Generalidades sobre Conjuntos

Um conjunto é um Muitos que se deixa pensar como Um.

2.1 Conceitos básicos

Definição ingênua de conjunto

Notações. Para denotar um conjunto genérico, usam-se normalmente letras maiúsculas \(A, B, C, \dots Z\), enquanto para seus elementos usam-se letras minúsculas \(a, b, c, \dots z\) (atenção: essa é somente uma notação comum, não uma regra, até mesmo porque um conjunto pode ser, por sua vez, um elemento de outro conjunto, caso em que a notação não poderia ser respeitada). A relação de pertinência é denotada pelo símbolo \(\in \). Já o símbolo \(\notin \) é usado para denotar a não-pertinência (quando isso fizer sentido).

Formas de descrever um conjunto

Há uma sutil mas importante diferença entre descrever os elementos de um conjunto (o que será chamado de descrição enumerativa) ou descrever as propriedades desses elementos (o que será chamado de descrição predicativa). Na descrição enumerativa, mais simples (mas nem sempre possível), os elementos são apresentados explicita ou implicitamente, como nos exemplos abaixo:

Note que, no último exemplo, lança-se mão das reticências para indicar que o elenco dos elementos do conjunto continua indefinidamente, segundo uma regra que fica implicitamente clara observando-se os primeiros elementos apresentados.

Já na descrição predicativa, há a concorrência de duas condições: i) há um "conjunto de referência", ao qual pertencem os elementos do conjunto que se quer descrever (podemos pensá-lo com o domínio do discurso); ii) há uma propriedade que é satisfeita por todos os elementos do conjunto que se quer descrever, e somente por eles. O formato geral (em notação matemática) da descrição predicativa é

onde \(\mathbb {U}\) denota o conjunto de referência e \(P\) a propriedade que caracteriza os elementos do conjunto que está sendo descrito. A barra vertical "\(|\)" é lida como "tal que" (ou "tais que", dependendo da concordância de número) e, em seu lugar, é também comum empregar o símbolo ":". Abaixo, alguns exemplos desse modo predicativo (para esses exemplos, \(\mathbb {N}\) denota o conjunto dos números naturais e \(\mathbb {R}\) denota o conjunto dos números reais):

Alguns cuidados com essa noção ingênua dos conjuntos

Paradoxo de Russell. Há conjuntos que são elementos de si mesmos: o conjunto de todos os conjuntos imagináveis é um elemento de si mesmo, pois trata-se evidentemente de um conjunto imaginável (acabamos de imaginá-lo); o conjunto de todas as coisas que não são comestíveis não é comestível, logo é um elemento de si mesmo. Há também os conjuntos que não são elementos de si mesmos: o conjunto dos mamíferos não é um mamífero; o conjunto dos alunos desta turma não é um aluno desta turma. Para distinguir uma classe de conjuntos da outra, chamemos de endológicos os conjuntos que são elementos de si mesmos e de exológicos os conjuntos que não são elementos de si mesmos. Evidentemente, todo conjunto é elemento de uma classe ou da outra, não podendo pertencer a ambas. Denote então por \(C\) o conjunto de todos os conjuntos exológicos. A qual classe pertence o conjunto \(C\)? É um conjunto endológico? É exológico?

Uma análise do paradoxo acima pode ser encontrada no Apêndice, mas adiantemos aqui sua conclusão: tal conjunto \(C\) não pode existir, a não ser às custas da consistência lógica do nosso sistema. E essa constatação ilustra a necessidade de se desenvolver um conceito de "conjunto" mais elaborado, de modo a evitar paradoxos e inconsistências. Tal elaboração foge totalmente ao escopo deste texto, mas sua necessidade não poderia ter sido omitida. Com esse cuidado em mente, nos será suficiente, para efeito dos nossos objetivos, lançar mão da definição ingênua de conjunto dada no início deste capítulo, uma vez que lidaremos somente com conjuntos "razoáveis".

2.2 Relações elementares

Subconjuntos e superconjuntos

A mesma situação pode ser descrita dizendo que \(A\) é um superconjunto de \(B\) ou, mais comumente, que \(A\) contém \(B\), denotando-se tal relação por \(A \supset B\).

para um certo \(n \in \mathbb {N}\). Logo, \(a=2n\), ou seja, \(a\) é divisível por 2. Concluímos que \(a\) é par, isto é, \(a \in P\). Provamos, desse modo, que todo elemento de \(A\) é também elemento de \(P\), ou seja, \(A \subset P\).
Para provar a outra inclusão, devemos verificar que todo elemento de \(P\) é também elemento de \(A\). Seja então \(n \in P\) um elemento qualquer. Como \(n\) é par (condição para pertencer ao conjunto \(P\)), ele é divisível por 2. Assim, existe algum número natural \(m\) tal que

Dividindo ambos os membros da equação acima por 2, obtemos

isto é, a metade de \(n\) é um número natural. Desse modo, \(n \in A\), donde concluímos que \(P \subset A\).
Tendo verificado que valem as inclusões \(A \subset P\) e \(A \supset P\), podemos concluir que vale a igualdade desejada, isto é, \(A=P\).

