Homologia Celular

Um espaço topológico \(X\) pode ser muito patológico para que as ferramentas de topologia algébrica forneçam alguma informação útil sobre ele. Como vimos, para construir os grupos de homologia e cohomologia utilizamos funções dos simplexos \(\Delta ^n\) em \(X\) e o mesmo vale para a construção de homotopias e grupos fundamentais, para os quais precisamos de uma função do intervalo em \(X\). Dessa forma, em geral, se a topologia de um espaço tiver pouco a ver com a topologia euclidiana, os grupos de homologia podem não fornecer informações significativas.

A primeira escolha seria restringir-se à categoria das variedades topológicas, o que faremos no capítulo 14. O problema está no fato que esta escolha exclui muitos espaços que aparecem naturalmente em várias ocasiões. Por isso, neste capítulo introduziremos uma categoria intermediária, que seja bastante ampla para conter todos os espaços significativos que deveremos considerar, mas também suficientemente limitada para excluir espaços topológicos demasiadamente irregulares e patológicos. Em particular, temos que considerar espaços cuja topologia, pelo menos localmente, não se afaste demais da euclidiana, sem todavia serem necessariamente regulares como uma variedade.

A categoria dos CW-complexos satisfaz estes requisitos: tratam-se de espaços obtidos partindo de uma família de pontos e acrescentando discos de várias dimensões, colando os bordos dos discos ao espaço precedente através de funções contínuas. Essa classe de espaços é mais ampla e possui algumas propriedades categóricas melhores do que os complexos simpliciais, mas ainda mantém uma natureza combinatória que permite a computação dos grupos de homologia. Em contraposição aos \(\Delta \)-complexos, nos CW-complexos as colagens se dão através de uma função contínua qualquer.

Nesse contexto, introduziremos também a Homologia Celular que é uma teoria de homologia adaptada para a categoria dos CW-complexos. Como veremos, a Homologia Celular concorda com a Homologia Singular quando o espaço admite uma estrutura de CW-complexo e fornece um meio eficaz de calcular os módulos de homologia.

12.1 CW-Complexos

Nessa seção, apresentaremos duas definições de CW-complexos que mostraremos que são equivalentes.

CW-Complexos como espaços obtidos pela colagem de células

Para descrever os CW-complexos como espaços obtidos pela colagem de células, vamos começar recordando o que é uma colagem

Seja \((X,A)\) um par topológico, ou seja, \(X\) é um espaço topológico e \(A\) é fechado em \(X\). Seja \(Y\) um espaço topológico e \(f:A\rightarrow Y\) uma função contínua. Definimos a colagem de \(X\) com \(Y\) por meio de \(f\), denotada por \(X\displaystyle \sqcup _{f}Y\), como o espaço quociente da união disjunta \(X\sqcup Y\) sob a relação de equivalência

Em outras palavras, as classes de equivalência, ou seja, os elementos de \(X\displaystyle \sqcup _{f}Y\), são os conjuntos \(\{ x\} \), onde \(x\in X\setminus A\) e os conjuntos \(f^{-1}(y)\cup \{ y\} ,\ y\in Y. \)

Seja \(n\) um inteiro não negativo.

• Uma \(n\)-célula é um espaço homeomorfo ao \(n\)-disco \(\mathbb {D}^{n}\).

• Uma \(n\)-célula aberta é um espaço homeomorfo ao \(n\)-disco aberto \(\operatorname {\operatorname {int}}\left(\mathbb {D}^{n}\right)\).

• Uma célula é um espaço que é uma \(n\)-célula para algum \(n \geq 0\).

Observe que \(\operatorname {\operatorname {int}}\left(\mathbb {D}^{m}\right)\) e \(\operatorname {\operatorname {int}}\left(\mathbb {D}^{n}\right)\) são homeomorfos se, e somente se, \(m=n\). Assim, podemos falar sobre a dimensão de uma célula.

Segue diretamente da definição que o bordo de uma \(n\)-célula é um espaço homeomorfo à esfera \(\mathbb {S}^{n-1}\).

Um CW-complexo é um espaço construído a partir de um conjunto não vazio de \(0\)-células (pontos) e, indutivamente, construímos subconjuntos \(X^{n}\) colando \(n\)-células. O espaço \(X=\bigcup _{n \geq 0} X^{n}\) munido da topologia fraca é o que chamamos de CW-complexo.

Um CW-complexo é um espaço junto com uma filtração de subespaços

de tal modo que

1. \(X^{0}\neq \emptyset \).

2. \(X^{n}\) é obtido colando \(n\)-células a \(X^{n-1}\), ou seja, temos as aplicações

   \[ \varphi _{\alpha }: \partial \mathbb {D}_{\alpha }^{n} \rightarrow X^{n-1} \ , \quad \alpha \in I_{n}, n \geq 0 , \]

   e homeomorfismos \(\alpha _{n}: Y^{n} \rightarrow X^{n}\) tais que \(\alpha _{n} \circ \pi _{n}\mathord {\upharpoonright }{X^{ n-1}}: X^{n-1} \rightarrow X^{n}\) é a inclusão, onde

   \[ Y^{n}=Z^{n} \bigsqcup _{\varphi _{n}} X^{n-1}, \]

   sendo \(Z^{n}=\bigsqcup _{\alpha \in I_{n}} \mathbb {D}_{\alpha }^{n}\) e \(\varphi _{n}=\bigsqcup _{\alpha \in I_{n}} \varphi _{\alpha }: \bigsqcup _{\alpha \in I_{n}} \partial \mathbb {D}_{\alpha }^{n} \rightarrow X^{n-1 }\), e onde \(\pi _{n}: Z^{n} \sqcup X^{n-1} \rightarrow Y^{n}\) é a projeção canônica.

