Capítulo 11

Aplicações

11.1 Teorema da Separação de Jordan-Brouwer

O Teorema da Curva de Jordan afirma que uma curva fechada no plano separa o plano em duas partes e está dentre os teoremas que são fáceis de formular e difíceis de provar. Seu enunciado parece óbvio, evidente, quase um axioma. Na verdade, podemos até nos sentir tentados a dizer quando um ponto está do lado de dentro ou do lado de fora da região delimitada por essa curva. Uma maneira popular de fazer isso é usar raios. Escolha um ponto \(x\) fora da curva e desenhe um raio, em alguma direção. Se o raio interceptar a curva um número par de vezes, então o ponto está do lado de fora, e se interceptar um número ímpar de vezes, ele está do lado de dentro. Isso parece uma prova, mas não é. O problema é que o raio pode cruzar a curvas infinitas vezes, e dessa forma, não descobrimos nada. De fato, pode ser que todo raio a partir do ponto \(x\) intersecte a curva infinitas vezes ³ .

Ilustração: Teorema da Separação de Jordan-Brouwer

No que segue, apresentamos uma demonstração da generalização do Teorema da Curva de Jordan, para dimensões superiores, baseada nos grupos de homologia.

Se \(A\) é um subespaço de \(X\), dizemos que \(A\) separa \(X\) se \(X\setminus A\) não for conexo.

Lema 11.1

Sejam \(X\) um espaço localmente conexo por caminhos e \(A \subset X\) um subconjunto fechado. Então, \(A\) separa \(X\) se, e somente se, \(\widetilde{H}_{0}(X\setminus A)\not\cong 0\).

Demonstração ▼

Como \(X\setminus A\) é um espaço localmente conexo por caminhos, as componentes conexas e as componentes conexas por caminhos coincidem. Em particular, o grupo \(\widetilde{H}_{0}(X\setminus A)\) se anula se, e somente se, \(X\setminus A\) for conexo e, em geral, seu posto é um a menos que o número de componentes conexas de \(X\setminus A\).

Observamos que, nessa seção, estamos interessados nos casos em que o espaço \(X \) é \(\mathbb {R}^n\) ou \(\mathbb {S}^{n}\), e \(A\) é um subconjunto fechado em \(X\) e logo estamos nas hipóteses do Lema 11.1.

Seja que \(K\) um espaço compacto com a propriedade \(\widetilde{H}_{*}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus f(K)\right)=0\), para todo mergulho \( f: K \rightarrow \mathbb {S}^{n}\). Então, \(I \times K\) também tem essa propriedade.

Demonstração ▼

Seja \(f: I \times K \rightarrow \mathbb {S}^{n}\) um mergulho e suponha que \(0 \neq \alpha \in \) \(\widetilde{H}_{i}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus f(I \times K)\right)\).

Definimos

\begin{align*} U_{0} =\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\left[0, \frac{1}{2}\right] \times K\right) \qquad \text{ e } \qquad U_{1} =\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\left[\frac{1}{2}, 1\right] \times K\right) . \end{align*}

Logo, temos que

\begin{align*} U_{0} \cap U_{1} =\mathbb {S}^{n}\setminus f(I \times K) \qquad \text{ e } \qquad U_{0} \cup U_{1} =\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\left\{ 1/2\right\} \times K\right) . \end{align*}

Pela Sequência Exata de Mayer-Vietoris, temos que: Ilustração: Teorema da Separação de Jordan-Brouwer

O conjunto \(U_{0} \cup U_{1} =\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\left\{ \frac{1}{2}\right\} \times K\right)\) é acíclico, por hipótese, logo o elemento \(0 \neq \alpha \in \widetilde{H}_{i}\left(U_{0} \cap U_{1}\right)\) é levado não trivialmente em pelo menos um dos grupos \(\widetilde{H} _{i}\left(U_{0}\right)\) e \(\widetilde{H}_{i}\left(U_{1}\right)\) e não há perda de generalidade supor que seja para \(U_{0}\).

Vamos repetir o argumento substituindo o intervalo \(I\) por \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\). Desta forma, obtemos uma sequência de intervalos \(I \supset I_{1} \supset I_{2} \supset \cdots \), onde \(I_{k}\) tem comprimento \(2^{-k}\) e aplicações \(\alpha \) para \(\alpha _{k} \neq 0\) em \(\widetilde{H}_{i}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(I_{k} \times K\right)\right) \). Seja

\[ V_{k}=\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(I_{k} \times K\right). \]

Então, temos que \(V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2} \subset \cdots \) e que \(\bigcap I_{k}=\{ x\} \), para algum \(x \in I\). Dessa forma

\[ \bigcup V_{k}=\mathbb {S}^{n}\setminus \bigcap f\left(I_{k} \times K\right)=\mathbb {S}^{n}\setminus f(\{ x\} \times K) \ . \]

Pelo Teorema 10.6, temos \(0 \neq \left\{ \alpha _{k}\right\} \in \varinjlim \widetilde{H}_{i}\left(V_{k}\right) =\widetilde{H}_{i}\left(\bigcup V_{k}\right)=\widetilde{H}_{i}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus f(\{ x\} \times K)\right)=0\), ou seja, \(\alpha \) é levado para \(\alpha _{k} \neq 0\) para todo \(k\) e, portanto, deve ser levado para um elemento diferente de zero em \(\widetilde{H}_{i}\left(\bigcup V_{k}\right)\) e assim temos uma contradição.

Se \(f: \mathbb {D}^{r} \rightarrow \mathbb {S}^{n}\) é uma mergulho, então \(\widetilde{H}_{*}\left(\mathbb {S}^{n }\setminus f\left(\mathbb {D}^{r}\right)\right)=0\). Em particular, \(\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {D}^{r}\right)\) é conexo.
Se \(f: \mathbb {S}^{r} \rightarrow \mathbb {S}^{n}\) é uma mergulho, então

\[ \widetilde{H}_{i}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {S}^{r}\right)\right) \cong \begin{cases} \mathbb {Z}\ , & \text{ para }i=n-r-1, \\ 0 \ , & \text{ para }i \neq n-r-1 .\end{cases} \]

Ou seja,

\[ \widetilde{H}_{i}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {S}^{r}\right)\right) \cong \widetilde{ H}_{i}\left(\mathbb {S}^{n-r-1}\right). \]

Demonstração ▼

A demonstração do item 1 é imediata para \(r=0\) e por indução, pelo teorema anterior, temos que ela é verdadeira para qualquer \(r\) maior que zero.

A demonstração do item 2 também será feita por indução em \(r\). Para \(r=0\), temos

\[ \mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {S}^{0}\right) \cong \mathbb {R}^{n}\setminus \{ 0 \} \simeq \mathbb {S}^{n-1}. \]

Suponha que o resultado vale para \(r-1\), ou seja, que \(\widetilde{H}_{i}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {S}^{r -1}\right)\right) \cong \mathbb {Z}\), para \(i=n-r\) e é \(0\), caso contrário. Então, para uma mergulho \(f\) de \(\mathbb {S}^{r}\) em \(\mathbb {S}^{n}\), definimos

\[ S_{+}=\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {D}_{+}^{r}\right) \quad \text{ e } \quad S_{-}=\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {D}_{-}^{r}\right), \]

sendo \(\mathbb {D}_{+}^{r}\) e \(\mathbb {D}_{-}^{r}\) os hemisférios superior e inferior de \(\mathbb {S}^{r}\), de modo que

\[ S_{+} \cap S_{-}=\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {S}^{r}\right) \quad \text{ e } \quad S_{+} \cup S_{-}=\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {S}^{r-1}\right) . \]

Na sequência de Mayer-Vietoris para o par \(S_{+}\) e \(S_{-}\),

\begin{align*} \cdots \rightarrow \widetilde{H}_{i+1}\left(S_{+}\right) \oplus \widetilde{H}_{i+1}\left(S_{-}\right) \rightarrow \widetilde{H}_{i+1}\left(\mathbb {S}^{n}\! \setminus \! f(\mathbb {S}^{r-1})\right) \rightarrow \widetilde{H}_{i}\left(\mathbb {S}^{n}\! \setminus \! f\left(\mathbb {S}^{r}\right)\right) \rightarrow \widetilde{H}_{i}\left(S_{+}\right) \oplus \widetilde{H}_{i}\left(S_{-}\right) \rightarrow \cdots \end{align*}

os termos de soma direta são \(0\) pelo item 1. Assim, \(\widetilde{H}_{i+1}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus f(\mathbb {S}^{r-1})\right) \cong \widetilde{H}_{i}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\mathbb {S}^{r}\right)\right)\) o que implica o resultado.

