Capítulo 11

Sequências

Segure o infinito na palma da mão e a eternidade em uma hora.
William Blake, Augúrios da Inocência

11.1 Conceitos Básicos

Uma sequência pode ser apresentada como uma lista ordenada de números. Do ponto de vista que adotaremos, porém, convém considerá-la como uma função de domínio discreto. As duas descrições são equivalentes, mas cada uma destaca aspectos diferentes do mesmo objeto.

Os primeiros termos de uma sequência podem sugerir um padrão. Para estudar seu comportamento, entretanto, interessa sobretudo aquilo que permanece verdadeiro quando o índice se torna suficientemente grande. Chamaremos informalmente de cauda da sequência o que resta depois de desprezarmos um número finito de termos iniciais.

No gráfico, isso corresponde a considerar o comportamento dos pontos para índices cada vez maiores.

Uma sequência real é uma função

\[ a:\mathbb {N}^*\longrightarrow \mathbb {R}. \]

Para cada natural positivo \(n\), escrevemos \(a_n:=a(n)\). Assim, \(a_1\) é o primeiro termo da sequência, \(a_2\) é o segundo e, em geral, \(a_n\) é o seu \(n\)-ésimo termo. Denotaremos a sequência por \((a_n)\) ou, quando quisermos explicitar o índice inicial, por \((a_n)_{n=1}^{\infty }\).

Figura 11.1 A sequência (a_n) associa a cada natural n um real a_n. — Figura 11.1 A sequência \((a_n)\) associa a cada natural \(n\) um real \(a_n\).

Às vezes será conveniente começar a indexação em outro inteiro \(k\). Também chamaremos de sequência uma função definida em \(\{ n\in \mathbb {Z}:n\geq k\} \) e usaremos a notação \((a_n)_{n=k}^{\infty }\) para deixar claro o índice a partir do qual ela está definida.

Como qualquer função, uma sequência pode ser especificada por uma regra que determine seu \(n\)-ésimo termo. Mas a notação \(a_1,a_2,a_3,\ldots \) também preserva algo que a escrita funcional tende a esconder: existe uma ordem entre os valores, dada pelos índices. Essa ordem permitirá falar em termos consecutivos, crescimento e comportamento da cauda.

Exemplo 11.1 (Exemplos)

Os primeiros termos da sequência \((a_n)=\left( \frac{1}{n}\right)_{n=1}^{\infty }\) são:

\[ a_1=1 \qquad a_2=\frac{1}{2}\qquad a_3=\frac{1}{3}\qquad a_4=\frac{1}{4}\qquad a_5=\frac{1}{5} \]

Essa sequência também pode ser representada como:

\[ \left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}, \dots \right) \]
Os quatro primeiros termos da sequência \((b_n)=\left(\frac{n^3}{3^n+1}\right)_{n=1}^{\infty }\) são:

\[ b_1=\dfrac {1^3}{3^1+1}=\dfrac {1}{4} \qquad b_2=\dfrac {2^3}{3^2+1}=\dfrac {8}{10} \qquad b_3=\dfrac {3^3}{3^3+1}=\dfrac {27}{28} \qquad b_4=\dfrac {64}{82} \]
Os primeiros termos da sequência de termo geral \(c_n=\dfrac {n!}{n^n}\) são:

\[ c_1=\dfrac {1!}{1^1}=1 \qquad c_2=\dfrac {2!}{2^2}=\frac{1}{2} \qquad c_3=\dfrac {3!}{3^3}=\frac{2}{9} \]
Seja \((d_n)\) a sequência especificada pela regra \(d_n=(-1)^n\). Os primeiros termos dessa sequência são:

\[ d_1=(-1)^1=-1\qquad d_2=(-1)^2=1\qquad d_3=(-1)^3=-1 \]

e de modo geral \(d_{2n}=1\) e \(d_{2n+1}=-1\). E assim podemos representar essa sequência por:

\[ (-1,1,-1,1,-1,1,\dots ) \]
Seja \((e_n)\) a sequência especificada pela regra \(e_n=\left(1+\dfrac {1}{n}\right)^n\). Os primeiros termos dessa sequência são: \(e_1=(1+1)^1=2\qquad e_2=\left(1+\dfrac {1}{2}\right)^2=\dfrac {9}{4}=2.25 \qquad e_3=\left(1+\dfrac {1}{3}\right)^3=\left(\dfrac {4}{3}\right)^3\approx 2.37\)

\[ e_4= \left(1+\dfrac {1}{4}\right)^4\approx 2.44 \qquad e_5= \left(1+\dfrac {1}{5}\right)^5\approx 2.49 \qquad e_6= \left(1+\dfrac {1}{6}\right)^6\approx 2.52 \]

Como uma sequência é uma função, também podemos representá-la graficamente. Seu gráfico é formado pelos pontos \((n,a_n)\), com \(n\in \mathbb {N}^*\). A diferença em relação ao gráfico de uma função de variável real é importante: aqui a primeira coordenada assume apenas valores inteiros, de modo que o gráfico é um conjunto discreto de pontos.

Exemplo 11.2

Gráfico da sequência

\[ a_n=\frac{1}{n} \]

Solução

Para construir o gráfico de

\[ a_n=\frac1n, \]

marcamos no plano os pontos \((n,1/n)\). A tabela abaixo mostra os cinco primeiros termos. Ela já sugere uma tendência, mas ainda descreve apenas um número finito de valores.

\(\mathbf{n}\)	\(\mathbf{a_n=\frac{1}{n}}\)
\(1\)	\(1.00\)
\(2\)	\(0.50\)
\(3\)	\(0.33\)
\(4\)	\(0.25\)
\(5\)	\(0.20\)

Há outra maneira útil de enxergar esse gráfico. A sequência é a restrição aos naturais positivos da função

\[ f(x)=\frac1x:\mathbb {R}_+\longrightarrow \mathbb {R}. \]

Portanto, seus pontos são exatamente os pontos do gráfico de \(f\) cuja primeira coordenada é um número natural.

Figura 11.2 Gráfico da sequência (1)/(n) — Figura 11.2 Gráfico da sequência \(\frac{1}{n}\)

À medida que \(n\) cresce, os pontos descem e se acumulam visualmente perto do eixo horizontal. A frase “os termos se aproximam de \(0\)” parece descrever bem o desenho, mas ainda contém uma palavra imprecisa: quão próximos precisam estar? E a partir de qual índice? Essas perguntas conduzirão à definição de limite.

Também podemos representar apenas os valores \(a_n\) sobre a reta real, identificando a qual índice corresponde cada ponto. Para a sequência \(a_n=1/n\), obtemos:

Ilustração: Conceitos Básicos

Exemplo 11.3

Gráfico da sequência \(c_n=\dfrac {(-1)^n}{\sqrt{n}}\)

Solução

A sequência

\[ c_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n} \]

alterna de sinal. Para \(n\) par, seus pontos pertencem ao gráfico de \(f(x)=1/\sqrt{x}\); para \(n\) ímpar, pertencem ao gráfico de \(g(x)=-1/\sqrt{x}\).

O desenho mostra duas informações diferentes ao mesmo tempo. Os termos não crescem nem decrescem de maneira monótona, pois saltam de um lado para outro do eixo. No entanto, a distância de cada ponto ao eixo horizontal diminui. Assim, os sinais oscilam, mas o módulo dos termos se contrai.

Figura 11.3 Gráfico da sequência c_n=frac(-1)^n√n — Figura 11.3 Gráfico da sequência \(c_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)

Sequências Definidas Recursivamente

Outra possibilidade é definir uma sequência recursivamente : especificamos alguns termos iniciais e usamos os termos já conhecidos para construir os seguintes.

Considere, por exemplo,

\[ a_1=\sqrt2,\qquad a_n=\sqrt{2a_{n-1}}\quad (n\geq 2). \]

A regra determina cada termo a partir do anterior:

\[ a_2=\sqrt{2\sqrt2},\qquad a_3=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt2}}, \]

e, em geral,

\[ a_n=\underbrace{\sqrt{2\cdots \sqrt{2\sqrt2}}}_{n\text{ raízes}}. \]

A estrutura lembra a indução matemática: há um caso inicial e uma regra que permite passar de uma etapa à seguinte.

A tabela abaixo contém o valor aproximado dos primeiros termos dessa sequência.

\(\mathbf{n}\)	\(\mathbf{a_n}\)
\(1\)	\(1.41421\)
\(2\)	\(1.68179\)
\(3\)	\(1.83401\)
\(4\)	\(1.91521\)
\(5\)	\(1.95714\)

O gráfico construído a partir desses valores sugere três fatos distintos. Os pontos parecem subir da esquerda para a direita; parecem permanecer abaixo da reta horizontal \(y=2\); e parecem ficar cada vez mais próximos dessa reta.

Essas três observações não são a mesma coisa. A primeira diz respeito à monotonicidade; a segunda, à existência de uma cota; a terceira, ao comportamento da cauda. O exemplo é útil justamente porque antecipa, em uma única figura, as três ideias que iremos separar e estudar.

