Capítulo 6

Noções básicas de Teoria de Categorias*

Sejam $ \mathbb {T}^2$ o toro bidimensional e $ \mathbb {X}$ a xícara de café, representados na Figura 6.1.

O toro e a xícara são exemplos de espaços topológicos e, como veremos, podemos associar a cada um destes espaços seus grupos de homologia $H_*(\mathbb {T}^2)$ e $H_*(\mathbb {X})$, respectivamente. Nesse contexto, o primeiro grupo de homologia $H_1(\mathbb {\bullet })$ será uma função que associa a cada espaço topológico um grupo abeliano. Aqui temos uma função (um funtor) entre duas estruturas matemáticas distintas (duas categorias). Uma expectativa natural é que, como o toro e a xícara são espaços homeomorfos, seus grupos de homologia sejam isomorfos. Ou seja, que os grupos de homologia sejam realmente invariantes topológicos.

A breve introdução à teoria de categorias que apresentamos a seguir nos fornecerá a linguagem natural para formular e lidar com tais questões.

Categoria é uma forma de generalizar e sistematizar a noção de estruturas matemáticas e de transformações que preservam essas estruturas. Assim, uma categoria é uma coleção de objetos e aplicações entre esses objetos, denominados morfismos.

Exemplos típicos do que “objetos” podem ser são espaço vetorial, grupo e espaço topológico; e exemplos típicos do que “morfismo” pode significar são transformação linear, “homomorfismo” e “função contínua”, respectivamente.

Categorias são objetos matemáticos, e com isso em mente, não é surpreendente que haja uma boa noção de aplicação entre categorias. Tais aplicações são chamadas de funtores. Mais surpreendente, talvez, seja a existência de um terceiro nível: podemos falar sobre aplicações entre funtores, que são chamadas de transformações naturais.

6.1 Categorias

Uma categoria $\mathscr {C}$ consiste em:

uma coleção $\operatorname {ob}(\mathscr {C})$ de objetos;
para cada $A, B \in \operatorname {ob}(\mathscr {C})$, uma coleção $\operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, B)$ de morfismos ou flechas de $A$ para $B$;
para cada $A, B, C \in \operatorname {ob}(\mathscr {C})$, uma função

\[ \begin{array}{ccc} \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(B, C) \times \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, B) & \to & \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, C) \\ (g, f) & \mapsto & g \mathbin {\circ }f,\end{array} \]

denominada composição;
para cada $A \in \operatorname {ob}(\mathscr {C})$, um elemento $ 1_A$ de $\operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, A)$, chamado identidade;

satisfazendo os seguintes axiomas:

associatividade: para cada $f \in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, B)$, $g \in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(B, C)$ e $h \in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(C, D)$, temos $(h \mathbin {\circ }g) \mathbin {\circ }f = h \mathbin {\circ }(g \mathbin {\circ }f)$;
elemento neutro: para cada $f \in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, B)$, temos $f \mathbin {\circ }1_A = f = 1_B \mathbin {\circ }f$.

Muitas vezes escrevemos:

$A \in \cat{C}$	significando	$A \in \ob(\cat{C})$;
$f\from A\to B$ ou $A \toby{f} B$	significando	$f \in \Mor_{\cat{C}}(A,B)$;
$gf$	significando	$g \of f$.

A partir da definição de categoria, temos que para cada sequência

\[ A_0 \stackrel{f_1}{\longrightarrow } A_1 \stackrel{f_2}{\longrightarrow } \ \cdots \stackrel{f_n}{\longrightarrow } A_n \]

de morfismos em $\mathscr {C}$, é possível construir exatamente um morfismo

\[ A_0 \to A_n \]

obtido da composição: $f_n f_{n - 1} \cdots f_1 $.

Usaremos frequentemente o conceito de diagrama comutativo. Por exemplo, dados os objetos e morfismos: Ilustração: Categorias em uma categoria, dizemos que o diagrama comuta se $i\mathbin {\circ }g = h\mathbin {\circ }f=j$. De modo geral, um diagrama é dito comutativo se sempre que houver dois caminhos de um objeto $X$ para um objeto $Y$, o morfismo de $X$ para $Y$ obtido pela composição ao longo de um caminho é igual ao morfismo obtido pela composição ao longo do outro caminho.

Se $f \in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, B)$, denominamos $A$ de domínio e $B$ de contradomínio (ou ainda codomínio) de $f$.

