Capítulo 3

Conjuntos Numéricos

Deus fez os números inteiros; todo o resto é obra do homem.
Leopold Kronecker

Nesta seção, tratamos dos conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais. O enfoque não é construtivo, isto é, não serão definidos tais conjuntos. Apenas destacam-se suas principais propriedades, com particular atenção às propriedades dos números naturais e dos números reais.

3.1 Números naturais, inteiros e racionais

Supõem-se conhecidos os conjuntos $\mathbb {N}$ (naturais), $\mathbb {Z}$ (inteiros) e $\mathbb {Q}$ (racionais), descritos abaixo:

\[ \begin{array}{l} \mathbb {N}=\{ 0,1,2,\dots \} \\ \mathbb {Z}=\{ 0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots \} \\ \mathbb {Q}=\{ \dfrac {p}{q}\, |\, p,q \in \mathbb {Z},\ q\not=0\} \end{array} \]

É de uso comum a seguinte notação para alguns subconjuntos de $\mathbb {Z}$:

\[ \begin{array}{l} \mathbb {Z}^{*}=\{ x \in \mathbb {Z}\, |\, x \not=0\} \\ \mathbb {Z}_{+}=\{ x \in \mathbb {Z}\, |\, x \geq 0\} \\ \mathbb {Z}_{-}=\{ x \in \mathbb {Z}\, |\, x \leq 0\} \\ \mathbb {Z}^{*}_{+}=\mathbb {Z}^{*} \cap \mathbb {Z}^{+}=\{ x \in \mathbb {Z}\, |\, x \gt 0\} \\ \mathbb {Z}^{*}_{-}=\mathbb {Z}^{*} \cap \mathbb {Z}^{-}=\{ x \in \mathbb {Z}\, |\, x \lt 0\} \end{array} \]

Com significado análogo, usa-se a notação $\mathbb {N}^{*}$, $\mathbb {Q}^{*}$, $\mathbb {Q}_{+}$, $\mathbb {Q}_{-}$, $\mathbb {Q}^{*}_{+}$ e $\mathbb {Q}^{*}_{-}$.

3.1.1 Soma e multiplicação

Em $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ estão bem definidas as operações de soma e multiplicação. Algumas propriedades básicas dessas operações são apresentadas abaixo (onde $a$, $b$ e $c$ denotam números naturais, inteiros ou racionais):

1.	$a+b=b+a$	\hspace{5mm} (comutatividade da soma)
2.	$a.b=b.a$	\hspace{5mm} (comutatividade da multiplicação)
3.	$(a+b)+c=a+(b+c)$	\hspace{5mm} (associatividade da soma)
4.	$(a.b).c=a.(b.c)$	\hspace{5mm} (associatividade da multiplicação)
5.	$0+a=a$	\hspace{5mm} (elemento neutro da soma)
6.	$1.a=a$	\hspace{5mm} (elemento neutro da multiplicação)
7.	$a.(b+c)=a.b+a.c$	\hspace{5mm} (distributiva)

As propriedades acima são importantes para a manipulação algébrica de equações que envolvem números ou variáveis numéricas. Entretanto, há mais uma propriedade necessária para o cálculo algébrico que não tem o mesmo comportamento nos três conjuntos acima. Trata-se da existência de elementos inversos:

Para cada número $a$, existe o oposto de $a$, isto é, um número que somado a $a$ resulta no elemento neutro $0$.
Para cada número $a \not=0$, existe o inverso de $a$, isto é, um número que multiplicado por $a$ resulta no elemento neutro $1$.

Evidentemente, as afirmações acima podem ser verdadeiras ou falsas, dependendo de qual conjunto numérico estamos falando. No caso do conjunto dos naturais, nenhuma das afirmações é verdadeira, uma vez que nenhum número natural possui oposto (a exceção do elemento neutro $0$) nem inverso (a exceção do elemento neutro $1$). Os inteiros tampouco possuem elementos inversos, mas em compensação, possuem elementos opostos:

\[ \forall \, \, z \in \mathbb {Z}, \, \, \exists \, -\! z \in \mathbb {Z}\, \, |\, \, z+(-\! z)=0. \]

Por fim, no conjunto dos números racionais, ambas as afirmações são verdadeiras:

\[ \begin{array}{l} \forall \, \, q \in \mathbb {Q}, \, \, \exists \, -\! q \in \mathbb {Q}\, \, |\, \, q+(-\! q)=0 \\ \forall \, \, q \in \mathbb {Q}^{*}, \, \, \exists \, \, q^{-1} \in \mathbb {Q}\, \, |\, \, q.q^{-1}=1 \end{array} \]

3.1.2 Potenciação

Se $a$ e $n$ são números naturais, fica bem definida a operação de potência

\[ a^{n}=\left\{ \begin{array}{l} a.a. \cdots . a \qquad (n\, \, \mathrm{vezes}), \quad \mathrm{se} \quad n\not=0 \\ 1 \quad \mathrm{se} \quad n=0\, \, \mathrm{e}\, \, a \not=0 \end{array} \right. \]

Note que a "operação" $\, 0^{0}$ não é definida. O motivo disso será visto, possivelmente, na seção dedicada a limites de funções.

Nomenclatura. Na expressão $a^{n}$, o número $a$ é chamado de base, enquanto $n$ é chamado de expoente.

É imediato verificar as propriedades abaixo (onde $a, b \in \mathbb {N}^{*}$ e $n, m \in \mathbb {N}$):

$a^{n}.a^{m}=a^{n+m}$
$(a^{n})^{m}=a^{nm}$
$(a.b)^{n}=a^{n}.b^{n}$

Para estender a potenciação para expoentes inteiros, de modo a manter as propriedades acima, define-se:

$a^{-n}=\dfrac {1}{a^{n}}$, para todo $a \in \mathbb {N}^{*}$ e todo $n \in \mathbb {N}$.

Assim, tomando $a \in \mathbb {N}^{*}$ e $n,m \in \mathbb {Z}$, temos, além das anteriores, a seguinte propriedade:

$a^{n-m}=\dfrac {a^{n}}{a^{m}}$

Por fim, observe que as mesmas definições acima fazem sentido para o caso da base ser um número racional. Além disso, as quatro propriedades já enunciadas continuam valendo para esse caso, juntamente com a seguinte propriedade (onde $a,b \in \mathbb {Q}^{*}_{+}$ e $n \in \mathbb {Z}$):

$\left( \dfrac {a}{b} \right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$

Observação. Mais adiante, poderemos definir a operação de potência para expoentes racionais. Mas isso só será possível, de modo adequado, no contexto dos números reais.

3.2 Princípio de Indução Finita

Uma propriedade particularmente importante dos números naturais é expressa pelo Princípio de Indução Finita (PIF). Nesta seção, serão formulados dois enunciados diferentes (mas equivalentes) para o PIF. O objetivo de se ter duas versões diferentes para um mesmo princípio é poder escolher qual delas mais se presta a cada caso estudado. No que se segue, $P(n)$ denota uma propriedade genérica, atribuível ao número natural genérico $n$. Se $n$ satisfaz a propriedade $P(n)$, dizemos que $P(n)$ é verdadeira (caso contrário, que é falsa).

Princípio de Indução Finita ($1^{a}$ versão)

Seja $P(n)$ uma propriedade genérica que satisfaz as seguintes condições:

(PIF 1): $P(n_o)$ é verdadeira para um certo $n_o \in \mathbb {N}$;
(PIF 2): Para todo $k \in \mathbb {N}$, com $k \geq n_o$, tem-se: se $P(k)$ é verdadeira, então $P(k+1)$ é verdadeira.

Então, $P(n)$ é verdadeira para todo natural $n \geq n_o$.

Pode ser cômodo, para compreender o PIF, ter em mente a seguinte analogia do dominó. Imagine que possuímos um certo número de peças de dominó e que resolvemos dispô-las em pé (i.e. apoiadas em suas faces menores) e enfileiradas. Se empurrarmos a primeira peça da fila (na direção da peça que lhe segue) e se a distância entre cada peça e a seguinte for suficientemente pequena, então, inevitavelmente, todas as peças serão derrubadas.

A analogia com o PIF é clara: a primeira peça do dominó a ser empurrada corresponde ao número natural $n_o$ da primeira condição do PIF (em geral, $n_o$ é o primeiro número natural para o qual a propriedade $P$ é verdadeira, i.e. é o "primeiro número da fila"); a condição de que a distância entre cada peça e a seguinte seja suficientemente pequena pode ser expressa na forma "se uma peça cai, a seguinte também cai", e isso corresponde à segunda condição do PIF (claro que, para que a analogia funcione bem, devemos imaginar uma coleção infinita de peças de dominó).

Segundo o PIF, para provarmos a validade de uma propriedade, devemos verificar as duas condições PIF 1 e PIF 2. A primeira delas, em geral, é a mais simples, pois trata-se somente de acharmos um número natural que satisfaz a propriedade. A segunda, normalmente, é o cerne da demonstração. Para verificar a validade da condição PIF 2, deve-se: (i) tomar um número natural genérico ⁶ $k$; (ii) assumir que a propriedade $P$ vale para esse número, i.e. que $P(k)$ é verdadeira (nos referimos a isso como sendo a hipótese indutiva); (iii) usando a hipótese indutiva (e eventualmente outras propriedades já conhecidas), provar que o número $k+1$ (i.e. o sucessor de $k$) também satisfaz a propriedade $P$, ou seja, que $P(k+1)$ também é verdadeira.

Exemplo 3.1 (Exercício resolvido)

. Considere a seguinte propriedade: a soma dos primeiros $n$ números naturais positivos é $n(n+1)/2$. Em símbolos:

\[ P(n): 1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2} \]

Solução

Comecemos com verificar a condição PIF 1. Para isso, basta encontrar um número positivo $n$ que torne a propriedade $P(n)$ verdadeira. Basta tomar $n=1$. De fato, a soma à esquerda na expressão acima é 1, enquanto o termo à direita é

\[ \frac{1(1+1)}{2}=1 \]

Logo, $P(1)$ é verdadeira. Para verificar a condição PIF 2, devemos tomar um número natural positivo qualquer $k \in \mathbb {N}$ e mostrar que vale a implicação $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Em outras palavras, devemos supor que $P(k)$ é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que $P(k+1)$ é verdadeira. Logo, a nossa hipótese indutiva é

\[ P(k): 1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2} \]

Temos então

\[ 1+2+\cdots +k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \]

\[ =\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)\left( (k+1)+1 \right)}{2} \]

Assim, verificamos que, se $P(k)$ é verdadeira, também o é $P(k+1)$. Donde, pelo PIF, concluímos que $P(n)$ é verdadeira para todo natural $n \geq 1$, i.e. para todo natural positivo.

Exemplo 3.2 (Exercício resolvido)

Mostrar por indução a propriedade $P(n): 2^{n} \geq 1+n$.

