Dualidade de Poincaré
Neste capítulo vamos demonstrar alguns resultados sobre a homologia e cohomologia de variedades.
Os grupos de homologia singulares de um complexo celular se anulam para dimensões superiores a dimensão do complexo celular. O mesmo vale para uma variedade. A demonstração desse fato depende das seguintes observações: localmente uma variedade se parece com um espaço euclidiano e a sequência de Mayer-Vietoris pode ser usadas para colar informações locais. Essa será a técnica que usaremos para demonstrar esse fato e Teorema da Dualidade de Poincaré. Os grupos de homologia \(n\) dimensionais de uma variedade \(n\)-dimensional \(M\) também possuem propriedades especiais. Eles podem ser usados para definir e construir orientações homológicas de uma variedade. Uma orientação local é um gerador do grupo de homologia local \(H_{n}(M \mid \{ x\} ;R)\). No caso de uma variedade conexa compacta fechada podemos compatibilizar as escolhas locais e definir uma orientação homológica global, como uma classe fundamental em \(H_{n}(M;R)\) e mostraremos que esse grupo é zero ou \(\mathbb {Z}\).
Finalmente, demonstraremos o Teorema da Dualidade de Poincaré, em homenagem a Henri Poincaré, que é um resultado básico sobre a estrutura dos grupos de homologia e cohomologia de variedades. O teorema afirma que se \(M\) é uma variedade fechada orientada \(n\)-dimensional (compacta e sem bordo), então o k-ésimo grupo de cohomologia de \(M\) é isomorfo ao \((n-k)\)-ésimo grupo de homologia de \(M\), para todos os inteiros \(k\).
14.1 Cohomologia com Suporte Compacto
Dizemos que uma cocadeia \(u \in S^p(X ; R)\) tem suporte compacto se houver algum subconjunto compacto \(K \subseteq X\) tal que \(u \in S^p(X, X-K ; R )\), ou equivalentemente se \(u\) se anular em cada simplexo singular em \(X-K\).
Dizemos que cocadeia \(u \in S^q(X, G)\) tem suporte compacto se, e somente se, existe um conjunto compacto \(K \subset X\) tal que \(u \in S^q(X, X\setminus K ; G)\). Observe que o conjunto de cocadeias \(u \in S^q(X ; G)\) que possuem suporte compacto é um submódulo livre de \(S^q(X ; G)\), que denotaremos por \(S_c^q(X ; G)\). Além disso, se \(u\) tem suporte compacto, o mesmo pode ser dito sobre seu cobordo, \(\delta (u)\); portanto, obtemos o complexo cocadeia
Podemos estender o morfismo de cobordo \(\delta \) para a álgebra graduada obtendo \( \delta :S_c^{*}(X;G)\rightarrow S_c^{*}(X;G)\ .\)
O grupo de cohomologia q-dimensional de \(X\) com suporte compacto é o grupo de cohomologia \(q\)-dimensional do complexo \(S_c^*(X ; G)\) e denotaremos esse grupo por \(H_c^q(X ; G)\).
Os subconjuntos compactos de qualquer espaço topológico \(X\), que denotaremos por \(\mathcal{K}\), são parcialmente ordenados por inclusão, ainda mais, eles são direcionados pela relação de inclusão porque a união de quaisquer dois subconjuntos compactos é compacto. E o grupo de cocadeias \(S_c^q(X)\) pode ser visto como a união dos subgrupos \(S^q(X, X-K)\), onde \(K\) varia sobre todos os subconjuntos compactos de \(X\). Em outras palavras,
onde o limite direto é tomado sobre o conjunto direcionado consistindo de todos os subconjuntos compactos \(K \subset X\). Já a operação de tomar grupos de homologia de um complexo cocadeia comuta com o limite direto e consequentemente
onde novamente o limite direto é tomado sobre todos os subconjuntos compactos \(K \subset X\).
Assim temos a seguinte proposição:
Ao contrário do caso da cohomologia singular, se \(f: X \rightarrow Y\) é uma aplicação contínua, não existe necessariamente uma aplicação induzida usual \(f^*: H_c^p(Y ; R) \rightarrow H_c^p( X;R)\). O problema é que se \(K\) é um subconjunto compacto de \(Y\), então \(f^{-1}(K)\) não é necessariamente um conjunto compacto. No entanto, aplicações próprias têm essa propriedade e induzem uma aplicação induzida correspondente entre grupos de cohomologia com suporte compacto. Dado \(K'\subset X\) compacto, se consideramos a aplicação \(g=f\mathord {\upharpoonright }{K’}:K' \rightarrow Y \) então \(g\) é uma aplicação própria, e logo para qualquer subconjunto compacto \(K\) de \(Y, g^{-1}(K)\) é compacto em \(X\), então \(g\) leva \(X-g^{-1}(K) \) em \(Y-K\) e logo existe um homomorfismo induzido de \(H^p(Y, Y-K ; R)\) a \(H^p\left(X, X-g^{-1}(K) ; R\right)\).
Como \(H_c^p(X ; R)\) é o limite direto de \(H^p(X, X-K' ; R)\) onde \(K'\) varia sobre subconjuntos compactos em \(X\), existe um homomorfismo de \(H^p\left(X, X-f^{-1}(K) ; R\right)\) para \(H_c^p(X ; R)\), então temos um homomorfismo de \(H^p(Y, Y-K ; R) \) para \(H_c^p(X ; R)\). Deixamos como exercício que esses homomorfismos induzem um homomorfismo \(f^*: H_c^p(Y ; R) \rightarrow H_c^p(X ; R)\).
Obviamente, se \(X\) é compacto, \(S_c^*(X)=S^*(X)\), e \(H_c^q(X)=H^q(X)\). Se \(X\) não é compacto, como vimos \(H_c^q(X, G)\) é um invariante topológico do espaço \(X\); no entanto não é uma invariante do tipo homotopia de \(X\) como veremos no próximo exemplo.
Vamos calcular a cohomologia com suporte compacto de \(\mathbb {R}^{n}\). Pela proposição acima,
onde o limite direto é tomado sobre o conjunto direcionado dos subconjuntos compactos de \(\mathbb {R}^{n}\). Observe que podemos substituir \(K\) pelas bolas fechadas \(B_{k}\) de raio inteiro \(k\) centradas na origem, pois cada compacto \(K \subset \mathbb {R}^{n}\) está contido em uma de tais bolas. Então temos que
Como para todo \(k\) temos que
segue que
Agora vamos calcular a cohomologia com suporte compacto de um ponto \(\ast \). Como o ponto é compacto temos
Logo a homologia com suporte compacto não é invariante por homotopia.
14.2 Orientabilidade
Vamos definir a orientabilidade de uma variedade no contexto de topologia algébrica. A definição que apresentaremos funciona para variedades topológicas. Nesta definição não usaremos a matriz jacobiana das funções de transição, fibrados tangentes ou forma volume, como é o usual na definição de orientação de variedades diferenciáveis. Em vez disso, usaremos a escolha de geradores de grupos de homologia. Provaremos a equivalência dessas definições para variedades suaves no Teorema 14.2.
Antes de apresentar a definição de orientação, no entanto, precisamos estabelecer o seguinte fato. Seja \(M\) uma variedade de dimensão \(n\). Então, para todo \(x\in M\), a homologia local de \(M\) em \(x\) na dimensão \(k\) é
Dado \(x \in M\), existe uma vizinhança aberta \(V\) de \(x\) em \(M\) que é homeomorfa ao disco \(\mathbb {D}^{n}\) em \(\mathbb {R}^{n}\) e, sem perda de generalidade, assumiremos que esse homeomorfismo leva o ponto \(x\) em \(0\). Assim,
Na fórmula acima usamos o Teorema de Excisão com \(X = M, A = M \setminus \{ x\} \), e \(U = M \setminus V\).
Para simplificar a notação introduziremos a seguinte convenção:
que usaremos no que se segue. Com este conhecimento sobre a homologia local de \(M\) em \(x\), podemos dar a seguinte definição localizada de orientação.
Uma \(R\)-orientação local de uma variedade \(n\)-dimensional \(M\) em \(x\in M\) é uma escolha de um gerador para \(H_{n}(M \mid \{ x\} ;R)\cong R\).