Figura 11.4 Gráfico da sequência definida recursivamente: a_(1)=√2 e a_(n)=√2a_(n-1) — Figura 11.4 Gráfico da sequência definida recursivamente: \(a_{1}=\sqrt{2}\) e \(a_{n}=\sqrt{2a_{n-1}}\)

Um segundo exemplo é a sequência de Fibonacci, definida por

\[ f_1=1,\qquad f_2=1,\qquad f_{n+1}=f_n+f_{n-1}. \]

Aplicando sucessivamente a regra, obtemos:

\[ \left( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,\dots \right) \]

Fibonacci (c. 1170–1250) apresentou essa sequência em um problema sobre o crescimento idealizado de uma população de coelhos:

“Um homem tem um casal de coelhos. Desejamos saber quantos casais de coelhos podem ser gerados deste par, se a cada mês um casal fértil gera um novo casal e cada casal novo se torna fértil quando completa dois meses de vida.”

Nesse modelo, \(f_n\) representa o número de casais após \(n\) meses.

Figura 11.5 Gráfico da sequência de Fibonacci

Considere ainda a sequência \((s_n)\) definida por

\[ s_1=1,\qquad s_n=s_{n-1}+\frac{1}{2^{n-1}}. \]

Seus primeiros termos são

\[ s_1=1,\qquad s_2=1+\frac12=\frac32,\qquad s_3=1+\frac12+\frac14=\frac74. \]

Desenrolando a recorrência,

\[ s_n=1+\frac12+\frac14+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right). \]

Aqui aparece uma ideia que retomaremos no final do capítulo: cada \(s_n\) é uma soma finita, e a sequência dessas somas parciais permite estudar uma soma infinita.

Exercício 11.1

Faça os gráficos das seguintes sequências:

\(a_n=n^{\frac{1}{n}}\)
\(a_n=\frac{1}{1+\sqrt{n}}\)
\(a_n=\frac{n^4}{n!}\)
\(a_n=\frac{\operatorname {sen}(n)}{\sqrt{n}}\)
\(a_n=\frac{n \operatorname {sen}(n)}{n^2+1}\)
\(a_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\)
\(a_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}\)
A sequência definida recursivamente por \(a_1=\sqrt{2}\) e \(a_n= \sqrt{2 a_{n-1}}\)
A sequência definida recursivamente por: \(a_n=n^{a_{n-1}}\) e \(a_1=1\)
A sequência definida recursivamente por: \(a_n=\frac{1}{1+a_{n-1}}\) e \(a_1=1\)

Ver solução

a Os termos são \(1,\ \sqrt2\approx 1{,}41,\ \sqrt[3]3\approx 1{,}44,\ \sqrt[4]4\approx 1{,}41,\ \sqrt[5]5\approx 1{,}38,\dots \): a sequência cresce até \(n=3\) e depois decresce, aproximando-se de \(1\). b Termos \(0{,}5;\ 0{,}41;\ 0{,}37;\ 0{,}33;\dots \): decrescente, com os pontos se aproximando da reta \(y=0\). c Termos \(1;\ 8;\ 13{,}5;\ 10{,}7;\ 5{,}2;\ 1{,}8;\ 0{,}48;\ 0{,}10;\dots \): cresce até \(n=3\) (máximo \(13{,}5\)) e depois decresce rapidamente para \(0\). d Os pontos oscilam em torno do eixo \(x\), dentro do funil \(-\frac1{\sqrt n}\leq a_n\leq \frac1{\sqrt n}\): \(0{,}84;\ 0{,}64;\ 0{,}08;\ -0{,}38;\ -0{,}43;\ -0{,}11;\dots \), aproximando-se de \(0\). e Também oscila dentro do funil \(\left\lvert a_n\right\rvert \leq \frac{n}{n^2+1}\leq \frac1n\): \(0{,}42;\ 0{,}36;\ 0{,}04;\ -0{,}18;\dots \), aproximando-se de \(0\). f Termos \(1;\ 1{,}5;\ 1{,}83;\ 2{,}08;\ 2{,}28;\dots \): crescente e sem limitação (os pontos sobem muito lentamente, mas ultrapassam qualquer nível: \(a_{2n}\geq a_n+\frac12\)). g Termos \(1;\ 1{,}25;\ 1{,}36;\ 1{,}42;\ 1{,}46;\dots \): crescente e limitada (por \(2\)); os pontos se acumulam abaixo de uma reta horizontal. h Termos \(1{,}41;\ 1{,}68;\ 1{,}83;\ 1{,}92;\ 1{,}96;\dots \): crescente, limitada por \(2\), aproximando-se de \(2\). i Termos \(1;\ 2;\ 9;\ 262\, 144;\ 5^{262\, 144};\dots \): crescimento explosivo (o quinto termo já tem mais de \(180\, 000\) algarismos), impossível de representar na mesma escala. j Termos \(1;\ 0{,}5;\ 0{,}67;\ 0{,}6;\ 0{,}625;\ 0{,}615;\dots \): os pontos alternam acima e abaixo de \(\frac{\sqrt5-1}2\approx 0{,}618\), aproximando-se dele.

Exercício 11.2

Faça os gráficos das seguintes sequências utilizando-se do fato que elas provêm de restrições de funções reais:
\(a_n=n^5\)
\(a_n=(n+2)^5\)
\(a_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}}\)
\(a_n=\left| \operatorname {sen}(x)+1 \right|+2\)
\(a_n=1+\frac{1}{(n+1)^2}\)
\(a_n=\frac{3\cos (3n)}{2}\)
\(a_n=\frac{3\cos (3n)}{n}\)

Ver solução

a Pontos do gráfico de \(y=x^5\) nas abscissas inteiras positivas: \(1,32,243,\dots \) (crescente, ilimitada). b Pontos do gráfico de \(y=(x+2)^5\) (gráfico de \(x^5\) deslocado \(2\) para a esquerda), nas abscissas \(n\geq 1\): \(243,1024,\dots \) c Pontos de \(y=\frac1{\sqrt{x+2}}\) (gráfico de \(\frac1{\sqrt x}\) deslocado \(2\) para a esquerda): \(0{,}58;\ 0{,}5;\ 0{,}45;\dots \), decrescente com os pontos se aproximando de \(y=0\). d Como \(\operatorname {sen}x+1\geq 0\), tem-se \(\left\lvert \operatorname {sen}x+1\right\rvert +2=\operatorname {sen}x+3\): são os pontos do gráfico de \(\operatorname {sen}x+3\) nas abscissas inteiras (com \(x=n\)), todos entre \(2\) e \(4\), sem padrão monótono. e Pontos de \(y=1+\frac1{(x+1)^2}\): \(1{,}25;\ 1{,}11;\ 1{,}06;\dots \), decrescente, aproximando-se de \(1\). f Pontos do gráfico de \(y=\frac32\cos (3x)\) nas abscissas inteiras: ficam entre \(-\frac32\) e \(\frac32\) e não se estabilizam. g Pontos de \(y=\frac{3\cos (3x)}{x}\): oscilam dentro do funil \(\left\lvert y\right\rvert \leq \frac3x\), aproximando-se de \(0\).

11.1.1 Sequências Crescentes e Decrescentes

Um gráfico de sequência é formado por pontos isolados. Mesmo assim, podemos perguntar se, ao caminhar da esquerda para a direita, os pontos sobem, descem ou alternam de comportamento. Essa é a versão discreta da monotonicidade de funções.

Como sequências são funções, usamos a mesma linguagem. Dada uma sequência \((a_n)\), dizemos que:

\((a_n)\) é crescente se, para todo \(n,m \in \mathbb {N}^*\) com \(n\lt m\), resulta \(a_n\lt a_m\).
\((a_n)\) é não-decrescente se, para todo \(n,m \in \mathbb {N}^*\) com \(n\lt m\), resulta \(a_n\leq a_m\).
\((a_n)\) é decrescente se, para todo \(n,m \in \mathbb {N}^*\) com \(n\lt m\), resulta \(a_n\gt a_m\).
\((a_n)\) é não-crescente se, para todo \(n,m \in \mathbb {N}^*\) com \(n\lt m\), resulta \(a_n\geq a_m\).

Em qualquer um desses casos, dizemos que a sequência é monótona ²² . Quando ela é crescente ou decrescente, dizemos que é estritamente monótona.

À primeira vista, as definições pedem a comparação de quaisquer dois índices \(n\lt m\). Para sequências, porém, basta olhar para vizinhos. Se cada passo de \(a_n\) para \(a_{n+1}\) é para cima, então uma sucessão desses passos mostra que \(a_n\lt a_m\) sempre que \(n\lt m\). Assim, as condições acima são equivalentes às seguintes:

Definição 11.1

\((a_n)\) é crescente se, para todo \(n\in \mathbb {N}^*\) temos que \(a_n\lt a_{n+1}\).
\((a_n)\) é não-decrescente se para todo \(n\in \mathbb {N}^*\) temos que \(a_n\leq a_{n+1}\).
\((a_n)\) é decrescente se para todo \(n\in \mathbb {N}^*\) temos que \(a_n\gt a_{n+1}\).
\((a_n)\) é não-crescente se para todo \(n\in \mathbb {N}^*\) temos que \(a_n\geq a_{n+1}\).

Exemplo 11.4 (Exercício resolvido)

A sequência \(a_n=\dfrac {1}{n+1}\) é decrescente.

Solução

Para comparar termos consecutivos, observamos que

\[ a_n=\frac{1}{n+1}\gt \frac{1}{n+2}=a_{n+1}, \]

pois \(n+1\lt n+2\) e ambos são positivos. Logo \(a_n\gt a_{n+1}\) para todo \(n\in \mathbb {N}^*\), portanto a sequência é decrescente.

