Capítulo 3

Grupo Fundamental

Sejam \( \mathbb {S}^{2} \) a esfera bidimensional e \( \mathbb {T}^2\) o toro bidimensional, representados na Figura 3.1.

Como podemos determinar se esses espaços são homeomorfos?

Neste capítulo, introduzimos o conceito de grupo fundamental de um espaço, o que nos permitirá responder essa questão. A resposta dependerá de uma das propriedades fundamentais de tais grupos: o fato de que espaços homeomorfos possuem grupos fundamentais isomorfos.

A teoria dos grupos fundamentais é um dos exemplos mais simples da estratégia de tradução de problemas topológicos para problemas algébricos. Esses grupos são construídos atribuindo uma estrutura de grupo ao conjunto de classes de homotopia de laços com base em um mesmo ponto, de forma funtorial, e desempenham um papel destacado no estudo de Topologia Algébrica.

De modo mais geral, propriedades e características que são compartilhadas por espaços homeomorfos são chamadas propriedades topológicas e invariantes topológicos; por outro lado aquelas compartilhadas por espaços homotopicamente equivalentes são chamados de propriedades homotópicas e invariantes homotópicos. E assim, como veremos, o grupo fundamental é um exemplo de invariante homotópico (e consequentemente um invariante topológico) dos espaços topológicos. Foi através da busca e construção de invariantes, estabelecendo conexões entre a Topologia e Álgebra, que a Topologia Algébrica se desenvolveu.

Historicamente o conceito de grupo fundamental deve-se a Henry Poincaré. Em seu seminal artigo Analysis Situs aparece a definição do grupo fundamental de uma variedade conexa \(X\). Sua definição era essencialmente a mesma que a utilizada atualmente, mas descrita em uma linguagem "intuitiva": laços com origem em um ponto \(x\) são caminhos que começam em \(x\) e voltam ao mesmo ponto; a composição de dois laços com origem em \(x\) é o laço obtido por justaposição, movendo-se primeiro ao longo do primeiro e depois ao longo do segundo; o inverso de um laço é obtido movendo-se ao longo desse laço na direção oposta. Poincaré considerou dois laços que podem ser "deformados" um no outro "equivalentes", sendo a sua origem comum fixa (lembre-se que a homotopia ainda não tinha sido definida com precisão); ele então chamou o grupo definido pela composição das classes de equivalência de grupo fundamental de \(X\) no ponto \(x\).

Ressaltamos por último que a teoria dos grupos fundamentais são de grande importância não só na topologia, mas também em outros ramos da matemática, como análise complexa, geometria, grupos de Lie e também em algumas áreas além da matemática.

3.1 Grupo Fundamental

Como vimos no final do capítulo anterior, o conjunto \(\Pi (X)\) das classes de homotopia de caminhos com extremos fixos em um espaço topológico \(X\), munido da lei de composição, fornece apenas um grupóide. No entanto, se restringirmos nossa análise para o conjunto dos caminhos fechados com base em um mesmo ponto \(x_0\in X\) teremos a unicidade do elemento neutro e o produto estará bem definido para qualquer caminho fechado com ponto base \(x_0\).

Denote por \(\sim _{x_0}\) a relação de equivalência dada pela homotopia entre caminhos fechados com base em \(x_0\) com os extremos fixos.

Grupo Fundamental. Sejam \(X\) um espaço topológico e \( x_0 \in X \). Definimos o grupo fundamental de \( X \) com base no ponto \( x_0 \) como:

\begin{align*} \pi _1(X, x_0) & := \{ \alpha : [0,1] {\to } X \mid \alpha \ \text{é contínua}, \ \alpha (0) = \alpha (1) = x_0 \} / {\sim _{x_0}} \end{align*}

com a operação:

\[ \left[ \alpha \right] \cdot \left[ \beta \right] = \left[ \alpha \mathbin {*}\beta \right] . \]

Em outras palavras, \(\pi _1(X, x_0)\) é o conjunto formado pelas classes de homotopia de caminhos fechados com base no ponto \(x_0\),

\begin{align*} \pi _1(X, x_0) & := \{ [\alpha ] \mid \alpha : [0,1] {\to } X \ \text{contínua}, \ \alpha (0) = \alpha (1) = x_0 \} . \end{align*}

Dado um espaço topológico \(X\) e dado um ponto \(x_0\in X\), o grupo fundamental \(\pi _1(X, x_0)\) com base em \(x_0\) está bem definido.

Demonstração ▼

Pela Proposição 2.3, a operação \( {\mathbin {*}} \) é preservada por homotopias com extremidades fixas e, portanto, a operação \( \cdot \) induzida nas classes de equivalência está bem definida. Além disso, é associativa. Pela Proposição 2.3, o elemento inverso da classe \([\alpha ]\) é a classe do caminho inverso de \(\alpha \), i.e. \([\alpha ^{-1}]\). Por fim, temos a unicidade do elemento neutro, que é precisamente a classe do caminho constante \(e_{x_0}\), como provamos na Proposição 2.3.

Exemplo 3.1

Dado \( Y \subset \mathbb {R}^n \) um subconjunto convexo de \(\mathbb {R}^n\), todos os caminhos fechados com base em \(x_0\) são homotópicos ao caminho constante \(e_{x_0}\) com extremos fixos, via a homotopia linear. Logo,

\[ \pi _1 (Y, x_0) = \{ [e_{x_0}] \} . \]

Portanto, o grupo fundamental com base em \(x_0\in Y\) de um conjunto convexo \(Y\) é sempre trivial.

Veja que a definição do grupo fundamental leva em consideração o ponto base \(x_0\). Mostraremos, a seguir, que a escolha do ponto base não afeta a estrutura do grupo fundamental quando o espaço é conexo por caminhos. Sejam \(x_0\) e \(x_1\) pontos de uma mesma componente conexa por caminhos de \(X\), então \( \pi _1 (X, x_0) \) e \( \pi _1 (X, x_1) \) são isomorfos. Mais precisamente, cada classe de homotopia \([\gamma ]\) de caminhos que ligam \(x_0\) a \(x_1\) induz um isomorfismo \(C_{\gamma } : \pi _1(X, x_0) \rightarrow \pi _1(X, x_1)\).

