Capítulo 13

Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento

Os capítulos anteriores trataram de propriedades como compacidade, conexidade e separação, formuladas diretamente em termos topológicos. Neste capítulo, estudaremos um invariante algébrico: um grupo associado ao espaço por meio das classes de homotopia de laços.

O grupo fundamental permite estudar deformações de laços que mantêm fixo o ponto base. Os espaços de recobrimento fornecem um método para calcular esse grupo: laços no espaço de base podem ser levantados a caminhos no espaço de recobrimento. No exemplo

\[ p:\mathbb {R}\longrightarrow \mathbb {S}^1, \qquad p(t)=e^{2\pi i t}, \]

um laço no círculo é levantado a um caminho na reta. Fixado o ponto inicial do levantamento, sua extremidade determina o número de voltas do laço.

A ordem dos resultados será

\[ \text{homotopia de caminhos} \longrightarrow \pi _1 \longrightarrow \text{recobrimentos} \longrightarrow \text{levantamentos} \longrightarrow \pi _1(\mathbb {S}^1)\cong \mathbb {Z}. \]

Terminaremos com o cálculo do grupo fundamental do espaço projetivo real. Esses cálculos apresentam métodos básicos da topologia algébrica.

13.1 Homotopia e caminhos

Denotaremos por

\[ I=[0,1] \]

o intervalo unitário.

Definição 13.1 (Homotopia)

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f,g:X\to Y\) contínuas. Uma homotopia de \(f\) em \(g\) é uma aplicação contínua

\[ H:X\times I\longrightarrow Y \]

tal que

\[ H(x,0)=f(x), \qquad H(x,1)=g(x) \]

para todo \(x\in X\).

Nesse caso escrevemos

\[ f\simeq g. \]

Para cada \(s\in I\), a aplicação

\[ H_s(x)=H(x,s) \]

é contínua. Assim, uma homotopia pode ser vista como uma deformação contínua da aplicação \(f\) na aplicação \(g\). A palavra “contínua” é essencial: não basta ter uma coleção arbitrária de aplicações \(H_s\).

Proposição 13.2
A relação de homotopia entre aplicações \(X\to Y\) é uma relação de equivalência.

Demonstração ▼

A reflexividade é dada por

\[ H(x,s)=f(x). \]

Se \(H\) é uma homotopia de \(f\) em \(g\), então

\[ \widetilde H(x,s)=H(x,1-s) \]

é uma homotopia de \(g\) em \(f\).

Para a transitividade, sejam \(H\) uma homotopia de \(f\) em \(g\) e \(K\) uma homotopia de \(g\) em \(h\). Defina

\[ L(x,s)= \begin{cases} H(x,2s),& 0\le s\le \frac12,\\[1mm] K(x,2s-1),& \frac12\le s\le 1. \end{cases} \]

As duas expressões coincidem em \(s=1/2\), onde ambas valem \(g(x)\). O lema da colagem garante a continuidade de \(L\).

Definição 13.3 (Nul-homotopia e espaços contráteis)

Uma aplicação contínua \(f:X\to Y\) é nul-homotópica se é homotópica a uma aplicação constante.

Um espaço \(X\) é contrátil se a identidade

\[ \operatorname {id}_X:X\to X \]

é nul-homotópica.

Exemplo 13.4
Se \(X\subset \mathbb {R}^n\) é estrelado em relação a \(a\in X\), então
\[ H(x,s)=(1-s)x+sa \]
é uma homotopia entre \(\operatorname {id}_X\) e a aplicação constante \(x\mapsto a\). Portanto todo conjunto estrelado — em particular, todo conjunto convexo — é contrátil.

Para o grupo fundamental, precisamos de uma forma mais rígida de homotopia.

Definição 13.5 (Homotopia relativa)
Se \(A\subset X\) e \(f,g:X\to Y\), uma homotopia \(H\) entre \(f\) e \(g\) é relativa a \(A\) se
\[ H(a,s)=f(a)=g(a) \]
para todo \(a\in A\) e todo \(s\in I\).

Definição 13.6 (Homotopia com extremos fixos)

Dois caminhos \(\alpha ,\beta :I\to X\) com os mesmos extremos são homotópicos com extremos fixos se são homotópicos relativamente ao conjunto \(\{ 0,1\} \).

Escreveremos

\[ \alpha \simeq _{\mathrm{ef}}\beta . \]

13.1.1 Concatenação e inversão

Se \(\alpha \) é um caminho de \(x\) a \(y\), seu caminho inverso é

\[ \overline\alpha (t)=\alpha (1-t), \]

que vai de \(y\) a \(x\).

Se \(\alpha \) vai de \(x\) a \(y\) e \(\beta \) vai de \(y\) a \(z\), a concatenação é

\[ (\alpha *\beta )(t)= \begin{cases} \alpha (2t),& 0\le t\le \frac12,\\ \beta (2t-1),& \frac12\le t\le 1. \end{cases} \]

A concatenação não é literalmente associativa como operação sobre caminhos parametrizados. As duas expressões

\[ (\alpha *\beta )*\gamma \qquad \text{e}\qquad \alpha *(\beta *\gamma ) \]

percorrem os mesmos trechos, mas com velocidades diferentes. A associatividade aparecerá depois de passarmos a classes de homotopia.

