Capítulo 7

Funções Reais a Variáveis Reais

Após apresentarmos o conceito de função dentro do contexto mais geral das relações entre conjuntos, voltemos nossa atenção ao âmbito que nos interessa especificamente, qual seja, aquele das funções reais de uma variável real ¹⁹ . Com tal expressão, entendemos funções do tipo $f:A \to B$, onde $A$ e $B$ são subconjuntos de $\mathbb {R}$. De agora em diante, salvo menção em contrário, consideraremos somente funções desse tipo.

Recuperando a ideia de função como variação de uma quantidade em dependência de outra, é comum adotar os termos variável independente e variável dependente. O primeiro se refere aos elementos do domínio de uma função, enquanto o segundo se refere às suas imagens. Assim, se vale uma relação do tipo $y=f(x)$, para alguma função $f:A \to B$ entre subconjuntos $A$ e $B$ de números reais, dizemos que $x$ é a variável independente e $y$ é a variável dependente.

Em geral, trabalharemos com funções expressas através de relações algébricas, como $f(x)=x^{2}$, $f(x)=x+1$ etc. Tais expressões são também chamadas de expressão analítica da função considerada. A rigor, constitui somente uma parte da função (afinal, o domínio e o contradomínio também compõem o objeto matemático chamado "função"). Entretanto, é comum identificar a função com sua expressão analítica. E assim aqui também o faremos, desde que lembremos, sempre que necessário, do real significado do conceito "função".
Ao identificar uma função com sua expressão analítica, parece que perdemos a visão de função como um subconjunto do produto cartesiano entre domínio e contradomínio. Mas tal ideia é recuperada, em sua essência, através da noção de gráfico de uma função:

Definição 7.1

Dados dois conjuntos $A$ e $B$ de números reais e dada uma função $f:A \to B$, o gráfico de $f$, aqui denotado por $\operatorname {Graf}(f)$, é o conjunto

\[ \operatorname {Graf}(f):=\{ (x,y) \in \mathbb {R}^{2} \, |\, y=f(x)\} \]

o qual também pode ser expresso por

\[ \operatorname {Graf}(f)=\{ (x,f(x)) \, |\, x \in A\} \]

Figura 7.1 Gráfico de f(x) — Figura 7.1 Gráfico de $f(x)$

Note que o gráfico de uma função é um subconjunto do plano cartesiano $\mathbb {R}^{2}$. Se observarmos que $\operatorname {Graf}(f) \subset A \times B \subset \mathbb {R}^{2}$, percebemos como o gráfico de $f$ representa a função $f$ novamente como relação entre conjuntos.

Exemplos 7.1

$f:[-1,2] \to \mathbb {R}$, $f(x)=x^{2}$
$g:\mathbb {N}\to \mathbb {N}$, $g(n)=|n|$
$h:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$, dada por

\[ h(x)=\left\{ \begin{array}{lcc} -x & \mathrm{se} & x \leq -1 \\ 1 & \mathrm{se} & -1\lt x \leq 1 \\ 2-x & \mathrm{se} & x \gt 1 \end{array} \right. \]

Uma aplicação simples, mas útil, de gráficos é para compararmos duas funções (em um domínio comum). Representando os gráficos dessas funções em um mesmo plano cartesiano, podemos identificar (ao menos graficamente) os pontos do domínio nos quais as funções são iguais ou uma função supera a outra. Na figura abaixo, o ponto $P$ de abscissa $a$ é comum aos dois gráficos. Assim, as suas coordenadas escrevem-se como $(a, f(a))$, uma vez que $P$ pertence ao gráfico de $f$, mas também como $(a, g(a))$, pois $P$ pertence ao gráfico de $g$. Daí conclui-se que tanto $f(a)$ quanto $g(a)$ representam a ordenada do ponto $P$, ou seja, $f(a)=g(a)$. Por outro lado, se compararmos os pontos $Q$ e $R$, ambos com abscissa $b$, percebemos que a ordenada de $R$ é maior que a ordenada de $Q$. Como $Q$ é um ponto do gráfico de $f$ e $R$ é um ponto do gráfico de $g$, concluímos que $f(b)\lt g(b)$.

Ilustração: Funções Reais a Variáveis Reais

7.1 Transformações do gráfico de uma função

Gráficos são muito úteis para se analisar o comportamento e outras propriedades de uma função. Torna-se interessante, então, obter ferramentas que facilitem o esboço de um gráfico. É com esse intuito que trataremos agora de translações, homotetias, reflexões.

7.1.1 Translações

Dada uma função $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ e dada uma constante $c \in \mathbb {R}$, definamos duas funções $g, h: \mathbb {R}\to \mathbb {R}$ relacionadas com a função $f$ da seguinte maneira:

\[ g(x):=f(x)+c \qquad h(x):=f(x+c) \]

Qual a relação entre os gráficos das funções $g$ e $h$ com o da função $f$? Note-se que para calcular o valor de $g(x)$, calcula-se o valor de $f(x)$ e, após, soma-se a constante $c$. Ao contrário, para se calcular o valor de $h(x)$, soma-se antes a constante $c$ (à abscissa $x$) e só então calcula-se o valor da função $f$ no ponto $x+c$. Assim, no primeiro caso, a constante $c$ opera na ordenada do ponto do gráfico da função $f$, enquanto que no segundo caso, a constante $c$ opera na abscissa do ponto do gráfico da $f$. Vejamos como essa diferença se reflete nos gráficos de $g$ e $h$.

Os pontos do gráfico da função $g$ têm coordenadas dadas por $(x,g(x))$, ou seja, $(x, f(x)+c)$. Assim, para obter um ponto do gráfico de $g$, basta tomar o ponto de mesma abscissa do gráfico de $f$ e transladar verticalmente esse ponto por uma distância $|c|$ (para cima, se $c\gt 0$, para baixo, se $c\lt 0$). Conclui-se que o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f$ por uma translação vertical correspondente a uma distância $|c|$ (para cima, se $c\gt 0$, para baixo, se $c\lt 0$).

Já os pontos do gráfico da função $h$ têm coordenadas $(x,h(x))$, i.e. $(x, f(x+c))$. Para obter o ponto do gráfico de $h$ correspondente à abscissa $x$, basta tomar o ponto de abscissa $x+c$ do gráfico de $f$ e transladar horizontalmente esse ponto por uma distância $|c|$ (para a esquerda, se $c\gt 0$, para a direita, se $c\lt 0$). Em outras palavras, o gráfico de $h$ é obtido a partir do gráfico de $f$ por uma translação horizontal correspondente a uma distância $|c|$ (para a esquerda, se $c\gt 0$, para a direita, se $c\lt 0$).

Exemplo 7.2

Seja dada a função $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$, $f(x)=x^3-x$. Tomemos as funções $g, h:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ dadas por

\[ g(x)=x^3-x+2 \qquad h(x)=x^3-3x^2+2x=f(x-1) \]

Os gráficos dessas funções estão representados abaixo:

Observação. Em um primeiro momento, pode parecer anti-intuitivo o deslocamento horizontal se dar para a esquerda, quando a constante é positiva, ou para a direita, quando é negativa. Entretanto, observando com um pouco mais de cuidado, pode-se entender o que está ocorrendo. Tomemos uma função $h(x)=f(x+c)$, com $c\gt 0$. Para marcar no gráfico de $h$ o ponto de abscissa $x$, copia-se o ponto do gráfico de $f$ com abscissa $x+c$, o qual está mais à direita de $x$. Assim, se o ponto do gráfico de $f$ está mais á direita do seu correspondente no gráfico de $h$, este último estará mais à esquerda. Isso explica por que, nesse caso, o gráfico de $h$ é um deslocamento à esquerda. Uma situação análoga ocorre quando $c\lt 0$, produzindo uma translação horizontal à direita.

