Capítulo 8

Funções algébricas

A matemática é a arte de dar o mesmo nome a coisas diferentes.
Henri Poincaré, Ciência e Método

Nos capítulos anteriores foram introduzidas as noções de domínio, imagem, composição, monotonicidade, inversa e transformação de gráficos. Neste capítulo, essas noções serão retomadas no estudo de algumas famílias elementares de funções.

Embora cada família possua propriedades próprias, algumas questões aparecem repetidamente: determinar o domínio e a imagem, localizar os zeros, estudar o sinal e a monotonicidade e relacionar a expressão algébrica com a forma do gráfico. A comparação entre essas diferentes descrições será utilizada ao longo de todo o capítulo.

8.1 Funções afins

Definição 8.1

Uma função afim é uma função da forma

\[ f(x)=ax+b, \]

em que $a,b\in \mathbb {R}$. Quando $b=0$, a função $f(x)=ax$ é chamada de função linear. É comum empregar informalmente a expressão “função linear” para toda função afim; aqui manteremos a distinção entre os dois casos.

Uma propriedade característica das funções afins é a constância da taxa de variação. Com efeito, para quaisquer $x$ e $h$,

\[ f(x+h)-f(x)=ah. \]

Se $h\neq 0$, segue que

\[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=a, \]

isto é, a razão entre a variação de $f$ e a variação da variável é sempre a mesma.

A recíproca também é verdadeira. Suponha que exista um número real $a$ tal que

\[ f(x+h)-f(x)=ah \]

para todos os valores de $x$ e $h$. Tomando $x=0$, obtemos

\[ f(h)=ah+f(0). \]

Portanto, com $b=f(0)$, temos necessariamente

\[ f(h)=ah+b. \]

Assim, as funções afins são precisamente as funções cuja taxa de variação é constante.

O coeficiente $b=f(0)$ determina o ponto em que o gráfico intercepta o eixo vertical, enquanto $a$ determina sua inclinação. Da própria fórmula segue que a função é crescente quando $a\gt 0$, decrescente quando $a\lt 0$ e constante quando $a=0$. Se $a\neq 0$, sua imagem é $\mathbb {R}$ e a função é bijetora de $\mathbb {R}$ em $\mathbb {R}$.

Figura 8.1 O coeficiente angular mede a razão Δ y/Δ x. — Figura 8.1 O coeficiente angular mede a razão $\Delta y/\Delta x$.

Dados dois pontos distintos do gráfico, $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$, a função afim fica determinada. Seu coeficiente angular é

\[ a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \]

e então $b=y_1-ax_1$.

A fórmula também pode ser lida no sentido inverso: dois pontos distintos determinam uma única reta não vertical. Eles determinam primeiro sua inclinação e, em seguida, o termo constante. Temos aqui um exemplo simples de passagem entre duas descrições do mesmo objeto: a informação geométrica dos pontos e a expressão algébrica da função.

Exemplo 8.1

A temperatura em graus Fahrenheit depende da temperatura em graus Celsius pela relação

\[ F(C)=\frac95C+32. \]

Interprete os coeficientes e obtenha a conversão inversa.

Solução

A fórmula contém duas informações que convém separar. Primeiro, fazendo $C=0$, obtemos

\[ F(0)=32, \]

de modo que $0\, ^{\circ }\mathrm C$ corresponde a $32\, ^{\circ }\mathrm F$. O termo constante determina, portanto, o ponto em que o gráfico encontra o eixo vertical.

Em seguida, comparemos duas temperaturas que diferem de uma unidade:

\[ F(C+1)-F(C)=\frac95. \]

Assim, um aumento de $1\, ^{\circ }\mathrm C$ corresponde sempre a um aumento de $9/5\, ^{\circ }\mathrm F$. É essa variação constante que aparece no coeficiente angular.

Como $9/5\neq 0$, a função é bijetora de $\mathbb {R}$ em $\mathbb {R}$ e podemos inverter a relação. Isolando $C$ em

\[ F=\frac95C+32, \]

obtemos

\[ C(F)=\frac59(F-32). \]

Por exemplo, $100\, ^{\circ }\mathrm C$ correspondem a $212\, ^{\circ }\mathrm F$, e a fórmula inversa recupera $100$ a partir de $212$.

Em modelos aplicados, o domínio raramente é toda a reta. Se uma empresa cobra uma tarifa fixa de R\$ 4,80 e mais R\$ 2,70 por quilômetro percorrido, o custo é

\[ C(x)=4{,}80+2{,}70x,\qquad x\geq 0. \]

Matematicamente, a expressão faz sentido para todo real; no modelo, porém, distâncias negativas não possuem significado. O termo constante representa o custo inicial, e o coeficiente de $x$ representa o custo marginal por quilômetro.

8.1.1 Equações de retas

Uma função afim descreve o gráfico de toda reta não vertical. Se uma reta passa por $P_0=(x_0,y_0)$ e tem coeficiente angular $m$, então um ponto $(x,y)$ pertence a ela precisamente quando

\[ y-y_0=m(x-x_0). \]

Essa é a forma ponto–inclinação da equação da reta. Desenvolvendo a expressão, recuperamos a forma $y=mx+b$. Em particular, conhecer um ponto e a inclinação determina a reta.

Há, porém, retas que não são gráficos de funções de $x$. A reta vertical que passa por $(a,0)$ tem equação

\[ x=a. \]

Todos os seus pontos têm a mesma abscissa. Se tentássemos calcular sua inclinação usando dois pontos distintos, encontraríamos $\Delta x=0$; a razão $\Delta y/\Delta x$ não estaria definida. Portanto, uma reta vertical não possui coeficiente angular. Isso não significa que sua inclinação seja zero: inclinação zero corresponde a uma reta horizontal.

Uma forma que inclui simultaneamente retas verticais e não verticais é

\[ Ax+By+C=0, \qquad (A,B)\neq (0,0). \]

Se $B\neq 0$, podemos isolar $y$ e obter uma reta de coeficiente angular $-A/B$. Se $B=0$, a equação representa uma reta vertical.

Duas retas não verticais distintas são paralelas quando têm o mesmo coeficiente angular. Duas retas verticais distintas também são paralelas. Já duas retas não verticais, de coeficientes angulares $m_1$ e $m_2$, são perpendiculares quando

\[ m_1m_2=-1. \]

Para justificar essa condição, translade o ponto de interseção para a origem e considere $A=(1,m_1)$ e $B=(1,m_2)$ sobre as duas retas. Pelo Teorema de Pitágoras e sua recíproca, o ângulo em $O=(0,0)$ é reto se, e somente se,

\[ OA^2+OB^2=AB^2. \]

Como

\[ OA^2=1+m_1^2,\qquad OB^2=1+m_2^2,\qquad AB^2=(m_1-m_2)^2, \]

essa igualdade equivale a $m_1m_2=-1$. O caso que a fórmula não alcança deve ser registrado separadamente: toda reta vertical é perpendicular a toda reta horizontal.

