Álgebra Homológica
Grosso modo, podemos dizer que a Álgebra Homológica é o estudo dos funtores homológicos e das estruturas algébricas associadas. Um conceito central é o dos grupos de homologia e cohomologia de complexos de cadeias e todo o arcabouço conceitual resultante.
É uma disciplina relativamente jovem, cujas origens remontam às investigações em topologia combinatória no século 19, através do trabalho de Riemann e Betti sobre “números de homologia” e o posterior desenvolvimento rigoroso desse conceito por Poincaré em 1895.
Esse conjunto de conceitos e técnicas, motivados pela topologia, foram aplicados para definir e explorar a homologia e cohomologia de vários sistemas algébricos: Tor e Ext para grupos abelianos, homologia e cohomologia de grupos e álgebras de Lie, a cohomologia de álgebras associativas, e feixes e cohomologia de feixes.
O termo foi cunhado por Cartan e Eilenberg em 1956, no livro Homological Algebra que cristalizou e redirecionou o campo completamente tornando a teoria da álgebra homológica independente de seu habitat original na topologia e construindo-a para uma teoria geral de módulos sobre anéis comutativos.
Atualmente seu uso é pervasivo em várias áreas da matemática como Topologia Algébrica, Teoria de Grupos, Geometria Algébrica e Teoria de Anéis Comutativos.
Nesse capítulo, introduzimos os conceitos e resultados básicos de Álgebra Homológica que serão essenciais ao estudo da homologia e cohomologia de espaços topológicos.
7.1 \(R\)-módulos
Um \(R\)-módulo é um “espaço vetorial sobre um anel \(R\)”; isto é, na definição de espaço vetorial, permitimos que os escalares estejam em um anel \(R\) ao invés de um corpo.
Seja \(R\) um anel associativo com unidade \(1\). Um \(R\)-módulo à esquerda consiste em um grupo abeliano aditivo \((M,+)\) e uma operação (multiplicação por escalar)
tal que, para todo \(m, m'\in M\) e \( r, r'\in R\), valem as seguintes propriedades:
\( r(m+m') = rm + rm'\)
\((r+r')m = rm + r'm\)
\((rr')m =r(r'm)\)
\( 1_Rm = m\)
Todo espaço vetorial sobre um corpo \(\mathbb {K}\) é um \(\mathbb {K}\)-módulo à esquerda.
Todo grupo abeliano é um \(\mathbb {Z}\)-módulo à esquerda. De fato, se \((G,+) \) é um grupo abeliano, defina a multiplicação \(\mathbb {Z}\times G\rightarrow G\) da seguinte maneira:
\[ zg \mathrel {\mathop:\! =}\left\{ \begin{array}{ll} \underbrace{g+\cdots + g}_{z \text{ \ vezes}}, & \text{se} \ z\gt 0 \\ \underbrace{(-g)+\cdots + (-g)}_{z \text{ \ vezes}}, & \text{se} \ z\lt 0 \\ 0, & \text{se} \ z= 0 \end{array}\right. \]Munido dessa multiplicação por escalar, os grupos abelianos são exatamente os \(\mathbb {Z}\)-módulos.
Todo anel \(R\) é um \(R\)-módulo à esquerda, definindo a multiplicação por escalar \(R\times R \rightarrow R\) como sendo a multiplicação dos elementos de \(R\).
\((rr')m =r'(rm)\).
\(m(rr') =(mr)r'\).
Note que se \(R\) é um anel comutativo, então \(R\)-módulos à esquerda são \(R\)-módulos à direta e vice-versa.
Um grupo abeliano aditivo \(M\) é um bimódulo ou simplesmente um \(R\)-módulo se \(M\) é simultaneamente um \(R\)-módulo à direita e um \(R\)-módulo à esquerda e as respectivas multiplicações por escalar são compatíveis, i.e. \(r \cdot (m * s) = (r\cdot m)* s\), para todo \(r,s \in R, m \in M\). A seguir, consideramos \(R\)-módulos à esquerda. Todos os resultados deste capítulo são verdadeiros mutatis mutandis para \(R\)-módulos à direita.
Sejam \(M\) e \(N\) dois \(R\)-módulos à esquerda. Uma aplicação \(f: M\rightarrow N\) é um homomorfismo de \(R\)-módulos à esquerda se
\(f(m + m') = f(m) + f(m')\),
\(f(rm) = rf(m)\),
para todo \( m,m' \in M\) e para todo \( r \in R\). Em outros termos, \(f: M\rightarrow N\) é um homomorfismo de \(R\)-módulos se as operações binárias de adição e multiplicação por escalar são preservadas. Outro nome dado para um homomorfismo de \(R\)-módulos é aplicação \(R\)-linear.
Um homomorfismo de \(R\)-módulos \( f : M\rightarrow N\) bijetor é chamado de isomorfismo de \(R\)-módulos e, nesse caso, os módulos \(M\) e \(N\) são ditos isomorfos.
Note que os homomorfismos de \(\mathbb {Z}\)-módulos são os homomorfismos de grupos abelianos, enquanto os homomorfismos entre espaços vetoriais (\(\mathbb {K}\)-módulos) são precisamente as transformações lineares usuais.
Seja \(M\) um \(R\)-módulo e \(S\subseteq M\). Dizemos que \(S\) é um \(R\)-submódulo de \(M\) se \(S\) é um \(R\)-módulo com respeito a ação de \(R\) sobre \(M\) e a restrição da operação \(+\) em \(M\).
Seja \((G,+)\) um grupo abeliano (logo, um \(\mathbb {Z}\)-módulo). Os subgrupos de \(G\) são exatamente os \(\mathbb {Z}\)-submódulos de \(G\).
Os submódulos de \(\mathbb {Z}\) são da forma \(n\mathbb {Z}\), com \(n\in \mathbb {N}\).
Considere \(R\) como \(R\)-módulo. Os \(R\)-submódulos de \(R\) são exatamente os ideais de \(R\).
Dado um homomorfismo de \(R\)-módulo \(f : M \rightarrow N\), o núcleo \(\ker f\mathrel {\mathop:\! =}\{ m \in M \mid f(m)=0_N \} \) e a imagem \(\mathrm{im}\, f\mathrel {\mathop:\! =}\{ n \in N \mid \exists m\in M, n=f(m) \} \) de \(f \) são \(R\)-submódulos de \(M\) e \(N\), respectivamente.
Dado um \(R\)-submódulo \(N\) de \(M\), definimos o módulo quociente de \(M\) por \(N\) como sendo o grupo abeliano \(M/N\) com a estrutura de \(R\)-módulo dada por
Dado um homomorfismo de \(R\)-módulos \(f:M\rightarrow N\), o módulo quociente \(N/\mathrm{im}\, {f}\) é chamado de cokernel de \(f\) e é denotado por \(\mathrm{coker}\, (f)\). Os famosos teoremas de isomorfismo de grupos e espaços vetoriais também são válidos para \(R\)-módulos.
Teoremas do Isomorfismo. Considere um \(R\)-módulo à esquerda \(M\).
Seja \(f : M \rightarrow N\) um homomorfismo de \(R\)-módulo, então
\[ \dfrac {M}{\ker f} \cong \mathrm{im}\, f. \]Se \(M_1\), \(M_2\) são \(R\)-submódulos de \(M\), então
\[ \dfrac {M_1+M_2}{M_1} \cong \dfrac {M_2}{M_1\cap M_2}. \]Se \(N\) e \(P\) são \(R\)-submódulos de \(M\) e \(P\subseteq N \subseteq M\), então \(P\) é um submódulo de \(N\) e
\[ \dfrac {M/P}{N/P} \cong M/N. \]
Soma, Produto Direto, Soma Direta
Seja \(M\) um \(R\)-módulo. Dada uma família \(\{ N_i\} _{i\in I}\) de submódulos de \(M\), a soma dos submódulos \(N_i\), denotada por \(\sum _{i\in I} N_i\), é o \(R\)-módulo gerado pelo conjunto \(\cup _{i\in I}N_i\), i.e.
Se \(I\) é finito, digamos \(I = \{ 1,2,\ldots ,k\} \) , escreve-se \(\sum _{i=1}^k N_i\), ou ainda \(N_1 +N_2 +\cdots +N_k\).
Seja uma família arbitrária \(\{ M_i\} _{i\in I}\) de \(R\)-módulos. O produto direto de \(\{ M_i\} _{i\in I}\), denotado por \(\prod _{i\in I}M_i\), é o \(R\)-módulo definido da seguinte forma:
conjunto suporte: produto cartesiano \(\{ (v_i)_{i\in I} \mid v_i\in M_i\} \);
operação de grupo: \((v_i)_{i\in I} + (w_i)_{i\in I} \mathrel {\mathop:\! =}(v_i+w_i)_{i\in I}\);
multiplicação por escalar: \(a(v_i)_{i\in I}\mathrel {\mathop:\! =}(av_i)_{i\in I}\).
Para cada \(j\in I\), projeção canônica \(\pi _j:\prod _{i\in I}M_i\rightarrow M_j\) é o homomorfismo de \(R\)-módulos que a cada \((v_i)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}M_i\) associa o elemento \(v_j\in M_j\).
Propriedade Universal do Produto Direto. Seja \(\{ M_i\} _{i\in I}\) uma família de \(R\)-módulos. Dados \(N\) um \(R\)-módulo e uma coleção de homomorfismos \(\{ \phi _i:N \rightarrow M_i\} _{i\in I}\), existe um único homomorfismo \(\displaystyle \phi :N\rightarrow \prod _{i\in I}M_i\) tal que
i.e. o diagrama abaixo é comutativo: 
Além disso, a soma direta \(\sum _{i\in I}M_i\) é determinada, a menos de isomorfismo, pela propriedade universal acima. A soma direta de uma família arbitrária \(\{ M_i\} _{i\in I}\) de \(R\)-módulos, que denotamos por \(\bigoplus _{i\in I} M_{i}\) é o submódulo de \(\prod _{i\in I}M_i\) formado pelos elementos \((v_i)_{i\in I}\in \bigoplus _{i\in I} M_{i}\) com suporte finito, i.e., \(v_i\) é \(0\), o elemento neutro aditivo, exceto para uma quantidade finita de índices. Dada a soma direta \(\{ M_i\} _{i\in I}\), podemos associar naturalmente dois homomorfismos: a projeção \(\textstyle \pi _{j}\colon \, \bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}\), para cada \(j\in I\) e inclusão \( {\textstyle i _{j}\colon \, A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}\) para \(j\in I\).
Propriedade Universal da Soma Direta. Seja \(\{ M_i\} _{i\in I}\) uma família de \(R\)-módulos. Dados \(N\) um \(R\)-módulo e uma coleção de homomorfismos \(\{ \phi _i: M_i \rightarrow N\} _{i\in I}\), existe um único homomorfismo \(\displaystyle \phi :\sum _{i\in I}M_i\rightarrow N \) tal que
i.e. o diagrama abaixo é comutativo: 
Além disso, o produto direto \(\prod _{i\in I}M_i\) é determinado, a menos de isomorfismo, pela propriedade universal acima. No caso em que \(I = \{ 1,2,...,k\} \) é um conjunto finito, a soma direta e o produto direto coincidem. Nesse caso, é costume representar ambos por \(\bigoplus _{i=1}^k M_i\), ou ainda, \(M_1 \oplus \cdots \oplus M_k\).
Sejam \(M\) um \(R\)-módulo e \(\{ M_i\} _{i\in I}\) uma família de submódulos de \(M\). Então, temos que \(M \cong \bigoplus _{i\in I} M_i\) se, e somente se, valem as seguintes condições:
\(M = \sum _{i\in I} M_i\)
\(M_j \cap (M_{i_1}+\cdots + M_{i_k}) = \{ 0 \} \) se \(j\notin \{ i_1,\ldots ,i_k \} \).
Alguns tipos \(R\)-módulos
Dado um \(R\)-módulo \(M\), um subconjunto \(S\subseteq M\), com \(S\neq \emptyset \), é um conjunto gerador de \(M\) se todo elemento de \(M\) pode ser escrito como uma combinação linear (soma finita) de elementos de \(S\) com coeficientes do anel \(R\), i.e. dado \(v\in M\),
Em geral, tal combinação não é única.
Um conjunto \(B\subseteq M\), com \(B\neq \emptyset \), é uma base de \(M\) se todo elemento de \(M\) pode ser escrito unicamente como uma combinação linear finita de elementos de \(B\) com coeficientes em \(R\). Equivalentemente, \(B\subseteq M\) é uma base se:
\(B\) é um conjunto gerador para \(M\);
\(B\) é linearmente independente, isto é, para \(e_{1}, e_{2}, e_{3},\dots , e_{n}\) elementos distintos de \(B\) se \(r_{1}e_{1} + r_{2}e_{2} + r_{3}e_{3} + \cdots + r_{n}e_{n} = 0_{M}\) então \(r_{1} = r_{2} = r_{3} = ... = r_{n} = 0_{R}\), onde \(r_{1}, r_{2}, r_{3},\dots , r_{n}\) são elementos de \(R\), \(0_{M}\) é o zero de \(M\) e \(0_{R}\) é o zero de \(R\).
Um \(R\)-módulo \(M\) é finitamente gerado se admite um conjunto gerador com finitos elementos.
Um módulo é chamado de módulo cíclico se for gerado por um elemento.
Todo espaço vetorial sobre um corpo \(\mathbb {K}\) é um \(\mathbb {K}\)-módulo livre.
O grupo abeliano \(\mathbb {Z}_n\), visto como um \(\mathbb {Z}\)-módulo, não é livre, pois não existem conjuntos linearmente independentes em \(\mathbb {Z}_n\). De fato, dado \(a \in \mathbb {Z}_n\), existe um inteiro não nulo \(b\) tal que \(ba = 0\).
Qualquer anel \(R\) associativo com unidade \(1\) é um \(R\)-módulo livre com base \(\{ 1\} \). Os submódulos coincidem com os ideais de \(R\). Em particular, um submódulo pode não ser livre, e mesmo sendo livre pode ter uma base de cardinalidade maior que \(1\).
O grupo abeliano
\[ \mathbb {Z}^k \equiv \underbrace{\mathbb {Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z}}_{k- \text{vezes}} \]é livre. Uma base é dada por \(B = \{ e_1,\ldots ,e_k\} \), onde \(e_i = (0,...,0,1,0,...,0)\).
A soma direta \(\bigoplus _{i\in I} M_i\) de \(R\)-módulos livres é livre.
\(\mathbb {Z}_2\) é um \(\mathbb {Z}\)-módulo finitamente gerado por \(\{ 1\} \), mas não é livre, pois \(1+1=0\). Mais geralmente, \(\mathbb {Z}_n\) não é um módulo livre, quando visto como \(\mathbb {Z}\)-módulo.
O \(\mathbb {Z}\)-módulo \(\mathbb {Z}\times \mathbb {Z}_5 \times 8\mathbb {Z}\) é finitamente gerado, mas não é livre.
