Capítulo 9

Homologia e Cohomologia Simplicial

Como dito anteriormente, um dos nossos objetivos nesse livro, é estudar invariantes topológico-algébricos dados na forma de números, grupos, anéis, módulos e outras estruturas algébricas que são invariantes sob homeomorfismos. A ideia é que dois espaços topológicos que não possuem o mesmo invariante algébrico não podem ser homeomorfos.

Como vimos na Seção 8.1, simplexos são essencialmente triângulos $n$-dimensionais (em dimensões visualizáveis, pontos, intervalos, triângulos, tetraedros). Um complexo simplicial consiste numa coleções de simplexos “colados” de forma adequada, assim são polígonos $n$-dimensionais formados por simplexos (por exemplo, conjuntos de pontos, curvas poligonais, polígonos, poliedros e uniões destes). Espaços topológicos importantes, tais como a esfera, o toro, o plano projetivo e a garrafa de Klein, assim como outras variedades triangularizáveis, podem ser vistos como complexos simpliciais.

Nesse capítulo, começaremos a tratar de uma nova família de invariantes: os grupos de homologia, especificamente discutiremos a Homologia Simplicial de um $\Delta $-complexo. Nosso objetivo principal nesta parte será tratar da Homologia Singular que ao contrário da Homologia Simplicial está bem definida para qualquer espaço topológico. No entanto, a Homologia Simplicial serve como um protótipo para a Homologia Singular, sendo mais fácil de definir e calcular. Em contrapartida, é difícil demonstrar que a Homologia Simplicial é um invariante topológico. Nesse sentindo, mostraremos no Capítulo 10, que essas duas homologias coincidem para $\Delta $-complexos, e em particular, para complexos simpliciais.

9.1 Grupos de Homologia Simplicial

Tradicionalmente, a homologia simplicial é definida para complexos simpliciais, que constituem um caso particular de $\Delta $-complexos em que cada simplexo é unicamente determinado pelo seu conjunto de vértices. Nesse livro, vamos definir homologia simplicial no contexto mais geral de $\Delta $-complexos.

O objetivo agora é definir os grupos de homologia simplicial de um $\Delta $-complexo de $X$, em que $X$ é um espaço topológico.

Recorde que uma orientação em um $n$-simplexo $\sigma $ é a escolha de uma ordenação para seus vértices. A partir de agora, vamos assumir que cada face de $\sigma $ está munida da orientação dada pela ordenação de seus vértices de acordo com a ordem estabelecida para os vértices de $\sigma $.

Seja $X$ um espaço topológico com uma estrutura de $\Delta $-complexo. Uma $n$-cadeia simplicial é uma combinação linear formal com coeficientes em $\mathbb {Z}$ de $n$-simplexos $\sigma _{\alpha }^n$, ou seja,

\[ \displaystyle \sum _{\alpha }\lambda _{\alpha }\sigma _{\alpha }^n, \]

em que $\lambda _{\alpha }\in \mathbb {Z}$. O $n$-ésimo grupo de cadeias simpliciais $C_{n}^{\Delta }(X)$ é o grupo livre que consiste em todas as $n$-cadeias simpliciais. Equivalentemente, $C_{n}^{\Delta }(X)$ é o grupo abeliano livre gerado pelos $n$-simplexos simpliciais $\{ \sigma _{\alpha }^n:\Delta ^n\rightarrow X\} $. Definimos $C_{n}^{\Delta }(X)=0$, para $n\lt 0 $. O homomorfismo de bordo (também conhecido por diferencial)

\[ \partial _n :C_{n}^{\Delta }(X)\rightarrow C_{n-1}^{\Delta }(X)\ , \]

para $n\geq 1$, é definido na base por

\[ \partial _n (\sigma _{\alpha }^n) \mathrel {\mathop:\! =}\sum _{i=0}^n (-1)^i \sigma _\alpha ^n\mathord {\upharpoonright }{[v_{0},\dots , \widehat{v_i}, \dots ,v_{n}]} \]

e estendendo por linearidade a toda $n$-cadeia simplicial, o que está bem definido pois os grupos de cadeias simpliciais são livres. Para $n\leq 0$, defina $\partial _n = 0$.

Figura 9.1 O homomorfismo de bordo avaliado em alguns simplexos.

É comum omitirmos o subíndice de $\partial _n$ e escrevermos apenas $\partial :C_{n}^{\Delta }(X)\rightarrow C_{n-1}^{\Delta }(X)$.

Finalmente, definimos $C_{\ast }^{\Delta }(X)$ como o módulo graduado obtido pela soma direta

\[ C_{\ast }^{\Delta }(X)\mathrel {\mathop:\! =}\bigoplus _{p\in \mathbb {Z}}C_{p}^{\Delta }(X)\ . \]

A importância dos sinais na definição do homomorfismo de bordo vêm do próximo resultado.

Lema 9.1

Dado um $\Delta $-complexo $X$, o homomorfismo de bordo satisfaz:

\[ \partial _{n-1}\circ \partial _n = 0\ , \]

para todo $n\in \mathbb {Z}$.

Demonstração ▼

Basta mostrar que $\partial _{n-1}\circ \partial _n (\sigma _{\alpha }^n)=0$, para todo elemento da base de $C^{\Delta }_n(X)$. De fato, temos que

\begin{align*} \partial _{n-1}\partial _{n}(\sigma _{\alpha }^n) & = \partial _{n-1} \left( \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma _{\alpha }^n\mathord {\upharpoonright }{[v_{0},\dots , \widehat{v_{i}} ,\dots , v_{n}]} \right) \\ & = \sum _{j\lt i} (-1)^{i}(-1)^{j}\sigma _{\alpha }^n \mathord {\upharpoonright }{[v_{0},\dots , \widehat{v}_{j},\dots , \widehat{v_{i}} ,\dots , v_{n}]} \\ & \ \ + \sum _{j\gt i} (-1)^{i}(-1)^{j-1}\sigma _{\alpha }^n\mathord {\upharpoonright }{[v_{0},\dots , \widehat{v_{i}} ,\dots , \widehat{v_j},\dots , v_{n}] } \\ & = 0. \end{align*}

Veja que os dois últimos somatórios se cancelam, dado que depois de trocar $i$ e $j$ no segundo somatório ele se torna o negativo do primeiro somatório.

O Lema 9.1 garante que o par $(C_{\ast }^{\Delta }(X), \partial _{\ast })$ forma um complexo de cadeias no sentindo algébrico, o qual chamamos de complexo de cadeias simpliciais de $X$. A situação algébrica que possuímos agora é uma sequência de homomorfismos entre grupos abelianos ($\mathbb {Z}$-módulos)

\begin{align*} \dots \rightarrow C_{n+1}^{\Delta }(X) \xrightarrow []{\partial _{n+1}} C_{n}^{\Delta }(X) \xrightarrow []{\partial _{n}} C_{n-1}^{\Delta }(X) \rightarrow \dots \rightarrow C_{1}^{\Delta }(X) \xrightarrow []{\partial _{1}}C_{0}^{\Delta }(X) \xrightarrow []{\partial _{0}} 0 \end{align*}

com $\partial _{n-1}\partial _{n} = 0$ para cada $n$, e assim temos um complexo de cadeias. Assim, as noções estudadas no Capítulo 7 se aplicam a este complexo de cadeias.

Dado um espaço topológico $X$ com uma estrutura de $\Delta $-complexo:

o kernel $Z_{n}^{\Delta }(X)$ do operador bordo $\partial _n : C_{n}^{\Delta }(X) \to C_{n-1}^{\Delta }(X)$ i.e.,

\[ Z^{\Delta }_{n}(X)\mathrel {\mathop:\! =}\ker \partial _{n}, \]

é dito grupo dos $n$-ciclos. Um elemento de $Z_{n}^{\Delta }(X)$ é chamado de $n$-ciclo ou ciclo $n$-dimensional.
A imagem $B_{n}^{\Delta }(X)$ do operador bordo $\partial _{n+1} :C_{n+1}^{\Delta }(X) \to C_{n}^{\Delta }(X)$, i.e.,

\[ B_{n}^{\Delta }(X) \mathrel {\mathop:\! =}{\mathrm{im}\, } \partial _{n+1}, \]

é dito grupo dos $n$-bordos. Um elemento de $B_{n}^{\Delta }(X)$ é chamado de $n$-bordo ou bordo $n$-dimensional.

Veja que quando $n=0$, toda $0$-cadeia é um $0$-ciclo, pois por definição $\partial _0=0$.

Da mesma forma que observamos para complexos de $R$-módulos, na Seção 7.4, temos que todo $n$-bordo é um $n$-ciclo, pois $\partial _{n-1}\partial _n=0$, assim

\[ 0\subseteq B_{n}^{\Delta }(X) \subseteq Z_n^{\Delta }(X) \subseteq C_{n}^{\Delta }(X), \]

para todo $n\in \mathbb {Z}$. Logo, o módulo quociente $Z_n(A)/B_n(A)$ está bem definido, o que possibilita a definição dos módulos de homologia simplicial.

Dado um espaço topológico $X$ com uma estrutura de $\Delta $-complexo, o grupo de homologia $H_{n}^{\Delta }(X)$ de dimensão $n$ do $\Delta $-complexo $X$ é definido por

\[ H_{n}^{\Delta }(X)\mathrel {\mathop:\! =}\frac{\ker \partial _{n}}{{\mathrm{im}\, } \partial _{n+1}}=\frac{Z_{n}^{\Delta }(X)}{B_{n}^{\Delta }(X)}\ , \]

para cada $n\in \mathbb {Z}$. A soma direta

\[ H_\ast ^{\Delta }(X) = \bigoplus _{n\in \mathbb {Z}} H_n^{\Delta }(X) \]

é chamada de homologia simplicial do $\Delta $-complexo $X$. De fato, o grupo de homologia $H_{n}^{\Delta }(X)$ é o $n$-ésimo $\mathbb {Z}$-módulo de homologia do complexo de cadeias $(C_\ast ^{\Delta }(X), \partial _\ast )$. Relembre que os elementos de $H_n^{\Delta }(X)$ são as classes de homologia

\[ [z] = z+B_n^{\Delta }(X) = \{ z+d_{n+1}(x) \mid x\in C_{n+1}^{\Delta }(X)\} \]

dos ciclos $z\in Z_n^{\Delta }(X)$. Além disso, se $z$ e $z'$ são $n$-ciclos, temos que $[z]=[z']$ se, e somente se, $z'-z =d_{n+1}(x)$, para algum $x\in C_{n+1}^{\Delta }(X)$. Nesse caso, dizemos que $z$ e $z'$ são ciclos homólogos.

Veja que uma classe de homologia $n$-dimensional não trivial de $X$ é representada por um $n$-ciclo que não é bordo de um $(n+1)$-cadeia. Dois $n$-ciclos representam a mesma classe de homologia se eles diferem por um $n$-bordo.

Exemplo 9.2 (Grupos de homologia de $\mathbb {S}^1$)

Considere a $1$-esfera $\mathbb {S}^1$ com a estrutura de $\Delta $-complexo dada por: um $0$-simplexo, denotado por $v$, e um $1$-simplexo, denotado por $e$ e colado a $v$ no dois extremos. Assim, $C_{0}^{\Delta }(X) = \mathbb {Z}[v]$ e $C_{1}^{\Delta }(X) =\mathbb {Z}[e]$, todos os demais grupos de cadeias simpliciais são nulos. O complexo de cadeias $(C_\ast ^{\Delta }(X),\partial _\ast )$ é da forma

\begin{align*} \dots \xrightarrow []{} 0 \xrightarrow []{} 0 \rightarrow \mathbb {Z}[e ]\xrightarrow []{\partial _{1}}\mathbb {Z}[v]\xrightarrow []{\partial _{0}} 0 \ , \end{align*}

em que $\partial _1(e)=v-v =0$. Portanto, todas as diferenciais são triviais, o que implica que os grupos de homologia coincidem com os grupos de cadeias simpliciais, i.e.

\[ H_n^{\Delta }(\mathbb {S}^1) \cong \left\{ \begin{array}{ll} \mathbb {Z}, & k=0,1 \\ 0 , & k\neq 0,1 \end{array}\right. . \]

Figura 9.2 Estrutura de Δ -complexo de S^1 — Figura 9.2 Estrutura de $\Delta $-complexo de $\mathbb {S}^1$

Esse resultado já era esperado, pois pelo Exemplo 7.4, se um complexo de cadeias tem todas as diferencias triviais, então os módulos de homologia coincidem com os módulos de cadeias.

Exemplo 9.3 (Grupos de Homologia de $\mathbb {T}^2$)

Como vimos no Exemplo 8.9, o Toro $\mathbb {T}^2$ admite uma estrutura de $\Delta $-complexo composta por um $0$-simplexo $v$, três $1$-simplexos $a, b$ e $c$, e dois $2$-simplexos $U$ e $L$ orientados como no diagrama planar na Figura 9.3.

Figura 9.3 Uma estrutura de Δ -complexo no toro. — Figura 9.3 Uma estrutura de $\Delta $-complexo no toro.