Solução

Para $n=0$ a propriedade é verdadeira, pois $2^{0}=1 \geq 1+0$. Assim, é satisfeita condição 1 do PIF. Para provar a condição 2, tomemos qualquer $k \in \mathbb {N}$ e assumamos a hipótese indutiva

\[ 2^{k} \geq 1+k \]

Queremos mostrar que $P(k+1)$ é válida, i.e. que $2^{k+1} \geq 1+(k+1)$. Temos

\[ 2^{k+1}=2.2^{k} \geq 2.(1+k) \quad (\text{ usamos a hipótese indutiva}) \]

\[ =2+2k \geq 2+k =1+(k+1) \]

A condição PIF 2, portanto, também é válida. Logo, pelo PIF, a propriedade $P$ vale para todo número natural.

Nunca é demais ressaltar que, ao usar o PIF para demonstrar a validade de uma propriedade, é necessário cumprir ambas as condições 1 e 2. A título de exemplo, considere as propriedades abaixo:

$P(n): n=1$ (isto é, todo número natural é igual ao número 1)
$Q(n): n\gt n+1$ (isto é, todo número natural é maior que seu sucessor)

Tais propriedades são evidentemente falsas. Se fôssemos tentar prová-las usando o PIF, observaríamos que a propriedade $P(n)$ satisfaz a condição PIF 1, pois $P(1)$ é verdadeira, mas não satisfaz a condição PIF 2, pois se $P(n)$ é verdadeira, então $n=1$ e, consequentemente, $n+1=2\not=1$, i.e. $P(n+1)$ é falsa. Além disso, observaríamos que a propriedade $Q(n)$ não satisfaz a condição PIF 1, mas satisfaz a condição PIF 2 (se $n\gt n+1$, então, somando 1 a cada membro, resulta $n+1\gt n+2$).

Exercício 3.1

Considere a propriedade $P(n): n^{2}+n$ é ímpar. Mostre que a propriedade $P$ verifica a condição PIF 2. Discuta a afirmação: $P(n)$ é verdadeira para todo $n \in \mathbb {N}$.

Ver solução

Se $k^2+k$ é ímpar, então $(k+1)^2+(k+1)=(k^2+k)+2(k+1)$ é ímpar (soma de ímpar com par); logo vale PIF 2. No entanto, $P(n)$ é falsa para todo $n$, pois $n^2+n=n(n+1)$ é sempre par (um dos fatores é par). O que falha é PIF 1: não existe $n_0$ com $P(n_0)$ verdadeira. Assim, a condição PIF 2 sozinha não garante nada.

Exercício 3.2

Lembrando a definição de coeficiente binomial:

\[ \left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\, :=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

prove o Teorema Binomial : para cada $n \in \mathbb {N}^{*}$, vale a expressão

\[ (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n} \left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\, a^{n-i}b^{i} \]

Sugestão: será necessário usar a fórmula

\[ \left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\, +\left(\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right)\, =\left(\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right)\, \]

Ver solução

Para $n=1$: $(a+b)^1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\, a+\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\, b$. Suponha a fórmula válida para $n$. Então

\[ (a+b)^{n+1}=(a+b)\sum _{i=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\, a^{n-i}b^i=\sum _{i=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\, a^{n+1-i}b^i+\sum _{i=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\, a^{n-i}b^{i+1}. \]

Trocando $i+1$ por $i$ na segunda soma, ela vira $\sum _{i=1}^{n+1}\left(\begin{array}{c}n\\ i-1\end{array}\right)\, a^{n+1-i}b^i$. Somando os termos de mesmo $i$ e usando a fórmula sugerida para $1\leq i\leq n$ (os termos $i=0$ e $i=n+1$ têm coeficiente $1=\left(\begin{array}{c}n+1\\ 0\end{array}\right)\, =\left(\begin{array}{c}n+1\\ n+1\end{array}\right)\, $), obtemos $\sum _{i=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c}n+1\\ i\end{array}\right)\, a^{n+1-i}b^i$. A fórmula sugerida: $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\, +\left(\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right)\, =\frac{n!\, (n-k+1)+n!\, k}{k!\, (n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!\, (n+1-k)!}$.

Muitas vezes, tentar mostrar uma implicação do tipo

$P(k)$ é verdadeira $\Rightarrow $ $P(k+1)$ é verdadeira

não é tão simples, ou até mesmo impossível. Desse modo, é útil ter à disposição a seguinte versão do PIF:

Princípio de Indução Finita - $2^{a}$ versão
Seja $P(n)$ uma propriedade genérica que satisfaz as seguintes condições:

(PIF 1): $P(n_o)$ é verdadeira para um certo $n_o \in \mathbb {N}$;
(PIF 2): Para todo $n \in \mathbb {N}$, com $n \geq n_o$, tem-se: se $P(k)$ é verdadeira para todo $k \in \mathbb {N}$, com $n_o\leq k\lt n$, então $P(n)$ é verdadeira.

Então, $P(n)$ é verdadeira para todo natural $n \geq n_o$.

A diferença dessa versão para a primeira está na condição 2, mais especificamente, na hipótese indutiva. Na versão 1, a hipótese indutiva pode ser reformulada como "a propriedade é válida para o antecessor do número $n$". Já na versão 2, a hipótese indutiva é "a propriedade é válida para todos os números que antecedem $n$".

Exemplo 3.3 (Exercício resolvido)

Considere a propriedade $P(n)$: $n$ é primo ou é produto de números primos. Vamos provar que $P(n)$ é verdadeira para todo $n\gt 1$ (isto é, vamos provar que todo número natural maior que 1 é primo ou é produto de números primos). A condição PIF é trivialmente satisfeita, pois $P(2)$ é verdadeira. Adotando a segunda versão do PIF, vamos verificar a condição 2. Fixado $n \in \mathbb {N}$ ($n \geq 2$), nossa hipótese indutiva é:

se $2 \leq k\lt n$, então $k$ é primo ou é produto de primos.

Solução

Queremos mostrar que $n$ é primo ou é produto de primos. Evidentemente, $n$ é primo ou não é. Se for primo, então $P(n)$ é verdadeira. Se $n$ não é primo, então deve existir um número primo $p$ que divide $n$, isto é,

\[ n=p.k \]

para um certo $k \in \mathbb {N}$. Ora, como $k\gt 1$ (pois $p \not=n$) e $k\lt n$ (pois $p\gt 1$), podemos usar a hipótese indutiva para o número $k$: $k$ é primo ou é produto de primos. Consequentemente, $n=p.k$ é um produto de primos, ou seja, $P(n)$ é verdadeira. Assim, pelo PIF ($2^{a}$ versão), a propriedade $P$ vale para todo natural maior que 1.

Exercício 3.3

Tente perceber a dificuldade em se provar a propriedade acima usando a primeira versão do PIF.

Ver solução

Sabendo apenas que $k$ é primo ou produto de primos, nada podemos dizer sobre $k+1$: se $k+1=p\cdot m$, o fator $m$ é em geral bem menor que $k$ (por exemplo, $k+1=30$ e $m=15$ ou $m=6$), e a hipótese de indução sobre $k$ não diz nada sobre $m$. É preciso conhecer a propriedade para todos os naturais menores que $k+1$, que é o que a $2^a$ versão do PIF fornece.

Observação

Até agora, falamos somente em propriedades dos números naturais. Mas pode-se usar o PIF para provar propriedades dos números inteiros ou até mesmo racionais, desde que devidamente formuladas em termos de números naturais. Na verdade, em qualquer contexto, mesmo quando os objetos considerados não são numéricos, se uma propriedade (verdadeira) puder ser formulada em termos de números naturais, então ela pode, ao menos em princípio, ser demonstrada através do PIF. A seguir, um exemplo interessante que pode ser resolvido com o PIF.

Exercício 3.4

Calcule :
a soma dos $n$ primeiros números pares.
a soma dos $n$ primeiros números ímpares.

Ver solução

a $2+4+\cdots +2n=n(n+1)$. De fato, $2+4+\cdots +2n=2(1+2+\cdots +n)=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}$ (ou, por indução: $n(n+1)+2(n+1)=(n+1)(n+2)$). b Comecemos com verificar a condição PIF 1.

\[ \text{P(1) =''}1 = 1^2\text{''} \]

\[ 1 + 3 + 5 + \dots + (2k -1)=k^2 \]

Reescrevendo $P(k+1)$ e usando a hipótese indutiva temos :

\[ 1 + 3 + 5 + \dots + (2k -1) + (2(k + 1) -1) \]

\[ =k^2 + 2k + 1 \]

\[ = (k + 1)^2 \]

Assim, verificamos que, se $P(k)$ é verdadeira, também o é $P(k+1)$. Donde, pelo PIF, concluímos que $P(n)$ é verdadeira para todo natural $n \geq 1$, i.e. para todo natural positivo.

Exercício 3.5

Prove que para todo inteiro positivo $n$ vale:

\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(2n+1)(n+1)}{6}. \]

Ver solução

Para $n=1$: $1^2=1=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}$. Suponha $1^2+\cdots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$. Então

\[ 1^2+\cdots +k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac{(k+1)\left[k(2k+1)+6(k+1)\right]}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}, \]

que é a fórmula para $n=k+1$.

Exercício 3.6

Demonstre que para todo inteiro positivo $n$ vale:

$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2$.
$1 + 2(\frac{1}{2}) + 3(\frac{1}{2})^2 + \cdots + n(\frac{1}{2})^{n-1} = 4 - \frac{n+2}{2^{n-1}}$.
$(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})\cdots (1- \frac{1}{n+1})= \frac{1}{n+1}$.
$1 + 2 + 2^2+ \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$.
$n \lt 2^n$.
$1^2 - 2^2 + 3^2 -4^2 + \cdots + (-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1} \frac{n(n + 1)}{2}$.

Ver solução

a Para $n=1$: $1=\left(\frac{1\cdot 2}{2}\right)^2$. Se vale para $k$, então $\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3=(k+1)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)=(k+1)^2\frac{(k+2)^2}{4}=\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2$. b Para $n=1$: $1=4-\frac{3}{1}$. Se vale para $k$, somando $(k+1)\left(\frac12\right)^k$: $4-\frac{k+2}{2^{k-1}}+\frac{k+1}{2^k}=4-\frac{2(k+2)-(k+1)}{2^k}=4-\frac{k+3}{2^k}$, que é a fórmula para $k+1$. c Para $n=1$: $1-\frac12=\frac12$. Se o produto até $k$ vale $\frac1{k+1}$, então o produto até $k+1$ vale $\frac1{k+1}\left(1-\frac1{k+2}\right)=\frac1{k+1}\cdot \frac{k+1}{k+2}=\frac1{k+2}$. d Para $n=1$: $1=2^1-1$. Se $1+2+\cdots +2^{k-1}=2^k-1$, então $1+2+\cdots +2^{k-1}+2^k=2^k-1+2^k=2^{k+1}-1$. e Para $n=1$: $1\lt 2$. Se $k\lt 2^k$, então $k+1\lt 2^k+1\leq 2^k+2^k=2^{k+1}$, pois $1\leq 2^k$. f Para $n=1$: $1=(-1)^2\frac{1\cdot 2}{2}$. Se vale para $k$, somando $(-1)^{k+2}(k+1)^2$: $(-1)^{k+2}(k+1)\left[(k+1)-\frac{k}{2}\right]=(-1)^{k+2}\frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Exercício 3.7

Dados $a$ e $r$ dois números inteiros, $r \not= 1$. A sequência $a_1 = a, a_2 = ra, a_3 = r^2a, \cdots , a_n = r^{n-1}a, \cdots $ é denominada progressão geométrica de razão r. Prove que a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica é:

\[ S_n = \frac{r^na-a}{r-1}. \]

Ver solução

Para $n=1$: $S_1=a=\frac{ra-a}{r-1}$. Se $S_k=\frac{r^ka-a}{r-1}$, então $S_{k+1}=S_k+r^ka=\frac{r^ka-a+r^{k+1}a-r^ka}{r-1}=\frac{r^{k+1}a-a}{r-1}$.