3. \(X=\bigcup _{n \geq 0} X^{n}\).

4. \(X\) carrega a topologia fraca na família de espaços \(\left\{ X^{n}\right\} _{n \geq 0}\), ou seja, um subconjunto \(A \subseteq X\) é fechado se \(A \cap X^{n}\) é fechado em \(X^{n}\), para todo \(n \geq 0\).

O conjunto \(X^{n}\) é dito o \(n\)-esqueleto de \(X\), para cada \(n\geq 0\). As aplicações \(\varphi _{\alpha }\) são chamadas de aplicações características ou de colagem.

Se o espaço topológico \(X\) é homeomorfo a um CW-complexo dizemos que \(X\) admite uma estrutura de CW-complexo.

O número de células em um CW-complexo pode ser infinito. Um CW-complexo é de dimensão finita se \(X^n = X\) para algum \(n\); de tipo finito se possui um número finito de células em cada dimensão; e finito se for de dimensão finita e de tipo finito, ou seja, se possui um número finito de células. A dimensão de um CW-complexo de dimensão finita é o maior \(n\) para o qual existem \(n\)-células.

Observamos que todo CW-complexo finito é compacto, sendo a união de um número finito de subespaços compactos \(\Phi _e\left(\mathbb {D}^n\right), e \in \mathcal{E}\).

1. A reta real admite uma estrutura de CW-complexo com os inteiros como \(0\)-células e os intervalos \([n, n+1]\) como \(1\)-células. Essa estrutura possui infinitas células e esse CW-complexo possui dimensão \(1\).

2. De modo mais geral, \(\mathbb {R}^{n}\) é um CW-complexo \(n\)-dimensional de maneira óbvia: as \(n\)-células são os cubos cujos vértices têm coordenadas inteiras, as \(0\)-células são os pontos inteiros do reticulado, etc.

3. Todo complexo simplicial geométrico localmente finito é um CW-complexo.

   Nesse caso, podemos tomar as aplicações características como o homeomofismo do simplexo no disco fechado e as demonstrações dos Axiomas 1 e 2 são imediatas.

   Para provar o Axioma 3, observamos que qualquer simplexo em \(\mathbb R^n\) é um subconjunto fechado em \(X\subset \mathbb R^n\). Assim, a topologia induzida em \(\Delta ^k\) de \(\mathbb R^n\) coincide com a induzida de \(X\).

4. Todo \(\Delta \)-complexo é um CW-complexo.

12.1.1 Definição Equivalente

Uma decomposição celular de um espaço topológico \(X\) é uma família \(\mathcal{E}=\left\{ e_{\alpha } \mid \alpha \in I\right\} \) de subespaços de \(X\) tal que cada \(e_{\alpha }\) é uma célula e

Uma definição equivalente de CW-complexo é:

Um par \((X, \mathcal{E})\) consistindo de um espaço topológico de Hausdorff \(X\) e uma decomposição celular \(\mathcal{E}\) de \(X\) é dito um CW-complexo se os axiomas a seguir são satisfeitos:

Axioma 1 - Aplicações Características:

Para cada \(n\)-célula \(e \in \mathcal{E}\), existe uma aplicação \(\Phi _{e}: \mathbb {D}^{n} \rightarrow X\) cuja restrição \(\Phi _{e}\mathord {\upharpoonright }{\operatorname {\operatorname {int}}\left(\mathbb {D}^{n}\right)}: \operatorname {\operatorname {int}}\left(\mathbb {D}^{n}\right) \rightarrow e\) é um homeomorfismo e \(\Phi _{e}\) leva o bordo do disco \(\mathbb {D}^{n}\), i.e. \(\mathbb {S}^{n-1}\), em \(X^{n-1}\).

Axioma 2 - Finitude do Fecho:

Para toda célula \(e \in \mathcal{E}\), o fecho \(\overline{e}\) intercepta apenas um número finito de outras células em \(\mathcal{E}\).

Axioma 3 - Topologia Fraca:

Um subconjunto \(A \subseteq X\) é fechado se, e somente se, \(A \cap \overline{e}\) é fechado em \(X\), para cada \(e \in \mathcal{E}\).

Observe que os Axiomas 2 e 3 são necessários apenas no caso de \(\mathcal{E}\) ser infinito (ou seja, eles são automaticamente satisfeitos se \(\mathcal{E}\) for finito).

Normalmente, abusa-se da notação e denomina-se o espaço \(X\) de CW-complexo se ele admite uma decomposição celular \(\mathcal{E}\) que o transforma em um. Essa estrutura de CW-complexo, entretanto, não é única e o conjunto de células também depende da estrutura escolhida - como já vimos nos exemplos anteriores.

Antes de provarmos a equivalência das duas definições apresentamos alguns resultados sobre a topologia de um CW-complexo usando a segunda definição.