Uma \(\mathbb {Z}\)-orientação local é denominada simplesmente de orientação local.
Na definição anterior estamos vendo \(R\) como um \(R\)-módulo livre, dessa forma um gerador de \(R\) é um elemento \(s \in R\) tal que a aplicação \(r \mapsto rs\) \((r \in R)\) é sobrejetiva. Como \(R\) é um anel com um elemento identidade, um gerador de \(R\) é apenas um elemento invertível.
De fato, como veremos a família de grupos de homologia \(H_n(M \mid \{ x\} ;R)\) é "localmente constante". Isso é captado na afirmação que sua união, quando \(x\) varia sobre \(M\), constitui um espaço de recobrimento sobre \(M\).
O conjunto das orientações locais será denotado por \(\widetilde{M}\) e é definido como:
\[ \widetilde{M}\mathrel {\mathop:\! =}\{ (x,\mu _{x})| x\in M \text{ e }\mu _{x} \text{ é uma orientação local de } M \text{ em } x \} . \]O conjunto das homologias locais de \(M\) será denotado por \(\widetilde{M}_R\) e é definido como:
\[ \widetilde{M}_R\mathrel {\mathop:\! =}\coprod _{x \in M} H_n(M \mid \{ x\} ;R) \]
Como os pontos de \(\widetilde{M}\) são da forma \((x,\alpha )\) com \(\alpha \in H_n(M \mid \{ x\} ;R) \) temos uma aplicação de projeção \(p: \widetilde{M}_R \rightarrow M\). Pretendemos munir \(\widetilde{M}_R\) de uma topologia de modo que com tenhamos um espaço de recobrimento. Faremos isso através da aplicação \(j_{A, x}\), definida para qualquer conjunto fechado \(A \subseteq M\) e \(x \in A\) como a aplicação induzida pela inclusão de pares:
Se \(A\subset M\) é homeomorfo a um subconjunto compacto e convexo \(B\) de \(\mathbb {R}^{n}\) então \(j_{A,x}\) é um isomorfismo e ambos os grupos são isomorfos a \(R\).
O conjunto \(A\) está contido no interior de algum \(n\)-disco fechado \(D \subset M\). E logo 
Para entender melhor as aplicações \(j_{A,\bullet }\), sejam dois pontos \(x,y \in M\) numa vizinhança aberta \(U\) que é homeomorfa a \(\mathbb {R}^n\). Então temos que as aplicações \(j_{A,\bullet }\) fornecem uma escolha "coerente" de elementos de \(H_n(M \mid \bullet ;R)\). Pois, temos o isomorfismo induzido pela inclusão:
E se \(x\) e \(y\) são quaisquer dois pontos de \(\mathbb {R}^n\), existe um isomorfismo canônico \(H_n\left(\mathbb {R}^n\mid \{ x\} ;R\right) \cong H_n\left(\mathbb {R}^n\mid \{ y\} ;R\right)\) definido escolhendo uma bola fechada \(D^n \subset \mathbb {R}^n\) grande o suficiente para que \(x\) e \(y\) estejam ambos no interior de \(D^n\), e observando que no diagrama a seguir, 
ambos \(j_{D^n, x}\) e \(j_{D^n, x}\) são isomorfismos. Além disso, o isomorfismo entre \(H_n\left(\mathbb {R}^n\mid \{ x\} ;R\right)\) e \(H_n\left(\mathbb {R}^n \mid \{ y\} ;R\right)\) obtido independe da escolha da bola fechada \(D^n\).
A partir dessa observação, definimos uma base de abertos \(V_{U, \alpha }\) em \(\widetilde{M}_R\) indexados pelo par \((U, \alpha )\) onde \(U\) é aberto em \(M\), e \(\alpha \in H_n(M \mid \overline{U})\)
Assim, cada \(\alpha \in H_n(M \mid \overline{U})\) define assim uma "folha" de \(\widetilde{M}_R\) sobre \(U\). Compare com a Figura 14.1.
Esse espaço de recobrimento tem mais estrutura que os espaços de recobrimento usuais: cada fibra é um \(R\)-módulo, livre em um gerador. Essas estruturas variam continuamente à medida que passamos de uma fibra para outra.
Os conjuntos \(U_{\alpha }=V_{U, \alpha }\) são a base de uma topologia. Com esta topologia, \(p:\widetilde{M} \rightarrow M\) dada por \(p:\mu _x \mapsto x\) restrita a qualquer componente, é uma aplicação de recobrimento e as aplicações de anel nas fibras são contínuas.
Um ponto \(\tilde{x} \in H_{n}(M|x ; R)\) satisfaz \(\tilde{x}=(x,j_{A,x}(\alpha ))\) para algum conjunto \(A=\overline{U}\) que é homeomorfo a algum conjunto convexo de \(\mathbb {R}^n\), pela Proposição 14.2. Assim, qualquer ponto está num dos conjuntos \(U_{\alpha }\).
Se \(\tilde{x} \in U_{\alpha } \cap V_{\beta }\) então \(\tilde{x}=(x,j_{\overline{U},x}(\alpha ))=(u,j_{u, \overline{V}}(\beta ))\) e logo \(u=v\) e \(j_{\overline{U},x}(\alpha )=j_{\overline{V},x}(\beta )\). Seja \(x \in W \subset U \cap V,\) com \(W\) um conjunto aberto, homeomorfo a um convexo de \(\mathbb {R}^n\) e contendo \(x\). Então \(j_{\overline{W},x}\) é um isomorfismo pela Proposição 14.2. Seja \(\gamma \in H_{n}(M | \overline{W} ; R)\) tal que \((x,j_{\overline{W},x}(\gamma ))=\tilde{x}\). Então o homomorfismo dado pela inclusão \(H_{n}(M |\overline{U } ; R) \rightarrow H_{n}(M | \overline{W} ; R)\) leva \(\alpha \) a \(\gamma \) pois \(\gamma \) é o único elemento tal que \((x,j_{\overline{W},x}(\gamma ))=\tilde{x}\). Da mesma forma, \(\beta \) é levado para \(\gamma \). Isso mostra que \(\tilde{x} \in W_{\gamma } \subset U_{\alpha } \cap V_{\beta }\) e, portanto, temos uma base para uma topologia.
Para mostrar que é um recobrimento quando restrita a componentes, observe que a aplicação \(p\) é aberta e contínua por definição. Considere um conjunto aberto \(U\) de \(M\) com \(\overline{U}\) compacto e homeomorfo a um conjunto convexo de \(\mathbb {R}^n\). Considere o diagrama comutativo 
onde \(\varphi (x, \alpha )=(x,j_{\overline{U},x}(\alpha ))\) e \(H_{n}(M |\overline{U } ; R)\) tem a topologia discreta. Então a aplicação \(\varphi \) é aberta, pois, para \(V \subset U\) abertos, \(\varphi \) leva \(V \times \{ \alpha \} \) para \(V_{\alpha }\). Se \(\varphi (x, \alpha )=\varphi (y, \beta )\) então \(x=y\) pois \(p(\varphi (x, \alpha ))=x\) e \(p(\varphi (y , \beta ))=y\). Temos também que \(j_{\overline{V},x}(\alpha )=j_{\overline{U},x}(\beta )\) implica que \(\alpha =\beta \) porque \(j_{ \overline{U},x}\) é um isomorfismo. Portanto, a aplicação \(\varphi \) é injetora.
A função \(\varphi \) é sobrejetora pois, para qualquer \(y \in U\), a aplicação \( j_{y, \overline{U}}: H_{n}(M |\overline{U} ; R) \rightarrow H_{n}(M |y ; R)\) é sobrejetora. Portanto, para \(V \subset U\) aberto, \(\varphi ^{-1}\left(V_{\alpha }\right)=V \times \{ \alpha \} \). Logo temos que \(\varphi \) é contínua e assim \(\varphi \) é um homeomorfismo.
Assim, numa fibra a aplicação \(\varphi \) é apenas \(j_{\overline{U},x}\) que é um isomorfismo. Logo as operações de anel na fibra correspondem às operações no segundo fator de \(U \times H_{n}(M |\overline{U } ; R)\) e, portanto, são contínuas.
Podemos estender essa definição local de orientação para uma definição global pela seguinte definição.