Exercício 3.8

Prove que $2n+1\lt 2^n$ para todo $n\gt 3$.

Ver solução

Para $n=4$: $9\lt 16$. Se $2k+1\lt 2^k$ com $k\geq 4$, então $2(k+1)+1=(2k+1)+2\lt 2^k+2\lt 2^k+2^k=2^{k+1}$, pois $2\lt 2^k$.

Exercício 3.9

Seja $x$ um inteiro positivo. Demonstre que:

\[ (1 + x)^n \gt 1 + nx, \mbox{para todo $n \geq 2$}. \]

Ver solução

Para $n=2$: $(1+x)^2=1+2x+x^2\gt 1+2x$, pois $x\gt 0$. Suponha $(1+x)^k\gt 1+kx$ para algum $k\geq 2$. Como $1+x\gt 0$,

\[ (1+x)^{k+1}=(1+x)(1+x)^k\gt (1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx^2\geq 1+(k+1)x. \]

Exercício 3.10

Prove que

\[ \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}. \]

Ver solução

Para $n=1$: $\frac{1}{1\cdot 2}=\frac12$. Suponha a igualdade válida para $k$. Então

\[ \frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}. \]

Alternativamente, use $\frac{1}{i(i+1)}=\frac1i-\frac1{i+1}$: a soma telescópica vale $1-\frac1{n+1}=\frac{n}{n+1}$.

Exercício 3.11

Prove que para qualquer inteiro positivo $n$ o número $2^{2n} -1$ é divisível por 3.

Ver solução

Para $n=1$: $2^2-1=3$ é divisível por $3$. Suponha $2^{2k}-1=3m$ com $m$ inteiro, isto é, $2^{2k}=3m+1$. Então $2^{2(k+1)}-1=4\cdot 2^{2k}-1=4(3m+1)-1=12m+3=3(4m+1)$, que é divisível por $3$.

Exercício 3.12

Prove que um caixa eletrônico pode entregar ao usuário qualquer valor maior ou igual a R\$4 usando apenas notas de dois e de cinco reais.

Ver solução

Seja $P(n)$: “é possível pagar $n$ reais com notas de $2$ e de $5$”. $P(4)$ vale, pois $4=2+2$. Suponha $P(k)$ com $k\geq 4$ e considere um pagamento de $k$ reais. Se ele usa alguma nota de $5$, troque-a por três notas de $2$ (de $5$ para $6$ reais): obtemos $k+1$. Se não usa nenhuma nota de $5$, então usa apenas notas de $2$, e pelo menos duas delas (pois $k\geq 4$); troque duas notas de $2$ ($4$ reais) por uma de $5$: obtemos $k+1$.

Exercício 3.13 (difficulty=1)

Mostre que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com $n$ lados ($n \geq 3$) é $(n-2)\pi $.

Ver solução

Para $n=3$ é a soma dos ângulos de um triângulo, $\pi $. Suponha o resultado válido para polígonos convexos de $k$ lados e seja $A_1A_2\cdots A_{k+1}$ convexo. A diagonal $A_1A_3$ divide-o no triângulo $A_1A_2A_3$ (soma $\pi $) e no polígono convexo $A_1A_3\cdots A_{k+1}$, de $k$ lados (soma $(k-2)\pi $). Como a diagonal está no interior, os ângulos em $A_1$ e $A_3$ se somam, e a soma total é $(k-2)\pi +\pi =((k+1)-2)\pi $.

Exercício 3.14

Use indução para mostrar que um conjunto finito com $n$ elementos possui $2^n$ subconjuntos.

Ver solução

Para $n=0$: o conjunto vazio tem um único subconjunto, $2^0=1$. Suponha que todo conjunto com $k$ elementos tenha $2^k$ subconjuntos, e seja $A$ com $k+1$ elementos. Fixe $a\in A$. Os subconjuntos que não contêm $a$ são os subconjuntos de $A\backslash \{ a\} $, em número $2^k$. Os que contêm $a$ são exatamente os $X\cup \{ a\} $, com $X$ subconjunto de $A\backslash \{ a\} $, também $2^k$. No total, $2^k+2^k=2^{k+1}$.

Exercício 3.15 (difficulty=1)

Sejam $X, X_1, X_2, \cdots , X_n$ conjuntos com relação a um conjunto universo $\mathbb {U}$ fixado.

Prove por indução que

\[ \hspace{-0.9cm}X \cap (X_1 \cup X_2 \cup \cdots \cup X_n) = (X \cap X_1) \cup (X \cap X_2) \cup \cdots \cup (X \cap X_n). \]

Prove por indução que

\[ \hspace{-0.9cm}(X_1 \cup X_2 \cup \cdots X_n)^C = (X_1^C) \cap (X_2^C) \cap \cdots \cap (X_n)^C. \]

Ver solução

a Para $n=1$ a igualdade é trivial. Suponha-a válida para $k$. Pela distributividade para dois conjuntos e pela hipótese,

\[ X\cap (X_1\cup \cdots \cup X_k\cup X_{k+1})=\big[X\cap (X_1\cup \cdots \cup X_k)\big]\cup (X\cap X_{k+1})=(X\cap X_1)\cup \cdots \cup (X\cap X_k)\cup (X\cap X_{k+1}). \]

b Para $n=1$ é trivial. Suponha-a válida para $k$. Pela lei de De Morgan para dois conjuntos aplicada a $X_1\cup \cdots \cup X_k$ e $X_{k+1}$, e pela hipótese, $(X_1\cup \cdots \cup X_k\cup X_{k+1})^C=(X_1\cup \cdots \cup X_k)^C\cap X_{k+1}^C=X_1^C\cap \cdots \cap X_k^C\cap X_{k+1}^C$.

Exercício 3.16 (difficulty=1)

Prove que para todo $n \geq 9$,

\[ n! \geq (2n)^2 \]

Ver solução

Para $n=9$: $9!=362880\geq 18^2=324$. Se $k!\geq (2k)^2$ com $k\geq 9$, então $(k+1)!=(k+1)k!\geq (k+1)\cdot 4k^2\geq 4(k+1)^2=(2(k+1))^2$, pois $k^2\geq k+1$.

Exercício 3.17 (difficulty=1)

Prove para todo $n \geq 2$,

\[ \sum _{i=1}^n \frac{1}{i^2}\lt 2-\frac{1}{n} \]

Ver solução

(Para $n=1$ vale a igualdade $1=2-1$, por isso a desigualdade é para $n\geq 2$.) Para $n=2$: $1+\frac14=\frac54\lt \frac32$. Se $\sum _{i=1}^k\frac1{i^2}\lt 2-\frac1k$, então $\sum _{i=1}^{k+1}\frac1{i^2}\lt 2-\frac1k+\frac1{(k+1)^2}\leq 2-\frac1{k+1}$, pois isso equivale a $\frac1{(k+1)^2}+\frac1{k+1}\leq \frac1k$, isto é, $k(k+2)\leq (k+1)^2$, verdadeiro.

Problema 3.18

Problema do Circuito
Em um circuito fechado (por exemplo, uma pista de corrida), são distribuídos, aleatoriamente, um certo número de galões de gasolina. Não se conhece a quantidade de gasolina em cada galão (pode até haver galões vazios), mas sabe-se que a quantidade total de gasolina é suficiente para efetuar exatamente uma volta nesse circuito (e cada galão tem capacidade para conter toda essa quantidade de gasolina, se for o caso). O piloto escolhe, como ponto de partida, qualquer ponto do circuito onde se encontra um galão. O carro é colocado nesse ponto, com o tanque vazio. Em seguida, coloca-se no tanque o conteúdo desse galão. Se, com essa quantidade de gasolina, o carro não chegar ao próximo galão, ele para em pane seca. Mas se conseguir chegar ao próximo galão, acrescenta ao tanque o conteúdo desse novo galão e prossegue na pista em direção ao próximo galão. Seguindo esse procedimento, há duas possibilidades: o carro completa a volta ou para em pane seca em algum lugar da pista antes de completar a volta. A questão é: será sempre possível escolher um oportuno galão inicial de modo a completar a volta da pista? (Atenção: o problema consiste em decidir se é possível fazer tal escolha, e não em como fazer tal escolha) [Solução no Apêndice].

3.3 Números reais

Como dissemos anteriormente, está fora de nossos propósitos fazer uma construção do conjunto dos números reais. Interessa-nos, isso sim, aprofundarmos o conhecimento das suas propriedades. Em outras palavras, nosso enfoque será voltado à estrutura do conjunto dos números reais.

Entretanto, pode ser cômodo ter em mente algum modelo ou representação dos números reais, de modo a facilitar a apreciação de sua estrutura, foco de nossa discussão. Nesse sentido, as representações mais comuns são a representação decimal e a reta real, qualquer uma delas pode servir ao escopo ⁷ . Destaque-se, porém, mais uma vez, que essas ou quaisquer outras representações servem somente como suporte à compreensão da estrutura dos reais. Tudo o que se segue é independente de tais representações e estas não serão novamente mencionadas no desenrolar desta seção.

3.3.1 Apresentação axiomática dos números reais

O conjunto dos números reais, denotado por $\mathbb {R}$, é um conjunto que satisfaz os assim chamados axiomas de corpo, de ordem e de completude. A seguir, trataremos cada grupo de axiomas separadamente.

Axiomas de Corpo

O conjunto $\mathbb {R}$ é dotado de duas operações, soma e multiplicação, denotadas respectivamente pelos símbolos "+" e ".", satisfazendo as seguintes propriedades ⁸ :

Propriedade associativa da soma

\[ (a+b)+c=a+(b+c) \qquad \forall \, a,b,c\in \mathbb {R} \]
Propriedade comutativa da soma

\[ a+b=b+a \qquad \forall \, a,b,\in \mathbb {R} \]
Existência do elemento neutro da soma

\[ \mathrm{Existe}\, 0\in \mathbb {R}\, |\, a+0=a \qquad \forall \, a\in \mathbb {R} \]
Existência de oposto

\[ \mathrm{Para}\, \mathrm{todo}\, a\in \mathbb {R},\, \exists (-a)\in \mathbb {R}\, |\, a+(-a)=0 \]
Propriedade associativa da multiplicação

\[ (ab)c=a(bc) \qquad \forall \, a,b,c\in \mathbb {R} \]
Propriedade comutativa da multiplicação

\[ ab=ba \qquad \forall \, a,b\in \mathbb {R} \]
Existência do elemento neutro da multiplicação

\[ \mathrm{Existe}\, 1\in \mathbb {R}\, |\, a.1=a \qquad \forall \, a\in \mathbb {R} \]
Existência de inverso

\[ \mathrm{Para}\, \mathrm{todo}\, a\in \mathbb {R}^{*},\, \exists a^{-1}\in \mathbb {R}\, |\, a.a^{-1}=1 \]
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma

\[ a(b+c)=ab+ac \qquad \forall \, a,b,c\in \mathbb {R} \]

Observação. Há outros conjuntos numéricos que também possuem operações de soma e multiplicação, satisfazendo as propriedades acima. É o caso, por exemplo, do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números complexos. Nesse sentido, o conjunto de axiomas acima é insuficiente para caracterizar univocamente o conjunto dos números reais.

