Equações e Inequações
Conhecidas as principais famílias de funções, passamos a comparar seus valores. Uma equação pergunta onde duas funções coincidem; uma inequação pergunta onde uma delas fica acima ou abaixo da outra. Assim, os problemas deste capítulo podem ser lidos tanto algebricamente quanto por meio de gráficos. Essa dupla leitura será útil ao longo de todo o livro.Eu usava cada verdade encontrada como uma regra para descobrir outras verdades.
A.1 Equações
Sejam \(f:D\to \mathbb {R}\) e \(g:D\to \mathbb {R}\). Uma equação na incógnita \(x\) é uma igualdade da forma
O conjunto \(D\) é o domínio da equação. Resolver a equação significa determinar todos os valores \(a\in D\) para os quais \(f(a)=g(a)\). Esses valores são suas soluções ou raízes, e o conjunto de todas elas é o conjunto-solução:
Quando não houver risco de ambiguidade, escreveremos apenas \(\operatorname {Sol}\).
Há duas interpretações que convém manter em mente. No gráfico, as soluções são as abscissas dos pontos em que as curvas \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) se intersectam. Equivalentemente, se \(h=f-g\), resolver \(f(x)=g(x)\) é determinar a imagem inversa de zero por \(h\), isto é, encontrar os zeros de \(h\).
O domínio faz parte do problema, e não é um detalhe acrescentado ao final. Por exemplo, \(2x=1\) tem a solução \(1/2\) quando o domínio é \(\mathbb {R}\), mas não tem solução quando o domínio é \(\mathbb {N}\). Quando o enunciado não especificar o domínio, adotaremos o domínio real máximo das expressões envolvidas. Assim, em \(1/x=2\), o valor \(x=0\) deve ser excluído antes de qualquer manipulação.
Em geral, resolvemos uma equação transformando-a em outra mais simples. Duas equações são equivalentes quando têm o mesmo conjunto-solução. Operações reversíveis, como somar o mesmo número aos dois membros ou multiplicá-los por um número não nulo, preservam a equivalência. Outras operações podem produzir apenas uma consequência da equação original. Elevar os dois membros ao quadrado, por exemplo, pode criar candidatos que não satisfazem a igualdade inicial.
Determine o domínio em que todas as expressões estão definidas.
Simplifique a equação, indicando se cada transformação é uma equivalência ou apenas uma implicação.
Encontre os candidatos a solução.
Verifique no problema original os candidatos obtidos quando alguma etapa não for reversível ou quando houver restrições de domínio.
Apresente o conjunto-solução.
Por exemplo, \(-2\) satisfaz \(4x+8=0\), pois \(4(-2)+8=0\). Nesse caso, as operações usadas para isolar \(x\) são reversíveis e mostram também que não há outra solução.
A.1.1 Equações Polinomiais
Equação linear
Uma equação linear na variável \(x\) pode ser escrita como
em que \(a,b\in \mathbb {R}\) e \(a\neq 0\). Somar \(-b\) aos dois membros e, em seguida, dividir por \(a\) produz apenas equações equivalentes:
Logo, \(\operatorname {Sol}=\{ -b/a\} \).
Antes de tratar das equações quadráticas, recordemos a propriedade do produto nulo: um produto de números reais é zero se, e somente se, ao menos um de seus fatores é zero. Quando um polinômio já está fatorado, essa propriedade costuma ser o caminho mais curto para encontrar suas raízes.
Equação quadrática
Sejam \(a,b,c\in \mathbb {R}\), com \(a\neq 0\). Uma equação quadrática é uma equação que pode ser escrita na forma
A fórmula de resolução pode ser obtida completando um quadrado. Multiplicamos os dois membros por \(4a\neq 0\) e reorganizamos os termos:
Denotamos por \(\Delta =b^2-4ac\) o discriminante. Se \(\Delta \lt 0\), o quadrado do membro esquerdo não pode ser igual a \(\Delta \), e a equação não tem soluções reais. Se \(\Delta \geq 0\), então
de onde obtemos
Portanto,
Equações biquadráticas
Uma equação biquadrática na variável \(x\) é uma expressão da forma:
onde \(a,b,c\) são números reais e \(a\neq 0\). Para resolver uma equação biquadrática, fazemos a substituição \(t=x^2\) e, portanto, \(t^2=x^4\). A equação \(ax^4+bx^2+c=0\) transforma-se na quadrática \(at^2+bt+c=0\). Há, contudo, uma restrição que deve acompanhar a substituição: como \(t=x^2\), necessariamente \(t\geq 0\). Descartamos, assim, as raízes negativas em \(t\). Para cada raiz \(t\gt 0\), obtemos \(x=\pm \sqrt t\); se \(t=0\), obtemos apenas \(x=0\).
Equações polinomiais de grau mais alto nem sempre admitem uma fórmula simples de resolução. A fatoração, as substituições adequadas e informações sobre as raízes tornam-se então especialmente importantes. Em um contexto mais amplo, temos o resultado seguinte.
