Capítulo 10

Funções trigonométricas

Está escrito em linguagem matemática, e seus caracteres são triângulos, círculos e outras figuras geométricas.
Galileu Galilei, Il Saggiatore

Na geometria elementar, seno e cosseno aparecem inicialmente como relações entre ângulos e lados de triângulos. Para estudá-los como funções de variável real, é necessário estender essa definição a ângulos arbitrários.

A circunferência unitária fornece essa extensão. A cada número real associa-se um percurso orientado sobre a circunferência; as coordenadas do ponto final definem o cosseno e o seno desse número. Periodicidade, sinais, paridade e diversas identidades decorrem das simetrias dessa construção.

10.1 Seno e cosseno na circunferência unitária

Uma volta completa mede $360^\circ $ quando se utiliza a medida em graus. A medida em radianos é definida geometricamente. Se um arco de comprimento $s$ pertence a uma circunferência de raio $r$, a medida do ângulo central correspondente é

\[ \theta =\frac{s}{r}. \]

A razão não depende do raio escolhido: ampliar a circunferência por um fator positivo multiplica pelo mesmo fator o raio e o comprimento do arco correspondente. Portanto,

\[ s=r\theta . \]

Como a circunferência completa tem comprimento $2\pi r$,

\[ 360^\circ =2\pi \text{ radianos}. \]

Em particular,

\[ 180^\circ =\pi ,\qquad 90^\circ =\frac\pi 2,\qquad 60^\circ =\frac\pi 3,\qquad 45^\circ =\frac\pi 4. \]

Quando $r=1$, a medida em radianos coincide numericamente com o comprimento do arco:

\[ \theta =s. \]

Essa igualdade permite usar números reais para descrever percursos na circunferência. O módulo do número indica o comprimento percorrido; seu sinal distingue os dois sentidos possíveis. Assim, números negativos não representam comprimentos negativos, mas percursos com orientação oposta.

Exemplo 10.1

Converta $150^\circ $ para radianos e $7\pi /6$ radianos para graus.

Solução

As duas conversões usam a mesma proporção

\[ 180^\circ =\pi . \]

Para passar de graus a radianos, multiplicamos por $\pi /180$:

\[ 150^\circ =150\frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{6}. \]

Para voltar, usamos o fator inverso $180^\circ /\pi $:

\[ \frac{7\pi }{6}\frac{180^\circ }{\pi }=210^\circ . \]

Não se trata de duas regras diferentes, mas apenas de mudar a unidade em que o mesmo ângulo é medido.

Exercício 10.1

Faça as conversões.
$120^\circ $ para radianos.
$225^\circ $ para radianos.
$3\pi /4$ para graus.
$7\pi /4$ para graus.

Ver solução

$2\pi /3$, $5\pi /4$, $135^\circ $ e $315^\circ $, respectivamente.

Exercício 10.2

Uma circunferência tem raio $5$ cm. Calcule o comprimento do arco interceptado por um ângulo de $2\pi /3$ radianos.

Ver solução

\[ s=r\theta =5\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}\text{ cm}. \]

Exercício 10.3

Uma roda gira com velocidade angular constante de $\pi /3$ rad/s. Quantos radianos e quantas voltas ela percorre em $12$ segundos?

Ver solução

O deslocamento angular é

\[ 12\cdot \frac\pi 3=4\pi \text{ rad}, \]

correspondente a duas voltas completas.

Com os radianos, a circunferência unitária transforma diretamente números reais em pontos do plano: o próprio número mede o comprimento orientado do arco percorrido.

Considere a circunferência de centro na origem e raio $1$. Fixe

\[ U=(1,0). \]

Para $x\gt 0$, partimos de $U$ e percorremos a circunferência no sentido anti-horário por um arco de comprimento $x$. Para $x\lt 0$, percorremos $|x|$ no sentido horário. Denotaremos por $P_x$ o ponto final desse percurso. Para $x=0$, não há deslocamento e definimos $P_0=U$. Percursos maiores que $2\pi $ podem incluir uma ou mais voltas completas, sem alterar a regra.

Definição 10.1 (Seno e cosseno)

O cosseno de $x$ é a coordenada horizontal de $P_x$, e o seno de $x$ é sua coordenada vertical. Escrevemos, portanto,

\[ P_x=(\cos x,\operatorname {sen}x). \]

Essa construção define as funções

\[ \cos :\mathbb {R}\to [-1,1], \qquad \operatorname {sen}:\mathbb {R}\to [-1,1]. \]

Figura 10.1 No círculo unitário, o cosseno é a coordenada horizontal de P_x e o seno é sua coordenada vertical. — Figura 10.1 No círculo unitário, o cosseno é a coordenada horizontal de $P_x$ e o seno é sua coordenada vertical.

A construção vale para qualquer número real. Uma volta completa tem comprimento $2\pi $, portanto

\[ P_{x+2\pi }=P_x. \]

Logo,

\[ \boxed {\operatorname {sen}(x+2\pi )=\operatorname {sen}x}, \qquad \boxed {\cos (x+2\pi )=\cos x}. \]

Seno e cosseno são funções periódicas de período $2\pi $. O período fundamental, quando existe, é o menor período positivo. Para o cosseno, a minimalidade de $2\pi $ pode ser vista no ponto $U$: a coordenada horizontal só volta a valer $1$ quando o percurso retorna a esse ponto. Para o seno, o mesmo argumento é aplicado ao ponto superior da circunferência, único cuja coordenada vertical é $1$. Em ambos os casos, o primeiro retorno ocorre após uma volta completa. Assim, $2\pi $ é o período fundamental; $4\pi $, $6\pi $ e os demais múltiplos inteiros positivos também são períodos, mas não são fundamentais.

Se trocamos $x$ por $-x$, percorremos a mesma distância no sentido oposto. Os pontos $P_x$ e $P_{-x}$ são simétricos em relação ao eixo horizontal. Assim,

\[ \boxed {\operatorname {sen}(-x)=-\operatorname {sen}x}, \qquad \boxed {\cos (-x)=\cos x}. \]

O seno é ímpar e o cosseno é par.

Como $P_x$ está na circunferência unitária,

\[ (\cos x)^2+(\operatorname {sen}x)^2=1. \]

Portanto,

\[ \boxed {\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1}. \]

Essa identidade é simplesmente a equação $X^2+Y^2=1$ aplicada ao ponto $P_x$.

10.1.1 Valores notáveis e sinais

Os valores de seno e cosseno em $\pi /6$, $\pi /4$ e $\pi /3$ podem ser deduzidos de dois triângulos retângulos.

Metade de um triângulo equilátero de lado 2. Triângulo retângulo isósceles. Figura 10.2 Os dois triângulos que produzem os valores notáveis. — Figura 10.2 Os dois triângulos que produzem os valores notáveis.

No primeiro triângulo, partimos de um equilátero de lado $2$ e traçamos uma altura. Ela divide a base ao meio e, pelo teorema de Pitágoras, tem comprimento $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Portanto,

\[ \operatorname {sen}\frac{\pi }{6}=\frac12, \qquad \cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt3}{2}. \]

O ângulo complementar fornece

\[ \operatorname {sen}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos \frac{\pi }{3}=\frac12. \]

No triângulo retângulo isósceles de catetos $1$, a hipotenusa vale $\sqrt2$. Assim,

\[ \operatorname {sen}\frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4} =\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Reunindo os três casos, no primeiro quadrante temos

\[ \begin{array}{c|ccc} x& \pi /6& \pi /4& \pi /3\\ \hline \operatorname {sen}x& 1/2& \sqrt2/2& \sqrt3/2\\ \cos x& \sqrt3/2& \sqrt2/2& 1/2 \end{array} \]

Os demais valores surgem por simetria na circunferência. O seno é positivo acima do eixo horizontal e negativo abaixo dele; o cosseno é positivo à direita do eixo vertical e negativo à esquerda. Assim, os sinais são determinados pelas coordenadas do ponto $P_x=(\cos x,\operatorname {sen}x)$:

\[ \begin{array}{c|cccc} \text{quadrante}& I& II& III& IV\\ \hline \operatorname {sen}x& +& +& -& -\\ \cos x& +& -& -& + \end{array} \]

Exemplo 10.2

Calcule $\operatorname {sen}(5\pi /6)$ e $\cos (5\pi /6)$ a partir da circunferência unitária.

Solução

O ângulo $5\pi /6$ está no segundo quadrante e tem ângulo de referência $\pi /6$. Nesse quadrante, a coordenada horizontal é negativa e a vertical é positiva. Portanto,

\[ \operatorname {sen}\frac{5\pi }{6}=\frac12, \qquad \cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt3}{2}. \]

Exercício 10.4

Use a circunferência unitária para calcular.
$\operatorname {sen}(2\pi /3)$ e $\cos (2\pi /3)$.
$\operatorname {sen}(5\pi /4)$ e $\cos (5\pi /4)$.
$\operatorname {sen}(11\pi /6)$ e $\cos (11\pi /6)$.

Ver solução

$\sqrt3/2$ e $-1/2$.
$-\sqrt2/2$ e $-\sqrt2/2$.
$-1/2$ e $\sqrt3/2$.

Exercício 10.5

Sem usar calculadora, determine o sinal de cada expressão.
$\operatorname {sen}(7\pi /6)$.
$\cos (4\pi /3)$.
$\operatorname {sen}(-\pi /4)$.
$\cos (-2\pi /3)$.

Ver solução

Negativo, negativo, negativo e negativo, respectivamente.

Exercício 10.6

Use periodicidade para reduzir cada argumento a $[0,2\pi )$.
$\operatorname {sen}(13\pi /6)$.
$\cos (9\pi /4)$.
$\operatorname {sen}(-7\pi /6)$.

Ver solução

$1/2$, $\sqrt2/2$ e $1/2$.

Exercício 10.7

Explique geometricamente por que

\[ \operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1 \]

para todo $x\in \mathbb {R}$.

Ver solução

O ponto $P_x=(\cos x,\operatorname {sen}x)$ pertence à circunferência unitária, cuja equação é $X^2+Y^2=1$. Substituindo $X=\cos x$ e $Y=\operatorname {sen}x$, obtemos $\cos ^2x+\operatorname {sen}^2x=1$.

Exercício 10.8

Determine as coordenadas de $P_x=(\cos x,\operatorname {sen}x)$ para

\[ x=\frac{2\pi }{3},\qquad x=\frac{7\pi }{4}. \]

Ver solução

\[ P_{2\pi /3}=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right), \qquad P_{7\pi /4}=\left(\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt2}{2}\right). \]

Exercício 10.9

Liste todos os números reais $x$ para os quais

\[ P_x=(0,-1). \]

Ver solução

O ponto inferior da circunferência corresponde a

\[ x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\qquad k\in \mathbb {Z}. \]

Exercício 10.10

Sabendo que $P_x=(3/5,4/5)$, determine

\[ P_{-x} \]

e os valores de $\operatorname {sen}(-x)$ e $\cos (-x)$.

