Homologia Singular
No capítulo anterior, construímos os grupos de homologia de um \(\Delta \)-complexo através da homologia simplicial. Neste capítulo, queremos construir os grupos de homologia de um espaço topológico \(X\). Queremos que essa construção seja funtorial — envolvendo nenhuma escolha arbitrária — e assim a solução é considerar todos os simplexos possíveis. Em outras palavras, o enésimo módulo de cadeias deve ser o \(R\)-módulo de todos as aplicações contínuas \(\sigma : \Delta _n \to X\). Como aplicações contínuas podem ser muito irregulares e, portanto, a imagem do simplexo pode ser comprimida e distorcida de várias maneiras temos a explicação para o adjetivo singular.
Do ponto de vista histórico a noção de simplexo singular foi introduzida por Lefschetz em 1933. As definições de Lefschetz, no entanto, tinham alguns defeitos decorrentes da escolha das relações de equivalências. Foi apenas em 1943 que as definições de Lefschetz foram ligeiramente modificadas por Eilenberg para superar esses defeitos, dando origem à Teoria da Homologia Singular.
A construção da homologia singular é mais abstrata que a da homologia simplicial, mas, como veremos, em muitos casos é mais fácil e direto demonstrar os resultados usando homologia singular, pois esta teoria é naturalmente mais compatível com as ideias topológicas. Por outro lado, a homologia simplicial possui uma descrição geométrica concreta e intuitiva e em exemplos concretos é mais simples calcular os grupos de homologia usando as ideias de homologia simplicial. No final desse capítulo, provaremos a equivalência dessas teorias para \(\Delta \)-complexos.
10.1 Homologia Singular
Seja \(X\) um espaço topológico, um \(p\)-simplexo singular (em \(X\)) é uma função contínua
Denotaremos o conjunto de todas os \(p\)-simplexos singulares em \(X\) por \(S_{\Delta ^{p}}(X)\).
Note que como \(\Delta ^{p}\) é um espaço conexo por caminhos e compacto, a imagem \(\sigma (\Delta ^{p})\) em \(X\) deve ser compacta e conexa por caminho e, assim, um \(1\)-simplexo singular em \(X\) é simplesmente um caminho em \(X\), enquanto que um \(0\)-simplexo singular em \(X\) é apenas um ponto.
Se \(p\geq 1 \), a \(i\)-ésima face (de bordo) do \(p\)-simplexo singular \(\sigma \) é o \((p-1)\)-simplexo singular dado pela restrição
Seja \(X\) é um espaço topológico \(X\) e \(R\) um anel comutativo com unidade, uma \(p\)-cadeia singular com coeficientes em \(R\) é uma combinação linear formal
de \(p\)-simplexos singulares \(\sigma _{i}\) com coeficientes \(\lambda _{i}\in R\). O módulo de cadeias singulares \(S_{p}(X;R)\) é o \(R\)-módulo livre que consiste em todas as \(p\)-cadeias singulares geradas pelo conjunto \(S_{\Delta ^{p}}(X)\) dos \(p\)-simplexos singulares. Definimos \(S_{p}(X;R)=0\), para \(p\lt 0 \). Se \(p\geq 1 \), dado um \(p\)-simplexo singular \(\sigma \), o bordo \(\partial \sigma \) é a \((p-1)\)-cadeia singular dada por
Estendendo a aplicação \(\partial \) para \(S_{p}(X;R)\) por linearidade, dado que \(S_{p}(X;R)\) é um módulo livre, obtemos o homomorfismo de bordo
Para \(p\leq 0\), definimos \(\partial :S_{p}(X;R)\rightarrow S_{p-1}(X;R)\) por \(\partial = 0\).
Para um espaço típico \(X\), como por exemplo uma variedade de dimensão maior que \(0\), o módulo de cadeias singulares \(S_{p}(X;R)\) será gerado por um conjunto não enumerável e o mesmo acontecerá com os submódulo de ciclos e bordo.
Quando queremos ser muito precisos, escrevemos \(\partial _{p}:S_{p}(X;R)\rightarrow S_{p-1}(X;R)\).
Finalmente, definimos \(S_{*}(X;R)\) como o módulo graduado obtido pela soma direta
Podemos estender o morfismo de bordo para a álgebra graduada obtendo um morfismo \( \partial :S_{*}(X;R)\rightarrow S_{*}(X;R)\ .\)
Se \(X\) é um espaço topológico e \(R\) um anel comutativo com unidade, o morfismo de bordo \(\partial :S_{*}(X;R)\rightarrow S_{*}(X;R)\) satisfaz
Temos que
Podemos reescrever a última soma como:
Comutando os índices \(i\) e \(j\) no segundo somatório:
A partir dos morfismos de bordo \(\partial _{p}:S_{p}(X;R)\rightarrow S_{p-1}(X;R)\) podemos obter o seguinte complexo de cadeias 
Dado um espaço espaço topológico \(X\) e um anel comutativo com unidade \(R\) definimos:
O kernel \(Z_{p}(X;R)\) do operador bordo \(\partial _p : S_{p}(X;R) \to S_{p-1}(X;R)\), i.e.,
\[ Z_{p}(X;R)\mathrel {\mathop:\! =}\ker \partial _{p} \]é dito módulo dos \(p\)-ciclos singulares. Um elemento de \(Z_{p}(X;R)\) às vezes é denominado de \(n\)-cadeia singular fechada.
A imagem \(B_{p}(X;R)\) do operador bordo \(\partial _{p+1} : S_{p+1}(X;R) \to S_{p}(X;R)\), i.e.,
\[ B_{p}(X;R) \mathrel {\mathop:\! =}{\mathrm{im}\, }\partial _{p+1} \]
No caso especial \(p = 0\), temos \(Z_{p}(X;R)= S_{0}(X;R)\), ou seja, toda \(0\)-cadeia é, por definição, também um \(0\)-ciclo.
Um fato de suma importância, decorrente de \(\partial _n \mathbin {\circ }\partial _{n-1}=0\) é que \(B_{p}(X;R)\) é um submódulo de \(Z_{p}(X;R)\), o que nos permite definir os grupos de homologia.
Sejam \(X\) um espaço topológico \(X\) e \(R\) um anel comutativo com unidade, para qualquer \(p\geq 0 \) o \(p\)-ésimo módulo de homologia singular \(H^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}_{p}(X;R)\) é definido por
e convencionamos \(H^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}_{p}(X;R)=0\), para \(p\lt 0 \). Os \( R\)-módulos \(H^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}_{p}(X;R)\) serão na maioria das vezes denominados de grupos de homologia, seguindo a prática comum. Quando não houver chance de confusão escreveremos \(H_{p}(X;R)\) para denotar o grupo de homologia singular \(H^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}_{p}(X;R)\).
Dado um espaço topológico, podemos associar a ele um módulo que é obtido tomando os ciclos singulares em uma dimensão (que podem ser geometricamente interessantes) e quocientando aqueles que são geometricamente desinteressantes. O resultado desse quociente nos fornece por definição a homologia singular do espaço nessa dimensão.
Dados dois \(p\)-ciclos singulares \(z_1 , z_2 \in Z_{p}(X;R)\) que representam a mesma classe de homologia, ou seja, sua diferença é um bordo, são chamados de homólogos. Esse fato será denotado por: \([z_1] = [z_2] \Leftrightarrow z_1 - z_2 \in B_{p}(X;R)\). Por exemplo, um ciclo \(z\) é um bordo se, e somente se, \([z] = [0]\).
Seja \(X = \{ x\} \) o espaço com um único ponto. Vamos determinar \(S_p (X;R)\), para todo \(p\gt 0\). Para cada \(p\), há apenas um \(p\)-simplexo singular \(\sigma _p : \Delta ^p \to X\) que é a aplicação constante levando todo \(\Delta ^p\) ao ponto \(x\). Portanto, \(S_p (X;R) = R [ \sigma _p]\), onde \(\sigma _p\) denota a aplicação constante.
Observe que \(\partial (\sigma _1) = \sigma _0 - \sigma _0 = 0, \partial (\sigma _2 ) = \sigma _1 - \sigma _1 + \sigma _1 = \sigma _1\) e de forma mais geral, temos
Assim, temos o complexo de cadeias singulares 
Logo,
De modo geral, podemos ver uma \( 0 \)-cadeia singular como uma combinação linear \(\displaystyle \sum _{i=1}^{m} \lambda _{i}x_{i}\) de pontos \(x_{i}\in X\). Quando \(X\) é conexo por caminhos, é fácil ver que uma \( 0 \)-cadeia singular é o bordo de uma \(1\)-cadeia singular se, e somente se, \(\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}=0.\) Para ver isso, seja \(x_0\) um ponto em \(X\) e seja \(\sigma _i\) um caminho ligando \(x_0\) a \(x_i,\) para cada \(i=1,\ldots ,m\). Então
A volta é imediata. Assim, descobrimos que \(B_0 (X;R)\) consiste em todas aquelas \(0\)-cadeias \(\displaystyle \sum _{i=1}^{m} \lambda _{i}x_{i}\) que possuem a propriedade de que a soma de seus coeficientes no anel \(R\) é zero.
Agora, definimos o homomorfismo \(\epsilon : S_0 (X ; R) \to R\), denominado de aplicação de aumento,
A aplicação \(\epsilon \) é claramente sobrejetora e seu kernel é \(B_0 (X;R)\), logo
Logo, temos o seguinte resultado:
O espaço topológico \(X\) é conexo por caminhos se, e somente se,
De forma mais geral, temos a seguinte proposição:
Sejam \(X\) um espaço topológico e \(R\) um anel comutativo com unidade e seja \((X_{\alpha })_{\alpha \in I}\) a coleção de componentes conexas por caminhos de \(X\). Então:
Se \(\sigma _{\alpha }\) é um \( 0 \)-simplexo singular cuja imagem está em \(X_{\alpha }\), para cada \(\alpha \in I\), então as classes de homologia \([\sigma _{\alpha }]\) formam uma base de \(H_{0}(X;R)\), ou seja, é o \(R\)-módulo livre:
\[ H_{0}(X;R)=\bigoplus _{\alpha \in I}R. \]A homologia singular é aditiva, ou seja, existe um isomorfismo natural
\[ H_{p}(X;R)\cong \bigoplus _{\alpha \in I}H_{p}(X_{\alpha };R) . \]
A demonstração da proposição anterior é bem direta e é consequência da conexidade por caminhos de \(\Delta ^p\), dessa forma qualquer \(p\)-simplexo singular \(\sigma : \Delta ^p \to X\) é um simplexo singular em \(X_{\alpha }\), para algum \(\alpha \in I\), e a demonstração segue. Como consequência da proposição anterior, temos que em diversas situações podemos restringir a atenção aos espaços conexos por caminhos.
Homologia Reduzida
A homologia reduzida singular é uma pequena modificação da homologia singular motivada pela intuição de que todos os grupos de homologia de um ponto devem ser iguais a zero. Essa modificação torna mais concisas algumas afirmações e elimina muitos casos excepcionais.
Como vimos, associado a um espaço conexo \(X\) temos uma aplicação natural \(\epsilon \), dita aplicação de aumento. Como \(S_{0}(X;R)\) é gerado livremente pelos \(0\)-simplexos singulares em \(X\), um elemento deste grupo é apenas uma soma formal de pontos em \(X\). Enviando cada ponto de \(X\) para \(1 \in R\), e então tomando a extensão linear, que existe e é única pela Observação 7.1, temos a aplicação de aumento \(\epsilon : S_{0}(X;R) \to R\) dada por \(\epsilon \left(\sum _{i=0}^n \lambda _i x_i \right)=\sum _{i=0}^n \lambda _i \).
Para definir a homologia reduzida, começamos com o complexo de cadeias aumentado 
Definimos os grupos de homologia reduzida por \({\displaystyle {\widetilde{H}}_{n}(X;R)=\ker (\partial _{n})/\mathrm{im}\, (\partial _{n+1})}\), para \(n\gt 0\), e \({\widetilde{H}}_{0}(X;R)=\ker (\epsilon )/{\mathrm{im}\, }(\partial _{1}).\)
Vamos mostrar que \(H_{0}(X;R)={\widetilde{H}}_{0}(X;R)\oplus {R }\), já que evidentemente \(H_{n}(X;R)={\widetilde{H}}_{n}(X;R)\), para todo \(n\) positivo.
Como \(\epsilon \mathbin {\circ }\partial _{1}=0\), então \(\mathrm{im}\, \partial _{1}\subseteq \ker \epsilon \). Por definição, \(H_{0}(X;R)= S_{0}(X;R)/\mathrm{im}\, \partial _{1}\). O módulo \(S_{0}(X;R)\) é um \(R\)-módulo livre isomorfo à soma direta \(\bigoplus _{\sigma \in S_{\Delta ^{0}}(X;R)}R\) com uma cópia de \(R\) para cada \(\sigma \in S_{\Delta ^{0}}(X;R)\), então escolhendo uma das cópias de \(R\), podemos definir um morfismo injetivo \(R\)-linear \(s:R\rightarrow S_{0}(X;R)\) tal que \(\epsilon \mathbin {\circ }s= \operatorname {\operatorname {id}}\), e obtemos a seguinte sequência exata curta cindida: 
Desta forma, \(S_{0}(X;R)\cong \ker \epsilon \oplus R\) e como \(\mathrm{im}\, \partial _{1}\subseteq \ker \epsilon \), obtemos
o que nos fornece
Diremos que um espaço topológico \(X\) é acíclico se seus grupos de homologia singular com coeficientes inteiros em todas as dimensões são isomorfos aos correspondentes grupos de homologia de um ponto. Ou seja, se
Em outras palavras, \(X\) é acíclico se o complexo de cadeias aumentado é um complexo acíclico.
Vamos agora mostrar alguns exemplos de espaços acíclicos: os domínios estrelados em \(\mathbb {R}^n\).
Um subconjunto \(S \subseteq \mathbb {R}^n\) é dito um domínio estrelado se existe \(x_0\in S\) tal que para todo \(x \in S\), com \(x\neq x_0\), tal que o segmento de reta ligando \(x_0\) a \(x\) está contido em \(S\). Nesse caso, dizemos que \(S\) é um domínio estrelado em relação a \(x_0\).
Seja \(S\subset \mathbb {R}^n\) um domínio estrelado em relação a \(x_0\), definimos a operação de colchete de cadeias singulares em \(S\) da seguinte forma: dado \(\sigma :\Delta ^{p}=[v_0, v_1, \dots , v_p]\rightarrow X\) um \(p\)-simplexo singular, definimos o \((p+1)\)-simplexo singular \([\sigma , x_0]\) por
onde usamos o fato que um ponto em \(\Delta ^{p+1}=[v_0, v_1, \dots , v_p, v_{p+1}]\) pode ser escrito como \((1-t)x+tv_{p+1}\) com \(x\in [v_0, v_1, \dots , v_p]\) pois \(\Delta ^{p+1}\) é o fecho convexo de \(\{ v_0, v_1, \dots , v_p, v_{p+1}\} .\)
O próximo lema mostra como a operação de colchete interage com o operador bordo.