Observe que, se \(X\) não é de Hausdorff, ainda temos \(\Phi _{e}\left(\mathbb {D}^{n}\right) \subseteq \overline{e}\), mas não necessariamente temos igualdade. Não temos garantia de que \(\Phi _{e}\left(\mathbb {D}^{n}\right)\) é fechado em \(X\).

O subespaço \(\overline{e}=\Phi _{e}\left(\mathbb {D}^{n}\right)\) é denominado célula fechada.

Sejam \((X, \mathcal{E})\) um CW-complexo, \(Y\) um espaço topológico e \(f: X \rightarrow Y\) uma função. Então, são equivalentes:

1. \(f: X \rightarrow Y\) é contínua;

2. a restrição \(f\mathord {\upharpoonright }{\overline{e}}: \overline{e} \rightarrow Y\) é contínua, para todo \(e \in \mathcal{E}\);

3. a restrição \(f\mathord {\upharpoonright }{X^{n}}: X^{n} \rightarrow Y\) é contínua, para todo \(n \geq 0\).

Subcomplexos

Seja \((X, \mathcal{E})\) um CW-complexo, \(\mathcal{E}^{\prime } \subseteq \mathcal{E}\) um subconjunto de células e

Sejam \((X, \mathcal{E})\) um CW-complexo e \(\left(X^{\prime }, \mathcal{E}^{\prime }\right)\) como acima. Então \(\left(X^{\prime }, \mathcal{E}^{\prime }\right)\) é chamado de subcomplexo de \((X, \mathcal{E})\) se as 3 condições equivalentes do lema anterior são satisfeitas. Temos algumas consequências imediatas:

Seja \((X, \mathcal{E})\) um CW-complexo.

1. Seja \(\left\{ A_{i} \mid i \in I\right\} \) qualquer família de subcomplexos de \((X, \mathcal{E})\). Então \(\bigcup _{i \in I} A_{i}\) e \(\bigcap _{i \in I} A_{i}\) são subcomplexos de \((X, \mathcal{E})\).

2. O \(n\)-esqueleto \(X^{n}\) é um subcomplexo de \((X, \mathcal{E})\), para cada \(n \geq 0\).

3. Seja \(\left\{ e_{i} \mid i \in I\right\} \) uma família arbitrária de \(n\)-células em \(\mathcal{E}\). Então \(X^{n-1} \cup \left(\bigcup _{i \in I} e_{i}\right)\) é um subcomplexo.

A categoria \(\mathbf{CW}\) é a categoria cujos objetos são CW-complexos e cujos morfismos são funções contínuas.

Equivalência entre as definições de CW-complexo

As definições de CW-complexos apresentadas em 12.1 e 12.1.1 são equivalentes.

12.2 Homologia de CW-Complexos

Nesta seção, introduziremos a homologia celular \(H_{p}^{\operatorname {cw}}(X;R)\) para um CW-complexo \(X\). Como veremos, a homologia celular concorda com a homologia singular no caso em que \(X\) é um CW-complexo. Em muitos casos práticos, o número de \(p\)-células é pequeno e dessa forma o complexo celular \(C_{*}^{\operatorname {cw}}(X;R)\) é muito mais tratável do que o complexo singular \(S_{*}(X;R)\).

Para esse fim, começamos com a observação que a filtração por esqueletos de um CW-complexo

leva a uma série de sequências exatas longas dos pares \((X^{k}, X^{k-1})\).

Pela Proposição 10.3, \((X^{p}, X^{p-1})\) é um bom par, assim temos o isomorfismo entre a homologia relativa e a homologia quociente:

De posse dessas informações, podemos calcular a homologia relativa que é dada por:

Aqui usamos o Corolário 10.5 e o Exercício 135 e que \(X^{k} / X^{k-1}\) é homeomorfo ao buquê de esferas \(\bigvee _{i \in I_{k}} \mathbb {S}_{i}^{k}\).

Logo, o módulo \(H_{p}(X^{p}, X^{p-1};R)\) é um \(R\)-módulo livre cujo posto (quando finito) é igual ao número de \(p\)-células em \(X\). Isso significa que podemos ver \(H_{p}(X^{p}, X^{p-1};R)\) como o conjunto de combinações lineares formais \(\displaystyle \sum _{i}\lambda _{i} e_{i}^{p}\), onde \(\lambda _{i}\in R\) e \(e_{i}^{p}\) são \(p\)-células abertas.

Dado um CW-complexo \(X\), definimos as \(p\)-cadeias celulares de \(X\), \(C_{*}^{\operatorname {cw}}(X;R)\), por

onde \(H_{p}(X^{p}, X^{p-1};R)\) é o p-ésimo grupo de homologia singular relativa do par \((X^{p}, X^{p-1})\) e \(X^{p}\) é o \(p\)-esqueleto de \(X\). Seja \(X\) um CW-complexo, então:

1. \(H_{k}(X^{p};R)\cong 0\), para todo \(k\gt p\). Em particular, se \(X\) tem dimensão finita \(n\), então \(H_{p}(X;R)\cong 0\), para todo \(p\gt n.\)

2. \(H_{k}(X^{p};R)\cong H_{k}(X;R)\), para todo \(k\lt p.\)

