Capítulo 9

Funções exponenciais e logarítmicas

Embora mudada, ressurjo a mesma.
Jakob Bernoulli

As funções estudadas até aqui foram construídas principalmente a partir de somas, produtos, potências inteiras e raízes. Nas funções exponenciais, a base é mantida fixa e a variável ocupa o expoente. Essa diferença, embora simples na escrita, produz um comportamento distinto daquele observado nas funções potência. Compare, por exemplo,

\[ x^2 \qquad \text{e}\qquad 2^x. \]

A função exponencial descreve uma variação de natureza multiplicativa. Sua inversão conduz à função logarítmica: determinar $x$ a partir de uma igualdade da forma $a^x=y$ significa determinar o logaritmo de $y$ na base $a$. As propriedades das duas funções decorrem, em grande parte, das mesmas leis das potências.

9.1 Da potência à função exponencial

Anteriormente foram construídas as potências de expoentes inteiros e racionais e admitida, para bases positivas, sua extensão aos expoentes reais. Tomaremos essa extensão como ponto de partida, sem refazer aqui sua construção. Continuam válidas as leis

\[ a^{x+y}=a^xa^y,\qquad a^{-x}=\frac1{a^x},\qquad (a^x)^r=a^{xr}, \qquad a\gt 0, \]

para expoentes reais $x,y,r$.

Definição 9.1 (Função exponencial)

Fixe $a\gt 0$, com $a\neq 1$. A função exponencial de base $a$ é

\[ f:\mathbb {R}\longrightarrow (0,+\infty ), \qquad f(x)=a^x. \]

A positividade pode ser reconhecida nas próprias leis das potências. Como $a^{x/2}a^{-x/2}=1$, o número $a^{x/2}$ não é zero; portanto,

\[ a^x=(a^{x/2})^2\gt 0. \]

Assim, o gráfico permanece acima do eixo horizontal e não possui zeros. Além disso, $a^0=1$, de modo que todas essas funções passam pelo ponto $(0,1)$. A base $a=1$ foi excluída porque produziria a função constante $1$.

Para compreender a monotonicidade, recordemos primeiro que, se $a\gt 1$ e $t=m/n\gt 0$ é racional, então $a^t=\sqrt[n]{a^m}\gt 1$. A extensão aos expoentes reais conserva essa comparação; admitiremos esse fato juntamente com a extensão. Logo, $a^t\gt 1$ para todo real $t\gt 0$. Se $0\lt a\lt 1$, a igualdade $a^t=1/(1/a)^t$ fornece, em vez disso, $0\lt a^t\lt 1$.

Agora, para $y\gt x$, temos

\[ \frac{a^y}{a^x}=a^{y-x}. \]

Quando $a\gt 1$, esse quociente é maior que $1$, logo $a^y\gt a^x$. Quando $0\lt a\lt 1$, ele é menor que $1$, logo $a^y\lt a^x$. Portanto, a exponencial é estritamente crescente no primeiro caso e estritamente decrescente no segundo. A lei do produto transforma a comparação entre dois valores da função em uma comparação com $1$.

Usaremos também um fato sobre essa extensão das potências, admitido aqui sem demonstração: todo número positivo é atingido por $x\mapsto a^x$. Portanto,

\[ \operatorname {Im}(x\mapsto a^x)=(0,+\infty ). \]

A monotonicidade garante que cada valor é atingido no máximo uma vez; a afirmação sobre a imagem garante que todo valor positivo é atingido. Juntas, essas duas propriedades permitem inverter a função exponencial.

Geometricamente, o segundo caso é uma reflexão do primeiro. Se $0\lt a\lt 1$, então $1/a\gt 1$ e

\[ a^x=\left(\frac1a\right)^{-x}. \]

Assim, uma exponencial de base menor que $1$ é obtida refletindo horizontalmente uma exponencial de base maior que $1$.

Figura 9.1 Para $a\gt 1$, $a^x$ cresce; para $0\lt a\lt 1$, decresce. Em ambos os casos, o gráfico permanece acima do eixo horizontal e passa por $(0,1)$.

O comportamento nas extremidades também pode ser explicado. Para $a\gt 1$, escreva $a=1+c$, com $c\gt 0$. A desigualdade

\[ a^n=(1+c)^n\geq 1+nc,\qquad n\in \mathbb {N}, \]

segue por indução: ao multiplicar $1+nc$ por $1+c$, obtemos $1+(n+1)c+nc^2\geq 1+(n+1)c$. Como $1+nc$ cresce sem limite, o mesmo acontece com $a^n$. A monotonicidade estende essa conclusão aos expoentes reais: entre dois inteiros consecutivos, o valor de $a^x$ fica entre as potências correspondentes.

No sentido contrário, $a^{-x}=1/a^x$. Quando $x$ positivo cresce, o denominador cresce sem limite e seu recíproco se aproxima de zero. Portanto, para argumentos negativos de módulo cada vez maior, o gráfico se aproxima do eixo horizontal, sempre por cima. É por isso que $y=0$ é uma assíntota horizontal. Para $0\lt a\lt 1$, a reflexão já descrita inverte os dois comportamentos.

