Capítulo 1

Conceitos básicos

1.1 Operações em Espaços Topológicos

1.1.1 União por um Ponto

Sejam $\left(X, x_{0}\right)$ e $\left(Y, y_{0}\right)$ espaços topológicos com pontos marcados, a união por um ponto, ou o produto cunha, denotado por $ X \vee Y$, é o espaço quociente da união disjunta de $X$ e $Y$ pela identificação $x_0\sim y_0$, i.e.

\[ X \vee Y=(X \sqcup Y) / \sim \ , \]

onde dois pontos distintos de $X\sqcup Y$ são equivalentes se, e somente se, ambos são os pontos base de $X$ ou $Y$.

Esse espaço é munido de inclusões naturais $i_{X}: X \rightarrow X \vee Y$ e $i_{Y}: Y \rightarrow X \vee Y$ que são aplicações com ponto marcado e tais que qualquer aplicação $f: X \vee Y \rightarrow Z$ fornece um par de aplicações $f \circ i_{X}: X \rightarrow Z, f \circ i_{Y}: Y \rightarrow Z$.

Além disso, a partir de qualquer par de aplicações com ponto marcado $f_{X}: X \rightarrow Z$ e $ f_{Y}: Y \rightarrow Z$, podemos construir uma aplicação $f_{X}\sqcup f_{Y}: X\sqcup Y \rightarrow Z$ que preserva a relação de equivalência $\sim $, ou seja, se $x \sim x^{\prime }$, então $\left(f_{X}\sqcup f_{Y}\right)(x)=\left(f_{X } \sqcup f_{Y}\right)\left(x^{\prime }\right)$. Portanto, existe uma aplicação correspondente $X \vee Y \rightarrow Z$ que denotamos por $f_{X} \vee f_{Y}$.

Exemplo 1.1

Se $X=Y=[0,1]$, com $0$ como ponto base, então $X \vee Y$ é homeomorfo ao intervalo fechado $[-1,1]$ cujo ponto base está no meio, em $0$, por exemplo. A figura a seguir representa este produto cunha e explica de onde vem o símbolo $\vee $.

Exemplo 1.2

A figura do espaço oito apresentada na Figura 1.1 é homeomorfa a $\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{1}$.

Exemplo 1.3

O espaço $\mathbb {R}/ \mathbb {Z}$ é um produto cunha de um número enumerável de círculos.

Figura 1.2 ℝ/ Z — Figura 1.2 $\mathbb {R}/ \mathbb {Z}$

1.1.2 Cone e Suspensão

Dado um espaço topológico $X$, frequentemente é útil considerar o cone $C X$ em $X$, ou seja, o espaço quociente

\[ C X=X \times [0,1] / X \times \{ 0\} . \]

O cone de $X$ é contrátil, já que a aplicação $F: C X \times [0,1] \rightarrow C X$ definida por $F((x, s), t)=(x, s t)$ é uma homotopia da aplicação identidade em $C X$ para a aplicação constante. Vale ressaltar que, no entanto, esse espaço também contém uma cópia de $X$, já que o subconjunto $X \times \{ 1\} $ é homeomorfo a $X$.

Também podemos formar a suspensão ou o cone duplo $\Sigma X$ de $X$, definido como o quociente de $X \times [0,1]$ pela relação que identifica o subconjunto $X \times \{ 0\} $ para um ponto, e o subconjunto $X \times \{ 1\} $ para um ponto diferente. Esse espaço pode ser pensado como duas cópias de $C X$ unidas pela cópia canônica de $X$ contida em cada uma delas.

Exemplo 1.4

Seja $X$ a esfera $\mathbb {S}^{1}$, então $\Sigma X$ é homeomorfo à esfera $\mathbb {S}^{2}$.

Da mesma forma, $\Sigma \mathbb {S}^{n}$ é homeomorfo a $\mathbb {S}^{n+1}$, para todo $n$ não negativo, mesmo no caso $n=0$.

1.2 Variedades

Uma variedade topológica é um espaço topológico que se parece localmente com um subconjunto aberto de $ \mathbb {R}^{n}$.

Sejam $ (M, \ \mathcal{M}) $ um espaço topológico e $ U \subseteq M $ um subconjunto aberto. Um homeomorfismo

\[ x: U \rightarrow x (U) \subseteq \mathbb {R}^{n} \]

num subconjunto aberto $ x (U) \subseteq \mathbb {R}^{n} $ é dito uma carta local $ n $-dimensional para $ (M, \ \mathcal{M}) $. As $n$-uplas $ x (p) = (x ^{1} (p), \ \ldots \, \ x ^{n} (p)) \in \mathbb {R}^{n} $, para $ p \in U $, são chamadas de coordenadas locais de $ p \in M $ em relação à carta local $ (U, \ x) $.

