Capítulo 4

Espaço Recobrimento

Neste capítulo introduzimos os espaços de recobrimento e utilizamos desses conceitos para estender nosso estudo dos grupos fundamentais. Ao longo do capítulo estabeleceremos uma conexão íntima entre as características algébricas dos grupos fundamentais e a linguagem geométrica de espaços de recobrimento.

Nesse sentido o principal resultado deste capítulo é estabelecer uma correspondência exata entre os vários espaços de recobrimento de um espaço base $X$ e subgrupos de seu grupo fundamental $\pi _{1}(X)$. Neste ponto, a analogia com a Teoria de Galois é inevitável, com sua correspondência entre extensões de corpo e subgrupos do grupos de Galois.

De modo mais geral, três noções estão interligadas de tal forma que cada uma determina essencialmente as outras duas: grupo fundamental, espaço de recobrimento e ações de grupos propriamente descontínuas. Historicamente, eles apareceram na ordem inversa.

De modo muito simplificado, as primeiras noções associadas ao que atualmente denominamos por ações de grupos propriamente descontínuas aparecem nos trabalhos de Gauss com o conceito de domínio fundamental. Mas foi com Riemann, no final do século XIX, que surgiu o segundo membro da tríade que mencionamos no início, a ideia de uma superfície consistindo em "muitas folhas, sobrepostas umas às outras, e cobrindo muitas vezes a mesma parte do plano", o que iniciou o estudo sistêmico da espaços de recobrimento. As aplicações deste conceito feitas por Riemann à teoria das funções analíticas de uma variável complexa mostram que ele tinha em mente o conceito moderno de "superfície de recobrimento ramificada". Finalmente o conceito de grupo fundamental surgiu nos trabalhos de Henry Poincaré publicados entre 1895 e 1904.

Ressaltamos por último que a teoria da espaços de recobrimento é de grande importância não só na topologia, mas também em outros ramos da matemática, como análise complexa, geometria, grupos de Lie e também em algumas áreas além da matemática.

4.1 Espaços de Recobrimento

Nosso objetivo nessa seção é generalizar a estratégia que utilizamos para calcular o grupo fundamental do círculo. Realizaremos tal objetivo isolando as propriedades da aplicação

\begin{align*} p: \ & \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {S}^1 \\ & s \mapsto (\cos (2\pi s), \operatorname {sen}(2\pi s)). \end{align*}

Os espaços que consideraremos neste capítulo serão todos espaços de Hausdorff. Os espaços de recobrimento são definidos por meio de aplicações $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ que são homeomorfismos locais satisfazendo restrições bastante fortes. Desta forma, começaremos recordando a definição de homeomorfismo local.

Homeomorfismo local. Sejam $X, Y$ espaços topológicos, uma aplicação $f: X \rightarrow Y$ é dita um homeomorfismo local se, para cada ponto $x \in X$, existe uma vizinhança aberta $U$ de $x$ tal que $V=f(U)$ é um aberto em $Y$ e a restrição $f \mathord {\upharpoonright }{U}$ é um homeomorfismo de $U$ em $V$. Claramente todo homeomorfismo é um homeomorfismo local. Além disso, um homeomorfismo local $f: X \rightarrow Y$ é uma aplicação contínua, aberta e localmente injetiva.

A característica fundamental de um homeomorfismo local $f: X \rightarrow Y$ é que o espaço $X$ herda todas as propriedades topológicas locais de $Y$ como, por exemplo, conectividade local, compacidade local, e assim por diante, e no caso em $f$ for sobrejetora, então $Y$ também herda as propriedades topológicas locais de $X$.

Uma deficiência dos homeomorfismos locais é que, nesse contexto, não temos a propriedade de levantamento de curvas, i.e., dado um homeomorfismo local $f: X \rightarrow Y$ e uma curva $\alpha : I \to Y$ não necessariamente temos a existência de uma curva $\widetilde{\alpha }: I \to X$ tal que $f\circ \widetilde{\alpha }=\alpha $. Um exemplo simples de tal inexistência pode ser construído do seguinte modo: considere o homeomorfismo local $p: (0,2) \to \mathbb {S}^1$, $ p(t) = (\cos (2\pi t),\operatorname {sen}(2\pi t))$ e o caminho $\alpha : I \to \mathbb {S}^1,$ $ \alpha (t) =(\cos (2\pi t),\operatorname {sen}(2\pi t))$, então $\alpha $ não pode ser levantado para $(0,1)$. Para ver isso, suponha que $\widetilde{\alpha }$ é um levantamento de $\alpha $, como $\alpha (0)=\alpha (1)=(1,0),$ temos que $p(\widetilde{\alpha }(0))=p(\widetilde{\alpha }(1))$, logo $\widetilde{\alpha }(0)=\widetilde{\alpha }(1)=1$, pois $p^{-1}((1,0))=\{ 1\} $. Assim, $\alpha $ se levanta para uma curva fechada em $(0,2)$, que consequentemente é homotópica a um caminho constante, mas $\alpha $ não o é, o que gera uma contradição.

Precisamos de um conceito mais forte do que o de homeomorfismo local, o conceito de aplicação de recobrimento.

Espaço de Recobrimento. Sejam $X$ e $\widetilde{X}$ espaços topológicos de Hausdorff. Seja $ p: \widetilde{X} \to X $ uma aplicação contínua sobrejetora. Dizemos que $ (\widetilde{X},p) $ é um [espaço!recobrimento]espaços de recobrimento de $ X $ se, para cada $ x \in X $, existe uma vizinhança aberta $ U_x $ de $x$ tal que $ p^{-1} (U_x) $ pode ser escrito como uma união disjunta de conjuntos abertos $ U_\lambda $ em $\widetilde{X}$, com $\lambda \in \Lambda _x$, e tal que para cada $\lambda $, a restrição $ p\mathord {\upharpoonright }{U_\lambda }: U_\lambda \to U_x $ é um homeomorfismo.

Nesse caso a aplicação $ p: \widetilde{X} \to X $ é dita aplicação de recobrimento Alguns autores não pedem que $ p: \widetilde{X} \to X $ seja uma aplicação contínua sobrejetora mas assumem que $X$ é conexo por caminhos e localmente conexos por caminhos, ao definir um espaço de recobrimento.

Se $X$ e $\widetilde{X}$ são conexos por caminhos e localmente conexos por caminhos. Então, as seguinte afirmações são equivalentes:

$(\widetilde X, p )$ é um de espaço de recobrimento de $X$;
dada $p : \widetilde{X} \rightarrow X$, para cada $x \in X$, existe um conjunto aberto e conexo por caminhos $U$ contendo $x$ tal que cada componente conexa por caminhos de $p^{-1}(U)$ é homeomorfa a $U$ sob a aplicação $p$.

A equivalência dessas duas definições nos casos em que $X$ e $\widetilde{X}$ são conexos por caminhos e localmente conexos por caminhos será deixada como exercício ao leitor.

Se $(\widetilde{X},p) $ é um espaço de recobrimento de $X$, é usual chamar o espaço topológico $X$ de espaço de base. Os conjuntos $U_x$ são chamados de vizinhanças elementares ou ainda de vizinhanças distinguidas. Os conjuntos abertos disjuntos em $\widetilde{X}$ que se projetam homeomorficamente para $U_x$ por $p$ são chamados de folhas de $\widetilde{X}$ sobre $U_x$.

Quando $U_x$ é conexo, essas folhas são as componentes conexas de $p^{-1}(U)$, portanto, neste caso, elas são determinadas exclusivamente por $U$, mas no caso em que $U$ não é conexo, a decomposição de $p^{-1}(U)$ em folhas claramente pode não ser única.

Destacamos que não é suficiente que uma aplicação seja um homeomorfismo local para ser uma aplicação de recobrimento. Considere a aplicação $p:(0,2) \rightarrow \mathbb {S}^{1}$ definida por $p(t)=(\cos (2 \pi t), \sin (2 \pi t))$. Essa aplicação é um homeomorfismo local, mas para qualquer vizinhança pequena $U$ de $ (1,0) \in \mathbb {S}^{1}$, algumas componentes de $p^{-1}(U)$ não são mapeadas homeomorficamente para $U$.

Figura 4.1 Um homeomorfismo local que não é uma aplicação de recobrimento.

O número de pontos na imagem inversa de um ponto, sob uma aplicação de recobrimento, é localmente constante, e no caso em que o espaço de base é conexo, esse número é constante e é denominado número de folhas do recobrimento.

A cardinalidade de $p^{-1}(x)$ é localmente constante e se $X$ for conexo então a cardinalidade é constante.

Demonstração ▼

Considere $x\in X$ e uma vizinhança elementar $U_x$ de $x$. Para cada $y$ em $U_x$, temos que as cardinalidades de $p^{-1}(x)$ e $p^{-1}(y)$ são iguais, assim é localmente constante. Como consequência dessa observação, os conjuntos de mesma cardinalidade são abertos e claramente sua união é todo o espaço. Sendo $X$ conexo, um desses conjuntos abertos é todo $X$ e logo a cardinalidade é constante.

Seja $(\widetilde{X},p) $ um espaço de recobrimento de $X$, então:

Para cada $x\in X$, o subconjunto discreto $p^{-1}(x)$ é denominado de fibra de $x$.
Quando $X$ é conexo, o grau do recobrimento é a cardinalidade de $p^{-1}(x)$, para todo $x$. Se o grau do recobrimento é dois, então este é denominado de recobrimento duplo.
Se $\widetilde{X}$ é simplesmente conexo, o recobrimento é dito um recobrimento universal. A razão dessa nomenclatura ficará evidente nas próximas seções.

Recobrimentos.

A identidade $\operatorname {\operatorname {id}}_X : X \to X$ é uma aplicação de recobrimento para qualquer espaço $X$. Esse recobrimento é dito trivial e é um recobrimento de uma folha.
Seja $Y$ um espaço com a topologia discreta. Então, a projeção $\pi _X : X \times Y \to X $ é um recobrimento.
A reta real $\mathbb {R}$ recobre o círculo $\mathbb {S}^1 $ por meio da aplicação:

\[ \begin{aligned} p : \mathbb {R}& \to \mathbb {S}^1 \\ t & \mapsto e^{2 \pi i t} = (\cos (2 \pi t), \sin (2 \pi t)). \end{aligned} \]

A aplicação $p: \mathbb {R}\to \mathbb {S}^1$ é uma aplicação de recobrimento com infinitas folhas.

De fato, dado um ponto $ x $ no círculo, então existe $t\in \mathbb {R}$ tal que $p^{-1}(x)=t+ n$, com $n\in \mathbb {Z}$. Considere o intervalo fechado $[t-\varepsilon ,t+\varepsilon ]$ com $\varepsilon \lt \frac{1}{2}$, então $p\mathord {\upharpoonright }{[t-\varepsilon ,t+\varepsilon ]}$ é uma bijeção contínua na sua imagem.Como o intervalo $[t-\varepsilon ,t+\varepsilon ]$ é compacto, temos que $p\mathord {\upharpoonright }{[t-\varepsilon ,t+\varepsilon ]}$ é um homeomorfismo, logo leva os abertos $(t-\varepsilon ,t+\varepsilon )$ em abertos $V$ de $\mathbb {S}^1$ (que são arcos contendo $x$).

A imagem inversa de $V$, $p^{-1}(V)$, consiste em um número enumerável de intervalos ao longo da reta real, i.e, $p^{-1}(V)=\bigcup _{n\in \mathbb {Z}} (t -\varepsilon +n ,t+\varepsilon +n)$. Todos esses intervalos são disjuntos, aplicados homeomorficamente a $V$ por $p$ e assim provamos que é um recobrimento.

Figura 4.2 Recobrimento do círculo
Se $(\widetilde{X}, p)$ é um espaço de recobrimento de $X$ e $(\widetilde{Y}, q)$ é um espaço de recobrimento de $Y$, então $(\widetilde{X} \times \widetilde{Y}, p \times q)$ é um espaço de recobrimento de $X \times Y$ com a aplicação de recobrimento $p \times q$ definida por $(p \times q)(x, y)=(p( x), q( y))$. Deixamos a demonstração desse fato para o leitor, mas observamos que se $U$ é um conjunto aberto elementar do ponto $x \in X$ e $V$ é um conjunto aberto elementar do ponto $y \in Y$, então $U \times V$ é um conjunto aberto elementar de $(x, y) \in X \times Y$.

A partir desse fato, podemos construir exemplos de espaços de recobrimento do toro $\mathbb {T}=\mathbb {S}^{1} \times \mathbb {S}^{1}$. Em particular, o plano $\mathbb {R}^{2}=\mathbb {R}\times \mathbb {R}$, o cilindro $\mathbb {R}\times \mathbb {S}^{1}$ ou o próprio toro podem servir como espaços de recobrimento.
A esfera $\mathbb {S}^n $ recobre o espaço projetivo real $\mathbb {RP}^n $ com a seguinte aplicação:

\[ \begin{aligned} p: \mathbb {S}^n & \to \mathbb {RP}^n \\ (x_1, \dots , x_{n+1}) & \mapsto [x_1, \dots , x_{n+1}]. \end{aligned} \]

De fato, dado um ponto $ p=\{ x,-x\} \in \mathbb {RP}^n $, existe uma vizinhança aberta homeomorfa a um disco $\widetilde{V}$ contendo $x$ em $\mathbb {S}^n$ tal que $\widetilde{V}\cap -\widetilde{V}=\emptyset $. Como $p$ é aberta, $V=p(\widetilde{V})$ é uma vizinhança aberta cuja imagem inversa consiste em dois abertos $\widetilde{V}$ e $-\widetilde{V}$ homeomorfos a discos em torno de dois pontos antipodais de $\mathbb {S}^n $. Estes são disjuntos, $p\mathord {\upharpoonright }{\widetilde{V}}$ e $p\mathord {\upharpoonright }{-\widetilde{V}}$ são homeomorfismos e as condições são satisfeitas. Esse é um exemplo de um recobrimento duplo não trivial.

Figura 4.3 $\mathbb {S}^n $ recobre o espaço projetivo real $\mathbb {RP}^n $.
A aplicação $\mathbb {S}^{1} \rightarrow \mathbb {S}^{1}$ definida por $z \mapsto z^{n}$, ou seja, $(\cos (2 \pi t), \sin ( 2 \pi t))\mapsto (\cos ( 2 \pi n t), \sin ( 2 \pi n t))$, para um inteiro positivo fixo $n$, é um recobrimento de $\mathbb {S}^1$ com $n$ folhas.
Seja a função exponencial complexa $\exp : \mathbb {C}\rightarrow \mathbb {C}\setminus \{ 0\} $ definida por

\[ \exp (z)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{z^{n}}{n !}. \]

Afirmamos que $(\mathbb {C}, \exp )$ é um espaço de recobrimento de $\mathbb {C}\setminus \{ 0\} $ e que, para qualquer $z \in \mathbb {C}\setminus \{ 0\} $, o disco aberto

\[ U_{z}=\{ w \in \mathbb {C}:|w-z|\lt |z|\} \]

é uma vizinhança elementar. Para provar isso, temos que mostrar que qualquer componente $V$ da imagem inversa de $U_{z}$ é levada homeomorficamente em $U_{z}$ por $\exp $; ou seja, que existe uma função contínua $f: U_{z} \rightarrow V$ tal que, para qualquer $w \in U_{z}$,

\[ \exp [f(w)]=w, \]

e, para qualquer $v \in V$,

\[ f(\exp v)=v . \]

$Figura 4.4 Algumas folhas do recobrimento exp : C→ Csetminus \ 0\ associadas à vizinhança elementar em amarelo.$

Figura 4.4 Algumas folhas do recobrimento $\exp : \mathbb {C}\rightarrow \mathbb {C}\setminus \{ 0\} $ associadas à vizinhança elementar em amarelo.

Uma tal função $f$ é chamada de "ramo da função logarítmica no disco $U_{z}$" e a existência de tal função pode ser demonstrada usando o Teorema da Função Inversa.

Podemos expressar esse recobrimento de outra forma: se $z=x+i y$, então

\[ \exp z=(\exp x) \cdot (\cos y+i \sin y), \]

onde $\exp x=e^{x}$ é a função exponencial real, $\exp : \mathbb {R}\rightarrow \{ t \in \mathbb {R}: t\gt 0\} $. A partir desta fórmula, emerge o seguinte fato. Podemos considerar $\mathbb {C}=\mathbb {R}\times \mathbb {R}$ e $\mathbb {C}\setminus \{ 0\} =\{ r \in \mathbb {R}: r\gt 0\} \times \mathbb {S}^{1}$ (usando coordenadas polares). Então, podemos considerar a aplicação $\exp : \mathbb {C}\rightarrow \mathbb {C}\setminus \{ 0\} $ como uma aplicação $p \times q$ : $\mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \{ r \in \mathbb {R}: r\gt 0\} \times \mathbb {S}^{1}$, onde $p(x)=e^{x}$ e $q(y)=(\cos y, \sin y)$.
Para qualquer número inteiro $n \neq 0$, seja $p_{n}: \mathbb {C}\rightarrow \mathbb {C}$ o polinômio definido por $p_{n}(z)=z^{n}$. Então, $\left(\mathbb {C}\setminus \{ 0\} , p_{n}\right)$ é um espaço de recobrimento de $\mathbb {C}\setminus \{ 0\} $. A existência dos vários "ramos" da função $\sqrt[n]{z}$ é análoga à do exemplo anterior. Note que é necessário omitir $0$ do domínio e do contradomínio da função $p_{n}$; caso contrário, não teríamos um espaço de recobrimento. Assim, como no exemplo anterior, podemos considerar $\mathbb {C}\setminus \{ 0\} =\{ r \in \mathbb {R}: r\gt 0\} \times \mathbb {S}^{1}$ e decompor o espaço de recobrimento $\left(\mathbb {C}\setminus \{ 0\} , p_{n}\right)$ no produto cartesiano de dois espaços de recobrimento.
Finalmente, o exemplo anterior pode ser generalizado. Seja $p(z)$ um polinômio complexo considerado como uma aplicação $\mathbb {C}\rightarrow \mathbb {C}$, e seja $F$ o conjunto de valores críticos de $p(z)$. Então a aplicação induzida $\mathbb {C}\setminus p^{-1}(F) \rightarrow $ $\mathbb {C}\setminus F$ é uma aplicação de recobrimento com $\deg (p(z))$ folhas.

(a) Recobrimento dado por exp (z). (b) Recobrimento dado por z^2. (c) Recobrimento dado por z^3. — (a) Recobrimento dado por $\exp (z)$.

Exemplo 4.1

Nesse exemplo, vamos apresentar alguns espaços de recobrimento de $\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{1}$. Para simplificar a notação, vamos denotar por $X$ a união por um ponto $\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{1}$. Podemos visualizar esse espaço como um grafo com um único vértice e duas arestas, que rotularemos como $\alpha $ e $\beta $ com orientações escolhidas.

Figura 4.5 $\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{1}$

Os espaços de recobrimento de $\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{1}$ são particularmente interessantes ao constituírem uma família notavelmente diversificada, que ilustra de forma muito concreta grande parte da teoria geral.

Para descrever esses espaços de recobrimento, começamos observando que a cada grafo $G$ temos associado um espaço topológico denominado realização geométrica do grafo ou grafo geométrico $G$. Neste espaço, os vértices são pontos distintos e as arestas são subespaços homeomorfos a $[0, 1]$ coladas por suas extremidades nas arestas. Duas arestas se encontram apenas em suas extremidades comuns.

Agora seja $\widetilde{X}$ um grafo geométrico com quatro extremidades de arestas em cada vértice. Suponhamos que cada aresta em $\widetilde{X}$ tenha sido etiquetada como $\alpha $ ou $\beta $ e possua uma orientação de tal forma que a estrutura local próxima a cada vértice seja idêntica àquela em $X$. Isto é, deve haver duas arestas rotuladas por $\alpha $, uma entrando no vértice e outra saindo e analogamente para $\beta $. Os grafos $\widetilde{X}$ com tais propriedades serão denominados de grafos $2$-orientados.

Dado um grafo $2$-orientado $\widetilde{X}$, podemos construir uma função $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ que leva todos os vértices de $\widetilde{X}$ para o vértice de $X$ e cada aresta de $\widetilde{X}$ para a aresta correspondente em $X$. Essa função é um homeomorfismo no interior de cada aresta e preserva a orientação. É evidente que a condição de espaço de recobrimento é satisfeita para $p$. Por outro lado, todo espaço de recobrimento de $X$ é, na verdade, um grafo que herda uma $2$-orientação de $X$. Alguns exemplos de tais recobrimentos são apresentados na Figura 4.7.

Um recobrimento simplesmente conexo de $X=\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{1}$ é dado pela árvore regular de grau $4$, que é uma árvore infinita com 4 arestas em cada vértice, como ilustrado na Figura 4.8.

(a) (b) (c) Figura 4.7 Exemplos de espaços de recobrimento de X=S^(1) vee S^(1). — (a)

Figura 4.8 Recobrimento universal de S^1 vee S^1. As arestas para cima são rotuladas com b e as para a direita com a. — Figura 4.8 Recobrimento universal de $\mathbb {S}^1 \vee \mathbb {S}^1$. As arestas para cima são rotuladas com $b$ e as para a direita com $a$.

4.2 Grupos Propriamente Descontínuos

Uma das famílias mais importantes de aplicações de recobrimento são obtidos pela ação de grupos de homeomorfismos propriamente descontínuos, que descreveremos no que se segue.