Exemplo 11.5 (Exercício resolvido)

A sequência \(a_n=\dfrac {n}{n^2+1}\) é decrescente.

Solução

Queremos mostrar que \(a_n\gt a_{n+1}\). Como os denominadores são positivos,

\[ \frac{n}{n^2+1}\gt \frac{n+1}{(n+1)^2+1} \]

é equivalente a

\[ (n+1)(n^2+1)\lt n\bigl((n+1)^2+1\bigr), \]

ou ainda a

\[ 1\lt n^2+n. \]

A última desigualdade vale para todo \(n\geq 1\). Logo \(a_n\gt a_{n+1}\) para todo \(n\in \mathbb {N}^*\), e a sequência é decrescente.

Exemplo 11.6 (Exercício resolvido)

A sequência \(a_n=\dfrac {n}{n+1}\) é crescente.

Solução

Há duas maneiras naturais de enxergar o crescimento. Pela comparação direta de termos consecutivos,

\[ a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}\gt 0. \]

Logo \(a_{n+1}\gt a_n\) para todo \(n\geq 1\).

Também podemos escrever

\[ a_n=1-\frac{1}{n+1}. \]

À medida que \(n\) cresce, a parcela \(1/(n+1)\) diminui; portanto subtraímos de \(1\) quantidades cada vez menores. Essa segunda forma torna visível por que os termos sobem e, ao mesmo tempo, por que permanecem abaixo de \(1\).

11.1.2 Sequências Limitadas

Monotonicidade descreve a ordem dos termos, mas não diz até onde eles podem ir. Uma sequência crescente pode permanecer presa abaixo de uma reta horizontal, como \(n/(n+1)\), ou crescer sem qualquer barreira superior, como \(n\). Surge então uma segunda pergunta: existe uma faixa horizontal que contém todos os pontos do gráfico?

Essa pergunta leva às noções de cota e de sequência limitada.

Definição 11.2

Uma sequência \((a_n)\) é limitada superiormente se existe \(M\in \mathbb {R}\) tal que

\[ a_n\leq M \]

para todo \(n\in \mathbb {N}^*\).
Uma sequência \((a_n)\) é limitada inferiormente se existe \(m\in \mathbb {R}\) tal que

\[ a_n\geq m \]

para todo \(n\in \mathbb {N}^*\).
Uma sequência é limitada se é limitada superiormente e inferiormente. Equivalentemente, existe \(C\gt 0\) tal que

\[ |a_n|\leq C \]

para todo \(n\in \mathbb {N}^*\).
Uma sequência que não é limitada é dita ilimitada.

Exemplo 11.7 (Exercício resolvido)

A sequência \(a_n=\dfrac {1}{n+1}\) é limitada.

Solução

Como \(n\geq 1\),

\[ 0\lt \frac{1}{n+1}\leq \frac12. \]

Portanto todos os pontos do gráfico ficam entre as retas horizontais \(y=0\) e \(y=1/2\). Em linguagem numérica, todos os termos pertencem ao intervalo \([0,1/2]\). Assim a sequência é limitada.

Observe que uma cota não precisa ser atingida. Por exemplo, \(0\) é uma cota inferior mesmo que nenhum termo da sequência seja igual a \(0\).

Exemplo 11.8 (Exemplos)

Para \(a_n=-\frac{1}{n^2}\) temos

\[ -1\leq a_n\lt 0, \]

logo a sequência é limitada inferiormente por \(-1\) e superiormente por \(0\).
A sequência \(b_n=n\) é limitada inferiormente, por exemplo por \(0\), mas não é limitada superiormente. Esse exemplo nos levará à propriedade arquimediana.

O exemplo \(a_n=n\) mostra um contraste importante: os números naturais não possuem cota superior em \(\mathbb {R}\). Essa afirmação é a propriedade arquimediana dos números reais e será usada repetidamente no estudo de limites.

Propriedade Arquimediana dos Números Reais

Para todo número real \(r\) existe um número natural \(n\) tal que \(n\gt r\).

Demonstração ▼

Suponha, por absurdo, que \(\mathbb {N}^*\) fosse limitado superiormente e seja \(s\) o seu supremo. Como \(s-1\lt s\), o número \(s-1\) não pode ser cota superior; portanto existe \(n_0\in \mathbb {N}^*\) tal que \(n_0\gt s-1\). Somando \(1\) aos dois lados, \(n_0+1\gt s\). Mas \(n_0+1\) também é natural, contradizendo o fato de \(s\) ser cota superior de \(\mathbb {N}^*\).

Uma consequência útil é a seguinte: dados \(x,y\gt 0\), existe \(n\in \mathbb {N}^*\) tal que \(nx\gt y\). Basta aplicar a propriedade arquimediana a \(y/x\). Geometricamente, isso significa que um segmento de comprimento \(y\) pode ser ultrapassado colocando lado a lado um número finito de segmentos de comprimento \(x\).

Exemplo 11.9 (Exercício resolvido)

A sequência \(c_n=\dfrac {(-1)^n}{n}\) é limitada.

Solução

Para todo \(n\geq 1\),

\[ |c_n|=\frac{1}{n}\leq 1. \]

Logo todos os termos da sequência pertencem ao intervalo \([-1,1]\), e portanto \((c_n)\) é limitada.

Muitas vezes é mais simples obter uma cota comparando a sequência com outra cujo comportamento já conhecemos. A próxima observação formaliza essa ideia.

Teorema 11.1

Sejam \((a_n),(b_n)\) duas sequências satisfazendo \(a_n\leq b_n\) para todo \(n\gt n_0\). Então:

se a sequência \(a_n\) é limitada inferiormente, a sequência \(b_n\) também é limitada inferiormente.
se a sequência \(b_n\) é limitada superiormente, a sequência \(a_n\) também é limitada superiormente.

Exemplo 11.10 (Exemplos)

Para \(n\geq 1\),

\[ 0\lt \frac{1}{2^n}\leq \frac1n\leq 1, \]

logo a sequência \(a_n=1/2^n\) é limitada.
Do mesmo modo,

\[ 0\lt \frac1{n!}\leq \frac1n\leq 1, \]

de modo que \(b_n=1/n!\) também é limitada.
Finalmente,

\[ -\frac1n\leq \frac{(-1)^n}{n^3}\leq \frac1n, \]

e portanto \(c_n=(-1)^n/n^3\) é limitada.

Exercício 11.3

Liste os 6 primeiros termos das sequências:
\(a_n=1-\dfrac {1}{3+n}\)
\(a_n=(-1)^n-\dfrac {1}{3^n}\)
A sequência definida recursivamente por: \(a_n=n\cdot a_{n-1}\) e \(a_1=1\)
A sequência definida recursivamente por: \(a_n=n^{a_{n-1}}\) e \(a_1=1\)
A sequência definida recursivamente por: \(a_n=\frac{1}{1+a_{n-1}}\) e \(a_1=1\)
\(a_n= 2^{\operatorname {sen}(\frac{n\pi }{2})}\)

Ver solução

a \(\frac34,\ \frac45,\ \frac56,\ \frac67,\ \frac78,\ \frac89\). b \(-\frac43,\ \frac89,\ -\frac{28}{27},\ \frac{80}{81},\ -\frac{244}{243},\ \frac{728}{729}\). c \(1,\ 2,\ 6,\ 24,\ 120,\ 720\) (os fatoriais \(n!\)). d \(1,\ 2,\ 9,\ 262\, 144,\ 5^{262\, 144},\ 6^{5^{262\, 144}}\); os dois últimos são números gigantescos (o quinto tem cerca de \(183\, 000\) algarismos). e \(1,\ \frac12,\ \frac23,\ \frac35,\ \frac58,\ \frac8{13}\). f \(2,\ 1,\ \frac12,\ 1,\ 2,\ 1\).

Exercício 11.4

Para cada uma das seguintes sequências diga se ela é crescente, decrescente ou nenhuma dessas duas. Prove suas afirmações:
\(a_n=n+7\)
\(a_n=n^2+n\)
\(a_n=n^2-7n\)
\(a_n=n^2-\frac{n}{2}\)
\(a_n=\frac{n!}{2^n}\)
\(a_n=\dfrac {1}{n^2} \)
\(a_n=\dfrac {(-1)^n}{n^3}\)
\(a_n=2^n\)
\(a_n=\dfrac {2n-6}{3n+4}\)
\(a_n=\dfrac {\sqrt{n}}{n+3}\)
A sequência definida recursivamente por \(a_1=\sqrt{2}\) e \(a_n= \sqrt{2 a_{n-1}}\)

Ver solução

a Crescente: \(a_{n+1}-a_n=1\gt 0\). b Crescente: \(a_{n+1}-a_n=(n+1)^2+(n+1)-n^2-n=2n+2\gt 0\). c Nenhuma: \(a_{n+1}-a_n=2n-6\), que é negativo para \(n\lt 3\) e positivo para \(n\gt 3\); de fato \(a_1=-6\gt a_2=-10\gt a_3=-12=a_4\lt a_5=-10\). d Crescente: \(a_{n+1}-a_n=2n+\frac12\gt 0\). e Não-decrescente, mas não crescente: \(\dfrac {a_{n+1}}{a_n}=\dfrac {n+1}{2}\geq 1\), com igualdade só para \(n=1\) (\(a_1=a_2=\frac12\)). f Decrescente: se \(n\lt m\), então \(n^2\lt m^2\) e \(\frac1{n^2}\gt \frac1{m^2}\). g Nenhuma: \(a_1=-1\lt a_2=\frac18\), mas \(a_2\gt a_3=-\frac1{27}\); os sinais se alternam. h Crescente: \(a_{n+1}-a_n=2^n\gt 0\). i Crescente: \(a_{n+1}-a_n=\dfrac {2n-4}{3n+7}-\dfrac {2n-6}{3n+4}=\dfrac {(2n-4)(3n+4)-(2n-6)(3n+7)}{(3n+7)(3n+4)}=\dfrac {26}{(3n+7)(3n+4)}\gt 0\). j Nenhuma: \(a_2=\frac{\sqrt2}5\lt a_3=\frac{\sqrt3}6\) (pois \(6\sqrt2\lt 5\sqrt3\iff 72\lt 75\)), mas \(a_3\gt a_4=\frac27\) (pois \(7\sqrt3\gt 12\iff 147\gt 144\)). k Crescente. Como \(a_1=\sqrt2\lt \sqrt{2\sqrt2}=a_2\) (pois \(2\lt 2\sqrt2\)), e se \(a_{n-1}\lt a_n\) então \(2a_{n-1}\lt 2a_n\) e \(a_n=\sqrt{2a_{n-1}}\lt \sqrt{2a_n}=a_{n+1}\), o resultado segue por indução.