Se \(\sigma \) é um \(0\)-simplexo singular, então \([\sigma , x_0]\) leva o segmento \([v_0, v_1]\) ao segmento ligando \(\sigma (v_0)\) a \(x_0\). Logo, \(\partial [\sigma , x_0]= \sigma _{x_0}- \sigma \).
Se \(p\gt 0\), inicialmente observamos que
Vamos provar a Equação 10.1 e deixaremos a Equação 10.2 como exercício. Para isso, recordamos que \([\sigma , x_0] \mathord {\upharpoonright }{[v_{0}, \dots , \widehat{v_i}, \dots , v_{p}, v_{p+1}]}\) mapeia \((1-t)x+t v_{p+1} \mapsto (1-t)\sigma (x)+t x_0\) com \(x \in [v_{0}, \dots , \widehat{v_i}, \dots , v_{p}]\), que é exatamente a definição \([\sigma \mathord {\upharpoonright }{[v_{0}, \dots , \widehat{v_i}, \dots , v_{p}]}, x_0]\). Logo, temos
Se \(S\subset \mathbb {R}^n\) é um domínio estrelado em relação a \(x_0\), então \(S\) é acíclico na homologia singular, isto é:
Claramente, um domínio estrelado é conexo por caminhos, daí \(H_{0}(S;R)=R\). Para mostrar que \(H_{p}(S;R)=0\), para \(p\gt 0\), seja \(\sigma \) um \(p\)-ciclo singular, então pelo Lema 10.1 temos que:
Logo, \(\sigma \) é o bordo de uma \((p+1)\)-cadeia.
Os grupos de homologia singular de \(\mathbb {R}^{n}\) são dados por
Todo simplexo é acíclico na homologia singular.
Invariância por homeomorfismo
Vamos provar agora o caráter funtorial dos grupos de homologia.
Se \(X\) e \(Y\) são dois espaços topológicos e se \(f:X\rightarrow Y\) é uma função contínua entre eles, então existem homomorfismos \(f_{*,p}:H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p}(Y;R)\), para todos \(p\geq 0.\)
Para provar a proposição, mostraremos que existe uma aplicação de cadeias entre os complexos de cadeias associados a \(X\) e a \(Y\). Dado um \(p\)-simplexo singular \(\sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X\), obtemos um \(p\)-simplexo singular \(f\sigma :\Delta ^{p}\rightarrow Y\) obtido pela composição com \(f, \) isto é \( f\sigma =f\mathbin {\circ }\sigma \). Como \(S_{p}(X;R)\) é gerado livremente por \(S_{\Delta ^{p}}(X;R)\), a aplicação \(\sigma \mapsto f\sigma \) de \(S_{\Delta ^{p}}(X;R)\) para \(S_{p}(Y;R)\) se estende unicamente a um homomorfismo \(f_{\sharp ,p}:S_{p}(X;R)\rightarrow S_{p}(Y;R)\).
Dessa forma, temos que o seguinte diagrama é comutativo (vide Exercício 117) 
o que significa que as aplicações \(f_{\sharp ,p}:S_{p}(X;R)\to S_{p}(Y;R)\) formam uma aplicação de cadeias. Pela Proposição 7.5, obtemos homomorfismos \(f_{\sharp ,p}^{*}:H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p}(Y;R)\) para todos \(p\), que denotamos por \(f_{*,p}\) ou simplesmente \(f_*\).
Se os espaços \(X\) e \(Y\) são homeomorfos, então os grupos de homologia de \(X\) e \(Y\) são isomorfos. Ou seja, os grupos de homologia são invariantes topológicos. Esse teorema nos fornece um modo de demonstrar que alguns espaços não são homeomorfos: se para algum \(p\) os grupos de homologia \(H_{p}(X;R)\) e \(H_{p}(Y;R)\) não são isomorfos, então \(X\) e \(Y\) não são homeomorfos.
Dessa forma, o grupo de homologia singular é um funtor. De modo mais preciso, temos o funtor \( H(\bullet ;R) \): 
Note que denotamos por \( f_\ast \) o homomorfismo de grupo que é a imagem de uma aplicação contínua \( f \) pelo funtor \( H(\bullet ;R) \) definida como segue:
Provaremos a seguir um resultado um pouco mais forte: se dois espaços \(X\) e \(Y\) possuem o mesmo tipo de homotopia, então \(X\) e \(Y\) possuem grupos de homologia isomorfos.
10.2 Invariância Homotópica
Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f, g:X\rightarrow Y\) duas aplicações contínuas. Se \(f\) e \(g\) são homotópicas, então as aplicações de cadeias \(f_{\sharp }, g_{\sharp }:S_{*}(X;R)\rightarrow S_{*}(Y;R)\) são homotópicas.
Sejam \(H:X \times I \mapsto Y\) uma homotopia de \(f\) para \(g\) e \(\sigma : \Delta ^p \mapsto X\) um simplexo singular, temos a composição 
dada por \(H\mathbin {\circ }(\sigma \times \operatorname {\operatorname {id}}): \Delta ^p \times I \mapsto X\times I \mapsto Y\), onde \(\operatorname {\operatorname {id}}\) é a função identidade. Veja a Figura 10.5.
A demonstração é feita subdividindo o prisma \(\Delta ^p \times I\) em simplexos, como na Figura 10.4. Sejam \(\Delta ^p \times {0} = [v_0, \ldots , v_p]\) e \(\Delta ^p \times {1} = [w_0, \ldots , w_p]\), onde \(v_i, w_i\) possuem a mesma imagem na projeção \(\pi : \Delta ^p \times I \mapsto \Delta ^p\). Faremos as divisões em \(p\)-simplexos da seguinte forma. Começaremos com \([v_0, \ldots , v_p]\), depois tomamos \([v_0, \ldots , v_{p-1}, w_p]\), e \([v_0, \ldots , w_{p-1}, w_p]\) e assim por diante, isto é, seguindo a sequência \([v_0, \ldots , v_i, w_{i+1}, \ldots , w_p]\).
A região entre dois \(p\)-simplexos \([v_0, \ldots , v_i, w_{i+1}, \ldots , w_p]\) e \([v_0, \ldots , w_i, w_{i+1}, \ldots , w_p]\) é o \((p+1)\)-simplexo:
Sendo assim, \(\Delta ^p \times I\) é a união dos \((p+1)\)-simplexos
tais que suas intersecções são os \(n\)-simplexos anteriores.
Motivado pelo apresentado anteriormente, podemos definir um operador prisma \(P:S_p(X;R) \mapsto S_{p+1}(Y;R)\) como:
que geometricamente, pode ser pensado como subdividir o prisma "\(\Delta ^p \times I\) " em \((p+1)\) simplexos
Vamos mostrar que o operador prisma satisfaz a relação \(\partial P = g_{\sharp } - f_{\sharp } - P\partial \) e logo é uma homotopia de cadeias. Geometricamente, essa fórmula afirma que o bordo da cadeia singular do prisma \(P(\sigma )\) consiste no simplexo superior \(g\sigma \), no simplexo inferior \(f\sigma \) e nas paredes verticais \(P (\partial \sigma )\). De fato, temos:
Os termos em que \(i = j\) se cancelam, com exceção do primeiro e último, que são justamente \(g_{\sharp }(\sigma )\) e \(-f_{\sharp }(\sigma )\): pois
Os demais termos, com \(i \neq j\), serão \(-P\partial (\sigma )\) pois
Logo, \(\partial P = g_{\sharp } - f_{\sharp } - P\partial \).
Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f, g:X\rightarrow Y\) duas funções contínuas. Se \(f\) e \(g\) são homotópicas e \(f_{*,p}, g_{*,p}:H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p}(Y;R)\) são os homomorfismos induzidos, então \(f_{*,p} = g_*\) para todo \(p\geq 0 \).
Invariância por Homotopia. Se \(X \) e \( Y\) possuem o mesmo tipo de homotopia, então os grupos de homologia \(H_{p}(X;R)\) e \(H_{p}(Y;R)\) são isomorfos para todos \(p\geq 0, \)
Se \(f:X\rightarrow Y\) e \(g:Y\rightarrow X\) forem duas aplicações que tornam os espaços \(X \) e \( Y\) homotópicos, temos \(g \mathbin {\circ }f\simeq \operatorname {\operatorname {id}}_{X}\) e \(f\mathbin {\circ }g\simeq \operatorname {\operatorname {id}}_{Y}\), e portanto,
e logo a aplicação \(f_{*,p}:H_{p}(X;R)\to H_{p}(Y;R)\) é um isomorfismo com inversa \(g_{*,p}\).
10.3 Homologia Singular Relativa
Vamos considerar um par topológico \((X, A)\), ou seja, um espaço topológico \(X\) juntamente com um subespaço \(A \subseteq X\) e denotar a inclusão do subespaço por \(i : A \to X\). Cada simplexo singular \(\sigma :\Delta ^{p}\rightarrow A\) produz um simplexo singular \(\sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X\) compondo \(\sigma \) com a aplicação de inclusão de \(A\) em \(X\), então o complexo singular \(S_{*}(A;R)\) é um subcomplexo do complexo singular \(S_{*}(X;R)\). É imediato que a aplicação de complexos de cadeias singulares induzida \(i_{*}:S(A;R)\rightarrow S(X;R)\) é injetora e, portanto, podemos considerar o complexo quociente \(S(X, A;R)=S(X;R)/S(A;R)\). Para sermos completamente precisos, devemos tomar o quociente pelo subcomplexo \(i_{*}(S(A;R))\subseteq S(X;R)\), mas nos permitimos identificar os complexos isomorfos \(S(A;R)\) e \(i_{*}(S(A;R)).\)
Seja \(S_{p}(X, A;R)\) o módulo quociente
e seja \(S_{*}(X, A;R)\) o módulo graduado correspondente obtido pela soma direta de \(S_{p}(X, A;R)\). O morfismo de bordo \(\partial _{p}^X :S_{p}(X;R)\rightarrow S_{p-1}(X;R)\) do complexo original \(S_{*}(X;R)\) restringe-se ao morfismo de bordo \(\partial _{p}^A:S_{p}(A;R)\rightarrow S_{p-1}(A;R)\) do complexo \(S_{*}(A;R)\), então a aplicação quociente \(\partial _{ p}:S_{p}(X, A;R)\rightarrow S_{p-1}(X, A;R)\) induzida por \(\partial _{p}^X\) e dada por
para cada \(p\)-simplexo singular \(\sigma \) é o morfismo de bordo para o complexo de cadeias \(S_{*}(X, A;R)\). O complexo de cadeias \(S_{*}(X, A;R)\) 
é chamado de complexo de cadeias singulares do par \((X, \ A)\).
Dado um par \((X, A)\), onde \(A\) é um subespaço de \(X\), os grupos singulares de homologia relativa \(H_{p}(X, A;R)\) de \((X, A) \) são definidos por
Se temos um par topológico \((X, A)\), então existe uma sequência exata curta de complexos de cadeias 
na qual o segundo morfismo é a aplicação de inclusão e o terceiro morfismo é a aplicação quociente. Portanto, podemos aplicar o Lema do Zig-Zag 7.7 a esta sequência exata curta e obter a seguinte proposição:
Seja um par topológico \((X, A)\). Então existem os homomorfismos de conexão
de modo que a seguinte sequência é exata 
Esta é a sequência exata longa de homologia associada ao par topológico \((X, A).\) É possível descrever explicitamente os morfismos de bordo \(\partial _*\): para cada ciclo relativo \(c\), temos
Observamos que existe uma sequência exata longa, completamente análoga, de grupos de homologia reduzida para um par \((X, A)\) com \(A \neq \emptyset \).
Sejam \(X\) um espaço, \(A\) um subespaço e \(i:A\rightarrow X\) a inclusão.
A homologia do espaço vazio é trivial em todas as dimensões. Dessa forma a inclusão \(j:\emptyset \rightarrow X\) induz isomorfismos
\[ H_{n}(X;R)\cong H_{n}(X, \emptyset ;R)\ , \ n\geq 0. \]A inclusão \(i\) induz isomorfismos nos grupos de homologia \(i_{*}:H_{n}(A;R)\cong H_{n}(X;R), n\geq 0 \), se, e somente se, todos os grupos de homologia relativa \(H_{n}(X, A)\) para \(n\geq 0 \) se anularem, ou seja, \( H_{n}(X, A;R)\cong 0.\) Em particular, os grupos de homologia \(H_{n}(X, \ X;R)\) se anulam para \(n\geq 0.\)
Dizemos que \((X, A)\) é um bom par, se \(A\subset X\) é um subespaço fechado não vazio que é um retrato de deformação de alguma vizinhança em \(X\). Bom Par. Se \((X, A)\) é um bom par, então a aplicação quociente \(q:(X, A)\to (X/A, A/A)\) induz um isomorfismo \(q_{*,n}: H_n (X, A;R)\to H_n (X/A, A/A;R)\cong \widetilde{H}_n(X/A;R)\) para todo \(n\). Essa proposição será demonstrada na Seção 10.5.
Das Proposições 10.3 e de 10.3, segue o seguinte resultado.
Se \((X, A)\) é um bom par, então a seguinte sequência é exata 
Sejam \(X\) um CW-complexo e \(A\) um subcomplexo de \(X\), então \((X, \ A)\) é um bom par.
Os grupos de homologia singular reduzida da esfera \(n\)-dimensional são:
Para \(n=0\) o resultado é imediato. Para demonstrar o resultado para \(n\gt 0\), considere o par \((X, A) = (\mathbb {D}^n , \mathbb {S}^{n-1} )\), logo \(X/A = \mathbb {S}^n\). Como \(\mathbb {D}^n\) é contrátil, temos que \(\widetilde{H}_{p}(\mathbb {D}^n;R)=0\), para todo \(p\geq 0\), e logo temos 
Logo, \( \widetilde{H}_{0}(\mathbb {S}^n;R)=0\) e \(\widetilde{H}_{p}(\mathbb {S}^{n};R)\cong \widetilde{H}_{p-1}(\mathbb {S}^{n-1};R)\), para \(p\gt 0\), de onde segue o resultado.
O exemplo anterior garante que esferas de dimensões diferentes não são homeomorfas, e mais ainda, não possuem o mesmo tipo de homotopia.
Vamos calcular a homologia relativa \(H_n(\mathbb {S}^2,\mathbb {S}^0)\).
A esfera \(\mathbb {S}^0 \subset \mathbb {S}^2\) pode ser vista como dois pontos antípodas em \(\mathbb {S}^2\). Podemos então usar a sequência exata longa de homologia relativa para o par \((\mathbb {S}^2, \mathbb {S}^0)\) obtendo
Se \(i \geq 2\), então \(H_i(\mathbb {S}^0) = H_{i-1}(\mathbb {S}^0) = 0\), e logo \(H_i(\mathbb {S}^2, \mathbb {S}^0 ) \cong H_i(\mathbb {S}^2)\).