Ver solução

A reflexão no eixo horizontal dá

\[ P_{-x}=\left(\frac35,-\frac45\right). \]

Logo,

\[ \operatorname {sen}(-x)=-\frac45,\qquad \cos (-x)=\frac35. \]

10.2 Gráficos de seno e cosseno

A definição na circunferência unitária permite construir diretamente os gráficos de seno e cosseno. À medida que $x$ varia, o ponto $P_x$ percorre a circunferência; sua coordenada vertical fornece os valores de $\operatorname {sen}x$ e sua coordenada horizontal fornece os valores de $\cos x$.

Em uma volta, a coordenada vertical de $P_x$ passa por

\[ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0 \]

nos pontos

\[ 0,\ \frac\pi 2,\ \pi ,\ \frac{3\pi }{2},\ 2\pi . \]

O cosseno acompanha a coordenada horizontal e passa, nos mesmos instantes, por

\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1. \]

Figura 10.3 Um período de seno e cosseno.

Como o percurso foi definido para todo número real, os domínios de seno e cosseno são $\mathbb {R}$. Suas coordenadas não ultrapassam $1$ em módulo, mas isso, sozinho, apenas mostra que as imagens estão contidas em $[-1,1]$. Para verificar que todos esses valores ocorrem, tome uma altura $y\in [-1,1]$: a reta horizontal de altura $y$ encontra a circunferência, e um percurso até um desses pontos fornece um número cujo seno é $y$. O mesmo argumento, usando retas verticais, vale para o cosseno. Portanto,

\[ \operatorname {Dom}(\operatorname {sen})=\operatorname {Dom}(\cos )=\mathbb {R}, \qquad \operatorname {Im}(\operatorname {sen})=\operatorname {Im}(\cos )=[-1,1]. \]

O seno se anula quando $P_x$ está no eixo horizontal, isto é, em $(1,0)$ ou $(-1,0)$. Esses pontos são atingidos a cada meia-volta, de modo que os zeros são $x=k\pi $, com $k\in \mathbb {Z}$. Para o cosseno, usamos as interseções com o eixo vertical: seus zeros são $x=\pi /2+k\pi $. O máximo $1$ do seno ocorre no ponto superior da circunferência, em $x=\pi /2+2k\pi $; o mínimo $-1$, no inferior, em $x=3\pi /2+2k\pi $. Para o cosseno, os pontos da direita e da esquerda fornecem, respectivamente, o máximo $1$ em $x=2k\pi $ e o mínimo $-1$ em $x=\pi +2k\pi $.

A monotonicidade pode ser acompanhada no mesmo percurso. Quando $x$ vai de $-\pi /2$ a $\pi /2$, o ponto percorre a semicircunferência direita de baixo para cima, e sua altura aumenta estritamente. Quando $x$ vai de $\pi /2$ a $3\pi /2$, percorre a semicircunferência esquerda de cima para baixo, e sua altura diminui estritamente. Assim, o seno é crescente no primeiro intervalo e decrescente no segundo. A periodicidade reproduz esses intervalos por translações de $2k\pi $.

Para o cosseno, acompanhamos a coordenada horizontal: ela diminui de $1$ a $-1$ quando $x$ percorre $[0,\pi ]$ e aumenta de $-1$ a $1$ quando $x$ percorre $[\pi ,2\pi ]$. Logo, o cosseno é estritamente decrescente no primeiro intervalo e estritamente crescente no segundo, repetindo esses comportamentos a cada volta. Os cinco pontos destacados no desenho indicam os extremos e os zeros; a construção na circunferência explica o que ocorre entre eles.

Exercício 10.11

Determine domínio, imagem, período fundamental e zeros de $\operatorname {sen}x$ e de $\cos x$.

Ver solução

Ambas têm domínio $\mathbb {R}$, imagem $[-1,1]$ e período $2\pi $. Os zeros do seno são $k\pi $; os do cosseno são $\pi /2+k\pi $, com $k\in \mathbb {Z}$.

Exercício 10.12

Esboce um período de $y=\operatorname {sen}x$ e de $y=\cos x$ marcando primeiro os cinco pontos principais em $0,\pi /2,\pi ,3\pi /2,2\pi $.

Ver solução

Para o seno, os valores são $0,1,0,-1,0$. Para o cosseno, são $1,0,-1,0,1$.

Exercício 10.13

Verifique no círculo unitário e nos gráficos que

\[ \cos x=\operatorname {sen}\left(x+\frac\pi 2\right). \]

Interprete a identidade como uma translação horizontal.

Ver solução

Somar $\pi /2$ ao argumento do seno desloca seu gráfico para a esquerda em $\pi /2$; o resultado coincide com o gráfico do cosseno.

Exercício 10.14

Em um período $[0,2\pi ]$, indique onde $\operatorname {sen}x$ é positivo, negativo e nulo.

Ver solução

É positivo em $(0,\pi )$, negativo em $(\pi ,2\pi )$ e nulo em $0,\pi ,2\pi $.

Exercício 10.15

Em um período $[0,2\pi ]$, indique onde $\cos x$ é positivo, negativo e nulo.

Ver solução

É positivo em $[0,\pi /2)\cup (3\pi /2,2\pi ]$, negativo em $(\pi /2,3\pi /2)$ e nulo em $\pi /2$ e $3\pi /2$.

Exercício 10.16

Determine todos os pontos de máximo e mínimo de $\operatorname {sen}x$.

Ver solução

Os máximos, de valor $1$, ocorrem em

\[ x=\frac\pi 2+2k\pi . \]

Os mínimos, de valor $-1$, ocorrem em

\[ x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi , \qquad k\in \mathbb {Z}. \]

Exercício 10.17

Explique por que os gráficos de $\operatorname {sen}x$ e $\cos x$ ficam completamente determinados quando conhecemos apenas um intervalo de comprimento $2\pi $.

Ver solução

Ambas as funções têm período $2\pi $. Portanto, o padrão em qualquer intervalo de comprimento $2\pi $ se repete por translações horizontais de $2k\pi $.

Exercício 10.18

Aprofundamento. Dadas $f(x)=\operatorname {sen}x$ e $g(x)=\pi \left[\! \left[x\right]\! \right]$, determine os domínios e as imagens de $f\circ g$ e $g\circ f$.

Ver solução

As duas composições têm domínio $\mathbb {R}$. Como $\left[\! \left[x\right]\! \right]$ é inteiro,

\[ (f\circ g)(x)=\operatorname {sen}(\pi \left[\! \left[x\right]\! \right])=0, \]

logo $\operatorname {Im}(f\circ g)=\{ 0\} $. Já $(g\circ f)(x)=\pi \left[\! \left[\operatorname {sen}x\right]\! \right]$ assume os valores $-\pi $, $0$ e $\pi $. Portanto, $\operatorname {Im}(g\circ f)=\{ -\pi ,0,\pi \} $.

10.3 Identidades trigonométricas fundamentais

A identidade pitagórica decorre diretamente da equação da circunferência unitária. As fórmulas de adição também podem ser obtidas geometricamente.

Proposição 10.1 (Fórmulas de adição)

Para todos $a,b\in \mathbb {R}$,

\[ \operatorname {sen}(a+b)=\operatorname {sen}a\cos b+\cos a\operatorname {sen}b \]

\[ \cos (a+b)=\cos a\cos b-\operatorname {sen}a\operatorname {sen}b. \]

Demonstração ▼

Comecemos com $0\lt a,b\lt \pi /2$. No triângulo da Figura 10.4, a altura $CD=h$ divide o ângulo em $C$ em duas partes, $a$ e $b$. Os dois triângulos retângulos fornecem

\[ CA=\frac h{\cos a},\qquad CB=\frac h{\cos b}, \]

e, multiplicando essas hipotenusas pelos senos correspondentes,

\[ AD=\frac{h\operatorname {sen}a}{\cos a},\qquad DB=\frac{h\operatorname {sen}b}{\cos b}. \]

Figura 10.4 A altura divide o triângulo em duas partes. A mesma área também pode ser calculada a partir dos lados CA, CB e do ângulo a+b. — Figura 10.4 A altura divide o triângulo em duas partes. A mesma área também pode ser calculada a partir dos lados $CA$, $CB$ e do ângulo $a+b$.

Usando a base $AB=AD+DB$, a área é

\[ \frac{AB\cdot h}{2} =\frac{h^2}{2}\left(\frac{\operatorname {sen}a}{\cos a} +\frac{\operatorname {sen}b}{\cos b}\right). \]

Se usamos $CA$ como base, a altura correspondente mede $CB\operatorname {sen}(a+b)$. De fato, quando $a+b$ é agudo, essa relação vem de um triângulo retângulo; quando é obtuso, usamos o ângulo suplementar e $\operatorname {sen}(\pi -(a+b))=\operatorname {sen}(a+b)$. Para $a+b=\pi /2$, a altura é o próprio lado $CB$. Assim, a mesma área também é

\[ \frac{CA\cdot CB\operatorname {sen}(a+b)}2 =\frac{h^2\operatorname {sen}(a+b)}{2\cos a\cos b}. \]

Igualando as duas expressões e multiplicando por $2\cos a\cos b/h^2$, obtemos a fórmula do seno da soma para os ângulos agudos $a$ e $b$.

Para chegar ao cosseno e às diferenças, usaremos apenas as simetrias da circunferência. A fórmula já provada, aplicada a $a$ e $\pi /2-b$, dá

\[ \cos (a-b)=\operatorname {sen}\left(a+\frac\pi 2-b\right) =\operatorname {sen}a\operatorname {sen}b+\cos a\cos b. \]

Se $a\gt b$, aplicamos ainda a fórmula do seno a $(a-b)+b$ e isolamos $\operatorname {sen}(a-b)$:

\[ \begin{aligned} \operatorname {sen}(a-b) & =\frac{\operatorname {sen}a-\cos (a-b)\operatorname {sen}b}{\cos b}\\ & =\operatorname {sen}a\cos b-\cos a\operatorname {sen}b. \end{aligned} \]

Para $a=b$ a igualdade é imediata; para $a\lt b$, trocamos os dois ângulos e usamos a paridade do seno. A fórmula da diferença vale, portanto, para quaisquer $a,b\in (0,\pi /2)$. Aplicando-a a $\pi /2-a$ e $b$,

\[ \begin{aligned} \cos (a+b) & =\operatorname {sen}\left(\left(\frac\pi 2-a\right)-b\right)\\ & =\cos a\cos b-\operatorname {sen}a\operatorname {sen}b. \end{aligned} \]

Resta explicar por que não há restrição a ângulos agudos nas fórmulas. Se um ou ambos os ângulos são negativos, escrevemos seus opostos, reduzindo o cálculo a uma soma ou diferença de ângulos não negativos. Usamos então as fórmulas anteriores e $\operatorname {sen}(-t)=-\operatorname {sen}t$, $\cos (-t)=\cos t$. Os casos em que algum ângulo é $0$ ou $\pm \pi /2$ seguem diretamente das simetrias de um quarto de volta. Por fim, qualquer ângulo real pode ser escrito como $t+k\pi $, com $t\in [-\pi /2,\pi /2]$ e $k\in \mathbb {Z}$. Uma meia-volta muda simultaneamente os sinais do seno e do cosseno:

\[ \operatorname {sen}(t+\pi )=-\operatorname {sen}t,\qquad \cos (t+\pi )=-\cos t. \]

Acrescentar $\pi $ a qualquer um dos argumentos muda o sinal dos dois lados de cada fórmula. Logo, as identidades valem para todos os ângulos reais.

