Capítulo 13

Cohomologia Singular

Até agora, associamos a cada espaço topológico \(X\) uma sequência de módulos chamados de grupos de homologia. Agora associamos a \(X\) outra sequência de módulos, chamados de grupos de cohomologia. A cohomologia é uma variante algébrica da homologia, o resultado de uma simples dualização na definição, processo que tornaremos preciso em breve. A diferença básica entre estas teorias é que os grupos de cohomologia são funtores contravariantes, mas os grupos de homologia são funtores covariantes. Os grupos de homologia determinam os grupos de cohomologia correspondentes, e a reciproca é verdadeira se os grupos de homologia são finitamente gerados.

Esses grupos só foram definidos muito depois dos grupos de homologia. A ideia inicial dos grupos de cohomologia (módulos ou anéis) de um espaço topológico são atribuídas a S. Lefschetz em 1930, quando este formulou uma prova simplificada do teorema da dualidade para uma variedade orientável com bordo. Porém a definição de cobordo foi feita de modo independente por James W. Alexander e Andrey Kolmogorov em 1935. A razão não é difícil de entender, pois eles são geometricamente muito menos naturais do que os grupos de homologia.

O que é um pouco surpreendente é que a contravariância leva a uma estrutura extra na cohomologia: um produto natural chamado de produto cup, que tornam os grupos de cohomologia um anel. Esta estrutura adicional é extremamente útil, e grande parte deste capítulo é dedicada ao estudo de produto cup, que são consideravelmente mais sutis do que a estrutura aditiva da cohomologia.

A cohomologia possui uma aplicabilidade enorme e só para citar alguns exemplos temos o Teorema da Dualidade de Poincaré, a teoria de obstrução, e o Teorema de de Rham.

13.1 Cohomologia

Como observamos na introdução do capítulo os grupos cohomologia são uma variante algébrica da homologia, que a grosso modo, são "duais" aos grupos de homologia. Para tornar isso preciso começaremos descrevendo o módulo de cocadeias singulares como o dual do módulo de cadeias singulares.

Dados um espaço topológico \(X\) e um anel comutativo com unidade \(R\), para qualquer \(p\geq 0 \) definimos o módulo de cocadeias singulares \(S^{p}(X;R)\) como o dual do \(R\)-módulo \(S_{p}(X;R)\), ou seja, como \(\operatorname {Hom}_{R}(S_{p}(X;R), \ R)\) o módulo de todas as \(R\) aplicações lineares de \(S_{p}(X;R)\) a \(R\)

\[ S^{p}(X;R)=\operatorname {Hom}_{R}(S_{p}(X;R), \ R)=\{ f:S_{p}(X;R)\to R \} . \]

Os elementos de \(S^{p}(X;R)\) são denominados \(p\)-cocadeias singulares. Por completude, definimos \(S^{p}(X;R)=0\) para \(p\lt 0.\) Os módulos duais \(\operatorname {Hom}_{R}(S_{p}(X;R), \ R)\) são mais abstratos que os módulos \(S_{p}(X;R)\). De modo a simplificar a apresentação daremos agora uma descrição mais elementar dos módulo de cocadeias. Começamos observando que \(S_{p}(X;R)\) é o \(R\)-módulo livre gerado pelo conjunto \(S_{\Delta ^{p}}(X)\) dos \(p\)-simplexos singulares, e dessa forma toda aplicação linear de \(S_{p}(X;R)\) para \(R\) é completamente determinada pelos seus valores nos geradores \(S_{\Delta ^{p}}(X)\), e logo podemos ver um elemento de \(S^{p}(X;R)\) como uma função arbitrária \(f:S_{\Delta ^{p}}(X)\rightarrow R\) atribuindo a cada \(p\)-simplexo singular \(\sigma \) um elemento de \(R\). O conjunto de funções de \(S_{\Delta ^{p}}(X)\) a \(R\) formam um \(R\)-módulo sob as operações de multiplicação por escalar e adição usuais de funções. Resumindo:

\[ S^{p}(X;R)=\{ f:S_{\Delta ^{p}}(X)\to R \} . \]

Figura 13.1 Uma cocadeia singular f associa a cada p-simplexo um valor em R.

Figura 13.1 Uma cocadeia singular \(f\) associa a cada \(p\)-simplexo um valor em \(R.\)

Finalmente para obtermos um complexo de cocadeias precisamos definir o morfismo de cobordo \(\delta ^{p}:S^{p}(X;R)\rightarrow S^{p+1}(X;R)\). Poderíamos dizer apenas o operador de cobordo é o dual do operador de bordo, \(\delta ^{p}=\operatorname {Hom}_{R}(\partial _{p+1},R)\), mas a seguir vamos tentar interpretar o que isso significa.

É bastante natural exigir que para qualquer \(p\)-cocadeia singular \(f:S_{\Delta ^{p}}(X)\rightarrow R\), o morfismo de cobordo \(\delta ^{p}f\) satisfaça a seguinte propriedade de comutatividade: Ilustração: Cohomologia

Essa propriedade de comutatividade possui uma interpretação interessante. Se escrevermos \(\langle g, \beta \rangle =g(\beta )\) para a avaliação da \(p\)-cocadeia singular \(g\in S^{p}(X;R)\) na \(p\)-cadeia singular \(\beta \in S_{p}(X;R)\)

\[ \langle -, - \rangle : S^{p}(X;R)\times S_{p}(X;R) \to R \]

temos:

\[ \langle \delta ^{p}f, \ \alpha \rangle = \langle f, \ \partial _{p+1}\alpha \rangle , \]

ou seja, estamos definindo \(\delta ^{p}\) como a transformação adjunta (ou dual) de \(\partial _{p+1}\):

\[ \delta ^{p}=\partial _{p+1}^{*}. \]

Resumindo: temos que o complexo de cohomologia é obtido a partir do complexo de homologia pela dualização dos espaços e aplicações.

Dados um espaço topológico \(X\) e um anel comutativo com unidade \(R\), para qualquer \(p\geq 0, \) o homomorfismo de cobordo ou operador de cobordo

\[ \delta ^{p}:S^{p}(X;R)\rightarrow S^{p+1}(X;R) \]

é definido por

\[ \langle \delta ^{p}f, \ \alpha \rangle \mathrel {\mathop:\! =}\langle f, \ \partial _{p+1}\alpha \rangle , \]

para toda \(p\)-cadeia singular \(f:S_{\Delta ^{p}}(X)\rightarrow R\) e toda \((p+1)\)-cadeia singular \(\alpha \in S_{p+1}(X;R)\); equivalentemente,

\[ \delta ^{p}f\mathrel {\mathop:\! =}f\mathbin {\circ }\partial _{p+1} \text{ para toda }f\in S^{p}(X;R). \]

Definimos a soma direta \(S^{*}(X;R)\) como

\[ S^{*}(X;R)\mathrel {\mathop:\! =}\bigoplus _{p\geq 0}S^{p}(X;R)\ . \]

e podemos estender o morfismo de cobordo para a álgebra graduada obtendo \( \delta :S^{*}(X;R)\rightarrow S^{*}(X;R)\ .\)

Dados um espaço topológico \(X\) e um anel comutativo com unidade \(R\), o morfismo de cobordo \(\delta :S^{*}(X;R)\rightarrow S^{*}(X;R)\) satisfaz

\[ \delta \mathbin {\circ }\delta =0. \]

A demonstração dessa identidade é direta e será deixada como exercício.

Logo \(S^{p}(X;R)\) junto com os morfismos de cobordo \(\delta ^{p}\) formam o complexo de cocadeias: Ilustração: Cohomologia

Dado um espaço espaço topológico \(X\) e um anel comutativo com unidade \(R\) definimos

  1. O kernel \(Z^{p}(X;R)\) do operador cobordo \(\delta ^p : S^{p}(X;R) \to S^{p+1}(X;R)\), i.e.,

    \[ Z^{p}(X;R)=\ker \delta ^{p} \]

    é dito módulo dos \(p\)-cociclos singulares.

  2. A imagem \(B^{p}(X;R)\) do operador cobordo \(\delta ^{p-1} : S^{p-1}(X;R) \to S^{p}(X;R)\), i.e.,

    \[ B^{p}(X;R) \mathrel {\mathop:\! =}\mathrm{im}\, \delta ^{p-1} \]

    é dito módulo dos \(p\)-cobordos singulares.

Pela Proposição 13.1, \(B^{p}(X;R)\) é um submódulo de \(Z^{p}(X;R)\) e assim podemos definir os módulos de cohomologia:

Dados um espaço topológico \(X\) e um anel comutativo com unidade \(R\), para qualquer \(p\geq 0 \) o módulo de cohomologia singular \(H^{p}(X;R)\) é definido por

\[ H^{p}(X;R)\mathrel {\mathop:\! =}\dfrac {\ker \delta ^{p}}{\mathrm{im}\, \delta ^{p-1}}=\frac{Z^{p}(X;R)}{B^{p}(X;R)}\ . \]

Definimos por completude que \(H^{p}(X;R)=(0)\) se \(p\lt 0 \). Do mesmo modo que no caso dos grupos de homologia, é prática comum referir-se aos módulos \(H^{p}(X;R)\) como grupos mesmo sendo \(R\)-módulos.

Exemplo 13.1

Vamos mostrar que

\[ H^0 (X; R ) = \pi _0 (X)^R. \]

onde \(\pi _0(X)\) é o conjunto de todas as componentes conexas por caminho de \(X\).

Uma 0-cocadeia é uma função \(S_0 (X;R) \to R\); isto é, equivalentemente identificando os \(0\)-simplexos com pontos, uma função \(f : X \to R\). Para calcular \(\delta f\), seja \(\sigma : \Delta _1 \to X\) um 1-simplexo e calculamos \(f\) em seu bordo:

\[ (\delta f )(\sigma ) = f (\partial \sigma ) = f (\sigma (v_1)) - f (\sigma (v_0)) . \]

Então \(f\) é um cociclo se for constante nas componentes conexas por caminhos.

Sejam \(\{ X_i , i \in I\} \) as componentes conexas por caminho de um espaço \(X\). Então, para todo \(p \geq 0\),

\[ H^q (X) = \prod _{i\in I} H^q (X_i ), \]

ou seja, a cohomologia singular de \(X\) isomorfa ao produto da cohomologia singular de suas componentes conexas por caminho.

Coeficientes num \(R\)-módulo

Há uma generalização da cohomologia singular usando coeficientes mais gerais. Podemos usar \(R\)-módulo \(G\) como o conjunto de coeficientes.

Dados um espaço topológico \(X\), um anel comutativo com unidade \(R\) e um \(R\)-módulo \(G\), para qualquer \(p\geq 0 \) o grupo singular de cocadeias \(S^{p}(X;G)\) é o \(R\)-módulo \(\operatorname {Hom}_{R}(S_{p}(X;R), \ G)\) de \(R\)-aplicações lineares de \(S_{p}(X;R)\) a \(G\). Definimos \(S^{p}(X;G)=0\) para \(p\lt 0.\) Uma vez que \(S_{p}(X;R)\) é o \(R\)-módulo livre gerado pelo conjunto \(S_{\Delta ^{p}}(X)\) de \(p\)-simplexos singulares, podemos visualizar \(S^{p}(X;G)\) como o conjunto de todas as funções \(f:S_{\Delta ^{p}}(X)\rightarrow G.\) Este também é um \(R\)-módulo. Como um caso especial, se tomarmos \(R=\mathbb {Z}\), então \(G\) pode ser qualquer grupo abeliano. Como antes, obtemos \(R\)-módulos \(Z^{p}(X;G)\) e \(B^{p}(X;G)\) e morfismos de cobordo \(\delta ^{p}:S^{p}(X;G)\rightarrow S^{p+1}(X;G)\) definidos por

\[ \delta ^{p}f\mathrel {\mathop:\! =}f\mathbin {\circ }\partial _{p+1} \, \text{ para toda }\, f\in S^{p}(X;G). \]

Temos o complexo de cocadeia Ilustração: Coeficientes num \(R\)-módulo e obtemos os grupos de cohomologia.