Dado um \(R\)-módulo \(M\), o conjunto
é chamado de anulador do módulo \(M\). De forma análoga, definimos o anulador de um subconjunto de \(M\). Quando \(\mathrm{Anl}\, (M) =\{ 0\} \), dizemos que \(M\) é \(R\)-módulo fiel.
Seja \(M\) um \(R\)-módulo. Um elemento \(m\in M\) é livre se \(\mathrm{Anl}\, (m) =\{ 0\} \). Caso contrário, dizemos que \(m\) é um elemento de torção. Em outras palavras, um elemento \(m\in M\) é de torção se, e somente se, existe \(a\in R\) com \(a\neq 0\) tal que \(am=0\).
Seja \(M\) um \(R\)-módulo. Dizemos que \(M\) é livre de torção se todos os seus elementos não nulos são livres. Dizemos que \(M\) é um módulo com torção se contém algum elemento de torção. Dizemos que \(M\) é um módulo de torção se todos os elementos de \(M\) são de torção.
Espaços vetoriais são módulos sem torção.
Se \(M\) é um módulo livre sobre um anel de integridade, então \(M\) é sem torção.
Todo grupo abeliano finito é um \(\mathbb {Z}\)-módulo de torção.
\(\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}_m\) é um \(\mathbb {Z}\)-módulo com torção, mas não é de torção.
\(R\) é um \(R\)-módulo sem torção se, e somente se, \(R\) é um anel de integridade.
i.e. para cada \(x\in X\) associamos uma cópia de \(R\). Os elementos de \(R[X]\) são as sequências \((r_x)_{x\in X}\), onde \(r_{x}\neq 0\) para uma quantidade finita de \(x\). É costume representar os elementos de \(R[X]\) por séries formais \(\sum _{x\in X} r_x\).
Note ainda que o módulo \(R[X]\) é de fato um módulo livre, pois tem uma base evidente: \(\{ e_x \mid x \in X\} \) onde cada \(e_x = (r_y)_{y\in X}\) é definido por
Os módulos livres gerados por um conjunto descrevem, a menos de isomorfismo, todos os módulos livres:
Seja \(R\) um anel associativo com unidade. As seguintes afirmações são equivalentes para qualquer \(R\)-módulo \(M\):
\(M\) é livre.
Existe uma família de submódulos cíclicos \(\left\{ N_i\right\} _{i \in I}\) de \(M\), com \(N_i \cong R\), tais que \(M \cong \bigoplus _{i \in I} N_i\).
Existe um conjunto \(X \neq \emptyset \) tal que \(M \cong \bigoplus _{x \in X} R\).
Existe um conjunto \(X \neq \emptyset \) e uma função \(i: X \rightarrow M\) com a seguinte propriedade universal: Para todo \(R\)-módulo \(N\) e qualquer função \(\phi : X \rightarrow N\), existe um único homomorfismo de \(R\)-módulos \(\bar{\phi }: M \rightarrow N\) tal que o seguinte diagrama é comutativo:
Segue da proposição acima que um homomorfismo de \(R\)-módulos \(f:M\rightarrow N\), em que \(M\) é livre, é completamente determinado pelos valores de \(f\) numa base de \(M\). Seja \(R\) um anel comutativo com unidade. Então
\(\bigoplus _{x \in X} R\cong \bigoplus _{y \in Y} R\) se, e somente se, as cardinalidades dos conjuntos \(X\) e \(Y\) são iguais.
Se \(F\) é um módulo livre então as cardinalidades de duas bases são iguais. A cardinalidade de uma base de \(F\) é denominada de posto de \(F\).
Importância do anel na definição de módulo
Antes de continuarmos, precisamos fazer algumas observações de como as propriedades dos módulos dependem dos anéis sobre os quais estes estão definidos e fazer algumas comparações com o caso mais bem comportado, no qual o anel é um corpo, e os módulos são espaços vetoriais.
Se o anel \(R\) for um domínio de integridade, sempre que os elementos \(v_1, \ldots , v_n\) forem linearmente independentes sobre \(R\), também serão \(r v_1, \ldots , r v_n\) para qualquer \(r \in R\) diferente de zero. Isso falha quando \(R\) não é um domínio integral.
Quando \(R\) é um domínio de ideais principais, ou seja, quando todos os seus ideais são gerados por um único elemento, os \(R\)-módulos são razoavelmente bem comportados. Por exemplo, em geral, um módulo pode ter uma base, mas um ou mais de seus submódulos não. Porém, se \(R\) for um domínio de ideais principais isso não acontece.
No entanto, mesmo quando \(R\) é um domínio de ideais principais, \(R\)-módulos são menos bem comportados do que espaços vetoriais. Por exemplo, existem módulos sobre um domínio de ideais principais que não possui nenhum elemento linearmente independente. Claro, esses módulos não podem ter uma base.
De modo geral, apresentamos uma lista comparativas de algumas das propriedades dos módulos e espaços vetoriais que enfatizam as diferenças entre ambos.
Existem módulos sem elementos linearmente independentes e, portanto, sem base.
Um submódulo de um módulo finitamente gerado não precisa ser finitamente gerado.
Um submódulo de um módulo não precisa ter um complemento.
Um conjunto gerador minimal ou um conjunto linearmente independente maximal não é necessariamente uma base.
Um conjunto gerador não contém necessariamente uma base. Um conjunto linearmente independente nem sempre pode ser estendido para uma base.
Existem módulos livres com submódulos que não são livres.
Considere \(\mathbb {Z}_6\) como \(\mathbb {Z}_6\)-módulo. Veja que \(\mathbb {Z}_6\) é livre com base \(\{ \overline{1}\} \), mas o submódulo \(\{ \overline{0},\overline{2},\overline{4}\} \) de \(\mathbb {Z}_6\) não é livre, pois todo subconjunto unitário é linearmente dependente. Em particular, o \(\mathbb {Z}_6\)-módulo \(\{ \overline{0},\overline{2},\overline{4}\} \) não possui base.
Considere \(\mathbb {Z}\) como \(\mathbb {Z}\)-módulo. Veja que \(\{ 2,3\} \) gera \(\mathbb {Z}\), no entanto \(\{ 2,3\} \) não contém uma base.
Considerando ainda o \(\mathbb {Z}\)-módulo \(\mathbb {Z}\), veja que este é livre e o conjunto \(\{ 2\} \) é linearmente independente. Entretanto, esse conjunto não é e não pode ser ampliado a uma base pois todo conjunto com dois ou mais elementos do \(\mathbb {Z}\)-módulo \(\mathbb {Z}\) é linearmente dependente.
Como exemplo de módulo livre com submódulo que não é livre, considere o anel \(R=\mathbb {Z}[x_1,x_2,\ldots ]\) de todos os polinômios em variáveis contavéis. O próprio \(R\) é um \(R\)-módulo finitamente gerado, com \(\{ 1\} \) como conjunto gerador. Agora, considere o submódulo \(K\) consistindo de todos polinômios com o termo constante zero. Como todo polinômio contém apenas um número finito de termos cujos coeficientes são diferentes de zero, o \(R\)-módulo \(K\) não é finitamente gerado.
Teoremas de Estrutura
Um domínio de integridade é um anel comutativo no qual o produto de quaisquer dois elementos diferentes de zero é diferente de zero. Um domínio de ideais principais, ou DIP, é um domínio de integridade no qual todo ideal é principal, ou seja, pode ser gerado por um único elemento.
Estrutura de Módulos finitamente gerados sobre um DIP. Sejam \(R\) um domínio de ideais principais e \(M\) um \(R\)-módulo finitamente gerado. Então
para algum inteiro \(r\geq 0 \) e elementos \(q_1,\ldots ,q_{\ell } \in R\) diferentes de \(0,1\) tais que \(q_1 |q_2 | \ldots | q_\ell \) (i.e. \(q_1\) divide \(q_2\), \(q_2\) divide \(q_3\), etc.). O inteiro \(r\) é único e os elementos \(q_i\) são únicos a menos de multiplicação por uma unidade do anel. Os elementos \(q_1,\ldots ,q_{\ell } \in R\) que aparecem na decomposição de \(M\), no Teorema 7.1, chamam-se fatores invariantes de \(M\) e o inteiro \(r\) é chamado de posto livre de \(M\). Além disso, \(R^r = R\oplus R\oplus \cdots \oplus R\) é a parte livre de \(M\) e \(R/\langle q_1 \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle q_\ell \rangle \) é a parte de torção.
Seja \(R\) é um DIP então todo \(R\)-módulo \(M\) finitamente gerado é livre de torção se, e somente se, \(M\) é livre. O Teorema de Estrutura para módulos sobre um domínio de ideais principais (DIP) apresenta uma interessante aplicação no estudo dos grupos abelianos, uma vez que que todo grupo abeliano pode ser considerado um \(\mathbb {Z}\)-módulo de forma natural, e \(\mathbb {Z}\) é um DIP. Mais especificamente, todo grupo abeliano finitamente gerado é isomorfo a uma soma direita de subgrupos cíclicos e um grupo abeliano livre.
Estrutura de grupos abelianos finitamente gerados. Seja \(G\) um grupo abeliano finitamente gerado. Então, \(G\) pode ser escrito de forma única como
para inteiros \(r\geq 0 \) e \(n_1,\ldots ,n_{\ell } \in \mathbb {Z}\) tais que \(n_j\geq 2\), para todo \(j\), e \(n_i | n_{i+1}\), para \(1\leq i \leq \ell -1\). Os inteiros \(n, n_1, \ldots , n_\ell \) são unicamente determinados pelas condições dadas. O inteiro \(r\) no Teorema 7.1 é o posto da parte livre de \(G\), e os números \(n_1,\ldots ,n_{\ell } \) chamam-se coeficientes de torção de \(G\).
Através do Teorema de Estrutura de Módulos finitamente gerados sobre um DIP podemos recuperar uma série de resultados sobre a estrutura de operadores lineares. Seja \(T\) um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita \(V\) sobre o corpo \(\mathbb {K}\). O espaço vetorial \(V\) pode ser visto como um módulo gerado finitamente sobre o anel \(\mathbb {K}[T]\) dos polinômios com coeficientes em \(\mathbb {K}\) avaliados em \(T\). Então o Teorema de Estrutura de Módulos finitamente gerados sobre um DIP permite obter, por exemplo, a forma canônica racional e a forma canônica de Jordan (quando o corpo é algebricamente fechado). Para maiores detalhes consulte Roman, Axler e Gehring 2005.
Produto Tensorial de \(R\)-módulos
Uma outra operação entre módulos que tem papel fundamental é o produto tensorial. Para definir tal operação, precisamos da seguinte definição.
Sejam \(A\) um \(R\)-módulo à direita e \(B\) um \(R\)-módulo à esquerda. Seja \(H\) um grupo abeliano com operação \(+\). Dizemos que uma aplicação \(f:A\times B \rightarrow H\) é \(R\)-biaditiva se
\(f(a+a',b) = f(a,b)+f(a',b)\);
\(f(a,b+b') = f(a,b)+f(a,b')\)’;
\(f(ar,b)=f(a,rb)\).
Dados \(A\) um \(R\)-módulos à direita e \(B\) um \(R\)-módulos à esquerda, queremos construir um \(\mathbb {Z}\)-módulo, denotado por \(A\otimes _R B\) com a propriedade de que, grosso modo, cada aplicação \(R\)-biaditiva \(f : A \times B \rightarrow H\) está em uma correspondência biunívoca natural com um \(\mathbb {Z}\)-homomorfismo \(\varphi : A\otimes _R B \rightarrow H\). Desse modo, transformamos uma aplicação mais complicada (biaditiva) numa mais simples (homomorfismo) pagando o preço de complicar o domínio no qual a função está definido.
Essa construção, que veremos a seguir, fornece uma nova forma de construir módulos a partir de módulos pré-existentes.
Sejam \(A\) e \(B\) \(R\)-módulos à direita e à esquerda, respectivamente. Um produto tensorial de \(A\) e \(B\) sobre \(R\), denotado por \(A\otimes _R B\), é um \(\mathbb {Z}\)-módulo juntamente com uma aplicação \(R\)-biaditiva \(\otimes :A\times B \rightarrow A\otimes _R B\) que satisfazem a seguinte propriedade universal: para todo \(\mathbb {Z}\)-módulo \(H\) e para toda aplicação \(R\)-biaditiva \(f:A\times B \rightarrow H\), existe um único homomorfismo \(\varphi :A\otimes _R B \rightarrow H\) tal que \(\varphi \circ \otimes = f\), ou seja, o diagrama abaixo é comutativo: 
Dado um elemento \((a,b)\in A\times B\), escrevemos \(\otimes _R(a,b)\) por \(a\otimes _R b\), e lemos como “produto tensorial de \(a\) e \(b\)”. Quando claro pelo contexto, omitiremos o subscrito \(R\) no símbolo do tensor.
Pode-se mostrar que o produto tensorial sempre existe e é único, a menos de isomorfismos de grupos abelianos. Além disso, todo elemento de \( A\otimes _R B\) pode ser escrito, de forma não única, como
Em outras palavras, a imagem de \(\otimes _R\) gera \( A\otimes _R B\).
Sejam \(f:A\rightarrow A'\) e \(g:B\rightarrow B'\) homomorfismos de \(R\)-módulos. Então existe um único homomorfismo \(\theta : A\otimes _R B \rightarrow A'\otimes _R B'\) tal que \(\theta (a\otimes b) = f(a)\otimes g(b)\), para todo \(a\in A\) e \(b\in B\). Nesse caso, denotamos \(\theta \) por \(f\otimes g\). Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) \(R\)-módulos. Então, existem isomorfismos tais que
\(A\otimes B \cong B\otimes A\) (comutatividade);
\((A\otimes B) \otimes C \cong A\otimes (B\otimes C)\) (associatividade);
\(R\otimes A \cong A\);
\((A\oplus B) \otimes C \cong A\otimes C \oplus B\otimes C\) (o produto tensorial distribui sobre a soma direta).
7.2 Sequências Exatas
Ao longo desse capítulo, \(R\) denotará um anel associativo com unidade em que \(1\neq 0\). Se \(1=0\), então \(R\) deve ser o anel zero contendo um único elemento. Além disso, frequentemente empregaremos os seguintes abusos de linguagem: abreviaremos “\(R\)-módulo à esquerda” para apenas “módulo” e “\(R\)-homomorfismo” (resp., aplicação \(R\)-linear) para apenas “homomorfismo” (resp., aplicação).
A noção de sequência exata é uma linguagem que permite expressar certas relações entre homomorfismos por meio de diagramas.
Dada uma sequência de \(R\)-módulos à esquerda e homomorfismos de \(R\)-módulos
diz-se que a sequência é exata em \(M_{i}\) se \(\ker f_{i} = \mathrm{im}\, f_{i+1}\). Uma sequência é dita uma sequência exata se for exata em \(M_{n},\) para todo \(n\in \mathbb {Z}\).
Uma sequência exata de \(R\)-módulos do tipo
é chamada de sequência exata curta. Equivalentemente, a sequência curta em (7.2) é exata se, e somente se,
\(\mathrm{im}\, f = \ker g\);
\(f\) é injetora;
\(g\) é sobrejetora.