Se pudermos encontrar uma carta local $n$-dimensional em torno de cada ponto de $ M $, obteremos uma variedade topológica. Por várias razões, é útil exigir duas propriedades adicionais sobre a topologia de $ (M, \ \mathcal{M}) $: que seja segundo enumerável e de Hausdorff.

Variedade Topológica. Seja $ (M, \ \mathcal{M}) $ um espaço topológico. Então $ (M, \ \mathcal{M}) $ é uma variedade topológica de dimensão $ n$ se as três propriedades a seguir são satisfeitas:

para cada $ p \in M $, existe uma carta local $n$-dimensional $ (U, \ x) $ de $ (M, \ \mathcal{M}) $ com $ p \in U; $
$ (M, \ \mathcal{M}) $ satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade;
$ (M, \ \mathcal{M}) $ é de Hausdorff.

$\mathbb {R}^n$ é obviamente uma variedade topológica $n$-dimensional. Nesse caso, precisamos de uma única carta para cobrir todo o espaço: $\operatorname {id} : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^n$.
Podemos provar que a esfera unitária $n$-dimensional

\[ S^n = \{ x \in \mathbb {R}^{n+1}\; |\; \| x\| = 1\} \]

é uma variedade topológica $n$-dimensional.

Para o ponto $x = (1,\; 0,\cdots ,\; 0)\in S^n,$ o conjunto $\{ (x_1,\; \cdots ,\; x_n) \in S^n\ |\; x_1\gt 0\} $ é uma vizinhança com as propriedades requeridas, como vemos pela projeção ortogonal no hiperplano coordenado em $\mathbb {R}^{n+1}$ definida por $x_1 = 0.$ Para qualquer outro ponto $x\in S^n,$ há uma rotação levando $x$ para o ponto $(1,\; 0,\cdots ,\; 0).$ Tal rotação é um homeomorfismo de $S^n$ e, portanto, $x$ também possui a carta requerida.
Qualquer espaço discreto é uma variedade topológica $0$-dimensional.
A esfera $S^1$ é uma variedade topológica $1$-dimensional.
O toro e a garrafa de Klein são variedades topológicas $2$-dimensionais (falaremos mais sobre esses exemplos em breve).
Se $M$ é uma variedade topológica $n$-dimensional, então qualquer subconjunto aberto de $M$ também é uma variedade topológica $n$-dimensional. A demonstração desse fato é imediata.

Seja $M$ é uma variedade topológica de dimensão $m$ e seja $N$ é uma variedade topológica de dimensão $n$, então o espaço produto $M\times N$ é uma variedade topológica de dimensão $m + n$. A proposição decorre do fato de que, dados abertos $U_m\subset \mathbb {R}^m$ e $U_n\subset \mathbb {R}^n$, o produto $U_m \times U_n$ é um aberto em $\mathbb {R}^{m+n}$.

Em geral, as variedades topológicas podem ser equipadas com alguma estrutura adicional. Uma classe importante de variedades é a classe formada por variedades diferenciáveis (ou suaves). Uma variedade suave é uma variedade topológica munida de uma estrutura diferenciável. Mais precisamente, um atlas suave para $ (M, \ \mathcal{M}) $ é uma família $\{ (U_\alpha ,x_\alpha )\} _{\alpha \in A}$ de cartas locais $n$-dimensionais que também satisfaz a condição de compatibilidade: as aplicações

\[ x_\beta \circ x_\alpha ^{-1}: x_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta ) \rightarrow x_\beta (U_\alpha \cap U_\beta ) \]

são suaves ($C^\infty $-diferenciável), para todos $\alpha ,\beta \in A$ (essa condição é vazia se $U_\alpha \cap U_\beta =\emptyset $).

Figura 1.3 As cartas de uma variedade diferenciável satisfazem as condição de compatibilidade.

Variedade Suave. Seja $ (M, \ \mathcal{M}) $ uma variedade topológica $n$-dimensional. Dizemos que $ (M, \ \mathcal{M}) $ é uma variedade suave de dimensão $n$ se admite um atlas diferenciável maximal com relação à condição de compatibilidade acima. Exemplos de variedades suaves são: o espaço euclidiano $\mathbb {R}^n$, a esfera $n$-dimensional $\mathbb {S}^n$, o espaço projetivo real $\mathbb {RP}^n$. Para mais detalhes, veja Lee 2010.

1.2.1 Superfícies

Uma variedade bidimensional é denominada superfície. O exemplo mais simples de uma superfície compacta é a esfera unitária $S^2 = \{ (x,y,z) \mid x^2+ y^2 + z^2 =1\} $.