Exemplo 9.1 (Comparando $a^x$ e $a^{-x}$)

Fixe $a\gt 0$, $a\neq 1$. Compare os gráficos de $a^x$ e $a^{-x}$.

Solução

Substituir $x$ por $-x$ reflete um gráfico em relação ao eixo $y$. Portanto, os gráficos de

\[ f(x)=a^x \qquad \text{e}\qquad g(x)=a^{-x}=f(-x) \]

são simétricos em relação a esse eixo e se encontram em $(0,1)$. Se $a\gt 1$, $f$ é crescente e $g$ é decrescente; se $0\lt a\lt 1$, ocorre o contrário.

9.1.1 Transformações do gráfico exponencial

Para

\[ F(x)=A\, a^{B(x-h)}+k, \qquad A\neq 0,\quad B\neq 0, \]

o parâmetro $h$ produz uma translação horizontal, $k$ uma translação vertical, $A$ controla a escala vertical e seu sinal pode refletir o gráfico, enquanto $B$ altera a escala horizontal.

Como $B\neq 0$, a expressão $B(x-h)$ percorre toda a reta quando $x$ percorre $\mathbb {R}$. A potência assume, portanto, todos os valores positivos. Multiplicar por $A$ e somar $k$ fornece a imagem $(k,+\infty )$ se $A\gt 0$, e $(-\infty ,k)$ se $A\lt 0$. Em particular, o gráfico não cruza a reta $y=k$. A aproximação de $a^{B(x-h)}$ a zero, em uma das extremidades, mostra que essa reta é a assíntota horizontal do gráfico transformado.

Exemplo 9.2

Determine domínio, imagem e assíntota horizontal de

\[ f(x)=2^{x-1}+3. \]

Descreva seu gráfico a partir de $y=2^x$.

Solução

Comecemos pela expressão $2^{x-1}$. O termo $x-1$ indica uma translação de uma unidade para a direita do gráfico de $2^x$. Como uma potência de base positiva é sempre positiva, temos

\[ 2^{x-1}\gt 0 \]

para todo $x\in \mathbb {R}$. Ao somar $3$, todo o gráfico é deslocado três unidades para cima. Assim,

\[ \operatorname {Dom}f=\mathbb {R},\qquad \operatorname {Im}f=(3,+\infty ). \]

O valor $3$ não é atingido: ele funciona como uma fronteira horizontal para os valores da função. Geometricamente, a assíntota $y=0$ de $2^x$ é transportada para a reta $y=3$.

Exemplo 9.3 (Reflexões, escalas e deslocamentos)

Considere

\[ f(x)=4-3\, 2^{-2(x-1)}. \]

Descreva seu gráfico a partir de $y=2^x$ e determine domínio, imagem, monotonicidade e assíntota horizontal.

Solução

A expressão é construída em etapas: de $x$ passamos a $-2(x-1)$, aplicamos a exponencial, multiplicamos por $-3$ e somamos $4$. Para acompanhar o gráfico sem confundir os deslocamentos, tome um ponto $(t,2^t)$ da curva original. Como $t=-2(x-1)$ equivale a $x=1-t/2$, o ponto correspondente no novo gráfico é

\[ \left(1-\frac t2,\ 4-3\, 2^t\right). \]

Na horizontal há uma reflexão, uma redução das distâncias por fator $1/2$ e um deslocamento de uma unidade para a direita. Na vertical há uma reflexão, uma ampliação por fator $3$ e um deslocamento de quatro unidades para cima. Por exemplo,

\[ (0,1)\longmapsto (1,1),\quad (2,4)\longmapsto (0,-8),\quad (-2,1/4)\longmapsto (2,13/4). \]

O domínio é $\mathbb {R}$. A potência assume todos os valores positivos; multiplicar por $-3$ e somar $4$ produz exatamente os valores menores que $4$. Assim, $\operatorname {Im}f=(-\infty ,4)$.

Quando $x$ aumenta, $-2(x-1)$ diminui e a potência de $2$ também diminui. A multiplicação por $-3$ inverte novamente a desigualdade: $f$ é estritamente crescente. Para valores positivos cada vez maiores de $x$, a potência se aproxima de zero, e $f(x)$ se aproxima de $4$ por baixo. A assíntota horizontal é, portanto, $y=4$.

Exercício 9.1

Para cada função, determine domínio, imagem, monotonicidade e assíntota horizontal.
$f(x)=3^x$.
$g(x)=(1/4)^x$.
$h(x)=2^{x+2}-1$.
$q(x)=5-3^{-x}$.

Ver solução

$\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}f=(0,\infty )$, crescente, assíntota $y=0$.
$\operatorname {Dom}g=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}g=(0,\infty )$, decrescente, assíntota $y=0$.
$\operatorname {Dom}h=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}h=(-1,\infty )$, crescente, assíntota $y=-1$.
$\operatorname {Dom}q=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}q=(-\infty ,5)$, crescente, assíntota $y=5$.

Exercício 9.2

Mostre que $a^{-x}=1/a^x$ e use isso para explicar a simetria entre os gráficos de $a^x$ e $a^{-x}$.