Uma sequência exata geral, como em (7.1), às vezes é chamada de sequência exata longa, para distinguir do caso especial de uma sequência exata curta.
Sejam \(B\) um \(R\)-módulo e \(A\) um \(R\)-submódulo de \(B\), então a sequência
\begin{align*} 0 \rightarrow A \xrightarrow []{i} B \xrightarrow []{p} B/A \rightarrow 0 \ , \end{align*}em que \(i\) é a inclusão e \(p\) é a projeção, é uma sequência exata curta.
Considere a sequência de grupos abelianos
\[ {\displaystyle 0\to \mathbb {Z}\mathrel {\overset {2 \times }{\longrightarrow }} \mathbb {Z}{\overset {p}{\longrightarrow }} \mathbb {Z}/2\mathbb {Z}\to 0} \]em que \(2\times \) denota o homomorfismo que leva cada inteiro \(a\) no inteiro \(2a \in \mathbb {Z}\) e o homomorfismo \(p\) leva cada inteiro \(a\) na sua classe de equivalência \(b\) mod 2, i.e., \(b \equiv a (mod \ 2)\). Essa é uma sequência exata, pois \(2\times \) é injetor, \(p\) é sobrejetor e a imagem de \(2\times \) coincide com núcleo de \(p\).
Interseção e soma de módulos. Sejam \(I\) e \(J\) dois ideais do anel \(R\). Considere os homomorfismos \(f: I\cap J \rightarrow I \oplus J\), definido por \(x \mapsto (x,x), \) e \(g: I \oplus J \rightarrow I + J\), definido por \((x,y) \mapsto x-y\). Então
\begin{align*} 0 \rightarrow I\cap J \xrightarrow []{f} I \oplus J \xrightarrow []{g} I + J \rightarrow 0, \end{align*}é uma sequência exata curta de \(R\)-módulos. De fato, temos que \(\ker f = \{ x \in I\cap J: f(x) = (x,x) = (0,0)\} = \{ 0\} \), \(\mathrm{im}\, f = \{ (x,x) \in I\oplus J, x \in I\cap J \} = \ker g\) e \(\mathrm{im}\, g = \{ x-y \in I + J: x\in I, y\in J\} = I + J\).
\(f\) é injetor, assim \(A\cong A/\ker f \cong \mathrm{im}\, f\);
\(g\) é sobrejetor, daí \(C=\mathrm{im}\, g \cong B/\ker g\);
\(\displaystyle C\cong \dfrac {B}{ \mathrm{im}\, f} .\)
Em outras palavras, a menos de isomorfismo, a sequência exata curta \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\), é a sequência
em que \(i\) e \(p\) são as respectivas aplicações de inclusão e projeção.
Se diz que uma sequência exata curta
cinde (ou ainda que é uma sequência exata cindida) se existe um homomorfismo de \(R\)-módulos \(u:C \rightarrow B\) tal que \(g\circ u\) é o homomorfismo identidade em \(C\), i.e. \(g\circ u = \operatorname {\operatorname {id}}_{C}\). Seja \( 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 \) uma sequência exata curta de \(R\)-módulos. Se \(C\) é livre, então a sequência cinde.
Seja \(\mathcal{B}=\left\{ e_\lambda \right\} _{\lambda \in \Lambda }\) uma base para \(C\). Defina um homomorfismo de \(R\)-módulos \(u: C \rightarrow B\) por \( u\left(e_\lambda \right)=b_\lambda , \) onde \(b_\lambda \in B\) é um elemento qualquer tal que \( g\left(b_\lambda \right)=e_\lambda .\) (Tal elemento existe, pois \(g\) é sobrejetor.) Então, \(g \circ u\left(e_\lambda \right)=e_\lambda ,\) ou seja, \(g \circ u=\mathrm{id}_C,\) portanto, a sequência exata é cindida.
Existe um homomorfismo de \(R\)-módulos \(t:B \rightarrow A\) tal que \(t\circ f = \operatorname {\operatorname {id}}_{A}\).
Existe um homomorfismo de \(R\)-módulos \(u:C \rightarrow B\) tal que \(g\circ u = \operatorname {\operatorname {id}}_{C}\).
Existe um isomorfismo \(h:B \rightarrow A\oplus C\) tal que o diagrama abaixo é comutativo
Denote por \(i_C\) a inclusão de \(C\) em \(A\oplus C\) e por \(p_{A}\) é a projeção de \(A \oplus C\) em \(A\).
c \(\Rightarrow \) a Basta definir \(t = p_{A} \circ h\). Assim, \(t \circ f = (p_{A}\circ h)\circ f = p_{A}\circ (h\circ f) = p_{A}\circ i_{A} =\operatorname {\operatorname {id}}_{A}\).
c \(\Rightarrow \) b Basta definir \(u = h^{-1} \circ i_{C}\). Assim \(g\circ u = g\circ (h^{-1}\circ i_{C}) = (g\circ h^{-1})\circ i_{C} = p_{C}\circ i_{C} =\operatorname {\operatorname {id}}_{C}\).
a \(\Rightarrow \) c Primeiramente vamos provar que
Vejamos que \(B \subseteq \ker t + \mathrm{im}\, f\). Dado \(b \in B\), podemos escrever \(b = (b -f(t(b))) + f(t(b))\), com \(f(t(b)) \in \mathrm{im}\, f\) e \(b - f(t(b)) \in \ker t\), pois
Logo \(B = \ker t + \mathrm{im}\, f\), dado que \(\ker t + \mathrm{im}\, f \subseteq B\), por definição de \(t\) e \(f\). Agora, basta provar que \(\ker t \cap \mathrm{im}\, f = \{ 0\} \). Dado \(d \in \ker t \cap \mathrm{im}\, f\), temos que \(t(d) = 0\) e \(d = f(a)\), para algum \(a \in A\). Mas \(t(f(a)) = t(d) = 0\) e \(t(f(a)) = \operatorname {\operatorname {id}}_{A}(a) = a\). Logo \(a = 0\) e \(d = 0\). Portanto, \(B = \ker t \oplus \mathrm{im}\, f\).
Para concluir a prova, basta mostramos que \(\ker t \cong C\) e \(\mathrm{im}\, f \cong A\). Claramente, \(\mathrm{im}\, f\) é isomorfo a \(A\), pois pela exatidão de \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B\), \(f\) é injetora (\(\ker f = 0\)), e daí temos \(A \cong A/\ker f \cong \mathrm{im}\, f\), pelo Teorema do Isomorfismo. Provemos que \(\ker t \cong C\). Como, \(B = \ker t \oplus \mathrm{im}\, f\), dado \(b \in B\), \(b = f(a) + k\), para algum \(a \in A\) e \(k \in \ker t\). Sendo \(g\) é sobrejetor, para todo \( c \in C\), existe \(b = f(a) + k\) tal que \(g(f(a) + k) = c\), daí \(c = g(f(a)) + g(k) = g(k)\), pois \(\ker g = \mathrm{im}\, f\). Assim, para todo \( c \in C\), existe \(k \in \ker t\), tal que \(g(k) = c\). Logo, \(g(\ker t) = C\). Se \(g(k) = 0\) então \(k \in \mathrm{im}\, f\) (por exatidão), e assim \(k \in \ker t \cap \mathrm{im}\, f \Rightarrow k = 0\). Logo, a restrição \(g|_{\ker t}: \ker t \rightarrow C\) é um isomorfismo. Finalmente, concluímos que \(B = \ker t \oplus \mathrm{im}\, f \cong A \oplus C\).
b \(\Rightarrow \) c O argumento é similar a implicação anterior. Vamos provar primeiramente que \(B = \ker g \oplus \mathrm{im}\, u\). Claramente, \(\ker g + \mathrm{im}\, u \subseteq B\), vejamos que \(B \subseteq \ker g + \mathrm{im}\, u\). Com efeito, dado \(b \in B\), podemos escrever \(b = (b -u(g(b))) + u(g(b))\), com \(u(g(b)) \in \mathrm{im}\, u\) e \(b - u(g(b)) \in \ker g\), pois
Logo, \(B = \ker g + \mathrm{im}\, u\). Agora, basta provar que \(\ker g \cap \mathrm{im}\, u = \{ 0\} \). Dado \(d \in \ker g\cap \mathrm{im}\, u\), temos que \(g(d) = 0\) e \(d = u(c)\), para algum \(c \in C\). Mas \(g(u(c)) = g(d) = 0\) e \(g(u(c)) = \operatorname {\operatorname {id}}_{C}(c) = c\). Segue que \(c = 0\) e \(d = 0\). Portanto, \(B = \ker g \oplus \mathrm{im}\, u\). Por exatidão da sequência, temos \(\mathrm{im}\, f = \ker g\) e como \(f\) é injetor, \(\mathrm{im}\, f \cong A\). Logo, \(A \cong \ker g\). Como \(\operatorname {\operatorname {id}}_{C} = g\circ u\) é uma bijeção, \(u\) é necessariamente injetor, logo \(\mathrm{im}\, u \cong C\). Portanto, \(B = \ker g \oplus \mathrm{im}\, u \cong A \oplus C\).
O Lema 7.1 fornece uma caracterização para as sequências exatas curtas que cindem como sendo as que cumprem qualquer uma das três, e portanto as três, condições dadas no lema.
É comum indicar uma sequência exata cindida e as aplicações \(t\) e \(u\) por meio do diagrama 
Dizemos que \(u\) (resp., \(t\)) é um homomorfismo de cisão para \(g\) (resp., \(f\)).
7.3 Funtores \(\operatorname {Hom}(\bullet ,A)\), \(\operatorname {Hom}(A,\bullet )\) e \(A \otimes \bullet \)
Seja \(R\) um anel associativo com unidade. Denote por \(\mathbf{{}_R{Mod}}\) a categoria de \(R\)-módulos à esquerda, cujos objetos são \(R\)-módulos à esquerda, os morfismos são os homomorfismo de \(R\)-módulos e a composição é dada pela composição de homomorfismos.
Nessa seção, vamos definir funtores \(\operatorname {Hom}(\bullet ,A)\), \(\operatorname {Hom}(A,\bullet )\) e \(A \otimes \bullet \) da categoria de \(R\)-módulos à esquerda \(\mathbf{{}_R{Mod}}\) para a categoria de grupos abelianos \(\mathbf{Ab}\).
Dado um anel associativo com unidade \(R\) e um \(R\)-módulo à esquerda \(A\), o funtor
da categoria de \(R\)-módulos à esquerda para a categoria de grupos abelianos é definido da seguinte forma:
a cada \(R\)-módulo à esquerda \(B\in \operatorname {ob}({\mathbf{{}_R{Mod}}})\), \(F\) associa o grupo abeliano \(FB=\operatorname {Hom}_{R}(A,B)\) de todos os homomorfismos de \(R\)-módulos de \(A\) para \(B\);
a cada homomorfismo de \(R\)-módulo \(h:B\rightarrow C\), \(F\) associa um homomorfismo \(Fh:\operatorname {Hom}_{R}(A,B) \longrightarrow \operatorname {Hom}_{R}(A,C)\) dado por \(g\mapsto h\circ g\), i.e. \(Fh\in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathbf{Ab}}(F(B),F(C))\).
Dado um anel associativo com unidade \(R\) e um \(R\)-módulo à esquerda \(A\), o funtor contravariante
da categoria de \(R\)-módulos à esquerda para a categoria de grupos abelianos é definido da seguinte forma:
a cada \(R\)-módulo à esquerda \(B\in \operatorname {ob}({\mathbf{{}_R{Mod}}})\), \(F\) associa o grupo abeliano \(FB=\operatorname {Hom}_{R}(B,A)\) de todos os homomorfismos de \(R\)-módulos de \(B\) para \(A\);
a cada homomorfismo de \(R\)-módulo \(h:B\rightarrow C\), \(F\) associa um homomorfismo \(Fh:\operatorname {Hom}_{R}(C,A) \longrightarrow \operatorname {Hom}_{R}(B,A)\) dado por \(g\mapsto g\circ h\), i.e. \(Fh\in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathbf{Ab}}(F(C),F(B))\).
Sejam \(R\) um anel associativo com unidade e \(A\) um \(R\)-módulo. Seja \(g:B\rightarrow C\) é um homomorfismo de \(R\)-módulos, valem
se \(g\) é um isomorfismo, então também \(\operatorname {Hom}_{R}(g,A)\) (resp., \(\operatorname {Hom}_{R}(A,g)\)) é um isomorfismo;
se \(g\) é nulo, então também \(\operatorname {Hom}_{R}(g,A)\) (resp., \(\operatorname {Hom}_{R}(A,g)\)) é nulo;
A prova é imediata e é deixada como exercício para o leitor.
Note que \(\operatorname {Hom}(\bullet ,A)\), \(\operatorname {Hom}(A,\bullet )\) são funtores aditivos.
Sejam \(\mathscr {C}\) e \(\mathscr {D}\) categorias pré-aditivas. Um funtor aditivo \(F:\mathscr {C}\rightarrow \mathscr {D}\) é dito um
funtor exato se, para qualquer sequência exata curta \( 0\rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) em \(\mathscr {C}\), a sequência \(0\rightarrow FA \xrightarrow []{Ff} FB \xrightarrow []{Fg} FC\rightarrow 0 \) é exata em \(\mathscr {D}\);
funtor exato à esquerda se, para qualquer sequência exata curta \( 0\rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) em \(\mathscr {C}\), a sequência \(0\rightarrow FA \xrightarrow []{Ff} FB \xrightarrow []{Fg} FC \) é exata em \(\mathscr {D}\);
funtor exato à direita se, para qualquer sequência exata curta \( 0\rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) em \(\mathscr {C}\), a sequência \( FA \xrightarrow []{Ff} FB \xrightarrow []{Fg} FC \rightarrow 0\) é exata em \(\mathscr {D} \).
Sejam \(\mathscr {C}\) e \(\mathscr {D}\) categorias pré-aditivas. Um funtor contravariante aditivo \(F:\mathscr {C}\rightarrow \mathscr {D}\) é dito
exato se, para qualquer sequência exata curta \( 0\rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) em \(\mathscr {C}\), a sequência \(0\rightarrow FC \xrightarrow []{Fg} FB \xrightarrow []{Ff} FA\rightarrow 0 \) é exata em \(\mathscr {D}\);
exato à esquerda se, para qualquer sequência exata curta \( 0\rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) em \(\mathscr {C}\), a sequência \(0\rightarrow FC \xrightarrow []{Fg} FB \xrightarrow []{Ff} FA \) é exata em \(\mathscr {D}\);
exato à direita se, para qualquer sequência exata curta \( 0\rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) em \(\mathscr {C}\), a sequência \( FC \xrightarrow []{Fg} FB \xrightarrow []{Ff} FA \rightarrow 0\) é exata em \(\mathscr {D} \).
Sejam \(R\) um anel associativo com unidade e \(M\) um \(R\)-módulo à esquerda. Então, os funtores \(F = \operatorname {Hom}_{R}(M,\bullet )\) e \(G = \operatorname {Hom}_{R}(\bullet ,M)\) são exatos à esquerda.