O complexo de cadeias singulares de $\mathbb {T}^2$ tem a forma:

\begin{align*} 0 \rightarrow C_{2}^{\Delta }(\mathbb {T}^2) \rightarrow C^{\Delta }_{1}(\mathbb {T}^2) \rightarrow C^{\Delta }_{0}(\mathbb {T}^2) \rightarrow 0 \ , \end{align*}

que é equivalente, em termos de geradores, a

\begin{align*} 0 \xrightarrow []{\partial _{3}} ~ \mathbb {Z}[U, L]~ \xrightarrow []{\partial _{2}}~ \mathbb {Z}[a, b, c]~ \xrightarrow []{\partial _{1}} ~ \mathbb {Z}[v]~ \xrightarrow []{\partial _{0}} 0. \end{align*}

Vamos calcular os homomorfismos de bordo. Primeiramente, como o operador $\partial _{0}$ é trivial, então $\ker \partial _{0} = \mathbb {Z}[v]$. Note que $\partial _{1}(a) = \partial _{1}(b) = \partial _{1}(c) = v - v = 0$. Portanto, $\mathrm{im}\, \partial _{1} = {0}$. Assim,

\begin{align*} H^{\Delta }_{0}(\mathbb {T}^2) = \dfrac { \ker \partial _{0}}{\mathrm{im}\, \partial _{1}} = \dfrac {\mathbb {Z}[v]}{\{ 0\} } \cong \mathbb {Z}\ . \end{align*}

Como o operador $\partial _{1}$ é nulo, então $\ker \partial _{1} = \mathbb {Z}[a, b, c] $. Consideremos uma mudança de geradores de ${a, b, c}$ para $\{ a, ~ b, ~ a+b-c\} $, temos $\ker \partial _{1} = \mathbb {Z}[a,~ b,~ a+b-c]$. Por outro lado, $\partial _{2}(U) = \partial _{2}(L) = a+b-c$, ou seja, $ \mathrm{im}\, \partial _{2} = \mathbb {Z}[a+b-c]$. Logo,

\begin{align*} H^{\Delta }_{1}(\mathbb {T}^2) = \dfrac {\ker \partial _{1}}{\mathrm{im}\, \partial _{2}} = \dfrac { \mathbb {Z}[a,~ b, ~ a+b-c]}{ \mathbb {Z}[a+b-c]} = \mathbb {Z}[a,~ b] \cong \mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}. \end{align*}

Como não há $3$-simplexos, temos que $\mathrm{im}\, \partial _{3} = {0}$. Para calcular o terceiro grupo de homologia, resta encontrar o núcleo de $\partial _{2}$. Veja que:

\begin{align*} \partial _{2}(\lambda _{1}U + \lambda _{2}L) = 0 & \Leftrightarrow \lambda _{1}(a+b-c) + \lambda _{2}(a+b-c) = 0 \\ & \Leftrightarrow \lambda _{1} = -\lambda _{2} \\ & \Leftrightarrow \lambda _{1}U - \lambda _{1}L \in \ker \partial _{2}. \end{align*}

Assim, $\ker \partial _{2}$ é um grupo cíclico infinito gerado por $U-L$, ou seja,

\begin{align*} H^{\Delta }_{2}(\mathbb {T}^2) = \dfrac {\ker \partial _{2}}{\mathrm{im}\, \partial _{3}} = \dfrac {\mathbb {Z}[U-L]}{\{ 0\} } \cong \mathbb {Z}. \end{align*}

Resumindo,

\begin{align*} H^{\Delta }_{n}(\mathbb {T}^2) \cong \left\{ \begin{array}{cl} \mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}, & n=1 \\ \mathbb {Z}, & n = 0,2 \\ 0 , & n \geq 3 \end{array}\right. \ . \end{align*}

Exemplo 9.4 (Grupos de Homologia de $\mathbb {R}\mathbb {P}^2$)

Como vimos no Exemplo 8.10, o plano projetivo $\mathbb {R}\mathbb {P}^2$ admite uma estrutura de $\Delta $-complexo constituída de dois $0$-simplexos $v$ e $w$, três $1$-simplexos $a$, $b$ e $c$, e dois $2$-simplexos $U$ e $L$, orientados conforme o diagrama planar na Figura 9.4.

Figura 9.4 Uma estrutura de Δ -complexo no plano projetivo real. — Figura 9.4 Uma estrutura de $\Delta $-complexo no plano projetivo real.

O complexo de cadeias simpliciais de $\mathbb {R}\mathbb {P}^2$ tem a forma:

\begin{align*} 0 \rightarrow C_{2}^{\Delta }(\mathbb {R}\mathbb {P}^2) \rightarrow C^{\Delta }_{1}(\mathbb {R}\mathbb {P}^2) \rightarrow C^{\Delta }_{0}(\mathbb {R}\mathbb {P}^2) \rightarrow 0 \ , \end{align*}

que é equivalente, em termos de geradores, a

\begin{align*} 0 \xrightarrow []{\partial _{3}} ~ \mathbb {Z}[U, L]~ \xrightarrow []{\partial _{2}}~ \mathbb {Z}[a, b, c]~ \xrightarrow []{\partial _{1}} ~ \mathbb {Z}[v,w]~ \xrightarrow []{\partial _{0}} 0. \end{align*}

Como o operador $\partial _{0}$ é trivial, então $\ker \partial _{0} = \mathbb {Z}[v,w]$. Além disso, $\partial _{1}(a) = \partial _{1}(b) = w - v$ e $ \partial _{1}(c) = v - v = 0$. Portanto, $\mathrm{im}\, \partial _{1} = \mathbb {Z}[w - v]$. Fazendo a mudança de geradores $\{ v, w\} $ para $\{ v,w-v\} $, temos

\begin{align*} H^{\Delta }_{0}(\mathbb {R}\mathbb {P}^2) = \dfrac { \ker \partial _{0}}{\mathrm{im}\, \partial _{1}} = \dfrac {\mathbb {Z}[v, w-v]}{ \mathbb {Z}[w-v]} \cong \mathbb {Z}\ . \end{align*}

Calculando $\ker \partial _{1}$:

\begin{align*} \partial _{1}(\lambda _{1}a + \lambda _{2}b + \lambda _{3}c) = 0 & \Leftrightarrow \lambda _{1}\partial _{1}(a) + \lambda _{2}\partial _{1}(b) + \lambda _{3}\partial _{1}(c) = 0 \\ & \Leftrightarrow (\lambda _{1} + \lambda _{2}) (w - v) = 0 \\ & \Leftrightarrow \lambda _{1} = - \lambda _{2} \\ & \Leftrightarrow \ker \partial _{1} = \mathbb {Z}[a-b,c]. \end{align*}

Fazendo uma mudança de geradores, $\ker \partial _{1} = \mathbb {Z}[a-b+c,c]$. Agora, vamos calcular a imagem de $\partial _2$. Veja que $\partial _2(U) = -a+b+c$ e $\partial _2(L) =a-b+c$. Por uma mudança de geradores, $\mathrm{im}\, \partial _2 = \mathbb {Z}[a-b+c, 2c ]$. Assim,

\begin{align*} H^{\Delta }_{1}(\mathbb {RP}^{2}) = \dfrac {\ker \partial _{1}}{\mathrm{im}\, \partial _{2}} = \dfrac {\mathbb {Z}[a-b+c, ~ c]}{\mathbb {Z}[a-b+c,~ 2c]} = \dfrac {\mathbb {Z}[c]}{\mathbb {Z}[2c]} \cong \mathbb {Z}_{2}. \end{align*}

Veja que não existem $3$-simplexos e $\ker \partial _2 =0$, pois $\partial _2$ é injetora. Daí

\begin{align*} H^{\Delta }_{2}(\mathbb {RP}^{2}) = \dfrac {\ker \partial _{2}}{\mathrm{im}\, \partial _{3}} = \dfrac {\{ 0\} }{\{ 0\} } = \{ 0\} . \end{align*}

Resumido:

\begin{align*} H^{\Delta }_{n}(\mathbb {RP}^{2}) \cong \left\{ \begin{array}{cl} \mathbb {Z}, & n=0 \\ \mathbb {Z}_{2}, & n = 1 \\ 0, & n \geq 2 \end{array}\right. \ . \end{align*}

É importante ressaltar que a homologia simplicial associa os grupos (ou módulos) de homologia aos $\Delta $-complexos (estruturas de $\Delta $-complexos em um espaço topológico) e não a um espaço topológico em si.

Claramente, um espaço topológico $X$ pode admitir mais de uma estrutura de $\Delta $-complexo. A questão natural que surge é se os grupos de homologia simplicial $H^\Delta _{n}(X)$ independem da escolha da estrutura de $\Delta $-complexo em $X$. Em outras palavras, dois $\Delta $-complexos homeomorfos possuem grupos de homologia isomorfos? Mais geralmente, dois $\Delta $-complexos homotopicamente equivalentes possuem grupos de homologia isomorfos?

O caráter rígido inerente a uma estrutura de $\Delta $-complexo, torna o desenvolvimento da Teoria de Homologia Simplicial mais penosa. Para responder tais questões, vamos primeiramente desenvolver uma teoria mais geral, a teoria de Homologia Singular, que tem a vantagem de estar bem definida para qualquer espaço topológico e não apenas aos que admitem estruturas de $\Delta $-complexos. Por fim, na Seção 10.8 (Teorema 10.8), mostraremos que os grupos de homologia simplicial e os grupos de homologia singular coincidem para o caso de $\Delta $-complexos e a invariância dos grupos de homologia simplicial segue da invariância do grupos de homologia singular.

Certamente tais perguntas podem ser respondidas de forma direta, sem o uso de homologia singular, como feito no Capítulo $2$ de Munkres 2018.

Invariância. Dado um espaço topológico que admite estrutura de $\Delta $-complexo, a homologia simplicial de $X$ não depende da escolha da estrutura de $\Delta $-complexo. Essa propriedade é extremamente relevante, pois torna os grupos de homologia simplicial um objeto algébrico capaz de caracterizar espaços triangularizáveis.

Uma estrutura de $\Delta $-complexo $X$ é conexo por caminho se para cada par de vértices (i.e., $0$-simplexos) em $X$ existe um caminho formado por um número finito de arestas (i.e., $1$-simplexos) ligando um vértice ao outro. Podemos agora descrever o significado topológico do grupo de homologia de dimensão $0$, ou seja, $H_{0}(X)$.

Homologia de dimensão $0$. Seja $X$ um espaço topológico munido de uma estrutura de $\Delta $-complexo conexo por caminhos. Então, $H_0^{\Delta }(X) \cong \mathbb {Z}$.

Demonstração ▼

Note que um $0$-simplexo singular em $X$ pode ser visto como um ponto em $X$. Feita essa identificação, seja $X^0=\{ v_{i}\} _{i\in I}$ o conjunto dos $0$-simplexos de $X$ (i.e., o conjunto dos vértices). Daí, $C_0^{\Delta }(X) \cong \mathbb {Z}^I$. Além disso, $C_0^{\Delta }(X) = Z_0^{\Delta }(X)$. Dados os vértices $v_{s_0}$ e $v_s$, pela conexidade de $X$, existem $1$-simplexos (arestas) $\sigma _k$ ligando $w_{k-1}$ a $w_k$ com $w_0 = v_{s_0}$ e $w_k = v_s$. Então,

\[ \partial _1 (\sigma _1+ \sigma _2 +\ldots + \sigma _k) = v_s - v_{s_0}. \]

Portanto, $ v_s - v_{s_0} \in B_0^{\Delta }(X)$, para todo $ s \neq s_{0}$. Agora, defina o homomorfismo de aumentação $f:C_0^{\Delta }(X) = Z_0^{\Delta }(X)\rightarrow \mathbb {Z}$ por

\[ f\left( \sum _{i\in J}\lambda _i v_i \right) \mathrel {\mathop:\! =}\sum _{i\in J} \lambda _i, \]

em que $J$ é um subconjunto finito de $I$. Então,

\[ \ker f =\left\{ \sum _{i \in J}\lambda _i v_i \ \bigg| \ J\subset I \text{finito} \ e \sum _{i\in J}\lambda _i =0 \right\} , \]

que é gerado por $v_s - v_{s_0}$, para $s\neq s_0 .$ Note que esse elementos também geram $ B_0^{\Delta }(X)$, logo $\ker f = B_0^{\Delta }(X)$. Pelo Primeiro Teorema do Isomorfismo,

\[ H_0^{\Delta }(X) = \dfrac {Z_0^{\Delta }(X)}{B_0^{\Delta }(X)} \cong \mathrm{im}\, f = \mathbb {Z}. \]

Seja $X$ um $\Delta $-complexo finito com $k\geq 1$ componentes conexas, então

\[ H_0^{\Delta }(X) \cong \mathbb {Z}^k. \]

Demonstração ▼

Observe que $X$ pode ser escrito como união de $k$ complexos simpliciais finitos e conexos, digamos $X =\cup _{i=1}^k X_i$. É facil ver que $H_n^{\Delta }(X) = H_n^\Delta (X_1) \oplus \cdots \oplus H_n^\Delta (X_k) $, para todo $n\geq 0$. E o resultado segue pela proposição anterior.

Além disso, note que se $X$ é um $\Delta $-complexo finito, então os grupos de homologia simplicial com coeficientes em $\mathbb {Z}$ são grupos abelianos finitamente gerados.

Seja $X$ um $\Delta $-complexo finito de dimensão $m$.

$H_n^{\Delta }(X)$ é um grupo abeliano finitamente gerado, para todo $n\in \mathbb {Z}$;
$H_n^{\Delta }(X)=0$, para todo $n\gt m$;
$H_m^{\Delta }(X)$ é um grupo abeliano livre, possivelmente trivial.

Demonstração ▼

Com efeito, como $X$ é um $\Delta $-complexo finito, existem finitos $n$-simplexos, para cada $n\geq 0$, logo $C_n^{\Delta }(X)$ é um grupo abeliano livre finitamente gerado (com posto igual à quantidade de $n$-simplexos em $X$). Como $Z_n^{\Delta }(X)$ e $B_n^{\Delta }(X)$ são subgrupos de $C_n^{\Delta }(X)$ e subgrupos de grupos livres são livres, então $Z_n^{\Delta }(X)$ e $B_n^{\Delta }(X)$ também são grupos abelianos livres finitamente gerados. O grupo quociente $H_n^{\Delta }(X)=\frac{Z_n^{\Delta }(X)}{B_n^{\Delta }(X)}$ é um grupo abeliano finitamente gerado, que pode ser ou não livre.
É imediato, pois não existem simplexos de dimensão $q \gt m$.
Como $C_{m+1}^{\Delta }(X) =0$, temos que $B_m^{\Delta }(X)=0 $, logo $H_m^{\Delta }(X) = Z_n^{\Delta }(X).$ Segue que $H_m^{\Delta }(X) $ é livre, pois é subgrupo de um grupo livre.

Pelo Teorema da Estrutura de Grupos Abelianos Finitamente Gerados, os grupos $H_n^{\Delta }(X)$ podem ser escritos por uma soma direta

\[ H_n^{\Delta }(X) \cong \underbrace{\mathbb {Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z}}_{\beta _n \ \text{cópias}} \ \oplus \ \mathbb {Z}_{p_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z}_{p_\ell } \]

onde $\mathbb {Z}_{p_i}$ são grupos abelianos cíclicos finitos de ordem $p_i$, chamados os coeficientes de torção. O número natural $\beta _n$ é chamado de posto do grupo $H_n^{\Delta }(X)$ ou número de Betti e corresponde ao número de geradores livres de $H_n^{\Delta }(X)$, i.e., geradores de ordem infinita. Resumindo, o grupo de homologia simplicial $H_n^{\Delta }(X)$ pode ser representado pela soma direta de um grupo abeliano livre com um grupo finito, $H_n^{\Delta }(X)\cong \mathbb {Z}^{\beta _n}\oplus T$, em que $T$ é o subgrupo de torção.