Ver solução

Da lei $a^{x+(-x)}=a^xa^{-x}=a^0=1$, segue $a^{-x}=1/a^x$. Como $a^{-x}=f(-x)$, a segunda função é a reflexão horizontal da primeira.

Exercício 9.3

Para $f(x)=(3/2)^x$, calcule $f(-2)$, $f(0)$ e $f(3)$. Compare os valores obtidos e justifique a monotonicidade da função pelo valor da base.

Ver solução

\[ f(-2)=\frac49,\qquad f(0)=1,\qquad f(3)=\frac{27}{8}. \]

Como a base é maior que $1$, a função é crescente.

Exercício 9.4

Compare $2^x$ e $4^x$ nos casos $x\lt 0$, $x=0$ e $x\gt 0$.

Ver solução

Como $4^x=2^{2x}$, para $x\gt 0$ temos $4^x\gt 2^x$; para $x=0$, ambas valem $1$; para $x\lt 0$, $4^x\lt 2^x$.

Exercício 9.5

Resolva sem usar logaritmos:

\[ 2^x=\frac18. \]

Ver solução

Como $1/8=2^{-3}$, temos $x=-3$.

Exercício 9.6

Determine domínio, imagem, monotonicidade e assíntota horizontal de

\[ g(x)=-2^x. \]

Ver solução

\[ \operatorname {Dom}g=\mathbb {R},\qquad \operatorname {Im}g=(-\infty ,0). \]

Como $2^x$ é crescente, $-2^x$ é decrescente. A assíntota horizontal é $y=0$.

Exercício 9.7

Descreva as transformações que levam $y=2^x$ ao gráfico de

\[ h(x)=3\, 2^{x-1}-4 \]

e determine sua imagem.

Ver solução

O gráfico é deslocado uma unidade para a direita, esticado verticalmente por fator $3$ e deslocado quatro unidades para baixo. Como $3\, 2^{x-1}\gt 0$,

\[ \operatorname {Im}h=(-4,\infty ). \]

9.2 Variação multiplicativa e modelos exponenciais

Uma função afim acrescenta sempre a mesma quantidade quando a variável cresce uma unidade. Na função exponencial, incrementos iguais da variável produzem um mesmo fator multiplicativo. Para qualquer incremento real $h$,

\[ \frac{a^{x+h}}{a^x}=a^h. \]

A razão depende de $h$, mas não do ponto inicial $x$. Em particular, $a^{x+1}=a\, a^x$. Assim, o que permanece constante, para um incremento fixado, não é uma diferença, mas uma razão.

Se uma grandeza positiva $Q$ é multiplicada por um fator $r\gt 0$ a cada unidade de tempo, seus valores nos instantes inteiros são

\[ Q(n)=Q_0r^n,\qquad Q_0\gt 0. \]

Para descrever também tempos não inteiros, adotamos o modelo exponencial

\[ Q(t)=Q_0r^t,\qquad t\geq 0. \]

Essa escolha estende a regularidade multiplicativa a intervalos de qualquer duração: $Q(t+h)/Q(t)=r^h$ sempre que os dois instantes pertencem ao domínio. A informação sobre unidades inteiras de tempo, sozinha, não determina os valores intermediários. Quando $r\gt 1$, o modelo é crescente; quando $0\lt r\lt 1$, é decrescente; para $r=1$, a grandeza permanece constante.

Exemplo 9.4 (Crescimento por duplicação)

Uma cultura contém inicialmente $250$ bactérias e dobra a cada $3$ horas. Construa um modelo exponencial e determine a população após $12$ horas.

Solução

Em $t$ horas ocorrem $t/3$ períodos de duplicação. Assim,

\[ N(t)=250\, 2^{t/3}, \qquad t\geq 0. \]

Logo,

\[ N(12)=250\, 2^4=4000. \]

O modelo supõe recursos e espaço suficientes; não deve ser extrapolado indefinidamente.

Exercício 9.8

Uma população inicial de $1200$ indivíduos cresce $8\% $ ao ano. Escreva o modelo e calcule a população prevista após cinco anos.

Ver solução

\[ P(t)=1200(1{,}08)^t, \qquad P(5)\approx 1763. \]

Exercício 9.9

Uma substância perde $12\% $ de sua massa a cada hora. Se a massa inicial é $50$ g, determine a massa prevista após seis horas.

Ver solução

\[ M(t)=50(0{,}88)^t, \qquad M(6)\approx 23{,}22\text{ g}. \]

Exercício 9.10

Duas populações são modeladas por

\[ A(t)=1000(1{,}05)^t, \qquad B(t)=1500(1{,}02)^t. \]

Explique por que descobrir quando $A(t)=B(t)$ é um problema inverso da exponenciação.

Ver solução

A incógnita aparece no expoente. Isolá-la exige desfazer uma exponenciação; essa operação inversa será precisamente o logaritmo.

Exercício 9.11

Uma grandeza exponencial satisfaz $Q(0)=80$ e $Q(3)=640$. Sabendo que o fator multiplicativo é constante a cada unidade de tempo, determine $Q(t)$.

