Capítulo 6

Generalidades sobre Funções

Uma dependência pode existir e permanecer desconhecida.
Nikolai Lobachevsky

6.1 Conceitos básicos

O termo função é usualmente associado à seguinte ideia: se duas quantidades (variáveis) $x$ e $y$ estão relacionadas de modo que, a cada valor atribuído a $x$, corresponde, por alguma lei ou regra (implícita ou explícita), um valor a $y$, dizemos que $y$ é função de $x$. Esse enfoque é, em geral, suficiente para qualquer curso inicial de cálculo diferencial e integral em uma variável. Entretanto, tal ideia não compreende toda a abrangência que o conceito de função passou a ter a partir do desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos. Com esse arcabouço teórico à disposição, uma função, mais do que ser vista como uma relação entre variáveis, passou a ser vista como uma relação entre conjuntos.

Sob o ponto de vista matemático, mas ainda de modo informal, uma relação entre conjuntos é uma escolha do tipo: certos elementos de um dos conjuntos está relacionado com alguns elementos do outro. De modo mais preciso: uma relação entre dois conjuntos $A$ e $B$ é um subconjunto do produto cartesiano $A \times B$.

Exemplo 6.1

Sejam $A=\{ 1,2,3\} $ e $B=\{ x,y\} $. Então

\[ A \times B = \{ (1,x),(1,y),(2,x),(2,y),(3,x),(3,y)\} . \]

Tome $R=\{ (1,x),(2,x),(2,y)\} $. O subconjunto $R$ estabelece uma relação entre $A$ e $B$, na qual:

$1$ está relacionado a $x$, pois $(1,x) \in R$
$2$ está relacionado a $x$, pois $(2,x) \in R$
$2$ está relacionado a $y$, pois $(2,y) \in R$
Não há mais nenhuma outra relação entre elementos de $A$ e $B$

Note que cada escolha de um subconjunto de $A \times B$ determina uma relação diferente entre esses conjuntos.

Não é nosso interesse aprofundar o conceito de relação. Se o introduzimos aqui foi apenas para contextualizar adequadamente o conceito de função, já que esta é um caso particular de relação entre conjuntos. Temos, de fato, a seguinte definição:

Definição 6.1

Dados dois conjuntos $A$ e $B$, uma função de $A$ em $B$ é um subconjunto $f$ de $A \times B$ (portanto, uma relação entre $A$ e $B$) satisfazendo a seguinte propriedade:

para todo $x \in A$, existe um único elemento $y \in B$ tal que $(x,y) \in f$.

Notação. Apesar de definir o conceito de função dentro do contexto mais geral de relação, a notação que adotaremos é aquela mais adequada às necessidades do cálculo diferencial e integral, além de ser mais familiar àqueles que se iniciam em tal estudo. Segundo a definição acima, uma função é caracterizada por uma terna de elementos $(A, f, B)$, onde $A$ e $B$ são conjuntos e $f$ é uma relação entre eles (satisfazendo as condições para ser função). Denota-se isso por

\[ f:A \to B, \]

que se lê $f$ é uma função de $A$ em $B$. Se $f$ relaciona um elemento $x \in A$ com um elemento $y \in B$ (i.e. se $(x,y) \in f$), tal relação é denotada por $f(x)=y$.

Exemplos 6.2

$f:\{ 1,2,3\} \to \{ a,b\} $, dada por $f(1)=a$, $f(2)=a$, $f(3)=b$
$f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$, dada por $f(x)=x^{2}$
$f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$, dada por $f(x)=x+1$
$f:[0,1] \to \mathbb {R}$, dada por $f(x)=x+1$
$\phi : \{ n \in \mathbb {N}\, |\, n\gt 1\} \to \mathbb {N}$, onde $\phi (n)$ denota o número de inteiros positivos menores que $n$ que são co-primos com $n$.

Nos exemplos acima, temos alguns comportamentos diferentes que valem a pena serem observados. No primeiro exemplo, os valores da função são explicitados, um a um. Nos demais, isso não seria possível, uma vez que precisaríamos, para isso, de uma lista infinita de valores. Nos três exemplos intermediários, a função é descrita a partir de uma expressão algébrica, enquanto no último exemplo isso não seria possível. Neste, a função é descrita através do procedimento, por assim dizer, para determinar o valor da função para cada variável assumida. Por fim, note ainda que o terceiro e quarto exemplos parecem tratar da mesma função, uma vez que usam a mesma expressão algébrica, mas em cada um dos casos os conjuntos envolvidos são diferentes.