Dados um espaço topológico \(X\), um anel comutativo com unidade \(R\) e um \(R\)-módulo \(G, \) para qualquer \(p\geq 0 \) o módulo de cohomologia singular \(H^{p}(X;G)\) é definido por

\[ H^{p}(X;G)\mathrel {\mathop:\! =}\dfrac {\ker \delta ^{p}}{\mathrm{im}\, \delta ^{p-1}}=\dfrac {Z^{p}(X;G)}{B^{p}(X;G)}\ . \]

Definimos \(H^{p}(X;G)=(0)\) se \(p\lt 0 \) e definimos a cohomologia singular de \(X\) com coeficientes em \(G\),denotada \(H^{*}(X;G)\), como a soma direta

\[ H^{*}(X;G)\mathrel {\mathop:\! =}\bigoplus _{p\geq 0}H^{p}(X;G) \]

Exemplo 13.2

Seja \(X\) o espaço que consiste de um único ponto. Então existe um único \(n\)-simplexo singular \(\sigma _{n}:\Delta ^{n}\rightarrow X\) para cada \(n\geq 0\), e dessa forma \(S_p(X;R)=R\sigma _{n}\) e \(S^{p}(X; G)=G\varphi ^{n}\) para cada \(n\geq 0\), onde

\[ (g\varphi ^{n})(\sigma _{n})=g. \]

Temos que

\[ \partial \sigma _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma _{n-1} \]

é igual a \(\sigma _{n-1}\) para \(n\geq 2\) par, e é igual a \(0\) para \(n\geq 1\) ímpar. Portanto, \(\delta \varphi ^{n}\) é igual a \(\varphi ^{n+1}\) para \(n\geq 1\) ímpar e é igual a \(0\) para \(n\geq 0\) par.

Portanto, temos o complexo de cocadeias: Ilustração: Coeficientes num \(R\)-módulo Os homomorfismos de bordo rotulados como \(1\) são isomorfismos e os rotulados \(0\) são triviais. Portanto \(B^{n}(;\ G)\) é igual a \(G\varphi ^{n}\) para \(n\geq 2\) par, e é zero caso contrário, enquanto \(Z^{n}(X;G)\) é igual a \(G\varphi ^{n}\) para \(n\geq 0\) par, e é zero caso contrário. Assim para \(n\neq 0\) temos \(B^{n}(X;G)=Z^{n}(X;G)\) e \(H^{n}(X\ G)=0\). No caso \(n=0\) temos

\[ H^{0}\ (X;\ G)=Z^{0}\ (X;\ G)/B^{0}\ (X;\ G)=G\varphi ^{0}/0\cong G. \]

Funtorialidade da Cohomologia

A cohomologia é funtorial. Para vermos a validade dessa afirmação considere \(f:X\rightarrow Y\) uma aplicação contínua, sabemos que essa função induz uma aplicação de cadeias \(f_{\sharp , p}:S_{p}(X;R)\rightarrow S_{p}(Y;R)\), Ilustração: Funtorialidade da Cohomologia então aplicando \(\operatorname {Hom}_{R}(\bullet , G)\) obtemos uma aplicação de cocadeia \(f^{\sharp , p}:S^{p}(Y;G)\rightarrow S^{p}(X;G)\) Ilustração: Funtorialidade da Cohomologia que comuta com cobordos (pois \(f_{\sharp , p}\) comuta com os bordos) e, portanto, temos um homomorfismo

\[ f^{*p}:H^{p}(Y;G)\rightarrow H^{p}(X;G). \]

Esse fato é registrado como a seguinte proposição.

Se \(X\) e \(Y\) são dois espaços topológicos e se \(f:X\rightarrow Y\) é uma função contínua entre eles, então existem homomorfismos \(f^{*p}:H^{p}(Y;G)\rightarrow H^{p}(X;G)\) para todo \(p\geq 0.\) Como consequência da proposição anterior temos

Se \(X\) e \(Y\) são dois espaços topológicos homeomorfos então \(H^{p}(Y;G)\cong H^{p}(X;G)\) para todo \(p\geq 0.\) Ou seja, os grupos de cohomologia são invariantes topológicos.

Dessa forma, o grupo de homologia singular é um funtor. De modo mais preciso, temos os funtores \( H^i(\bullet ;R) \): Ilustração: Funtorialidade da Cohomologia

13.2 Cohomologia Reduzida e Relativa

Nesta seção denotaremos por \(R\) um anel comutativo com elemento identidade e por \(G\) um \(R\)-módulo.

Os grupos de cohomologia singular reduzidos \(\widetilde{H}^{p}(X;G)\) são definidos pela dualização do complexo de cocadeias aumentada Ilustração: Cohomologia Reduzida e Relativa aplicando \(\operatorname {Hom}_{R}(\bullet , G)\) temos (veja o exercício correspondente sobre cohomologia reduzida)

\begin{align} \widetilde{H}^{0}(X;G) & =\operatorname {Hom}_{R}(\widetilde{H}_{0}(X;R), \ G) \tag{13.1} \\ \widetilde{H}^{p}(X;G) & =H^{p}(X;G), \quad p\geq 1. \tag{13.2} \end{align}

Pelo exercício correspondente sobre cohomologia reduzida, temos que

\[ H^{0}(X;G)\cong \widetilde{H}^{0}(X;G)\oplus G. \]

De modo análogo, para obtermos os grupos de cohomologia relativa, dualizamos o complexo de cadeias de homologia relativa Ilustração: Cohomologia Reduzida e Relativa aplicando \(\operatorname {Hom}_{R}(\bullet ; G)\), e lembrando que \(S_{p}(X, \ A;R)=S_{p}(X, \ R)/S_{p}(A, \ R)\). Dessa forma obtemos o complexo de cocadeias Ilustração: Cohomologia Reduzida e Relativa com \(S^{p}(X, \ A;G)=\operatorname {Hom}_{R}(S_{p}(X, \ A;R), \ G)\) e \(\delta ^{p}=\operatorname {Hom}_{R}(\partial _{p}, \ G)\) para todo \(p\geq 0 \) (e \(\delta ^{-1}\) é o morfismo zero). Mais explicitamente

\[ \delta ^{p}(f)=f\mathbin {\circ }\partial _{p+1}\text{ para todos }f\in S^{p}(X, \ A;G) . \]

Observe que \(S^{p}(X, \ A;G)=\operatorname {Hom}_{R}(S_{p}(X;R)/S_{p}(A;R), \ G)\) é isomorfo ao submódulo de \(S^{p}(X;G)=\operatorname {Hom}_{R}(S_{p}(X;R), \ G)\) consistindo em todos os aplicações lineares com valores em \(G\) definidos em simplexos singulares em \(S_{p}(X;R)\) que se anulam nos simplexos singulares de \(S_{p}(A;R)\). Consequentemente, o morfismo de cobordo

\[ \delta ^{p}:S^{p}(X, \ A;G)\rightarrow S^{p+1}(X, \ A;G) \]

é a restrição de \(\delta _{X}^{p}:S^{p}(X;G)\rightarrow S^{p+1}(X;G)\) a \(S^{p}(X, \ A;G)\) onde \(\delta _{X}^{p}\) é o morfismo de bordo da cohomologia absoluta.

Dado um par topológico \((X, \ A)\), os grupos de cohomologia relativa singulares \(H^{p}(X, \ A;G)\) de \((X, \ A)\) surgem do complexo de cocadeias Ilustração: Cohomologia Reduzida e Relativa e são dados por

\[ H^{p}(X, \ A;G)=\frac{\ker \delta ^{p}}{\mathrm{im}\, \delta ^{p-1}}, \ p\geq 0. \]

Como no caso da cohomologia singular absoluta, uma aplicação contínua \(f:(X, \ A)\rightarrow (Y, \ B)\) induz um homomorfismo da cohomologia relativa \(f^{*}:H^{*}(Y, \ B)\rightarrow H^{*}(X, \ A)\). Isso ocorre porque a aplicação \(f\) induz uma aplicação de cadeias \(f_{\sharp }:S_{*}(X, \ A;R)\rightarrow S_{*}(Y, \ B;R)\), e aplicando \(\operatorname {Hom}_{R}(\bullet , G)\) obtemos uma aplicação de cocadeia \(f^{\sharp }:S^{*}(Y, \ B;G)\rightarrow S^{*}(X, \ A;G)\) que comuta com cobordos e, portanto, induz homomorfismos \(f^{*p}:H^{p}(Y, \ B;G)\rightarrow H^{p}(X, \ A;G)\).

Se \((X, \ A)\) e \((Y, \ B)\) são pares topológicos e se \( f:(X, \ A)\rightarrow (Y, \ B)\) é uma função contínua entre eles, então existem homomorfismos

\[ f^{*p}:H^{p}(Y, \ B;G)\rightarrow H^{p}(X, \ A;G) \text{ para } p\geq 0. \]

Como consequência da proposição anterior temos que a cohomologia (relativa) é um invariante topológico.

A partir da sequência exata curta Ilustração: Cohomologia Reduzida e Relativa e como o módulo \(S_{p}(X, A ; R)\) é livre, a sequência anterior é cindida e aplicando \(\operatorname {Hom}_{R}(\bullet ; G)\) obtemos a sequência exata curta Ilustração: Cohomologia Reduzida e Relativa e logo pelo Teorema 7.7 temos a Sequência Exata Longa de Cohomologia Relativa:

Sequência Exata Longa de Cohomologia Relativa. Ao par \((X, \ A)\) topológico temos a seguinte sequência exata longa de grupos de cohomologia Ilustração: Cohomologia Reduzida e Relativa Como para os grupos de homologia, também temos o isomorfismo \(H^n (X, A;R)\cong H^n (X/A, A/A;R)\) quando \((X, A)\) é um bom par.

Bons Pares. Se \((X, A)\) é um bom par então a aplicação quociente \(q:(X, A)\to (X/A, A/A)\) induz um isomorfismo \(q_*: H^n (X, A;R)\to H^n (X/A, A/A;R)\cong \widetilde{H}^n(X/A;R)\) para todo \(n\).

Exemplo 13.3 (Cohomologia das Esferas)

Os grupos de cohomologia singular das esferas são:

\begin{align} \widetilde{H}^{n}(\mathbb {S}^{m};R) & \cong \left\{ \begin{array}{ll} R, & \ n=m \\ 0, & \text{ caso contrário } \end{array}\right. \tag{13.3} \end{align}

O que pode ser reescrito como:

\begin{align} H^{n}(\mathbb {S}^{0};R) & \cong \left\{ \begin{array}{ll} R\oplus R, & \ n=0 \\ 0, & \text{ caso contrário } \end{array}\right. \tag{13.4} \\ H^{n}(\mathbb {S}^{m};R) & \cong \left\{ \begin{array}{ll} R, & \ n=0 \\ R, & \ n=m \\ 0, & \text{ caso contrário } \end{array}\right. \text{ se } m\gt 0 \tag{13.5} \end{align}

Não faremos o caso \(H^{n}(\mathbb {S}^{0};R)\) que é simples.

Para calcularmos os grupos de cohomologia para \(\mathbb {S}^{n+1}\), usaremos a sequência exata longa em cohomologia para o bom par \((\mathbb {D}^{n+1}, \partial ( \mathbb {D}^{n+1})\cong \mathbb {S}^n)\). Começando em \(H^{k-1}(\mathbb {S}^{n})\), obtemos: Ilustração: Cohomologia Reduzida e Relativa Aqui, usamos o fato de que, como \((\mathbb {D}^{n+1}, \mathbb {S}^n)\) é um bom par, sua cohomologia é isomorfa à de \(\mathbb {D}^{ n+1}/\mathbb {S}^n\), que é \(\mathbb {S}^{n+1}\). Pela hipótese indutiva e pelo fato de que a cohomologia de um disco é igual a de um ponto, temos a sequência (onde \(k\lt n-1\)) Ilustração: Cohomologia Reduzida e Relativa Assim, \(H^{k}(\mathbb {S}^{n+1})\cong 0\) também. A sequência exata longa para \(H^{n}\) é um pouco diferente e deixaremos esse caso como exercício.

13.3 Propriedades da Cohomologia

Invariância por Homotopia

A cohomologia também é invariante por homotopias.

Sejam \(C\) e \(D\) complexos de cocadeia. Uma aplicação de cocadeia \(f:C\rightarrow D\) é uma sequência de homomorfismos

\[ f^{q}:C^{q}\rightarrow D^{q} \]

que comutam com os operadores de cobordo. Se \( f, g:C\rightarrow D\) são aplicações de cocadeia, então uma homotopia de cocadeia \(H\) entre \(\displaystyle f\) e \(g\) é uma sequência de homomorfismos \(h^{q}:C^{q}\rightarrow D^{q-1}\) tais que

\[ f^{q}-g^{q}=\delta ^{q-1}h^{q}+h^{q+1}\delta ^{ q}. \]

Ilustração: Propriedades da Cohomologia

Seja \(f:(X, \ A)\rightarrow (Y, \ B)\) uma aplicação contínua de pares topológicos então temos a aplicação de cadeias induzida,

\[ f_{\sharp }\ :\ S_{*}(X, \ A)\rightarrow S_{*}(Y, \ B)\ , \]

que dá origem a uma aplicação de cocadeia

\[ f^{\sharp }:S^{*}(Y, \ B;G)\rightarrow S^{*}(X, \ A; G) \]

e, portanto, a um homomorfismo induzido em grupos de cohomologia

\[ f^{*}:H^{q}(Y, \ B;G)\rightarrow H^{q}(X, \ A;G) \]

para todo \(q\). Observamos que o homomorfismo induzido em cohomologia segue o caminho oposto ao da homologia; estamos lidando com um funtor contravariante.