Ver solução

Se $Q(t)=80r^t$, então $80r^3=640$, logo $r^3=8$ e $r=2$. Portanto,

\[ Q(t)=80\, 2^t. \]

Exercício 9.12

Qual dos modelos abaixo representa variação exponencial? Explique.

\[ A(t)=100+20t, \qquad B(t)=100(1{,}2)^t. \]

Ver solução

$A$ tem acréscimo constante de $20$ por unidade de tempo, portanto é afim. $B$ tem fator multiplicativo constante $1{,}2$, portanto é exponencial.

9.3 Função logarítmica

Considere a equação

\[ 2^x=10. \]

Não há uma potência inteira de $2$ igual a $10$, mas a função $2^x$ é estritamente crescente e sua imagem é $(0,+\infty )$. Existe, portanto, um único número real $x$ que resolve a equação.

Esse número é, por definição, $\log _2 10$.

De modo geral, em uma igualdade $a^x=y$, com $a\gt 0$, $a\neq 1$ e $y\gt 0$, o logaritmo fornece o expoente $x$. Trata-se, portanto, da operação inversa da exponenciação.

Definição 9.2 (Função logarítmica)

Fixe $a\gt 0$, com $a\neq 1$. A função logarítmica de base $a$ é a inversa da função exponencial de base $a$:

\[ \log _a:(0,+\infty )\longrightarrow \mathbb {R}. \]

Por definição,

\[ \boxed {\log _a y=x\quad \Longleftrightarrow \quad a^x=y}, \qquad y\gt 0. \]

A definição já contém duas informações fundamentais. Primeiro, o argumento do logaritmo precisa ser positivo, pois a exponencial de base positiva nunca assume valores nulos ou negativos. Segundo, o valor de um logaritmo é um expoente. Por exemplo,

\[ \log _2 8=3,\qquad \log _{10}(0{,}01)=-2,\qquad \log _3 1=0, \]

porque

\[ 2^3=8,\qquad 10^{-2}=0{,}01,\qquad 3^0=1. \]

Como exponencial e logaritmo são inversas,

\[ a^{\log _a x}=x\qquad (x\gt 0) \]

\[ \log _a(a^x)=x\qquad (x\in \mathbb {R}). \]

Figura 9.2 Os gráficos de y=a^x e y=log _a x são reflexos um do outro em relação à reta y=x. — Figura 9.2 Os gráficos de $y=a^x$ e $y=\log _a x$ são reflexos um do outro em relação à reta $y=x$.

A inversão troca domínio e imagem:

\[ \operatorname {Dom}(\log _a)=(0,+\infty ), \qquad \operatorname {Im}(\log _a)=\mathbb {R}. \]

A segunda igualdade pode ser verificada diretamente: dado qualquer real $u$, o número positivo $a^u$ satisfaz $\log _a(a^u)=u$. Portanto, não apenas valores positivos, mas também zero e todos os valores negativos aparecem como valores do logaritmo.

A monotonicidade também decorre da inversão. Se $0\lt x\lt y$ e escrevemos $x=a^u$, $y=a^v$, então $u\lt v$ quando $a\gt 1$, pois a exponencial é crescente. Logo, $\log _a x\lt \log _a y$. Para $0\lt a\lt 1$, a exponencial é decrescente, e $a^u\lt a^v$ exige $u\gt v$; nesse caso, o logaritmo também é decrescente.

Como $\log _a1=0$, basta comparar o argumento com $1$ para determinar o sinal. Para $a\gt 1$, o logaritmo é negativo em $(0,1)$ e positivo em $(1,+\infty )$. Para $0\lt a\lt 1$, esses sinais se invertem. Em qualquer base admissível, seu único zero é $1$ e seu gráfico passa por $(a,1)$, pois $\log _a a=1$.

A reflexão em relação a $y=x$ transforma a assíntota horizontal $y=0$ da exponencial na assíntota vertical $x=0$ do logaritmo. Algebricamente, para $a\gt 1$, os números $a^{-t}$ se aproximam de zero quando $t$ positivo cresce, enquanto

\[ \log _a(a^{-t})=-t. \]

Assim, argumentos positivos próximos de zero correspondem a valores negativos de módulo cada vez maior. Para $0\lt a\lt 1$, usamos $a^t$ no lugar de $a^{-t}$ e obtemos $\log _a(a^t)=t$: a aproximação a zero corresponde, então, a valores positivos cada vez maiores.

Exemplo 9.5

Calcule

\[ \log _2 32,\qquad \log _{10}(0{,}001),\qquad \log _3\left(\frac1{27}\right). \]

Solução

Perguntamos a que expoente devemos elevar a base:

\[ 2^5=32,\qquad 10^{-3}=0{,}001,\qquad 3^{-3}=\frac1{27}. \]

Logo,

\[ \log _2 32=5,\qquad \log _{10}(0{,}001)=-3,\qquad \log _3(1/27)=-3. \]

Exercício 9.13

Reescreva cada afirmação na forma exponencial.
$\log _2 16=4$.
$\log _5(1/25)=-2$.
$\log _{10}1000=3$.