Uma outra observação é importante, dessa vez a respeito dos domínios das funções. Se a partir de uma função $f:A \to \mathbb {R}$, obtemos uma translação vertical $g(x)=f(x)+c$, o domínio de $g$ é o mesmo de $f$. Mas se obtemos uma translação horizontal $h(x)=f(x+c)$, então o domínio de $h$ deve também ser "deslocado", i.e.

\[ \operatorname {Dom}h = \{ x \in \mathbb {R}\, |\, x+c \in A\} \]

Exercício. Mostre que vale a relação abaixo:

\[ x^2+bx+c=(x+\frac{b}{2})^{2}+\frac{4c-b^{2}}{4} \]

e conclua que toda parábola do tipo $y=x^{2}+bx+c$ pode ser obtida a partir da parábola $y=x^{2}$ através de uma translação horizontal, seguida de uma translação vertical.

7.1.2 Homotetias

Deixemos provisoriamente de lado o plano cartesiano para nos concentrar na reta real. Nesta, denotemos por $O$ a origem e por $U$ o ponto correspondente à unidade. Tomemos um ponto genérico $P$ de abscissa $x$. Se $c \in \mathbb {R}$ é uma constante positiva fixada, onde se encontra o ponto $P'$ de abscissa $cx$? Sem perda de generalidade, suponhamos que $P$ esteja do lado direito de $O$, ou seja, suponhamos $x\gt 0$. Tendo em mente que, nesse caso, a abscissa de um ponto representa a distância ao ponto $O$, concluímos que o ponto $P'$ encontra-se mais à direita de $P$, se $c\gt 1$, ou mais à esquerda, se $0\lt c\lt 1$ (e também $P'=P$ se $c=1$, mas esse caso não apresenta interesse). Além disso, se $Q$ é um ponto de abscissa $y\gt 0$ e $Q'$ tem abscissa $cy$, então vale a proporção

\[ \frac{\bar{P'Q'}}{\bar{PQ}}=c \]

donde concluímos que: se $c\gt 1$, os segmentos da reta sofrem uma dilatação; se $0\lt c\lt 1$, os segmentos da reta sofrem uma contração. Em ambos os casos, falamos em homotetia por um fator $c$. Pode-se interpretar uma homotetia como sendo uma mudança homogênea de escala na reta real.

Queremos usar as homotetias nos eixos do plano cartesiano e observar o efeito dessas transformações no gráfico de uma função. Sejam dadas então uma função $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ e uma constante positiva $c$. Definamos as funções $g, h: \mathbb {R}\to \mathbb {R}$ por

\[ g(x):=c\, f(x) \qquad h(x):=f(cx) \]

O valor da função $g$ em $x$ é o resultado de uma homotetia por um fator $c$ sobre o valor da função $f$ em $x$. Em termos dos gráficos dessas funções, a ordenada do ponto de abscissa $x$ do gráfico de $g$ é o resultado de uma homotetia por um fator $c$ sobre a ordenada do ponto de abscissa $x$ do gráfico de $f$. Dizemos, nesse caso, que o gráfico de $g$ se obtém do gráfico de $f$ por uma homotetia vertical.

Já com relação à função $h$, a homotetia é aplicada antes do cálculo do valor de $f$. Em outras palavras, o valor da função $h$ em $x$ é obtido aplicando uma homotetia por um fator $c$ à variável $x$ para, em seguida, calcular o valor de $f$ no ponto obtido. Em termos dos gráficos dessas funções, o ponto $(x,h(x))$ do gráfico de $h$ é obtido copiando o valor da função $f$ no ponto de abscissa $cx$, o qual é resultado de uma homotetia por um fator $c$ aplicada a $x$. Dizemos, nesse caso, que o gráfico de $h$ é obtido do gráfico de $f$ por uma homotetia horizontal.

Exemplo 7.3

Dada $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$, $f(x)=x^3-x$, defina as funções $g,h:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ por

\[ g(x)=2\, f(x)=2x^3-2x \qquad h(x)=f(2x)=8x^3-2x \]

Os gráficos dessas funções estão representados abaixo:

Observação. Em ambos os casos, é usual adotar os termos dilatação (horizontal ou vertical) ou contração (horizontal ou vertical). Entretanto, similarmente ao que ocorre com a translação, as homotetias horizontal e vertical se comportam de modos diferentes. No caso das homotetias verticais, é imediato verificar que o gráfico da função $cf(x)$ é uma dilatação (vertical) do gráfico de $f$, se $c\gt 1$, ou uma contração (vertical) se $0\lt c\lt 1$. No caso das homotetias horizontais, ocorre o oposto: o gráfico de uma função $f(cx)$ é uma contração (horizontal) se $c\gt 1$, ou uma dilatação (horizontal), se $0\lt c\lt 1$ (verifique por exercício).

Exercício. Dada uma função $f:A \to \mathbb {R}$ e dada uma constante positiva $c$, defina as funções $g(x)=c\, f(x)$ e $h(x)=f(cx)$. Qual é o domínio das funções $g$ e $h$, se comparados ao domínio $A$ de $f$?

7.1.3 Reflexões

As últimas transformações que queremos tratar são as reflexões relativas aos eixos coordenados. Dado um ponto $P$ de coordenadas $(x,y)$, dizemos que:

O ponto de coordenadas $(x,-y)$ é o ponto simétrico de $P$ relativamente ao eixo $x$.
O ponto de coordenadas $(-x,y)$ é o ponto simétrico de $P$ relativamente ao eixo $y$.
O ponto de coordenadas $(-x,-y)$ é o ponto simétrico de $P$ relativamente à origem $O$.

A reflexão relativa ao eixo $x$ é a transformação que leva cada ponto do plano em seu simétrico relativamente ao eixo $x$. Similarmente, a reflexão relativa ao eixo $y$ é a transformação que leva cada ponto do plano em seu simétrico relativamente ao eixo $y$. Se aplicarmos uma das reflexões acima, seguida da outra, obtemos uma reflexão relativa à origem, ou seja, uma transformação que leva cada ponto do plano em seu simétrico relativamente à origem.

Qual o efeito das reflexões no gráfico de uma função? Dada uma função $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$, tome um ponto $P=(x,f(x))$ do seu gráfico. Então, após uma reflexão relativa ao eixo $x$, o ponto $P$ é levado ao ponto $(x,-f(x))$. Após uma reflexão relativa ao eixo $y$, o ponto $P$ é levado ao ponto $(-x,f(x))$. Conclui-se que:

Após uma reflexão relativa ao eixo $x$, o gráfico de $f$ torna-se o gráfico da função $g(x)=-f(x)$.
Após uma reflexão relativa ao eixo $y$, o gráfico de $f$ torna-se o gráfico da função $h(x)=f(-x)$.

Exemplo 7.4

Dada a função $f(x)=x^2-3x+2$, defina

\[ g(x)=-f(x)=-x^2+3x-2 \qquad h(x)=f(-x)=x^2+3x+2 \]

Os gráficos dessas funções estão representados abaixo:

Figura 7.2 Gráficos das funções obtidas através de reflexões em relação aos eixos coordenados.

Exercício. Dada uma função $f:A \to \mathbb {R}$, defina as funções $g(x)=-f(x)$ e $h(x)=f(-x)$. Qual é o domínio das funções $g$ e $h$, se comparados ao domínio $A$ de $f$?