A categoria $\mathbf{Set}$ dos conjuntos cujos objetos são conjuntos, e dados conjuntos $A$ e $B$, um morfismo de $A$ para $B$ na categoria $\mathbf{Set}$ é simplesmente uma função de $A$ em $B$. A composição de funções nesta categoria é a composição ordinária de funções, os morfismos identidade são os esperados.

Em situações como esta, muitas vezes não nos preocupamos em especificar a composição de funções bem como os morfismos identidades. Escrevemos “a categoria de conjuntos e funções”, deixando o resto subentendido.
A categoria $\mathbf{Grp}$ dos grupos é a categoria cujos objetos são grupos e cujos morfismos são homomorfismos de grupo.
Da mesma forma, definimos a categoria $\mathbf{Ring}$ de anéis e homomorfismos de anéis.
Para cada corpo ${\mathbb {K}}$, definimos a categoria $\mathbf{Vect}_{\mathbb {K}}$ de espaços vetoriais sobre o corpo $\mathbb {K}$ e aplicações lineares entre eles.
A categoria $\mathbf{Top}$ cujos objetos são os espaços topológicos e os morfismos são as funções contínuas.
A categoria $\mathbf{Top_*}$ dos espaços topológicos com ponto marcado. Um objeto é um par $(X, x_0 )$, sendo $X$ um espaço topológico e $x_0 \in X$. Um morfismo $f : (Y, y_0 ) \to (X, x_0)$ é uma função contínua $f : Y \to X$ tal que $f(y_0 ) = x_0$.

Um morfismo $f\from A \to B$ em uma categoria $\mathscr {C}$ é um isomorfismo se existir um morfismo $g\from B \to A$ em $\mathscr {C}$ tal que $gf = 1_A$ e $fg = 1_B$. Nesse caso, denominamos $g$ de inversa de $f$ e denotamos tal fato por $g = f^{-1}$. Se existe um isomorfismo de $A$ para $B$, dizemos que os objetos $A$ e $B$ são isomorfos e denotamos tal fato por $A \cong B$.

Os isomorfismos em $\mathbf{Set}$ são exatamente as bijeções. Isso equivale à afirmação de que uma função tem uma inversa se, e somente se, for injetora e sobrejetora.

Os isomorfismos em $\mathbf{Grp}$ são exatamente os isomorfismos dos grupos.

Da mesma forma, os isomorfismos em $\mathbf{Ring}$ são exatamente os isomorfismos dos anéis.

Exemplo 6.1

Os isomorfismos em $\mathbf{Top}$ são os homeomorfismos. Observamos que, em contraste com a situação em $\mathbf{Grp}$ e $\mathbf{Ring}$, um morfismo bijetor em $\mathbf{Top}$ não é necessariamente um isomorfismo. Um exemplo clássico é o morfismo

\[ \begin{array}{ccc} [0, 1) & \to & \{ z \in \mathbb {C}\mathrel {|}\left|z\right| = 1\} \\ t & \mapsto & e^{2\pi i t}, \end{array} \]

que é uma bijeção contínua, mas não um homeomorfismo, pois $[0, 1)$ não é compacto enquanto $\{ z \in \mathbb {C}\mathrel {|}\left|z\right| = 1\} $ o é.

Um morfismo de $R$-módulos $f:A\rightarrow B$ é dito um

endomorfismo se o domínio coincide com o contradomínio, i.e., $A=B$;
automorfismo se $f$ é simultaneamente um endomorfismo e um isomorfismo;
monomorfismo se $f g_1=fg_2$ implica que $g_1=g_2$, para quaisquer morfismos $g_i:C\rightarrow A$, com $C$ um $R$-módulo qualquer (ou seja, $f$ pode ser cancelado à esquerda de uma composição);
epimorfismo se $g_1f=g_2f$ implica que $g_1=g_2$, para quaisquer morfismos $g_i:B\rightarrow C$, com $C$ um $R$-módulo qualquer (ou seja, $f$ pode ser cancelado à direita de uma composição).

É importante ressaltar que, em geral, em categorias que morfismos são funções, monomorfismos podem não ser funções injetoras e epimorfismos podem não ser funções sobrejetoras. No entanto, estas noções coincidem nas categorias: $\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, $\mathbf{Ring}$, $\mathbf{Ab}$, por exemplo.

