Parte

Teoria de Homologia

Capítulo 5

Motivação

Voltamos à uma variante do problema com o qual iniciamos o estudo dos grupos fundamentais. Sejam $ \mathbb {S}^{2} $ a esfera bidimensional, $ \mathbb {T}^2$ o toro bidimensional e $ \mathbb {T}^2\# \mathbb {T}^2$ o bitoro bidimensional, representados na Figura 5.1.

Os grupos fundamentais desses espaços não são isomorfos e assim temos que estes espaços não são homeomorfos.

Porém, uma resposta mais intuitiva baseia-se na nossa intuição que estes espaços não são homeomorfos uma vez que que o toro $ \mathbb {T}^2 $ “possui um buraco”, o bitoro $\mathbb {T}^2\# \mathbb {T}^2$ “possui dois buracos”, enquanto que a esfera $ \mathbb {S}^2 $ não “possui buracos”. Nessas notas, iremos construir a partir dessa vaga ideia de buracos uma nova estrutura algébrica, os grupos de homologia, que nos permitirá mostrar a não existência de tais homeomorfismos. ¹

Novamente ressaltamos que a estratégia de associar e utilizar ferramentas da álgebra abstrata para estudar espaços topológicos é a origem da Topologia Algébrica. O objetivo básico é encontrar invariantes algébricos que diferenciem, e em alguns casos classifiquem, os espaços topológicos a menos de homeomorfismo ou equivalência homotópica. Assim, a Topologia Algébrica consiste essencialmente em encontrar “traduções” (funtores) interessantes da categoria de espaços topológicos para uma categoria de estruturas algébricas. Desta maneira, podemos traduzir problemas topológicos em problemas algébricos, esperando que a versão algébrica seja mais simples.

Começaremos com alguns exemplos que ilustram o caminho que pretendemos percorrer.

Na Figura 5.2a, apresentamos um grafo com três vértices $x,y$ e $z$ e cinco arestas $a,b,c,d$ e $e$. Na Figura 5.2b, colamos a célula $A$ (um disco) nas arestas $a$ e $d$; na Figura 5.2c, colamos a célula $B$ nas arestas $b$ e $e$; e finalmente na Figura 5.2d, colamos mais uma célula $C$ nas arestas $b$ e $e$.

O que acontece intuitivamente com o número de buracos conforme realizamos a construção de colagem? Intuitivamente, a Figura 5.2a possui três buracos, a Figura 5.2b possui dois buracos, já que a colagem da célula $A$ fechou um dos buracos. De modo análogo, a Figura 5.2c possui um buraco, e finalmente na Figura 5.2d temos algo diferente: além dos buracos delimitados pelas arestas $a,b,c$ temos um outro tipo de buraco delimitado pelas células $B$ e $C$.

Antes de prosseguirmos vale a pena observar que o grupo fundamental consegue distinguir os espaços apresentados nas Figuras 5.2a, 5.2b e 5.2c, porém não é capaz de distinguir as Figuras 5.2c e 5.2d.

(a) G_1 (b) G_2 (c) G_3 (d) G_4 Figura 5.2 — (a) $G_1$

Vamos analisar cada uma dessas figuras e ver como podemos começar a transformar essas intuições em uma teoria matemática.

Análise de $G_1$:

Começaremos orientando as arestas de $G_1$ como na Figura 5.3 e consideramos os laços formados por sequências de arestas, começando e terminando no mesmo ponto. Por exemplo, a partir do ponto $x$, o loop $be^{-1}$ viaja para frente ao longo da aresta $b$, então para trás ao longo de $e$, o que é indicado pelo expoente $-1$.

Queremos que a estrutura dos ciclos seja abeliana e assim, por exemplo, o dois laços $abc$ e $cab$ devem ser considerados iguais. Os laços $abc$ e $cab$ representam o mesmo ciclo, apenas com escolhas de ponto inicial e final diferentes. A mesma coisa acontece para um loop qualquer: escolher outro ponto inicial em um loop apenas permuta suas letras ciclicamente.