Antes de voltarmos nossa atenção ao contexto que mais nos interessa, vejamos um pouco de nomenclatura para funções. Para isso, tomemos uma função qualquer $f:A \to B$. O conjunto $A$ é chamado de domínio de $f$ e é denotado por $\operatorname {Dom}f$. Já o conjunto $B$ é chamado de contradomínio (não há uma notação para o contradomínio). Dado um elemento $x$ do domínio, então, pela própria definição de função, deve existir um elemento $y$ do contradomínio tal que $y=f(x)$ (e esse elemento, lembre-se, é único). Dizemos, nesse caso, que $y$ é imagem de $x$ ¹⁶ . O conjunto de todas as imagens dos elementos do domínio, i.e. o conjunto dos elementos de $B$ que estão relacionados a algum elemento de $A$, é chamado de imagem de $f$ e denotado por $\operatorname {Im}f$, isto é

\[ \operatorname {Im}f :=\{ y \in B \, |\, y=f(x) \, \, \mathrm{para}\, \, \mathrm{algum}\, \, x \in A\} \]

que também pode ser descrito por

\[ \operatorname {Im}f=\{ f(x) \, |\, x \in A\} . \]

Em outras palavras, para que um elemento $y$ do contradomínio $B$ pertença à imagem de $f$, ele deve ser imagem de algum elemento do domínio $A$, i.e. deve existir algum elemento $x \in A$ tal que $f(x)=y$.

Outra situação de interesse ocorre quando se quer descrever a imagem de elementos de um subconjunto do domínio. Dado um subconjunto $X \subset A$, o conjunto de todas as imagens dos elementos de $X$ é chamado de imagem do conjunto $X$ através da função $f$ e é denotado por $f(X)$. Assim:

\[ f(X):=\{ y \in B \, |\, y=f(a) \, \, \mathrm{para}\, \, \mathrm{algum}\, \, a \in X\} , \]

ou, alternativamente,

\[ f(X)=\{ f(a) \, |\, a \in X\} . \]

Note, em particular, que faz sentido falar em $f(A)$, uma vez que $A \subset A$. Nesse caso, apenas reencontramos a imagem de $f$, i.e. $f(A)=\operatorname {Im}f$.

Uma vez que a cada elemento do domínio $A$ associamos a sua imagem em $B$, cabe a questão "recíproca": dado $y \in B$, qual o conjunto de elementos do domínio que têm $y$ como imagem? Tal conjunto (que pode ser vazio) é chamado de pré-imagem de $y$. De modo mais geral, dado um subconjunto $Y \subset B$, definimos a pré-imagem de $Y$ como sendo o conjunto que se obtém fazendo a união das pré-imagens dos elementos de $Y$. Tal conjunto é denotado por $f^{-1}(Y)$ e pode ser descrito por

\[ f^{-1}(Y)=\{ x \in A \, |\, f(x) \in Y\} . \]

Com a notação acima, a pré-imagem de um elemento $y \in B$ pode ser expressa por

\[ f^{-1}(\{ y\} )=\{ x \in A \, |\, f(x)=y\} . \]

Observação. A notação usada acima, com o símbolo $f^{-1}$, é a mesma usada para o conceito de função inversa (que será visto mais adiante). Tal uso poderia gerar confusão entre esses diferentes conceitos, mas deve-se notar que o argumento entre parênteses, no caso em que a notação $f^{-1}$ se refere a uma pré-imagem (caso acima), é um conjunto, enquanto que no caso dessa mesma notação ser usada para funções inversas, o argumento entre parênteses, como veremos, é um elemento do contradomínio.