Pelo Teorema do Fator, cada raiz distinta \(r\) fornece um fator \(x-r\). Se \(r_1,\ldots ,r_k\) são raízes distintas, então
divide o polinômio. Esse produto tem grau \(k\), logo \(k\leq n\). Se uma raiz tem multiplicidade \(m\), seu fator aparece \(m\) vezes; o mesmo argumento mostra que a soma das multiplicidades reais é no máximo \(n\).
Em \(\mathbb {R}\), o limite superior dado pela proposição não precisa ser atingido. Por exemplo, \(x^2+1\) não possui raízes reais. Para o que faremos neste livro, basta distinguir fatores lineares reais de fatores quadráticos sem raízes reais.
\(-a(x_1+x_2)=b\), logo \(x_1+x_2=-b/a\). \(ax_1x_2=c\), logo \(x_1x_2=c/a\). Raízes opostas têm soma zero. Como \(x_1+x_2=2m\), precisamos de \(m=0\). Nesse caso, a equação é \(x^2-1=0\) e as raízes são \(-1\) e \(1\). Raízes inversas têm produto \(1\). Como \(x_1x_2=m-1\), precisamos de \(m=2\). Nesse caso, as raízes são \(2-\sqrt3\) e \(2+\sqrt3\), cujo produto é \(1\).
A soma das raízes é igual a \(\dfrac {-b}{a}\), isto é, \(S=x_1+x_2=\dfrac {-b}{a}\).
O produto das raízes é igual a \(\dfrac {c}{a}\), isto é, \(P=x_1\cdot x_2=\dfrac {c}{a}\). Ver solução
as raízes sejam opostas, isto é, \(x_1=-x_2\)
as raízes sejam inversas, isto é, \(x_1=\dfrac {1}{x_2}\) Ver solução
Resolva as seguintes equações polinomiais: (Dica: na última equação, faça \(y=x^2-3x+2\).) \(\{ -7/3\} \). \(\{ -2,0,2\} \). \(\{ -3,-\sqrt2,\sqrt2,3\} \). \(\{ -5,5\} \). \(\{ -1,-\sqrt6/2,\sqrt6/2,1\} \). \(\{ (3-\sqrt{13})/2,1,2,(3+\sqrt{13})/2\} \). \(\{ 2/3,3/4\} \).
\(2x-3(x-1)=8(x+3)\).
\(x(x^2-4)=0\).
\((x^2-2)(x^2-9)=0\).
\(x^4-24x^2-25=0\).
\(2x^4-5x^2+3=0\).
\((x^2-3x+2)^2-3(x^2-3x+2)=0\).
\(6x^{-2}-17x^{-1}+12=0\). Ver solução
Ver solução
Ver solução
A.1.2 Equações Envolvendo Expressões Racionais
Ao resolver uma equação com expressões racionais \(p(x)/q(x)\), começamos excluindo os valores para os quais algum denominador se anula. Depois disso, podemos multiplicar os dois membros por um denominador comum: essa multiplicação é uma equivalência no domínio já estabelecido, pois o fator usado é diferente de zero em todos os pontos desse domínio. Ao final, os candidatos devem ser comparados com as exclusões iniciais.
O exemplo seguinte mostra por que a restrição de domínio deve ser registrada antes de eliminar denominadores.
No próximo exemplo, o denominador comum elimina as frações, mas conduz a uma equação quadrática. Convém separar com clareza essas duas etapas.
Domínio. Os denominadores se anulam em \(x=0\) e \(x=1\). Logo,
Redução algébrica. Em \(D\), colocamos as parcelas sobre o denominador comum \(x(1-x)\):
Como o denominador não se anula em \(D\), a última fração é zero exatamente quando seu numerador é zero. Assim,
cujas raízes são \(-1-\sqrt3\) e \(-1+\sqrt3\).
Verificação. Nenhuma das duas raízes é \(0\) ou \(1\); ambas pertencem ao domínio. Portanto,
\(\{ (-1-\sqrt{73})/4,(-1+\sqrt{73})/4\} \). \(\{ -3/2\} \).
\(\dfrac {x}{x+2}+\dfrac {4}{x-1}=5\)
\(\dfrac {2}{x^2-1}-\dfrac {x}{x-1}=1\) Ver solução
A.1.3 Equações Envolvendo Raízes
Nas equações com radicais, o domínio e o sinal dos membros orientam cada passo. Para uma raiz de índice par, o radicando deve ser não negativo; raízes de índice ímpar estão definidas para todo radicando real. Além disso, de \(u=v\) sempre podemos concluir \(u^2=v^2\), mas a recíproca não vale sem informações sobre os sinais. Por exemplo, \(x^2=1\) tem as soluções \(-1\) e \(1\), enquanto \(x=1\) tem apenas a segunda.
Em particular, a igualdade \(\sqrt{u(x)}=v(x)\) equivale ao sistema
Também é possível elevar ao quadrado, obter candidatos e substituí-los na equação original. A formulação pelo sistema, porém, ajuda a localizar desde o início as condições que tornam a operação reversível.
Quando há mais de um radical, a estratégia usual é isolar um deles antes de elevar ao quadrado. Esse procedimento pode precisar ser repetido; a cada repetição, as condições de domínio e de sinal devem continuar visíveis.