Se duas funções \(f, g:(X, \ A)\rightarrow (Y, \ B)\) são homotópicas, então qualquer homotopia \(h:(X\times I , \ A\ \times I)\rightarrow (Y, \ B)\) dá origem a uma homotopia em cadeia \( h_{\sharp }:S_{*}(X, \ A)\rightarrow S_{*+1}(Y, \ B)\) entre as aplicações de cadeias \(f_{\sharp }\) e \(g_{\sharp }\):

\begin{align*} f_{\sharp ,n} - g_{\sharp ,n} =\partial _{n+1}\circ h_{\sharp ,n} + h_{\sharp ,n-1}\circ \partial _n \end{align*}

Dualizando essa equação obtemos

\[ f^{\sharp ,n}-g^{\sharp ,n}= h^{\sharp ,n+1}\mathbin {\circ }\delta ^{n }+\delta ^{ n-1}\mathbin {\circ }h^{\sharp ,n}. \]

Portanto, \(h^{\sharp }:S^{*+1}(Y, \ A)\rightarrow S^{*}(X, \ B)\) é uma homotopia de cocadeias entre \(f^{\sharp }\) e \(g^{ \sharp }\) e consequentemente os homomorfismos induzidos

\[ f^{*}, \ g^{*}:H^{q}(Y, \ B;G)\rightarrow H^{q }(X, \ A;G) \]

são os mesmos.

Dados \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f, g:X\rightarrow Y\) duas aplicações contínuas, se \(f\) e \(g\) são homotópicas e \(f^{*p}, g^{*p}:H^{p}(Y;G)\rightarrow H^{p}(X;G)\) são os homomorfismos induzidos, então \(f^{*p}=g^{*p}\) para todos \(p\geq 0 \). Como consequência direta temos

Invariância por Homotopia. Se \(X \) e \( Y\) possuem o mesmo tipo de homotopia, então os grupos de cohomologia \(H^{p}(X;R)\) e \(H^{p}(Y;R)\) são isomorfos para todos \(p\geq 0, \) Como \(\mathbb {R}^{n}\) é contrátil temos o seguinte corolário:

Os grupos de cohomologia singular de \(\mathbb {R}^{n}\) são dados por

\[ H^{p}(\mathbb {R}^{n};R)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ se }\ p\geq 1 \\ R & \text{ se }\ p=0. \end{array}\right. \]

Axioma de Excisão

O Axioma de Excisão também é válido para a cohomologia singular.

Axioma de Excisão. Dados os subespaços \(Z\subseteq A\subseteq X\), de modo que o fecho de \(Z\) esteja contido no interior de \(A\), então a inclusão \((X-Z, \ A-Z)\rightarrow (X, \ A)\) induz um isomorfismo de cohomologia singular

\[ H^{p}(X-Z, \ A-Z;G)\cong H^{p}(X, \ A;G), \text{ para todos }p\geq 0. \]

Equivalentemente, para quaisquer subespaços \(A, B\subseteq X\) cujos interiores cubram \(X\), o morfismo de inclusão \((B, \ A\cap B)\rightarrow (X, \ A)\) induz isomorfismos

\[ H^{p}(B, \ A\cap B;G)\cong H^{p}(X, \ A;G), \text{ para todos }p\geq 0. \]
Demonstração ▼

O Axioma de Excisão para a cohomologia singular decorre da prova de excisão para homologia singular. Sejam \(A, B\subseteq X\) cujos interiores cubram \(X\). E considere

\[ \iota :S_{*}(A+B)\subseteq S_{*}(X) \]

a inclusão do subcomplexo de simplexo em \(A\) ou \(B\). Usando a subdivisão baricêntrica, existe uma aplicação de cadeia

\[ \rho :S_{*}(X)\rightarrow S_{*}(A+B) \]

tal que \(\rho \iota =1\) e \( 1-\iota \rho =\partial h+h\partial \) para uma homotopia em cadeia \(h\). Aplicando \(\operatorname {Hom}(\bullet , G)\) , obtemos a aplicação dual de cocadeias

\begin{align*} \iota ^{\# }: & \ S^{\# }(X;G)\rightarrow S^{\# }(A+B;G)=\operatorname {Hom}(S_{*}(A+B), \ G) \qquad \text{ e } \\ \rho ^{\# }: & S^{\# }(A+B;G)\rightarrow S^{\# }(X;G) \end{align*}

tal que \(\iota ^{\# }\rho ^{\# }=1\) e \(1-\rho ^{\# }\iota ^{\# }=h^{\# }\delta +\delta h^{\# }\). Portanto \(\iota ^{\# }\) induz um isomorfismo em cohomologia

\[ H(S_{*}(A+B), \ G) \cong H(X, \ G) \]

Dado o diagrama de sequências exatas curtas de complexos de cocadeias Ilustração: Propriedades da Cohomologia temos o diagrama de sequências exatas longas induzidas Ilustração: Propriedades da Cohomologia e pelo Lema dos Cinco \(H^n(A+B, \ A;G) \cong H^n(X, \ A;G)\).

Existe ainda uma identificação natural \(S^{*}(A+B, \ A;G)\cong S^{*}(B, \ A\cap B;G)\), e consequentemente temos um isomorfismo induzido \(H ^{*}(A+B, \ A;G)\cong H^{*}(B, \ A\cap B;G)\) com \(\iota ^{*}\) é o isomorfismo de excisão.

Sequência exata de Mayer-Vietoris

Há também uma versão da sequência exata de Mayer-Vietoris para cohomologia singular.

Dado um espaço topológico \(X\), para quaisquer dois subconjuntos \(A, B\) de \(X\) tal que \( X=\operatorname {int}{(A)\cup \operatorname {int}(B)}\), pelo Teorema 10.5 que temos uma sequência exata curta Ilustração: Propriedades da Cohomologia para todo \(p\geq 0 \), onde \(\varphi \) e \(\psi \) são dadas por

\begin{align*} \varphi (c) & =(i_{\sharp }(c), -\ j_{\sharp }(c)) \\ \psi (a, \ b) & =k_{\sharp }(a)+l_{\sharp }(b)\ . \end{align*}

e onde \(i, j, k, l\) são as aplicações de inclusão mostradas no diagrama abaixo: Ilustração: Propriedades da Cohomologia

Como \(S_{p}(A;G)\oplus S_{p}(B;G)\) é livre e porque \(S_{p}(A\cap B;G)\) é um submódulo de \(S_{p}(A;G)\) e \(S_{p}(B;G)\), podemos escolher bases em \(S_{p}(A;G)\) e \(S_{p}(B;G)\) completando uma base de \(S_{p}(A\cap B;G)\) e, como consequência, podemos definir uma aplicação \(p:S_{p}(A;G)\oplus S_{p}(B;G)\rightarrow S_{p}(A\cap B;G)\), de modo que \(p\mathbin {\circ }\varphi =\operatorname {\operatorname {id}}.\) Portanto, a sequência acima cinde e, se aplicarmos \(\operatorname {Hom}_{R} (\bullet , G\)) a ela, pela Proposição 7.3 obtemos uma sequência exata curta Ilustração: Propriedades da Cohomologia onde \(\varphi ^{*}=\operatorname {Hom}(\varphi ;G)\) e \(\psi ^{*}=\operatorname {Hom}(\psi ;G)\). Podemos mostrar que \(\psi ^{*}=(i^{\sharp }, \ j^{\sharp }) \) e \(\varphi ^{*}= k^{\sharp }-l^{\sharp }\).

A inclusão \(\iota _{p}:S_{p}(A)+S_{p}(B)\rightarrow S(X)\) e \(\rho _{p}:S_{p}(X)\rightarrow S_{p}(A)+S(B)\) são equivalentes por homotopia de cadeias de modo que \(\rho \mathbin {\circ }\iota \) e \(\iota \mathbin {\circ }\rho \) são homotópicas de cadeias para \(\operatorname {\operatorname {id}}\), aplicando \(\operatorname {Hom}_{R}(\bullet , R\)) vemos que também existe uma equivalência por homotopia de cadeias entre \(\operatorname {Hom}(S_{p}(A)+S_{p}(B);G)\) e \(\operatorname {Hom}(S_{p}(X);G)=S^{p}(X)\), de modo que a sequência exata longa associada à sequência exata curta leva a Sequência de Mayer Vietoris.

Mayer Vietoris para Cohomologia Singular. Se \(X\) é um espaço topológico então para quaisquer dois subconjuntos \(A, B\) de \(X\) tais que \(X=\operatorname {int}{(A)}\cup \operatorname {int}{(B)}\), existe uma longa sequência exata de cohomologia Ilustração: Propriedades da Cohomologia Se \( A\cap B\neq \emptyset \), existe uma sequência semelhante na cohomologia reduzida. Vamos dar a descrição de \(\delta ^{*,p}\). Para isso considere o diagrama Ilustração: Propriedades da Cohomologia Seja \(z \in S^p(A\cap B;G)\) um ciclo. Pela exatidão das linhas, existe \(y = (a, b) \in S^p(A;G)\oplus S^p(B;G)\) que é levado para \(z\). Pela comutatividade do diagrama e pelo fato de que \(\delta z = 0\), \(\delta y\) vai para 0 em \(S^{q+1}(A \cap B;G)\), ou seja, -\(\delta (a)\) e \(\delta (b)\) concordam em \(A \cap B\). Portanto, \(\delta y\) é a imagem de um elemento em \(S^{p+ 1}(X;G)\). Este elemento representa \(\delta ^{*,p}[z]\). Como anteriormente podemos mostrar que \(\delta ^{*,p}[z]\) é independente das escolhas nesta construção.

Exemplo 13.4 (Cohomologia de \(\mathbb {S}^1\))

Para calcular a cohomologia de \(\mathbb {S}^1\) consideraremos a cobertura do círculo por dois arcos abertos \(A\) e \(B\) como na Figura 13.2. A interseção \(A \cap B\) é a união disjunta de dois arcos abertos, que chamamos de \(C\) e \(D\), i.e., \(A \cap B=C\sqcup D\).

Figura 13.2 Cobertura aberta de S^1.

Figura 13.2 Cobertura aberta de \(\mathbb {S}^1\).

Como um arco aberto é difeomorfo a um intervalo aberto e, portanto, à reta real \(\mathbb {R}\), os anéis de cohomologia de \(A\) e \(B\) são isomorfas a de \(\mathbb {R}\), e a cohomologia de \(A \cap B\) é isomorfa à da união disjunta \(\mathbb {R}\sqcup \mathbb {R}\). Ilustração: Propriedades da Cohomologia Ilustração: Propriedades da Cohomologia

Como \(\varphi ^{*}(a, b)=((a-b)\mathord {\upharpoonright }{C}, (a-b)\mathord {\upharpoonright }{D})\) temos que \(\mathrm{im}\, \varphi ^{*}=R(1, 1)\) e que \(\ker \varphi ^{*}=R(1, 1)\). Logo

\begin{align*} H^0(\mathbb {S}^1;R) & = \ker \varphi ^{*}\cong R \\ H^1(\mathbb {S}^1;R) & = R\oplus R/\varphi ^{*} \cong R \end{align*}

Equivalência entre a Cohomologia Simplicial e Singular

O propósito desta seção é demostrar que as cohomologias singular e simplicial coincidem em \(\Delta \)-complexos. Denotaremos por \(H^{\Delta } (X, A;R)\) a homologia simplicial e por \(H^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}} (X, A;R)\) a homologia singular de \(X\).

Nessa seção assumiremos que \(R\) é um domínio de ideais principais, pois precisamos da seguinte proposição que será demonstrada posteriormente.

Seja \(R\) um domínio de ideais principais. Se uma aplicação de cadeias entre complexos de cadeias de módulos livres induz um isomorfismo nos grupos de homologia, então induz um isomorfismo nos grupos de cohomologia com qualquer módulo de coeficiente \(G\). Seja \(X\) um \(\Delta \)-complexo e \(R\) um domínio de ideais principais. Então, para todo \(n\),

\[ H^n (X, A; G) \cong H_{\Delta }^n (X, A; G). \]
Demonstração ▼

Se \(X\) é um \(\Delta \) complexo e \(A \subset X\) é um subcomplexo, então o grupos de cadeias simpliciais \(\Delta _n (X, A)\) dualizam para grupos de cocadeias simpliciais \(\Delta ^n (X, A; G) = \operatorname {Hom}(\Delta _n (X, A), G)\), e os grupos de cohomologia resultantes são, por definição, os grupos de cohomologia simpliciais \(H^{\Delta n} (X, A; G)\).