Nos exemplos de categorias mencionados até agora, os objetos da categoria são conjuntos munidos de uma estrutura (como uma estrutura de grupo, uma topologia ou, no caso de $\mathbf{Set}$, nenhuma estrutura). Os morfismos são as funções que preservam a estrutura, no sentido apropriado. E em cada um deles, há um sentido claro de quais são os elementos de um determinado objeto.

No entanto, observamos que nem todas as categorias são assim. Em geral, os objetos de um categoria não são conjuntos equipados com uma estrutura suplementar. Mas trataremos nesse livro apenas de categorias do primeiro tipo.

A seguir, apresentamos dois exemplos de categorias cujos objetos não são conjuntos equipados com uma estrutura adicional.

Dado um monoide $(G, \ast )$, podemos criar uma categoria $\mathscr {C}$ com um único objeto, que denotamos por $x$, tomando como morfismos os elementos do monoide $G$, i.e. $\operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(x,x) = G$, a composição de morfismos é dada pela operação $\ast $ de $G$ e o morfismo identidade é o elemento neutro de $G$.
Um grafo dirigido com um laço em cada vértice, ou seja uma aresta que conecta um vértice a ele mesmo, dá origem a uma categoria $\mathscr {C}$ cujos objetos são dados pelos vértices do grafo. Dados dois vértices $a$ e $b$, os morfismos em $\operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(a,b)$ correspondem aos caminhos no grafo que vão de $a$ para $b$. A composição é dada pela concatenação de caminhos. Um morfismo identidade em $a$ é o laço que começa em $a$ e termina em $a$.

Figura 6.2 Grafo dirigido com laços em cada vértice.

Apresentamos a seguir duas maneiras de construir novas categorias a partir de categorias já existentes.

Dada uma categoria $\mathscr {C}$ podemos construir a categoria oposta ou categoria dual $\mathscr {C}^\mathrm{op}$, definida invertendo as flechas. Formalmente, $\operatorname {ob}(\mathscr {C}^\mathrm{op}) = \operatorname {ob}(\mathscr {C})$ e $\operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}^\mathrm{op}}(B, A) = \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, B)$ para todos os objetos $A$ e $B$. As identidades em $\mathscr {C}^\mathrm{op}$ são as mesmas que em $\mathscr {C}$. A composição em $\mathscr {C}^\mathrm{op}$ é a mesma que em $\mathscr {C}$, mas com os argumentos invertidos, i.e., se $A \stackrel{f}{\longrightarrow } B \stackrel{g}{\longrightarrow } C$ forem morfismos em $\mathscr {C}^\mathrm{op}$ então $A \stackrel{f}{\longleftarrow } B \stackrel{g}{\longleftarrow } C$ são morfismos em $\mathscr {C}$. Mais especificamente, dados morfismos $f\in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}^\mathrm{op}}(A, B)$ e $g\in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}^\mathrm{op}}(B, C)$ na categoria oposta, temos que $f\in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(B,A)$ e $g\in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(C, B)$ e, portanto, podemos fazer a composição $f\circ g$ em $\mathscr {C}$ que corresponde a um morfismo em $\operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(C,A)$. Assim, definimos a composição $f\circ _{\mathscr {C}^\mathrm{op}} g $ como sendo o morfismo $ g\circ f$, i.e., $f\circ _{\mathscr {C}^\mathrm{op}} g = g\circ f$.

Exemplo 6.2

Seja $\mathscr {C}$ a categoria gerada pelo grafo $G$ na Figura 6.3a. A categoria oposta corresponde à categoria gerada pelo grafo $G'$ obtido de $G$ ao inverter todas as flechas, apresentado em 6.3b

O princípio da dualidade é uma das ideias fundamentais na Teoria de Categorias. Informalmente, este afirma que a cada definição categórica, teorema e prova possuem um dual, obtido invertendo todas as flechas. Invocar o princípio da dualidade pode salvar o trabalho: dado qualquer teorema, invertendo as flechas ao longo do seu enunciado bem como em sua prova produz um teorema dual.