Domínio. Os três radicandos devem ser não negativos:
Redução. Em \(D\), os dois membros são não negativos. Podemos, portanto, elevar a igualdade ao quadrado sem perder a equivalência:
Logo,
o que fornece \(x=-4/9\) ou \(x=4/3\).
Seleção e verificação. O primeiro valor não pertence ao domínio, de modo que é descartado. Para \(x=4/3\), a igualdade original se torna \(4+0=4\). Assim,
Uma outra técnica frequentemente usada na resolução de equações envolvendo raízes é multiplicar a equação por uma expressão diferente de zero, em especial pelo conjugado.
Escrevamos
Os dois radicandos são positivos para todo \(x\in \mathbb {R}\): seus discriminantes são negativos e os coeficientes de \(x^2\) são positivos. Portanto, o domínio é \(\mathbb {R}\), e o conjugado \(A+B\) é sempre positivo.
A equação original é
Multiplicando seus dois membros por \(A+B\), obtemos
Como \(A^2-B^2=7\), segue que
Somando (A.1) e (A.2), encontramos \(2A=8\) e, portanto, \(A=4\). Logo,
As raízes dessa equação são \(x=-1/3\) e \(x=1\). Em ambos os casos, \(A=4\) e \(B=3\), de modo que \(A-B=1\). Portanto,
Isolando um radical e elevando ao quadrado, chegamos a \(8\sqrt{3x-1}=31+x\) e depois a \(x^2-130x+1025=0\), cujas raízes são \(65\pm 40\sqrt2\). Só \(65-40\sqrt2\) serve (\(65+40\sqrt2\) dá \(8-\sqrt{3x-1}\lt 0\)). \(\{ 65-40\sqrt2\} \). Sendo \(A=\sqrt{x+\sqrt{x+11}}\) e \(B=\sqrt{x-\sqrt{x+11}}\), de \(A+B=4\) obtemos \(A^2+B^2+2AB=16\), isto é, \(2x+2\sqrt{x^2-x-11}=16\), ou \(\sqrt{x^2-x-11}=8-x\). Elevando ao quadrado, \(x=5\), que verifica a equação original. \(\{ 5\} \). Elevando ao quadrado uma vez, \(2\sqrt{(4x-3)(5x-1)}=6x+8\), isto é, \(\sqrt{20x^2-19x+3}=3x+4\); elevando de novo, \(11x^2-43x-13=0\), com raízes \((43\pm 3\sqrt{269})/22\). A raiz negativa não pertence ao domínio (\(x\geq 3/4\)). \(\left\{ (43+3\sqrt{269})/22\right\} \). Com \(u=\sqrt[3]{x-3}\), a equação é \(\sqrt[3]{x+34}=u+1\); elevando ao cubo, \(u^3+37=u^3+3u^2+3u+1\), ou seja, \(u^2+u-12=(u+4)(u-3)=0\). Logo \(u=-4\) ou \(u=3\), isto é, \(x=-61\) ou \(x=30\). \(\{ -61,30\} \).
\(\sqrt{x+1}=8-\sqrt{3x-1}\).
\(\sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x-\sqrt{x+11}}=4\).
\(\sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-1}=\sqrt{15x+4}\).
\(\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1\). Ver solução
Em cada item com raízes quadradas, os candidatos devem ser substituídos na equação original.
A.1.4 Equações Envolvendo Módulos
O módulo \(|u|\) representa a distância entre \(u\) e \(0\) na reta real. Por isso, se \(a\gt 0\), a equação \(|u|=a\) descreve dois valores possíveis para \(u\):
Se \(a=0\), temos apenas \(u=0\); se \(a\lt 0\), não há solução. Quando aparecem vários módulos, os zeros das expressões internas dividem a reta em intervalos. Em cada intervalo, o sinal dessas expressões é conhecido e os módulos podem ser retirados de acordo com sua definição.
As expressões internas se anulam em \(x=1\) e \(x=2\). Esses dois pontos dividem a reta em três intervalos, que analisamos separadamente.
Caso (i): \(x\lt 1\). Temos \(|x-1|=1-x\) e \(|x-2|=2-x\). Logo,
Como \(0\lt 1\), o valor encontrado é válido neste caso.
Caso (ii): \(1\leq x\lt 2\). Agora, \(|x-1|=x-1\) e \(|x-2|=2-x\). Assim,
Esse valor não pertence ao intervalo considerado e deve ser descartado.
Caso (iii): \(x\geq 2\). Os dois termos internos são não negativos, e
Como \(6\geq 2\), esse valor é válido. Reunindo os casos, obtemos
\(\{ -1,0,1\} \). \(\{ -\sqrt5,-1,1,\sqrt5\} \). \(\{ -1\} \). \(\{ 1/3\} \). \(\emptyset \). \((-\infty ,2]\cup [3,\infty )\). \([1,2]\cup \{ 5\} \).