Exercício 8.1

Compare as inclinações e determine se as duas retas são paralelas, perpendiculares ou nenhuma das duas coisas.
A primeira passa por $(1,-2)$ e $(-3,-10)$; a segunda, por $(1,5)$ e $(-1,1)$.
A primeira passa por $(4,6)$ e $(4,-2)$; a segunda, por $(-1,5)$ e $(-1,8)$.
A primeira passa por $(-2,5)$ e $(4,2)$; a segunda, por $(-1,-2)$ e $(3,6)$.
A primeira passa por $(-1,-2)$ e $(3,4)$; a segunda, por $(9,-6)$ e $(3,-2)$.

Ver solução

As duas inclinações são $2$; as retas são paralelas.
As duas retas são verticais; portanto, são paralelas.
As inclinações são $-1/2$ e $2$; como o produto é $-1$, as retas são perpendiculares.
As inclinações são $3/2$ e $-2/3$; as retas são perpendiculares.

Exercício 8.2

Determine os parâmetros pedidos.
A reta que passa por $(-1,a)$ e $(3,-1)$ é paralela à reta que passa por $(3,6)$ e $(-5,a+2)$. Determine $a$.
A reta que passa por $(-2,4)$ e $(1,a)$ é perpendicular à reta que passa por $(a+4,8)$ e $(3,-4)$. Determine $a$.
O ponto $(-5,k)$ pertence à reta que passa por $(1,3)$ e é perpendicular a uma reta de coeficiente angular $3$. Determine $k$.
Mostre que o triângulo de vértices $A=(-2,-8)$, $B=(2,2)$ e $C=(-3,4)$ é retângulo e identifique o vértice do ângulo reto.

Ver solução

Igualando as inclinações,

\[ \frac{-1-a}{4}=\frac{a-4}{-8}, \]

obtemos $a=-6$.
As inclinações são $(a-4)/3$ e $12/(a+1)$. Seu produto vale $-1$ quando $a=3$.
A reta procurada tem inclinação $-1/3$. Logo, $(k-3)/(-5-1)=-1/3$, de onde $k=5$.
$m_{AB}=5/2$ e $m_{BC}=-2/5$. Como o produto é $-1$, os lados $AB$ e $BC$ são perpendiculares e o ângulo reto está em $B$.

Exercício 8.3

Considere as retas

\[ r_i:\ a_ix+b_iy+c_i=0,\qquad i=1,2, \]

com $(a_i,b_i)\neq (0,0)$ para cada $i$.
Mostre que elas têm a mesma direção se, e somente se, $a_1b_2-b_1a_2=0$. Explique como distinguir retas paralelas distintas de retas coincidentes.
Mostre que a reta que passa por $(a,0)$ e $(0,b)$, com $a\neq 0$ e $b\neq 0$, pode ser escrita na forma segmentária

\[ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1. \]

Ver solução

Se $b_1b_2\neq 0$, os coeficientes angulares são $-a_1/b_1$ e $-a_2/b_2$, que são iguais exatamente quando $a_1b_2-b_1a_2=0$. Se algum $b_i$ é zero, essa mesma igualdade força o outro a ser zero, e as duas retas são verticais. Quando têm a mesma direção, existe $\lambda \neq 0$ tal que $a_2=\lambda a_1$ e $b_2=\lambda b_1$; elas coincidem precisamente quando também $c_2=\lambda c_1$. Caso contrário, são paralelas distintas.
A expressão proposta é equivalente a $bx+ay=ab$. Ela é satisfeita por $(a,0)$ e $(0,b)$ e representa uma reta; como dois pontos distintos determinam uma única reta, é a equação procurada.

Exercício 8.4

Interprete o coeficiente angular em duas aplicações.
Um avião voa em linha reta com inclinação $0{,}22$. Se ele ganha $1000$ pés de altitude, qual é a distância horizontal percorrida?
Uma treliça de ponte tem nós

\[ \begin{gathered} O=(0,0),\quad D=(1{,}75,3),\\ A=(3{,}5,0),\quad C=(6,3),\\ B=(9{,}5,0). \end{gathered} \]

Determine as equações das retas que contêm as barras $OD$, $AD$, $AC$ e $BC$. A ilustração é esquemática; use as coordenadas fornecidas.

Ver solução

Se $d$ é a distância horizontal, então $1000/d=0{,}22$. Logo,

\[ d=\frac{1000}{0{,}22}=\frac{50000}{11}\approx 4545\ \text{pés}. \]
Calculando a inclinação de cada barra e usando um de seus extremos, obtemos

\[ OD:\ y=\frac{12}{7}x, \qquad AD:\ y=-\frac{12}{7}x+6, \]

\[ AC:\ y=\frac65x-\frac{21}{5}, \qquad BC:\ y=-\frac67x+\frac{57}{7}. \]

8.2 Função módulo e definições por partes

O valor absoluto, introduzido como distância até a origem, também define uma função:

\[ m(x)=|x|= \begin{cases} -x,& x\lt 0,\\ x,& x\geq 0. \end{cases} \]

A função módulo é também o primeiro exemplo importante de uma função definida por partes. Essa notação não cria várias funções: ela apresenta uma única regra cuja expressão depende da região do domínio. Os intervalos devem cobrir todo o domínio pretendido, e as condições nas fronteiras precisam indicar sem ambiguidade qual expressão deve ser usada. Em um ponto de fronteira, o ramo cuja condição contém a igualdade determina o valor da função; no gráfico, é esse ramo que fornece o ponto preenchido.

Seu domínio é $\mathbb {R}$ e sua imagem é $[0,+\infty )$. A função decresce em $(-\infty ,0]$, cresce em $[0,+\infty )$ e não é injetora em $\mathbb {R}$, pois $m(x)=m(-x)$. O gráfico é obtido refletindo para cima a parte negativa da reta $y=x$.

As transformações estudadas anteriormente permitem ler a família

\[ g(x)=a|x-h|+k,\qquad a\neq 0. \]

O ponto $(h,k)$ é o vértice do gráfico e a reta $x=h$ é seu eixo de simetria. Quando $a\gt 0$, a imagem é $[k,+\infty )$; quando $a\lt 0$, é $(-\infty ,k]$. O valor $|a|$ controla a escala vertical.

Figura 8.2 Translação e mudança de escala da função módulo.

Exemplo 8.2

Uma peça deve medir $12\, \mathrm{mm}$, com tolerância de $0{,}05\, \mathrm{mm}$. Expresse a condição de aceitação usando módulo e determine os comprimentos admissíveis.

Solução

Se $x$ é o comprimento medido, seu erro absoluto em relação a $12$ é $|x-12|$. A peça é aceita quando

\[ |x-12|\leq 0{,}05. \]

Essa desigualdade afirma que a distância de $x$ a $12$ não ultrapassa $0{,}05$. Portanto,

\[ 11{,}95\leq x\leq 12{,}05. \]

O módulo e o intervalo são duas maneiras de registrar a mesma condição.

