Introdução
O ensino de Matemática na transição para o ensino superior envolve uma dificuldade que não se reduz à introdução de novos conteúdos. A essa dificuldade soma-se uma realidade que não pode ser ignorada: os estudantes chegam com formações muito diferentes entre si e, não raro, com lacunas em conteúdos elementares que serão pressupostos desde o início. O estudante chega, em geral, trazendo uma formação marcada pelo domínio de técnicas e procedimentos. Encontra, porém, um modo de fazer Matemática no qual saber aplicar uma regra já não basta. Muitos dos objetos com que se depara, números, equações, funções, gráficos e expressões algébricas, já lhe são familiares. Essa familiaridade, contudo, pode esconder uma mudança profunda: ter aprendido a resolver uma equação, simplificar uma expressão ou aplicar uma fórmula não significa, necessariamente, compreender as condições que tornam esses procedimentos válidos, nem ser capaz de justificar os resultados obtidos.
O conhecimento escolar anterior oferece, sem dúvida, um primeiro contato com esses objetos. Mas esse contato não garante que o estudante consiga analisá-los, formular com precisão as hipóteses de uma afirmação ou sustentar um argumento que ultrapasse a execução de um procedimento conhecido. Reconhecer um conteúdo, portanto, não é o mesmo que estar preparado para tratá-lo segundo as exigências da Matemática universitária. A ruptura não está apenas naquilo que se estuda, mas no modo como se passa a olhar para aquilo que já se conhecia.
No ensino superior, exige-se maior precisão na linguagem, atenção às hipóteses e responsabilidade na construção dos argumentos. O estudante é chamado a participar mais ativamente do trabalho matemático: não apenas a encontrar respostas, mas a explicar por que são válidas; não apenas a utilizar resultados, mas a compreender em que condições podem ser utilizados; não apenas a acompanhar uma demonstração, mas a reconhecer a necessidade de sua estrutura. A transição, assim, não consiste simplesmente em aprender conteúdos novos. Trata-se de deslocar-se de uma relação predominantemente técnica com a Matemática para uma prática em que compreender, justificar e demonstrar constituem partes inseparáveis do fazer matemático.
É nesse contexto que se insere este livro.
Bases Matemáticas teve sua origem na disciplina de mesmo nome da Universidade Federal do ABC, concebida para acompanhar os estudantes nos primeiros momentos de sua formação universitária. Desde o início, a proposta esteve associada a duas preocupações complementares. De um lado, retomar conhecimentos elementares e organizá-los segundo um grau maior de precisão e coerência. De outro, criar condições para que o estudante desenvolvesse progressivamente uma postura mais autônoma diante da Matemática.
Essa autonomia não deve ser confundida com a simples capacidade de resolver exercícios sem auxílio. Ela envolve, antes de tudo, aprender a reconhecer o que se sabe e o que ainda precisa ser compreendido, identificar quais propriedades estão sendo utilizadas em um argumento, retornar a uma definição quando necessário e perceber quando um procedimento aparentemente correto carece de justificativa. Em Matemática, a autonomia se constrói também pela capacidade de formular boas perguntas.
Por essa razão, o livro não pretende ser apenas uma revisão da Matemática escolar. Tampouco se propõe a reunir, em forma condensada, todos os assuntos que possam vir a ser úteis nos cursos posteriores. A escolha e a organização dos conteúdos obedecem a um percurso. Em diversos momentos, retomaremos objetos familiares; o propósito, entretanto, será observá-los de uma perspectiva diferente e utilizá-los para introduzir formas de raciocínio que se tornarão cada vez mais importantes ao longo da formação universitária.
Esse percurso começa pela linguagem. Afirmações, conectivos, quantificadores e implicações aparecem não como um formalismo separado da prática matemática, mas como instrumentos necessários para dizer com clareza o que se pretende afirmar. Saber distinguir uma afirmação de sua recíproca, negar corretamente uma proposição quantificada ou compreender o papel de uma hipótese são habilidades que reaparecem continuamente ao longo do texto.
É nesse mesmo espírito que surgem os primeiros métodos de demonstração. Uma demonstração não é uma sequência de palavras acrescentada ao final de um resultado já conhecido, nem uma formalidade exigida apenas em cursos mais abstratos. Ela é o meio pelo qual se explicita por que uma afirmação deve ser verdadeira a partir das hipóteses estabelecidas. A diferença entre verificar muitos casos e demonstrar uma propriedade geral é uma das primeiras distinções importantes que o estudante encontra ao mudar sua relação com a Matemática.
A linguagem dos conjuntos e o estudo dos conjuntos numéricos ampliam esse movimento. Conceitos familiares passam a ser tratados por suas propriedades e pelas relações que estabelecem entre si. Pertinência, inclusão, ordem, intervalos, desigualdades e valor absoluto deixam de ser apenas ferramentas operacionais e tornam-se parte de uma linguagem mais geral, capaz de organizar objetos e argumentos. A combinatória acrescenta outro aspecto dessa formação: em muitos problemas, a dificuldade principal não está na conta final, mas em compreender a estrutura da situação, separar casos, reconhecer escolhas independentes e justificar por que determinada contagem está correta.