No que segue usaremos a seguinte nomenclatura. Uma \(n\)-célula é um espaço homeomorfo ao \(n\)-disco. Uma célula é um espaço que é uma \(n\)-célula para algum \(n \geq 0\). Observamos que, sob as hipóteses deste teorema, parece provável que se \(C_{1}\) e \(C_{2}\) são as componentes de \(\mathbb {S}^{n}\setminus C\), onde \(C\) é o mergulho de uma \((n-1) \)-esfera, então os conjuntos \(\overline{C}_{1}\) e \(\overline{C}_{2}\) devem ser \(n\)-células. Mas isso não é verdade.

Um contra-exemplo é a esfera com chifres de Alexander, representada na Figura 11.2. Este é um objeto construído indutivamente no espaço tridimensional e podendo ser mergulhado na esfera tridimensional. Começamos com uma esfera comum \(\mathbb {S}^2\). Em seguida, tomamos dois discos dela e esticamos-os para os “chifres” na esfera. Agora pegamos mais dois discos e use-os para colocar chifres nos chifres de tal forma que os dois pares de chifres pareçam ligados como os elos de uma corrente. Este processo continua ad infinitum. Se feito com cuidado, terminaremos com um homeomorfismo da esfera padrão para uma esfera mergulhada no espaço tridimensional cujo interior é um disco aberto e cujo complemento não é simplesmente conexo, apesar de possuir os mesmos grupos de homologia que um ponto.

Figura 11.2 Esfera com “chifres” de Alexander

Também vale destacar que o complemento da imagem de um disco na esfera \(\mathbb {S}^n\) não precisa ser contrátil. Um contra-exemplo disso é o “arco selvagem” de Fox e Artin ilustrado na Figura 11.3. Pode-se mostrar que o complemento deste arco em \(\mathbb {S}^n\) não é simplesmente conexo.

Figura 11.3 “Arco selvagem” de Fox e Artin

Teorema de Jordan Generalizado para \(\mathbb {S}^{n}\). Seja \(C\) um subconjunto de \(\mathbb {S}^{n}\) homeomorfo a \(\mathbb {S}^{n-1}\). Então \(\mathbb {S}^{n}\setminus C\) tem precisamente duas componentes conexas acíclicas, sendo \(C\) a fronteira comum.

Demonstração ▼

Aplicando o teorema anterior ao caso \(k=n-1 \), vemos que \(\widetilde{H}_{0}\left(\mathbb {S}^{n}\setminus C\right) \cong \mathbb {Z}\). e todas as outras homologias são zero. Assim, \(\mathbb {S}^{n}\setminus C\) tem precisamente duas componentes conexas acíclicos, que são abertas em \(\mathbb {S}^{n}\). Então, a fronteira de \(C_{i}\) é o conjunto \(\overline{C}_{i}\setminus C_{i}\). Precisamos provar que

\[ \overline{C}_{1}\setminus C_{1}=C=\overline{C}_{2}\setminus C_{2} . \]

É suficiente demonstrar a primeira dessas igualdades. Como \(C_{2}\) é aberto, nenhum ponto de \(C_{2}\) é um ponto de acumulação de \(C_{1}\) e, portanto, \(\overline{C}_{1}\setminus C_{1} \subset C\). Mostraremos agora que \(C \subset \overline{C}_{1}\setminus C_{1}\). Para tanto, sejam \(x \in C\) e uma vizinhança \(U\) de \(x\), mostraremos que \(U\) intersecta o conjunto fechado \(\overline{C}_{1}\setminus C_{1}\). Como \(C\) é homeomorfo a \(\mathbb {S}^{n-1}\), podemos escrever \(C\) como a união de duas \(n-1 \)-células, \(A_{1}\) e \(A_{2}\), de modo que \(A_{1}\) seja pequena o suficiente para estar em \(U\).

Observamos que como \(A_{2}\) não separa a esfera \(\mathbb {S}^{n}\), podemos escolher um caminho \(\gamma \) em \(\mathbb {S}^{n}\setminus A_{2}\) ligando um ponto \(p\) de \(C_{1}\) a um ponto \(q\) de \(C_{2}\). Agora, \(\gamma \) deve conter um ponto de \(\overline{C}_{1}\setminus C_{1}\), pois caso contrário \(\gamma \) estaria na união dos conjuntos abertos disjuntos \(C_{1}\) e \(\mathbb {S}^{n} \setminus \overline{C}_{1}\) e conteria um ponto de cada um deles, o que contradiz a conexidade de \(\gamma \).

Seja \(y\) um ponto de \(\overline{C}_{1}\setminus C_{1}\) pertencente ao caminho \(\gamma \). Logo, \( y\) está em \(C\). Como não pode estar em \(A_{2}\), deve estar em \(A_{1}\) e, portanto, em \(U\). Logo, \(U \) intersecta \(\overline{C}_{1}\setminus C_{1}\) no ponto \(y\), conforme desejado.

Teorema de Jordan Generalizado para \(\mathbb {R}^{n}\). Seja \(C\) um subconjunto de \(\mathbb {R}^{n}\) homeomorfo a \(\mathbb {S}^{n-1}\). Então \(\mathbb {R}^{n}\setminus C\) tem precisamente duas componentes conexas, das quais \(C\) é a fronteira comum. Uma das componentes é limitada e acíclica e a outra é ilimitada e com homologia de \(\mathbb {S}^{n-1}\).

Demonstração ▼

Sem perda de generalidade, podemos substituir \(\mathbb {R}^{n}\) por \(\mathbb {S}^{n}\) no enunciado, identificando \(\mathbb {R}^{n}\) com \(\mathbb {S}^{n}\setminus \{ p\} \), onde \(p\) é o polo norte da esfera. Sabemos que \(\mathbb {S}^{n}\setminus C\) tem duas componentes conexas \(C_{1}\) e \(C_{2}\). Suponha \(p \in C_{1}\). Se mostrarmos que \(C_{1}\setminus \{ p\} \) é conexo, o que deixaremos como exercício ao leitor, então \(C_{1}\setminus \{ p\} \) e \(C_{2}\) são as componentes de \(\left( \mathbb {S}^{n} \setminus \{ p\} \right) \setminus C \), e \(C\) é a fronteira de \(C_{2}\) e \(C_{1}\setminus \{ p\} \).