Agora para os termos \(i = 0,1\), observamos que \(H_0(\mathbb {S}^0) = \mathbb {Z}\times \mathbb {Z}\) e \(H_0(\mathbb {S}^2) = \mathbb {Z}\) e a aplicação \(i_*:\mathbb {Z}\times \mathbb {Z}\to \mathbb {Z}\) é sobrejetiva, pois a inclusão \(i:\mathbb {S}^0 \to \mathbb {S}^2\) é sobrejetiva nas componentes conexas por caminho. Portanto, a sequência exata se resume a
Além disso, como \(i_*\) é sobrejetiva, \(j\) é a aplicação nula e \(H_0(\mathbb {S}^2, \mathbb {S}^0) \cong 0\), e a aplicação se reduz a
De onde temos que \(\mathbb {Z}\oplus H_1(\mathbb {S}^2, \mathbb {S}^0) \cong \mathbb {Z}\times \mathbb {Z}\). E consequentemente
Sequência Exata Longa de uma Tripla
Uma generalização simples da sequência exata longa de um par \((X, A)\) é a sequência exata longa de uma tripla \((X, A, B)\), onde \(B \subset A \subset X:\) 
Esta é a sequência exata longa de grupos de homologia associada à sequência exata curta de complexos de cadeias formados pelas sequências exatas curtas 
Tomando \(B\) como um ponto, a sequência exata longa da tripla \((X, A, B)\) torna-se a sequência exata longa de homologia reduzida para o par \((X, A)\).
10.4 Primeiro Grupo de Homologia e o Grupo Fundamental
Há uma conexão estreita entre \(H_1(X;\mathbb {Z})\) e \(\pi _{1}(X, x_0)\), decorrente do fato de que se \(\gamma \) é um caminho fechado em \(X\), então o \(1\)-simplexo singular correspondente é um ciclo no complexo de cadeias singulares \(S_*(X;\mathbb {Z})\). Além disso, observe que um caminho constante \(\gamma (t)=x_0\) em \(X\) não é apenas um ciclo, mas um bordo. Para ver isso, considere o 2-simplexo \(\sigma _2: \Delta ^2 \to X\) que mapeia \(\Delta ^2\) no ponto \(x_0\). Então, como as três faces de \(\sigma _2\) são iguais a \(\gamma \), temos
Considere uma homotopia \(H :I\times I\rightarrow X\) de \(\gamma \) em \(\gamma '\) com extremos fixos. Subdividindo o quadrado \(I\times I\) em dois triângulos \([v_{0}, \ v_{1}, \ v_{2}]\) e \([v_{0}, \ v_{3}, \ v_{2}]\) temos um par de 2-simplexos singulares \(\sigma _{1}=H\mathord {\upharpoonright }{[v_{0}, \ v_{1}, \ v_{2}]}\) e \(\sigma _{2}=H\mathord {\upharpoonright }{[v_{0}, \ v_{3}, \ v_{2}]}\) em \(X\), conforme mostrado na Figura 10.6.
Quando calculamos \(\partial (\sigma _{1}-\sigma _{2})\), as duas restrições de \(H\) à diagonal do quadrado se cancelam, deixando \(\gamma -\gamma '\) e dois \(1\)-simplexos singulares constantes provenientes da imagem da restrição de \(H\) às bordas esquerda e direita do quadrado, que como já observamos são bordos. Logo, \(\gamma -\gamma '\) também é um bordo.
Em vista do lema anterior, temos uma função \(h:\pi _{1}(X, \ x_{0})\rightarrow H_1(X;\mathbb {Z})\) enviando a classe de homotopia de \(\{ \gamma \} \) para a classe de homologia do \(1\)-ciclo \([\gamma ]\). Vamos provar que essa função é um homomorfismo.
![Figura 10.7 σ : [e_0, e_1, e_2] → X](figures/inl-c10-tikz-010.png)
Seja \(\sigma : [e_0, e_1, e_2] \to X\) definida como:
\(\gamma \) na aresta \([e_0, e_1]\),
\(\gamma '\) na aresta \([e_1, e_2]\),
e constante nas retas paralelas à reta que une \(e_1\) com o ponto médio de \([e_0 , e_2 ]\),
como ilustrado na Figura 10.7. Logo, \(\sigma \) restrito a \([e_0 , e_2 ]\) é o caminho produto \(\gamma \ast \gamma '\). Consequentemente,
Logo a função \(h:\pi _{1}(X, \ x_{0})\rightarrow H_1(X;\mathbb {Z})\) é um homomorfismo. Como \(H_1 (X;\mathbb {Z})\) é um grupo abeliano, temos que \(h\) leva o subgrupo comutador
para zero, e assim obtemos o homomorfismo induzido
Poincaré-Hurewicz. Se o espaço topológico \(X\) é conexo por caminhos, então o homomorfismo \(h:\pi _{1}(X, \ x_{0})\rightarrow H_1(X;\mathbb {Z})\) é sobrejetivo e o seu kernel é o subgrupo comutador \([\pi _{1}(X, \ x_{0}),\pi _{1}(X, \ x_{0})]\), e consequentemente \(h\) induz um isomorfismo da abelianização de \(\pi _1 (X,x_0)\) em \(H_1 (X)\). Temos que mostrar que a aplicação \(h\) é sobrejetora e que seu kernel é \([\pi _1,\pi _1]\). Faremos isso construindo um homomorfismo
que será o inverso de \(\overline h\).
Para cada \(x\in X\), fixemos um caminho \(\gamma _x\) ligando \(x_0\) a \(x\). Se \(\sigma :\Delta ^1\to X\) é um \(1\)-simplexo singular, definimos
Por extensão linear, obtemos um homomorfismo
Essa aplicação depende, em geral, da escolha da família \((\gamma _x)\), mas sua restrição a \(Z_1(X;\mathbb Z)\) não. De fato, se \((\mu _x)_{x\in X}\) é outra escolha e \(g_\mu \) é a aplicação correspondente, então, para cada \(1\)-simplexo singular \(\sigma \),
Logo, se
como \(g_\mu \) e \(g_\gamma \) são homomorfismos e \(\pi _1(X,x_0)/[\pi _1,\pi _1]\) é abeliano, temos
Mas
Como \(S_0(X;\mathbb Z)\) é o grupo abeliano livre gerado pelos pontos de \(X\), segue que, para cada \(x\in X\), o coeficiente de \(x\) nessa soma é nulo. Portanto,
isto é,
Agora, no produto
podemos agrupar os fatores correspondentes a um mesmo vértice \(x\), pois \(\pi _1(X,x_0)/[\pi _1,\pi _1]\) é abeliano. A contribuição total de \(u(x)\) é então
Logo, todo esse produto é igual a \(1\), e portanto
Portanto \(g_\mu (z)=g_\gamma (z).\)
Pela independência demonstrada acima, podemos denotar por
a restrição comum das aplicações \(g_\gamma \) a \(Z_1(X;\mathbb Z)\). Resta agora mostrar que \(g\) leva \(B_1(X;\mathbb Z)\) no elemento trivial de
Uma vez feito isso, \(g\) induzirá um homomorfismo
Como \(B_1(X;\mathbb {Z})\) é gerado por todos os elementos do tipo \(\partial (\sigma )\), onde \(\sigma :\Delta ^{2}\rightarrow X\) é um \(2\)-simplexo singular, basta provar que, neste caso, \(g(\partial (\sigma ))\) é o elemento identidade.
Sejam \(v_i=\sigma (e_i)\), para \(i=0,1,2\),
e seja \(c=(c')^{-1}\), conforme representado na Figura 10.8.
Como \(\partial \sigma =a+b-c'\in Z_1(X;\mathbb {Z})\), temos \(g(\partial \sigma )=g_\gamma (a+b-c')\). Assim,
Finalmente, como o caminho fechado \(a*b*c\) é homotópico ao caminho constante baseado em \(v_{0}\), temos que o caminho fechado entre chaves é homotópico ao caminho constante baseado em \(x_{0}\). Logo, \( g(\partial \sigma )=1.\)
Precisamos de mais uma notação. Por linearidade, a aplicação \(x\mapsto \gamma _x\) induz um homomorfismo
e escreveremos
Se \(\sigma \) é uma \(1\)-cadeia em \(X\), então
Em particular, se \(\sigma \) é um ciclo, então
Para um \(1\)-simplexo singular \(\sigma \), temos
Pela definição de \(\overline h\),
Pelo Lema 10.3,
Portanto,
Por linearidade, a igualdade vale para toda \(1\)-cadeia \(\sigma \). Se \(\sigma \) é um ciclo, então \(\partial \sigma =0\), e portanto \( \overline{h}\, g(\sigma )=[\sigma ].\)
Demonstração do Teorema de Poincaré-Hurewicz
Já demonstramos que a aplicação
definida anteriormente é um homomorfismo. Como \(g(B_1(X;\mathbb {Z}))=\{ 1\} \), a aplicação \(g\) induz um homomorfismo
colocando \(\overline{g}([z])=g(z).\) Além disso, para cada classe de laços \(\{ \alpha \} \) baseada em \(x_0\), temos
pois classes conjugadas coincidem na abelianização \(\pi _1(X,x_0)/[\pi _1,\pi _1]\). Reciprocamente, para cada \([z]\in H_1(X;\mathbb {Z})\), a proposição anterior mostra que
\(\square \)
10.5 Propriedade de Excisão e Sequência de Mayer-Vietoris
Nesta seção, vamos apresentar a propriedade de excisão para a homologia singular, que é uma das principais características da homologia singular e que nos permite calcular de modo efetivo a homologia. A demonstração da propriedade de excisão depende do Princípio da Localidade que será apresentado na próxima seção, vamos nos concentrar aqui em algumas consequências e aplicações. Em particular, vamos deduzir a sequência de Mayer-Vietoris e, em seguida, calcular os grupos de homologia das esferas.
Queremos definir o conceito de simplexos singulares pequeno (ou local). Se estivéssemos num espaço métrico poderíamos usar o conceito de diâmetro do simplexo, não estando, definimos um simplexo singular como pequeno se ele estiver contido numa cobertura aberta dada.
Seja \(X\) um espaço topológico, para qualquer família \(\mathcal{U}=\{ U_{i}\} _{i\in I}\) de subconjuntos de \(X\) que formam uma cobertura aberta de \(X\), dizemos que um \(p\)-simplexo singular \(\sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X\) é \(\mathcal{U}\)-pequeno se sua imagem estiver contida em algum \(U_{i}\). O submódulo \(S_{p}^{\mathcal{U}}(X;R)\) de \(S_{p}(X;R)\) consiste em todas as \(p\)-cadeias singulares \(\displaystyle \sum \lambda _{ k}\sigma _{k}\) tal que cada \(p\)-simplexo \(\sigma _{k}\) é \(\mathcal{U}\)-pequeno. O morfismo de bordo \(\partial _{p}:S_{p}(X;R)\rightarrow S_{p-1}(X;R)\) leva \(S_{p}^{\mathcal{U} }(X;R)\) em \(S_{p-1}^{\mathcal{U}}(X;R)\) e, dessa forma, \(S^{\mathcal{U}}(X;R)\) é um complexo de cadeias. Os módulos de homologia do complexo \(S^{\mathcal{U}}(X;R)\) são denotados por \(H_{p}^{\mathcal{U}}(X;R)\).
Princípio da Localidade. Seja \(X\) um espaço topológico, para qualquer família \(\mathcal{U}=\{ U_{i}\} _{i\in I}\) de subconjuntos que formam uma cobertura aberta de \(X\), as inclusões \(\iota _{p}:S_{p}^{\mathcal{U}}(X;R)\rightarrow S_{p}(X;R)\) induzem uma equivalência homotópica de cadeia; ou seja, existe uma família de morfismos de cadeias \(\rho _{p}:S_{p}(X;R)\rightarrow S_{p}^{\mathcal{U}}(X;R)\) tal que \(\rho \mathbin {\circ }\iota \) é homotópica à aplicação identidade de \(S^{\mathcal{U}}(X;R)\) e \(\iota \mathbin {\circ }\rho \) é homotópica a aplicação identidade de \(S_{*}(X;R)\). Como consequência, temos os isomorfismos \(H_{p}^{\mathcal{U}}(X;R)\cong H_{p}(X;R)\), para todo \(p\geq 0.\) A prova do Princípio da Localidade, apesar de intuitivamente simples, é longa e com passagens técnicas e é feita através da construção da subdivisão baricêntrica e será feita na próxima seção.
de Excisão. Seja \(X\) um espaço topológico e \(U\subset A\subset X\) um subespaço tal que \(\operatorname {cl}{U} \subset \operatorname {int}{A}\). Então a inclusão \((X\backslash U, \ A\backslash U)\rightarrow (X, \ A)\) induz isomorfismos nos grupos de homologia relativos:
Este teorema pode ser reformulado do seguinte modo.
de Excisão. Sejam \(X\) um espaço topológico e subespaços \(X_{1}, X_{2}\subseteq X\) tais que \(\operatorname {int}{X_{1}}\cup \operatorname {int}{X_{2}}=X.\) Então a inclusão \((X_{1}, \ X_{1}\cap X_{2})\rightarrow (X, \ X_{2})\) induz isomorfismos em todos os grupos de homologia relativa:
Os Teoremas 10.5 e 10.5 são equivalentes, o que pode ser visto fazendo \(A=X_{2}\) e \(U=X\setminus X_{1}.\)
Sem perda de generalidade, podemos assumir que \(X_1\) e \(X_2\) são conjuntos abertos e que \(\mathcal{U}=\{ X_1, X_2\} \). Para simplificar a notação, omitiremos o anel \(R\).
Queremos mostrar que \(S_{*}(X_1, X_1 \cap X_2) \to S_{*}(X, X_2)\) induz isomorfismos nos grupos de homologia.
Considere o seguinte diagrama formado por sequências exatas curtas de complexos de cadeias 
A morfismo vertical do meio induz um isomorfismo de homologia pelo Princípio da Localidade, então temos, pela Sequência Exata Longa de Homologia: 
logo, pelo Lema dos Cinco (veja Exercício 86), temos que \(H_n( S_{*}^{\mathcal{U}}(X)/S_{*}(X_2)) \cong H_n( X,X_2 )\).
Mas \(S_n^{\mathcal{U}} (X) = S_n (X_2) + S_n (X_1)\), e assim
onde usamos o terceiro Teorema do Isomorfismo. Logo,
O Princípio da Localidade fornece uma prova simples da sequência de Mayer-Vietoris em homologia singular.
Sequência de Mayer-Vietoris na Homologia Singular.
Sejam \(X\) um espaço topológico e subconjuntos \(A, B\) de \(X\) tais que \(X=\operatorname {\operatorname {int}}(A)\cup \operatorname {\operatorname {int}}(B)\), então existe uma sequência exata longa 
onde as aplicações \(\varphi \) e \( \psi \) são definidas por
e onde \(i, j, k, l\) são as aplicações de inclusão mostradas no diagrama abaixo: 
Se \( A\cap B\neq \emptyset \), existe uma sequência similar em homologia reduzida.