Exercício 11.5

Para cada uma das seguintes sequências diga se ela é limitada superiormente e inferiormente. Prove suas afirmações:
\(a_n=n^2+n\)
\(a_n=n^2-7n\)
\(a_n=n^2-\frac{n}{2}\)
\(a_n=\frac{n!}{2^n}\)
\(a_n=\dfrac {1}{n^2} \)
\(a_n=\dfrac {(-1)^n}{n^3}\)
\(a_n=2^n\)
\(a_n=n/n!\)
A sequência definida recursivamente por \(a_1=\sqrt{2}\) e \(a_n= \sqrt{2 a_{n-1}}\).

Ver solução

a Limitada inferiormente (\(a_n\geq 2\)), mas não superiormente: \(n^2+n\gt n\) e \(n\) é ilimitada. b Limitada inferiormente: \(n^2-7n+12=(n-3)(n-4)\geq 0\) para todo natural \(n\), logo \(a_n\geq -12\). Não é limitada superiormente: \(n^2-7n\geq n\) para \(n\geq 8\). c Limitada inferiormente: \(n^2-\frac n2=n\left(n-\frac12\right)\geq \frac n2\geq \frac12\). Não é limitada superiormente: \(n^2-\frac n2\geq \frac n2\), que é ilimitada. d Limitada inferiormente (\(a_n\gt 0\)), mas não superiormente: \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}2\geq 2\) para \(n\geq 3\), logo \(a_n\geq a_3\cdot 2^{n-3}=\frac34\, 2^{n-3}\), que é ilimitada. e Limitada: \(0\lt \frac1{n^2}\leq 1\). f Limitada: \(\left\lvert \frac{(-1)^n}{n^3}\right\rvert \leq 1\). g Limitada inferiormente (\(a_n\geq 2\)), mas não superiormente: \(2^n\gt n\) (Bernoulli: \(2^n=(1+1)^n\geq 1+n\)). h Limitada: \(0\lt \frac n{n!}\leq 1\), pois \(n!\geq n\). (Além disso, é não-crescente: \(a_{n+1}=\frac1{n!}\leq \frac n{n!}=a_n\).) i Limitada: \(0\lt a_n\lt 2\) para todo \(n\). Por indução: \(a_1=\sqrt2\lt 2\) e, se \(a_{n-1}\lt 2\), então \(2a_{n-1}\lt 4\) e \(a_n\lt 2\).

Exercício 11.6

Prove que \((1+x)^n\geq 1+nx\) para todo \(x\geq -1\). [Sugestão: Use a expansão Binomial]

Ver solução

Por indução em \(n\). Para \(n=1\) há igualdade. Se \((1+x)^k\geq 1+kx\), como \(1+x\geq 0\) podemos multiplicar por \(1+x\): \((1+x)^{k+1}\geq (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\geq 1+(k+1)x\). (A expansão binomial dá diretamente o resultado para \(x\geq 0\), pois todos os termos são não negativos, mas não cobre \(-1\leq x\lt 0\).)

Exercício 11.7

Usando a propriedade arquimediana, prove que se \(\left|x-y\right|\lt \frac{1}{n}\) para todo \(n\in \mathbb {N}^*\), então \(x=y\).
Usando o item anterior prove que se \(\left|x-y\right|\lt \varepsilon \) para todo \(\varepsilon \gt 0\), então \(x=y\).

Ver solução

a Se \(x\neq y\), então \(\left\lvert x-y\right\rvert \gt 0\). Pela propriedade arquimediana, existe \(n\in \mathbb {N}^*\) com \(n\gt \frac1{\left\lvert x-y\right\rvert }\), isto é, \(\frac1n\lt \left\lvert x-y\right\rvert \), contradizendo a hipótese. Logo \(x=y\). b Se \(\left\lvert x-y\right\rvert \lt \varepsilon \) para todo \(\varepsilon \gt 0\), em particular \(\left\lvert x-y\right\rvert \lt \frac1n\) para todo \(n\in \mathbb {N}^*\) (tomando \(\varepsilon =\frac1n\)); pelo item anterior, \(x=y\).

Exercício 11.8

Dados \(x,y \in \mathbb {R}\) com \(x\lt y\), prove que existe um racional \(p\) tal que \(x\lt p\lt y\).

Ver solução

Como \(y-x\gt 0\), pela propriedade arquimediana existe \(n\in \mathbb {N}^*\) com \(n(y-x)\gt 1\), isto é, \(\frac1n\lt y-x\). Seja \(m\) o menor inteiro com \(m\gt nx\) (existe pela propriedade arquimediana), de modo que \(m-1\leq nx\lt m\). Então \(p=\frac mn\) é racional e \(x\lt p\leq x+\frac1n\lt y\).

11.2 Convergência e Limite de Sequências

11.2.1 Intuições sobre Convergência

Até aqui descrevemos sequências por meio de fórmulas, gráficos, monotonicidade e cotas. Em diversos exemplos apareceu, além disso, um comportamento que ainda não foi formalizado: os termos parecem aproximar-se de um determinado número.

No caso de \(1/n\), os pontos se aproximam do eixo horizontal; para \(n/(n+1)\), aproximam-se da reta \(y=1\); em \((-1)^n/\sqrt n\), os termos alternam de sinal, mas sua distância até \(0\) torna-se progressivamente menor.

Convém agora precisar o significado dessa aproximação. Para isso, duas expressões precisam ser entendidas de forma rigorosa: “para \(n\) suficientemente grande” e “estar próximo”.

Dizemos que uma propriedade \(p(n)\) vale para \(n\) suficientemente grande quando existe \(N\) tal que \(p(n)\) é verdadeira para todo \(n\geq N\). Nada se exige dos termos anteriores a \(N\); trata-se, portanto, de uma propriedade da cauda da sequência.

Exemplo 11.11 (Exemplos)

\(5n-100\) é positivo para \(n\) suficientemente grande. De fato, \(5n-100\gt 0\) sempre que \(n\gt 20\).
\(n^2\gt 7n\) para \(n\) suficientemente grande, pois a desigualdade vale para \(n\gt 7\).
\(\dfrac 1n\lt 10^{-3}\) para todo \(n\gt 10^3\).
\(\dfrac 1n\lt 10^{-5}\) para todo \(n\gt 10^5\).

Falta precisar a palavra “próximo”. Na reta real, estar próximo de \(a\) pode ser expresso por uma distância. Dizemos que \(y\) está a menos de \(\varepsilon \gt 0\) de \(a\) quando

\[ |y-a|\lt \varepsilon . \]

Geometricamente, isso significa exatamente

\[ y\in (a-\varepsilon ,a+\varepsilon ). \]

Assim, escolher um erro \(\varepsilon \) corresponde a desenhar uma pequena faixa em torno do nível \(a\).

Os dois últimos exemplos mostram que, para a sequência \(1/n\), podemos impor erros sucessivamente menores: para obter erro inferior a \(10^{-3}\), basta tomar \(n\gt 10^3\); para erro inferior a \(10^{-5}\), basta tomar \(n\gt 10^5\). O aspecto essencial é que o mesmo procedimento pode ser feito para qualquer erro positivo previamente fixado.

De fato,

\[ \left|\frac1n-0\right|\lt \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad \frac1n\lt \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad n\gt \frac1\varepsilon . \]

Dado, portanto, \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(N\in \mathbb {N}^*\) com \(N\gt 1/\varepsilon \). Para todo \(n\geq N\), resulta

\[ \left|\frac1n-0\right|\lt \varepsilon . \]

É precisamente essa propriedade que será tomada como definição de convergência.

Ideia de limite

Uma sequência \((a_n)\) converge para \(L\) quando, dado qualquer erro \(\varepsilon \gt 0\), todos os termos \(a_n\) ficam a uma distância menor que \(\varepsilon \) de \(L\) a partir de algum índice.

A formulação precisa dessa ideia exige atenção à ordem dos quantificadores. Dado arbitrariamente \(\varepsilon \gt 0\), deve ser possível escolher um índice \(N\). Esse índice pode depender de \(\varepsilon \); uma vez escolhido, entretanto, a desigualdade exigida deve valer para todo \(n\geq N\).