3. Se \(R\) é um domínio de ideais principais, então \(H_{p}(X^{p};R)\) é um módulo livre.

Os resultados anteriores permitem uma visão vívida e esclarecedora de como a homologia é criada nas colagens do CW-complexo. Se fixarmos uma dimensão \(p\) e observarmos como \(H_{p}\) varia à medida que nos movemos pelos esqueletos de \(X\), encontramos a seguinte imagem. Primeiro, \(H_{0}\left(X^{0}\right)\) é sobreposto por \(H_{0}\left(X^{1}\right)\), que depois disso permanece inalterado à medida que avançamos para esqueletos de dimensão maior. Se \(p\gt 0\), como \(X^{0}\) é discreto, \(H_{p}\left(X^{0}\right)\cong 0\). Então os grupos de homologia \(H_{p}\left(X^{k}\right)\) continuam a ser \(0\) até chegar a \(X^{p}\). O módulo \(H_{p}\left(X^{p}\right)\) é livre. Relações podem ser introduzidas quando passamos para \(X^{p+1}\); mas depois disso todas as homologias

são isomorfas. Dessa forma, temos que toda a homologia \(q\)-dimensional de \(X\) é criada em \(X^{p}\), e todas as relações em \(H_{p}(X)\) ocorrem em \(X^{p+1}\).

Até esse ponto definimos as \(n\)-cadeias celulares de um CW-complexo \(X\), e agora queremos construir um complexo de cadeias. Definimos:

O operador bordo para a homologia celular \(\partial ^{\operatorname {cw}}_n : C_{n}^{\operatorname {cw}}(X;R)\to C_{n-1}^{\operatorname {cw}}(X;R)\) é definido como

A partir dos morfismos de bordo \(\partial ^{\operatorname {cw}}_{p}:C_{p}^{\operatorname {cw}} (X;R)\rightarrow C_{p-1}^{\operatorname {cw}} (X;R)\), obtemos a seguinte sequência e temos um complexo em cadeia. Este é o complexo de cadeias celulares de \(X \).

Definimos a homologia celular do CW-complexo \(X\) como a homologia do complexo de cadeias celulares, isto é

Se \(X\) é CW-complexo, então as homologias singulares e celulares são isomorfas, i.e.,

Além disso

1. \(H_n (X;R) = 0\), se \(X\) for um CW-complexo sem nenhuma \(n\)-células.

2. Se \(X\) é um CW-complexo com \(k\) \(n\)-células e \(R\) é um domínio de ideais principais, então \(H_n (X;R)\) é finitamente apresentado gerado por no máximo \(k\) elementos.

3. Se \(X\) é um CW-complexo não tendo células de dimensões \(n-1\) e \(n+1\), então \(H_n (X)\) é um módulo livre com base em correspondência biunívoca com as \(n\)-células de \(X\).

Suponha que o CW-complexo \(X\) tenha apenas células pares, i.e., \(X^{2 k} =X^{2 k+1}\), para todo \(k\). Então

Em outras palavras, \(H_{n}(X;R)\) é trivial para \(n\) ímpar e é o módulo \(C^{\operatorname {cw}}_{*}(X;R)\) livre para todo \(n\) par, e a dimensão de \(H_{n}(X;R)\) para \(n\) par é o número de \(n\)-células.

Expressão para o operador de bordo celular

Para aplicarmos o Teorema, muitas vezes é necessário calcular o operador de bordo, o que pode ser difícil se feito diretamente a partir definição. A seguir, mostraremos como expressar o operador de bordo em termos dos graus de certas aplicações \(\mathbb {S}^{n} \rightarrow \mathbb {S}^{n}\).

O morfismo de bordo

leva uma \(n\)-célula aberta \(e_{\alpha }\in X\), considerada como uma cadeia em \(H_{n}(X^{n}, X^{n-1})\), para uma combinação de \((n-1)\)-células abertas \(e_{\beta }\in X\), considerada como uma cadeia em \(H_{n-1}( X^{n-1}, X^{n-2})\). Dessa forma, a aplicação de bordo fica completamente determinada pelos coeficientes \(d_{\alpha \beta }\), tais que

Para cada \(\beta \), defina uma aplicação \(p_{\beta }: X^{n-1} \rightarrow \mathbb {S}^{n-1}\) como segue.

1. Seja \(q:X^{n-1}\rightarrow X^{n-1}/X^{n-2}\) a aplicação quociente.

2. Lembre-se de que \(X^{n-1}/X^{n-2}\) é homeomorfo à união por um ponto de \((n-1)\)-esferas \(\mathbb {S}^{n-1}, \) uma para cada \(\beta \), i.e, \(X^{n-1}/X^{n-2}\cong \bigvee _{\beta } \mathbb {S}_{\beta }^{n-1}\). Seja \(q_{\beta }:X^{n-1}/X^{n-2}\rightarrow \mathbb {S}^{n-1}\) a projeção na \(\beta \)-ésima esfera. É a aplicação que colapsa todas as outras esferas na união por um ponto, exceto a \(\beta \)-ésima, no ponto de união. Então definimos

   \[ p_{\beta }=q_{\beta }\mathbin {\circ }q, \]

E definimos \(\triangle _{\alpha \beta }:\partial \mathbb {D}_{\alpha }^{n}\rightarrow \mathbb {S}_{\beta }^{n-1}\) como a composição

em outras palavras, a aplicação colagem de \(e_{\alpha }^{n}\) seguida pela aplicação quociente \(X^{n-1}\rightarrow S_{\beta }^{n-1}\) colapsando o complemento de \(e_{\beta }^{n-1}\) em \(X^{n-1}\) a um ponto.