As fórmulas de diferença foram obtidas no mesmo argumento. Fazendo $a=b=x$ nas fórmulas de adição, obtemos

\[ \operatorname {sen}(2x)=2\operatorname {sen}x\cos x \]

\[ \cos (2x)=\cos ^2x-\operatorname {sen}^2x =2\cos ^2x-1 =1-2\operatorname {sen}^2x. \]

Isolando os quadrados,

\[ \cos ^2x=\frac{1+\cos (2x)}2, \qquad \operatorname {sen}^2x=\frac{1-\cos (2x)}2. \]

As fórmulas de adição também permitem transformar diferenças de senos e cossenos em produtos. Duas identidades importantes são:

\[ \operatorname {sen}u-\operatorname {sen}v =2\cos \left(\frac{u+v}{2}\right) \operatorname {sen}\left(\frac{u-v}{2}\right), \]

\[ \cos u-\cos v =-2\operatorname {sen}\left(\frac{u+v}{2}\right) \operatorname {sen}\left(\frac{u-v}{2}\right). \]

Para deduzir essas identidades, escreva

\[ p=\frac{u+v}{2},\qquad q=\frac{u-v}{2}. \]

Então $u=p+q$ e $v=p-q$. Pelas fórmulas de adição e de diferença,

\[ \begin{aligned} \operatorname {sen}u-\operatorname {sen}v & =(\operatorname {sen}p\cos q+\cos p\operatorname {sen}q)\\ & \quad -(\operatorname {sen}p\cos q-\cos p\operatorname {sen}q)\\ & =2\cos p\operatorname {sen}q. \end{aligned} \]

Substituir $p$ e $q$ dá a primeira identidade. Para o cosseno, a mesma subtração fornece

\[ \cos (p+q)-\cos (p-q)=-2\operatorname {sen}p\operatorname {sen}q, \]

o que dá a segunda.

Em particular,

\[ 1-\cos u=2\operatorname {sen}^2\left(\frac u2\right). \]

Exemplo 10.3

Mostre que

\[ \operatorname {sen}(3x)=3\operatorname {sen}x-4\operatorname {sen}^3x. \]

Solução

Escrevemos $3x=2x+x$:

\[ \operatorname {sen}(3x)=\operatorname {sen}(2x)\cos x+\cos (2x)\operatorname {sen}x. \]

Substituindo as fórmulas de ângulo duplo,

\[ \begin{aligned} \operatorname {sen}(3x) & =2\operatorname {sen}x\cos ^2x+(1-2\operatorname {sen}^2x)\operatorname {sen}x\\ & =2\operatorname {sen}x(1-\operatorname {sen}^2x)+\operatorname {sen}x-2\operatorname {sen}^3x\\ & =3\operatorname {sen}x-4\operatorname {sen}^3x. \end{aligned} \]

Exemplo 10.4 (Um valor exato pela fórmula de adição)

Calcule exatamente $\operatorname {sen}(7\pi /12)$.

Solução

Como $7\pi /12=\pi /3+\pi /4$,

\[ \begin{aligned} \operatorname {sen}\frac{7\pi }{12} & =\operatorname {sen}\frac\pi 3\cos \frac\pi 4 +\cos \frac\pi 3\operatorname {sen}\frac\pi 4\\ & =\frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2} +\frac12\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \end{aligned} \]

Exemplo 10.5 (Usando as fórmulas para simplificar)

Simplifique

\[ \frac{\operatorname {sen}(x+y)-\operatorname {sen}(x-y)}{2\cos x}, \qquad \cos x\neq 0. \]

Solução

Expandindo os dois senos,

\[ \begin{aligned} \operatorname {sen}(x+y)-\operatorname {sen}(x-y) & =(\operatorname {sen}x\cos y+\cos x\operatorname {sen}y)\\ & \quad -(\operatorname {sen}x\cos y-\cos x\operatorname {sen}y)\\ & =2\cos x\operatorname {sen}y. \end{aligned} \]

Portanto, no domínio indicado, a expressão simplifica para $\operatorname {sen}y$.

Exercício 10.19

Calcule exatamente.
$\operatorname {sen}(5\pi /12)$.
$\cos (\pi /12)$.
$\operatorname {sen}(\pi /12)$.

Ver solução

\[ \operatorname {sen}\frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \quad \cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \quad \operatorname {sen}\frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \]

Exercício 10.20

Verifique que $\cos ^2x-\operatorname {sen}^2x=\cos (2x)$ e obtenha dessa igualdade as duas expressões para $\cos ^2x$ e $\operatorname {sen}^2x$.

Ver solução

A igualdade é a fórmula do cosseno da soma com os dois ângulos iguais. Com $\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1$, ela fornece $\cos ^2x=(1+\cos (2x))/2$ e $\operatorname {sen}^2x=(1-\cos (2x))/2$.

Exercício 10.21

Use as fórmulas de soma-produto.
Fatore $\operatorname {sen}(5x)-\operatorname {sen}x$ e determine seus zeros em $[0,\pi ]$.
Reescreva $\operatorname {sen}(5x)+\operatorname {sen}x$ como produto e determine seus zeros em $[0,\pi ]$.

Ver solução

Para a diferença,

\[ \operatorname {sen}(5x)-\operatorname {sen}x=2\cos (3x)\operatorname {sen}(2x), \]

e os zeros em $[0,\pi ]$ são $0,\pi /6,\pi /2,5\pi /6,\pi $. Para a soma,

\[ \operatorname {sen}(5x)+\operatorname {sen}x=2\operatorname {sen}(3x)\cos (2x). \]

Seus zeros em $[0,\pi ]$ são $0,\pi /4,\pi /3,2\pi /3,3\pi /4,\pi $.

Exercício 10.22

Mostre que

\[ \cos u+\cos v =2\cos \left(\frac{u+v}{2}\right) \cos \left(\frac{u-v}{2}\right). \]

Ver solução

Some as fórmulas de $\cos (x+y)$ e $\cos (x-y)$ e tome $x=(u+v)/2$, $y=(u-v)/2$.

Exercício 10.23

Derive as fórmulas de diferença

\[ \operatorname {sen}(x-y)=\operatorname {sen}x\cos y-\cos x\operatorname {sen}y \]

\[ \cos (x-y)=\cos x\cos y+\operatorname {sen}x\operatorname {sen}y. \]

Ver solução

Substitua $y$ por $-y$ nas fórmulas de adição e use $\operatorname {sen}(-y)=-\operatorname {sen}y$ e $\cos (-y)=\cos y$.

Exercício 10.24

Mostre que

\[ \cos (u+v)+\cos (u-v)=2\cos u\cos v. \]

Ver solução

Expanda os dois cossenos pelas fórmulas de adição; os termos contendo $\operatorname {sen}u\operatorname {sen}v$ se cancelam.

Exercício 10.25

Mostre que

\[ 1-\cos (2x)=2\operatorname {sen}^2x. \]

Ver solução

Da fórmula

\[ \cos (2x)=1-2\operatorname {sen}^2x \]

segue imediatamente a identidade.

Exercício 10.26

Use as fórmulas de adição para mostrar as identidades de cofunção

\[ \operatorname {sen}\left(\frac\pi 2-x\right)=\cos x, \qquad \cos \left(\frac\pi 2-x\right)=\operatorname {sen}x. \]

Ver solução

Use $\operatorname {sen}(\pi /2)=1$ e $\cos (\pi /2)=0$ nas fórmulas de diferença.

10.4 Amplitude, período e transformações dos gráficos

Os gráficos básicos de seno e cosseno oscilam entre $-1$ e $1$ e repetem-se a cada $2\pi $. Multiplicar valores ou modificar o argumento altera exatamente essas duas características: a escala vertical e a escala horizontal.

Considere, inicialmente,

\[ f(x)=A\operatorname {sen}(Bx) \qquad \text{ou}\qquad f(x)=A\cos (Bx), \qquad A\neq 0,\quad B\neq 0. \]

Como $B\neq 0$, o argumento $Bx$ percorre todos os números reais, e o seno ou cosseno continua assumindo todos os valores de $[-1,1]$. O fator $A$ multiplica esses valores. Por isso, a imagem é $[-|A|,|A|]$ e a amplitude, definida como metade da distância entre o valor máximo e o mínimo, é

\[ \boxed {\text{amplitude}=|A|}. \]

Quando $A\lt 0$, ocorre também uma reflexão em relação ao eixo horizontal.

Já o fator $B$ altera a escala horizontal. Uma oscilação completa ocorre quando o argumento varia $2\pi $ em módulo. Se o deslocamento na variável é $T\gt 0$, o deslocamento no argumento é $BT$. Como $2\pi $ é o menor período positivo do seno e do cosseno, o menor $T$ possível satisfaz $|B|T=2\pi $. Portanto,

\[ \boxed {T=\frac{2\pi }{|B|}}. \]

Esse é o período fundamental tanto de $A\operatorname {sen}(Bx)$ quanto de $A\cos (Bx)$. O valor absoluto é necessário porque o sinal de $B$ apenas muda a orientação com que o ciclo é percorrido. Para o cosseno isso também decorre de sua paridade; para o seno, o sinal pode ser incorporado ao fator $A$.

Por exemplo, em $g(x)=2\operatorname {sen}(3x)$, a amplitude é $2$ e o período é $2\pi /3$. Um período pode ser construído marcando seus quartos:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x& 0& \pi /6& \pi /3& \pi /2& 2\pi /3\\ \hline g(x)& 0& 2& 0& -2& 0. \end{array} \]

Entre esses pontos, o gráfico conserva a forma suave do seno.

Figura 10.5 O fator A controla a amplitude; o fator B, o período. — Figura 10.5 O fator $A$ controla a amplitude; o fator $B$, o período.

Para $B\gt 0$, os cinco pontos principais de um período podem ser organizados sem novos cálculos:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x& 0& T/4& T/2& 3T/4& T\\ \hline A\operatorname {sen}(Bx)& 0& A& 0& -A& 0\\ A\cos (Bx)& A& 0& -A& 0& A. \end{array} \]

Se houver translações, usamos as regras já estudadas para gráficos. Na forma

\[ F(x)=A\operatorname {sen}\bigl(B(x-h)\bigr)+k \quad \text{ou}\quad F(x)=A\cos \bigl(B(x-h)\bigr)+k, \]

a amplitude continua sendo $|A|$, o período continua sendo $2\pi /|B|$, a linha média passa a ser $y=k$ e o gráfico é deslocado horizontalmente por $h$. A imagem é $[k-|A|,k+|A|]$: somar $k$ desloca o máximo e o mínimo pelo mesmo valor, sem alterar a distância entre eles. Uma expressão $Bx+C$ pode ser escrita como $B(x-h)$ tomando $h=-C/B$.

Exemplo 10.6

Analise a função

\[ f(x)=3\cos \bigl(2(x-\pi /4)\bigr)-1. \]

Determine amplitude, período, deslocamento horizontal, linha média e imagem.