É interessante ressaltar que, como consequência do Teorema da Estrutura de Grupos Abelianos Finitamente Gerados (Corolário 7.1), o grupo $H_n^{\Delta }(X)$ é unicamente determinado pelo seu posto e pelos coeficientes de torção.

9.2 Homologia Simplicial com Coeficientes e Homologia Relativa

Na seção anterior, baseamos nossa construção de homologia simplicial no anel $\mathbb {Z}$. No entanto, nem sempre essa é a melhor escolha de coeficientes para se trabalhar. Por exemplo, vimos que $H_2^\Delta (\mathbb {R}\mathbb {P}^2) \cong 0$, o que pode ser considerado indesejável no sentido de que nossa definição atual de homologia não parece reconhecer o plano projetivo como um objeto bidimensional. Essa informação pode ser recuperada considerando coeficientes em um outro anel.

Além disso, como é de costume em matemática, por vezes queremos desconsiderar explicitamente qualquer informação que não seja de interesse para o problema em questão. Por exemplo, podemos querer apenas capturar propriedades topológicas de um $\Delta $-complexo, que ainda não foram estudados por um determinado subcomplexo.

Nessa seção, consideramos um $\Delta $-complexo $X$ juntamente com um subcomplexo $A\subset X$, e vamos introduzir os grupos de homologia simplicial relativa $H_n^\Delta (X,A;R)$ com coeficientes em um anel comutativo $R$ de tal forma que se $A=\emptyset $ e $R = \mathbb {Z}$, recuperamos a definição de homologia simplicial, i.e., $H_n^\Delta (X,A;R) = H_n^{\Delta }(X)$.

Homologia Simplicial com Coeficientes em $R$

Na seção anterior, definimos cadeias simpliciais com coeficientes inteiros. Podemos definir, de forma mais geral, cadeias simpliciais com coeficientes em um anel comutativo com unidade.

Seja $R$ um anel comutativo com unidade $1$. Uma $n$-cadeia simplicial com coeficientes em $R$ é uma combinação linear formal

\[ \sum _{\alpha }\lambda _\alpha \sigma _\alpha ^n \]

de $n$-simplexos $\sigma _\alpha ^n$ e coeficientes $\lambda _\alpha $ em $R$.

O $n$-ésimo módulo de cadeias simplicial $C_{n}^{\Delta }(X;R)$ com coeficientes em $R$ é o $R$-módulo livre com base $\{ \sigma _\alpha ^n:\Delta ^n\rightarrow X\} $ que consiste em todas as $n$-cadeias simpliciais com coeficientes em $R$. Definimos $C_{n}^{\Delta }(X;R)=0,$ para $n\lt 0 $. Podemos definir o $R$-homomorfismo de bordo $\partial _n$ nos geradores como na Definição 9.1 e estender para todas as cadeias por linearidade. O Lema 9.1 continua valendo, i.e., $\partial _{n-1}\circ \partial _n = 0$. Assim, $(C_{\ast }^{\Delta }(X;R), \partial _\ast )$ é um complexo de cadeias, chamado de complexo de cadeias simpliciais com coeficientes em $R$. Os módulos de homologia desse complexo são chamados de módulos de homologia simplicial do $\Delta $-complexo $X$.

Seja $X $um espaço topológico com uma estrutura de $\Delta $-complexo. O $n$-ésimo módulo de homologia simplicial $H^\Delta _\ast (X;R) $ de dimensão $n$ do $\Delta $-complexo $X$ é definido por

\[ H^\Delta _\ast (X;R) \mathrel {\mathop:\! =}\dfrac {\ker {\partial }_n }{\mathrm{im}\, {\partial }_{n+1}}, \]

para todo $n\in \mathbb {Z}$. A soma direta

\[ H_\ast ^{\Delta }(X;R) = \bigoplus _{n\in \mathbb {Z}} H_n^{\Delta }(X;R) \]

é chamada de homologia simplicial com coeficientes em $R$ do $\Delta $-complexo $X$. O exemplo a seguir, mostra que às vezes a escolha do anel $R$ é relevante para se obter mais informações topológicas sobre o espaço em questão.

Exemplo 9.5

Retomando o Exemplo 9.3, vimos que a diferencial $\partial _2:C_{2}^{\Delta }(\mathbb {R}\mathbb {P}^2) \xrightarrow []{\partial _{2}} C^{\Delta }_{1}(\mathbb {R}\mathbb {P}^2) $ tem a forma Ilustração: Homologia Simplicial com Coeficientes e Homologia Relativa

Ilustração: Homologia Simplicial com Coeficientes e Homologia Relativa

Considerando cadeias simpliciais com coeficientes em $\mathbb {Z}_2$, i.e., se trocamos o anel $\mathbb {Z}$ por $R=\mathbb {Z}_2$, a igualdade $-1=1$, implica que a diferencial $\partial _2:C_{2}^{\Delta }(\mathbb {R}\mathbb {P}^2;\mathbb {Z}_2) \xrightarrow []{\partial _{2}} C^{\Delta }_{1}(\mathbb {R}\mathbb {P}^2;\mathbb {Z}_2) $ tem a forma Ilustração: Homologia Simplicial com Coeficientes e Homologia Relativa

Daí, $\mathrm{im}\, \partial _2$ tem posto igual a $1$, e pelo Teorema do Núcleo e Imagem, $\ker \partial _2 $ também tem posto $1$. Segue que

\[ H^\Delta _2(\mathbb {R}\mathbb {P}^2; \mathbb {Z}_2) \cong \mathbb {Z}_2 . \]

Homologia Simplicial Relativa

Primeiramente, vamos definir formalmente o que entendemos por subcomplexo.

Dado um $\Delta $-complexo $X$, um sub-$\Delta $-complexo (ou subcomplexo) é um subespaço $A\subseteq X$ dado pela união de simplexos em $X$. O par $(X,A)$ é chamado de $\Delta $-par.

Figura 9.5 Em vermelho e em azul subcomplexos de X. — Figura 9.5 Em vermelho e em azul subcomplexos de $X$.

Dado um subcomplexo $A\subseteq X$, o complexo $(C_{\ast }^{\Delta }(A;R), \partial ^A_\ast )$ está bem definido. Agora, podemos proceder como na Seção 7.8, para construir os módulos de homologia simplicial relativa. Mais especificamente, dado $(X,A)$ um $\Delta $-par, considere o módulo quociente

\[ C_{n}^{\Delta }(X,A;R) \mathrel {\mathop:\! =}\dfrac {C_{n}^{\Delta }(X;R)}{C_{n}^{\Delta }(A;R)} \]

para todo $n\in \mathbb {Z}$. Note que as $n$-cadeias de $C_{\ast }^{\Delta }(A;R)$ são triviais em $C_{n}^{\Delta }(X,A;R)$ e a diferencial em $C_{n}^{\Delta }(X;R)$ satisfaz $\partial _n(C_{n}^{\Delta }(A;R)) \subseteq C_{n-1}^{\Delta }(A;R)$. Portanto, temos um homomorfismos de $R$-módulos

\[ \overline{\partial }_n:C_{n}^{\Delta }(X,A;R) \rightarrow C_{n-1}^{\Delta }(X,A;R) \]

e que ainda satisfaz $\overline{\partial }_{n-1}\circ \overline{\partial }_n = 0$. Por fim, obtemos um complexo de cadeias $(C_{\ast }^{\Delta }(X,A;R),\overline{\partial }_\ast )$, o complexo quociente de $(C_{\ast }^{\Delta }(X;R), \partial _\ast )$ por $(C_{\ast }^{\Delta }(A;R), \partial ^A_\ast )$, chamado de complexo simplicial relativo com coeficientes em $R$.

Cada elementos de $C_{n}^{\Delta }(X,A;R)$ é chamado de uma $n$-cadeia relativa. Uma $n$-cadeia relativa $[a] = a+C_{n}^{\Delta }(A;R) $ é dita ser um $n$-ciclo relativo se $\overline{\partial }_n([a]) = 0$, i.e.

\[ \partial _n(a) \in C_{n-1}^{\Delta }(A;R). \]

O $R$-módulo dos $n$-ciclos relativos é denotado por $Z_n^\Delta (X,A;R) =\ker \overline{\partial }_n$. Uma $n$-cadeia relativa $[a] = a+C_{n}^{\Delta }(A;R) $ é dita um $n$-bordo relativo se existe $ b \in C_{n+1}^{\Delta }(X;R)$ tal que $\partial _{n+1}([b]) = [a]$, ou seja, $a = d_{n+1}(b) + a'$ para algum $a'\in C_n^{\Delta }(A;R)$. O $R$-módulo dos $n$-bordos é denotado por $B_n^\Delta (X,A;R) = \mathrm{im}\, \overline{\partial }_{n+1}$.

Seja $(X,A)$ um $\Delta $-par. O $n$-ésimo módulo de homologia do complexo simplicial $(C_{\ast }^{\Delta }(X,A;R),\overline{\partial })$ é chamado de módulo de homologia simplicial relativa com coeficientes em $R$ e é denotado por $H^\Delta _\ast (X,A;R)$. Em outros termos,

\[ H^\Delta _\ast (X,A;R) \mathrel {\mathop:\! =}\dfrac {\ker \overline{\partial }_n }{\mathrm{im}\, \overline{\partial }_{n+1}} = \dfrac {Z_n^\Delta (X,A;R)}{B_n^\Delta (X,A;R)}. \]

Dois $n$-ciclos relativos $[a_1], [a_2]$ são relativamente homólogos se $[a_1 - a_2] $ é um bordo relativo, ou seja, se $a_1= a_2 + d_{n+1}(b) + c$ para algum $b\in C_n^{\Delta }(A;R)$ e $ b \in C_{n+1}^{\Delta }(X;R)$.

Grosso modo, a ideia intuitiva por trás da homologia relativa é de que $H^\Delta _\ast (X,A;R)$ é "homologia de $X$ módulo $A$". Esta intuição será formalizada posteriormente na Proposição 10.3 que afirma que, sob algumas condições, a homologia relativa de $X$ em relação à $A$ é isomorfa à homologia reduzida do quociente $X/A$.

Quando $A=\emptyset $, usaremos as notações

\[ C_{n}^{\Delta }(X;R)\mathrel {\mathop:\! =}C_{n}^{\Delta }(X,\emptyset ;R)\qquad \text{e} \qquad H^\Delta _\ast (X,R)\mathrel {\mathop:\! =}H^\Delta _\ast (X,\emptyset ;R), \]

e assim, recuperamos as definições da seção anterior para o caso em que $R=\mathbb {Z}$.

No próximo exemplo, vamos considerar o caso especial de $\Delta $-complexo dado por um complexo simplicial.

Considere o complexo simplicial $K$ na Figura 9.6 cuja realização geométrica é um quadrado. Seja $L$ o subcomplexo cuja realização geométrica é dada pelo bordo do quadrado. Queremos calcular os módulos de homologia relativa $H_\ast (K,L;R)$.

Primeiramente, dada uma $2$-cadeia $\sigma = \sum _{i=1}^4 r_i \sigma _i \in C_2^\Delta (K;R)$, em que $r_i\in R$ para $i=1,\ldots , 4$, seu bordo é dado por

\begin{align*} \partial _2(\sigma ) & = (r_4 - r_1)e_1 + (r_1-r_2)e_2+ (r_2-r_3)e_3+ (r_3-r_4)e_4+ \sum _{i=5}^8 r_{i-4}e_i . \end{align*}

Logo, a $2$-cadeia $\sigma $ representa um ciclo relativo de $K$ módulo $L$ se, e somente se, $r_1=r_2=r_3=r_4$. E $ \sigma _1+ \sigma _2 + \sigma _3 + \sigma _4$ representa um gerador para o módulo dos $2$-ciclos relativos $Z_2^\Delta (K,L;R)$. Como não existe $3$-simplexo, não há $2$-bordos relativos. Assim,

\[ H^\Delta _2(K,L;R) \cong R. \]

Agora, dada uma $1$-cadeia $c = \sum _{i=1}^8 r_ie_i \in C_1^\Delta (K;R)$, em que $r_i\in R$ para $i=1,\ldots , 8$, seu bordo é dado por

\begin{align*} \partial _1(c) & = (r_8 - r_1 - r_5)v_1 + (r_5-r_2-r_6)v_2 \\ & + (r_6-r_3-r_7)v_3 + (r_7-r_4-r_8)v_4 + (r_1+r_2+r_3+r_4)v_0 . \end{align*}

Logo, a $1$-cadeia $c $ representa um ciclo relativo se, e somente se, $r_1+r_2+r_3+r_4=0$. Vamos mostrar que qualquer $1$-ciclo relativo é também é um $1$-bordo relativo. De fato, tomemos $b = r_2\sigma _1 -r_3 \sigma _3 + (r_1+r_2)\sigma _4 \in C_2^\Delta (K;R)$, veja que

\[ \partial _2(b) = r_1e_1+r_2e_2+r_3e_3+r_4e_4 + r_2e_5 -r_3e_7 + (r_1+r_2)e_8. \]

Assim,

\[ c= \partial _2(b)+ \underbrace{(r_5-r_2)e_5+r_6e_6 +(r_7+r_3)e_7 + (r_8-r_1-r_2)e_8}_{\in \ C_{1}^\Delta (L;R)}, \]

e $c$ representa um $1$-bordo relativo. Portanto,

\[ H^\Delta _1(K,L;R) =0. \]

Por fim, temos que o módulos das $0$-cadeias relativas é gerado por $v_0$, i.e. $C_{0}^\Delta (K,L;R) = R[v_0]$. Como $v_0$ é um bordo relativo, pois $v_0 = \partial _1(e_1) + v_1$, segue que

\[ H^\Delta _0(K,L;R) =0. \]

Sejam $K$ um complexo simplicial e $L$ um subcomplexo. Se cada componente conexa por caminhos de $K$ contém pelo menos um vértice de $L$, então $H_0^\Delta (K,L;R)=0$.

Demonstração ▼

Dado um vértice $v \in K$, seja $\sigma $ um caminho formado por arestas orientadas ligando $v$ a um vértice $u \in L$. Então, $\partial _1(\sigma ) = v-u$. Segue que $v$ é relativamente homólogo a $u$. Portanto, todo $0$-ciclo é um $0$-bordo relativo, i.e. $B_0^\Delta (K,L;R) = Z_0^\Delta (K,L;R)$. Segue que $H_0^\Delta (K,L;R)=0$.