Agora precisamos calcular as homologias de \(C_{1}\setminus p\) e \(C_{2}\). Sabemos pelo teorema que os espaços \(C_{1}\) e \(C_{2}\) são acíclicos. Para calcular a homologia de \(C_{1}\setminus p\) considere a sequência exata relativa do par \((C_{1},p)\): Ilustração: Teorema da Separação de Jordan-Brouwer e logo como a componente \(C_{1}\) é acíclica temos que

\begin{align*} \widetilde{H}_{k}(C_{1}\setminus \{ x\} ) & \cong \widetilde{H}_{k+1}(C_{1},C_{1}\setminus \{ x\} ) \\ & \cong \widetilde{H}_{k}(\mathbb {D}^n\setminus , \mathbb {D}^n \{ 0\} )\\ & \cong \widetilde{H}_{k}(\mathbb {D}^n \{ 0\} )\\ & \cong \widetilde{H}_{k}(\mathbb {S}^{n-1}) \end{align*}

onde o primeiro isomorfismo é dado pela sequência 11.1, o segundo por excisão, o terceiro pela sequência exata relativa do par \(\mathbb {D}^n, \mathbb {D}^n\setminus 0\) e finalmente o quarto por homotopia.

11.2 Invariância de Domínio e de Dimensão

De modo geral, para verificar que uma função \(f\) é um homeomorfismo, é necessário verificar que tanto a função \(f\) quanto sua função inversa \(f^{-1}\) são contínuas, o Teorema da Invariância de Domínio, demonstrado por Brouwer em 1912, diz que se \(f\) é injetora e o domínio é um subconjunto aberto de \(\mathbb {R}^{n}\) e a imagem também está em \(\mathbb {R}^{n}\), então a continuidade de \(f^{-1}\) é automática. Além disso, o teorema diz que se dois subconjuntos \(U\) e \(V\) de \(\mathbb {R}^{n}\) são homeomorfos e \(U\) é aberto, então \(V\) também deve ser aberto. A conclusão do teorema pode ser formulada de forma equivalente como \(f\) é uma aplicação aberta. Observamos que ambas as afirmações não são nada óbvias e geralmente não são verdadeiras se deixarmos o espaço euclidiano.

Uma consequência importante do Teorema de Invariância de Domínio é o Teorema da Invariância da Dimensão que afirma que \(\mathbb {R}^{n}\) não pode ser homeomorfo a \(\mathbb {R}^{m}\) se \( m\neq n\).

Para compreender a importância desse teorema devemos compreender o contexto histórico no qual surgiu. Antes de 1870, os matemáticos lidavam apenas com os subconjuntos \(U\) de \(\mathbb {R}^n\) que podiam, pelo menos localmente, ser "parametrizados" por aplicações diferenciáveis injetoras de um subconjunto aberto de algum \(\mathbb {R}^n\). Também se assumia tacitamente que a posição de um ponto em \(\mathbb {R}^n\) só poderia ser completamente determinada por um sistema de \(n\) números reais. Essa é a definição ingênua de dimensão: uma reta tem dimensão \(1\), pois apenas uma coordenada é necessária para especificar um ponto nela; e uma superfície, como um cilindro ou esfera, tem uma dimensão \(2\), pois são necessárias duas coordenadas para especificar um ponto nela.

A descoberta por Cantor, em 1877, de uma bijeção de \(\mathbb {R}\) em \(\mathbb {R}^n\), para qualquer \(n\), foi uma completa surpresa. A função de Cantor era totalmente descontínua, mas a descoberta da curva de Peano, em 1890, mostrou que existiam funções contínuas, embora não injetoras, de \(\mathbb {R}\) em \(\mathbb {R}^n\). A única esperança que restava de salvar a noção clássica de dimensão era aquela expressa por Dedekind assim que Cantor lhe comunicou seu teorema: não existem homeomorfismos de \(\mathbb {R}^n\) em \(\mathbb {R}^m\) para \(m\neq n\). A prova da conjectura de Dedekind foi feita por Brouwer em 1911.

Invariância de Domínio. Sejam \(U\) aberto em \(\mathbb {R}^{n}\) e \(f: U \rightarrow \mathbb {R}^{n}\) uma aplicação contínua e injetora. Então \(f(U)\) é aberto em \(\mathbb {R}^{n}\) e \(f\) é um mergulho.

Demonstração ▼

Sem perda de generalidade, podemos substituir \(\mathbb {R}^{n}\) por \(\mathbb {S}^{n}\) no enunciado, identificando \(\mathbb {R}^{n}\) com \(\mathbb {S}^{n}\setminus \{ p\} \).

Dado um ponto \(y \in f(U)\subset \mathbb {S}^{n}\), seja \(x \in U\subset \mathbb {S}^{n}\) tal que \(f(x)=y\). Seja \(B_{\epsilon }\) uma bola aberta de raio \(\epsilon \) centrada em \(x\), cujo fecho está em \(U\) e seja \(S_{\epsilon }=\overline{B}_{\epsilon }-B_{\epsilon }\).

Ilustração: Invariância de Domínio e de Dimensão

Por indução, o conjunto \(f\left(S_{\epsilon }\right)\) é homeomorfo a \(\mathbb {S}^{n-1}\) e, portanto, \(f\left(S_{\epsilon }\right)\) separa \(\mathbb {S}^{n}\) em duas componentes \(C_{1}\) e \(C_{2}\). O conjunto \(f\left(B_{\epsilon }\right)\) é conexo e disjunto de \(f\left(S_{\epsilon }\right)\) e, assim, ele está contido em uma das componentes \(C_{1}\) ou \(C_{2}\). Podemos supor, sem perda de generalidade, que esteja em \(C_{1}\). Temos que \(f\left(S_{\epsilon }\right)\) deve ser igual a \(C_{1}\), caso contrário, o conjunto

\[ \mathbb {S}^{n}\setminus f\left(B_{\epsilon }\right)\setminus f\left(S_{\epsilon }\right)=\mathbb {S}^{n}\setminus f\left(\overline{B}_{\epsilon }\right) \]

consistiria em todos os pontos de \(C_{2}\) juntamente com pontos de \(C_{1}\), contradizendo o fato de que a célula \(f\left(\overline{B}_{\epsilon }\right)\) não separa \(\mathbb {S}^{n}\). Portanto, \(f\left(B_{\epsilon }\right)=C_{1}\). Concluímos que \(f(U)\) contém a vizinhança aberta \(C_{1}\) de \(y\).

Logo, \(f\) leva conjuntos abertos em \(U\) a conjuntos abertos em \(\mathbb {S}^{n}\) e, portanto, é uma aplicação aberta em \(f(U)\). Consequentemente, \(f\) é um homeomorfismo entre \(U\) e \(f(U)\).

A demonstração do Teorema da Invariância de Domínio é mais fácil se assumirmos que a função \(f\) é continuamente diferenciável com jacobiano não singular. Neste caso, o resultado decorre do Teorema da Função Inversa.

Invariância de Domínio. Se \(M^{n}\) e \(N^{n}\) são variedades \(n\)-dimensionais topológicas e \(f: M^{n} \rightarrow N^{n}\) é injetora e contínua, então \(f \) é uma aplicação aberta.

Demonstração ▼

Mostraremos que a imagem de uma vizinhança de \(x\) sob \(f\) é uma vizinhança de \(f(x)\). Seja \(V \subset N^{n}\) um conjunto aberto homeomorfo a \(\mathbb {R}^{n}\) contendo \(f(x)\). Então, a restrição de \(f\) a \(f^{-1}(V)\) é injetora, contínua e, portanto, aberta pelo Teorema 11.2. Agora, se \(U\) é uma vizinhança aberta de \(x\), então \(U \cap f^{-1}(V)\) também é. Portanto, \(f(U \cap f^{-1}(V)) \) é uma vizinhança aberta de \(f(x)\). Logo, \(f(U)\) é uma vizinhança de \(f(x)\).

Invariância da Dimensão. Se uma \(m\)-variedade \(M^{m}\) é homeomorfa a uma variedade \(n\)-dimensional \(N^{n}\), então \(n=m\).