Demonstração ▼

Como \( x_0 \) e \( x_1 \) estão na mesma componente conexa por caminhos de \( X \), existe um caminho \(\gamma :I\rightarrow X\) com \(\gamma (0)=x_0\) e \(\gamma (1)=x_1\). Defina a seguinte função:

\begin{align*} C_{\gamma } : \pi _1(X, x_0) \to \pi _1(X, x_1) \\ {} [\alpha ] \mapsto [\gamma ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\gamma ] \end{align*}

A função \(C_{\gamma } \) é um isomorfismo de grupo:

Claramente, \(C_{\gamma } \) está bem definida. De fato, \(\gamma ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\gamma \) é um caminho fechado com base em \(x_1\); se \(\alpha \) e \(\alpha '\) são homotópicos com extremidades fixas, então \(\gamma ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\gamma \) e \(\gamma ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\gamma \) também são homotópicos com extremos fixos. Logo, \(C_{\gamma } ([\alpha ]) = C_{\gamma } ([\alpha '])\).
\(C_{\gamma } \) é um homomorfismo de grupo. Com efeito, a imagem do produto é o produto das imagens:

\begin{align*} C_{\gamma } ([\alpha ] \cdot [\beta ]) & = C_{\gamma } ([\alpha \mathbin {*}\beta ]) = [\gamma ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\beta \mathbin {*}\gamma ] \\ & = [\gamma ^{-1} \mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\gamma \mathbin {*}\gamma ^{-1} \mathbin {*}\beta \mathbin {*}\gamma ] = [\gamma ^{-1} \mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\gamma ] \cdot [\gamma ^{-1} \mathbin {*}\beta \mathbin {*}\gamma ] \\ & = C_{\gamma } ([\alpha ]) \cdot C_{\gamma } ([\beta ]). \end{align*}
\(C_{\gamma } \) é um isomorfismo. Com efeito, sua inversa é dada por \(C_{\gamma ^{-1}}: \pi _1(X,x_1)\rightarrow \pi _1(X,x_0)\), \(C_{\gamma ^{-1}} ([\beta ]) := [\gamma \mathbin {*}\beta \mathbin {*}\gamma ^{-1}] \).

Se \(X\) é conexo por caminhos, então o grupo fundamental é independente do ponto base, ou seja, dados \( x_0, x_1 \in X \), então \( \pi _1(X, x_0) \) e \( \pi _1(X, x_1) \) são isomorfos. A proposição acima parece resolver a questão de independência em relação ao ponto base em cada componente conexa por caminhos de \(X\): nesse caso, garantimos não apenas que o grupo fundamental é independente do ponto base, mas também fornecemos um isomorfismo explícito. No entanto, ainda temos que ter algum cuidado com o ponto base mesmo em espaços conexos por caminhos. Se pretendemos identificar todos os grupos fundamentais com apenas um, encontramos uma dificuldade: o isomorfismo depende da classe de homotopia do caminho \(\gamma \) ligando \(x_0\) a \(x_1\). No geral, o isomorfismo não é natural, i.e., não há uma maneira canônica de identificar \( \pi _1(X, x_0) \) e \( \pi _1(X, x_1) \). Não é errado falar do grupo fundamental de um espaço, mas devemos sempre ter em mente a consideração acima. Se o grupo fundamental \( \pi _1(X, x_0) \) é abeliano, então o isomorfismo descrito acima é natural, i.e., independente da escolha do caminho \(\gamma \). Com efeito, dados dois caminhos \(\gamma \) e \(\delta \) ligando \(x_0\) a \(x_1\), temos que

\begin{align*} C_{\gamma }([ \alpha ]) & = [\gamma ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\gamma ] = [\gamma ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\delta \mathbin {*}\delta ^{-1} \gamma ] \\ & = [\gamma ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\delta ] \cdot [\delta ^{-1}\mathbin {*}\gamma ] = [ \delta ^{-1}\mathbin {*}\gamma ] \cdot [\gamma ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\delta ] \\ & = [ \delta ^{-1}\mathbin {*}\alpha \mathbin {*}\delta ] = C_{\delta }([\alpha ]). \end{align*}

Devido ao resultado anterior, é natural considerarmos espaços topológicos conexos por caminhos quando estamos trabalhando com grupo fundamental.

3.2 Homomorfismo Induzido

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f:X\rightarrow Y\) uma aplicação contínua com \(f(x_0) = y_0\). Dado um caminho fechado \(\alpha \) em \(X\) com base em \(x_0\), \(f\circ \alpha \) é um caminho fechado em \(Y\) com base em \(y_0\). A seguir, mostramos que a correspondência \(\alpha \mapsto f\circ \alpha \) dá origem a um homomorfismo induzido nos grupos fundamentais.

Lema 3.2

Seja \(f:X\rightarrow Y\) uma aplicação contínua com \(f(x_0) = y_0\). A aplicação

\begin{align*} f_{\# } : \pi _1(X,x_0) & \rightarrow \pi _1(Y,y_0) \\ {} [\alpha ] & \mapsto f_{\# }([\alpha ]): = [f\circ \alpha ]. \end{align*}

está bem definida e é um homomorfismo de grupos.

Demonstração ▼

A aplicação \(f_{\# }\) está bem definida. Com efeito, se \(H:\alpha \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}\beta \ (\operatorname {rel}\ \partial I)\) é uma homotopia de caminhos entre \(\alpha \) e \(\beta \), então \(f\circ H\) é uma homotopia de caminhos entre os caminhos \(f\circ \alpha \) e \(f\circ \beta \), ou seja, se \(\alpha \cong \beta \), então \(f\circ \alpha \cong f\circ \beta \).

Além disso, \(f_{\# } \) é um homomorfimo de grupos, já que \( f \circ (\alpha \mathbin {*}\beta ) = (f \circ \alpha ) \mathbin {*}(f\circ \beta )\), logo

\begin{align*} f_{\# }([\alpha ]\cdot [\beta ]) & = f_{\# }([\alpha \mathbin {*}\beta ]) = [f\circ (\alpha \mathbin {*}\beta )] \\ & = [(f\circ \alpha ) \mathbin {*}(f \circ \beta )] = [f\circ \alpha ] \cdot [f\circ \beta ] \\ & = f_{\# }([\alpha ]) \cdot f_{\# }([\beta ]). \end{align*}

Seja \(f:X\rightarrow Y\) uma aplicação contínua com \(f(x_0) = y_0\). O homomorfismo induzido por \(f\) é definido por

\begin{align*} f_{\# } : \pi _1(X,x_0) & \rightarrow \pi _1(Y,y_0) \\ {} [\alpha ] & \mapsto f_{\# }([\alpha ]): = [f\circ \alpha ]. \end{align*}

Considere aplicações contínuas \(f:X\rightarrow Y\) e \(g:Y\rightarrow Z\) entre espaços topológicos, com \(f(x_0) = y_0\) e \(g(y_0)=z_0\). Sejam \(f_{\# } : \pi _1(X,x_0) \rightarrow \pi _1(Y,y_0) \) e \(g_{\# } : \pi _1(Y,y_0) \rightarrow \pi _1(Z,z_0) \) os homomorfismos induzidos. Então

\[ (g\circ f)_{\# } = g_{\# } \circ f_{\# }. \]

Além disso, se \(id:X\rightarrow X\) é a identidade, então \(id_{\# }: \pi _1(X,x_0) \rightarrow \pi _1(X,x_0) \) é o homomorfismo identidade.