O mesmo princípio transforma posição em distância. Se a posição de uma partícula numa reta é $s(t)=2t-6$, sua distância até a origem é

\[ d(t)=|s(t)|=|2t-6|,\qquad t\geq 0. \]

A partícula aproxima-se da origem até $t=3$ e afasta-se depois desse instante. A mudança de comportamento corresponde ao vértice do gráfico de $d$.

Exercício 8.5

A tarifa de um estacionamento é $R\$ \, 6{,}00$ na entrada e $R\$ \, 3{,}50$ por hora iniciada, até o limite diário de $R\$ \, 34{,}00$. Modele o preço por uma função definida por partes e faça um esboço compatível com a cobrança por hora iniciada.

Ver solução

Se $t$ é o tempo de permanência em horas, um modelo para um período diário é

\[ P(t)= \begin{cases} 6, & t=0,\\ 6+3{,}5n, & n-1\lt t\leq n,\quad n=1,\ldots ,7,\\ 34, & 7\lt t\leq 24. \end{cases} \]

O gráfico é uma função em degraus e atinge o teto de $R\$ \, 34{,}00$ quando se inicia a oitava hora.

8.3 Funções quadráticas

Definição 8.2

Uma função quadrática é uma função da forma

\[ f(x)=ax^2+bx+c, \]

em que $a,b,c\in \mathbb {R}$ e $a\neq 0$.

Seu gráfico é uma parábola. A forma canônica permite obter diretamente da expressão algébrica o vértice, o eixo de simetria e a imagem. Para obtê-la, completamos o quadrado:

\begin{align*} f(x) & =a\left(x^2+\frac ba x\right)+c\\ & =a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\\ & =a(x-h)^2+k, \end{align*}

onde

\[ h=-\frac{b}{2a},\qquad k=f(h)=c-\frac{b^2}{4a}=-\frac{\Delta }{4a}, \qquad \Delta =b^2-4ac. \]

A forma $a(x-h)^2+k$ é chamada de forma canônica. Ela mostra que o vértice da parábola é $(h,k)$ e que $x=h$ é seu eixo de simetria.

Se $a\gt 0$, a parábola tem concavidade voltada para cima, $k$ é seu valor mínimo e $\operatorname {Im}f=[k,+\infty )$. Se $a\lt 0$, a concavidade é voltada para baixo, $k$ é o valor máximo e $\operatorname {Im}f=(-\infty ,k]$. A simetria também mostra que a monotonicidade muda no vértice.

Figura 8.3 A forma canônica torna visíveis o vértice e o eixo de simetria.

As três formas mais úteis de uma função quadrática destacam informações diferentes:

\[ \underbrace{ax^2+bx+c}_{\text{forma geral}},\qquad \underbrace{a(x-h)^2+k}_{\text{forma canônica}},\qquad \underbrace{a(x-r_1)(x-r_2)}_{\text{forma fatorada, quando há raízes reais}}. \]

A forma geral exibe $f(0)=c$; a canônica, o vértice; a fatorada, as interseções reais com o eixo horizontal. Estas são duas se $\Delta \gt 0$, uma se $\Delta =0$ e nenhuma se $\Delta \lt 0$.

As três formas descrevem a mesma função, mas tornam visíveis informações diferentes. Por isso, em vez de eleger uma delas como forma preferencial, convém escolher a representação de acordo com a pergunta que queremos responder.

Quando há duas raízes reais $r_1$ e $r_2$, o eixo de simetria passa pelo ponto médio entre elas. Portanto,

\[ h=\frac{r_1+r_2}{2}. \]

Assim, se as raízes já são conhecidas, encontramos a abscissa do vértice sem memorizar uma fórmula adicional. Quando as raízes não são conhecidas, completar o quadrado continua sendo o caminho mais direto para localizar o vértice.

Exemplo 8.3

A altura, em metros, de um objeto lançado verticalmente é modelada por

\[ h(t)=2+12t-5t^2, \]

onde $t$ é medido em segundos. Determine a altura máxima e discuta o domínio fisicamente relevante.

Solução

Completando o quadrado,

\[ h(t)=-5(t-1{,}2)^2+9{,}2. \]

Como o coeficiente do termo quadrático é negativo, o vértice fornece o valor máximo. O objeto atinge $9{,}2\, \mathrm m$ no instante $t=1{,}2\, \mathrm s$.

A fórmula algébrica está definida para todo $t\in \mathbb {R}$, mas o modelo começa no lançamento, em $t=0$, e termina quando o objeto alcança o solo. A raiz positiva de $h(t)=0$ é

\[ t=\frac{6+\sqrt{46}}5\approx 2{,}56. \]

Assim, o domínio físico é aproximadamente $[0,2{,}56]$. Valores anteriores ao lançamento ou posteriores ao impacto pertencem à parábola matemática, não ao fenômeno modelado.

Exemplo 8.4 (Cercando uma área)

A proprietária do Rancho Los Feliz dispõe de $3000$ jardas de cerca para cercar um pasto retangular junto a um trecho retilíneo da margem de um rio. Não é necessário construir uma cerca ao longo do rio. Seja $x$ a largura do retângulo, perpendicular à margem. Encontre uma função $f$ da variável $x$ que forneça a área do pasto, supondo que toda a cerca seja utilizada.

Solução

Se $y$ é o comprimento do lado paralelo ao rio, a cerca é usada nos dois lados de largura $x$ e no lado de comprimento $y$. Portanto,

\[ 2x+y=3000, \qquad \text{isto é,}\qquad y=3000-2x. \]

Como a área do retângulo é $xy$, obtemos

\[ f(x)=x(3000-2x)=-2x^2+3000x, \qquad 0\lt x\lt 1500. \]

O intervalo indicado garante que as duas dimensões do pasto sejam positivas.

Exercício 8.6

Retome as funções afins, modulares e quadráticas.
Determine a função afim cujo gráfico passa por $(1,3)$ e $(4,9)$.
A temperatura de um líquido é $T(t)=20+3t$, com $t$ em minutos e $T$ em graus Celsius. Interprete o coeficiente angular.
Duas funções têm vértice $(2,-1)$: uma é da forma $m(x)=a|x-2|-1$ e a outra, $q(x)=a(x-2)^2-1$. Determine $a$ em cada caso se o gráfico também passa por $(4,7)$.

Ver solução

O coeficiente angular é $(9-3)/(4-1)=2$; logo, $f(x)=2x+1$.
A temperatura aumenta $3\, ^{\circ }\mathrm C$ por minuto; $20$ é a temperatura inicial.
Para a função modular, $7=2a-1$, de modo que $a=4$. Para a quadrática, $7=4a-1$, de modo que $a=2$.

Exercício 8.7

Considere a função afim $f(x)=-3x+7$.
Calcule $f(-2)$.
Determine o zero de $f$.
Resolva $f(x)=16$.
Determine a função inversa de $f$.
Resolva a inequação $f(x)\geq 1$.

Ver solução

$f(-2)=13$.
$-3x+7=0$ fornece $x=7/3$.
$-3x+7=16$ fornece $x=-3$.
Isolando $x$ em $y=-3x+7$, obtemos $x=(7-y)/3$; logo, $f^{-1}(x)=(7-x)/3$.
$-3x+7\geq 1$ equivale a $x\leq 2$.