Demonstração ▼

Dado \(x \in M^{m}\), existe uma vizinhança aberta \(V\) de \(x\) em \(M^{m}\) que é homeomorfa ao disco \(\mathbb {D}^{m}\) em \(\mathbb {R}^{m}\) e, sem perda de generalidade, assumiremos que esse homeomorfismo leva o ponto \(x\) em \(0\). Assim,

\begin{align*} H_{i}(M, M\setminus \{ x\} ) & \cong H_{i}\left(V, V\setminus \{ x\} \right) & & \text{ (por excisão \ref{teo:excisao1}) } \\ & H_{i}\left(\mathbb {D}^{m}, \mathbb {D}^{m}\setminus \{ 0\} \right) & & \text{ (por homeomofismo) } \\ & \cong \widetilde{H}_{i-1}\left(\mathbb {D}^{m}\setminus \{ 0\} \right) & & \text{ (pela sequência exata de homologia relativa) } \\ & \cong \widetilde{H}_{i-1}(\mathbb {S}^{m-1}) & & \text{ (por homotopia) } \end{align*}

Na fórmula acima usamos o Teorema de Excisão com \(X = M, A = M \setminus \{ x\} \), e \(U = M \setminus V\).

Como \(\widetilde{H}_{i-1}(\mathbb {S}^{m-1})\cong \mathbb {Z}\), para \(i=m\), e \(0\), caso contrário, temos que \(m\) é um invariante topológico de \(M^{m}\), já que os grupos \(H_{i}(M, M\setminus \{ x\} )\) são invariantes topológicos.

Figura 11.4 Homeomorfismo da demonstração de Invariância da Dimensão.

11.3 Aplicações na Esfera

Nesta seção, estudaremos aplicações da esfera em si mesma, introduziremos o conceito de grau de uma aplicação e utilizaremos desse ferramental para provar o Teorema da Classificação de Hopf, o Teorema da Esfera Cabeluda, o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer e, posteriormente, o Teorema Fundamental da Álgebra.

O grau de uma aplicação \(f: \mathbb {S}^n \rightarrow \mathbb {S}^n\), com \(n\gt 0\), foi definido e estudado por Brouwer durante 1910-1912. Intuitivamente, o grau representa o número de vezes que a esfera no domínio é enrolada e envolve a esfera no contradomínio sob a aplicação. O grau é sempre um número inteiro, mas pode ser positivo ou negativo dependendo das orientações.

Seja \(f: \mathbb {S}^n\rightarrow \mathbb {S}^n\) com \(n\gt 0\) uma aplicação contínua. Como \(\widetilde{H}_{n}( \mathbb {S}^n)\cong \mathbb {Z}\), seja \(\alpha \) um gerador de \(\widetilde{H}_{n}( \mathbb {S}^n)\), então \(f_*(\alpha )=d\cdot \alpha \). O inteiro \(d\) independe da escolha do gerador é denominado grau de \(f\) e é denotado por \(\deg f\).

Figura 11.5 Aplicações de grau 1, 2 e 3, respectivamente em S^1 — Figura 11.5 Aplicações de grau \(1\), \(2\) e \(3\), respectivamente em \(\mathbb {S}^1\)

O grau de uma aplicação contínua na esfera tem as seguintes propriedades:

A aplicação identidade \(\operatorname {\operatorname {id}}_{\mathbb {S}^n}: \mathbb {S}^n \rightarrow \mathbb {S}^n\) tem grau \(+1\).
Se \(f: \mathbb {S}^n \rightarrow \mathbb {S}^n\) e \(g: \mathbb {S}^n \rightarrow \mathbb {S}^n\) são aplicações contínuas, então \(\deg (g \circ f)= \deg g \cdot \deg f\).
Se \(f\) não é sobrejetora, então \(\deg f=0.\)
Se \(f: \mathbb {S}^n \rightarrow \mathbb {S}^n\) e \(g: \mathbb {S}^n \rightarrow \mathbb {S}^n\) são aplicações contínuas e \(f\simeq g\), então \(\deg f=\deg g.\)
Se \(f: \mathbb {S}^n \rightarrow \mathbb {S}^n\) é um homeomorfismo, então \(\deg f=\pm 1\).
Se \(f\) se estende a uma aplicação contínua \(h : \mathbb {D}^{n+1} \to \mathbb {S}^n\), então \(\deg f = 0\).

Demonstração ▼

1 A aplicação identidade na esfera induz a aplicação identidade \((\operatorname {\operatorname {id}}_{ \mathbb {S}^n})_{*}\) nos grupos de homologia.

2 De fato, temos que \(( g \mathbin {\circ }f)_{*}=g_{*}\circ f_{*}. \)

3 De fato, se \(f\) não é sobrejetora, existe \( y\not\in \mathrm{im}\, f\). Então, podemos fatorar \(f\) da seguinte maneira: Ilustração: Aplicações na Esfera

Como \(\mathbb {S}^n\setminus \{ y\} \cong \mathbb {R}^{n}\) é contrátil, \(H_{n}( \mathbb {S}^n\setminus \{ y\} )=0\) . Portanto, \(f_{*}=f_{*}\iota _{*}=0\), então \(\deg f=0. \)

4 Isso ocorre porque, como \(f\) e \(g\) são homotópicas, temos que \(f_{*}=g_{*}\). Provaremos a seguir que a recíproca é verdadeira.

5 Como \(f \mathbin {\circ }f^{-1} =\operatorname {\operatorname {id}}\), temos que \(\deg f \cdot \deg f^{-1} =1\), logo \(\deg f=\pm 1\).

6 Temos a composição de funções: Ilustração: Aplicações na Esfera logo, temos a composição induzida Como \(\mathbb {D}^{n+1}\) é acíclico, a composta é o homomorfismo nulo.

Figura 11.6 Aplicação de grau 2 em S^2. — Figura 11.6 Aplicação de grau \(2\) em \(\mathbb {S}^2\).

Para podermos usar as informações sobre o grau de uma aplicação precisamos antes calcular o grau de alguns exemplos fundamentais.

Seja \(r : \mathbb {S}^n\rightarrow \mathbb {S}^n\) uma reflexão através de algum subespaço \(n\)-dimensional de \(\mathbb {R}^{n+1}\), então \(\deg r=- 1.\)

Demonstração ▼

Sem perda de generalidade, podemos assumir que o subespaço é \(\mathbb {R}^{n}\times \{ 0\} \subset \mathbb {R}^{n+1}\). O hemisfério superior \(U\) e o hemisfério inferior \(L\) de \(\mathbb {S}^n\) podem ser considerados como \(n\)-simplexos singulares, através de homeomorfismos entre os hemisférios e o simplexo \(\triangle ^{n}\). Com essa estrutura de \(\Delta \)-complexo, o gerador de \(H_n(\mathbb {S}^n)\) é \([U-L].\) A reflexão \(r\) leva o ciclo \(U-L\) para \(L-U\) e assim

\[ r_{*}([U-L])=[L-U]=[-(U-L)]=-1\ [U-L] . \]

Segue que \(\deg r=-1. \)

Seja \(-\operatorname {\operatorname {id}}: \mathbb {S}^n\rightarrow \mathbb {S}^n\) uma aplicação antipodal \((x\mapsto -x)\), então \(\deg \operatorname {\operatorname {id}}=(-1 )^{n+1}.\)

Demonstração ▼

Observe que \(-\operatorname {\operatorname {id}}\) é dada pela composição de \(n+1\) reflexões, cada uma mudando o sinal da \(i\)-ésima componente por uma reflexão. Como o grau da composição é a multiplicação de graus, temos o resultado desejado.

Seja \(f : \mathbb {S}^n\rightarrow \mathbb {S}^n\) uma aplicação com grau diferente de \((-1)^{n+1}\), então \(f\) tem pelo menos um ponto fixo.