Ver solução

$2^4=16$, $5^{-2}=1/25$ e $10^3=1000$.

Exercício 9.14

Reescreva cada afirmação na forma logarítmica.
$3^4=81$.
$10^{-5}=0{,}00001$.
$7^0=1$.

Ver solução

$\log _3 81=4$, $\log _{10}(10^{-5})=-5$ e $\log _7 1=0$.

Exercício 9.15

Determine domínio, imagem, monotonicidade e assíntota vertical de $f(x)=\log _{1/3}x$.

Ver solução

\[ \operatorname {Dom}f=(0,\infty ),\qquad \operatorname {Im}f=\mathbb {R}. \]

A função é decrescente e sua assíntota vertical é $x=0$.

Exercício 9.16

Explique por que $\log _a(-2)$ não é um número real para nenhuma base real admissível $a$.

Ver solução

Para $a\gt 0$, toda potência real $a^x$ é positiva. Portanto não existe expoente real $x$ com $a^x=-2$.

Exercício 9.17

Calcule diretamente pela definição.
$\log _4 64$.
$\log _9(1/3)$.
$\log _{1/2}8$.

Ver solução

$3$, $-1/2$ e $-3$, respectivamente.

Exercício 9.18

Determine domínio, imagem e assíntota vertical de

\[ f(x)=\log _2(x-3)+1. \]

Ver solução

É preciso $x-3\gt 0$, portanto

\[ \operatorname {Dom}f=(3,\infty ),\qquad \operatorname {Im}f=\mathbb {R}. \]

A assíntota vertical é $x=3$.

Exercício 9.19

Escreva a solução de $5^x=17$ usando logaritmos.

Ver solução

\[ x=\log _5 17. \]

9.4 Propriedades dos logaritmos

As propriedades algébricas dos logaritmos decorrem diretamente das leis das potências e da relação de inversão entre logaritmo e exponencial. Fixe uma base $a\gt 0$, $a\neq 1$, tome $x,y\gt 0$ e escreva

\[ u=\log _a x,\qquad v=\log _a y. \]

Então $x=a^u$ e $y=a^v$. Multiplicando,

\[ xy=a^{u+v}, \]

e, pela definição de logaritmo,

\[ \boxed {\log _a(xy)=\log _a x+\log _a y}. \]

Para o quociente, $x/y=a^u/a^v=a^{u-v}$. O expoente correspondente a $x/y$ é, portanto, $u-v$, e obtemos

\[ \boxed {\log _a\left(\frac{x}{y}\right)=\log _a x-\log _a y}. \]

Para qualquer $r\in \mathbb {R}$, a lei da potência de potência fornece

\[ x^r=(a^u)^r=a^{ru}, \]

de onde

\[ \boxed {\log _a(x^r)=r\log _a x},\qquad x\gt 0. \]

A condição $x\gt 0$ é necessária para que o logaritmo do lado direito esteja definido, mesmo quando a potência do lado esquerdo faz sentido para outros valores de $x$.

Essas identidades transformam produtos em somas, quocientes em diferenças e potências em produtos. Elas não fornecem uma regra para separar somas no argumento. Por exemplo, para qualquer base admissível,

\[ \log _a(1+1)=\log _a2\neq 0=\log _a1+\log _a1. \]

O exemplo mostra que $\log _a(x+y)=\log _a x+\log _a y$ não é uma identidade.

A mudança de base decorre da mesma ideia. Seja também $b\gt 0$, $b\neq 1$. Se $u=\log _a x$, então $a^u=x$. Aplicando $\log _b$,

\[ u\log _b a=\log _b x. \]

Como $a\neq 1$, temos $\log _b a\neq 0$ e podemos dividir por esse número:

\[ \boxed {\log _a x=\frac{\log _b x}{\log _b a}}. \]

Essa identidade permite calcular logaritmos em qualquer base usando, por exemplo, $\log _{10}$.

Entre as bases possíveis, uma ocupa um lugar especial: a constante $e\approx 2{,}71828$. A função $x\mapsto e^x$ é chamada exponencial natural; sua inversa é o logaritmo natural, denotado por $\ln x=\log _e x$. As propriedades já obtidas valem também para essa base. Em particular,

\[ \ln (e^x)=x\quad (x\in \mathbb {R}),\qquad e^{\ln x}=x\quad (x\gt 0). \]

As condições são diferentes porque o domínio do logaritmo é $(0,\infty )$, enquanto o da exponencial é $\mathbb {R}$.

Exemplo 9.6 (Simplificação de expressões logarítmicas)

Determine o domínio de cada expressão e reescreva-a usando as propriedades dos logaritmos:

$\displaystyle \log _2\left(\frac{x^2+1}{2^x}\right)$;
$\displaystyle \ln \left(\frac{x^2\sqrt{x^2-1}}{e^x}\right)$.