Definição 11.3

Definição de Limite Dizemos que a sequência \((a_n)\) converge para \(L\in \mathbb {R}\) se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(N\in \mathbb {N}^*\) tal que

\[ n\geq N\quad \Longrightarrow \quad |a_n-L|\lt \varepsilon . \]

Nesse caso escrevemos

\[ \lim _{n\to \infty }a_n=L \qquad \text{ou}\qquad a_n\rightarrow L. \]

Observe que a definição não exige que algum termo da sequência seja igual a \(L\). Ela afirma que, qualquer que seja a precisão fixada, existe uma cauda inteiramente contida no intervalo correspondente em torno de \(L\).

Ilustração: Intuições sobre Convergência

A definição pode também ser lida geometricamente. Fixado \(\varepsilon \gt 0\), devemos encontrar um índice \(N\) a partir do qual

\[ |a_n-L|\lt \varepsilon . \]

Isto significa que todos os pontos correspondentes à cauda da sequência ficam na faixa horizontal delimitada por \(L-\varepsilon \) e \(L+\varepsilon \). Se a faixa é estreitada, pode ser necessário escolher um índice maior, mas a condição deve continuar sendo satisfeita.

A sequência \(\frac{n}{n+1}\)

Vamos aplicar a definição à sequência

\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]

Já sabemos que ela é crescente e que \(0\lt a_n\lt 1\). O gráfico e a tabela sugerem algo mais: os termos parecem aproximar-se de \(1\) à medida que \(n\) cresce.

\(\mathbf{n}\)	\(\mathbf{\frac{n}{(n+1)}}\)
\(10\)	\(0,90909090\)
\(100\)	\(0,99009901\)
\(1000\)	\(0,99900100\)
\(10000\)	\(0,99990001\)
\(100000\)	\(0,99999900\)

Comecemos com um erro concreto. Para obter erro menor que \(10^{-1}\), resolvemos

\[ \left|1-\frac{n}{n+1}\right| =\frac{1}{n+1}\lt 10^{-1}, \]

o que ocorre sempre que \(n\gt 9\). Para erro \(10^{-3}\), basta tomar \(n\gt 999\). Mais geralmente,

\[ n\gt 10^k-1 \quad \Longrightarrow \quad \left|1-\frac{n}{n+1}\right|\lt 10^{-k}. \]

A prova para um erro arbitrário segue o mesmo padrão. Dado \(\varepsilon \gt 0\),

\[ \left|1-\frac{n}{n+1}\right| =\frac{1}{n+1}\lt \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad n\gt \frac1\varepsilon -1. \]

Escolhendo um natural \(N\gt 1/\varepsilon -1\), todo \(n\geq N\) satisfaz a desigualdade. Portanto

\[ \lim _{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=1. \]

Aproximação de \(\mathchoice {\frac{1}{7}} {\frac{1}{7}} {\frac{1}{7}} {\frac{1}{7}}\)

A representação decimal fornece outro exemplo natural de aproximação. Considere os truncamentos de

\[ \frac17=0,142857142857\ldots \]

com \(n\) casas decimais. Se chamarmos esse truncamento de \(b_n\), então

\[ b_1=0,1,\quad b_2=0,14,\quad b_3=0,142,\quad b_4=0,1428,\quad \ldots \]

Nenhum desses valores é exatamente \(1/7\), mas o erro diminui à medida que aumentamos o número de casas.

Depois de \(n\) casas corretas, a diferença satisfaz

\[ 0\lt \frac17-b_n\lt 10^{-n}. \]

Assim, dado \(\varepsilon \gt 0\), basta escolher \(N\) tal que

\[ N\gt -\log _{10}\varepsilon . \]

Para todo \(n\geq N\),

\[ \left|\frac17-b_n\right|\lt 10^{-n}\leq 10^{-N}\lt \varepsilon . \]

Portanto,

\[ \lim _{n\to \infty }b_n=\frac17. \]

Esse exemplo mostra de forma concreta como uma expansão decimal infinita pode ser entendida por meio de uma sequência de aproximações finitas.

Exercício 11.9

Sejam dadas as sequências

\[ a_n=\frac{1}{n},\, \, b_n=\frac{n-1}{n} \]

\[ c_n=(-1)^n, \, \, d_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]

Em cada caso abaixo, determine para quais valores de \(n\) vale
\(a_n \in (-\frac{1}{10},\frac{1}{10})\)
\(b_n \in (0.999, 1.111)\)
\(c_n \in (\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)
\(d_n \in (-\frac{1}{1000},\frac{1}{1000})\)

Ver solução

a \(\{ n\in \mathbb {N}\, \mid \, n\gt 10 \} \) b \(\{ n\in \mathbb {N}\, \mid \, n\gt 1000\} \): \(b_n=1-\frac1n\) é sempre menor que \(1{,}111\) e \(1-\frac1n\gt 0{,}999\iff \frac1n\lt 0{,}001\iff n\gt 1000\). c \(\{ n\in \mathbb {N}\, \mid \, n \text{é par}\} \) d \(\{ n\in \mathbb {N}\, \mid \, n \gt 1000\} \)

Exercício 11.10

Considerando as mesmas sequências do exercício anterior, diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações:
Existe \(m \in \mathbb {N}^*\) tal que \(a_n \in (-\frac{1}{10},\frac{1}{10})\) para todo \(n \geq m\).
Existe \(m \in \mathbb {N}^*\) tal que \(b_n \in (0.999, 1.111)\) para todo \(n \geq m\).
Existe \(m \in \mathbb {N}^*\) tal que \(c_n \in (\frac{1}{2},\frac{3}{2})\) para todo \(n \geq m\).
Existe \(m \in \mathbb {N}^*\) tal que \(d_n \in (-\frac{1}{1000},\frac{1}{1000})\) para todo \(n \geq m\).

Ver solução

a Sim b Sim c Não d Sim

Exercício 11.11

Em cada caso abaixo, determine \(m \in \mathbb {N}^*\) de modo que
\(\frac{1}{n^2-n+1}\lt \frac{1}{2}\), para todo \(n \geq m\).
\(\frac{1}{n}\lt 10^{-23}\), para todo \(n \geq m\).
\(1-\frac{1}{10^4}\lt \frac{n+2}{n-2}\lt 1+\frac{1}{10^4}\), para todo \(n \geq m\).
\(-\frac{1}{10^{10}}\lt \mathrm{e}^{-n}\lt \frac{1}{10^{10}}\), para todo \(n \geq m\).
\(-\frac{1}{10}\lt \frac{\operatorname {sen}n}{\sqrt{n}}\lt \frac{1}{10}\), para todo \(n \geq m\).

Ver solução

a \(m=2\) (na realidade \(m\) pode ser qualquer natural maior ou igual a \(2\)). b \(m=10^{23}+1\) c \(m=40003\) d \(m=24\) e \(\left\lvert \frac{\operatorname {sen}n}{\sqrt n}\right\rvert \leq \frac1{\sqrt n}\lt \frac1{10}\) quando \(n\gt 100\); logo \(m=101\).

Exercício 11.12

Dado \(\epsilon \gt 0\) arbitrário, determine, em cada caso, \(m \in \mathbb {N}^*\) tal que \(a_n \in (L-\epsilon , L+\epsilon )\) para todo \(n \geq m\), onde:
\(a_n=\frac{1}{n}\) e \(L=0\)
\(a_n=\frac{n}{n-1}\) e \(L=1\)
\(a_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}}\) e \(L=0\)
\(a_n=\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}}\) e \(L=1/3\)
\(a_n=\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}}\) e \(L=1\)
\(a_n=\frac{n^2}{9-n^2}\) e \(L=-1\)

Ver solução

a \(m\gt \frac1\epsilon \) (por exemplo, \(m=\frac1\epsilon +1\)), pois \(\left\lvert \frac1n\right\rvert \lt \epsilon \iff n\gt \frac1\epsilon \). b \(m=\frac1\epsilon +2\), pois \(\left\lvert \frac n{n-1}-1\right\rvert =\frac1{n-1}\lt \epsilon \) quando \(n\gt 1+\frac1\epsilon \). c \(m=\frac1{\epsilon ^2}-1\), pois \(\frac1{\sqrt{n+2}}\lt \epsilon \iff n\gt \frac1{\epsilon ^2}-2\). d Para \(0\lt \epsilon \lt \frac13\), \(\frac13-a_n\lt \epsilon \) equivale a \(n\gt \frac{1-6\epsilon +9\epsilon ^2}{18\epsilon +27\epsilon ^2}\); logo \(m=\frac{1-6\epsilon +9\epsilon ^2}{18\epsilon +27\epsilon ^2}+1\) serve (para \(\epsilon \geq \frac13\) qualquer \(m\) serve). e Não existe \(m\) quando \(\epsilon \) é pequeno (por exemplo, \(\epsilon =\frac14\)), pois \(a_n\lt \frac13\) para todo \(n\), então \(a_n\notin (\frac34,\frac54)\). A sequência converge a \(\frac13\), não a \(1\). f \(a_n+1=\frac9{9-n^2}\), e para \(n\gt 3\), \(\left\lvert a_n+1\right\rvert =\frac9{n^2-9}\lt \epsilon \iff n\gt \sqrt{9+\frac9\epsilon }\); logo \(m=\sqrt{\frac{9+9\epsilon }\epsilon }+1\) serve.