7.2 Gráfico da função inversa

Seja $f:A \to B$ uma função bijetora, i.e. uma função inversível. Qual a relação do gráfico de $f^{-1}$ com o gráfico de $f$? Se um ponto $(x,y)$ do plano está no gráfico de $f$ é porque $y=f(x)$. Isso equivale a dizer que $x=f^{-1}(y)$. Logo, o ponto $(y,x)$ está no gráfico de $f^{-1}$. Como os pontos $(x,y)$ e $(y,x)$ são simétricos relativamente à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, concluímos que os gráficos de $f$ e $f^{-1}$ também são simétricos relativamente à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Em outras palavras, o gráfico de uma delas é obtido a partir do gráfico da outra, através de uma reflexão em relação à reta $x=y$.

Exemplo 7.5

A função $f(x)=x^3$ é injetora e sobrejetora, logo, inversível. O gráfico de $f$ e o de $f^{-1}$ estão representados abaixo:

7.3 Simetrias do gráfico de uma função

Quando o gráfico de uma função apresenta algum tipo de simetria, seu esboço torna-se uma tarefa mais simples. Para o que nos interessa, estudaremos dois casos de simetria: aquela relativa ao eixo $y$ e aquela relativa à origem.

Dizemos que uma figura $F$ do plano é simétrica em relação ao eixo $y$ se vale a seguinte condição: para cada ponto $P$ da figura, o ponto $P'$ simétrico de $P$ relativamente ao eixo $y$ também pertence à figura. Outro modo de dizer o mesmo é: uma figura $F$ é simétrica em relação ao eixo $y$ se, ao fazermos um reflexão do plano relativamente ao eixo $y$, a figura resta invariada (dizemos, nesse caso, que tal figura é invariante por reflexão relativa ao eixo $y$).

Dizemos que uma figura $F$ do plano é simétrica em relação à origem se vale a seguinte condição: para cada ponto $P$ da figura, o ponto $P'$ simétrico de $P$ relativamente à origem também pertence à figura. Outro modo de dizer o mesmo é: uma figura $F$ é simétrica em relação ao eixo $y$ se, ao fazermos um reflexão do plano relativamente à origem, a figura resta invariada (dizemos, nesse caso, que tal figura é invariante por reflexão relativa à origem).

O gráfico de uma função $f$, sendo uma figura do plano, pode ser simétrico em relação ao eixo $y$, simétrico em relação à origem ou mesmo não possuir nenhum tipo de simetria. No primeiro caso, dizemos que a função $f$ é par. No segundo, que $f$ é ímpar.

Além dessa caracterização geométrica, há uma caracterização analítica das funções pares e ímpares. Tomemos inicialmente uma função $f$ par. Como seu gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$, então para cada ponto $(x,f(x))$ do gráfico de $f$, o ponto de coordenadas $(-x,f(x))$ tem que pertencer também ao gráfico (uma vez que $(-x,f(x))$ é o simétrico de $(x,f(x))$ relativamente ao eixo $y$). Mas o ponto do gráfico de $f$ correspondente ao valor $-x$ da abscissa é, por definição de gráfico, o ponto de coordenadas $(-x,f(-x))$. Como os pares de coordenadas $(-x,f(x))$ e $(-x,-f(x))$ representam o mesmo ponto, suas coordenadas devem ser iguais. Logo, deve valer $f(-x)=f(x)$, para todo $x$ no domínio da $f$. É imediato verificar, reciprocamente, que se $f(-x)=f(x)$, para todo $x$ no domínio da $f$, então a função $f$ é par (faça por exercício).

Seja agora dada uma função $f$ ímpar. Sendo seu gráfico simétrico em relação à origem, então para cada ponto $(x,f(x))$ do gráfico de $f$, o ponto de coordenadas $(-x,-f(x))$ tem que pertencer também ao gráfico (uma vez que $(-x,-f(x))$ é o simétrico de $(x,f(x))$ relativamente à origem). Mas o ponto do gráfico de $f$ correspondente ao valor $-x$ da abscissa é, por definição de gráfico, o ponto de coordenadas $(-x,f(-x))$. Como os pares de coordenadas $(-x,-f(x))$ e $(-x,-f(x))$ representam o mesmo ponto, suas coordenadas devem ser iguais. Logo, deve valer $f(-x)=-f(x)$, para todo $x$ no domínio da $f$. É imediato verificar, reciprocamente, que se $f(-x)=-f(x)$, para todo $x$ no domínio da $f$, então a função $f$ é ímpar (faça por exercício).

Em suma, temos a seguinte caracterização: dada uma função $f:A \to B$, então

$f$ é par se, e somente se $f(-x)=f(x)$, para todo $x$ em $A$;
$f$ é ímpar se, e somente se $f(-x)=-f(x)$, para todo $x$ em $A$.

Exemplos 7.6

A função $f(x)=x^4-4x^2+1$ é par.
A função $g(x)=x^5-3x^3+2x$ é ímpar.
A função $h(x)=x^3+x^2$ não é nem par, nem ímpar.

Exercícios

Seria possível considerar gráficos simétricos em relação ao eixo $x$? Por que?
O que se pode dizer do domínio de uma função par ou ímpar?
Existe uma função que seja simultaneamente par e ímpar? Quantas funções desse tipo existem?
Dadas duas funções $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ e $g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$, defina as funções:
1. $a(x):=f(x)+g(x)$
2. $b(x):=f(x)g(x)$
Discuta a paridade (isto é, se são pares, ímpares ou não possuem esse tipo de simetria) das funções $a$ e $b$ em termos da paridade das funções $f$ e $g$.
Seja $f$ uma função par e seja $g$ uma função ímpar. Fixada uma constante $k \in \mathbb {R}$, discuta a paridade das funções abaixo:
1. $r(x):=k\, f(x)$
2. $s(x):=k\, g(x)$
3. $t(x):=f(x)+k$
4. $u(x):=g(x)+k$
5. $v(x):=|f(x)|$
6. $w(x):=|g(x)|$

7.3.1 Simetria translacional: funções periódicas

Quando se fala em simetria, é usual associá-la à ideia de reflexão. Mas o conceito de simetria é muito mais abrangente do que isso. Não entraremos no mérito específico desse conceito aqui, mas queremos lançar mão de um tipo de simetria que também contribui a facilitar a tarefa de traçar o esboço de um gráfico. Trata-se da simetria translacional: uma figura possui simetria translacional quando é possível transladá-la em uma certa direção, de modo a fazer com que essa figura transladada coincida com a figura original.

No caso de gráficos de funções, o que nos interessa destacar são as translações horizontais, i.e. paralelas ao eixo $x$. Se, ao transladar horizontalmente o gráfico de uma função, por uma distância positiva $T$, obtivermos o mesmo gráfico, então a função é dita periódica. Analiticamente, tal situação é expressa pela seguinte definição:

Definição 7.2

Uma função $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ é periódica se existe um número real positivo $r$ tal que

\[ f(x+r)=f(x) \qquad \mathrm{para}\, \, \mathrm{todo}\, \, x \in \mathbb {R}. \]

Se $f$ é uma função periódica, faz sentido considerar o conjunto dos números reais positivos $r$ para os quais a condição da definição acima é satisfeita. Nesse caso, se $f$ não é uma função constante, então tal conjunto possui um elemento mínimo, i.e. um número real positivo $T$ tal que:

$f(x+T)=f(x) \qquad \mathrm{para}\, \, \mathrm{todo}\, \, x \in \mathbb {R}$.
$T$ é o menor dos números positivos que satisfazem a condição acima.

O número $T$ é chamado de período da função $f$.