Uma vez que a relação de inclusão do tipo \(B \subset A\) inclui a possibilidade que os conjuntos \(A\) e \(B\) sejam iguais (em outras palavras, a relação \(X \subset X\) é sempre válida, para qualquer conjunto \(X\)), precisamos de outra notação e nomenclatura para os casos em que queremos evitar tal possibilidade. Nesses casos, falamos em inclusão própria (ou estrita), denotando por \(B \subsetneq A\). Em símbolos,

Assim, quando dizemos que \(B\) está contido propriamente em \(A\) (ou que \(B\) é um subconjunto próprio de \(A\)), estamos afirmando duas coisas: i) todo elemento de \(B\) é elemento de \(A\); ii) existe ao menos um elemento de \(A\) que não pertence a \(B\). Evidentemente, uma observação análoga cabe para a inclusão própria \(A \supsetneq B\).

Sobre notações. É comum encontrar um uso diferente para o símbolo \(\subset \) (ou \(\supset \)) na literatura. Em alguns textos ou artigos, de fato, o símbolo \(\subset \) (ou \(\supset \)) é usado com o mesmo significado que demos ao símbolo \(\subsetneq \) (respectivamente, \(\supsetneq \)). Nesse caso, para indicar a inclusão genérica (i.e. não própria), tais textos usam o símbolo \(\subseteq \) (respectivamente \(\supseteq \)). Assim, ao se consultar outras referências bibliográficas, é salutar verificar qual o significado ali adotado para os símbolos de inclusão.

Conjunto vazio. Assumimos a existência de um conjunto que não possui nenhum elemento. Tal conjunto é chamado de conjunto vazio e denotado por \(\varnothing \). Dado qualquer conjunto \(A\), vale sempre a relação de inclusão

A afirmação acima equivale à proposição \(x \in \varnothing \Rightarrow x \in A\). Como vimos no capítulo anterior, uma implicação é falsa somente quando sua premissa é verdadeira e sua conclusão falsa. Em particular, vimos o argumento de vacuidade: uma implicação cuja premissa é falsa é sempre uma implicação verdadeira, independentemente do valor verdade de sua conclusão. É esse exatamente o caso acima: a premissa \(x \in \varnothing \) é falsa, enquanto que a conclusão \(x \in A\) tem valor de verdade indeterminado.

Outro modo de justificar a mesma implicação é através de sua contra-positiva: \(x \notin A \Rightarrow x \notin \varnothing \). Nesse caso, a premissa pode ser verdadeira ou falsa, sendo impossível determinar o valor verdade a priori (afinal, sequer sabemos qual conjunto é \(A\)). Entretanto, a conclusão \(x \notin \varnothing \) é evidentemente verdadeira. Assim, a implicação é verdadeira, qualquer que seja o valor verdade da premissa.

Conjunto potência. Seja dado um conjunto \(A\). O conjunto de todos os subconjuntos de \(A\) é chamado de conjunto potência de \(A\) (ou também conjunto das partes de \(A\)) e é denotado por \(\mathscr {P}(A)\). Note que, qualquer que seja o conjunto \(A\), o conjunto potência \(\mathscr {P}(A)\) sempre contém, pelo menos, os elementos \(\varnothing \) e \(A\).

É importante destacar um erro comum quando se fala em conjunto das partes. Tomemos o conjunto \(A\) do exemplo acima. É falso afirmar que \(1 \in \mathscr {P}(A)\) (ou pior, que \(1 \subset A\)). O correto é \(\{ 1\} \in \mathscr {P}(A)\) (o que equivale a dizer que \(\{ 1\} \subset A\)). Em suma, vale a relação

A melhor maneira de evitar erros como o ilustrado acima é ter sempre em mente o significado das relações de pertinência e de inclusão. A primeira é uma relação entre elemento e conjunto, enquanto a segunda é uma relação entre conjunto e conjunto. Assim, os elementos de \(\mathscr {P}(A)\) são subconjuntos de \(A\). Já os elementos de \(A\), estes não são, em geral, elementos de \(\mathscr {P}(A)\).