Exercício 11.13

Mostre que a sequência \((0.9,0.99,0.999,0.9999,\dots )\) converge a \(1\).

Ver solução

O \(n\)-ésimo termo é \(a_n=1-10^{-n}\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), como \(10^n\gt n\), para \(n\gt \frac1\varepsilon \) (que existe pela propriedade arquimediana) temos \(\left\lvert a_n-1\right\rvert =10^{-n}\lt \frac1n\lt \varepsilon \).

Exercício 11.14

Mostre que a sequência \((0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots )\) converge a \(\frac{1}{3}\).

Ver solução

O \(n\)-ésimo termo é \(a_n=\frac13(1-10^{-n})\), logo \(\left\lvert a_n-\frac13\right\rvert =\frac{10^{-n}}3\lt \frac1n\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), para \(n\gt \frac1\varepsilon \) temos \(\left\lvert a_n-\frac13\right\rvert \lt \varepsilon \).

11.2.2 Consequências da definição

A definição de limite não serve apenas para verificar exemplos. Ela também permite deduzir propriedades gerais das sequências convergentes. As próximas proposições são bons exemplos de como quantificadores, desigualdades e a ideia de cauda trabalham juntos numa demonstração.

Proposição 11.2

O limite de uma sequência, se existir, é único.

Demonstração ▼

Suponha que \(a_n\to L\) e \(a_n\to K\). Se \(L\neq K\), tome

\[ \varepsilon =\frac{|L-K|}{3}\gt 0. \]

Existem \(N_1,N_2\) tais que

\[ n\geq N_1\Longrightarrow |a_n-L|\lt \varepsilon \]

\[ n\geq N_2\Longrightarrow |a_n-K|\lt \varepsilon . \]

Para \(n\geq \max \{ N_1,N_2\} \), pela desigualdade triangular,

\[ |L-K| \leq |L-a_n|+|a_n-K| \lt 2\varepsilon =\frac{2}{3}|L-K|, \]

uma contradição. Logo \(L=K\).

Proposição 11.3

Se a sequência \((a_n)\) converge, então \((a_n)\) é limitada.

Demonstração ▼

Suponha que \(a_n\to a\). Aplicando a definição com \(\varepsilon =1\), existe \(N\) tal que, para \(n\geq N\),

\[ |a_n-a|\lt 1. \]

Pela desigualdade triangular,

\[ |a_n|\leq |a_n-a|+|a|\lt |a|+1. \]

Portanto a cauda da sequência é limitada. Restam apenas os termos \(a_1,\ldots ,a_{N-1}\), em número finito. Se definirmos

\[ C=\max \{ |a_1|,\ldots ,|a_{N-1}|,|a|+1\} , \]

teremos \(|a_n|\leq C\) para todo \(n\). Logo \((a_n)\) é limitada.

Uma consequência imediata é que toda sequência não limitada diverge.

Exemplo 11.12 (Exemplos)

A sequência \((n!)\) diverge, pois \(n!\geq n\) para todo \(n\geq 1\); portanto ela não é limitada superiormente.
A sequência \((2^n)\) também diverge, pois \(2^n\gt n\) para todo \(n\geq 1\).
A sequência \(\left(\frac{n^2}{n+1}\right)\) diverge. De fato, para \(n\geq 1\),

\[ \frac{n^2}{n+1}\geq \frac{n^2}{2n}=\frac n2, \]

e o lado direito não é limitado superiormente.

Teorema 11.4

Toda sequência monótona e limitada converge.

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \((a_n)\) seja crescente e limitada. O conjunto

\[ A=\{ a_n:n\in \mathbb {N}^*\} \]

é limitado e, pela completude de \(\mathbb {R}\), possui supremo. Denote-o por \(L\). Mostraremos que \(a_n\to L\).

Como \(L\) é cota superior, \(a_n\leq L\) para todo \(n\). Seja agora \(\varepsilon \gt 0\). O número \(L-\varepsilon \) não pode ser cota superior de \(A\), pois é menor que o supremo. Logo existe \(N\) tal que

\[ a_N\gt L-\varepsilon . \]

Como a sequência é crescente, para todo \(n\geq N\) temos

\[ L-\varepsilon \lt a_N\leq a_n\leq L. \]

Figura 11.6 Uma sequência monótona crescente converge para o seu supremo.

Da desigualdade anterior segue que

\[ -\varepsilon \lt a_n-L\leq 0, \]

e, portanto, \(|a_n-L|\lt \varepsilon \). Assim \(a_n\to L\).

Se \((a_n)\) é decrescente e limitada, o argumento é análogo, usando o ínfimo de \(A\) no lugar do supremo; esse caso será deixado como exercício.

Exercício 11.15

Prove que se \((a_n)\) é decrescente e limitada então \(a_n\) converge.

Ver solução

Seja \(A=\{ a_n:n\in \mathbb {N}^*\} \), limitado inferiormente e não vazio, e seja \(L=\inf A\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), \(L+\varepsilon \) não é minorante de \(A\), logo existe \(N\) com \(a_N\lt L+\varepsilon \). Para \(n\geq N\), como \((a_n)\) é decrescente, \(L\leq a_n\leq a_N\lt L+\varepsilon \), ou seja, \(\left\lvert a_n-L\right\rvert \lt \varepsilon \). Logo \(a_n\to L\).

Exercício 11.16

Prove que as seguintes sequências divergem:
\(n-10000\)
\(n^2-2\)
\(n!\)
\(n^3\)
\((-1)^n n \)
\(a_1=1\) \(a_n=n!a_{n-1}\)
\(\sqrt{n}\) (Dica: eleve ao quadrado)
\(\operatorname {sen}(n)\) (Difícil)
\(\frac{1}{\operatorname {sen}(n)}\) (Difícil)

Ver solução

Uma sequência convergente é limitada (proposição acima); basta mostrar que cada sequência dos itens a) a g) é ilimitada. a Dado \(M\), para \(n\gt M+10000\) tem-se \(n-10000\gt M\). b \(n^2-2\geq n-2\) para \(n\geq 1\), que é ilimitada. c \(n!\geq n\). d \(n^3\geq n\). e \(\left\lvert (-1)^nn\right\rvert =n\) é ilimitada. f \(a_n=2!\, 3!\cdots n!\geq n!\geq n\) para \(n\geq 2\). g Se \(\sqrt n\leq M\) para todo \(n\), então \(n\leq M^2\) para todo \(n\), contradizendo a propriedade arquimediana. h Suponha \(\operatorname {sen}n\to L\). Pelo Exercício 11.17, \(\operatorname {sen}(n+2)\to L\); logo \(\operatorname {sen}(n+2)-\operatorname {sen}n=2\operatorname {sen}1\cos (n+1)\to 0\) e, como \(\operatorname {sen}1\neq 0\), \(\cos (n+1)\to 0\), e portanto \(\cos n\to 0\). Então \(\operatorname {sen}(2n)=2\operatorname {sen}n\cos n\to 0\). Mas \((\operatorname {sen}(2n))\) é formada por termos de \((\operatorname {sen}n)\) com índices \(2n\geq n\), logo também converge a \(L\); pela unicidade, \(L=0\). Mas então \(1=\operatorname {sen}^2n+\cos ^2n\to 0\), absurdo. i Suponha \(\frac1{\operatorname {sen}n}\to L\). Como \(\left\lvert \frac1{\operatorname {sen}n}\right\rvert \geq 1\), tem-se \(\left\lvert L\right\rvert \geq 1\), em particular \(L\neq 0\). Pela propriedade do quociente, \(\operatorname {sen}n=\frac1{1/\operatorname {sen}n}\to \frac1L\), contradizendo o item anterior.

Exercício 11.17

Dado \(k\in \mathbb {N}^*\).
Seja \((a_n)_{n=1}^{\infty }\) uma sequência real convergente e seja \(b_n=a_{n+k}\) a sequência obtida “removendo os \(k\) primeiros termos de \(a_n\)”. Prove que \(b_n\) converge e que

\[ \lim \limits _{n\to \infty }a_n=\lim \limits _{n\to \infty }b_n. \]

Prove que se \(b_n\) converge então \(a_n\) converge e que:

\[ \lim \limits _{n\to \infty }a_n=\lim \limits _{n\to \infty }b_n. \]

Ou seja, a convergência da sequência independe de um número finito de termos iniciais.

Ver solução

a Seja \(a_n\to L\) e \(\varepsilon \gt 0\). Existe \(N\) com \(\left\lvert a_n-L\right\rvert \lt \varepsilon \) para \(n\geq N\). Se \(n\geq N\), então \(n+k\geq N\) e \(\left\lvert b_n-L\right\rvert =\left\lvert a_{n+k}-L\right\rvert \lt \varepsilon \). Logo \(b_n\to L\). b Seja \(b_n\to L\) e \(\varepsilon \gt 0\). Existe \(N\) com \(\left\lvert b_m-L\right\rvert \lt \varepsilon \) para \(m\geq N\). Se \(n\geq N+k\), então \(n-k\geq N\) e \(\left\lvert a_n-L\right\rvert =\left\lvert b_{n-k}-L\right\rvert \lt \varepsilon \). Logo \(a_n\to L\).