Os exemplos clássicos de funções periódicas são as funções trigonométricas. Deixaremos, porém, para tratá-las mais adiante, quando da seção dedicada a essas funções. Por ora, vejamos o seguinte exemplo: seja $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ dada por

\[ f(x)=x-\left[\! \left[x\right]\! \right] \]

onde $\left[\! \left[x\right]\! \right]$ denota a função maior inteiro menor ou igual a $x$, i.e.

\[ \left[\! \left[x\right]\! \right]=\max \{ n \in \mathbb {Z}\, |\, n \leq x\} . \]

A função $f$ é periódica, pois para todo inteiro $n$, resulta

\[ f(x+n)=(x+n)-\left[\! \left[x+n\right]\! \right]=x+n-(\left[\! \left[x\right]\! \right]+n)=x-\left[\! \left[x\right]\! \right]=f(x) \]

Em particular, $f$ tem período $T=1$. O gráfico de $f$ está representado abaixo:

Ilustração: Simetria translacional: funções periódicas

7.4 Funções monótonas

Antes de prosseguirmos, dediquemos nossa atenção ao comportamento de uma função no que concerne ao seu crescimento e/ou decrescimento, isto é, o estudo do (de)crescimento da variável dependente, conforme cresce a variável independente. Temos as seguintes definições:

Definição 7.3

Dada uma função $f$ e dado um subconjunto $A \subset \operatorname {Dom}f$, dizemos que:

$f$ é crescente em $A$ se, para todo $a,b \in A$ com $a\lt b$, resulta $f(a)\lt f(b)$.
$f$ é não-decrescente em $A$ se, para todo $a,b \in A$ com $a\lt b$, resulta $f(a)\leq f(b)$.
$f$ é decrescente em $A$ se, para todo $a,b \in A$ com $a\lt b$, resulta $f(a)\gt f(b)$.
$f$ é não-crescente em $A$ se, para todo $a,b \in A$ com $a\lt b$, resulta $f(a)\geq f(b)$.

Em qualquer um dos casos acima, dizemos que a função é monótona ²⁰ . Em particular, quando a função é crescente ou decrescente, dizemos que é estritamente monótona.

Exemplos 7.7

A função identidade é crescente em $\mathbb {R}$.
A função $x^2$ é decrescente em $\mathbb {R}_{-}$ e crescente em $\mathbb {R}_{+}$.
A função $\left[\! \left[x\right]\! \right]$ é não-decrescente em $\mathbb {R}$. A mesma função é crescente em $\mathbb {Z}$.

Exercício. Determine os intervalos nos quais a função $f(x)=\frac{x}{x+1}$ é monótona, dizendo o tipo de monotonia. É possível dizer que $f$ é monótona em todo o seu domínio?

Exercício. Mostre que uma função estritamente monótona é injetora.

7.5 Operações com funções

O formalismo que apresentaremos a seguir tem muitos propósitos, mas para nosso escopo, um deles é preponderante: obter um modo de expressar uma dada função em termos de funções mais elementares (em algum sentido), de modo a estudar propriedades da função original a partir das mesmas propriedades nas funções elementares que a compõem.

Sejam dadas duas funções reais a uma variável real $f$ e $g$. Definimos as funções:

$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$
$(f-g)(x):=f(x)-g(x)$
$(f\, g)(x):=f(x)\, g(x)$
$(\frac{f}{g})(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$

Os domínios das funções acima dependem, evidentemente, dos domínios das funções $f$ e $g$, mas podem depender também da operação envolvida. De fato, a função $f/g$ definida acima só faz sentido se o quociente $f(x)/g(x)$ também fizer sentido, o que só ocorre quando $g(x)\not=0$. Temos, então:

$\operatorname {Dom}(f+g)= \operatorname {Dom}f \cap \operatorname {Dom}g$
$\operatorname {Dom}(f-g)= \operatorname {Dom}f \cap \operatorname {Dom}g$
$\operatorname {Dom}(f\, g)= \operatorname {Dom}f \cap \operatorname {Dom}g$
$\operatorname {Dom}(\frac{f}{g})= (\operatorname {Dom}f \cap \operatorname {Dom}^{*} g)$, onde $\operatorname {Dom}^{*} g=\{ x \in \operatorname {Dom}g \, |\, g(x)\not=0\} $

Exemplo. Toda função polinomial pode ser obtida a partir da função identidade $\imath(x)=x$ e das funções constantes $f(x)=c$, através de operações como aquelas acima. De fato, usando produto de funções com a função , obtemos todas as funções do tipo f(x)=x^n. Novamente usando o produto de funções entre as funções constantes e as funções do tipo $x^{n}$, obtemos todos os possíveis monômios. Por fim, usando a soma de funções com os monômios, obtemos toda e qualquer função polinomial. Assim, todas as propriedades que valem para as funções constantes e para a função identidade, e que são preservadas pelas operações acima descritas, valerão automaticamente para todas as funções polinomiais. Um exemplo típico, é a continuidade, conceito que veremos mais adiante e de fundamental importância para o cálculo.

Exercício. Determinar condições sobre os domínios de $f$ e $g$ de modo a poder definir a função $(f^{g})(x):=f(x)^{g(x)}$

Função composta

Dentre as operações entre funções, uma das mais importantes é, sem dúvida, a composição. Dadas duas funções $f$ e $g$, definimos as funções compostas $f \circ g$ e $g \circ f$ por

\[ (f \circ g)(x):= f\left( g(x) \right) \qquad \mathrm{e} \qquad (g \circ f)(x):= g\left( f(x) \right) \]

Em outras palavras, para calcular o valor da função $f \circ g$ em um ponto $x$ do domínio, deve-se calcular o valor $g(x)$ e, após, calcular o valor de $f$ correspondente ao valor $g(x)$ da variável. Procedimento semelhante deve ser feito para a composta $g \circ f$.

Exemplo. Seja $f(x)=2^{x}$ e $g(x)=\operatorname {sen}x$. Então

\[ (f \circ g)(x)= 2^{\operatorname {sen}x} \]

Note que, para calcular o valor de $f \circ g$ em $x=\pi $, devemos antes calcular $g(\pi )$, i.e $\operatorname {sen}\pi $, o que retorna o valor $0$. Em seguida, calculamos $f$ em $x=g(\pi )$, i.e. em $x=0$, obtendo $2^{0}=1$.

O domínio de uma função composta também depende do domínio das funções envolvidas. Para determinar o domínio de $f \circ g$, devemos ter em mente o procedimento acima descrito, ou seja, que o cálculo de $(f \circ g)(x)$ se faz em duas etapas: (i) cálculo de $g(x)$; (ii) cálculo de $f(g(x))$. Temos então que:

Para efetuar a primeira etapa, deve valer $x \in \operatorname {Dom}g$.
Para a segunda etapa, deve valer $g(x) \in \operatorname {Dom}f$.

Assim, obtemos que

\[ \operatorname {Dom}(f \circ g) = \{ x \in \operatorname {Dom}g \, |\, g(x) \in \operatorname {Dom}f\} \]

Exemplos 7.8

Se $f(x)=\sqrt{x}$ e $g(x)=x^{2}$, então $\operatorname {Dom}f = \mathbb {R}_{+}$, $\operatorname {Dom}g=\mathbb {R}$ e:
- $\operatorname {Dom}(f \circ g)=\mathbb {R}$ e $(f \circ g)(x)=|x|$
- $\operatorname {Dom}(g \circ f)=\mathbb {R}_{+}$ e $(g \circ f)(x)=x$
Se $f(x)=1/x$ e $g(x)=\sqrt{1-x}$, então $\operatorname {Dom}f = \mathbb {R}^{*}$, $\operatorname {Dom}g=(-\infty , 1]$ e:
- $\operatorname {Dom}(f \circ g)=(-\infty ,1)$ e $(f \circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$
- $\operatorname {Dom}(g \circ f)=(-\infty ,0) \cup [1,+\infty )$ e $(g \circ f)(x)=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$

Exercício 7.1

Dadas as funções $f(x)=\operatorname {sen}x$ e $g(x)=\pi \left[\! \left[x\right]\! \right]$, determine os domínios e as imagens das funções compostas $f \circ g$ e $g \circ f$.