Como as inclusões \(\Delta _n (X, A) \subset S_n (X, A)\) induzem isomorfismos \(H_n^{\Delta }(X, A) \cong H_n (X, A)\), a Proposição 13.3 implica que as aplicações duais \(S^n (X, A; G) \to \Delta ^n (X, A; G)\) também induzem isomorfismos

\[ H^n (X, A; G) \cong H_{\Delta }^n (X, A; G). \]

13.4 Relação entre os Grupos de Homologia e Cohomologia

Em uma seção posterior demonstraremos o Teoremas dos Coeficientes Universais para a Cohomologia que estabelece relações entre grupos de homologia e cohomologia. Nessa seção apresentaremos um de seus corolários que descreve o \(n\)-ésimo grupo de cohomologia com coeficientes em um grupo abeliano G em termos do \(n\)-ésimo e \((n - 1)\)-ésimo grupos de homologia e do grupo G

Coeficientes Universais para os Grupos de Cohomologia. Se \(X\) é um espaço topológico, \(A\) é um subconjunto de \(X\) e \(G\) é um grupo abeliano então existe uma sequência exata cindida

\[ 0 \rightarrow \operatorname {\operatorname *{Ext}}^1 \left(H_{n-1}(X,A;{\mathbb {Z}}), G\right) \rightarrow H^n(X,A ; G) \stackrel{\alpha }{\rightarrow } \operatorname {Hom}_{\mathbb {Z}} \left(H_n(X,A), G\right) \rightarrow 0 . \]

A aplicação \(\alpha \) envia a classe de cohomologia do cociclo \(\varphi : C_n \rightarrow G\) para o homomorfismo \(H_n(C) \rightarrow G,[c] \mapsto \varphi (c)\). Dessa forma então existe um isomorfismo relativo cohomologia singular

\[ H^{n}(X, A ; G) \cong \operatorname {Hom}_{\mathbb {Z}}\left(H_{n}(X, A ; \mathbb {Z}), G\right) \oplus \operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}^{1}\left(H_{n-1}(X, A ; \mathbb {Z}), G\right) \]

para todo \(n \geq 0\).

O funtor \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}\) será descrito em detalhes posteriormente. Apresentaremos nessa seção apenas um conjunto de propriedades que no caso em que \(G\) é um grupo abeliano finitamente gerado, nos permite calcular \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}^{1}\left(H_{n-1}(X, A ; \mathbb {Z}), G\right)\). É comum descartar o subscrito 1 em \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}^{1}\).

O funtor \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}^{1}\) possui as seguintes propriedades na categoria de grupos abelianos:

  1. \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}\left(A_1 \oplus A_2, B\right) \cong \operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}\left(A_1, B\right) \oplus \operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}\left(A_2, B \right)\)

  2. \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}(A, B)=0\) para um grupo abeliano livre \(A\).

  3. \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}(\mathbb {Z}_n, B) \cong B / n B\).

  4. \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}(\mathbb {Z}_n, B)=0\) para \(B=\mathbb {Q}, \mathbb {Q}/ \mathbb {Z}, \mathbb {R}\).

  5. \(\operatorname {\operatorname *{Ext}}_{\mathbb {Z}}(\mathbb {Z}_m, \mathbb {Z}_n) \cong \mathbb {Z}/\operatorname {mmc}(m, n)\).

Exemplo 13.5

Considere o plano projetivo tridimensional \(\mathbb {RP}^3\) com a estrutura de CW-complexo tendo uma célula \(e^n\) em cada dimensão para \(0 \leq n \leq 3\). O complexo celular associado é

\[ 0 \rightarrow \mathbb {Z}[e^3] \stackrel{0}{\longrightarrow } \mathbb {Z}[e^2] \stackrel{2}{\longrightarrow } \mathbb {Z}[e^1] \stackrel{0}{\longrightarrow } \mathbb {Z}[e^0] \rightarrow 0 . \]

Portanto, os grupos de homologia com coeficientes em \(\mathbb {Z}\) são:

\[ H_n(\mathbb {RP})= \begin{cases} \mathbb {Z}& \text{ para } n=0 \\ \mathbb {Z}_2 & \text{ para } n=1 \\ 0 & \text{ para } n= 2 \\ \mathbb {Z}& \text{ para } n=3 \\ 0 & \text{ para } n\gt 3 . \end{cases} \]

Segue então que

\[ G \otimes H_n(\mathbb {RP})= \begin{cases} G & \text{ para } n=0, n=3 \\ G / 2 G & \text{ para } n=1 \\ 0 & \text{ para } n=2, n\gt 3 \end{cases} \qquad \text{ e } \]
\[ \operatorname {\operatorname *{Tor}}\left(G, H_n(\mathbb {RP})\right)= \begin{cases} {}_2G & \text{ para } n=1 \\ 0 & \text{ caso contrário } \end{cases} \]

Logo pelo Teorema dos Coeficientes Universais para a Homologia temos que:

\[ H_n\left(\mathbb {RP}; G\right) \cong \begin{cases} G & \text{ para } n=0 \\ G / 2 G & \text{ para } n=1 \\ {}_2G & \text{ para } n=2 \\ G & \text{ para } n=3 \\ 0 & \text{ para } n\gt 3 \end{cases} \]

De forma similar,

\[ \operatorname {Hom}\left(H_n(\mathbb {RP}), G\right)= \begin{cases} G & \text{ para } n=0, n=3 \\ {}_2G & \text{ para } n=1, n\gt 3 \\ 0 & \text{ para } n=2 \end{cases} \quad \text{ e } \]
\[ \operatorname {\operatorname *{Ext}}\left(H_n(\mathbb {RP}), G\right)= \begin{cases} G / 2 G & \text{ para } n=1 \\ 0 & \text{ caso contrário } \end{cases} \]

Logo pelo Teorema dos Coeficientes Universais para a Cohomologia temos que:

\[ H^n\left(\mathbb {RP}; G\right) \cong \begin{cases} G & \text{ para } n=0 \\ {}_2G & \text{ para } n=1 \\ G / 2 G & \text{ para } n=2 \\ G & \text{ para } n=3 \\ 0 & \text{ para } n\gt 3 . \end{cases} \]

Por exemplo, no caso onde os coeficientes são \(\mathbb {Z}\) temos que:

\[ H^n\left(\mathbb {RP}; \mathbb {Z}\right) \cong \begin{cases} \mathbb {Z}& \text{ para } n=0 \\ 0 & \text{ para } n=1 \\ \mathbb {Z}_2 & \text{ para } n=2 \\ \mathbb {Z}& \text{ para } n=3 \\ 0 & \text{ para } n\gt 3 . \end{cases} \]

13.5 Produto Cup e o Anel de Cohomologia

Uma grande diferença entre homologia e cohomologia, além da contravariância da segunda, é que a cohomologia pode ser dotada de um produto "natural", tornando a cohomologia, especificamente \(H^*(X; R)\), um anel. Para multiplicar cocadeias, precisaremos multiplicar seus coeficientes, e para isso, precisamos usar um anel para os coeficientes da cohomologia, em vez de apenas um módulo.

Assim, queremos definir uma operação \(\smile \) que leva duas cocadeias \(c\in S^{p}(X;R)\) e \(d\in S^{q}(X;R)\) e produz uma cocadeia \(c\smile d\in S^{p+q}(X;R)\). Para isso, definimos duas aplicações afins \(\lambda _{p}:\Delta ^{p}\rightarrow \Delta ^{p+q}\) e \(\rho _{q}:\Delta ^{q}\rightarrow \Delta ^{p+q}\) por

\begin{align*} \lambda _{p}(e_{i}) & =e_{i}, \qquad 0\leq i\leq p \\ \rho _{q}(e_{i}) & =e_{p+i}, \qquad 0\leq i\leq q \end{align*}

Para qualquer \((p+q)\)-simplexo \(\sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X\) singular, observe que \(\sigma \mathbin {\circ }\lambda _{p}:\Delta ^{p}\rightarrow X\) é um \(p\)-simplexo singular e \(\sigma \mathbin {\circ }\rho _{q}:\Delta ^{q}\rightarrow X\) é um \(q\)-simplexo singular.

Equivalentemente \(\sigma \mathbin {\circ }\lambda _{p}= \sigma \mathord {\upharpoonright }{[e_0, \dots e_{p}]}\) e \( \sigma \mathbin {\circ }\rho _{p} = \sigma \mathord {\upharpoonright }{[e_p, \dots e_{p+q}]}\).

Ilustração: Produto Cup e o Anel de Cohomologia

Como \(S_{p}(X;R)\) é o \(R\)-módulo livre gerado pelo conjunto \(S_{\Delta ^{p}}(X)\) do \(p\)-simplexos singulares, toda \(p\)-cadeia singular \(c\) é completamente determinada por sua restrição a \(S_{\Delta ^{p}}(X)\) e, portanto, pode ser vista como uma função de \(S(X)_{\Delta ^{p}}\) a \(R.\)

Dado \(\sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X\) um simplexo singular, denominamos \(\sigma \mathbin {\circ }\lambda _{p}\) de \( p\)-face da frente de \(\sigma , \) e \(\sigma \mathbin {\circ }\rho _{q}\) de \(q\)-face de trás \(\sigma \). Dadas quaisquer duas cocadeias \(c\in S^{p}(X;R)\) e \(d\in S^{q}(X;R)\), seu produto cup \(c \smile d\in S^{p+q}(X;R)\) é a cocadeia definida por

\[ (c \smile d)(\sigma )=c(\sigma \mathbin {\circ }\lambda _{p})d(\sigma \mathbin {\circ }\rho _{q}) \]

para todos os simplexos singulares \(\sigma \in S_{\Delta ^{p+q}}(X)\). Logo o produto cup é uma função

\[ \smile :S^{p}(X;R)\times S^{q}(X;R)\rightarrow S^{p+q}(X;R). \]

Outra forma de expressar o produto cup é

\[ (c \smile d)(\sigma ) = c \left( \sigma \mathord {\upharpoonright }{[v_0 , \cdots , v_p ]} \right) d\left(\sigma \mathord {\upharpoonright }{[v_p , \cdots , v_{p+q} ]} \right) \]

Ressaltamos que esse produto depende fortemente da ordenação dos vértices do simplexo e consequentemente não é natural. Também observamos que que o produto cup possui fortes semelhanças com o produto cunha da álgebra exterior.

Lembre-se de que \(S^{*}(X;R)\) é o \(R\)-módulo \(\oplus _{p\geq 0}S^{p}(X;R)\), e que \(\epsilon :S_{0}(X;R)\rightarrow R\) é o único homomorfismo tal que \(\epsilon (x)=1 \) para todo ponto \(x\in S_{0}(X;R)\). Assim, \(\epsilon \in S^{0}(X;R)\) e uma vez que \(\partial ^{0}\epsilon =\epsilon \partial _{1}=0 \), a cocadeia \(\epsilon \) é na verdade um ciclo e sua classe de cohomologia \([\epsilon ] \in H^{0}(X;R)\) é denotada por \(1\).

A seguinte proposição é imediata a partir da definição do produto cup e será deixada como exercício.

A operação do produto cup \(\smile \) em \(S^{*}(X;R)\) é bilinear, associativa e tem o ciclo \(\epsilon \) como elemento identidade. Assim, \(S^{*}(X;R)\) é um anel graduado associativo com elemento identidade. A seguinte propriedade implica que o produto cup é bem definido em ciclos.