Retomemos os exemplos acima. No que se refere ao domínio, contradomínio e imagem, temos:

Exemplos 6.3

$\operatorname {Dom}f=\{ 1,2,3\} $, $\operatorname {Im}f=\{ a,b\} $ e o contradomínio é $\{ a,b\} $.
$\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}f = \mathbb {R}^{+}$ e o contradomínio é $\mathbb {R}$.
$\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}f = \mathbb {R}$ e o contradomínio é $\mathbb {R}$.
$\operatorname {Dom}f =[0,1]$, $\operatorname {Im}f= [1,2]$ e o contradomínio é $\mathbb {R}$.
$\operatorname {Dom}\phi = \{ n \in \mathbb {N}\, |\, n\gt 1\} $ e o contradomínio é $\mathbb {N}$. Sabe determinar $\operatorname {Im}\phi $? Se souber, publique!

Ainda considerando os exemplos acima, vejamos algumas pré-imagens:

Exemplos 6.4

$f^{-1}(\{ a\} )=\{ 1,2\} $, $f^{-1}(\{ b\} )=\{ 3\} $
$f^{-1}(\{ 1\} )=\{ -1,1\} $, $f^{-1}(\{ -2\} )=\varnothing $, $f^{-1}([0,4])=[-2,2]$
$f^{-1}(\{ 3\} )=\{ 2\} $, $f^{-1}((-1,5])=(-2,4]$, $f^{-1}([2,+\infty ))=[1,+\infty )$
$f^{-1}(\{ 3\} )=\varnothing $, $f^{-1}((-1,5])=[0,1]$, $f^{-1}([2,+\infty ))=\{ 1\} $
$\phi ^{-1}(\{ 1\} )=\{ 2\} $, $\phi ^{-1}(\{ 2\} )=\{ 3,4,6\} $ (sabe provar essas afirmações?)

Exercício. Seja dada uma função $f: A \to B$. Se $X$ e $Y$ são subconjuntos do domínio $A$ e se $V$ e $W$ são subconjuntos do contradomínio $B$, então:

$f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)$
$f(X \cap Y) \subset f(X) \cap f(Y)$
$f^{-1}(V \cup W) = f^{-1}(V) \cup f^{-1}(W)$
$f^{-1}(V \cap W) = f^{-1}(V) \cap f^{-1}(W)$

Para finalizar esta seção, vamos introduzir uma nomenclatura que pode ser útil em alguns contextos. Em alguns casos, duas funções podem diferir somente pelos seus domínios, sendo um deles um subconjunto do outro. Nesse caso, falamos em restrição ou em extensão de uma função. Mais especificamente:

Se $f:A \to B$ é uma função e $C \subset A$, a função $g:C \to B$ dada por $g(x)=f(x)$ é chamada de restrição de $f$ a $C$. Usualmente, denotamos a função $g$ pelo símbolo $f_{|_{\scriptscriptstyle {C}}}$ (no qual a barra $|$ designa a "restrição").
Se $g:A \to B$ é uma função e $C \supset A$, uma função $f:C \to B$ para a qual valha $f(x)=g(x)$ para todo $x \in A$, é chamada de extensão de $g$ a $C$.

Não há uma notação específica para uma extensão de uma função, até mesmo porque tal extensão não é em geral única. Entretanto, observe que vale a seguinte propriedade (onde supõe-se $X \subset Y$):

$f:Y \to Z$ é uma extensão de $g:X \to Z$ se, e somente se, $g=f_{|_{X}}$.

6.2 Propriedades

Dada uma função $f:A \to B$, sabemos que cada elemento do domínio possui uma única imagem, mas tal imagem pode ser comum a mais elementos do domínio. Além disso, nem todos os elementos do contradomínio são imagem de algum elemento do domínio. Essas duas características têm uma certa relevância no estudo das funções, tanto que foram introduzidos os conceitos de injetividade e sobrejetividade.

Definição 6.2

Uma função $f:A \to B$ é injetora se para qualquer par de elementos distintos do domínio, suas imagens são também distintas. Em outras palavras, uma função é injetora quando cada elemento da imagem da função é imagem de um único elemento do domínio.