Vamos mostrar que \(\operatorname {Hom}_{R}(M,\bullet )\) é um funtor exato à esquerda. Para isso, dada uma sequência exata curta
em \(\mathbf{{}_R{Mod}}\), precisamos mostrar que a sequência
é exata em \(\operatorname {Hom}_{R}(M,A)\) e \(\operatorname {Hom}_{R}(M,B)\). Faremos isso em três etapas:
\(Ff\) é injetor: Suponha que \((Ff)(\alpha ) = f\alpha = 0\). Como \(f\) é injetor (pela exatidão de (7.3)), então \(\alpha = 0\), segue que \(Ff\) é injetor.
\(\mathrm{im}\, Ff \subseteq \ker Fg\): Se \(\beta \in \mathrm{im}\, Ff\), então \(\beta = f\alpha \), para algum \(\alpha \in \operatorname {Hom}_{R}(M,A)\). Pela exatidão de (7.3), \(\mathrm{im}\, f \subseteq \ker g\), assim \((Fg)(\beta ) = g\beta = gf\alpha = 0\alpha = 0\). Portanto \(\beta \in \ker Fg\).
\(\ker Fg \subseteq \mathrm{im}\, Ff\): Se \(\beta \in \operatorname {Hom}_{R}(M,B)\) e \(\beta \in \ker Fg\), então \(g\beta = 0\). Como \(\beta (y) \in \ker g = \mathrm{im}\, f\), para cada \(y\in M\), \(\beta (y) = f(x)\) para algum \(x \in A\). Defina um homomorfismo \(\alpha :M\rightarrow A\) por \( \alpha (y)=x \in A\). Note que \(x\) é único, dado que \(f\) é injetor, logo \(\alpha \in \operatorname {Hom}_{R}(M,A)\). Portanto, \(\beta = f\alpha \in \mathrm{im}\, Ff\).
Segue que o funtor \(\operatorname {Hom}_{R}(M,\bullet )\) é exato à esquerda.
Deixamos a cargo do leitor a prova de que o funtor contravariante \(G = \operatorname {Hom}_{R}(\bullet ,M)\) é exato à esquerda.
Sejam \(R\) um anel associativo com unidade e \(M\) um \(R\)-módulo à esquerda. Se \(M\) é livre, então \(F = \operatorname {Hom}_{R}(M,\bullet )\) e \(G = \operatorname {Hom}_{R}(\bullet ,M)\) são funtores exatos.
Pela Proposição 7.3, \(F = \operatorname {Hom}_{R}(M,\bullet )\) é exato à esquerda. Logo, precisamos mostrar que a sequência em (7.4) é exata em \(\operatorname {Hom}_{R}(M,C)\). Basta mostrar que \(F\) preserva epimorfismos. Fixado \(g:B\rightarrow C\) um epimorfismo, vamos prova que \(Fg :\operatorname {Hom}_R(M,B)\rightarrow \operatorname {Hom}_R(M,C)\) é sobrejetor. Dado \(\gamma \in \operatorname {Hom}_R(M,C)\), vamos definir um homomorfismo \(\beta \in \operatorname {Hom}_R(M,B)\) tal que \(Fg(\beta ) = g\circ \beta = \gamma . \) Para isso, fixe \(\mathcal{B}\) uma base de \(M\), para cada \(b\in \mathcal{B}\), tome \(\beta (b)\in g^{-1}(\gamma (b))\). Pela Observação 7.1 e pela sobrejetividade de \(g\), \(\beta \) está bem definido.
Deixamos a cargo do leitor a prova de que \( \operatorname {Hom}_{R}(\bullet ,M)\) é exato quando \(M\) é livre.
Sejam \(R\) um anel associativo com unidade, \(M\) um \(R\)-módulo à esquerda e os funtores \(F = \operatorname {Hom}_{R}(M,\bullet )\) e \(G = \operatorname {Hom}_{R}(\bullet ,M)\). Suponha que
é uma sequência exata curta cindida de \(R\)-módulos. Então, temos as sequências exatas cindidas
A prova será deixada como exercício para o leitor. (Veja Exercício 77.)
O produto tensorial entre \(R\)-módulos dá origem a um funtor da categoria de \(R\)-módulos para a categoria de grupos abelianos.
Dado um anel associativo com unidade \(R\) e um \(R\)-módulo à direita \(A\), o funtor
da categoria de \(R\)-módulos à esquerda para a categoria de grupos abelianos é definido da seguinte forma:
a cada \(R\)-módulos à esquerda \(B\in \operatorname {ob}({\mathbf{{}_R{Mod}}})\), \(F\) associa o grupo abeliano \(FA=A\otimes _R B\);
a cada homomorfismo de \(R\)-módulo \(h:B\rightarrow C\), \(F\) associa o homomorfismo \(Fh:A\otimes _R B \longrightarrow A\otimes _R C\) dado por \(F(h) = id_A \otimes h\).
Analogamente, podemos definir o funtor \(G= \bullet \otimes _R A :\mathbf{{Mod}_R}\longrightarrow \mathbf{Ab}\) da categoria de \(R\)-módulos à direita para a categoria de grupos abelianos.
Sejam \(R\) um anel associativo com unidade, \(M\) um \(R\)-módulo à direita e \(N\) um \(R\)-módulo à esquerda. Então, os funtores \(F = M\otimes _R \bullet \) e \(G = \bullet \otimes _R N\) são exatos à direta.
Vamos provar que \(M \otimes _R \bullet \) é exato à direita. Dada uma sequência exata \(0\rightarrow A \stackrel{\alpha }{\rightarrow } B \stackrel{\beta }{\rightarrow } C \rightarrow 0\), precisamos mostrar que
é exato.
\( \mathrm{im}\, \operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha \subseteq \ker \operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta \): De fato, \((\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta )(\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha )=\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta \alpha =\operatorname {\operatorname {id}}\otimes 0=0\).
\(\ker \operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta \subset \mathrm{im}\, \operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha \): Se \(E=\mathrm{im}\, (\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha )\), então \(\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta \) induz a aplicação \(\bar{\beta }:(M \otimes B) / E \rightarrow M \otimes C\) dada por \(m \otimes b+E \mapsto m \otimes \beta b\) (pois \(E \subset \ker \operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta \), por (a)). É fácil ver que \(\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta =\bar{\beta } \pi \), onde \(\pi : M \otimes B \rightarrow (M \otimes B) / E\) é a projeção natural. Suponha que mostramos que \(\bar{\beta }\) é um isomorfismo. Então
\[ \ker \operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta =\ker \bar{\beta } \pi = \ker \pi =E=\mathrm{im}\, \operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha \]e a prova termina. Podemos construir a aplicação \(M \otimes C \rightarrow (M \otimes B) / E\) inversa de \(\bar{\beta }\). A aplicação \(f: M \times C \rightarrow (M \otimes B) / E\) dada por
\[ f(m, c)=m \otimes b+E, \quad \text{ onde } \quad \beta b=c \]está bem definida: tal elemento \(b\) existe pois \(\beta \) é sobrejetor; se \(\beta b^{\prime }=c=\beta b\), então \(\beta \left(b^{\prime }-b\right)=0\) e existe um elemento \(a \in A\) com \(\alpha a=b^{\prime }-b\); segue que
\[ m \otimes b^{\prime } - m \otimes b=m \otimes \left(b^{\prime }-b\right)=(\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha )(m \otimes a) \in \mathrm{im}\, \operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha =E. \]Como \(f\) é biaditivo, a propriedade universal do produto tensorial fornece um mapa \(\bar{f}: M \otimes C \rightarrow (M \otimes B) / E\) com \(\bar{f}(m \otimes c)=m \otimes b+E\). Claramente, \(\bar{f}\) e \(\bar{\beta }\) são funções inversas.
\(\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta \) é sobrejetor: Seja \(\sum m_i \otimes c_i \in M \otimes C\). Como \(\beta \) é sobrejetor, então existem \(b_i \in B\) com \(\beta b_i=c_i\), para todo \(i\). Daí \(\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \beta \left(\sum m_i \otimes b_i\right)=\sum m_i \otimes c_i\).
De forma análoga, prova-se que o funtor \( \bullet \otimes _R N\) é exato à direita.
O funtor \(A\otimes _R \bullet \) pode não ser exato à esquerda. Por exemplo, considere a sequência
em que \(2\times \) denota o homomorfismo que leva cada inteiro \(a\) no inteiro \(2a \in \mathbb {Z}\) e \(p\) é o homomorfismo leva cada inteiro \(a\) na sua classe de equivalência \(\mod \ 2\). Aplicando o funtor \(\mathbb {Z}_2\otimes _{\mathbb {Z}} -\), temos a sequência
Essa sequência não é exata à esquerda, pois \(\operatorname {\operatorname {id}}_{\mathbb {Z}_2}\otimes 2 \times \) não é injetor, de fato, cada elemento \(\overline{a}\otimes b \in \mathbb {Z}_2\otimes _{\mathbb {Z}}\mathbb {Z}\) é enviado a \(\overline{a}\otimes 2 b = 2\overline{a}\otimes b = \overline{0} \otimes b = 0.\)
Seja \(M\) um R-módulo à direita e
uma sequência exata curta cindida de \(R\)-módulos. Então, a sequência induzida
é uma sequência exata curta cindida de \(R\)-módulos.
Em virtude da Proposição 7.3 e usando o fato de que a sequência dada cinde, basta mostrar que \(\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha \) é injetora. Para isso, seja \(h\) um homomorfismo de cisão para \(\alpha \) e defina a aplicação \(\psi : M \times B \rightarrow M \otimes A\) por \(\psi (m, a )=m \otimes h(a)\). É fácil ver que \(\psi \) é uma aplicação \(R\)-biaditiva, logo existe um homomorfismo \(\phi : M \otimes B \rightarrow M \otimes A\) tal que \(\phi (m \otimes a)=m \otimes h(a)\), para todo \(m \in M\) e todo \(a \in A\). Agora, dado qualquer \(m \in M\) e qualquer \(a^{\prime } \in A\), temos
Assim, como \(M \otimes A\) é gerado pelos elementos da forma \(m \otimes a^{\prime }\), deduzimos que \(\phi \circ \operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha \) é a aplicação identidade em \(M \otimes A\), e \(\operatorname {\operatorname {id}}\otimes \alpha \) é injetora.
7.4 Complexos de Cadeias e sua Homologia
Um complexo de cadeias \((A,d)\) é uma sequência de \(R\)-módulos e homomorfismos
tais que \(d_{n}\circ d_{n+1} = 0\), para todo \( n\in \mathbb {Z}\) (ou equivalentemente, \(\mathrm{im}\, d_{n+1} \subseteq \ker d_{n}, \) para todo \( n \in \mathbb {Z}\)). A propriedade \(d_{n}\circ d_{n+1} = 0\), para todo \( n\in \mathbb {Z}\), também pode ser reescrita, suprimindo os subíndices, da seguinte maneira: \(d\circ d = d^2 = 0\).
Por outro lado, às vezes queremos explicitar as sequências de módulos e homomorfimos que compõem o complexo de cadeias, daí usaremos a notação \((A_n,d_n)_{n\in \mathbb {Z}}\).
Exemplos clássicos de complexos de cadeias são o complexo de cadeias singulares de um espaço topológico e o complexo de de Rham de uma variedade suave, abordados nos próximos capítulos.
Toda sequência exata de \(R\)-módulos é um complexo de cadeias, já que \(\mathrm{im}\, d_{n+1} = \ker d_{n}\).
Dados complexos de cadeias \((A,d)\) e \((B,d')\), a sequência de \(R\)-módulos e homomorfismos \((A\oplus B, d\oplus d')\), cujos termos são dados por \(\{ A_n\oplus B_n\} _{n\in \mathbb {Z}}\) e \(\{ d_n\oplus d'_n\} _{n\in \mathbb {Z}}\), forma um complexo de cadeias.
Seja \((A_n,d_n)\) um complexo de cadeias e seja \(M\) um \(R\)-módulo. Aplicando o funtor \(\operatorname {Hom}_R(M,\bullet )\), obtemos um complexo de cadeias \((\operatorname {Hom}_R(M, A_n),\operatorname {Hom}_R(M,d_n))\) de grupos abelianos.
munido de um homomorfismo de \(R\)-módulos \(d: A \rightarrow A\) que satisfaz \(d(A_n) \subseteq A_{n-1}\) e \(d\circ d =0\). Denotando a restrição de \(d\) a \(A_n\) por \(d_n\), obtemos a sequência em (7.5).
Seja \((A,d)\) um complexo de cadeias de \(R\)-módulos.
O homomorfismo \(d\) é chamado de operador bordo ou diferencial do complexo. O homomorfismo \(d_n\) é chamado de \(n\)-ésimo operador bordo ou diferencial de dimensão \(n\).
Os elementos de \(A_n\) são chamados de \(n\)-cadeias.
O kernel \(Z_{n}(A)\) do operador bordo \(d_n : A_n \to A_{n-1}\), i.e., \(Z_{n}(A)\mathrel {\mathop:\! =}\ker d _{n}\), é dito módulo dos \(n\)-ciclos. Um elemento de \(Z_{n}(A)\) é chamado de \(n\)-ciclo ou ciclo \(n\)-dimensional.
A imagem \(B_{n}(A)\) do operador bordo \(d_{n+1} : A_{n+1} \to A_n\), i.e., \( B_{n}(A) \mathrel {\mathop:\! =}{\mathrm{im}\, } d_{n+1}\), é dito módulo dos \(n\)-bordos. Um elemento de \(B_{n}(A)\) é chamado de \(n\)-bordo ou bordo \(n\)-dimensional.
Dado um complexo de cadeias \((A,d)\), como a diferencial \(d\) satisfaz \(d^2=0\), temos que todo \(n\)-bordo é um \(n\)-ciclo, daí,
para todo \(n\in \mathbb {Z}\). Logo, o módulo quociente \(Z_n(A)/B_n(A)\) está bem definido. Esse fato possibilita a definição dos módulos de homologia associados a um complexo de cadeias.
Seja \((A,d)\) um complexo de cadeias de \(R\)-módulos. O módulo de homologia \(H_{n}(A)\) de dimensão \(n\) do complexo \((A,d)\), com coeficientes em \(R\), é definido por
para cada \(n\in \mathbb {Z}\). A soma direta
é chamada de homologia de \((A,d)\). Os elementos de \(H_n(A)\) são as classes de homologia
dos ciclos \(z\in Z_n(A)\). Se \(z\) e \(z'\) são \(n\)-ciclos, temos que \([z]=[z']\) se, e somente se, \(z'-z =d_{n+1}(x)\), para algum \(x\in A_{n+1}\). Nesse caso, dizemos que \(z\) e \(z'\) são ciclos homólogos.
A sequência
\[ \ \ \cdots 0 \rightarrow \mathbb {Z}\xrightarrow []{0} \mathbb {Z}\rightarrow 0 \rightarrow 0 \cdots \ \ \]forma um complexo de cadeias com exatamente dois módulos de homologia não nulos, ambos isomorfos a \(\mathbb {Z}\).