Para quaisquer duas cocadeias \(c\in S^{p}(X;R)\) e \(d\in S^{q}(X;R)\) temos

\[ \delta (c \smile d)=(\delta c)\smile d+(-1)^{p}c \smile (\delta d)\ . \]
Demonstração ▼

Seja \(\sigma :\triangle ^{p+q+1}\rightarrow X\), então temos que

\begin{align*} (\delta c\cup d)(\sigma ) & =\sum _{i=0}^{p+1}(-1)^{j}c(\sigma \mathord {\upharpoonright }{[v_{0}, \ \cdots , \hat{v}_{i}, \ \cdots , \ v_{p+1}]})d(\sigma \mathord {\upharpoonright }{[v_{p+1}, \ \cdots , \ v_{p+q+1}]}) \\ (-1)^{p}(\displaystyle c\cup \delta d)(\sigma ) & =\sum _{i=p}^{p+q+1}(-1)^{i}c(\sigma \mathord {\upharpoonright }{[v_{0}, \ \cdots , \ v_{p}]})d(\sigma \mathord {\upharpoonright }{[v_{p}, \ \cdots , \hat{v}_{i}, \ \cdots , \ v_{p+q+1}]}) \end{align*}

Somando as duas expressões temos que o último termo da primeira soma cancela o primeiro termo da segunda soma, e os termos restantes são exatamente \(\delta (c\cup d)(\sigma )=(c\cup d)(\partial \sigma )\) pois

\[ \partial \sigma =\sum _{i=0}^{p+q+1}(-1)^{i}\sigma \mathord {\upharpoonright }{[v_{0}, \ \cdots \ , \ \hat{v}_{i}, \ \cdots \ , \ v_{p+q+1}]}. \]

A fórmula da Proposição 13.5 implica que o produto cup de ciclos é um ciclo, e que o produto cup de um ciclo com um de cobordo em qualquer ordem é um de cobordo, assim que nós obtemos um produto cup induzido nas classes de cohomologia.

\[ \smile :H^{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H^{p+q}(X;R)\ . \]

O produto cup é bilinear, associativo e possui elemento identidade.

Uma aplicação contínua \(f:X\rightarrow Y\) induz um homomorfismo na cohomologia \( f^{p*}:H^{p}(X;R)\rightarrow H^{p}(y;R)\) para al \(p\geq 0 \), e o produto cup se comporta bem em relação a esse homomorfismo.

Dada \(f:X\rightarrow Y\) uma aplicação contínua, para todos os \(\omega \in H^{p}(X;R)\) e todos os \(\eta \in H^{q}(X;R)\), temos

\[ f^{(p+q)*}(\omega \smile x\eta )=f^{p*}(\omega )\smile f^{q*}(\eta )\ . \]

Assim, \(f^{*}=(f^{p*})_{p\geq 0}\) é um homomorfismo entre os anéis graduados \(H^{*}(X;R)\) (com o produto cup \(\rightarrow x\)) e \(H^{*}(Y;R)\) ( com o produto cup \(\smile \) em \(Y\)). Dado um espaço topológico \(X\), seu anel de cohomologia \(H^{*}(X;R)\) é o anel graduado \(\oplus _{p\geq 0}H^{p}(X;R)\) equipado com a operação de multiplicação \(\smile \) induzida pelas operações \(\smile :H^{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H^{p+q}(X;R)\) para todos \(p, q\geq 0\). Um elemento \(\omega \in H^{p}(X;R)\) é dito ser de grau (ou dimensão) \(p\), e escrevemos \(p=\deg (\omega )\).

Embora o produto cup não seja comutativo em geral, é anti-comutativo no seguinte sentido.

Para todos os \(\omega \in H^{p}(X;R)\) e todos os \(\eta \in H^{q}(X;R)\), temos

\[ \omega \smile \eta =(-1)^{pq}(\eta \smile \omega )\ . \]

Exemplo 13.6 (Anel de Cohomologia da Esfera)
Seja \(\mathbb {S}^{n}\) a esfera \(n\)-dimensional. Então
\[ H^{\ast } ( \mathbb {S}^n , \mathbb {Z}) = \mathbb {Z}[ \alpha ] / ( \alpha ^2 ) \]
Nesse caso os únicos grupos de cohomologia diferentes de zero são \(H^{0}(\mathbb {S}^{n})\) e \(H^{n}(\mathbb {S}^{n})\), que têm geradores \( e \) e \(\omega \), respectivamente, e \(e\) atua como identidade do anel de cohomologia. Assim, \( e\smile \omega =\omega \smile e=\omega \) e \(e\smile e=e\). O único outro produto possível seria \(\omega \smile \omega \). Esse produto, no entanto, teria dimensão \( 2n\), então é automaticamente zero, \(\omega \smile \omega =0\).

Os anéis de cohomologia dos espaços projetivos reais e complexos são dados por:

  1. \( H^*\left(\mathbb {RP}^n , \mathbb {Z}_2 \right) \cong \mathbb {Z}_2[\alpha ] /\left(\alpha ^{n+1}\right) \) onde \(\alpha \) é o gerador de \(H^1\left(\mathbb {RP}^n , \mathbb {Z}_2 \right)\).

  2. \( H^*\left(\mathbb {RP}^{\infty } , \mathbb {Z}_2 \right) \cong \mathbb {Z}_2[\alpha ] \) onde \(\alpha \) é o gerador de \(H^1\left(\mathbb {RP}^n , \mathbb {Z}_2 \right)\).

  3. \( H^*\left(\mathbb {CP}^n , \mathbb {Z}\right)=\mathbb {Z}[\beta ] /\left(\beta ^{n+1}\right) \) onde \(\beta \) é o gerador de \(H^2\left(\mathbb {CP}^n , \mathbb {Z}\right)\).

  4. \( H^*\left(\mathbb {CP}^{\infty } , \mathbb {Z}\right)=\mathbb {Z}[\beta ] \) onde \(\beta \) é o gerador de \(H^2\left(\mathbb {CP}^n , \mathbb {Z}\right)\).

13.6 Anéis de Cohomologia de Superfícies

Observamos que não existe um método geral para calcular o anel de cohomologia de um espaço \(X\).

Nessa seção apresentamos alguns exemplos e estratégias para o cálculo dos produtos cup, e para isso recorremos à cohomologia simplicial. Nesta seção, definimos uma fórmula de produto cup simplicial que corresponde à fórmula anterior para cocadeias singulares sob o isomorfismo padrão entre as teorias de cohomologia simplicial e singular.

Anel de Cohomologia do Toro

Vamos calcular o anel de cohomologia do toro \(\mathbb {T}\). Lembramos que uma estrutura de \(\Delta \)-complexo para o toro é apresentada na Figura 13.3

Figura 13.3 Uma estrutura de Δ -complexo no Toro.

Figura 13.3 Uma estrutura de \(\Delta \)-complexo no Toro.

Também lembramos que

\begin{align} H_{n}(\mathbb {T};R)=H^{n}(\mathbb {T};R) & \cong \left\{ \begin{array}{ll} R, & \ n=2 \text{ ou } n=0 \\ R\oplus R \text{ se } n=1 \\ 0, & \text{ caso contrário } \end{array}\right. \tag{13.6} \end{align}

Considere os simplexos singulares

\[ [v_{0}, v_{1}, v_{3}], \quad [v_{0}, v_{2}, v_{3}], \quad [v_{0}, v_{1}], \quad [v_{0 }, v_{2}], \quad [v_{0}, v_{3}], \quad [v_{0}] \]

na quadrado. Suas imagens no toro são indicadas pelos mesmos símbolos. Denotaremos por

\[ [v_{0}, v_{1}, v_{3}]^*, \quad [v_{0}, v_{2}, v_{3}]^*, \quad [v_{0}, v_{1}]^*, \quad [v_{0}, v_{2}]^*, \quad [v_{0}, v_{3}]^*, \quad [v_{0}]^* \]

os cocadeias correspondentes. Assim, o anel de cohomologia do toro pode ser calculado encontrando os produtos desses cocadeias.

Começamos com os casos fáceis. O elemento \([v_{0}]^*\) é a identidade. Também temos que o produto de \(1\)-cocadeia e um \(2\)-cocadeias \([v_{\bullet }, v_{\bullet }]^* \cup [v_{\bullet }, v_{\bullet }, v_{\bullet }]^*=0\) pois seria uma \(3\)-cocadeia e que os produtos de dois \(2\)-cocadeias \([v_{\bullet }, v_{\bullet }, v_{\bullet }]^* \cup [v_{\bullet }, v_{\bullet }, v_{\bullet }]^*=0\) pois seria uma \(4\)-cocadeia. Assim, os únicos produtos diferentes de zero são produtos de 1 cocadeias. Considere então um produto \([v_{i}, v_{j}]^*\smile [v_{h}, v_{k}]^*\), cuja operação é avaliada em \([v_{0}, v_{1}, v_{3}]\) e \([v_{0}, v_{2}, v_{3}]\), pode ser facilmente verificado que o resultado será diferente de zero se, e somente se, \(i=0, j=h=1, k=3 \) ou \(i=0, j=h=2, k=3 \). Nesses casos,

\begin{align} [v_{0}, v_{1}]^*\smile [v_{1}, v_{3}]^* & =[v_{0}, v_{1}, v_{3}]^*=[v_{0}, v_{1}]^*\smile [v_{0}, v_{2}]^* \label{eq:torocup} \tag{13.7} \\ {} [v_{0}, v_{2}]^*\smile [v_{2}, v_{3}]^* & =[v_{0}, v_{2}, v_{3}]^*=[v_{0}, v_{2}]^*\smile [v_{0}, v_{1}]^* \tag{13.8} \end{align}

A última entrada em cada linha leva em consideração a identificação de lados opostos do quadrado. Todos os outros produtos são zero.

É fácil verificar as seguintes fórmulas:

\begin{align*} \delta [v_{0}, v_{1}]^* & =[v_{0}, v_{1}, v_{3}]^*+[v_{0}, v_{2}, v_{3}]^* \\ \delta [v_{0}, v_{2}]^* & =[v_{0}, v_{1}, v_{3}]^*+[v_{0}, v_{2}, v_{3}]^* \\ \delta [v_{0}, v_{3}]^* & =-[v_{0}, v_{1}, v_{3}]^*-[v_{0}, v_{2}, v_{3}]^* \end{align*}

Decorre então que:

\begin{align*} \alpha & =[v_{0}, v_{1}]^*+[v_{0}, v_{3}]^* \\ \beta & =[v_{0}, v_{2}]^*+[v_{0}, v_{3}]^* \end{align*}

são \(1\)-ciclos e que todo \(1\)-ciclo de \(\mathbb {T}\) é combinação linear destes. As fórmulas 13.7 implicam que

\begin{align*} \alpha \smile \alpha & =0 \\ \beta \smile \beta & =0 \\ \alpha \smile \beta & =[v_{0}, v_{1}, v_{3}]^* \\ \beta \smile \alpha & =[v_{0}, v_{2}, v_{3}]^* \end{align*}

Finalmente, \([v_{0}, v_{1}, v_{3}]^*\) e \([v_{0}, v_{2}, v_{3}]^*\) são ambos cociclos, já que não há 3 células, e a soma destes é um cobordo.

Portanto \(H^{*}(\mathbb {T})\) é gerado pelos elementos \(1\), a classe de \([v_0]^*\), \(\overline{\alpha }, \overline{\beta }\), as classes de \(\alpha , \beta , \) e \(\overline{\gamma }\), a classe de cohomologia de \([v_{0}, v_{1}, v_{3}]^*\) e as fórmulas dos produtos tornam-se

\[ \overline{\alpha }\smile \overline{\alpha }=\overline{\beta }\smile \overline{\beta }=0 \]
\[ \overline{\alpha }\smile \overline{\beta }=-\overline{\beta }\smile \overline{\alpha }=\overline{\gamma } \]

Isso completa o cálculo do anel \(H^{*}(\mathbb {T})=H^{*}(\mathbb {T})\).

Exemplo 13.7

Seja \(M\) a superfície orientável fechada do gênero \(g \geq 1\) com a estrutura de \(\Delta \)-complexo apresentada na figura abaixo para o caso \(g=2\).

Ilustração: Anéis de Cohomologia de Superfícies

O único produto cup interessante é \(H^{1}(M) \times H^{1}(M) \rightarrow H^{2}(M)\). Uma base para os grupos de homologia \(H_{1}(M)\) é formada pelas arestas \(a_{i}\) e \(b_{i}\), como calculado no Exemplo 12.11. Usando a decomposição celular é fácil ver que \(H^{1}(M) \cong \operatorname {Hom}\left(H_{1}(M), \mathbb {Z}\right)\). Uma base para \(H_{1}(M)\) determina uma base dual para \(\operatorname {Hom}\left(H_{1}(M), \mathbb {Z}\right)\), então o elemento dual para \(a_{i} \) é a classe de cohomologia \(\alpha _{i}\) atribuindo o valor 1 a \(a_{i}\) e 0 aos demais elementos da base, e da mesma forma temos as classes de cohomologia \(\beta _{i}\) dual a \(b_{i }\).