Uma orientação da variedade \(M\) é uma seção \(s : M\rightarrow \widetilde{M}\) de \(p:\widetilde{M}\rightarrow M\) se para todo \(x \in M\) existe uma carta contendo uma bola aberta \(B\) centrada em \(x\) de modo que todas as orientações locais \(\mu _{y}\) nos pontos \(y\in B\) são imagens do mesmo gerador \(\mu _{B }\in H_{n}(M \mid B)\) sob as aplicações
Seja \(M\) uma variedade então
A aplicação \(p:\widetilde{M} \rightarrow M\) dada por \(p:\mu _x \mapsto x\) é uma aplicação de recobrimento.
A variedade \(\widetilde{M}\) é orientável e é denominada recobrimento duplo orientável de \(M\).
Se \(M\) é conexa, então \(M\) é orientável se \(M\) tiver duas componentes.
1 A mesma construção que mostra que \(\widetilde{M}_R\) é um espaço de recobrimento mostra que a aplicação \(p:\widetilde{M} \rightarrow M\) dada por \(p:(\mu _x,x) \mapsto x\) é uma aplicação de recobrimento. Esboçaremos apenas a construção. Nesse caso os abertos são dados pela restrição de \(j_{A,\bullet }\) aos geradores. Desejamos munir o conjunto \(\widetilde{M}\) de uma topologia de modo a obtermos um espaço de recobrimento. Dada uma bola aberta \(B \subset \mathbb {R}^n \subset M\) e um gerador \(\mu _B \in H_n(M \mid B)\), seja \(U_{B,\mu _B}\) o conjunto de todos \((x,\mu _x) \in \widetilde{M}\) tal que \(x \in B\) e \(\mu _x\) seja a imagem de \(\mu _B\) sob a aplicação natural \(j_{\overline{B},x} H_n(M \mid B) \rightarrow H_n(M \mid x)\).
É fácil verificar os conjuntos \(U_{B,\mu _B}\) formam uma base para uma topologia em \(\widetilde{M}\), e que a projeção \(\widetilde{M} \rightarrow M\) é uma aplicação de recobrimento.
2 A variedade \(\widetilde{M}\) é orientável pois cada ponto \(\tilde{x} \in \widetilde{M}\) é da forma \( (x,\mu _x)\) para \(B \subset M\) um conjunto homeomorfo a uma bola aberta de \(\mathbb {R}^n\), \(\mu _B\) um gerador de \(H_n(M|B)\) e \(\mu _x=j_{B,x}(\mu _B)\).
Então cada ponto \(\tilde{x}\in U_{B,\mu _B} \), definidos como no item anterior, possui uma orientação local canônica o que nos permite construir uma seção dada por
dada pelo elemento \(\tilde{\mu }_x \in H_n(\widetilde{M} \mid \tilde{x})\) correspondente a \(\mu _x\in H_n(M | x)\) sob os isomorfismos 
e por construção, usando o primeiro quadrado do diagrama anterior, temos que essas orientações locais satisfazem a condição de consistência local necessária para definir uma orientação global.
3 Se \(M\) for conexa, \(\widetilde{M}\) possui no máximo duas componentes, pois é um espaço recobrimento duplo de \(M\). Se tiver duas componentes, cada uma delas é homeomorfa à \(M\) pela projeção de recobrimento, então \(M\) é orientável.
Por outro lado, se \(M\) é orientável, ela possui exatamente duas orientações dada que é uma variedade conexa, e cada uma dessas orientações define uma componente de \(\widetilde{M}\).
Podemos generalizar a definição de orientação de uma variedade.
Uma \(R\)-orientação da variedade \(M\) é uma seção \(s : M\rightarrow \widetilde{M}_R\) de \(p:\widetilde{M}_R\rightarrow M\) tal que para todo \(x \in M\) existe uma carta contendo uma bola aberta \(B\) com \(x\in B\) tal que todas as orientações locais \(\mu _{y}\) nos pontos \(y\in B\) são as imagens do mesmo gerador \(\mu _{B }\in H_{n}(M \mid B;R)\) sob as aplicações
Se existir uma \(R\)-orientação, a variedade é dita \(R\)-orientável.
Dado \(A\) um subconjunto aberto de \(M\), o conjunto das \(R\)-orientações de \(A\) formam um módulo com as operações ponto a ponto que denotamos por \(\Gamma _R(A)\).
Como \(p\) é um homeomorfismo local, temos as duas propriedades a seguir.
Dado \(\tilde{x} \in \tilde{M}_R\), existe uma vizinhança \(U\) de \(p(\tilde{x})\) e uma seção \(s \in \Gamma _R(V)\) tal que \(s \mathbin {\circ }p(\tilde{x})=x\).
Se duas seções \(s, t \in \Gamma _R(A)\) concordam em \(x \in A\), então elas concordam em uma vizinhança de \(x\); em outras palavras, \(\{ y \in A \mid s (y)=t (y)\} \) é um conjunto aberto em \(A\).
Se \(M\) é conexa então se \(s, t \in \Gamma _R(M)\) concordam em \(x \in M\), então eles concordam em todo \(M\).
A estrutura do espaço de recobrimento \(\widetilde{M}_R\) admite uma descrição simples. Tendo em vista o isomorfismo canônico
cada \(r \in R\) determina um subespaço de recobrimento \(\widetilde{M}_r\) de \(\widetilde{M}_R\) consistindo dos pontos
onde \(\pm \mu _x\) são os geradores de \(H_n(M \mid \{ x\} )\) e \(r\in R\). Os pontos da forma \(\pm \mu _x \otimes r\), com \(x\) fixo, são projetados por \(p\) em \(x\). Se \(r\) tem ordem \(2\) em \(R\) então \(r=-r\) então \(\widetilde{M}_r\) é apenas uma cópia de \(M\), caso contrário \(\widetilde{M}_r\) é isomorfo a um recobrimento duplo de \(M\). O espaço de recobrimento \(\widetilde{M}_R\) é a união dos subespaços \(\widetilde{M}_r\), que são disjuntos exceto pela igualdade \(\widetilde{M}_r=\widetilde{M}_{-r}\).
Assim, para concluir, \(\widetilde{M}_R\) é a união de cópias de folhas que são cópias de \(M\) e de recobrimentos duplos de \(M\).
Seja \(M\) uma variedade então:
A variedade \(\widetilde{M}_R\) é \(R\)-orientável.
Se \(M\) é \(R\)-orientável então todo subespaço de recobrimento \(\widetilde{M}_r\) de \(\widetilde{M}_R\) é trivial.
Se \(M\) é orientável então \(M\) é \(R\)-orientável.
1 A demonstração é análoga ao caso \(\widetilde{M}\).
2 Se \(M\) é \(R\)-orientável então \(\widetilde{M}_R\) não contém recobrimentos duplos não triviais pois caso contrário existiria um caminho \(\gamma \) em \(\widetilde{M}_R\) de uma unidade em uma fibra para outra unidade nessa fibra. A imagem de \(\gamma \) em \(M\) é compacta e não existiria seção sobre ela.
3 Se \(M\) é orientável, então o recobrimento duplo é trivial. Como \(\widetilde{M}_r\) é união de cópias de \(M\) e do recobrimento duplo de \(M\), que é trivial, temos que o recobrimento \(\widetilde{M}_r\) é trivial.
Assim temos que uma variedade orientável é \(R\)-orientável para todo \(R\), enquanto uma variedade não orientável é \(R\)-orientável se \(R\) contém uma unidade de ordem \(2\), que é equivalente a ser válida a igualdade \(2=0\) no anel \(R\). Assim, toda variedade é \(\mathbb {Z}_2\)-orientável.
Toda variedade possui uma \(\mathbb {Z}_2\)-orientação. Uma \(\mathbb {Z}_2\)-orientação também é chamada de orientação \(\bmod 2\).
Outra definição que será útil na discussão da dualidade de Poincaré é a noção de classe fundamental. Uma classe fundamental para \(M\) com coeficientes num \(R\)-módulo é um elemento de \(H_{n}(M; R)\) cuja imagem em \(H_{n}(M \mid \{ x\} ; R)\) é um gerador para todo \(x\in M\). Na próxima seção demonstraremos que uma variedade \(M\) tem uma classe fundamental com coeficientes num \(R\)-módulo, se, e somente se, ela admite uma \(R\)-orientação. Em vista dessa observação, uma classe fundamental também poderia ser chamada de classe de orientação para \(M\).