Solução

(a) Como $x^2+1\gt 0$ e $2^x\gt 0$ para todo $x\in \mathbb {R}$, o argumento do logaritmo é sempre positivo. Portanto, o domínio é $\mathbb {R}$. Pela propriedade do quociente e pela relação entre logaritmo e exponencial,

\[ \log _2\left(\frac{x^2+1}{2^x}\right) =\log _2(x^2+1)-\log _2(2^x) =\log _2(x^2+1)-x. \]

O termo $\log _2(x^2+1)$ permanece assim: a propriedade do produto não se aplica a uma soma.

(b) A raiz exige $x^2-1\geq 0$. Nos extremos $x=\pm 1$, porém, o argumento do logaritmo é zero. Como $e^x\gt 0$, a expressão está definida exatamente quando $x^2-1\gt 0$, isto é,

\[ D=(-\infty ,-1)\cup (1,\infty ). \]

Nesse domínio, $x^2$ e $x^2-1$ são positivos. Aplicando as propriedades do produto, do quociente e da potência, obtemos

\begin{align*} \ln \left(\frac{x^2\sqrt{x^2-1}}{e^x}\right) & =\ln (x^2)+\frac12\ln (x^2-1)-\ln (e^x)\\ & =2\ln |x|+\frac12\ln (x^2-1)-x. \end{align*}

Usamos $\ln (x^2)=\ln (|x|^2)=2\ln |x|$, pois o domínio também contém valores negativos de $x$. Escrever $2\ln x$ excluiria esses valores.

Exemplo 9.7 (Uma composição exponencial–logarítmica)

Considere

\[ G(x)=\log _2(4-2^x). \]

Determine o domínio, a imagem, a monotonicidade e as assíntotas de $G$. Em seguida, encontre sua inversa.

Solução

O primeiro cuidado é com a ordem da composição. Para que o logaritmo exista, seu argumento deve ser positivo:

\[ 4-2^x\gt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 2^x\lt 4=2^2. \]

Como $2^x$ é crescente,

\[ \operatorname {Dom}G=(-\infty ,2). \]

Nesse domínio, $2^x$ percorre $(0,4)$; portanto, $4-2^x$ percorre também $(0,4)$, mas no sentido contrário. Como $\log _2$ transforma $(0,4)$ em $(-\infty ,2)$,

\[ \operatorname {Im}G=(-\infty ,2). \]

A função $x\mapsto 4-2^x$ é estritamente decrescente, enquanto $\log _2$ é estritamente crescente. Logo, $G$ é estritamente decrescente.

Quando $x$ se aproxima de $2$ pela esquerda, o argumento $4-2^x$ permanece positivo e se aproxima de zero; os valores de $G(x)$ decrescem sem limite. Assim, $x=2$ é uma assíntota vertical. Para valores negativos de $x$ com módulo cada vez maior, $2^x$ se aproxima de zero e $G(x)$ se aproxima de $\log _2 4=2$ por valores menores. Portanto, $y=2$ é uma assíntota horizontal.

Para inverter a função, escrevemos

\[ y=\log _2(4-2^x). \]

Então

\[ 2^y=4-2^x \quad \Longleftrightarrow \quad 2^x=4-2^y, \]

e portanto

\[ x=\log _2(4-2^y). \]

Como $y$ percorre $(-\infty ,2)$,

\[ G^{-1}(y)=\log _2(4-2^y),\qquad y\lt 2. \]

Curiosamente, a inversa tem a mesma regra de $G$: neste domínio, $G$ é sua própria inversa. Isso também significa que seu gráfico é simétrico em relação à reta $y=x$.

Exercício 9.20

Simplifique, indicando antes o domínio.
$\log _2(8x)$.
$\ln (x^2)$.
$\ln \left(\sqrt{x}/e^{2x}\right)$.

Ver solução

Domínio $x\gt 0$; $3+\log _2x$.
Domínio $x\neq 0$; $2\ln |x|$.
Domínio $x\gt 0$; $\frac12\ln x-2x$.

Exercício 9.21

Decida quais afirmações são verdadeiras e corrija as falsas.
$\log _a(xy)=\log _a x+\log _a y$ para $x,y\gt 0$.
$\log _a(x+y)=\log _a x+\log _a y$.
$\log _a(x^2)=2\log _a|x|$ para $x\neq 0$.

Ver solução

A primeira e a terceira são verdadeiras. A segunda é falsa em geral: por exemplo, com $a=2$ e $x=y=1$, $\log _2(1+1)=1\neq 0=\log _21+\log _21$. As leis dos logaritmos correspondem a produtos, quocientes e potências, não a somas; a versão correta é $\log _a(xy)=\log _ax+\log _ay$.

Exercício 9.22

Use mudança de base para escrever $\log _7 20$ em termos de logaritmo natural.

Ver solução

\[ \log _7 20=\frac{\ln 20}{\ln 7}. \]

Exercício 9.23

Para $x,y\gt 0$, expanda

\[ \log _2\left(\frac{8x^3}{y}\right). \]

Ver solução

\[ 3+3\log _2x-\log _2y. \]

Exercício 9.24

Para $x\gt 0$, escreva como um único logaritmo:

\[ 2\ln x-\frac12\ln (x+1). \]

Ver solução

\[ \ln \left(\frac{x^2}{\sqrt{x+1}}\right). \]

Exercício 9.25

Considere

\[ E(x)=\log _2(x-1)+\log _2(x+2)-\log _2(x+1). \]

Determine o domínio da expressão original.
Nesse domínio, escreva $E(x)$ como um único logaritmo.
Determine o domínio natural da expressão obtida e explique por que a simplificação não autoriza ampliar o domínio de $E$.