11.2.3 Propriedades do Limite de Sequências

As propriedades seguintes mostram que as operações algébricas usuais são compatíveis com a passagem ao limite. Elas permitem obter novos limites a partir de outros já conhecidos, sem que seja necessário retornar à definição em cada caso.

Proposição 11.5

Propriedades algébricas do limite. Se \(a_n\to A\), \(b_n\to B\) e \(c\in \mathbb {R}\), então:

\(\displaystyle a_n+b_n\to A+B\).
\(\displaystyle a_n-b_n\to A-B\).
\(\displaystyle a_nb_n\to AB\).
\(\displaystyle ca_n\to cA\).
Se \(B\neq 0\), então \(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\to \frac AB\).
\(\displaystyle |a_n|\to |A|\).

Demonstraremos a propriedade da soma e a do produto. A primeira decorre diretamente da desigualdade triangular. Na segunda, será usado o fato já provado de que toda sequência convergente é limitada.

Demonstração ▼

Seja \(\varepsilon \gt 0\). Como \(a_n\to A\), existe \(N_1\) tal que

\[ n\geq N_1\Longrightarrow |a_n-A|\lt \frac{\varepsilon }{2}. \]

Como \(b_n\to B\), existe \(N_2\) tal que

\[ n\geq N_2\Longrightarrow |b_n-B|\lt \frac{\varepsilon }{2}. \]

Tomando \(N=\max \{ N_1,N_2\} \), para \(n\geq N\) temos

\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| \lt \varepsilon . \]

Logo \(a_n+b_n\to A+B\).

Demonstração da propriedade do produto ▼

Escrevemos

\[ a_nb_n-AB=a_n(b_n-B)+B(a_n-A). \]

Como \((a_n)\) converge, ela é limitada. Escolha \(C\geq 1\) tal que \(|a_n|\leq C\) para todo \(n\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), existem \(N_1\) e \(N_2\) tais que

\[ n\geq N_1 \quad \Longrightarrow \quad |b_n-B|\lt \frac{\varepsilon }{2C}, \]

\[ n\geq N_2 \quad \Longrightarrow \quad |a_n-A|\lt \frac{\varepsilon }{2(|B|+1)}. \]

Tomando \(N=\max \{ N_1,N_2\} \), para \(n\geq N\) obtemos

\[ \begin{aligned} |a_nb_n-AB| & \leq |a_n|\, |b_n-B|+|B|\, |a_n-A|\\ & \lt C\frac{\varepsilon }{2C} +|B|\frac{\varepsilon }{2(|B|+1)} \lt \varepsilon . \end{aligned} \]

Logo \(a_nb_n\to AB\).

Exemplo 11.13 (Exercício resolvido)

Calcule \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }\frac{2n+1}{n+3}\).

Solução

Os termos dominantes do numerador e do denominador são ambos de grau \(1\). Para tornar essa comparação explícita, dividimos os dois por \(n\):

\[ \frac{2n+1}{n+3} = \frac{2+\frac1n}{1+\frac3n}. \]

Agora a parte que depende de \(n\) aparece apenas nas parcelas \(1/n\) e \(3/n\), que convergem a \(0\). Portanto, pelas propriedades algébricas,

\[ \lim _{n\to \infty }\frac{2n+1}{n+3}=\frac{2+0}{1+0}=2. \]

A manipulação algébrica não é apenas um truque de cálculo: ela separa a parte que permanece daquela que desaparece na cauda da sequência.

Exercício 11.18

Usando as propriedades algébricas, calcule:
\(\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(3+\frac{2}{n}\right)\).
\(\displaystyle \lim _{n\to \infty }\frac{3n-1}{2n+5}\).
\(\displaystyle \lim _{n\to \infty }\frac{n^2+1}{2n^2+3}\).

Ver solução

a \(\frac2n\to 0\), então \(3+\frac2n\to 3\) (soma). b Dividindo por \(n\): \(\frac{3n-1}{2n+5}=\frac{3-1/n}{2+5/n}\to \frac32\). c Dividindo por \(n^2\): \(\frac{n^2+1}{2n^2+3}=\frac{1+1/n^2}{2+3/n^2}\to \frac12\), pois \(\frac1{n^2}=\frac1n\cdot \frac1n\to 0\).

Exercício 11.19

Prove diretamente a partir da definição que, se \(a_n\to A\), então \(ca_n\to cA\).

Ver solução

Se \(c=0\), \(ca_n=0\to 0=cA\). Se \(c\neq 0\), dado \(\varepsilon \gt 0\) existe \(N\) tal que \(\left\lvert a_n-A\right\rvert \lt \frac\varepsilon {\left\lvert c\right\rvert }\) para \(n\geq N\). Então, para \(n\geq N\), \(\left\lvert ca_n-cA\right\rvert =\left\lvert c\right\rvert \, \left\lvert a_n-A\right\rvert \lt \varepsilon \).

11.2.4 Teorema do confronto

O teorema do confronto formaliza uma observação geométrica simples. Se, a partir de certo índice, uma sequência permanece entre duas outras e ambas convergem para o mesmo número \(L\), então a sequência intermediária também converge para \(L\).

Teorema 11.6 (Teorema do confronto)

Sejam \((a_n)\), \((b_n)\) e \((c_n)\) sequências reais tais que

\[ a_n\leq b_n\leq c_n \]

para todo \(n\) suficientemente grande. Se \(a_n\to L\) e \(c_n\to L\), então \(b_n\to L\).

Demonstração ▼

Seja \(\varepsilon \gt 0\). Existem \(N_1\) e \(N_2\) tais que, para \(n\geq N_1\),

\[ L-\varepsilon \lt a_n\lt L+\varepsilon , \]

e, para \(n\geq N_2\),

\[ L-\varepsilon \lt c_n\lt L+\varepsilon . \]

Tomando \(N\) também grande o suficiente para que \(a_n\leq b_n\leq c_n\), obtemos, para \(n\geq N\),

\[ L-\varepsilon \lt a_n\leq b_n\leq c_n\lt L+\varepsilon . \]

Portanto \(|b_n-L|\lt \varepsilon \), e assim \(b_n\to L\).

Exemplo 11.14 (Exercício resolvido)

Se \(|r|\lt 1\), então \(r^n\longrightarrow 0\).

Solução

Comecemos pelo caso \(0\lt r\lt 1\). Escreva

\[ \frac1r=1+\alpha , \qquad \alpha \gt 0. \]

Pela desigualdade de Bernoulli,

\[ (1+\alpha )^n\geq 1+n\alpha . \]

Logo

\[ 0\lt r^n=\frac{1}{(1+\alpha )^n} \leq \frac{1}{1+n\alpha } \lt \frac{1}{n\alpha }. \]

Como \(1/(n\alpha )\to 0\), o teorema do confronto implica \(r^n\to 0\).

Se \(-1\lt r\lt 0\), então \(0\lt |r|\lt 1\) e

\[ -|r|^n\leq r^n\leq |r|^n. \]

Como os dois extremos convergem a \(0\), novamente pelo teorema do confronto, \(r^n\to 0\).

Exemplo 11.15 (Exercício resolvido)

A sequência \(\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}\) converge a \(0\).

Solução

Para todo \(n\geq 1\),

\[ -\frac1n\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac1n. \]

Como \(-1/n\to 0\) e \(1/n\to 0\), o teorema do confronto implica

\[ \frac{(-1)^n}{n}\longrightarrow 0. \]

Exemplo 11.16 (Exercício resolvido)

A sequência \(\displaystyle b_n=\frac{\operatorname {sen}n}{n}\) converge a \(0\).

Solução

Como \(-1\leq \operatorname {sen}n\leq 1\), temos

\[ -\frac1n\leq \frac{\operatorname {sen}n}{n}\leq \frac1n. \]

Novamente, pelo teorema do confronto,

\[ \frac{\operatorname {sen}n}{n}\longrightarrow 0. \]

Exercício 11.20

Use o teorema do confronto para provar que:
\(\displaystyle \frac{\cos n}{n}\longrightarrow 0\).
\(\displaystyle \frac{(-1)^n}{n^2}\longrightarrow 0\).
Se \(|a_n|\leq \frac{1}{n}\) para todo \(n\), então \(a_n\to 0\).

Ver solução

a \(-\frac1n\leq \frac{\cos n}n\leq \frac1n\) e \(\pm \frac1n\to 0\). b \(-\frac1{n^2}\leq \frac{(-1)^n}{n^2}\leq \frac1{n^2}\) e \(\frac1{n^2}=\frac1n\cdot \frac1n\to 0\). c De \(\left\lvert a_n\right\rvert \leq \frac1n\) segue \(-\frac1n\leq a_n\leq \frac1n\), e ambos os extremos tendem a \(0\).

11.3 Limites infinitos

Nem toda sequência se aproxima de um número real. Há sequências cujos pontos sobem continuamente no gráfico e acabam ultrapassando qualquer reta horizontal que desenhemos. A sequência \(a_n=n\) é o exemplo mais simples: escolhido um nível \(M\), basta avançar suficientemente para a direita para que todos os pontos seguintes fiquem acima dele. Escrevemos então

\[ a_n\longrightarrow +\infty . \]

De modo análogo, \(a_n\longrightarrow -\infty \) descreve uma cauda que acaba ficando abaixo de qualquer nível negativo previamente fixado. Os símbolos \(+\infty \) e \(-\infty \) registram esses comportamentos; não designam novos números reais.