Ver solução

$(f\circ g)(x)=\operatorname {sen}(\pi \left[\! \left[x\right]\! \right])=0$ para todo $x$, pois $\left[\! \left[x\right]\! \right]$ é inteiro: domínio $\mathbb {R}$ e imagem $\{ 0\} $. Já $(g\circ f)(x)=\pi \left[\! \left[\operatorname {sen}x\right]\! \right]$ tem domínio $\mathbb {R}$; como $\left[\! \left[\operatorname {sen}x\right]\! \right]$ vale $-1$ se $\operatorname {sen}x\lt 0$, $0$ se $0\leq \operatorname {sen}x\lt 1$ e $1$ se $\operatorname {sen}x=1$, a imagem é $\{ -\pi ,0,\pi \} $.

Exercício 7.2

Denotando por 

 a função identidade, mostre que para toda função f vale que:
$\imath\circ f = f$ e $f \circ \imath= f$
Se $f$ é inversível, então $f \circ f^{-1}=$ e f^-1 ○f=  Em tempo, isso significa que a função identidade cumpre o papel de elemento neutro da operação de composição de funções.

Solução

a 

(○f)(x)=(f(x))=f(x) e $(f\circ \imath)(x)=f(\imath(x))=f(x)$, para todo $x$ no domínio de $f$. b Por definição, $f^{-1}(f(x))=x$ para todo $x\in \operatorname {Dom}f$ e $f(f^{-1}(y))=y$ para todo $y\in \operatorname {Im}f=\operatorname {Dom}f^{-1}$; isto é, $f^{-1}\circ f=$ e f○f^-1= (nos respectivos domínios).

Solução

Exercício 7.3

Para as funções abaixo encontre 

f(x+2), $f(-x)$, $f(x+h)$ e $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, sendo $h \neq 0$:
$x$
$3x+4$
$x^2$
$5x^2+1$
$x^2-x$
$x^3+x^2$

Solução

a $f(x)=x$, $f(x+2)=x+2$, $f(-x) =-x$ e $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x+h-x}{h}=1$ b $f(x)=3x+4$, $f(x+2)=3x+10$, $f(-x)=-3x+4$ e $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3h}{h}=3$. c $f(x)=x^2$, $f(x+2)=(x+2)^2$, $f(-x)=x^2$ e $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$. d $f(x)=5x^2+1$, $f(x+2)=5(x+2)^2+1$, $f(-x) =5(-x)^2+1=5x^2+1$ e $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{5(x+h)^2+1-5x^2-1}{h}=\frac{5xh+h^2}{h}= 5x+h$ e $f(x)=x^2-x$, $f(x+2)=x^2+3x+2$, $f(-x)=x^2+x$ e $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^2-h}{h}=2x+h-1$. f $f(x)=x^3+x^2$, $f(x+2)=x^3+7x^2+16x+12$, $f(-x)=-x^3+x^2$ e $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^2+3xh+h^2+2x+h$.

Exercício 7.4

Como o gráfico de $f(\lvert x \rvert )$ está relacionado como o gráfico de $f(x)$?
Esboce o gráfico de $\lvert x\rvert ^3$.
Esboce o gráfico de $-\lvert x\rvert ^5$.
Esboce o gráfico de $\operatorname {sen}(\lvert x\rvert )$
Esboce o gráfico de $\cos (\lvert x\rvert )$

Ver solução

a Para $x\geq 0$, $f(\left\lvert x\right\rvert )=f(x)$; para $x\lt 0$, $f(\left\lvert x\right\rvert )=f(-x)$. Logo o gráfico de $f(\left\lvert x\right\rvert )$ é o gráfico de $f$ restrito a $x\geq 0$, junto com o seu reflexo em relação ao eixo $y$ (a parte de $x\lt 0$ do gráfico de $f$ é descartada). O gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$. b Ilustração: Operações com funções c É o reflexo, em relação ao eixo $x$, do gráfico de $\left\lvert x\right\rvert ^5$, que é simétrico em relação ao eixo $y$, vale $0$ na origem e cresce (muito planamente perto da origem) para $\left\lvert x\right\rvert $ crescente. Assim, o gráfico tem um máximo em $(0,0)$ e decresce para $-\infty $ nos dois sentidos.

d Ilustração: Operações com funções e Como $\cos $ é par, $\cos \left\lvert x\right\rvert =\cos x$: o gráfico é o do cosseno.

Exercício 7.5

Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva abaixo:

Ilustração: Operações com funções

Ver solução

Lendo os trechos retos do gráfico: $f(x)=1$ para $x\lt -1$; $f(x)=-x$ para $-1\leq x\lt 0$; $f(x)=2x$ para $0\leq x\lt 2$; e $f(x)=\dfrac {16-2x}{3}$ para $x\geq 2$ (a reta que passa por $E=(2,4)$ e $D=(5,2)$).

Exercício 7.6

Para cada par de funções $f:A\subset \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$ e $g:B \subset \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$ abaixo, determine os domínios máximo de definição de $f(x)$, $g(x)$,$(f+g)(x)$, $f(x)g(x)$, $\frac{f(x)}{g(x)}$, $(f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g)(x)$ e $(g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f)(x)$ e finalmente as expressões para $(f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g)(x)$ e $(g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f)(x)$:

$f(x)=\sqrt{(x+2)}$ e $g(x)=\lvert x \rvert $
$f(x)=\frac{1}{x(x-2)}$ e $g(x)=x^2$
$f(x)=\frac{1}{x(x-2)}$ e $g(x)=\sqrt{x}$
$f(x)=\sqrt[5]{x^3}$ e $g:2^{-x}$

Ver solução

a $\operatorname {Dom}f=[-2,\infty )$, $\operatorname {Dom}g=\mathbb {R}$; $\operatorname {Dom}(f+g)=\operatorname {Dom}(fg)=[-2,\infty )$; $\operatorname {Dom}(f/g)=[-2,\infty )\backslash \{ 0\} $; $\operatorname {Dom}(f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g)=\mathbb {R}$, $(f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g)(x)=\sqrt{\left\lvert x\right\rvert +2}$; $\operatorname {Dom}(g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f)=[-2,\infty )$, $(g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f)(x)=\sqrt{x+2}$. b $\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\backslash \{ 0,2\} $, $\operatorname {Dom}g=\mathbb {R}$; $\operatorname {Dom}(f+g)=\operatorname {Dom}(fg)=\operatorname {Dom}(f/g)=\mathbb {R}\backslash \{ 0,2\} $; $\operatorname {Dom}(f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g)=\mathbb {R}\backslash \{ 0,\pm \sqrt2\} $, $(f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g)(x)=\dfrac 1{x^2(x^2-2)}$; $\operatorname {Dom}(g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f)=\mathbb {R}\backslash \{ 0,2\} $, $(g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f)(x)=\dfrac 1{x^2(x-2)^2}$. c $\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\backslash \{ 0,2\} $, $\operatorname {Dom}g=[0,\infty )$; $\operatorname {Dom}(f+g)=\operatorname {Dom}(fg)=\operatorname {Dom}(f/g)=(0,2)\cup (2,\infty )$; $\operatorname {Dom}(f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g)=(0,4)\cup (4,\infty )$, $(f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g)(x)=\dfrac 1{\sqrt x(\sqrt x-2)}$; $\operatorname {Dom}(g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f)=(-\infty ,0)\cup (2,\infty )$, $(g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f)(x)=\dfrac 1{\sqrt{x(x-2)}}$. d $\operatorname {Dom}f=\operatorname {Dom}g=\mathbb {R}$, e todos os domínios pedidos são $\mathbb {R}$ (inclusive $f/g$, pois $g(x)=2^{-x}\gt 0$); $(f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g)(x)=2^{-3x/5}$ e $(g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f)(x)=2^{-\sqrt[5]{x^3}}$.