Definimos uma sequência 
para todo \(p\geq 0\), onde \(\varphi \) e \(\psi \) são definidas como
Observe que \(\psi \mathbin {\circ }\varphi =0\). A aplicação \(\varphi \) é injetora, enquanto \(\psi \) é sobrejetora. Temos \(\mathrm{im}\, \varphi \subseteq \ker \psi \), pois \(\psi \mathbin {\circ }\varphi =0\). O kernel de \(\psi \) consiste em todas as cadeias da forma \((\sigma , \ -\sigma )\), onde \(\sigma \in S(A;R)\) e \(-\sigma \in S(B;R)\), pois dessa forma \(\sigma \in S_{p}(A\cap B;R)\), por outro lado temos que \(\varphi (\sigma )=(\sigma , \ -\sigma )\), o que mostra que \(\ker \psi \subseteq \mathrm{im}\, \varphi .\) Portanto, a sequência é exata e temos uma sequência exata curta de complexos de cadeias. 
E logo temos a seguinte sequência exata longa em homologia 
No entanto, como \( X=\operatorname {\operatorname {int}}(A)\cup \operatorname {\operatorname {int}}(B)\), a Proposição 10.5 implica que
e obtemos a sequência exata longa 
como desejado.
Um argumento semelhante se aplica à homologia reduzida.
O morfismo de conexão \(\partial _{*} :H_n(X;R)\to H_{n-1} (A \cap B;R)\) possui a seguinte descrição: dada uma classe \(\alpha \in H_n (X)\), esta pode ser representada por um ciclo \(z= x +y\) de cadeias \(x, y\) em \(A\) e \(B\), respectivamente, satisfazendo \(\partial z =\partial (x + y) = 0\) e o elemento \(\partial _{*} \alpha H_{n-1} (A \cap B)\) é representado pelo ciclo \(\partial x = -\partial y\).
O Teorema de Mayer-Vietoris permite cálculos indutivos de grupos de homologia. Ilustraremos esse fato calculando os grupos de homologia das esferas.
Os grupos de homologia singular da esfera \(\mathbb {S}^m\), com \(m\geq 0\), são dados por:
O que pode ser reescrito como:
Como \(\mathbb {S}^{0}\) é a união disjunta de dois pontos, já calculamos seus grupos de homologia. Além disso, como todas as esferas restantes são conexas por caminho, já conhecemos todos os grupos de homologia zero dimensional.
Para \(n\geq 1\) consideramos a decomposição \(\mathbb {S}^m=X^+\cup X^-\) sendo \(X^+\) e \(X^-\) a esfera menos o polo norte e sul respectivamente, a parte interessante da sequência de Mayer-Vietoris, omitindo o anel \(R\) por brevidade, é: 
Como \(X^+\) e \(X^-\) são contráteis e \(X^+\cap X^- \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}\mathbb {S}^{m-1}\), obtemos um isomorfismo \(\widetilde{H}_{n}(\mathbb {S}^{m})\cong \widetilde{H}_{n-1}(\mathbb {S}^{m-1})\). A hipótese indutiva nos permite concluir a demonstração. A elegância desse cálculo está em termos usado a homologia reduzida, o que permitiu a redução do número de casos.
Para \(m\neq n\), as esferas \(\mathbb {S}^{m}\) e \(\mathbb {S}^{n}\) não possuem o mesmo tipo de homotopia.
Para \(m\geq 0 \), a esfera \(\mathbb {S}^{m}\) não é contrátil.
Seja \(X\) a figura do “oito” representada na Figura 10.9. Seja \(A\) o subconjunto obtido excluindo o ponto mais à esquerda e \(B\) o subconjunto obtido excluindo o ponto mais à direita.
Então \(A\) e \(B\) são ambos homotopicamente equivalentes a \(\mathbb {S}^1\), enquanto sua interseção \(A \cap B\) é homotopicamente equivalente a um único ponto \(*\). Portanto, temos a seguinte sequência de Mayer-Vietoris para \(X\) 
Usando as informações sobre as homologias de \(\mathbb {S}^1\) e \(*\), temos: 
Logo, \(H_n (X) = 0\), para \(n \gt 1\).
Vamos provar que \(H_1 (X;\mathbb {Z}) \cong \mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}\). Para isso, considere a sequência exata 
Como \(\mathrm{im}\, a_2= \ker a_1=\mathbb {Z}\), temos que \( a_2\) é sobrejetiva, logo,
Como qualquer subgrupo de \(\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}\) é da forma \((m\mathbb {Z})\oplus (n\mathbb {Z})\), o quociente \(\frac{\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}}{\ker a_2 } \) é da forma \( \mathbb {Z}/(m)\oplus \mathbb {Z}/(n)\), onde \(m,n\) podem ser zero e convencionamos \(\mathbb {Z}/(0) = \mathbb {Z}\). Logo, ou \(\ker a_2 =\mathbb {Z}\oplus 0\) ou \(\ker a_2 =0\oplus \mathbb {Z}\), assim \(\mathrm{im}\, a_3=\mathbb {Z}\oplus 0\) ou \(\mathrm{im}\, a_3=0\oplus \mathbb {Z}\). Portanto, \(\ker a_3 =0 \) e \(a_4\) é a aplicação nula, o que implica que \(a_5\) é um isomorfismo.
Outro modo de lidar com a sequência da Equação 10.5 é olhar para a aplicação \(a_3\). Se \(a_3=0\) temos que 
o que gera um absurdo. Logo \(a_3\neq 0\) e assim \(a_3\) é injetiva e logo \(\ker a_3=0\) e consequentemente \(\mathrm{im}\, a_4=0\) e logo temos 
o que implica que \(a_5\) é um isomorfismo
Finalmente, vale a pena observar que o cálculo é bem mais simples se utilizarmos a homologia reduzida. Nesse caso teríamos a seguinte sequência exata: 
e assim \(H_{1}(X;\mathbb {Z})=\widetilde{H}_{1}(X;\mathbb {Z}) \cong \mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}\).
Para o cálculo dos grupos de homologia da garrafa de Klein, usaremos a decomposição de \( \mathbb {K}\) como a união de duas faixas de Möbius \( A\) e \( B\) coladas ao longo do seu bordo, que é um círculo, conforme apresentado nas Figuras 10.10 e 10.11.
Assim, \( A\), \( B\) e sua interseção \( A\cap B\) são homotopicamente equivalentes a círculos, portanto a parte não trivial da sequência de Mayer-Vietoris produz
e a parte trivial implica que a homologia de \( \mathbb {K}\) se anula para dimensões maiores que \(2\).
A aplicação \(\alpha \) envia \(1\) para \((2, -2)\), já que o círculo que forma o bordo de uma faixa de Möbius envolve duas vezes o círculo central e \(\varphi (\sigma )=(i_{\# }(\sigma ), \ -j_{\# }(\sigma ))\). Em particular, \(\alpha \) é injetora, logo a homologia da dimensão \(2\) também se anula.
Temos ainda que \(\mathrm{im}\, \alpha =(2\mathbb {Z},-2\mathbb {Z}) =\ker \beta \) e \(\mathrm{im}\, \beta = \widetilde{H}_1(\mathbb {K})\). logo
Finalmente, escolhendo \((1, 0)\) e \((1, -1)\) como base para \(\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}\), segue que \(\widetilde{H}_n(\mathbb {K})=\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}_2\) e assim
Relembre que \((X, A)\) é um bom par, se \(A\subset X\) é um subespaço fechado não vazio que é um retrato de deformação de alguma vizinhança em \(X\), veja a Definição 10.3.
Se \((X, A)\) é um bom par, então a aplicação quociente \(q:(X, A)\to (X/A, A/A)\) induz um isomorfismo \(q_*: H_n (X, A;R)\to H_n (X/A, A/A;R)\cong \widetilde{H}_n(X/A;R)\), para todo \(n\).
Dada uma vizinhança \(V\) de \(A\) em \(X\) tal que \(A\) é um retrato de deformação de \(V\), temos o diagrama comutativo 
Se considerarmos a sequência exata longa da tripla \((X, V , A)\) 
temos que os grupos \(H_n (V , A)\) são zero para todo \(n\), porque um retrato de deformação de \(V\) sobre \(A\) fornece uma equivalência homotópica de pares \((V , A) \cong (A, A)\) e \(H_n (A, A) = 0\), o que implica que a seta horizontal superior esquerda é um isomorfismo: \(H_n(X, A;R) \cong H_n(X, V;R)\). O mesmo argumento para \(V /A\) e \(A/A\) mostra que a seta horizontal inferior esquerda também é um isomorfismo. Os outros dois morfismos horizontais são isomorfismos diretamente da propriedade de excisão. A aplicação vertical à direita \(q*\) é um isomorfismo já que \(q\) se restringe a um homeomorfismo no complemento de \(A\). Finalmente, segue da comutatividade do diagrama que o \(q_*\) do lado esquerdo é um isomorfismo.
Para a união por um ponto \(\bigvee _\alpha X_\alpha \), as inclusões \(i_\alpha : X_\alpha \hookrightarrow \bigvee _\alpha X_\alpha \) induzem o isomorfismo
se a união por um ponto for feita em pontos base \(x_\alpha \in X_\alpha \) de forma que os pares \(\left(X_\alpha , x_\alpha \right)\) sejam bons. A demonstração é direta e será deixada como exercício.
10.6 Limites Diretos e Axioma de Suporte Compacto
Limites Diretos
Um conjunto parcialmente ordenado \((\mathscr {I}, \leq )\) é dirigido se para todo \(i, j \in \mathscr {I}\) existe \(k \in \mathscr {I}\) tal que \(i \leq k \) e \(j \leq k\).
Números naturais \(\mathbb {N}\) com a ordem parcial \(\leq \) usual.
Números naturais positivos, com a ordem: \(i \leq j\) se \(i \mid j\). Esse conjunto é dirigido pois \(i, j \mid (i j)\).
Se \(x_{0}\) é um número real, então o conjunto \(I=\mathbb {R}\backslash \lbrace x_{0}\rbrace \) pode ser transformado em um conjunto direcionado definindo \( a\leq _{I}b\) se \( \left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|\). Portanto, os elementos "maiores" estão mais próximos de \(x_{0}\).
Se \(X\) é um espaço e \(A\) um subespaço, podemos considerar o conjunto parcialmente ordenado \(\mathcal{U}_{A}\) cujos elementos são os subconjuntos abertos de \(X\) contendo \(A\), ordenados dizendo que \(U \leq V\) se \(U \supseteq V\). Esse conjunto é dirigido porque a interseção de dois conjuntos abertos é aberto.
Seja \(\mathscr {I}\) um conjunto dirigido. Um sistema dirigido por \(\mathscr {I}\) em uma categoria \(\mathscr {C}\) é um funtor \(\mathscr {I} \rightarrow \mathscr {C}\). Isso significa que para cada \(i \in \mathscr {I}\) associamos um objeto \(X_{i} \in \mathscr {C}\), e para cada \(i \leq j\) atribuímos uma aplicação \(f_{i,j}: X_{i} \rightarrow X_{j}\), de tal forma que \(f_{i,i}=\operatorname {\operatorname {id}}_{X_{i}}\) e se \(i \leq j \leq k\) então \(f_{i, k}=f_{j, k} \circ f_{i, j}\).
Para comparar sistemas, precisamos de morfismos. Observamos que sistemas dirigidos em \(\mathscr {C}\) são functores \(\mathscr {I} \rightarrow \mathscr {C}\). Eles estão relacionados por transformações naturais, e esses são os morfismos na categoria de sistemas dirigidos \(\mathscr {I}\). Ou seja, um morfismo é uma escolha da aplicação \(g_{i}: X_{i} \rightarrow Y_{i}\), para cada \(i \in \mathscr {I}\), tal que 
comuta para todo \(i \leq j\).
Seja \(X: \mathscr {I} \rightarrow \mathscr {C}\) um sistema dirigido. O limite direto de \(X\) é um objeto \(L\) e uma aplicação \(X \rightarrow c_{L}\) que é inicial entre as aplicações para sistemas constantes. Isso significa que dado qualquer outra aplicação para um sistema constante, digamos \(X \rightarrow c_{A}\), existe uma aplicação única \(f: L \rightarrow A\) tal que 
comuta. Esta é uma propriedade universal.
É fácil ver que quaisquer dois limites diretos são canonicamente isomorfos; mas um sistema dirigido pode não ter um limite direto. A existência depende fortemente da categoria em consideração.
O limite direto de
na categoria dos grupos abelianos é \(\mathbb {Q}\).
Podemos reescrever o acima como um sistema isomorfo composto de inclusões de subgrupos de \(\mathbb {Q}\):
Observe os diagramas comutativos que mostram que esse sistema é isomorfo. 
Neste ponto o limite direto é a união dos subgrupos ascendentes, que dará o subgrupo de racionais.
Construção de Limites Diretos
Limites diretos podem ser construídos a partir de coprodutos e quocientes. Suponha que \(X: \mathscr {I} \rightarrow \mathscr {C}\) seja um sistema dirigido. Para construir o limite direto, comece formando (se possível) o coproduto sobre os elementos de \(\mathscr {I}\),
e munindo de uma certa relação de equivalência \(\sim \):
Onde , se \(x_{i}\in A_{i}\) e \(x_{j}\in A_{j}\), então \(x_{i}\sim \, x_{j}\) se, e somente se, houver algum \(k\in I\) com \(i \le k\) e \( j\leq k\) e tal que \( f_{{i,k}} (x_{i})=f_{{j,k}}(x_{j})\, \). Intuitivamente, dois elementos na união disjunta são equivalentes se, e somente se, eles "eventualmente se tornam iguais" no sistema direto. Uma formulação equivalente que destaca a dualidade ao limite inverso é que um elemento é equivalente a todas as suas imagens sob os mapas do sistema direto, ou seja, \({\displaystyle x_{i}\sim \, f_{i,j }(x_{i})}\) sempre que \(i\leq j\).
O processo de formação do coproduto e do quociente dependerá da categoria em que você está trabalhando e pode não ser possível. Em conjuntos, o coproduto é uma união disjunta e o quociente forma apenas classes de equivalência. Nos grupos abelianos, o coproduto é a soma direta e para formar o quociente você divide pelo subgrupo gerado pelas diferenças.
A conclusão é que existem limites diretos em \(\mathbf{Set}, \mathbf{Top}, \mathbf{Ab}, \mathbf{{}_R{Mod}}\) e muitas outras categorias.
O próximo lema que nos permite identificar quando uma aplicação para um sistema constante é um limite direto.