Ver solução

A expressão original exige simultaneamente $x-1\gt 0$, $x+2\gt 0$ e $x+1\gt 0$; portanto,

\[ \operatorname {Dom}E=(1,\infty ). \]

Nesse domínio,

\[ E(x)=\log _2\left(\frac{(x-1)(x+2)}{x+1}\right). \]

A expressão isolada à direita está definida quando

\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x+1}\gt 0, \]

isto é, em

\[ (-2,-1)\cup (1,\infty ). \]

O intervalo $(-2,-1)$ aparece apenas depois de combinar os logaritmos: nele, os logaritmos da expressão original não existem separadamente. Logo, a igualdade entre as duas fórmulas vale somente no domínio original $(1,\infty )$.

Exercício 9.26

Use apenas a definição de logaritmo para mostrar que

\[ \log _a1=0 \qquad \text{e}\qquad \log _a a=1. \]

Ver solução

Como $a^0=1$, temos $\log _a1=0$. Como $a^1=a$, temos $\log _a a=1$.

Exercício 9.27

Sejam $f(x)=\log _2x$ e $g(x)=2^{x-1}$. Determine as duas composições com seus domínios. Explique por que as expressões simplificadas não tornam esses domínios iguais.

Ver solução

$(f\circ g)(x)=x-1$, com domínio $\mathbb {R}$; $(g\circ f)(x)=x/2$, com domínio $(0,\infty )$. Na segunda ordem é necessário calcular primeiro $\log _2x$.

Exercício 9.28

Considere $L(x)=\ln (1+\sqrt{4-x^2})$.
Descreva as etapas que compõem $L$ e determine seu domínio.
Determine a imagem de $L$ e os pontos em que seus valores extremos são atingidos.

Ver solução

As etapas são $x\mapsto 4-x^2$, a raiz quadrada, a soma de $1$ e o logaritmo natural. A raiz exige $-2\leq x\leq 2$; nesse intervalo o argumento do logaritmo está em $[1,3]$. Portanto, $\operatorname {Dom}L=[-2,2]$ e $\operatorname {Im}L=[0,\ln 3]$. O mínimo $0$ ocorre em $x=\pm 2$ e o máximo $\ln 3$ em $x=0$.

Exercício 9.29

Aprofundamento. Seja

\[ F(x)=\log _{1/2}(3-2^x)+1. \]

Determine o domínio e justifique a monotonicidade pela ordem das operações.
Determine a imagem e as assíntotas vertical e horizontal.
Encontre a inversa de $F$ sobre sua imagem, indicando o domínio da inversa.

Ver solução

A condição $3-2^x\gt 0$ fornece $x\lt \log _2 3$. A função $3-2^x$ é decrescente e o logaritmo de base $1/2$ também; a composição é crescente. O argumento percorre $(0,3)$, de modo que

\[ \operatorname {Im}F=(1-\log _2 3,\infty ). \]

Quando $x$ se aproxima de $\log _2 3$ pela esquerda, o argumento positivo se aproxima de zero e $F(x)$ cresce sem limite: a assíntota vertical é $x=\log _2 3$. Quando $x$ assume valores negativos de módulo cada vez maior, $2^x$ se aproxima de zero e $F(x)$ se aproxima de $1-\log _2 3$: essa é a assíntota horizontal. Por fim,

\[ y-1=\log _{1/2}(3-2^x) \quad \Longleftrightarrow \quad 2^{1-y}=3-2^x, \]

portanto

\[ F^{-1}(y)=\log _2(3-2^{1-y}),\qquad y\gt 1-\log _2 3. \]

9.5 Escalas logarítmicas e aplicações

O logaritmo transforma razões multiplicativas em diferenças. Essa propriedade é particularmente adequada à construção de escalas que comparam grandezas distribuídas por muitas ordens de magnitude.

Exemplo 9.8 (Decibéis)

O nível de intensidade sonora, medido em decibéis, pode ser modelado por

\[ L=10\log _{10}\left(\frac{I}{I_0}\right), \qquad I_0=10^{-12}\, \mathrm{W/m^2}, \]

em que $I$ é a intensidade do som e $I_0$ é uma intensidade de referência. Se a intensidade é multiplicada por $100$, qual é a variação do nível?

Solução

Se o nível inicial é $L$, o novo nível é

\[ 10\log _{10}\left(\frac{100I}{I_0}\right) =10\left(2+\log _{10}\frac{I}{I_0}\right)=L+20. \]

Portanto, multiplicar a intensidade por $100$ acrescenta $20$ decibéis. A escala é logarítmica; isso não significa que a percepção de volume aumente na mesma proporção que a intensidade física.