\(\left\lvert x\right\rvert =x^2\)
\(\left\lvert x^2-3\right\rvert =2\)
\(\left\vert x\right\vert =x+2\)
\(\left\vert -x+2\right\vert =2x+1\)
\(\left\vert x+1\right\vert +\left\vert x-2\right\vert =1\)
\(\left\vert 5x-x^{2}-6\right\vert =x^{2}-5x+6\)
\(\begin{aligned} & \left\vert x-1\right\vert -2\left\vert x-2\right\vert \\ & \quad {}+3\left\vert x-3\right\vert =4. \end{aligned}\) Ver solução
Ver solução
A.2 Inequações
Nas equações, procuramos os valores em que duas expressões são iguais. Nas inequações, procuramos os valores em que uma delas é maior ou menor que a outra. Graficamente, resolver \(f(x)\gt g(x)\) significa determinar as abscissas para as quais o gráfico de \(f\) está acima do gráfico de \(g\).
Uma inequação em uma variável compara duas expressões por meio de um dos símbolos \(\lt ,\leq ,\gt \) ou \(\geq \):
Seu domínio é \(D=\operatorname {Dom}f\cap \operatorname {Dom}g\). Uma solução é um valor de \(D\) que torna verdadeira a desigualdade; o conjunto de todos esses valores é o conjunto-solução. Assim,
Quando estiver claro a qual inequação nos referimos, usaremos simplesmente \(\operatorname {Sol}\).
Subtraindo \(g(x)\) dos dois membros, toda inequação pode ser convertida em um estudo do sinal de \(h(x)=f(x)-g(x)\). Por exemplo,
Essa observação explica por que zeros, pontos excluídos do domínio e quadros de sinais aparecem repetidamente nesta seção.
Determine o domínio.
Leve todos os termos para um dos membros e, quando possível, fatore a expressão.
Identifique os pontos críticos: zeros do numerador, zeros do polinômio e valores excluídos por denominadores ou radicais.
Estude o sinal nos intervalos determinados por esses pontos.
Selecione os intervalos desejados e decida, ponto a ponto, quais extremos podem ser incluídos.
É especialmente perigoso multiplicar uma inequação por uma expressão cujo sinal é desconhecido: se ela for negativa, o sentido da desigualdade deve ser invertido; se for zero, a operação pode nem sequer ser reversível. O quadro de sinais evita esse problema.
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A.2.1 Inequações Envolvendo Polinômios
Inequação linear
Uma inequação linear é uma inequação que pode ser escrita em uma das seguintes formas:
onde \(a,b\) são números reais e \(a\neq 0\). Para resolvê-la, usamos as propriedades de ordem de \(\mathbb {R}\).
Compatibilidade com a soma:
\[ a\leq b\quad \Longrightarrow \quad a+c\leq b+c. \]Compatibilidade com a multiplicação por número não negativo:
\[ a\leq b,\ c\geq 0\quad \Longrightarrow \quad ac\leq bc. \]Compatibilidade com a multiplicação por número não positivo:
\[ a\leq b,\ c\leq 0\quad \Longrightarrow \quad ac\geq bc. \]
Para polinômios de grau maior, a fatoração transforma o problema em um estudo dos sinais dos fatores. Suponha, por exemplo, que
Em cada intervalo determinado pelas raízes, o sinal de cada fator \(x-r_i\) é fixo; por isso, o sinal do produto também é fixo. Ao atravessar uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal do fator correspondente muda; ao atravessar uma raiz de multiplicidade par, ele permanece o mesmo. Essa observação algébrica é suficiente para todos os quadros de sinais construídos a seguir.
Inequações quadráticas e polinomiais
Uma inequação quadrática é uma desigualdade que pode ser colocada em uma das formas:
onde \(a,b,c\) são números reais e \(a\neq 0\). Se \(\Delta \geq 0\), resolvemos \(ax^2+bx+c=0\) e fatoramos o polinômio por meio de suas raízes. Os fatores obtidos determinam o sinal em cada intervalo. Se \(\Delta \lt 0\), a identidade
mostra diretamente que a expressão tem sempre o sinal de \(a\), pois o termo entre colchetes é positivo.
Nos casos \(\lt \) e \(\gt \), as raízes não são incluídas. Nos casos \(\leq \) e \(\geq \), elas são incluídas, pois tornam o polinômio igual a zero.
Escreva \(\Delta =b^2-4ac\). Há três casos.
Caso (i): \(\Delta \gt 0\). Sejam \(x_1\lt x_2\) as duas raízes reais. A fatoração
permite ler o sinal de cada fator. Como \(a\gt 0\), o produto é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo dentro dele, conforme mostra o quadro.
Portanto, neste caso, \(\operatorname {Sol}=(x_1,x_2)\).
Caso (ii): \(\Delta =0\). Há uma raiz dupla \(r=-b/(2a)\), e
O polinômio nunca é estritamente negativo; logo, \(\operatorname {Sol}=\emptyset \).
Caso (iii): \(\Delta \lt 0\). Pela forma de quadrado completado apresentada acima, \(ax^2+bx+c\) tem sempre o sinal de \(a\). Como \(a\gt 0\), ele é positivo para todo \(x\), e novamente \(\operatorname {Sol}=\emptyset \).