Demonstração ▼

Suponha que \(f\) não possui pontos fixos. Assim, para todo \(x\), temos que \(f(x)\neq x\), logo o segmento \((1-t)f(x)+t(-x)\) ligando \(f(x)\) a \(-x\) não passa pela origem em \(\mathbb {R}^{n+1}\), já que \(f(x)\) não é o ponto antipodal de \(-x\). Podemos, então, normalizar para obter uma homotopia na esfera \(g_t:I\times \mathbb {S}^n\rightarrow \mathbb {S}^n\) dada por:

\[ g_{t}(x)\mathrel {\mathop:\! =}\frac{(1-t)f(x)+t(-x)}{\lVert (1-t)f(x)+t(-x)\rVert }. \]

Então, \(g_{t}\) é uma homotopia de \(f\) à aplicação antipodal \(-\operatorname {\operatorname {id}}\) e logo \(\deg f =(-1)^{n+1} \).

A esfera \(\mathbb {S}^n\) possui um campo contínuo de vetores tangentes que não se anula se, e somente se, \(n\) é ímpar.

Figura 11.7 Todo campo contínuo de vetores tangentes na esfera S^2 se anula em algum ponto. — Figura 11.7 Todo campo contínuo de vetores tangentes na esfera \(\mathbb {S}^2\) se anula em algum ponto.

Demonstração ▼

Suponha que \(v(x)\) seja um campo de vetores tangente em \(\mathbb {S}^n\). A tangência implica que \(x\) e \(v(x)\) são ortogonais em \(\mathbb {R}^{n+1}\). Se \(v(x)\neq 0\), para todo \(x\), podemos normalizar o campo de vetores de modo que \(\lVert v(x)\rVert =1\), para todo \(x\). Supondo que isso tenha sido feito, os vetores \((\cos (\pi t))x+(\sin (\pi t))v(x)\) estão no círculo unitário do plano gerado por \(x\) e \(v(x)\). Quando \(t\) vai de \(0\) para \(1\), obtemos uma homotopia:

\[ f_{t}(x)=(\cos (\pi t))x+(\sin (\pi t))v(x) \]

da aplicação identidade de \(\mathbb {S}^n\) na aplicação antipodal. Em termos dos graus dessas aplicações, isso resulta na igualdade \((-1)^{n+1}=1\), que implica que \(n\) é ímpar.

Reciprocamente, seja uma esfera de dimensão ímpar \(\mathbb {S}^{2k-1}\), então o campo vetorial definido por

\[ v(x_{1}, \ x_{2}, \ \cdots \ , \ x_{2k-1}, \ x_{2k})=(-x_{2}, \ x_{1}, \ \cdots \ , \ -x_{2k}, \ x_{2k-1}) \]

é um campo vetorial tangente que não se anula em nenhum ponto, já que \(v(x)\) é ortogonal a \(x\), e \(\lVert v(x)\rVert =1\), para todo \(x\in \mathbb {S}^n. \)

A ausência de qualquer campo vetorial não nulo em \(\mathbb {S}^2\) apresenta um resultado popular chamado Teorema da Bola Cabeluda.

Teorema da Bola Cabeluda. Uma bola peluda não pode ser penteada, em outras palavras, sempre que se tenta pentear uma bola cabeluda, haverá pelo menos um redemoinho de cabelo em algum lugar.

Demonstração ▼

Se alguém imaginar que tem um cabelo crescendo de cada ponto na superfície de uma bola, então não é possível penteá-la. Caso contrário, os vetores tangentes aos cabelos mostrariam que \(\mathbb {S}^2\) admitiria um campo vetorial contínuo não nulo.

O toro peludo é a única superfície peluda orientável que pode ser penteada suavemente.

Uma aplicação curiosa do Teorema 11.3 em meteorologia consiste em considerar a distribuição de ventos como um campo de vetores sobre a superfície de um planeta com atmosfera. Mediante esta idealização, então a cada momento existe pelo menos um ponto onde a velocidade do vento é zero.

Ponto Fixo de Brouwer. Toda aplicação contínua \(f :\mathbb {D}^{n} \rightarrow \mathbb {D}^{n}\) possui um ponto fixo.

Demonstração ▼

Suponha que \(f:\mathbb {D}^{n}\rightarrow \mathbb {D}^{n}\) não possui ponto fixo. Podemos definir a aplicação \( h:\mathbb {D}^{n}\rightarrow \mathbb {S}^{n-1}\) pela equação

\[ h(x)=\frac{x-f(x)}{\lVert x- f(x) \rVert }, \]

pois, por hipótese, \(x-f(x)\neq 0\), para todo \(x\in \mathbb {D}^{n}\). Seja \(g:\mathbb {S}^{n-1}\rightarrow \mathbb {S}^{n-1}\) a restrição de \(h\) a \(\mathbb {S}^{n- 1}\), então \(g\) tem grau \(0\), pela Proposição 11.3.

Por outro lado, mostraremos que \(g\) tem grau \(1\), gerando uma contradição. Para isso, definimos uma homotopia \(H:\mathbb {S}^{:n-1}\times I\rightarrow \mathbb {S}^{n-1}\) pela equação

\[ H(u, t)=\frac{u-tf(u)}{\lVert u-tf(u)\rVert }. \]

Observamos que, para \(t=1\), o denominador é diferente de zero, pois \(u\neq f(u)\) ; e para \(0\leq t\lt 1\), o denominador é diferente de zero, pois \(\lVert u \rVert =1\) e \(\lVert t f(u)\rVert =t \lVert f(u) \rVert \leq t\lt 1\). A aplicação \(H\) é uma homotopia entre a aplicação identidade de \(\mathbb {S}^{n-1}\) e a aplicação \(g\). Portanto, \(\deg g=1\).

O próximo teorema fornece uma classificação completa das aplicações da esfera na esfera a menos de homotopia.

11.4 Teorema Fundamental da Álgebra

O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio não constante em uma única variável com coeficientes complexos tem pelo menos uma raiz complexa. Apesar de seu nome, não há prova puramente algébrica do teorema, pois o resultado depende de alguma forma da completude dos números reais, que não é um conceito algébrico.

A primeira menção do Teorema Fundamental da Álgebra, na forma de que toda equação polinomial de grau \(n\) tem exatamente \(n\) raízes, foi dada por Peter Roth de Nurnberg em 1608 e foi Descartes em 1637, quem distinguiu entre raízes reais e imaginárias. A primeira prova publicada do Teorema Fundamental da Álgebra foi dada por D’Alembert em 1746. No entanto, havia lacunas na prova de D’Alembert e a primeira prova totalmente aceita foi aquela dada por Gauss em 1797 em sua tese de doutorado que foi publicada em 1799. Curiosamente, ao revisar a prova original de Gauss, os matemáticos modernos tendem a concordar que há tantas lacunas nessa demonstração quanto na demonstração de D’Alembert. A primeira prova rigorosa foi publicada por Argand, um matemático amador, em 1806 (e revisitada em 1813). Gauss também produziu duas outras provas em 1816 e outra versão incompleta de sua prova original em 1849.

A demonstração que apresentaremos baseia-se no conceito de grau de uma aplicação.

Teorema Fundamental da Álgebra. Todo polinômio não constante com coeficientes em \(\mathbb {C}\) possui uma raiz em \(\mathbb {C}\).