Agora, para terminar a seção iremos comparar as duas definições usuais de orientabilidade a homológica e para variedades diferenciáveis. Começamos lembrando a definição clássica para variedades diferenciáveis.
Um atlas diferenciável \((U_i,\varphi _i:U_i\to V_i\subset \mathbb {R}^n)\) é dito orientado se o determinante das derivadas de todas as mudanças de coordenadas
\[ \varphi _i\varphi ^{-1}_j:\varphi _j(U_i\cap U_j)\to \varphi _i(U_i\cap U_j) \]for positivo. Um atlas orientado é dito maximal se não puder ser ampliado para um atlas orientado adicionando outra cartas diferenciável. Observe que qualquer atlas orientado diferenciável define um atlas orientado diferenciável maximal adicionando todos as carta diferenciável s de modo que o atlas ainda esteja orientado. Normalmente, é assim que um atlas orientado é fornecido.
Uma orientação diferenciável de uma variedade diferenciável \(n\)-dimensional \(M\) é a escolha de um atlas orientado diferenciável maximal.
Uma variedade diferenciável \(M\) é dita (diferenciavelmente) orientável se tiver uma orientação diferenciável,caso contrário é dita não orientável.
Uma variedade diferenciável \(M\) juntamente com uma orientação diferenciável é dita variedade diferenciável orientada.
Se \(M\) é uma variedade diferenciável é diferenciavelmente orientável se e somente é orientável no sentido homológico.
Suponha que \(M\) é diferenciavelmente orientável. Dado \(x \in M\), considere \(\phi \) a inversa de uma carta orientável, ou seja, um difeomorfismo \(\phi : \mathbb {R}^n \rightarrow U\). Podemos assumir sem perda de generalidade que \(\phi (0)=x\). Seja \(\alpha \in H_{n}\left(\mathbb {R}^n|\{ 0\} \right) \cong \mathbb {Z}\) um gerador fixado. Então \(\phi _{*}(\alpha ) \in H_{n}(U|\{ x\} ;R)\) é um gerador. Duas dessas cartas podem ser comparadas a um terceira cujo domínio esteja contido na intersecção. Assim, suponha que \(\psi : \mathbb {R}^n \rightarrow V \) seja outra carta com \(\psi (0)=x\). Então \(\phi ^{-1} \psi \) é um difeomorfismo de \(\mathbb {R}^n\) nele mesmo, fixando a origem, e com Jacobiano positivo.
A relevância da condição de Jacobiano positivo é que um difeomorfismo \(f: (\mathbb {R}^n, 0) \to (\mathbb {R}^n, 0)\) preserva o gerador de \(H_n(\mathbb {R}^n | \{ 0\} )\) se, e somente se, \(\det \operatorname {Jac}_0(f) \gt 0.\) Para demonstrar essa afirmação considere uma aplicação diferenciável \(f: \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^n\) enviando \(0\) para \(0\). Então essa aplicação é homotópica à \(\operatorname {Jac}_0(f): \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^n\), com homotopia dada por \(H_{1 -t}(x) = \frac{f(tx)}{t}\) e \(H_1(x) = \operatorname {Jac}_0(f)(x)\).
As aplicações lineares possuem duas classes de homotopia pois \(\operatorname {GL}_n(\mathbb {R}^n)\) possui exatamente duas componentes conexas por caminho, determinadas pelo determinante.
Logo a aplicação induzida em \(H_n(\mathbb {R}^n, \mathbb {R}^n \setminus \{ 0\} )\) é o sinal de \(\det \text{Jac}_0 f\).
Assim se o Jacobiano é positivo, a aplicação induzida na homologia é a identidade. Portanto o elemento \(s_{x}=\phi _{*}(\alpha ) \) é independente da escolha da carta \(\phi \). A seção \(s \in \widetilde{M}\) é contínua.
Por outro lado, se tivermos uma orientação no sentido homológico, ou seja, uma seção \(s\) de \(\widetilde{M}\), então, em qualquer ponto, se olharmos para qualquer carta, o elemento \(\phi _{*}(\alpha ) \) dado como acima pela carta coincide com \(s_{x}\) ou não. Caso contrário, a carta, que é a composição com uma reflexão através de um hiperplano, fornece um elemento que coincide. Escolher apenas as cartas que coincidem com a seção de orientação \(s_{x}\) fornece um atlas. Pelas observações anteriores, o Jacobiano de qualquer mudança de variáveis dentro desse atlas deve ter determinante positivo e, portanto, esta é uma orientação diferenciável.
14.3 Produto Cap
Para um espaço \(X\) e um anel de coeficientes \(R\), definimos um \(R\)-produto bilinear entre cadeias e cocadeias \(\frown : S_k(X ; R) \times S^{l}(X ; R) \rightarrow S_{k-l }(X ; R)\) para \(k \geq l\) definindo
para \(\sigma : \Delta ^k \rightarrow X\) e \(\varphi \in C^{l}(X ; R)\). Esse produto é denominado produto cap. O produto cap tem as seguintes propriedades:
Dualidade: Para \(a \in S_*(X),\ b,c \in S^*(X)\), temos
\[ \langle a, b \smile c\rangle =\langle a \frown b , c\rangle . \]Associatividade: Para \(a \in S_*(X),\ b, c \in S^*(X)\), temos
\[ a \frown (b \smile c)= (a \frown b) \frown c . \]Unidade: Dada a aplicação de aumento \(\varepsilon : S_0 (X; R) \to R\) que é o único homomorfismo tal que \(\varepsilon (x) = 1\) para todo ponto \(x \in S_0 (X; R)\). A classe de cohomologia do cociclo \(\varepsilon \) em \(H_0 (X; R)\) é denotada por 1 e satisfaz:
\[ c \frown 1=c . \]Naturalidade: Seja \(f: X \rightarrow Y\) uma aplicação contínua. Para \(b \in S_*(X)\) e \(c \in S^*(Y)\), temos
\[ \left(f_* b \right) \frown c=f_*\left( b \frown f^*(c)\right) . \]
A demonstração da proposição anterior é simples e será deixada ao leitor.
Da relação \(\partial (\sigma \frown \varphi )=\pm (\partial \sigma \frown \varphi -\sigma \frown \delta \varphi )\) segue que o produto cap de um ciclo \(\sigma \) e um cociclo \(\varphi \) é um ciclo. Além disso, se \(\partial \sigma =0\) então \(\partial (\sigma \frown \varphi )=\pm (\sigma \frown \delta \varphi )\), então o produto cap de um ciclo e um cobordo é um bordo. E se \(\delta \varphi =0\) então \(\partial (\sigma \frown \varphi )=\pm (\partial \sigma \frown \varphi )\), então o produto cap de um bordo e um cociclo é um bordo.
Logo vemos que o produto cap induz uma operação bilinear nas classes de cohomologia e homologia
(se \(0 \leq l \leq k\)), também chamado de produto cap.
14.4 Teorema da Dualidade de Poincaré
Primeiramente apresentaremos um método, denominado de Bootstrap ou Lema de Bootstrap, que fornece uma estratégia para demonstrar afirmações \(P_M(A)\) sobre subconjuntos fechados \(A\) de \(M\), iniciando a demonstração a partir de conjuntos simples e generalizando. Usaremos essa estratégia na demonstração da existência de uma classe fundamental e no Teorema da Dualidade de Poincaré, porém adicionando algumas etapas a mais de modo a ter que invocar o lema diretamente.
O Método Bootstrap
Dada uma variedade \(n\)-dimensional \(M\) para a qual gostaríamos de provar alguma propriedade \(P_M(A)\) sobre subconjuntos fechados \(A\) de \(M\). Considere as cinco proposições a seguir:
Se \(A\) é um subconjunto compacto e convexo de \(M\), então \(P_M(A)\) vale.
Se \(P_M(A), P_M(B)\) e \(P_M(A \cap B)\) valem para subconjuntos fechados \(A\) e \(B\), então \(P_M(A \cup B)\) vale.
Se \(A_1 \supseteq A_2 \supseteq \cdots A_i \supseteq A_{i+1} \supseteq \cdots \) é uma sequência de subconjuntos compactos e se \(P_M\left(A_i\right)\) vale para todo \(i \), então \(P\left(\bigcap _i A_i\right)\) vale.