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O fator \(x^2+9\) é estritamente positivo para todo número real. Dividir por esse fator não altera o sentido da desigualdade; portanto, o problema equivale a
Os pontos críticos são \(1\), \(5\) e \(9\). Todos têm multiplicidade ímpar: as multiplicidades são, respectivamente, \(1\), \(3\) e \(1\). Assim, o sinal do produto muda ao atravessar cada um desses pontos.
À direita de \(9\), todos os fatores são positivos, e o produto é positivo. Ao percorrer a reta para a esquerda, os sinais nos quatro intervalos são, portanto,
Escolhemos os intervalos de sinal positivo. Como a desigualdade é não estrita, incluímos também os três pontos em que o produto vale zero. Logo,
\([-2,3]\). \((-\infty ,-1)\cup (1,\infty )\). \([-2,2]\). \([-2,1]\). \(\{ -1\} \). \([-5/2,-1/2]\). \((-\infty ,-2/3)\cup (4/3,\infty )\). \((-\infty ,-\pi )\cup (\pi ,\infty )\). \((-\pi ,-\sqrt3)\cup (\pi /2,\infty )\). \((-1,3]\). \([-1,3]\).
\(6 + x - x^2 \geq 0\)
\(x^2 - 1 \gt 0\)
\(x^2 - 4 \leq 0\)
\(2 - x - x^2 \geq 0\)
\(x^2 + 2 x + 1 \leq 0\)
\((2x + 3)^2 \leq 4\)
\((3x - 1)^2 \gt 9\)
\((x-\pi )^{3}(x+\pi )(x+\sqrt{\pi })^{16}\gt 0\)
\((x-\dfrac {\pi }{2})(x+\pi )(x+\sqrt{3})^{15}\gt 0\)
\(5 \lt 2x + 7 \leq 13\)
\((x+1)(3-x)(x-2)^2\geq 0\) Ver solução
A.2.2 Inequações Envolvendo Expressões Racionais
Uma inequação racional combina dois cuidados. Primeiro, os zeros dos denominadores são excluídos do domínio. Depois de reunir os termos em uma única fração, estudamos separadamente o sinal do numerador e o do denominador. Os zeros do numerador podem pertencer à solução de uma desigualdade não estrita; os zeros do denominador nunca pertencem, pois a expressão não está definida neles.
\((-\infty ,-1/2)\cup (1,\infty )\). \((3/2,2)\cup (3,\infty )\). \((-\infty ,-1)\cup (-1/2,0]\). \((-\infty ,-1/2)\cup (3/2,5)\). \((-\infty ,0)\cup (4/5,\infty )\). \((-\infty ,0)\cup (1/3,\infty )\). \((-\infty ,-1/2)\cup (1/3,\infty )\). \((-\infty ,-1/3)\cup (2,\infty )\). \((-\infty ,-4)\cup [5,\infty )\). \([5,14)\). \((-\infty ,-2)\cup (2,\infty )\). \((-\infty ,-1)\cup (3,7)\). \((1,2)\). \(((3-\sqrt{57})/8,(3+\sqrt{57})/8)\cup (\pi ,\infty )\). \((-\infty ,-\sqrt2)\cup (0,\sqrt2)\cup [2,\infty )\). \((-2,2)\).
\(\dfrac {3}{2-2x}+\dfrac {15}{2+4x}\lt 1\)
\(\dfrac {2}{2-x}\gt \dfrac {6}{3-x}\)
\(\dfrac {4x^{2}-6x+2}{4x^{2}+6x+2}\geq 1\)
\(\dfrac {x-5}{4x^{2}-4x-3}\lt 0\)
\(\dfrac {x + 4}{2x} \lt 3\)
\(\dfrac {1}{x} \lt 3\)
\(-2 \lt \dfrac {1}{x} \lt 3\)
\(\dfrac {2x + 3}{3x + 1} \lt 1\)
\(\dfrac {4x - 2}{x + 4} \geq 2\)
\(2 \leq \dfrac {4x - 2}{x + 4} \lt 3\)
\(\dfrac {1}{2-x}+\dfrac {5}{2+x}\lt 1\)
\(\dfrac {2x-5}{x^{2}-6x-7}\lt \dfrac {1}{x-3}\)
\(\dfrac {2-x^{2}}{1-x}\lt x\)
\(\dfrac {x-\pi }{4x^{2}-3x-3}\gt 0\)
\(\dfrac {1-x}{2-x^{2}}\leq \dfrac {1}{x}\)
\(\dfrac {1}{2-x}+\dfrac {5}{2+x}\gt 1\) Ver solução
Ver solução
A.2.3 Inequações Envolvendo Raízes
Para resolver inequações com raízes quadradas, precisamos controlar tanto o domínio quanto o efeito de elevar os dois membros ao quadrado. Em uma equação com um número finito de candidatos, podemos testar cada valor obtido. Nas inequações, em que as soluções costumam formar intervalos, é mais conveniente preservar a equivalência em cada etapa.