Exercício 8.8

Determine a função afim cujo gráfico passa pelos pontos $(-2,5)$ e $(4,-7)$. Em seguida, determine sua interseção com cada eixo coordenado.

Ver solução

O coeficiente angular é

\[ a=\frac{-7-5}{4-(-2)}=-2. \]

Usando $5=-2(-2)+b$, obtemos $b=1$ e, portanto, $f(x)=-2x+1$. A interseção com o eixo $y$ é $(0,1)$; a interseção com o eixo $x$ é $(1/2,0)$.

Exercício 8.9

Para $g(x)=2|x+1|-3$:
escreva $g$ como função definida por partes;
determine o vértice, o eixo de simetria e a imagem;
encontre os zeros;
resolva $g(x)\leq 1$.

Ver solução

\[ g(x)= \begin{cases} -2x-5,& x\lt -1,\\ 2x-1,& x\geq -1. \end{cases} \]
O vértice é $(-1,-3)$, o eixo de simetria é $x=-1$ e $\operatorname {Im}g=[-3,+\infty )$.
$2|x+1|-3=0$ equivale a $|x+1|=3/2$; logo, $x=-5/2$ ou $x=1/2$.
$2|x+1|-3\leq 1$ equivale a $|x+1|\leq 2$; portanto, $-3\leq x\leq 1$.

Exercício 8.10

Considere $q(x)=-2x^2+8x-5$.
Escreva $q$ na forma canônica.
Determine o vértice, o eixo de simetria e a imagem.
Encontre os zeros de $q$.
Resolva $q(x)\geq 0$.

Ver solução

$q(x)=-2(x-2)^2+3$.
O vértice é $(2,3)$, o eixo de simetria é $x=2$ e $\operatorname {Im}q=(-\infty ,3]$.
De $(x-2)^2=3/2$, obtemos $x=2\pm \sqrt6/2$.
Como a parábola tem concavidade voltada para baixo,

\[ 2-\frac{\sqrt6}{2}\leq x\leq 2+\frac{\sqrt6}{2}. \]

Exercício 8.11

Duas empresas de transporte cobram, para uma viagem de $x$ quilômetros,

\[ \begin{aligned} A(x)& =18+1{,}40x,\\ B(x)& =6+1{,}90x,\qquad x\geq 0, \end{aligned} \]

com os valores em reais.
Interprete os coeficientes de cada função.
Para qual distância os preços são iguais?
Em quais distâncias cada empresa é mais econômica?
Compare os preços para uma viagem de $40\, \mathrm{km}$.

Ver solução

Os termos $18$ e $6$ são as tarifas fixas; $1{,}40$ e $1{,}90$ são os preços por quilômetro.
$18+1{,}40x=6+1{,}90x$ fornece $x=24\, \mathrm{km}$.
Para $0\leq x\lt 24$, a empresa B é mais econômica; para $x\gt 24$, a empresa A é mais econômica. Em $x=24$, os preços coincidem.
$A(40)=\text{R}\$ \, 74{,}00$ e $B(40)=\text{R}\$ \, 82{,}00$.

Exercício 8.12

Uma sala de espetáculos comporta $600$ pessoas. Ao preço de $p$ reais, estima-se uma procura de $600-20p$ ingressos, com $0\leq p\leq 30$. Admita que todos os ingressos procurados sejam vendidos.
Escreva a receita $R(p)$.
Determine o preço que maximiza a receita e o número correspondente de ingressos vendidos.
Interprete os zeros do modelo.

Ver solução

$R(p)=p(600-20p)=-20p^2+600p$.
$R(p)=-20(p-15)^2+4500$; portanto, a receita máxima é $\text{R}\$ \, 4500{,}00$, obtida com $p=\text{R}\$ \, 15{,}00$ e venda de $300$ ingressos.
Em $p=0$, há procura, mas os ingressos são gratuitos; em $p=30$, o modelo prevê procura nula. Nos dois casos, a receita é zero.

Exercício 8.13

A altura, em metros, de um drone que decola do telhado é modelada por $h(t)=12+4t-t^2$ durante os quatro primeiros segundos. Determine o domínio físico, a imagem nesse intervalo, o instante de maior altura e os instantes em que $h(t)=15$.

Ver solução

O domínio físico é $[0,4]$ e a imagem é $[12,16]$. A altura máxima, $16\, \mathrm m$, ocorre em $t=2$ s. A equação $h(t)=15$ tem as soluções $t=1$ s e $t=3$ s.

8.4 Funções potência e raiz

Para $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 1$, a função potência de expoente $n$ é

\[ p_n(x)=x^n. \]

A distinção entre expoentes pares e ímpares decorre diretamente da igualdade

\[ p_n(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n. \]

Se $n$ é par, então $p_n(-x)=p_n(x)$. A função é, portanto, par e seus valores são não negativos. Além disso, para $0\leq x\lt y$,

\[ y^n-x^n=(y-x)(y^{n-1}+y^{n-2}x+\cdots +x^{n-1})\gt 0. \]

Logo, $p_n$ cresce em $[0,+\infty )$ e, pela simetria, decresce em $(-\infty ,0]$. Recordemos ainda que todo número real não negativo possui uma raiz $n$-ésima não negativa. Portanto, todo valor de $[0,+\infty )$ é atingido por $p_n$, e

\[ \operatorname {Im}p_n=[0,+\infty ). \]

Se $n$ é ímpar, então $p_n(-x)=-p_n(x)$, de modo que $p_n$ é ímpar. Para $x\lt y$ de mesmo sinal, a mesma fatoração mostra que $x^n\lt y^n$; se $x\lt 0\lt y$, a desigualdade é imediata. Portanto, $p_n$ é estritamente crescente em toda a reta. Se $y\gt 0$, a existência da raiz $n$-ésima fornece um único $x\gt 0$ tal que $x^n=y$. Para $y\lt 0$, aplicamos o mesmo fato a $-y$ e usamos a paridade ímpar para obter uma única solução negativa. O valor $0$ é atingido em $x=0$. Assim,

\[ \operatorname {Im}p_n=\mathbb {R}, \]

e $p_n$ é bijetora de $\mathbb {R}$ em $\mathbb {R}$.

Essas mesmas propriedades determinam o aspecto global dos gráficos. Para expoentes pares, os dois extremos apontam para cima e o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical. Para expoentes ímpares, o extremo esquerdo aponta para baixo, o direito para cima, e o gráfico é simétrico em relação à origem.

As figuras comparam alguns representantes de cada caso.

Ilustração: Funções potência e raiz

Figura 8.4 Comparação das potências $x^n$ para expoentes pares.

Ilustração: Funções potência e raiz

Figura 8.5 Comparação das potências $x^n$ para expoentes ímpares.

As funções raiz aparecem como inversas dessas potências. Para entender a restrição necessária quando $n$ é par, considere primeiro $x\mapsto x^2$ em $\mathbb {R}$. Uma saída positiva não determina uma entrada única: por exemplo, $2^2=(-2)^2=4$. Portanto, essa função não é injetora e não pode ser invertida em toda a reta.