Outro exemplo importante de superfície é o toro. O toro pode ser definido precisamente do modo a seguir. Seja $X$ o quadrado unitário fechado no plano $\mathbb {R}^2:$

\[ \{ (x, y) \in \mathbb {R}^2 \; |\; 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\} . \]

Então, um toro é qualquer espaço homeomorfo ao espaço quociente de $X$ obtido identificando-se os lados opostos do quadrado de acordo com as seguintes regras:

\[ (0, y) \sim (1, y) \ , \quad \text{para \ }0 \le y \le 1, \]

\[ (x, 0) \sim (x, 1) \ , \quad \text{para \ }0 \le x \le 1 \ . \]

É conveniente representar simbolicamente como essas colagens são feitas através de um diagrama como na Figura 1.4. Os lados a serem identificados são marcados com a mesma letra do alfabeto, e as identificações devem ser feitas de forma que as direções indicadas pelas setas coincidam.

Nosso próximo exemplo de uma superfície compacta é o plano projetivo. Este é uma superfície compacta que não é homeomorfa a nenhum subconjunto de $\mathbb {R}^3$, o que torna a sua visualização um pouco mais difícil. O espaço quociente da $2$-esfera, $\mathbb {S}^2$, obtido pela identificação de cada par de pontos diametralmente opostos é chamado de plano projetivo. Também nos referiremos a qualquer espaço homeomorfo a este espaço quociente como plano projetivo. /tikz/.cd, view angle/.initial=0, view angle/.store in=

Seja $H = \{ (x, y, x) \in \mathbb {S}^2 | z \le 0\} $ o hemisfério inferior fechado de $\mathbb {S}^2.$ É claro que, para cada par de pontos diametralmente opostos em $\mathbb {S}^2,$ pelo menos um ponto está em $H.$ Se ambos os pontos estão em $H,$ então eles estão no equador, que é a fronteira de $H.$ Assim, poderíamos também ter definido o plano projetivo como o espaço quociente de $H$ obtido identificando pontos diametralmente opostos na fronteira de $H.$ Como $H$ é obviamente homeomorfo ao disco unitário fechado $E ^2$,

\[ E^2 = \{ (x, y) \in \mathbb {R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 1\} , \]

o espaço quociente de $E^2$ obtido pela identificação de pontos diametralmente opostos na fronteira é um plano projetivo. Isso pode ser visualizado projetando o hemisfério superior de $\mathbb {S}^2$ em $\mathbb {R}^2.$

Podemos ainda substituir $E^2$ por qualquer espaço homeomorfo, por exemplo, um quadrado. Assim, um plano projetivo é obtido identificando-se os lados opostos de um quadrado conforme indicado na Figura 1.5.

Figura 1.5 Construção de um plano projetivo

Uma garrafa de Klein é qualquer espaço homeomorfo à superfície obtida ao identificar os lados de um quadrado unitário como na Figura 1.6.

Figura 1.6 Construção de uma garrafa de Klein a partir de um quadrado.

Um diagrama planar é um polígono com $2n$ arestas no qual pares de arestas são identificados com a mesma letra e com uma orientação. Na topologia quociente, as arestas com os mesmos rótulos são identificadas ou coladas. Os diagramas planares da esfera, do toro, da garrafa de Klein e do plano projetivo, dão origem às seguintes palavras:

Superfície	Palavra
Toro	$aba^{-1}b^{-1}$
Garrafa de Klein	$aba^{-1}b$
Esfera	$aa^{-1}$
Plano projetivo	$abab$

Tabela 1.1 Representação por palavras a partir do diagrama planar.

Soma Conexa

Sejam $S_1$ e $S_2$ duas superfícies disjuntas. A soma conexa de $S_1$ e $S_2$, denotada por $S_1 \# S_2,$ é obtida removendo um pequeno disco em cada superfície e, em seguida, colando as duas superfícies ao longo do bordo dos discos. Mais precisamente, escolhemos os subconjuntos $D_1 \subset S_1$ e $D_2 \subset S_2$ de modo que $D_1$ e $D_2$ sejam homeomorfos a $\mathbb {R}^2.$ Seja $S_i'$ o complemento do interior de $D_i$ em $S_i$, para $i=1$ e $2.$ Escolha um homeomorfismo $h$ do bordo de $D_1$ no bordo de $D_2.$ Definimos $S_1 \# S_2$ como o espaço quociente de $S_1'\cup S_2'$ obtido identificando-se os pontos $x$ e $h(x)$, para todos os pontos $x$ no bordo de $D_1.$

Não é difícil provar que $S_1\# S_2$ é uma superfície. Pode-se provar rigorosamente que o tipo topológico de $S_1\# S_2$ não depende da escolha dos discos $D_1$ e $D_2$ ou da escolha do homeomorfismo $h.$ Além disso, fica claro, pela nossa definição, que não há distinção entre $S_1 \# S_2$ e $S_2 \# S_1$, ou seja, a operação é comutativa. Não é difícil ver que as superfícies $(S_1 \# S_2) \# S_3$ e $S_1 \# (S_2 \# S_3)$ são homeomorfas. Isso significa que podemos falar sobre a soma conexa de várias superfícies sem qualquer ambiguidade. Vale ressaltar que a esfera bidimensional $\mathbb {S}^2$ é o elemento neutro da soma conexa:

\[ (\mathbb {S}^2 \# S) \approx (S \# \mathbb {S}^2)=S, \]

para qualquer superfície $S$.