Demonstração ▼

Dado um caminho fechado \(\alpha \) em \(X\) com base em \(x_0\), temos

\begin{align*} (g\circ f)_{\# }([\alpha ]) & = [(g\circ f)\circ \alpha ] = [g\circ ( f\circ \alpha )] \\ & = g_{\# }([ f\circ \alpha ]) = g_{\# }(f_{\# }([\alpha ])) = g_{\# }\circ f_{\# }([\alpha ]). \end{align*}

Além disso,

\[ id_{\# }([\alpha ]) = [id\circ \alpha ] = [\alpha ]. \]

O próximo resultado garante que o grupo fundamental é um invariante topológico, ou seja, espaços topológicos homeomorfos possuem grupos fundamentais isomorfos.

Seja \(f:X\rightarrow Y\) um homeomorfismo com \(f(x_0) = y_0\), então o homomorfismo induzido \(f_{\# }:\pi _1(X,x_0) \rightarrow \pi _1(Y,y_0)\) é um isomorfismo de grupos.

Demonstração ▼

Com efeito, seja \(f^{-1}:Y \rightarrow X\) a inversa de \(f\). Pela proposição anterior, temos que:

\[ f^{-1}_{\# }\circ f_{\# } = (f^{-1}\circ f)_{\# } = (\operatorname {\operatorname {id}}_X)_{\# } = \operatorname {\operatorname {id}}_{\pi _1(X)} \]

\[ f_{\# }\circ f^{-1}_{\# } = (f\circ f^{-1})_{\# } = (\operatorname {\operatorname {id}}_Y)_{\# } = \operatorname {\operatorname {id}}_{\pi _1(Y)}. \]

Assim, \(f^{-1}_{\# } \) é a inversa de \( f_{\# } \), e \( f_{\# } \) é isomorfismo.

Em particular, se dois espaços têm grupos fundamentais diferentes, então eles não são homeomorfos.

O grupo fundamental não é apenas um invariante topológico, mas também um invariante homotópico. A seguir, provaremos que espaços homotopicamente equivalentes possuem grupos fundamentais isomorfos. Para isso, precisaremos do seguinte resultado auxiliar.

Sejam \(f,g:X\rightarrow Y\) aplicações contínuas homotópicas e sejam \(y_0= f(x_0)\) e \(y_1=g(x_0)\). Assuma que \(Y\) conexo. Os homomorfismos induzidos \(f_{\# } : \pi _1(X,x_0) \rightarrow \pi _1(Y,y_0) \) e \(g_{\# } : \pi _1(X,x_0) \rightarrow \pi _1(Y,y_1) \) estão relacionados por

\[ f_{\# } = C_{\gamma } \circ g_{\# }, \]

em que \(\gamma \) é um caminho ligando \(y_1\) a \(y_0\) e \(C_{\gamma }\) é a aplicação definida na Proposição 3.1. Em outras palavras, o diagrama abaixo é comutativo: Ilustração: Homomorfismo Induzido

Demonstração ▼

Seja \(F:X\times I\rightarrow Y\) uma homotopia entre \(g\) e \(f\), assim \(F(x,0)=g(x)\) e \(F(x,1)=f(x)\), para todo \(x\in X\). Considere o caminho \(\gamma :I\rightarrow Y\) dado por \(\gamma (t) = F(x_0, t)\), veja que \(\gamma \) é um caminho ligando \(g(x_0)=y_1\) a \(f(x_0)=y_0\).

Dado um caminho fechado \(\alpha \) em \(X\) com ponto base \(x_0\), temos que \(f\circ \alpha \) e \(\gamma ^{-1} \mathbin {*}(g\circ \alpha )\mathbin {*}\gamma \) são homotópicos com extremos fixos. Com efeito, a aplicação \(H:I\times I\rightarrow Y\) dada por

\[ H(s,t) =\left\{ \begin{array}{ll} F(x_0, 1-4s+4st), & \text{se} \ 0\leq s\leq 1/4 \\ F(\alpha (4s-1),t), & \text{se} \ 1/4\leq s\leq 1/2 \\ F(x_0, 2(s+t-st)-1), & \text{se} \ 1/2\leq s\leq 1 \\ \end{array} \right. \]

é uma homotopia com extremos fixos entre os caminhos \([\gamma ^{-1}\mathbin {*}(g\circ \alpha )]\mathbin {*}\gamma \) e \([e_{y_0}\mathbin {*}(f\circ \alpha )] \mathbin {*}e_{y_0}\). Como \([e_{y_0}\mathbin {*}(f\circ \alpha )]\mathbin {*}e_{y_0}\) é homotópico, com extremos fixos, ao caminho \(f\circ \alpha \), segue que \(f\circ \alpha \cong \gamma ^{-1} \mathbin {*}(g\circ \alpha )\mathbin {*}\gamma \).

Portanto, temos que

\[ f_{\# }([\alpha ]) = [f\circ \alpha ] = [\gamma ^{-1} \mathbin {*}(g\circ \alpha )\mathbin {*}\gamma ] = C_{\gamma }([g\circ \alpha ]) = C_{\gamma } \circ g_{\# }([\alpha ]). \]

Segue que \(f_{\# } = C_{\gamma } \circ g_{\# }\), como queríamos provar.

Finalmente, mostraremos que se \(X\) e \(Y\) são espaços topológicos conexos por caminhos com o mesmo tipo de homotopia, então eles possuem grupos fundamentais isomorfos. Mais especificamente:

Sejam \(X\) e \(Y\) são espaços topológicos conexos por caminhos, Se \(f:X\rightarrow Y\) é uma equivalência homotópica, então o homomorfismo induzido \(f_{\# }:\pi _1(X,x_0)\rightarrow \pi _1(Y,f(x_0))\) é um isomorfismo de grupos.

Demonstração ▼

Sejam \(f:X \rightarrow Y\) uma equivalência homotópica e \(g:Y\rightarrow X\) sua inversa homotópica. Então \(g\circ f \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}id_{X}\) e \(f\circ g \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}id_{Y}\).Tome como ponto base \(x_0\in X\) e sejam \(y_0 = f(x_0)\), \(x_1=g(y_0)\) e \(y_1=f(x_1)\).

Sejam \(f_{\# }^0 : \pi _1(X,x_0) \rightarrow \pi _1(Y,y_0) \), \(f_{\# }^1 : \pi _1(X,x_1) \rightarrow \pi _1(Y,y_1) \) e \(g_{\# }: \pi _1(X,y_0) \rightarrow \pi _1(Y,x_1) \) os homomorfismos induzidos por \(f\) e \(g\). Como \(g\circ f \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}id_{X}\), pela Proposição 3.2, temos que \(g_{\# }\circ f_{\# }^0 = C_{\gamma }\), em que \(C_{\gamma }\) é o isomorfismo induzido por um caminho \(\gamma \) em \(X\) ligando \(x_0\) a \(x_1\). Segue que \(g_{\# } \) é sobrejetor. Analogamente, como \(f\circ g \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}id_{Y}\), pela Proposição 3.2, temos que \( f_{\# }^1\circ g_{\# } = C_{\beta }\), em que \(h_{\beta }\) é o isomorfismo induzido por um caminho \(\beta \) em \(Y\) ligando \(y_0\) a \(y_1\). Segue que \(g_{\# } \) é injetor.