Mais geralmente, se todas as diferenciais \(d_n\) em um complexo de cadeias \((A,d)\) são nulas, então \(H_n(A)\cong A_n\), para todo \(n\in \mathbb {Z}\).
O complexo de cadeias
\[ \ \cdots 0 \rightarrow \mathbb {Z}\xrightarrow []{\operatorname {\operatorname {id}}} \mathbb {Z}\rightarrow 0 \rightarrow 0 \cdots \ \]é exato. Todos os módulos de homologia são triviais.
Considere o complexo de cadeias
\[ \ \ \cdots 0 \rightarrow A_1 =\mathbb {Z}\xrightarrow []{2\times } A_0=\mathbb {Z}\rightarrow 0 \rightarrow 0 \cdots , \]em que \(2\times \) denota a multiplicação por \(2\). Os módulos de homologia de \((A,d)\) são \(H_0(A)= \mathbb {Z}/2\mathbb {Z}\) e \(H_n(A) = 0\), para \(n\neq 0\).
Considere o complexo de cadeias
\[ \ \ \cdots 0 \longrightarrow A_1 =\mathbb {Z}\longrightarrow {} A_0=\mathbb {Z}/2\mathbb {Z}\longrightarrow 0 \longrightarrow 0 \cdots . \]Os módulos de homologia de \((A,d)\) são \(H_1(A)= 2\mathbb {Z}\) e \(H_n(A) = 0\), para \(n\neq 1\).
Dada uma sequência exata \((A,d)\) de \(R\)-módulos, em particular \((A,d)\) é um complexo de cadeias, os grupos de homologia de \((A,d)\) são triviais, pois pela exatidão da sequência \(\ker d_n = \mathrm{im}\, d_{n+1}\), para todo \( n\in \mathbb {Z}\).
Um complexo de cadeias \((A,d)\) é chamado de acíclico se os módulos de homologia são triviais, i.e. \(H_{n}(A)=0, \) para todo \( n\in \mathbb {Z}\). Assim, temos que \((A,d)\) é um complexo de cadeias é acíclico se, e somente se, é uma sequência exata.
Um complexo de cadeias \((A,d)\) é chamado de
limitado superiormente se existe \(k_0\in \mathbb {Z}\) tal que \(A_k=0\) para todo \(k\gt k_0\);
limitado inferiormente se existe \(k_0\in \mathbb {Z}\) tal que \(A_k=0\) para todo \(k\lt k_0\);
limitado se é simultaneamente limitado superiormente e limitado inferiormente.
Frequentemente, consideramos também complexos de cadeias graduados em \(\mathbb {N}\) (ou graduados não negativamente) que podem ser identificados com os complexos \(\mathbb {Z}\)-graduados para os quais \(A_n=0\) quando \(n\lt 0\).
Subcomplexos e Complexo Quociente
Dado um complexo de cadeias \((A,d)\), dizemos que \((A', d')\) é um subcomplexo de cadeias de \((A, d)\) se, para todo \(n\in \mathbb {Z}\), \(A'_{n}\) é um submódulo de \(A_{n}\) e \(d'_{n} = d_{n}|_{A'_{n}}\). Dado um subcomplexo \((A', d')\) de um complexo de cadeias \((A,d)\), podemos definir o complexo quociente \((A/A',\overline{d})\) como sendo
em que \(\overline{d}_n\) é dado por
É fácil ver que a definição de \(\overline{d}_n\) não depende da escolha de \(a_n\) e \(\overline{d}_n\circ \overline{d}_{n+1}=0\). Logo, a sequência \((A/A',\overline{d})\) é um complexo de cadeias, chamado de quociente de \((A,d)\) por \((A', d')\).
Dado um subcomplexo de cadeias \((A', d')\) de um complexo \((A,d)\), o complexo quociente de \((A,d)\) por \((A', d')\) é definido como sendo o complexo de cadeias \((A/A',\overline{d})\).
7.5 Aplicações de Cadeias
Dados \((A,d)\) e \((B,d')\) complexos de cadeias, uma aplicação de cadeias \(f:A\rightarrow B\) é uma sequência de homomorfismos \(f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}\), com \(n \in \mathbb {Z}\), de forma que o seguinte diagrama é comutativo: 
ou seja, \(f_{n-1}\circ d_n = d'_n\circ f_n\), para todo \(n\in \mathbb {Z}\). Em outras palavras, uma aplicação de cadeias é um morfismo graduado \( f : A \rightarrow B\) de grau zero tal que \(f \circ d = d \circ f\).
Sejam \((A,d)\) e \((B,d')\) complexos de cadeias. Se \(f:A\rightarrow B\) é uma aplicação de cadeias, então \(f\) induz um homomorfismo graduado \(f_\ast =\{ f_{\ast ,n}\} _{n\in \mathbb {Z}}\) de grau zero entre os módulos de homologia de \((A,d)\) e \((B,d')\):
definido por \(f_{\ast ,n}([x]_A) \mathrel {\mathop:\! =}[f_n(x)]_B \) e chamado de homomorfismo induzido por \(f\). Portanto, temos um homomorfismo entre as homologias \(f_\ast : H_\ast (A) \longrightarrow H_\ast (B)\).
Dado \(x\in Z_n(A)\), temos que
logo \(f_n(x)\in Z_n(B)\). Portanto, \(f_n:A_n\rightarrow B_n\) transforma \(n\)-ciclo de \((A,d)\) em \(n\)-ciclo de \((B,d')\). Por outro lado, se \(x\in B_n(A)\), digamos \(x=d_{n+1}(y)\) com \(y\in A_{n+1}\), então
logo, \(f_n(x)\in B_{n}(B)\). Portanto, \(f_n:A_n\rightarrow B_n\) transforma \(n\)-bordo de \((A,d)\) em \(n\)-bordo de \((B,d')\). Provamos que \(f_n(Z_n(A))\subseteq Z_n(B)\) e \(f_n(B_n(A))\subseteq B_n(B)\).
Para concluir que \(f_{\ast }\) está bem definido, vamos mostrar que não depende da escolha do representante da classe de homologia. Dados \([x_1],[x_2] \in H_n(A)\), se \([x_1]=[x_2] \), então \(x_2 = x_1 +d_{n+1}(y)\), para algum \(y\in A_{n+1}\). Daí,
de modo que \([f_n(x_2)] = [f_n(x_1)]\).
Mostramos que \(f_{\ast ,n}([x]_A) \mathrel {\mathop:\! =}[f_n(x)]_B \) está bem definido. Segue direto da definição de \(f_{\ast ,n}\) que este é de fato um homomorfismo.
Frequentemente, escrevemos apenas \(f_\ast : H_n(A)\rightarrow H_n(B)\).
Sejam \((A,d_A)\), \((B,d_C)\) e \((C,d_c)\) complexos de cadeias de \(R\)-módulos.
Se \(f:A\rightarrow B\) e \(g: B\rightarrow C\) são aplicações de cadeias, então \((g\circ f)_{\ast } = g_\ast \circ f_\ast \).
Se \(\operatorname {\operatorname {id}}:A\rightarrow A\) é a identidade, então \(\operatorname {\operatorname {id}}_{\ast }\) é a identidade.
Se uma aplicação de cadeias \(f:A\rightarrow B\) admite inversa \(g:B\rightarrow A\), então \(f_\ast \) é invertível e \((f_\ast )^{-1}=g_\ast \).
As propriedades funtoriais de \(f_{\ast }\) seguem imediatamente da definição.
Dado \(x\in Z_n(A)\), temos
\[ (g\circ f)_{\ast ,n}[x]_A = [(g_n\circ f_n)x]_C = [(g_n( f_n(x))]_C = g_{\ast ,n}\left( [ f_n(x)]_B\right) = g_{\ast ,n} \circ f_{\ast ,n} [x]_A. \]Dado \(x\in Z_n(A)\), temos \(\operatorname {\operatorname {id}}_{\ast ,n}\left([x]_A\right) = [\operatorname {\operatorname {id}}_n(x)]_A = [x]_A .\)
Segue diretamente dos itens anteriores. Deixamos a cargo do leitor.
Retomando o Exemplo 7.3, vale ressaltar que embora a inclusão \(i\) seja injetora e a projeção \(p\) seja sobrejetora, tais propriedades não são necessariamente herdadas pelos homomorfismos induzidos \(i_\ast :H_\ast (A')\rightarrow H_\ast (A)\) e \(p_\ast :H_\ast (A)\rightarrow H_\ast (A/A')\), respectivamente.
Sejam \((A,d)\) e \((B,d')\) complexos de cadeias. Dada uma aplicação de cadeias \(f:A\rightarrow B\), dizemos que
\(f\) é um isomorfimo entre \((A,d)\) e \((B,d')\) se \(f_n\) é um isomorfismo para todo \(n\in \mathbb {Z}\), e dizemos que \((A,d)\) e \((B,d')\) são isomorfos;
\(f\) é um quase-isomorfimo se os homomorfismos induzido \( f_{\ast ,n}\) são todos isomorfismos, e dizemos que \((A,d)\) é quase-isomorfo a \((B,d')\) .
O próximo exemplo mostra que “quase-isomorfismo” não é uma relação simétrica.
em que \(\pi :\mathbb {Z}\rightarrow \mathbb {Z}_2\) é a projeção natural. Ambos os complexos de cadeias têm módulo de homologia não trivial apenas na dimensão \(0\), \(H_0(A) \cong \mathbb {Z}_2 \cong H_0(B)\). Além disso, \(f\) induz um isomorfismo em homologia, logo \(f\) é um quase-isomorfismo. Assim, \((A,d)\) é quase-isomorfo a \((B,d')\). No entanto, não existe um quase-isomorfismo de \((B,d')\) para \((A,d)\), pois o único homomorfismo de grupos de \(\mathbb {Z}_2\) para \(\mathbb {Z}\) é o trivial, o qual não induz um isomorfismo em homologia. Funtorialidade
A Homologia \(H_n\) é um funtor!
Dado um anel associativo com unidade \(R\), a coleção de complexos de cadeias de \(R\)-módulos e aplicações de cadeias entre eles forma uma categoria, a categoria de complexos de \(R\)-módulos, denotada por \(\mathbf{{}_R{Comp}},\) que tem como objetos os complexos de cadeias e como morfismos as aplicações de cadeias.
Para cada \(n\in \mathbb {Z}\), a homologia \(H_n\) pode ser vista como um funtor covariante da categoria de complexos de cadeias na categoria de \(R\)-módulos à esquerda,
definido da seguinte forma:
para cada \((A,d) \in \operatorname {ob}(\mathbf{{}_R{Comp}}) \), temos \(H_n(A) = \dfrac {\ker d_n}{\mathrm{im}\, d_{n+1}}\);
para cada aplicação de cadeias \(f:A\rightarrow B\), temos \(H_n(f): H_{n}(A) \rightarrow H_{n}(B)\) dado por
\begin{align} z + B_{n}(A) \longmapsto f_{n}(z) + B_{n}(B) \tag{7.6} \end{align}ou seja, \(H_{n}(f)\) é o \(n\)-ésimo homomorfismo induzido por \(f\), \(f_{\ast ,n}\).
Pela Proposição 7.5, temos que \(H_n(g\circ f) =H_n(g)\circ H_n(f) \) e \(H_n(\operatorname {\operatorname {id}})\) é a identidade. Segue que \(H_n\) é de fato um funtor.
Para cada \(n\in \mathbb {Z}\), \(H_n :{\mathbf{{}_R{Comp}}} \longrightarrow \mathbf{{}_RMod}\) é um funtor aditivo. Embora o funtor \(H_n\) não seja exato à esquerda nem exato à direita, na Seção 7.7 mostraremos que a partir de uma sequência exata curta de complexos de cadeias podemos obter uma sequência longa exata em homologia.
7.6 Homotopia de Cadeias
Uma homotopia de cadeias fornece uma maneira de relacionar duas aplicações de cadeias que induzem o mesmo mapa em homologia, mesmo que as aplicações possam ser diferentes. Ao longo deste livro, veremos diversas situações em que o conceito de homotopia de cadeias é útil.
Sejam \((A,d_A)\) e \((B,d_B)\) complexos de cadeias e \(f,g:A\rightarrow B\) aplicações de cadeias. Uma homotopia de cadeias entre \(f\) e \(g\) é uma sequência de homomorfismos de \(R\)-módulos \(h=\{ h_n\} _{n\in \mathbb {Z}}\) com \(h_n:A_n\rightarrow B_{n+1}\) tal que
Nesse caso, dizemos que \(f\) e \(g\) são homotópicas e denotamos por \(f \simeq g\). Esquematicamente, temos o diagrama (não comutativo) 
Suprimindo os subíndices, \(h\) é uma homotopia de cadeias entre \(f\) e \(g\), se
O próximo resultado mostra o valor da definição anterior. Sejam \(f,g:A\rightarrow B\) aplicações de cadeias entre os complexos de cadeias \((A,d_A)\) e \((B,d_B)\). Se \(f\) e \(g\) são homotópicas, então os homomorfismos induzidos em homologia coincidem, i.e. \(f_\ast = g_*\).
Dada uma classe de homologia \([a] \in H_{n}(A)\), com \(a\) um \(n\)-ciclo em \(Z_n(A)\), i.e. \((d_A)_n(a)=0\), temos
pois \((d_B)_{n+1}\circ h_n(a)\) é um bordo em \(B_n(B)\).
O leitor pode verificar que a homotopia entre aplicações de cadeias é uma relação de equivalência.
Sejam \((A,d_A)\) e \((B,d_B)\) complexos de cadeias. Uma aplicação de cadeias \(f:A\rightarrow B\) é dita uma equivalência homotópica se existe uma aplicação de cadeias \(g:B \rightarrow A\) tal que
Nesse caso, \(g\) é chamada de inversa homotópica e dizemos que os complexos \((A,d_A)\) e \((B,d_B)\) são homotopicamente equivalentes, ou ainda, possuem o mesmo tipo de homotopia. Sejam \((A,d_A)\) e \((B,d_B)\) complexos de cadeias. Se \(f:A\rightarrow B\) é uma equivalência homotópica, então \(f_{\ast ,n}:H_n(A)\rightarrow H_n(B)\) é um isomorfismo, para todo \(n\in \mathbb {Z}\).
Seja \(g:B\rightarrow A\) uma inversa homotópica para \(f\). Pela Proposição 7.5,
Analogamente,
Portanto, \(g_{\ast ,n} = (f_{\ast ,n})^{-1}\) e \(f_{\ast ,n}\) é um isomorfismo.
Se \(A\) e \(B\) são complexos homotopicamente equivalentes, então \(H_{\ast }(A)\cong H_*(B)\).
7.7 Sequência Exata Longa em Homologia
Nessa seção, abordamos alguns dos teoremas fundamentais da Álgebra Homológica.
A característica que torna os complexos de cadeias tão especiais do ponto de vista computacional é a existência de sequências exatas longas em homologia.