Apesar da definição acima ser suficientemente clara, não é, em geral, muito "operacional". Uma forma equivalente, mas mais operacional, de se caracterizar as funções injetoras é a seguinte:

Uma função $f:A \to B$ é injetora se, e somente se,
para todo par de elementos $u,v \in A$, vale:

\[ f(u)=f(v) \, \Rightarrow \, u=v. \]

Veremos mais adiante, em alguns exemplos, como usar a caracterização acima para provar que uma função é injetora. Antes, vejamos outro conceito:

Definição 6.3

Uma função $f:A \to B$ é sobrejetora se a conjunto imagem $\operatorname {Im}f$ coincide com o contradomínio $B$, i.e., se todo elemento de $B$ é imagem de algum elemento de $A$.

Exemplo. Seja $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ dada por $f(x)=x^{3}-x$. Tal função é sobrejetora, pois para todo número real $y$, existe um número real $x$ tal que $x^{3}-x=y$. De fato, o polinômio $x^{3}-x-y$ (na variável $x$) sempre possui ao menos uma raiz real, uma vez que seu grau é ímpar. Por outro lado, $f$ não é uma função injetora, já que $f(1)=f(0)$, i.e., dois elementos distintos do domínio possuem imagens iguais.

Exemplo. A função $g:[0,1] \to [0,2]$, dada por $g(x)=x^{2}$, não é sobrejetora, pois não existe nenhum número real $x \in [0,1]$ cujo quadrado seja igual a 2. Na verdade, é fácil verificar que $\operatorname {Im}g = [0,1]$, a qual está contida propriamente no contradomínio. Por outro lado, a função $g$ é injetora. Para verificarmos isso, utilizaremos a última caracterização que demos das funções injetoras. A ideia é mostrar que se $u$ e $v$ são tais que $g(u)=g(v)$, então necessariamente deve ser $u=v$. Sejam então $u,v \in [0,1]$ tais que $u^{2}=v^{2}$. Dessa igualdade, segue que $u = \pm v$. Mas, tendo em mente que ambos são não negativos, deve necessariamente ser $u=v$.

Observação. Note, em ambos os exemplos, que a injetividade e a sobrejetividade de uma função não depende somente da relação algébrica explicitada. De fato, a função $f$ poderia se tornar injetora se tomássemos como domínio, por exemplo, a semi-reta $[2,+\infty )$ ¹⁷ . Por outro lado, a função $g$ também poderia se tornar sobrejetora se tomássemos como contradomínio o conjunto $[0,1]$. Assim, qualquer discussão em torno da injetividade e/ou sobrejetividade de uma função deve levar em consideração também seu domínio e contradomínio, além, é claro, da relação entre eles.

Quando uma função $f:A \to B$ é injetora e sobrejetora simultaneamente, faz sentido dizer que cada elemento da imagem da função está relacionado a um único elemento do domínio. De fato, tal relação existe, graças à sobrejetividade, e é única, graças à injetividade. Em outras palavras, podemos inverter os papéis dos conjuntos $A$ e $B$ nessa relação. Nesse caso, falamos em bijeção:

Definição 6.4

Uma função $f:A \to B$ é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora.

Na esteira do que foi dito no parágrafo acima, dada uma função bijetora $f:A \to B$, definimos a função inversa $f^{-1}:B \to A$, através da seguinte relação:

\[ f^{-1}(y)=x \, \Leftrightarrow \, f(x)=y \]

Assim, nesse caso, se um elemento $x$ de $A$ está associado a um elemento $y$ de $B$ através da função $f$ (que, lembre, estamos supondo bijetora), então o elemento $y$ está associado ao elemento $x$ pela função inversa $f^{-1}$.

Exemplo 6.5

Considere a função $f:[0,1] \to [1,3]$ dada por $f(x)=2x+1$. Tal função é bijetora (verifique por exercício) e, portanto, possui inversa $f^{-1}:[1,3] \to [0,1]$. Para determinar a expressão de $f^{-1}$, usa-se a relação que a define, i.e.

\[ f^{-1}(y)=x \, \Leftrightarrow \, f(x)=y \]

Assim, a partir de $y=2x+1$, devemos obter a expressão de $x$ em função de $y$ (ou seja, $x=f^{-1}(y)$), o que se obtém facilmente isolando a variável $x$:

\[ f^{-1}(y)=x=\frac{1}{2}(y-1) \]

Observação. Mais adiante, ao falarmos em composição de funções, veremos com o conceito de função inversa está relacionado, em algum modo, à operação inversa de uma certa operação sobre funções (justamente, a operação de composição). Isso permitirá uma compreensão ainda melhor da relação entre uma função e sua inversa (quando esta existir, claro).