Dadas as categorias $\mathscr {C}$ e $\mathscr {D}$, definimos a categoria produto $\mathscr {C} \times \mathscr {D}$, de modo que:

\begin{align} \operatorname {ob}(\mathscr {C} \times \mathscr {D}) & = \operatorname {ob}(\mathscr {C}) \times \operatorname {ob}(\mathscr {D}), \nonumber \\ \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C} \times \mathscr {D}}((A, B), (A’, B’)) & = \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, A’) \times \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {D}}(B, B’).\nonumber \end{align}

Dito de outra forma, um objeto da categoria produto $\mathscr {C} \times \mathscr {D}$ é um par $(A, B)$, onde $A \in \mathscr {C}$ e $B \in \mathscr {D}$. Um morfismo $(A, B) \to (A', B')$ em $\mathscr {C} \times \mathscr {D}$ é um par $(f, g)$, onde $f \from A \to A'$ em $\mathscr {C}$ e $g\from B \to B'$ em $\mathscr {D}$. A composição de pares de morfismos é dada pela composição componente por componente.

6.2 Funtores

Uma das lições da Teoria de Categorias é que sempre que encontramos um novo tipo de objeto matemático, devemos sempre perguntar se há uma noção de morfismo entre esses objetos. Um morfismo entre categorias é denominado funtor.

Sejam $\mathscr {C}$ e $\mathscr {D}$ categorias. Um funtor $F \from \mathscr {C} \to \mathscr {D}$ consiste em:

uma função

\[ \operatorname {ob}(\mathscr {C}) \to \operatorname {ob}(\mathscr {D}), \]

escrita como $A \mapsto F(A)$;
para cada $A, A' \in \mathscr {C}$, uma função

\[ \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A, A') \to \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {D}}(F(A), F(A')), \]

escrita como $f \mapsto F(f)$,

satisfazendo os seguintes axiomas:

$F(f' \mathbin {\circ }f) = F(f') \mathbin {\circ }F(f)$, sempre que $A \stackrel{f}{\longrightarrow } A' \stackrel{f'}{\longrightarrow } A''$ em $\mathscr {C}$;
$F(1_A) = 1_{F(A)}$, sempre que $A \in \mathscr {C}$.

Os exemplos mais fáceis de funtores são os funtores de esquecimento.

O funtor $F\from \mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ é definido da seguinte forma: se $G$ for um grupo, então $F(G)$ é o conjunto subjacente de $G$, e se $f \from G \to H$ for um homomorfismo de grupo, então $F(f)$ é a própria função $f$. Dessa forma, o funtor $F$ esquece a estrutura de grupo e esquece que os homomorfismos de grupos preservam a estrutura de grupos.
Da mesma forma, para qualquer corpo $\mathbb {K}$, existe um funtor $\mathbf{Vect}_{\mathbb {K}} \to \mathbf{Set}$ esquecendo a estrutura de espaço vetorial dos espaços vetoriais.
Os funtores de esquecimento não precisam esquecer toda a estrutura. Por exemplo, denote por $\mathbf{Ab}$ a categoria dos grupos abelianos. Existe um funtor $\mathbf{Ring}\to \mathbf{Ab}$ que esquece a estrutura multiplicativa, mantendo apenas a estrutura de grupo aditivo do anel.
Existe um funtor de inclusão $U\from \mathbf{Ab}\to \mathbf{Grp}$ definido por $U(A) = A$ para qualquer grupo abeliano $A$ e $U(f) = f$ para qualquer homomorfismo $f$ de grupos abelianos. Esse funtor esquece que os grupos abelianos são abelianos.

Funtores em topologia algébrica.

Historicamente, alguns dos primeiros exemplos de funtores surgiram em topologia algébrica. Nesse contexto, a estratégia é aprender sobre um espaço extraindo dados de alguma forma inteligente, montando com esses dados uma estrutura algébrica e depois estudando essa estrutura algébrica em vez do espaço original. A topologia algébrica envolve, portanto, muitos funtores de categorias de espaços topológicos para categorias de álgebras.

O Grupo Fundamental $\pi _1$ é um funtor de $\mathbf{Top_*}$ para $\mathbf{Grp}$ associando a cada espaço topológico o grupo de classes de homotopia dos caminhos fechados começando e terminando no ponto base $x_0$. Esse funtor é descrito em maiores detalhes no Apêndice 2.
Para cada $n \in \mathbb {N}$, há um funtor $H_n\from \mathbf{Top}\to \mathbf{Ab}$ atribuindo a um espaço seu $n$-ésimo grupo de homologia. Esse livro é dedicado a esse funtor.

Segue da definição de funtor $F:\mathscr {C}\rightarrow \mathscr {D}$ que:

$F$ transforma cada diagrama comutativo em $\mathscr {C}$ em um diagrama comutativo em $\mathscr {D}$;
se $f$ é um isomorfismo em $\mathscr {C}$, então $F(f)$ é um isomorfismo em $\mathscr {D}$.