Exercício 7.7

Sejam $f: \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$ e $g:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$ duas funções cujos gráficos estão apresentados a seguir

Ilustração: Operações com funções

A partir desses gráficos, esboce o gráfico das seguintes funções:
$2f(x)$
$2g(x)$
$-f(x)$
$-g(x)$
$f(-x)$
$g(-x)$
$f(\lvert x \rvert )$
$g(\lvert x \rvert $
$f(-\lvert x \rvert )$
$\frac{1}{2}g(x)+1$
$-\frac{1}{2}g(x)+1$
$-\frac{1}{2}\lvert g(x)\rvert +1$
$f(\frac{1}{2}x)$
$\rvert \vert f(x)\rvert -1\rvert $
$(f+g)(x)$
$(f-g)(x)$
$(f+g)(\lvert x \rvert )$

Ver solução

a Ilustração: Operações com funções b c Reflexo do gráfico de $f$ em relação ao eixo $x$: cada ponto $(x,y)$ vai para $(x,-y)$.

d Reflexo do gráfico de $g$ em relação ao eixo $x$.

e Reflexo do gráfico de $f$ em relação ao eixo $y$: $(x,y)\mapsto (-x,y)$.

f Reflexo do gráfico de $g$ em relação ao eixo $y$.

g Mantém-se a parte do gráfico de $f$ com $x\geq 0$ e acrescenta-se seu reflexo em relação ao eixo $y$ (a parte com $x\lt 0$ é descartada).

h Mantém-se a parte do gráfico de $g$ com $x\geq 0$ e acrescenta-se seu reflexo em relação ao eixo $y$.

i Mantém-se a parte de $x\leq 0$ do gráfico de $f$ e acrescenta-se seu reflexo em relação ao eixo $y$ (a parte de $x\gt 0$ é descartada).

j Ilustração: Operações com funções k Reflexo do gráfico de $g$ em relação ao eixo $x$, comprimido verticalmente por fator $\tfrac 12$ e deslocado $1$ unidade para cima: $(x,y)\mapsto (x,1-\tfrac y2)$.

l Primeiro $\left\lvert g\right\rvert $ (reflete para cima as partes de $g$ abaixo do eixo $x$), depois multiplica-se por $-\tfrac 12$ (reflexo em relação ao eixo $x$ e compressão por $\tfrac 12$) e soma-se $1$ (translação de $1$ para cima). O gráfico fica sempre abaixo ou sobre a reta $y=1$, tocando-a nos zeros de $g$.

m Alonga-se horizontalmente o gráfico de $f$ por fator $2$: $(x,y)\mapsto (2x,y)$. n Primeiro $\left\lvert f\right\rvert $ (reflete para cima as partes abaixo do eixo $x$); depois desloca-se $1$ para baixo, e reflete-se para cima o que ficar abaixo do eixo $x$ (valor absoluto).

o Soma das ordenadas: para cada $x$, a altura do gráfico de $f+g$ é a soma das alturas dos gráficos de $f$ e de $g$.

p Para cada $x$, a altura é a diferença $f(x)-g(x)$ (ordenada de $f$ menos a de $g$).

q Constrói-se o gráfico de $f+g$ para $x\geq 0$ e acrescenta-se seu reflexo em relação ao eixo $y$.

Exercício 7.8

Esboçe o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos $x$ e $y$, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máximo e mínimo local se existirem.
$\lvert 2x\rvert +1$
$(x+3)^4$
$(x+3)^4-1$
$\lvert (x+3)^4-1\rvert $
$\lvert (x+3)^4-1\rvert -1$
$\lvert x-1\rvert +1$
$\cos \lvert x -1\rvert $
$\lvert 2x^2-1\rvert $
$\lvert 2x^2-1\rvert -1$
$\lvert \lvert 2x^2-1\rvert -1\rvert -2$
$\lvert (x-4)^6-2 \rvert $
$\operatorname {sen}(2x)+3$
$-2\lvert \operatorname {sen}(2x)+3 \rvert +1$
$\sqrt{\lvert x+2\rvert }$
$2 \cos (3x+\pi )$
$1+\cos (\lvert x-1\rvert )$
$2^{(x-\pi )}$
$2^{(x-\pi )}-5$
$5^{\lvert x \rvert }$
$5^{\lvert x+2 \rvert }$
$\lvert 3^{x}-5\rvert $
$f(x)= \left\{ \begin{array}{c} x, \text{ se $x<0$ } \\ \frac{x}{2}+1, \text{ se $x\geq 0$ } \end{array}\right.$
$f(x)= \left\{ \begin{array}{c} \cos (2x), \text{ se $x<1$ } \\ 2\cos (x-1), \text{ se $x\geq 1$ } \end{array}\right.$

$f(x)= \left\{ \begin{array}{c} x^2-5x, \text{ se $\lvert x^2-1\rvert +1 <0$ } \\ \cos (3x), \text{ se $\lvert x^2-1\rvert +1 \geq 0$ } \end{array}\right.$

Ver solução

a Ilustração: Operações com funções b c Translação do gráfico de $x^4$ por $3$ para a esquerda e $1$ para baixo. Vértice (mínimo global) $(-3,-1)$; zeros $x=-4$ e $x=-2$; $f(0)=80$. Positiva para $x\lt -4$ ou $x\gt -2$, negativa em $(-4,-2)$; decrescente em $(-\infty ,-3)$, crescente em $(-3,\infty )$.

d Reflete-se para cima a parte negativa do item anterior. Zeros $x=-4$ e $x=-2$ (mínimos locais, de valor $0$); $f(0)=80$; máximo local $(-3,1)$; positiva fora dos zeros. Decrescente em $(-\infty ,-4)$ e em $(-3,-2)$; crescente em $(-4,-3)$ e em $(-2,\infty )$.

e Ilustração: Operações com funções f V com vértice em $(1,1)$ (translação de $\left\lvert x\right\rvert $). Sem zeros; $f(0)=2$; sempre positiva. Decrescente em $(-\infty ,1)$, crescente em $(1,\infty )$; mínimo global $1$ em $x=1$.

g Como $\cos $ é par, $\cos \left\lvert x-1\right\rvert =\cos (x-1)$: gráfico do cosseno deslocado $1$ para a direita. $f(0)=\cos 1$; zeros $x=1+\frac\pi 2+k\pi $; máximos $1$ em $x=1+2k\pi $; mínimos $-1$ em $x=1+\pi +2k\pi $; positiva em $\left(1-\frac\pi 2+2k\pi ,1+\frac\pi 2+2k\pi \right)$ e negativa no restante; decrescente em $[1+2k\pi ,1+\pi +2k\pi ]$ e crescente em $[1+\pi +2k\pi ,1+2\pi +2k\pi ]$.