Em suma, temos um diagrama comutativo: Ilustração: Homomorfismo Induzido e \(g_{\# }\) é um isomorfismo. Consequentemente, \(f_{\# }^0\) e \(f_{\# }^1\) também são isomorfismos. Segue que \( \pi _1(X,x_0)\) é isomorfo a \( \pi _1(Y,y_0)\).

O grupo fundamental de um espaço contrátil é trivial. Seja \( A\subset X\) um retrato por deformação ou um retrato por deformação forte de \(X\). Se \(x_0\in A\), então uma retração \(r:X\rightarrow A\) induz um isomorfismo:

\[ r_{\# }:\pi _1(X,x_0)\rightarrow \pi _1(A,x_0) . \]

Exemplo 3.3

Usando o Corolário 3.2, temos o seguinte:

Como \(\mathbb {S}^1\times \{ 0\} \) é um retrato de deformação de \(\mathbb {S}^1\times \mathbb {R}\), temos que

\[ \pi _{1}(\mathbb {S}^1\times \mathbb {R}, (x_0,0)) \cong \pi _{1}(\mathbb {S}^1\times \{ 0\} , (x_0,0))\cong \pi _{1}(\mathbb {S}^1, x_0). \]
Como o círculo central \(\Sigma \) de uma faixa de Möbius \(\mathbb {M}\) é um retrato de deformação de \(\mathbb {M}\), temos:

\[ \pi _{1}(M, x_0) \cong \pi _{1}(\Sigma , x_0)\cong \pi _{1}(\mathbb {S}^1, z_0). \]

Este exemplo mostra, que embora os grupos fundamentais da faixa de Möbius e da esfera \(\mathbb {S}^1\) sejam isomorfos, os espaços não são homeomorfos.

Veja a Figura 3.2.

Figura 3.2 Espaços homotopicamente equivalentes e logo com grupos fundamentais isomorfos.

O próximo resultado garante que o grupo fundamental do produto cartesiano \(X\times Y\) é isomorfo ao produto direto dos grupos fundamentais de \(X\) e \(Y\). Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(X\times Y\) o espaço produto com a topologia produto. Dados \(x_0\in X\) e \(y_0\in Y\), temos

\[ \pi _{1}(X\times Y,( x_0,y_0)) \cong \pi _{1}(X, x_0) \times \pi _{1}(Y, y_0). \]

Demonstração ▼

A demonstração será deixada como exercício.

Vale ressaltar que se uma aplicação contínua \(f:X\rightarrow Y\) é sobrejetora (ou injetora) não vale necessariamente que a induzida \(f_{\# } \) será sobrejetora (ou injetora).

3.3 Espaços Simplesmente Conexos

Relembre que se \(X\) é conexo por caminhos, então \(\pi _1(X,x_0)\cong \pi _1(X,x_1)\), para quaisquer \(x_0, x_1 \in X.\) Simplesmente Conexo. Um espaço topológico \( X \) conexo por caminhos é dito simplesmente conexo quando seu grupo fundamental é trivial.

Exemplo 3.4

Qualquer subconjunto convexo de \(\mathbb {R}^n\) é simplesmente conexo.

Dado um espaço topológico \(X\), as afirmações abaixo são equivalentes:

\(X\) é simplesmente conexo;
\(X\) é conexo por caminhos e todo caminho fechado é livremente homotópico a uma constante.
Duas aplicações contínuas quaisquer \(f,g:S^1\rightarrow X\) são homotópicas.
\(X\) é conexo por caminhos e toda aplicação contínua \(f:\mathbb {S}^1\rightarrow X\) estende-se contiuamente ao disco \(\mathbb {D}^2=\{ (x,y)\in \mathbb {R}^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \} \).

Demonstração ▼

A demonstração será deixada como exercício.

A esfera \(\mathbb {S}^n\), com \(n\geq 2\), é simplesmente conexa. Uma intuição para esse fato pode ser obtida supondo dois caminhos \(\alpha \) e \(\beta \) em \(\mathbb {S}^n\) tais que ambos os caminhos não passem por um ponto \(p\) da esfera. Usando a projeção estereográfica \(P\), temos que \(\mathbb {S}^n \setminus \{ p\} \) é homeomorfa a \(\mathbb {R}^n\). Logo, a imagem \(P\circ \alpha \) e \(P\circ \beta \) dos caminhos \(\alpha \) e \(\beta \) são caminhos homotópicos por uma homotopia \(H(s,t)\). A função \(P^{-1}\circ H(s,t)\) fornece então uma homotopia entre \(\alpha \) e \(\beta \) em \(\mathbb {S}^n\). O problema desse argumento é que existem curvas que cobrem todos os pontos da esfera. Sendo assim, precisamos de um argumento mais sofisticado. A demonstração que apresentaremos de que a esfera \(\mathbb {S}^n\), com \(n\geq 2\), é simplesmente conexa terá como base o lema a seguir.

Lema 3.5

Seja \(X\) um espaço topológico tal que \(X=U\cup V\), com \(U\) e \(V\) subespaços abertos simplesmente conexos. Se \(U\cap V\) é conexo por caminhos, então \(X\) é simplesmente conexo.

Demonstração ▼

Fixe um ponto base \(x_0\in U\cap V\). Dado um caminho fechado \(\alpha \) com base em \(x_0\), pela continuidade de \(\alpha \), o conjunto \(\{ \alpha ^{-1}(U),\alpha ^{-1}(V)\} \) é uma cobertura por abertos do compacto \(I\). Logo, existe uma partição de \(I\), digamos

\[ 0=t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_{n-1} \lt t_n=1 \]

tal que \(\alpha ([t_{i-1},t_i]) \subset U\) ou \(\alpha ([t_{i-1},t_i]) \subset V\). Além disso, se dois intervalos consecutivos \([t_{i-1},t_{i}]\) e \([t_{i},t_{i+1}]\) são tais que \(\alpha ([t_{i-1},t_{i}])\) e \( \alpha ([t_{i},t_{i+1}])\) pertencem ambos a \(U\) ou a \(V\), eliminamos o ponto comum \(t_i\) da partição; logo, podemos considerar uma partição tal que \(\alpha (t_{i}) \subset U\cap V \), para todo \(i=0,\ldots , n\).

Agora, como \(U \cap V\) é conexo por caminhos, seja \(\sigma _i\) um caminho em \(U \cap V\) que liga \(x_0\) a \(\alpha (t_i)\).