Demonstração ▼

Observamos inicialmente que é suficiente demonstrar o teorema para um polinômio da forma:

\[ p(z)= z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0} , \quad a_{0}\neq 0 \text{ e } n\geq 1 . \]

Suponha que \(p\) não tenha raízes, então \(p\) é uma aplicação do plano complexo \(\mathbb {C}\) para \(\mathbb {C}\setminus \{ 0\} \). A restrição desta aplicação aos diferentes círculos \(|z|=r\) para diferentes valores de \(r\geq 0\) são caminhos fechados em \(\mathbb {C}\setminus \{ 0\} \).

Figura 11.8 Em azul, os círculos |z|=r e, em laranja, suas respectivas imagens por p(z)= z^3+2 z^2+1, para r=2, 3 e 6. — Figura 11.8 Em azul, os círculos \(|z|=r\) e, em laranja, suas respectivas imagens por \(p(z)= z^3+2 z^2+1\), para \(r=2, 3\) e \(6\).

Considere a aplicação \(G: \mathbb {S}^1\times [0, \ \infty \)) \(\rightarrow \mathbb {S}^1\subset \mathbb {C}\) definida por

\[ G(t, \ r)=\frac{p(re^{2\pi it})/p(r)}{\left\lvert p(re^{2\pi it})/p(r)\right\rvert }. \]

A aplicação \(G\) leva os diferentes caminhos fechados, \(p(re^{2\pi it})\) com \(r\) fixo, para a círculo unitário através de uma normalização. Seja \(F\) : \(\mathbb {S}^1\times I\rightarrow \mathbb {S}^1\subset \mathbb {C}\) a homotopia definida por

\[ F(t, \ s)=\begin{cases} G(t, s/(1-s))\ , & \text{ se } 0 \leq s\lt 1 \\ e^{2\pi i n t} \ , & \text{ se } s=1. \end{cases} \]

Como a função \(G\) é contínua, temos que

\[ \lim _{s\rightarrow 1^{-}}F(t, \ s)=\lim _{s\rightarrow 1^{-}}G(t, \ s/(1-s))=\lim _{r\rightarrow \infty }G(t, \ r)=e^{2\pi int} , \]

e logo \(F\) é contínua. Se denotarmos por \(f_{0}(t)= F(t, \ 0)=1\) e \(f_{1}(t)=F(t, \ 1)=z^n\), então \( f_{0} \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}f_{1}\). Consequentemente, \(\deg f_{0}=\deg f_{1}\). Mas \(\deg f_{0}=0\) e \(\deg f_{1}=n\). Logo, temos uma contradição, e \(p(z)\) deve ter uma raiz em \(\mathbb {C}\).

11.5 Teorema de Borsuk-Ulam

O Teorema de Borsuk–Ulam afirma que toda função contínua da esfera \(n\)-dimensional para o espaço euclidiano \(n\)-dimensional leva algum par de pontos antípodas para o mesmo ponto. O caso \(n=1\) implica que, em cada tempo e em cada grande círculo da Terra, existem dois pontos antípoda com a mesma temperatura. O caso \(n=2\) implica que, a cada instante, existem dois pontos antípodas na superfície da Terra com a mesma temperatura e a mesma pressão atmosférica. De acordo com Matoušek, Björner e Ziegler 2003, a primeira menção histórica do enunciado do teorema de Borsuk–Ulam foi dada por Lyusternik & Shnirel’man em 1930. A demonstração foi dada por Karol Borsuk em 1933, onde a formulação do problema foi atribuída a Stanislaw Ulam.

Borsuk-Ulam. Para qualquer aplicação \(f: \mathbb {S}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}\), existe \(x \in \mathbb {S}^{n}\) tal que \(f(x)=f(-x)\). O teorema é uma consequência imediata do seguinte resultado, conhecido como Teorema Antipodal.

Antipodal. Suponha que a aplicação \(g: \mathbb {S}^{n} \rightarrow \mathbb {S}^{m}\) satisfaça \(g(-x)=-g(x)\), para todo \(x \in \mathbb {S}^{n}\). Então \(n \leq m\). Para ver que o Teorema Antipodal implica o Teorema de Borsuk-Ulam, suponha que \(f: \mathbb {S}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}\) é um aplicação com \(f(x) \neq f(-x )\) para todo \(x \in \mathbb {S}^{n}\). Então podemos definir um aplicação \(g: \mathbb {S}^{n} \rightarrow \mathbb {S}^{n-1}\) por

\[ g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{\| f(x)-f(-x)\| }, \]

de modo que \(g(-x)=-g(x)\), para todo \(x \in \mathbb {S}^{n}\). Isso contradiz o Teorema Antipodal.

Teorema Antipodal ▼

O grupo com dois elementos \(\mathbb {Z}_2\) atua na \(k\)-esfera \(\mathbb {S}^{k} \) pela aplicação antipodal \(-\operatorname {\operatorname {id}}\cdot x=-x\). E o espaço quociente pode ser identificado com o espaço projetivo real \(k\) dimensional e a aplicação quociente \(\mathbb {S}^{k} \stackrel{p}{\rightarrow } \mathbb {RP}^{k}\) é a aplicação de recobrimento duplo.

Logo, cada \(p\)-simplexo singular \(\sigma : \Delta _{p} \rightarrow \mathbb {RP}^{k}\) tem precisamente dois levantamentos \(\bar{\sigma }_{+}, \bar{\sigma }_{-}\), que a aplicação \(-\operatorname {\operatorname {id}}\) transforma um no outro: temos \(-\operatorname {\operatorname {id}}(\bar{\sigma }_{\pm })=\bar{\sigma }_{\mp }\). Correspondentemente, obtemos um aplicação de cadeia

\[ \tau _{*}: S_{*}\left( \mathbb {RP}^{k};\mathbb {Z}_2\right) \rightarrow S_{*}\left(\mathbb {S}^{k};\mathbb {Z}_2\right) \]

dado por \(\tau _{*}(\sigma )=\bar{\sigma }_{+}+\bar{\sigma }_{-}\), que é denominada de transferência e temos a sequência exata curta

\[ 0 \rightarrow S_{*}\left( \mathbb {RP}^{k};\mathbb {Z}_2\right) \stackrel{\tau _{*}}{\longrightarrow } S_{*}\left(\mathbb {S}^{ k};\mathbb {Z}_2\right) \stackrel{p*}{\longrightarrow } S_{*}\left( \mathbb {RP}^{k};\mathbb {Z}_2\right) \rightarrow 0 \]

de complexos de cadeias singulares com coeficientes em \(\mathbb {Z}_2\).

Um aplicação \(g: \mathbb {S}^{n} \rightarrow \mathbb {S}^{m}\) com \(g(-x)=-g(x)\), para todo \(x \in \mathbb {S}^{n}\), gera uma aplicação \(\bar{g}: \mathbb {RP}^{n} \rightarrow \mathbb {RP}^{m}\) nos quocientes. Obtemos assim uma aplicação de sequências exatas curtas de complexos de cadeia Ilustração: Teorema de Borsuk-Ulam

Temos a sequência exata longa de homologia associada a sequência exata curta inferior do diagrama 11.5: Ilustração: Teorema de Borsuk-Ulam na qual já observamos que \(H_{m+1}\left(\mathbb {RP}^{m};\mathbb {Z}_2\right)=0\). Observe que em homologia, a composição da aplicação de recobrimento e de transferência é trivial:

\[ \tau _{*} \circ p_*=2 \cdot \operatorname {\operatorname {id}}_{H_{m }\left(\mathbb {S}^{m};\mathbb {Z}_2\right)}=0 \]

porque estamos considerando homologias com coeficientes no corpo \(\mathbb {Z}_2\).