Se \(\left(A_i\right)_{i \in I}\) é uma família de subconjuntos compactos disjuntos com vizinhanças disjuntas e se \(P_M\left(A_i\right)\) vale para todo \(i\), então \(P\left(\bigcup _i A_i\right)\) vale.
Para qualquer subconjunto fechado \(A\), se \(P_M(A \cap W)\) vale para todos os subconjuntos abertos \(W\) de \(M\) tal que o fecho de \(W\) é compacto, então \(P_M(A) \) vale.
A demonstração da seguinte proposição pode ser encontrada em Bredon 2013. Lema do Bootstrap. Seja \(M\) qualquer variedade \(n\).
Seja \(P_M(A)\) uma propriedade sobre subconjuntos compactos \(A\) de \(M\). Se i, ii e iii são válidos, então \(P_M(A)\) é válida para todos os subconjuntos compactos \(A\) de \(M\).
Se \(M\) é um espaço métrico separável, \(P_M(A)\) é uma propriedade sobre subconjuntos fechados \(A\) de \(M\), e todas as quatro afirmações i-iv são válidas, então \(P_M( A)\) é verdadeira para todos os subconjuntos fechados \(A\) de \(M\).
Seja \(P_M(A)\) uma propriedade sobre subconjuntos fechados \(A\) de \(M\). Se todas as cinco afirmações i-v são válidas, então \(P_M(A)\) é verdadeira para todos os subconjuntos fechados \(A\) de \(M\).
Existência da Classe Fundamental
Primeiro, pretendemos demonstrar a existência de uma classe fundamental para uma variedade \(n\)-dimensional fechada e \(R\)-orientável. Para demonstrar isso, precisamos do seguinte lema técnico.
Se \(x\mapsto \alpha _{x}\) é uma seção do espaço de recobrimento \(\widetilde{M}_R\rightarrow M\), então existe uma única classe \(\alpha _{A}\in H_{n}( M \mid A; R)\) cuja imagem em \(H_{n}(M \mid \{ x\} ; R)\) é \(\alpha _{x}\) para todo \(x\in A.\)
\(H_{i}(M \mid A; R) =0\) para \(i\gt n.\)
Vamos demonstrar ambas as afirmações simultaneamente. A abordagem da demonstração aqui é construtiva, baseada no Lema de Bootstrap. Para simplificar a notação, deixaremos implícito o anel de coeficientes \(R\).
Caso 1. Sejam \(M=\mathbb {R}^{n}\) e \(A\) um subconjunto compacto e convexo. Nesse caso sabemos que \(j_{A, x}\) é um isomorfismo o que basta para provar esse lema neste caso.
Caso 2. Seja \(M=\mathbb {R}^{n}\) e \(A=A_{1}\cup A_{2}\) onde supomos que o teorema vale para \(A_{1}, A_{2}\) e \(A_{1}\cap A_{2}\). Como
aplicando a sequência de Mayer-Vietoris temos: 
e como \(H_{i}(M \mid (A_{1}\cap A_{2}))=H_{i}(M \mid A_{1})=H_{i}(M \mid A_{2})= 0\) para \(i\gt n\) temos que a afirmação 2 é satisfeita.
Se \(x\mapsto \alpha _{x}\) é uma seção, então temos por hipótese a unicidade das classes \(\alpha _{A_{1}}\in H_{n}(M \mid A_{1};R), \alpha _{A_{ 2}}\in H_{n}(M \mid A_{2};R)\), e \(\alpha _{A_{1}\cap A_{2}}\in H_{n}(M \mid (A_{1}\cap A_{2});R)\) com imagem \(\alpha _{x}\) para todo \(x\) em \(A, B\) ou \(A\cap B\) respectivamente.
A exatidão da sequência implica que \((\alpha _{A_{1}}, \ -\alpha _{A_{2}})=\varphi (\alpha _{A})\) para alguma classe \(\alpha _{A}\in H_{n}(M \mid A;R)\). Além disso,temos que a imagem de \(\alpha _{A}\) deve ser \(\alpha _{x}\) já que é levada para \(\alpha _{A_{1}}\) e \(\alpha _{A_{2}}\) e é única pela injetividade de \(\varphi .\)
Caso 3. Seja \(M=\mathbb {R}^{n}\) e \(\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{k}A_{i}\) com \(A_{i}\) convexo e compacto. Esse caso decorre por indução usando os Casos 1 e 2.
Caso 4. Sejam \(M=\mathbb {R}^{n}\) e \(A\) um subconjunto compacto. Seja \(\alpha \in H_{i}(\mathbb {R}^{n} \mid A)\) representado por um ciclo relativo \(z\) e seja \(C\subset \mathbb {R}^{n}\setminus A\), o suporte desse ciclo, ou seja a união das imagens dos simplexos em \( z\). O conjunto \(C\) é compacto, então a distância de \(C\) à \(A\) é \(\epsilon \gt 0\).
Podemos então cobrir \(A\) por um número finito de bolas fechadas de raio menor que \(\epsilon \) centradas nos pontos de \(A\). Denotaremos a união de tais bolas por \(U\) é assim temos que \(U\) é disjunto de \(C\). Então, o ciclo relativo \(z\) define um elemento \(\alpha _{U}\in H_{i}(\mathbb {R}^{n} \mid U)\) que é levado para \(\alpha \in H_{i}(\mathbb {R}^{n} \mid A)\). Se \(i\gt n\) então \(H_{i}(\mathbb {R}^{n} \mid U)=0\) pelo Caso 3, já que \(U\) é uma união finita de subconjuntos compactos convexos, então \( \alpha _{U}=0\) e \(\alpha =0\). Logo \(H_{i}(\mathbb {R}^{n}, \ A)=0\) e temos a afirmação 1.
Se \(i=n\) e \(\alpha _{x}=0\) em \(H_{n}(\mathbb {R}^{n} \mid \{ x\} ;R)\) para todo \(x\in A\) então isso implica o fato análogo para \(U\) onde \(\alpha _{x}\) é a imagem de \(\alpha _{U}\) e então \(\alpha _{U}=0\) e \(\alpha =0\) e logo temos a unicidade. A existência segue tomando \(\alpha _{A}\) como a imagem de \(\alpha _{B}\) para qualquer uma das bolas \(B\) em \(U\).
Caso 5. Seja \(M\) uma variedade \(n\)-dimensional e \(A\subset U\subset M\) onde \(U\) é uma carta aberta de \(M\). Por excisão, \(H_{i}(M \mid A) \cong H_{i}(U \mid A)\) e a demonstração segue pelo Caso 4.
Caso 6. Seja \(M\) uma variedade \(n\)-dimensional e \(A\subset M\) um subconjunto compacto. Como \(A\) é um subconjunto compacto de uma variedade, \(A\) pode ser escrito como \(A= \displaystyle \bigcup _{i=1}^{k}A_{i}\) para conjuntos compactos \(A_{i}\) cada um destes contido numa carta de \(M\). Consequentemente a combinação do Caso 5 para cada \(A_{i}\) e a indução do Caso 2 fornece o resultado.
Agora, a existência da classe fundamental de variedades orientáveis \(R\) conexas e fechadas segue com um breve argumento.
Existência da Classe Fundamental. Seja \(M\) uma variedade de dimensão \(n\) conexa e fechada. Então
Se \(M\) é \(R\)-orientável, a aplicação \(H_{n}(M; R)\rightarrow H_{n}(M \mid \{ x\} ; R) \cong R\) é um isomorfismo para todo \(x\in \) M.
Se \(M\) não é \(R\)-orientável, a aplicação \(H_{n}(M; R)\rightarrow H_{n}(M \mid \{ x\} ; R)\cong R \) é injetora com imagem \(\{ r\in R|2r=0\} \) para todo \( x\in M.\)
\(H_{i}(M; R)=0\) para \(i\gt n.\)
Os itens 1 e 3 seguem imediatamente da parte 2 do Lema 14.3 colocando \(A=M\).