Ilustração: Espaços Simplesmente Conexos

Para cada \(i=1,\ldots , n\), considere a reparametrização do caminho \(\alpha |_{[t_{i-1},t_{i}]}\):

\[ \alpha _i:I\rightarrow X, \ \ \ \alpha _i(s) :=\alpha ((t_i-t_{i-1})s+t_{i-1}) . \]

Assim, \(\alpha _i(0)=\alpha (t_{i-1})\) e \(\alpha _i(1)=\alpha (t_i)\). Claramente, \(\alpha \cong \alpha _1\mathbin {*}\alpha _2\mathbin {*}\cdots \mathbin {*}\alpha _{n}\). Segue que

\[ \alpha \cong (\alpha _1\mathbin {*}\sigma ^{-1}_1) \mathbin {*}( \sigma _1\mathbin {*}\alpha _2\mathbin {*}\sigma ^{-1}_2 )\mathbin {*}( \sigma _2 \mathbin {*}\alpha _3 \mathbin {*}\sigma ^{-1}_3) \mathbin {*}\cdots \mathbin {*}(\sigma _n\mathbin {*}\alpha _{n}) . \]

Note que \( \sigma _i \mathbin {*}\alpha _{i+1} \mathbin {*}\sigma ^{-1}_{i+1}\) está contido em \(U\) ou em \(V\). Como ambos são simplesmente conexos, o caminho fechado \( \sigma _i \mathbin {*}\alpha _{i+1} \mathbin {*}\sigma ^{-1}_{i+1}\) é homotópico ao caminho constante \(e_{x_0}\). Portanto, \(\alpha \cong e_{x_0}\) e segue que \(\pi _1(X,x_0) = \{ [e_{x_0}]\} .\)

Para \(n\geq 2\), a esfera unitária \(\mathbb {S}^n\) é simplesmente conexa.

Demonstração ▼

Sejam \(p_N=(0,\ldots ,0,1)\) e \(p_S=(0,\ldots ,0,1)\) os polos norte e sul da esfera \(\mathbb {S}^n\), respectivamente. Tome \(U:=\mathbb {S}^n\setminus \{ p_N\} \) e \(V:=\mathbb {S}^n\setminus \{ p_S\} \). Veja que \(U\) e \(V\) são homeomorfos a \(\mathbb {R}^n\) via projeções estereográficas. Logo, \(U\) e \(V\) são abertos simplesmente conexos. Além disso, \(U\cap V = \mathbb {S}^n\setminus \{ p_N, p_S\} \), que é homeomorfo a \(\mathbb {R}^n\setminus \{ 0\} \), portanto conexo por caminhos, já que \(n\geq 2\). Pelo lema anterior, segue que \(\mathbb {S}^n\) é simplesmente conexo.

Figura 3.3 Decomposição de S^n em dois abertos simplesmente conexos. — Figura 3.3 Decomposição de \(\mathbb {S}^n\) em dois abertos simplesmente conexos.

Na próxima seção, provaremos que \(\mathbb {S}^1\) não é simplesmente conexa, de fato, mostraremos que \(\pi _{1}(\mathbb {S}^1,x_0) \cong \mathbb {Z}\).

Se \(n\gt 2\), então \(\mathbb {R}^n \setminus \{ 0\} \) é simplesmente conexo. De fato, \(\mathbb {R}^n \setminus \{ 0\} \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}\mathbb {S}^{n-1}\).
Se \(m\geq 2\) e \(n\geq 2\), então \(\mathbb {S}^m\vee \mathbb {S}^n\) é simplesmente conexa. Com efeito, denote por \(p\) o ponto em comum entre as esferas, i.e. \(\mathbb {S}^m\vee \mathbb {S}^n = \{ p \} \), e tome pontos \(a\in \mathbb {S}^m\setminus \{ p\} \) e \(b\in \mathbb {S}^n\setminus \{ p\} \). Sejam \(U= \mathbb {S}^m\vee \mathbb {S}^n\setminus \{ a\} \) e \(V=\mathbb {S}^m\vee \mathbb {S}^n\setminus \{ b\} \). Como,

\[ \mathbb {S}^m \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}U \quad \text{e} \quad \mathbb {S}^n \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}V , \]

\(U\) e \(V\) são abertos simplesmente conexos e \(U\cap V\) é conexo por caminhos. Pelo lema anterior, \(\mathbb {S}^m \vee \mathbb {S}^n\) é conexo por caminhos.

Figura 3.4 S^mvee S^n é simplesmente conexa, para m,n ≥ 2. — Figura 3.4 \(\mathbb {S}^m\vee \mathbb {S}^n\) é simplesmente conexa, para \(m,n \geq 2\).

A união de dois espaços simplesmente conexos não é necessariamente um espaço simplesmente conexo, mesmo que tenham um ponto em comum. Um exemplo é o cone gêmeo de Griffths.

3.4 Grupo Fundamental do Círculo

Nessa seção, apresentamos o primeiro exemplo de espaço topológico que possui grupo fundamental não trivial, a saber, a esfera \(\mathbb {S}^1\). A partir do grupo fundamental de \(\mathbb {S}^1,\) conseguimos novos exemplos de espaços topológicos cujos grupos fundamentais são não triviais.

Nosso objetivo aqui é provar que \(\pi _1(\mathbb {S}^1,x_0)\cong \mathbb {Z}\), em que \(x_0=(1,0)\). Mais especificamente:

Grupo fundamental de \(\mathbb {S}^1\). O grupo fundamental de \(\mathbb {S}^1\), \(\pi _1(\mathbb {S}^1,x_0)\), é um grupo cíclico infinito gerado pela classe de homotopia do laço \(\omega (s) = (\cos (2\pi s), \operatorname {sen}(2\pi s))\) baseado em \(x_0=(1,0)\). Além disso, a aplicação

\begin{align*} \Phi : \ & \mathbb {Z}\rightarrow \pi _1(\mathbb {S}^1,x_0) \\ & n \mapsto [\omega _n], \end{align*}

em que \(\omega _n:I\rightarrow \mathbb {S}^1\) é laço baseado em \(x_0=(1,0)\) dado por \(\omega _n(s)=(\cos (2\pi n s), \operatorname {sen}(2\pi n s))\), é um isomorfismo de grupos. A ideia básica para provar esse resultado é comparar caminhos em \(\mathbb {S}^1\) com caminhos na reta real \(\mathbb {R}\) por meio da aplicação de projeção:

\begin{align*} p: \ & \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {S}^1 \\ & s \mapsto (\cos (2\pi s), \operatorname {sen}(2\pi s)). \end{align*}

Podemos visualizar essa projeção geometricamente fazendo um mergulho de \(\mathbb {R}\) em \(\mathbb {R}^3\) como uma hélice parametrizada por \(s\mapsto (\cos (2\pi s), \operatorname {sen}(2\pi s),s)\), e \(p\) é a restrição para a hélice da projeção de \(\mathbb {R}^3\) em \(\mathbb {R}^2\) dada por \((x,y,z)\mapsto (x,y)\). Veja a Figura 3.5.