2.3 Operações

União e intersecção

Quando dois conjuntos \(A\) e \(B\) não têm nenhum elemento em comum, i.e. quando \(A \cap B = \varnothing \), dizemos que estes conjuntos são disjuntos. A união de dois conjuntos disjuntos é também chamada de união disjunta e pode ser denotada pelo símbolo \(\stackrel{\scriptscriptstyle {\circ }}{\cup }\) ³ .

A título de exemplo, vamos provar a terceira e a quinta dessas propriedades. Iniciemos com a terceira:

Na verdade, trata-se de duas inclusões de conjuntos:

Vejamos uma de cada vez. Para provar a primeira, precisamos verificar a implicação: \(x \in A \cap B \Rightarrow x \in A\). Se for \(A \cap B=\varnothing \), então a implicação acima é verdadeira por vacuidade (não custa lembrar que isso equivale ao fato, já conhecido, de que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto). Suponhamos então que \(A \cap B \not=\varnothing \). Nesse caso, se \(x\) pertence à intersecção de \(A\) e \(B\), então \(x\) pertence tanto ao conjunto \(A\) quanto ao conjunto \(B\). Em particular, o que nos interessa nesse caso é que \(x\) pertence ao conjunto \(A\). Isso é exatamente o que afirma a implicação acima, logo é verdadeira a inclusão \(A \cap B \subset A\).
Com relação à segunda inclusão, i.e. \(A \subset A \cup B\), a ideia é similar. Precisamos provar a implicação: \(x \in A \Rightarrow x \in A \cup B\). Novamente, se \(A=\varnothing \), a implicação é válida (por vacuidade). Já no caso \(A \not=\varnothing \), tomemos \(x \in A\). Para que \(x\) seja um elemento da união \(A \cup B\), deve satisfazer a ao menos uma das condições: \(x \in A\) ou \(x \in B\). Mas a primeira condição é garantida pela hipótese acima. Logo, \(x\) também é elemento da união \(\Box \).

Provemos agora a quinta propriedade: \(A \cup (B \cap C)= (A \cup B) \cap (A \cup C)\). Nesse caso, temos uma igualdade de conjuntos. Convém, portanto, tratá-la como duas inclusões:

e

Iniciando pela primeira inclusão, devemos provar a implicação

Se \(A \cup (B \cap C)= \varnothing \), a implicação é verdadeira por vacuidade. Caso contrário, seja \(x \in A \cup (B \cap C)\). Antes de prosseguir, tenhamos em mente que queremos provar que \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\), i.e.

Pois bem, segundo a premissa, temos que \(x \in A\) ou \(x \in B \cap C\). Há, portanto, dois casos a serem analisados. Se \(x \in A\), então \(x \in A \cup B\), assim como \(x \in A \cup C\) (estamos usando, na verdade, a terceira propriedade, que acabamos de provar). Logo, no caso em que \(x \in A\), podemos concluir que \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\). Já no caso em que \(x \in B \cap C\), temos que \(x \in B\) e \(x \in C\). Usando a quarta propriedade acima (cuja prova seria totalmente análoga à da terceira propriedade), vale as implicações:

e

ou seja, podemos também nesse caso concluir que \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\). Em suma, provamos a inclusão

Queremos agora provar a segunda inclusão:

O procedimento é semelhante ao anterior, portanto seremos mais diretos. Se \((A \cup B) \cap (A \cup C) = \varnothing \), a inclusão vale por vacuidade. Caso contrário, seja \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\). Temos que \(x \in A \cup B\), assim como \(x \in A \cup C\). Da primeira, segue que \(x \in A\) ou \(x \in B\). Se \(x \in A\), então \(x \in A \cup (B \cap C)\) (que é o que queremos provar). Se \(x \in B\), usemos o fato de que \(x \in A \cup C\). Deste, segue que \(x \in A\) ou \(x \in C\) (além de \(x \in B\)). Já consideramos o caso em que \(x \in A\) (no qual verificamos a validade da inclusão). Se \(x \in C\), temos que \(x \in B \cap C\), logo \(x \in A \cup (B \cap C)\), como queríamos. Desse modo, provamos a inclusão

concluindo a demonstração da quinta propriedade.