Às vezes, encontramos operações semelhantes a um funtor mas que invertem as flechas, de modo que um morfismo $A \to A'$ em $\mathscr {C}$ dá origem a um morfismo $F(A) \leftarrow F(A')$ em $\mathscr {D}$. Tais operações são chamadas de funtores contravariantes.

Sejam $\mathscr {C}$ e $\mathscr {D}$ categorias. Um funtor contravariante de $\mathscr {C}$ para $\mathscr {D}$ é um funtor $\mathscr {C}^\mathrm{op}\to \mathscr {D}$. Um funtor contravariante satisfaz as propriedades funtoriais com a seguinte ressalva: se $f\in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A,A')$ é um morfismo em $\mathscr {C}$, então $F(f)\in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {D}}(F(A'),F(A))$ é um morfismo em $\mathscr {D}$ e $F(f'\circ f) = F(f)\circ F(f')$.

Um funtor comum $\mathscr {C} \to \mathscr {D}$ às vezes é denominado funtor covariante de $\mathscr {C}$ para $\mathscr {D}$, para ênfase.

Exemplo 6.3

Dado um espaço topológico $X$, seja $C(X)$ o anel de funções contínuas em $X$ tomando valores reais. As operações de anel são definidas pontualmente. Um morfismo contínuo $f \from X \to Y$ induz um homomorfismo de anel $C(f)\from C(Y) \to C(X)$, definido em $q \in C(Y)$ tomando $(C(f))(q)$ como o morfismo composto

\[ X \stackrel{f}{\longrightarrow } Y \stackrel{q}{\longrightarrow } \mathbb {R}. \]

Observe que $C(f)$ vai na direção oposta de $f$. Logo, concluímos que $C$ é um funtor contravariante de $\mathbf{Top}$ para $\mathbf{Ring}$.

Exemplo 6.4

Seja $\mathbb {K}$ um corpo. Para quaisquer dois $\mathbb {K}$-espaços vetoriais $V$ e $W$,

\[ \operatorname {Hom}(V, W) = \{ \text{transformações lineares } V \to W \} \]

é um espaço vetorial. Os elementos desse espaço vetorial são eles mesmos morfismos, e as operações de espaço vetorial (adição e multiplicação escalar) são definidas pontualmente.

Agora, fixe um espaço vetorial $W$. Qualquer morfismo linear $f\from V \to V'$ induz um morfismo linear

\[ f^*\from \operatorname {Hom}(V', W) \to \operatorname {Hom}(V, W), \]

definido em $q\in \operatorname {Hom}(V', W)$ tomando $f^*(q)$ como o morfismo composto

\[ V \stackrel{f}{\longrightarrow } V' \stackrel{q}{\longrightarrow } W. \]

Isso define um funtor

\[ \operatorname {Hom}(-, W)\from \mathbf{Vect}_{\mathbb {K}}^\mathrm{op}\to \mathbf{Vect}_{\mathbb {K}}. \]

Um caso especialmente importante é quando $W$ é o corpo $\mathbb {K}$, nesse caso o espaço vetorial $\operatorname {Hom}(V,\mathbb {K})$ é denominado dual de $V$, e é escrito como $V^*$. Então, temos um funtor contravariante

\[ (\hspace{.5em})^* = \operatorname {Hom}(-, \mathbb {K})\from \mathbf{Vect}_{\mathbb {K}}^\mathrm{op}\to \mathbf{Vect}_{\mathbb {K}} \]

enviando cada espaço vetorial para seu dual.

Sejam $\mathscr {C}$ e $\mathscr {D}$ categorias e seja $F : \mathscr {C} \to \mathscr {D}$ um funtor de $\mathscr {C}$ em $\mathscr {D}$. O funtor F induz uma função

\[ \displaystyle F_{A,B}\colon \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A,B)\rightarrow \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {D}}(F(A),F(B)) \]

para cada par de objetos $A$ e $B$ em $\mathscr {C}$. O funtor $F$ é dito

fiel se $F_{A,B}$ é injetora;
pleno se $F_{A,B}$ é sobrejetora;
plenamente fiel (pleno e fiel) se $F_{A,B}$ é bijetora,

para cada $A$ e $B$ em $\mathscr {C}$. Uma categoria $\mathscr {C}$ é dita pré-aditiva se, para todo $A,B \in \operatorname {ob}({\mathscr {C}})$, $\operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A,B)$ é um grupo abeliano satisfazendo a lei de distributividade:

\[ f(g_1+g_2) = fg_1 +fg_2 \, \qquad (g_1+g_2)f = g_1f + g_2 f \ . \]

São exemplos de categorias pré-aditivas:

a categoria dos grupos abelianos;
a categoria de espaços vetoriais sobre um corpo $\mathbb {K}$;
a categoria de módulos (à esquerda) sobre um anel $R$.