Ao restringirmos o domínio a $[0,+\infty )$, cada valor não negativo passa a ter uma única origem. A função $x\mapsto x^n$, para $n$ par, torna-se então uma bijeção de $[0,+\infty )$ em $[0,+\infty )$, cuja inversa é

\[ r_n(x)=\sqrt[n]{x},\qquad x\geq 0. \]

Para $n$ ímpar, a potência já é estritamente crescente e bijetora de $\mathbb {R}$ em $\mathbb {R}$, de modo que nenhuma restrição é necessária. Nesse caso, $r_n(x)=\sqrt[n]{x}$ está definida para todo real. Em ambos os casos, os gráficos da potência restringida e da raiz correspondente são simétricos em relação à reta $y=x$.

No caso da raiz quadrada, essa simetria dá uma leitura direta do gráfico de $y=\sqrt{x}$: ele é o reflexo, em relação à reta $y=x$, do ramo da parábola $y=x^2$ correspondente a $x\geq 0$. Por isso o gráfico começa em $(0,0)$, fica na região $x\geq 0$, $y\geq 0$, passa por pontos como $(1,1)$, $(4,2)$ e $(9,3)$ e é crescente em todo o seu domínio. À medida que $x$ aumenta, são necessários acréscimos cada vez maiores em $x$ para produzir o mesmo acréscimo em $\sqrt{x}$; geometricamente, o gráfico vai se tornando mais horizontal.

A raiz desfaz a potência com o domínio correto

Para todo $x\in \mathbb {R}$,

\[ \sqrt{x^2}=|x|, \]

e não necessariamente $x$. Já $(\sqrt{x})^2=x$ para $x\geq 0$. A diferença vem do fato de que a raiz quadrada representa sempre a raiz não negativa.

Exemplo 8.5

A função

\[ g(x)=\sqrt{x-2}+1 \]

é construída em duas etapas a partir de $y=\sqrt{x}$:

$y=\sqrt{x}$ Ilustração: Funções potência e raiz

$y=\sqrt{x-2}$ Ilustração: Funções potência e raiz

$y=\sqrt{x-2}+1$

Primeiro, a troca de $x$ por $x-2$ desloca o gráfico duas unidades para a direita e leva o ponto inicial de $(0,0)$ a $(2,0)$. Depois, a soma de $1$ desloca o gráfico uma unidade para cima e leva esse ponto a $(2,1)$. Assim, o domínio de $g$ é $[2,+\infty )$ e sua imagem é $[1,+\infty )$.

Exercício 8.14

Retome as funções potência e raiz.
Determine o domínio e a imagem de $p(x)=x^4$ e de $r(x)=\sqrt[3]{x}$.
Para $h(x)=\sqrt{x+1}-2$, determine o domínio, a imagem e o zero. Descreva as translações a partir de $y=\sqrt x$.
Restrinja $p(x)=x^4$ ao domínio $[0,+\infty )$ e tome sua imagem como contradomínio. Determine a inversa e seu domínio.

Ver solução

Ambas têm domínio $\mathbb {R}$. A imagem de $p$ é $[0,+\infty )$ e a de $r$ é $\mathbb {R}$.
O domínio é $[-1,+\infty )$ e a imagem é $[-2,+\infty )$. De $\sqrt{x+1}=2$, obtemos $x=3$. O gráfico de $\sqrt x$ é deslocado uma unidade para a esquerda e duas para baixo.
A função restrita é uma bijeção de $[0,+\infty )$ em si mesmo. Sua inversa é $y\mapsto \sqrt[4]{y}$, com domínio $[0,+\infty )$.

Exercício 8.15

Em estudos de alometria, uma relação aproximada entre a massa corporal $M$ de um animal e sua taxa metabólica $B$ é

\[ B(M)=B_0M^{3/4}, \]

em que $B_0\gt 0$ é uma constante. Compare $B(16M)$ com $B(M)$ e compare também as taxas metabólicas por unidade de massa, $B(16M)/(16M)$ e $B(M)/M$.

Ver solução

Como $16^{3/4}=8$,

\[ B(16M)=B_0(16M)^{3/4}=8B(M). \]

Por outro lado, $B(M)/M=B_0M^{-1/4}$. Portanto,

\[ \frac{B(16M)}{16M}=\frac12\frac{B(M)}{M}. \]

Nesse modelo, o animal de massa dezesseis vezes maior tem taxa metabólica total oito vezes maior, mas taxa por unidade de massa duas vezes menor.

Exercício 8.16

Determine o domínio natural e a imagem de

\[ f(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}. \]

Justifique algebricamente sua resposta.

Ver solução

O quociente deve ser não negativo e $x\neq 3$, de modo que

\[ \operatorname {Dom}f=(-\infty ,-2]\cup (3,\infty ). \]

Se $y=f(x)$, então $y\geq 0$ e $y^2=(x+2)/(x-3)$. O valor $y=1$ é impossível; todos os demais valores não negativos ocorrem. Assim, $\operatorname {Im}f=[0,1)\cup (1,\infty )$.

8.5 Funções polinomiais

As funções afins e quadráticas são os primeiros casos de uma família mais ampla. Polinômios são construídos por somas de potências inteiras não negativas e, por isso, estão definidos em toda a reta real.

As funções polinomiais são as funções da forma

\[ P(x)=c_0 +c _1 x + c_2 x^{2} + \cdots + c_n x^{n} \]

em que $c_0,c_1,\dots ,c_n$ são números reais chamados coeficientes do polinômio; $n\in \mathbb {N}$ é um número natural que, se $c_n\neq 0$, é chamado de grau do polinômio. As funções polinomiais possuem como domínio natural de definição a totalidade de $\mathbb {R}$ ainda que frequentemente nos interessará estudar uma função polinomial em um intervalo. A soma, o produto e a composição de funções polinomiais continuam sendo polinomiais. O quociente será estudado separadamente, pois os zeros do denominador introduzem restrições no domínio.

Antes de desenhar um gráfico polinomial, há duas informações que podem ser lidas diretamente na expressão. A primeira vem do termo de maior grau. Se

\[ P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_0, \qquad c_n\ne 0, \]

então, para $x\ne 0$, podemos escrever

\[ P(x)=c_nx^n\left(1+ \frac{c_{n-1}}{c_n}\frac1x+ \frac{c_{n-2}}{c_n}\frac1{x^2}+\cdots + \frac{c_0}{c_n}\frac1{x^n}\right). \]

Quando $|x|$ é grande, os termos que contêm $1/x,\ldots ,1/x^n$ tornam-se pequenos. O comportamento das extremidades do gráfico é, portanto, governado pelo termo $c_nx^n$. Assim, a paridade de $n$ determina se os dois extremos apontam no mesmo sentido ou em sentidos opostos, enquanto o sinal de $c_n$ determina qual desses sentidos é para cima. Essa descrição permite antecipar a forma das extremidades do gráfico antes de conhecermos seus demais detalhes.