A função quadrado é estritamente crescente em \([0,\infty )\). Portanto, se \(u,v\geq 0\), temos \(u\lt v\) se, e somente se, \(u^2\lt v^2\); o mesmo vale com \(\leq \), \(\gt \) ou \(\geq \). Assim, podemos elevar os dois membros ao quadrado depois de garantir que ambos são não negativos. Se um deles puder ser negativo, separamos os casos antes dessa operação. Vejamos como aplicar esse cuidado.
O domínio da inequação é \(D=[-2,3]\). Nesse domínio, a desigualdade equivale a
Os dois membros são não negativos. Elevando-os ao quadrado e simplificando, obtemos a desigualdade equivalente
Temos dois casos a considerar.
Caso (i): Se \(x\leq 1\), o membro esquerdo é não positivo e o direito é positivo. Logo, não há solução nesse caso.
Caso (ii): Se \(x\gt 1\), os dois membros são não negativos. Elevando novamente ao quadrado, obtemos
Essa inequação tem conjunto-solução \((-\infty ,-1)\cup (2,\infty )\). Intersectando-o com a condição \(x\gt 1\) e com o domínio \([-2,3]\), encontramos
\(6-x\geq 0\), isto é, \(x\leq 6\);
\(2-x\geq 0\), isto é, \(x\leq 2\);
\(9-\sqrt{2-x}\geq 0\), isto é, \(\sqrt{2-x}\leq 9\), que, sob a condição anterior, equivale a \(x\geq -79\).
O domínio é \(-5\leq x\leq 1/3\). Escrevendo \(\sqrt{1-3x}\gt 1+\sqrt{5+x}\) (ambos os lados positivos) e elevando ao quadrado, obtemos \(-4x-5\gt 2\sqrt{5+x}\); isso exige \(x\lt -5/4\) e, elevando ao quadrado de novo, \(16x^2+36x+5\gt 0\), isto é, \(x\lt (-9-\sqrt{61})/8\) ou \(x\gt (-9+\sqrt{61})/8\). Com \(x\lt -5/4\) e \(x\geq -5\): \([-5,(-9-\sqrt{61})/8)\). O domínio é \(-15\leq x\leq 1\). A desigualdade equivale a \(4-\sqrt{1-x}\gt 2-x\), isto é, \(2+x\gt \sqrt{1-x}\), o que exige \(x\gt -2\) e, elevando ao quadrado, \(x^2+5x+3\gt 0\), isto é, \(x\lt (-5-\sqrt{13})/2\) ou \(x\gt (-5+\sqrt{13})/2\). Resulta \(((-5+\sqrt{13})/2,1]\).
\(\sqrt{1-3x}-\sqrt{5+x}\gt 1\).
\(\sqrt{4-\sqrt{1-x}}-\sqrt{2-x}\gt 0\). Ver solução
Em cada etapa, a elevação ao quadrado é feita somente depois de impor o domínio e verificar que os dois membros são não negativos.
A.2.4 Inequações Envolvendo Módulos
A interpretação de \(|u|\) como distância fornece equivalências úteis. Para \(a\gt 0\),
Quando há vários módulos ou expressões mais complexas dentro deles, retomamos a separação em casos. Em cada intervalo determinado pelos zeros das expressões internas, retiramos os módulos e resolvemos a inequação correspondente, respeitando a condição que define o intervalo.
Temos dois casos a considerar.
Caso (i): Se \(x^2-1\geq 0\), então \(x\in (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )\) e \(|x^2-1|=x^2-1\). A inequação torna-se
cujo conjunto-solução é \([1-\sqrt2,1+\sqrt2]\). Intersectando-o com a condição deste caso, obtemos \([1,1+\sqrt2]\).
Caso (ii): Se \(x^2-1\lt 0\), então \(x\in (-1,1)\) e \(|x^2-1|=1-x^2\). A inequação torna-se
A última condição é satisfeita em \((-\infty ,-1-\sqrt2]\cup [-1+\sqrt2,\infty )\). Intersectando esse conjunto com \((-1,1)\), obtemos \([-1+\sqrt2,1)\).
Reunindo os dois casos, chegamos a
Os dois extremos pertencem ao conjunto-solução: em ambos, \(|x^2-1|-2x=0\), como exige a desigualdade não estrita do enunciado.