Seja \(X: \mathscr {I} \rightarrow \mathbf{Ab}\left(\right.\)ou \(\left.\mathbf{{}_R{Mod}}\right)\). Uma aplicação \(f: X \rightarrow c_{L}\left(\right.\) dada por \(f_{i}: X_{i} \rightarrow L\) para \(\left.i \in \mathscr {I}\right)\) é o limite direto se, e somente se,:
Para cada \(x \in L\), existe um \(i \in \mathscr {I}\) e um \(x_{i} \in X_{i}\) tal que \(f_{i}\left(x_{ i}\right)=x\).
Seja \(x_{i} \in X_{i}\) tal que \(f_{i}\left(x_{i}\right)=0\) in \(L\). Então existe algum \(j \geq i\) tal que \(f_{i j}\left(x_{i}\right)=0\) em \(X_{j}\).
O funtor limite direto \(\varinjlim \limits _{i \in \mathscr {I}}: \operatorname {Fun}(\mathscr {I}, \mathbf{Ab}) \rightarrow \mathbf{Ab}\) é exato. Em outras palavras, se \(X \stackrel{p}{\rightarrow } Y \stackrel{q}{\rightarrow } Z\) é uma sequência exata de \(\mathscr {I}\) sistemas dirigidos, o que significa que em cada índice temos uma sequência exata de grupos abelianos, então \(\varinjlim \limits _{i \in \mathscr {I}} X \rightarrow \varinjlim \limits _{i \in \mathscr {I}} Y \rightarrow \varinjlim \limits _{i \in \mathscr {I}} Z\) é exato.
Como \(q \mathbin {\circ }p: X \rightarrow Z\) é zero, então \(\varinjlim \limits _{i \in \mathscr {I}} X \rightarrow \varinjlim \limits _{i \in \mathscr {I}} Z\) é a aplicação zero. Seja \(y \in \varinjlim \limits _{i \in \mathscr {I}} Y\), e suponha que \(y\) corresponda a 0 em \(\varinjlim \limits _{i \in \mathscr {I}} Z\). Logo existe \(i\) tal que \(y=f_{i}\left(y_{i}\right)\) para algum \(y_{i} \in Y_{i}\). Então \(0=q(y)=q f_{i}\left(y_{i}\right)=f_{i} q\left(y_{i}\right)\) porque \(q\) é uma aplicação de sistemas dirigidos.
Isso significa que existe \(j \geq i\) tal que \(f_{i j} q\left(y_{i}\right)=0\) em \(Z_{j}\). Então \(q f_{i j} y_{i}=0\), novamente porque \(q\) é uma aplicação de sistemas dirigidos. Então \(f_{i j} y_{i}\) é um elemento em \(Y_{j}\) que é levado para zero sob \(q\), então existe \(x_{j} \in X_{j}\) tal que \(p \left(x_{j}\right)=f_{i j} y_{i}\). Então \(f_{j}\left(x_{j}\right) \in \varinjlim \limits _{i \in \mathscr {I}} X\) é levado para \(y\).
A exatidão do limite direto tem muitas consequências úteis. Por exemplo:
Seja \(i \mapsto C(i)\) um sistema dirigido de complexos em cadeia. Então existe um isomorfismo natural
Axioma de Suporte Compacto
O Axioma de Suporte Compacto, que apresentaremos a seguir, implica que os grupos de homologia \(H_{p}(X, A ; R)\) são determinados pelos grupos \(H_{p}(C, D ; R)\) onde \((C, D)\) é um par compacto em \((X, A)\), o que significa que \(D \subseteq C \subseteq X, D \subseteq A \subseteq X\) onde \(C\) é compacto e \(D\) é compacto em \(C\).
Sejam \(\mathcal{K}(X, A)\) os conjuntos de todos os pares compactos de \((X, A)\) ordenados por inclusão então \(\mathcal{K}(X, A)\) é um conjunto dirigido.
Para qualquer par \((X, A)\) de espaços topológicos com \(A \subseteq X\), valem as seguintes propriedades:
Dada uma classe de homologia \(\alpha \in H_{p}(X, A)\), existe um par compacto \((C, D)\) em \((X, A)\) e uma classe de homologia \(\beta \in H_{p}(C, D ; R)\) tal que \(i_{*}(\beta )=\alpha \), onde \(i:(C, D) \rightarrow (X, A)\) é a inclusão.
Seja \((C, D)\) um par compacto em \((X, A)\), e seja \(\beta \in H_{p}(C, D ; R)\) uma classe de homologia tal que \( i_{*}(\beta )=0\). Então existe um par compacto \(\left(C^{\prime }, D^{\prime }\right)\) tal que \((C, D) \subseteq \) \(\left(C^{\prime }, D^{\prime }\right) \subseteq (X, A)\) e \(j_{*}(\beta )=0\), onde \(j:(C, D) \rightarrow \left(C^{\prime } , D^{\prime }\right)\) é a inclusão.
O funtor de homologia comuta com limites diretos.
O \(R\)-módulo \(H_{p}(X, A ; R)\) é isomorfo ao limite direto.
\[ H_{p}(X, A ; R) \cong \varinjlim _{(C, D) \in \mathcal{K}(X, A)} H_{p}(C, A;R) . \]
1 Vamos fazer a demonstração no caso em que \(A=\emptyset \). Para qualquer \(p\)-cadeia singular \(c \in S_{p}(X ; R)\) existe um subconjunto compacto \(C\) de \(X\) tal que \(c \in S_{p}(C ; R)\). Se \(a=\sum _{i=1}^{k} \lambda _{i} \sigma _{i} \in S_{p}(X ; R)\) é um ciclo representando a classe de homologia \(\alpha \), com \(\lambda _{i} \in R\) e cada \(\sigma _{i}\) um \(p\)-simplexo \(\sigma _{i}: \Delta ^{p} \rightarrow X\), como \(\Delta ^{p }\) é compacto e cada \(\sigma _{i}\) é contínuo, \(C=\sigma _{1}\left(\Delta ^{p}\right) \cup \cdots \cup \sigma _{k}\left( \Delta ^{p}\right)\) é um subconjunto compacto de \(X\) e \(a \in S_{p}(C ; R)\).
Seja \(b=\sum _{i=1}^{k} \lambda _{i} \sigma _{i}^{\prime } \in S_{p}(C; R)\) a cadeia \(p\) na qual \(\sigma _{i}^{\prime }: \Delta ^{p} \rightarrow C\) é a restrição de \(\sigma _{i}\) a \(C\). Precisamos verificar se \(b\) é um ciclo \(p\). Por definição da inclusão \(i\) temos \(a=i_{\sharp }(b)\), e como \(a\) é um ciclo \(p\) temos
Como \(i\) é injetora, \(i_{\sharp }\) também é injetora, portanto \(\partial b=0\), o que significa que \(b \in S_{p}(C ; R)\) é de fato um \( p\)-ciclo, e se \(\beta \) denota a classe de homologia de \(b\), temos \(i_{*}(\beta )=\alpha \). O argumento acima é facilmente adaptado ao caso em que \(A \neq \emptyset \).
2 É consequência do Corolário 10.6.
Se o conjunto \(X\) for localmente compacto teremos como consequência que a homologia dos subconjunto de uma união crescente de conjuntos abertos determina a homologia da união.
10.7 Demonstração do Princípio da Localidade
Princípio da Localidade. Seja \(X\) um espaço topológico, para qualquer família \(\mathcal{U}=\{ U_{i}\} _{i\in I}\) de subconjuntos que formam uma cobertura aberta de \(X\), as inclusões \(\iota _{p}:S_{p}^{\mathcal{U}}(X;R)\rightarrow S_{p}(X;R)\) induzem uma equivalência homotópica de cadeia; ou seja, existe uma família de morfismos de cadeias \(\rho _{p}:S_{p}(X;R)\rightarrow S_{p}^{\mathcal{U}}(X;R)\) tal que \(\rho \mathbin {\circ }\iota \) é homotópica à aplicação identidade de \(S^{\mathcal{U}}(X;R)\) e \(\iota \mathbin {\circ }\rho \) é homotópica a aplicação identidade de \(S_{*}(X;R)\). Como consequência, temos os isomorfismos \(H_{p}^{\mathcal{U}}(X;R)\cong H_{p}(X;R)\), para todo \(p\geq 0.\) A prova da proposição baseia-se na construção de duas aplicações naturais: um morfismo de complexos de cadeias denominado divisão baricêntrica
e uma homotopia de cadeia
entre \(\operatorname {bc}\) e a identidade. Assim, para qualquer \(\sigma \in S(X;R)\), queremos ter:
Observe que a existência da homotopia de cadeias implica que \(\operatorname {bc}\) induz a identidade em homologia, ou seja,
para todo \(\sigma \in S_n(X)\) com \(\partial \sigma =0 \). Seguirá da construção que:
para qualquer \(\sigma \in S_{n}(X;R)\), se aplicarmos \(\operatorname {bc}\) a \(\sigma \) um número suficientemente grande de vezes, obtemos uma cadeia \(\mathcal{U}\)-pequena, ou seja, \((\operatorname {bc}_{n})^{k}(\sigma )\in S_{n}^{\mathcal{U}}(X)\), para \(k\) suficientemente grande.
se \(\sigma \) é uma cadeia \(\mathcal{U}\)-pequena, a cadeia \(R_{n}(\sigma )\) também será uma cadeia \(\mathcal{U}\)-pequena.
A existência de tais aplicações implicam a Proposição 10.5.
Divisão Baricêntrica
Vamos começar com uma construção preliminar, a construção do cone.
Para \(\sigma :\Delta ^{n}\rightarrow A\) com \(A\) um subconjunto convexo de \(\mathbb {R}^m\), as aplicações lineares \(\Delta ^n \rightarrow A\) geram um subgrupo de \(S_{n}(A;R)\) que denotamos \(S_{n}^{L}(A;R)\), as cadeias lineares. O morfismo de bordo \(\partial \) leva \(S_{n}^{L}(A;R)\) a \(S_{n-1}^{L}(A;R)\), e dessa forma as cadeias lineares formam um subcomplexo do complexo de cadeias singular de \(A\).
Podemos designar de maneira inequívoca uma aplicação linear \(\sigma : \Delta ^n \rightarrow A\) por \(\left[v_0, \cdots , v_n\right]\) onde \(v_i\) é a imagem sob \(\sigma \) do \(i\)-ésimo vértice de \(\Delta ^n\).
Feita essas convenções definimos o cone:
A extensão linear de \(\operatorname {C}_{y}\) para as cadeias lineares será denotada pela mesma notação:
Temos a seguinte expressão para o bordo do cone:
Passamos agora à construção das aplicações \(\operatorname {bc}^{X}\) e \(R^{X}\). Para realizar a construção imporemos como condição a naturalidade desses morfismos, ou seja, que os seguintes diagramas comutam para qualquer função contínua \(f:X\to Y\): 
A naturalidade aliada à linearidade dessas aplicações tem como consequência que \(\operatorname {bc}\) e \(R\) são completamente determinados pelo seu efeito nas aplicações identidades \(\operatorname {\operatorname {id}}_{n} :\Delta ^{n}\rightarrow \Delta ^{n}\).
De fato, dado um gerador \(\sigma \in S_{n}(X;R), \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X\), temos:
Antes de realizar a construção da divisão baricêntrica, vamos apresentar uma descrição intuitiva. Seja \(b_n = \sum _{i=0}^n \frac{1}{n+1} v_i\) o baricentro (centro de massa) do n-simplexo \(\Delta ^n = [v_0 , \dots , v_n]\). A subdivisão baricêntrica de \(\Delta ^n\) consiste nos simplexos \([b_n , w_1 , \dots , w_n ]\), onde \([ w_1 , \dots , w_n ]\) percorre os \((n - 1)\)-simplexos obtidas pela subdivisão baricêntrica das \(n + 1\) faces \([v_0 , \dots , \hat{v_i} , \dots , v_n ]\) de \(\Delta ^n\). Para concluir a definição indutiva, fixamos que a subdivisão baricêntrica de \([v_0]\) deve ser apenas \([v_0]\). Uma visualização para os simplexos de dimensão baixa é apresentada na Figura 10.12.
Vamos realizar a construção. Faremos a construção para o caso geral \(\sigma \in S(X;R)\), já que o caso geral não nos coloca nenhuma dificuldade a mais. Começamos definindo \(\operatorname {bc}_n\) para todos os espaços \(X\) por indução em \(n\). Para \(n=0 \), vamos colocar \(\operatorname {bc}_{0}^{\Delta ^{0}}(\operatorname {\operatorname {id}}_{0})=\operatorname {\operatorname {id}}_{0}\). Isso define \(\operatorname {bc}_{0}^{X}(\sigma )\) para todos os espaços \(X\) e todos os \(\sigma \in S_{0}(X).\) Para a etapa de indução, vamos supor que \(\operatorname {bc}_n(\sigma )\) já tenha sido definido para todos os \(X\) e todos os \(\sigma \) e definimos
onde \(b=b_{n+1}\) é o baricentro de \(\Delta ^{n+1}\). A naturalidade força a definição de \(\operatorname {bc}_{n+1}^{X}(\sigma )\) para qualquer gerador \(\sigma \in S(X;R)\) pelas fórmulas acima, que são estendidas linearmente para \((n+1)\)-cadeias arbitrárias.
Com isso, concluímos a definição dos operadores de subdivisão baricêntrica \(\operatorname {bc}_n:S_{n}(X;R)\rightarrow S_{n}(X;R)\).