A segunda informação vem dos zeros. Um número real $r$ é um zero, ou uma raiz, de $P$ quando $P(r)=0$. A relação entre raízes e fatores é expressa pelo resultado seguinte.

Proposição 8.1 (Teorema do fator)

O número $r$ é raiz de $P$ se, e somente se, $P(x)$ é divisível por $x-r$.

Demonstração ▼

Dividindo $P(x)$ por $x-r$, obtemos

\[ P(x)=(x-r)Q(x)+s, \]

onde o resto $s$ é constante. Substituindo $x=r$, encontramos $P(r)=s$. Logo, o resto é zero exatamente quando $r$ é raiz.

\[ P(x)=(x-r)^mQ(x),\qquad Q(r)\ne 0, \]

dizemos que $r$ é uma raiz de multiplicidade $m$. Uma raiz de multiplicidade ímpar faz o sinal do polinômio mudar quando atravessamos $r$; geometricamente, o gráfico cruza o eixo horizontal. Em uma raiz de multiplicidade par, o sinal não muda e o gráfico apenas toca esse eixo.

A diferença entre os dois casos pode ser entendida olhando para o fator $(x-r)^m$: potências ímpares trocam de sinal ao atravessar $r$, enquanto potências pares não. O fator $Q(r)\neq 0$ não altera essa distinção local.

As funções polinomiais de grau $1$ ou $2$ têm gráficos conhecidos: retas, no primeiro caso, parábolas no segundo. Em graus maiores, o termo dominante, as raízes, suas multiplicidades e a interseção $(0,c_0)$ fornecem uma espécie de esqueleto do gráfico. Esse esqueleto não determina, por si só, todos os máximos, mínimos ou mudanças de concavidade, mas já restringe bastante as formas possíveis.

As três funções a seguir mostram como polinômios do mesmo grau podem ter comportamentos diferentes e como parte dessa diferença pode ser lida diretamente de suas fatorações.

Ilustração: Funções polinomiais

Figura 8.6 Comportamentos possíveis de funções polinomiais de quarto grau.

Nos três casos, o grau é par e o coeficiente dominante é positivo; por isso, os dois extremos dos gráficos apontam para cima. Vamos reconstruir o esboço de um deles usando as informações da expressão.

Exemplo 8.6

Descreva o esboço geral de $P(x)=x^4-2x^2$ usando fatoração, simetria e análise de sinal.

Solução

O domínio é $\mathbb {R}$. Fatorando,

\[ P(x)=x^2(x^2-2)=x^2(x-\sqrt2)(x+\sqrt2). \]

As raízes $-\sqrt2$ e $\sqrt2$ são simples; a raiz $0$ tem multiplicidade $2$ e fornece também a interseção com o eixo vertical. Fora de $0$, o fator $x^2$ é positivo. Assim, $P(x)\gt 0$ quando $|x|\gt \sqrt2$ e $P(x)\lt 0$ quando $0\lt |x|\lt \sqrt2$.

O gráfico, portanto, atravessa o eixo horizontal em $\pm \sqrt2$ e o toca em $0$, permanecendo abaixo dele nos dois lados próximos da origem. Como $P(-x)=P(x)$, há simetria em relação ao eixo vertical. Por fim, o termo $x^4$ faz os dois extremos apontarem para cima. Essas informações explicam o esboço da figura; não localizam, por si sós, todos os seus máximos e mínimos.

O primeiro polinômio da figura,

\[ x^4+2x^2=x^2(x^2+2), \]

tem como única raiz real $0$, com multiplicidade $2$; já

\[ x^4-2x^2+x=x(x-1)(x^2+x-1) \]

possui quatro raízes reais simples; por isso, atravessa o eixo em cada uma delas. A fatoração explica boa parte da diferença entre os três desenhos.

Exercício 8.17

Use a fatoração para descrever o esboço geral.
Para $P(x)=-(x+1)^2(x-2)$, determine o grau, as raízes e suas multiplicidades, $P(0)$ e o sentido dos dois extremos do gráfico. Em qual raiz o gráfico cruza o eixo horizontal?
Fatore $Q(x)=x^3-4x$. Encontre os zeros, determine o sinal entre eles e descreva a simetria e os extremos do gráfico.

Ver solução

O grau é $3$. As raízes são $-1$, de multiplicidade $2$, e $2$, simples. Temos $P(0)=2$. O extremo esquerdo aponta para cima e o direito, para baixo. O gráfico toca o eixo em $-1$ e o cruza em $2$.
$Q(x)=x(x-2)(x+2)$, com raízes simples $-2$, $0$ e $2$. O sinal é negativo em $(-\infty ,-2)$ e $(0,2)$, e positivo em $(-2,0)$ e $(2,+\infty )$. A função é ímpar: seu gráfico é simétrico em relação à origem. O extremo esquerdo aponta para baixo e o direito, para cima.

8.6 Funções racionais

Uma função racional é um quociente

\[ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}, \]

em que $p$ e $q$ são polinômios e $q$ não é identicamente nulo. ²¹ Seu domínio natural exclui precisamente os zeros reais do denominador. Se $Z(q)=\{ x\in \mathbb {R}:q(x)=0\} $, então

\[ \operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\setminus Z(q). \]

São exemplos de funções racionais

\[ \frac{x^2-x+3}{x^4+x^3-2x-1}, \qquad \frac{3}{x^2}, \qquad \frac{5x^5-3x^3+x}{x^4}. \]

A fatoração de $p$ e $q$ fornece as primeiras informações sobre o gráfico. Um zero do numerador que não anule o denominador é um zero da função. Um zero do denominador, por sua vez, não pertence ao domínio. Se o mesmo fator ocorre no numerador e no denominador, o cancelamento simplifica a expressão, mas não restitui o ponto excluído. Se um fator permanece no denominador após a simplificação, os valores da função podem crescer em módulo nas proximidades de sua raiz.

Zeros, pontos ausentes e assíntotas verticais podem, portanto, ser estudados a partir da fatoração do numerador e do denominador.

Pontos excluídos e comportamento lateral

A determinação do domínio deve preceder a construção do gráfico. Considere

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Como $x^2-1=(x-1)(x+1)$, temos $f(x)=x+1$ sempre que $x\neq 1$. O cancelamento simplifica a expressão, mas não devolve ao domínio o ponto que foi excluído: em $x=1$, a expressão original continua sem sentido. Assim, o gráfico é a reta $y=x+1$ com um ponto ausente em $(1,2)$.

Ilustração: Pontos excluídos e comportamento lateral

Figura 8.7 Um buraco removível: o valor ausente é indicado pelo círculo vazio.

Quando $x$ assume valores cada vez mais próximos de $1$, tanto pela esquerda quanto pela direita, $f(x)$ assume valores cada vez mais próximos de $2$. Embora o valor $f(1)$ não esteja definido, o comportamento do gráfico nas proximidades desse ponto sugere naturalmente o valor que o completaria. O buraco é chamado removível porque bastaria definir $f(1)=2$ para completá-lo.