Um funtor $F \from \mathscr {C} \to \mathscr {D}$ entre categorias pré-aditivas $\mathscr {C} , \mathscr {D}$ é aditivo se, para todo $f,g\in \operatorname {\mathrm{Mor}}_{\mathscr {C}}(A,B)$, com $A,B \in \operatorname {ob}({\mathscr {C}})$, tem-se $F(f+g) = F(f)+F(g)$.

6.3 Transformações Naturais

Certamente muito antes da definição de categoria ser dada, os matemáticos estavam cientes de que alguns isomorfismos eram melhores do que outros. Por exemplo, se $V$ é um espaço vetorial de dimensão finita, podemos escolher uma base de $V$ e a partir dela criar a base dual de $V^{*}$. Por extensão linear, temos um isomorfismo de $V$ para $V^{*}$. No entanto, esse isomorfismo depende fortemente da escolha da base de $V$. Em contraste, temos um isomorfismo $V\cong V^{**}$ que leva um vetor $v\in V$ para o funcional linear em $V^{*}$ dado pela avaliação de funcionais lineares de $V^{*}$ em $v$.

Este isomorfismo surge naturalmente, e transformações naturais buscam captar o que essa naturalidade deve significar matematicamente. Como uma vantagem importante, um isomorfismo "naturalmente definido" será automaticamente compatível com homomorfismos. Em nosso exemplo, isso significa que para todos os morfismos lineares $f:V\rightarrow W,$ o diagrama Ilustração: Transformações Naturais comuta. Esta observação é a base para a seguinte definição.

Uma transformação natural entre dois funtores $F,G:\mathscr {C}\rightarrow \mathscr {D}$ é uma aplicação $\xi $ que, a cada objeto $X\in \mathscr {C}$, associa um morfismo $\xi (X):F(X)\rightarrow G(X)$ em $\mathscr {D}$, de tal forma que os diagramas abaixo são sempre comutativos (se cada $\xi (X)$ é isomorfismo, fala-se que $\xi $ é um isomorfismo natural): Ilustração: Transformações Naturais

Assim, de um ponto de vista intuitivo, uma transformação natural é uma correspondência entre dois funtores, responsável por conectar morfismos entre objetos distintos. Por este motivo, às vezes se escreve $\xi :F\rightarrow G$, representando-a diagramaticamente de maneira mais simples, assim como exposto no segundo dos diagramas acima.

Exemplo 6.5 (Abelianização)

Defina um funtor $\operatorname {Ab}: \mathbf{Grp}\rightarrow \mathbf{Grp}$ como segue:

Para qualquer grupo $G \in \mathbf{Grp}$, $\operatorname {Ab}(G)=G /[G, G]$ é a abelianização de $G$.
Dado qualquer homomorfismo $f: G \rightarrow H$ em $\mathbf{Grp}, \operatorname {Ab}(f)$ é definido da seguinte maneira: a composição $G \stackrel{f}{\rightarrow } H \stackrel{\pi _H}{\rightarrow } H /[H, H]$ contém $[G, G]$ em seu kernel, pois $H /[H, H]$ é abeliano, logo existe uma aplicação $ G /[G, G] \rightarrow H /[H, H]$, denotada como $\operatorname {Ab}(f)$, de modo que o seguinte diagrama comuta:

O diagrama acima também mostra que $\pi $ é uma transformação natural de $\operatorname {\operatorname {id}}: \mathbf{Grp}\rightarrow \mathbf{Grp}$ para $\operatorname {Ab}: \mathbf{Grp}\rightarrow \mathbf{Grp}$.