2 Observe que, como \(M\) é conexa, cada seção em \(\Gamma _R(M)\) é determinada por seu valor em um ponto \(x \in M\). Como \(p\) é um aplicação de recobrimento, o módulo de seção \(\Gamma _R(M)\) pode ser identificado com os componentes conexas de \(M_R\) que são levadas homeomorficamente via \(p\) para \(M\). Como \(M\) é não orientável, a cobertura dupla orientada \(p: \widetilde{M} \rightarrow M\) não é trivial (ou seja, conexa), portanto os componentes de \(M_R\) são da forma \(r( \tilde{M})\), com \(r: \tilde{M} \rightarrow M_R\) a aplicação contínua definida por \(\mu \mapsto \mu \otimes r\). Os únicos pontos em \(r(\tilde{M})\) que sob \(p\) são levados para \(x \in M\) são \(\mu _x \otimes r\) e \(-\mu _x \otimes r=\mu _x \otimes ( -r)\). Assim, \(p\mathord {\upharpoonright }{r (\tilde{M})}\) é um homeomorfismo se \(r=-r\), ou \(2 r=0\).
Em particular, \(H_n(M ; \mathbb {Z})\) é \(\mathbb {Z}\) ou \(0\) dependendo se \(M\) é orientável ou não. Vamos guardar esse fato num corolário.
Seja \(M\) uma n-variedade. Se \(M\) for fechada e conexa, então
Pelo Teorema 14.4, existe uma classe fundamental se \(M\) é uma variedade fechada e \(R\)-orientável. Para mostrar que a recíproca também é verdadeira, seja \(\mu \in H_n(M ; R)\) uma classe fundamental e seja \(\mu _x\) sua imagem em \(H_n(M \mid \{ x\} ; R)\). A função \(x \mapsto \mu _x\) é então uma orientação \(R\) pois a aplicação \(H_n(M ; R) \rightarrow H_n(M \mid \{ x\} ; R)\) fatora através de \(H_n(M \mid B ; R )\) para \(B\) uma bola aberta em \(M\) contendo \(x\). Além disso, \(M\) deve ser compacta já que \(\mu _x\) só pode ser diferente de zero para \(x\) na imagem de um ciclo representando \(\mu \), e esta imagem é compacta. Seja \(M\) uma variedade conexa e fechada de dimensão \(n\). Então \(M\) admite uma classe fundamental coeficientes num \(R\)-módulo se, e somente se, for \(R\)-orientável.
Aplicação de Dualidade
Para \(M\) uma variedade orientada, definimos a aplicação de dualidade
do seguinte modo. Para qualquer \(\alpha \in H_c^p(M)=\varinjlim H^p(M|K)\), escolha um representante \(\alpha ^{\prime } \in H^p(M , M \setminus K)\) e definimos
Essa aplicação está bem definida, pois para \(K \subset L\), temos a restrição
com \(\rho _K\left(\mu _L\right)=\mu _K\). Então a naturalidade do produto cap nos diz o seguinte diagrama comuta: 
Sejam conjuntos compactos \(K,L\) tais que \(K\subset U\) e \(L\subset V\). Então temos o diagrama, onde a linha superior e inferior são obtidas por Mayer-Vietoris e Excisão: 
Podemos provar facilmente que os dois primeiros quadrados do diagrama comutam no nível de cadeias. E consequentemente tomando o limite direto temos que os dois primeiros quadrados de 14.13 comutam. Muito menos simples é o terceiro quadrado, que mostraremos que comuta a menos de um sinal.
Para isso, novamente, só precisamos mostrar que o seguinte diagrama é comutativo 
Seja \(A=M \setminus K\) e \(B=M \setminus L\). Então a aplicação \(\delta \) é obtida a partir da sequência exata curta
Lembre-se de que usamos o fato de que \(S^{*}(M, A \cup B) \rightarrow S^{*}(M, A) \cap S^{*}(M, B)\) induz isomorfismo em cohomologia. Para um cociclo \(\phi \in S^{*}(M, A \cap B)\), escrevemos \(\phi =\) \(\phi _{A}-\phi _{B}\) para \(\phi _{A} \in S^{*}(M, A)\) e \(\phi _{B} \in S^{*}(M, B)\). Então \(\delta [\phi ]\) é representado pelo cociclo \(\delta \phi _{A}=\delta \phi _{B} \in S^{*}(M, A) \cap S^{*}( M,B)\). Da mesma forma, se \(z \in S_{*}(M)\) representa uma classe de homologia, então \(\partial [z]=\left[\partial z_{U}\right]\), onde \(z=z_{U}-z_{V}\) com \(z_{U} \in S_{*}(U)\) e \(z_{V} \in S_{*}(V)\).
Através da subdivisão baricêntrica, a classe \(\mu _{K \cup L}\) pode ser representada por uma cadeia \(\alpha \) que é uma soma \(\alpha =\alpha _{U \setminus L}+\alpha _{U \cap V }+\alpha _{V \setminus K}\) de cadeias em três conjuntos abertos \(U \setminus L, U \cap V\) e \(V \setminus K\) respectivamente. Pela unicidade de \(\mu _{K \cap L}\) a cadeia \(\alpha _{U \cap V}\) representa \(\mu _{K \cap L}\), pois as outras duas cadeias estão no complemento de \(K \cap L\). Da mesma forma, a cadeia \(\alpha _{U \setminus L}+\alpha _{U \cap V}\) representa \(\mu _{K}\). Agora seja \(\phi \) um cociclo representando um elemento em \(H^{p}(M, M \setminus (K \cup L))\). O morfismo \(\delta \), leva esse cociclo para \(\delta \phi _{A}\). Continuando para baixo, obtemos \(\delta \phi _{A} \frown \alpha _{U \cap V}\), que representa a mesma classe de homologia que \((-1)^{n-p-1} \phi _{A} \frown \partial \alpha _{U \cap V}\), pois
Por outro lado, \(\phi \) é primeiro levado para \(\phi \frown \alpha \in H_{n-p}(M)\). Se escrevermos ele como uma soma de uma cadeia em \(U\) e uma cadeia em \(V\):
e por definição \(\partial [\phi \frown \alpha ]=\left[\partial \left(\phi \frown \alpha _{U \setminus L}\right)\right] \in H_{n-k-1}( U \cap V)\).
A segunda igualdade segue do fato que \(\phi _{B}\) é zero em \(M \setminus L\). A última igualdade segue de \(\alpha _{U \setminus L}+\alpha _{U \cap V}=\mu _{K}\) que é uma cadeia em \(U \setminus K\).
Teorema da Dualidade de Poincaré
Agora, podemos finalmente enunciar o Teorema da Dualidade de Poincaré.
Dualidade de Poincaré. Se \(M\) é uma variedade \(R\)-orientável de dimensão \(n\) com classe fundamental \(\mu _M \in H_{n}(M; R)\), então a aplicação \(D_{M}:H_{c}^{k}(M; R)\rightarrow H_{n-k}(M; R)\) dada por \(D_M(\alpha )=\alpha \frown \mu _M\) é um isomorfismo para todo \(k.\)
Como na demonstração do Lema 14.3, esta demonstração será feita a partir de casos específicos para casos mais gerais baseada na estratégia do Lema de Bootstrap.
Caso 1. Seja \(M\) um disco aberto. A aplicação \(D_{M}\) pode ser identificada com a aplicação \(D_{M} : H^{k}(M;R)\rightarrow H_{n-k}(M;R)\) dada por
onde \(\mu _{\Delta ^{n}}\) é definida pela aplicação inclusão de \(\iota :\Delta ^{n}\to M\). Os grupos de homologia e cohomologia são \(0\) quando \(k\neq n\), então só precisamos considerar esse caso. Com \(k=n\), o gerador de \(H^{n}(M;R)\cong \operatorname {Hom}(M,R)\) é representado por um cociclo \(\phi \) que é 1 em \(\Delta ^{n}.\) Assim,
no qual o lado direito é o último vértice de \(\Delta ^{n}\) e é um gerador de \(H_{0}(M;R)\)
Caso 2. Seja \(M=\mathbb {R}^{n}\). Este caso segue do Caso 1 observando que \(\mathbb {R}^n\) é homeomorfo ao disco.
Caso 3. Seja \(M=U\cup V\) onde \(U, V\subset M\) são abertos e tais que teorema vale para \(U, V\) e \(U\cap V\). Esse caso decorre imediatamente do Lema 14.4 e do Lema dos Cinco.