Diferença de conjuntos. Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), define-se a diferença \(A \backslash B\) (também denotada por \(A\! -\! B\)) como sendo o conjunto formado pelos elementos de \(A\) que não pertencem a \(B\), isto é

Complementar de um conjunto. Seja fixado um conjunto \(\mathbb {U}\). Dado um subconjunto qualquer \(A \subset \mathbb {U}\), define-se o complementar de \(A\) relativamente a \(\mathbb {U}\), denotado por \(\complement _{\scriptscriptstyle {\mathbb {U}}} A\), como sendo o conjunto \(\mathbb {U}\backslash A\). Isto é,

Num certo sentido, a operação do complementar é idêntica à operação diferença. O que pode distinguir uma da outra é o papel desempenhado pelo conjunto \(\mathbb {U}\), o qual atua como um conjunto de referência (um conjunto universo, em um sentido relativo, como já chamamos atenção anteriormente). Em outras palavras, a operação do complementar age sobre os subconjuntos de um conjunto referencial, enquanto a operação de diferença opera sobre dois conjuntos quaisquer.

Observação. Durante o curso, toda vez que o conjunto de referência estiver implicitamente fixado, adotaremos uma notação simplificada para o complementar de um conjunto. Assim, nesses casos, ao invés da notação acima, denotaremos o complementar de um conjunto \(A\) simplesmente por \(A^{\mathsf c}\).

Diagramas de Venn-Euler. Uma forma gráfica para representar conjuntos é dada pelos diagramas de Venn-Euler, através dos quais cada conjunto é representado por uma região plana limitada e a relação entre tais conjuntos é representada pela posição relativa dessas regiões. A figura abaixo ilustra alguns exemplos:

Note que os diagramas acima são meras representações dos conjuntos, não devendo ser identificados com os mesmos, confusão comum que leva, no mais das vezes, a bizarras conclusões.

Produto cartesiano. Sejam dados dois conjuntos não vazios \(A\) e \(B\). Define-se o produto cartesiano de \(A\) e \(B\), denotado por \(A \times B\) como sendo o conjunto formado pelos pares ordenados \((x,y)\), onde o primeiro elemento pertence a \(A\) e o segundo a \(B\), isto é

Nunca é demais lembrar que um par ordenado \((a,b)\), como objeto matemático, é diferente do conjunto \(\{ a,b\} \). Este último caracteriza-se unicamente por conter os elementos \(a\) e \(b\), enquanto que o par ordenado \((a,b)\) impõe uma ordem entre os elementos. Em breve, tem-se que \(\{ a,b\} =\{ b,a\} \), mas \((a,b)\not=(b,a)\) (exceção feita, evidentemente, ao caso em que \(a=b\)).

O conceito de produto cartesiano também se aplica a mais do que dois conjuntos ⁴ . Dados \(n\) conjuntos não vazios (\(n \geq 2\)) \(A_1, A_2, \dots , A_n\), define-se o produto cartesiano

como sendo o conjunto formado pelas \(n\)-uplas ⁵ ordenadas \((a_{\scriptscriptstyle {1}},a_{\scriptscriptstyle {2}}, \dots , a_{\scriptscriptstyle {n}})\), onde o primeiro elemento pertence a \(A_1\), o segundo a \(A_2\) e assim por diante, até o último elemento, que deve pertencer a \(A_n\). Em símbolos:

Propriedades das operações. Sejam dados conjuntos quaisquer \(A\), \(B\) e \(C\). Valem as seguintes propriedades:

1. \(A \cup B = B \cup A\)

2. \(A \cap B = B \cap A\)

3. \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)

4. \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)

5. \(C \backslash (A \cap B) = (C \backslash A) \cup (C \backslash B)\)

6. \(C \backslash (A \cup B) = (C \backslash A) \cap (C \backslash B)\)

Nas próximas três propriedades, suponha \(A, B, C\) não vazios.

1. \(A \times (B \cup C)= (A \times B) \cup (A \times C)\)

2. Se \(B \cap C \not=\varnothing \), então \(A \times (B \cap C)= (A \times B) \cap (A \times C)\)

3. Se \(B\backslash C \not=\varnothing \), então \(A \times (B \backslash C)= (A \times B) \backslash (A \times C)\)

Além disso, seja \(\mathbb {U}\) um superconjunto de \(A\), \(B\) e \(C\) e considere a operação de complementar relativo a \(\mathbb {U}\). Então:

1. \((A \cup B)^{\mathsf c}=A^{\mathsf c} \cap B^{\mathsf c}\)

2. \((A \cap B)^{\mathsf c}=A^{\mathsf c} \cup B^{\mathsf c}\)

Das propriedades 3, 4 e 5 acima, podemos considerar, sem incorrer em ambiguidade, as seguintes operações com uma terna de conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\):

• \(A \cup B \cup C\)

• \(A \cap B \cap C\)

• \(A \! \vartriangle \! B \! \vartriangle \! C\)