Pela sequência exata longa anterior temos que a aplicação \(\tau _{*}\) é injetora, e logo \(p_*=0\), então o morfismo mais à direita na sequência é zero e \(\tau _{*}\) é um isomorfismo. Como \(H_{k}\left(\mathbb {S}^{m};\mathbb {Z}_2\right)\) se anula para \(0\lt k\lt m\), os morfismos de bordo \(H_{k}\left(\mathbb {RP}^{m} ;\mathbb {Z}_2\right) \rightarrow H_{k-1}\left(\mathbb {RP}^{m};\mathbb {Z}_2\right)\) são isomorfismos para \(1\lt k \leq m\).

Mas o morfismo final da sequência exata longa é claramente um isomorfismo porque ambos \(\mathbb {S}^{m}\) e \(\mathbb {RP}^{m}\) são conexos por caminhos. Portanto, a seta anterior é zero e, portanto, também \(H_{1}\left(\mathbb {RP}^{m};\mathbb {Z}_2\right) \rightarrow H_{0}\left(\mathbb {RP}^{m};\mathbb {Z}_2\right)\) é um isomorfismo.

Como as mesmas observações se aplicam a sequência exata longa superior, o quadrado com o homomorfismo de bordo no caso \(n \geq m\) e \(1 \leq i \leq m\) é Ilustração: Teorema de Borsuk-Ulam

Como \(\bar{g}: H_0(\mathbb {RP}^n;\mathbb {Z}_2)\to H_0(\mathbb {RP}^m;\mathbb {Z}_2)\) é um isomorfismo, o diagrama diz que \(\bar{g}\) também é um isomorfismo para \(1 \leq i \leq m\) por indução.

Também temos que Ilustração: Teorema de Borsuk-Ulam Mas para \(n\gt m\), isso é um absurdo pois \(H_{m}\left(\mathbb {S}^{n};\mathbb {Z}_2\right)= 0\) e \(H_{m}\left(\mathbb {S}^{m };\mathbb {Z}_2\right) \cong \mathbb {Z}/ 2\).

11.6 Teorema do Sanduíche de Presunto

O Teorema do Sanduíche de Presunto afirma que, dados \(n\) conjuntos mensuráveis no espaço euclidiano \(n\)-dimensional, é possível dividir cada um deles pela metade (em relação à sua medida) com um único hiperplano \((n-1)\)-dimensional. O teorema é verdadeiro até mesmo se os objetos se sobrepuserem.

O teorema foi proposto por Hugo Steinhaus e provado por Stefan Banach. A demonstração que apresentamos baseia-se no Teorema de Borsuk Ulam.

Sejam \(A_1, A_2, \dots , A_n\) uma coleção de conjuntos em \(\mathbb {R}^n\) mensuráveis então existe um hiperplano \(H\) dividindo simultaneamente todos eles em dois conjuntos de mesma medida.

Figura 11.9 A reta divide os conjuntos em pedaços de mesma área.

Demonstração ▼

Sejam \(A_1, A_2, \dots , A_n\) conjuntos em \(\mathbb {R}^n\) com medidas \(\mu _1=\mu (A_1),\dots , \mu _n=\mu (A_n)\). Dado um conjunto mensurável \(B \in \mathbb {R}^n\) definimos:

\[ \mu _i(B)=\mu (B\cap A_i.) \]

Seja \(\mathbb {S}^{n-1}\) a esfera unitária mergulhada em \(\mathbb {R}^{n}\), centrada na origem. Seja \(\boldsymbol {u}=\left(u_0, u_1, \ldots , u_n\right)\) um ponto da esfera \(\mathbb {S}^n\). Se pelo menos uma das componentes \(u_1, u_2, \ldots , u_d\) for diferente de zero, atribuímos ao ponto \(\boldsymbol {u}\) o semi-espaço

\[ h^{+}(\boldsymbol {u})\mathrel {\mathop:\! =}\left\{ \left(x_1, \ldots , x_n\right) \in \mathbb {R}^n: u_1 x_1+\cdots +u_n x_n \leq u_0 \right\} \]

Obviamente, os pontos antípoda de \(\mathbb {S}^n\) correspondem a semi-espaços opostos. Para um \(\boldsymbol {u}\) da forma \(\left(u_0, 0,0, \ldots , 0\right)\) (onde \(u_0=\pm 1\) ), temos pela mesma fórmula

\begin{align*} h^{+}((1,0, \ldots , 0)) & =\mathbb {R}^n, \\ h^{+}((-1,0, \ldots , 0)) & =\varnothing . \end{align*}

Definimos uma função \(f: \mathbb {S}^n \rightarrow \mathbb {R}^n\) por

\[ f_i(\boldsymbol {u})\mathrel {\mathop:\! =}\mu _i\left(h^{+}(\boldsymbol {u})\right) \]

Se tivermos \(f\left(\boldsymbol {u}_0\right)=f\left(-\boldsymbol {u}_0\right)\) para algum \(\boldsymbol {u}_0 \in \mathbb {S}^n\), então o bordo do semi-espaço \(h^{+}\left(\boldsymbol {u}_0\right)\) é o hiperplano desejado (não pode acontecer que \(f((1,0, \ldots , 0))=f((-1,0, \ldots , 0))\), então \(h^{+}\left(\boldsymbol {u}_0\right)\) é de fato um semi-espaço). Para podermos aplicar o Teorema de Borsuk-Ulam resta mostrar que \(f\) é contínua.

Seja \(\left(\boldsymbol {u}_n\right)_{n=1}^{\infty }\) uma sequência de pontos de \(\mathbb {S}^n\) convergindo para \(\boldsymbol {u}\); precisamos mostrar que \(\mu _i\left(h^{+}\left(\boldsymbol {u}_n\right)\right) \rightarrow \mu _i\left(h^{+}(\boldsymbol {u}) \right)\). Notamos que se um ponto \(\boldsymbol {x}\) não está no bordo de \(h^{+}(\boldsymbol {u})\), então para todo \(n\) suficientemente grande, temos \(\boldsymbol {x}\in h^{+}\left(\boldsymbol {u}_n\right)\) se, e somente se, \(\boldsymbol {x}\in h^{+}(\boldsymbol {u})\). Portanto, se \(g\) denota a função característica de \(h^{+}(\boldsymbol {u})\), ou seja, \(g(\boldsymbol {x})=1\) para \(\boldsymbol {x}\in h^{+}(\boldsymbol {u})\) e \(g(\boldsymbol {x})=0\) para \(\boldsymbol {x}\notin h^{+}(\boldsymbol {u})\) e \(g_n\) é a função característica de \(h^{+}\left(\boldsymbol {u}_n\right)\). Temos que \(g_n(\boldsymbol {x}) \rightarrow g(\boldsymbol {x})\) para todo \(\boldsymbol {x}\notin \partial h^{+}(\boldsymbol {u})\). Como \(\partial h^{+}(\boldsymbol {u})\) tem \(\mu _i\)-medida 0, \(g_n\) converge para \(g\) \(\mu _i\)-quase certamente.

Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue temos que

\[ \mu _i\left(h^{+}\left(\boldsymbol {u}_n\right)\right)=\int g_n \mathrm{~ d} \mu _i \rightarrow \int g \mathrm{~ d} \mu _i=\mu _i\left(h^{+}(\boldsymbol {u})\right), \]

pois todos as funções \(g_n\) são dominadas pela função constante \(1\), que é integrável, pois \(\mu _i\) é finito.

Exercício 11.1

Considere a seguinte história adaptada de Arnold 1992.