Para representar \(\alpha _{i}\) por um cociclo simplicial \(\varphi _{i}\) precisamos escolher valores para \(\varphi _{i}\) nas arestas irradiando do vértice central de tal forma que

\[ \delta \varphi _{i}=0. \]

Considere a curva \(\alpha _{i}\) na figura, que representa um loop em \(M\) encontrando a aresta \(a_{i}\) em um ponto e que não intercepta os outros elementos de base \(a_{ j}\) e \(b_{j}\). De maneira análoga definimos a curva \( \beta _{i}\). Então, definimos \(\varphi _{i}\) para ter o valor 1 nas arestas que encontram a curva \(\alpha _{i}\) e o valor 0 em todas as outras arestas. Assim \(\varphi _{i}\) conta o número de interseções de cada aresta com a curva \(\alpha _{i}\). De maneira semelhante, obtemos um cociclo \(\psi _{i}\) contando as interseções com a curva \( \beta _{i}\).

Podemos calcular os produtos cup diretamente da definição. Tendo em mente que a ordenação dos vértices de cada 2-simplexo é compatível com as orientações indicadas de suas arestas, vemos por exemplo que \(\varphi _{1} \smile \psi _{1}\) assume o valor 0 em todos os 2-simplexos exceto aquele com aresta externa \(b_{1}\) na parte inferior direita da figura, onde assume o valor 1. Assim \(\varphi _{1} \smile \psi _{1}\) assume o valor 1 na 2-cadeia \(c\) formada pela soma de todos os 2-simplexos com os sinais indicados no centro da figura. É imediato que \(\partial c=0\). Como não há 3-simplexos, \(c\) não é um bordo, então representa um elemento diferente de zero de \(H_{2}(M)\). O fato de \(\left(\varphi _{1} \smile \psi _{1}\right)(c)\) ser um gerador de \(\mathbb {Z}\) implica que \(c\) representa um gerador de \(H_{ 2}(M) \cong \mathbb {Z}\) e que \(\varphi _{1} \smile \psi _{1}\) representa o gerador dual \(\gamma \) de \(H^{2}(M) \cong \operatorname {Hom}\left(H_{2}(M), \mathbb {Z}\right) \cong \mathbb {Z}\). Assim \(\alpha _{1} \smile \beta _{1}=\gamma \) e logo:

\[ \alpha _{i} \smile \beta _{j}=-\left(\beta _{i} \smile \alpha _{j}\right)=\left\{ \begin{array}{ll} \gamma , & i=j \\ 0, & i \neq j \end{array}\right., \quad \alpha _{i} \smile \alpha _{j}=0, \quad \beta _{i} \smile \beta _{j}=0 \]

Como produto cup é distributivo essas relações determinam o produto cup \(H^{1}(M) \times H^{1}(M) \rightarrow H^{2}(M)\) completamente.

Exemplo 13.8

A superfície não orientável fechada \(P\) do gênero \(g\) pode ser tratada de maneira similar se usarmos coeficientes \(\mathbb {Z}_{2}\). Para isso considere a estrutura de \(\Delta \)-complexo apresentada na figura, então as arestas \(a_{i}\) fornecem uma base para \(H_{1}\left(P ; \mathbb {Z}_{2}\right)\), para maiores detalhes veja o exemplo 12.12.

Ilustração: Anéis de Cohomologia de Superfícies

Novamente temos que os elementos da base dual \(\alpha _{i} \in H^{1}\left(P ; \mathbb {Z}_{2}\right)\) podem ser representados por cociclos cujos valores são dados pela contagem de interseções com as curvas \(\alpha _{i}\) conforme apresentado na figura. Logo temos que \(\alpha _{i} \smile \alpha _{i}\) é o gerador de \(H^{2}\left(P ; \mathbb {Z}_{2}\right) \cong \mathbb {Z}_{2}\) e \(\alpha _{i} \smile \alpha _{j}=0\) por \(i \neq j\).

13.7 Fórmula de Künneth

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e denote por \(p\) e \(q\) as projeções \(p: X \times Y \longrightarrow X\) e \(q: X \times Y \longrightarrow Y\). Usando as aplicações de cohomologia induzidas por essas projeções, temos uma aplicação induzida denotado por \(\times \):

\[ \begin{array}{ccccc} H^{*}(X ; R) & \times & H^{*}(Y ; R) & \stackrel{\times }{\longrightarrow } & H^{*}(X \times Y ; R) \\ a & & b & \mapsto & a \times b\mathrel {\mathop:\! =}p^{*}(a) \smile q^{*}(b) \end{array} \]

Todos os grupos de cohomologia \(H^{i}(X ; R)\) e \(H^{i}(Y ; R)\) possuem uma estrutura de \(R\)-módulo, e portanto, os anéis de cohomologia correspondentes \(H^{*}(X ; R)\) e \(H^{*}(Y ; R)\). Como a aplicação \(\times \) é bilinear, a propriedade universal para produtos tensoriais produz um homomorfismo, que denotamos por \(\mu _{\times }\) :

\[ H^{*}(X ; R) \otimes _{R} H^{*}(Y ; R) \stackrel{\times }{\longrightarrow } H^{*}(X \times Y ; R) \]

Assim, por definição, temos que:

\[ \mu _{\times } (a \otimes b)\mathrel {\mathop:\! =}a \times b \]

Vamos colocar uma estrutura de anel em \(H^{*}(X ; R) \otimes _{R} H^{*}(Y ; R)\) pela seguinte operação de multiplicação:

\[ (a \otimes b) \cdot (c \otimes d)\mathrel {\mathop:\! =}(-1)^{\deg (b) \cdot \deg (c)}(a \cdot c \otimes b \cdot d), \]

onde \(a \cdot c\) denota a operação em \(H^{*}(X ; R) \), geralmente o produto cup ou um produto isomorfo.

Assim, o produto cruzado torna-se um isomorfismo de anel pois:

\begin{align*} \mu _{\times } ((a \otimes b) \cdot (c \otimes d)) & =(-1)^{\deg (b) \cdot \deg (c)}(a c \times b d ) \\ & =(-1)^{(\deg b) \cdot \deg (c)} p^{*}(a \smile c) \smile q^{*}(b \smile d ) \\ & =(-1)^{\deg (b) \cdot \deg (c)} p^{*}(a) \smile p^{*}(c) \smile q^{ *}(b) \smile q^{*}(d) \\ & = p^{*}(a) \smile q^{*}(b) \smile p^{*}(c) \smile q^{*}( d) \\ & =\mu _{\times } (a \otimes b) \smile \mu _{\times } (c \otimes d) \end{align*}

Fórmula de Künneth. Sejam \(X\) e \(Y\) CW-complexos e suponha que \(H^{k}(Y ; R)\) é um \(R\)-módulo livre finitamente gerado para todo \(k\), então o produto cruzado

\[ H^{*}(X ; R) \otimes _{R} H^{*}(Y ; R) \stackrel{\times }{\longrightarrow } H^{*}(X \times Y ; R) \]

é um isomorfismo de anel. Além disso, temos o seguinte isomorfismo de grupos:

\[ H^{n}(X \times Y ; R) \cong \bigoplus _{i+j=n} H^{i}(X ; R) \otimes _{R} H^{j}(Y ; R). \]

Em uma seção posterior, demonstraremos uma generalização desse resultado. No que segue, apresentaremos alguns exemplos da utilização da Fórmula de Künneth na determinação dos anéis de cohomologia de alguns espaços.

[1pt]\multicolumn{3}{c}{Espaço}
\cmidrule(lr){2-4}$\esfera^1$$\esfera^1$$\toro^2=\esfera^1\times\esfera^1$
$H^0$$\bbZ$$\bbZ$$H^0(\esfera^1)\otimes H^0(\esfera^1) =\bbZ $
$H^1$$\bbZ$$\bbZ$$(H^0(\esfera^1)\otimes H^1(\esfera^1))\oplus (H^1(\esfera^1)\otimes H^0(\esfera^1))=\bbZ\oplus\bbZ $
$H^2$$H^1(\esfera^1)\otimes H^1(\esfera^1) =\bbZ $

Tabela 13.1 Determinação da cohomologia do toro bidimensional usando a Fórmula de Künneth

[1pt]\multicolumn{3}{c}{Espaço}
\cmidrule(lr){2-4}$\toro^2$$\esfera^1$$\toro^3=\toro^2\times\esfera^1$
$H^0$$\bbZ$$\bbZ$$H^0(\toro^2)\otimes H^0(\esfera^1) =\bbZ $
$H^1$$\bbZ\times \bbZ$$\bbZ$$(H^1(\toro^2)\otimes H^0(\esfera^1))\oplus (H^0(\toro^2)\otimes H^1(\esfera^1))=\bbZ \times\bbZ\times\bbZ$
$H^2$$\bbZ$$(H^2(\toro^2)\otimes H^0(\esfera^1))\oplus (H^1(\toro^2)\otimes H^1(\esfera^1)) =\bbZ \times\bbZ\times\bbZ $
$H^3$$H^2(\toro^2)\otimes H^1(\esfera^1) =\bbZ $

Tabela 13.2 Determinação da cohomologia do toro tridimensional usando a Fórmula de Künneth

Para simplificar as notações, fazemos a seguinte definição.

Álgebra Exterior. Seja \(R\) um anel comutativo com unidade. A álgebra exterior sobre \(R\), denotada \(\Lambda _{R}\left[\alpha _{1}, \alpha _{2}, \ldots \right],\) é o R-módulo livre gerado por produtos da forma:

\[ \alpha _{i_{1}} \alpha _{i_{2}} \cdots \alpha _{i_{k^{\prime }}} \text{ com } i_{1}\lt i_{2}\lt \cdots \lt i_{k^{\prime }} \]

e com multiplicação associativa e distributiva satisfazendo:

\begin{align*} \alpha _{i} \alpha _{j} & =-\alpha _{j} \alpha _{i}, \text{ se } i \neq j \\ \alpha _{i}^{2} & =0 . \end{align*}

Na definição anterior, estamos convencionando que produto vazio de \(\alpha _{i}\)’s é o elemento identidade \(1 \in \) \(\Lambda _{R}\left[\alpha _{1}, \alpha _{2}, \ldots \right]\).

Exemplo 13.9

Vamos agora mostrar que

\[ H^{*}\left(\mathbb {S}^{3} \times \mathbb {S}^{5} \times \mathbb {S}^{7} ; \mathbb {Z}\right) \cong \Lambda _{\mathbb {Z}}\left[ a_{3}, a_{5}, a_{7}\right], \]

onde \(a_{i}\) é um gerador de grau \(i\) em \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{3} \times \mathbb {S}^{5} \times \mathbb {S}^{7} , \mathbb {Z}\right)\), para \(i=\) \(3,5,7\).

Pela Fórmula de Künneth aplicada ao CW-complexo produto \(\mathbb {S}^{3} \times \mathbb {S}^{5} \times \mathbb {S}^{7}\), temos o seguinte isomorfismo de anéis:

\[ H^{*}\left(\mathbb {S}^{3} \times \mathbb {S}^{5} \times \mathbb {S}^{7} ; \mathbb {Z}\right) \cong H^{*}\left(\mathbb {S}^{3 } ; \mathbb {Z}\right) \otimes _{\mathbb {Z}} H^{*}\left(\mathbb {S}^{5} ; \mathbb {Z}\right) \otimes _{\mathbb {Z}} H^{*}\left(\mathbb {S}^{7} ; \mathbb {Z}\right) . \]

Seja \(\alpha _{i}\) um gerador de grau \(i\) em \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{i} ; \mathbb {Z}\right)\) para \(i=3,5,7 \). Então os geradores de grau 3, 5 e 7 em \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{3} \times \mathbb {S}^{5} \times \mathbb {S}^{7} ; \mathbb {Z}\right)\) são dados respectivamente por:

  • \(a_{3}=\mu _{\times } \left(\alpha _{3} \otimes 1 \otimes 1\right)\)

  • \(a_{5}=\mu _{\times } \left(1 \otimes \alpha _{5} \otimes 1\right)\)

  • \(a_{7}=\mu _{\times } \left(1 \otimes 1 \otimes \alpha _{7}\right)\)