Exercício 6.1

Dados os conjuntos $A=\{ a,e,i,o,u\} $ e $B=\{ 1,2,3,4,5\} $, diga qual das relações abaixo definem uma função $f:A \to B$.
$R=\{ (e,1), (o,2)\} $
$R=\{ (a,1), (e,1), (i,1), (o,2), (u,2)\} $
$R=\{ (a,1), (e,2), (i,3), (o,4), (u,5)\} $
$R=\{ (a,1), (e,1), (e,2), (i,1), (u,2), (u,5)\} $
$R=\{ (a,3), (e,3), (i,3), (o,3), (u,3)\} $
$R=\{ (a,1), (e,3), (i,3), (o,2), (u,2)\} $
$R=\{ (a,2), (e,1), (i,4), (o,5), (u,3)\} $

Ver solução

a Não: $a$, $i$ e $u$ não têm imagem. b Sim. c Sim. d Não: $e$ tem duas imagens e $a$, $o$ não têm imagem. e Sim (função constante). f Sim. g Sim.

Exercício 6.2

Para cada função que aparece no exercício acima, diga se é injetora, sobrejetora e/ou bijetora.

Ver solução

b Não é injetora ($f(a)=f(e)=1$) nem sobrejetora ($\operatorname {Im}f=\{ 1,2\} $). c Injetora e sobrejetora, logo bijetora (as cinco imagens são distintas, e $\# A=\# B=5$). e Não é injetora nem sobrejetora (a imagem é $\{ 3\} $). f Não é injetora ($f(e)=f(i)$) nem sobrejetora ($\operatorname {Im}f=\{ 1,2,3\} $). g Bijetora: as imagens $2,1,4,5,3$ são todas distintas e esgotam $B$.

Exercício 6.3

Determine o conjunto imagem da função $f:\mathbb {N}\to \mathbb {Z}$ dada por

\[ f(n)=(-1)^{n}n. \]

Ver solução

Para $n$ par, $f(n)=n$; para $n$ ímpar, $f(n)=-n\lt 0$. Logo $\operatorname {Im}f=\{ 0,2,4,6,\dots \} \cup \{ -1,-3,-5,\dots \} $, isto é, os inteiros pares não negativos e os inteiros ímpares negativos.

Exercício 6.4

Considerando a função $f$ do exercício anterior, determine o conjunto imagem da função $g:\mathbb {N}\to \mathbb {Z}$ dada por $g(n)=f(n)+f(n+1)$.

Ver solução

$g(n)=(-1)^nn+(-1)^{n+1}(n+1)=(-1)^{n+1}\big[(n+1)-n\big]=(-1)^{n+1}$. Assim $g(n)=-1$ se $n$ é par e $g(n)=1$ se $n$ é ímpar, e $\operatorname {Im}g=\{ -1,1\} $.

Exercício 6.5

Seja $A$ um conjunto (não vazio) com $n$ elementos e seja $B$ um conjunto qualquer. Mostre cada uma das seguintes afirmações:
Se existe uma função injetora $f:A \to B$, então $B$ possui pelo menos $n$ elementos.
Se existe uma função sobrejetora $f:A \to B$, então $B$ possui no máximo $n$ elementos.
Conclua, das afirmações acima, a seguinte propriedade: dois conjuntos finitos ¹⁸ possuem o mesmo número de elementos se, e somente se, existe uma função bijetora entre tais conjuntos.

Ver solução

a Se $f$ é injetora, elementos distintos de $A$ têm imagens distintas, logo $f(A)\subset B$ tem exatamente $n$ elementos. Portanto $B$ tem pelo menos $n$ elementos. b Se $A=\{ a_1,\dots ,a_n\} $ e $f$ é sobrejetora, então $B=f(A)=\{ f(a_1),\dots ,f(a_n)\} $, que tem no máximo $n$ elementos (menos que $n$ se houver repetições). c Se existe bijeção $f:A\to B$, ela é injetora e sobrejetora, e os itens anteriores dão $\# B\geq n$ e $\# B\leq n$, isto é, $\# B=n$. Reciprocamente, se $A=\{ a_1,\dots ,a_n\} $ e $B=\{ b_1,\dots ,b_n\} $, a função $f(a_i)=b_i$ é bijetora.