Seja $(X,A)$ um $\Delta $-par. Os complexos de cadeias $(C_{\ast }^{\Delta }(A;R), \partial _\ast )$ e $(C_{\ast }^{\Delta }(X;R), \partial ^A_\ast )$ formam uma sequência exata curta de complexos de cadeias

\begin{align*} 0 \rightarrow C_{\ast }^{\Delta }(A;R) \xrightarrow []{i} C_{\ast }^{\Delta }(X;R) \xrightarrow []{\pi } C_{\ast }^{\Delta }(X,A;R) \rightarrow 0 \ , \end{align*}

em que $i$ é a inclusão e $\pi $ a projeção. Pelo Lema do Zig-Zag (Teorema 7.7), existe uma sequência exata longa em homologia associada.

Seja $(X,A)$ um $\Delta $-par. Então existe uma sequência exata longa Ilustração: Homologia Simplicial com Coeficientes e Homologia Relativa chamada de sequência exata longa do par $(X,A)$. A sequência exata longa captura precisamente até que ponto $H_{n}^{\Delta }(A;R)$, $H_{n}^{\Delta }(X;R) $ e $H_{n}^{\Delta }(X,A;R)$ estão relacionados. Nesse sentindo, temos o seguinte corolário:

A homologia simplicial relativa $H_{n}^{\Delta }(X,A;R)$ é trivial para todo $n$ se, e somente se, todas as aplicações $H_{n}^{\Delta }(A;R) \xrightarrow []{\ i_{*} \ } H_{n}^{\Delta }(X;R) $ são isomorfismos.

Demonstração ▼

Primeiramente, notamos que em uma sequência exata, apenas o $R$-módulo trivial se encaixa entre dois homomorfismos triviais adjacentes.

($\Rightarrow $) Segue diretamente da exatidão da sequência.

($\Leftarrow $) Se todas as aplicações $H_{n}^{\Delta }(A;R) \xrightarrow []{\ i_{*} \ } H_{n}^{\Delta }(X;R) $ são isomorfismos, então $\pi _n$ e $\partial _{\ast ,n}$ são triviais. Consequentemente, $H_{n}^{\Delta }(X,A;R)=0$, para todo $n$.

Considere novamente o complexo simplicial $K$ na Figura 9.6, apresentado no Exemplo 9.2 e seja $L$ o subcomplexo dado pelo bordo do quadrado. Vamos calcular a homologia relativa $H_\ast (K,L;R)$ utilizando a sequência exata longa do par $(K,L)$. Uma parte dessa sequência é

\begin{align*} H_{2}^{\Delta }(K;R) \xrightarrow []{} H_2^{\Delta }(K,L;R) \xrightarrow []{\partial _{\ast ,2}} H_{1}^{\Delta }(L;R)\xrightarrow []{} H_{1}^{\Delta }(K;R). \end{align*}

Como $K$ não possui $2$-ciclos, temos $ H_{2}^{\Delta }(K;R) = 0$. O módulo das $1$-cadeias é gerado pelos simplexos

\[ e_5+e_2-e_1 , \ \ e_6+e_3-e_2 , \ \ e_7+e_4-e_3 , \ \ e_8+e_1-e_4 , \]

que são bordos de $\sigma _1, \sigma _2, \sigma _3,\sigma _4$, respectivamente. Logo, $H_{1}^{\Delta }(K;R) = 0$. Observe ainda que $H_{1}^{\Delta }(L;R)\cong R$. Pela exatidão da sequência, segue que $\partial _{\ast ,2}$ é um isomorfismo e $H_2^{\Delta }(K,L;R) \cong R$, como já era esperado.

Agora, considere a seguinte parte da sequência exata longa do par $(K,L)$:

\begin{align*} H_{1}^{\Delta }(K;R) \xrightarrow []{} H_1^{\Delta }(K,L;R) \xrightarrow []{\partial _{\ast ,1}} H_{0}^{\Delta }(L;R)\xrightarrow []{} H_{0}^{\Delta }(K;R) \xrightarrow []{} H_0^{\Delta }(K,L;R) . \end{align*}

Sabemos que $ H_{1}^{\Delta }(K;R)=0$. Como $K$ e $L$ são conexos por caminho, $H_{0}^{\Delta }(L;R) \cong H_{0}^{\Delta }(K;R) \cong R$. Pela Proposição 9.2, $H_0^{\Delta }(K,L;R)=0 $. Pela exatidão da sequência, temos $H_1^{\Delta }(K,L;R) =0$. Considere o complexo simplicial $K$ na Figura cuja realização geométrica é um anel. Seja $L$ o subcomplexo cuja realização geométrica é dada pelos bordos do anel. Consideramos os simplexos orientados como na Figura 9.7. Queremos calcular os módulos de homologia relativa $H_\ast (K,L)$ para o anel $R=\mathbb {Z}$.

Figura 9.7 Complexo simplicial cuja realização geométrica é um anel.

Para isso, considere a seguinte parte da sequência exata longa do par $(K,L)$:

\begin{align*} H_{2}^{\Delta }(K) \xrightarrow []{} H_2^{\Delta }(K,L) \xrightarrow []{\partial _{\ast ,2}} H_{1}^{\Delta }(L)\xrightarrow []{i_{\ast ,1}} H_{1}^{\Delta }(K)\xrightarrow []{\pi _{\ast ,1}} H_1^{\Delta }(K,L) \xrightarrow []{\partial _{\ast ,1}} H_{0}^{\Delta }(L)\xrightarrow []{} H_{0}^{\Delta }(K) \xrightarrow []{} H_0^{\Delta }(K,L) . \end{align*}

Usando o Corolário 9.1 e a Proposição 9.2, temos que

\[ H_{0}^{\Delta }(L)\cong \mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}\ , \qquad H_{0}^{\Delta }(K) \cong \mathbb {Z}\qquad H_0^{\Delta }(K,L) =0. \]

Como $K$ não possui $2$-ciclos, temos $H_{2}^{\Delta }(K) =0$. Além disso, $ H_{1}^{\Delta }(K)\cong \mathbb {Z}$ é um grupo cíclico infinito gerado pela classe do $1$-ciclo $z_1$, ou ainda do $1$-ciclo $z_2$, que são ciclos homólogos, veja a Figura 9.7. Por sua vez, $ H_{1}^{\Delta }(L)\cong \mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}$ e possui como base as classes dos $1$-ciclos $z_1$ e $z_2$. Substituindo tais informações na sequência exata longa do par $(K,L)$, temos:

\begin{align*} 0 \xrightarrow []{} H_2^{\Delta }(K,L) \xrightarrow []{\partial _{\ast ,2}} \mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}\xrightarrow []{i_{\ast ,1}} \mathbb {Z}\xrightarrow []{\pi _{\ast ,1}} H_1^{\Delta }(K,L) \xrightarrow []{\partial _{\ast ,1}} \mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}\xrightarrow []{i_{\ast ,0}} \mathbb {Z}\xrightarrow []{} 0 . \end{align*}

Para encontrar os grupos de homologia relativa, vamos analisar os mapas $i_\ast $, $\pi _\ast $ e $\partial _\ast $.

Como $i:L\rightarrow K$ é a inclusão, temos que $i_{\ast ,1}[z_1] = [z_1]$ e $i_{\ast ,1}[z_2] = [z_2]$. Mas $z_1$ e $z_2$ são ciclos homólogos em $K$. Segue que $i_{\ast ,1}$ é sobrejetor e seu kernel é dado por $\ker i_{\ast ,1} = \mathbb {Z}[z_1 - z_2] \cong \mathbb {Z}$. Já o homomorfismo de conexão $\partial _{\ast ,2}$ tem kernel trivial e $\mathrm{im}\, \partial _{\ast ,2} = \mathbb {Z}[z_1 - z_2]$. Assim, $H_2^{\Delta }(K,L) \cong \mathbb {Z}$ e é gerado pelo $2$-ciclo relativo dado pela soma de todos os $2$-simplexos em $K$ com orientação anti-horária.

Já $\pi _{\ast ,1}: H_1^{\Delta }(K)\rightarrow H_1^{\Delta }(K,L)$ é o homomorfismo trivial. Portanto, $\ker \partial _{\ast ,1} = 0$.

Os $0$-simplexos $v_0$ e $v_1$ formam uma base para $H_{0}^{\Delta }(L)$, e o $0$-simplexo $v_0$ é uma base para $H_{0}^{\Delta }(K)$. Veja que $i_{\ast ,1}$ mapea os dois geradores em $[v_0]$ e $[v_1]$ no gerador $[v_0]$. Assim, $\ker i_{\ast ,1} =\mathbb {Z}[v_1-v_0]$. Segue que $H_1^{\Delta }(K,L) \cong \mathbb {Z}$ e é gerador pelo $1$-ciclo relativo $e_0$.

9.3 Característica de Euler-Poincaré de um Complexo Simplicial

Um dos invariantes topológicos mais elegantes e simples associado a um espaço é a característica de Euler-Poincaré, que é considerada uma das primeiras manifestações dos conceitos da Topologia Algébrica na história da matemática.

A característica de Euler $\chi $ foi originalmente definida para poliedros segundo a fórmula

\[ \chi =V-E+F, \]

em que $V$, $E$ e $F$ são respectivamente os números de vértices, arestas e faces do poliedro dado.

Se o poliedro for convexo, ou de modo geral, uma triangulação qualquer de $ \mathbb {S}^2$, temos a relação clássica conhecida como fórmula de Euler:

\[ V-E+F=2. \]

Esta fórmula é o ingrediente chave para mostrar que os cinco sólidos platônicos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) são os únicos sólidos regulares em $\mathbb {R}^3$.

Um de seus primeiros enunciados apareceu em 1537 num trabalho de Francesco Maurolico. Em 1675, Descartes apresentou alguns resultados a partir dos quais se poderia obter a fórmula como consequência imediata. Mas Descartes não parece ter descoberto o fato. A relação reapareceu posteriormente, em 1758, nos trabalhos de Leonhard Euler, que deu nome ao conceito. As demonstrações fornecidas por Euler da relação $V - E + F = 2$ são consideradas incompletas. Os detalhes podem, no entanto, ser facilmente preenchidos de modo a produzir uma demonstração correta.

Em 1895, Henri Poincaré no trabalho seminal "Analysis Situs", que é considerado o trabalho inaugural da topologia algébrica, demonstrou uma relação entre a característica de Euler e os números de Betti de um espaço, generalizando a característica de Euler para variedades arbitrárias. Este trabalho traz como consequência que o número de Euler é um invariante topológico. É esse o resultado principal que provaremos nesta seção.

Não podemos deixar de destacar a importância do Analysis Situs e seus suplementos. Nestes trabalhos Poincaré introduziu os conceitos de grupo fundamental e homologia simplicial, forneceu uma formulação inicial do Teorema da Dualidade de Poincaré, introduziu, como já observamos, a característica de Euler-Poincaré para variedades e apresentou diversas conjecturas importantes, incluindo a célebre conjectura de Poincaré, provada em 2003. Também foi nesse artigo que foi cunhado o termo "homeomorfismo".

Vale também destacar que nos primórdios da topologia algébrica (entre o final da década de 1890 e o início da década de 1930), os grupos de homologia não haviam sido definidos e as pessoas trabalhavam com os números de Betti e coeficientes de torção. Emmy Noether desempenhou um papel crucial na introdução na linguagem de grupos na Álgebra Homológica e consequentemente na formulação do conceito grupos de homologia.

A seguir, vamos generalizar a fórmula de Euler para um complexo simplicial qualquer.

Dado um complexo simplicial finito $K$ de dimensão $m$, seja $c_p$ o número de $p$-simplexos em $K$. Definimos a característica de Euler-Poincaré $\chi (X)$ de $K$ como sendo

\[ \chi (K) \mathrel {\mathop:\! =}\sum _{i=0}^m (-1)^i c_i \ . \]

Para um complexo simplicial $K$ finito, definimos o $i$-ésimo número de Betti de $K$ por:

\[ \beta _{i}(K) \mathrel {\mathop:\! =}\mathrm{posto}\, (H_{i}^\Delta (K)), \]

i.e., o posto do $i$-ésimo grupo de homologia simplicial de $K$.

Claramente, se $H_{i}^\Delta (K)$ é trivial, então $\beta _i(K) =0 $. No entanto, $\beta _i(K) =0 $ não implica que $H_{i}^\Delta (K)$ é trivial, pois $H_{i}^\Delta (K)$ pode ser o produto de grupos cíclicos finitos.

O próximo resultado relaciona a característica de Euler-Poincaré de $K$ com os módulos de homologia simplicial de $K$, mais especificamente com os números de Betti.

Euler-Poincaré. Dado um complexo simplicial finito $K$ de dimensão $m$, temos que

\[ \chi (K) = \sum _{i=0}^m (-1)^i \beta _i(K). \]

Ou seja, a característica de Euler-Poincaré de um complexo simplicial $K$ é igual à soma alternada dos números de Betti de $K$.

O Teorema de Euler-Poincaré mostra que os grupos de homologia simplicial determinam a característica de Euler-Poincaré de um complexo simplicial.