Exercícios. A partir dos axiomas A1, ..., A9 acima, prove as seguintes propriedades:

O número 0 (zero) é o único elemento neutro da soma.
O número 1 é o único elemento neutro da multiplicação.
Dado qualquer $a \in \mathbb {R}$, resulta $a.0=0$
O oposto de um número real é único.
O inverso de um número real (não nulo) é único.
Dados quaisquer $a, b \in \mathbb {R}$, resulta $a(-b)=-ab$.
Para quaisquer números reais $a$ e $b$, tem-se que:

\[ ab=0 \Rightarrow a=0 \, \mathrm{ou}\, b=0. \]

A título de exemplo, provemos a quarta e a última dessas propriedades. Comecemos pela quarta propriedade. Dado um número real $a$, sejam $a', a'' \in \mathbb {R}$ números tais que $a+a'=0$ e $a+a''=0$. Então, usando oportunamente os axiomas acima, temos

\[ a'=a'+0=a'+(a+a'')=(a'+a)+a''=0+a''=a'' \]

Em outras palavras, provamos que só há um único número real que cumpre o papel de oposto de $a$.

Provemos agora a última das propriedades acima. Sejam dados $a,b \in \mathbb {R}$ quaisquer. Devemos mostrar que, se $ab=0$, então ao menos um dos números $a$ e $b$ deve ser igual a $0$. Se $a=0$, não temos nada a provar. Suponhamos então que $a \not=0$. Então, pela propriedade A8, existe $a^{-1}$ tal que $a.a^{-1}=1$. Assim, de $ab=0$, multiplicando ambos os membros por $a^{-1}$, obtemos

\[ a^{-1}(ab)=a^{-1}.0 \]

O lado direito, pela propriedade 3 do exercício acima (que supomos já ter sido provada), é igual a $0$. Quanto ao lado direito, usando A5, A8 e A7, temos:

\[ a^{-1}(ab)=(a^{-1}a)b=1.b=b \]

Logo, voltando a juntar os lados direito e esquerdo, temos que $b=0$. $\Box $

Axiomas de Ordem

Em $\mathbb {R}$ está definida uma relação de ordem total, denotada por $\leq $ (que se lê "menor ou igual"), satisfazendo as seguintes propriedades:

Dados quaisquer $a, b, c \in \mathbb {R}$, tem-se
1. $a \leq a$ (reflexiva)
2. Se $a \leq b$ e $b \leq a$, então $a=b$ (anti-simétrica)
3. Se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$ (transitiva)
4. Necessariamente, é $a \leq b$ ou $b \leq a$ (ordem total)
Compatibilidade com a soma

\[ \forall \, \, a,b,c \in \mathbb {R}, a \leq b \Rightarrow a+c \leq b+c \]
Compatibilidade com a multiplicação

\[ \forall \, \, a,b,c \in \mathbb {R}, a \leq b \, \mathrm{e}\, 0 \leq c \Rightarrow ac \leq bc \]

Observação. O conjunto $\mathbb {Q}$ ainda satisfaz os axiomas A10, A11 e A12 ⁹ . Assim, os axiomas A1, ..., A12 continuam sendo insuficientes para caracterizar de modo unívoco o conjunto dos números reais.

Notação. Para facilitar a leitura, é comum adotar o símbolo $\geq $ ("maior ou igual") no sentido oposto ao de $\leq $, i.e.

\[ a \geq b \Leftrightarrow b \leq a \]

Além disso, também utiliza-se o símbolo $\lt $ (resp. $\gt $) para denotar a desigualdade estrita:

\[ a\lt b (\mathrm{resp.}\, a\gt b) \Leftrightarrow a \leq b (\mathrm{resp.}\, a \geq b) \, \mathrm{e}\, a \not= b. \]

Exercícios. Com base nos axiomas A1, ..., A12, prove as seguintes propriedades relativas às desigualdades:

Para todo $a \in \mathbb {R}$, tem-se

\[ a \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq -a \]
Dados quaisquer $a, b \in \mathbb {R}$

\[ a \geq 0 \, \mathrm{e}\, b \geq 0 \Rightarrow ab \geq 0 \]
Dados $a,b,c,d \in \mathbb {R}$, então

\[ a \leq c \, \mathrm{e}\, b \leq d \Rightarrow a+b \leq c+d \]
Dados $a,b,c \in \mathbb {R}$, tem-se

\[ a \leq b \, \mathrm{e}\, c \leq 0 \Rightarrow ac \geq bc \]

Provemos a última dessas propriedades. Suponhamos dados $a,b,c \in \mathbb {R}$ como no enunciado, i.e. satisfazendo as hipóteses

\[ a \leq b \quad \mathrm{e}\ c \leq 0. \]

Pelo item 1 deste exercício (que supomos já ter sido demonstrado), temos que $0 \leq -c$. Usando o axioma A12, obtemos

\[ a(-c) \leq b(-c) \]

ou seja (usando um dos itens do exercício anterior)

\[ -ac \leq -bc \]

Pelo axioma A11, podemos somar a ambos os membros o número $ac+bc$, mantendo a desigualdade, i.e.

\[ -ac+(ac+bc) \leq -bc+(ac+bc) \]

donde, usando oportunamente os axiomas, obtemos $bc \leq ac$, i.e. $ac \geq bc$. $\Box $

Discussão prévia a respeito da necessidade do Axioma de Completude . O conteúdo desta seção é objeto de vasta literatura. Evidentemente, está fora de nossos propósitos tratar este tema com o mesmo grau de profundidade, longe disso. Entretanto, parece válido delinear algumas questões motivadoras do próximo (e último) axioma que introduziremos para poder finalmente caracterizar univocamente os números reais.

Até agora, como observamos acima, os doze axiomas introduzidos não dão conta de diferenciar o conjunto dos números racionais daquele dos números reais. Mais do que isso, porém, há o fato de que um corpo ordenado ¹⁰ não constitui um instrumento adequado às necessidades do cálculo diferencial e integral (ou, de modo mais apropriado, à Análise). O que falta, dito de modo ainda impreciso, é a propriedade da continuidade.

Para apreciar ao menos em parte o significado disso, comecemos por ver a ausência dessa propriedade em $\mathbb {Q}$. Provemos, como exemplo, a seguinte proposição:

Proposição 3.1

Não existe nenhum número racional $q$ tal que $q^{2}=2$.

Demonstração ▼

Para demonstrar isso, seguiremos a "redução ao absurdo": negando a tese, chegamos a uma contradição, o que nos permite concluir que a tese deve ser de fato verdadeira. Tomemos então um número racional $q$ tal que $q^{2}=2$ (note que estamos negando a tese de que tal número não existe). Como $q$ é um número racional, devem existir número inteiros $n, m \in \mathbb {Z}$, primos entre si ¹¹ , tais que

\[ q=\frac{n}{m} \]

Como $q^{2}=2$, tem-se que $n^{2}=2m^{2}$. Como o membro à direita é par, assim deve ser $n^{2}$. Logo, $n$ é par ($\because $ um número inteiro e seu quadrado têm a mesma paridade). Podemos então escrever $n=2k$ para um certo inteiro $k$, obtendo

\[ 2m^{2}=(2k)^{2}=4k^{2} \]

Mas isso significa que $m^{2}=2k^{2}$ é par, e portanto $m$ também é par. Logo, o número $2$ é um divisor comum de $n$ e $m$, contradizendo o fato de que tais números são primos entre si. Resumindo: a hipótese de existência de um número racional $q$ cujo quadrado é igual a $2$ leva a uma contradição. Disso, concluímos que tal racional não existe, provando assim a proposição.

A proposição acima é um exemplo de como os axiomas A1, ..., A12 não dão conta sequer de permitir uma operação algébrica tão simples quanto a extração de raiz quadrada. O Axioma de Completude virá fornecer a resposta adequada a essa questão da continuidade, fazendo com que o conjunto dos números reais "preencha as lacunas deixadas pelos racionais".

Axioma de Completude

Apesar de ser possível enunciar o Axioma de Completude com o que já temos à disposição, nos parece mais efetivo, sob o ponto de vista didático, apresentar alguns conceitos preliminares intimamente ligados a tal axioma.

No que se segue, seja $A \subset \mathbb {R}$ um subconjunto não vazio. Dizemos que $A$ é limitado superiormente , se existe um número real $x$ tal que

\[ a \leq x \qquad \forall \, \, a \in A \]

Caso exista tal número $x$, este é chamado de majorante do conjunto $A$. Note que no caso em que $A$ possua algum majorante, possuirá infinitos majorantes.

De modo similar, dizemos que $A$ é limitado inferiormente se existir algum número real $y$ tal que

\[ y \leq a \qquad \forall \, \, a \in A \]

Tal número $y$, caso exista, é chamado de minorante . Caso $A$ possua algum minorante, possuirá infinitos minorantes.

Exemplo 3.4 (Exemplos)

. Tome os conjuntos $A=\mathbb {N}\subset \mathbb {R}$, $B=\mathbb {Z}\subset \mathbb {R}$, $C=\{ x\in \mathbb {R}\, |\, 1\lt x\leq 3\} $.

O conjunto $A$ possui minorantes (qualquer número não positivo é um minorante de $A$), mas não possui majorantes, i.e. $A$ é um conjunto limitado inferiormente, mas não superiormente.
O conjunto $B$ não possui nem minorantes nem majorantes (não é limitado).
Já o conjunto $C$ é limitado inferiormente e superiormente (qualquer número menor ou igual a 1 é um minorante, qualquer número maior ou igual a 3 é um majorante)

Definição 3.1

Um número $s \in \mathbb {R}$ é chamado de supremo de $A$ se valem as seguintes condições:

$a \leq s \qquad \forall \, \, a \in A$
Se $x$ é um majorante de $A$, então $s \leq x$

Em outras palavras, um modo simples de colocar a definição acima é: o supremo de um conjunto $A$ é o menor dos majorantes de $A$.

De modo totalmente similar, definimos o conceito de ínfimo.

Definição 3.2

Um número $r \in \mathbb {R}$ é chamado de ínfimo de $A$ se valem as seguintes condições:

$r \leq a \qquad \forall \, \, a \in A$
Se $y$ é um minorante de $A$, então $y \leq r$

Em outras palavras, o ínfimo de um conjunto $A$ é o maior dos minorantes de $A$.

É possível provar (faça-o como exercício) que tanto o supremo quanto o ínfimo de um conjunto, casos existam, são únicos. Isso justifica adotar uma notação para cada um deles: $\sup A$ para o supremo de $A$ e $\inf A$ para o ínfimo de $A$.