Provaremos que \(\partial \mathbin {\circ }\operatorname {bc}_n^{X}(\sigma )=\operatorname {bc}_{n-1}^{X}\mathbin {\circ }\partial (\sigma )\) por indução em \(n\). Antes de prosseguirmos é desejável que você se convença geometricamente da validade desse resultado. Para \(n=0 \), a demonstração é direta. Suponha que a fórmula seja válida para todos os \(X \) e \(\sigma \), para um \(n\) fixo. Então para \(n+1 \) temos a seguinte cadeia de identidades onde as três primeiras são dadas por definição e pelo fato de que \(\sigma _{\sharp }\) é uma aplicação de cadeia, a quarta é consequência da fórmula do bordo cone e a quinta por hipótese de indução:
O próximo passo é definir as homotopias de cadeias \(R_{n}^{X}:S_{n}(X;R)\rightarrow S_{n+1}(X;R)\), novamente por indução em \(n\) e de tal forma que a fórmula de homotopia \(\partial R_{n}(\sigma )+R_{n-1}(\partial \sigma )\ =\ \operatorname {bc}_{n}(\sigma )-\sigma \) se mantenha. Nesta construção, usamos o chamado método dos modelos acíclicos. Para isso, usaremos o fato que espaços contráteis têm grupos de homologia triviais em dimensões positivas, o que se aplica, em particular, aos simplexos. Em dimensão \( 0 \), definimos:
Uma vez que o bordo de \(R_{0}^{\Delta ^{0}}(\operatorname {\operatorname {id}}_{0})\) é zero, a fórmula de homotopia é satisfeita nesta dimensão. Isso define \(R_{0}^{X}\) para todos os espaços \(X\) (por meio de 10.6). Para a etapa indutiva, vamos agora supor que \(R_{n}^{X}\) já foi definido para todos os \(X\), de tal forma que a fórmula de homotopia
seja verdadeira para todos os espaços \(X\). Para completar a definição \(R_{n+1}^{X}\) para todos \( X\), basta encontrar um elemento
que satisfaça a fórmula \(\partial \beta +R_{n}^{\Delta ^{n+1}}(\partial \operatorname {\operatorname {id}}_{n+1})=\operatorname {bc}_{n+1}^{\Delta ^{n+1}}(\operatorname {\operatorname {id}}_{n+1})-\operatorname {\operatorname {id}}_{n+1}\), ou seja,
Para provar que tal \(\beta \) existe, basta mostrar que o lado direito é um ciclo. Esse é o ponto crucial desse método! Podemos então usar esse \(\widetilde{H}_{n+1}(\Delta ^{n+1})\cong 0 \) para concluir que este ciclo tem que ser um bordo, ou seja, que tal \(\beta \) existe. O fato do lado direito ser um ciclo decorre do seguinte cálculo usando a fórmula de homotopia na dimensão \(n\) e o fato de \(\operatorname {bc}^{\Delta ^{n+1}}\) ser uma aplicação de cadeias:
Assim, podemos encontrar tal \(\beta \) e isso conclui a construção indutiva da homotopia de cadeias natural \(R^{X}\) para todos os \(X.\)
Divisão Baricêntrica é \(\mathcal{U}\)-pequena
Seja \(\sigma :\Delta ^{n}\rightarrow A\) com \(A\) um subconjunto convexo de \(\mathbb {R}^m\) e seja \(\beta \) um \(n\)-simplexo da subdivisão baricêntrica de \(\sigma .\) Então
É evidente que o diâmetro de um simplexo é a distância máxima de quaisquer dois de seus vértices. Se nenhum desses dois vértices de \(\beta \) é o baricentro de \(\sigma \), então esses pontos estão em uma das faces de \(\sigma \), e nesse caso, terminamos por indução.
A distância do baricentro \(b_n\) de \(\sigma \) a qualquer um dos vértices \(v\) ocorrendo em \(\beta \) é máxima se \(v\) for um vértice de \(\sigma =[v_{0} , \ \ldots , \ v_{n}]\), digamos \(v=v_{i}\). A reta que passa por \(v_{i}\) e \(b\) intercepta a \(i\)-ésima face \([v_{0}, \ \ldots , \hat{v_{i}}, \ \ldots , \ v_{n}]\) de \(\sigma \) em seu baricentro \(b_{i}=\dfrac {1}{n}(v_{0}+\cdots +\hat{v_{i}}+\cdots +v_{n})\) e, portanto,
Logo,
Precisaremos do seguinte lema:
Por compacidade podemos assumir que \(\left\{ U_1, \ldots , U_n\right\} \) é uma cobertura aberta finita do espaço métrico compacto \(X\).
Agora suponha que não exista tal \(\lambda \). Então, para cada \(n \in \mathbb {N}\), seja \(A_n\) um conjunto de diâmetro \(\lt 1 / n\) tal que \(A_n \notin U_i\) para qualquer \(i\). Escolha \(x_n \in A_n\) para cada \(n\) e considere \(x\) um ponto de acumulação da sequência resultante. Temos que \(x \in U_i\), para algum \(i\), então para algum \(\lambda \gt 0, U(x, \lambda ) \subset U_i\). Escolha \(n\) suficientemente grande de modo que \(1 / n\lt \lambda / 2\), e seja \(m\gt n\) tal que \(x_m \in U(x, \lambda / 2)\). Logo \(x_m \in A_m\), e consequentemente \(A_m \cap U(x, \lambda / 2) \neq \varnothing \). Como o diâmetro de \(A_m\) é menor que \(\lambda / 2\) temos que \(A_m \subset U(x, \lambda ) \subset U_i\), uma contradição.
Qualquer número \(\lambda \) que funcione no lema anterior é chamado de número de Lebesgue para a cobertura.
Para qualquer cobertura aberta \(\mathcal{U}=\{ U_{i}\} \) de \(X\) e para todo \(\sigma ^{p}:\Delta ^{p}\rightarrow X, \) existe um inteiro \(k\geq 0\) tal que \(\operatorname {bc}^{k}(\sigma ^{p})\) é \(\mathcal{U}\)-pequeno.
Escolha um número de Lebesgue \(\lambda \) associado a a cobertura aberta \(\{ (\sigma ^{p})^{-1}(U_{i})\} \) do espaço métrico compacto \(\Delta _{p}\). Então, para qualquer inteiro \(k\geq 0\) com \(\displaystyle (\frac{p}{p+1})^{k}\lt \lambda \), o diâmetro dos simplexos em \(\operatorname {bc}^{k}(\operatorname {\operatorname {id}}_{\Delta p})\) é limitada por cima por \(\lambda \) e, portanto, \(\operatorname {bc}^{k}(\sigma ^{p})\) é \(\mathcal{U}\)-pequeno.
Para terminar a demonstração do Princípio de Localidade precisamos da seguinte observação:
A Equação 10.7 que nos diz que \(R_{n}^{\Delta ^{n}}(\operatorname {\operatorname {id}}_n)\in S_{n+1}(\Delta ^{n};R)\) e assim \(R_{n}^{X}(\sigma )\in S_{n+1}(\sigma (\Delta ^{n});R)\subset S_{n+1}^{\mathcal{U}}(X;R)\).
10.8 Equivalência entre a Homologia Simplicial e Singular
O propósito desta seção é mostrar que as homologias singular e simplicial coincidem em \(\Delta \)-complexos. Denotaremos por \(H^{\Delta } (X, A;R)\) a homologia simplicial e por \(H^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}} (X, A;R)\) a homologia singular de \(X\).
Vamos provar primeiramente o caso não relativo \(H^{\Delta } (X;R) \cong H^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}} (X;R)\). É fácil ver a existência de um homomorfismo neste caso: já temos uma aplicação \(C^{\Delta }_n(X;R) \to S_n(X;R)\) do módulo de cadeias simpliciais para o módulo de cadeias singulares que vê cada simplexo \(\sigma : \Delta ^n \to X\) da estrutura de \(\Delta \)-complexo de \(X\) como um simplexo singular \(\sigma : \Delta ^n \to X\). Isso induz uma aplicação \(H^\Delta _n(X;R) \to H_n^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(X;R)\).
Certamente \(\operatorname {\operatorname {id}}_{n}\) define um ciclo, e claramente gera para \(n=0\). Fazemos uma indução relacionando \(\operatorname {\operatorname {id}}_{n}\) a \(\operatorname {\operatorname {id}}_{n-1}\) eliminando \(\Lambda \subset \Delta ^{n}\), a união de todas as faces \((n-1)\)-dimensionais, exceto uma, de \(\Delta ^{n}\) e considerando a tripla de espaços \((\Delta ^{n}, \partial \Delta ^{n}, \Lambda ;R)\). Como \(H_{i}(\Delta ^{n}, \Lambda ;R)=0\) por retrato de deformação, obtemos o isomorfismo
Mas \((\partial \Delta ^{n}, \Lambda )\) e \((\Delta ^{n-1}, \partial \Delta ^{n-1})\) são bons pares e, portanto, as homologias relativas são iguais a homologia reduzida dos quocientes, que são homeomorfos. Daí, temos
e consequentemente
Sob o isomorfismo \(H_{n}^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(\Delta ^{n}, \partial \Delta ^{n};R)\to H_{n-1}^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(\partial \Delta ^{n}, \Lambda ;R)\) o \( \operatorname {\operatorname {id}}_{n}\) é enviado para \(\partial \operatorname {\operatorname {id}}_{n}\) que no complexo relativo é \(\pm \operatorname {\operatorname {id}}_{n-1 }\), então vemos que \(\operatorname {\operatorname {id}}_{n}\) gera se, e somente se, \(\operatorname {\operatorname {id}}_{n-1}\) gera.
Seja \(X\) um \(\Delta \)-complexo. Então, para todo \(n\), os homomorfismos \(H^\Delta _n(X;R) \to H_n^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(X;R)\) são isomorfismos.
Faremos primeiramente o caso absoluto no qual \(X\) é um \(\Delta \)-complexo finito. Seja \(X^k\) o \(k\)-esqueleto de \(X\), como \(X^{k-1} \subset X^k\), temos o seguinte diagrama comutativo de sequências exatas: 
Vamos provar que a aplicação do meio do diagrama anterior é um isomorfismo. Para isso provaremos inicialmente que \(H^\Delta _{n+1} (X^k, X^{k-1};R)\cong H^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}_{n+1} (X^k, X^{k-1};R)\).
Começamos observando que o espaço \(X^k/X^{k-1}\) contém apenas simplexos de dimensão \(k\). Portanto, para \(n \ne k\), o grupo \(C_n^\Delta (X^k, X^{k-1};R)\) é igual a zero. Quando \(n=k\), \(C^\Delta _n(X^k, X^{k-1})\) é um módulo livre com base os \(k\)-simplexos de \(X\).
Como os ciclos \(Z_n^\Delta \) formam um subgrupo em \(C_n^\Delta \), e o módulo de bordo \(B_n^\Delta \) é vazio temos
Para calcular o grupo de homologia singular \(H_{n}^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(X^{k}, \ X^{k-1})\), observamos que as aplicações características \(\Delta ^k \to X\) para todos os \(k\)-simplexos de \(X\) considerados em conjunto nos fornecem uma aplicação contínua:
Esta aplicação induz uma aplicação no quociente \(\Phi _*: \sqcup _{\alpha } \Delta ^k_{\alpha }/ \sqcup _{\alpha } \Delta ^{k-1}_{\alpha } \to X^k/X^{k- 1}\). Como a aplicação induzida no quociente é contínua, bijetiva e como \(X^k/X^{k- 1}\) é um espaço Hausdorff e compacto, ela é um homeomorfismo.
Assim, temos 
que mostra que o morfismo superior é um isomorfismo e assim \(\bigoplus _{\alpha } H_n^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(\Delta _{\alpha }^{k}, \ \partial \Delta _{\alpha }^{k})\cong H_n^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(X^{k}, \ X^{k-1})\). Usando o lema anterior que nos diz que os geradores de \(H_n^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(\Delta ^{k}, \ \partial \Delta ^{k})\) são iguais aos geradores da homologia simplicial, obtemos que as aplicações
são isomorfismos.
Usamos a indução para completar o argumento e, portanto, assumimos que a segunda e a quinta setas também são isomorfismos. Podemos então provar que a terceira seta é um isomorfismo usando o Lema dos Cinco e assim \(H^\Delta _n(X^k;R) \to H_n^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(X^k;R)\) deve, portanto, ser um isomorfismo.
Como \(H_n^{\Delta }(X) \cong H_n^{\Delta ^n}\left(X^k\right)\), para \(k\gt n\), temos
Usando que um simplexo singular \(\sigma : \Delta ^n \rightarrow X\) tem imagem compacta, temos que toda \(n\)-cadeia singular em \(X\) está em algum \(k\)-esqueleto \(X^k\). Isso implica que também temos \(H_*^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}(X) \cong \) \(\varinjlim _k H_*^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}}\left(X^k\right)\) do qual concluímos
e, portanto, o teorema está provado.
Falta demonstrar o caso com \(A \neq \emptyset \), mas isso decorre do caso absoluto aplicando o Lema dos Cinco a sequência exata longa de grupos de homologia simplicial e singular para o par \((X, A)\).
Como corolário, temos a invariância da homologia simplicial:
Invariância. Dado um espaço topológico que admite estrutura de \(\Delta \)-complexo, a homologia simplicial de \(X\) não depende da escolha da estrutura de \(\Delta \)-complexo. Suponha que o par de espaços \((X, A)\) admita uma estrutura de \(\Delta \)-par com um número finito de \(n\)-simplexos fora de A e assuma que \(R\) é um domínio de ideais principais. Então \(H_n^{\scriptstyle {\operatorname {Sg}}} (X, A; R)\) é finitamente apresentada.
Sobre um domínio ideal principal, os submódulos de módulos livres de posto finito são livres de posto finito. Por hipótese, temos que \(C_n^{\Delta } (X, A; R)\) é livre de posto finito, portanto os submódulos \(Z_n^{\Delta }(X, A; R)\) e \(B_n^{\Delta } (X, A; R)\) também o são. E assim o resultado segue do Teorema 10.8.
10.9 Homologia com Coeficientes
Nesta seção vamos generalizar o conceito de homologia singular de modo a permitir coeficientes num \(R\)-módulo \(G\) qualquer. Como as construções envolvidas são extremamente similares ao que já apresentamos apenas esboçaremos boa parte dos argumentos e enunciaremos os principais resultados.
Intuitivamente, uma cadeia com coeficientes em \(G\) é uma combinação linear formal
onde os \(g_{i}\) são elementos do módulo \(G\). Uma maneira rigorosa de proceder a construção dessas cadeias é utilizando o produto tensorial, e começamos apresentando a construção para qualquer complexo de cadeias.
Produto Tensorial de Complexos de Cadeias
Começaremos pela construção do produto tensorial de complexo de cadeias de \(R\)-módulos e da homologia associada.
Sejam \(G\) um \(R\)-módulo e \(\mathcal{C}=\left(C_{p}, \partial \right)\) um complexo de cadeias de \(R\)-módulos. 
E associado o complexo obtido tomando o produto tensorial, onde para simplificar a notação, vamos omitir o subscrito \(R\) em \(\otimes _{R}\) já Como sempre iremos considerar tensores sobre o anel \(R\). 
Denotamos o \(p\)-ésimo grupo de homologia do complexo de cadeias \(\mathcal{C} \otimes G=\left(C_{p} \otimes G, \partial \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\right)\) por \(H_{p} (\mathcal{C} ; G)\), e denominamos esse grupo de \(p\)-ésimo grupo de homologia de \(\mathcal{C}\) com coeficientes em \(G\).
Dado um complexo de cadeias aumentado, 
então tem-se o complexo de cadeias correspondente obtido de \(\mathcal{C} \otimes G\) adicionando \(R \otimes G \simeq G\) na dimensão \(-1\), e usando \(\epsilon \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\) como o operador de bordo da dimensão 0 até a dimensão \(-1\). 
Seus grupos de homologia são denotados \(\widetilde{H}_{p}(\mathcal{C} ; G)\) e são chamados de grupos de homologia reduzida de \(\mathcal{C}\) com coeficientes em \(G\).
Se \(\phi : \mathcal{C} \rightarrow \mathscr {D}\) é uma aplicação de cadeias , então \(\phi \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\) também o é: \(\mathcal{C} \otimes G \rightarrow \mathcal{D} \otimes G \). O homomorfismo de homologia induzido é por conveniência denotado por
Se \(\mathcal{C}\) e \(\mathcal{D}\) são complexos de cadeias aumentado e \(\phi \) preserva a aplicação de aumento, então \(\phi \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\) induz um homomorfismo de homologia reduzida bem como da homologia ordinária.