Sejam \(A, B\) e \(C\) complexos de cadeias e \(f : A \rightarrow B\) e \(g : B \rightarrow C\) aplicações de cadeias. Uma sequência de complexos de cadeias \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) é dita exata se os complexos respeitam o seguinte diagrama comutativo:
onde cada linha \(0 \rightarrow A_{n} \xrightarrow []{f_{n}} B_{n} \xrightarrow []{g_{n}} C_{n} \rightarrow 0\) é uma sequência exata para todo \(n\in \mathbb {Z}\) e todas as colunas são complexos de cadeias.
Lema do Zig-Zag. Seja \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) uma sequência exata curta de complexos de cadeias \((A,d_A)\), \((B,d_B)\) e \((C,d_C)\). Então existe um homomorfismo graduado \(\partial _{\ast } = \{ \partial _{\ast ,n}\} _{n\in \mathbb {Z}}\) com
de modo que a sequência a seguir é uma sequência exata longa: 
Os homomorfismos \( \partial _{\ast ,n}\) são definidos usando um argumento padrão de busca no diagrama. Por hipótese, temos o seguinte diagrama comutativo em que as linhas são exatas:
Dada uma classe \([c] \in H_{p}(C)\), como \(c \in C_{p}\) é um ciclo, temos \(d_{C}(c) = 0.\) Para definir \(\partial _{\ast ,p}([c])\), tomemos um elemento qualquer \(b \in B_{p}\) tal que \(g_{p}(b) = c\); aplicando \(d_{B}\) em \(b\), obtemos \(d_{B}(b)\in B_{p-1} \) e então “puxamos” \(d_{B}(b)\) de volta para \(A_{p-1}\) aplicando \((f_{p-1})^{-1}\) e obtemos \(a = (f_{p-1})^{-1}(d_{B}(b))\). Então, definimos
Para mostrar que \(\partial _{\ast ,p}\) está bem definida, devemos verificar a validade das seguintes afirmações:
Para qualquer \(c \in C_{p}\) tal que \(d_{C}(c) = 0\) e qualquer \(b \in B_{p}\) tal que \(g_{p}(b) = c\), temos \(d_{B}(b) \in \mathrm{im}\, f_{p-1}\). Isso garante que \(a = (f_{p-1})^{-1}(d_{B}(b))\) está bem definido dado que \(f_{p-1}\) é injetivo.
O elemento \(a \in A_{p-1}\) é um ciclo; mais precisamente, se \(f_{p-1}(a) = d_{B}(b)\) para algum \(b \in B_{p}\), então \(d_{A}(a) = 0\).
A classe de homologia \([a]\) não depende da escolha de \(b \in (g_{p})^{-1}(c)\); isto é, para quaisquer \(b_{1}, b_{2} \in B_{p}\) e quaisquer \(a_{1}, a_{2} \in A_{p-1}\), se \(g_{p}(b_{1}) = g_{p}(b_{2}) = c\) e \(f_{p-1}(a_{1}) = d_{B}(b_{1})\), \(f_{p-1}(a_{2}) = d_{B}(b_{2})\), então \([a_{1}] = [a_{2}]\).
A classe de homologia \([a]\) não depende da escolha do ciclo \(c\) na classe de homologia \([c]\). Como \(\partial _{\ast ,p}\) é linear, basta mostrar que se \(c\) é um bordo em \(C_{p}\), então para qualquer \(b\) tal que \(g_{p}(b) = c\) e qualquer \(a \in A_{p-1}\) tal que \(f_{p-1}(a) = d_{B}(b)\), tem-se \([a] = 0\).
Recorreremos sempre ao fato de que \(f\) e \(g\) são aplicações de cadeias, e assim todos os quadrados do diagrama (7.8) comutam. A seguir, demonstraremos cada uma dessas afirmações.
(a) Como \(\mathrm{im}\, f_{p-1} = \ker g_{p-1}\), é suficiente mostrar que \(g_{p-1}(d_{B}(b)) = 0\). No entanto, como o quadrado central direito em (7.8) comuta e \(d_{C}(c) = 0\) (pois \(c\) é ciclo), temos
(b) Como \(f_{p-2}\) é injetivo, \(d_{A}(a) = 0\) se, e somente se, \(f_{p-2}\circ d_{A}(a) = 0\). Como o quadrado inferior esquerdo em (7.8) comuta
Segue que \(d_{A}(a) = 0\).
(c) Assuma que \(g_{p}(b_{1}) = g_{p}(b_{2}) = c\). Então \(g_{p}(b_{1} - b_{2}) = 0\), e como \(\mathrm{im}\, f_{p} = \ker g_{p}\), existe algum \(\overline{a} \in A_{p}\) tal que \(b_{1} - b_{2} = f_{p}(\overline{a})\). Recorrendo ao fato de que o quadrado central esquerdo em (7.8) comuta, temos que
Pela injetividade de \(f_{p-1}\), temos que \(a_{1} - a_{2} = d_{A}(\overline{a})\), o que implica que \([a_{1}] = [a_{2}]\).
(d) Seja \(c \in C_{p}\) um bordo, ou seja, \(c = d_{C}(\overline{c})\) para algum \(\overline{c} \in C_{p+1}\). Como \(g_{p+1}\) é sobrejetivo, existe \(b_{1} \in B_{p+1}\) tal que \(g_{p+1}(b_{1}) = \overline{c}\), e como o quadrado superior direito em (7.8) comuta, i.e. \(d_{C}\circ g_{p+1} = g_{p}\circ d_{B}\), temos
Por (c), para computar a classe de homologia \([a]\) tal que \(\partial _{\ast ,p}([c]) = [a]\), podemos tomar qualquer \(b \in B_{p}\) tal que \(g_{p}(b) = c\), e como \(c = g_{p}(d_{B}(b_{1}))\), podemos escolher \(b = d_{B}(b_{1})\) e assim obtemos
Como \(f_{p-1}\) é injetivo, se \(a \in A_{p-1}\) é o único elemento tal que \(f_{p-1}(a) = d_{B}(b) = 0\), então \(a = 0\), assim \([a] = 0\), como queríamos provar.
Portanto, o homomorfismo graduado \(\partial _{\ast }:H_{\ast }(C) \rightarrow H_{\ast -1}(A)\) está bem definido.
Agora, vamos mostrar que a sequência em (7.7) é exata. Precisamos mostrar que
para cada \(p\in \mathbb {Z}\). Portanto, temos que verificar seis inclusões:
\(\mathrm{im}\, f_{\ast ,p} \subseteq \ker g_{\ast ,p} \):
Pela Proposição 7.5 e pela exatidão das linhas no diagrama (7.8),
\[ g_{\ast ,p}\circ f_{\ast ,p} = (g\circ f)_{\ast ,p} = 0_* = 0 . \]Segue que \(\mathrm{im}\, f_{\ast ,p} \subseteq \ker g_{\ast ,p}\).
\( \ker g_{\ast ,p} \subseteq \mathrm{im}\, f_{\ast ,p} \):
Seja \([b] \in H_{p}(B)\) tal que \(g_{\ast ,p}([b]) = [g_p(b)]= 0\). Então \(g_p(b) = d_C(c)\) para algum \(c\in C_{p+1}\) e como \(g_{p+1}\) é sobrejetor, existe \(b'\in B_{p+1}\) tal que \(g_{p+1}(b')=c\). Pela pela comutatividade do quadrado superior direito em (7.8),
\[ g_p(b) = d_C(c) = d_C(g_{p+1}(b')) = g_p (d_B(b')), \]e \(g_p(b -d_B(b') )=0\). Pela exatidão das linhas, existe \(a\in A_p\) tal que \(f_p(a) = b -d_B(b')\). Veja que \(a\) é um \(p\)-ciclo, pois
\[ f_{p-1}(d_A(a)) = d_B(f_p(a)) = d_B(b -d_B(b')) = d_B(b) - d_B(d_B(b')) =0 , \]a última igualdade segue pois \(b\) é um ciclo. Como \(f_{p-1}\) é injetor, \(d_A(a) = 0\). Portanto,
\[ f_{\ast ,p} ([a]) = [f_p(a)] = [b -d_B(b')] = [b]. \]Segue que \( \ker g_{\ast ,p} \subseteq \mathrm{im}\, f_{\ast ,p} \).
\(\mathrm{im}\, g_{\ast ,p} \subseteq \ker \partial _{\ast ,p}\):
Fixado uma classe de homologia \([b] \in H_{p}(B)\) em que \(b\) é um \(p\)-ciclo, temos \(b \in B_{p}\) tal que \(d_{B}(b) = 0\). Como \(g_{\ast ,p} (b) = [g_{p}(b)]\), se escrevermos \(c = g_{p}(b)\), então \(d_C(c) = d_C \circ g_{p}(b) =g_{p-1}\circ d_B(b)=0\) e \(c\) é ciclo em \(C_{p}\). Pela definição de \(\partial _{\ast ,p}\), temos
\[ \partial _{\ast ,p}(g_{\ast ,p} ([b])) = \partial _{\ast ,p}([c]) = [(f_{p-1})^{-1}(d_{B}(b))] = [(f_{p-1})^{-1}(0)] = 0. \]Assim, \(\mathrm{im}\, g_{\ast ,p} \subseteq \ker \partial _{\ast ,p}\).
\(\ker \partial _{\ast ,p} \subseteq \mathrm{im}\, g_{\ast ,p} \):
Assuma que \(\partial _{\ast ,p}([c]) = 0\), para algum \(c \in C_{p}\) tal que \(d_{C}(c) = 0\). Por definição de \(\partial _{\ast ,p}\), temos que \(\partial _{\ast ,p}([c]) = [a]\), em que \(a \in A_{p-1}\) é dado por \(f_{p-1}(a) = d_{B}(b)\) para um \(b \in B_{p}\) fixado tal que \(g_{p}(b) = c\). Como \([a] = 0\), o elemento \(a\) deve ser um bordo, o que implica que \(a = d_{A}(a_{1})\) para algum \(a_{1} \in A_{p}\). Então, pela comutatividade do quadrado central esquerdo em (7.8), temos
\[ d_{B}(b) = f_{p-1}(a) = f_{p-1}(d_{A}(a_{1})) = d_{B}(f_{p}(a_{1})). \]Daí, \(d_{B}(b-f_{p}(a_{1})) = 0\), isso significa que \(b-f_{p}(a_{1})\) é um ciclo em \(B_{p}\). Como \(\mathrm{im}\, f_{p} = \ker g_{p}\), temos \(g_{p} \circ f_{p} = 0\), o que implica que
\[ c = g_{p}(b) = g_{p}(b-f_{p}(a_{1})). \]Assim, segue que \(g_{\ast ,p} ([b-f_{p}(a_{1})]) = [c]\), provando que \(\ker \partial _{\ast ,p} \subseteq \mathrm{im}\, g_{\ast ,p} \).
\(\mathrm{im}\, \partial _{\ast ,p} \subseteq \ker f_{\ast ,p-1} \):
Considere um classe qualquer \([c] \in H_{p}(C)\) com \(\partial _{\ast ,p}([c]) = [a]\), em que \(f_{p-1}(a) = d_{B}(b)\) para algum \(b \in B_{p}\) tal que \(g_{p}(b) = c\). Como \(d_{B}(b)\) é um bordo, temos que
\[ f_{\ast ,p-1}(\partial _{\ast ,p}([c])) = f_{\ast ,p-1}([a]) = [f_{p-1}(a)] = [d_{B}(b)] = 0, \]e assim \(\mathrm{im}\, \partial _{\ast ,p} \subseteq \ker f_{\ast ,p-1}\).
\(\ker f_{\ast ,p-1} \subseteq \mathrm{im}\, \partial _{\ast ,p}\):
Assuma que \( f_{\ast ,p-1}([a]) = 0\), para algum \(a \in A_{p-1}\) com \(d_{A}(a) = 0\), logo \(f_{p-1}(a)\) é um bordo em \(B_{p-1}\), i.e. \(f_{p-1}(a) = d_{B}(b)\) para algum \(b \in B_{p}\). Dado que \(\mathrm{im}\, f_{p-1} = \ker g_{p-1}\), temos que \(g_{p-1}\circ f_{p-1} = 0\), então pela comutatividade do quadrado direito central em (7.8)
\[ d_{C}(g_{p}(b)) = g_{p-1}(d_{B}(b)) = g_{p-1}(f_{p-1}(a)) = 0. \]O que significa que \(g_{p}(b)\) é um ciclo em \(C_{p}\), e como \(f_{p-1}(a) = d_{B}(b)\), pela definição de \(\partial _{\ast ,p}\), temos
\[ \partial _{\ast ,p}([g_{p}(b)]) = [a], \]mostrando que \(\ker f_{\ast ,p-1} \subseteq \mathrm{im}\, \partial _{\ast ,p}\).
Com isso, finalizamos a demonstração do teorema.
Às vezes é conveniente escrever \(\partial _{\ast ,p}([c]) = [f_{p-1}^{-1} d_B g_p^{-1}(c)]\). Evidentemente, os homomorfismos \(f_p\) e \(g_p\) não são bijetores, porém a classe de homologia \(\partial _{\ast ,p}[([c]) ]\) está bem definida por essa fórmula, como acabamos de provar na demonstração do teorema anterior.
O homomorfismo \(\partial _\ast \) é chamado de homomorfismo de conexão.
A sequência (7.7) é chamada de sequência exata longa em homologia associada à sequência exata \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) de complexos de cadeias.
Os dados da sequência exata longa em homologia (7.7) são às vezes expressos pela forma mnemônica: 
que é chamado de triângulo exato.
Naturalidade
Naturalidade de \(\partial _{\ast }\). Considere o seguinte diagrama comutativo de complexos de cadeias com linhas exatas: 
Então, o seguinte diagrama é comutativo: 
Os primeiros dois quadrados comutam pois \(H_n\) é um funtor, \(\beta \circ f = f'\circ \alpha \) e \(\gamma \circ g = g'\circ \beta \). Logo, \(\beta _{\ast }\circ f_{\ast } = f'_{\ast }\circ \alpha _{\ast }\) e \(\gamma _{\ast }\circ g_{\ast } =g'_{\ast }\circ \beta _{\ast }\). Para provar a comutatividade do quadrado envolvendo o homomorfismo de conexão, i.e. \(\alpha _*\circ \partial _* = \partial _{\ast }\circ \gamma _*\), escrevendo \(\partial _{\ast }[c] = [f^{-1}d_{B}g^{-1}c]\), temos que
Segue a comutatividade do diagrama de sequências exatas longas em homologia.
Pensando puramente na linguagem categórica, a sequência exata longa em homologia pode ser pensada como um funtor que leva uma sequência exata curta de complexos de cadeias 
em uma sequência exata longa 
Mais especificamente, denote por \(\mathbf{SEC}\) a categoria cujos objetos são sequências exatas curtas de complexos de cadeias de \(R\)-módulos. Os morfismos são formados por ternas \((\alpha ,\beta ,\gamma )\) de aplicações de cadeias que fazem os diagramas abaixo comutativos: 
Similarmente, considere ainda a categoria \(\mathbf{SEL}\) de sequências exatas longas. A sequência exata longa em homologia é um funtor de \(\mathbf{SEC}\) para \(\mathbf{SEL}\) que a cada sequência exata curta de complexos de cadeias associa a sequência exata longa em homologia, e para cada morfismo \((\alpha ,\beta ,\gamma )\) como em (7.9) em \(\mathbf{SEC}\) associa a terna \((\alpha _*,\beta _*,\gamma _*)\) que faz o diagrama abaixo comutativo: 
Lema da Cobra
Considere o diagrama comutativo de \(R\)-módulos da forma 
Se as linhas são exatas, então existe uma sequência exata
Além disso, se \(f\) é injetivo, \(\overline{f}\) também é injetivo; se \(g'\) é sobrejetivo, \(\overline{g'}\) também é sobrejetivo.