Nem todo ponto excluído produz um buraco removível. Os gráficos de funções racionais podem ter formas globais muito diferentes. Um comportamento recorrente já aparece na função $f(x)=1/x$:

Ilustração: Pontos excluídos e comportamento lateral

Figura 8.8 Comportamento típico de uma função racional.

O gráfico é uma hipérbole equilátera com centro na origem. Quando $x$ se aproxima de $0$ pela direita, $1/x$ cresce sem limite; pela esquerda, decresce sem limite. Os dois ramos ficam cada vez mais próximos da reta vertical $x=0$. Já quando $|x|$ cresce, os valores de $1/x$ se aproximam de $0$, e o gráfico se aproxima da reta horizontal $y=0$.

Chamamos $x=0$ de assíntota vertical e $y=0$ de assíntota horizontal. Aqui usamos “aproximar-se” em seu sentido geométrico intuitivo: interessa observar como os valores se comportam quando tomamos pontos cada vez mais próximos ou cada vez mais afastados. Outras funções racionais podem possuir assíntotas oblíquas, isto é, retas que não são verticais nem horizontais.

O sinal também importa. Em $x=1$, por exemplo, as funções

\[ f(x)=\frac{1}{x-1}\qquad \text{e}\qquad g(x)=-\frac{1}{x-1} \]

não apresentam o mesmo comportamento dos dois lados: de um lado os valores crescem sem limite e, do outro, decrescem sem limite. A troca de sinal inverte os dois comportamentos. Para $f$, o denominador é negativo à esquerda de $1$ e positivo à direita: por exemplo, $f(0{,}9)=-10$ e $f(1{,}1)=10$. Ao aproximarmos ainda mais $x$ de $1$, o módulo desses valores aumenta sem limite, mantendo o sinal correspondente a cada lado. Para $g$, os sinais são trocados.

Ilustração: Pontos excluídos e comportamento lateral

Figura 8.9 Comportamentos laterais invertidos pela troca de sinal.

Já em $1/(x-1)^2$, os valores crescem sem limite dos dois lados de $1$. Também aqui não há aproximação a um valor real finito, mas o comportamento é o mesmo dos dois lados. Esses exemplos mostram por que é necessário dizer por qual lado $x$ se aproxima do ponto.

Esboço de gráficos racionais

Os gráficos de funções racionais podem apresentar formas bastante distintas. Ainda assim, algumas informações organizam seu esboço:

Quais pontos são excluídos do domínio por anularem o denominador?
Após cancelar os fatores comuns, quais pontos excluídos correspondem a buracos e quais correspondem a assíntotas verticais?
Onde estão as interseções com os eixos?
Em quais intervalos a função é positiva ou negativa?
O que acontece quando $x$ assume valores positivos ou negativos de módulo muito grande?

Exemplo 8.7

Use o roteiro para esboçar o gráfico de $f(x)=x/(x+1)$.

Solução

O denominador se anula apenas em $-1$, de modo que o domínio é $\mathbb {R}\setminus \{ -1\} $. Não há fator comum para cancelar e não há buraco removível. Reescrevemos a função como

\[ f(x)=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}. \]

A segunda forma mostra como obter seu gráfico a partir de $y=1/x$: uma translação de uma unidade para a esquerda, seguida de uma reflexão no eixo $x$ e de uma translação de uma unidade para cima.

Ilustração: Esboço de gráficos racionais

Figura 8.10 Gráfico de $f(x)=x/(x+1)$ e suas assíntotas.

O gráfico passa pela origem, sua única interseção com os eixos, e as retas $x=-1$ e $y=1$ são suas assíntotas. Comparando os sinais de $x$ e $x+1$, obtemos $f(x)\gt 0$ em $(-\infty ,-1)$ e $(0,+\infty )$, enquanto $f(x)\lt 0$ em $(-1,0)$.

Pela forma $1-1/(x+1)$, quando $x$ se aproxima de $-1$ pela esquerda, $f(x)$ cresce sem limite; pela direita, decresce sem limite. Quando $x$ se afasta muito da origem, $1/(x+1)$ fica próximo de zero. Assim, $f(x)$ se aproxima de $1$, por valores maiores que $1$ à esquerda e menores que $1$ à direita. O esboço reúne essas informações.

O comportamento distante também pode ser lido algebricamente. Se o grau do numerador é menor que o do denominador, o quociente se aproxima de $0$ para valores de $|x|$ muito grandes. Se os graus são iguais, ele se aproxima da razão entre os coeficientes dominantes. Quando o grau do numerador é uma unidade maior, a divisão polinomial revela uma assíntota oblíqua. Mais geralmente, essa divisão separa uma parte polinomial de uma fração que se torna pequena quando $|x|$ cresce.

Por exemplo,

\[ \frac{x^2+1}{x^2-1}=1+\frac{2}{x^2-1}. \]

O domínio exclui $-1$ e $1$, que produzem assíntotas verticais. Para valores de $|x|$ muito grandes, a segunda parcela fica próxima de $0$; por isso, o gráfico se aproxima de $y=1$. A determinação completa do gráfico não é necessária para essa análise. Domínio, fatoração e divisão algébrica já fornecem uma parte considerável de sua forma global.

Exemplo 8.8 (Duas assíntotas verticais e comportamento no infinito)

Estude os elementos principais do gráfico de

\[ f(x)=\frac{2x+1}{x^2-4}. \]

Determine o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas e o sinal da função.

Solução

Começamos pelo denominador:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]

Não há fatores comuns com o numerador. Portanto,

\[ \operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\setminus \{ -2,2\} , \]

e os dois pontos excluídos produzem candidatos a assíntotas verticais. Como o numerador vale $-3$ em $x=-2$ e $5$ em $x=2$, não ocorre cancelamento; assim,

\[ x=-2 \qquad \text{e}\qquad x=2 \]

são assíntotas verticais.

A interseção com o eixo horizontal é obtida anulando o numerador:

\[ 2x+1=0, \]

de modo que o gráfico cruza o eixo $x$ em $(-1/2,0)$. Para $x=0$,

\[ f(0)=-\frac14, \]

e portanto $(0,-1/4)$ é a interseção com o eixo vertical.

Para estudar o sinal, usamos os três pontos em que numerador ou denominador mudam de sinal:

\[ -2,\qquad -\frac12,\qquad 2. \]

Da comparação dos fatores $2x+1$, $x-2$ e $x+2$, obtemos

\[ f(x)\lt 0 \quad \text{em}\quad (-\infty ,-2)\cup \left(-\frac12,2\right) \]

\[ f(x)\gt 0 \quad \text{em}\quad \left(-2,-\frac12\right)\cup (2,+\infty ). \]

Esse quadro de sinais também esclarece o comportamento junto às assíntotas. Perto de $x=-2$, os valores decrescem sem limite pela esquerda e crescem sem limite pela direita. Perto de $x=2$, decrescem sem limite pela esquerda e crescem sem limite pela direita.