Se \(\phi , \psi : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}^{\prime }\) são aplicações de cadeias, e se \(H\) é uma homotopia de cadeias entre eles, então \(H \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\) é uma homotopia de cadeias entre \(\phi \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\) e \(\psi \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\). Segue-se que se \(\phi \) e \(\psi \) são homotópicas por cadeia, então \(\phi _{*}\) e \(\psi _{*}\) são iguais como homomorfismos de homologia com coeficientes arbitrários. Segue-se também que se \(\phi \) é uma equivalência de cadeias, então \(\phi \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\) também o é.
Finalmente, suponha que se tenha uma sequência exata curta 
de complexos de cadeias que se cindem em cada dimensão. Então a sequência obtida tomando o produto tensorial 
é exata. Aplicando o Lema do Zig-Zag, temos a sequência exata longa 
onde \(\partial _{*}\) é induzido por \(\partial \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\).
Homologia Singular com Coeficientes
Agora vamos especializar para o complexo de cadeias singulares \(\left(S_{*}(X ; R), \partial _{*}\right)\) abaixo 
tomando o produto tensorial com \(G\) temos o complexo 
O módulo \(S_{p}(X ; G)\) de cadeias \(p\) singulares com coeficientes em \(G\) é definido como o produto tensorial
Então pela definição \(S_{p} (X ; G)=S_{p}(X ; R) \otimes G\), temos o complexo de homologia 
denotado \(\left(S_{*}(X ; G), \partial _{*} \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\right)\)
Observamos que o \(R\)-módulo \(S_{p}(X ; R)\) é um módulo livre gerado por \(S_{\Delta ^{p}}(X)\) e logo temos o isomorfismo
Podemos dar uma descrição relativamente concreta dos elementos de \(S_{p}(X ; G)\). A soma direta em 10.10 é o \(R\)-módulo de todas as funções \(c: S_{\Delta ^{p}}(X) \rightarrow G\) que são zero, exceto para um número finito de \(\sigma \in S_{\Delta ^{p}}(X)\). Para qualquer \(g \neq 0\) e qualquer \(\sigma \in S_{\Delta ^{p}}(X)\), se denotamos por \(\sigma g\) a função de \(S_{\Delta ^{p} }(X)\) a \(G\) que tem o valor \(0\) para todos os argumentos exceto \(\sigma \) onde seu valor é \(g\), então todo \(c \in S_{p}(X ; R) \otimes _{R} G=S_{p}(X ; G)\) pode ser escrito de forma única como uma soma finita
para \(\sigma _{i} \in S_{\Delta ^{p}}(X)\) e \(g_{i} \in G\) diferente de zero.
Seja \(R\) um anel comutativo com unidade e \(G\) um \(R\)-módulo. Os módulos singulares de homologia \(H_{p}(X ; G)\) com coeficientes em \(G\) são os grupos de homologia do complexo 
ou seja,
Se \(\epsilon : S_{0}(X ; R) \rightarrow R\) é aplicação de aumento então obtemos um aplicação de aumento
ou seja, uma aplicação \(\epsilon \otimes \operatorname {\operatorname {id}}: S_{0}(X ; G) \rightarrow G\), e obtemos um complexo aumentado com \(G\) na dimensão \(-1\).
Os grupos de homologia do complexo 
são denotados \(\widetilde{H}_{p}(X ; G)\) e são chamados de grupos de homologia singular reduzida com coeficientes em \(G\). Como na Seção 10.1 podemos escolher uma aplicação injetora \(s: R \rightarrow S_{0}(X ; R)\) tal que \(\epsilon \mathbin {\circ }s= \operatorname {\operatorname {id}}\), e como \(R \otimes G \cong G\) e a sequência exata curta 
é cindida, fazendo o produto tensorial com \(G\) obtemos a sequência exata curta cindida 
e como \(H_{0}(X ; G)=S_{0}(X ; G) / \mathrm{im}\, \left(\partial _{1} \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\right), \widetilde{ H}_{0}(X ; G)=(\ker (\epsilon \otimes \operatorname {\operatorname {id}})) / \mathrm{im}\, \left(\partial _{1} \otimes \mathrm{id }\right) \cong \) \(((\ker \epsilon ) \otimes G) / \mathrm{im}\, \left(\partial _{1} \otimes \operatorname {\operatorname {id}}\right)\), e como \(\mathrm{im}\, \partial _{1} \subseteq \ker \epsilon \), obtemos
e consequentemente temos que
Uma aplicação contínua \(f:(X, A) \rightarrow (Y, B)\) induz a aplicação de cadeia
que induz um homomorfismo de homologia
Homologia Relativa
Se \(A\) é um subconjunto de \(X\), temos o complexo de cadeias \(\left(S_{*}(X, A ; R), \partial _{*}\right)\) abaixo 
onde \(S_{p}(X, A ; R)=S_{p}(X ; R) / S_{p}(A ; R)\), e tomando o produto tensorial com \(G\) e definindo
obtemos o complexo de cadeias \(\left(S_{*}(X, A ; R) \otimes G, \partial _{*} \otimes G\right)\) 
denotado \(\left(S_{*}(X, A ; G), \partial _{*} \otimes G\right)\)
Seja \(R\) um anel comutativo com unidade e \(G\) um \(R\)-módulo. Para qualquer subconjunto \(A\) do espaço \(X\), os módulos de homologia singular relativos \(H_{p}(X, A ; G)\) com coeficientes em \(G\) são os grupos de homologia do complexo acima; isso é,
A partir da sequência exata curta 
e como o módulo \(S_{p}(X, A ; R)\) é livre, a sequência anterior é cindida. Portanto, tomando o produto tensorial com \(G\) obtemos outra sequência exata curta 
E logo temos a sequência exata curta: 
E finalmente, associado a sequência exata curta anterior temos uma sequência exata longa de homologia.
Sequência Exata Longa de Homologia Relativa. Para cada par \((X, A)\) de espaços, para qualquer \(R\)-módulo \(G\), temos a seguinte sequência exata longa de grupos de homologia 
Invariância por Homotopia. Dados duas aplicações contínuas \(f, g:(X, A) \rightarrow \) \((Y, B)\) se \(f\) e \(g\) são homotópicas e \(H_{p}(f), H_{p}(g): H_{p}(X, A ; G) \rightarrow H_{p}(Y, B ; G)\) são os homomorfismos induzidos, então \(H_{p}(f)=H_{p }(g)\) para todo \(p \geq 0\).
Como consequência, se \((X, A)\) e \((Y, B)\) são homotopicamente equivalentes, então para qualquer \(R\)-módulo \(G\) os grupos de homologia \(H_{p}(X, A ; G) \) e \(H_{p}(Y, A ; G)\) são isomorfos para todo \(p \geq 0\). Mayer-Vietoris. Dados dois espaços topológicos \(X\) e \(Y\) com \(Y \subseteq X\) e dois subconjuntos \(A, B\) de \(X\) tais que \(Y=\operatorname {int}(A) \cup \operatorname {int}(B)\), existe uma sequência exata longa de homologia relativa 
Axioma da Excisão. Dados subespaços \(Z \subseteq A \subseteq X\) tais que o fecho de \(Z\) esteja contido no interior de \(A\), então para qualquer \(R\)-módulo \(G\) a inclusão \((X\setminus Z, A\setminus Z) \longrightarrow \) \((X, A)\) induz isomorfismos de homologia singular
Equivalentemente, para quaisquer subespaços \(A, B \subseteq X\) cujos interiores cobrem \(X\), a aplicação de inclusão \((B, A \cap B) \longrightarrow (X, A)\) induz isomorfismos
Observamos ainda que teorema sobre a homologia de bons pares também é verdadeiro para homologia com coeficientes em \(G\).
A homologia singular relativa com coeficientes em \(G\) satisfaz os axiomas da teoria da homologia de Eilenberg e Steenrod.
10.10 Teorema dos Coeficientes Universais
Em uma seção posterior demonstraremos o Teoremas dos Coeficientes Universais para a Homologia que estabelece relações entre grupos de homologia com diferentes coeficientes. Nessa seção apresentaremos um de seus corolários que nos diz que os grupos de homologia singulares com coeficientes em um grupo abeliano \(G\) são determinados pelos grupos de homologia singulares com coeficientes inteiros.
Coeficientes Universais para os Grupos de Homologia. Se \(X\) é um espaço topológico, \(A\) é um subconjunto de \(X\) e \(G\) um grupo abeliano. Então existe uma sequência exata cindida
A sequência é natural em relação a aplicação \((X, A)\to (Y , B)\). O homomorfismo \(\alpha \) envia \([z] \otimes g\) para um ciclo \(z\) para a classe de homologia \([z \otimes g]\). Como consequência temos o seguinte isomorfismo de homologia singular relativa:
para todo \(n \geq 0\).
O funtor \(\operatorname {\operatorname *{Tor}}\) será descrito em detalhes posteriormente. Apresentaremos nessa seção apenas um conjunto de propriedades que no caso em que \(G\) é um grupo abeliano finitamente gerado e \(A\) é grupo abeliano qualquer, nos permite calcular \(\operatorname {\operatorname *{Tor}}_{1}^{\mathbb {Z}}\). É comum descartar o subscrito \(1\) em \(\operatorname {\operatorname *{Tor}}_{1}^{\mathbb {Z}}\). O funtor \(\operatorname {\operatorname *{Tor}}_{1}^{\mathbb {Z}}\) possui as seguintes propriedades na categoria de grupos abelianos:
Uma decomposição de soma direta \(A \cong A_1 \oplus A_2\) induz uma decomposição de soma direta \(\operatorname {\operatorname *{Tor}}^{\mathbb {Z}} (A, G) \cong \operatorname {\operatorname *{Tor}}^{\mathbb {Z}} \left(A_1, G\right) \oplus \operatorname {\operatorname *{Tor}}^{\mathbb {Z}} \left(A_2, G\right)\).
\(\operatorname {\operatorname *{Tor}}^{\mathbb {Z}}(A, B) \cong \operatorname {\operatorname *{Tor}}^{\mathbb {Z}}(B, A)\)
Seja \(A\) um grupo abeliano livre. Então \(\operatorname {\operatorname *{Tor}}^{\mathbb {Z}} (A, G)=0\).
\(\operatorname {\operatorname *{Tor}}^{\mathbb {Z}} (\mathbb {Z}_n, G)= {}_{n}G \cong \ker \{ G\stackrel{n}{\rightarrow }G\} =\{ g \in G \mid n g=0\} \subset G\).
Se \(G\) é livre de torção, então \(\operatorname {\operatorname *{Tor}}^{\mathbb {Z}} (\mathbb {Z}_n, G)=0\).
\(\operatorname {\operatorname *{Tor}}^{\mathbb {Z}} (\mathbb {Z}_m, \mathbb {Z}_n) \cong \mathbb {Z}_d\) com \(d\) o máximo divisor comum de \(m, n.\)
Seja \(\mathbb {K}\) a garrafa de Klein e \(G=\mathbb {Z}_4\). Sabendo que \(H_1(\mathbb {K})=\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}_2\), e \(H_2(\mathbb {K})=0\), então:
10.11 \(\star \) Produto Cruzado e o Teorema de Eilenberg-Zilber
Produtos tensoriais de complexos de cadeias
Sejam \(C\) e \(D\) complexos de cadeias. Definimos o complexo produto tensorial como
onde o morfismo de bordo é definido nos geradores por
e estendido para todo \(C_* \otimes D_*\) por bilinearidade.
Eilenberg-Zilber. Existem aplicações de cadeia
que são únicas a menos de homotopia de cadeias, são naturais em \(X\) e \(Y\), e portanto \(\theta \mathbin {\circ }\times \) e \(\times \mathbin {\circ }\theta \) são homotópicas por cadeia à identidade.
Produto Cruzado
Existe uma aplicação \(\times : S_{p}(X) \times S_{q}(Y) \rightarrow S_{p+q}(X \times Y)\) denominada produto cruzado, satisfazendo:
Natural, no sentido de que se \(f: X \rightarrow X^{\prime }\) e \(g: Y \rightarrow Y^{\prime }\), e \(a \in S_{p}(X)\) e \(b \in S_{p}(Y)\) então
\[ f_{*}(a) \times g_{*} (b)=(f \times g)_{*}(a \times b) . \]Bilinear, no sentido de que
\begin{align*} \left(a+a^{\prime }\right) \times b & =(a \times b)+\left(a^{\prime } \times b\right) \qquad \text{ e } \\ a \times \left(b+b^{\prime }\right) & =(a\times b)+(a \times b^{\prime }). \end{align*}Regra de Leibniz, ou seja,
\[ \partial (a \times b)=( \partial a) \times b+(-1)^{p} a \times \partial b. \]Normalizado, no seguinte sentido. Seja \(x \in X\) e \(y \in Y\). Escreva \(j_{x}: Y \rightarrow X \times Y\) para \(y \mapsto (x, y)\), e escreva \(i_{y}: X \rightarrow X \times Y\) para \(x \mapsto (x , y)\). Então temos que
se \(b \in S_{q}(Y)\), então \(c_{x}^{0} \times b=\left(j_{x}\right)_{*} b \in \) \(S_{q }(X \times Y)\),
se \(a \in S_{p}(X)\), então \(a \times c_{y}^{0}=\left(i_{y}\right)_{ *} a \in S_{p}(X \times Y)\).
Vamos usar indução na dimensão da imagem: \(p+q\). O axioma da normalização nos fornece os casos iniciais onde \(p+q=0,1\). Vamos supor que construímos o produto cruzado na dimensão \(p+q-1\). Queremos então definir \(\sigma \times \tau \) para \(\sigma \in S_{p}(X)\) e \(\tau \in S_{q}(Y)\).
