1\geq \cdots \geq s_r\gt 0\). O número de autovalores positivos é \(r\), pois \(\ker (T^\ast T)=\ker T\).
Para \(1\leq j\leq r\), defina
Esses vetores são ortonormais. De fato,
A última expressão vale \(1\) se \(i=j\) e \(0\) caso contrário. Complete \(\bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_r\) a uma base ortonormal de \(W\).
Se \(j\gt r\), então
logo \(T\bm {v}_j=\vec0\). Isso prova a existência da decomposição. Finalmente, os quadrados dos valores singulares positivos são exatamente os autovalores positivos de \(T^\ast T\), contados com multiplicidade; por isso, a lista ordenada \(s_1,\ldots ,s_r\) é única. Os valores singulares nulos são determinados pelo posto e pelas dimensões do domínio e do contradomínio.
Tome para colunas de \(P\) os vetores da base ortonormal do domínio e para colunas de \(Q\) os vetores da base ortonormal do contradomínio fornecidas pelo Teorema 14.37. Nessa escolha de bases, \(Q^\ast AP=\Sigma \). Multiplicando à esquerda por \(Q\) e à direita por \(P^\ast \), obtemos a fatoração anunciada.
A construção da decomposição em valores singulares parte do operador positivo \(T^\ast T\). O teorema espectral fornece uma base ortonormal de autovetores desse operador, e os valores singulares descrevem os fatores de alongamento de \(T\) nas direções correspondentes. Assim, a representação de \(T\) se reduz a mudanças ortonormais de coordenadas e a uma matriz diagonal, possivelmente retangular.
Exercícios complementares: adjuntas e teoria espectral.
Os exercícios seguintes retomam adjuntas e desenvolvem consequências dos teoremas espectrais deste capítulo.
Suponha que \(V\) é de dimensão finita. Sejam \(T:V\rightarrow V\) um operador linear e \(\lambda \in \mathbb {K}\). Mostre que \(\lambda \) é um autovalor de \(T\) se, e somente se, \(\overline{\lambda }\) é um autovalor de \(T^{\ast }.\)
Seja \(V\) um espaço com produto interno complexo de dimensão finita. Seja \(T:V\rightarrow V\) um operador linear. Definimos
Mostre que
\(T_{1}\) e \(T_{2}\) são autoadjuntos.
\(T=T_{1}+iT_{2}\).
O que pode dizer sobre a unicidade dessa decomposição?
Escreva \(T^{\ast }\) em função de \(T_{1}\) e \(T_{2}\).
Encontre condições em \(T_{1}\) e \(T_{2}\) para que o operador \(T\) seja: i- autoadjunto; ii-unitário; iii- normal.
Seja \(E\) um operador linear em \(V\) tal que \(E^{2}=E\) e tal que \(E\) possui um adjunto \(E^{\ast }\). Prove que \(E\) é autoadjunto se, e somente se é normal. Prove também que, neste caso, \(E\) é a projeção ortogonal em \(W=\operatorname {im}E\).
Sejam \(V\) um espaço com produto interno sobre \(\mathbb {C}\), de dimensão finita, e \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\). Prove que \(T\) é autoadjunto se, e somente se \(\langle T(v),v\rangle \in \mathbb {R}\), para todo \(v\in V.\) Conclua que os autovalores de um operador autoadjunto são reais.
Sejam \(S,T\in \operatorname {Hom}(V,V)\). Suponha que \(S\) e \(T\) admitem adjunto. Mostre que:
Se \(S\) e \(T\) são autoadjuntos, então \(ST\) é autoadjunto se, e somente se, \(ST=TS\).
\(T^{\ast }T\) é autoadjunto.
Se \(T\) é autoadjunto, então \(S^{\ast }TS\) é autoadjunto.
Suponha que \(\dim V\) é finita e seja \(T:V\to V\) um operador normal. Mostre que:
Se \(T\) é nilpotente então \(T=0\).
Se \(T\) é um operador projeção então \(T^{\ast }=T\).
Se \(T^{3}=T^{2}\) então \(T\) é um operador projeção.
Sejam \(V\) um \(\mathbb {C}\)-e.v. com produto interno de dimensão finita e \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\) um operador normal. Prove que:
\(T\) é autoadjunto se, e somente se, todo autovalor de \(T\) é um número real.
\(T\) é unitário se, e somente se, todo autovalor de \(T\) é um número complexo de módulo igual a \(1\).
\(T\) é o operador nulo se, e somente se todos os autovalores de \(T\) são nulos.
Um operador linear \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\) é não negativo se \(T\) é autoadjunto e \(\left\langle T(v),v\right\rangle \geq 0\) para todo \(v\in V\). Mostre que se \(V\) é um \(\mathbb {C}\)-e.v. de dimensão finita:
\(T\) é não negativo se, e somente se, \(T\) é normal e os autovalores de \(T\) são números reais não negativos.