Nos exemplos acima, temos: $\inf A=0$, $\inf C=1$ e $\sup C=3$ (note que $A$ não possui supremo e $B$ não possui nem ínfimo nem supremo). Assim, há casos em que o supremo (ou o ínfimo) pode não existir. O Axioma de Completude diz que isso só poderá ocorrer com conjuntos ilimitados.

Axioma de Completude:

Todo subconjunto de $\mathbb {R}$, não vazio e limitado superiormente, possui supremo.

Apesar de não fazer menção ao ínfimo, o Axioma de Completude é equivalente à seguinte propriedade:

Todo subconjunto de $\mathbb {R}$, não vazio e limitado inferiormente, possui ínfimo.

Exercício. Prove a propriedade A13’. [Sugestão: dado um conjunto $A$ limitado inferiormente, considere o conjunto $B=\{ -a\, |\, a \in A\} $ e mostre que: i) $B$ é limitado superiormente; ii) $\inf A=-\sup B$]

Pela apresentação que demos ao Axioma de Completude, ficou claro que tal axioma não seria satisfeito pelo conjunto $\mathbb {Q}$. Mostremos que de fato isso ocorre. Considere o seguinte conjunto:

\[ A=\{ q \in \mathbb {Q}_{+} \, |\, q^{2}\lt 2\} \]

Note que $A \not= \varnothing $ (por exemplo, $0 \in A$) e é um conjunto limitado superiormente (por exemplo, $3$ é um majorante de $A$). Se o axioma A13 fosse válido em $\mathbb {Q}$, deveria existir $p \in \mathbb {Q}$ tal que $p=\sup A$. Se provarmos que para tal $p$, deve valer $p^{2}=2$, poderemos concluir que $p$ não pode ser racional (em função da Proposição 3.1). Consequentemente, teremos concluído que não existe o supremo de $A$ em $\mathbb {Q}$.

Mostraremos, na verdade, uma propriedade mais geral, da qual poderemos concluir a afirmação acima. Referimo-nos à existência da raiz quadrada de um número real positivo:

Proposição 3.2

Seja $b \in \mathbb {R}$ um número positivo. Então existe um único número real positivo $a$ tal que $a^{2}=b$. O número $a$ é chamado de raiz quadrada de $b$ e é denotado por $\sqrt{b}$.

Demonstração ▼

Considere o conjunto

\[ A=\{ x \in \mathbb {R}_{+} \, |\, x^{2}\lt b\} \]

O conjunto $A$ é não vazio, uma vez que $0 \in A$. Além disso, tomando $y \in \mathbb {R}$ tal que $y\gt 1$ e $y\gt b$, resulta $y^{2}\gt y\gt b$, logo $A$ possui majorantes. Pelo Axioma de Completude, existe $a=\sup A$. É evidente que $a\gt 0$. Queremos mostrar que $a^{2}=b$. A ideia, para tanto, é mostrar que não pode ocorrer nem $a^{2}\lt b$, nem $a^{2}\gt b$, só restando a possibilidade que nos interessa. Para descartar cada uma dessas duas desigualdades, verificaremos que: (i) supor que $a^{2}\lt b$ contradiz o fato de $a$ ser um majorante (condição S1 do supremo); (ii) supor que $a^{2}\gt b$ contradiz o fato de $a$ ser o menor dos majorantes (condição S2 do supremo). Pois bem, se fosse $a^{2}\lt b$, poderíamos tomar um número natural $n\gt 1$ tal que

\[ n\gt \frac{2a+1}{b-a^{2}} \]

donde obtemos

\[ \frac{2a+1}{n}\lt b-a^{2} \]

Assim, tomando o número $c=a+1/n$, seguiria:

\[ c^{2}=(a+\frac{1}{n})^{2}=a^{2}+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^{2}}\lt \]

\[ \lt a^{2}+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n}=a^{2}+\frac{2a+1}{n}\lt a^{2}+b-a^{2}=b \]

Isso significa que $c \in A$ e $a\lt c$, contrariando a condição S1 do supremo. Portanto, está descartada a possibilidade de ser $a^{2}\lt b$. Suponhamos agora que valha $a^{2}\gt b$. De modo semelhante ao que foi feito acima, poderíamos tomar $c=a-1/n$, onde $n$ é um inteiro tal que

\[ n\gt \frac{2a}{a^{2}-b} \]

Da desigualdade acima, segue que

\[ \frac{2an-1}{n^{2}} \lt \frac{2an}{n^{2}} = \frac{2a}{n} \lt a^{2}-b \]

donde obtemos

\[ c^{2}=(a-\frac{1}{n})^{2}=a^{2}-\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^{2}}=a^{2}+\frac{1-2an}{n^{2}}\gt a^{2}+b-a^{2}=b \]

Desse modo, $c$ seria um majorante de $A$ com $c\lt a$, contrariando a condição S2 do supremo. Descartamos, assim, também a possibilidade de ser $a^{2}\gt b$, podendo concluir, portanto, que $a^{2}=b$. Por fim, para provarmos a unicidade da raiz quadrada, basta observar que se um número positivo $m \in \mathbb {R}$ é tal que $m^{2}=b$, então $m$ tem que ser o supremo de $A$ (prove por exercício). Pela unicidade do supremo, deve ser $m=a$.

Voltando à questão formulada antes da Proposição 3.2, é imediato agora verificar que se $p \in \mathbb {Q}$ é tal que $p=\sup A$, então $p^{2}=2$. Logo, pelo que já foi dito anteriormente, concluímos que o conjunto dos racionais não satisfaz o Axioma de Completude.

O fato de $\mathbb {R}$ satisfazer os axiomas A1, ..., A13 é expresso dizendo que $\mathbb {R}$ é um corpo ordenado completo. Acabamos de ver que $\mathbb {Q}$, apesar de ser um corpo ordenado, não é completo. Dessa forma, podemos agora dizer que os axiomas A1, ..., A13 caracterizam o conjunto dos números reais ¹² .

3.3.2 Potenciação de números reais

Na Seção 3.1.2, tratamos da operação de potenciação com base racional positiva e expoente inteiro. Queremos agora estender tal operação para os casos em que a base é um número real positivo e o expoente é um número real. No que se segue, seja $a$ um número real positivo fixado.

Se $m \in \mathbb {Z}$, então a potência $a^{m}$ é definida em termos da operação de multiplicação:

Se $m\gt 0$, $a^{m}=a. \cdots .a$ ($m$ vezes)
Se $m\lt 0$, $a^{m}=\frac{1}{a^{-m}}$
Por fim, $a^{0}=1$

Para definir a potência com expoente racional, definamos antes a operação $a^{\frac{1}{n}}$ quando $n \in \mathbb {N}^{*}$. Isto é feito dizendo que $a^{\frac{1}{n}}$ é o número real positivo cuja $n$-ésima potência é igual ao número $a$, i.e.

\[ b=a^{\frac{1}{n}} \Leftrightarrow b\gt 0 \, \mathrm{e}\, b^{n}=a \]

A definição acima parece boa, mas esconde uma questão: fixados $a$ e $n$, será que existe tal número real $b$? A resposta a essa questão é similar ao caso da existência da raiz quadrada de um número real positivo. De fato, tal número $b$ existe e é definido por

\[ b=\sup \{ x \in \mathbb {R}_{+} \, |\, x^{n} \leq a\} \]

De modo análogo ao que foi feito no caso da raiz quadrada de um número real positivo, pode-se provar que tal número real satisfaz as condições desejadas (i.e. $b\gt 0$ e $b^{n}=a$).

Observação. A potência $a^{\frac{1}{n}}$ também é denotada por $\sqrt[n]{a}$ e chamada de raiz $n$-ésima de $a$.

Se $q \in \mathbb {Q}$, podemos escrever

\[ q=\frac{m}{n} \]

com $m \in \mathbb {Z}$ e $n \in \mathbb {N}^{*}$. Definimos, então

\[ a^{q}:=(a^{\frac{1}{n}})^{m} \]

Note que cada uma das operações acima (primeiro a potência por $1/n$, seguida pela potência por $m$) já foram definidas anteriormente. O problema que poderia aparecer aqui tem a ver com a falta de unicidade da representação do número racional $q$ como sendo uma razão de números inteiros. De fato, a fração $m/n$ é somente uma das infinitas representações possíveis de $q$. Como garantir que, se tomarmos qualquer outra, o resultado da operação de potência não se altera? Felizmente, é possível provar que a potência $a^{q}$ acima definida é, de fato, independente da particular razão $m/n$ que tomarmos para representar o número racional $q$ (tal prova será, porém, omitida).

Finalmente, seja $x \in \mathbb {R}$.

Se $a \geq 1$, então

\[ a^{x}:=\sup \{ a^{q} \, |\, q\in \mathbb {Q}\, \mathrm{e}\, q \leq x\} \]
Se $0\lt a\lt 1$, então

\[ a^{x}:=\inf \{ a^{q} \, |\, q\in \mathbb {Q}\, \mathrm{e}\, q \leq x\} \]

Com as definições acima, estendemos a operação de potência ao conjunto dos números reais. Tal operação, além disso, continua satisfazendo as propriedades já vistas na Seção 3.1.2, que aqui reproduzimos. Dados quaisquer $a, b, x, y \in \mathbb {R}$, com $a,b \gt 0$, tem-se:

$a^{x+y}=a^{x}a^{y}$
$(a^{x})^{y}=a^{xy}$
$(a\, b)^{x}=a^{x}b^{x}$
$a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}$
$\left( \frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$

A demonstração de tais propriedades foge aos escopos deste texto e será portanto omitida.

3.3.3 Representações dos números reais

Como dissemos anteriormente, a estrutura do conjunto dos números reais é independente da forma que usamos para representar tais números. Entretanto, ao lidar com eles, sempre lançamos mão de alguma representação. Nesta e na próxima seções, voltaremos nossa atenção para duas dessas representações, a representação decimal e a reta real.

Antes, porém, de tratar cada uma delas em sua especificidade, vale a pena gastar algumas palavras sobre o que queremos dizer quando falamos em "representação" dos números reais. Na seção anterior, definimos $\mathbb {R}$ como um conjunto dotado de duas operações ("$+$" e "$.$")) e uma relação de ordem total ("$\leq $"), satisfazendo os treze axiomas A1, ..., A13. Assim, uma representação de $\mathbb {R}$ deve conter todos esses elementos: um conjunto, uma operação $+$, uma operação "." e uma relação de ordem total $\leq $, evidentemente de modo a satisfazer os axiomas.

Na discussão que se segue sobre a representação decimal e a reta real não descreveremos todos esses elementos em detalhes, pois optamos por dar destaque aos aspectos que nos parecem mais importantes no contexto deste curso. Mas, de um modo ou de outro, faremos menção a todos esses elementos da representação.