Estando numa estrutura abeliana, vamos mudar para a notação aditiva, de modo que os ciclos se tornem combinações lineares de arestas com coeficientes inteiros, como $e-3c-2b$. Um preço dessa escolha é que $a+c+b$, que não possui uma interpretação geométrica imediata, representa o mesmo ciclo que $a+b+c$.

Vamos chamar qualquer combinação de arestas de cadeias. E as cadeias que possam ser decompostas como combinação linear de caminhos fechados de ciclos.

Nesse exemplo, as cadeias são da forma $k_1a+k_2b+k_3c+k_4d+k_5e$. E os ciclos são combinações de $e-b$, $a+b+c$ e $d-a$, i.e.

\[ k(e-b)+l(a+b+c)+m(d-a) \ . \]

Com uma pequena manipulação algébrica, podemos reescrever essa condição como

\[ a (l-m)+b (l-k)+c l+d m+e k \ . \]

E fazendo as substituições $l-m=k_1,l-k=k_2$ e $k=k_5$, obtemos que os ciclos são as cadeias da forma:

\[ k_1 a+ k_2 b+ (k_2+k_5)c+ (-k_1+k_2+k_5) d+ k_5 e \ . \]

Um modo mais algébrico de ver que uma cadeia $k_1a+k_2b+k_3c+k_4d+k_5e$ representa um ciclo é garantindo que o número de vezes que a cadeia “entra” em cada vértice é igual ao mesmo número de vezes que “sai” desse vértice:

\begin{align*} \text{vértice } x: & \qquad k_1-k_2+k_4-k_5=0 \\ \text{vértice } y: & \qquad k_2-k_3+k_5=0 \\ \text{vértice } z: & \qquad -k_1+k_3-k_4=0 \end{align*}

Cuja solução é $k_3=k_2+k_5$ e $k_4=-k_1+k_2+k_5$ e novamente obtemos que os ciclos são da forma:

\begin{align} k_1 a+ k_2 b+ (k_2+k_5)c+ (-k_1+k_2+k_5) d+ k_5 e \ . \label{eq:mot2} \tag{5.1} \end{align}

Compreendido isso, podemos fazer esses mesmos cálculos de uma forma mais geral e que leve aos grupos de homologia.

Para isso, definimos $C_1$ o grupo das cadeias de arestas, i.e., o grupo abeliano livremente gerado pelas arestas:

\[ C_1=\langle a,b,c,d,e\rangle \, \]

e $C_0$ o grupo das cadeias de pontos, i.e., o grupo abeliano livremente gerado pelos pontos:

\[ C_0=\langle x,y,z \rangle . \]

Agora, definimos o operador bordo $\partial _1$ como sendo um homomorfismo de $C_1$ a $C_0$ que associa a cada aresta o seu ponto final menos o ponto inicial. E, de posse desse operador, temos um modo algébrico simples de garantir que o número de vezes que a cadeia “entra” em cada vértice é igual ao mesmo número de vezes que “sai” desse vértice. Vejamos:

\begin{align*} & \partial _1(k_1a+k_2b+k_3c+k_4d+k_5e) \nonumber \\ & =k_1\partial _1(a)+k_2\partial (b)+k_3\partial (c)+k_4\partial (d)+k_5\partial (e) \nonumber \\ & =k_1(x-z)+k_2(y-x)+k_3(z-y)+k_4(x-z)+k_5(y-x) \nonumber \\ & =\left(k_1-k_2+k_4-k_5\right) x+\left(k_2-k_3+k_5\right) y+\left(-k_1+k_3-k_4\right) z \ . \end{align*}

Resumo:

Temos algumas conclusões importantes aqui. A primeira é que os ciclos são dados pelo kernel do operador bordo $\partial _1$, $\ker \partial _1$. Também é fácil ver que $e-b$, $a+b+c$, e $d-a$ formam uma base para o kernel. E, dessa forma, temos que o espaço $G_1$ possui $3$ buracos unidimensionais.