Começamos pela observação que o conjunto de todos os homeomorfismos de um espaço topológico $X$ é um grupo quando munido com a operação de composição. Um subgrupo $G$ deste grupo é chamado de grupo de homeomorfismos de $X$. Lembremos que uma ação de um grupo $G$ em um espaço $X$ é uma aplicação $G \times X \rightarrow X$, onde a imagem de $(g, x)$ será denotado por $g x$, tal que $(g h) x=g(h x)$ e $e x=x$.

Para $x \in X$, a órbita de $x$ é o conjunto $G(x)=\{ g x \mid g \in G\} $. É fácil ver que duas órbitas são disjuntas ou idênticas. Assim, elas particionam o espaço $X$. O conjunto de todas as órbitas é denotado por $X / G$, e será munido da topologia quociente da aplicação $p:X \rightarrow X / G$ levando $x$ a $G(x)$, e é chamado de espaço de órbitas. Observe que nessa topologia a aplicação canônica $p: X \rightarrow X / G$ é claramente contínua e também aberta, pois, para $U \subset X$ aberto e $U'$ sua imagem em $X / G$, então

\[ p^{-1}\left(U'\right)=\bigcup \{ g U \mid g \in G\} \]

que é uma união de conjuntos abertos e, portanto, é aberto.

Uma ação de um grupo de homeomorfismos $G$ em um espaço $X$ é dita propriamente descontínua se todo ponto $x \in X$ possui uma vizinhança $U$ tal que

\[ g U \cap U \neq \varnothing \Rightarrow g =e, \]

em que $e$ é o elemento identidade de $G$. Neste caso, dizemos que $U$ é uma vizinhança conveniente do ponto $x$ e que $G$ é um grupo propriamente descontínuo de homeomorfismos do espaço topológico $X$.

Figura 4.9 Ação propriamente descontínua de um grupo G. — Figura 4.9 Ação propriamente descontínua de um grupo $G$.

Para apresentarmos uma descrição mais concreta do espaço das órbitas de diversos exemplos, precisamos da definição de conjunto fundamental. Um subconjunto fechado $F \subset X$ é um conjunto fundamental para a ação de $G$ sobre $X$ se $G \cdot F=X$ e existe uma vizinhança aberta $U=U_{F}$ de $F$ tal que, para cada $K \subset X$ compacto, o conjunto $\{ g \in G: g U \cap K \neq \emptyset \} $ é finito (condição de finitude local). O próximo resultado nos diz que para descrevermos o espaço de órbitas podemos nos restringir aos conjuntos fundamentais. Apesar de extremamente simples, ele nos permitirá descrever o espaço das órbitas de várias ações.

Suponha que $F$ seja um conjunto fundamental para a ação propriamente descontínua de $G$ em um espaço primeiro enumerável e de Hausdorff $X$. Então a aplicação de projeção natural $p: F / G \rightarrow X / G$ é um homeomorfismo.

Demonstração ▼

A aplicação $p$ é contínua pela definição da topologia quociente. Claramente, $p$ é uma bijeção. Resta mostrar que $p$ é uma aplicação fechada. Como o conjunto $F$ é fechado, basta mostrar que a projeção $q: F \rightarrow X / G$ é uma aplicação fechada.

Suponha que $\left(x_{n}\right)$ seja uma sequência em $F$ tal que $q\left(x_{n}\right)$ converge para algum $y \in X / G, y$ que é representado por um ponto $x \in F$. Então existe uma sequência $g_{n} \in G$ tal que $g_{n}\left(x_{n}\right)$ converge para $x$. Como $\left\{ g_{n}\left(x_{n}\right): n \in \mathbb {N}\right\} \cup \{ x\} $ é compacto que podemos assumir sem perda de generalidade que está contido em $U_{F}$, assim a hipótese de finitude local implica que a sequência $\left(g_{n}\right)$ é finita. Portanto, após a remoção dos primeiros temos temos que, $g_{n}=g$ para todo $n\in \mathbb {N}$. O fato de $F$ ser fechado implica então que $x \in F$. Logo temos que $x$ é um ponto de acumulação de $\left(x_{n}\right)$ e consequentemente que $q: F \rightarrow F / G$ é uma aplicação fechada.

Exemplo 4.2

A ação de $\mathbb {Z}$ em $\mathbb {R}$ dada por

\[ \begin{aligned} \mathbb {Z}\times \mathbb {R}& \longrightarrow \mathbb {R}\\ (z, x) & \longrightarrow x+z . \end{aligned} \]

é propriamente descontínua com as vizinhanças convenientes sendo qualquer intervalo aberto de diâmetro menor que 1.

A órbita de $x$ é $G(x)=\{ x+z, z\in \mathbb {Z}\} $, e o conjunto $[0,1]$ é um conjunto fundamental e assim $X / G =[0,1]/\{ 0\sim 1\} =\mathbb {S}^1$.

De maneira equivalente, dizemos que a ação de um grupo de homeomorfismos $G$ em um espaço topológico $X$ é propriamente descontínua se, para todo ponto $x \in X$, existe uma vizinhança $U$ tal que, para quaisquer elementos distintos $g$ e $h$ em $G$, os conjuntos $g \cdot U$ e $h \cdot U$ são disjuntos, ou seja, não têm interseção.

A ação do grupo $G$ sobre $X$ é dita livre se $g \cdot x \neq x$, para todo $x \in X$ e todo $g \in G, g \neq e$. Nesse caso, dizemos que $G$ age livremente em $X$. Se o grupo $G$ age de forma totalmente descontínua sobre $X$, então $G$ age livremente em $X$. Dado um grupo $G$ com uma ação propriamente descontínua em um espaço $X$, as órbitas $G \cdot x$ de cada ponto em $X$ formam conjuntos discretos. Uma vizinhança $V$ é conveniente em relação a um grupo propriamente descontínuo $G$ se, e somente se, ela contiver no máximo um elemento de cada órbita de $G$.

Se $X$ é um espaço de Hausdorff, então as órbitas $G \cdot x$ relativas a um grupo propriamente descontínuo $G$ de homeomorfismos de $X$ são subconjuntos fechados de $X$. De fato, se $y$ não pertence a $G \cdot x$, então uma vizinhança conveniente de $y$ contém no máximo um ponto $g x$ da órbita $G \cdot x$. Como ${g x}$ é um conjunto fechado, podemos escolher uma vizinhança menor de $y$ que seja disjunta de $G \cdot x$. Em particular, quando $X$ é um espaço de Hausdorff compacto, qualquer grupo propriamente descontínuo $G$ de homeomorfismos de $X$ é finito. De fato, escolhendo um ponto fixo $x_{0} \in X$, a função que leva cada elemento $g$ em $G$ para $g x_{0}$ é uma bijeção da $G$ para a órbita $G \cdot x_{0}$. Essa órbita, sendo discreta e fechada no espaço compacto $X$, deve ser finita.

Exemplo 4.3 (Toro $n$-dimensional)

Vamos considerar a seguinte ação de $\mathbb {Z}^{n}$ em $\mathbb {R}^{n}$

\[ \begin{aligned} \mathbb {Z}^{n} \times \mathbb {R}^{n} & \longrightarrow \mathbb {R}^{n} \\ (v, x) & \longrightarrow x+v . \end{aligned} \]

Esta ação é propriamente descontínua. Para demonstrar esse fato, basta considerar conjuntos abertos de diâmetro menor que $1$. Pode-se mostrar que o conjunto fundamental dessa ação é o cubo unitário e, olhando para as identificações das faces desse cubo, que o espaço quociente $\mathbb {R}^{n}/\mathbb {Z}^{n}$ é o toro $n$-dimensional.

Figura 4.10 Ação de Z^(2) em ℝ^(2). — Figura 4.10 Ação de $\mathbb {Z}^{2}$ em $\mathbb {R}^{2}$.

Exemplo 4.4 (Espaço Projetivo)

Considere a função antipodal $-\operatorname {\operatorname {id}}: \mathbb {S}^{n} \longrightarrow \mathbb {S}^{n}$, levando o ponto $x$ em seu antipodal $-x$. Definimos o grupo $G$ como $G=\left\{ \operatorname {\operatorname {id}}, -\operatorname {\operatorname {id}}\right\} $, no qual a operação de grupo é a composição de funções. O grupo $G$ atua de forma propriamente descontínua sobre $\mathbb {S}^{n}$.

De fato, se escolhermos um conjunto aberto $U \subset \mathbb {S}^{n}$ contido em um dos hemisférios, podemos observar que:

\[ -\operatorname {\operatorname {id}}\cdot U \cap U=\emptyset . \]

Nesse caso, o espaço quociente $\mathbb {S}^{n}/G$ é o espaço projetivo $n$-dimensional.

Seja $G$ um grupo de homeomorfismos agindo livremente no espaço $X$. As seguintes afirmações são equivalentes:

A ação do grupo $G$ é propriamente descontínua.
A projeção canônica $p: X \rightarrow X / G$ é uma aplicação de recobrimento.
A aplicação $p: X \rightarrow X / G$ é localmente injetiva.

Demonstração ▼

$\circleda{1} \Rightarrow \circleda{2}$ Sejam $y=p(x)$ um ponto arbitrário em $X / G$ e $U$ uma vizinhança conveniente de $x$. Como $p$ é uma aplicação aberta, $V=p(U)$ é uma vizinhança aberta de $y$. Temos então que:

\[ p^{-1}(V)=\bigcup _{g \in G} g \cdot U \]

é a união de conjuntos abertos dois a dois disjuntos, e a restrição da aplicação contínua $p$ para cada um desses conjuntos abertos é injetiva; portanto, é um homeomorfismo em $p(g \cdot U)=p(U)=V$.

$\circleda{2} \Rightarrow \circleda{3}$ Toda aplicação de recobrimento é localmente injetiva dada que é um homeomorfismo local.

$\circleda{3}\Rightarrow \circleda{1} $ Como a aplicação é localmente injetiva e a ação é livre temos que cada ponto $x \in X$ pertence à um conjunto aberto $U$ no qual não existem dois pontos distintos da mesma órbita. Consequentemente $U$ é uma vizinhança conveniente de $x$ e isso prova que $3 \Rightarrow 1$.

Um recobrimento $ p: \widetilde{X} \to X$ é dito um $G$-recobrimento se ele é proveniente de uma ação propriamente descontínua de $G$ em $\widetilde{X}$. Um $G$-recobrimento é dito trivial se ele é da forma $ X \times G \to X$ com $G$ agindo apenas no segundo fator.

O resultado abaixo, que demonstraremos na seção 4.5, conecta os espaços de recobrimento provenientes dos grupos que agem de maneira propriamente descontínua e o grupo fundamental do espaço quociente e fornece uma ferramenta poderosa para determinarmos os grupos fundamentais.

Teorema 4.5

Se $X$ é simplesmente conexo e localmente conexo por caminho e $G$ age de forma propriamente descontínua como um grupo de homeomorfismos em $X$, então

\[ \pi _{1}(X / G) \cong G. \]

Exemplo 4.6 (Grupo fundamental do toro $2$-dimensional)

Pelo Exemplo 4.3, temos que o grupo fundamental é isomorfo a $\mathbb {Z}\times \mathbb {Z}$.

Exemplo 4.7 (Grupo fundamental do Plano Projetivo)

Pelo Exemplo 4.4, temos que o grupo fundamental é isomorfo a $\mathbb {Z}_2$.

Exemplo 4.8 (Garrafa de Klein)

Considere o grupo de transformações do plano gerado por $\alpha $ e $\beta $, onde $\alpha (x, y)=(x+1, y)$ e $\beta (x, y)=(1-x, y+1)$. Uma análise cuidadosa dessa ação deve convencer o leitor de que o espaço de órbitas $\mathbb {R}^{2} / G$ é a garrafa de Klein. O grupo é definido abstractamente como gerado pelos elementos $\alpha $ e $\beta $, e tem a única relação $\beta ^{-1} \alpha \beta =\alpha ^{-1}$. (Isso é facilmente verificado geometricamente.)

Este grupo é não abeliano, possui um subgrupo cíclico infinito normal, gerado por $\alpha $, com um grupo quociente também cíclico infinito, gerado pela imagem de $\beta $. De acordo com o Teorema 4.1, este grupo é o grupo fundamental da garrafa de Klein.

Figura 4.11 A ação de G em ℝ^2 cujo espaço de órbitas ℝ^(2) / G é a garrafa de Klein. — Figura 4.11 A ação de $G$ em $\mathbb {R}^2$ cujo espaço de órbitas $\mathbb {R}^{2} / G$ é a garrafa de Klein.

Exemplo 4.9 (Espaço Lenticular)

Considere $\mathbb {S}^{2 n-1} \subset \mathbb {C}^{n}$ vista como

\[ \mathbb {S}^{2 n-1}=\left\{ z=\left(z_{1}, \ldots , z_{n}\right) \, \mid \, \, \left\lvert z\right\rvert =1\right\} . \]

Sejam $\epsilon =e^{2 \pi i / p}$ a $p$-ésima raiz primitiva da unidade e $q_{1}, \ldots , q_{n}$ inteiros coprimos a $p$.

Considere $\mathbb {Z}_{p}=\left\{ 1, \epsilon , \epsilon ^{2}, \ldots , \epsilon ^{p-1}\right\} $ e permita que ela aja sobre $\mathbb {S}^{2 n-1}$ como

\[ \epsilon \left(z_{1}, \ldots , z_{n}\right)=\left(\epsilon ^{q_{1}} z_{1}, \ldots , \epsilon ^{q_{n}} z_{n}\right). \]

Essa ação é propriamente descontínua, assim como qualquer ação por um grupo finito, tal que $g x=x \Rightarrow g=e$ (o que o leitor deve verificar). O espaço de órbitas é denotado por $L\left(p ; q_{1}, \ldots , q_{n}\right)$ e é chamado de espaço lenticular.

De acordo com o Teorema 4.1, o grupo fundamental de qualquer um desses espaços é $\mathbb {Z}_{p}$. No caso tridimensional quando $n=2$, $L(p ; 1, q)$ é frequentemente denotado como $L(p, q)$.

Dado um grupo abeliano finitamente gerado $G$, pelo Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitamente Gerados, temos que $G\cong \mathbb {Z}^{n}\oplus \mathbb {Z}_{q_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z}_{q_{m}} $ onde $q_1, \ldots , q_m$ são potências de números primos (não necessariamente distintos). Dessa forma, através de somas diretas de espaços lenticulares e de círculos $\mathbb {S}^1$ é possível construir um espaço que tenha $G$ como grupo fundamental.

4.3 Levantamento de Caminhos e Homotopias

Uma das características fundamentais dos espaço de recobrimento é o seu comportamento em relação ao levantamento de aplicações.

O levantamento de uma função contínua $f: Y \rightarrow X$ é uma função contínua $\widetilde{f}: Y \rightarrow \widetilde{X}$ tal que $p \circ \widetilde{f }=f$. Ou seja, o problema de levantamento solicita a existência de uma aplicação $\widetilde{f}: Y \to \widetilde{X} $ que torne o diagrama abaixo comutativo. Ilustração: Levantamento de Caminhos e Homotopias Uma aplicação que verifica essa propriedade é denominada de levantamento de $f$.

Antes de atacarmos o problema da existência do levantamento, começaremos com dois resultados preliminares: a existência do levantamento local e a unicidade de tal levantamento sobre certas condições.

Unicidade do Levantamento. Sejam $X$ um espaço de Hausdorff e $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ uma aplicação de recobrimento. Se $Y$ é conexo e $g: Y \rightarrow X$ é contínua, então dois levantamentos $\widetilde{g}, \hat{g}: Y \rightarrow \widetilde{X}$ de $g$ que coincidem em um ponto $ y_0 \in Y$ são iguais.

Demonstração ▼

O conjunto $A=\{ y \in Y, \widetilde{g}(y)=\hat{g}(y)\} $ não é vazio, pois $y_{0} \in A$. Como $\widetilde{X}$ é um espaço de Hausdorff, $A$ é fechado em $Y$ uma vez que é a imagem inversa da diagonal sob a aplicação $\widetilde{g} \times \hat{g}: Y \rightarrow \widetilde{X} \times \widetilde{X}$, e a diagonal é fechada.

Para concluir que $\widetilde{g}=\hat{g}$, basta provar que $A$ é aberto em $Y$. Para isso, seja $a \in A$. Existe uma vizinhança $V$ de $\widetilde{g}(a)=\hat{g}(a)$ tal que $p \mathord {\upharpoonright }{V} $ é injetiva. Pela continuidade de $\widetilde{g}$ e $\hat{g}$, existe uma vizinhança $U$ de $a$ com $\widetilde{g}(U) \subset V$ e $\hat{ g}(U) \subset V$. Portanto, para todo $y \in U$ temos $p \widetilde{g}(y)=g(y)=p \hat{g}(y)$ e, como $p$ é injetiva em $V$, temos que $\widetilde{g}(y)=\hat{g}(y)$. Consequentemente, temos que $U \subset A$ e logo $A$ é aberto.

Existência do Levantamento Local. Sejam $X$ um espaço de Hausdorff e $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ uma aplicação de recobrimento. Sejam $ y_o \in Y $, $ x_0 =f (y_o) \in U$ aberto elementar de $ X $ e $\widetilde{x}\in p^{-1}(x_0)$. Então existem um único $\lambda $ e um levantamento local $\widetilde{f} $ tal que $\widetilde{f}(y_0)=\widetilde{x}$ cuja imagem está em $ U_\lambda $, de modo que o diagrama a seguir é comutativo: Ilustração: Levantamento de Caminhos e Homotopias

Além disso, $\widetilde{f} = (p\mathord {\upharpoonright }{U_\lambda })^{-1} \circ f $.

Demonstração ▼

Seja $\lambda $ tal que $\widetilde{x}\in U_\lambda $. Mostraremos que $\widetilde{f} = (p\mathord {\upharpoonright }{U_\lambda })^{- 1} \circ f $ é um levantamento cuja imagem está em $ U_\lambda $.

Observe que $ p\mathord {\upharpoonright }{U_\lambda } $ é um homeomorfismo, pela definição de espaço de recobrimento, logo existe a inversa de $ p\mathord {\upharpoonright }{U_\lambda } $. A composição $\widetilde{f} = (p\mathord {\upharpoonright }{U_\lambda })^{- 1} \circ f $ é contínua e, é claro, torna o diagrama comutativo, logo é levantamento. Além disso, a imagem reside em $ U_\lambda $ pois $(p\mathord {\upharpoonright }{U_\lambda })^{- 1} \circ f$. A unicidade segue da proposição anterior.

A seguir provaremos o Teorema de Levantamento de Homotopias que é de suma importância para determinar o grupo fundamental de muitos espaços e para isso precisaremos do seguintes lemas:

Lema 4.10 (Número de Lebesgue)

Seja $(X, d)$ um espaço métrico compacto e seja $\mathcal{U}=\{ U_{i}\} $ uma cobertura aberta de $X$. Então, existe um número real positivo $\lambda $ tal que todo subconjunto de $X$ de diâmetro menor que $\lambda $ está inteiramente contido em $U_i$, para algum $i$.

Demonstração ▼

Por compacidade, podemos assumir que $\left\{ U_1, \ldots , U_n\right\} $ é uma cobertura aberta finita do espaço métrico compacto $X$.

Agora, suponha que não exista tal $\lambda $. Então, para cada $n \in \mathbb {N}$, seja $A_n$ um conjunto de diâmetro menor $1 / n$ tal que $A_n \notin U_i$, para qualquer $i$. Para cada $n$, escolha $x_n \in A_n$ e considere $x$ um ponto de acumulação da sequência resultante. Temos que $x \in U_i$, para algum $i$, então para algum $\lambda \gt 0, U(x, \lambda ) \subset U_i$. Escolha $n$ suficientemente grande de modo que $1 / n\lt \lambda / 2$, e seja $m\gt n$ tal que $x_m \in U(x, \lambda / 2)$. Logo $x_m \in A_m$, e consequentemente $A_m \cap U(x, \lambda / 2) \neq \varnothing $. Como o diâmetro de $A_m$ é menor que $\lambda / 2$, temos que $A_m \subset U(x, \lambda ) \subset U_i$, uma contradição.

Qualquer número $\lambda $ que funcione no lema anterior é chamado de número de Lebesgue para a cobertura.

Lema 4.11 (de Wallace)

Sejam $Y$ um espaço topológico e $\left\{ U_{\alpha }\right\} $ uma cobertura aberta de $Y \times I$. Então, para qualquer ponto $y \in Y$, existem uma vizinhança $N$ de $y$ em $Y$ e um inteiro positivo $n$ de modo que $N \times [i / n,(i+1) / n] \subset U_{\alpha }$, para algum $\alpha $ e para todo $ 0 \leq i\lt n$.

Figura 4.12 A vizinhança N × [i / n,(i+1) / n] subset U_(α ) — Figura 4.12 A vizinhança $ N \times [i / n,(i+1) / n] \subset U_{\alpha } $

Demonstração ▼

Observamos inicialmente que podemos cobrir $\{ y\} \times I$ por um refinamento de $\left\{ U_{\alpha }\right\} $ da forma $N_{1} \times V_{1}$, $N_{2} \times V_{2}, \ldots , N_{k} \times V_{k}$ pela compacidade de $I$ e pela definição da topologia do produto.

O Lema de Lebesgue implica que existe um $n\gt 0 $ tal que cada $[i / n,(i+1) / n]$ está contido em um dos $V_{j}$. Basta então tomar este $n$ e $N=\bigcap N_{i}$.

Teorema 4.12 (Levantamento de caminhos)

Seja $p: \widetilde{X} \to X$ uma aplicação de recobrimento, e seja $\widetilde{x} \in \widetilde{X}$ um ponto na fibra sobre $x$, ou seja, $p(\widetilde{x}) = x$. Então, para todo caminho contínuo $\alpha : [0,1] \to X$ com $\alpha (0) =x$, existe um único levantamento $\widetilde{\alpha }: [0,1] \to \widetilde{X}$ de $\alpha $ que começa em $\widetilde{x}$, ou seja, $\widetilde{\alpha }(0) = \widetilde{x}$ e $p \circ \widetilde{\alpha } = \alpha $.

Demonstração ▼

Se o caminho $\alpha $ estiver contido em uma vizinhança elementar $U$ a existência do levantamento é direta. Para demonstrarmos isso, seja $V$ a folha em $p^{-1}(U)$ que contém $\widetilde{x}$, então, $p$ leva $V$ homeomorficamente em $U$, e assim existe uma única $\widetilde{\alpha }$ em $V$ com as propriedades necessárias.

É claro que $\alpha $ não estará, em geral, contido em uma vizinhança elementar $U$. No entanto, podemos sempre expressar $\alpha $ como o concatenação de um número finito de caminhos "mais curtos", cada um dos quais está contido numa vizinhança elementar, e depois aplicar o argumento do parágrafo anterior a cada um destes caminhos mais curtos indutivamente.

Os detalhes deste procedimento podem ser descritos como segue. Seja $\left\{ U_i\right\} $ uma cobertura de $X$ por vizinhanças elementares, então $\left\{ \alpha ^{-1}\left(U_i\right)\right\} $ é uma cobertura aberta do espaço métrico compacto $[0,1]$. Escolha um inteiro $n$ tão grande tal que $1 / n$ seja menor que o número de Lebesgue desta cobertura. Divida o intervalo $[0,1]$ nos subintervalos fechados $[0,1 / n],[1 / n, 2 / n], \ldots ,[(n-1) / n, 1]$. Observe que $\alpha $ leva cada subintervalo em uma vizinhança elementar em $X$. Agora definimos $\widetilde{\alpha }$ indutivamente nesses subintervalos, começando com $[0,1 / n]$.

Levantamento de Homotopia. Sejam $X$ e $Y$ espaços de Hausdorff e $p: \widetilde{X}\rightarrow X$ uma aplicação de recobrimento. Seja $H: Y \times I \rightarrow X$ uma homotopia e $H_0: Y \times \{ 0\} \rightarrow \widetilde{X}$ um levantamento da restrição de $H$ a $Y \times \{ 0\} $. Então existe uma única homotopia $\widetilde{H}: Y \times I \rightarrow \widetilde{X}$ fazendo o seguinte diagrama comutar: Ilustração: Levantamento de Caminhos e Homotopias

Além disso, se $H$ é uma homotopia relativa a $Y^{\prime }$ para algum $Y^{\prime } \subset Y$, então $\widetilde{H}$ também o é.

Demonstração ▼

A demonstração da existência tem dois passos. Primeiro, iremos construir um levantamento local e depois colar todas essas "peças" do levantamento, construindo assim o levantamento global.

Começaremos construindo o levantamento local, isto é, para cada $ y \in Y $ um levantamento $\widetilde{H} _y: V_y \times [0,1] \to \widetilde{X} $, onde $ V_y $ é um vizinhança elementar aberta de $y$.

Aplicando o Lema 4.3, para a cobertura $ H^{-1} (U_{x_i}) $ temos que existe um vizinhança $ V_y $ tal que $ V_y \times [t_{i-1}, t_i] \subset H^{-1} (U_{i}) $ para todo $0\leq i\leq n$.

Procederemos por indução na partição do intervalo $\{ t_0, \dots , t_r \} $ sendo $t_j=j/n$:

O caso inicial é simplesmente a homotopia:

\[ \widetilde{H}_y\mathord {\upharpoonright }{V_y\times \{ 0\} }=H_0\mathord {\upharpoonright }{V_y\times \{ 0\} } \]
Para o passo indutivo, suponhamos dada $\widetilde{H}_{y,i }\mathrel {\mathop:\! =}\widetilde{H}_{y} \mathord {\upharpoonright }{V_y\times [0,t_i]}$.

Vamos mostrar que podemos reduzir o problema à uma única folha do levantamento, ou seja, que $V_y\times \{ t_i\} \subset \widetilde{H}_{y,i}^{-1}(U^\lambda _{i+1})$.

Como a imagem da homotopia $H\mathord {\upharpoonright }{V_y\times [t_i,t_{i+1}]}$ está em $U_{{i+1}}$, resulta que $H(y,t_i)\in U_{{i+1}}$. Então, temos:

\[ \widetilde{H}_{y,i}(y, t_i)\in p^{-1}(U_{{i+1}})=\bigcup _\lambda U^\lambda _{i+1} \]

onde a união é disjunta. Desta forma, existe um único $\lambda $ tal que $\widetilde{H}_y(y, t_i)\in U^\lambda _{i+1}$.

Consequentemente $(y,t_i)\in \widetilde{H}_{y,i}^{-1}U(^\lambda _{i+1})$, que é aberto, e por tanto existe uma vizinhança $W_y$ que satisfaz $W_y\times \{ t_i\} \subset \widetilde{H}_{y,i}^{-1}(U^\lambda _{i+1})$. Reduzimos então a vizinhança original $V_y$ a $V_y\cap W_y$ e então $V_y\times \{ t_i\} \subset \widetilde{H}_{y,i}^{-1}(U^\lambda _{i+1})$.

Como $V_y\times [t_i, t_{i+1}]\subset H^{-1}(U_{i+1})$ pelo Lema 4.3 do levantamento local, temos o levantamento:

\[ \widetilde{H}_y\mathord {\upharpoonright }{V_y\times [t_i,t_{i+1}]} \mathrel {\mathop:\! =}(p\mathord {\upharpoonright }{U^\lambda _{i+1}})^{-1}\circ H . \]

Assim só necessitamos demonstrar que a aplicação:

\[ \widetilde{H}_y\mathord {\upharpoonright }{V_y\times [0,t_{i+1}]} = \left\{ \begin{array}{ll} \widetilde{H}_y\mathord {\upharpoonright }{V_y\times [0,t_i]} & \text{se } 0\leq t \leq t_i \\ \widetilde{H}_y\mathord {\upharpoonright }{V_y\times [t_i,t_{i+1}]} & \text{se } t_i\leq t \leq t_{i+1} \\ \end{array}\right. \]

está bem definida, é continua e é levantamento.

O fato que está definida é direto. Basta observar que o valor de cada pedaço em $V_y\times \{ t_i\} $ coincide, ou seja, para qualquer $y'\in V_y$:

\[ p\mathord {\upharpoonright }{U^\lambda _{i+1}}(\widetilde{H}_y\mathord {\upharpoonright }{[0,t_i]}(y',t_i)) = H(y',t_i) = p\mathord {\upharpoonright }{U^\lambda _{i+1}}(\widetilde{H}_y\mathord {\upharpoonright }{[t_i,t_{i+1}]}(y',t_i)) \]

e como $p\mathord {\upharpoonright }{U^\lambda _{i+1}}$ é um homeomorfismo, são iguais.

A continuidade segue do Lema de Colagem e o fato que é levantamento pode ser demonstrado facilmente.

Com esta indução, temos, para cada $y\in Y$, um levantamento $\widetilde{H}_y:V_y\times [0,1]\to \widetilde{X}$. Mostraremos agora que podemos colar todos estes levantamentos para construir um levantamento global.

Para isso sejam $y,y'\in \ Y$ e os levantamentos correspondentes $\widetilde{H}_y$ e $\widetilde{H}_{y'}$. Basta mostrar que ambos coincidem na parte comum dos domínios: $V_y\cap V_{y'}$.

Para provar isto, consideramos $y''\in V_y\cap V_{y'}$. Queremos mostrar que $\widetilde{H}_y(y'',\cdot )=\widetilde{H}_{y'}(y'',\cdot )$. Mas como ambos são levantamentos de $H$ em $\{ y''\} \times [0,1]$ y então ambas satisfazem:

\[ \widetilde{H}_y(y'',0)=H_0(y'',0)=\widetilde{H}_{y'}(y'',0) \]

Então, como coincidem em um ponto do conjunto conexo ($\{ y''\} \times [0,1]$), temos pelo Lema 4.3 que coincidem.

Esse mesmo argumento garante a unicidade do levantamento.

O levantamento é um problema homotópico. De fato, se $ f: Y \to X $ tiver um levantamento $\widetilde{f}: Y \to \widetilde{X} $, então toda função $ g \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}f $ também terá levantamento. Apenas considere a homotopia $ H: f \mathrel {\smash {\underset {}{\simeq }}}g $, e pelo lema de levantamento existe $\widetilde{f} $, de forma que $\widetilde{g} = \widetilde{f}_1 $ é um levantamento de $ g $. da Monodromia. Seja $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ um recobrimento. Suponha que $\widetilde{\alpha }, \widetilde{\beta }$ sejam dois caminhos em $\widetilde{X}$ tendo o mesmo ponto inicial $\widetilde{x}_0$. Então $\widetilde{\alpha }, \widetilde{\beta }$ são equivalentes se, e somente se, $p \widetilde{\alpha }, p \widetilde{\beta }$ são caminhos equivalentes em $X$.

Demonstração ▼

Se $F: I \times I \rightarrow \widetilde{X}$ é uma aplicação contínua tal que

\begin{align*} F(s, 0) & =\widetilde{\alpha }(s), \qquad F(s, 1)=\widetilde{\beta }(s),\qquad s \in I \\ F(0, t) & =\widetilde{x}_0, \qquad F(1, t)=\widetilde{x}_1,\qquad t \in I, \end{align*}

então $p \circ F: I \times I \rightarrow X$ é uma aplicação contínua tal que para todo $s \in I, p \circ F(s, 0)=$ $p \widetilde{\alpha }(s ), p \circ F(s, 1)=p \widetilde{\beta }(s)$ e para todo $t \in I, p \circ F(0, t)=p\left(\widetilde{x }_0\right), p \circ F(1, t)=$ $p\left(\widetilde{x}_1\right)$. Isso prova a implicação.

Por outro lado, suponha que $F: I \times I \rightarrow X$ seja uma homotopia entre $p \widetilde{\alpha }$ e $p \widetilde{\beta }$ relativa a $\{ 0,1\} \subset I $. Pela propriedade de levantamento de homotopia, existe uma única homotopia $\widetilde{F}: I \times I \rightarrow \widetilde{X}$ tal que $\widetilde{F}(0,0)=\widetilde{x}_0 $ e $p\widetilde{F}=F$. Restringindo $\widetilde{F}$ em $(s, 0), s \in I$, encontramos um caminho $s \rightarrow \widetilde{F}(s, 0)$ começando em $\widetilde{x}_0 $ e levantando $p \widetilde{\alpha }$. Claramente, $\widetilde{\alpha }(s)$ também é um caminho em $\widetilde{X}$ começando em $\widetilde{x}_0$ e levantando p $\widetilde{\alpha }$. Portanto, pela propriedade de unicidade dos caminhos de recobrimento, $\widetilde{F}(s, 0)=\widetilde{\alpha }(s)$ para todos $s \in I$.

Por um argumento semelhante, temos $\widetilde{F}(s, 1)=\widetilde{\beta }(s)$. Restringindo $\widetilde{F}$ em $(0, t), t \in I$, obtemos um caminho $\widetilde{F}(0, t)$ que se projeta sob $p$ para a constante caminho em $x_0$; por outro lado, o caminho constante $\widetilde{x}_0$ em $\widetilde{X}$ também começa em $\widetilde{x}_0$ e se projeta sob $p$ para o caminho constante $ a x_0$ em $X$. Portanto, novamente pela proposição de Unicidade do Levantamento, $\widetilde{F}(0, t)$ deve ser um caminho constante baseado em $\widetilde{x}_0$. Da mesma forma, o caminho $\widetilde{F}(1, t)$ deve ser um caminho constante baseado em algum ponto $\widetilde{x}_1$ sobre $x_1$. Isso prova que $\widetilde{F}$ é uma homotopia entre $\widetilde{\alpha }$ e $\widetilde{\beta }$ relativa à $\{ 0,1\} $. Portanto, $\widetilde{\alpha }$ é equivalente a $\widetilde{\beta }$.

Por definição, dois caminhos no espaço são equivalentes, significa que têm os mesmos pontos inicial e terminal. Assim, se $p \widetilde{\alpha }$ e $p \widetilde{\beta }$ são equivalentes, então pelo teorema acima $\widetilde{\alpha }, \widetilde{\beta }$ são equivalentes. Sabemos que eles têm o mesmo ponto inicial. Portanto, é uma consequência e não uma hipótese do teorema acima que $\widetilde{\alpha }, \widetilde{\beta }$ deve ter o mesmo ponto terminal.

Seja $p: \widetilde{X}\rightarrow X$ uma aplicação de recobrimento. Seja $\alpha :(I, \partial I) \rightarrow \left(X, y_{0}\right)$ um laço. Se $\alpha $ é homotópico à um laço constante relativo a $\partial I$ então qualquer levantamento de $\alpha $ para um caminho é um laço e é homotópico à um laço constante relativo a $\partial I$. Seja $p: \widetilde{X}\rightarrow X$ uma aplicação de recobrimento e $p\left(\widetilde{x}_{0}\right)=x_{0}$. Se $\alpha $ é um laço com base em $X$ em $x_0$ que se levanta para um laço em $\widetilde{X}$ com base em $\widetilde{X}$ em $\widetilde{x}_0$, então qualquer laço homotópico à $\alpha $ relativo à $\partial I$ também se levanta para um laço em $\widetilde{X}$ com base em $\widetilde{x}_0$. Ou seja, o levantamento de um laço é uma propriedade da classe $[\alpha ]$. Lembramos que qualquer aplicação contínua $f: X \rightarrow Y$ induz um homomorfismo de grupo $f_\sharp : \pi _1(X, x) \rightarrow \pi _1(Y, f(x))$ para todo $x \in X$, definido por $f_\sharp [\alpha ]=[f \circ \alpha ]$. Se $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ é um aplicação de recobrimento, então sabemos que ela é sobre. Mas a aplicação induzida, em geral, não precisa ser sobrejetiva. No entanto, segue do teorema anterior que $p_{\sharp }: \pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_0) \rightarrow \pi _1(X, x_0)$ é sempre uma aplicação injetiva.

Seja $p: \widetilde{X}\rightarrow X$ uma aplicação de recobrimento e $p(\widetilde{x}_0)=x_0$. Então

\[ p_{\# }: \pi _{1}(\widetilde{X},\widetilde{x}_0) \rightarrow \pi _{1}(X, x_0) \]

é injetiva. E sua imagem consiste nas classes de laços com base em $x_{0}$ em $X$ que levantam para laços com base em $\widetilde{x}_0$ em $\widetilde{X}$.

Demonstração ▼

Um elemento do kernel de $p_{\# }$ é representado por um laço $\widetilde{\alpha }_{0}: I \rightarrow \widetilde{X}$ com uma homotopia $H_{t}: I \rightarrow X$ de $\alpha _{0}=p \widetilde{\alpha }_{0}$ para o laço trivial. Pelas corolários anteriores, existe uma levantamento de homotopia $\widetilde{H}_{t}$ começando com $\widetilde{\alpha }_{0}$ e terminando com um laço constante. Portanto $\left[\widetilde{\alpha }_{0}\right]=0$ em $\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0})$ e $p_{\# }$ é injetiva.

Para a segunda afirmação da proposição, observamos que laços baseados em $x_{0}$ que são levantados para laços baseados em $\widetilde{x}_{0}$ representam elementos da imagem de $p_{\# }: \pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) \rightarrow \pi _{1}(X, x_{0})$. Por outro lado, um laço representando um elemento da imagem de $p_{\# }$ é homotópico a um laço com tal levantamento, portanto, pelo Teorema de Levantamento de Homotopias 4.3, o próprio laço deve ter tal levantamento.

Se um espaço de Hausdorff, conexo por caminho e localmente conexo por caminho $X$ tiver um espaço de recobrimento não trivial, então $\pi _{1}(X, x_{0}) \neq 1 $.

Demonstração ▼

Sejam $\widetilde{x}_{0}, \widetilde{x}_{1}$ dois pontos em $ p^{-1}\left(x_{0}\right)$ e $\alpha $ um caminho entre eles. Então $p \circ \alpha $ é um laço com base em $X$ em ${x}_{0}$ que não se levanta para um laço com base em $\widetilde{X}$ em $\widetilde{x}_{0}$. Pelo Corolário 4.3, segue-se que $[p \circ \alpha ] \in \pi _{1}(X, x_{0})$ não está na imagem de $\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0})$ e, portanto, é um elemento não trivial.

Como consequência do Corolário 4.3, conhecemos vários espaços com grupos fundamentais não triviais: o círculo, a garrafa de Klein, o toro e o plano projetivo. Mais tarde, calcularemos completamente esses grupos fundamentais.

O número de folhas de um espaço de recobrimento $p:(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) \rightarrow (X, x_{0})$ com $X $ e $\widetilde{X}$ conexo por caminho é igual ao índice de $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) )$ em $\pi _{1}(X, x_{0})$.

Demonstração ▼

Para um laço $\alpha $ em $X$ baseado em $x_{0}$, seja $\widetilde{\alpha }$ seu levantamento para $\widetilde{X}$ começando em $\widetilde{x}_{ 0}$. Um produto

\[ \beta \cdot \alpha \text{ com }[\beta ] \in H=p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) ) \]

tem levantamento $\widetilde{\beta } \cdot \widetilde{\alpha }$ terminando no mesmo ponto que $\widetilde{\alpha }$ já que $\widetilde{\beta }$ é um laço. Assim, podemos definir uma função $\Phi $ das classes $H[\alpha ]$ para $p^{-1}(x_{0})$ enviando $H[\alpha ]$ para $\widetilde{ \alpha }(1)$. A conectividade por caminho de $\widetilde{X}$ implica que $\Phi $ é sobrejetiva, já que $\widetilde{x}_{0}$ pode ser unido a qualquer ponto em $p^{-1}\left(x_{0}\right)$ por um caminho $\widetilde{\alpha }$ projetando-se para um laço $\alpha $ baseado em $x_{0}$. Para ver que $\Phi $ é injetiva, observe que $\Phi \left(H\left[\alpha _{1}\right]\right)=\Phi \left(H\left[\alpha _{2}\right]\right)$ implica que $\widetilde{\alpha }_1(1)=\widetilde{\alpha }_2(1)$ e logo $\alpha _{1} \cdot \alpha _{2}^{-1}$ levanta-se para um laço em $\widetilde{X}$ baseado em $\widetilde{x}_{0}$, e dessa forma $\left[\alpha _{1}\right]\left[\alpha _{2}\right]^{-1} \in H$ e, portanto, $H\left[\alpha _{1}\right]=H\left[\alpha _{ 2}\right]$.

Se $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ é um recobrimento com $\widetilde{X}$ simplesmente conexo, então o número de folhas é igual à ordem de $\pi _{1}(X, x_{0})$. Grupo Fundamental do Espaço Projetivo. Como a esfera $\mathbb {S}^{n}$ é simplesmente conexa para $n\gt 1$ e $\mathbb {S}^{n}$ é um recobrimento duplo do espaço projetivo real $n$-dimensional $\mathbb {RP}^{n}$, segue-se que $\pi _{1}(\mathbb {RP}^{n}) \cong \mathbb {Z}_{2}$. O Corolário 4.3 leva à seguinte questão: suponha que $\widetilde{x}_{0}$ e $\widetilde{x}_{1}$ sejam pontos de $X$ tais que $p\left(\widetilde{x} _{0}\right)=p\left(\widetilde{x}_{1}\right)=x_{0}$. Como as imagens dos homomorfismos

\begin{align*} & p_{\sharp }: \pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) \rightarrow \pi _1(X, x_{0}), \\ & p_{\sharp }: \pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{1}) \rightarrow \pi _1(X, x_{0}), \end{align*}

se comparam? A resposta é dada pelo seguinte teorema: Seja $(\widetilde{X}, p)$ um espaço de recobrimento de $X$ e $x_{0} \in X$. Então, os subgrupos $p_{\sharp } \pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_0)$ para $\widetilde{x}_0 \in p^{-1}(x_{0}) $ são exatamente uma classe de conjugação de subgrupos de $\pi _1(X, x_{0})$.

Demonstração ▼

Primeiramente provaremos que as imagens dos homomorfismos

são conjugadas. Para isso seja uma classe $[\gamma ]$ de caminhos em $\widetilde{X}$ de $\widetilde{x}_{0}$ a $\widetilde{x}_{1}$. Essa escolha define um isomorfismo $u: \pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) \rightarrow \pi _1(\widetilde{X}, \tilde{x}_{1}) $ pela fórmula $u(\alpha )=[\gamma ]^{-1} \alpha [\gamma ]$ e um homomorfismo $v(\beta )=\left(p_{\sharp } [\gamma ]\right)^{-1} \beta \left(p_{\sharp } [\gamma ]\right)$. Obtemos assim o seguinte diagrama comutativo: Ilustração: Levantamento de Caminhos e Homotopias

Como $p_{\sharp }([\gamma ])$ é um caminho fechado e, portanto, um elemento de $\pi _1(X, x_{0})$. Temos que as imagens de $\pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0})$ e de $\pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{ x}_{1})$ sob $p_{\sharp }$ são subgrupos conjugados de $\pi _1(X, x_{0})$.

Agora provaremos que todo subgrupo na classe de conjugação do subgrupo $p_{\sharp } \pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0})$ pode ser obtido como a imagem $p_{\sharp } \pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{1})$ para alguma escolha do ponto $\widetilde{x}_{1} \in p^{ -1}\left(x_{0}\right)$. Para provar esse fato, começamos observando que qualquer subgrupo nesta classe de conjugação tem a forma $[\alpha ]^{-1}\left[p_{\sharp } \pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0 })\right] [\alpha ]$ para alguma escolha do elemento $[\alpha ] \in \pi _1(X, x_{0})$.

Escolhemos então um caminho fechado $\alpha : I \rightarrow X$ representando $[\alpha ]$. Pelo teorema de Levantamento de Caminhos temos um caminho $\widetilde{\alpha }: I \rightarrow \widetilde{X}$ cobrindo $\alpha $ com o ponto inicial $x_{0}$. Seja $\widetilde{x}_{1}$ o ponto final de $\widetilde{\alpha }$. Então, é fácil ver que

\[ p_{\sharp } \pi _1(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{1})=[\alpha ]^{-1}\left[p_{\sharp } \pi _1(\widetilde{ X}, \widetilde{x}_{0})\right] [\alpha ] . \]

4.4 Levantamento de Funções

É importante também saber sobre a existência dos levantamentos de aplicações gerais, e não apenas dos levantamentos de homotopias. O seguinte teorema fornece a resposta para o problema do levantamento de forma geral.

Este é um problema importante na topologia, uma vez que muitas questões topológicas podem ser formuladas em termos de encontrar tais levantamentos.

Teorema 4.13 (Levantamento)

Suponha que $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ seja uma aplicação de recobrimento com $p\left(\widetilde{x} \right)=x_{0}$. Suponha que $Y$ seja um espaço topológico conexo por caminho e localmente conexo por caminho e que $f: Y \rightarrow X$ seja uma aplicação satisfazendo $f\left(y_{0}\right)=x_{0}$. Então, existe uma única aplicação, denominada levantamento de $f$

\[ \widetilde{f}:\left(Y, y_{0}\right) \rightarrow (\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) \]

tal que $p \circ \widetilde{f}=f$ se, e somente se, $f_{\# } \pi _{1}(Y, y_{0}) \subset p_{\# } \pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0})$.

Demonstração ▼

A ida é imediata pois $f_{\# }=p_{\# }\circ \widetilde{f}_{\# }$.

Para a volta. Primeiro vamos definir a função $\widetilde{f}$. Dado $y \in Y$, seja $\alpha : I \rightarrow Y$ um caminho ligando $y_{0}$ a $y$. Então $f \circ \alpha $ é um caminho em $X$. Podemos levantar esse caminho para um caminho $\widetilde{\alpha }:(I, 0) \rightarrow (\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0})$ e assim podemos definir a função $\widetilde{f}$ como $\widetilde{f}(y)=\widetilde{\alpha }(1)$. Dessa forma, temos que $p \circ \widetilde{f}(y)=p(\widetilde{\alpha }(1))=f(\alpha (1))=f(y)$.

Precisamos demonstrar que $\widetilde{f}$ está bem definida, ou seja, independe da escolha do caminho. Para isso suponha $\beta $ outro caminho em $Y$ unindo $ y_0$ a $y$. Então $\alpha * \beta ^{-1}$ é um laço em $Y$ baseado em $ y_0$. Como $[f\alpha *f\beta ^{-1}]=f_{\sharp }[\alpha * \beta ^{-1}] \in \mathrm{im}\, f_{\sharp } \subset \mathrm{im}\, p_{\sharp }$ temos pelo Corolário 4.3 que $f\alpha *f\beta ^{-1}$ se levanta para um laço $\sigma $ baseado em $\widetilde{x}_0$.

Figura 4.15 Levantamento da função f: Y → X. — Figura 4.15 Levantamento da função $f: Y \rightarrow X$.

Agora dividimos o laço $\sigma $ no produto $\sigma _1 * \sigma _2^{-1}$ dos caminhos $\sigma _1, \sigma _2$ em $\widetilde{X}$ definindo $\sigma _1(t)=\sigma (t / 2) , \sigma _2(t)=\sigma (1-t / 2), t \in I$. Então, para cada $t \in I, p \sigma _1(t)=p \sigma (t / 2)=(f \alpha ) *(f \beta )^{-1}(t / 2)=f \alpha (t) $ e, da mesma forma, $p \sigma _2(t)=f \beta (t)$. Como $\sigma _1$ e $\widetilde{\alpha }$ concordam em $\widetilde{x}_0$ e $p \sigma _1=f \alpha =p \widetilde{\alpha }$, podemos aplicar o Teorema da Monodromia para concluir que $\sigma _1(1)=\widetilde{\alpha }(1)$ e $\sigma _2(1)=\widetilde{\beta }(1)$. No entanto, como $\sigma _1(1)=\sigma _2(1)=\sigma \left(\frac{1}{2}\right)$, temos que $\widetilde{\alpha }(1)=\widetilde{\beta }(1)$. Notamos que pela definição segue direto que $p \widetilde{f}=f$.

Finalmente, precisamos mostrar que $\widetilde{f}$ é contínua. Ou seja, dado um conjunto aberto $ V\subset \widetilde{X}$ queremos mostrar que $\widetilde{f}^{-1}(V) $ é aberto. Seja $V\subset \widetilde{X}$ sendo $V$ um aberto que se projeta sobre o aberto elementar $U$ e $y\in \widetilde{f}^{-1}(V)$. Temos então que $f(y)\in U\subset Y$. Precisamos encontrar um conjunto aberto $W\subset Y$ contendo y tal que $\widetilde{f}(W)\subset $V. O conjunto $f^{-1 }(U)\subset Y$ é aberto porque $f$ é contínua e seja $W\subset f^{-1}(U)$ um subconjunto aberto conexo por caminho de $f^{-1}(U)$ contendo $y$ o que existe pois $Y$ é localmente conexo por caminho. Para mostrar que tal $W$ satisfaz $\widetilde{f}(W)\subset V$, escolha $y'\in W$ e um caminho $\alpha \in W$ de $y$ para $y'$. Então temos $\widetilde{f}(y')=\widetilde{f\circ \alpha }(1)$, onde $\widetilde{f\circ \alpha }$ é o levantamento de $f\circ \alpha $ começando em $\widetilde{f}(y)$. Esta levantamento pode ser expresso também por $p^{-1}\mathord {\upharpoonright }{U}\circ f\circ \alpha $ . Isso implica que $\widetilde{f}(y')=q (f(\alpha (1)))\in V$, então $\widetilde{f}^{-1}(V)$ contém $W$. E logo $\widetilde{f}$ é contínua.

Neste teorema, a hipótese de que o espaço topológico $Y$ seja localmente conexo por caminho não pode ser removida, para isso veja o exercício 38.

Seja $Y$ um espaço topológico simplesmente conexo, e localmente conexo por caminho. Seja $p:(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) \rightarrow \left(X, y_{0}\right)$ uma aplicação de recobrimento. Seja $f:\left(Y, y_{0}\right) \rightarrow $ $(X, x_{0})$ uma aplicação. Então, existe um levantamento $\widetilde{f} $ de $ f$ levando $y_{0}$ a qualquer ponto em $p^{-1}(x_{0})$. O levantamento $\widetilde{f}$ é único se a imagem de $y_{0}$ for especificada. Seja $X,\widetilde{X}_{1}$ e $\widetilde{X}_{2}$ espaços topológicos conexos por caminho e localmente conexos por caminho. Sejam $p_{1}: \widetilde{X}_{1} \rightarrow X $ e $p_{2}: \widetilde{X}_{2} \rightarrow X $ aplicações de recobrimento com $\widetilde{X}_{1}$ simplesmente conexo, e $\widetilde{x}_{i} \in \widetilde{X}_{i}$ e $x \in X$ tais que $p_{i}\left(\widetilde{x}_{i}\right)=x$. Então existe uma única aplicação $\widetilde{f}: \widetilde{X}_{1} \rightarrow \widetilde{X}_{2}$ de modo que $\widetilde{f}\left(\widetilde{x}_{1}\right)=\widetilde{x}_{2}$ e $p_{2}\circ \widetilde{f}=p_{1}$. Além disso, $\widetilde{f}$ é uma aplicação de recobrimento.

Demonstração ▼

Esse fato decorre diretamente do Lema 4.3, exceto pela afirmação de que $\widetilde{f}$ é uma aplicação de recobrimento que será deixado para o leitor.

4.5 Homomorfismos de Recobrimento e Transformações de Deck

Sejam $(\widetilde{X}_1, p)$ e $(\widetilde{X}_2, q)$ espaços de recobrimento do mesmo espaço $X$. Um homomorfismo de recobrimento $h$ de $(\widetilde{X}_1, p)$ a $(\widetilde{X}_2, q)$ é uma aplicação contínua $h: \widetilde{X}_1 \rightarrow \widetilde{X}_2$ tal que o diagrama é comutativo. Ilustração: Homomorfismos de Recobrimento e Transformações de Deck

Se além disso, se $h$ é um homeomorfismo, então $h$ é chamado de isomorfismo. Se houver um isomorfismo de $(\widetilde{X}_1, p)$ a $(\widetilde{X}_2, q)$, então estes são chamados de espaços de recobrimento isomorfos ou equivalentes , caso contrário, são considerados espaços de recobrimento distintos.

Um isomorfismo de um espaço de recobrimento sobre si mesmo é chamado de automorfismo ou transformação de deck. Um homomorfismo de recobrimento $h$ de $(\widetilde{X}_1, p)$ a $(\widetilde{X}_2, q)$ é uma aplicação de recobrimento e assim $(\widetilde{X}_1, h)$ é um recobrimento de $\widetilde{X}_2$.

Exemplo 4.14

Considere o espaço de recobrimento $p_n:\mathbb {S}^{1}\to \mathbb {S}^{1}$ onde $p(z)=z^{n}$. Nesse caso as transformações de deck são isomorfismos de recobrimento $F:(\mathbb {S}^{1},p_n)\to \mathbb {S}^{1},p_n)$, satisfazendo $p_n\circ F=p_n$. Em outras palavras, $(F(z))^n=z^n$, e então $F(z)=\mu z$ para algum $\mu $ raiz $n$-ésima da unidade, i.e., com $\mu ^n=1$. A aplicação $F(z)=\mu z$ é uma transformação de deck para qualquer raiz $n$-ésima da unidade e qualquer transformação de deck deve ter esta forma. Isso nos diz que o grupo de deck é $\operatorname *{Aut}(\widetilde{X} / X)\cong \mathbb {Z}_n$. Essas transformações são ilustradas na Figura 4.16.

Figura 4.16 A transformação de deck F(z)=μ z age "girando as fibras e carregando elas para cima". — Figura 4.16 A transformação de deck $F(z)=\mu z$ age "girando as fibras e carregando elas para cima".

Seja $X$ espaço topológico simplesmente conexo, conexo por caminho e localmente conexo por caminho. Sejam $p_{1}: \widetilde{X}_{1} \rightarrow X $ e $p_{2}: \widetilde{X}_{2} \rightarrow X $ aplicações de recobrimento com $\widetilde{X}_{1}$ e $\widetilde{X}_{2}$ simplesmente conexos. Se $\widetilde{x}_{i} \in \widetilde{X}_{i}$ são tais que $p_{1}\left(\widetilde{x}_{1}\right)=p_{2}\left(\widetilde{x}_{2}\right)$ então existe uma única aplicação $\widetilde{f}: \widetilde{X}_{1} \rightarrow \widetilde{X}_{2}$ tal que $p_{2} \circ \widetilde{f}=p_{1}$ e $\widetilde{f}\left(\widetilde{x}_{1}\right)=\widetilde{x}_{2}$.

Além disso, $\widetilde{f}$ é um isomorfismo de recobrimento.

Demonstração ▼

Usando o Corolário 4.4 temos que existem aplicações de recobrimento $\widetilde{f}_1: \widetilde{X}_{1} \rightarrow \widetilde{X}_{2}$ e $\widetilde{f}_2: \widetilde{X}_{2} \rightarrow \widetilde{X} _{1}$ tais que $\widetilde{f}_2 \circ \widetilde{f}:_1 \widetilde{X}_{1} \rightarrow \widetilde{X}_{1}$ tal que $\widetilde{f}_2 \circ \widetilde{f}$ é um levantamento de $p_1$ para o recobrimento $\widetilde{X}_{1}$ com $f_2f_1(\widetilde{x}_{1}) = \widetilde{x}_{1}$. Ilustração: Homomorfismos de Recobrimento e Transformações de Deck Mas a identidade $\widetilde{x}_{1}$ também é um levantamento de $p_1$ com $\operatorname {\operatorname {id}}(\widetilde{x}_{1})=\widetilde{x}_{1}$. Pela unicidade do levantamento temos $f_2f_1 = \operatorname {\operatorname {id}}_{\widetilde{X}_{1}}$. O mesmo argumento mostra que $f_1f_2 = \operatorname {\operatorname {id}}_{\widetilde{X}_{2}}$.

Assim, todos os espaços de recobrimento universais, i.e., simplesmente conexos, de um determinado espaço são equivalentes. Eles nem sempre existem, mas existem se impusermos algumas restrições, como demonstrado no Teorema 4.6.

Seja $\operatorname *{Aut}(\widetilde{X} / X)$ o conjunto de todos os automorfismos de um espaço de recobrimento $(\widetilde{X}, p)$ de $X$.

A aplicação identidade $ 1_{\widetilde{X}}: \widetilde{X} \rightarrow \widetilde{X}$ é um automorfismo e o inverso de um automorfismo é novamente um automorfismo. Consequentemente, $\operatorname *{Aut}(\widetilde{X} / X)$ é um grupo sob composição usual de aplicações. O grupo $\operatorname *{Aut}(\widetilde{X} / X)$ é denominado de grupo de automorfismo do espaço de recobrimento $(\widetilde{X}, p)$ de $X$. Esses automorfismos também são conhecidos como transformações de recobrimento ou transformações de deck do espaço de recobrimento $(\widetilde{X}, p)$ de $X$. Um espaço de recobrimento $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ é dito regular ou normal se para cada $x \in X$ e todo par de levantamentos de $x$ $\widetilde{x}, \widetilde{x}^{\prime } \in p^{-1}(x)$ existe uma transformação de deck levando $\widetilde{x}$ para $\widetilde{x}^{\prime }$. Intuitivamente, um espaço de recobrimento normal é aquele com simetria máxima.

O recobrimento $p_n:\mathbb {S}^{1}\to \mathbb {S}^{1}$ dado pela aplicação $p_n(z)=z^{n}$ é um recobrimento normal para todo $n\in \mathbb {N}$.
Pela Proposição 4.5 todo recobrimento universal é um recobrimento normal.
Os grafos a) da Figura 4.7 e o grafo da Figura 4.8 são recobrimentos normais de $\mathbb {S}^1\vee \mathbb {S}^1$. Enquanto que os grafos b) e c) da Figura 4.7 não o são.

O termo normal é motivado pelo seguinte resultado.

Seja $p:(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) \rightarrow (X, x_{0})$ um espaço de recobrimento conexo por caminho do espaço conexo por caminho, localmente conexo por caminho $X$, e seja o subgrupo $H=p_{\sharp }\left(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0 })\right) \subset \pi _{1}(X, x_{0})$. Então:

O espaço de recobrimento é normal se $H$ for um subgrupo normal de $\pi _{1}(X, x_{0})$.
$\operatorname *{Aut}(\widetilde{X} / X)$ é isomorfo ao quociente $N(H) / H$ onde $N(H)$ é o normalizador de $H$ em $\pi _{1}( X, x_{0})$.

Em particular, $\operatorname *{Aut}(\widetilde{X} / X)$ é isomorfo a $\pi _{1}(X, x_{0}) / H$ se $\widetilde{X}$ é um recobrimento normal. Portanto, para o recobrimento universal $\widetilde{X} \rightarrow X$ temos $\operatorname *{Aut}(\widetilde{X} / X) \cong \pi _{1}(X,x_0)$.

Demonstração ▼

1 O Teorema 4.3 nos diz que mudar o ponto base $\widetilde{x}_{0} \in p^{-1}(x_{0})$ para $\widetilde{ x}_{1} \in p^{-1}(x_{0})$ corresponde precisamente à conjugação de $H$ por um elemento $[\gamma ] \in \pi _{1}( X, x_{0})$ onde $\gamma $ possui um levantamento $\widetilde{\gamma }$ ligando $\widetilde{x}_{0}$ a $\widetilde{x}_{1} $.

Assim $[\gamma ]$ está no normalizador $N(H)$ se, e somente se, $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}))=p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{1}))$, que pelo critério de levantamento é equivalente à existência de uma transformação de deck levando $\widetilde{x}_{0}$ para $\widetilde{x}_{1}$. Portanto, o espaço de recobrimento é normal se $N(H)=\pi _{1}(X, x_{0})$, ou seja, se $H$ for um subgrupo normal de $\pi _{1} (X, x_{0})$.

2 Defina $\varphi : N(H) \rightarrow \operatorname *{Aut}(\widetilde{X} / X)$ enviando $[\gamma ]$ para a transformação de deck $\tau $ levando $\widetilde{x}_{0}$ para $\widetilde{x}_{1}$, na notação acima. Então $\varphi $ é um homomorfismo, pois se $\gamma ^{\prime }$ é outro laço correspondente à transformação de deck $\tau ^{\prime }$ levando $\widetilde{x}_{0}$ para $\widetilde{x}_{1}^{\prime }$ então $\gamma \cdot \gamma ^{\prime }$ sobe para $\widetilde{\gamma } \cdot \left(\tau \left(\widetilde{\gamma }^{\prime }\right)\right)$, um caminho de $\widetilde{x}_{0}$ para $\tau \left(\widetilde{x}_{1}^{ \prime }\right)=\tau \tau ^{\prime }\left(\widetilde{x}_{0}\right)$, já que $\tau \left(\widetilde{\gamma }^{\prime }\right)$ é um levantamento de $\gamma ^\prime $ ligando $\widetilde{x}_{1}=\tau (\widetilde{x}_{0})$ à $\tau (\widetilde{x}_{1}^{\prime })$. Então $\tau \tau ^{\prime }$ é a transformação de deck correspondente para $[\gamma ]\left[\gamma ^{\prime }\right]$. Pelo parágrafo anterior $\varphi $ é sobrejetivo. Seu kernel consiste em classes $[\gamma ]$ elevando-se a laços em $\widetilde{X}$. Esses são exatamente os elementos de $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}))=H$.

Se uma ação de um grupo $G$ em um espaço $Y$ é propriamente descontínua, então:

A aplicação quociente $p: Y \rightarrow Y / G, p(y)=G y$, é um espaço de recobrimento normal.
$G$ é o grupo de transformações de deck deste espaço de recobrimento $Y \rightarrow Y / G$ se $Y$ for conexo por caminho.
$G$ é isomorfo a $\pi _{1}(Y / G,\bullet ) / p_{\sharp }(\pi _{1}(Y),\bullet )$ se $Y$ for conexo por caminho e localmente conexo por caminho.

Demonstração ▼

Dado uma vizinhança aberta conveniente $U \subset Y$, a aplicação quociente $p$ simplesmente identifica todos os conjuntos homeomorfos disjuntos $\{ g(U) \mid g \in G\} $ para um único conjunto aberto $p(U)$ em $Y / G$. Pela definição da topologia quociente em $Y / G, p$ se restringe a um homeomorfismo de $g(U)$ em $p(U)$ para cada $g \in G$ então temos um espaço de recobrimento.

Cada elemento de $G$ atua como uma transformação de deck, e o espaço de recobrimento é normal, pois $g_{2} g_{1}^{-1}$ leva $g_{1}(U)$ a $g_{2} (U)$. O grupo de transformação de deck contém $G$ como um subgrupo, e é igual a este subgrupo se $Y$ for conexo por caminho, pois se $f$ for qualquer transformação de deck, então para um ponto escolhido arbitrariamente $y \in Y, y$ e $f(y)$ estão na mesma órbita e existe um $g \in G$ com $g(y)=f(y)$, portanto $f=g$ já que as transformações de deck de um espaço de recobrimento conexo por caminho são determinados exclusivamente pela imagem de um ponto.

A última afirmação a proposição é imediata da parte 2 da Proposição 4.5.

Figura 4.17 Recobrimento associado a ação propriamente descontínua de um grupo G é normal. — Figura 4.17 Recobrimento associado a ação propriamente descontínua de um grupo $G$ é normal.

Como corolário temos:

Teorema 4.15

Se $X$ é simplesmente conexo e localmente conexo por caminho e $G$ age de forma propriamente descontínua como um grupo de homeomorfismos em $X$, então

\[ \pi _{1}(X / G,\bullet ) \cong G \]

4.6 Classificação dos Espaços de Recobrimento

Esta subseção considera o problema de classificar todos os diferentes espaços de recobrimento de um espaço de base fixo $X$. O principal impulso desta classificação é dado na correspondência de Galois entre espaços de recobrimento conexos de $X$ e subgrupos de $\pi _{1}(X,x_0)$. A correspondência de Galois $\psi $ surge da função que atribui a cada espaço de recobrimento $p:(\widetilde{X}, \widetilde{x_0}) \rightarrow \left(X, x_{0}\right)$ o subgrupo $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x_0}))$ de $\pi _{1}(X, x_{0})$. Pelo Corolário 4.3 temos que a correspondência $\psi $ é injetiva. Para mostrar que $\psi $ é sobrejetiva, temos que mostrar que, correspondendo a cada subgrupo $G$ de $\pi _{1}(X, x_{0})$, existe um espaço de recobrimento $p:(\widetilde{X}, \widetilde{x_0}) \rightarrow \left(X, x_{0}\right)$ de modo que $p_{\sharp } \pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x_0})=G$.

Um espaço espaço topológico $X$ é dito localmente simplesmente conexo se admite uma base de vizinhança formada por conjuntos simplesmente conexos. Os espaços de maior interesse na topologia algébrica são localmente simplesmente conexos:

As variedades são localmente simplesmente conexas por terem uma base de vizinhanças formada por conjuntos homeomorfos ao disco aberto.
Os complexos simpliciais, que serão definidos no Capítulo 8, são localmente simplesmente conexos porque são localmente contráteis.
Os CW-complexos que apresentaremos no Capítulo 8 12, são localmente simplesmente conexos porque são localmente contráteis.

Todo espaço localmente simplesmente conexo também é localmente conexo por caminho e assim localmente conexo.

Um condição mais fraca pode ser obtida se, ao invés de exigirmos que uma vizinhança $U$ seja simplesmente conexa, pedirmos que cada laço em $U$ seja contrátil em $ X$, mas não necessariamente exigirmos que a contração ocorra dentro de $U$. A importância dessa condição na teoria dos espaços de recobrimento pode ser entendida a partir do Lema 4.7 que mostra que essa é uma condição necessária para a existência de recobrimentos simplesmente conexos.

Um espaço topológico $X$ é dito semilocalmente simplesmente conexo se cada ponto $x \in X$ possui uma vizinhança $U_{x}$ tal que a aplicação induzida pela inclusão $i: U_{x} \hookrightarrow X$ é trivial, ou seja, $i_{\sharp }: \pi _{1}(U_{x}, x) \rightarrow \pi _{1}(X, x)$ é trivial. Equivalentemente, todo caminho fechado em $U_{x}$ em $x$ é homotopicamente nulo em $X$. Um espaço localmente simplesmente conexo é certamente semilocalmente simplesmente conexo.

Lema 4.16

Seja $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ uma aplicação de recobrimento e sejam $x_0 $ e $\widetilde{x}_0$ tais que $p\left(\widetilde{x}_0\right)=x_0$. Se $\widetilde{X}$ for simplesmente conexo, então $x_0$ possui um vizinhança $U$ tal que a inclusão $i: U \rightarrow X$ induz a homomorfismo trivial

\[ i_{\sharp }: \pi _1(U, x_0) \longrightarrow \pi _1(X, x_0) . \]

Ou seja, $X$ é semilocalmente simplesmente conexo.

Demonstração ▼

Seja $U$ uma vizinhança elementar de $x_0$ e seja $U_\alpha $ a folha sobre $U$ contendo $\widetilde{x}_0$. Seja $\alpha $ um laço em $U$ baseado em $x_0$. Como $p$ define um homeomorfismo de $U_\alpha $ com $U$, o laço $\alpha $ se levanta a um laço $\widetilde{\alpha }$ em $U_\alpha $ baseado em $\widetilde{x}_0$. Uma vez que $\widetilde{X}$ é simplesmente conexo, existe uma homotopia de caminho $\widetilde{H}$ em $\widetilde{X}$ entre $\widetilde{\alpha }$ e um laço constante. Então $p \circ \widetilde{H}$ é uma homotopia de caminho em $X$ entre $\alpha $ e um laço constante.

Exemplo 4.17

Um exemplo de espaço que não é semilocalmente simplesmente conexo é o brinco havaiano que consiste na união por um ponto de círculos cada vez menores. Formalmente o subespaço $X \subset \mathbb {R}^{2}$ consistindo nos círculos de raio $1 / n$ centrados no ponto $(1 /n, 0)$ para $n=1,2, \cdots $.

Figura 4.18 Brinco havaiano e o cone sobre o brinco havaiano.

Por outro lado, se tomarmos o cone $C X$ sobre o brinco havaiano, este é semilocalmente simplesmente conexo, uma vez que é contrátil, mas não é localmente simplesmente conexo.

Seja $X$ um espaço conexo por caminho. localmente conexo e semilocalmente simplesmente conexo. Então, para cada subgrupo $G$ de $\pi _{1}(X, x_{0})$ existe um espaço de recobrimento $p$ : $\widetilde{X}_{G} \rightarrow X$ tal que $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}_{G}, \widetilde{x_0}))=G$ para algum ponto base escolhido adequado $\widetilde{x_0} \in \widetilde{X}_{G}$.

Demonstração ▼

Seja $x \in X$. Como $X$ e é semilocalmente simplesmente conexo existe um vizinhança aberta conexa por caminho $W_{x}$ de $x$, de modo que todo caminho fechado em $W_{x}$ baseado em $x$ é homotopicamente nulo em $X$. Novamente, como $X$ é localmente conexo por caminho. existe uma vizinhança aberta conexa $U_{x}$ de $x$, de modo que $x \in U_{x} \subset W_{x}$. Claramente, todo caminho fechado em $U_{x}$ em $x$ é homotopicamente nulo em $X$ e assim podemos assumir que os conjuntos elementares $U_{x}$ são localmente conexos e semilocalmente conexos por caminho. Denotaremos o conjunto das vizinhanças abertas localmente conexas e semilocalmente conexas por caminho de $\mathcal{U}$.

Agora vamos construir o espaço $\widetilde{X}_{G}$.

Seja $\Omega (X, x_{0})$ a família de todos os caminhos $\alpha $ em $X$ com $\alpha (0)=x_{0}$, munido com a topologia compacto-aberto

\[ \Omega (X, x_{0})=\{ \alpha : (I,0) \to ( X , x_0 ) \} . \]

Definimos a relação de equivalência:

\[ \alpha _{1} \sim \alpha _{2} \bmod G \text{ se, e somente se, } \alpha _{1}(1)=\alpha _{2}(1) \text{ e } \left[\alpha _{1} * \alpha _{2}^{-1}\right] \in G \]

A classe de equivalência de $\alpha \in \Omega (X, x_{0})$ será denotada por $[\alpha ]_G$.

Vamos denotar por $\widetilde{X}_{G}$ o conjunto de todas essas classes de equivalência, munido com a topologia quociente. Se $e_{x_0}$ for o caminho constante baseado em $x_{0}$, definimos $\widetilde{x}_{0}=[ e_{x_0}]_{G} \in \widetilde{X}_{G}$ e

\begin{align*} p: & \widetilde{X}_{G} \rightarrow X \\ & [\alpha ]_{G} \mapsto \alpha (1). \end{align*}

Então $p\left(\widetilde{x}_{0}\right)=x_{0}$.

Podemos fornecer uma descrição mais concreta da topologia em $\widetilde{X}_{G}$. Dado um conjunto $U \in \mathcal{U}$ e um caminho $\alpha $ em $X$ de $x_0$ até um ponto em $U$, seja

\[ U_{[\alpha ]_G}=\{ [\alpha \cdot \eta ]_G \mid \eta \text{ é um caminho em } U \text{ com } \eta (0)=\alpha (1)\} \]

Figura 4.19 Vizinhança U_([α ]_G) — Figura 4.19 Vizinhança $U_{[\alpha ]_G}$

Como a notação indica, $U_{[\alpha ]_G}$ depende apenas da classe $[\alpha ]_G$. Observamos que $p: U_{[\alpha ]_G} \rightarrow U$ é sobrejetiva já que $U$ é conexo por caminho e injetiva já que diferentes escolhas de $\eta $ ligando $\alpha (1)$ a um $x \in U$ fixo representam o mesmo elemento em $\widetilde{X}_{G}$ Também temos que

\[ U_{[\alpha ]_G}=U_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}\text{ se } \left[\alpha ^{\prime }\right]_G \in U_{[\alpha ]_G}. \]

Pois se $\alpha ^{\prime }=\alpha \cdot \eta $ então os elementos de $U_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}$ têm a forma $[\alpha \cdot \eta \cdot \mu ]_G$ e, portanto, estão em $U_{[\alpha ]_G}$, sendo a inclusão contrária análoga

Os conjuntos $U_{[\alpha ]_G}$ formam uma base para uma topologia em $\widetilde{X}_{G}$. Pois se tivermos dois desses conjuntos $U_{[\alpha ]_G}, V_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}$ e um elemento $\left[\alpha \cdot \eta \right]_G \in U_{[\alpha ]_G} \cap V_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}$, temos $U_{[\alpha ]_G}=U_{\left[\alpha \cdot \eta \right]_G}$ e $V_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}=V_{\left[\alpha \cdot \eta \right]_G}$. Portanto, se $W \in \mathcal{U}$ está contido em $U \cap V$ e contém $\alpha \cdot \eta (1)$ então $W_{\left[\alpha \cdot \eta \right]_G} \subset U_{\left[\alpha \cdot \eta \right]_G} \cap V_{\left[\alpha \cdot \eta \right]_G}$ e $\left[\alpha \cdot \eta \right]_G \in W_{\left[\alpha \cdot \eta \right]_G}$. Deixaremos ao leitor demonstrar que conjuntos $U_{[\alpha ]_G}$ formam uma base para a topologia quociente em $\widetilde{X}_{G}$

Temos ainda que a aplicação $p: U_{[\alpha ]_G} \rightarrow U$ é um homeomorfismo, pois fornece uma bijeção entre os subconjuntos $V_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G} \subset U_{[\alpha ]_G}$ e os conjuntos $V \in \mathcal{U}$ contidos em $U$. Ou seja, em uma direção temos $p\left(V_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}\right)=V$ e na outra direção temos $p^{-1}(V ) \cap U_{[\alpha ]_G}=V_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}$ para qualquer $\left[\alpha ^{\prime }\right]_G \in U_{[\gamma ]_G}$ com ponto final em $V$, já que $V_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G} \subset U_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}=U_{ [\alpha ]_G}$ e $V_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}$ são levados em $V$ pela bijeção $p$.

Desta forma temos que a aplicação $p: \widetilde{X}_{G} \rightarrow X$ é homeomorfismo local e consequentemente contínua. Assim temos que $p: \widetilde{X}_{G} \rightarrow X$ é um espaço de recobrimento, pois para $U \in \mathcal{U}$ fixo, os conjuntos $U_{[\alpha ]_G}$ particionam $p^{-1 }(U)$ porque se $\left[\alpha \cdot \eta \right]_G \in U_{[\alpha ]_G} \cap U_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G} $ então $U_{[\alpha ]_G}=U_{\left[\alpha \cdot \eta \right]_G}=U_{\left[\alpha ^{\prime }\right]_G}$.

Finalmente a imagem de $p_{\sharp }: \pi _{1}(\widetilde{X}_{G}, \widetilde{x}_{0}) \rightarrow \pi _{1}(X, \widetilde{x}_{0})$ é precisamente $G$. Porque, para qualquer laço $\beta $ em $X$ com base em $x_{0}$, seu levantamento para $\widetilde{X}_{G}$ começando em $\widetilde{x}_{0}=\left\langle e_{x_0}\right\rangle _{G}$ termina em $[\beta ]_{G}$ e, portanto, a imagem desse caminho levantado em $\widetilde{X}_{G}$ é um laço se, e somente se, $[\beta ]_{G} \sim \left[e_{x_0}\right]_{G}$, ou equivalentemente, se $[\beta ] \in G$.

Existência do Recobrimento Universal. Seja $X$ um espaço conexo e localmente conexo. Então $X$ possui um espaço de recobrimento universal $\widetilde{X}$ se, e somente se, $\widetilde{X}$ é semilocalmente simplesmente conexo.

Demonstração ▼

O Teorema 4.6 comprova a suficiência da condição. O lema 4.7 dá a necessidade da condição.

de Classificação. Seja $X$ um espaço conexo por caminho e localmente conexo por caminho. Então, dois espaços de recobrimento $p: \widetilde{X}_{1}\rightarrow X$ e $q: \widetilde{X}_2 \rightarrow X$ conexos por caminho são isomorfos através de um homeomorfismo $f: \widetilde{X}_{1}\rightarrow \widetilde{X}_2$ levando um ponto base $\widetilde{x}_{1} \in p^{-1}\left(x_{0}\right)$ para um ponto base $\widetilde{x}_{2} \in q^{-1}\left(x_{0}\right)$ se, e somente se, $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}_1, \widetilde{x}_{1}))=q_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}_2, \widetilde{x}_{2}))$.

Figura 4.20 Diagrama para duas coberturas isomorfas de X. — Figura 4.20 Diagrama para duas coberturas isomorfas de $X$.

Demonstração ▼

Suponha que exista um homeomorfismo $f:(\widetilde{X}_1, \widetilde{x}_1) \rightarrow \left(\widetilde{X}_2, \widetilde{x}_2\right)$. Então, as duas relações $p=q \circ f$ e $q=p \circ f^{-1}$ mostram que $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}_1, \widetilde{x}_1))=q_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}_2, \widetilde{x}_2))$.

Para a recíproca, seja $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}_1, \widetilde{x}_1))=q_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}_2, \widetilde{x}_2))$. Então, pelo critério de levantamento, podemos levantar $p$ para $\widetilde{p}:(\widetilde{X}_1, \widetilde{x}_1) \rightarrow \left(\widetilde{X}_2, \widetilde{x}_2\right)$ com $q \circ \widetilde{p}=p$. Ilustração: Classificação dos Espaços de Recobrimento Da mesma forma, obtemos $\widetilde{q} : \left(\widetilde{X}_2, \widetilde{x}_2\right) \rightarrow (\widetilde{X}_1, \widetilde{x}_1)$ com $p \circ \widetilde{q}=q$.

Então, pela propriedade de unicidade do levantamento, temos que $\widetilde{p} \circ \widetilde{q}=\operatorname {\operatorname {id}}_{\widetilde{X}_2}$ e $\widetilde{q} \circ \widetilde{p}=\operatorname {\operatorname {id}}_{\widetilde{X}_{1}}$, uma vez que estes levantamentos fixam os pontos de base. Consequentemente, $p_{\sharp }$ e $q_{\sharp }$ são isomorfismos inversos.

Seja $X$ um espaço conexo por caminho, localmente conexo por caminho e semilocalmente simplesmente conexo. Então todo espaço de recobrimento conexo por caminho $q: \widetilde{X}' \rightarrow X$ é isomorfo a um espaço de recobrimento da forma $p: \widetilde{X}_{G} \rightarrow X$.

Demonstração ▼

Seja $x_{0} \in X$ um ponto no espaço base de $X$ e $\widetilde{x}_{0} \in \widetilde{X}'$ um ponto na fibra de $x_{0}$. Se $G=q_{\sharp } \pi _{1}(\widetilde{X}', \widetilde{x}_{0})$, então $p_{\sharp } \pi _{1}(\widetilde{X}_{G}, x_{0})=G$. Portanto, o Teorema 4.6 mostra que os espaços de recobrimento $p: \widetilde{X}_{G} \rightarrow X$ e $q: \widetilde{X}' \rightarrow X$ são isomorfos.

Apresentamos agora uma generalização do Teorema de Classificação acima da seguinte forma.

Classificação na Forma Geral. Seja $X$ um espaço conexo por caminho, localmente conexo por caminho e semilocalmente simplesmente conexo. Então, existe uma bijeção entre o conjunto de classes de espaços de recobrimento conexos por caminho a menos de isomorfismos que fixam os pontos base $p:(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0})\rightarrow (X, x_{0})$, e o conjunto de subgrupos de $\pi _{1}(X, x_{0})$, obtido atribuindo os subgrupos $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}))$ aos espaços de recobrimento $(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0})$.

Se os pontos de base forem ignorados, esta correspondência fornece uma bijeção entre classes de isomorfismo de espaços de recobrimento conexos por caminho $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ e classes de conjugação de subgrupos de $\pi _{1}(X, x_0)$.

Demonstração ▼

A primeira parte segue dos Teoremas 4.6 e 4.6

Para demonstrar a segunda parte, afirmamos que o espaço de recobrimento $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ obtido alterando o ponto base $\widetilde{x}_{0} \in p^{-1}\left(x_{0}\right)$ corresponde exatamente a alterar $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}))$ para um subgrupo conjugado de $\pi _{1}(X, x_{0})$.

Suponha que $\widetilde{x}_{1}$ seja outro ponto base em $p^{-1}(x_{0})$. Seja $\widetilde{\alpha }$ um caminho de $\widetilde{x}_{0}$ para $\widetilde{x}_{1}$. Então, $\widetilde{\alpha }$ projeta para um laço $\alpha $ em $ X$, que representa algum elemento $g \in \pi _{1}(X, x_{0})$. Defina $G_{i}$ por $G_{i}=p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{i}))$ para $i=0,1 $. Então temos uma inclusão $g^{-1} G_{0} g \subset G_{1}$, já que para $\widetilde{\beta }$ um laço em $\widetilde{x}_{0}, \widetilde{\gamma }^{-1} * \beta * \widetilde{\gamma }^{-1}$ é um laço em $\widetilde{x}_{1}$. Da mesma forma, $g G_{1} g^{-1} \subset G_{0}$. Usando a conjugação da última relação por $g^{-1}$, temos $G_{1} \subset g^{-1} G_{0} g$ e, portanto, $g^{-1} G_{0} g=G_{1}$. Consequentemente, alterar o ponto base de $\widetilde{x}_{0}$ para $\widetilde{x}_{1}$ altera $G_{0}$ para o subgrupo conjugado $G_{1}=g^{-1} G_{0} g$.

Por outro lado, para alterar $G_{0}$ para um subgrupo conjugado $G_{1}=g^{-1} G_{0} g$, escolha um laço $\sigma $ que representa $g$, e que se levanta para um caminho $\widetilde{\sigma }$ a partir de $\widetilde{x}_{0}$ e seja $\widetilde{x}_{1}=\widetilde{\sigma }(1)$. O argumento anterior prova que $G_{1}=g^{-1} G_{0} g$.

Seja $X$ um espaço conexo por caminho e localmente conexo por caminho e semilocalmente simplesmente conexo. A correspondência de Galois $\psi $ é a função que atribui a cada espaço de recobrimento $p:(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}) \rightarrow \left(X, x_{0}\right)$ o subgrupo $p_{\sharp }(\pi _{1}(\widetilde{X}, \widetilde{x}_{0}))$ de $\pi _{1}(X, x_{0})$, e como já demonstramos $\psi $ é uma bijeção.

[leftmargin=10pt,rightmargin=10pt,subtitlebelowline=true] Correspondência de Galois Se $X$ é um espaço conexo por caminho, localmente conexo por caminho, semilocalmente simplesmente conexo com espaço de recobrimento $p_{U} :(\widetilde{X}_{U},\widetilde{x}_0) \rightarrow (X,x_0)$, então, a menos de isomorfismo de recobrimentos fixando os pontos base, existe uma bijeção:

\[ \begin{matrix} \qquad \text{Subgrupo de } \pi _{1}(X,x_0) & \longleftrightarrow & \text{Recobrimento conexo por caminho de } X \\ \text{Subgrupo normal de } \pi _{1}(X,x_0) & \longleftrightarrow & \text{Recobrimento conexo por caminho normal de } X \\ H & \longleftrightarrow & p_{H} :\widetilde{X}_{H} \rightarrow X \\ \pi _{1}(X,x_0) & \longleftrightarrow & X \\ \{ e\} & \longleftrightarrow & p_{U} :\widetilde{X}_{U}\rightarrow X \\ \end{matrix} \]

Para uma sequência de subgrupos $\{ {\text{e}}\} \subset H\subset G\subset \pi _{1}(X,x_0 )$ obtém-se uma sequência de recobrimentos $\widetilde{X}_U\longrightarrow \widetilde{X}_{H }\longrightarrow \widetilde{X}_{G} \longrightarrow X$. Para um subgrupo $ H\subset \pi _{1}(X,x_0)$ com índice $ [\pi _{1 }(X,x_0):H]=d$, o recobrimento $p_{H} :\widetilde{X}_{H}\rightarrow X$ tem grau $d$.

4.7 Representando Espaços de Recobrimento por Permutações

Nesta seção apresentamos uma maneira de classificar os diferentes espaços de recobrimento de $n$-folhas de um espaço conexo, localmente conexo por caminhos e semilocamente simplesmente conexo, $X$, sem nos restringirmos à espaços de recobrimento conexos.

Para motivarmos o resultado, sejam $\widetilde{X}_{1}$, $\widetilde{X}_{2}$ e $\widetilde{X}_{3}$ os três possíveis espaços de recobrimento com três folhas de $\mathbb {S}^{1}$, onde o subscrito indica o número de componentes. Para cada um desses espaços de recobrimento $p_i: \widetilde{X}_{i} \rightarrow \mathbb {S}^{1}$, temos que os três levantamentos diferentes de um laço em $\mathbb {S}^{1}$ que gera $\pi _{1}(\mathbb {S}^{1}, x_{0})$ determinam uma permutação na fibra de um ponto $p^{-1}\left(x_{0}\right)={\widetilde{x}_1,\widetilde{x}_2,\widetilde{x}_3}$, enviando o ponto inicial do levantamento para o ponto final desse levantamento. Para $\widetilde{X}_{1}$, esta ação é uma permutação cíclica, para $\widetilde{X}_{2}$ é uma transposição que fixa o primeiro ponto e permuta os outros dois, e para $\widetilde{X}_{3}$ é a permutação identidade. Essas permutações obviamente determinam os espaços de recobrimento de forma única, a menos de isomorfismo.

Ilustração: Representando Espaços de Recobrimento por Permutações

Figura 4.21 Permutações associadas aos recobrimentos.

Seja $X$ um espaço topológico conexo por caminhos, localmente conexo por caminhos e semilocamente simplesmente conexo. Os espaços de recobrimento com $n$-folhas de $X$ são classificados pelas classes de conjugação de homomorfismos $\pi _1(X,x_0) \to S_n$, onde $S_n$ é o grupo simétrico de ordem $n$.

Demonstração ▼

Dado um espaço de recobrimento $p: \widetilde{X} \rightarrow X$, então todo caminho $\alpha $ em $X$ possui um levantamento único $\widetilde{\alpha }$ começando em um ponto dado da fibra $p^{-1}(\alpha (0))$, o que nos permite construir a aplicação $L_{\alpha }$ enviando o ponto final $\widetilde{\alpha }(1)$ de cada levantamento $\widetilde{\alpha }$ para o ponto inicial $\widetilde{\alpha }(0)$. A aplicação $L_{\alpha }: p^{-1}(\alpha (1)) \to p^{-1}(\alpha (0)) $ é uma bijeção com inversa $L_{\alpha ^{-1}}$.

Pelo Teorema de Monodromia a aplicação $L_{\alpha }$ depende apenas da classe de homotopia de $\alpha $, e assim se restringirmos a atenção a laços baseados em um ponto $x_{0} \in X$, a associação $\alpha \mapsto L_{\alpha }$ fornece um homomorfismo de $\pi _{1}(X, x_{0})$ para o grupo de permutações de $p^{-1}\left(x_{0}\right)$. Esse homomorfismo é denominado de ação do grupo fundamental $\pi _{1}(X, x_{0})$ na fibra $p^{-1}\left(x_{0}\right)$.

Vamos demonstrar agora que o espaço de recobrimento $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ pode ser completamente reconstruído a partir da ação de $\pi _{1}(X, x_{0})$ na fibra $F=p^{-1}\left(x_{0}\right)$. Para tanto, seja $\widetilde{X}_{u} \rightarrow X$ o recobrimento universal de $X$. Pela construção do recobrimento $X_G$ feita no Teorema 4.6 podemos ver os pontos do recobrimento universal $\widetilde{X}_{u}$ como classes de homotopia de caminhos em $X$ que começam em $x_{0}$.

Definimos então a aplicação $\phi : \widetilde{X}_{u} \times F \rightarrow \widetilde{X}$ enviando o par $\left([\alpha ], \widetilde{x}_{0}\right)$ para $\widetilde{\alpha }(1)$, onde $\widetilde{\alpha }$ é a levantamento de $\alpha $ para $\widetilde{X}$ começando em $\widetilde{x}_{0}$. Temos que a aplicação $\phi $ é um homeomorfismo local, pois uma vizinhança de $\left([\alpha ], \widetilde{x}_{0}\right)$ em $\widetilde{X}_{u} \times F$ consiste de pares $\left([\alpha \cdot \eta ], \widetilde{x}_{0}\right)$ com $\eta $ um caminho começando $\alpha (1)$ e contido em uma vizinhança elementar localmente conexa e semilocalmente conexa por caminho de $\alpha (1)$. Temos também que $h$ é sobrejetiva, uma vez que $X$ é conexo por caminhos.

A aplicação $\phi $ induz um homeomorfismo do espaço quociente $\widetilde{X}_{u} \times F/\{ x \sim y \leftrightarrow \phi (x) = \phi (y)\} $ em $\widetilde{X}$. Para descrever o espaço quociente, suponhamos que $\phi \left([\alpha ], \widetilde{x}_{0}\right)=\phi \left(\left[\alpha ^{\prime }\right], \widetilde{x}_{0}^{\prime }\right)$. Então, $\alpha $ e $\alpha ^{\prime }$ são ambos caminhos de $x_{0}$ para o mesmo ponto final, e $\widetilde{x}_{0}^{\prime }=L_{\alpha ^{\prime } \cdot \alpha ^{-1}}\left(\widetilde{x}_{0}\right)$.

Seja $\beta $ o laço $\alpha ^{\prime } \cdot \alpha ^{-1}$, então $\phi \left([\alpha ], \widetilde{x}_{0}\right)=\phi \left([\beta \cdot \alpha ], L_{\beta }\left(\widetilde{x}_{0}\right)\right)$. Inversamente, para qualquer laço $\beta $, temos $\phi \left([\alpha ], \widetilde{x}_{0}\right)=\phi \left([\beta \cdot \alpha ], L_{\beta }\left(\widetilde{x}_{0}\right)\right)$. Assim, $\phi $ induz uma aplicação bem definida para $\widetilde{X}$ a partir do espaço quociente de $\widetilde{X}_{u} \times F$ obtido ao identificar $\left([\alpha ], \widetilde{x}_{0}\right)$ com $\left([\beta \cdot \alpha ], L_{\beta }\left(\widetilde{x}_{0}\right)\right)$ para cada $[\beta ] \in \pi _{1}(X, x_{0})$. Denotemos este espaço quociente como $\widetilde{X}_{\rho }$, onde $\rho $ é o homomorfismo de $\pi _{1}(X, x_0)$ para o grupo de permutações de $F$ especificado pela ação. Existe uma projeção natural $\widetilde{X}_{\rho } \rightarrow X$ enviando $\left([\alpha ], \widetilde{x}_{0}\right)$ para $\alpha (1)$, e esta projeção é um recobrimento, uma vez que se $U \subset X$ é um conjunto aberto sobre o qual o recobrimento universal $\widetilde{X}_{u}$ se decompõe como um produto $U \times \pi _{1}(X, x_{0})$, então as identificações que definem $\widetilde{X}_{\rho }$ simplesmente colapsam $U \times \pi _{1}(X, x_{0}) \times F$ para $U \times F$.

Finalmente observamos que a aplicação $\widetilde{X}_{\rho } \rightarrow \widetilde{X}$ induzida por $\phi $ é uma bijeção e, portanto, um homeomorfismo, uma vez que $\phi $ era um homeomorfismo local. Como este homeomorfismo $\widetilde{X}_{\rho } \rightarrow \widetilde{X}$ leva cada fibra de $\widetilde{X}_{\rho }$ para a fibra correspondente de $\widetilde{X}$, é um isomorfismo de espaços de recobrimento.

4.8 Classificação dos $G$-Recobrimentos

Podemos generalizar o Teorema de Classificação para $G$-Recobrimentos não necessariamente conexos.

Classificação de $G$-recobrimentos. Seja $X$ um espaço conexo, localmente conexo por caminho e semilocalmente simplesmente conexo. Então existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto de homomorfismos de $\pi _{1}(X, x_0)$ ao grupo $G$ e o conjunto de $G$-recobrimento com ponto marcado, a menos de isomorfismo:

\[ \operatorname {Hom}\left(\pi _{1}(X, x_0), G\right) \leftrightarrow \{ G \text{-recobrimentos de } X \text{ com pt. marcado.}\} / \text{ isomorfismo. } \]

Demonstração ▼

Seja $p_{U}: \widetilde{X}_{U} \rightarrow X$ o recobrimento universal e fixamos $x_0\in X$ e $\widetilde{x}_0 \in P_U{x_0}$. Seja $\rho : \pi _{1}(X, x_0) \rightarrow G$ um homomorfismo do grupo fundamental de $X$ para um grupo qualquer $G$. Construiremos a partir do homomorfismo $\rho $ um $G$-recobrimento $p_{\rho }: X_{\rho } \rightarrow X$, junto com um ponto marcado $y_{\rho }$ em $X_{\rho } $ na fibra de $x_0$.

Antes de continuarmos, destacamos que as construções envolvidas na demonstração desse teorema sãp bastante similares àss realizadas nos Teoremas 4.6 e 4.7 e assim omitiremos alguns detalhes.

Para começar muniremos o grupo $G$ com a topologia discreta, e consequentemente o produto cartesiano $\widetilde{X}_{U} \times G$ é um produto de $\left\lvert G\right\rvert $ cópias de $\widetilde{X}_{U}$, uma para cada elemento de $G$. Temos também uma ação à esquerda de $\pi _{1}(X, x_0)$ em $\widetilde{X}_{U} \times G$ dada por:

\[ [\alpha ] \cdot (z \times g)\mathrel {\mathop:\! =}[\alpha ] \cdot z \times g \cdot \rho ([\alpha ]^{-1}), \]

para $[\alpha ] \in \pi _{1}(X, x_0), z \in \widetilde{X}_{U}, g \in G$. Aqui $[\alpha ] \cdot z$ é a ação de $\pi _{1}(X, x_0)$ em $\widetilde{X}_{U}$ que foi descrita na demonstração de 4.5, e $g \cdot \rho \left([\alpha ]^{-1}\right)$ é o produto do grupo $G$. Definimos $X_{\rho }$ como o quociente de $\widetilde{X}_{U} \times G$ por esta ação de $\pi _{1}(X, x_0)$ :

\[ X_{\rho }=\widetilde{X}_{U} \times G / \pi _{1}(X, x_0) \]

e seja $y_{\rho }$ a imagem do ponto $\widetilde{x}_0 \times e$ em $X_{\rho }$. Denotaremos por $[\! \! [z \times g]\! \! ]$ a imagem em $X_{\rho }$ do ponto $z \times g$ em $\widetilde{X}_{U} \times G$. Observamos que, pela ação de $\pi _{1}(X, x_0)$ em $\widetilde{X}_{U} \times G$, temos, para $z$ em $\widetilde{X}_{U}, g$ em $G$ e $[\alpha ]$ em $\pi _{1}(X, x_0)$,

\[ [\! \! [[\alpha ] \cdot z \times g]\! \! ]=[\! \! [z \times g \cdot \rho ([\alpha ])]\! \! ]. \]

Definimos então a aplicação $p_{\rho }: X_{\rho } \rightarrow X$ levando $[\! \! [z \times g]\! \! ]$ para $p_{U}(z)$. Temos que grupo $G$ atua sobre $X_{\rho }$ pela fórmula

\[ h \cdot [\! \! [z \times g]\! \! ]=[\! \! [z \times h \cdot g]\! \! ], \text{ para } h,g \in G \text{ e} z \in X. \]

Afirmamos que esta ação é propriamente descontínua, fazendo $p_{\rho }: X_{\rho } \rightarrow X$ um $G$-recobrimento.

Para provar a afirmação, seja $V$ ser uma vizinhança elementar em $X$. Pel o Corolário 4.3,e pela Proposição 4.2 existe um isomorfismo de $u^{-1}(V)$ com o recobrimento produto $V \times \pi _1(X, x_0)$, no qual $\pi _1(X, x_0)$ age à esquerda no segundo fator. Isso fornece os homeomorfismos:

\[ p_\rho ^{-1}(V) \cong \left(V \times \pi _1(X, x_0)\right) \times G / \pi _1(X, x_0) \cong V \times G, \]

o último homeomorfismo é dado por

\[ [\! \! [(u \times [\sigma ]) \times g]\! \! ]\mapsto u \times g \cdot \rho ([\sigma ]). \]

Todos os homeomorfismos anteriores são compatíveis com as projeções em $V$, e logo temos que, sobre $V$, a ação de $G$ é propriamente descontínua e o recobrimento é um $G$-recobrimento. Uma vez que $X$ é coberto por tais conjuntos abertos $V$, podemos estender o resultado para a aplicação $p_{\rho }:X_{\rho } \to X$.

Para a recíproca, suponha que $p: Y \rightarrow X$ seja um $G$-recobrimento, com um ponto marcado $y$ sobre $x_0$. A partir desse recobrimento construiremos um homomorfismo $\rho $ de $\pi _{1}(X, x_0)$ para $G$. Para cada $[\alpha ]$ em $\pi _{1}(X, x_0)$ o elemento $\rho ([\alpha ])$ em $G$ é determinado pela fórmula

\[ \rho ([\alpha ]) \cdot y\mathrel {\mathop:\! =}y * \alpha , \]

onde $y * \alpha $ é o ponto final da levantamento do caminho $\alpha $ que começa em $y$.

Esta operação possui as seguintes propriedades:

$(z * \alpha ) * \beta =z *(\alpha \cdot \beta )$ para $z \in p^{-1}(x_0), \alpha $ um laço em $x_0$, e $\beta $ um caminho começando em $x_0$;
$g \cdot (z * \gamma )=(g \cdot z) * \gamma \quad $ para $g \in G, z \in p^{-1}(x_0)$, e $\gamma $ um caminho começando em $x_0$.

A demonstração de 1 é imediata da definição. Para demonstrar isso seja $\widetilde{\alpha }$ o levantamento de $\alpha $ começando em $z$ e $\widetilde{\beta }$ o levantamento de $\beta $ começando em $(z * \alpha )$. Então o ponto final do levantamento $\widetilde{\alpha *\beta }$ começando em$z$ é igual ao ponto final de $\widetilde{\alpha }*\widetilde{\beta }$. A demonstração da segunda propriedade decorre de que se $\widetilde{\gamma }$ é um levantamento de $\gamma $ começando em $z$, então o caminho $t \mapsto g \cdot \widetilde{\gamma }(t), 0 \leq t \leq 1$, é um levantamento de $\gamma $ que começa em $g \cdot z$. O ponto final deste caminho, que é $(g \cdot z) * \gamma $ por definição, é $g \cdot \widetilde{\gamma }(1)$, e de $\widetilde{\gamma }(1) =z * \gamma $, temos 2.

A aplicação $\rho $ é um homomorfismo. Demonstraremos isso usando as propriedades 1 e 2:

\begin{align*} (\rho ([\alpha ]) \cdot \rho ([\beta ])) \cdot y & =\rho ([\alpha ]) \cdot (\rho ([\beta ]) \cdot y)=\rho ([\alpha ]) \cdot (y * \beta ) \\ & =(\rho ([\alpha ]) \cdot y) * \beta =(y * \alpha ) * \beta \\ & =y *(\alpha \cdot \beta )=\rho ([\alpha ] \cdot [\beta ]) \cdot y \end{align*}

Agora mostraremos a unicidade. Dado um $G$-recobrimento $p: \widetilde{X}^{\prime } \rightarrow X$ com ponto marcado, a partir da qual construímos um homomorfismo $\rho $, devemos agora mostrar que o recobrimento dado é isomorfo ao recobrimento $p_{\rho }: X_{\rho } \rightarrow X$ construído a partir de $\rho $. Vamos construir uma aplicação de $X_{\rho }$ para $\widetilde{X}^{\prime }$, e para isso definiremos uma aplicação de $\widetilde{X}_{U} \times G$ para $\widetilde{X}^{\prime }$ e mostraremos que orbita por $\pi _{1}(X, x_0)$ têm a mesma imagem. Para isso lembramos que pela demonstração do Teorema 4.6 podemos ver o recobrimento universal $\widetilde{X}_{U}$ como o espaço de classes de homotopia de caminhos em $X$ começando em $x_0$. E definimos a aplicação:

\[ \widetilde{X}_{U} \times G \rightarrow \widetilde{X}^{\prime }, \quad [\gamma ] \times g \mapsto g \cdot (y * \gamma )=(g \cdot y) * \gamma \]

Esta aplicação é contínua. Devemos ainda verificar que está bem definida. Ou seja, que um ponto equivalente $([\alpha ] \cdot [\gamma ]) \times \left(g \cdot \rho ([\alpha ])^{-1}\right)$ é levado para o mesmo ponto pela ação de $\pi _{1}(X, x_0)$. Por 1 e 1, este ponto é levado para

\begin{align*} \left(g \cdot \rho ([\alpha ])^{-1}\right) \cdot (y *(\alpha \cdot \gamma )) & =\left(g \cdot \rho ([\alpha ])^{-1}\right) \cdot ((y * \alpha ) * \gamma ) \\ & =\left(\left(g \cdot \rho ([\alpha ])^{-1}\right) \cdot (y * \alpha )\right) * \gamma \\ & =\left(g \cdot \left((y * \alpha ) * \alpha ^{-1}\right)\right) *[\gamma ] \\ & =\left(g \cdot \left(y *\left(\alpha \cdot \alpha ^{-1}\right)\right)\right) *[\gamma ]=(g \cdot y) *[ \gamma ] \end{align*}

como desejado. Logo temos uma aplicação do quociente $X_{\rho }$ para $\widetilde{X}^{\prime }$, que é um homomorfismo de espaços de recobrimento de $X$, mais ainda é um homomorfismo de $G$-recobrimentos, o que pode ser facilmente verificado, e de onde temos que deve ser um isomorfismo.

Por outro lado, começando com um homomorfismo $\rho $, construímos um $G$-recobrimento $X_{\rho } \rightarrow X$, a partir do qual construímos outro homomorfismo, digamos $\rho ^{\prime }$. Devemos mostrar que $\rho ^{\prime }=\rho $. Agora, para $[\alpha ]$ em $\pi _{1}(X, x_0)$,

\begin{align*} \rho ^{\prime }([\alpha ]) \cdot [\! \! [\widetilde{x}_0 \times e]\! \! ]& =[\! \! [\widetilde{x}_0 \times e]\! \! ]* \alpha =[\! \! [\widetilde{x } * \alpha \times e]\! \! ]\\ & =[\! \! [[\alpha ] \cdot \widetilde{x}_0 \times e]\! \! ]=[\! \! [\widetilde{x}_0 \times e \cdot \rho ([\alpha ])]\! \! ]=[\! \! [\widetilde{x } \times \rho ([\alpha ])]\! \! ]\\ & =\rho ([\alpha ]) \cdot [\! \! [\widetilde{x}_0 \times e]\! \! ]. \end{align*}

Consequentemente temos que $\rho ^{\prime }([\alpha ])=\rho ([\alpha ])$, o que conclui a demonstração.

Observamos que os recobrimentos no Teorema 4.8 não precisam ser conexos e de fato, eles serão conexos exatamente quando o homomorfismo correspondente for sobrejetivo.

4.9 Teorema de Seifert-van Kampen

Esta seção contém uma demonstração muito curta e elegante do Teorema de Seifert-van Kampen atribuída à Grothendieck. Esta demonstração verifica diretamente a propriedade universal no Teorema de Seifert-van Kampen, em vez de se basear em geradores e relações. A única desvantagem da demonstração que apresentaremos é que ela só funciona para espaços localmente conexos por caminho e semilocalmente simplesmente conexos, observamos no entanto, os espaços que não satisfazem essas hipóteses em geral são degenerados o suficiente para que os seus grupos fundamentais sejam de utilidade limitada.

Seja $X$ um espaço topológico conexo por caminho, localmente conexo por caminho e semilocalmente simplesmente conexo e seja $X = U_{1} \cup U_{2}$ uma cobertura aberta de $X$. Suponha que $U_{1}$, $U_{2}$, e $U_{1} \cap U_{2}$ sejam todos não vazios e conexos por caminhos e semilocalmente simplesmente conexos. Seja $x_0$ um ponto na intersecção, então temos o seguinte diagrama comutativo de grupos fundamentais: Ilustração: Teorema de Seifert-van Kampen sendo as aplicações induzidos pela inclusão de subespaços.

Vamos descrever como o grupo fundamental $\pi _{1}(X,x_0)$ é determinado pelo diagrama acima. A descrição que apresentaremos será dada através de uma propriedade universal.

Começamos observando que qualquer homomorfismo $h$ de $\pi _{1}(X,x_0)$ para $G$ determina um par de homomorfismos:

\begin{align*} h_{1} & =h\circ j_{1}:\pi _{1}(U_{1},x_0) \to G \\ h_{2} & =h\circ j_{2}:\pi _{1}(U_{2},x_0) \to G \end{align*}

Temos também, pela comutatividade do diagrama anterior, que os homomorfismos $h_1\circ i_1$ e $h_2\circ i_2$ são os mesmos. O Teorema de Seifert-van Kampen diz que $\pi _{1}(X,x_0)$ é o grupo universal com essa propriedade. Ilustração: Teorema de Seifert-van Kampen

Assim, a afirmação do Teorema de Seifert-van Kampen é a seguinte:

de Seifert-van Kampen. Seja $X$ um espaço topológico localmente conexo por caminho e semilocalmente simplesmente conexo e seja $X = U_{1} \cup U_{2}$ uma cobertura aberta de $X$. Suponha que $U_{1}$, $U_{2}$, e $U_{1} \cap U_{2}$ sejam todos não vazios, conexos por caminhos e semilocalmente simplesmente conexo. Então, para todo $x_0 \in U_{1} \cap U_{2}$, e qualquer par de homomorfismos

\[ h_1: \pi _{1}(U_{1},x_0) \to G \quad \text{e } \quad h_2: \pi _{1}(U_{2},x_0) \to G \]

tal que $h_1\circ i_1=h_2\circ i_2$, existe um único homomorfismo

\[ h: \pi _{1}(X,x_0) \to G \]

tal que $h_{1} =h\circ j_{1}$ e $ h_{2} =h\circ j_{2}$.

Nesse caso dizemos que o diagrama comutativo a seguir é um diagrama de pushout. Ilustração: Teorema de Seifert-van Kampen

A chave para demonstrar o teorema é encontrar uma representação geométrica para um homomorfismo proveniente do grupo fundamental de um espaço. Essa conexão é fornecida pelo Teorema de Classificação de $G$-recobrimentos (4.8).

Demonstração ▼

Considere um grupo $G$ e um diagrama comutativo como mostrado abaixo.

Ilustração: Teorema de Seifert-van Kampen

Usando o Teorema 4.8, podemos associar aos homomorfismos

\begin{align*} h_1: & \ \pi _{1}(U_{1}, x_0) \rightarrow G \\ h_2: & \ \pi _{1}(U_{2}, x_0) \rightarrow G \end{align*}

$G$-recobrimentos regulares com pontos marcados $p_{1}: (\widetilde{U}_{1}, \widetilde{u}_{1}) \rightarrow (U_{1}, x_0)$ e $p_{2}: (\widetilde{U}_{2}, \widetilde{u}_{2}) \rightarrow (U_{2}, x_0)$. Para $i=1,2$, seja $\widetilde{V}_{i} = p_{i}^{-1}(U_{1} \cap U_{2})$, de modo que $(\widetilde{V}_{i}, \widetilde{u}_{i}) \rightarrow (U_{1} \cap U_{2}, x_0)$ seja o $G$-recobrimento com ponto marcado representando o homomorfismo $\pi _{1}(U_{1} \cap U_{2}, x_0) \rightarrow \pi _{1}(U_{i}, x_0) \rightarrow G$.

Uma vez que os homomorfismos anteriores são iguais pela comutatividade do diagrama, vemos que $(\widetilde{V}_{1}, \widetilde{u}_{1}) \rightarrow (U_{1} \cap U_{2}, x_0)$ e $(\widetilde{V}_{2}, \widetilde{u}_{2}) \rightarrow (U_{1} \cap U_{2}, x_0)$ são $G$-recobrimentos com pontos marcados isomorfos e, assim, existe um homeomorfismo $G$-equivariante único $\phi : (\widetilde{V}_{1}, \widetilde{u}_{1}) \rightarrow (\widetilde{V}_{2}, \widetilde{u}_{2})$.

Usando $\phi $, podemos colar $p_{1}: (\widetilde{U}_{1}, \widetilde{u}_{1}) \rightarrow (U_{1}, x_0)$ e $p_{2}: (\widetilde{U}_{2}, \widetilde{u}_{2}) \rightarrow (U_{2}, x_0)$ para obter um $G$-recobrimento com ponto marcado em $(\widetilde{X}_{U}, \widetilde{x}) \rightarrow (X, x_0)$. Usando o Teorema 4.8 uma última vez, vemos que a esse recobrimento temos associado o homomorfismo desejado $\pi _{1}(X, x_0) \rightarrow G$, fazendo com que o diagrama comute. A unicidade desse homomorfismo segue da unicidade em cada etapa da prova acima.

Lema 4.18

No caso especial em que $s$ e $t$ são injetivos Ilustração: Teorema de Seifert-van Kampen

o grupo pushout $G^{\prime } $existe e é chamado de produto amalgamado de $G$ e $H$ sobre $A$ e é denotado por $G*_{A}H$. Se tivermos as apresentações de grupos $G=\left\langle S_{1} \mid R_{1}\right\rangle $ e $H=\left\langle S_{2} \mid R_{2}\right\rangle $, então uma apresentação do grupo pushout $(G * H) / N$ é dado por

\[ \left\langle S_{1} \cup S_{2} \mid R_{1} \cup R_{2} \cup \left\{ s(a) t(a)^{-1}: a \in A \right\} \right\rangle . \]

de Seifert-van Kampen - Segunda Forma. Seja $X$ um espaço topológico e seja $U,V\subset X$ subconjuntos abertos tais que $U\cap V $ seja não vazio e seja conexo por caminho. Seja $x_0\in U\cap V$ um ponto base. Então

\[ \pi _1(X,x_0)=\pi _1(U,x_0)\underset {\pi _1(U\cap V,x_0)}{*}\pi _1(V,x_0). \]

Para a esfera $n$-dimensional $\mathbb {S}^{n}$ com $n \geq 2$, escolhemos um ponto base $x_{0} \in \mathbb {S}^{n}$ no equador e definimos $U_{1}$ como complemento do polo sul e $U_{2}$ como complemento do polo norte. Então $U_{1}$ e $U_{2}$ são contráteis de modo que o quadrado pushout é Ilustração: Teorema de Seifert-van Kampen Logo temos que $\mathbb {S}^{n}$ é simplesmente conexa para $n \geq 2$. Considere a figura oito $\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{1}$, e sejam $U_{1}, U_{2}$ laços, cada um junto com uma pequena sobreposição aberta no outro laço. Então a interseção $U_{1} \cap U_{2}$ se parece com a letra " $X$", portanto $U_{1} \cap U_{2} \simeq x_0$. Então o quadrado pushout é Ilustração: Teorema de Seifert-van Kampen e logo $\pi _{1}\left(\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{1}, x_0\right) \cong \mathbb {Z}* \mathbb {Z}\cong F_{2}$ é o grupo livre em dois geradores.

Indutivamente, o grupo fundamental da união por um ponto de $n$ cópias do círculo é isomorfo à $F_{n}$, o grupo livre em $n$ letras.

De forma mais geral, isso mostra que a suspensão $\Sigma X$ de qualquer espaço conexo $X$ tem grupo fundamental zero.

Colando ao longo de interseções simplesmente conexas. Se $X=U \cap V$ onde $U$ e $V$ são conexos e $U \cap V$ é simplesmente conexo, então obtemos $\pi _{1}(X,x_0)=\pi _{1} (U,x_0) * \pi _{1}(V,x_0)$. Removendo um ponto de uma variedade. Dada uma variedade $n$-dimensional $M$, com $n \geq 3$, vamos relacionar os grupos fundamentais de $M$ e $M \setminus \{ p\} $. Seja $U$ uma pequena vizinhança de $p$, homeomorfa a uma bola em $\mathbb {R}^{n}$ e seja $V=M \setminus \{ p\} $. Então $U \cap V \simeq \mathbb {S}^{n-1}$ que é simplesmente conexa para $n\gt 2$, dessa forma obtemos que $\pi _{1}(M,x_0)=\pi _{1}(M \setminus \{ p\} ,x_0)$. Somas conexas. Dadas duas variedades $n$-dimensionais $M$ e $N$, a soma conexa $M \# N$ é construída removendo uma bola de cada um de $M$ e $N$ e colando-as ao longo de seus bordos,

\[ \left(M \setminus \operatorname {\operatorname {int}}\left(\mathbb {D}^{n}\right)\right) \cup _{\partial \mathbb {D}^{n}}(N \setminus \left.\operatorname {\operatorname {int}}\left(\mathbb {D}^{n}\right)\right)). \]

Se $n \geq 3$, obtemos o produto livre

\[ \pi _{1}(M \# N,x_0)=\pi _{1}\left(M \setminus \mathbb {D}^{n},x_0\right) * \pi _{ 1}\left(N \setminus \mathbb {D}^{n},x_0\right)=\pi _{1}(M,x_0) * \pi _{1}(N,x_0). \]

O processo de anexar uma $n$-célula num espaço topológico é definido da seguinte forma: começamos com um espaço topológico $X$, uma $n$-célula $\mathbb {D}^n$, ou seja, um espaço topológico homeomorfo ao disco $n$-dimensional, e uma função $\partial \mathbb {D}^n=\mathbb {S}^{n - 1} \to X$ e anexamos $\mathbb {D}^n$ a $X$, colando-o ao longo da imagem de $f$ para obter o espaço quociente $X\cup _f \mathbb {D}^n$:

Podemos usar o Teorema de Seifert-van Kampen para analisar como a colagem altera o grupo fundamental.

Se $n \geq 3$, então a aplicação $\pi _1(X, x_0) \to \pi _1(X\cup _f \mathbb {D}^n, x_0)$ induzida pela inclusão é um isomorfismo, onde $x_0$ é um ponto na imagem de $f$. Ou seja, anexar um disco de dimensão maior que 3 não afeta o grupo fundamental.

Demonstração ▼

Novamente, a dificuldade para poder aplicar o Teorema de Seifert-van Kampen é que precisamos trabalhar com conjuntos abertos.

Seja $0 \in \mathbb {D}^n$ um ponto no interior de $\mathbb {D}^n$. Definimos $A = X\cup _f (\mathbb {D}^n \setminus \{ 0\} )$. Note que $\mathbb {D}^n \setminus \{ 0\} $ retrai-se por deformação para a fronteira $\mathbb {S}^{n - 1}$. Assim, $A$ retrai-se por deformação para $X$. Defina $B = \operatorname {\operatorname {int}}(\mathbb {D}^n)$. Então

\[ A\cap B = \operatorname {\operatorname {int}}(\mathbb {D}^n) \setminus 0 \cong \mathbb {S}^{n - 1}. \]

Não podemos usar $y_0$ como nosso ponto base, já que este ponto não está em $A\cap B$. Em vez disso, escolhemos um ponto arbitrário $y_1 \in A\cap B$. Uma vez que $\mathbb {D}^n$ é conexo por caminhos, temos um caminho $\gamma $ ligando $y_1$ a $y_0$, e podemos usá-lo para recuperar os grupos fundamentais com base em $y_0$.

Agora o Teorema de Seifert-van Kampen diz que:

\[ \pi _1(X\cup _f \mathbb {D}^n, y_1) \cong \pi _1(A, y_1) \underset {\pi _1(A\cap B, y_1)}{*} \pi _1(B, y_1). \]

Uma vez que $B$ é um disco e $A\cap B$ é simplesmente conexo, já que para $n \geq 3$ a esfera $\mathbb {S}^{n - 1}$ é simplesmente conexa, e logo seu grupo fundamental é trivial. Portanto, obtemos

\[ \pi _1(X\cup _f \mathbb {D}^n, y_1) \cong \pi _1(A, y_1). \]

Agora podemos usar a curva $\gamma $ para mudar o ponto base de $y_1$ para $y_0\equiv x_0 $. Assim,

\[ \pi _1(X\cup _f \mathbb {D}^n, x_0) \cong \pi _1(A, x_0) \cong \pi _1(X, x_0). \]

O caso mais interessante ocorre quando temos dimensões menores.

Se $n = 2$, então a aplicação natural $\pi _1(X, x_0) \to \pi _1(X\cup _f \mathbb {D}^n, x_0)$ é sobrejetiva, e o núcleo é $ N([f])$, o normalizador do grupo gerado por $f$. Note que esta afirmação faz sentido, já que $\mathbb {S}^{n - 1}$ é um círculo e $f: \mathbb {S}^{n - 1} \to X$ é um laço em $X$. Ou seja se anexarmos um disco ao laço dado por $f$, esse laço simplesmente desaparece.

Demonstração ▼

Como antes, obtemos

\[ \pi _1(X\cup _f \mathbb {D}^n, y_1) \cong \pi _1(A, y_1) \underset {\pi _1(A\cap B, y_1)}{*} \pi _1(B, y_1). \]

Novamente, $B$ é contrátil, e $\pi _1(B, y_1) \cong 1$. No entanto, $\pi _1(A\cap B, y_1) \cong \mathbb {Z}$. Uma vez que $\pi _1(A\cap B, y_1)$ é homotópico ao laço induzido por $f$, consequentemente temos que

\[ \pi _1(A, y_1) \underset {\pi _1(A\cap B, y_1)}{*} 1 = (\pi _1(A, y_1) * 1)/N[\pi _1(A\cap B, y_1)]\cong \pi _1(X, x_0)/N([f]). \]

Em resumo, temos

\[ \pi _1(X \cup _f \mathbb {D}^n) = \begin{cases} \pi _1(X) & n \geq 3\\ \pi _1(X)/N([f]) & n = 2 \end{cases} \]

E assim apenas mata o laço em torno de $U \cap V$; ou seja, $\pi _{1}(Y,x_0)=\pi _{1}(X,x_0) / N$ onde $N$ é o subgrupo normal gerado por um laço em torno de $U \cap V$.

Seja $X=\mathbb {R}^2\setminus (0,0)$, então o grupo fundamental de $X$ é isomorfo a $\mathbb {Z}$ e um gerador do grupo fundamental é a classe de uma circunferência de raio $1$ centrada no ponto $(0,0)$. Se colarmos uma célula sobre essa circunferência o grupo fundamental de $X\cup _f \mathbb {D}^2$ é trivial, o que é bastante intuitivo pois podemos contrair todos os laços à um ponto contornando a origem removida utilizando a célula colada. Se a curva no qual a célula é colada não contém a origem então o grupo fundamental de $X\cup _f \mathbb {D}^2$ não se altera e assim é isomorfo à $\mathbb {Z}$.

Figura 4.22 Colagem de células em X=ℝ^2setminus (0,0). — Figura 4.22 Colagem de células em $X=\mathbb {R}^2\setminus (0,0)$.

Como consequência do teorema anterior temos: Qualquer grupo finitamente apresentado $\left\langle a_{1}, \ldots , a_{m}\right|\left.r_{1}, \ldots , r_{n }\right\rangle $ pode ser obtido como o grupo fundamental de um espaço topológico de Hausdorff compacto obtido da colagem em uma única 0-célula, de um laço para cada gerador $a_{i}$ e de uma 2-célula para cada relação $r_{i}$. Ou seja, qualquer grupo finitamente apresentado $\left\langle a_{1}, \ldots , a_{m}\right|\left.r_{1}, \ldots , r_{n }\right\rangle $ pode ser obtido como o grupo fundamental de um CW-complexo finito bidimensional.

A demonstração da proposição anterior é deixada como exercício ao leitor. Veja o Exercício 59.

4.9.1 Grupo Fundamental de Superfícies

A representação na forma normal de uma superfície compacta e orientável $\Sigma _g$ diagrama planar que é o polígono de $4g$ lados $P$ com as colagens dadas pela palavra

\[ a_{1} b_{1} a_{1}^{-1} b_{1}^{-1} \cdots a_{g} b_{g} a_{g}^{-1} b_{g}^{-1}. \]

pode ser usada para calcular o grupo fundamental de $\Sigma _g$. Seja $x_0$ o ponto em $\Sigma _g$ que é a imagem dos vértices em $P$, e sejam $\alpha _i$ e $\beta _i$ os laços em $\Sigma $ que são as imagens dos lados correspondentes de $P$.

Figura 4.23 Diagrama planar da superfície Sigma _g. — Figura 4.23 Diagrama planar da superfície $\Sigma _g$.

Seja $F_{2g}$ o grupo livre com $2g$ geradores $a_1, b_1, \ldots , a_g, b_g$. Existe um homomorfismo de grupos de $F_{2g}$ para o grupo fundamental $\pi _1(\Sigma _g, x)$ que leva $a_i$ para $\alpha _i$ e $b_i$ para $\beta _i$, para $1 \leq i \leq g$. Afirmamos primeiro que o elemento

\[ c_g = a_1 \cdot b_1 \cdot a_1^{-1} \cdot b_1^{-1} \cdot a_2 \cdot b_2 \cdot a_2^{-1} \cdot b_2^{-1} \cdot \ldots \cdot a_g \cdot b_g \cdot a_g^{-1} \cdot b_g^{-1} \]

em $F_{2g}$ é levado para o elemento identidade de $\pi _1(\Sigma _g, x)$ por meio desse homomorfismo. Na verdade, o caminho produto

\[ \alpha _1 \cdot \beta _1 \cdot \alpha _1^{-1} \cdot \beta _1^{-1} \cdot \alpha _2 \cdot \beta _2 \cdot \alpha _2^{-1} \cdot \beta _2^{-1} \cdot \ldots \cdot \alpha _g \cdot \beta _g \cdot \alpha _g^{-1} \cdot \beta _g^{-1} \]

é homotópico ao caminho constante baseado em $x$, uma vez que o caminho correspondente nos lados de $P$ é homotópico a um caminho constante em $P$ (uma vez que $P$ é convexo), e a composição com a aplicação contínua de $P$ para $\Sigma _g$ fornece uma homotopia em $\Sigma _g$.

Seja $N_g$ o subgrupo normal mínimo de $F_{2g}$ contendo $c_g$, ou seja, $N_g$ é o subgrupo gerado por todos os elementos da forma $u \cdot c_g \cdot u^{-1}$ para todos os $u$ em $F_{2g}$. Do que acabamos de ver, $N_g$ está no núcleo do homomorfismo de $F_{2g}$ para $\pi _1(\Sigma _g, x)$, então temos um homomorfismo

\[ F_{2g} / N_g \mapsto \pi _1(\Sigma _g, x) \]

O homomorfismo $F_{2g} / N_g \rightarrow \pi _1(\Sigma _g, x)$ é um isomorfismo.

Demonstração ▼

Aplicaremos o Teorema de Seifert-van Kampen. Seja $U$ a imagem em $\Sigma _g$ do complemento de um pequeno disco no meio de $P$, e seja $V$ a imagem em $\Sigma _g$ de um conjunto aberto que contém esse disco, como mostrado na Figura abaixo:

Ilustração: Grupo Fundamental de Superfícies

Seja $K$ a imagem da fronteira de $P$ em $\Sigma _g$. Este $K$ é um grafo que consiste em $2g$ laços baseados em $x$, então $\pi _1(K, x_0)$ é o grupo livre com geradores $a_1, b_1, \ldots , a_g, b_g$, ou seja, $\pi _1(K, x_0) = F_{2g}$. Pela projeção radial a partir do centro do disco, vê-se que $K$ é uma retração por deformação de $U$. Portanto, temos um isomorfismo

\[ \pi _1(U, x_0) \cong \pi _1(K, x_0). \]

Portanto, $\pi _1(U, x_0)$ também é o grupo livre $F_{2g}$ com os mesmos geradores. Agora, $V$ é homeomorfo a um disco, então $\pi _1(V, x_0) = \{ e_{x_0}\} $ é trivial, e $U \cap V$ é um retrato por deformação de um círculo, e assim $\pi _1(U \cap V, x_0) = \mathbb {Z}$. A inclusão de $U \cap V$ em $U$ leva um gerador de $\pi _1(U \cap V, x_0)$ ao elemento $c_g = a_1 \cdot b_1 \cdot a_1^{-1} \ldots \cdot b_g^{-1}$. Pelo Teorema de Seifert-van Kampen, para qualquer grupo $G$, fornecer um homomorfismo de $\pi _1(\Sigma _g, x_0)$ para $G$ é o mesmo que fornecer um homomorfismo de $\pi _1(U, x_0) = F_{2g}$ para $G$ (e um homomorfismo de $\pi _1(V, x_0) = \{ e\} $ para $G$) de tal maneira que a composição

\[ \mathbb {Z}= \pi _1(U \cap V, x_0) \rightarrow \pi _1(U, x_0) \rightarrow G \]

leva um gerador de $\mathbb {Z}$ ao elemento identidade de $G$. Isso significa precisamente que se tem um homomorfismo de $F_{2g}$ para $G$ de modo que $c_g$ é levado para a identidade, ou equivalente, que $N_g$ é levado para a identidade. Ou seja,

\[ \operatorname {Hom}(\pi _1(\Sigma _g, x_0), G) = \operatorname {Hom}(F_{2g} / N_g, G). \]

Isso implica que a aplicação de $F_{2g} / N_g$ para $\pi _1(\Sigma _g, x_0)$ é um isomorfismo.

Dito de outra forma:

\[ \pi _1(\Sigma _g, x_0),=\langle a_1, b_1, \ldots , a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1} \ldots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}\rangle \]

4.9.2 Grupo Fundamental de Variedades $4$-dimensionais

Uma versão geométrica do Exemplo 4.9 mostra que qualquer grupo finitamente apresentado é o grupo fundamental de alguma variedade 4-dimensional suave.

Comece com a variedade $4$-dimensional fechada

\[ X = (\mathbb {S}^3 \times \mathbb {S}^1) \# \cdots \# (\mathbb {S}^3 \times \mathbb {S}^1), \]

que é a soma conexa de $|S|$ cópias de $\mathbb {S}^3 \times \mathbb {S}^1$. Usando Seifert-van Kampen, temos que $\pi _1(X,x_0) \cong \langle a_1, \dots , a_{|S|}\rangle $, o grupo livre em $|S|$ geradores onde o gerador $a_i$ é representado pela $\mathbb {S}^1$ do $i$-ésimo fator $\mathbb {S}^3 \times \mathbb {S}^1$ da soma $X$.

Cada relação $r_j$ pode ser representada por um laço simples suave $b_j$ em $X$. De fato, isso é verdade para qualquer variedade $n$-dimensional orientável $M$ tal que $n \geq 3$ já que em uma variedade de dimensão $\geq 3$ há "espaço" suficiente para se livrar das auto-interseções em qualquer caminho fechado por meio de deformações arbitrariamente pequenas.

Cada laço $b_j$ tem uma vizinhança tubular $N_j$, que é uma cópia de $\mathbb {S}^1 \times \mathbb {D}^3$ mergulhada em $X$. O bordo de $N_j$ é homeomorfo a $\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^2$. Observe que $\mathbb {D}^2 \times \mathbb {S}^2$ também tem bordo $\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^2$. Portanto, podemos cortar $N_j$ de $X$ e inserir uma cópia de $\mathbb {D}^2 \times \mathbb {S}^2$ em seu lugar, anexando-a ao conjunto $\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^2$ "vazio" deixado para trás em $X \setminus \operatorname {\operatorname {int}}(N_j)$.

O único passo que resta é verificar que remover $N_j$ e substituí-lo por uma cópia de $\mathbb {D}^2 \times \mathbb {S}^2$ tem o efeito de matar $r_j$. Vamos denotar por $X_j$ a variedade obtida de $X$ por este processo. Temos então:

\[ X_j = (X \setminus \operatorname {\operatorname {int}}(N_j)) \cup _{\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^2} (\mathbb {D}^2 \times \mathbb {S}^2). \]

Agora

\begin{align*} \pi _1(X \setminus \operatorname {\operatorname {int}}(N_j)) & = \langle a_1, \dots , a_{|S|} \rangle , \\ \pi _1(\mathbb {D}^2 \times \mathbb {S}^2) & = 0, \\ \pi _1(\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^2) & = \langle c \rangle , \end{align*}

onde $c$ é representado por $\mathbb {S}^1 \times \{ \text{pt}\} $ em $\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^2$. Observe que a imagem de $c$ em $X_j$ é precisamente a curva $b_j$. Portanto por Seifert-van Kampen temos que

\[ \pi _1(X_j) = \langle a_1, \dots , a_{|S|} \mid b_j \rangle . \]

Se $X'$ denota o resultado de fazer esta cirurgia para todos os $b_j$’s, temos que

\begin{align*} \pi _1(X’) & = \langle a_1, \dots , a_{|S|} \mid b_1, \dots , b_{|R|} \rangle \\ & = \langle S \mid R \rangle . \end{align*}

Esta construção foi utilizada por Andrei Markov em sua prova de que não pode existir nenhum algoritmo para decidir se duas variedades 4-dimensionais compactas, orientáveis e trianguláveis são homeomorfas ou não. A prova de Markov prova a inexistência a partir do fato de que não existe um algoritmo geral para decidir se duas apresentações de grupos representam ou não grupos isomorfos.

Exercício 4.1

Dado um espaço de recobrimento $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ e um subconjunto $A \subset X$, seja $\widetilde{A} = p^{-1}(A)$, mostre que a restrição $p: \widetilde{A} \rightarrow A$ é um espaço de recobrimento.

Exercício 4.2

Mostre que se $p_{1}: \widetilde{X}_{1} \rightarrow X_{1}$ e $p_{2}: \widetilde{X}_{2} \rightarrow X_{2}$ são espaços de recobrimento, então seu produto $p_{1} \times p_{2}: \widetilde{X}_{1} \times \widetilde{X}_{2} \rightarrow X_{1} \times X_{2}$ também é um espaço de recobrimento.

Exercício 4.3

Mostre que a aplicação $p: \mathbb {S}^{1} \rightarrow \mathbb {S}^{1}, z \mapsto z^{2}$ é um espaço de recobrimento. Generalize para a aplicação $p: \mathbb {S}^{1} \rightarrow S^{2}, z \mapsto z^{n}$.

Exercício 4.4

Sejam $G$ um grupo topológico conexo por caminhos e $H$ um subgrupo normal discreto de $G$. Se $p: G \rightarrow G / H$ é o homomorfismo natural, mostre que $(G, p)$ é um espaço de recobrimento de $G / H$.

Exercício 4.5

Sejam $X,Y,Z$ espaços conexos por caminhos e localmente conexos por caminhos e $h:X\to Y$ e $g:Y\to Z$ aplicações contínuas e assuma que $f = g\circ h$ é uma aplicação de recobrimento. Então $g$ é uma aplicação de recobrimento se, e somente se, $h$ é uma aplicação de recobrimento.
Sejam $X$ um espaço localmente conexo por caminhos e semi-localmente simplesmente conexo, $p_1: \widetilde{X} \rightarrow X$ um espaço de recobrimento de $X$ e $p_2: \widetilde{\widetilde{X}} \rightarrow \widetilde{X}$ um espaço de recobrimento de $\widetilde{X}$. Então, a composição $p_1 \circ p_2: \widetilde{\widetilde{X}} \rightarrow X$ é um espaço de recobrimento. Dica. Olhe para os levantamentos das aplicações de recobrimento e use o item anterior.

Ver solução

Se $f=g \circ h: X \to Z$ é um recobrimento e $h: X \to Y$ é um recobrimento, então prove que $g: Y \to Z$ é um recobrimento

Seja $f = g \circ h$ e fixe $z \in Z$. Seja $U$ uma vizinhança elementar conexa por caminhos de $z$ em relação a $f$, ou seja, podemos escrever $f^{-1}(U)=\bigcup _{\beta }{W_\beta }$ como uma coleção de conjuntos abertos disjuntos, cada um homeomorfo a $U$.

seja ${U_\alpha }$ a coleção de componentes conexas por caminho de $g^{-1}(U)$;

os conjuntos ${U_\alpha }$ são abertos devido à hipótese dos espaços serem localmente conexos por caminho.

Pela definição, sabemos que $h(W_\beta ) \subset U_\alpha $ para algum $\alpha $ específico. Isso ocorre porque cada $W_\beta $ é conexo, sendo localmente homeomorfo a $U$ e, portanto, pode ser levado para no máximo e um $U_\alpha $. Agora, $h^{-1}(U_\alpha )$ deve ser uma subcoleção de $W_\beta $; chamaremos essa coleção de ${V_{\beta , \alpha }}$.

A aplicação

\[ h: \bigcup _\alpha V_{\beta ,\alpha } \to U_\alpha \]

é uma aplicação de recobrimento.

- que é um homeomorfismo local é direto da composição

- o fato de ser sobre sai da conexidade por caminho

Exercício 4.6

Suponha que $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ seja uma aplicação de recobrimento, com $\widetilde{X}$ sendo conexo por caminhos. Mostre que se $X$ for simplesmente conexo, então $p$ é um homeomorfismo.

Exercício 4.7

Suponha que $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ seja uma aplicação de recobrimento. Sejam $\alpha $ e $\beta $ caminhos em $X$ com $\alpha (1) = \beta (0)$; e sejam $\widetilde{\alpha }$ e $\widetilde{\beta }$ respectivos levantamentos tais que $\widetilde{\alpha }(1) = \widetilde{\beta }(0)$. Mostre que $\widetilde{\alpha } * \widetilde{\beta }$ é um levantamento de $\alpha * \beta $.

Exercício 4.8

Seja $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ um espaço de recobrimento com $p^{-1}(x)$ finito e não vazio para todo $x \in X$. Mostre que $\widetilde{X}$ é simplesmente conexo se, e somente se, $X$ também é simplesmente conexo.

Exercício 4.9

Mostre que o brinco havaiano é semilocalmente simplesmente conexo e que o cone $C X$ sobre o brinco havaiano é semilocalmente simplesmente conexo mas não é localmente simplesmente conexo.

Figura 4.24 Brinco havaiano e o cone sobre o brinco havaiano.

Exercício 4.10

Seja $Y$ o quasi-círculo mostrado na Figura 4.25, ou seja, o subconjunto fechado de $\mathbb {R}^{2}$ que consiste em uma parte do gráfico de $y=\sin (1/x)$, o segmento $\{ 0\} \times [-1,1]$, e um arco que conecta essas duas partes. A aplicação que colapsa o segmento $\{ 0\} \times [-1,1]$ para o ponto $(0,1)$ pode ser vista como uma aplicação quociente $f: Y \rightarrow \mathbb {S}^{1}$. Mostre que a aplicação $f$ não se levanta para o espaço de recobrimento $\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {S}^{1}$, embora $\pi _{1}(Y)=0$. Portanto, a conexidade local por caminho de $Y$ é uma hipótese necessária no critério de levantamento.

Exercício 4.11

Sejam $q:X \rightarrow Y$ e $r:Y \rightarrow Z$ espaços de recobrimento, e $p=r \circ q$. Mostre que se $r^{-1}(z)$ é finito para cada $z \in Z$, então $p$ é um espaço de recobrimento.

Exercício 4.12

Seja $X$ o brinco havaiano descrito no Exemplo 4.10, e $\widetilde{X}$ seu espaço de recobrimento mostrado na figura a seguir.

$Ilustração: Grupo Fundamental de Variedades $4$-dimensionais$

Construa um espaço de recobrimento de duas folhas $Y \rightarrow \widetilde{X}$ de modo que a composição $Y \rightarrow \widetilde{X} \rightarrow X$ dos dois espaços de recobrimento não seja um espaço de recobrimento. Veja as figuras abaixo para uma ideia de como fazer isso:

$Ilustração: Grupo Fundamental de Variedades $4$-dimensionais$

Exercício 4.13

Seja $X$ um espaço de Hausdorff localmente compacto e seja $G$ um grupo de homeomorfismos de $X$ cuja ação é livre de pontos fixos. Suponha que, para cada subespaço compacto $K$ de $X$, existem apenas finitos elementos $g$ de $G$ de modo que a interseção $K \cap g(K)$ seja não vazia. Prove que
Para cada subespaço compacto $K$ de $X$, mostre que a união dos conjuntos $g(K)$, para $g \in G$, é fechada em $X$.
Mostre que $X / G$ é de Hausdorff.
Mostre que a ação de $G$ é propriamente descontínua.
Mostre que $X / G$ é localmente compacto.

Exercício 4.14

Mostre que duas aplicações de recobrimento de um espaço conexo $X$ são isomorfas, com um isomorfismo que pode não preservar pontos base, se, e somente se, as imagens de seus grupos fundamentais forem subgrupos conjugados do grupo fundamental de $X$.

Exercício 4.15

Uma seção de um recobrimento $p: Y \rightarrow X$ é uma aplicação contínua $s: X \rightarrow Y$ tal que $p \circ s$ seja a aplicação identidade de $X$. Mostre que se um $G$-recobrimento tem uma seção, então o recobrimento é um recobrimento trivial de $G$.

Exercício 4.16

Seja $p: Y \rightarrow X=Y / G$ um $G$-recobrimento, e sejam $\varphi _1$ e $\varphi _2$ isomorfismos de $G$-recobrimentos de $Y$ para $Y$. Se $X$ for conexo, e $\varphi _1$ e $\varphi _2$ concordarem em um ponto de $Y$, mostre que $\varphi _1 = \varphi _2$.

Exercício 4.17

Seja $G$ o subgrupo do grupo de homeomorfismos do plano, gerado pela translação $(x, y) \mapsto (x+1, y)$ e pela transformação $(x, y) \mapsto (-x, y+1)$. Mostre que esta ação de $G$ em $\mathbb {R}^2$ é propriamente descontínua e identifique o quociente $\mathbb {R}^2 / G$ com a garrafa de Klein.

Exercício 4.18

Seja $G$ o subgrupo do grupo de homeomorfismos do plano, gerado pela translação $(x, y) \mapsto (x+1, -y)$. Mostre que esta ação é propriamente descontínua e identifique o quociente com uma faixa de Möbius.

Exercício 4.19

Se $G$ age de forma propriamente descontínua em um espaço $Y$, e $H$ é um subgrupo de $G$, mostre que $H$ também de forma propriamente descontínua. Mostre que o aplicação natural de $Y / H$ para $Y / G$ é uma aplicação de recobrimento. Se $n$ for o índice de $H$ em $G$, esse é um recobrimento com $n$-folhas.

Realize essa construção quando $G$ é o grupo de transformações do plano do Item 45 e $H$ é o subgrupo gerado pelas duas transformações $(x, y) \mapsto (x+1, y)$ e $(x, y) \mapsto (x, y+2)$. Identifique $\mathbb {R}^2 / H$ com um toro e descreva o recobrimento resultante de duas folhas da garrafa de Klein.

Exercício 4.20

Considere o espaço $X \subset \mathbb {R}^{3}$ que é a união por um ponto de uma esfera e um diâmetro.

$Ilustração: Grupo Fundamental de Variedades $4$-dimensionais$

Qual o grupo fundamental de $X$? Dica. Ache um espaço conhecido homotopicamente equivalente a $X$.

Construa um espaço de recobrimento simplesmente conexo de $X$. (Desenhe esse espaço.)

Encontre todos os espaços de recobrimento conexos por caminho para $X$. Descreva-os algebrica e geometricamente.
Diga quais são todos os recobrimentos de $3$-folhas (não necessariamente conexo)
Apresente dois levantamento de recobrimentos normais de $X$.
Apresente dois exemplos de recobrimentos não normais de $X$.

Faça o mesmo quando $Y$ é a união de uma esfera e um círculo que se intersecta em dois pontos.

Exercício 4.21

Determine o grupo fundamental de $\mathbb {RP}^{2}\vee \mathbb {RP}^{2}$.
Encontre todos os espaços de recobrimento conexos para $\mathbb {RP}^{2}\vee \mathbb {RP}^{2}$.
Determine o recobrimento normal de $\mathbb {RP}^{2}\vee \mathbb {RP}^{2}$.
Apresente dois exemplos de recobrimentos normais de $\mathbb {RP}^{2}\vee \mathbb {RP}^{2}$.
Apresente dois exemplos de recobrimentos não normais de $\mathbb {RP}^{2}\vee \mathbb {RP}^{2}$.
Quais são todos os recobrimentos de $3$ folhas de $\mathbb {RP}^{2}\vee \mathbb {RP}^{2}$.

Exercício 4.22

Um espaço de recobrimento $(\widetilde{X}, p)$ de $X$ é dito regular se $p_{*} \pi _{1}\left(\widetilde{X}, \widetilde{x_{0}}\right)$ é um subgrupo normal de $\pi _{1}\left(X, x_{0}\right)$ para cada $x_{0} \in X$. Se $(\widetilde{X}, p)$ é um espaço de recobrimento regular de $X$, mostre que $p_{*} \pi _{1}\left(\widetilde{X}, \widetilde{x_{0}}\right)=p_{*} \pi _{1 }\left(\widetilde{X}, \widetilde{x_{1}}\right)$ para cada par de pontos $\widetilde{x_{0}}, \widetilde{x_{1}}$ na mesma fibra.

Exercício 4.23

Se $\pi _{1}\left(X, x_{0}\right)$ é abeliano, então todo espaço de recobrimento de $X$ é regular.

Exercício 4.24

Seja $X$ um espaço conexo e localmente conexo por caminho e seja $x_{0} \in X$. Então mostre que um espaço de recobrimento $(\widetilde{X}, p)$ de $X$ é regular se, e somente se, o grupo $\operatorname *{Aut}(\widetilde{X} / X)$ atua transitivamente na fibra sobre $x_{0}$ .

Exercício 4.25

Se $X$ é um espaço de Hopf, prove que todo espaço de cobertura de $B$ é regular.

Exercício 4.26

Seja $X=\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{2}$ a união por um ponto de um círculo e uma esfera. Obtenha o recobrimento universal de $X$.

Exercício 4.27

Qual é o recobrimento universal do espaço formado pela união por um ponto de um toro com um círculo?

Exercício 4.28

Seja $M$ uma superfície compacta e orientável de gênero $g\gt 1$. Mostre que existe $f: M \rightarrow \mathbb {S}^{1}$ contínua, não homotópica a uma constante.

Exercício 4.29

Encontre espaços cujos grupos fundamentais sejam isomorfos aos seguintes grupos:
$\mathbb {Z}/ n \times \mathbb {Z}/ m$;
$\mathbb {Z}/ n_1 \times \mathbb {Z}/ n_2 \times \cdots \times \mathbb {Z}/ n_k$;
$\mathbb {Z}/ n * \mathbb {Z}/ m$;
$\mathbb {Z}/ n_1 * \mathbb {Z}/ n_2 * \cdots * \mathbb {Z}/ n_k.$

Exercício 4.30

Seja $X=\mathbb {S}^1 \vee \mathbb {S}^1$ a união por um ponto de duas circunferências.

$Ilustração: Grupo Fundamental de Variedades $4$-dimensionais$

Figura 4.26 $\mathbb {S}^{1} \vee \mathbb {S}^{1}$

Seja $\widetilde{X}$ o espaço ilustrado na Figura 4.27a; seja $p: \widetilde{X} \rightarrow X$ a aplicação que envolve cada arco $\alpha _1$ e $\alpha _2$ ao redor de $\alpha $ e leva $\beta _1$ e $\beta _2$ homeomorficamente em $\beta $. Mostre que $p$ é uma aplicação de recobrimento normal.
Determine o grupo de transformações de recobrimento do recobrimento de $X$ indicada na Figura 4.27b. Esse recobrimento é normal?

(a) (b) Figura 4.27 Exemplos de espaços de recobrimento de X=S^(1) vee S^(1). — (a)

Usando o Teorema de van Kampen mostre que o grupo de fundamental do espaço da Figura 4.27b é

\[ \left\langle a^{2},b^{2},aba^{-1},bab^{-1} \right\rangle \]

Exercício 4.31

Prove o seguinte:

Teorema. Se $G$ é um grupo finitamente apresentado, então existe um espaço de Hausdorff compacto $X$ cujo grupo fundamental é isomorfo a $G$.

Prova. Suponha que $G$ tenha uma apresentação com $n$ geradores e $m$ relações. Seja $A$ a união por um ponto de $n$ círculos; forme um espaço $X$ a partir da colagem de $A$ e $m$ cópias $B_1, \ldots , B_m$ da bola unitária por meio de uma aplicação contínua $f: \bigcup \partial B_i \rightarrow A$.
Mostre que $X$ é de Hausdorff.
Prossiga por indução em $m$.

Exercício 4.32

Prove o seguinte:

Teorema. Seja $G$ um grupo topológico com operação de multiplicação $m: G \times G \rightarrow G$ e elemento identidade $e$. Assuma que $p: \widetilde{G} \rightarrow G$ é uma aplicação de recobrimento e que $G$ e $\widetilde{G}$ são conexos por caminhos e localmente conexos por caminhos. Dado $\widetilde{e}$ com $p(\widetilde{e})=e$, existe uma única operação de multiplicação em $\widetilde{G}$ que a torna em um grupo topológico, de modo que $\widetilde{e}$ seja o elemento identidade e $p$ seja um homomorfismo.

Prova.
Seja $I: G \rightarrow G$ a aplicação $I(g)=g^{-1}$. Mostre que existem aplicações únicos $\widetilde{m}: \widetilde{G} \times \widetilde{G} \rightarrow \widetilde{G}$ e $\widetilde{I}: \widetilde{G} \rightarrow \widetilde{G}$ com $\widetilde{m}(\widetilde{e} \times \widetilde{e})=\widetilde{e}$ e $\widetilde{I}(\widetilde{e})=\widetilde{e}$, de modo que $p \circ \widetilde{m}=m \circ (p \times p)$ e $p \circ \widetilde{I}=I \circ p$.
Mostre que as aplicações $\widetilde{G} \rightarrow \widetilde{G}$ dados por $\widetilde{g} \rightarrow \widetilde{m}(\widetilde{e} \times \widetilde{g})$ e $\widetilde{g} \rightarrow \widetilde{m}(\widetilde{g} \times \widetilde{e})$ são iguais à aplicação identidade de $\widetilde{G}$.
Mostre que as aplicações $\widetilde{G} \rightarrow \widetilde{G}$ dados por $\widetilde{g} \rightarrow \widetilde{m}(\widetilde{g} \times \widetilde{I}(\widetilde{g}))$ e $\widetilde{g} \rightarrow \widetilde{m}(\widetilde{I}(\widetilde{g}) \times \widetilde{g})$ levam $\widetilde{G}$ para $\widetilde{e}$.
Mostre que as aplicações $\widetilde{G} \times \widetilde{G} \times \widetilde{G} \rightarrow \widetilde{G}$ dadas por

\[ \begin{aligned} & \widetilde{g} \times \widetilde{g}^{\prime } \times \widetilde{g}^{\prime \prime } \rightarrow \widetilde{m}\left(\widetilde{g} \times \widetilde{m}\left(\widetilde{g}^{\prime } \times \widetilde{g}^{\prime \prime }\right)\right) \\ & \widetilde{g} \times \widetilde{g}^{\prime } \times \widetilde{g}^{\prime \prime } \rightarrow \widetilde{m}\left(\widetilde{m}\left(\widetilde{g} \times \widetilde{g}^{\prime }\right) \times \widetilde{g}^{\prime \prime }\right) \end{aligned} \]

são iguais.
Complete a prova.

Exercício 4.33

Seja $p: \widetilde{G} \rightarrow G$ um homomorfismo de grupos topológicos que é uma aplicação de recobrimento. Mostre que se $G$ for abeliano, então $\widetilde{G}$ também é abeliano.

Exercício 4.34

Descreva o grupo fundamental de $\mathbb {R}^2 \backslash Z$, onde $Z$ é o conjunto $\mathbb {Z}\times \{ 0\} $ de todos os pontos de coordenadas inteiras no eixo $x$.

Exercício 4.35

Seja $X$ um espaço topológico cujo grupo fundamental é abeliano e que possui um espaço de recobrimento universal. Se $(\widetilde{X}_1, p_1)$ e $(\widetilde{X}_2, p_2)$ são espaços de recobrimento de $X$, defina $(\widetilde{X}_1, p_1) \geqq (\widetilde{X}_2, p_2)$ se, e somente se, existir um homomorfismo de $(\widetilde{X}_1, p_1)$ para $(\widetilde{X}_2, p_2)$.

Prove que essa relação é transitiva, reflexiva e que, se $(\widetilde{X}_1, p_1) \leqq (\widetilde{X}_2, p_2)$ e $(\widetilde{X}_2, p_2) \leqq (\widetilde{X}_1, p_1)$, então $(\widetilde{X}_1, p_1)$ é isomorfo a $(\widetilde{X}_2, p_2)$.
Prove que quaisquer dois espaços de recobrimento de $X$ têm um supremo e um ínfimo em relação a essa relação de ordem parcial.

Observação. Esse resultado não é verdadeiro se a hipótese de que $\pi (X)$ seja abeliano for removida.

Espaço Recobrimento

4.1 Espaços de Recobrimento

4.2 Grupos Propriamente Descontínuos

4.3 Levantamento de Caminhos e Homotopias

4.4 Levantamento de Funções

4.5 Homomorfismos de Recobrimento e Transformações de Deck

4.6 Classificação dos Espaços de Recobrimento

4.7 Representando Espaços de Recobrimento por Permutações

4.8 Classificação dos \(G\)-Recobrimentos

4.9 Teorema de Seifert-van Kampen

4.9.1 Grupo Fundamental de Superfícies

4.9.2 Grupo Fundamental de Variedades \(4\)-dimensionais