Se \(T\) é não negativo então existe um único operador linear não-negativo \(R\in \operatorname {Hom}(V,V)\) que é raiz quadrada de \(T\), isto é, que satisfaz \(R^{2}=T\).
Fundamentos
Classifique cada matriz abaixo como autoadjunta, normal, unitária ou ortogonal e positiva semidefinida, quando essas expressões fizerem sentido. Uma matriz pode pertencer a mais de uma classe.
Nos três primeiros casos, trabalhe sobre \(\mathbb {R}\); nos dois últimos, sobre \(\mathbb {C}\).
Seja \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\). Prove que \(T\) é normal se, e somente se,
Sugestão. Aplique a identidade de polarização ao operador \(T^\ast T-TT^\ast \).
Considere
Encontre uma base ortonormal de autovetores, escreva a decomposição espectral de \(A\) e obtenha uma fórmula fechada para \(A^m\), com \(m\geq 1\).
Seja \(U\in \operatorname {Hom}(V,V)\). Prove que \(U\) é simultaneamente autoadjunto e unitário — ortogonal, no caso real — se, e somente se, existe uma projeção ortogonal \(P\) tal que
Interprete geometricamente a ação de \(U\) sobre \(\operatorname {im}P\) e \(\ker P\).
Consolidação
Seja \(T\) normal complexo, ou autoadjunto real, com autovalores distintos \(\lambda _1,\ldots ,\lambda _r\). Prove que a projeção espectral sobre \(E_{\lambda _j}\) é dada por
Conclua que toda função definida no espectro de \(T\) pode ser representada por um polinômio em \(T\).
Sejam \(T_1,\ldots ,T_s\) operadores autoadjuntos que comutam dois a dois. Prove, por indução em \(s\), que existe uma base ortonormal formada por autovetores simultâneos de todos eles.
Se \(A\geq 0\), prove que \(\sqrt A\) comuta com todo operador que comuta com \(A\). Mostre também que
Use a forma canônica real do Teorema 14.21 para provar:
o determinante de um operador normal real é o produto dos escalares \(\lambda \) dos blocos unidimensionais pelos números \(a^2+b^2\) dos blocos bidimensionais; conclua que o operador é invertível se, e somente se, nenhum bloco unidimensional é \([0]\);
ele é ortogonal se, e somente se, os blocos unidimensionais são \([1]\) ou \([-1]\) e, em cada bloco bidimensional, \(a^2+b^2=1\).
Na construção da decomposição polar, prove que
Descreva todas as escolhas possíveis para o fator unitário ou ortogonal \(U\) quando \(T\) é singular e conclua que esse fator é único se, e somente se, \(T\) é invertível.
Aprofundamento
Calcule uma decomposição em valores singulares da matriz
Determine explicitamente matrizes ortogonais \(Q\) e \(P\) e uma matriz \(\Sigma \) tais que \(A=Q\Sigma P^{\mathrm{t}}\).
Prove que \(T\) e \(T^\ast \) têm os mesmos valores singulares positivos, com as mesmas multiplicidades. Relacione as bases singulares de um operador com as de sua adjunta.
Se
é uma SVD de \(T\), defina o operador \(T^+:W\to V\) por
e por zero no complemento ortogonal de \(\operatorname {im}T\). Prove que \(TT^+\) é a projeção ortogonal sobre \(\operatorname {im}T\), que \(T^+T\) é a projeção ortogonal sobre \((\ker T)^\perp \) e que
O operador \(T^+\) é chamado de pseudoinversa de Moore–Penrose.
Seja \(A=Q\Sigma P^\ast \) uma SVD e sejam \(s_1\geq \cdots \geq s_r\gt 0\) seus valores singulares. Para \(k\lt r\), substitua em \(\Sigma \) os valores \(s_{k+1},\ldots ,s_r\) por zero e denote por \(A_k\) a matriz resultante. Prove que \(A_k\) tem posto \(k\) e minimiza \(\lVert A-B\rVert _{\mathrm F}\) entre todas as matrizes \(B\) de posto no máximo \(k\), onde
Além disso, mostre que o valor mínimo é \(\sqrt{s_{k+1}^2+\cdots +s_r^2}\). Sugestão. Use a invariância da norma de Frobenius por multiplicação unitária. Se \(R\) é a projeção ortogonal sobre \(\operatorname {im}B\), compare \(B\) com \(RA\) e use \(\sum _j\lVert R\bm {u}_j\rVert ^2\leq k\) para uma base de vetores singulares à esquerda.