Análise de $G_2$:

Começaremos orientando as arestas de $G_2$ como na Figura 5.4. E definimos $C_2$ o grupo das cadeias das células bidimensionais, i.e., o grupo abeliano livremente gerado por $A$:

\[ C_2=\langle A \rangle , \]

$C_1$ o grupo das cadeias de arestas, i.e., o grupo abeliano livremente gerado pelas arestas:

\[ C_1=\langle a,b,c,d,e \rangle \ , \]

e $C_0$ o grupo das cadeias de pontos, i.e., o grupo abeliano livremente gerado pelos pontos:

\[ C_0=\langle x,y,z \rangle . \]

Definimos o operador bordo $\partial _2:C_2 \to C_1$ por $\partial _2(A)= a-d$. Já o operador bordo $\partial _1:C_1 \to C_0$ é definido como anteriormente. Por completude, podemos definir também o bordo de um ponto como sendo $0$, e assim temos também o operador $\partial _0:C_0 \to 0$, dado por $\partial _0(x)=\partial _0(y)=\partial _0(z)=0$.

Assim, temos a sequência de grupos e homomorfismos: Ilustração: Motivação Observamos que $\mathrm{im}\, \partial _2=\langle a-d \rangle $. E que o ciclo $a-d$ foi “fechado” pela inclusão da célula $A$. Em outras palavras, ele não é mais um furo em $G_2$. Isso sugere que façamos o quociente do grupo de ciclos, obtidos no exemplo anterior, pelo subgrupo gerado por $a - d$, ou seja, $\ker \partial _1/\mathrm{im}\, \partial _2$. Isso nos leva a definição do grupo de homologia

\[ H_1(G_2)=\dfrac {\ker \partial _1}{\mathrm{im}\, \partial _2} \]

Nesse caso específico, temos que:

\[ C_2\cong \mathbb {Z}\qquad C_1 \cong \mathbb {Z}^5 \qquad C_0 \cong \mathbb {Z}^3 \]

e como $e-b$, $a+b+c$, e $d-a$ forma uma base para $\ker \partial _1 $, $a-d$ é uma base para $\mathrm{im}\, \partial _2$, temos que

\[ H_1(G_2)=\dfrac {\ker \partial _1}{\mathrm{im}\, \partial _2} \cong \mathbb {Z}^2 . \]

Este resultado pode ser interpretado de maneira intuitiva como $G_2$ possui dois buracos $1$-dimensionais.

Finalmente, em função dos geradores escolhidos, podemos escrever a sequência de grupos de cadeias como: Ilustração: Motivação

Motivado pela definição de $H_1$, podemos definir

\[ H_0(G_2)=\dfrac {\ker \partial _0}{\mathrm{im}\, \partial _1}. \]

Nesse caso, como $\ker \partial _0$ são todos os pontos, ao quocientarmos por $\mathrm{im}\, \partial _1$ estamos quocientando pela relação de equivalência que $x \approx y $ se $x-y$ é o bordo de um caminho, ou seja, estamos colocando dois pontos na mesma classe se eles estão conectados por um caminho. Dessa forma, $H_0(G_2)$ nos fornece o número de componentes conexas por caminhos.