Solução

É útil ler a fórmula de dentro para fora. O termo $x-\pi /4$ desloca o gráfico para a direita em $\pi /4$. O fator $2$ dentro do cosseno comprime o ciclo horizontalmente, de modo que

\[ T=\frac{2\pi }{2}=\pi . \]

Fora do cosseno, o fator $3$ transforma a oscilação entre $-1$ e $1$ em uma oscilação entre $-3$ e $3$. Finalmente, subtrair $1$ desloca tudo uma unidade para baixo. Assim, a linha média é $y=-1$, a amplitude é $3$ e

\[ \operatorname {Im}f=[-4,2]. \]

Cada parâmetro atua, portanto, sobre um aspecto diferente do gráfico.

Exemplo 10.7 (Reconstruindo um modelo periódico)

Uma oscilação tem valor máximo $7$, valor mínimo $-1$ e período fundamental $6$. No instante $t=0$, seu valor é $5$ e está aumentando. Determine $A$, $B$, $D$ e $\varphi $ no modelo

\[ f(t)=D+A\operatorname {sen}(Bt+\varphi ), \qquad A,B\gt 0,\quad 0\leq \varphi \lt 2\pi . \]

Solução

O máximo e o mínimo determinam primeiro a linha média e a amplitude:

\[ D=\frac{7+(-1)}2=3, \qquad A=\frac{7-(-1)}2=4. \]

Como o período é $6$,

\[ \frac{2\pi }{B}=6 \quad \Longrightarrow \quad B=\frac\pi 3. \]

Resta determinar a fase. A condição $f(0)=5$ fornece

\[ 3+4\operatorname {sen}\varphi =5, \]

logo

\[ \operatorname {sen}\varphi =\frac12. \]

No intervalo $[0,2\pi )$ há duas possibilidades:

\[ \varphi =\frac\pi 6 \qquad \text{ou}\qquad \varphi =\frac{5\pi }{6}. \]

O valor inicial, sozinho, não distingue essas duas fases. A informação de que a oscilação está aumentando resolve a ambiguidade: perto de $\pi /6$ o seno cresce, enquanto perto de $5\pi /6$ ele decresce. Portanto,

\[ \varphi =\frac\pi 6 \]

e um modelo é

\[ \boxed {f(t)=3+4\operatorname {sen}\left(\frac{\pi t}{3}+\frac\pi 6\right)}. \]

Um modelo escrito com cosseno seria igualmente possível; seno e cosseno diferem apenas por uma mudança de fase. O que os dados determinam é a oscilação, não uma forma única de escrevê-la.

Exercício 10.27

Determine a amplitude e o período e esboce um período de cada função. Antes de desenhar, marque os cinco pontos separados por um quarto de período.
$y=-2\cos (3x)$.
$y=-3\operatorname {sen}(-4x)$.
$y=3\cos (2x)$.
$y=2\operatorname {sen}(2x+\pi /2)$.
$y=\cos ^2x-\operatorname {sen}^2x$.
$y=-3\operatorname {sen}(\pi x+\pi )$.

Ver solução

A amplitude é $2$ e o período é $2\pi /3$. Em $[0,2\pi /3]$, os valores nos quartos do período são $-2,0,2,0,-2$.
Como $-3\operatorname {sen}(-4x)=3\operatorname {sen}(4x)$, a amplitude é $3$ e o período é $\pi /2$. Em $[0,\pi /2]$, os valores principais são $0,3,0,-3,0$.
A amplitude é $3$ e o período é $\pi $. Em $[0,\pi ]$, os valores principais são $3,0,-3,0,3$.
Como $2\operatorname {sen}(2x+\pi /2)=2\cos (2x)$, a amplitude é $2$ e o período é $\pi $. Em $[0,\pi ]$, os valores principais são $2,0,-2,0,2$.
Pela fórmula de ângulo duplo, a função é $\cos (2x)$. Sua amplitude é $1$ e seu período é $\pi $.
Como $-3\operatorname {sen}(\pi x+\pi )=3\operatorname {sen}(\pi x)$, a amplitude é $3$ e o período é $2$. Em $[0,2]$, os valores principais são $0,3,0,-3,0$.

Exercício 10.28

Determine amplitude, período, linha média e deslocamento horizontal de

\[ f(x)=2\operatorname {sen}\bigl(3(x-\pi /6)\bigr)+4. \]

Ver solução

Amplitude $2$, período $2\pi /3$, linha média $y=4$ e deslocamento $\pi /6$ para a direita.

Exercício 10.29

Determine amplitude, período e imagem de

\[ g(x)=-4\cos (\pi x)+2. \]

Ver solução

Amplitude $4$, período $2$ e

\[ \operatorname {Im}g=[-2,6]. \]

Exercício 10.30

Reescreva

\[ h(x)=3\operatorname {sen}(2x-\pi )+1 \]

na forma $A\operatorname {sen}(B(x-h_0))+k$ e identifique os parâmetros.

Ver solução

\[ h(x)=3\operatorname {sen}\left(2\left(x-\frac\pi 2\right)\right)+1. \]

Logo, $A=3$, $B=2$, $h_0=\pi /2$ e $k=1$.

Exercício 10.31

Uma função cossenoidal tem amplitude $5$, período $4\pi $ e linha média $y=-2$. Dê um exemplo de fórmula com essas características.

Ver solução

Uma possibilidade é

\[ f(x)=5\cos \left(\frac x2\right)-2. \]

Exercício 10.32

Considere as duas fórmulas

\[ f(x)=3\operatorname {sen}\left(2x-\frac\pi 3\right)+1, \qquad g(x)=3\cos \left(2x-\frac{5\pi }{6}\right)+1. \]

Mostre que $f$ e $g$ definem a mesma função.
Determine amplitude, período, linha média e imagem dessa função.
Explique por que os deslocamentos aparentes nas duas fórmulas são diferentes, embora o gráfico seja o mesmo.

Ver solução

Como $\operatorname {sen}u=\cos (u-\pi /2)$,

\[ \operatorname {sen}\left(2x-\frac\pi 3\right) = \cos \left(2x-\frac\pi 3-\frac\pi 2\right) = \cos \left(2x-\frac{5\pi }{6}\right), \]

logo $f=g$. A amplitude é $3$, o período é $\pi $, a linha média é $y=1$ e a imagem é $[-2,4]$.

As duas fórmulas usam funções básicas diferentes. Seno e cosseno já diferem por uma mudança de fase de $\pi /2$; por isso, a mesma oscilação pode aparecer com parâmetros de fase distintos sem que o gráfico mude.

10.5 Tangente e funções associadas

Seno e cosseno estão definidos para todo número real. As demais funções trigonométricas serão obtidas a partir deles por quocientes e recíprocos. Consequentemente, seus domínios dependem dos zeros dos denominadores envolvidos.

A tangente admite ainda uma interpretação geométrica: ela fornece a inclinação do raio que liga a origem ao ponto correspondente da circunferência.

10.5.1 Tangente e secante

Definição 10.2

Nos pontos em que $\cos x\neq 0$, definimos

\[ \operatorname {tg}x=\frac{\operatorname {sen}x}{\cos x}, \qquad \sec x=\frac1{\cos x}. \]

Assim,

\[ \operatorname {Dom}(\operatorname {tg})=\operatorname {Dom}(\sec ) =\mathbb {R}\setminus \left\{ \frac\pi 2+k\pi :k\in \mathbb {Z}\right\} . \]

A definição também possui uma interpretação geométrica direta. Se

\[ P_x=(\cos x,\operatorname {sen}x) \]

e $\cos x\neq 0$, então o coeficiente angular da reta que passa por $O=(0,0)$ e $P_x$ é

\[ \frac{\operatorname {sen}x}{\cos x}=\operatorname {tg}x. \]

Assim, a tangente pode ser lida como a inclinação do raio $OP_x$ sempre que esse raio não é vertical.

Há uma construção que reúne tangente e secante e explica seus nomes. Para $0\lt x\lt \pi /2$, prolongue o raio $OP_x$ até encontrar a reta vertical $X=1$, que é tangente à circunferência no ponto $(1,0)$. Se chamarmos o ponto de interseção de $T$, então

\[ T=(1,\operatorname {tg}x). \]

O triângulo com vértices $O$, $(1,0)$ e $T$ é retângulo. Sua base mede $1$, sua altura mede $\operatorname {tg}x$ e, pelo teorema de Pitágoras,

\[ OT=\sqrt{1+\operatorname {tg}^2x}=\sec x. \]

A última igualdade usa $1+\operatorname {tg}^2x=(\cos ^2x+\operatorname {sen}^2x)/\cos ^2x=\sec ^2x$ e o fato de que $\sec x\gt 0$ nesse intervalo. No primeiro quadrante, portanto, a tangente aparece como a altura do ponto $T$ e a secante como o comprimento do segmento $OT$.

Figura 10.6 A reta tangente $X=1$ transforma o raio de ângulo $x$ no ponto $T=(1,\operatorname {tg}x)$. No primeiro quadrante, $OT=\sec x$.

Quando $\cos x=0$, o raio é vertical e não encontra a reta $X=1$ em um ponto finito. Esse é exatamente o motivo geométrico para tangente e secante não estarem definidas nesses valores.

A tangente tem período $\pi $, pois

\[ \operatorname {tg}(x+\pi ) =\frac{\operatorname {sen}(x+\pi )}{\cos (x+\pi )} =\frac{-\operatorname {sen}x}{-\cos x} =\operatorname {tg}x. \]

Seus zeros são $x=k\pi $, pois o seno se anula nesses pontos e o cosseno não. Como um período deve levar o zero $0$ a outro zero, não pode haver período positivo menor que $\pi $. Esse é, portanto, o período fundamental. A paridade também decorre do quociente: o seno troca de sinal ao substituir $x$ por $-x$, enquanto o cosseno não muda; logo, a tangente é ímpar.

A interpretação como inclinação permite determinar a imagem. Para qualquer $m\in \mathbb {R}$, a reta $Y=mX$ encontra a semicircunferência direita no ponto

\[ \left(\frac1{\sqrt{1+m^2}},\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}\right). \]

Esse ponto corresponde a um único ângulo $x\in (-\pi /2,\pi /2)$, e a razão entre suas coordenadas é $m$. Assim, nesse intervalo a tangente assume uma única vez cada número real; em particular, sua imagem é $\mathbb {R}$.

Para justificar o sentido da variação, tome $-\pi /2\lt u\lt v\lt \pi /2$. Pelas fórmulas de diferença,

\[ \operatorname {tg}v-\operatorname {tg}u =\frac{\operatorname {sen}v\cos u-\operatorname {sen}u\cos v}{\cos u\cos v} =\frac{\operatorname {sen}(v-u)}{\cos u\cos v}\gt 0. \]

O denominador é positivo, e o numerador também, pois $0\lt v-u\lt \pi $. Portanto, a tangente é estritamente crescente nesse intervalo. A periodicidade reproduz o mesmo comportamento em cada intervalo $(-\pi /2+k\pi ,\pi /2+k\pi )$; não se trata de monotonicidade em todo o domínio de uma só vez.