Definição 11.4

Dizemos que uma sequência \((a_n)\) tende a \(+\infty \) se, para todo \(M\gt 0\), existe \(N\in \mathbb {N}^*\) tal que

\[ n\geq N \quad \Longrightarrow \quad a_n\gt M. \]

Dizemos que \((a_n)\) tende a \(-\infty \) se, para todo \(M\gt 0\), existe \(N\in \mathbb {N}^*\) tal que

\[ n\geq N \quad \Longrightarrow \quad a_n\lt -M. \]

O símbolo \(\infty \) não representa um número real. A notação \(a_n\to +\infty \), portanto, não significa que a sequência esteja se aproximando de um ponto chamado “infinito”. Ela resume uma afirmação sobre ultrapassar todas as cotas reais.

Exemplo 11.17 (Exercício resolvido)

A sequência \(a_n=n\) satisfaz \(a_n\longrightarrow +\infty \).

Demonstração ▼

Seja \(M\gt 0\). Pela propriedade arquimediana, existe \(N\in \mathbb {N}^*\) tal que \(N\gt M\). Logo, se \(n\geq N\), então

\[ n\geq N\gt M. \]

Portanto \(n\longrightarrow +\infty \).

Exemplo 11.18 (Exercício resolvido)

A sequência \(a_n=2n+3\) satisfaz \(a_n\longrightarrow +\infty \).

Demonstração ▼

Seja \(M\gt 0\). Pela propriedade arquimediana, podemos escolher \(N\in \mathbb {N}^*\) com \(N\gt M\). Se \(n\geq N\), então

\[ 2n+3\gt n\geq N\gt M. \]

Logo \(2n+3\longrightarrow +\infty \).

Exemplo 11.19 (Exercício resolvido)

A sequência \(a_n=-n^2\) satisfaz \(a_n\longrightarrow -\infty \).

Demonstração ▼

Seja \(M\gt 0\). Escolha, pela propriedade arquimediana, \(N\in \mathbb {N}^*\) tal que \(N\gt M\). Se \(n\geq N\), então \(n^2\geq n\geq N\gt M\), e portanto

\[ -n^2\lt -M. \]

Assim, \(-n^2\longrightarrow -\infty \).

Os três exemplos têm a mesma estrutura das provas de limites finitos: fixamos uma exigência e procuramos um índice a partir do qual toda a cauda a satisfaz. A diferença está apenas na geometria da exigência. Para um limite finito, queremos entrar numa faixa estreita em torno de um nível; para \(+\infty \), queremos ficar acima de uma reta horizontal arbitrária; para \(-\infty \), abaixo dela.

Exercício 11.21

Prove diretamente a partir da definição que:
\(n+5\longrightarrow +\infty \).
\(3n\longrightarrow +\infty \).
\(4-n\longrightarrow -\infty \).
\(-2n-1\longrightarrow -\infty \).

Ver solução

a Dado \(M\gt 0\), tome \(N\gt M\). Se \(n\geq N\), então \(n+5\gt n\gt M\). b Dado \(M\gt 0\), tome \(N\gt M\). Se \(n\geq N\), então \(3n\geq n\gt M\). c Dado \(M\gt 0\), tome \(N\gt M+4\). Se \(n\geq N\), então \(4-n\lt 4-(M+4)=-M\). d Dado \(M\gt 0\), tome \(N\gt M\). Se \(n\geq N\), então \(-2n-1\lt -n\leq -N\lt -M\).

Exercício 11.22

Explique por que a sequência \((-1)^n n\) não tende nem a \(+\infty \) nem a \(-\infty \).

Ver solução

Os termos de índice par são \(a_n=n\gt 0\) e os de índice ímpar são \(a_n=-n\lt 0\). Se tendesse a \(+\infty \), para \(M=1\) existiria \(N\) com \(a_n\gt 1\) para todo \(n\geq N\), mas há termos ímpares \(n\geq N\) com \(a_n\lt 0\). Se tendesse a \(-\infty \), para \(M=1\) existiria \(N\) com \(a_n\lt -1\) para todo \(n\geq N\), mas há termos pares \(n\geq N\) com \(a_n\gt 0\).

11.4 \(\star \) Séries

Uma soma com infinitos termos não pode ser realizada “de uma vez”. O que podemos fazer é somar um número finito de parcelas, depois mais uma, depois mais outra, obtendo uma sequência de resultados. A pergunta sobre a soma infinita transforma-se, assim, numa pergunta sobre o limite dessa nova sequência.

Dada uma sequência \((a_k)\), definimos sua \(n\)-ésima soma parcial por

\[ s_n=\sum _{k=1}^{n}a_k. \]

As somas parciais formam uma nova sequência

\[ s_1,\ s_2,\ s_3,\ldots \]

e é o comportamento dessa sequência que determina o significado da soma infinita.

Definição 11.5

Dizemos que a série

\[ \sum _{k=1}^{\infty }a_k \]

converge quando a sequência de somas parciais

\[ s_n=\sum _{k=1}^{n}a_k \]

converge. Se \(s_n\longrightarrow S\), escrevemos

\[ \sum _{k=1}^{\infty }a_k=S. \]

Assim, o símbolo de soma infinita é entendido por meio da sequência

\[ a_1,\qquad a_1+a_2,\qquad a_1+a_2+a_3,\qquad \ldots \]

de somas parciais. Cada termo dessa sequência é uma soma perfeitamente finita. A palavra “infinita” refere-se ao processo de continuar formando somas parciais; a série converge quando esses resultados finitos se aproximam de um mesmo número.

11.4.1 Série geométrica

O exemplo mais importante é a série geométrica

\[ p+pr+pr^2+pr^3+\cdots . \]

Sua \(n\)-ésima soma parcial, começando em \(k=0\), é

\[ s_n=\sum _{k=0}^{n}pr^k. \]

Se \(r\neq 1\), a fórmula da soma de uma progressão geométrica fornece

\[ s_n=p\, \frac{1-r^{n+1}}{1-r}. \]

Quando \(|r|\lt 1\), temos \(r^{n+1}\longrightarrow 0\). Portanto

\[ \sum _{k=0}^{\infty }pr^k = \lim _{n\to \infty }s_n = \frac{p}{1-r}. \]

Em particular,

\begin{equation} 1+r+r^2+r^3+\cdots =\frac{1}{1-r}, \qquad |r|\lt 1. \label{somageometrica} \tag{11.1} \end{equation}

Exemplo 11.20 (Exercício resolvido)

Calcule

\[ 3-\frac65+\frac{12}{25}-\frac{24}{125}+\cdots . \]

Solução

A série é geométrica, com primeiro termo \(p=3\) e razão \(r=-2/5\). Suas somas parciais são

\[ s_n=3\, \frac{1-(-2/5)^{n+1}}{1+2/5}. \]

Como \((-2/5)^{n+1}\to 0\), a parte que depende de \(n\) desaparece no limite. Assim,

\[ 3-\frac65+\frac{12}{25}-\frac{24}{125}+\cdots =\lim _{n\to \infty }s_n =\frac{3}{1+\frac25} =\frac{15}{7}. \]

A fórmula da série geométrica é, portanto, a fórmula das somas finitas observada no limite.

11.4.2 Série telescópica

Há também séries cuja soma se simplifica por cancelamentos sucessivos. Suponha que os termos possam ser escritos na forma

\[ a_k=b_k-b_{k+1}. \]

Então

\[ \begin{aligned} s_n & =\sum _{k=1}^{n}(b_k-b_{k+1})\\ & =(b_1-b_2)+(b_2-b_3)+\cdots +(b_n-b_{n+1})\\ & =b_1-b_{n+1}. \end{aligned} \]

Se \(b_n\longrightarrow b\), segue que

\[ \sum _{k=1}^{\infty }a_k=b_1-b. \]

Exemplo 11.21 (Exercício resolvido)

Calcule

\[ \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}. \]

Solução

Como

\[ \frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac{1}{k+1}, \]

a \(n\)-ésima soma parcial é

\[ s_n = 1-\frac{1}{n+1}. \]

Como \(s_n\longrightarrow 1\),

\[ \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}=1. \]

Os dois exemplos mostram a mesma ideia por mecanismos diferentes. Na série geométrica, a fórmula das somas parciais contém um termo que desaparece; na telescópica, quase todas as parcelas se cancelam. Em ambos os casos, uma construção infinita é compreendida acompanhando uma sequência de objetos finitos.

Exercício 11.23

Calcule as séries geométricas:
\(\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(\frac12\right)^k\).
\(\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }3\left(-\frac14\right)^k\).
\(\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(\frac13\right)^k\).

Ver solução

a \(\displaystyle \frac1{1-\frac12}=2\). b \(\displaystyle \frac3{1-\left(-\frac14\right)}=\frac3{\frac54}=\frac{12}5\). c \(\displaystyle \sum _{k=1}^\infty \left(\frac13\right)^k=\frac{\frac13}{1-\frac13}=\frac12\).

Exercício 11.24

Escreva cada termo como uma diferença e calcule:
\(\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(k+1)(k+2)}\).
\(\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{k(k+2)}\).

Ver solução

a \(\frac1{(k+1)(k+2)}=\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\), logo a soma parcial é \(S_n=\frac12-\frac1{n+2}\to \frac12\). A soma é \(\frac12\). b \(\frac2{k(k+2)}=\frac1k-\frac1{k+2}\), logo \(S_n=1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\to \frac32\). A soma é \(\frac32\).