Nesse exemplo, $\ker \partial _0 =\langle x,y,z\rangle $ e $\mathrm{im}\, \partial _1 =\langle x-z,z-y,y-x\rangle $, logo

\[ H_0(G_2)=\dfrac {\ker \partial _0}{\mathrm{im}\, \partial _1} \cong \mathbb {Z}. \]

Análise de $G_3$:

A análise de $G_3$ não é muito diferente da análise de $G_2$. Nesse caso, o operador bordo $\partial _2:C_2 \to C_1$ é dado por $\partial _2(A)= a-d$ e $\partial _2(B)= b-e$. Como $e-b$, $a+b+c$, e $d-a$ formam uma base para $\ker \partial _1 $ e como $a-d$ e $b-e$ formam uma base para $\mathrm{im}\, \partial _2$, temos que

\[ H_1(G_2)=\dfrac {\ker \partial _1}{\mathrm{im}\, \partial _2} \cong \mathbb {Z}. \]

O que pode ser interpretado de maneira intuitiva como $G_3$ possui um buraco $1$-dimensional.

Análise de $G_4$:

Nesse caso, temos três 2-células e $\partial _2:C_2 \to C_1$ é dado por $\partial _2(A)= a-d$ e $\partial _2(B)=\partial _2(C)= b-e$. E como $e-b$, $a+b+c$, e $d-a$ formam uma base para $\ker \partial _1 $ e como $a-d$ e $b-e$ formam uma base para $\mathrm{im}\, \partial _2$. temos que

\[ H_1(G_4)=\dfrac {\ker \partial _1}{\mathrm{im}\, \partial _2} \cong \mathbb {Z}. \]

O que pode ser interpretado de maneira intuitiva como $G_4$ possui um buraco $1$-dimensional.

Nada novo até aqui! Como não temos nenhuma célula tridimensional podemos completar nossa sequência de grupos de cadeias do seguinte modo: Ilustração: Motivação e definirmos o grupo de homologia

\[ H_2(G_4)=\dfrac {\ker \partial _2}{\mathrm{im}\, \partial _3} . \]

Nesse caso, podemos ver a cadeia $B - C$ como um ciclo 2-dimensional gerando o grupo de homologia $H_2(G_4) = \ker \partial _2 \cong \mathbb {Z}$ . Topologicamente, o ciclo $B - C$ é a esfera formada pelas células $B$ e $C$ juntas com seu círculo limite comum. Este ciclo esférico detecta a presença de um "buraco bidimensional" em $G_4$, a região delimitada pela esfera.

[1pt]	\multicolumn{3}{c}{Grupos de Homologia }
\cmidrule(lr){2-4} \text{Espaços}	$\quad H_0 \quad$	$H_1$	$H_2$
$G_1$	1	3	0
$G_2$	1	2	0
$G_3$	1	1	0
$G_4$	1	1	1
[1pt]

Tabela 5.1 Homologias dos espaços $G_i$’s.

5.1 O que faremos nos próximos capítulos

Deve estar claro que um padrão emerge dos exemplos abordados na seção anterior. Para um espaço $X$ associamos um complexo de cadeias $C_n (X)$ que são grupos abelianos livres com base nas $n$-células de $X$, e homomorfismos de bordo $\partial _n : C_n (X) \to C_{n-1} (X) $, em termos dos quais definimos o grupo de homologia

\[ H_n (X) = \frac{\ker \partial _n}{\mathrm{im}\, \partial _{n+1 }}. \]

No Capítulo 6, apresentamos uma breve introdução à Teoria de Categorias. Categorias são uma forma de generalizar e sistematizar a noção de estruturas matemáticas e de transformações que preservam essas estruturas. Os conceitos e a linguagem categórica permeiam todo o texto. Nesse contexto, os grupos de homologia $H_n(\mathbb {\bullet })$ serão uma função que associa a cada espaço topológico um grupo abeliano. Aqui, temos uma função (um funtor) entre duas estruturas matemáticas distintas (duas categorias). E a Teoria de Categorias fornece uma linguagem natural para formular e lidar com teorias envolvendo múltiplas estruturas matemáticas.

No Capítulo 7, apresentamos resultados de Álgebra Homológica que serão necessários ao desenvolvimento da homologia. Um conceito central desse capítulo é o de complexos de cadeias, e associado a estes a homologia e a cohomologia dos complexos de cadeias. A Álgebra Homológica fornece os meios para extrair as informações contidas nesses complexos e apresentá-las na forma de invariantes.