h Parte negativa da parábola $2x^2-1$ refletida para cima. Zeros $x=\pm \frac1{\sqrt2}$ (mínimos locais, valor $0$); $f(0)=1$ (máximo local); positiva fora dos zeros. Decrescente em $(-\infty ,-\frac1{\sqrt2})$ e em $(0,\frac1{\sqrt2})$; crescente em $(-\frac1{\sqrt2},0)$ e em $(\frac1{\sqrt2},\infty )$.

i Translação do item anterior por $1$ para baixo. Zeros $x=-1,0,1$; $f(0)=0$ (máximo local); mínimos locais $-1$ em $x=\pm \frac1{\sqrt2}$. Positiva para $\left\lvert x\right\rvert \gt 1$; negativa em $(-1,0)\cup (0,1)$. Mesmos intervalos de crescimento do item anterior.

j Ilustração: Operações com funções k Gráfico de $(x-4)^6-2$, com a parte negativa refletida para cima. Zeros $x=4\pm \sqrt[6]{2}$ (mínimos locais, valor $0$); $f(0)=4^6-2=4094$; máximo local $(4,2)$; positiva fora dos zeros. Decrescente em $(-\infty ,4-\sqrt[6]2)$ e em $(4,4+\sqrt[6]2)$; crescente nos outros dois intervalos.

l Seno com período $\pi $, deslocado $3$ para cima: imagem $[2,4]$. Sem zeros; $f(0)=3$; sempre positiva. Máximos $4$ em $x=\frac\pi 4+k\pi $; mínimos $2$ em $x=-\frac\pi 4+k\pi $; crescente em $\left(-\frac\pi 4+k\pi ,\frac\pi 4+k\pi \right)$ e decrescente em $\left(\frac\pi 4+k\pi ,\frac{3\pi }4+k\pi \right)$.

m Ilustração: Operações com funções n Domínio $\mathbb {R}$. Para $x\geq -2$ é $\sqrt{x+2}$; para $x\lt -2$ é $\sqrt{-x-2}$: o gráfico é simétrico em relação a $x=-2$. Zero em $x=-2$ (mínimo global, com bico); $f(0)=\sqrt2$; positiva fora do zero. Decrescente em $(-\infty ,-2)$ e crescente em $(-2,\infty )$.

o $2\cos (3x+\pi )=-2\cos 3x$: amplitude $2$, período $\frac{2\pi }3$, imagem $[-2,2]$. $f(0)=-2$; zeros $x=-\frac\pi 6+\frac{k\pi }3$; mínimos $-2$ em $x=\frac{2k\pi }3$; máximos $2$ em $x=\frac{(2k+1)\pi }3$. Positiva em $\left(-\frac\pi 2+\frac{2k\pi }3,-\frac\pi 6+\frac{2k\pi }3\right)$ e negativa no restante; crescente entre um mínimo e o máximo seguinte, decrescente entre um máximo e o mínimo seguinte.

p Como $\cos \left\lvert x-1\right\rvert =\cos (x-1)$, o gráfico é o do cosseno deslocado $1$ para a direita e $1$ para cima; imagem $[0,2]$. $f(0)=1+\cos 1$; zeros (mínimos, com valor $0$) em $x=1+\pi +2k\pi $; máximos $2$ em $x=1+2k\pi $; positiva fora dos zeros; decrescente em $[1+2k\pi ,1+\pi +2k\pi ]$ e crescente em $[1+\pi +2k\pi ,1+2\pi +2k\pi ]$.

q Exponencial de base $2$ deslocada $\pi $ para a direita. Sem zeros; $f(0)=2^{-\pi }$; sempre positiva; crescente em $\mathbb {R}$; sem extremos; a reta $y=0$ é assíntota quando $x\to -\infty $.

r Ilustração: Operações com funções s Função par: para $x\geq 0$ é $5^x$, e para $x\lt 0$ é o reflexo. Sem zeros; $f(0)=1$ (mínimo global); positiva; decrescente em $(-\infty ,0)$, crescente em $(0,\infty )$.

t Deslocamento por $2$ para a esquerda do item anterior. Sem zeros; $f(0)=5^2=25$; positiva; mínimo global $1$ em $x=-2$; decrescente em $(-\infty ,-2)$ e crescente em $(-2,\infty )$.

u Ilustração: Operações com funções v Reta $y=x$ para $x\lt 0$ e reta $y=\frac x2+1$ para $x\geq 0$; há um salto em $x=0$ (as imagens ficam perto de $0$ à esquerda e valem $1$ em $x=0$). Sem zeros (a raiz $-2$ da segunda reta não está em $x\geq 0$); $f(0)=1$. Negativa para $x\lt 0$ e positiva para $x\geq 0$; crescente em $(-\infty ,0)$ e em $[0,\infty )$; sem extremos locais.

w Para $x\lt 1$: $\cos 2x$ (amplitude $1$, período $\pi $); para $x\geq 1$: $2\cos (x-1)$ (amplitude $2$, período $2\pi $), com salto em $x=1$, onde $f(1)=2$ (máximo local). $f(0)=1$. Zeros: $x=\frac\pi 4+\frac{k\pi }2$ com $k\leq 0$, e $x=1+\frac\pi 2+k\pi $ com $k\geq 0$. Máximos: $1$ em $x=k\pi $ ($k\leq 0$) e $2$ em $x=1+2k\pi $ ($k\geq 0$); mínimos: $-1$ em $x=-\frac\pi 2+k\pi $ ($k\leq 0$) e $-2$ em $x=1+\pi +2k\pi $ ($k\geq 0$).

x Como $\left\lvert x^2-1\right\rvert +1\geq 1\gt 0$, a primeira condição nunca ocorre e $f(x)=\cos 3x$ para todo $x$: período $\frac{2\pi }3$, imagem $[-1,1]$; $f(0)=1$; zeros $x=\frac\pi 6+\frac{k\pi }3$; máximos $1$ em $x=\frac{2k\pi }3$ e mínimos $-1$ em $x=\frac{(2k+1)\pi }3$.

Exercício 7.9

Para cada par de funções $f,g$ abaixo encontre o domínio e as expressões de $f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$, $f \mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$, $g \mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$ e $g \mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$.