Defina os mapas \(\overline{f}:\ker (\alpha )\rightarrow \ker (\beta )\) e \(\overline{g}:\ker (\beta )\rightarrow \ker (\gamma )\) por
A aplicação \(\overline{f}\) está bem definida, pois se \(m \in \ker \alpha \), então \(\beta (f(m)) = f'(\alpha (m)) = 0\) (pela comutatividade do diagrama), e assim \(f(m) \in \ker \beta \). Similarmente, \(\overline{g}\) está bem definido, pois se \(m \in \ker \beta \), então \(\gamma (g(m)) = g'(\beta (m)) = 0\), e assim \(g(m) \in \ker \gamma \).
Agora, defina os mapas \(\overline{f'}:\mathrm{coker}\, (\alpha )\rightarrow \mathrm{coker}\, (\beta )\) e \(\overline{g'}:\mathrm{coker}\, {\beta }\rightarrow \mathrm{coker}\, (\gamma )\) por
A aplicação \(\overline{f'}\) está bem definida, dado que se \(m + \mathrm{im}\, \alpha = m' + \mathrm{im}\, \alpha \), então \(m - m' = \alpha (x)\), para algum \(x \in M\). Daí, \(f'(m - m') = f'(\alpha (x)) = \beta (f(x)) \in \mathrm{im}\, \beta \), logo \(f'(m) + \mathrm{im}\, \beta = f'(m') + \mathrm{im}\, \beta \). De forma similar, \(\overline{g'}\) também está bem definido, pois se \(n + \mathrm{im}\, \beta = n' + \mathrm{im}\, \beta \), então \(n - n' = \beta (y), y \in N\), e assim \(g'(n - n') = g'(\beta (y)) = \gamma (g(y)) \in \mathrm{im}\, \gamma \), o que implica que \(\overline{g'}(n + \mathrm{im}\, \beta ) = \overline{g'}(n' + \mathrm{im}\, \beta )\).
A aplicação \(\delta \) é o homomorfismo de conexão definido no Lema do Zig-Zag (Teorema 7.7), i.e. dado \(c\in \ker (\gamma )\), \(\delta (c) \mathrel {\mathop:\! =}(f')^{-1}(\beta (g^{-1}(c))) + \mathrm{im}\, \alpha \), e está bem definido como provado anteriormente. Agora, mostraremos que a sequência é exata em todos seus pontos.
Exatidão em \(\ker (\beta )\): A composição \(\overline{g}\circ \overline{f} \) é nula, pois \(g \circ f = 0\) (assim \(\mathrm{im}\, \overline{f} \subseteq \ker \overline{g}\)). Reciprocamente, suponha que \(n \in \ker \beta \) com \(\overline{g}(n) = 0\). Como \(g(n) = 0\), então \( n \in \mathrm{im}\, f\) e assim \(n = f(m)\), para algum \(m \in M\). Basta mostrar que \(m \in \ker \alpha \) para concluir que \(n \in \mathrm{im}\, \overline{f}\). Temos que \(f'(\alpha (m)) = \beta (f(m)) = \beta (n) = 0\), dado que \(n \in \ker \beta \). Como \(f'\) é injetor, então \(\alpha (m) = 0\) e assim \(m \in \ker \alpha \), e \(n = \overline{f}(m) \in \mathrm{im}\, \overline{f}\).
Exatidão em \(\ker (\gamma )\): Seja \(n \in \ker \beta \). Para calcularmos \(\delta (\overline{g}(n))\), tome \(n\) como o levantamento de \(g(n)\). Como \(\beta (n) = 0\), temos que \(\beta (n) = f'(0)\), então \(\delta (\overline{g}(n)) = 0 + \mathrm{im}\, \alpha \). Assim \(\delta \circ \overline{g} = 0\). Reciprocamente, suponha que \(p \in \ker \gamma \) também está em \(\ker \delta \). Escrevendo \(p = g(n)\) (que está bem definido dado que \(g\) é sobrejetor), temos que \(\beta (n) = f'(m)\), com \(m \in \mathrm{im}\, \alpha \). Escreva \(m = \alpha (x)\), para algum \(x \in M\). Então \(\beta (f(x)) = f'(\alpha (x)) = \beta (n)\). Assim \(n - f(x) \in \ker \beta \). Além disso,\(\overline{g}(n - f(x)) = g(n) - gf(x) = g(n) = p\), então \(p \in \mathrm{im}\, \overline{g}\). Portanto, \(\ker \delta = \mathrm{im}\, \overline{g}\).
Exatidão em \(\mathrm{coker}\, (\alpha )\): Seja \(p \in \ker \gamma \). Escreva \(p = g(n)\) e \(\beta (n) = f'(m)\), tal que \(\delta (p) = m + \mathrm{im}\, \alpha \). Então \(\overline{f'}(\delta (p)) = f'(m) + \mathrm{im}\, \beta = 0\), dado que \(f'(m) = \beta (n) \in \mathrm{im}\, \beta \). Reciprocamente, suponha que \(m + \mathrm{im}\, \alpha \in \ker \overline{f'}\). Então \(f'(m) \in \mathrm{im}\, \beta \), logo \(\exists n \in N\) tal que \(f'(m) = \beta (n)\). Seja \(p = g(n)\). Então \(\gamma (g(n)) = g'(\beta (n)) = g'(f'(m)) = 0\). Portanto, \(p \in \ker \gamma \), e \(\delta (p) = m + \mathrm{im}\, \alpha \) pela construção de \(\delta \).
Exatidão em \(\mathrm{coker}\, (\beta )\): A composição \(\overline{g'}\circ \overline{f'}\) será 0 pois \(g' \circ f' = 0\). Reciprocamente, seja \(n + \mathrm{im}\, \beta \in \ker \overline{g'}\). Então \(g'(n) \in \mathrm{im}\, \gamma \Rightarrow g'(n) = \gamma (p)\), para algum \(p \in P\). Escolha \(x \in N\) tal que \(g(x) = p\). Podemos substituir \(n\) por \(n - \beta (x)\) sem alterar o coset \(n + \mathrm{im}\, \beta \). Mas \(g'(n - \beta (x)) = g'(n) - g'(\beta (x)) = g'(n) - \gamma (g(x)) = g'(n) - \gamma (p) = 0\). Portanto, podemos assumir que \(g'(n) = 0\). Então \(n \in \ker g' = \mathrm{im}\, f'\), e assim \(n = f'(m)\), para algum \(m \in M'\). Logo, \(n + \mathrm{im}\, \beta = \overline{f'}(m + \mathrm{im}\, \alpha \)) e \(n + \mathrm{im}\, \beta \in \mathrm{im}\, \overline{f'}\).
Segue a exatidão da sequência.
Por fim, assuma que \(f\) é injetor. Como \(\overline{f} = f|_{\ker \alpha }\), então \(\overline{f}\) também é injetor. Agora, assuma que \(g'\) é sobrejetor. Dado \(p + \mathrm{im}\, \gamma \in \mathrm{coker}\, (\gamma )\), escreva \(p = g(n)\), para algum \(n \in N'\). Daí, \(p + \mathrm{im}\, \gamma = \overline{g'}(n + \mathrm{im}\, \beta )\) e segue a sobrejetividade de \(\overline{g'}\).
Considere o diagrama comutativo de \(R\)-módulos com linhas exatas: 
existe uma sequência exata
O termo “cobra”, no Lema da Cobra, vem do seguinte diagrama visual:
& & M rf dd[near start]α & N rg dd[near start]β & Prdd[near start]γ & 0 &
& & & & & [r, phantom, ""coordinate, name=Y] &
& [l, phantom, ""coordinate, name=Z] 0 r & M’ rf’ d & N’ rg’ d & P’ d & &
& & [from=uuuurr, "δ", crossing over, rounded corners, to path= – ([xshift=2ex].east) -| (Y) [near end]-| (Z) [near end]|- ([xshift=-2ex].west) – () ] coker (α)rf’ & coker (β) rg’ & coker (γ) & &
Lema de Mayer-Vietoris
um diagrama comutativo de \(R\)-módulos com linhas exatas. Se \(\gamma _n\) é um isomorfismo para todo \(n\in \mathbb {Z}\), então existe uma sequência exata A aplicação \(A_n \rightarrow A'_n\oplus B_n\) é definida por \(a\mapsto \left(\alpha _n(a),f_n(a)\right)\) e a aplicação \(A'_n\oplus B_n \rightarrow B'_n\) é definida por \((a',b)\mapsto f'_n(a') - \beta _n(b)\). Os detalhes é deixado para o leitor verificar.
Esse lema é bastante útil em Topologia Algébrica, como veremos no Capítulo 10.
7.8 Homologia Relativa
Um dos exemplos importantes de sequência exata longa em homologia surge quando consideramos um subcomplexo \((A',d_{A'})\) de um complexo de cadeias \((A,d)\). Relembre que nesse caso, podemos considerar o complexo quociente \((\overline{A}, \overline{d})\) dado por
para todo \(n\in \mathbb {Z}.\)
Os módulos de homologia do complexo quociente \((\overline{A}, \overline{d})\), i.e. \(H_{\ast }(\overline{A})=H_{\ast }(A/A')\), são chamados de módulos de homologia relativa do par \((A,A')\). Elementos de \(H_{n}(A/A')\) são representados por ciclos relativos, ou seja, \(n\)-cadeias \(a\in A_n\) tais que
Um ciclo relativo \(a\) é trivial em \(H_{n}(A/A')\) se, e somente se, \(a\) é um bordo relativo, i.e.
para algum \(b \in A_{n+1}\) e para algum \(a'\in A'_n\).
Os complexos de cadeias \((A',d_{A'})\) e \((A,d)\) formam uma sequência exata curta de complexos de cadeias
em que \(i\) é a inclusão e \(\pi \) a projeção. Pelo Lema do Zig-Zag (Teorema 7.7), existe uma sequência exata longa em homologia
chamada de sequência exata longa do par \((A,A')\).
No contexto de homologia relativa, podemos simplificar a fórmula para o homomorfismo de conexão \(\partial _\ast \). Para ver isso, denote por \(\langle \ \rangle \) uma classe de equivalência do quociente \(A/ A'\) e denotando por \([ \ ]\) uma classe de equivalência em homologia (como de costume). Se \(a\) é um \(n\)-ciclo relativo que representa uma classe de homologia em \(H_n(A / A')\), então \(d_n(a) \in A'_{n-1}\), como vimos acima, e obviamente \(d_n(a) \in Z_{n-1}(A')\), logo representa uma classe de homologia em \(H_{n-1}(A')\). Assim,
Em resumo,
7.9 Complexo de Cocadeias e Cohomologia
O funtor Hom nos permite dualizar o conceito de homologia, obtendo a teoria de cohomologia. Os módulos de cohomologia \(H^n (C) = \operatorname {Hom}(H_n (C),\bullet )\) satisfazem os mesmos axiomas da teoria de homologia. A principal diferença é que o funtor \(H_\ast \) é covariante, enquanto que o funtor \(H^\ast \) é contravariante, ou seja, as setas em um tem direções reversas no outro. A contravariância do funtor \(H^\ast \) nos permite definir uma estrutura adicional de anel nos módulos de cohomologia, isto é, um produto natural não trivial, chamado o produto cup, como veremos no Capítulo 13.
Um complexo de cocadeias \((A,\delta )\) é uma sequência de \(R\)-módulos e homomorfismos
tais que \(\delta ^{n+1}\circ \delta ^{n} = 0\), para todo \( n\in \mathbb {Z}\) (ou equivalentemente, \(\mathrm{im}\, \delta ^{n} \subseteq \ker \delta ^{n+1},\) para todo \( n \in \mathbb {Z}\)). A propriedade \(\delta ^{n+1}\circ \delta ^{n} = 0\), para todo \(n\in \mathbb {Z}\), também pode ser reescrita, suprimindo os subíndices, da seguinte maneira \(\delta \circ \delta = \delta ^2 = 0\).
Exemplos clássicos de complexos de cocadeias são o complexo de cocadeias singulares de um espaço topológico e o complexo de de Rham de uma variedade suave, abordados nos próximos capítulos.
Toda sequência exata \((A,d)\) de \(R\)-módulos é um complexo de cocadeias, já que \(\mathrm{im}\, d_{n+1} = \ker d_{n}\) (renomeando os índices).
munido de um homomorfismo de \(R\)-módulos \(\delta : A \rightarrow A\) que satisfaz \(\delta (A_n) \subseteq A_{n+1}\) e \(\delta \circ \delta =0\). Denotando a restrição de \(\delta \) a \(A_n\) por \(\delta ^n\), obtemos a sequência em (7.10).
Seja \((A,\delta )\) um complexo de cocadeias.
O homomorfismo \(\delta \) é chamado de operador de cobordo ou diferencial do complexo. O homomorfismo \(\delta ^n\) é chamado de \(n\)-ésimo operador de cobordo ou diferencial de dimensão \(n\).
Os elementos de \(A_n\) são chamados de \(n\)-cocadeias.
O kernel \(Z^{n}(A)\) do operador de cobordo \(\delta ^n : A_{n} \to A_{n+1}\), i.e., \(Z^{n}(A)\mathrel {\mathop:\! =}\ker \delta ^{n}\), é dito módulo dos \(n\)-cociclos. Um elemento de \(Z^{n}(A)\) é chamado de \(n\)-cociclo ou cociclo \(n\)-dimensional.
A imagem \(B^{n}(A)\) do operador de cobordo \(\partial ^{n-1} : A_{n-1} \to A_n\), i.e., \( B^{n}(A) \mathrel {\mathop:\! =}{\mathrm{im}\, } \delta ^{n-1}\), é dito módulo dos \(n\)-cobordos. Um elemento de \(B^{n}(A)\) é chamado de \(n\)-cobordo ou cobordo \(n\)-dimensional.
As noções e os fatos relativos à cohomologia são análogos àqueles que já estabelecidos para homologia, levando em conta apenas que o operador de cobordo \(\delta :A_n\rightarrow A_{n+1}\) aumenta a dimensão enquanto que o operador bordo \(d:A_n \rightarrow A_{n-1}\) diminui.
Dado um complexo de cocadeias \((A,\delta )\), como a diferencial \(\delta \) satisfaz \(\delta ^2=0\), temos que todo \(n\)-cobordo é um \(n\)-cociclo, daí,
para todo \(n\in \mathbb {Z}\). Logo, o módulo quociente \(Z^n(A)/B^n(A)\) está bem definido. Esse fato possibilita a definição dos módulos de cohomologia associados a um complexo de cocadeia.