Sejam \(S\) e \(T\) operadores normais em um espaço complexo e suponha que \(ST=TS\). Prove que existe uma base ortonormal de autovetores simultâneos de \(S\) e \(T\). Estenda o argumento a uma família finita de operadores normais que comutam dois a dois.
Aplicação ao caso simétrico real
Considere uma matriz real simétrica \(A\) de ordem \(3\) com determinante igual a \(6\). Suponha que \(u=(4,8,-1)\) e \(v=(1,0,4)\) sejam autovetores desta matriz associados aos autovalores \(1\) e \(2\), respectivamente. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Os autovalores de \(A\) são apenas \(1\) e \(2\).
O produto vetorial \(u\times v\) é autovetor de \(A\).
O vetor \((5,8,3)\) é autovetor de \(A\).
A pode não ser diagonalizável.
Prove que uma matriz real simétrica \(A\) é definida positiva se, e somente se, admite uma fatoração \(A=R^TR\), com \(R\) triangular superior e diagonal estritamente positiva. Prove a unicidade de \(R\). Sugestão: aplique QR à raiz quadrada positiva de \(A\).
Calcule uma SVD completa e uma reduzida de \(A=\begin{bmatrix} 4 & 11 & 14 \\ 8 & 7 & -2 \end{bmatrix}\) e \(B=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}\).
Determine o máximo de \(\| Ax\| ^2\) para \(\| x\| =1\) e descreva a imagem da esfera unitária de \(\mathbb {R}^3\) por \(A\). Essa imagem é somente a borda de uma elipse?
Para uma matriz \(m\times n\), o que significa ter \(n\) valores singulares positivos? Essa condição basta para a existência de uma inversa bilateral?
Seja \(A\in M_{m\times n}(\mathbb {R})\) com pseudoinversa \(A^+\). Prove que \(A^+b\) é o único minimizador de norma entre todas as soluções de mínimos quadrados de \(Ax=b\). Aplique o resultado ao sistema
As colunas de \(X\in M_{m\times N}(\mathbb {R})\), \(N\gt 1\), são observações. Defina \(\mu =X\mathbf1/N\), \(X_c=X-\mu \mathbf1^T\) e \(S=X_cX_c^T/(N-1)\).
Prove que \(X_c\mathbf1=0\) e que \(S\) é simétrica positiva semidefinida. Interprete \(S_{ii}\) como variância amostral e \(S_{ij}\) como covariância.
Se \(P\) é ortogonal e \(Y=P^TX_c\), mostre que \(Y\) tem média zero e covariância \(P^TSP\). Prove que a variância total, \(\operatorname {tr}S\), é preservada.
Escolha \(P\) para que as novas variáveis tenham covariâncias cruzadas nulas. Relacione as componentes principais e as variâncias à SVD de \(X_c^T/\sqrt{N-1}\).
Para \(X=\begin{bmatrix} 19 & 22 & 6 & 3 & 2 & 20 \\ 12 & 6 & 9 & 15 & 13 & 5 \end{bmatrix}\), calcule a média, os dados centrados, a covariância amostral e as componentes principais. Descreva a mudança de coordenadas.
Um conjunto de mil observações centradas tem covariância \(S=\begin{bmatrix} 70 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 5\sqrt3 \\ 0 & 5\sqrt3 & 10 \end{bmatrix}\). Encontre as componentes principais e a fração da variância total de cada uma. Qual subespaço de dimensão dois retém a maior variância? Descreva a redução dos dados.
Seja \(L\) autoadjunto num espaço complexo de dimensão finita. Se \(\| x\| =1\) e \(\| Lx-\mu x\| \leq \varepsilon \), com \(\mu \in \mathbb {C}\) e \(\varepsilon \gt 0\), prove que existe um autovalor \(\lambda \) de \(L\) com \(|\lambda -\mu |\leq \varepsilon \).
Seja \(T\) um operador num espaço complexo de dimensão finita com produto interno e suponha \(TT^\ast =4T-3I\). Prove que \(T\) é autoadjunto e definido positivo. Determine seus possíveis autovalores e escreva-o em termos de uma projeção ortogonal.
Decida se cada afirmação é verdadeira. Se for falsa, dê um contraexemplo e formule uma versão correta.
Uma matriz real simétrica de ordem três, com determinante um, tem um como autovalor.
Para \(A\) real simétrica, \(p\in \mathbb {R}[t]\) e \(\lambda \in \mathbb {R}\), temos \(\lambda \in \sigma (A)\) se, e somente se, \(p(\lambda )\in \sigma (p(A))\).
Se \(A\) é real simétrica, então \(A^2\) é positiva semidefinida, \(\det (A^2)\geq 0\) e \(\operatorname {tr}(A^2)\geq 0\).