Caso 4. Seja \(\displaystyle M=\bigcup _{\alpha }U_{i}\) onde \(U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \) é uma sequência de conjuntos abertos e o teorema vale para cada \( U_{i}\). Por excisão, \(H_{c}^{k}(U)\) é o limite \(\displaystyle \varinjlim _{A} H^{k}(M \mid A)\) com o limite direto tomado sobre \(A\subset U_{i}\) compacto, então temos as aplicações naturais \(H_{c}^{k}(U_{i})\rightarrow H_{c}^{k}(U)\) pois \(U_{i}\subset U_{i+1}\). Isso nos permite tomar o limite direto novamente, agora sobre \(U_{i}\) e ver que
dado que \(\displaystyle M=\bigcup _{i}U_{i}\) e cada conjunto compacto em \(M\) está contido em um dos \(U_{i}\). Assim, \(D_{M}\) é o limite dos isomorfismos \(D_{U_{i}}\) e é, portanto, ele próprio um isomorfismo.
Caso 5. Seja \(M\) um subconjunto aberto de \(\mathbb {R}^{n}\). Para qualquer subconjunto aberto convexo \(V\) de \(M\) temos a validade do teorema pois V é homeomorfo a \(\mathbb {R}^{n}\).
Se \(V\), \(W\) são ambos subconjuntos abertos convexos de \(\mathbb {R}^{n}\), então \(V\cap W\) também é e o teorema é válido para \(V\cup W\) pelo Caso 3. Por indução, também é válido para qualquer \(\displaystyle \bigcup _{i=1}^{k}V_{i}\). Agora, podemos escrever \(M\) como a união enumerável de bolas \(\displaystyle V_i M=\bigcup _{i=1}^{\infty }V_{i}\), ou seja, uma união enumerável de subconjuntos abertos convexos. Fazendo \(\displaystyle W_{j}=\bigcup _{i=1}^{j}V_{i}\), temos uma sequência de subconjuntos abertos em \(M\) que satisfazem o teorema. Assim, obtemos o resultado desejado para \(M\) pelo Caso 4.
Caso 6. Seja \(M\) uma variedade. A coleção de conjuntos abertos \(U\subset M\) para os quais as aplicações de dualidade \(D_{U}\) são isomorfismos é parcialmente ordenada por inclusão. A união de toda subcoleção totalmente ordenada está na coleção do Caso 4. Pelo Lema de Zorn, temos a existência de um conjunto aberto maximal \(U\) para o qual o teorema vale.
Suponha \(U\neq \) M. Escolha um ponto \(x\in M\setminus U\) e uma vizinhança aberta V de \(x\) homeomorfo a \(\mathbb {R}^{n}\). O teorema é válido para \(V\) e \(U \cap V\) pelos Casos 2 e 4. Pelo Caso 3 e pelo fato de que o teorema é válido para \(U\), ele é válido para \(U\cup V\), o que contradiz a maximalidade de \(U\).
Quando a variedade \(M\) é compacta temos que \(H_{c}^{k}(M; R)= H^{k}(M; R)\) e temos a seguinte dualidade:
Dualidade de Poincaré. Se \(M\) é uma variedade \(n\)-dimensional fechada e \(R\)-orientável com classe fundamental \(\mu _M \in H_n (M; R)\), então a aplicação
definida por \(D_M(\alpha ) = \alpha \frown \mu _M \) é um isomorfismo para todo \(k\).
Finalmente, observamos que as definições e resultados anteriores podem ser adaptadas para homologias e cohomologias com coeficientes num \(R\)-módulo e assim temos o seguinte resultado.
Dualidade de Poincaré para coeficientes em um módulo. Seja \(M\) uma variedade \(n\)-dimensional, \(R\) anel comutativo com unidade e \(G\) um \(R\)-módulo. Se \(M\) é \(R\)-orientável, então a aplicação
é um isomorfismo para todo \(p \geq 0\). Em particular, se \(R=\mathbb {Z}_2 \), a aplicação acima é um isomorfismo, seja \(M\) orientável ou não.
Se \(M\) é compacta e \(R\) orientável, então a aplicação
é um isomorfismo entre \(H^p(M ; G)\) e \(H_{n-p}(M ; G)\).
14.5 Aplicações
Um fato de extrema relevância sobre uma variedade compacta \(M\) é que seus grupos de homologia são finitamente gerados. cohomologia. Esse fato será usado na demonstração do próximo teorema.
Se \(M\) é uma variedade conexa \(n\)-dimensional fechada então
Se \(M\) é orientável, então \(H_{n-1}(M,R)\) não tem torção, e para todo \(R\),
\[ H_n(M ; R) \simeq R \simeq H^n(M ; R) . \]Se \(M\) é não orientável, então o subgrupo de torção de \(H_{n-1}(M)\) tem ordem 2, e para todo \(R\),
\[ H_n(M ; R) \simeq \ker (R \stackrel{2}{\rightarrow } R)\mathrel {\mathop:\! =}{}_2R \quad \text{ e } \quad H^n(M ; R) \simeq R / 2 R \]Em particular, \(H_n(M)=0\) e \(H^n(M) \simeq \mathbb {Z}_2\).
1 O cálculo quando \(M\) é orientável é imediato, pois
pela dualidade de Poincaré; e os grupos 0-dimensionais são isomorfos a \(R\) porque \(M\) é conexa.
Vamos demonstrar que \(H_{n-1}(M)\) não tem torção. Pelo Teorema dos Coeficientes Universais para Cohomologia temos
e como \(\operatorname {Hom}(H_n(M),\mathbb {Z})\cong \operatorname {Hom}(\mathbb {Z}, \mathbb {Z})\cong \mathbb {Z}\), e \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}\left(H_{n-1}(M), \mathbb {Z}\right)\) é isomorfo ao subgrupo de torção de \(H_{n-1}(M)\), o subgrupo de torção se anula.
3 O isomorfismo \( H_n(M ; R) \simeq \ker (R \stackrel{2}{\rightarrow } R)\) já foi demonstrado.
Pelo Teorema dos Coeficientes Universais para Homologia temos
Tomando \(G=\mathbb {Q}/\mathbb {Z}\) e observando que \(\operatorname {\operatorname *{Tor}}_{1}(H_{i-1}(X;\mathbb {Z}),\mathbb {Q}/\mathbb {Z})\) é o subgrupo de torção de \(H_{i-1}(X;\mathbb {Z})\) que denotaremos por \(T\) temos
Mas é imediato que \({}_2\mathbb {Q}/\mathbb {Z}=\mathbb {Z}_2\) e assim temos o resultado.
Finalmente se \(M\) é não orientável então \(H_n(M)=0\) e como, acabamos demonstrar, \(H_{n-1}(M)\) é a soma direta de um grupo abeliano livre e \(\mathbb {Z}_2\). Assim, \(\operatorname {Hom}\left(H_n(M), G\right)=0\) e \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}\left(H_{n-1}(M), G\right) \cong \operatorname {\operatorname *{Ext}}\left(\mathbb {Z}_2, G\right) \cong G / 2 G\).
Em particular, o anterior mostra que se \(R=\mathbb {Z}\) e se \(M\) é compacta e não orientável então \(H_{n}(M ; R)=(0)\), e se \(M\) é compacta então \(H_{n}(M ; \mathbb {Z}_2)=\mathbb {Z}_2\). O teorema também fornece uma caracterização nítida da orientabilidade de uma variedade \(n\)-dimensional compacta em termos do anulamento de \(H_{n}(M ;\mathbb {Z})\).
Uma variedade fechada de dimensão ímpar tem característica de Euler-Poincaré \(0.\)
Suponha que \(M\) seja uma variedade \(n\)-dimensional fechada e orientável. A dualidade de Poincaré implica que \(H_{i}(M)\cong H^{n-i}(M)\) então naturalmente seus postos são iguais. Além disso, o Teorema do Coeficiente Universal implica que
Portanto, se \(n\) é ímpar, os termos de \(\displaystyle \sum _{i}(-1)^{i} \mathrm{posto}\, H_i(M)\) se cancelam em pares e, portanto, a característica de Euler de \(M\) é zero.