Figura 3.5 Hélice: um mergulho de ℝ em ℝ^3. Projeção p no círculo S^1. — Figura 3.5 Hélice: um mergulho de \(\mathbb {R}\) em \(\mathbb {R}^3\). Projeção \(p\) no círculo \(\mathbb {S}^1\).

Vejamos como podemos associar caminhos fechados em \(\mathbb {S}^1\) a caminhos em \(\mathbb {R}\). Para cada \(n\in \mathbb {Z}\), defina

\[ \widetilde{\omega }_n: I \rightarrow \mathbb {R}, \quad \widetilde{\omega }_n( s ) =ns, \]

ou seja, \( \widetilde{\omega }_n\) é um caminho em \(\mathbb {R}\) que começa em \(0\) e termina no inteiro \(n\). Na hélice, \( \widetilde{\omega }_n\) corresponde a um caminho que começa em \((1,0,0)\) e dá \(|n|\) voltas ao longo da hélice, para cima se \(n\gt 0\) e para baixo se \(n\lt 0\). Por outro lado, para cada \(n\in \mathbb {Z}\), o caminho fechado

\[ \omega _n(s) = (\cos (2\pi s), \operatorname {sen}(2\pi s)) \]

em \(\mathbb {S}^1\) baseado em \(x_0=(1,0)\), dá \(|n|\) voltas completas em \(\mathbb {S}^1\) (no sentido anti-horário, se \(n\gt 0\); e no sentido horário, se \(n\lt 0\)).

Note que

\[ \omega _n = p\circ \widetilde{\omega }_n, \]

para todo \(n\in \mathbb {Z}\). Portanto, o diagrama abaixo é comutativo: Ilustração: Grupo Fundamental do Círculo Por essa razão, dizemos que o caminho \(\widetilde{\omega }_n\) é um levantamento do caminho \({\omega }_n\), ou seja, a relação \(\omega _n = p\circ \widetilde{\omega }_n\) é expressa dizendo que \(\widetilde{\omega }_n\) é um levantamento de \({\omega }_n\). (No Capítulo 4, iremos formalizar a noção de espaço de recobrimento e levantamento de caminhos.) Finalmente, observe que a medida que o caminho \(\widetilde{\omega }_n\) percorre a hélice para cima ou para baixo, sua sombra, i.e. o caminho \({\omega }_n\), dar voltas em em \(\mathbb {S}^1\) no sentido anti-horário ou sentido horário, respectivamente. Veja Figura 3.6. Essa correspondência entre caminhos fechados em \(\mathbb {S}^1\) e caminhos em \(\mathbb {R}\) é crucial para o cálculo do grupo fundamental de \(\mathbb {S}^1\).

Figura 3.6 Caminhos em ℝ e suas projeções em S^1. — Figura 3.6 Caminhos em \(\mathbb {R}\) e suas projeções em \(\mathbb {S}^1\).

A seguir, iniciamos a prova do Teorema 3.4. A aplicação \( \Phi : \mathbb {Z}\rightarrow \pi _1(\mathbb {S}^1,x_0) ,\) dada por \(\Phi (n)= [\omega _n]\), é um homomorfismo de grupos.

Demonstração ▼

Primeiramente, para cada \(m\in \mathbb {Z}\), considere o mapa de translação por \(|m|\) unidades \(\tau _m:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), dado por \(x\mapsto x+m\).

Agora, veja que o caminho \(\widetilde{\omega }_m \mathbin {*}\tau _m\widetilde{\omega }_n \) é homotópico ao caminho \(\widetilde{\omega }_{m+n}\). Com efeito, ambos os caminhos têm os mesmos extremos e \(\mathbb {R}\) é convexo, logo basta tomar a homotopia linear. De fato, esses caminhos são parametrizações do mesmo caminho. Seja \(F:I\times I\rightarrow \mathbb {R}\) uma homotopia entre eles, i.e.

\[ F: \ \widetilde{\omega }_m \mathbin {*}\tau _m\widetilde{\omega }_n \ \cong \ \widetilde{\omega }_{m+n} . \]

Quando projetamos tais caminhos em \(\mathbb {S}^1\) via a aplicação \(p\), obtemos caminhos homotópicos:

\[ G: \ p\circ (\widetilde{\omega }_m \mathbin {*}\tau _m\widetilde{\omega }_n ) \ \cong \ p\circ \widetilde{\omega }_{m+n} , \]

em que a homotopia \(G:I\times I\rightarrow \mathbb {S}^1\) é dada por \(G=p\circ F\).

Usando esses fatos, temos que

\begin{align*} \Phi (m)\cdot \Phi (n) & = [\omega _m]\cdot [\omega _n] = [p\circ \widetilde{\omega }_m]\cdot [p\circ \widetilde{\omega }_n] \\ & = [p\circ \widetilde{\omega }_m]\cdot [p\circ (\tau _m\widetilde{\omega }_n)] \\ & = [(p\circ \widetilde{\omega }_m) \mathbin {*}(p\circ \tau _m\widetilde{\omega }_n)] \\ & = [p\circ ( \widetilde{\omega }_m \mathbin {*}\tau _m\widetilde{\omega }_n)] \\ & = [p\circ \widetilde{\omega }_{m+n} ] = \Phi (m+n). \\ \end{align*}

Portanto, \(\Phi \) é um homomorfismo de grupos.

Para provar que \(\Phi \) é uma aplicação sobrejetora, iremos usar o seguinte lema, que será provado no Capítulo 4 (Teorema 4.4):

Lema 3.6 (Levantamento de caminhos)

Para cada caminho \(\alpha :I\rightarrow \mathbb {S}^1\) com \(x_0=\alpha (0)=(1,0)\) e para cada \(\tilde{x}_0 \in p^{-1}(\{ x_0\} )\), existe um único levantamento \(\tilde{\alpha }:I\rightarrow \mathbb {R}\) tal que \(\tilde{\alpha }(0)=\tilde{x}_0\).

A aplicação \( \Phi : \mathbb {Z}\rightarrow \pi _1(\mathbb {S}^1,x_0) ,\) dada por \(\Phi (n)= [\omega _n]\), é sobrejetora.

Demonstração ▼

Seja \([\alpha ] \in \pi _1(\mathbb {S}^1,x_0)\) uma classe de homotopia de caminhos fechados em \(\mathbb {S}^1\), em que \(x_0=(1,0)\). Queremos mostrar que existe um inteiro \(n\in \mathbb {Z}\) tal que \(\alpha \cong \omega _n\).

Note que \(0\in p^{-1}(\{ x_0\} )\). Pelo lema acima, existe um único caminho \(\tilde{\alpha }:I\rightarrow \mathbb {R}\) com \(\tilde{\alpha }(0)=0\) tal que \(p\circ \tilde{\alpha }=\alpha \), ou seja, \(\tilde{\alpha }\) é um levantamento de \(\alpha \). Como

\[ (p\circ \tilde{\alpha })(1) = \alpha (1)=x_0 \in \mathbb {S}^1, \]

temos que \(\tilde{\alpha }(1) \) deve ser um número inteiro. Em outras palavras, \(\tilde{\alpha } \) é um caminho que começa em \(0\) e termina em um número inteiro \(n\).