Se \(x\leq -2\), o lado esquerdo vale \(4\gt 2\) (todo \(x\leq -2\) serve); se \(-2\lt x\lt 2\), vale \(-2x\), e \(-2x\gt 2\iff x\lt -1\); se \(x\geq 2\), vale \(-4\) (nenhuma solução). Resposta: \((-\infty ,-1)\). Se \(x\geq 2\), a desigualdade é \(-x^2-x-3\lt 0\), sempre verdadeira; se \(-2\leq x\lt 2\), é \(x^2+3x-1\gt 0\), que dá \(x\gt (-3+\sqrt{13})/2\); se \(x\lt -2\), é \(x^2+x+1\lt 0\), impossível. Resposta: \(((-3+\sqrt{13})/2,\infty )\). Se \(x\geq -1/2\), o lado esquerdo é soma de números não negativos, e a desigualdade vale. Se \(x\lt -1/2\), ela equivale a \(\left\lvert x^2-2\right\rvert \geq -2x-1\gt 0\), isto é, \(x^2+2x-1\geq 0\) ou \(x^2-2x-3\leq 0\); isso dá \(x\leq -1-\sqrt2\) ou \(-1\leq x\lt -1/2\). Resposta: \((-\infty ,-1-\sqrt2]\cup [-1,\infty )\). Como \(\left\lvert x-2\right\rvert \geq 0\), o lado esquerdo deve ser positivo, isto é, \(\left\lvert x-5\right\rvert \gt 3\), ou seja, \(x\lt 2\) ou \(x\gt 8\). Se \(x\lt 2\), a desigualdade é \(9\gt (2-x)^2\), isto é, \(-1\lt x\lt 5\), o que dá \((-1,2)\). Se \(x\gt 8\), é \(9\gt (x-2)(x-8)\), isto é, \(x^2-10x+7\lt 0\), que dá \(8\lt x\lt 5+3\sqrt2\). Resposta: \((-1,2)\cup (8,5+3\sqrt2)\).
\(\left\vert x-2\right\vert -\left\vert x+2\right\vert \gt 2\).
\(\left\vert x-2\right\vert -x\left\vert x+2\right\vert \lt 1\).
\(\left\vert x^{2}-2\right\vert +2x+1\geq 0\).
\(\dfrac {9}{\left\vert x-5\right\vert -3}\gt \left\vert x-2 \right\vert \). Ver solução
A.3 Equações e Inequações Exponenciais e Logarítmicas
As funções exponenciais e logarítmicas estudadas no capítulo de funções exponenciais e logarítmicas permitem resolver novos tipos de comparação. Em ambos os casos, a monotonicidade é o princípio central: ela garante a injetividade usada nas equações e determina se o sentido de uma desigualdade deve ser preservado ou invertido.
A.3.1 Equações Exponenciais e Logarítmicas
Fixe uma base \(a\gt 0\), com \(a\neq 1\). Como a função \(x\mapsto a^x\) é injetiva,
O primeiro objetivo, portanto, é escrever os dois membros com a mesma base. Se isso não for possível diretamente, uma substituição pode converter a equação exponencial em uma equação polinomial.
Nas equações logarítmicas, as condições de existência vêm antes do uso das propriedades algébricas. Para que \(\log _a u(x)\) esteja definido, precisamos de \(u(x)\gt 0\). Sob essa condição, a função logarítmica também é injetiva:
desde que \(u(x)\gt 0\) e \(v(x)\gt 0\).
Domínio. Precisamos de \(x-1\gt 0\) e \(x-3\gt 0\); portanto, \(D=(3,\infty )\).
Redução. No domínio, podemos usar a propriedade do logaritmo do produto. Como \(3=\log _2 8\), temos
Assim, \(x^2-4x-5=0\), cujas raízes são \(-1\) e \(5\). Somente \(5\) pertence ao domínio. Logo, \(\operatorname {Sol}=\{ 5\} \).
Resolva em \(\mathbb {R}\): \(\operatorname {Sol}=\{ 2\} \). Com \(t=2^x\gt 0\), temos \((t-2)(t-4)=0\); logo \(\operatorname {Sol}=\{ 1,2\} \). O domínio é \(x\gt -6\) e \(x+6=9\); logo \(\operatorname {Sol}=\{ 3\} \). O domínio é \(x\gt 3\). Como \(x(x-3)=4\), obtemos \((x-4)(x+1)=0\); apenas \(x=4\) pertence ao domínio. Logo \(\operatorname {Sol}=\{ 4\} \).
\(5^{2x-1}=125\).
\(4^x-6\cdot 2^x+8=0\).
\(\log _3(x+6)=2\).
\(\ln x+\ln (x-3)=\ln 4\). Ver solução
Ver solução
A.3.2 Inequações Exponenciais e Logarítmicas
Quando \(a\gt 1\), as funções \(a^x\) e \(\log _a x\) são estritamente crescentes e preservam a ordem. Quando \(0\lt a\lt 1\), ambas são estritamente decrescentes e invertem a ordem. Em símbolos,
com \(u,v\gt 0\) nas comparações logarítmicas. As mesmas regras valem para os outros símbolos de desigualdade.
\(\{ 3\} \). \(\{ 3/2\} \). \(\{ 0,2\} \). \(\{ 2\} \). \(\{ 3\} \). \((-\infty ,2)\). \([-1,\infty )\). \((-1,\infty )\).
\(5^{x-1}=25\).
\(4^x=8\).
\(2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0\).
\(\ln (x-1)=0\).
\(\log _3x+\log _3(x-2)=1\).
\(2^{x+1}\lt 8\).
\(\left(\dfrac 13\right)^{2x}\leq 9\).
\(\ln (x+2)\gt 0\). Ver solução
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A.4 Equações e Inequações Trigonométricas
As funções trigonométricas apresentam uma diferença importante em relação às funções exponenciais e logarítmicas: elas são periódicas e, portanto, repetem seus valores. Assim, uma equação trigonométrica pode ter infinitas soluções, mesmo quando sua forma é muito simples. O procedimento natural é encontrar as soluções em um período e, em seguida, usar a periodicidade para descrever todas as demais.