Seja \(X\) um CW-complexo. Então o morfismo de bordo

do complexo celular \(C_{*}^{\operatorname {cw}}(X;\mathbb {Z}) \) associado a \(X\) é dado por

onde \(d_{\alpha \beta }=\deg \triangle _{\alpha \beta }\) é o grau da aplicação \(\triangle _{\alpha \beta }:\mathbb {S}^{n-1}\rightarrow \mathbb {S}^{n-1}\) definida como \(\triangle _{\alpha \beta }=p_{\beta }\varphi _{\alpha }.\) Observamos que soma na proposição anterior é finita, pois \(\varphi _{\alpha }\) leva \(\mathbb {S}^{n-1}\) em uma união de um número finito de células de dimensão no máximo \(n-1\). Os graus \(d_{\alpha \beta }\) são frequentemente chamados de números de incidência.

Para demonstrar a proposição, considere o diagrama comutativo

Primeiramente, observamos que \(p_{\beta *}\) leva um gerador \(e_{\beta } \) de \(H_{n-1}\left(X^{n-1}, X^{n-2}\right)\) ao gerador de \(H_{n-1}\left(\mathbb {S}^{n- 1}, *\right) \cong \widetilde{H}_{n-1}\left(\mathbb {S}^{n-1}\right) \cong \mathbb {Z}\) e todos os outros geradores para zero.

Seja \(x \in H_{n-1}\left(X^{n-1}, X^{n-2}\right)\), como \(H_{n-1}\left(X^{n-1}, X^{n-2}\right)\) é livre com base \(\left\{ e_{\beta } \right\} \), existem e são únicos os inteiros \(n_{\beta }\) tais que

Como \(H_{n-1}\left(X^{n-1}, X^{n-2}\right)\cong H_{n-1}\left(X^{n-1}/ X^{n-2}\right)\), podemos escrever \(x\) como \(x=\sum n_{\beta } e'_{\beta }\).

Das observações acima, segue que a menos da escolha do gerador de \( \widetilde{H}_{n-1}\left(\mathbb {S}^{n-1}\right)\) ⁴ e de isomorfismo temos que se \(x=\sum n_{\beta } e_{\beta }\) então \(q_{\beta *} x= n_{\beta } \in \widetilde{H}_{n-1}\left(\mathbb {S}^{n-1}\right) \cong \mathbb {Z}\).

Agora, observe que a aplicação \(\Phi _{\alpha *}\) leva um gerador \(D_{\alpha } \in H_n(\mathbb {D}^n_{\alpha }, \partial \mathbb {D}^n_{\alpha })\) para um gerador de \(H_{n}(X^{n}, X^{n-1})\) correspondente a \(e_{\alpha }\). Denotaremos esse gerador também por \(e_{\alpha }\).

Observamos que o quadrado superior comuta por naturalidade \(\varphi _{\alpha }=\Phi _{\alpha }\mathord {\upharpoonright }{\mathbb {S}^{n-1}} \). Todos os triângulos comutam por definição. Dessa forma, temos, a menos de isomorfismos, fazendo uma perseguição no diagrama 12.3 (indicada em vermelho e começando com \(D_{\alpha }\in H_n(\mathbb {D}^n_{\alpha }, \partial \mathbb {D}^n_{\alpha })\)), que:

onde \(D_\alpha \) é um gerador de \(H_{n}\left(\mathbb {D}^{n}, \mathbb {S}^{n-1}\right)\) que corresponde a aplicação identidade sob um homeomorfismo escolhido fixo \(\Delta _{n} \rightarrow \mathbb {D}_{n}\). Segue-se que \(\partial (D)\) é um gerador de \(\widetilde{H}_{n-1}\left(\mathbb {S}^{n-1}\right)\). Em outras palavras, o coeficiente \(d_{\alpha \beta } \in \mathbb {Z}\) é igual ao grau da aplicação \(\Delta _{\alpha \beta }: \mathbb {S}^{n-1} \rightarrow \mathbb {S}^{n -1}\).

Isso também faz sentido para \(n=1\), embora não tenhamos definido um grau de aplicação \(\mathbb {S}^{0} \rightarrow \mathbb {S}^{0}\). Nesse caso, o operador de bordo \(\partial _{1}: H_{1}\left(X^{1}, X^{0}\right) \rightarrow H_{0}\left(X^{0}\right)\) é definido simplesmente pela fórmula familiar

Observe também que, embora o cálculo acima identifique \(d_{\alpha \beta }\) apenas a menos de isomorfismos, mas isso não faz diferença na prática.

Exemplo 12.15

Seja \(\Sigma _g\) a superfície orientável fechada de gênero \(g\) com sua estrutura de CW-complexo usual obtida do polígono de \(4g\) lados colado pela palavra

\[ a_{1} b_{1} a_{1}^{-1} b_{1}^{-1} \cdots a_{g} b_{g} a_{g}^{-1} b_{g}^{-1} \]

e consistindo de uma 0-célula, \(2 g\) 1-células e uma 2-célula.