Classificação das Superfícies Compactas. Qualquer superfície compacta é homeomorfa ou a esfera, ou a uma soma conexa de toros, ou a uma soma conexa de planos projetivos.

A soma conexa de $g$ toros será denotada por

\[ \Sigma _{g}\mathrel {\mathop:\! =}\underbrace{\mathbb {T}^{2} \# \cdots \# \mathbb {T}^{2}}_{g \text{ vezes}}, \text{ para } g \in \mathbb {N}. \]

Para $g=0$ definimos $\Sigma _{0}\mathrel {\mathop:\! =}\mathbb {S}^{2}$. Desta maneira obtemos um monoide isomorfo a $\mathbb {N}$, pois $\Sigma _{g} \# \Sigma _{g^{\prime }} \approx \Sigma _{g+g^{\prime }}$
A soma conexa de $g$ espaços projetivos será denotada por

\[ P_{g}\mathrel {\mathop:\! =}\underbrace{\mathbb {RP}^{2} \# \cdots \# \mathbb {RP}^{2}}_{g \text{ vezes}}, \text{ para } g \in \mathbb {N}. \]

Para $g=0$ definimos $P_{0}\mathrel {\mathop:\! =}\mathbb {S}^{2}$. Novamente, obtemos um monoide isomorfo a $\mathbb {N}$.

Superfícies $\Sigma _{g}$

A superfície $\Sigma _{g}$ é um toro generalizado, com $g$ "buracos".

O número $g$ é dito gênero da superfície $\Sigma _g$ e coincide com o número máximo de círculos mergulhados na superfície que podem ser removidos sem tornar a superfície desconexa. Por exemplo, na esfera, um corte ao longo de qualquer círculo divide a superfície em duas componentes e assim a esfera tem gênero $0$. Por outro lado, num toro podemos cortar ao longo de um círculo vertical ou horizontal de modo que a superfície resultante ainda é conexa, mas não é possível fazer um segundo corte, logo o toro tem gênero $1$.

Observamos que uma superfície $S \# \mathbb {T}^{2}$ é homeomorfa à que se obtém acrescentando um cilindro a $S$ da seguinte maneira:

escolhemos dois discos $D_1, D_2 \subset S$ tais que $D_1 \cap D_2=\emptyset $;
removemos o interior dos discos;
identificamos os bordos de $D_1$ e $D_2$ com os bordos do cilindro.

Repetindo a construção anterior, por indução, temos que $\Sigma _{g}$ é homeomorfa a uma esfera na qual foram colados $g$ cilindros.

Podemos também descrever estas superfícies através de um diagrama planar. Como já descrevemos a esfera e o toro através de diagramas, passemos a descrição das superfícies de gênero maior. A soma conexa de dois toros pode ser descrita da seguinte maneira. Removemos um disco contendo um vértice qualquer nos dois retângulos que representam os toros.

E identificamos os bordos dos dois discos removidos, ou seja, as arestas $e$.

Assim, obtemos o diagrama planar que é um octágono cujos lados devem ser quocientados conforme as identificações representadas pela palavra

\[ a b a^{-1} b^{-1} c d c^{-1} d^{-1} . \]

A técnica apresentada anteriormente pode ser repetida de modo a descrever a superfície $\Sigma _{g}$ pelo diagrama planar que é o polígono de $4g$ lados com as colagens dadas pela palavra

\[ a_{1} b_{1} a_{1}^{-1} b_{1}^{-1} \cdots a_{g} b_{g} a_{g}^{-1} b_{g}^{-1}. \]

Superfícies $P_g$

A soma conexa de dois planos projetivos pode ser descrita de maneira análoga a realizada anteriormente: removemos um disco contendo um dos vértices nos dois discos que representam os planos projetivos.

E observamos que os diagramas anteriores são equivalentes aos seguintes:

Finalmente, identificamos os bordos dos dois discos removidos, ou seja, as arestas nomeadas de $c$.

Ilustração: Superfícies

Dessa forma, obtemos o diagrama planar dado por um retângulo quocientado conforme as identificações indicadas e representado pela palavra

\[ a a b b. \]

De maneira análoga, a superfície $P_{g}$ pode ser representada pelo diagrama planar dado pelo polígono de $2g$ lados e com colagens dado pela palavra:

\[ a_{1} a_{1} \cdots a_{g} a_{g}. \]