Perto de $\pi /2$ pela esquerda, o cosseno é positivo e se aproxima de zero, enquanto o seno se aproxima de $1$. O quociente cresce sem limite. Perto de $-\pi /2$ pela direita, o cosseno continua positivo, mas o seno se aproxima de $-1$, e o quociente decresce sem limite. Esses comportamentos explicam os extremos de cada ramo e, por periodicidade, as assíntotas verticais

\[ x=\frac\pi 2+k\pi . \]

Figura 10.7 A tangente tem período π e assíntotas verticais nos zeros do cosseno. — Figura 10.7 A tangente tem período $\pi $ e assíntotas verticais nos zeros do cosseno.

A secante é o recíproco da coordenada horizontal de $P_x$. Portanto, quando $P_x$ se aproxima dos pontos superior ou inferior da circunferência, essa coordenada se aproxima de zero e o módulo da secante cresce. Como $0\lt |\cos x|\leq 1$ onde a secante está definida, temos

\[ |\sec x|\geq 1. \]

Reciprocamente, se $|y|\geq 1$, então $1/y$ é um número não nulo de $[-1,1]$. Existe um ângulo cujo cosseno vale $1/y$, e sua secante vale $y$. Isso mostra que não há outros valores ausentes da imagem:

\[ \operatorname {Im}(\sec )=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty ). \]

A secante tem o mesmo sinal do cosseno, nunca se anula e é par, pois $\sec (-x)=1/\cos (-x)=1/\cos x$.

Exemplo 10.8

Determine o domínio de

\[ g(x)=\sec (2x) \]

e explique geometricamente por que esses pontos precisam ser excluídos.

Solução

A secante exige $\cos (2x)\neq 0$. Os zeros do cosseno ocorrem quando

\[ 2x=\frac\pi 2+k\pi , \]

isto é,

\[ x=\frac\pi 4+\frac{k\pi }{2}, \qquad k\in \mathbb {Z}. \]

Portanto,

\[ \operatorname {Dom}g= \mathbb {R}\setminus \left\{ \frac\pi 4+\frac{k\pi }{2}:k\in \mathbb {Z}\right\} . \]

Nesses pontos o denominador da secante se anula; no gráfico, eles correspondem às retas verticais que separam seus ramos.

10.5.2 Cotangente e cossecante

Definição 10.3

Nos pontos em que $\operatorname {sen}x\neq 0$, definimos

\[ \operatorname {cotg}x=\frac{\cos x}{\operatorname {sen}x}, \qquad \operatorname {cossec}x=\frac1{\operatorname {sen}x}. \]

Assim,

\[ \operatorname {Dom}(\operatorname {cotg})=\operatorname {Dom}(\operatorname {cossec}) =\mathbb {R}\setminus \{ k\pi :k\in \mathbb {Z}\} . \]

A cotangente troca os papéis das coordenadas:

\[ \operatorname {cotg}x=\frac{\cos x}{\operatorname {sen}x}=\frac1{\operatorname {tg}x}, \]

nos pontos em que ambas as expressões estão definidas.

A construção anterior também tem uma versão horizontal. Para $0\lt x\lt \pi /2$, prolongue o raio $OP_x$ até a reta $Y=1$, tangente à circunferência em $(0,1)$. O ponto de interseção é

\[ C=(\operatorname {cotg}x,1), \]

e o comprimento $OC$ vale $\operatorname {cossec}x$. Assim, tangente/secante e cotangente/cossecante são construções simétricas: numa usamos a reta tangente vertical $X=1$; na outra, a reta tangente horizontal $Y=1$.

No primeiro quadrante, esses comprimentos coincidem com os próprios valores de $\sec x$ e $\operatorname {cossec}x$. Fora dele, as fórmulas algébricas preservam os sinais corretos, enquanto comprimentos geométricos correspondem a valores absolutos.

As identidades de cofunção permitem relacionar cotangente e tangente:

\[ \operatorname {cotg}x=\operatorname {tg}\left(\frac\pi 2-x\right),\qquad x\neq k\pi . \]

Quando $x$ percorre $(0,\pi )$ no sentido crescente, o argumento $\pi /2-x$ percorre $(-\pi /2,\pi /2)$ no sentido decrescente. A cotangente é, portanto, estritamente decrescente em $(0,\pi )$ e assume todos os valores reais. A mesma relação mostra que seu período fundamental é $\pi $ e que esses ramos se repetem nos intervalos $(k\pi ,(k+1)\pi )$. Seus zeros ocorrem quando $\cos x=0$, isto é,

\[ x=\frac\pi 2+k\pi , \qquad k\in \mathbb {Z}. \]

Perto de $0$ pela direita, o seno é positivo e pequeno, enquanto o cosseno fica próximo de $1$: a cotangente cresce sem limite. Perto de $\pi $ pela esquerda, o seno ainda é positivo e pequeno, mas o cosseno fica próximo de $-1$: os valores decrescem sem limite. Por periodicidade, as retas $x=k\pi $ são assíntotas verticais. A paridade do seno e do cosseno dá ainda $\operatorname {cotg}(-x)=-\operatorname {cotg}x$.

A cossecante, como recíproco do seno, tem o mesmo sinal do seno, nunca se anula e é ímpar. O mesmo argumento usado para a imagem da secante fornece

\[ \operatorname {Im}(\operatorname {cossec})=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty ): \]

os valores têm módulo pelo menos $1$, e todo número com essa propriedade é o recíproco de um valor não nulo do seno. As retas $x=k\pi $ são suas assíntotas verticais, pois o numerador permanece igual a $1$ e o denominador se aproxima de zero. Para a secante, o mesmo raciocínio fornece as retas $x=\pi /2+k\pi $.

Secante e cossecante conservam o período fundamental $2\pi $. De fato, somá-lo ao argumento não altera o denominador. Além disso, o valor $1$ da secante só ocorre no ponto direito da circunferência, e o valor $1$ da cossecante só ocorre no ponto superior; não há retorno a esses valores antes de uma volta completa. Em cada intervalo em que o denominador mantém seu sinal, tomar o recíproco inverte seu sentido de monotonicidade, como no estudo da função $1/x$.

Figura 10.8 Secante e cossecante são recíprocos de cosseno e seno. Os zeros do denominador se tornam assíntotas verticais, e os gráficos permanecem fora da faixa -1< y< 1. — Figura 10.8 Secante e cossecante são recíprocos de cosseno e seno. Os zeros do denominador se tornam assíntotas verticais, e os gráficos permanecem fora da faixa $-1\lt y\lt 1$.

Exercício 10.33

Determine o domínio natural.
$\operatorname {tg}x$.
$\sec (3x-\pi /4)$.
$\operatorname {cotg}(x-\pi /3)$.
$\operatorname {cossec}(3x)$.

Ver solução

$x\neq \pi /2+k\pi $.
$3x-\pi /4\neq \pi /2+k\pi $, isto é, $x\neq \pi /4+k\pi /3$.
$x\neq \pi /3+k\pi $.
$x\neq k\pi /3$.

Exercício 10.34

Calcule exatamente.
$\operatorname {tg}(\pi /4)$.
$\operatorname {tg}(5\pi /6)$.
$\sec (2\pi /3)$.
$\operatorname {cossec}(7\pi /6)$.

Ver solução

$1$, $-1/\sqrt3$, $-2$ e $-2$.

Exercício 10.35

Mostre que $\operatorname {tg}$ é ímpar e que $\sec $ é par.

Ver solução

\[ \operatorname {tg}(-x)=\frac{-\operatorname {sen}x}{\cos x}=-\operatorname {tg}x, \qquad \sec (-x)=\frac1{\cos x}=\sec x. \]

Exercício 10.36

Verifique as identidades e indique exatamente onde valem.
$1+\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x$.
$1+\operatorname {cotg}^2x=\operatorname {cossec}^2x$.

Ver solução

A primeira vem de dividir $\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1$ por $\cos ^2x$ e vale para $x\neq \pi /2+k\pi $. A segunda vem da divisão por $\operatorname {sen}^2x$ e vale para $x\neq k\pi $, sempre com $k\in \mathbb {Z}$.

Quadro de consulta

Na tabela, o domínio é $\mathbb {R}$ sem os pontos indicados na segunda coluna, e $k$ percorre $\mathbb {Z}$. Para tangente, cotangente, secante e cossecante, cada ponto excluído $c$ corresponde à assíntota vertical $x=c$. Seno e cosseno não possuem assíntotas. A coluna $T_0$ registra o período fundamental.

Função	\shortstack{Pontos excluídos\\do domínio}	Imagem	$T_0$	Paridade
$\sen x$	nenhum	$[-1,1]$	$2\pi$	ímpar
$\cos x$	nenhum	$[-1,1]$	$2\pi$	par
$\tg x$	$\pi/2+k\pi$	$\bbR$	$\pi$	ímpar
$\cotg x$	$k\pi$	$\bbR$	$\pi$	ímpar
$\sec x$	$\pi/2+k\pi$	$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$	$2\pi$	par
$\cossec x$	$k\pi$	$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$	$2\pi$	ímpar

10.6 Simplificação de expressões trigonométricas

Uma identidade trigonométrica permite substituir uma expressão por outra equivalente, mas a manipulação algébrica não deve apagar a informação de domínio. Esse cuidado é especialmente importante quando aparecem quocientes: um fator pode cancelar algebricamente sem que os pontos em que ele era zero voltem a pertencer à expressão original.

Por exemplo, se $\operatorname {sen}x\neq 0$,

\[ \frac{1-\cos ^2x}{\operatorname {sen}x} =\frac{\operatorname {sen}^2x}{\operatorname {sen}x} =\operatorname {sen}x. \]

A expressão simplificada está definida para todo $x$, mas a original não está definida nos múltiplos inteiros de $\pi $; a igualdade vale apenas fora desses pontos. Do mesmo modo, se $\cos x\neq 0$,

\[ \frac{\operatorname {tg}x}{\sec x} =\frac{\operatorname {sen}x/\cos x}{1/\cos x} =\operatorname {sen}x. \]

Novamente, a simplificação não acrescenta ao domínio os pontos excluídos no início.

Exemplo 10.9

Simplifique

\[ E=\frac{\operatorname {sen}x}{1+\cos x}+\frac{\operatorname {sen}x}{1-\cos x}. \]

Solução

Antes de simplificar, registramos o domínio. Os denominadores exigem $1+\cos x\neq 0$ e $1-\cos x\neq 0$, isto é, $\cos x\neq \pm 1$.

Agora podemos reunir as duas frações:

\[ \begin{aligned} E & =\frac{\operatorname {sen}x(1-\cos x)+\operatorname {sen}x(1+\cos x)}{1-\cos ^2x}\\ & =\frac{2\operatorname {sen}x}{\operatorname {sen}^2x} =\frac2{\operatorname {sen}x} =2\operatorname {cossec}x. \end{aligned} \]

A expressão final é mais curta, mas deve ser entendida no domínio da expressão inicial. Os pontos em que $\operatorname {sen}x=0$ permanecem excluídos.