O complexo de cadeias celulares associado é

\[ 0 \longrightarrow \mathbb {Z}\stackrel{d_2}{\longrightarrow } \mathbb {Z}^{2 g} \stackrel{d_1}{\longrightarrow } \mathbb {Z}\longrightarrow 0\ . \]

O operador \(d_1\) deve ser \(0\), pois o complexo possui apenas uma \(0\)-célula. Além disso, \(d_2\) é \(0\) porque cada \(a_i\) ou \(b_i\) aparece com seu inverso em \( a_{1} b_{1} a_{1}^{-1} b_{1}^{-1} \cdots a_{g} b_{g} a_{g}^{-1} b_{g}^{-1}\), e dessa forma e dessa forma o disco é enrolado duas vezes em cada círculo em direções contrárias e assim as aplicações \(\Delta _{\alpha \beta }\) são aplicações homotópicas a constantes. Como \(d_1\) e \(d_2\) são ambos zero, os grupos de homologia de \(\Sigma _g\) são os mesmos que os grupos de cadeia celular e assim

\[ H_n(\Sigma _g)=\begin{cases} \mathbb {Z}\ , & \text{ se } n=0,2 \\ \mathbb {Z}^{2 g} \ , & \text{ se } n=1 . \end{cases} \]

(-0.3, -0.7) node [circle, fill=blue, inner sep=.05cm] () ; at (-0.3, 0.9) 0-célula; [shift=(2.7, -0.3),scale=0.8] (-0.3, -0.7) node [circle,fill=blue, inner sep=.06cm] () ; [thick] (0, 0) ellipse (2cm and 0.7cm); [thick] (0, -.7) ellipse (0.3cm and 0.5cm);

[shift=(6.6, -0.8)] at (-3.6, 2) Colagem da
1-célula;

[thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .65 with latex, ] (0,0)–(1,0);

[thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .65 with latex, ] (1,0)–(1,1); [thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .65 with latex, ] (0,1)–(1,1); [thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .65 with latex, ] (0,0)–(0,1); [blue] (0,0) node [circle,fill=blue, inner sep=.03cm] () ; [blue] (0,1) node [circle,fill=blue, inner sep=.03cm] () ; [blue] (1,0) node [circle,fill=blue, inner sep=.03cm] () ; [blue] (1,1) node [circle,fill=blue, inner sep=.03cm] () ;

at (0.5,-0.24) \(a\); at (1.3,0.5) \(b\); at (0.7,1.3) \(a^{-1}\); at (-0.4,0.5) \(b^{-1}\);

[x=2cm,y=2cm,shift=(1.97, -0.4),scale=0.57]

at (4.2, 1.9) 2-célula; at (7, 0.6)

Orientação do bordo da 2 célula

;

[azul,fill opacity=0.1] (4.6,0.5) circle (1cm); [,thick,thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .3 with latex, ] (4.6,1) arc (90:180:0.5); [thick,thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .5 with latex, ] (4.6,0.5-0.5) arc (270:360:0.5); [thick,thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .3 with latex, ] (4.6-0.5,0.5) arc (180:270:0.5); [thick,thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .5 with latex, ] (4.6+0.5,0.5) arc (0:90:0.5);] [blue] (4.6+0.5,0.5) node [circle,fill=blue, inner sep=.03cm] () ; [blue] (4.6+0,0.5+0.5) node [circle,fill=blue, inner sep=.03cm] () ; [blue] (4.6,-0.) node [circle,fill=blue, inner sep=.03cm] () ; [blue] (4.6-0.5,0.5) node [circle,fill=blue, inner sep=.03cm] () ; [thick,red,->] (4.6+0.8,0.1)to[out=40,in=-40](4.6+0.8,0.5+0.4);

[shift=(0, -5)] (0.7, 0.) node [circle,fill=black, inner sep=.06cm] () ; at (1.6, 2.5) Colagem da 2-célula;

[thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .5 with latex, ] (1,0) arc[start angle=0,delta angle=-320,x radius=.15,y radius=.35]; (1,0) ++(-.15,-.35) .. controls +(170:1) and +(-90:.5) .. ++(-1.5,1) .. controls +(90:.5) and +(180:1) .. ++(2,1) .. controls +(0:1) and +(90:.5) .. ++(2,-1) .. controls +(-90:.5) and +(10:1) .. ++(-1.5,-1) coordinate (a); [thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .7 with latex, ] (a) ++(-.15,.35) arc[start angle=0,delta angle=-320,x radius=-.15,y radius=.35]; (1,0) ++(-.15,.35) .. controls +(170:.5) and +(-60:.25) .. ++(-.9,.5) coordinate (b); [thick,red] (0.96,0.215)–(0.76,0.25); [thick,red] (1+0.96,0.255)–(1+0.76,0.225); (a) ++(0,.7) .. controls +(10:.5) and +(240:.25) .. ++(.9,.5) coordinate (c); (1,0) ++(-.15,.35) .. controls +(170:.5) and +(-60:.25) .. ++(-.9,.5) – ++(0,2) -| (c) .. controls +(240:.25) and +(10:.5) .. ++(-.9,-.5); (1,0) ++(-.15,-.35) ++(0,-.7) .. controls +(170:1) and +(-90:.5) .. ++(-1.5,.8) .. controls +(90:.5) and +(180:1) .. ++(2,1.2) .. controls +(0:1) and +(90:.5) .. ++(2,-1.2) .. controls +(-90:.5) and +(10:1) .. ++(-1.5,-.8); [thick,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .5 with latex, ] (1,0) ++(-.15,-.35) ++(0,-.8) .. controls +(170:1) and +(-90:.5) .. ++(-1.5,.8) .. controls +(90:.5) and +(180:1.2) .. ++(2,1.5) .. controls +(0:1.2) and +(90:.5) .. ++(2,-1.5) .. controls +(-90:.5) and +(10:1) .. ++(-1.5,-.8);