Se \(M\) não for orientável aplicamos a dualidade de Poincaré com \(R=\mathbb {Z}_2\). Neste caso cada \(H_p(M ; \mathbb {Z}_2)\) e cada \(H^{2 m+1-p}(M ; \mathbb {Z}_2)\) é um espaço vetorial e seu posto é igual a sua dimensão. Como \(\mathbb {Z}_2\) é um corpo, \(H^{2 m+1-p}(M ; \mathbb {Z}_2)\) e \(H_{2 m+1-p}(M ; \mathbb {Z}_2)\) são espaços duais de mesma dimensão e, como acima, concluímos que
Se pudermos mostrar que
acabamos. Pelo teorema do Coeficiente Universal para Homologia temos que
e pelo fato de que
temos que
o produto tensorial de cada termo \(\mathbb {Z}^k\) em \(H_p(M ; \mathbb {Z})\) com \(\mathbb {Z}_2\) fornece um termo \((\mathbb {Z}_2)^k\) em \(H_p(M ; \mathbb {Z}_2)\)
o produto tensorial de cada termo \(\mathbb {Z}_m\) em \(H_p(M ; \mathbb {Z})\) com \(m\gt 2\) com \(\mathbb {Z}_2\) produz \(0\)
e o produto tensorial de cada termo em \((\mathbb {Z}_2)^h\) em \(H_p(M ; \mathbb {Z})\) com \(\mathbb {Z}_2\) produz um termo \((\mathbb {Z}_2)^h\) em \(H_p(M ; \mathbb {Z}_2)\), e o mesmo termo em \((\mathbb {Z}_2)^h\) em \(H_{p+1}(M ; \mathbb {Z}_2)\) como a contribuição de \(\operatorname {\operatorname *{Tor}}_1^{\mathbb {Z}}\left((\mathbb {Z}_2)^h, \mathbb {Z}_2\right)\).
A contribuição dos dois termos \((\mathbb {Z}_2)^h\) para a soma \( \sum _{p=0}^{2 m+1}(-1) ^p \operatorname {dim} H_p(M ; \mathbb {Z}_2)\) cancelam, pois seus respectivos sinais são \((-1)^p\) e \((-1)^{p+ 1}\), e dessa forma
Mostre que todo espaço de recobrimento de uma variedade orientável é uma variedade orientável. Para uma aplicação \(f: M \rightarrow N\) entre variedades \(n\)-dimensionais orientáveis fechadas conexas com classes fundamentais \(\mu _M\) e \(\mu _N\), o grau de \(f\) é definido como o inteiro \(d \) tal que \(f_{*}(\mu _M)=d\mu _N\), logo o sinal do grau depende da escolha das classes fundamentais. Mostre que para qualquer variedade \(n\)-dimensional fechada orientável \(M\) existe uma aplicação \(M \rightarrow \mathbb {S}^{n}\) de grau 1. Dica: Considere uma bola fechada em \(M\). Mostre que uma projeção de espaço de recobrimento \(p\) com folhas \(M \rightarrow N\) tem grau \(p\), quando \(M\) e \(N\) são variedades orientáveis, conexas e fechadas. Dada uma ação de um grupo \(G\) em uma variedade orientável \(M\) por homeomorfismos que preservam orientação, mostre que \(M / G\) também é orientável. Seja \(M\) uma variedade \(n\)-dimensional conexa. Suponha que para cada conjunto compacto \(K \subset M\) seja escolhido um elemento \(h_{K} \in H_{n}(M|K ; G)\) tal que \(j_{K,x}\left(h_{K }\right)=h_{x}\) para qualquer \(x \in K\), e \(2 h_{x} \neq 0\) para todo \(x \in M\). Prove que a variedade \(M\) é orientável. Dica: Mostre que existe um elemento fixo \(h \in G\) e orientações locais únicas \(\mu _{x}\) para todo \(x \in M\) tal que \(h_{x}=\alpha \left(\mu _{x} \otimes h\right)\). Finalmente observe que \(h\) não pode ser um elemento de \({ }_{2} G\). Seja \(M\) é uma variedade conexa, e que para cada compacto \(K \subset M, H_{n}(M|K ; \mathbb {Z}) \neq \{ 0\} \). Prove que \(M\) é orientável. Dica: Use o fato de que quaisquer dois pontos de \(M\) estão contidos em um subconjunto conexo compacto de \(M\), por exemplo, um caminho que une os dois pontos. Para uma variedade \(n\)-dimensional \(M\) e um subespaço compacto \(A \subset M\), mostre que \(H_{n}(M|A ; R)\) é isomorfo ao grupo \(\Gamma _{R}( A)\) de seções do espaço de recobrimento \(M_{R} \rightarrow M\) sobre \(A\). Demonstre as propriedades do produto cap enunciadas na Proposição 14.3. Seja \(D \subset \mathbb {R}^{2}\) conexo e aberto. Os seguintes são equivalentes: \(D\) é homeomorfo a \(\mathbb {R}^{2}\) \(D\) é simplesmente conexo. \(H_{1}(D ; \mathbb {Z})=0\). \(H^{1}(D ; \mathbb {Z})=0\). \(\mathbb {R}^{2} \setminus D\) é conexo. O bordo de \(D\) é conexo. Se \(J \subset D\) é uma curva de Jordan, então \(D\) contém o interior de \(J\). Se \(M^{n}\) é uma variedade \(n\)-dimensional conexa, orientável e compacta com \(H_{1}\left(M^{n} ; \mathbb {Z}\right)=0 \) e se \(N^{n-1} \subset M^{n}\) é uma variedade \((n-1)\)-dimensional compacta e conexa, então mostre que \(M^{n}\subset N^{n-1} \) possui exatamente duas componentes com \(N^{n-1}\) sendo o bordo topológico de cada uma. Mostre que \(H_{c}^{0}(X ; G)=0\) se \(X\) é conexo por caminhos e não compacto. Mostre que a característica de Euler de uma variedade \((4n + 2)\)-dimensional fechada e orientada é par. Seja \(M\) uma variedade \(n\)-dimensional compacta e orientável. Prove que os grupos de homologia \(H_{q}(M ; \mathbb {Z})\) e \(H_{n-q}(M ; \mathbb {Z})\) têm os mesmos postos. Além disso, mostre que o subgrupo de torção de \(H_{q}(M ; \mathbb {Z})\) é isomorfo ao subgrupo de torção de \(H_{n-q-1}(M ; \mathbb {Z})\). Observação: Esta é a forma como o teorema da dualidade de Poincaré era frequentemente enunciado antes da introdução dos grupos de cohomologia. Mostre que \(H_{c}^{n}(X \times \mathbb {R}; G) \cong H_{c}^{n-1}(X ; G)\) para todo \(n\). Mostre que para um \(\Delta \)-complexo localmente compacto \(X\) os grupos de cohomologia simplicial e singular \(H_{c}^{i}(X ; G)\) são isomorfos. Isso pode ser feito mostrando que \(\Delta _{c}^{i}(X ; G)\) é a união dos subgrupos \(\Delta ^{i}(X, A ; G)\) quando \(A\) varia sobre subcomplexos de \(X\) que contêm todos, exceto um número fínito de simplexos, e também que \(C_{c}^{i}(X ; G)\) é a união dos subgrupos \(C^{i}(X, A ; G)\) para a mesma família de subcomplexos \(A\). Mostre que se uma variedade conexa \(M\) é o bordo de uma variedade compacta \(N\), então a característica de Euler de \(M\) é par. Conclua que \(\mathbb {RP}^{2 n}\) e \(\mathbb {CP}^{2 n}\) não podem ser bordos. Dica Cole duas cópias de \(N\) pelo bordo \(M\). Mostre que se \(M\) é uma variedade \(n\)-dimensional contrátil compacta, então \(H_{i}(\partial M ; \mathbb {Z}) \simeq H_{i}\left(\mathbb {S}^{n-1} ; \mathbb {Z}\right)\) para todo \(i\).
Mostre que \((\alpha \frown \varphi ) \frown \psi =\alpha \frown (\varphi \smile \psi )\) para todo \(\alpha \in C_{k}(X ; R), \varphi \in C^{l}(X ; R)\), e \(\psi \in C^{m}(X ; R)\)
Deduza que o produto cap torna \(H_{*}(X ; R)\) um módulo a direita \(H^{*}(X ; R)\).