Exercício 6.6

Para cada uma das seguintes funções, prove ou dê contra-exemplos que elas são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
Se $A=\{ 1,2,3,4,5,6,7\} $ e $f :A \rightarrow A$ dada por:

\[ f(x)= \left\{ \begin{array}{c} x, \text{ se $x$ é ímpar } \\ \frac{x}{2}, \text{ se $x$ é par } \end{array}\right. \]

Se $A=\{ 1,2,3,4,5,6,7\} $ e $g :A \rightarrow A$ dada por:

\[ f(x)= \left\{ \begin{array}{c} x+1, \text{ se }x\neq 7 \\ f(7)=1 \text{ se } x=7. \end{array}\right. \]

$f : \mathbb {N}\rightarrow \mathbb {N}$, $f(n)=3n+1$.
$f : \mathbb {Z}\rightarrow \mathbb {Z}$, $f(n)=n - \lvert n\rvert $.
$f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$, $f(x)=ax+b$ com $a\neq 0$.
$f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$, $f(x)=2x^{2}$ .
$f : (0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$, $f(x)=\dfrac {1}{x}$.
$f : \mathbb {R}^{*} \rightarrow \mathbb {R}$, $f(x)=\dfrac {1}{x^2}$.
$f : [0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.
$f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\times \mathbb {R}$, $f(x)= (x,x)$.
$f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\times \mathbb {R}$, $f(x)= (x,\lvert x\rvert )$.
$f : \mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$, $f(x,y)= x-\lvert y\rvert $.
$f : \mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\times \mathbb {R}$, $f(x,y)= (x, y^{3})$.

Ver solução

a Não é injetora ($f(1)=f(2)=1$) nem sobrejetora ($\operatorname {Im}f=\{ 1,2,3,5,7\} $: $4$ e $6$ não são imagens). b Bijetora: $g$ leva $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \cdots \mapsto 7\mapsto 1$, e as imagens $2,3,4,5,6,7,1$ são distintas e esgotam $A$. c Injetora ($3n+1=3m+1\Rightarrow n=m$), mas não sobrejetora ($0$ e $2$ não são da forma $3n+1$). d $f(n)=0$ se $n\geq 0$ e $f(n)=2n$ se $n\lt 0$. Não é injetora ($f(0)=f(1)=0$) nem sobrejetora ($1$ não é imagem). e Bijetora. Injetora: $ax+b=ay+b\Rightarrow a(x-y)=0\Rightarrow x=y$, pois $a\neq 0$. Sobrejetora: dado $y$, $x=\frac{y-b}{a}$ satisfaz $f(x)=y$. f Não é injetora ($f(1)=f(-1)$) nem sobrejetora (só assume valores $\geq 0$; $-1$ não é imagem). g Injetora: $\frac1x=\frac1y\Rightarrow x=y$. Não sobrejetora: só assume valores positivos. h Não é injetora ($f(1)=f(-1)$) nem sobrejetora (só assume valores positivos). i Injetora: $\sqrt x=\sqrt y\Rightarrow x=y$ (elevando ao quadrado). Não é sobrejetora: não assume valores negativos. j Injetora: $(x,x)=(y,y)\Rightarrow x=y$. Não sobrejetora: $(0,1)$ não é da forma $(x,x)$. k Injetora: se $(x,\left\lvert x\right\rvert )=(y,\left\lvert y\right\rvert )$, então $x=y$. Não sobrejetora: $(0,-1)$ não é imagem, pois a segunda coordenada é $\geq 0$. l Não é injetora ($f(0,1)=f(0,-1)=-1$). É sobrejetora: dado $z$, $f(z,0)=z$. m Bijetora. Injetora: se $(x,y^3)=(x',y'^3)$, então $x=x'$ e $y^3=y'^3$, o que dá $y=y'$ (a função $y\mapsto y^3$ é injetora). Sobrejetora: dado $(u,v)$, tome $(u,\sqrt[3]{v})$.