[thick,red,postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .5 with latex, ] (1,0.172) ++(-.15,-.35) ++(0,-.8) .. controls +(170:1) and +(-90:.5) .. ++(-1.5,.8) .. controls +(90:.5) and +(180:1.2) .. ++(2,1.5) .. controls +(0:1.2) and +(90:.5) .. ++(2,-1.5) .. controls +(-90:.5) and +(10:1) .. ++(-1.5,-.8); (a) ++(-.15,.35) arc[start angle=0,delta angle=-360,x radius=-.15,y radius=.35]; (a) ++(-.15,.35) .. controls +(10:1) and +(-90:.5) .. ++(1.5,.8); (1,0) arc[start angle=0,delta angle=-360,x radius=.15,y radius=.35]; (1,0) .. controls +(170:1) and +(-90:.5) .. ++(-1.5,.8);

[xshift=6cm,yshift=-5cm] at (2.2, 2.4) Toro;

[postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .5 with latex, ] (1.5,.35) arc[start angle=90,end angle=-90,y radius=.35,x radius=.1]; (1.5,-.35) .. controls +(180:1) and +(-90:.65) .. ++(-2,1) .. controls +(90:.65) and +(180:1) .. ++(2,1) .. controls +(0:1) and +(90:.65) .. ++(2,-1) .. controls +(-90:.65) and +(0:1) .. ++(-2,-1); (1.5,.35) .. controls +(180:.5) and +(-50:.25) .. ++(-1.3,.35) coordinate (b); (1.5,.35) .. controls +(0:.5) and +(230:.25) .. ++(1.3,.35) coordinate (c); (1.5,.35) .. controls +(180:.5) and +(-50:.25) .. ++(-1.3,.35) – ++(0,2) -| (c) .. controls +(230:.25) and +(0:.5) .. ++(-1.3,-.35); (1.5,-.35) ++(0,-.7) .. controls +(180:1) and +(-90:.65) .. ++(-1.5,1) .. controls +(90:.65) and +(180:1) .. ++(1.5,1) .. controls +(0:1) and +(90:.65) .. ++(1.5,-1) .. controls +(-90:.65) and +(0:1) .. ++(-1.5,-1); [postaction=decorate,decoration= markings, mark=at position .5 with latex, ] (1.5,-.35) ++(0,-.6) .. controls +(180:1) and +(-90:.65) .. ++(-1.5,1) .. controls +(90:.65) and +(180:1) .. ++(1.5,1) .. controls +(0:1) and +(90:.65) .. ++(1.5,-1) .. controls +(-90:.65) and +(0:1) .. ++(-1.5,-1); (0.7, 0.) node [circle,fill=black, inner sep=.06cm] () ;

Exemplo 12.16

Seja \(P_g\) superfície não orientável fechada do gênero \(g\) com sua estrutura de CW-complexo usual obtida da colagem do polígono de \(2g\) lados colado pela palavra

\[ a_1^2 a_2^2 \cdots a_g^2 \]

e consistindo de uma \(0\)-célula, \(g\) 1-células e uma 2-célula.

O complexo de cadeia celular associado é

\[ 0 \longrightarrow \mathbb {Z}\stackrel{d_2}{\longrightarrow } \mathbb {Z}^{g} \stackrel{d_1}{\longrightarrow } \mathbb {Z}\longrightarrow 0\ . \]

Novamente temos que o operador \(d_1=0\), enquanto que o operador \(d_2: \mathbb {Z}\rightarrow \mathbb {Z}^g\) é especificado pela equação \(d_2(1)=(2, \cdots , 2)\) já que cada termo \(a_i \) aparece na palavra de colagem da 2-célula com expoente \(2\), e dessa forma o bordo do disco é enrolado duas vezes em cada círculo na mesma direção e assim cada aplicação \(\triangle _{\alpha \beta }\) é homotópica à aplicação \(z \mapsto z^2\), de grau 2. Como \( d_2(1)=(2, \cdots , 2)\), temos que a aplicação \(d_2\) é injetiva e portanto \(H_2\left(P_g\right)\cong 0\). Finalmente se escolhermos a base para \(\mathbb {Z}^g\) como a base obtida substituindo o último elemento base padrão \((0, \cdots , 0,1)\) por \((1, \cdots , 1)\), veremos que

\[ H_1\left(P_g\right) \cong \mathbb {Z}^{g - 1} \oplus \mathbb {Z}_2. \]

e desta forma temos que

\[ H_n(P_g)=\begin{cases} \mathbb {Z}\ , & \text{ se } n=0, \\ \mathbb {Z}^{g - 1} \oplus \mathbb {Z}_2 \ , & \text{ se } n=1, \\ 0 \ , & \text{ se } n=2 . \end{cases} \]