Seja \((A,\delta )\) um complexo de cocadeias de \(R\)-módulos. O \(n\)-ésimo módulo de cohomologia \(H^{n}(A)\) de \((A,\delta )\), com coeficientes em \(R\), é definido por
para cada \(n\in \mathbb {Z}\). A soma direta
é chamada de cohomologia de \((A,\delta )\). Os elementos de \(H^n(A)\) são as classes de cohomologia
dos cociclos \(z\in Z_n(A)\). Se \(z\) e \(z'\) são \(n\)-cociclos, temos que \([z]=[z']\) se, e somente se, \(z'-z =\delta ^{n-1}(x)\), para algum \(x\in A_{n-1}\). Nesse caso, dizemos que \(z\) e \(z'\) são cociclos cohomólogos.
Dados \((A,\delta )\) e \((B,\delta ')\) complexos de cocadeias, um aplicação de cocadeias \(f:A\rightarrow B\) é uma sequência de homomorfismos \(f^{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}\), com \(n \in \mathbb {Z}\), tal que o seguinte diagrama comute: 
ou seja, \(f^{n+1}\circ \delta ^n = (\delta ') ^n\circ f^n\), para todo \(n\in \mathbb {Z}\). Em outras palavras, uma aplicação de cocadeias é um morfismo graduado \( f : A \rightarrow B\) de grau zero tal que \(f \circ \delta = \delta ' \circ f\).
Sejam \((A,\delta )\) e \((B,\delta ')\) complexos de cocadeias. Se \(f:A\rightarrow B\) é uma aplicação de cocadeias, então \(f\) induz um homomorfismo graduado \(f^\ast =\{ f^{\ast ,n}\} _{n\in \mathbb {Z}}\) de grau zero entre os módulos de cohomologia de \((A,\delta )\) e \((B,\delta ')\)
definido por \(f^{\ast ,n}([x]_A) \mathrel {\mathop:\! =}[f^n(x)]_B \) e chamado de homomorfismo induzido por \(f\). Portanto, temos um homomorfismo entre as cohomologias \(f^\ast : H^\ast (A) \longrightarrow H^\ast (B)\).
Análoga à demonstração da Proposição 7.5.
Sejam \((A,\delta _A)\) e \((B,\delta _B)\) complexos de cocadeias e \(f,g:A\rightarrow B\) aplicações de cocadeias. Uma homotopia de cocadeias entre \(f\) e \(g\) é uma sequência de homomorfismos de \(R\)-módulos \(h=\{ h^n\} _{n\in \mathbb {Z}}\) com \(h^n:A_n\rightarrow B_{n-1}\) tal que
Nesse caso, dizemos que \(f\) e \(g\) são homotópicas e denotamos por \(f \simeq g\). Esquematicamente, temos o diagrama (não comutativo) 
Suprimindo os subíndices, \(h\) é uma homotopia de cadeias entre \(f\) e \(g\), se
Sejam \(f,g:A\rightarrow B\) aplicações de cocadeias entre os complexos de cocadeias \((A,\delta _A)\) e \((B,\delta _B)\). Se \(f\) e \(g\) são homotópicas, então os homomorfismos induzidos em cohomologia coincidem, i.e. \(f^\ast = g^*\).
Análoga à demonstração da Proposição 7.6.
Como já é de se esperar, temos a versão do Lema do Zig-Zag para cohomologia.
Lema do Zig-Zag. Seja \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) uma sequência exata curta de complexos de cocadeias \((A,\delta _A)\), \((B,\delta _B)\) e \((C,\delta _C)\). Então, existe um homomorfismo graduado \(\delta ^{\ast ,n}:H^{n}(C) \rightarrow H^{n+1}(A)\), para cada \(n\in \mathbb {Z}\), de modo que a sequência abaixo é exata. 
A demonstração segue os mesmo passos feito na demonstração do Lema do Zig-Zag para homologia (Teorema 7.7).
Cohomologia de um complexo de cadeias
Dado um complexo de cadeias \(\mathcal{A}=\left(A_n, d_n\right)\), formado por \(R\)-módulos, podemos construir um complexo de cocadeias, como descrito a seguir. Para cada \(n\in \mathbb {Z}\), tome
o módulo dual de \(A_n\), cujos elementos são os homomorfismos \(u: A_n \rightarrow R\). O operador de cobordo \(\delta =\delta ^n: C_n \rightarrow C_{n+1}\) é o adjunto do operador de bordo \(d_{n+1}: A_{n+1} \rightarrow A_n\). Mais especificamente, se \(f \in C_n\), então \(\delta ^n( f) \in C_{n+1}\) é o homomorfismo de \(R\)-módulos definido por 
para toda cadeia \(x \in A_{n+1}\). Logo, obtemos o complexo de cocadeias \(\mathcal{C}^*=\left(C_n, \delta ^n\right)\), cujos grupos de cohomologia \(H^n(\mathcal{C^*})\) são chamados os grupos de cohomologia do complexo de cadeias \(\mathcal{A}\).
Se escrevermos \(\langle g, y \rangle =g(y)\) para a avaliação da \(n\)-cocadeia \(g\in C_n\) na \(n\)-cadeia \(y\in A_n\), temos:
ou seja, definimos \(\delta ^{n}\) como a transformação adjunta de \(d_{n+1}\). Pela construção anterior, dado um complexo de cadeias de \(R\)-módulos
dualizamos esse complexo aplicando o funtor \(\operatorname {Hom}_R(\bullet , R)\), obtendo assim o complexo de cocadeias
em que \(C_n = \operatorname {Hom}_R(A_n;R)\) e \(\delta ^n = \operatorname {Hom}_R(d_{n+1};R)\), para todo \(n\in \mathbb {Z}\).
Uma forma mais visual para esta dualizada é obtida escrevendo o complexo de cadeias da seguinte forma:
daí a sequência dual é
em que \(\delta ^n = \operatorname {Hom}_R(d_{n+1},R)\), para to \(n\in \mathbb {Z}\).
Funtorialidade
A cohomologia \(H^n\) é um funtor!
Dado um anel associativo com unidade \(R\), a coleção de complexos de cocadeias de \(R\)-módulos e aplicações de cocadeias entre eles forma uma categoria, a categoria de complexos de cocadeias de \(R\)-módulos, denotada por \(\mathbf{{}_R{CompCo}}\), que tem como objetos os complexos de cocadeias e como morfismos as aplicações de cocadeias.
Para cada \(n\in \mathbb {Z}\), a cohomologia \(H^n\) pode ser vista como um funtor covariante da categoria de complexos de cocadeias na categoria de \(R\)-módulos à esquerda,
definido da seguinte forma:
para cada \((A,d) \in \operatorname {ob}(\mathbf{{}_R{CompCo}}) \), temos \(=H^n(A) = \dfrac {\ker \delta ^n}{\mathrm{im}\, \delta ^{n-1}}\);
para cada aplicação de cocadeias \(f:A\rightarrow B\), temos \(H^n(f): H^{n}(A) \rightarrow H^{n}(B)\) dado por
\begin{align*} z + B^{n}(A) \longmapsto f^{n}(z) + B^{n}(B). \end{align*}ou seja, \(H^{n}(f)\) é o \(n\)-ésimo homomorfismo induzido por \(f\), \(f^{\ast ,n}\).
Observamos que, nesse contexto, a cohomologia é um funtor covariante, a cohomologia será um funtor contravariante a partir dos espaços topológicos, pois as cocadeias formarão um funtor contravariante.
Sejam \(A, B, C\) três \(R\)-módulos. Mostre as seguintes afirmações: Se \(A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \) é exata com \(f\) epimorfismo e \(g\) monomorfismo, então \(B=0\). Seja \(A_1 \xrightarrow []{f} A_2 \xrightarrow []{} A_3 \xrightarrow []{g} A_4\) uma sequência exata de \(R\)-módulos. Mostre que \(f\) é um epimorfismo se, e somente se, \(g\) é um monomorfismo. Seja \(A_1 \xrightarrow []{f} A_2 \xrightarrow []{} A_3 \xrightarrow []{g} A_4\xrightarrow []{g} A_5\) uma sequência exata de \(R\)-módulos. Mostre que se \(f\) é um epimorfismo e \(g\) é um monomorfismo, então \(A_3=0\). Dado um homomorfismo \(f:M\rightarrow N\) de \(R\)-módulos, mostre que existe uma sequência exata da forma: Seja \(M\) um \(R\)-módulo fixado. Seja \(0\rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0 \) uma sequência exata curta de \(R\)-módulos. Assuma que essa sequência cinde. é uma sequência exata cindida. é uma sequência exata cindida. Vamos demonstrar a afirmação sobre a primeira sequência, sendo a segunda similar. Para mostrar que a primeira sequência é exata, basta pela Proposição 7.3 mostrar, usando o fato de que a sequência exata curta original cinde, que \(Fg\) é sobrejetora. Suponha então que \(\phi ^{\prime \prime } \in \operatorname {Hom}_R\left(M, C\right)\) e seja \(\bar{g}\) um morfismo de cisão associado a \(g\). Considere a aplicação \(\phi =\bar{g} \circ \phi ^{\prime \prime }\). Claramente, \(\phi \in \operatorname {Hom}_R(M,B)\) e e assim \(Fg\) é de fato sobrejetora. Que a primeira sequência agora cinde segue do fato de que \(g \circ \bar{g}=\operatorname {\operatorname {id}}_{C}\); pois temos \(Gg \circ G\bar{g}=G(g \circ \bar{g})=G\left( \operatorname {\operatorname {id}}_{C}\right)= \operatorname {\operatorname {id}}\) onde a última aplicação identidade está em \(\operatorname {Hom}_R\left(M, C\right)\). Sejam \(M\) um \(R\)-módulo fixado e \(0\rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0 \) uma sequência exata curta de \(R\)-módulos. Se \(C\) é um \(R\)-módulo livre, então são sequências exatas cindidas. Seja \(A_{\ast } = (A_n,d_n)_{n\in \mathbb {Z}}\) um complexo de cadeias de \(R\)-módulos e homomorfimos. Mostre as afirmações a seguir. é um complexo de cadeias. Observe que nessa sequência os índices não decrescem, para escrever tal sequência no formato padrão, podemos definir \(B_{-n}= F(A_n)\) e \( D_{-n+1} = F_{d_n}\). Com essa convenção, a sequência fica: Sejam \(A\) e \(B\) complexos de cadeias de \(R\)-módulos e \(f,g :A\rightarrow B\) aplicações de cadeias homotópicas. Se \(F:\mathbf{{}_RMod}\rightarrow \mathbf{{}_RMod}\) é um functor aditivo, então \(Ff, Fg: FA\rightarrow FB\) são homotópicas. Seja \(A_{\ast } = (A_n,d_n)_{n\in \mathbb {Z}}\) um complexo de cadeias de \(R\)-módulos e homomorfimos. em que \(F(A_{\ast })\) é o complexo definido no Exercício 79. em que \(F(A_{\ast })\) é o complexo definido no Exercício 79. Mostre que um complexo de cadeias \( (A,d)\) de \(R\)-módulos é uma sequência exata se, e somente se, \(H_{n}(A) = 0\), para todo \(n\in \mathbb {Z}\). Considere o \(\mathbb {Z}/8\mathbb {Z}\)-módulo graduado e o homomorfismo graduado Sejam \((A,d)\) e \((B,d')\) complexos de cadeias de \(R\)-módulos. Seja \(f=\{ f_i\} _{n\in \mathbb {Z}}: A\rightarrow B\) uma aplicação de cadeias. Mostre as afirmações abaixo. Dada uma sequência \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) de complexos de cadeias, mostre que essa sequência é exata em \(B\) se, e somente se, os complexos \(\mathrm{im}\, f \) e \( \ker g\) coincidem, i.e. \(\mathrm{im}\, f= \ker g\). (Lema dos Cinco) Considere o seguinte diagrama comutativo de módulos: Seja \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B \xrightarrow []{g} C \rightarrow 0\) uma sequência exata curta de complexos de cadeias \((A,d_A)\), \((B,d_B)\) e \((C,d_C)\). Mostre que se \((A,d_A)\) e \((C,d_C)\) são acíclicos, então \((B,d_B)\) também é acíclico. (Lema \(3\times 3\)) Seja Seja
Se \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B \) é exata, então \(f\) é um monomorfismo.
Se \( B \xrightarrow []{g} C \) é exata, então \(g\) é um epimorfismo.
Se \(0 \rightarrow A \xrightarrow []{f} B \rightarrow 0\) é exata, então \(f\) é um isomorfismo. Ver solução
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Mostre que
Mostre que Ver solução
Se \(F\) é um funtor (covariante) então \(F(A_{\ast }) = (F(A_n), F(d_n))_{n\in \mathbb {Z}}\) é um complexo de cadeias. (Em particular, se \(A_{\ast }\) é uma sequência exata, então \(F(A_{\ast })\) é um complexo de cadeias, não necessariamente exato.)
Se \(F\) é um funtor contravariante então Ver solução
Seja \(F:\mathbf{{}_RMod}\rightarrow \mathbf{{}_RMod}\) um funtor (covariante) exato. Prove que
Seja \(F:\mathbf{{}_RMod}\rightarrow \mathbf{{}_RMod}\) um funtor contravariante exato. Prove que Ver solução
Mostre que \((A_n,d_n)\) é um complexo de cadeias de \(\mathbb {Z}/8\mathbb {Z}\)-módulos.
Calcule os módulos de homologia de \((A_n,d_n)\). Ver solução
o kernel de \(f\) é um subcomplexo de \((A,d)\) definido por \((\ker f_n,\partial _n)_{n\in \mathbb {Z}}\), em que \(\partial _n = d_n|_{\ker f_n}\);
a imagem de \(f\) é um subcomplexo de \((B,d')\) definido por \((\mathrm{im}\, f_n, \partial '_n)_{n\in \mathbb {Z}}\), em que \(\partial '_n = d'_n|_{\mathrm{im}\, f_n}\); 
Prove que se as linhas são exatas, \(m\) e \(p\) são isomorfismos, \(l\) é um epimorfismo e \(q\) é um monomorfismo, então \(n\) também é um isomorfismo. Ver solução
Um diagrama comutativo de \(R\)-módulos com colunas exatas.
Mostre que se as duas primeiras linhas são exatas, então a terceira linha é exata;
Mostre que se as duas últimas linhas são exatas, então a primeira linha é exata;
Mostre que se a primeira e a terceira linhas são exatas e \(g\circ f = 0\), então a segunda linha é exata. Ver solução
um complexo. Defina \(\widetilde{C}_n=C_n \oplus C_{n+1}\) e defina \(\widetilde{\partial }_n: \widetilde{C}_n \rightarrow \widetilde{C}_{n-1}\) pela fórmula \(\widetilde{\partial }_n\left(c, c^{\prime }\right)=\left(\partial _n c, \partial _{n+1} c^{\prime }+(-1 )^n c\right), c \in C_n, c^{\prime } \in C_{n+1}\). Prove que 
é um complexo e que a homologia deste complexo é trivial \(\left(\widetilde{H}_n=0 \text{ para todo }n \right)\).