Para provar esse resultado vamos precisar da seguinte proposição:

Dada uma sequência exata curta de grupos abelianos e homomorfismos

\[ 0 \longrightarrow E \longrightarrow F \longrightarrow G \longrightarrow 0 \ , \]

se $F$ tem posto finito, então

\[ \mathrm{posto}\, (F)=\mathrm{posto}\, (E)+\mathrm{posto}\, (G) . \]

Em particular, se $G$ é um grupo abeliano com posto finito, e se $H$ é um subgrupo de $G$, então

\[ \mathrm{posto}\, (G)=\mathrm{posto}\, (H)+\mathrm{posto}\, (G / H). \]

Demonstração do Teorema 9.3: Por definição, $C_i^\Delta (K)$ é um grupo abeliano livre gerado pelos $i$-simplexos, logo $C_i^\Delta (K)$ tem posto igual a $c_i$. Como $H_i^\Delta (K)=Z_i^\Delta (K) / B_p^\Delta (K)$, pela Proposição 9.3, temos que

\[ \mathrm{posto}\, \left(H_i^\Delta (K)\right)=\mathrm{posto}\, \left(Z_i^\Delta (K)\right)-\mathrm{posto}\, \left(B_i^\Delta (K)\right) . \]

Considere a sequência exata curta

\[ 0 \longrightarrow Z_i^\Delta (K) \longrightarrow C_i^\Delta (K) \stackrel{\partial _i}{\longrightarrow } B_{i-1}^\Delta (K) \longrightarrow 0, \]

aplicando novamente a Proposição 9.3, temos

\[ c_i = \mathrm{posto}\, \left(C_i^\Delta (K)\right)=\mathrm{posto}\, \left(Z_i^\Delta (K)\right)+\mathrm{posto}\, \left(B_{i-1}^\Delta (K)\right) . \]

Segue que

\[ \begin{aligned} \chi (K) & =\sum _{i=0}^m(-1)^i c_i \\ & =\sum _{i=0}^m(-1)^i\left(\mathrm{posto}\, \left(Z_i^\Delta (K)\right)+\mathrm{posto}\, \left(B_{i-1}^\Delta (K)\right)\right) \\ & =\sum _{i=0}^m(-1)^i \mathrm{posto}\, \left(Z_i^\Delta (K)\right)+\sum _{i=0}^m(-1)^i \mathrm{posto}\, \left(B_{i-1}^\Delta (K)\right) \end{aligned} \]

Agora, como não existem $(m+1)$-simplexos, $B_m^\Delta (K)=0$; e por definição $B_{-1}^\Delta (K)=0$. Portanto,

\[ \begin{aligned} \chi (K) & =\sum _{i=0}^m(-1)^i \mathrm{posto}\, \left(Z_i^\Delta (K)\right)+\sum _{i=0}^m(-1)^{i+1} \mathrm{posto}\, \left(B_i^\Delta (K)\right) \\ & =\sum _{i=0}^m(-1)^i\left(\mathrm{posto}\, \left(Z_i^\Delta (K)\right)-\mathrm{posto}\, \left(B_i^\Delta (K)\right)\right) \\ & =\sum _{i=0}^m(-1)^i \mathrm{posto}\, \left(H_i^\Delta (K)\right) \ = \ \sum _{i=0}^m(-1)^i \beta _i(K). \end{aligned} \]

$\square $

Provamos um resultado mais geral. Dado um complexo de cadeias limitado

\[ 0 \longrightarrow C_m \stackrel{\partial _m}\longrightarrow C_{m-1} {\longrightarrow } \cdots \longrightarrow C_1 \stackrel{\partial _0}\longrightarrow 0, \]

em que $C_i$ é um grupo abeliano finitamente gerado de posto $c_i$, então

\[ \sum _{i=0}^m (-1)^i c_i = \sum _{i=0}^m (-1)^i \mathrm{posto}\, (H_i(C_\ast )). \]

Um corolário importante a ser mencionado é que se $K$ e $K'$ são triangulações finitas de um mesmo espaço topológico $X$, então pela invariância topológica da homologia simplicial, $H_i^\Delta (K) \cong H_i^\Delta (K'),$ para todo $i\geq 0$, e a característica de Euler-Poincaré realmente depende apenas da topologia do espaço $X = |K|$, e não da triangulação $K$ de $X$. Em outras palavras, a característica de Euler-Poincaré de um espaço triangularizável (ou um poliedro compacto) é um invariante topológico.

Uma consequência da Observação 9.3 é que podemos facilmente generalizar o Teorema de Euler-Poincaré para outras teorias de homologia, e em particular, o resultado permanece válido se considerarmos que $X$ é espaço munido de uma estrutura de $\Delta $-complexo.

A característica de Euler-Poincaré é um dos principais ingredientes na classificação de superfícies compactas $S$. Nesse caso, $\chi (K) = c_0 - c_1 + c_2$, onde $c_0$ é o número de vértices, $c_1$ o número de arestas e $c_2$ o número de triângulos em uma triangularização $K$ da superfície $S$. Além disso, podemos mostrar que uma superfície triangulável $K$ é orientável se, e somente se, $H_2^\Delta (K) = \mathbb {Z}$; e $K$ é não orientável se, e somente se, $H_2^\Delta (K) = 0$. Assim, a noção de orientabilidade de uma superfície é também capturada pelos grupos de homologia simplicial.

Exemplo 9.6

Voltando às triangulações da esfera, do toro, do espaço projetivo e da garrafa de Klein, podemos calcular suas características de Euler-Poincaré, obtendo os valores na Tabela 9.1.

Superfície	$\chi(S)$
Esfera	$2$
Toro	$0$
Plano projetivo	$1$
Garrafa de Klein	$0$

Tabela 9.1 Característica de Euler-Poincaré.

Figura 9.9 Sólidos para os quais não é válido V-E+F=2. — Figura 9.9 Sólidos para os quais não é válido $V-E+F=2$.

A caraterística de Euler está relacionada com um outro invariante de superfícies fechadas $S$, o gênero da superfície. Relembre que se $S$ é uma superfície fechada orientável, então o gênero de $S$ é dado pelo número de toros na decomposição em somas conexas de $S$. Já no caso não orientável, o gênero é dado pelo número de planos projetivos na decomposição em somas conexas de $S$. A caraterística de Euler de uma superfície fechada $S$ pode ser calculada a partir do gênero da superfície, como estabelecido na proposição a seguir.

Seja $S$ uma superfície fechada. Então

\[ \chi (S) = \begin{cases} 2-2g\ , & \text{ se } S \text{ é orientável} \\ 2-g \ , & \text{ se } S \text{ não é orientável} \end{cases} \]

A demonstração desse resultado é deixada como exercício, veja Exercício 107.

9.4 Cohomologia Simplicial

Conforme vimos no Seção 7.9, podemos considerar o complexo de cocadeias simpliciais associado ao complexo de cadeias simpliciais $(C_{\ast }^{\Delta }(X), \partial _{\ast })$ de um $\Delta $-complexo $X$.

Seja $X$ um $\Delta $-complexo e $R$ um anel comutativo com unidade. Considere o complexo de cadeias simpliciais $(C_{\ast }^{\Delta }(X;R), \partial _{\ast })$ de $X$ com coeficientes em $R$

\[ \cdots \xrightarrow []{\partial _{n+2}} C_{n+1}^{\Delta }(X;R) \xrightarrow []{\partial _{n+1}} C_{n}^{\Delta }(X;R) \xrightarrow []{\partial _{n}} C_{n-1}^{\Delta }(X;R) \xrightarrow []{\partial _{n-1}} \cdots \ . \]

Dualizando esse complexo aplicando o funtor $\operatorname {Hom}_R(\bullet , R)$ e observando que os módulos em consideração são livres, obtemos o complexo de cocadeias simpliciais

\[ \cdots \xrightarrow []{\delta ^{n-2}} C^{n-1}_{\Delta }(X;R) \xrightarrow []{\delta ^{n-1}} C^{n}_{\Delta }(X;R) \xrightarrow []{\delta ^{n}} C^{n+1}_{\Delta }(X;R) \xrightarrow []{\delta ^{n+1}} \cdots , \]

em que $C^{n}_{\Delta }(X;R) = \operatorname {Hom}_R(C_{n}^{\Delta }(X;R), R)$ e $\delta ^n$ é o operador adjunto de $\partial _{n+1}$, i.e., $\delta ^n= \operatorname {Hom}_R(\partial _{n+1}, R)$, mais explicitamente

\[ \delta ^n (f) \mathrel {\mathop:\! =}f\circ \partial _{n+1} \]

para toda cocadeia $f \in C^{n}_{\Delta }(X;R)$.

Dado um $\Delta $-complexo $X$, o complexo de cocadeias $(C^{\ast }_{\Delta }(X;R), \delta ^{\ast })$ é chamado de complexo de codadeias simpliciais de $X$ com coeficientes em $R$. Seja $X$ um $\Delta $-complexo.

O kernel $Z^{n}_\Delta (X;R)$ do operador de cobordo $\delta ^n : C^{n}_{\Delta }(X;R) \to C^{n+1}_{\Delta }(X;R)$, é dito módulo dos $n$-cociclos simpliciais. . Um elemento de $Z^{n}_\Delta (X;R)$ é chamado de $n$-cociclo simplicial ou cociclo simplicial $n$-dimensional.
A imagem $B^{n}_\Delta (X;R)$ do operador de cobordo $\delta ^{n-1} : C^{n-1}_{\Delta }(X;R) \to C^{n}_{\Delta }(X;R)$ é dito módulo dos $n$-cobordos simpliciais. Um elemento de $B^{n}(X;R)$ é chamado de $n$-cobordo simplicial ou cobordo simplicial $n$-dimensional.

Claramente,

\[ 0\subseteq B^{n}_\Delta (X;R)\subseteq Z^n_\Delta (X;R) \subseteq C^{n}_{\Delta }(X;R), \]

para todo $n\in \mathbb {Z}$. Logo, o módulo quociente $Z^n_\Delta (X;R)/B^n_\Delta (X;R)$ está bem definido.

Seja $X$ um $\Delta $-complexo e $R$ um anel comutativo com unidade. O $n$-ésimo módulo de cohomologia simplicial $H_\Delta ^n(X;R) $ com coeficientes em $R$ de $X$ é definido por

\[ H_\Delta ^n(X;R) \mathrel {\mathop:\! =}\dfrac {Z^n_\Delta (X;R)}{B^n_\Delta (X;R) }= \dfrac {\ker {\delta }^n }{\mathrm{im}\, {\delta }^{n-1}}, \]

para todo $n\in \mathbb {Z}$. A soma direta

\[ H^\ast _{\Delta }(X;R) = \bigoplus _{n\in \mathbb {Z}} H^n_{\Delta }(X;R) \]

é chamada de cohomologia simplicial com coeficientes em $R$ do $\Delta $-complexo $X$. A definição de cohomologia simplicial é totalmente algébrica por natureza. No entanto, é possível estabelecer uma relação geométrica para os módulos de cocadeias e de cohomologia. Na Seção 9.6, abordamos de forma mais profunda a intuição geométrica sobre cohomologia simplicial. Por hora, vejamos o seguinte.

Dado um $\Delta $-complexo $X$ com complexo de cadeias simpliciais $(C_{\ast }^{\Delta }(X;R), \partial ^{\ast })$, relembre que o módulo dos $n$-simplexos simpliciais é o módulo livre com base $\{ \sigma _\alpha :\Delta ^n \rightarrow X \} _{\alpha \in \Lambda }$, que consiste de todos os $n$-simplexos simpliciais em $X$. Assim, um elemento $c\in C_{n}^{\Delta }(X;R)$ é representado como combinação linear da base, i.e. $c=\sum _{\alpha \in \Lambda }r_\alpha \sigma _\alpha $, com $r_\alpha \in R$.

Denote por $\sigma _\alpha ^*$ a cocadeia elementar em $C^{n}_{\Delta }(X;R)$ cujos valores nos elementos da base são dados por

\[ \sigma _\alpha ^*(\sigma _\beta ) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 , & \text{se}\ \ \alpha =\beta \\ 0 , & c.c. \end{array} \right. \]

Assim, dado $r\in R$, $r \sigma _\alpha ^* $ denota a cocadeia dada por

\[ r\sigma _\alpha ^*(\sigma _\beta ) = \left\{ \begin{array}{ll} r , & \text{se}\ \ \alpha =\beta \\ 0 , & c.c. \end{array} \right. \]

Usando essa notação, podemos representar uma $n$-cocadeia simplicial $\varphi \in C^{n}_{\Delta }(X;R)$ por uma soma formal

\begin{align} \varphi = \sum _{\alpha \in \Lambda } r_\alpha \sigma ^*_\alpha . \label{eq:CHSMPinterpr} \tag{9.1} \end{align}

Note que não há exigência de que tal soma seja finita. De fato, um elemento $\varphi \in C^{n}_{\Delta }(X;R)$ é determinado pelo valor $r_\alpha $ que assume em cada elemento da base $\{ \sigma _\alpha :\Delta ^n \rightarrow X \} _{\alpha \in \Lambda }$, e não há nenhuma exigência de que $\varphi $ não se anule apenas em uma quantidade finita de elementos da base.

A representação em (9.1) é justificada pelo seguinte homomorfismo de $R$-módulos:

\[ C^{n}_{\Delta }(X;R) = \operatorname {Hom}_R(C_{n}^{\Delta }(X;R), R) = \operatorname {Hom}_R\left(\bigoplus _\alpha R[\sigma _{\alpha }] , R\right) \cong \prod _\alpha \operatorname {Hom}_R(R[\sigma _{\alpha }] , R) \]

em que usamos o fato de que $\displaystyle C_{n}^{\Delta }(X;R) = \bigoplus _{\alpha \in \Lambda } R[\sigma _{\alpha }]$. Por meio desse isomorfismo, uma cocadeia $\varphi \in C^{n}_{\Delta }(X;R)$ corresponde ao elemento $(r_\alpha \sigma ^*_\alpha )_{\alpha \in \Lambda }$ do produto direto, que pode ser representando pela notação de soma formal como $\displaystyle \sum _{\alpha \in \Lambda } r_\alpha \sigma ^*_\alpha $.

Essa notação é conveniente especialmente quando vamos calcular o operador de cobordo, pois como o leitor pode verificar, temos que

\[ \delta ^n(\varphi ) = \sum _{\alpha } r_\alpha \delta ^n ( \sigma ^*_\alpha ). \]

Logo, para calcular $\delta ^n(\varphi )$ é suficiente calcular $\delta ^n ( \sigma ^*_\alpha )$ para cada $n$-simplexo simplicial em $X$. Mas, veja que

\begin{align} \delta ^n ( \sigma ^*_\alpha ) = \sum _{\tau _j} \varepsilon _j \tau ^*_j , \tag{9.2} \end{align}

em que a soma percorre todos os $(n+1)$-simplexos simpliciais que possuem $\sigma _\alpha $ como face de bordo e $\varepsilon _j$ é igual a $ \pm 1$ de acordo com o sinal que aparece em $\sigma _\alpha $ na expressão $\partial _{n+1}(\tau _j)$, em outras palavras $\varepsilon _j$ é igual a $1$ se a orientação induzida por $\tau _j$ na face $\sigma _\alpha $ coincide com a orientação fixada nesse simplexo, caso contrário, $\varepsilon _j$ é igual a $-1$.

Nos próximos exemplos, vamos usar essa notação para descrever os módulos de cocadeias de um complexo simplicial.

Exemplo 9.7

Nesse exemplo, iremos calcular os grupos de cohomologia para o $\Delta $-complexo $X$ apresentado na Figura 9.10.