Exemplo 10.10

Simplifique

\[ E=\frac{\operatorname {tg}x+\operatorname {cotg}x}{\sec x\, \operatorname {cossec}x}. \]

Solução

Quando $\operatorname {sen}x\cos x\neq 0$,

\[ \operatorname {tg}x+\operatorname {cotg}x =\frac{\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x}{\operatorname {sen}x\cos x} =\frac1{\operatorname {sen}x\cos x}, \]

enquanto

\[ \sec x\, \operatorname {cossec}x=\frac1{\operatorname {sen}x\cos x}. \]

Logo, $E=1$ em todo o domínio da expressão original.

Exemplo 10.11

Simplifique

\[ E=\frac1{1-\operatorname {sen}x}-\frac1{1+\operatorname {sen}x}. \]

Solução

No domínio original, $\operatorname {sen}x\neq \pm 1$. Assim,

\[ \begin{aligned} E & =\frac{(1+\operatorname {sen}x)-(1-\operatorname {sen}x)}{1-\operatorname {sen}^2x}\\ & =\frac{2\operatorname {sen}x}{\cos ^2x} =2\operatorname {tg}x\sec x. \end{aligned} \]

Exemplo 10.12

Simplifique

\[ E=\frac{\operatorname {sen}(x+y)+\operatorname {sen}(x-y)}{2\operatorname {sen}x}, \qquad \operatorname {sen}x\neq 0. \]

Solução

Pelas fórmulas de adição,

\[ \operatorname {sen}(x+y)+\operatorname {sen}(x-y) =2\operatorname {sen}x\cos y. \]

Portanto, $E=\cos y$ no domínio indicado.

Exercício 10.37

Considere

\[ F(x)=\frac{1-\cos (2x)}{\operatorname {sen}x\cos x}. \]

Determine o domínio da expressão original e simplifique-a.
Compare esse domínio com o da expressão simplificada.
Resolva $F(x)=0$ e explique o que aconteceria se as restrições originais fossem esquecidas.

Ver solução

O domínio é $\mathbb {R}\setminus \{ k\pi /2:k\in \mathbb {Z}\} $. Nele, $1-\cos (2x)=2\operatorname {sen}^2x$ e $F(x)=2\operatorname {tg}x$. A expressão $2\operatorname {tg}x$ também está definida nos múltiplos inteiros de $\pi $, mas esses pontos não pertencem ao domínio de $F$. Os únicos zeros de $2\operatorname {tg}x$ são justamente esses múltiplos; portanto, $F(x)=0$ não tem solução. Cancelar um fator não restitui os pontos em que ele era zero.

Exercício 10.38

Verifique cada identidade no domínio em que os dois lados estão definidos.
$\sec t-\cos t=\operatorname {tg}t\, \operatorname {sen}t$.
$\dfrac {\operatorname {sen}y}{\operatorname {cossec}y}+\dfrac {\cos y}{\sec y}=1$.
$\operatorname {tg}A+\operatorname {tg}B=\dfrac {\operatorname {sen}(A+B)}{\cos A\cos B}$.
$\operatorname {cossec}t-\operatorname {sen}t=\cos t\, \operatorname {cotg}t$.
$\operatorname {sen}(3t)=3\operatorname {sen}t-4\operatorname {sen}^3t$.
$\operatorname {sen}(2\theta )=2\operatorname {sen}^3\theta \cos \theta +2\operatorname {sen}\theta \cos ^3\theta $.

Ver solução

Para $\cos t\neq 0$,

\[ \sec t-\cos t =\frac{1-\cos ^2t}{\cos t} =\frac{\operatorname {sen}^2t}{\cos t} =\operatorname {tg}t\, \operatorname {sen}t. \]
Para $\operatorname {sen}y\neq 0$ e $\cos y\neq 0$, o lado esquerdo é $\operatorname {sen}^2y+\cos ^2y=1$.
Para $\cos A\cos B\neq 0$,

\[ \operatorname {tg}A+\operatorname {tg}B =\frac{\operatorname {sen}A\cos B+\cos A\operatorname {sen}B}{\cos A\cos B} =\frac{\operatorname {sen}(A+B)}{\cos A\cos B}. \]
Para $\operatorname {sen}t\neq 0$,

\[ \operatorname {cossec}t-\operatorname {sen}t =\frac{1-\operatorname {sen}^2t}{\operatorname {sen}t} =\frac{\cos ^2t}{\operatorname {sen}t} =\cos t\, \operatorname {cotg}t. \]
Pela fórmula de adição,

\[ \operatorname {sen}(3t)=\operatorname {sen}(2t)\cos t+\cos (2t)\operatorname {sen}t =2\operatorname {sen}t\cos ^2t+(1-2\operatorname {sen}^2t)\operatorname {sen}t. \]

Substituindo $\cos ^2t=1-\operatorname {sen}^2t$ e simplificando, obtemos $3\operatorname {sen}t-4\operatorname {sen}^3t$.
O lado direito pode ser fatorado como

\[ 2\operatorname {sen}\theta \cos \theta (\operatorname {sen}^2\theta +\cos ^2\theta ) =2\operatorname {sen}\theta \cos \theta =\operatorname {sen}(2\theta ). \]

Exercício 10.39

Determine a imagem de $\sec x$ e de $\operatorname {cossec}x$ a partir das desigualdades $|\cos x|\leq 1$ e $|\operatorname {sen}x|\leq 1$.

Ver solução

Onde estão definidas,

\[ |\sec x|=\frac1{|\cos x|}\geq 1, \qquad |\operatorname {cossec}x|=\frac1{|\operatorname {sen}x|}\geq 1. \]

Logo, as imagens estão contidas em $(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$. Reciprocamente, se $\left\lvert y\right\rvert \geq 1$, então $1/y\in [-1,1]\setminus \{ 0\} $ é valor do cosseno (e do seno), e portanto $y$ é atingido. Assim, ambas têm imagem

\[ (-\infty ,-1]\cup [1,\infty ). \]

Exercício 10.40

Mostre que a cotangente tem período $\pi $.

Ver solução

\[ \operatorname {cotg}(x+\pi ) =\frac{\cos (x+\pi )}{\operatorname {sen}(x+\pi )} =\frac{-\cos x}{-\operatorname {sen}x} =\operatorname {cotg}x \]

sempre que as expressões estão definidas.

Exercício 10.41

Determine o sinal de $\operatorname {tg}x$ em cada quadrante.

Ver solução

Como $\operatorname {tg}x=\operatorname {sen}x/\cos x$, ela é positiva nos quadrantes I e III, em que seno e cosseno têm o mesmo sinal, e negativa nos quadrantes II e IV.

Escolha da forma algébrica

Uma identidade trigonométrica pode ser empregada para colocar uma expressão em uma forma mais adequada ao problema considerado. Dependendo da expressão, pode ser conveniente preservar um fator, reduzir potências ou transformar produtos em somas.

Exemplo 10.13 (Três maneiras de reconhecer a estrutura)

Reescreva as expressões abaixo de uma forma que destaque uma estrutura simples:

\[ A=\operatorname {sen}^3x\cos ^2x,\qquad B=\operatorname {sen}^2x\cos ^2x,\qquad C=\operatorname {sen}(3x)\cos x. \]

Solução

Em $A$, a potência do seno é ímpar. Convém separar um fator $\operatorname {sen}x$ e converter o restante usando $\operatorname {sen}^2x=1-\cos ^2x$:

\[ \begin{aligned} A & =\operatorname {sen}x\, \operatorname {sen}^2x\, \cos ^2x\\ & =\operatorname {sen}x(1-\cos ^2x)\cos ^2x\\ & =\operatorname {sen}x(\cos ^2x-\cos ^4x). \end{aligned} \]

A expressão ficou escrita como um fator $\operatorname {sen}x$ multiplicando um polinômio em $\cos x$.

Em $B$, as duas potências são pares. A identidade de ângulo duplo é mais natural:

\[ \operatorname {sen}^2x\cos ^2x =\frac14\operatorname {sen}^2(2x) =\frac18\bigl(1-\cos (4x)\bigr). \]

Em $C$, os argumentos são diferentes. Das fórmulas de adição,

\[ \operatorname {sen}(u+v)+\operatorname {sen}(u-v)=2\operatorname {sen}u\cos v. \]

Tomando $u=3x$ e $v=x$,

\[ \operatorname {sen}(3x)\cos x =\frac12\bigl(\operatorname {sen}(4x)+\operatorname {sen}(2x)\bigr). \]

Os três cálculos usam identidades conhecidas, mas com objetivos diferentes: preservar um fator, reduzir potências ou transformar um produto em soma.

Exercício 10.42

Reorganize

\[ \operatorname {sen}^5x\cos ^4x \]

de modo a deixar um único fator $\operatorname {sen}x$ e escrever todo o restante apenas em termos de $\cos x$.

Ver solução

\[ \begin{aligned} \operatorname {sen}^5x\cos ^4x & =\operatorname {sen}x(\operatorname {sen}^2x)^2\cos ^4x\\ & =\operatorname {sen}x(1-\cos ^2x)^2\cos ^4x\\ & =\operatorname {sen}x\bigl(\cos ^4x-2\cos ^6x+\cos ^8x\bigr). \end{aligned} \]

Exercício 10.43

Reorganize

\[ \operatorname {tg}^3x\sec ^5x \]

de modo a deixar em evidência um fator $\sec x\, \operatorname {tg}x$ e escrever o fator restante apenas em termos de $\sec x$.

Ver solução

Como $\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x-1$,

\[ \begin{aligned} \operatorname {tg}^3x\sec ^5x & =(\operatorname {tg}^2x\, \sec ^4x)(\sec x\, \operatorname {tg}x)\\ & =(\sec ^2x-1)\sec ^4x\, (\sec x\, \operatorname {tg}x)\\ & =(\sec ^6x-\sec ^4x)(\sec x\, \operatorname {tg}x). \end{aligned} \]

Exercício 10.44

Use identidades de produto e soma para reescrever.
$\operatorname {sen}(5x)\cos (2x)$ como soma de senos.
$\cos (3x)\cos x$ como soma de cossenos.
$\operatorname {sen}^2x\cos ^2x$ usando apenas uma constante e $\cos (4x)$.

Ver solução

\[ \operatorname {sen}(5x)\cos (2x) =\frac12\bigl(\operatorname {sen}(7x)+\operatorname {sen}(3x)\bigr). \]
\[ \cos (3x)\cos x =\frac12\bigl(\cos (4x)+\cos (2x)\bigr). \]
\[ \operatorname {sen}^2x\cos ^2x =\frac14\operatorname {sen}^2(2x) =\frac18\bigl(1-\cos (4x)\bigr). \]

10.7 Modelos periódicos

Fenômenos que repetem seus estados em intervalos regulares podem ser descritos por funções periódicas. Nos modelos baseados em seno ou cosseno, amplitude, período, linha média e fase devem ser determinados a partir das características do fenômeno considerado.

Exemplo 10.14 (Massa presa a uma mola)

Em um modelo idealizado de massa presa a uma mola, a posição em relação ao equilíbrio é

\[ s(t)=0{,}08\cos (4t), \]

com $s$ em metros e $t\geq 0$ em segundos. Determine a amplitude, o período e os instantes em que a massa passa pela posição de equilíbrio.