Representação decimal dos números reais

É comum dizer-se que os números reais são os números que podem ser escritos em forma decimal. Mas o que significa isso, realmente? Quando trabalhamos com números inteiros, usamos a notação posicional em base 10, o que significa que cada posição corresponde a uma dada potência de 10: a unidade é a potência $10^{0}$, a dezena é a potência $10^{1}$, a centena é $10^{2}$ e assim por diante. Por exemplo,

\[ 14302=1.10^{4}+4.10^{3}+3.10^{2}+0.10^{1}+2.10^{0} \]

Já para representar números não inteiros, precisamos lançar mão das "casas decimais", i.e. de algarismos à direita da vírgula. Mas aqui também a notação posicional se relaciona com as potências de 10, com a única diferença de que as casas à direita da vírgula referem-se a potência negativas de 10. Por exemplo,

\[ 23,496=2.10^{1}+3.10^{0}+4.10^{-1}+9.10^{-2}+6.10^{-3} \]

Enquanto lidamos com números que possuem um número finito de casas decimais (não nulas), a expressão acima não causa nenhuma estranheza. Entretanto, para interpretarmos uma representação decimal com um número infinito de casas decimais não nulas, nos deparamos com um soma infinita de (múltiplos) de potências de 10. Qual o significado de tal soma?

Para uma resposta adequada, precisaremos do conceito de série numérica, o que só será visto na seção dedicada às Sequências. Mas podemos desde já tentar dar uma interpretação aceitável por ora. Tomemos o número

\[ r=1,2385757204765736885692.... \]

(na verdade, as reticências fazem com que não saibamos exatamente de que número se trata, mas isso não importa para nosso exemplo). Vamos interpretar a soma infinita representada pela representação decimal seguindo um método de aproximação. Comecemos tomando $x=1$. Então $x$ é um número próximo de $r$ e a diferença ¹³ entre eles é

\[ r-x=0,2385757204765736885692... \]

Em seguida, tomemos $x=1,2$. A diferença desse novo valor de $x$ para $r$ caiu para

\[ 0,0385757204765736885692... \]

Continuamos tomando agora $x=1,23$, vendo a diferença novamente cair para

\[ 0,0085757204765736885692... \]

E assim por diante, vamos tomando para $x$ valores "truncados" de $r$:

\[ 1,238\quad 1,2385\quad 1,23857\quad 1,238575... \]

Nenhum desses valores de $x$ coincide efetivamente com $r$ (a menos que $r$ possua um número finito de casas decimais não nulas). Mas se observarmos a diferença entre esses valores e o número original $r$, veremos que essa diferença vai se aproximando de zero. Em outras palavras, podemos aproximar o valor real de $r$ com o erro que quisermos, i.e. um erro tão pequeno quanto desejarmos.

Nesse sentido, pode-se ler a representação decimal como um "processo de aproximação" de número real $r$. Como veremos no momento oportuno, essa interpretação não está longe daquela formalmente mais correta.

Outra dificuldade que se encontra quando lidamos com representação decimal de um número real está relacionada com a seguinte questão: os números

\[ 1 \qquad \mathrm{e} \qquad 0,999999999999.... \]

são diferentes?

Por um lado, não há dúvidas quanto ao fato de que as representações decimais acima são diferentes. Mas isso pode levar o leitor incauto a afirmar que os números que tais expressões representam também são diferentes. Será que são mesmo? Usando mais uma vez uma linguagem informal (deixando a resposta formal para quando tratarmos das séries numéricas), podemos comparar o número $1$ com os números

\[ 0,9\quad 0,99\quad 0,999\quad 0,9999\quad \dots \]

Esses últimos, no sentido que vimos acima, representam aproximações cada vez melhores do número $0,999....$. Assim, se observarmos as diferenças entre $1$ e esses valores truncados de $0,999...$, podemos chegar à resposta correta da questão acima. Pois bem, tais diferenças são

\[ 0,1\quad 0,01\quad 0,001\quad 0,0001\quad \dots \]

Conforme nos aproximamos do valor real de $0,999...$, a diferença com o número $1$ vai se aproximando de zero. Assim, somos obrigados a concluir que tais representações decimais, apesar de diferentes, referem-se, na verdade, ao mesmo número real (i.e. o número $1$) ¹⁴ .

Representação geométrica de $\mathbb {R}$: a reta real

A representação geométrica de $\mathbb {R}$ consiste na identificação da reta geométrica com o conjunto dos números reais. Em uma reta $r$ tomemos dois pontos distintos $O$ e $A$ (o segmento $OA$ será usado como unidade de medida). Por simplicidade, diremos que um ponto $P$ da reta $r$ (distinto de $O$) está à direita de $O$, se $P$ e $A$ estão do mesmo lado relativamente ao ponto $O$. Caso contrário, diremos que $P$ está à esquerda de $O$.

O ponto $O$ é identificado ao número real $0$. Um ponto $P$ à direita de $O$ é identificado com o número real positivo $x$ tal que

\[ x=\frac{\bar{OP}}{\bar{OA}} \]

Um ponto $P$ à esquerda de $O$ é identificado com o número real negativo $x$ tal que

\[ x=-\frac{\bar{OP}}{\bar{OA}} \]

Desse modo, todo ponto da reta geométrica $r$ está associado a um único número real e vice-versa (omitiremos aqui a demonstração dessa afirmação). Essa identificação, porém, não esgota a representação de $\mathbb {R}$. Como já observamos acima, é necessário definir operações de soma e multiplicação na reta geométrica $r$, assim como uma relação de ordem total, de modo a satisfazer os axiomas dos números reais. A relação de ordem é bastante natural (está, na verdade, embutida nas expressões "à direita de $O$" e "à esquerda de $O$"), assim como a operação de soma (que se traduz, essencialmente, em somar comprimentos de segmentos). Não nos parece necessário entrar em maiores detalhes nesses casos. Já a operação de multiplicação não é tão natural como os demais elementos da representação. Como efetuar a multiplicação na reta geométrica?

A operação de multiplicação é baseada no clássico Teorema de Tales. Sejam dados dois números reais $x$ e $y$ (podemos supor que sejam ambos positivos, é fácil adaptar a construção abaixo aos outros casos). Na reta $r$, marque o ponto $X$, correspondente ao número real $x$. Para auxiliar a construção, tome uma reta $s$ que intercepte a reta $r$ no ponto $O$. Nesta reta, marque o ponto $A$, correspondente à mesma "unidade de medida" usada para a reta $r$, e marque também o ponto $Y$, correspondente ao número real $y$. Trace pelo ponto $Y$ a reta paralela ao segmento $AX$ e obtenha o ponto $P$ de intersecção dessa reta com a reta $r$. O Teorema de Tales garante que o ponto $P$ corresponde ao número real $xy$. A figura abaixo ilustra essa construção.

Ilustração: Representações dos números reais

3.3.4 Valor absoluto de um número real

É comum identificar o módulo de um número real como sendo um "número sem sinal". Essa caracterização, além de ser imprecisa, é também pouco útil em problemas que envolvem direta ou indiretamente o conceito de módulo. De modo mais apropriado, temos a seguinte definição:

Definição 3.3

O valor absoluto de um número real $x$, também chamado de módulo de $x$, é denotado por $|x|$ e dado por

\[ |x|:=\left\{ \begin{array}{lcc} x & \mathrm{se} & x \geq 0 \\ -x & \mathrm{se} & x\lt 0 \end{array} \right. \]

Uma primeira leitura da definição acima corrobora a interpretação ingênua do módulo como sendo um "número sem sinal". Afinal, tem-se, por exemplo: $|2|=2$ e $|-2|=-(-2)=2$. Enquanto lidamos com quantidades conhecidas, como no exemplo anterior, não há problema nenhum em adotar essa visão ingênua. Mas quando há quantidades incógnitas ou variáveis envolvidas, essa concepção é insuficiente e pode até levar a cometer deslizes do tipo "o módulo de $x$ e $-x$ é sempre $x$".

Uma leitura mais adequada da definição acima leva a ter em mente que ela abre, em geral, dois casos a serem analisados, dependendo do sinal da quantidade encerrada dentro do módulo. Vejamos como se dá essa leitura através de alguns exemplos.

Problema: Determine os números reais que satisfazem a igualdade abaixo

\[ |x+1|=3 \]

Solução

Note que não se pode determinar a priori se o número $x+1$ é ou não negativo. Isso significa que devemos considerar ambas as possibilidades. Seguindo a definição acima, consideremos, separadamente, os casos: (i) $x+1 \geq 0$; (ii) $x+1 \lt 0$.

Caso (i): suponha $x+1 \geq 0$. Então $|x+1|=x+1$. Logo, a equação que queremos estudar se torna

\[ x+1=3 \]

Note, porém, que agora buscamos uma solução para essa equação somente dentre os números reais que satisfazem a condição $x+1 \geq 0$. E encontramos a solução $x=2$.

Caso (ii): suponha agora $x+1 \lt 0$. Nesse caso, tem-se $|x+1|=-(x+1)=-x-1$. Assim, a equação original torna-se

\[ -x-1=3 \]

A solução para essa equação (procurada no conjunto dos números reais que satisfazem a condição $x+1\lt 0$) é $x=-4$.

Dos dois casos analisados, obtemos o conjunto-solução $S=\{ -4, 2\} $.

Problema: Determine os números reais que satisfazem a desigualdade

\[ |x+2| \leq 2x+3 \]

Solução

Mais uma vez, seguindo a definição de valor absoluto, consideraremos dois casos, dependendo do sinal de $x+2$.

Caso (i): suponha $x+2 \geq 0$. Tem-se, então, $|x+2|=x+2$ e a desigualdade assume a forma

\[ x+2 \leq 2x+3 \]

As soluções que nos interessam, portanto, devem satisfazer tanto a condição $x+2 \geq 0$ quanto a desigualdade $x+2 \leq 2x+3$. Encontramos o conjunto-solução $\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \geq -1\} $.

Caso (ii): suponha agora $x+2 \lt 0$. Então $|x+2|=-x-2$ e a desigualdade passa a ser

\[ -x-2 \leq 2x+3 \]

Para que um número $x$ satisfaça essa última desigualdade, deveria valer $x \geq -5/3$. Entretanto, para tal $x$ não valeria a condição $x+2\lt 0$. Logo, esse segundo caso não possui solução.

Com base nas duas análises acima, obtemos o conjunto-solução para o problema inicial: $S=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \geq -1\} $.

Observação. É importante destacar um cuidado que tivemos ao resolver os problemas acima e que talvez passe despercebido. Pela natureza da definição de valor absoluto, tivemos que estudar a equação (no primeiro problema) e a desigualdade (no segundo) em dois casos separados. Ao fazer isso - e aqui está o cuidado ao qual nos referimos - devemos perceber que, em cada um dos casos analisados, estamos restringindo o universo no qual se busca a solução do problema. Esse cuidado se fez sentir, particularmente, no segundo problema, quando, ao analisar o caso em que $x+2\lt 0$ (segundo caso), fomos obrigados a descartar as soluções da desigualdade $-x-2 \leq 2x+3$, pois estas se encontravam fora do universo considerado naquele caso.