Exercício 6.7

Determine o conjunto imagem da função $f:\mathbb {N}\to \mathbb {Z}$ dada por

\[ f(n)=(-1)^{n}n. \]

Ver solução

Exercício 6.8

Considerando a função $f$ do exercício anterior, determine o conjunto imagem da função $g:\mathbb {N}\to \mathbb {Z}$ dada por $g(n)=f(n)+f(n+1)$.

Ver solução

$g(n)=(-1)^nn+(-1)^{n+1}(n+1)=(-1)^{n+1}\big[(n+1)-n\big]=(-1)^{n+1}$. Assim $g(n)=-1$ se $n$ é par e $g(n)=1$ se $n$ é ímpar, e $\operatorname {Im}g=\{ -1,1\} $.

Exercício 6.9

Para cada uma das seguintes funções, calcule $f^{-1}( \{ 0\} ), f^{-1}(\{ 1\} ), f^{-1}(\{ 2\} )$
$f : \mathbb {N}\rightarrow \mathbb {N}$, $f(n)=3n+1$.
$f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$, $f(x)= x-\lvert (x+2)^{2}-1\rvert $.
$f : [0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$, $f(x)= \sqrt{x+1}-\sqrt{x}$.
$f : \mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$, $f(x,y)= x-\lvert y\rvert $.

Ver solução

a $f^{-1}(\{ 0\} )=\varnothing $, $f^{-1}(\{ 1\} )=\{ 0\} $ e $f^{-1}(\{ 2\} )=\varnothing $ (pois $3n+1=0$ ou $3n+1=2$ não têm solução natural). b Os três conjuntos são vazios: $f(x)\lt 0$ para todo $x$. De fato, $(x+2)^2-1=(x+1)(x+3)$. Se $(x+1)(x+3)\geq 0$, então $f(x)=-x^2-3x-3=-\left(x+\tfrac 32\right)^2-\tfrac 34\lt 0$. Se $-3\lt x\lt -1$, então $\left\lvert (x+1)(x+3)\right\rvert =-(x+1)(x+3)$ e $f(x)=x^2+5x+3=(x+1)(x+4)-1\lt -1$, pois $x+1\lt 0\lt x+4$. c Racionalizando, $f(x)=\dfrac {1}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}\in (0,1]$, com $f(x)=1$ apenas para $x=0$. Logo $f^{-1}(\{ 0\} )=\varnothing $, $f^{-1}(\{ 1\} )=\{ 0\} $ e $f^{-1}(\{ 2\} )=\varnothing $. d $f^{-1}(\{ c\} )=\{ (c+\left\lvert y\right\rvert ,y):y\in \mathbb {R}\} $; em particular, para $c=0,1,2$ obtemos $\{ (\left\lvert y\right\rvert ,y)\} $, $\{ (1+\left\lvert y\right\rvert ,y)\} $ e $\{ (2+\left\lvert y\right\rvert ,y)\} $.

Exercício 6.10

Seja dada uma função $f: A \to B$. Se $X$ e $Y$ são subconjuntos do domínio $A$ e se $V$ e $W$ são subconjuntos do contradomínio $B$, mostre que:

$f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)$.
$f(X \cap Y) \subset f(X) \cap f(Y)$.
$f^{-1}(V \cup W) = f^{-1}(V) \cup f^{-1}(W)$.
$f^{-1}(V \cap W) = f^{-1}(V) \cap f^{-1}(W)$.
Se $X\subset Y$ então $f(X)\subset f(Y)$.
Se $f$ é injetora então $f(X \cap Y) = f(X) \cap f(Y)$.
Se $V \subset W$ então $f^{-1}(V) \subset f^{-1}(W)$.
$X\subset f^{-1}(f(X))$.
Se $f$ é injetora então $X=f^{-1}(f(X))$.