Observamos que há um exemplo universal de \(p\)-simplexo
É universal no sentido de que qualquer \(p\)-simplexo \(\sigma : \Delta ^{p} \rightarrow X\) pode ser escrito como \(\sigma _{*}\left(\operatorname {\operatorname {id}}_{p}\right)\) onde \(\sigma _{*}: S_{\Delta ^{p}}\left(\Delta ^{p}\right) \rightarrow S_{\Delta ^{p}}(X)\) é a aplicação induzida por \(\sigma \). Para definir \(\sigma \times \tau \) em geral, então, basta definir \(\operatorname {\operatorname {id}}_{p} \times \operatorname {\operatorname {id}}_{q} \in S_{p+q}\left(\Delta ^{p } \times \Delta ^{q}\right)\) Definimos então
Nossa longa lista de axiomas é útil na indução. Por um lado, se \(p=0\) ou \(q=0\), a normalização já nos forneceu a definição. Então agora suponha que \(p\) e \(q\) sejam positivos. Queremos que o produto cruzado satisfaça a regra de Leibnitz:
Como \(\partial ^{2}=0\), uma condição necessária para \(\operatorname {\operatorname {id}}_{p} \times \operatorname {\operatorname {id}}_{q}\) existir é que satisfaça:
Vamos calcular esse termo, usando a regra de Leibnitz na dimensão \(p+q-1\) onde temos pela suposição indutiva:
O subespaço \(\Delta ^{p} \times \Delta ^{q} \subseteq \mathbb {R}^{p+1} \times \mathbb {R}^{q+1}\) é convexo e não vazio, e portanto, estrelado. Portanto, sabemos que \(H_{p+q-1}\left(\Delta ^{p} \times \Delta ^{q}\right)=0\) e logo todo ciclo é um bordo. Então, escolha qualquer \(B\) tal que \(\partial B = \partial \left(\operatorname {\operatorname {id}}_{p} \times \operatorname {\operatorname {id}}_{q}\right)=\left( \partial \operatorname {\operatorname {id}}_{p}\right) \times \operatorname {\operatorname {id}}_{q}+(-1)^{p} \operatorname {\operatorname {id}}_{p} \times \partial \operatorname {\operatorname {id}}_{q} \quad \in S_{p+q-1}\left(\Delta ^{p} \times \Delta ^{q}\right)\) e definimos que \(\operatorname {\operatorname {id}}_{p} \times \operatorname {\operatorname {id}}_{q}\mathrel {\mathop:\! =}B\).
A indução agora está completa. Deixamos ao leitor verificar que essa escolha satisfaz a naturalidade, a bilinearidade e a regra de Leibniz.
O ponto essencial da construção do produto cruzado é que o espaço que suporta o par universal de simplexos, \(\Delta ^{p} \times \Delta ^{q}\), é acíclico. A naturalidade transporta o resultado desse fato para a situação geral.
Ressaltamos que produto cruzado que esse procedimento constrói obviamente não é único; depende de da escolha da cadeia \(\operatorname {\operatorname {id}}_{p} \times \operatorname {\operatorname {id}}_{q}\) para cada par \(p, q\) com \(p+q\gt 1\). Mas destacamos que quaisquer duas escolhas são equivalentes a menos de homotopia de cadeias.
Suponha que temos três complexos de cadeias \(A_*, B_*\) e \(C_*\), e suponha que tenhamos aplicações \(\times : A_p \times B_q \rightarrow C_{p+q}\) que satisfazem a bilinearidade e a fórmula de Leibniz. Esses dados determinam uma aplicação bilinear
Seja \(a \in Z_p(A)\) e \(b \in Z_q(B)\). Definimos
e vamos verificar que essa é a escolha correta. Para começar, \(a \times b\) é um ciclo pois
porque \(a\) e \(b \) são ciclos.
Agora precisamos verificar que o produto está bem definido, ou seja que só depende da classe de homologia de \(a \times b\). Para isso sejam \(a^{\prime }=a+d \bar{a}\) e \(b^{\prime }=b+d \bar{b}\) nas mesmas classes de homologia. Queremos \([a \times b]=\left[a^{\prime } \times b^{\prime }\right]\). Em outras palavras, precisamos mostrar que \(a \times b\) difere de \(a^{\prime } \times b^{\prime }\) por um bordo. Calculando \(a^{\prime } \times b^{\prime }\) temos:
Observando que \(d a=0\) temos
e que \(d b=0\) temos
Logo
e, portanto, são homólogos. A demonstração da bilinearidade é imediata.
Existe uma aplicação
que é natural, bilinear e normalizada.
Prove que se \(f : X \to Y\) é uma aplicação contínua entre dois espaços conexos por caminhos, então \(f_* : H_0(X)\to H_0(Y)\) é um isomorfismo. Calcule \(H_0(X, A)\) no caso em que \(X\) e \(A\) são conexos e no caso geral. Dados espaços topológicos \(X\) e \(Y\), e \(f:X\rightarrow Y\) uma função contínua, mostre que o diagrama abaixo é comutativo: Mostre que a homologia singular é aditiva, ou seja, existe um isomorfismo natural Construa para um espaço arbitrário \(X\) e um ponto arbitrário \(x_0 \in X\) um isomorfismo natural \(\widetilde{H}_n(X)=H_n\left(X, x_0\right)\). Construa a sequência de homologia de um tripla com \(B \subset A \subset X\) , e prove suas propriedades, incluindo a exatidão. No caso em que \(A\) não é vazio, uma combinação deste exercício com o Exercício 116 dá origem a uma sequência de homologia reduzida de um par, com os grupos absolutos \(H\) substituídos por \(\widetilde{H}\). Calcule os grupos de homologia de um cubo sólido perfurado conforme apresentado na Figura 10.15 Usando a sequência de Mayer-Vietoris ou não, calcule a homologia singular de \(\mathbb {R}^2 \setminus \{ 0\} \) e de \(\mathbb {R}^3\setminus \{ 0\} \). Calcule a homologia de \(\mathbb {R}^2 \setminus \mathbb {S}^0=\mathbb {R}^2 \setminus \{ (-1,0),(1,0)\} \). Como a homologia muda se excluirmos \(n\) pontos distintos de \(\mathbb {R}^2\) ? Qual seria a homologia se excluíssemos \(n\) pontos de \(\mathbb {R}^m\) ? Calcule a homologia de \(\mathbb {R}^2 \setminus \mathbb {S}^1\) usando a sequência de Mayer-Vietoris. Que outro espaço (com duas componentes) tem a mesma homologia? Essa outro espaço é do mesmo tipo de homotopia que \(\mathbb {R}^2 \setminus \mathbb {S}^1\)? Calcule a homologia de \(\mathbb {R}^3 \setminus \mathbb {S}^1\) usando a sequência de Mayer-Vietoris. Calcule a homologia de \(V\), o espaço obtido do toro \(T^2\) deletando um pequeno disco fechado. Calcule os grupos de homologia relativa do toro sólido relativo ao seu bordo, isto é, os grupos de homologia relativa \(H_\bullet (X, \partial X;R)\), onde \(X=D^2\times S^1\) e \(\partial X=S^1\times S^1\). Como \(X\) possui o mesmo tipo de homotopia que \(S^1\), pois \(S^1\) é um retrato por deformação de \(X\), temos que Os grupos de homologia de \(\partial X\) também são bem conhecidos: Dessa forma, temos a sequência exata longa Assim, claramente, \(H_i(X, \partial X;R)=0\), para \(i\gt 3\), e \(H_3(X, \partial X;R)\cong R \). Temos também que \(H_2(X, \partial X;R)\cong R \), pois temos \(H_2(X, \partial X;R )\cong \ker i_\ast \) e \(i_\ast \) é sobrejetora, pois preenchendo o toro oco, o ciclo fechado vertical na superfície de \(S^1\times S^1\) será eliminado, não o horizontal e assim \(H_2(X, \partial X;R )\cong R \). Finalmente, \(H_1(X, \partial X;R )=0\) já que \(H_0(\partial X;R )\longrightarrow H_0( X;R )\) é a aplicação identidade e assim \(H_1(X, \partial X;R )\longrightarrow H_0( \partial X;R )\longrightarrow H_0( X;R )\) é exata. O mesmo raciocínio aplicado à direita usando sobrejetividade da aplicação \(H_0(\partial X;R )\longrightarrow H_0( X;R )\) mostra que \(H_0(X, \partial X;R )=0\). Use a sequência de Mayer-Vietoris para obter informações sobre a homologia da superfície de gênero dois, apresentada na Figura 10.16 Dica: Os subespaços \(U\) e \(V\) devem ser homeomorfos ao espaço \(V\) do Exercício 126 Use a sequência de Mayer-Vietoris para calcular os grupos de homologia do toro. Mostre que se \(A\) é uma retração de \(X\) então a aplicação \(H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(X)\) induzida pela inclusão \(A\subset X\) é injetora. O cone \(C X\) sobre um espaço não vazio \(X\) é obtido de \([0,1] \times X\) identificando o subespaço \(\{ 0\} \times X\) a um ponto \(v\), o vértice de \(C X\). Prove que \(H_i(X, Y) \cong H_i(X \cup C Y)\), para \(i \geq 1\). Visualize a primeira subdivisão baricêntrica de \(\Delta ^3\) e conte o número de \(1\), \(2\) e \(3\)-simplexos nela. se a união por um ponto for feita em pontos base \(x_\alpha \in X_\alpha \) de forma que os pares \(\left(X_\alpha , x_\alpha \right)\) sejam bons. Todo grafo tem o tipo de homotopia de um buquê de círculos. Suponha que \(X\) seja um grafo, do tipo de homotopia de um buquê de \(n\) círculos. Prove que \(n\) é um invariante por homotopia de \(X\). Chamamos \(n\) de o número Betti de \(X\). Suponha que \(X\) é a união de conjuntos abertos \(U_0, \ldots , U_n\) tais que todos os grupos de homologia \(H_k(Y)\) se anulam para qualquer interseção \(Y=U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_r}\) desses conjuntos abertos e para todos os \(k\gt 0\). (Essa cobertura aberta \(\left\{ U_0, \ldots , U_n\right\} \) é dita uma cobertura acíclica, neste caso.) Seja \(\Sigma X\) a suspensão de \(X\). Seja \(\mathbb {S}^n\) para \(n \in \mathbb {N}\) a \(n\)-esfera. Prove que \(\Sigma \mathbb {S}^n\) e \(\mathbb {S}^{n+1}\) são homeomorfos e calcule os grupos de homologia de \(\mathbb {S}^n\) a partir disso. Calcule \(H_*(\mathbb {Q})\). (Homologia singular de espaços fracamente contráteis). Um espaço topológico \(X\) é fracamente contráctil se existe um \(x_0 \in X\) tal que para todo \(n \in \mathbb {N}\) o conjunto \(\pi _n\left(X, x_0\right)\) tem exatamente um elemento. Equivalentemente, um espaço topológico \(X\) é fracamente contráctil se qualquer aplicação contínua de um simplexo é homotopicamente nula. O círculo de Warsaw é definido como o subconjunto de \(\mathbb {R}^2\): onde \(C\) é um arco ligando os pontos \((1/2\pi ,0)\) e \((-1/2\pi ,0)\), disjunto dos outros dois subconjuntos especificados acima, exceto em seus pontos finais, veja Figura 10.17. Para qualquer simplexo singular \(\sigma :\Delta ^n \to W\), existe algum \(\delta \gt 0\) tal que \(\sigma (\Delta ^n) \cap ((0,\delta ) \times \mathbb {R})\) é vazio. Dado este fato, qualquer simplexo dado encontra-se em um subespaço contrátil de \(W\). Como aplicações homotópicas são homólogas, isso fornece que toda cadeia singular (e, portanto, todo ciclo singular) é nula na homologia. Em outras palavras \(\tilde H_n(W,\mathbb {Z})=0\) para todo \(n\). Prova da afirmação: se a afirmação não fosse verdadeira, haveria uma sequência de pontos \(p_k \in \Delta ^n\) tal que as \(x\)-coordenadas de \(\sigma (p_k)\) se aproximam monotonicamente de \(0\). Como o \(n\)-simplexo é compacto, esse limite é alcançado. ou seja temos \(p_k \to p_*\) em \(\Delta ^n\) com \(\sigma (p_*) \in \{ 0\} \times [-1,1]\). Mas \(\Delta ^n\) é um caminho conectado, então existe um caminho \(p_1 \rightsquigarrow p_2 \rightsquigarrow \dotsb \rightsquigarrow p_*\) em \(\Delta ^n\) cuja imagem em \(Q\) conecta um ponto na curva senoidal com o segmento vertical. Mas isso é impossível. Sejam \(M_1\) e \(M_2\) variedades fechadas, conexas e orientáveis. Usando Mayer–Vietoris, mostre que \(H_n(M_1 \# M_2) = H_0(M_1 \# M_2) = \mathbb {Z}\), e que \(H_i(M_1 \# M_2) = H_i(M_1) \oplus H_i(M_2)\), para \(0 \lt i \lt n\). Sejam \(M_1\) e \(M_2\) variedades fechadas, conexas e orientáveis. Em cada um delas escolhemos uma \(n\)-bola \(B_i\), e uma \(n\)-bola \(B_i'\) ligeiramente menor contida em \(B_i\) (para \(i = 1,2\)). Seja \(B\) uma \(n\)-bola em \(M_i\), seja \(B'\) uma bola ligeiramente menor contida em \(B\), de modo que \(B \setminus B'\) seja uma casca esférica, enquanto \(M_i = M_i\setminus B' \cup B.\) Então por Mayer–Vietotris, temos que \(H_n(M\setminus B') = 0\), enquanto \(H_i(M \setminus B') \cong H_i(M)\) para \(i \lt n\). A soma conexa \(M_1 \# M_2\) de \(M_1\) e \(M_2\) é obtida colando \(M_1 \setminus B'_1\) e \(M_2 \setminus B_2'\) ao longo de suas cascas esféricas \( B_1 \setminus B_1'\) e \(B_2 \setminus B_2'\). Aplicando Mayer–Vietoris novamente, temos que \(H_n(M_1 \# M_2) = H_0(M_1 \# M_2) = \mathbb {Z}\), e que \(H_i(M_1 \# M_2) = H_i(M_1) \oplus H_i(M_2)\) para \(0 \lt i \lt n\). 
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Mostre que \(C X\) é contrátil.
Prove que \(H_k(C X, C X \setminus \{ v\} ) \cong \widetilde{H}_{k-1}(X)\).
Mostre que para a união por um ponto \(\bigvee _\alpha X_\alpha \), as inclusões \(i_\alpha : X_\alpha \hookrightarrow \bigvee _\alpha X_\alpha \) induzem o isomorfismo
Calcule a homologia do buquê de esferas
Mostre que \(H_k(X)=0\), para \(k\gt n\).
Se, além disso, cada interseção \(Y\) for conexa por caminhos ou vazia, e \(n \geq 1\), mostre que \(H_n(X)=0\).
Prove que a projeção \([0,1] \times X \rightarrow [0,1]\) define uma aplicação contínua \(h: \Sigma X \rightarrow [0,1]\).
Calcule a homologia de \(\Sigma X\) aplicando Mayer-Vietoris aos conjuntos abertos \(h^{-1}(0,1]\) e \(h^{-1}[0,1)\).
Mostre que \(H_{k+1}(\Sigma X) \cong H_k(X), k \ge 1 \).
Mostre que \( H_0(X) \cong H_1(\Sigma X) \oplus \mathbb {Z}\).
Mostre que \(H_0(\Sigma X) \cong \mathbb {Z}\).
Seja \(X\) fracamente contrátil. Mostre que a aplicação constante \(X \to \bullet \) induz um isomorfismo \(H_*(X ; \mathbb {Z}) \to H_*(\bullet ; \mathbb {Z})\).
O que isso implica para a homologia singular com coeficientes em \(\mathbb {Z}\) do círculo de Warsaw \(W\) (definido a seguir)? 
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