Propriedades
(No que se segue, $x$ e $y$ são números reais quaisquer)

$|x| \geq 0$
$|x| = \sqrt{x^{2}}$
$|x|=0 \Leftrightarrow x=0$
$|-x|=|x|$
$-|x| \leq x \leq |x|$
$|xy|=|x|\, |y|$
$|x+y| \leq |x| + |y|$ (Desigualdade Triangular)
$\left| |x|-|y| \right| \leq |x-y|$
Se $c\gt 0$, então:

\[ |x| \leq c \Leftrightarrow -c \leq x \leq c \]
Se $c\gt 0$, então:

\[ |x| \geq c \Leftrightarrow x \leq -c \, \, \mathrm{ou}\, \, x \geq c \]

Exercício 3.19

Demonstre as seguintes propriedades do módulo;
$\left\lvert -x\right\rvert =\left\lvert x\right\rvert $
$\left\lvert x-y\right\rvert =\left\lvert y-x\right\rvert $
Se $c\geq 0$, então $\left\lvert x\right\rvert =c \Leftrightarrow x=\pm c$
$\left\lvert x\cdot y\right\rvert =\left\lvert x\right\rvert \left\lvert y\right\rvert $
$\left\lvert x^2\right\rvert =x^2$
Se $c\geq 0$ então $\left\lvert x\right\rvert \lt c \Leftrightarrow -c\lt x\lt c$
$-\left\lvert x\right\rvert \leq x \leq \left\lvert x\right\rvert $
$|x+y| \leq |x| + |y|$ (Desigualdade Triangular)
$\left| |x|-|y| \right| \leq |x-y|$

Ver solução

a Se $x\geq 0$, $-x\leq 0$ e $\left\lvert -x\right\rvert =x=\left\lvert x\right\rvert $ (se $x=0$ ambos são $0$); se $x\lt 0$, $-x\gt 0$ e $\left\lvert -x\right\rvert =-x=\left\lvert x\right\rvert $. b $\left\lvert x-y\right\rvert =\left\lvert -(y-x)\right\rvert =\left\lvert y-x\right\rvert $, pelo item anterior. c Se $x\geq 0$, $\left\lvert x\right\rvert =x$ e $x=c$; se $x\lt 0$, $\left\lvert x\right\rvert =-x$ e $-x=c$, isto é, $x=-c$. Reciprocamente, se $x=\pm c$ com $c\geq 0$, então $\left\lvert x\right\rvert =\left\lvert c\right\rvert =c$. d Dividindo em casos pelo sinal de $x$ e $y$: se $x,y\geq 0$, $xy\geq 0$ e $\left\lvert xy\right\rvert =xy=\left\lvert x\right\rvert \left\lvert y\right\rvert $; se $x\geq 0\gt y$, $xy\leq 0$ e $\left\lvert xy\right\rvert =-xy=x(-y)=\left\lvert x\right\rvert \left\lvert y\right\rvert $; os outros casos são análogos. e $x^2\geq 0$ (produto de números de mesmo sinal), logo $\left\lvert x^2\right\rvert =x^2$. f Se $x\geq 0$: $\left\lvert x\right\rvert \lt c\Leftrightarrow x\lt c$, e neste caso $c\gt 0\gt -c$ implica $-c\lt x$; logo $\left\lvert x\right\rvert \lt c\Leftrightarrow -c\lt x\lt c$. Se $x\lt 0$: $\left\lvert x\right\rvert =-x\lt c\Leftrightarrow -c\lt x$, e nesse caso $x\lt 0\lt c$ vale automaticamente ($c\gt -x\gt 0$). g Se $x\geq 0$: $-\left\lvert x\right\rvert \leq 0\leq x=\left\lvert x\right\rvert $. Se $x\lt 0$: $\left\lvert x\right\rvert =-x$, logo $-\left\lvert x\right\rvert =x\leq 0\leq \left\lvert x\right\rvert $. h Somando $-\left\lvert x\right\rvert \leq x\leq \left\lvert x\right\rvert $ e $-\left\lvert y\right\rvert \leq y\leq \left\lvert y\right\rvert $ obtemos $-(\left\lvert x\right\rvert +\left\lvert y\right\rvert )\leq x+y\leq \left\lvert x\right\rvert +\left\lvert y\right\rvert $. Como $\left\lvert x+y\right\rvert $ é $x+y$ ou $-(x+y)$, ele é menor ou igual a $\left\lvert x\right\rvert +\left\lvert y\right\rvert $. i Pela desigualdade triangular, $\left\lvert x\right\rvert =\left\lvert (x-y)+y\right\rvert \leq \left\lvert x-y\right\rvert +\left\lvert y\right\rvert $, logo $\left\lvert x\right\rvert -\left\lvert y\right\rvert \leq \left\lvert x-y\right\rvert $. Trocando os papéis de $x$ e $y$ (e usando o item b), $\left\lvert y\right\rvert -\left\lvert x\right\rvert \leq \left\lvert x-y\right\rvert $. Como $\left|\, \left\lvert x\right\rvert -\left\lvert y\right\rvert \, \right|$ é um desses dois números, $\left|\, \left\lvert x\right\rvert -\left\lvert y\right\rvert \, \right|\leq \left\lvert x-y\right\rvert $.

Exercício 3.20

Discuta se vale ou não a seguinte desigualdade (para um número real arbitrário $x$):

\[ -x \leq |x| \leq x \]

Ver solução

Não vale em geral. A desigualdade $-x\leq \left\lvert x\right\rvert $ vale sempre (equivale a $-\left\lvert x\right\rvert \leq x$), mas $\left\lvert x\right\rvert \leq x$ só vale para $x\geq 0$: por exemplo, para $x=-1$, $\left\lvert x\right\rvert =1\not\leq -1$. A desigualdade correta, válida para todo $x$, é $-\left\lvert x\right\rvert \leq x\leq \left\lvert x\right\rvert $. A cadeia do enunciado vale exatamente para $x\geq 0$.

3.3.5 Introdução à Topologia da reta

O objetivo desta seção é o de introduzir uma linguagem e uma notação que serão úteis, mais adiante, no estudo das funções reais de uma variável real. Em boa parte, trata-se de linguagem e notação conhecidas, como é o caso dos intervalos abertos e fechados. A expressão "topologia da reta", de certo modo, refere-se a propriedades dos números reais (ou das funções reais) que se expressam nessa linguagem ¹⁵ .

São dois os conceitos que estão na base do que se entende por topologia da reta: distância e intervalo (na verdade, eles estão interrelacionados, mas explorar essa interrelação foge ao nosso escopo). Na representação geométrica dos números reais como a reta real, ambos os conceitos estão relacionados com aquele de segmento.

A distância entre dois números reais $x$ e $y$ é dada por

\[ d(x,y):= |x-y| \]

Note que, vista na reta real, a noção de distância corresponde ao comprimento do segmento de reta cujos extremos são os pontos com abscissas $x$ e $y$.

Dados dois números reais $a\lt b$, um intervalo de extremos $a$ e $b$ é um dos subconjuntos abaixo:

$(a,b)=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, a \lt x \lt b\} $ (intervalo aberto)
$[a,b]=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, a \leq x \leq b\} $ (intervalo fechado)
$[a,b)=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, a \leq x \lt b\} $
$(a,b]=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, a \lt x \leq b\} $

A medida de um intervalo de extremos $a$ e $b$ é a distância entre esses extremos, i.e. $|a-b|$. Note que um intervalo de extremos $a$ e $b$ corresponde, na reta real, ao segmento cujos extremos têm abscissas $a$ e $b$. A medida desse intervalo é a medida (comprimento) do segmento correspondente.

Sobre notação. Em alguns textos, a notação para intervalos abertos (ou semi-abertos) usa o colchete invertido. Por exemplo, $]a,b[$ denota o que, aqui, denotamos por $(a,b)$. Não adotaremos essa notação do colchete invertido, mas somente aquela do parênteses, explicitada acima.

Quando falamos em intervalos, uma notação particularmente útil é aquela de intervalo centrado em um dado número real. Dado qualquer $a \in \mathbb {R}$ e dado $r\gt 0$, o intervalo centrado em $a$ com raio $r$ é o intervalo

\[ (a-r,a+r) \]

Nesse caso, dizemos que $a$ é o centro desse intervalo. Observe que vale a seguinte propriedade (prove-a por exercício):

\[ x \in (a-r,a+r) \Leftrightarrow |x-a|\lt r \]

Isso significa, em particular, que os números desse intervalo são aqueles que distam de $a$ menos do que $r$. Dito de outra forma, um intervalo do tipo $(a-r,a+r)$ pode ser interpretado como o conjunto dos números que "aproximam" o número $a$, com um "erro" menor do que $r$.

Uma notação semelhante àquela de intervalo é usada para denotar semi-retas, lançando mão também dos símbolos $+\infty $ e $-\infty $. Assim, dado $a \in \mathbb {R}$, tem-se

$(a,+\infty ):=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \gt a\} $
$[a,+\infty ):=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \geq a\} $
$(-\infty , a):=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \lt a\} $
$(-\infty , a]:=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \leq a\} $

Note que não faz sentido usar o colchete no extremo infinito, uma vez que nem $-\infty $ nem $+\infty $ são números reais. Por simplicidade, às vezes usaremos o termo "intervalo" também para semi-retas como as acima.

De modo semelhante ao feito para intervalos, podemos falar em conjunto aberto e conjunto fechado. Seja $A \subset \mathbb {R}$ um subconjunto qualquer de números reais. Dizemos que $A$ é aberto se vale a seguinte propriedade: todo ponto $x \in A$ é centro de um intervalo contido em $A$. Dito de modo menos preciso (mas talvez mais significativo): para todo número pertencente ao conjunto $A$, variações suficientemente pequenas dele continuam dentro do conjunto $A$. Com linguagem formal, temos:

$A$ é aberto $\Leftrightarrow $ para todo $x \in A$ existe $r\gt 0$ tal que $(x-r,x+r) \subset A$

Por outro lado, um conjunto $B \subset \mathbb {R}$ é fechado se o seu complementar (relativamente ao conjunto $\mathbb {R}$) é aberto, i.e.

$B$ é fechado $\Leftrightarrow $ $\mathbb {R}\backslash B$ é aberto

Exemplo 3.5 (Exemplos)

Qualquer intervalo aberto $(a,b)$ é um conjunto aberto. De fato, dado qualquer $x \in (a,b)$, tomando $r$ como sendo a menor das distâncias $|x-a|$ e $|x-b|$, resulta que $(x-r,x+r) \subset (a,b)$.
Qualquer intervalo do tipo $(-\infty , a)$ ou $(a, +\infty )$ é aberto. De fato, dado qualquer $x$ em uma dessas semi-retas, tomando $r=|x-a|$, resulta que $(x-r,x+r)$ está contido na semi-reta considerada.
A união de conjuntos abertos é um conjunto aberto. [Prove por exercício]
Qualquer intervalo fechado $[a,b]$ é um conjunto fechado. De fato, seu complementar é $(-\infty ,a) \cup (b,+\infty )$, que é aberto (pois é união de dois conjuntos abertos).
Qualquer intervalo do tipo $(-\infty , a]$ ou $[a, +\infty )$ é fechado, pois seus complementares são semi-retas abertas.
O conjunto $\mathbb {R}$ é aberto.
Um intervalo do tipo $[a,b)$ não é nem aberto, nem fechado. De fato, nenhum intervalo centrado em $a$ está contido em $[a,b)$ (descartando que este seja aberto) e nenhum intervalo centrado em $b$ está contido no complementar de $[a,b)$ (descartando que $[a,b)$ seja fechado).
De modo análogo, um intervalo do tipo $(a,b]$ não é nem aberto, nem fechado.