Figura 9.10 Δ -complexo X. — Figura 9.10 $\Delta $-complexo $X$.

Nesse caso, temos que $C_{0}^{\Delta }(X)=R[x,y]$ e $C_{1}^{\Delta }(X)=R[v_1,v_2,v_3]$. Logo, $C^{0}_{\Delta }(X)=R[x^*,y^*]$ e $C^{1}_{\Delta }(X)=R[v^*_1,v^*_2,v^*_3]$. Agora, vamos calcular o operador de cobordo:

\begin{align*} (\delta ^0x^*)(v_1) & =x^*(\delta _1 v_1)=x^*(y-x)=-1 & \quad & (\delta ^0y^*)(v_1) =y^*(\delta _1 v_1)=y^*(y-x)=1 \\ (\delta ^0x^*)(v_2) & =y^*(\delta _1 v_2)=x^*(y-x)=-1 & \quad & (\delta ^0y^*)(v_2) =y^*(\delta _1 v_2)=y^*(y-x)=1 \\ (\delta ^0x^*)(v_3) & =y^*(\delta _1 v_3)=x^*(y-x)=-1& \quad & (\delta ^0y^*)(v_3) =y^*(\delta _1 v_3)=y^*(y-x)=1\\ \text{ e logo } \quad & \delta ^0x^*=-(v_1^*+v_2^*+v_3^*)& \quad \quad & \text{ e }\delta ^0y^*=v_1^*+v_2^*+v_3^* \end{align*}

Assim, temos que $\mathrm{im}\, {\delta }^{0}=R[v_1^*+v_2^*+v_3^*]$ e $\ker {\delta }^{0}=R[y^*+x^*]$. Observando que $R[v^*_1,v^*_2,v^*_3]=R[v_1^*,v_2^**,v_1^*+v_2^*+v_3^*] $ e que $R[x^*,y^*]=R[x^*,x^*+y^*]$, temos

\[ H_\Delta ^1(X;R) =\dfrac {\ker {\delta }^1 }{\mathrm{im}\, {\delta }^{0}}\cong R\times R \]

\[ H_\Delta ^0(X;R) =\dfrac {\ker {\delta }^0 }{\mathrm{im}\, {\delta }^{-1}}\cong R . \]

Exemplo 9.8

Considere o complexo simplicial $K$ dado na Figura 9.11 que é composto por quatro vértices $\{ v_i\} _{i=0}^3$, cinco $1$-simplexos $\{ e_i\} _{i=1}^5$ e dois $2$-simplexos $\sigma _1$, $\sigma _2$, orientados como mostrado na Figura.

Utilizando a expressão em (??), podemos calcular o operador de cobordo nas cocadeias que formam as bases do módulos $C^*_{\Delta }(K;R)$:

\[ \delta ^1(e^*_5) = \sigma _1^* - \sigma _2^* \ , \qquad \delta ^1(e^*_1) = -\sigma _1^* = \delta ^1(e^*_4) \ , \qquad \delta ^1(e^*_3) = -\sigma _2^* = \delta ^1(e^*_2) \]

\[ \delta ^0(v^*_0) = e_4^* - e_1^* \ , \quad \delta ^0(v^*_1) = e_1^* + e_5^* - e_2^* \ ,\quad \delta ^0(v^*_2) = e_2^* - e_3^* \ ,\quad \delta ^0(v^*_3) = e_3^* - e_4^* - e_5^* \ , \]

Como não exitem $3$-simplexos em $K$, segue que $ \sigma _1^*$ e $ \sigma _2^*$ são $2$-cociclos. Daí, $Z^2_{\Delta }(K;R)$ é gerado por $ \sigma _1^*$ e $ \sigma _2^*$. Além disso, pelas contas acima, $ \sigma _1^*$ e $ \sigma _2^*$ são $2$-cobordos. Logo, o módulo de cohomologia de dimensão $2$ é trivial, i.e.

\[ H^2_{\Delta }(K;R) = 0. \]

Uma $0$-cocadeia $\varphi = \sum _{i=0}^3 r_iv_i^*$ é um cociclo se $\delta ^0(\varphi ) = 0$. Temos que

\begin{align*} \delta ^0(\varphi ) \ = \ & r_0(e_4^* - e_1^*) + r_1(e_1^* + e_5^* - e_2^*) + r_2( e_2^* - e_3^* ) + r_3 (e_3^* - e_4^* - e_5^*)\\ = & \ (r_1-r_0)e_1^*+ (r_2-r_1)e_2^* + (r_3-r_2)e_3^*+ (r_0-r_3)e_4^* + (r_1-r_3)e_5^* . \end{align*}

Logo, uma $0$-cocadeia $\varphi = \sum _{i=0}^3 r_iv_i^*$ é um $0$-cociclo se, e somente se, $r_0=r_1=r_2=r_3$. Segue que $e_1^*+e_2^*+ e_3^*+e_4^*+e_5^*$ é um gerador para $Z^0_{\Delta }(K;R)$. Além disso, $e_1^*+e_2^*+ e_3^*+e_4^*+e_5^*$ não é um cobordo, pois não há cocadeias de dimensão $-1$. Assim,

\[ H^0_{\Delta }(K;R) \cong R. \]

Dada uma $1$-cocadeia $\varphi = \sum _{i=1}^5 r_ie_i^*$, temos que

\begin{align*} \delta ^1(\varphi ) \ = \ & (r_5-r_1-r_4)\sigma ^*_1 + (-r_2-r_3-r_5)\sigma ^*_2 . \end{align*}

Assim, $\varphi $ é um $1$-cociclo quando $\delta ^0(\varphi ) = 0$, o que ocorre se, e somente se, $r_5=r_1+r_4$ e $r_5=-r_2 - r_3$. Por outro lado, todo $1$-cociclo é um cobordo, já que $r_4v^*_0 + r_5v^*_1 - r_3 v^*_2$ tem $\varphi $ como cobordo. Assim,

\[ H^1_{\Delta }(K;R) =0. \]

9.5 Cohomologia Simplicial Relativa

Assim como a homologia simplicial, também existe uma versão de homologia simplicial relativa para complexos de cocadeias.

Sejam $X$ um $\Delta $-complexo, $L$ um subcomplexo de $X$ e $R$ um anel comutativo com unidade. Considere o complexo de cadeias simpliciais relativas $(C_{\ast }^{\Delta }(X,L;R), \partial _{\ast })$ com coeficientes em $R$

\[ \cdots \xrightarrow []{\partial _{n+2}} C_{n+1}^{\Delta }(X,L;R) \xrightarrow []{\partial _{n+1}} C_{n}^{\Delta }(X,L;R) \xrightarrow []{\partial _{n}} C_{n-1}^{\Delta }(X,L;R) \xrightarrow []{\partial _{n-1}} \cdots \ , \]

em que $C_{n}^{\Delta }(X,L;R) = C_{n}^{\Delta }(X;R)/ C_{n}^{\Delta }(L;R)$. Dualizamos esse complexo aplicando o funtor $\operatorname {Hom}_R(\bullet , R)$, obtendo assim o complexo de cocadeias simpliciais relativas

\[ \cdots \xrightarrow []{\delta ^{n-2}} C^{n-1}_{\Delta }(X,L;R) \xrightarrow []{\delta ^{n-1}} C^{n}_{\Delta }(X,L;R) \xrightarrow []{\delta ^{n}} C^{n+1}_{\Delta }(X,L;R) \xrightarrow []{\delta ^{n+1}} \cdots , \]

em que $C^{n}_{\Delta }(X,L;R) = \operatorname {Hom}_R(C_{n}^{\Delta }(X,L;R), R)$ e $\delta ^n$ é o operador adjunto de $\partial _{n+1}$, i.e., $\delta ^n= \operatorname {Hom}_R(\partial _{n+1}, R)$, mais explicitamente

\[ \delta ^n (f) = f\circ \partial _{n+1}, \]

para toda cocadeia $f \in C^{n}_{\Delta }(X,L;R)$.

O $n$-ésimo módulo de cohomologia do complexo $(C^{\ast }_{\Delta }(X,L;R), \delta ^{\ast })$ é chamado de $n$-ésimo módulo de cohomologia simplicial relativa do par $(X,L)$.

Agora, para obtermos uma versão do Teorema 7.9, i.e., uma sequência exata longa em cohomologia, podemos dualizar a sequência exata curta de complexos de cadeias:

\[ 0 \rightarrow C_{\ast }^{\Delta }(L;R) \xrightarrow []{i} C_{\ast }^{\Delta }(X;R) \xrightarrow []{j} C_{n}^{\Delta }(X,L;R) \rightarrow 0 \]

aplicando o funtor contravariante $\operatorname {Hom}_R(\bullet ,R)$, obtemos a sequência de complexos de cocadeias simpliciais

\[ 0 \rightarrow C^{\ast }_{\Delta }(X,L;R) \xrightarrow []{j^T} C_{\ast }^{\Delta }(X;R) \xrightarrow []{i^T} C_{n}^{\Delta }(L;R) \rightarrow 0 \ , \]

em que $i^T$ e $j^T$ denotam os morfismos duais, i.e., $i^T = \operatorname {Hom}_R(i,R)$ e $j^T=\operatorname {Hom}_R(j,R)$. Como $C_{n}^{\Delta }(X,L;R)$ é um módulo livre para todo $n\in \mathbb {Z}$, essa sequência é exata. Pelo Teorema 7.9, existe uma sequência exata longa em cohomologia Ilustração: Cohomologia Simplicial Relativa

Exemplo 9.9

Seja $M$ a faixa de Möbius e $\partial M$ sua fronteira. Podemos considere uma estrutura de $\Delta $-complexo em $M$ como ilustrados na Figura 9.12. Nesse exemplo, vamos calcular os grupos de cohomologia do $\Delta $-par $(M,\partial M)$ e de $M$ com coeficientes em $\mathbb {Z}$.

Figura 9.12 Faixa de Möbius e uma estrutura de Δ -complexo — Figura 9.12 Faixa de Möbius e uma estrutura de $\Delta $-complexo

Usaremos a notação estabelecida em (9.1).

Primeiramente, veja que as $2$-cocadeias $\sigma _1^*$ e $\sigma _2^*$ são trivialmente $2$-cociclos, pois não há $3$-simplexos em $M$. Logo, $\sigma _1^*$ e $\sigma _2^*$ formam uma base para $Z^2_\Delta (M,\partial M)$, o grupos dos $2$-cociclos relativos. Já as $1$-cocadeias $b^*$ e $d^*$ formam uma base para $C^1_\Delta (M,\partial M)$, o grupo das $1$-cocadeias relativas, pois os outros $1$-simplexos fazem parte do bordo de $M$. Aplicando o operador de cobordo nos gerados de $C^1_\Delta (M,\partial M)$, temos

\[ \delta ^1(b) = \sigma _1^* + \sigma _2^* \qquad \text{e} \qquad \delta ^1(d) = \sigma _2^* - \sigma _2^* . \]

Assim,

\[ H^2_\Delta (M,\partial M) = \dfrac {Z^2_\Delta (M,\partial M)}{B^2_\Delta (M,\partial M)} = \dfrac {\mathbb {Z}[\sigma _1^* , \sigma _2^*]}{\mathbb {Z}[\sigma _1^* + \sigma _2^* , \sigma _2^* - \sigma _2^*]} = \dfrac {\mathbb {Z}[\sigma _2^* , \sigma _2^*- \sigma _1^*]}{\mathbb {Z}[2 \sigma _2^* , \sigma _2^* - \sigma _2^*]} \cong \mathbb {Z}_2. \]

Além disso, segue que não existem $1$-cociclos relativos e $Z^1_\Delta (M,\partial M) = 0$. Logo,

\[ H^1_\Delta (M,\partial M) = 0. \]

O grupo das $0$-cocadeias é gerado por $v$ e $w$. Aplicando o operador de cobordo em tais geradores, temos

\[ \delta ^0(v^*) = -2b^* - a^* + c^* \qquad \text{e} \qquad \delta ^0(w^*) = 2b^* + a^* - c^* . \]

Assim, $Z^0_\Delta (M,\partial M)$ é gerado por $v^*-w^*$, logo

\[ H^0_\Delta (M,\partial M) \cong \mathbb {Z}. \]

Agora, para calcular os grupos de cohomologia da faixa de Möbius $M$, vamos analisar a sequência longa exata do par $(M,\partial M)$:

\[ H^1_{\Delta }(M,\partial M) \xrightarrow []{} H^1_{\Delta }(M) \xrightarrow []{} H^1_{\Delta }(\partial M) \xrightarrow []{\delta ^{\ast ,1}} H^2_{\Delta }(M,\partial M) \xrightarrow []{} H^2_{\Delta }(M) \xrightarrow []{} H^2_{\Delta }(\partial M) . \]

Como $\partial M$ é um círculo, é fácil ver que

\[ H^n_\Delta (\partial M) = \left\{ \begin{array}{ll} \mathbb {Z}, & n = 1,0 \\ 0, & c.c. \end{array} \right. \]

Por essa observação e pelos cálculos anteriores, a sequência longa exata do par $(M,\partial M)$ é dada por

\[ 0 \xrightarrow []{} H^1_{\Delta }(M) \xrightarrow []{} \mathbb {Z}\xrightarrow []{\delta ^{\ast ,1}} \mathbb {Z}_2 \xrightarrow []{} H^2_{\Delta }(M) \xrightarrow []{} 0 . \]

Um gerador para $H^1_\Delta (\partial M) $ é $a^*$. Como $\delta ^{ 1}(a^*) =- \sigma _2^*$, segue que $\delta ^{*,1}$ é sobrejetor. Portanto, $H^2_\Delta ( M) = 0 $ e $H^1_\Delta ( M) \cong \mathbb {Z}$.

9.6 Intuições sobre Cohomologia Simplicial

Seja $X$ um $\Delta $-complexo e $R$ um anel comutativo com unidade. O grupo $C_{p}(X;R)$ de $p$-cadeias é um módulo abeliano livre com um conjunto de geradores obtido orientando os $p$-simplexos de $X$ arbitrariamente e usando as cadeias elementares correspondentes como base.

Seja $\left\{ \sigma _{\alpha }\right\} _{\alpha \in J}$ esta coleção de simplexos orientados. Os elementos de $C_{p}(X;R)$ são representados como combinações lineares finitas $\sum r_{\alpha } \sigma _{\alpha }$ das cadeias elementares $\sigma _{\alpha }$.