Solução

A amplitude é $0{,}08$ metro, ou $8$ centímetros. Como o argumento aumenta $2\pi $ quando o tempo aumenta $T$, temos $4T=2\pi $ e, portanto, $T=\pi /2$ segundo. A massa está no equilíbrio quando $s(t)=0$, isto é,

\[ \cos (4t)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad 4t=\frac{\pi }{2}+k\pi . \]

Logo,

\[ t=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}, \]

para os inteiros $k$ que tornam $t\geq 0$. Neste caso, $k=0,1,2,\ldots $.

Exercício 10.45

Uma roda-gigante tem raio $18$ m, seu centro está a $20$ m do solo e completa uma volta a cada $40$ s. Um passageiro inicia no ponto mais baixo. Dê uma função que modele sua altura.

Ver solução

Uma possibilidade é

\[ H(t)=20-18\cos \left(\frac{\pi t}{20}\right). \]

Ela tem linha média $20$, amplitude $18$, período $40$ e $H(0)=2$.

Exercício 10.46

A temperatura de uma câmara varia periodicamente entre $16^\circ $C e $24^\circ $C, com período de $8$ horas. Determine a amplitude e a linha média e dê um modelo cossenoidal que comece no valor máximo.

Ver solução

A amplitude é $4$ e a linha média é $20$. Um modelo é

\[ T(t)=20+4\cos \left(\frac{\pi t}{4}\right). \]

Exercício 10.47

Uma maré é modelada por

\[ h(t)=2{,}5+1{,}2\operatorname {sen}\left(\frac{\pi t}{6}\right), \]

com $h$ em metros e $t$ em horas. Determine altura média, amplitude e período.

Ver solução

A altura média é $2{,}5$ m, a amplitude é $1{,}2$ m e o período é

\[ \frac{2\pi }{\pi /6}=12\text{ h}. \]

Exercício 10.48

Um sinal sonoro puro é modelado por

\[ s(t)=A\cos (2\pi f t), \qquad f\gt 0. \]

Mostre que seu período é $1/f$.

Ver solução

O argumento aumenta $2\pi $ quando

\[ 2\pi f T=2\pi , \]

portanto $T=1/f$.

Exercício 10.49

Uma oscilação senoidal tem máximo $9$, mínimo $1$ e período fundamental $10$. No instante $t=0$, seu valor é $3$ e está diminuindo.
Determine $A$, $B$, $D$ e $\varphi $ no modelo $f(t)=D+A\operatorname {sen}(Bt+\varphi )$, com $A,B\gt 0$ e $0\leq \varphi \lt 2\pi $.
Explique por que informar apenas $f(0)=3$ não determinaria a fase.
Determine o primeiro instante $t\geq 0$ em que ocorre um mínimo.

Ver solução

A amplitude é $A=4$, a linha média é $D=5$ e $B=2\pi /10=\pi /5$. De $5+4\operatorname {sen}\varphi =3$ vem $\operatorname {sen}\varphi =-1/2$, logo $\varphi =7\pi /6$ ou $11\pi /6$ no intervalo escolhido. O seno diminui perto de $7\pi /6$ e aumenta perto de $11\pi /6$; a condição inicial seleciona $\varphi =7\pi /6$. Portanto,

\[ f(t)=5+4\operatorname {sen}\left(\frac{\pi t}{5}+\frac{7\pi }{6}\right). \]

Sem a informação sobre o sentido da variação, as duas fases seriam possíveis. O primeiro mínimo ocorre quando $\pi t/5+7\pi /6=3\pi /2$, isto é, em $t=5/3$.

Exercício 10.50

A tensão de uma rede elétrica idealizada é modelada por

\[ V(t)=170\operatorname {sen}(120\pi t), \]

com $t$ em segundos. Determine a amplitude, o período e a frequência da oscilação.

Ver solução

A amplitude é $170$. Como

\[ T=\frac{2\pi }{120\pi }=\frac1{60}\text{ s}, \]

a frequência é $1/T=60$ Hz.

Exercício 10.51

O número médio de horas de luz por dia em certa localidade é modelado, de forma simplificada, por

\[ D(t)=12+2{,}5\cos \left(\frac{2\pi }{365}(t-172)\right), \]

em que $t$ é o número de dias após o início do ano. Determine a linha média, a amplitude, o período e o instante em que o modelo prevê o máximo.

Ver solução

A linha média é $12$ horas, a amplitude é $2{,}5$ horas e o período é $365$ dias. O máximo ocorre quando o cosseno vale $1$, pela primeira vez em $t=172$.

10.8 Funções trigonométricas inversas

Seno, cosseno e tangente repetem seus valores. Por exemplo, há infinitos ângulos com seno igual a $1/2$. Assim, a pergunta “qual é o ângulo cujo seno é $1/2$?” não possui resposta única enquanto considerarmos toda a reta.

Para construir uma inversa, precisamos escolher um trecho do gráfico em que cada valor apareça uma única vez. Fazemos aqui o mesmo tipo de restrição que apareceu nas potências pares: restringimos o domínio a um intervalo em que a função seja bijetora e então invertemos essa restrição.

As propriedades já obtidas explicam as escolhas. Na semicircunferência direita, cada altura de $[-1,1]$ ocorre uma única vez, e o seno cresce estritamente. Na semicircunferência superior, cada coordenada horizontal de $[-1,1]$ ocorre uma única vez, e o cosseno decresce estritamente. Para a tangente, cada inclinação real corresponde a um único raio da semicircunferência direita, sem seus extremos verticais. Essas três restrições são, portanto, bijeções sobre as imagens indicadas:

Função	domínio escolhido	imagem	inversa
seno	$[-\pi/2,\pi/2]$	$[-1,1]$	$\arcsen$
cosseno	$[0,\pi]$	$[-1,1]$	$\arccos$
tangente	$(-\pi/2,\pi/2)$	$\bbR$	$\arctg$

A imagem de cada restrição é o domínio da inversa; o intervalo escolhido é a imagem da inversa. Outros intervalos poderiam ser usados, mas dariam outras escolhas de ângulo.

Por exemplo, $\operatorname {arcsen}(1/2)$ é o único ângulo de $[-\pi /2,\pi /2]$ cujo seno vale $1/2$: portanto, $\operatorname {arcsen}(1/2)=\pi /6$. A função arco-seno inverte o seno nesse intervalo, onde ele é estritamente crescente. Assim,

\[ \begin{aligned} \operatorname {sen}(\operatorname {arcsen}x)& =x & & (-1\leq x\leq 1),\\ \operatorname {arcsen}(\operatorname {sen}x)& =x & & (-\pi /2\leq x\leq \pi /2). \end{aligned} \]

Exemplo 10.15

Calcule

\[ \operatorname {arcsen}\left(\operatorname {sen}\frac{3\pi }{4}\right) \]

e explique por que o resultado não é $3\pi /4$.

Solução

Primeiro calculamos o seno:

\[ \operatorname {sen}\frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Agora vem o ponto essencial: $\operatorname {arcsen}$ não procura todos os ângulos com esse seno. Ele devolve o único ângulo do intervalo escolhido $[-\pi /2,\pi /2]$. Nesse intervalo, o ângulo correspondente é $\pi /4$. Portanto,

\[ \operatorname {arcsen}\left(\operatorname {sen}\frac{3\pi }{4}\right)=\frac\pi 4. \]

O valor $3\pi /4$ não é recuperado porque ele está fora do ramo usado para definir a inversa. Assim, $\operatorname {arcsen}(\operatorname {sen}x)=x$ somente quando $x$ pertence a esse intervalo.

Figura 10.9 A função seno em [-π /2,π /2] Figura 10.10 A função arco-seno — Figura 10.9 A função seno em $[-\pi /2,\pi /2]$

A mesma construção vale para cosseno e tangente. A função arco-cosseno inverte o cosseno em $[0,\pi ]$, onde ele é estritamente decrescente e assume todos os valores de $[-1,1]$:

\[ \cos (\arccos x)=x\quad (-1\leq x\leq 1), \qquad \arccos (\cos x)=x\quad (0\leq x\leq \pi ). \]

A função arco-tangente inverte a tangente em $(-\pi /2,\pi /2)$, intervalo em que ela é estritamente crescente e assume todos os valores reais:

\[ \operatorname {tg}(\operatorname {arctg}x)=x\quad (x\in \mathbb {R}), \qquad \operatorname {arctg}(\operatorname {tg}x)=x\quad (-\pi /2\lt x\lt \pi /2). \]

Em ambos os casos, como no par seno/arco-seno mostrado acima, o gráfico da função inversa é o reflexo do gráfico da função restringida em relação à reta $y=x$.

A inversão conserva o sentido da monotonicidade: uma função estritamente crescente tem inversa crescente, e uma decrescente tem inversa decrescente. Assim, $\operatorname {arcsen}$ e $\operatorname {arctg}$ são crescentes em seus domínios, enquanto $\arccos $ é decrescente. As simetrias dos intervalos principais explicam ainda as identidades

\[ \operatorname {arcsen}(-x)=-\operatorname {arcsen}x,\qquad \operatorname {arctg}(-x)=-\operatorname {arctg}x. \]

Na primeira, $-1\leq x\leq 1$; na segunda, $x$ é qualquer real. De fato, se um ângulo do intervalo principal produz o valor $x$, seu oposto ainda pertence ao mesmo intervalo e produz $-x$. A unicidade da inversa conclui o argumento. Para o arco-cosseno, a reflexão adequada é outra: $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta $, com ambos os ângulos em $[0,\pi ]$. Logo,

\[ \arccos (-x)=\pi -\arccos x,\qquad -1\leq x\leq 1. \]

Exemplo 10.16 (O intervalo principal do arco-cosseno)

Descreva $F(x)=\arccos (\cos x)$ para $-\pi \leq x\leq 2\pi $ e calcule $F(7\pi /6)$.

Solução

O arco-cosseno deve devolver um ângulo de $[0,\pi ]$. Se $-\pi \leq x\leq 0$, a paridade fornece $\cos x=\cos (-x)$, e $-x$ pertence ao intervalo principal. Se $0\leq x\leq \pi $, o próprio $x$ já está nesse intervalo. Finalmente, para $\pi \leq x\leq 2\pi $, vale $\cos x=\cos (2\pi -x)$, com $2\pi -x\in [0,\pi ]$. Portanto,

\[ F(x)= \begin{cases} -x,& -\pi \leq x\lt 0,\\ x,& 0\leq x\leq \pi ,\\ 2\pi -x,& \pi \lt x\leq 2\pi . \end{cases} \]

Em particular, $F(7\pi /6)=5\pi /6$. O cosseno preserva o valor procurado, mas a inversa escolhe seu representante no intervalo principal.

Exemplo 10.17 (Arco-tangente e composição algébrica)

Calcule $\operatorname {arctg}(\operatorname {tg}(5\pi /3))$ e reescreva $G(x)=\operatorname {sen}(\operatorname {arctg}(2x-1))$ usando apenas operações algébricas.