O estudo das funções ocupa uma posição central nesse processo. A noção de função permite abandonar o tratamento isolado de números e expressões e passar ao estudo de relações entre grandezas. Uma função não se reduz à fórmula utilizada para representá-la: possui domínio, contradomínio e imagem, pode ser composta com outras funções, pode ou não admitir uma inversa e pode apresentar propriedades que se tornam visíveis tanto algebricamente quanto geometricamente.
Essa mudança de perspectiva é particularmente importante. No estudo escolar, é comum que um gráfico apareça como uma representação posterior à fórmula, quase como uma ilustração. Aqui, procuraremos explorar de maneira mais sistemática a relação entre diferentes formas de representar uma mesma função. Uma expressão algébrica pode revelar propriedades de um gráfico; inversamente, a observação geométrica pode sugerir propriedades que depois serão justificadas algebricamente.
As funções algébricas, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas fornecem o repertório concreto para esse trabalho. Algumas técnicas serão retomadas e exercitadas, mas o interesse não está em formar um catálogo de fórmulas. O objetivo é compreender como essas famílias se comportam, como se relacionam entre si e como mudanças na expressão de uma função se refletem em seu gráfico e em suas propriedades.
Ao longo desse percurso, uma ideia passa a ocupar espaço crescente: a Matemática permite estudar não apenas objetos, mas também comportamentos. Uma função pode crescer ou decrescer, oscilar, repetir um padrão ou aproximar-se de determinado valor. O interesse desloca-se, pouco a pouco, dos valores isolados para aquilo que acontece quando uma variável percorre muitos valores ou quando um processo continua indefinidamente.
É nesse ponto que entram as sequências.
Uma sequência pode ser vista, inicialmente, como uma lista ordenada de números. Essa descrição simples, porém, permite formular questões novas. O que ocorre com seus termos quando avançamos cada vez mais na sequência? Eles crescem indefinidamente? Permanecem limitados? Oscilam? Aproximam-se de algum valor?
Essas perguntas conduzem naturalmente à noção de limite. Em exemplos simples, muitas vezes é fácil perceber intuitivamente que uma sequência se aproxima de determinado número. O desafio matemático está em tornar precisa essa percepção. Dizer que os termos “ficam cada vez mais próximos” não é ainda uma definição: é preciso estabelecer o que significa essa proximidade e de que maneira ela depende da posição ocupada pelo termo na sequência.
Chega-se, assim, a uma afirmação da forma
A primeira leitura dessa expressão pode causar alguma estranheza. No entanto, seus elementos terão sido encontrados anteriormente: os quantificadores e a implicação, os números naturais e reais, as desigualdades, o valor absoluto e a própria ideia de demonstração. A definição de limite reúne essas diferentes partes numa única afirmação e lhes dá uma finalidade nova.
O estudo do limite de sequências, portanto, não aparece como um assunto isolado acrescentado ao final do livro. Ele exige que o estudante mobilize simultaneamente boa parte da linguagem e dos hábitos de raciocínio desenvolvidos nos capítulos anteriores. Por isso, constitui uma conclusão natural para este primeiro contato com a Matemática universitária.
Naturalmente, nenhum texto pode substituir o trabalho individual necessário para que essa mudança ocorra. A leitura deve ser acompanhada de cálculos, tentativas de demonstração, construção de exemplos e resolução de problemas. Em alguns momentos será necessário retornar a uma definição apresentada páginas antes; em outros, um exemplo aparentemente simples exigirá mais reflexão do que um cálculo extenso. Isso faz parte do processo.
Os exercícios foram pensados nesse espírito. Alguns têm a finalidade de consolidar técnicas indispensáveis. Outros procuram chamar a atenção para aspectos conceituais, explorar casos particulares, produzir contraexemplos ou exigir pequenos argumentos. Não se espera que todos sejam resolvidos da mesma maneira ou com a mesma facilidade. Muitas vezes é justamente ao enfrentar uma dificuldade que uma definição ou um resultado deixa de ser apenas algo lido e passa a ser efetivamente compreendido.
Os assuntos tratados nas páginas seguintes são, em grande parte, elementares. A escolha é deliberada. Para aprender a raciocinar matematicamente não é necessário começar por objetos sofisticados. Ao contrário, trabalhar com objetos conhecidos permite concentrar a atenção naquilo que está efetivamente mudando: a precisão da linguagem, a organização das ideias, a natureza dos argumentos e a necessidade de justificar as afirmações feitas.
Ao final do percurso, esperamos que o estudante não apenas disponha de um repertório mais amplo de resultados e técnicas, mas que tenha adquirido uma maneira diferente de se relacionar com eles. Diante de uma afirmação matemática, a pergunta “como se faz?” continuará sendo importante. Mas esperamos que outras perguntas tenham se tornado igualmente naturais: o que exatamente está sendo afirmado? Quais são as hipóteses? Por que o argumento funciona? Em que situações ele deixaria de funcionar? Como se pode demonstrar o resultado?
A passagem para essas perguntas é, em boa medida, a passagem que este livro pretende acompanhar.