O produto desses geradores produz geradores de dimensões superiores, ou seja, \(8,10,12\) e \(15\), no anel de cohomologia \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{3} \times \mathbb {S}^{5} \times \mathbb {S}^{7} ; \mathbb {Z}\right)\). Vamos calcular alguns produtos dos elementos:

\begin{align*} a_{3}^{2} & =\mu _{\times } \left(\alpha _{3} \otimes 1 \otimes 1\right) \smile \mu _{\times } \left(\alpha _{3} \otimes 1 \otimes 1\right) \\ = & \mu _{\times } \left[\left(\alpha _{3} \otimes 1 \otimes 1\right) \cdot \mu _{\times } \left(\alpha _{3} \otimes 1 \otimes 1\right)\right] \\ = & \mu _{\times } \left(\alpha _{3}^{2} \otimes 1 \otimes 1\right) \\ = & 0 \end{align*}

e um resultado semelhante para \(a_{5}^{2}\) e \(a_{7}^{2}\):

\begin{align*} a_{3} a_{5}= & \mu _{\times } \left(\alpha _{3} \otimes 1 \otimes 1\right) \smile \mu _{\times } \left(1 \otimes \alpha _{5} \otimes 1\right) \\ = & \mu _{\times } \left[\left(\alpha _{3} \otimes 1 \otimes 1\right) \cdot \left(1 \otimes \alpha _{5} \otimes 1\right)\right] \\ = & \mu _{\times } \left[\left(\mathbf{(}\alpha _{3} \otimes 1\mathbf{)} \otimes 1\right) \cdot \left(\mathbf{(}1 \otimes \alpha _{5}\mathbf{)} \otimes 1\right)\right] \\ = & \mu _{\times } \left[\left(\mathbf{(}\alpha _{3} \otimes 1\mathbf{)} \cdot \mathbf{(}1 \otimes \alpha _{5}\mathbf{)} \right) \otimes \left(1 \cdot 1\right)\right] \\ = & \mu _{\times } \left(\alpha _{3} \otimes \alpha _{5} \otimes 1\right) \\ a_{5} a_{3}= & \mu _{\times } \left(1 \otimes \alpha _{5} \otimes 1\right) \smile \mu _{\times } \left(\alpha _{3} \otimes 1 \otimes 1\right) \\ = & \mu _{\times } \left[\left(1 \otimes \alpha _{5} \otimes 1\right) \cdot \left(\alpha _{3} \otimes 1 \otimes 1\right)\right] \\ = & \mu _{\times } \left[\left(\mathbf{(}1 \otimes \alpha _{5}\mathbf{)} \otimes 1\right) \cdot \left(\mathbf{(}\alpha _{3} \otimes 1\mathbf{)} \otimes 1\right)\right] \\ = & \mu _{\times } \left[\left(\mathbf{(}1 \otimes \alpha _{5}\mathbf{)}\cdot \mathbf{(}\alpha _{3} \otimes 1\mathbf{)}\right) \otimes \left( 1\cdot 1\right)\right] \\ = & - \mu _{\times } \left(\alpha _{3} \otimes \alpha _{5} \otimes 1\right) \\ = & -a_{3} a_{5}. \end{align*}

Também temos resultados semelhantes para os outros produtos. Os cálculos acima mostram que temos um isomorfismo \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{3} \times \mathbb {S}^{5} \times \mathbb {S}^{7} ; \mathbb {Z}\right) \cong \) \( \Lambda _{\mathbb {Z}}\left[a_{3}, a_{5}, a_{7}\right]\).

É fácil ver que um resultado semelhante vale para o anel de cohomologia de qualquer produto (finito) de esferas de dimensão ímpar.

Se as dimensões \(k_i\) são todas ímpares então

\[ H^{*}\left(\mathbb {S}^{k_1} \times \mathbb {S}^{k_2} \times \cdots \times \mathbb {S}^{k_n} ; \mathbb {Z}\right) \cong \Lambda _{\mathbb {Z}}\left[a_{k_1}, a_{k_2},\dots a_{k_n}\right]. \]

Exemplo 13.10

Vamos determinar o anel de cohomologia de \(\mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{3}\). Pela Fórmula de Künneth, temos o seguinte isomorfismo de anéis:

\[ H^{*}\left(\mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{3} ; \mathbb {Z}\right) \cong H^{*}\left(\mathbb {S}^{2} ; \mathbb {Z}\right) \otimes _{\mathbb {Z}} H^{*}\left(\mathbb {S}^{3} ; \mathbb {Z}\right). \]

Se deixarmos \(a \in H^{*}\left(\mathbb {S}^{2} , \mathbb {Z}\right)\) denotar o elemento de grau 2 que gera \(H^{2}\left(\mathbb {S}^{2 } , \mathbb {Z}\right)\) e \(b \in H^{*}\left(\mathbb {S}^{3} , \mathbb {Z}\right)\) o elemento de grau 3 que gera \(H^{3 }\left(\mathbb {S}^{3} , \mathbb {Z}\right)\), então \(\mu _{\times } (a \otimes 1)\) e \(\mu _{\times } (1 \otimes b)\) (onde 1 denota a identidade no respectivos anéis de cohomologia) serão os geradores em \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{2} \times \right.\) \(\left.\mathbb {S}^{3} , \mathbb {Z}\right)\) de grau 2 e 3, respectivamente. Além disso, \(\mu _{\times } (a \otimes 1) \smile \mu _{\times } (1 \otimes \) \(b)=\mu _{\times } (a \otimes b)\) será um gerador de grau 5 em \(H^{*}\left( \mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{3} , \mathbb {Z}\right)\).

Assim, pela Fórmula de Künneth, o anel de cohomologia \(\mathbb {S}^2 \times \mathbb {S}^3\) é \(\Lambda [\alpha ] \otimes \mathbb {Z}[\beta ]/(\beta ^2)\), onde as dimensões de \(\alpha \) e \(\beta \) são 3 e 2, respectivamente. Como a multiplicação do produto cup satisfaz \(\alpha \smile \beta = (-1)^{|\alpha ||\beta |}\beta \smile \alpha \) e, como o grau de \(\beta \) é par, isso significa que \(\alpha \) e \(\beta \) comutam, o que não acontecia no caso de graus ímpares.

Exemplo 13.11
Pela Fórmula de Künneth, temos o seguinte isomorfismo de anéis:
\begin{align*} H^{*}\left(\mathbb {RP}^{\infty } \times \mathbb {RP}^{\infty } ; \mathbb {Z}_2\right) & \cong H^{*} \left(\mathbb {RP}^{\infty } ; \mathbb {Z}_2\right) \otimes _{\mathbb {Z}_{2}} H^{*}\left(\mathbb {RP}^{\infty } ; \mathbb {Z}_2\right) \\ & =\mathbb {Z}_2[\alpha ] \otimes _{\mathbb {Z}_2} \mathbb {Z}_2[\beta ] \\ & \cong \mathbb {Z}_2[\alpha , \beta ], \end{align*}
onde \(\alpha \) e \(\beta \) são geradores de grau 1 , e comutam já que trabalhamos com coeficientes em \(\mathbb {Z}_2\).

Exemplo 13.12

Considere os espaços \(\mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{3}\) e \(\mathbb {S}^{2} \vee \mathbb {S}^{3} \vee \) \(\mathbb {S}^{5}\). Ambos os espaços são CW-complexos com células \(\left\{ e^{0}, e^{2}, e^{3}, e^{5}\right\} \) em dimensões, \(0,2,3\) e \(5\), respectivamente. Assim, ambos os espaços possuem os mesmos grupos de homologia e cohomologia. Então é natural perguntar se os espaços \(\mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{3}\) e \(\mathbb {S}^{2} \vee \mathbb {S}^{3} \vee \mathbb {S}^{5}\) são homotopicamente equivalentes.

Mostraremos que não. Mais precisamente, mostraremos que os dois espaços possuem anéis de cohomologia diferentes. Para calcular os anéis de cohomologia desses espaços introduziremos a Fórmula de Künneth.

Vamos mostrar que os espaços \(\mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{3}\) e \(\mathbb {S}^{2} \vee \mathbb {S}^{3} \vee \) \(\mathbb {S}^{5}\) não são homotopicamente equivalentes.

  • No Exemplo 13.10 determinamos o anel de cohomologia de \(\mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{3}\) como sendo \(\Lambda [\alpha ] \otimes \mathbb {Z}[\beta ]/(\beta ^2)\) com \(\alpha \) e \(\beta \) comutando.

  • O anel de cohomologia \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{2} \vee \mathbb {S}^{3} \vee \mathbb {S}^{5} ; \mathbb {Z}\right)\) pode ser calculado a partir do isomorfismo do anel

    \[ \widetilde{H}^{*}\left(\mathbb {S}^{2} \vee \mathbb {S}^{3} \vee \mathbb {S}^{5} ; \mathbb {Z}\right) \cong \widetilde{H}^{* }\left(\mathbb {S}^{2} ; \mathbb {Z}\right) \oplus \widetilde{H}^{*}\left(\mathbb {S}^{3} ; \mathbb {Z}\right) \oplus \widetilde{H}^{*}\left(\mathbb {S}^{5} ; \mathbb {Z}\right), \]

    com \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{2} ; \mathbb {Z}\right) \cong \mathbb {Z}[\alpha ] /\left(\alpha ^{2}\right), H ^{*}\left(\mathbb {S}^{3} ; \mathbb {Z}\right) \cong \mathbb {Z}[\beta ] /\left(\beta ^{2}\right)\) e \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{5} ; \mathbb {Z}\right) \cong \) \(\mathbb {Z}[\gamma ] /\left(\gamma ^{2}\right)\), onde \( \alpha \) é o gerador de \(H^{2}\left(\mathbb {S}^{2} ; \mathbb {Z}\right), \beta \) é o gerador de \(H^{3}\left(\mathbb {S}^{ 3} ; \mathbb {Z}\right)\) e \(\gamma \) é o gerador de \(H^{5}\left(\mathbb {S}^{5} ; \mathbb {Z}\right)\). Além disso, temos que \(\alpha \smile \beta =0\).

    De fato, considere

    \[ p: \mathbb {S}^{2} \vee \mathbb {S}^{3} \vee \mathbb {S}^{5} \rightarrow \mathbb {S}^{2} \vee \mathbb {S}^{3} \]

    a aplicação de retração natural. Usando 175 temos que \(p^{*}\) induz isomorfismos em os grupos de cohomologia \(H^{2}\) e \(H^{3}\) desses espaços. Portanto, se \(\bar{\alpha }\) e \(\bar{\beta }\) são os geradores de \(H^{2}\left(\mathbb {S}^{2} \vee \mathbb {S}^{3}\right)\) e \( H^{3}\left(\mathbb {S}^{2} \vee \mathbb {S}^{3}\right)\), respectivamente, então \(\alpha =p^{*} \bar{\alpha }\) e \(\beta =p^{ *} \bar{\beta }\). Logo

    \[ \alpha \smile \beta =p^{*} \bar{\alpha } \smile p^{*} \bar{\beta }=p^{*}(\bar{\alpha } \smile \bar{\beta })=0, \]

    pois \(\bar{\alpha } \smile \bar{\beta }=0\).

Exemplo 13.13
Vamos utilizar a Fórmula de Künneth para mostrar que \(\mathbb {S}^{n} \vee \mathbb {S}^{m}\) não é uma retração de \(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\), para \( n, m \geq 1\). Primeiro, considere a estrutura de CW-complexo produto em \(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\): consiste em células \(\left\{ e^{0}, e^{m}, e^{n}, e^{m+n}\right\} \) com aplicações de colagem \(\phi : \partial e^{m} \rightarrow e^{0}\) e \(\phi ^{\prime }: \partial e^{n} \rightarrow e^{0}\) vindo dos fatores. Portanto \(\mathbb {S}^{n} \vee \mathbb {S}^{m}\) é um subconjunto de \(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\). (Observe que também permitimos o caso \(n=m\).) Em seguida, suponha por contradição que haja uma retração
\[ r: \mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m} \rightarrow \mathbb {S}^{n} \vee \mathbb {S}^{m} \]
Então, se \(i: \mathbb {S}^{n} \vee \mathbb {S}^{m} \hookrightarrow \mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\) denota a inclusão, então a composição \(r \circ i\) é a aplicação identidade em \(\mathbb {S}^{n} \vee \mathbb {S}^{m}\). E assim, a aplicação de cohomologia \((r \circ i)^{*}=i^{*} \circ r^{*}\) é a identidade, então
\[ r^{*}: H^{*}\left(\mathbb {S}^{n} \vee \mathbb {S}^{m}\right) \longrightarrow H^{*}\left(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m }\right) \]
é um homorfismo injetor. Pela Fórmula de Künneth, temos um isomorfismo de anéis
\[ H^{*}\left(\mathbb {S}^{n}\right) \otimes H^{*}\left(\mathbb {S}^{m}\right) \stackrel{\times }{\cong } H^{*}\left(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\right) \]
Portanto, um elemento diferente de zero em \(H^{n}\left(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\right)\) tem a forma \(a \times 1\mathrel {\mathop:\! =}\) \(\mu _{\times } (a \otimes 1)\), com \(a \in H^{n}\left(\mathbb {S}^{n}\right)\) uma classe diferente de zero. Da mesma forma, um elemento diferente de zero em \(H^{m}\left(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\right)\) tem a forma \(1 \times b\mathrel {\mathop:\! =}\mu _{\times } (1 \otimes b )\), para alguma classe diferente de zero \(b \in H^{m}\left(\mathbb {S}^{m}\right)\). Vamos agora considerar o produto de elementos diferentes de zero \(a \times 1 \in H^{n}\left(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\right)\) e \(1 \times b \in H ^{m}\left(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\right)\) no anel \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\right) \). E assim temos:
\begin{align*} (a \times 1) \smile (1 \times b) & =\mu _{\times } (a \otimes 1) \smile \mu _{\times } (1 \otimes b) \\ & =\mu _{\times } [(a \otimes 1) \cdot (1 \otimes b)] \\ & =\mu _{\times } (a \otimes b) \\ & =a \times b \\ & \neq 0, \end{align*}
pois \(a \otimes b \neq 0\) in \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{n}\right) \otimes H^{*}\left(\mathbb {S}^{m}\right)\). Temos também um isomorfismo de anéis
\[ \widetilde{H}^{*}\left(\mathbb {S}^{n} \vee \mathbb {S}^{m}\right) \cong \widetilde{H}^{*}\left(\mathbb {S}^{n}\right) \oplus \widetilde{H}^{*}\left(\mathbb {S}^{m}\right) \]
Sejam \(\alpha , \beta \in H^{*}\left(\mathbb {S}^{n} \vee \mathbb {S}^{m}\right)\) os geradores de grau \(n\) e \(m\), respectivamente. Então
\[ \alpha \smile \beta \in H^{n+m}\left(\mathbb {S}^{n} \vee \mathbb {S}^{m}\right)\cong 0 \]
m Por outro lado, como \(r^{*}\) é um homorfismo injetor, as classes \(r^{*}(\alpha )\) e \(r^{*}(\beta )\) são elementos não nulos de grau \( n\) e, respectivamente, \(m\) no anel de cohomologia \(H^{*}\left(\mathbb {S}^{n} \times \mathbb {S}^{m}\right)\), então pelo cálculo acima, seu produto não é zero. Mas
\[ r^{*}(\alpha ) \smile r^{*}(\beta )=r^{*}(\alpha \smile \beta )=r^{*}(0)=0, \]
o que nos fornece uma contradição.