Ilustração: Transformações Naturais

Exemplo 6.6 (Bidual)

Seja $\mathbb {K}$ um corpo e $\mathbf{Vect}_{\mathbb {K}}$ a categoria de espaços vetoriais sobre $\mathbb {K}$. Defina um funtor $(\ )^{**}: \mathbf{Vect}_{\mathbb {K}}\rightarrow \mathbf{Vect}_{\mathbb {K}}$ da seguinte forma:

Dado um objeto $V$, temos que $V^{**}$ é o bidual de $V$.
Dada uma aplicação $f: V \rightarrow W,$ $f^{**}$ é a aplicação construída da seguinte forma: primeiro, definimos $f^* : W^* \rightarrow V ^*$ por $(\varphi : W \rightarrow \mathbb {K}) \mapsto (\varphi \mathbin {\circ }f: V \rightarrow \mathbb {K})$.

Então, definimos $B(f)=f^{**}: V^{**} \rightarrow W^{**}$ por $\left(\varphi : V^* \rightarrow \mathbb {K}\right) \mapsto \left(\varphi \mathbin {\circ }f^*: W^* \rightarrow \mathbb {K}\right)$.

Pode-se verificar que $(\ )^{**}$ é um funtor.

Para qualquer espaço vetorial $V$, existe uma aplicação de avaliação

\begin{align*} \epsilon _V\from & V \longrightarrow V^{**} \\ & v \longmapsto \epsilon _v \end{align*}

sendo $\epsilon _v(f)\mathrel {\mathop:\! =}f(v)$. Quando $V$ é de dimensão finita, $\epsilon _V$ é um isomorfismo.

O diagrama Ilustração: Transformações Naturais comuta.

Para demonstrar a comutatividade do diagrama, seja $v \in V$. Então $\epsilon _W(f(v))$ é a aplicação em $W^* \rightarrow \mathbb {K}$ que leva $T: W \rightarrow \mathbb {K}$ para $T(f(v ))$. Por outro lado, $\epsilon _V(v)$ é a aplicação em $V^* \rightarrow \mathbb {K}$ que leva $T: V \rightarrow \mathbb {K}$ para $T(v)$. Então $f^{**}\left(\epsilon _V(v)\right)$ é a aplicação que leva $T: W \rightarrow \mathbb {K}$ para $\left(\epsilon _V(v)\right)(T \mathbin {\circ }f)=(T \mathbin {\circ }f)(v)=T(f(v))$, exatamente o mesmo que $\epsilon _W(f(v))$. Logo $\epsilon _W(f(v))=f^{**}\left(\epsilon _V(v)\right)=T \mapsto T(f(v))$. Portanto, $\epsilon _W \mathbin {\circ }f=f^{**} \mathbin {\circ }\epsilon _V$, como desejado.

Então, temos uma transformação natural Ilustração: Transformações Naturais

Exercício 6.1

Prove que o inverso de um morfismo invertível é único.

Exercício 6.2

Todo conjunto pré-ordenado, ou seja, todo par $(X, \leq )$ com $X$ um conjunto não vazio e $\leq $ uma relação transitiva e reflexiva em $X$, dá origem a categoria $\mathbf{Ord}$ cujos objetos são os elementos de $X$ e, para qualquer par de elementos $x$ e $y$, os morfismos $\operatorname {Hom}(x, y)$ são definidos da seguinte forma: possui um único elemento $(x, y)$ se $x \leq y$ e é vazio caso contrário. A composição é dada por $(y, z) \mathbin {\circ }(x, y) \mathrel {\mathop:\! =}(x, z)$.
Verifique detalhadamente que $\mathbf{Ord}$ é uma categoria.
Mostre que a categoria oposta é a categoria dada por $(X, \geq )$.

Exercício 6.3

Seja $F : \mathscr {C} \to \mathscr {D}$ um funtor e seja $f : A \to B$ um morfismo em $\mathscr {C}$.
Prove que se $f$ é um isomorfismo, então $F (f )$ é um isomorfismo.
Suponha que $F$ seja plenamente fiel. Prove que $F (f)$ é um isomorfismo se, e somente se, $f$ é um isomorfismo.

Exercício 6.4

Prove que:
$\operatorname {GL}_n(\bullet )$ é um functor da categoria $\mathbf{CRing}$ de anéis comutativos para a categoria $\mathbf{Grp}$ de grupos, levando um anel comutativo $A$ para o grupo $\operatorname {GL}_n(A)$.
$(\bullet )^{\times }$ é um funtor $\mathbf{CRing}\to \mathbf{Grp}$ enviando um anel $A$ para seu grupo de unidades $A^{\times }$.
O determinante é uma transformação natural $\det : \operatorname {GL}_n \to (\bullet )^{\times }$.