Exemplo 9.9 (pH)

Uma solução tem concentração de íons hidrogênio

\[ [H^+]=2{,}5\times 10^{-6}\ \mathrm{mol/L}. \]

Usando

\[ \mathrm{pH}=-\log _{10}[H^+], \]

calcule o pH.

Solução

\[ \mathrm{pH} =-\log _{10}(2{,}5\times 10^{-6}) =6-\log _{10}(2{,}5) \approx 5{,}60. \]

Uma diferença de uma unidade de pH corresponde a um fator $10$ na concentração de $H^+$.

Exercício 9.30

Retome as funções exponenciais e logarítmicas.
Explique a relação de inversão entre $f(x)=3^x$ e $g(x)=\log _3x$, indicando domínio e imagem de cada uma.
Uma quantidade é modelada por $N(t)=800(1/2)^{t/4}$, com $t\geq 0$. Calcule $N(12)$ e interprete o resultado.

Ver solução

$f:\mathbb {R}\to (0,+\infty )$ e $g:(0,+\infty )\to \mathbb {R}$ são inversas; por isso, seus gráficos são simétricos em relação a $y=x$.
$N(12)=800(1/2)^3=100$: após $12$ unidades de tempo, resta um oitavo da quantidade inicial.

Exercício 9.31

Após uma fonte sonora ser desligada, a intensidade do som em uma sala é modelada por

\[ I(t)=I_0e^{-kt},\qquad k\gt 0. \]

O tempo de reverberação $T_{60}$ é o instante em que a intensidade se reduz a $10^{-6}$ de seu valor inicial. Mostre que

\[ T_{60}=\frac{6\ln 10}{k}. \]

Ver solução

A condição $I(T_{60})=10^{-6}I_0$ fornece

\[ e^{-kT_{60}}=10^{-6}. \]

Aplicando o logaritmo natural, obtemos $-kT_{60}=-6\ln 10$ e, portanto, $T_{60}=6\ln (10)/k$. Quanto maior for $k$, mais rapidamente o som decai.

Exercício 9.32

Calcule ou resolva, indicando as restrições necessárias.
$\log _2 32$.
$\log _{10}(0{,}001)$.
$3^{x-1}=27$.
$\ln (e^{2x-1})=5$.
$\log _3(x-1)=2$.
$2^{x+1}=5$.

Ver solução

$5$.
$-3$.
$x=4$.
$x=3$.
É necessário $x\gt 1$; a equação fornece $x-1=9$, logo $x=10$.
$x=\log _2 5-1=\ln 5/\ln 2-1$.

Exercício 9.33

O valor de um equipamento é modelado por $V(t)=48\, 000(0{,}82)^t$, em reais, $t$ anos após a compra. Determine o valor após cinco anos e o primeiro ano inteiro em que ele fica abaixo de $15\, 000$ reais.

Ver solução

$V(5)\approx R\$ \, 17\, 795{,}51$. Como $\log (15000/48000)/\log (0{,}82)\approx 5{,}861$, o primeiro ano inteiro com valor inferior a $R\$ \, 15\, 000{,}00$ é o sexto.

Exercício 9.34

Uma solução tem concentração de íons hidrogênio $[H^+]=2{,}5\times 10^{-6}$ mol/L. Usando $\mathrm{pH}=-\log _{10}[H^+]$, calcule o pH e compare-o com o de uma solução de pH $5{,}1$. Qual solução é mais ácida? Por qual fator suas concentrações de $H^+$ diferem?

Ver solução

O primeiro pH é $-\log _{10}(2{,}5\times 10^{-6})\approx 5{,}60$. A solução de pH $5{,}1$ é mais ácida e sua concentração de $H^+$ é cerca de $3{,}18$ vezes maior.

Exercício 9.35

Reescreva

\[ \ln \! \left(\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-3)^3}\right) \]

como combinação de logaritmos. Determine antes o domínio da expressão original.

Ver solução

O domínio é $(3,\infty )$. Nesse intervalo,

\[ \ln \left(\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-3)^3}\right) =2\ln x+\frac12\ln (x+1)-3\ln (x-3). \]

Exercício 9.36

A intensidade de dois ruídos é, respectivamente, $I_1=10^{-6}$ W/m$^2$ e $I_2=4\cdot 10^{-5}$ W/m$^2$. Usando $\beta =10\log _{10}(I/10^{-12})$, compare seus níveis em decibéis e explique por que a diferença entre eles não é proporcional à diferença das intensidades.

Ver solução

$\beta _1=60\, \mathrm{dB}$ e $\beta _2\approx 76{,}02\, \mathrm{dB}$. A diferença é $10\log _{10}(I_2/I_1)=10\log _{10}40\approx 16{,}02\, \mathrm{dB}$. A escala é logarítmica: ela transforma razões de intensidades em diferenças de níveis.

Relação entre exponencial e logaritmo

A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Consequentemente, o domínio de uma corresponde à imagem da outra, e seus gráficos são simétricos em relação à reta $y=x$. Em termos algébricos, essa relação aparece nas propriedades dos logaritmos: produtos correspondem a somas, quocientes a diferenças e potências a produtos.