13.8 Axiomas de Eilenberg-Steenrod

Uma teoria de cohomologia \(H\) na categoria \(\mathbf{PTop}\) é:

  • uma sequência de funtores contravariantes \(h^{n}\) : \(\mathbf{PTop}\rightarrow \mathbf{{}_R{Mod}}\), para todo \(n \in \mathbb {Z}\) e

  • uma sequência de transformações naturais \(\delta : h^{n-1}(A, \varnothing ) \rightarrow h^{n}(X, A) \)

que satisfazem:

A1-Sequência exata longa

Para qualquer par \((X, A)\), a sequência

\[ \cdots \leftarrow h^{q+1}(X, A) \stackrel{\partial }{\leftarrow } h^{q}(A) \leftarrow h^{q}(X) \leftarrow h^{q}(X, A) \stackrel{\partial }{\leftarrow } \cdots \]

é exata, onde escrevemos \(h^{q}(X)\) para \(h^{q}(X, \varnothing )\).

A2-Axioma da dimensão

O grupo \(h^{n}(*)\) é diferente de zero apenas para \(n=0\).

A3-Invariância homotópica

Se \(f_{0}, f_{1}:(X, A) \rightarrow (Y, B)\) são homotópicas, então \(f^{0 *}=f^{1 *}: h^{n}(Y, B) \rightarrow \) \(h^{n }(X, A)\).

A4-Excisão

Excisões induzem isomorfismos.

A5-Aditividade

Seja \(\coprod X_{i}\) a união disjunta de \(X_{i}\). As aplicações de inclusão \(X_{i} \rightarrow \coprod X_{i}\) induzem o seguinte isomorfismo

\[ \prod _{i \in I} h^{n}\left(X_{i}\right) \cong h^{n}\left(\coprod _{i \in I} X_{i}\right) . \]

Os grupos \(h^n (*)\) são denominados coeficientes da teoria de homologia.

Unicidade da Cohomologia Singular. Existe essencialmente apenas uma teoria de cohomologia, com um grupo de coeficientes dado, na subcategoria \(\mathbf{CW}\subset \mathbf{PTop}\) que satisfaz os axiomas acima. Em outras palavras, se \(H\), \(H'\) são duas teorias de cohomologia com o mesmo grupo de coeficientes que satisfazem os axiomas os grupos \(H^n (X, A)\) e \(H'^{n} (X, A)\) são isomorfos para \((X, A) \in \mathbf{CW}\).

Exercício 13.1

Prove que \(\delta \mathbin {\circ }\delta =0\).

Exercício 13.2

Calcule a cohomologia dos espaços \(\mathbb {S}^{1} \times \mathbb {S}^{1}, \mathbb {RP}^{2}\) e a garrafa de Klein primeiro com coeficientes em \(\mathbb {Z}\) e depois com coeficientes em \(\mathbb {Z}_2\).

Exercício 13.3

Seja \(X\) um grafo regular finito. Expresse a estrutura dos grupos de cohomologia \(H^{n}(X, R)\) em termos da característica de Euler e número de componentes de \(X\).

Exercício 13.4

Descreva a estrutura dos grupos de cohomologia de \(H^{q}\left(\mathbb {R}^{n}, \mathbb {S}^{n-1} ; R\right)\) para todo \(q, n\).

Exercício 13.5

Para um espaço topológico \(X\), seja

\[ \langle \quad ,\quad \rangle : C^{n}(X) \otimes C_{n}(X) \rightarrow \mathbb {Z} \]

o pareamento de Kronecker dado por \(\langle \phi , \sigma \rangle \mathrel {\mathop:\! =}\phi (\sigma )\). Em termos desse emparelhamento, a aplicação de cobordo \( \delta : C^{n}(X) \rightarrow C^{n+1}(X)\) é definida por \(\langle \delta (\phi ) , \sigma \rangle =\langle \phi , \partial \sigma \rangle \) para todo \(\sigma \in C_{n+1}(X)\). Mostre que esse pareamento induz um pareamento entre cohomologia e homologia:

\[ \langle \quad ,\quad \rangle : H^{n}(X ; \mathbb {Z}) \otimes H_{n}(X ; \mathbb {Z}) \rightarrow \mathbb {Z} \]
Exercício 13.6

Use a sequência de Mayer-Vietoris para calcular os grupos de cohomologia \(H^k(\mathbb {RP}^2;\mathbb {Z})\).

Exercício 13.7

Use a sequência de Mayer-Vietoris para calcular os grupos de cohomologia \(H^k(\mathbb {CP}^n;\mathbb {Z})\).

Exercício 13.8

Mostre que se \(A\) é uma retração de \(X\) então a aplicação \(H^{n}(X)\rightarrow H^{n}(A)\) induzida pela inclusão \(A\subset X\) é sobrejetora. Compare com o Exercício 130.

Exercício 13.9

Esse exercício mostra que alguns resultados e técnicas de homologia se generalizam para a cohomologia.
Calcule \(H^i\left(\mathbb {S}^n ; G\right)\) por indução em \(n\) de duas maneiras: usando a sequência exata longa de um par e usando a sequência de Mayer-Vietoris.
Mostre que se \(A\) é um subespaço fechado de \(X\) que é um retrato por deformação de alguma vizinhança, então a aplicação quociente \(X \rightarrow X / A\) induz isomorfismos \(H^n(X, A ; G ) \approx \) \(\tilde{H}^n(X / A ; G)\) para todo \(n\).
Mostre que se \(A\) é uma retração de \(X\) então \(H^n(X ; G) \approx H^n(A ; G) \oplus H^n(X, A ; G)\).

Exercício 13.10

Prove que o do produto cup \(\smile \) em \(S^{*}(X;R)\) é bilinear, associativo e tem o ciclo \(\epsilon \) como elemento identidade.

Exercício 13.11


Calcule os grupos de cohomologia do \(n\)-toro:

\[ \mathbb {T}^n = (\mathbb {S}^1)^n = \underbrace{\mathbb {S}^1\times \dots \times \mathbb {S}^1}_{n\ \text{ vezes}}. \]


Descreva concretamente o anel de cohomologia de \(\mathbb {T}^3\)

Exercício 13.12

Mostre que se as dimensões \(k_i\) são todas ímpares então

\[ H^{*}\left(\mathbb {S}^{k_1} \times \mathbb {S}^{k_2} \times \cdots \times \mathbb {S}^{k_n} , \mathbb {Z}\right) \cong \Lambda _{\mathbb {Z}}\left[a_{1}, a_{2},\dots a_{n}\right] \]
Exercício 13.13


Mostre que \(H^*(\bigsqcup _{\alpha }X_{\alpha };R)\xrightarrow {\cong }\prod _{\alpha }H^*(X_{\alpha };R)\).
Descreva o anel de cohomologia de \(H^*(\bigsqcup _{i=1}^n X_{i};R)\).

Exercício 13.14


Mostre que os espaços \(\mathbb {CP}^{3}\) e \(\mathbb {S}^{2} \times \) \(\mathbb {S}^{4} \) não são homotopicamente equivalentes.
Mostre que os espaços \(\mathbb {CP}^{\frac{n(n+1)}{2}}\) e \(\mathbb {S}^{2} \times \) \(\mathbb {S}^{4} \times \cdots \times \mathbb {S}^{2 n}\) não são homotopicamente equivalentes para todo \(n\gt 1\).

Ver solução

Vamos mostrar que se \(n\gt 1\), os espaços \(\mathbb {CP}^{\frac{n(n+1)}{2}}\) e \(\mathbb {S}^{2} \times \) \(\mathbb {S}^{4} \times \cdots \times \mathbb {S}^{2 n}\) não são homotopicamente equivalentes. Considere os seguintes casos:

  • Se \(n=1\), então \(\mathbb {CP}^{1}\) é homeomorfo a \(\mathbb {S}^{2}\).

  • Se \(n=2\), então ambos os espaços \(\mathbb {CP}^{3}\) e \(\mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{4}\) possuem uma célula em cada uma das dimensões \(\{ 0,2,4,6\} \). Assim, eles também possuem o mesmo complexo cadeia/cocadeia celular e, em particular, seus grupos de homologia/cohomologia são isomorfos. Iremos, no entanto, distinguir esses espaços por seus anéis de cohomologia.

  • Se \(n \geq 3\), então \(\mathbb {CP}^{n}\) tem uma célula em cada uma das dimensões pares \(\{ 0,2,4, \ldots , 2 n\} \), mas a estrutura da célula de \( \mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{4} \times \cdots \times \mathbb {S}^{2 n}\) é diferente de \(\mathbb {CP}^{n}\) pois, por exemplo, \(\mathbb {S}{2} \times \mathbb {S}^{4} \times \cdots \times \mathbb {S}^{2 n}\) tem duas células de 6. Como ambos os espaços possuem células apenas em dimensões pares, já podemos concluir que eles possuem grupos de homologia e cohomologia diferentes, pois possuem estruturas celulares diferentes.

Mostraremos agora que para \(n\gt 1\) os dois espaços possuem anéis de cohomologia não isomorfos. Usando a Fórmula de Künneth temos que:

\begin{align*} H^{*}\left(\mathbb {S}^{2} \times \mathbb {S}^{4} \times \right. & \left.\cdots \times \mathbb {S}^{2 n} , \mathbb {Z}\right) & \cong H^{*}\left(\mathbb {S}^{2} , \mathbb {Z}\right) \otimes _{\mathbb {Z}} H^{*}\left(\mathbb {S}^{4} ; \mathbb {Z}\right) \otimes _{\mathbb {Z}} \cdots \otimes _{\mathbb {Z}} H^{*}\left(\mathbb {S}^{2 n} , \mathbb {Z}\right) \end{align*}

Portanto, um elemento de grau 2 neste anel se parece com \(\times (a \otimes 1 \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1)\), onde \(a \in H^{2}\left(\mathbb {S}^{2}\right)P \). O quadrado desse elemento é:

\begin{align*} {[\times (a \otimes 1 \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1)]^{2} } & =\times \left[(a \otimes 1 \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1)^{2}\right] \\ & =\times \left(a^{2} \otimes 1 \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1\right) \\ & =0 \end{align*}

já que \(a^{2} \in H^{4}\left(\mathbb {S}^{2}\right)=0\). No entanto, no caso de \(\mathbb {CP}^{\frac{n(n+1)}{2}}\), sabemos que o quadrado de um elemento de grau 2 diferente de zero é um elemento de grau 4 diferente de elemento zero. Portanto, os anéis de cohomologia dos dois espaços não são isomorfos.