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a $b\in f(X\cup Y)$ $\Leftrightarrow $ existe $a\in X\cup Y$ com $f(a)=b$ $\Leftrightarrow $ existe $a\in X$ ou existe $a\in Y$ com $f(a)=b$ $\Leftrightarrow $ $b\in f(X)\cup f(Y)$. b Se $b=f(a)$ com $a\in X\cap Y$, então $b\in f(X)$ e $b\in f(Y)$. A igualdade pode falhar: com $f(x)=x^2$, $X=\{ 1\} $, $Y=\{ -1\} $, $f(X\cap Y)=\varnothing $ e $f(X)\cap f(Y)=\{ 1\} $. c $a\in f^{-1}(V\cup W)$ $\Leftrightarrow $ $f(a)\in V\cup W$ $\Leftrightarrow $ $f(a)\in V$ ou $f(a)\in W$ $\Leftrightarrow $ $a\in f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W)$. d $a\in f^{-1}(V\cap W)$ $\Leftrightarrow $ $f(a)\in V$ e $f(a)\in W$ $\Leftrightarrow $ $a\in f^{-1}(V)\cap f^{-1}(W)$. e Se $b\in f(X)$, então $b=f(a)$ com $a\in X\subset Y$, logo $b\in f(Y)$. f Pelo item b, basta provar $f(X)\cap f(Y)\subset f(X\cap Y)$. Se $b=f(x)=f(y)$ com $x\in X$, $y\in Y$, então, como $f$ é injetora, $x=y\in X\cap Y$, logo $b\in f(X\cap Y)$. g Se $a\in f^{-1}(V)$, então $f(a)\in V\subset W$, logo $a\in f^{-1}(W)$. h Se $a\in X$, então $f(a)\in f(X)$, isto é, $a\in f^{-1}(f(X))$. i Pelo item anterior, resta provar $f^{-1}(f(X))\subset X$. Se $f(a)\in f(X)$, então $f(a)=f(x)$ para algum $x\in X$ e, como $f$ é injetora, $a=x\in X$.

Para refletir: Hotel de Hilbert
Na exata junção das fronteiras dos estados de SP, RJ e MG, há um hotel diferente de todos os outros já vistos (e ainda por ver) pelo mundo. Trata-se do Hotel Hilbert, um hotel com nada mais, nada menos, do que infinitos aposentos! Um para cada número natural $0, 1, 2, \dots $ (o quarto número $0$, na verdade, é ocupado pela gerência do hotel). No último feriado de carnaval, o hotel estava totalmente ocupado por uma legião de turistas paulistas. Não havia uma vaga sequer disponível.

Quando a noite do sábado de carnaval já se transformava em madrugada, um solitário turista carioca, desesperado para fugir dos ares da Sapucaí, procurou por uma vaga no Hotel Hilbert. Quando se dirigiu ao gerente do hotel, ao contrário do que poderíamos esperar, ouviu como resposta: "Aguarde alguns minutinhos, já já providenciamos um quarto para o senhor". Como o gerente solucionou o problema?

Na terça-feira de carnaval, um imenso grupo de turistas mineiros chegou ao Hotel Hilbert. Quando dizemos "imenso", assim é: infinitos mineiros chegaram pleiteando (silenciosa e educadamente, como é costume lá pelas gerais) por acomodações em quartos individuais para aquela última noite de delírio e festa. Ocorre que nenhum dos hóspedes paulistas - e tampouco o solitário hóspede carioca - haviam deixado o hotel. O gerente, mais uma vez e ainda mais satisfeito com a perspectiva de lucro carnavalesco, respondeu gentilmente aos seus novos clientes: "Por favor, aguardem somente um punhadinho de minutinhos e logo serão levados aos seus respectivos quartos". E agora, o que fez o gerente para acomodar tanta gente?

Ao cair da tarde da quarta-feira de cinzas, com o hotel novamente vazio (à exceção, claro, do quarto número $0$ da gerência), o habilidoso gerente, feliz com seu pé-de-meia recheado, pensou, perplexo: "Mas afinal, em qual dia houve mais movimento de hóspedes? Qual grupo de turistas era maior? Será o grupo dos paulistas? Ou o grupo dos paulistas acrescido do solitário carioca? Provavelmente, deve ser o grupo de todos os turistas, paulistas, carioca e mineiros. Será?" A essa altura, porém, o cansaço por ter lidado tão brilhantemente com o infinito já tomava conta do pobre (no sentido figurado) gerente e este caiu no sono. Antes que ele acorde, alguém saberia desvendar seu dilema?