Resta observar o que acontece longe da origem. O denominador tem grau $2$, enquanto o numerador tem grau $1$. Dividindo numerador e denominador por $x^2$, obtemos

\[ f(x)= \frac{2/x+1/x^2}{1-4/x^2}. \]

Para valores de $|x|$ muito grandes, as frações $1/x$ e $1/x^2$ tornam-se pequenas. Assim, $f(x)$ aproxima-se de $0$, e

\[ y=0 \]

é uma assíntota horizontal.

O esboço pode agora ser construído sem uma tabela extensa de valores: domínio, interseções, sinais e assíntotas já determinam sua forma essencial.

Exemplo 8.9 (Uma assíntota oblíqua)

Determine as assíntotas e descreva o comportamento global de

\[ g(x)=\frac{x^2+1}{x-1}. \]

Solução

O domínio é

\[ \operatorname {Dom}g=\mathbb {R}\setminus \{ 1\} . \]

Como o numerador vale $2$ em $x=1$, não há cancelamento. Logo,

\[ x=1 \]

é uma assíntota vertical.

Neste caso o grau do numerador é uma unidade maior que o grau do denominador. A divisão polinomial fornece

\[ \frac{x^2+1}{x-1} = x+1+\frac{2}{x-1}. \]

Essa escrita separa duas partes com papéis distintos. A reta

\[ y=x+1 \]

descreve o comportamento dominante, enquanto o termo

\[ \frac{2}{x-1} \]

torna-se pequeno quando $|x|$ cresce. Portanto, à medida que nos afastamos da origem, o gráfico de $g$ se aproxima cada vez mais da reta $y=x+1$. Essa reta é uma assíntota oblíqua.

A mesma decomposição permite ler de que lado da reta o gráfico se encontra. Se $x\gt 1$, então $2/(x-1)\gt 0$, e portanto

\[ g(x)\gt x+1. \]

Se $x\lt 1$, então $2/(x-1)\lt 0$, e

\[ g(x)\lt x+1. \]

Assim, o ramo à direita de $x=1$ permanece acima da assíntota oblíqua, e o ramo à esquerda permanece abaixo dela.

Perto da assíntota vertical, o sinal do termo $2/(x-1)$ domina: quando $x$ se aproxima de $1$ pela esquerda, $g(x)$ decresce sem limite; quando se aproxima pela direita, $g(x)$ cresce sem limite.

Finalmente, $x^2+1$ nunca se anula para $x\in \mathbb {R}$. Portanto, a função não possui zeros reais. Sua interseção com o eixo vertical é

\[ g(0)=-1. \]

Mais uma vez, a divisão algébrica fornece informação geométrica: ela não serve apenas para efetuar um cálculo, mas revela diretamente a reta que governa o gráfico longe da origem.

Exemplo 8.10 (Um buraco e uma assíntota na mesma função)

Determine o domínio, a imagem e as assíntotas de

\[ f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-x-6}. \]

Descreva o gráfico a partir de uma expressão mais simples.

Solução

Fatorando antes de cancelar, encontramos

\[ f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)},\qquad x\neq 3,-2. \]

No domínio original,

\[ f(x)=\frac{x+3}{x+2}=1+\frac1{x+2}. \]

O gráfico é o de $y=1/x$ deslocado duas unidades para a esquerda e uma para cima, com um ponto retirado. A reta $x=-2$ permanece como assíntota vertical; em $x=3$, porém, a expressão simplificada teria o valor $1+1/5=6/5$. Há, portanto, um buraco em $(3,6/5)$, não uma segunda assíntota vertical. A assíntota horizontal é $y=1$.

Para determinar a imagem, resolvemos

\[ y=1+\frac1{x+2}. \]

O valor $y=1$ é impossível. Para $y\neq 1$, há uma única entrada candidata,

\[ x=\frac1{y-1}-2. \]

Ela nunca é $-2$, mas é igual a $3$ precisamente quando $y=6/5$. Assim, retirar $x=3$ também retira esse valor da imagem:

\[ \operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\setminus \{ -2,3\} ,\qquad \operatorname {Im}f=\mathbb {R}\setminus \{ 1,6/5\} . \]

A fatoração distingue os dois pontos excluídos, e a equação em $y$ permite verificar que não há outros valores ausentes na imagem.

Exercício 8.18

Descreva os pontos excluídos e o comportamento dos gráficos.
Simplifique $g(x)=(x^2-4)/(x-2)$, mantendo o domínio original. Qual é o ponto ausente? De que valor $g(x)$ se aproxima quando $x$ se aproxima de $2$ por cada lado?
Para $h(x)=(x+1)/(x-2)$, encontre o domínio, as interseções com os eixos e as assíntotas. Descreva os sinais e o comportamento dos dois lados de $2$ e esboce o gráfico.
Compare o comportamento de $j(x)=-1/(x-2)^2$ dos dois lados de $2$. O que acontece quando $x$ assume valores positivos ou negativos de módulo muito grande?

Ver solução

$g(x)=x+2$, para $x\ne 2$. Falta o ponto $(2,4)$, e os valores se aproximam de $4$ pelos dois lados.
O domínio exclui $2$. As interseções são $(-1,0)$ e $(0,-1/2)$. Como $h(x)=1+3/(x-2)$, as assíntotas são $x=2$ e $y=1$. A função é positiva em $(-\infty ,-1)$ e $(2,+\infty )$ e negativa em $(-1,2)$. Perto de $2$, decresce sem limite pela esquerda e cresce sem limite pela direita. Longe da origem, aproxima-se de $1$. O gráfico é obtido de $1/x$ por uma translação de duas unidades para a direita, escala vertical por fator $3$ e translação de uma unidade para cima.
O domínio exclui $2$. Os valores são negativos e decrescem sem limite dos dois lados de $2$. Quando $|x|$ cresce, aproximam-se de $0$ por valores negativos.

Exercício 8.19

A pressão $P$, em kPa, de um gás mantido a temperatura constante e seu volume $V$, em litros, satisfazem $PV=720$. Determine a pressão quando o volume passa de $12$ L para $8$ L e calcule a variação percentual de $P$.

Ver solução

$P(12)=720/12=60\, \mathrm{kPa}$ e $P(8)=720/8=90\, \mathrm{kPa}$. A pressão aumenta $30\, \mathrm{kPa}$, isto é, $50\% $ em relação ao valor inicial.

Exercício 8.20

Sejam $f(x)=1/(x-2)$ e $g(x)=x^2+1$.
Determine $f\circ g$ e $g\circ f$, com seus domínios.
Determine a imagem de $g\circ f$.
Explique por que o valor $1$ não é atingido por $g\circ f$, embora $g$ atinja esse valor.

Ver solução

$(f\circ g)(x)=1/(x^2-1)$, com domínio $\mathbb {R}\setminus \{ -1,1\} $; $(g\circ f)(x)=1+1/(x-2)^2$, com domínio $\mathbb {R}\setminus \{ 2\} $. A imagem da segunda composição é $(1,\infty )$: $1/(x-2)^2$ percorre $(0,\infty )$. A função $g$ atinge $1$ apenas quando sua entrada é zero, mas $f(x)$ nunca é zero.