Solução

A tangente tem período $\pi $, e $5\pi /3-2\pi =-\pi /3$ pertence a $(-\pi /2,\pi /2)$. Assim,

\[ \operatorname {arctg}\left(\operatorname {tg}\frac{5\pi }{3}\right)=-\frac\pi 3. \]

Para a segunda parte, ponha $\theta =\operatorname {arctg}(2x-1)$. Então $\operatorname {tg}\theta =2x-1$ e $-\pi /2\lt \theta \lt \pi /2$; em particular, $\cos \theta \gt 0$. Da identidade $1+\operatorname {tg}^2\theta =1/\cos ^2\theta $,

\[ \cos \theta =\frac1{\sqrt{1+(2x-1)^2}}. \]

Como $\operatorname {sen}\theta =\operatorname {tg}\theta \cos \theta $, concluímos que

\[ G(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{1+(2x-1)^2}},\qquad x\in \mathbb {R}. \]

O sinal positivo da raiz foi determinado pelo intervalo de $\theta $. O numerador preserva o sinal do seno: $G(x)$ é negativo para $x\lt 1/2$, nulo em $1/2$ e positivo para $x\gt 1/2$.

As restrições impedem que a inversa devolva um ângulo fora do intervalo escolhido. Por exemplo, $5\pi /6$ tem seno $1/2$, mas

\[ \operatorname {arcsen}(\operatorname {sen}(5\pi /6))=\operatorname {arcsen}(1/2)=\pi /6. \]

É o mesmo cuidado com o domínio que apareceu em $\sqrt{x^2}=|x|$. Inverter uma função também não significa tomar seu recíproco: $\operatorname {arcsen}x$ não é $1/\operatorname {sen}x$.

Exercício 10.52

Indique domínio e imagem de $\operatorname {arcsen}$, $\arccos $ e $\operatorname {arctg}$.

Ver solução

\[ \operatorname {Dom}(\operatorname {arcsen})=\operatorname {Dom}(\arccos )=[-1,1], \]

\[ \operatorname {Im}(\operatorname {arcsen})=[-\pi /2,\pi /2], \qquad \operatorname {Im}(\arccos )=[0,\pi ], \]

\[ \operatorname {Dom}(\operatorname {arctg})=\mathbb {R}, \qquad \operatorname {Im}(\operatorname {arctg})=(-\pi /2,\pi /2). \]

Exercício 10.53

Explique por que $\operatorname {arcsen}x$ não significa $1/\operatorname {sen}x$ e dê o nome da função $1/\operatorname {sen}x$.

Ver solução

$\operatorname {arcsen}$ é a função inversa de uma restrição do seno; $1/\operatorname {sen}x$ é a cossecante. Inversa e recíproco são operações diferentes.

Exercício 10.54

Calcule

\[ \operatorname {arcsen}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right), \qquad \arccos \left(-\frac12\right), \qquad \operatorname {arctg}(-1). \]

Ver solução

\[ \frac\pi 3,\qquad \frac{2\pi }{3},\qquad -\frac\pi 4. \]

Exercício 10.55

Calcule

\[ \operatorname {sen}\left(\arccos \frac35\right). \]

Ver solução

Se $\theta =\arccos (3/5)$, então $\theta \in [0,\pi ]$ e $\cos \theta =3/5$. Como o cosseno é positivo, $\theta $ está no primeiro quadrante. Pela identidade pitagórica,

\[ \operatorname {sen}\theta =\frac45. \]

Exercício 10.56

Calcule

\[ \operatorname {arctg}\left(\operatorname {tg}\frac{3\pi }{4}\right). \]

Ver solução

Como $\operatorname {tg}(3\pi /4)=-1$ e a imagem de $\operatorname {arctg}$ é $(-\pi /2,\pi /2)$,

\[ \operatorname {arctg}(-1)=-\frac\pi 4. \]

Exercício 10.57

Determine o domínio da função

\[ f(x)=\operatorname {arcsen}(2x-1). \]

Ver solução

É necessário

\[ -1\leq 2x-1\leq 1, \]

o que equivale a

\[ 0\leq x\leq 1. \]

Logo, $\operatorname {Dom}f=[0,1]$.

Exercício 10.58

Determine as expressões nos intervalos indicados e justifique as escolhas de sinal e de ramo.
$\arccos (\cos x)$ para $\pi \leq x\leq 3\pi $.
$\operatorname {arctg}(\operatorname {tg}x)$ para $-3\pi /2\lt x\lt -\pi /2$.
$\operatorname {sen}(\arccos x)$ e $\cos (\operatorname {arcsen}x)$ para $-1\leq x\leq 1$.

Ver solução

No primeiro item, a expressão é $2\pi -x$ em $[\pi ,2\pi ]$ e $x-2\pi $ em $[2\pi ,3\pi ]$. No segundo, é $x+\pi $, que pertence a $(-\pi /2,\pi /2)$. No terceiro, ambas são $\sqrt{1-x^2}$: o seno é não negativo em $[0,\pi ]$, e o cosseno é não negativo em $[-\pi /2,\pi /2]$.

Exercício 10.59

Aprofundamento. Considere

\[ H(x)=\arccos \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right). \]

Mostre que o argumento do arco-cosseno pertence a $(-1,1]$ para todo $x\in \mathbb {R}$ e determine o domínio de $H$.
Tome $\theta =\operatorname {arctg}|x|$. Determine o intervalo de $2\theta $ e use a fórmula do cosseno do ângulo duplo para calcular $\cos (2\theta )$.
Conclua que $H(x)=2\operatorname {arctg}|x|$ e determine a imagem de $H$.

Ver solução

O quociente é $1-2x^2/(1+x^2)\leq 1$ e, ao somarmos $1$ a ele, obtemos $2/(1+x^2)\gt 0$. Portanto, $\operatorname {Dom}H=\mathbb {R}$. Como $0\leq \theta \lt \pi /2$, temos $0\leq 2\theta \lt \pi $ e

\[ \cos (2\theta ) =\frac{1-\operatorname {tg}^2\theta }{1+\operatorname {tg}^2\theta } =\frac{1-x^2}{1+x^2}. \]

O ângulo $2\theta $ já está no intervalo principal do arco-cosseno, logo $H(x)=2\operatorname {arctg}|x|$. A imagem é $[0,\pi )$; o valor $\pi $ não é atingido.

10.9 Modelos geométricos

As funções trigonométricas aparecem também em problemas nos quais uma grandeza depende de uma direção. Nesses casos, é necessário identificar o triângulo, a projeção ou a distância que representa corretamente a situação. Feita essa escolha, seno, cosseno e tangente expressam as relações geométricas entre as grandezas envolvidas.

Exemplo 10.18 (Altura de um prédio)

De um ponto situado a $35$ m de um prédio, o ângulo de elevação até o topo é $58^\circ $. A câmera está a $1{,}6$ m do chão. Estime a altura do prédio.

Solução

O triângulo retângulo relevante não começa no chão, mas na altura da câmera. O cateto horizontal mede $35$ m e o cateto vertical mede $H-1{,}6$, onde $H$ é a altura total do prédio. Portanto,

\[ \operatorname {tg}58^\circ =\frac{H-1{,}6}{35}. \]

Isolando $H$,

\[ H=1{,}6+35\operatorname {tg}58^\circ \approx 57{,}6\text{ m}. \]

O termo $1{,}6$ aparece porque a tangente fornece a diferença de altura entre a câmera e o topo. Só depois acrescentamos a altura da câmera em relação ao solo.

Exercício 10.60

Para $a\gt 0$, um pêndulo de comprimento $a$ é afastado de um ângulo $\theta $ da vertical, como na figura.

Obtenha a elevação vertical da massa em relação à posição mais baixa e indique um domínio adequado para $\theta $ em uma oscilação sem voltas completas.

Ver solução

A projeção vertical do fio mede $a\cos \theta $; portanto, a elevação é $h=a-a\cos \theta =a(1-\cos \theta )$. Um domínio adequado é $-\pi \lt \theta \lt \pi $; em uma oscilação de amplitude $\theta _0\lt \pi $, pode-se usar $[-\theta _0,\theta _0]$.

Exercício 10.61

Um observador está a $40$ m da base de uma torre. O ângulo de elevação até o topo é $37^\circ $, e seus olhos estão a $1{,}7$ m do chão. Estime a altura da torre, explicitando o modelo geométrico empregado.

Ver solução

No modelo de terreno horizontal e prédio vertical,

\[ H=1{,}7+40\operatorname {tg}37^\circ \approx 31{,}8\, \mathrm m. \]

Exercício 10.62

Após a decolagem, um avião sobe em linha reta, formando um ângulo de $20^\circ $ com a horizontal, com velocidade de $200$ pés por segundo. Quanto tempo ele leva para atingir uma altitude de $10\, 000$ pés?

Ver solução

A componente vertical da velocidade é $200\operatorname {sen}20^\circ $ pés por segundo. Assim,

\[ t=\frac{10\, 000}{200\operatorname {sen}20^\circ } \approx 146\ \text{segundos}, \]

ou aproximadamente $2{,}44$ minutos.

Exercício 10.63

Um observador está no ponto $A$, em uma das margens retas de um rio de $1000$ pés de largura. Quando vê pela primeira vez uma corredora na margem oposta, a linha de visão forma um ângulo de $30^\circ $ com a margem. Um minuto depois, esse ângulo é de $40^\circ $. Supondo que ela corra em linha reta, com velocidade constante e na direção indicada, determine sua velocidade.

Ver solução

Se $N$ é o pé da perpendicular traçada de $A$ à margem oposta, então

\[ NP_0=1000\operatorname {cotg}30^\circ , \qquad NP_1=1000\operatorname {cotg}40^\circ . \]

Em um minuto, a corredora percorre

\[ 1000\bigl(\operatorname {cotg}30^\circ -\operatorname {cotg}40^\circ \bigr) \approx 540{,}3\ \text{pés}. \]

Sua velocidade é, portanto, aproximadamente $540$ pés por minuto, ou $9{,}0$ pés por segundo.

Exercício 10.64

Uma escada de $6$ m está apoiada numa parede vertical e forma um ângulo de $65^\circ $ com o chão. A que altura a escada toca a parede?

Ver solução

\[ h=6\operatorname {sen}65^\circ \approx 5{,}44\text{ m}. \]

Exercício 10.65

Uma rampa sobe $1{,}2$ m ao longo de um deslocamento horizontal de $8$ m. Determine o ângulo que a rampa forma com a horizontal.

Ver solução

Se $\theta $ é o ângulo,

\[ \operatorname {tg}\theta =\frac{1{,}2}{8}=0{,}15, \]

portanto

\[ \theta =\operatorname {arctg}(0{,}15)\approx 8{,}53^\circ . \]

Exercício 10.66

Uma árvore projeta uma sombra de $14$ m quando o ângulo de elevação do Sol é $38^\circ $. Estime a altura da árvore em terreno horizontal.

Ver solução

\[ H=14\operatorname {tg}38^\circ \approx 10{,}94\text{ m}. \]

Síntese

A construção desenvolvida neste capítulo parte da circunferência unitária. Seno e cosseno são definidos pelas coordenadas de seus pontos; tangente, secante, cotangente e cossecante são obtidas por quocientes e recíprocos; para definir as funções inversas, restringem-se os domínios a intervalos de injetividade. A descrição completa dessas funções envolve, assim, sua origem geométrica, seus domínios, suas propriedades algébricas e seus gráficos.