As funções trigonométricas inversas fornecem um ângulo principal, mas não resolvem sozinhas o problema. Por exemplo, \(\operatorname {arcsen}(1/2)=\pi /6\), embora o seno também valha \(1/2\) em \(5\pi /6\) e nos ângulos obtidos desses dois pela adição de voltas completas.
A.4.1 Equações Trigonométricas
Considere primeiro uma equação da forma \(\operatorname {sen}x=a\). Se \(|a|\gt 1\), não há solução real, pois a imagem do seno é \([-1,1]\). Se \(|a|\leq 1\) e \(\alpha =\operatorname {arcsen}a\), então
As duas famílias correspondem aos pontos de mesma altura na circunferência unitária. De modo semelhante, se \(|a|\leq 1\) e \(\alpha =\arccos a\), então
Por fim, para todo \(a\in \mathbb {R}\),
pois o período da tangente é \(\pi \).
Quando a incógnita aparece dentro do argumento da função, resolvemos primeiro a equação trigonométrica no argumento e somente depois voltamos à variável original.
Algumas equações podem ser tratadas como equações algébricas em \(\operatorname {sen}x\) ou \(\cos x\). A substituição auxilia a fatoração, mas as raízes encontradas ainda precisam pertencer à imagem da função trigonométrica.
Resolva em \(\mathbb {R}\): \(x=-\pi /6+2k\pi \) ou \(x=7\pi /6+2k\pi \). \(x=\pi /2+k\pi \). Como \((2\operatorname {sen}x-1)(\operatorname {sen}x-1)=0\), obtemos \(x=\pi /6+2k\pi \), \(x=5\pi /6+2k\pi \) ou \(x=\pi /2+2k\pi \).
\(2\operatorname {sen}x+1=0\).
\(\operatorname {tg}\left(x-\dfrac {\pi }{4}\right)=1\).
\(2\operatorname {sen}^2x-3\operatorname {sen}x+1=0\). Ver solução
Ver solução
A.4.2 Inequações Trigonométricas
Nas inequações, a ideia é a mesma: analisamos primeiro um período e depois repetimos o conjunto obtido. O gráfico ou a circunferência unitária permitem identificar não apenas os pontos de igualdade, mas também os arcos nos quais a função fica acima ou abaixo do valor de referência.
Quando aparece uma função que não está definida em todos os reais, seus pontos excluídos continuam fora do conjunto-solução. Em particular, nas inequações com tangente devemos respeitar os pontos \(\pi /2+k\pi \), nos quais \(\cos x=0\).
\(x=\pi /3+2k\pi \) ou \(x=2\pi /3+2k\pi \). \(x=3\pi /4+2k\pi \) ou \(x=5\pi /4+2k\pi \). \(x=-\pi /4+k\pi \). \(x=\pi /4+k\pi \). \(x=2k\pi \) ou \(x=2\pi /3+2k\pi \). Como \((2\operatorname {sen}x+1)(\operatorname {sen}x-1)=0\), temos
\(\operatorname {sen}x=\sqrt3/2\).
\(\cos x=-\sqrt2/2\).
\(\operatorname {tg}x=-1\).
\(\operatorname {sen}(2x)=1\).
\(\cos (x-\pi /3)=1/2\).
\(2\operatorname {sen}^2x-\operatorname {sen}x-1=0\). Ver solução
Como \(\cos x\neq 0\), podemos multiplicar a equação por \(\cos x\): As possibilidades são \(\cos x=-1\) e \(\cos x=-2\); a segunda é impossível. Logo, \(x=\pi \). Usando \(\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x-1\), obtemos Assim, \(\sec x=2\) ou \(\sec x=-1\), e \(x\in \{ \pi /3,\pi ,5\pi /3\} \). Fatorando, Portanto, \(x\in \{ \pi /4,\pi /2,5\pi /4,3\pi /2\} \). Como \(\operatorname {cossec}^2x=1+\operatorname {cotg}^2x\), a equação equivale a \(\operatorname {cotg}x(\operatorname {cotg}x-1)=0\). Logo, \(x\in \{ \pi /4,\pi /2,5\pi /4,3\pi /2\} \).
\(\cos x+2\sec x=-3\).
\(\operatorname {tg}^2x-\sec x-1=0\).
\(\cos ^2x-\operatorname {sen}x\cos x=0\).
\(\operatorname {cossec}^2x-\operatorname {cotg}x-1=0\). Ver solução
\((\pi /2,3\pi /2)\). \([7\pi /6,11\pi /6]\). \([0,\pi /4]\cup [3\pi /4,5\pi /4]\cup [7\pi /4,2\pi )\). \((\pi /4,\pi /2)\cup (5\pi /4,3\pi /2)\). Os pontos \(\pi /2\) e \(3\pi /2\) ficam excluídos porque a tangente não está definida neles.
\(\cos x\lt 0\).
\(\operatorname {sen}x\leq -1/2\).
\(\cos (2x)\geq 0\).
\(\operatorname {tg}x\gt 1\). Ver solução