$f: \bbR \rightarrow \bbR,\quad f(x)=x^3$

$g: [1,\infty) \rightarrow \bbR,\quad g(x)=\sqrt{x-1}$

$f: \bbR^* \rightarrow \bbR,\quad f(x)= -\frac{1}{x}$

$g: (-\infty, 2] \rightarrow \bbR,\quad g(x)=\sqrt{2-x}$

$f: \bbR^* \rightarrow \bbR, \quad f(x)=\frac{1}{x}$

$g: \bbR \backslash \{2,3\} \rightarrow \bbR,\quad g(x)=\frac{1}{(x-2)(x-3)}$

$f: \bbR \rightarrow \bbR,\quad f(x)=\sen(x)$

$g: \bbR_{+} \rightarrow \bbR,\quad g(x)=\sqrt{x}$

Ver solução

a $f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$: domínio $[1,\infty )$, $(x-1)^{3/2}$. $f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$: domínio $\mathbb {R}$, $x^9$. $g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$: domínio $[1,\infty )$ (deve valer $x^3\geq 1$), $\sqrt{x^3-1}$. $g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$: domínio $[2,\infty )$ (deve valer $\sqrt{x-1}\geq 1$), $\sqrt{\sqrt{x-1}-1}$. b $f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$: domínio $(-\infty ,2)$, $-\dfrac 1{\sqrt{2-x}}$. $f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$: domínio $\mathbb {R}^*$, $x$. $g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$: domínio $(-\infty ,-\tfrac 12]\cup (0,\infty )$ (deve valer $-\tfrac 1x\leq 2$), $\sqrt{2+\tfrac 1x}$. $g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$: domínio $[-2,2]$ (deve valer $\sqrt{2-x}\leq 2$), $\sqrt{2-\sqrt{2-x}}$. c Seja $u=(x-2)(x-3)$. $f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$: domínio $\mathbb {R}\backslash \{ 2,3\} $, $u=(x-2)(x-3)$. $f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$: domínio $\mathbb {R}^*$, $x$. $g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$: domínio $\mathbb {R}\backslash \{ 0,\tfrac 13,\tfrac 12\} $, $\dfrac {x^2}{(1-2x)(1-3x)}$. $g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$: domínio $\mathbb {R}\backslash \left\{ 2,3,\tfrac {5\pm \sqrt3}2,\tfrac {15\pm \sqrt{21}}6\right\} $ (excluídos os $x$ com $g(x)\in \{ 2,3\} $), $\dfrac {u^2}{(1-2u)(1-3u)}$. d $f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$: domínio $[0,\infty )$, $\operatorname {sen}\sqrt x$. $f\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$: domínio $\mathbb {R}$, $\operatorname {sen}(\operatorname {sen}x)$. $g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}f$: domínio $\bigcup _{k\in \mathbb {Z}}[2k\pi ,(2k+1)\pi ]$ (deve valer $\operatorname {sen}x\geq 0$), $\sqrt{\operatorname {sen}x}$. $g\mathbin {\mathchoice {\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }{\compcent \scriptscriptstyle }}g$: domínio $[0,\infty )$, $\sqrt[4]{x}$.

Exercício 7.10

Encontre o domínio máximo de definição e esboce o gráfico das seguintes funções,, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos $x$ e $y$, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máximo e mínimo local se existirem.
$\frac{1}{x+7}$
$\frac{1}{x^2+4x+4}$
$\frac{x+2}{x^2-1}$.
$\sqrt{\lvert t-1\rvert -1}$

$\log _3( x-2)$
$\log _2( \lvert x\rvert )$
$\log _2(2x-\lvert x-1 \rvert )$
$\tan (x+\pi )$
$\tan (-x)+2$
$\lvert \tan (x) \rvert $
$ \tan (\lvert x \rvert ) $

$\tan (2x-\lvert x-1 \rvert )$

Ver solução

a Domínio $\mathbb {R}\backslash \{ -7\} $. Hipérbole $\frac1x$ deslocada $7$ para a esquerda. Sem zeros; $f(0)=\frac17$; positiva para $x\gt -7$, negativa para $x\lt -7$; decrescente em $(-\infty ,-7)$ e em $(-7,\infty )$; sem extremos; assíntotas $x=-7$ e $y=0$.

b Domínio $\mathbb {R}\backslash \{ -2\} $, e $f(x)=\frac1{(x+2)^2}$. Sem zeros; $f(0)=\frac14$; sempre positiva; crescente em $(-\infty ,-2)$ e decrescente em $(-2,\infty )$; sem extremos; assíntotas $x=-2$ e $y=0$.

c Domínio $\mathbb {R}\backslash \{ \pm 1\} $. Zero e $f(0)$: $x=-2$ e $f(0)=-2$. Sinal: negativa em $(-\infty ,-2)$, positiva em $(-2,-1)$, negativa em $(-1,1)$, positiva em $(1,\infty )$. Assíntotas $x=\pm 1$ e $y=0$. Extremos locais: máximo local $-1-\frac{\sqrt3}2$ em $x=-2+\sqrt3$ e mínimo local $-1+\frac{\sqrt3}2$ em $x=-2-\sqrt3$ (obtidos impondo que $y(x^2-1)=x+2$ tenha raiz dupla em $x$). Crescente em $(-2-\sqrt3,-1)$ e em $(-1,-2+\sqrt3)$; decrescente em $(-\infty ,-2-\sqrt3)$, em $(-2+\sqrt3,1)$ e em $(1,\infty )$.

e Domínio $(2,\infty )$. Logaritmo em base $3$ deslocado $2$ para a direita. Zero $x=3$; sem interseção com o eixo $y$; negativa em $(2,3)$, positiva em $(3,\infty )$; crescente; sem extremos; assíntota $x=2$.

f Domínio $\mathbb {R}^*$; função par (o gráfico de $\log _2x$, $x\gt 0$, junto com seu reflexo). Zeros $x=\pm 1$; sem interseção com o eixo $y$; negativa em $(-1,0)\cup (0,1)$, positiva para $\left\lvert x\right\rvert \gt 1$; decrescente em $(-\infty ,0)$, crescente em $(0,\infty )$; sem extremos; assíntota $x=0$.

g Se $x\geq 1$, $2x-\left\lvert x-1\right\rvert =x+1$; se $x\lt 1$, é $3x-1$. Domínio: $x\gt \frac13$ (em $x\geq 1$ o argumento $x+1$ é positivo; em $x\lt 1$, exige $3x-1\gt 0$). Logo $f(x)=\log _2(3x-1)$ em $(\frac13,1)$ e $f(x)=\log _2(x+1)$ em $[1,\infty )$ (as duas expressões valem $1$ em $x=1$). Zero: $x=\frac23$; sem interseção com o eixo $y$; negativa em $(\frac13,\frac23)$, positiva em $(\frac23,\infty )$; crescente em todo o domínio; sem extremos; assíntota $x=\frac13$.

h Como $\tan (x+\pi )=\tan x$, é o gráfico da tangente. Domínio $x\neq \frac\pi 2+k\pi $; zeros $x=k\pi $ (inclusive $f(0)=0$); positiva em $(k\pi ,\frac\pi 2+k\pi )$ e negativa em $(-\frac\pi 2+k\pi ,k\pi )$; crescente em cada intervalo do domínio; sem extremos; assíntotas verticais $x=\frac\pi 2+k\pi $.

i $f(x)=2-\tan x$: reflexo da tangente em relação ao eixo $x$, deslocado $2$ para cima. Domínio $x\neq \frac\pi 2+k\pi $; $f(0)=2$; zeros em $x=x_0+k\pi $, onde $x_0\in (0,\frac\pi 2)$ e $\tan x_0=2$; positiva em $(-\frac\pi 2+k\pi ,x_0+k\pi )$ e negativa em $(x_0+k\pi ,\frac\pi 2+k\pi )$; decrescente em cada intervalo do domínio; sem extremos; assíntotas $x=\frac\pi 2+k\pi $.

j Reflete-se para cima a parte negativa da tangente. Domínio $x\neq \frac\pi 2+k\pi $; zeros $x=k\pi $ (mínimos locais, com bico); positiva fora dos zeros; decrescente em $(-\frac\pi 2+k\pi ,k\pi )$ e crescente em $(k\pi ,\frac\pi 2+k\pi )$; assíntotas $x=\frac\pi 2+k\pi $.

k Função par: para $x\geq 0$ é a tangente, e para $x\lt 0$ é o reflexo em relação ao eixo $y$. Domínio $x\neq \pm (\frac\pi 2+k\pi )$, $k\geq 0$. Zeros $x=k\pi $, $k\in \mathbb {Z}$ (inclusive $f(0)=0$, mínimo local com bico); positiva em $(0,\frac\pi 2)$, negativa em $(\frac\pi 2,\pi )$, positiva em $(\pi ,\frac{3\pi }2)$ etc. (e simetricamente para $x\lt 0$); crescente em cada intervalo do domínio com $x\gt 0$ e decrescente em cada intervalo com $x\lt 0$; assíntotas $x=\pm (\frac\pi 2+k\pi )$.