Como \(\mathbb {R}\) é convexo, existe uma homotopia de caminhos \(H: \tilde{\alpha } \cong \widetilde{\omega }_n\) (basta tomar a homotopia linear). Assim, \(p\circ H\) é uma homotopia de caminhos em \(\mathbb {S}^1\):

\[ p\circ H: \ \alpha = p\circ \tilde{\alpha } \ \cong \ p\circ \widetilde{\omega }_n = \omega _n. \]

Portanto, temos que \([\alpha ] = [ \omega _n] = \Phi (n)\). Segue que \(\Phi \) é sobrejetora.

Para provar que \(\Phi \) é uma aplicação injetora, iremos usar o seguinte lema, que será provado no Capítulo 4 (Teorema 4.3):

Lema 3.7 (Levantamento de Homotopia)

Para cada homotopia de caminhos \(H:I\times I\rightarrow \mathbb {S}^1\) com \(H(0,t) = x_0=(1,0)\) e para cada \(\tilde{x}_0 \in p^{-1}(\{ x_0\} )\), existe um único levantamento \(\widetilde{H}:I\times I\rightarrow \mathbb {R}\) tal que \(\widetilde{H}(0,t)=\tilde{x}_0\).

A aplicação \( \Phi : \mathbb {Z}\rightarrow \pi _1(\mathbb {S}^1,x_0) ,\) dada por \(\Phi (n)= [\omega _n]\), é injetora.

Demonstração ▼

Suponha que \(\Phi (m)=\Phi (n)\) para \(m,n\in \mathbb {Z}\), ou seja, suponha que \(\omega _n \cong \omega _m\). Vamos mostrar que \(m=n\). Seja \(H:I\times I\rightarrow \mathbb {S}^1\) uma homotopia de caminhos entre \(\omega _m \) e \( \omega _n\), em particular, \(H(s,0)=\omega _m(s)\), \(H(s,1)=\omega _n(s)\) e \(H(0,t) = H(1,t)=x_0=(1,0)\).

Como \(0\in p^{-1}(\{ x_0\} )\), pelo lema anterior, existe um único levantamento \(\widetilde{H}:I\times I\rightarrow \mathbb {R}\) tal que \(\widetilde{H}(0,t)=0\). Além disso, como o levantamento é único, devemos ter

\[ \widetilde{H}(s,0) = \widetilde{\omega }_m(s) \quad \text{e} \quad \widetilde{H}(s,1) = \widetilde{\omega }_n(s). \]

Como \(\widetilde{H}\) é uma homotopia de caminhos (com extremos fixos), \(\widetilde{H}_t(1)\) deve ser constante para todo caminho \(H_t\) ao longo da homotopia. Por outro lado,

\[ \widetilde{H}_0(1) =\widetilde{\omega }_m(1) = m \quad \text{e} \quad \widetilde{H}_1(1) =\widetilde{\omega }_n(1) = n. \]

Segue que \(m=n\), como queríamos provar.

Note que \([\omega ]^n = [\omega _n]\), em que \(\omega _n(s)= (\cos (2\pi ns), \operatorname {sen}(2\pi n s))\), para todo \(n\in \mathbb {Z}\).

Exemplo 3.8

A esfera \(\mathbb {S}^n\), com \(n\gt 1\), não é homeomorfa a \(\mathbb {S}^1\). Com efeito, esses espaços possuem grupos fundamentais não isomorfos.
Considere o cilindro \(C=\mathbb {S}^1\times \mathbb {R}\). Como \(C\) é um retrato por deformação de \(\mathbb {S}^1\times \{ 0\} \) (via uma homotopia linear), segue que

\[ \pi _1(\mathbb {S}^1\times \mathbb {R}) \cong \pi _1(\mathbb {S}^1)\cong \mathbb {Z}. \]

Um gerador para \(\pi _1(\mathbb {S}^1\times \mathbb {R})\) é dado pela classe de homotopia do círculo central \(\alpha (s)=(\cos (2\pi s), \operatorname {sen}(2\pi s),0)\). Um caminho fechado em \(C\) é homotópico a \(n\) vezes o gerador \(\alpha \), quando \(n\) é o número "líquido" de vezes que o caminho fechado intersecta transversalmente a geratriz \((1,0)\times \mathbb {R}\). Em geral, temos que

\[ \pi _1(\mathbb {S}^1\times \mathbb {R}^n ,p_0) \cong \mathbb {Z}. \]
Considere o toro bidimensional \(\mathbb {T}^2 = \mathbb {S}^1\times \mathbb {S}^1\). Temos que

\[ \pi _{1}( \mathbb {T}^2,(x_0,x_0)) \cong \pi _{1}( \mathbb {S}^1,x_0) \times \pi _{1}(\mathbb {S}^1,x_0) \cong \mathbb {Z}\times \mathbb {Z}. \]

Assim, \( \pi _{1}( \mathbb {T}^2)\) é abeliano com dois geradores.

*[width=7cm]./figuras/torosinalgf2.pdf *[width=7cm]./figuras/torosinalgf.pdf

3.5 Aplicações de Grupo Fundamental

Recorde que \(\mathbb {D}^2\) denota o disco unitário fechado em \(\mathbb {R}^2\), ou seja, \(\mathbb {D}^2=\{ (x,y)\in \mathbb {R}^2\mid x^2+y^2\leq 1\} .\)

Ponto Fixo de Brouwer. Toda aplicação contínua \(f:\mathbb {D}^2\rightarrow \mathbb {D}^2\) tem um ponto fixo, i.e., existe \(x\in \mathbb {D}^2\) tal que \(f(x)=x\).

Demonstração ▼

Suponha, por absurdo, que existe uma aplicação contínua \(f:\mathbb {D}^2\rightarrow \mathbb {D}^2\) tal que \(f(x)\neq x\), para todo \(x\in \mathbb {D}^2\). Considere uma aplicação \(r: \mathbb {D}^2 \rightarrow \mathbb {S}^1\) defina da seguinte forma: \(r(x) \in \mathbb {S}^1\) é dada pela intersecção de \(\mathbb {S}^1\) com a semi-reta de origem em \(h(x)\) e que passa por \(x\). Veja que \(r\) é contínua, pois pequenas variações de \(x\) corresponde a pequenas variações de \(r(x)\). Além disso, \(r(x)=x\), para todo \(x\in \mathbb {S}^1\). Assim, \(r\) é uma retração de \(\mathbb {D}^2\) em \(\mathbb {S}^1\).