Um elemento $\varphi ^p$ de $C^p(X;R)=\operatorname {Hom}\left(C_{p}(X;R), R\right)$ é determinado por seu valor $g_{\alpha }$ em cada simplexo básico $ \sigma _{\alpha }$, e esses valores podem ser atribuídos arbitrariamente. Não há, no entanto, nenhuma exigência de que $\varphi ^p$ se anulem em todos, exceto um número finito, de $\sigma _{\alpha }$’s.

Suponha que $\sigma _{\alpha }^{*}$ represente a cocadeia elementar, com coeficientes em $R$, cujo valor é $1$ no elemento $\sigma _{\alpha }$ e $0$ em todos os outros elementos base. Dado $g_{\alpha } \in R$, denotamos por $g_{\alpha } \sigma _{\alpha }^{*}$ a cocadeia cujo valor é $g_{\alpha }$ em $\sigma _{\alpha }$ e é $0$ em todos os outros elementos de base. Usando esta notação, frequentemente representamos $\varphi ^p$ pela soma formal (possivelmente infinita)

\[ \varphi ^p=\sum g_{a} \sigma _{\alpha }^{*} . \]

Nessa base, o operador de cobordo $\delta $ pode ser escrito como

\[ \delta \varphi ^p=\sum g_{\alpha }\left(\delta \sigma _{\alpha }^{*}\right). \]

O conjunto dos simplexos $\sigma $ para os quais $\varphi ^p(\sigma ) \neq 0$ é dito suporte da cocadeia. Como já observamos esse suporte não precisa ser finito, portanto, não precisa ser compacto, mas para desenvolvermos a intuição geométrica, trabalharemos nos casos em que isso ocorre. No caso em que o suporte de $\varphi ^p$ é compacto o mesmo ocorre com $\delta \varphi ^p$.

Caso unidimensional:

Começaremos interpretando primeiramente o caso mais simples no qual $X$ é um $\Delta $-complexo unidimensional, ou seja, um grafo orientado.

Para um anel $R$, o $R$-módulo das $0$-cocadeias simplicias $C^0(X ; R)$ é exatamente o conjunto de todas as funções dos vértices de $X$ a $R$. Da mesma forma, o $R$-módulo das $1$-cocadeias simplicias $C^1(X ; R)$ é o conjunto de todas as funções atribuindo um elemento de $R$ a cada aresta de $X$.

O homomorfismo de cobordo $\delta : C^0(X ; R) \rightarrow C^1(X ; R)$ envia $\varphi \in C^0(X ; R)$ para a função $\delta \varphi \in C^1(X ; R)$ cujo valor em um $1$-simplexo orientado $\left[v_i, v_j\right]$ é a diferença $\varphi \left(v_j\right)-\varphi \left(v_i \right)$.

Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial

Figura 9.14 Grafo orientado $X$ destacando $\varphi \in C^0(X;R)$.

Podemos pensar na função $\varphi $ como a “altura” dos vértices e, nesse caso, $\delta \varphi $ mede a mudança de altura entre o ponto inicial e o ponto final de uma aresta.

Para o caso unidimensional, o complexo de cocadeias simpliciais é da forma Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial e os grupos de homologia são dados por

\[ H^0(X ; R)=\ker \delta \subseteq C^0(X ; R) \quad \text{ e } \quad H^1(X ; R)=C^1(X ; R) / \mathrm{im}\, \delta . \]

Podemos descrever o grupo $H^0(X ; R)$ da seguinte forma. Uma função $\varphi \in C^0(X ; R)$ satisfaz $\delta \varphi =0$ se, e somente se, $\varphi $ assume o mesmo valor em ambas as extremidades de cada aresta de $X$. Isso equivale a dizer que $\varphi $ é constante em cada componente conexa por caminho de $X$. Então $H^0(X ; R)$ é o grupo de todas as funções do conjunto de componentes de $X$ a $R$. Ou seja, é um produto direto de cópias de $R$, uma para cada componente de $X$.

O grupo de cohomologia $H^1(X ; R)=C^1(X ; R) / \mathrm{im}\, \delta $ será trivial se a equação $\delta \varphi = \psi $ possuir uma solução $\varphi \in C^0 (X; R)$ para cada $\psi \in C^1 (X; R)$. Resolver esta equação significa decidir se dada uma especificação de variação de altura $\psi $ em cada aresta de $X$ determina uma função (altura) $\varphi \in C^0 (X; R)$. Esse problema é análogo ao problema de encontrar uma função com uma derivada especificada, com o operador de diferença $\delta $ desempenhando o papel de diferenciação. Como no cálculo, se existe uma solução de $\delta \varphi = \psi $, ela será única a menos da soma um elemento do kernel de $\delta $, ou seja, uma função que é constante em cada componente de $X$.

Figura 9.15 Não existe uma função altura $\varphi $ compatível com as variações de altura $\psi $ dadas no grafo. Assim, $\psi $ não é cobordo.

Caso bidimensional:

Seja $X$ um $\Delta $-complexo bidimensional. Como no caso anterior, os módulos de cocadeias simpliciais $C^{0}(X ; R)$ e $C^{1}(X ; R)$ são dados, respectivamente, pelos conjuntos de funções dos vértices e das arestas de $X$ para o anel $R$. Já o módulo das $2$-cocadeias simpliciais $C^{2}(X ; R)$ é o conjunto das funções dos $2$-simplexos de $X$ a $R$. O homomorfismo de cobordo $\delta : C^{1}(X ; R) \rightarrow C^{2}(X ; R)$ é definido por $\delta \psi \left(\left[v_{0}, v_{1}, v_{2}\right]\right)=$ $\psi \left(\left[v_{0}, v_{1}\right]\right)-\psi \left(\left[v_{0}, v_{2}\right]\right)+\psi \left(\left[ v_{1}, v_{2}\right]\right)$, uma soma com sinal dos valores de $\psi $ nas três arestas no bordo de $\left[v_{0}, v_{1}, v_{2}\right]$, (assim como $\delta \varphi \left(\left[v_{0} , v_{1}\right]\right)$ para $\varphi \in C^{0}(X ; R)$ é uma soma com sinal dos valores de $\varphi $ no bordo de $\left[ v_{0}, v_{1}\right]$).

Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial

O morfismo de cobordo $\delta : C^{1}(X ; R) \rightarrow C^{2}(X ; R)$ pode ser visto de vários pontos de vista diferentes. Talvez o mais simples seja a observação de que $\delta \psi =0$ se, e somente se, $\psi $ satisfaz a propriedade de aditividade

\[ \psi \left(\left[v_{0}, v_{2}\right]\right)=\psi \left(\left[v_{0}, v_{1}\right]\right)+\psi \left(\left[v_{1}, v_{2}\right]\right) , \]

na qual a aresta $\left[v_{0}, v_{2}\right]$ pode ser vista como a soma das arestas $\left[v_{0}, v_{1}\right]$ e $\left[v_{1}, v_{2}\right]$. Assim, $\delta \psi $ mede o desvio de $\psi $ de ser uma função aditiva.

Podemos fornecer uma interpretação geométrica da condição $\delta \psi =0$ quando $X$ é uma superfície e o anel $R$ é $\mathbb {Z}_{2} $. Nesse caso, a condição $\delta \psi =0$ significa que o número de vezes que $\psi $ assume o valor 1 nas bordas de cada 2-simplexo é par, logo é $0$ ou $2$. Um $1$-cociclo, portanto, se parece com uma cerca de estacas e podemos desenhar curvas fechadas de modo que a cada aresta seja atribuído o valor $1$ se ela cruzar a curva. Vale ressaltar que como $\psi $ assume o valor 1 em duas arestas estas cercas se estendem até se fecharem ou encontrarem uma borda. Uma $1$-cadeia é, portanto, levada para a paridade do número de vezes que cruza essa curva. Resumindo, isso significa que podemos associar a cada $\psi $ uma coleção $C_{\psi }$ de curvas disjuntas em $X$ cruzando as arestas transversalmente, tal que o número de interseções de $C_{\psi }$ com cada aresta é igual ao valor de $\psi $ nessa aresta. Se $\psi =\delta \varphi $ para algum $\varphi $, então as curvas de $C_{\psi }$ dividem $X$ em duas regiões $X_{0}$ e $X_{1}$ onde o subscrito indica o valor de $\varphi $ em todos os vértices da região. Veja a Figura 9.16.

Figura 9.16 Um 1-cociclo com as curvas C_(psi ). Em vermelho a região X_(1) — Figura 9.16 Um $1$-cociclo com as curvas $C_{\psi }$. Em vermelho a região $X_{1}$

Cohomologia do Anel Circular.

Para ter uma ideia melhor da cohomologia, vamos considerar a triangulação do anel circular $A$ apresentado na Figura 9.17 e calcular os grupos de cohomologia desse espaço. A $0$-cocadeia que leva cada vértice para $1$ é um $0$-cociclo porque cada aresta tem exatamente dois vértices, o que implica que o cobordo dessa $0$-cocadeia é o homomorfismo zero. Este é o único $0$-cociclo não trivial e, como por razões dimensionais não existem $0$-cobordos não triviais, isso implica que $H_0(A;\mathbb {Z}_2)=\mathbb {Z}_2$.

Figura 9.17 Anel circular. O 1-cociclo é desenhado destacando as arestas nas quais vale 1 (em projetado). Todos eles cruzam a curva fechada “dual” em azul. — Figura 9.17 Anel circular. O $1$-cociclo é desenhado destacando as arestas nas quais vale 1 (em projetado). Todos eles cruzam a curva fechada “dual” em azul. O $1$-cociclo é um $1$-cobordo porque é o cobordo da $0$-cocadeia que vale $1$ para os vértice que estão dentro da curva fechada e 0 caso contrário.

Por outro lado, ao consideramos uma $1$-cocadeia $\psi : C_1(A;\mathbb {Z}_2) \to \mathbb {Z}_2$, seu cobordo é a $2$-cadeia $\delta \psi : C_2(A;\mathbb {Z}_2) \to \mathbb {Z}_2$ que atribui a cada triângulo o valor $1$ se for a coface de um número ímpar de arestas que são levadas a 1 por $\psi $. Portanto, $\psi $ é um $1$-cociclo se todo triângulo é incidente a um número par de arestas que é levado no 1. Observamos novamente que um $1$-cociclo, portanto, se parece com uma cerca de estacas, como apresentado na Figura 9.17.

Podemos desenhar uma curva fechada de modo que a cada aresta seja atribuído o valor 1 se ela cruzar a curva. Uma $1$-cadeia é, portanto, levada para a paridade do número de vezes que cruza essa curva. Se a 1-cadeia é um 1-ciclo, esse número é necessariamente par. O $1$-cociclo na Figura 9.17 também é um $1$-cobordo porque é o cobordo da $0$-cocadeia que é a função que vale 1 nos vértices em uma das componentes delimitada pela curva fechada e 0 na outra componente.

Um $1$-cociclo que não é a imagem de um $0$-cocadeia é uma cerca que começa com uma borda externa e termina com uma borda interna como na Figura 9.18.

Figura 9.18 Anel circular. O 1-cociclo é desenhado destacando as arestas nas quais vale 1 (em preto). Todos eles cruzam a curva fechada “dual” em azul. — Figura 9.18 Anel circular. O $1$-cociclo é desenhado destacando as arestas nas quais vale 1 (em preto). Todos eles cruzam a curva fechada “dual” em azul. O $1$-cociclo não é um $1$-cobordo porque como em cada aresta o valor é 1 os respectivos vértices devem ser 0 e 1 e logo deveríamos ter uma função que vale 0 ou 1 em cada lado da curva em azul mas essa curva não divide o anel circular em duas componentes.

Neste caso, a equação $\psi =\delta \varphi $ obviamente não tem solução, embora $\delta \psi =0$ pois o $1$-cociclo não é um $1$-cobordo porque como em cada aresta do cociclo o valor é 1 e logo o valor nos respectivos vértices devem ser 0 e 1. Logo deveríamos ter uma função que vale 0 ou 1 em cada lado da curva em azul mas essa curva não divide o anel circular em duas componentes $X_{0}$ e $X_{1}$.

Observamos que duas dessas curvas separam o anel circular em duas componentes e assim são cohomólogas pois são cobordos da função que atribui $1$ a uma dessas componentes e $0$ a outra. Como este é o único tipo de curva que não é cobordo, o primeiro grupo de cohomologia, $H_1(A;\mathbb {Z}_2)$, é $\mathbb {Z}_2$. Por razões dimensionais, cada $2$-cocadeias do anel também é um $2$-cociclo. Por outro lado, toda coleção de triângulos é limitada por uma coleção de curvas fechadas, então podemos construir uma cerca dupla, uma $1$-cocadeia que também é um $1$-cobordo. Consequentemente temos que o segundo grupo de cohomologia, $H_2(A;\mathbb {Z}_2)$ é $0$. Observe que esses grupos são os mesmos que os grupos de homologia correspondentes. Isto não é uma coincidência.

Quando $R=\mathbb {Z}$ temos uma descrição geométrica similar.

Seja $\psi : C_1(X;\mathbb {Z}) \to \mathbb {Z}$ uma $1$-cocadeia. Seu cobordo é a 2-cadeia $\delta \psi : C_2(X;\mathbb {Z}) \to \mathbb {Z}$ que atribui a cada triângulo o valor inteiro

\[ \delta \psi \left(\left[v_{0}, v_{1}, v_{2}\right]\right)=\psi \left(\left[v_{0}, v_{1}\right]\right)-\psi \left(\left[v_{0}, v_{2}\right]\right)+\psi \left(\left[ v_{1}, v_{2}\right]\right). \]

Nesse caso, a condição $\delta \psi =0$ significa que a soma dos valores que $\psi $ assume nos bordos é 0, considerando a orientação. Podemos desenhar curvas fechadas $C_{\psi }$ orientadas de modo que a cada aresta seja atribuída a soma orientada dos valores das curvas que intersectam a aresta de acordo com o sinal do valor de $\psi $ na aresta.

As curvas podem ser orientadas em sentido horário e anti-horário. Dizemos que a orientação da curva concorda com a de uma aresta se a aresta atravessa a curvas da esquerda para a direita.

A coleção resultante $C_{\psi }$ de curvas disjuntas em $X$ pode ser considerada como “curvas de nível” para uma função $\varphi $ com $\delta \varphi =\psi $, se tal função existir. O valor de $\varphi $ muda em 1 ou -1 cada vez que uma curva de $C_{\psi }$ é cruzada.