"Em certo país há duas cidades e dois caminhos que as unem: a estrada principal e a estrada secundária. Em A moram dois amantes, Carlos e Denise, que devem viajar para B: C pela estrada principal, e D pela secundária. Tão grande é a força de seu amor que se a qualquer instante eles estiverem separados por dez quilômetros ou mais, certamente morrerão. Além de um casal de namorados, nossa história contém um par de inimigos jurados, Everton e Franscisco. Como nosso história começa, E está em A, F está em B, e eles devem trocar de lugar, E viajando de A para B através da estrada principal enquanto F viaja de B para A através do estrada secundária. Tão grande é a força de seu ódio que se a qualquer instante eles estão separados por dez quilômetros ou menos, certamente morrerão. Prove que a tragédia é inevitável. Pelo menos duas pessoas vão acabar mortas"

Ilustração: Teorema do Sanduíche de Presunto

Para modelar o problema, no primeiro passo, parametrizaremos o problema no quadrado unitário \(S = [0, 1] \times [0, 1]\). Um ponto \((x, y) \in S\) descreve a localização de um par de caracteres (ou C e D, ou E e F) ao longo das estradas principal e secundária, respectivamente. Assim, por exemplo, o ponto (0, 0) representa o fato de “ambos os caracteres estão em A”, \((1, 1)\) representa “ambos os caracteres estão em B” (0,3, 0,7) representa que “o primeiro caractere percorreu 30 por cento do caminho ao longo da estrada principal de A a B e o segundo personagem está a 70 por cento do caminho ao longo da estrada secundária”, e assim por diante. As viagens de um par de personagens pelas estradas principal e secundária são agora codificado no movimento do único ponto \((x, y)\) em \(S\).

Assim temos que o caminho que descreve o movimento do par \((C, D)\) deve começar em \((0, 0)\) e terminar em \((1, 1)\). E o caminho que descreve o movimento de \((E, E)\) deve começar em \((0, 1)\) e terminar em \((1, 0)\). Então (e esta é a parte topológica que teremos que demonstrar), “obviamente”, os dois caminhos devem se intersectar.

O importante é o que acontece em um ponto de intersecção \((x_0, y_0)\). Ele representa um par de pontos - um na estrada principal, um na estrada secundária - que são ocupados (em momentos diferentes) tanto por C e D quanto por E e F. Se esse par de pontos estiver a 10 quilômetros ou mais de distância, significa a desgraça para M e D; 10 quilômetros ou menos, cortinas para E e F. De qualquer maneira, a tragédia é inevitável, assim como diz o problema.

Colocando o problema rigorosamente, queremos provar o seguinte teorema:

Teorema Sejam \(f, g\colon [0, 1]\to [0, 1]\times [0, 1]\) aplicações contínuas, tal que \(f(0) = (0, 0), \, f(1)= (1,1)\) e \(g(0) = (0, 1),\, g(1) = (1, 0)\). Então \(f(x)=g(y)\) para algum \(x, y\in [0, 1]\).

Use o Teorema da Curva de Jordan para provar esse fato. (Dica: complete um dos caminhos de modo a ser uma curva fechada.)
Use o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer para provar esse fato. (Dica: Considere \(F:I\times I \to I\times I\) apropriada.)

Exercício 11.2

Termine a demonstração do Teorema de Jordan Generalizado para \(\mathbb {R}^{n}\):

Seja \(C\) um subconjunto de \(\mathbb {R}^{n}\) homeomorfo a \(\mathbb {S}^{n-1}\). Então \(\mathbb {R}^{n}\setminus C\) tem precisamente duas componentes conexas, das quais \(C\) é a fronteira comum.

Exercício 11.3

Mostre que o grau da aplicação \(p:\mathbb {S}^1\to \mathbb {S}^1\) \(p(z)=z^n\) é \(n\) usando homologia simplicial.

Exercício 11.4

Prove que qualquer aplicação contínua \(f:\mathbb {S}^n\to \mathbb {S}.\) tal que \(\lVert f(x)-x\rVert \lt 1\) é sobrejetiva.

Exercício 11.5

Mostre uma aplicação \(f:\mathbb {S}^1\to \mathbb {S}^1\) tal que \(\deg f=0\) e \(f\) é sobrejetiva.

Exercício 11.6

Seja \(\Sigma X\) a suspensão de \(X\) e \(\Sigma f:\mathbb {S}^{n+1}\to \mathbb {S}^{n+1}\) a aplicação induzida por \(f:\mathbb {S}^n\to \mathbb {S}^n\) para \(n\gt 0\). Usando os resultados do Exercício 138, mostre que
\(\deg f = \deg \Sigma f\);
para \(m\in \mathbb {Z}\), existe uma aplicação \(g:\mathbb {S}^n\to \mathbb {S}^n\) de grau \(m\).

Exercício 11.7

Uma aplicação \( f: \mathbb {S}^n \rightarrow \mathbb {S}^n \) satisfazendo \( f (x) = f (-x) \) para todo \( x \) é dita aplicação par.

Mostre que um aplicação par tem um grau par e que esse grau é de fato zero quando a dimensão \( n \) é par.

Quando \( n \) é ímpar, mostre que existem mapas de qualquer grau par.

Exercício 11.8

Seja \(f: \mathbb {S}^n \to \mathbb {S}^n\) uma aplicação contínua com \(\deg f=0\). Mostre que devem existir pontos \(x, y \in \mathbb {S}^n\) com \(f(x)=x\) e \(f(y)=-y\).

Exercício 11.9

Neste exercício provaremos que uma esfera de dimensão par positiva não pode ser munida de uma estrutura de um grupo topológico. Dado um grupo \(G\) atuando como um grupo de homeomorfismos de um espaço \(X\), dizemos que \(G\) age livremente se o único elemento de \(G\) que possui algum ponto fixo é o elemento identidade. Sejam \(g, h\) dois elementos, diferentes ao elemento identidade, de um grupo \(G\) agindo livremente em \(\mathbb {S}^n\), onde \(n\gt 0\) é par.
Prove que \(g\) e \(h\) têm grau \(-1\).
Prove que \(g h\) é o elemento identidade.
Conclua que \(G\) é \(\mathbb {Z}_2\) ou o grupo trivial.
Prove que \(\mathbb {S}^n\) não é um grupo topológico.

Exercício 11.10

Prove que \(\mathbb {S}^3\) é um grupo topológico. Dica: identifique \(\mathbb {R}^4\) com os quatérnios.

Exercício 11.11

Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:

(Borsuk-Ulam) Se \(f:\mathbb {S}^n\to \mathbb {R}^n\), existe \(x\in \mathbb {S}^n\) tal que \(f(x)=f(-x)\).
Se \(A_{i}\subset \mathbb {S}^n\) são conjuntos fechados para \(i=1,2,\dots ,n+1\) tal que \(A_1\cup \cdots A_{n+1} = \mathbb {S}^n\), então pelo menos um desses conjuntos deve conter um par de pontos antipodais.
Se \(A_{i}\subset \mathbb {S}^n\) são conjuntos para \(i=1,2,\dots ,n+1\) tal que \(A_1\cup \cdots A_{n+1} = \mathbb {S}^n\), então pelo menos um desses conjuntos deve conter um par de pontos antipodais

Dicas: \((1)\Rightarrow (2)\) Defina \(f:\mathbb {S}^n\to \mathbb {R}^n\) tomando a \(j\)-ésima componente de \(f(x)\) como sendo a distância de \(x\) a \(A_j\). \((2)\Rightarrow (3)\) Use a normalidade da esfera. \((3)\Rightarrow (1)\) Defina \(g(x)=f(x)-f(-x)\) e por absurdo suponha que \(0\not\in g(\mathbb {S}^n)\). Defina \(n\) conjuntos abertos \(U_i=\{ x_i\gt 0\} \subseteq \mathbb {R}^n\), \(i=1,\dots ,n\), e adicione a esta coleção o conjunto \(U_{n +1}=\{ x_i\lt 0 \text{ para } i=1,\dots ,n\} \). Observe que \(g(\mathbb {S}^n)\subseteq \bigcup ^{n=1}_{i=1}U_i\).