Agora, considere um caminho fechado \(\alpha \) em \(\mathbb {S}^1\) com base em \(x_0\). Em \(\mathbb {D}^2\), existe uma homotopia de \(\alpha \) para um caminho constante \(e_{x_0}\) com base em \(x_0\), de fato, a homotopia linear \(H(s,t) = (1-t)\alpha (s) + tx_0\) fornece tal homotopia de caminhos. Como a retração \(r\) é a identidade em \(\mathbb {S}^1\), a composição \(r\circ H\) é uma homotopia em \(\mathbb {S}^1\) entre \(r\circ \alpha = \alpha \) e \(e_{x_0}\). O que contradiz o fato de que \(\pi _1(\mathbb {S}^1, x_0) \cong \mathbb {Z}\). Segue que toda aplicação contínua \(f:\mathbb {D}^2\rightarrow \mathbb {D}^2\) tem um ponto fixo.

Invariância da Dimensão. \(\mathbb {R}^2\) é homeomorfo a \(\mathbb {R}^n\) se, e somente se, \(n=2\).

Demonstração ▼

Se \(n=1\), o resultado é trivial, pois \(\mathbb {R}\) meno sum ponto é desconexo, enquanto que \(\mathbb {R}^2\) menos um ponto ainda é conexo. Seja \(n\gt 1\). Sabemos que \(\mathbb {R}^2\setminus \{ p\} \) tem o mesmo tipo de homotopia que \(\mathbb {S}^1\). Logo, \(\pi _1(\mathbb {R}^2\setminus \{ p\} ) \cong \mathbb {Z}\). Por outro lado, \(\mathbb {R}^n\setminus \{ p\} \) é homeomorfo a \(S^{n-1}\times \mathbb {R}\), temos que

\[ \pi _1(\mathbb {R}^n\setminus \{ p\} ) \cong \pi _1(S^{n-1}\times \mathbb {R}) \cong \pi _1(S^{n-1}) \times \pi _1( \mathbb {R}) . \]

Como, \(\mathbb {S}^n\) é simplesmente conexa, para \(n\geq 2\), logo, \(\pi _1(\mathbb {S}^n) = \{ 0\} \) e \(\pi _1(\mathbb {R}^n\setminus \{ p\} ) =\{ 0\} \). Logo, teremos a igualdade apenas quando \(n=2\).

Exercício 3.1

Um espaço topológico \(X\) é simplesmente conexo se, e somente se, existe uma única classe de homotopia de caminhos ligando dois pontos de \(X\).

Exercício 3.2

Seja \((G,\cdot )\) um grupo. O centro de \(G\), denotado por \(Z(G)\), é definido por:

\[ Z(G)=\{ a\in G \mid a\cdot b=b\cdot a, \ \text{para todo} \ b\in G\} , \]

ou seja, é o conjunto dos elementos de \(G\) que comutam.

Seja \(X\) um espaço topológico. Considere caminhos \(\gamma \) e \(\sigma \) ligando \(x_0\) e \(x_1\).

Mostre que \(C_{\gamma }=C_{\sigma }\) se, e somente se, \([\sigma \mathbin {*}\gamma ] \in Z(\pi _1(X, x_0)).\)

Mostre que \(\pi _1(X, x_0)\) é abeliano se, e somente se, \(C_{\gamma }\) não depende do caminho \(\gamma \).

Exercício 3.3

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(X\times Y\) o espaço produto com a topologia produto. Dados \(x_0\in X\) e \(y_0\in Y\), mostre que

\[ \pi _{1}(X\times Y,( x_0,y_0)) \cong \pi _{1}(X, x_0) \times \pi _{1}(Y, y_0). \]

Exercício 3.4

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e seja \(f:X\rightarrow Y\) contínua. Mostre, exibindo um exemplo, que:

A sobrejetividade de \(f\) não garante a sobrejetividade de \(f_{\# } \)

A injetividade de \(f\) não garante a injetividade de \(f_{\# } \).

Exercício 3.5

Seja \(r: X \rightarrow Y\) um retrato por deformação e \(i:Y\rightarrow X\) a inclusão. Mostre que \(r_{\# }\) é sobrejetora e que \(i_{\# }\) é injetora.

Ver solução

Exercício 3.6

Dado um espaço topológico \(X\), prove que as afirmações abaixo são equivalentes:
\(X\) é simplesmente conexo;
\(X\) é conexo por caminhos e todo caminho fechado é livremente homotópico a uma constante.
Duas aplicações contínuas quaisquer \(f,g:\mathbb {S}^1\rightarrow X\) são homotópicas.
\(X\) é conexo por caminhos e toda aplicação contínua \(f:\mathbb {S}^1\rightarrow X\) estende-se continuamente ao disco \(\mathbb {D}^2=\{ (x,y)\in \mathbb {R}^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \} \).

Exercício 3.7

Seja \(X\) um espaço topológico não vazio, denotamos e definimos o cone de \(X\) por:

\[ C(X)=(X \times [0,1]) / \sim , \quad \text{ onde } \ \ \ (x, 1) \sim (y, 1), \forall x,y \in X . \]

Determine \(C\left(\mathbb {S}^1\right)\) e \(C\left(\mathbb {S}^2\right)\).

Se \(f: X \longrightarrow Y\) é contínua, podemos estender \(f\) a \(C(f): C(X) \longrightarrow C(Y)\) continuamente?

Calcule \(\pi _1\left(C(X), x_0\right)\), para qualquer \(X\).

Exercício 3.8

Determine se existe algum espaço topológico \(X\) tal \(X \times \mathbb {S}^1\) seja homeomorfo a:
\(\mathbb {S}^2\).
\(\mathbb {RP}^2\).

Exercício 3.9

Um espaço topológico \(X\) é dito espaço de Hopf se existem uma função contínua (multiplicação), \( m: X \times X \longrightarrow X\) e \(x_0 \in X\) tais que \(m\left(x_0, x_0\right)=x_0\), \(q_1 \circ i \simeq \operatorname {\operatorname {id}}_X \ (\operatorname {rel}\ \{ x_0\} )\) e \(m \circ q_2 \simeq \operatorname {\operatorname {id}}_X \ (\operatorname {rel}\ \{ x_0\} )\), onde

\[ q_1, q_2: X \longrightarrow X \times X \]

são definidas por \(q_1(x)=\left(x, x_0\right)\) e \(q_2(x)=\left(x_0, x\right)\). Com as notações anteriores, seja \(X\) um espaço de Hopf. Mostre que:
\(m\left(\left(q_1 \circ \alpha \right) *\left(q_2 \circ \beta \right)\right) \simeq \alpha * \beta \), onde \(\alpha \) e \(\beta \) são caminhos fechados com base em \(x_0\).
\(\pi _1\left(X, x_0\right)\) é abeliano.

Exercício 3.10

Utilizando o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, mostre que toda matriz real \(3\times 3\) com entradas positivas, possui um autovalor positivo. Dica: Associe a cada matriz uma ação na intersecção do octante positivo com a esfera unitária fechada em \(\mathbb {R}^n\)