Figura 9.19 Curvas C_(psi ) representando um 1-cociclo. — Figura 9.19 Curvas $C_{\psi }$ representando um $1$-cociclo.

Exercício 9.1

Construa uma estrutura de $\Delta $-complexo na garrafa de Klein $\mathbb {K}$ e use-a para calcular os grupos de homologia simpliciais de $\mathbb {K}$.

Exercício 9.2

O diagrama abaixo mostra um octaedro $X$ homeomorfo à esfera bidimensional $\mathbb {S}^2$.

Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial

Construa uma estrutura de $\Delta $-complexo em $\mathbb {S}^2$ usando oito 2-simplexos como mostrado, e calcule $H^{\Delta }_1\left(\mathbb {S}^2\right)$ usando essa estrutura simplicial.
Defina uma relação de equivalência $\sim $ em $X$ que corresponda à identificação antipodal em $\mathbb {S}^2$.
Mostre que a estrutura de $\Delta $-complexo definida no item a), com a escolha correta de orientação, define uma estrutura de $\Delta $-complexo no quociente por $\sim $ em $\mathbb {RP}^2$.
Calcule $H^{\Delta }_1\left(\mathbb {RP}^2\right)$ usando o complexo de cadeias obtida no item 3.

Exercício 9.3

Calcule os grupos de homologia simplicial de $\mathbb {S}^1$ com a estrutura de $\Delta $-complexo tendo $n$ vértices e $n$ arestas, todas as arestas sendo orientadas na mesma direção ao redor do círculo.

Exercício 9.4

Calcule os grupos de homologia simplicial do paraquedas triangular obtido de $\Delta ^2$ identificando seus três vértices num único ponto.

Exercício 9.5

Calcule os grupos de homologia simplicial do $\Delta $-complexo obtido de $n+1$ 2-simplexos $\Delta _0^2, \cdots , \Delta _n^2$ identificando todas as três arestas de $\Delta _0^2 $ para uma única aresta, e para $i\gt 0$ identificando as arestas $\left[v_0, v_1\right]$ e $\left[v_1, v_2\right]$ de $\Delta _i^2$ numa única aresta e a aresta $\left[v_0, v_2\right]$ à aresta $\left[v_0, v_1\right]$ de $\Delta _{i-1}^2$.

Exercício 9.6

Encontre uma maneira de identificar pares de faces de $\Delta ^3$ de modo a munir a esfera em $\mathbb {S}^3$ de uma estrutura de $\Delta $-complexo tendo um único 3-simplexo e calcule os grupos de homologia simplicial desse $\Delta $-complexo.

Exercício 9.7

Considerando $\Delta ^n$ como um $\Delta $-complexo da maneira natural, mostre que se um subcomplexo $X \subset \Delta _n$ tem $H^{\Delta }_{n-1}(X) \neq 0$ então $X = \partial \Delta _n$.

Exercício 9.8

Calcule os grupos de homologia $H^{\Delta }_*(\mathbb {M})$, $H^{\Delta }_*(\partial \mathbb {M})$ e $H^{\Delta }_*(\mathbb {M}, \partial \mathbb {M})$, em que $M$ é a faixa de Möbius e $\partial M$ é sua fronteira.

Exercício 9.9

(Princípio de Inclusão-Exclusão) Mostre que, se $K$ é um complexo simplicial finito e $K_1$ e $K_2$ são dois subcomplexos de $K$ tais que $K=K_1 \cup K_2$, então,

\[ \chi (K)=\chi \left(K_1\right)+\chi \left(K_2\right)-\chi \left(K_1 \cap K_2\right). \]

Ver solução

Direto da definição de característica de Euler.

Exercício 9.10

Sejam $S_1$ e $S_2$ superfícies fechadas e $S_1\# S_2$ a soma conexa dessas superfícies (veja Definição 8.1).

Calcule a característica de Euler-Poincaré para a superfície homeomorfa a $S_1\# S_2$.

Mostre que a característica de Euler-Poincaré de uma superfície fechada $S$ de gênero $g$ é

\[ \chi (S) = \begin{cases} 2-2g\ , & \text{ se } S \text{ é orientável} \\ 2-g \ , & \text{ se } S \text{ não é orientável} \end{cases} \]

Ver solução

a Use a definição 8.1

\[ \begin{aligned} \chi (L) & =\chi \left(L_1\right)+\chi \left(L_2\right)-\chi \left(L_0\right) \\ & =\chi \left(K_1\right)-1+\chi \left(K_2\right)-1-0 \\ & =\chi \left(K_1\right)+\chi \left(K_2\right)-2 \end{aligned} \]

O item b é direto do a.

Exercício 9.11

O objetivo desse exercício é provar o Teorema de Mayer-Vietoris. Sejam $K, L, M, N$ complexos simpliciais com $K=M \cup N$ e $L=M \cap N$. Dessa forma, temos as seguintes aplicações de inclusão: Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial

Prove que Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial é uma sequência exata curta.

Conclua que existe um homomorfismo natural $\partial _*: H^{\Delta }_n(K) \rightarrow H^{\Delta }_{n-1}(L)$ que fornece a seguinte sequência exata longa:

Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial

Ver solução

A aplicação $(i_n,j_n): C^{\Delta }_n(L) \rightarrow C^{\Delta }_n(M) \oplus C^{\Delta }_n(N)$ leva $x \mapsto (x, x)$, enquanto $k_n-l_n$ : $C^{\Delta }_n(M) \oplus C^{\Delta }_n(N) \rightarrow C^{\Delta }_n(K)$ é a aplicação $(a, b) \mapsto a-b$ (depois de considerar as aplicações de inclusão apropriadas).

É fácil ver que esta é uma sequência exata curta de complexos de cadeia. A imagem de $(i_n,j_n)$ é o conjunto de todos os elementos da forma $(x, x)$, e o núcleo de $k_n-l_n$ também são estes. Também é fácil ver que $(i_n,j_n)$ é injetiva e que $k_n-l_n$ é sobrejetiva.

Exercício 9.12

Sejam $K_1$ e $K_2$ dois complexos simpliciais que são triangularizações de superfícies fechadas e conexas $M_1$ e $M_2$. No que se segue, usaremos a notação da Definição 8.1.

Mostre que $c\in C(K_i;\mathbb {Z}_2)$ definido como a soma de todos os $2$-simplexos de $K_i$ é um ciclo.

Mostre que esse é o único ciclo de $M$. Esse ciclo é dito ciclo fundamental de $M$.

Dica: Para isso, seja $z=\sum \lambda _i t_i$ outro ciclo em $C(K_i;\mathbb {Z}_2)$ e seja $t_i$ um dos $2$-simplexos de $z$ com $\lambda _i\neq 0$ e observe que dado qualquer outro simplexo $t'$ existe um caminho de $2$-simplexos entre eles.

Mostre, usando um argumento similar ao anterior, que $H^{\Delta }_2(L_i;\mathbb {Z}_2)=0$. Interprete esse fato.

Observe que

\[ H^{\Delta }_0(L_i;\mathbb {Z}_2)=H^{\Delta }_0(K_i;\mathbb {Z}_2). \]

Usando a sequência de Mayer-Vietoris, conclua que $H^{\Delta }_1(L_i;\mathbb {Z}_2)=H^{\Delta }_1(K_i;\mathbb {Z}_2)$.

Observe que

\[ H^{\Delta }_2(M_1 \# M_2;\mathbb {Z}_2) = H^{\Delta }_0(M_1 \# M_2;\mathbb {Z}_2) = \mathbb {Z}_2. \]

Conclua que

\[ H^{\Delta }_1(M_1 \# M_2;\mathbb {Z}_2) = H^{\Delta }_1(M_1;\mathbb {Z}_2) \oplus H^{\Delta }_i(M_2;\mathbb {Z}_2). \]

Calcule os grupos de homologia simplicial sobre $\mathbb {Z}_2$ da superfície $\Sigma _g$ de gênero $g$.

Ver solução

a) é um ciclo porque cada aresta está em dois triangulos.

b) Para isso seja outro ciclo $z=\sum \lambda _i t_i$ e observe que dado qualquer outro ciclo $t'$ existe um caminho de $2$-simplexos entre eles. Cada dois simplexos consecutivos compartilhando uma aresta.

Dessa forma para que $\delta z=0$ o coeficiente de t’ também é diferente de zero.

c) Pelo argumento anterior o único candidato seria a soma de todos o $2-$simplexos mas agora esta não é um cociclo

d) A remoção do interior da celula nao altera a conexidade.

Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial

g) direto

Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial e assim

Ilustração: Intuições sobre Cohomologia Simplicial

Exercício 9.13

Se $0 \rightarrow A_n \xrightarrow {{a_n}} A_{n-1} \rightarrow \dots \rightarrow A_1 \xrightarrow {{a_1}} A_0 \rightarrow 0$ é uma sequência exata de grupos abelianos finitamente gerados, então

\[ \sum _{i=0}^n (-1)^i \mathrm{posto}\, A_i = 0. \]

Dica: Considere as sequências $0 \rightarrow A_n \rightarrow A_{n-1} \rightarrow A_{n-1}/A_n $ e $\ker a_{n-1} \rightarrow A_{n-2} \rightarrow \dots \rightarrow A_1 \rightarrow A_0 \rightarrow 0$.

Exercício 9.14

Seja $s:|K| \rightarrow |L|$ uma aplicação simplicial, i.e., uma aplicação que envia vértices de $K$ para vértices de $L$ e que envia simplexos de $K$ linearmente para simplexos de $L$. Defina os homomorfismos $s_q: C_q^{\Delta }(K) \rightarrow C_q^{\Delta }(L)$ como segue. Dado um simplexo $\sigma =[v_0, \ldots , v_q]$ de $K$, defina $s_q(\sigma )$ como o simplexo $\left[s\left(v_0 \right), \ldots , s\left(v_q\right)\right]$ se os vértices $s\left(v_0\right), \ldots , s\left(v_q\right)$ forem todos distintos, e $ s_q(\sigma )=0$, caso contrário.
Mostre que $\partial s_q=s_{q-1} \partial $ e, consequentemente, que a coleção $\left\{ s_q\right\} $ é um homomorfismo de cadeia.
Deduza que $\left\{ s_q\right\} $ induz homomorfismos $s_*: H_q^{\Delta }(K) \rightarrow H_q^{\Delta }(L)$.

Exercício 9.15

Calcule os grupos de cohomologia do toro usando a estrutura de $\Delta $-complexo apresentada na Figura 8.11.

Ver solução

Observe que $\delta (\alpha (U)) = \alpha (\partial (U)) = \alpha (b) + \alpha (a) - \alpha (c) = 1$. $\delta (\beta (U)) = 1$ e $\delta (\gamma (U)) = -1$.

Da mesma forma, $\delta (\alpha (L)) = 1, \delta (\beta (L)) = 1$ e $\delta (\gamma (L)) = -1$.

Portanto, temos que a aplicação $\delta :C^1 \longrightarrow C^2$ é definida enviando $\alpha \longmapsto \mu + \lambda , \beta \longmapsto \mu + \lambda $ e $\gamma \longmapsto -\mu - \lambda $.

Portanto, a imagem de $\delta : C^1 \longrightarrow C^2$ é simplesmente $\langle \mu + \lambda \rangle $.

Além disso, notamos que o kernel de $\delta : C^1 \longrightarrow C^2$ é dado por $\langle \alpha + \gamma , \beta + \gamma \rangle $ e o kernel de $\delta : C ^2 \longrightarrow C^3$ é $C^2$ porque $C^3 =0$.

Portanto, determinamos que

\[ H^1(T, \mathbb {Z}_2) = \frac{\ker (\delta : C^1 \longrightarrow C^2)}{\text{Im}(\delta : C ^0 \longrightarrow C^1)} = \ker (\delta :C^1 \longrightarrow C^2) = \langle \alpha + \beta , \beta + \gamma \rangle . \]

Além disso,

\[ H^2(T, \mathbb {Z}_2) = \frac{\ker (\delta : C^2 \longrightarrow C^3)}{\text{Im}(\delta : C^1 \longrightarrow C^2)} = \frac{\langle \mu , \mu + \lambda \rangle }{\langle \mu + \lambda \rangle } = \langle \mu \rangle . \]

Exercício 9.16

Considerando uma cocadeia $\varphi \in C^1(X ; R)$ como uma função de caminhos em $X$ à $R$, mostre que se $\varphi $ é um cociclo, então:
$\varphi (f \ast g)=\varphi (f)+\varphi (g)$;
$\varphi $ assume o valor 0 em caminhos constantes;
$\varphi (f)=\varphi (g)$ se $f \simeq g$;
$\varphi $ é um cobordo se $\varphi (f)$ depende apenas das extremidades de $f$, para todo $f$.

Exercício 9.17

O que acontece se definirmos os grupos de homologia $h_n(X ; R)$ como os grupos de homologia do complexo de cadeias

\[ \cdots \rightarrow \operatorname {Hom}\left(R, C_n^{\Delta }(X)\right) \rightarrow \operatorname {Hom}\left(R, C^{\Delta }_{n-1}(X)\right) \rightarrow \cdots ? \]

Mais especificamente, quais são os grupos $h_n(X ; R)$ quando $R=\mathbb {Z}, \mathbb {Z}_m$ e $\mathbb {Q}$ ?

Ver solução

Lembrando que $C^{\Delta }_i$ é livre sobre $\Z $, para $R = \Bbb Z_m, \Bbb Q$, $\text{Hom}(R, C^{\Delta }_i) = 0$ para todo $i$. E então $h_n(X;R)$ é desinteressante....

Para $R = \Bbb Z$, nada muda. Obtemos a sequência

\[ \dots C^{\Delta }_{n+1} \xrightarrow {\partial } C^{\Delta }_n \xrightarrow {\partial } C^{\Delta }_{n-1} \to \dots \]

então esta é apenas uma homologia singular com coeficientes $\Bbb Z$.

Homologia e Cohomologia Simplicial

9.1 Grupos de Homologia Simplicial

9.2 Homologia Simplicial com Coeficientes e Homologia Relativa

Homologia Simplicial com Coeficientes em \(R\)

Homologia Simplicial Relativa

9.3 Característica de Euler-Poincaré de um Complexo Simplicial

9.4 Cohomologia Simplicial

9.5 Cohomologia Simplicial Relativa

9.6 Intuições sobre Cohomologia Simplicial

Caso unidimensional:

Caso bidimensional: