Respostas de Alguns Problemas e Exercícios

Respostas dos Problemas

Paradoxo de Russell

O conjunto \(C\) não pode ser nem exológico nem endológico. De fato, analisemos cada possibilidade. Se \(C\) fosse exológico, ele seria (pela definição do próprio conjunto \(C\)) um elemento de \(C\). Mas ser exológico significa, conforme nossa definição, que \(C\) não é um elemento de si mesmo. Ora, isso é uma contradição. Logo, nossa hipótese inicial (isto é, a de \(C\) ser exológico) era falsa. Se \(C\) não é exológico, só lhe resta então ser endológico. Isso significa que \(C\) contém a si mesmo. Mas os elementos de \(C\) são conjuntos exológicos, e novamente encontramos uma contradição!

Paradoxo de Grelling. Na língua portuguesa, temos adjetivos que podem ser aplicados a si mesmos: proparoxítono é um adjetivo proparoxítono; comum é um adjetivo comum; curto é um adjetivo curto (caso não concorde, então pode considerar que longo é um adjetivo longo); masculino é um adjetivo do gênero masculino. E assim por diante. Por outro lado, há adjetivos (provavelmente a maioria deles) que não se aplicam a si mesmos: azul não é azul; econômico não é econômico; fanático não é fanático. Vamos agora inventar mais dois termos: chamaremos de autológico um adjetivo que se aplica a si mesmo; chamaremos de heterológico um adjetivo que não se aplica a si mesmo. Evidentemente, todo adjetivo ou é autológico ou é heterológico, certo? Mas cada um desses dois novos termos também é um adjetivo, logo deveria ser autológico ou heterológico. Pois então, a qual categoria pertence o adjetivo heterológico? Será um adjetivo autológico? Será heterológico?

Problema do Circuito

A idéia é estudar o problema por indução, tomando como “índice” da indução o número n de galões dispostos no circuito. O caso mais simples é quando só há um único galão ao longo do circuito. Nesse caso, pela hipótese do problema (a quantidade total de gasolina é suficiente para dar uma volta completa no circuito), esse galão deve conter toda a gasolina necessária a completar a volta. Logo, quando n = 1, a resposta do problema é afirmativa. Suponhamos agora que para um certo número n de galões o problema admita solução, isto é: qualquer que seja a distribuição de n galões ao longo do circuito (desde que respeitadas as condições do problema), há sempre ao menos um galão que, tomado como ponto inicial, faz com que o carro complete a volta. Isso assumido (é a nossa hipótese de indução), vejamos o que acontece se tivermos n + 1 galões distribuídos ao longo do circuito. Nesse caso, é evidente que existe ao menos um galão (denote-o por \(G\)) cuja gasolina é suficiente para que o carro, abastecendo-se somente com essa quantidade de gasolina, consiga chegar ao próximo galão (denote-o por \(G+\)). De fato, se assim não fosse, a gasolina total distribuída em todos os \(n + 1\) galões não seria suficiente para dar a volta completa do circuito. Pois bem, mantendo intactos os outros \(n ? 1\) galões, elimine o galão \(G+\) transferindo a gasolina nele contida para o galão G. A nova situação assim construída é equivalente ‘a anterior no seguinte sentido: se na situação original era possível escolher um galão inicial de modo a completar a volta no circuito, na nova situação também o é. E vice-versa. Afinal, o que fizemos foi apenas antecipar o versamento da gasolina de \(G+\) no tanque do carro, o que não faz nenhuma diferença, uma vez que a gasolina em \(G\)

já era suficiente por si só a fazer o carro chegar ao galão G+. Agora, o passo principal foi dado e já podemos usar a hipótese indutiva. De fato, a nova situação constitui-se de n galões, nas condições do problema. Mas a nossa hipótese indutiva garante solução nesse caso, logo o problema original também possui solução.