Os dois últimos exemplos mostram que os conceitos de "aberto" e "fechado" não são conceitos opostos. Isto é, se um dos atributos não vale para um dado conjunto, não se pode concluir que o outro atributo deve ser válido para esse conjunto.

Observação. Sob o ponto de vista formal, convém atribuir ao conjunto vazio a propriedade de ser um conjunto aberto (na verdade, o conjunto vazio satisfaz a condição de ser aberto, acima definida, por vacuidade). Isso significa, também, que o seu complementar é fechado. Mas o complementar de $\varnothing $ é $\mathbb {R}$. Logo, $\mathbb {R}$ é aberto e também fechado. E sendo $\mathbb {R}$ aberto, temos que seu complementar é fechado, i.e. o conjunto vazio $\varnothing $ também é aberto e fechado. Esses são os únicos conjuntos simultaneamente abertos e fechados.

3.3.6 O Plano Cartesiano

Um modelo que será muito útil no estudo de funções reais de uma variável real é o plano cartesiano $\mathbb {R}^{2}$, que nada mais é do que uma representação geométrica do produto cartesiano $\mathbb {R}\times \mathbb {R}$. O plano cartesiano é constituído por duas retas reais que se encontram perpendicularmente na origem (que é, portanto, comum a ambas as retas). Para identificar o plano geométrico com o produto cartesiano $\mathbb {R}\times \mathbb {R}$, procedemos como segue (acompanhe o procedimento na figura abaixo):

Tome um ponto $P$ qualquer do plano.
Construa a reta $r'$ paralela a $r$, passando por $P$.
Construa a reta $s'$ paralela a $s$, passando por $P$.
Chame de $X$ o ponto de intersecção de $s'$ com $r$.
Chame de $Y$ o ponto de intersecção de $r'$ com $s$.
Sejam $x, y \in \mathbb {R}$ os números reais associados, respectivamente, aos pontos $X$ e $Y$.
Identifique o ponto $P$ com o par ordenado $(x,y)$.

Tendo em mente o procedimento acima, o número $x$ é chamado de abscissa do ponto $P$ e o número $y$ é chamado de ordenada do ponto $P$. Ambos são chamados de coordenadas de $P$. A reta $r$ é chamada de eixo das abscissas (ou mais popularmente "eixo $x$") e a reta $s$ de eixo das ordenadas (ou popularmente "eixo $y$"). Esses eixos são chamados também de eixos coordenados.

Os dois eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. A menos de pontos pertencentes aos eixos, temos:

Primeiro quadrante: pontos com ambas as coordenadas positivas
Segundo quadrante: pontos com abscissa negativa e ordenada positiva
Terceiro quadrante: pontos com ambas as coordenadas negativas
Quarto quadrante: pontos com abscissa positiva e ordenada negativa

Exercício 3.21

Considere os seguintes conjuntos. Diga quais são limitados superiormente e quais são limitados inferiormente. E se existir encontre o supremo e o ínfimo desses conjuntos:

$A=\{ 1,2,4,8,\dots \} $

$B=\{ 1+\frac{1}{n}:n\in \mathbb {N}^{*}\} $

$C=\{ 1-n!:n\in \mathbb {N}\} $

$D=\{ x\in \mathbb {Q}:1\leq x\} $

$E=\{ x\in \mathbb {Q}:1\leq x\lt 2\} $

$F=\{ x\in \mathbb {Q}:x^{2}\lt 3\} $

$G=\{ \frac{n}{1+n} : n\in \mathbb {N} \} $

$H=\{ \frac{n+2}{n+1} : n\in \mathbb {N} \} $

$I=\{ \frac{1}{n+1} : n\in \mathbb {N} \} $

$J=\{ 2^n: n\in \mathbb {N} \} $

Ver solução

a Limitado inferiormente, mas não superiormente: $\inf A=1$ (é o menor elemento). Não tem supremo. b Limitado: $\sup B=2$ (máximo, para $n=1$) e $\inf B=1$ (não é atingido, pois $1+\frac1n\gt 1$, mas $1+\frac1n$ chega tão perto de $1$ quanto se queira). c Limitado superiormente, mas não inferiormente: $\sup C=0$ (máximo, atingido para $n=0$ e $n=1$). Não tem ínfimo. d Limitado inferiormente, mas não superiormente: $\inf D=1$ (mínimo). Não tem supremo. e Limitado: $\inf E=1$ (mínimo) e $\sup E=2$ (não pertence a $E$). f Limitado: $\inf F=-\sqrt3$ e $\sup F=\sqrt3$ (como subconjunto de $\mathbb {R}$; nenhum dos dois pertence a $F$, nem a $\mathbb {Q}$). g Limitado: $\inf G=0$ (mínimo, para $n=0$) e $\sup G=1$ (não é atingido, pois $\frac{n}{1+n}=1-\frac1{n+1}\lt 1$). h Limitado: como $\frac{n+2}{n+1}=1+\frac1{n+1}$, temos $\sup H=2$ (máximo, para $n=0$) e $\inf H=1$ (não é atingido). i Limitado: $\sup I=1$ (máximo, para $n=0$) e $\inf I=0$ (não é atingido). j Limitado inferiormente, mas não superiormente: $\inf J=1$ (mínimo). Não tem supremo.

Exercício 3.22

A partir dos axiomas A1, ..., A9 dos números reais prove as seguintes propriedades:

O número 0 (zero) é o único elemento neutro da soma.
O número 1 é o único elemento neutro da multiplicação.
Dado qualquer $a \in \mathbb {R}$, resulta $a.0=0$
Para quaisquer números reais $a$ e $b$, tem-se que:

\[ ab=0 \Rightarrow a=0 \, \mathrm{ou}\, b=0. \]

Ver solução

a Suponha que $0$ e $0'$ sejam elementos neutros da soma. Então $0=0+0'$ (pois $0'$ é neutro) e $0+0'=0'$ (pois $0$ é neutro), logo $0=0'$. b Se $1$ e $1'$ são neutros da multiplicação, então $1=1\cdot 1'=1'$, pelo mesmo argumento. c $a\cdot 0=a(0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$ (A3, A9). Somando $-(a\cdot 0)$ aos dois lados (A4, A1), obtemos $0=a\cdot 0$. d É a última propriedade provada no texto: se $a\neq 0$, multiplique $ab=0$ por $a^{-1}$ e use o item anterior para concluir $b=0$.

Exercício 3.23

Mostre, utilizando propriedades básicas, que:
Se $ax=a$ para algum $a \neq 0$ então x=1.
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Se $x^2 = y^2,$ então $x=y$ ou $x=-y.$
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
Se $a \leq b$ e $c \leq d$ então $a+c \leq b+d.$
Se $a \leq b$ então $-b \leq -a.$

Ver solução

a Por hipótese $ax=a$ e como $a \neq 0$ existe $a^{-1}$

Logo $a^{-1}(ax)=x$ por um lado

e por outro

$a^{-1}(ax)=a^{-1}(a)=1$ por outro.

Logo $x=1$ b Calculando $(x-y)(x+y)$ usando a distributiva temos:

\[ (x-y)(x+y)=x(x+y)-y(x+y)= x^2+xy-yx-y^2=x^2 - y^2 \]

c Se $x^2=y^2$, então $x^2-y^2=0$, isto é, $(x-y)(x+y)=0$ pelo item b. Pela propriedade do produto nulo (Exercício anterior, item d), $x-y=0$ ou $x+y=0$, isto é, $x=y$ ou $x=-y$. d Pela distributiva, $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3+x^2y+xy^2-yx^2-xy^2-y^3=x^3-y^3$. e Pela distributiva, $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3-x^2y+xy^2+yx^2-xy^2+y^3=x^3+y^3$. f Como $a\leq b$ temos por $A11$ que $a+c\leq b+c$

Por outro lado como $c\leq d$ temos por $A11$ que $b+c\leq b+d$ logo por transitividade temos:

\[ a+c \leq b+d \]

g Somando $-a-b$ a ambos os lados de $a\leq b$ (A11), obtemos $-b\leq -a$.

Exercício 3.24

(Não existência de Infinitesimais) Mostre que se $a-\varepsilon \lt x\lt a+\varepsilon $ para todo $\varepsilon \gt 0$ então $x=a$.

Ver solução

Suponha, por absurdo, que $x\neq a$. Então $\varepsilon :=\left\lvert x-a\right\rvert \gt 0$ e, pela hipótese, $a-\varepsilon \lt x\lt a+\varepsilon $, ou seja, $\left\lvert x-a\right\rvert \lt \varepsilon =\left\lvert x-a\right\rvert $, o que é impossível. Logo $x=a$.

Complementares

Exercício 3.25

Mostre que:

Se $a \leq b$ então $-b \leq -a.$
Se $a \leq b$ e $c \geq d,$ então $a-c \leq b-d.$
Se $a \leq b$ e $c\geq 0,$ então $ac \leq bc.$
Se $a \gt 1$ então $a^2 \gt a.$
Se $0 \lt a \lt 1$ então $a^2 \lt a.$
Se $0 \leq a \lt b$ e $0 \leq c \lt d,$ então $ac \lt bd.$
Se $0 \leq a \lt b$ então $a^2 \lt b^2.$
Se $a,b \gt 0$ e $a^2 \lt b^2$ então $a \lt b.$

Ver solução

a Somando $-a-b$ a ambos os lados de $a\leq b$ (A11), obtemos $-b\leq -a$. b Como $c\geq d$, pelo item anterior $-c\leq -d$. Por A11, $a-c\leq b-c$ e $b-c\leq b-d$; por transitividade, $a-c\leq b-d$. c É exatamente o axioma A12. d Como $a\gt 1\gt 0$, A12 aplicado a $1\leq a$ e $a\geq 0$ dá $a\leq a^2$. Além disso $a^2\neq a$: se $a^2=a$, então $a(a-1)=0$ e, como $a\neq 0$, $a=1$, absurdo. Logo $a\lt a^2$. e Como $0\lt a\leq 1$, A12 aplicado a $a\leq 1$ e $a\geq 0$ dá $a^2\leq a$. Além disso $a^2\neq a$: se $a^2=a$, então $a(a-1)=0$ e, como $a\neq 0$, $a=1$, contradição com $a\lt 1$. Logo $a^2\lt a$. f Como $b\gt a\geq 0$, temos $b\gt 0$. Por A12, $ac\leq bc$ (pois $a\leq b$ e $c\geq 0$). Por outro lado, $b(d-c)\gt 0$, pois é produto de dois números positivos (é $\geq 0$ por A12 e não é $0$ pela propriedade do produto nulo); logo $bc\lt bd$. Por transitividade, $ac\lt bd$. g É o item anterior com $c=a$ e $d=b$. h Por absurdo, se $a\geq b$, então, como $a,b\gt 0$, A12 dá $b^2\leq ab$ e $ab\leq a^2$, logo $b^2\leq a^2$, contradizendo $a^2\lt b^2$. Logo $a\lt b$.