Espaço projetivo real

Temos uma estrutura de CW-Complexo em \(\mathbb {RP}^{n}\) com \(X^{k}=\mathbb {RP}^{k}\) na qual há uma \(k\)-célula - que denotaremos por \(e_{k}\) - para cada \(k\) entre \(0\) e \(n\). A aplicação de colagem da \(n\)-célula é o recobrimento duplo dado pela aplicação antipodal \(\pi : \mathbb {S}^{n-1} \rightarrow \mathbb {RP}^{n-1}\). Dessa forma o complexo da cadeia celular é dado:

O primeiro operador bordo é zero porque \(H_{0}\left(\mathbb {RP}^{n}\right)\cong \mathbb {Z}\) Para \(n\gt 1\), para calcular o morfismo de bordo \(\partial _{k}^{\operatorname {cw}}\) calculamos o grau da composição

com \(q\) a aplicação quociente. A aplicação \(q \varphi \) restringe-se a um homeomorfismo em cada componente de \(\mathbb {S}^{k-1} \setminus \mathbb {S}^{k-2}\) sobre \(\mathbb {RP}^{k-1} \setminus \mathbb {RP}^{k-2}\), e esses dois homeomorfismos são obtidos um do outro compondo com a aplicação antipodal de \(\mathbb {S}^{k-1}\), denoata \(-\operatorname {\operatorname {id}}\), que tem grau \((-1)^{k}\). Logo

e assim \(\partial _{k}^{\operatorname {cw}}\) é 0 ou é a multiplicação por 2 dependendo se \(k\) é ímpar ou par. Assim, o complexo da cadeia celular para \(\mathbb {RP}^{n}\) é

A partir das sequências anteriores segue facilmente que A homologia do espaço projetivo real é a seguinte.

Representando essas informações numa tabela na qual as entradas ausentes são 0.

No espaço projetivo real, células ímpares criam novos geradores e células pares (com exceção da célula zero) criam torção na dimensão anterior.

12.3 Axiomas de Eilenberg-Steenrod para a Homologia

Eilenberg e Steenrod propuseram em Eilenberg e Steenrod 1945 um sistema de axiomas para definir o que é uma “teoria de homologia”. Nesse conjunto de axiomas, o foco era predominantemente em CW-complexos finitos. Mais tarde, esses axiomas foram complementados pelo axioma da aditividade de Milnor Milnor 1962 que agora é considerado como parte dos axiomas padrão. Denotamos por \(\mathbf{PTop}\) a categoria de pares de espaços topológicos.

Uma teoria de homologia \(H\) em \(\mathbf{PTop}\) é:

• uma sequência de funtores \(h_{n}\) : \(\mathbf{PTop}\rightarrow \mathbf{{}_R{Mod}}\) para todo \(n \in \mathbb {Z}\) e

• uma sequência de transformações naturais \(\partial : h_{n}(X, A) \rightarrow h_{n-1}(A, \varnothing )\)

que satisfazem:

A1-Sequência exata longa

Para qualquer par \((X, A)\), a sequência

\[ \cdots \rightarrow h_{q+1}(X, A) \stackrel{\partial }{\rightarrow } h_{q}(A) \rightarrow h_{q}(X) \rightarrow h_{q}(X, A) \stackrel{\partial }{\rightarrow } \cdots \]

é exata, onde escrevemos \(h_{q}(X)\) para \(h_{q}(X, \varnothing )\).

A2-Axioma da dimensão

O grupo \(h_{n}(*)\) é diferente de zero apenas para \(n=0\).

A3-Invariância homotópica

Se \(f_{0}, f_{1}:(X, A) \rightarrow (Y, B)\) são homotópicos, então \(f_{0 *}=f_{1 *}: h_{n }(X, A) \rightarrow \) \(h_{n}(Y, B)\).

A4-Excisão

Excisões induzem isomorfismos.

A5-Aditividade

Seja \(\coprod X_{i}\) a união disjunta de \(X_{i}\). As aplicações de inclusão \(X_{i} \rightarrow \coprod X_{i}\) induzem as aplicações \(h_{n}\left(X_{i}\right) \rightarrow h_{n}\left(\coprod X_{i}\right)\), e estes por sua vez induzem uma aplicação da soma direta em \(\mathbf{{}_R{Mod}}\):

\[ \alpha : \bigoplus _{i \in I} h_{n}\left(X_{i}\right) \rightarrow h_{n}\left(\coprod _{i \in I} X_{i}\right) . \]

Então a aplicação \(\alpha \) é um isomorfismo para todo \(n\).

Os grupos \(h_n (* )\) são denominados coeficientes da teoria de homologia.

Unicidade da Homologia Singular. Existe essencialmente apenas uma teoria de homologia, com um grupo de coeficientes dado, na subcategoria \(\mathbf{CW}\subset \mathbf{PTop}\) que satisfaz os axiomas acima. Em outras palavras, se \(H\), \(H_0\) são duas teorias de homologia com o mesmo grupo de coeficientes que satisfazem os axiomas os grupos \(H_n (X, A)\) e \(H_{0n} (X, A)\) são isomorfos para \((X, A) \in \mathbf{CW}\).