No Capítulo 8, vamos apresentar diferentes estruturas em espaços topológicos: as variedades, os complexos simpliciais, os $\Delta $-complexos e os CW-complexos. As variedades são espaços cuja topologia é localmente similar a de um espaço euclidiano $\mathbb {R}^n$ e dispensam maiores apresentações. E grosseiramente, os complexos simpliciais, os $\Delta $-complexos e os CW-complexos são espaços topológicos munidos de uma estrutura combinatória proveniente de como esses espaços são construídos a partir da colagem de subconjuntos de $\mathbb {R}^n$. Essa estrutura combinatória varia dependendo de como as colagens se dão e desempenham um papel fundamental na interconexão entre os espaços e as teorias homológicas.

Nos Capítulos 9 e 10, desenvolvemos as teorias de Homologia Simplicial para um $\Delta $-complexo e a Homologia Singular para espaços topológicos. A Homologia Simplicial serve como um protótipo para a Homologia Singular ao possuir uma descrição geométrica concreta e intuitiva e ao ser mais fácil de definir e calcular. Em contrapartida, a construção da Homologia Singular é mais abstrata, mas, como veremos, em muitos casos é mais fácil e direto demonstrar os resultados usando homologia singular, pois por construção esta teoria é naturalmente mais compatível com as ideias topológicas. No final do Capítulo 10, provaremos a equivalência dessas teorias para $\Delta $-complexos.

No Capítulo 11, apresentaremos diversas aplicações da Teoria de Homologia. Dentre as aplicações estão: o Teorema da Curva de Jordan, O Teorema da Invariância de Domínio e de Dimensão, o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, o Teorema Fundamental da Álgebra e o Teorema de Borsuk-Ulam. E apresentamos a homologia celular $H_{p}^{\operatorname {cw}}(X;R)$. Como veremos a homologia celular concorda com a homologia singular se $X$ é um CW-complexo. E em muitos casos práticos, o número de $p$-células é pequeno e dessa forma o complexo celular $C_{*}^{\operatorname {cw}}(X;R)$ é muito mais tratável do que o complexo singular $S_{*}(X;R)$.

E no Capítulo 13, apresentamos a Teoria de Cohomologia Singular. A cohomologia é uma variante algébrica da homologia, resultante do processo de dualização. O que é um pouco surpreendente é que a contravariância leva a uma estrutura extra na cohomologia: um produto natural denominado produto cup, que tornam os grupos de cohomologia um anel.

Exercício 5.1

Calcule os grupos de homologia para a figura do oito e sua divisão em células conforme apresentado na Figura 5.7

Exercício 5.2

Calcule os grupos de homologia $H_i(X)$, com $i=0,1,2$, para os seguintes espaços $X$:
a superfície do tetraedro representado na Figura 5.8a;
o tetraedro sólido;
o grafo obtido pelas arestas do tetraedro na Figura 5.8b.

(a) Tetraedro (b) Grafo das arestas do tetraedro Figura 5.8 — (a) Tetraedro

Exercício 5.3

Considere o círculo e o cilindro com suas divisões em células conforme apresentados na Figura 5.9. Calcule os grupos de homologia $H_i(X)$, com $i=0,1,2$, para esses espaços.

Exercício 5.4

Considere cilindro perfurado e sua divisão em células conforme apresentado na Figura 5.10. Calcule os grupos de homologia $H_i(X)$, com $i=0,1,2$, quando:
$X$ é a casca deste cilindro perfurado;
$X$ é o cilindro perfurado sólido.

Motivação

Análise de \(G_1\):

Resumo:

Análise de \(G_2\):

Análise de \(G_3\):

Análise de \(G_4\):

5.1 O que faremos nos próximos capítulos