Lema 13.7 (Reparametrização)
Se \(\alpha :I\to X\) é um caminho e \(\varphi :I\to I\) é contínua, com
\[ \varphi (0)=0, \qquad \varphi (1)=1, \]
então
\[ \alpha \circ \varphi \simeq _{\mathrm{ef}}\alpha . \]

Demonstração ▼

Defina

\[ H(t,s)= \alpha \bigl((1-s)t+s\varphi (t)\bigr). \]

O argumento de \(\alpha \) permanece em \(I\), e os extremos \(t=0\) e \(t=1\) ficam fixos durante toda a deformação.

Proposição 13.8
Se as concatenações abaixo estiverem definidas, então:
\[ (\alpha *\beta )*\gamma \simeq _{\mathrm{ef}} \alpha *(\beta *\gamma ), \]
\[ c_x*\alpha \simeq _{\mathrm{ef}}\alpha , \qquad \alpha *c_y\simeq _{\mathrm{ef}}\alpha , \]
e
\[ \alpha *\overline\alpha \simeq _{\mathrm{ef}}c_x, \qquad \overline\alpha *\alpha \simeq _{\mathrm{ef}}c_y, \]
onde \(c_x\) denota o caminho constante em \(x\).

Demonstração ▼

Para a associatividade, considere o caminho \(\delta \) que percorre \(\alpha \), \(\beta \) e \(\gamma \), nessa ordem, reservando um terço do intervalo para cada trecho. Tanto \((\alpha *\beta )*\gamma \) quanto \(\alpha *(\beta *\gamma )\) são reparametrizações de \(\delta \) que preservam \(0\) e \(1\). O Lema 13.7 mostra que ambos são homotópicos a \(\delta \) com extremos fixos.

As identidades envolvendo \(c_x\) e \(c_y\) seguem do mesmo lema: concatenar um caminho constante apenas introduz um intervalo de espera no início ou no fim.

Para a identidade com o inverso, suponha que \(\alpha \) vá de \(x\) a \(y\). A homotopia

\[ H(t,s)= \begin{cases} \alpha \bigl(2t(1-s)\bigr),& 0\le t\le \frac12,\\[1mm] \alpha \bigl(2(1-t)(1-s)\bigr),& \frac12\le t\le 1 \end{cases} \]

começa em \(\alpha *\overline\alpha \) e termina no caminho constante \(c_x\). As duas expressões coincidem em \(t=1/2\), e os extremos permanecem em \(x\) durante toda a homotopia. A outra identidade é obtida aplicando o mesmo argumento a \(\overline\alpha \).

Proposição 13.9 (Compatibilidade com homotopia)
Se
\[ \alpha \simeq _{\mathrm{ef}}\alpha ', \qquad \beta \simeq _{\mathrm{ef}}\beta ', \]
e as concatenações estão definidas, então
\[ \alpha *\beta \simeq _{\mathrm{ef}} \alpha '*\beta '. \]

Demonstração ▼

Se \(H\) e \(K\) são as duas homotopias, defina

\[ L(t,s)= \begin{cases} H(2t,s),& 0\le t\le \frac12,\\ K(2t-1,s),& \frac12\le t\le 1. \end{cases} \]

As duas partes coincidem em \(t=1/2\), e o lema da colagem conclui a prova.

13.2 O grupo fundamental

Fixe um ponto \(x_0\in X\).

Definição 13.10 (Laço)
Um laço baseado em \(x_0\) é um caminho
\[ \alpha :I\to X \]
tal que
\[ \alpha (0)=\alpha (1)=x_0. \]

Denotaremos por \([\alpha ]\) a classe de homotopia com extremos fixos de um laço.

Definição 13.11 (Grupo fundamental)
O grupo fundamental de \(X\) baseado em \(x_0\) é
\[ \pi _1(X,x_0) = \{ [\alpha ]: \alpha \text{ é um laço baseado em }x_0\} , \]
com produto
\[ [\alpha ][\beta ] = [\alpha *\beta ]. \]

Teorema 13.12
A operação anterior está bem definida e torna \(\pi _1(X,x_0)\) um grupo. O elemento neutro é \([c_{x_0}]\) e
\[ [\alpha ]^{-1} = [\overline\alpha ]. \]

Demonstração ▼

A boa definição segue da Proposição 13.9. A associatividade, a unidade e a existência de inversos seguem, respectivamente, das três identidades da Proposição 13.8.

A concatenação de caminhos não satisfaz, antes da passagem ao quociente, as identidades de grupo. Essas identidades valem para as classes de homotopia com extremos fixos, como foi estabelecido na demonstração.

Definição 13.13 (Simplesmente conexo)
Um espaço \(X\) é simplesmente conexo se é conexo por caminhos e
\[ \pi _1(X,x_0)=\{ 1\} \]
para algum ponto base \(x_0\).

Em um espaço conexo por caminhos, o ponto base não altera a classe de isomorfismo do grupo.

Proposição 13.14 (Mudança de ponto base)
Se \(\lambda \) é um caminho de \(x_0\) a \(x_1\), então
\[ \Phi _\lambda : \pi _1(X,x_0) \longrightarrow \pi _1(X,x_1), \]
definida por
\[ \Phi _\lambda ([\alpha ]) = [\overline\lambda *\alpha *\lambda ], \]
é um isomorfismo.

Demonstração ▼

A aplicação está bem definida e é um homomorfismo pelas propriedades da concatenação. Sua inversa é \(\Phi _{\overline\lambda }\), pois os trechos \(\lambda *\overline\lambda \) e \(\overline\lambda *\lambda \) são homotópicos a caminhos constantes.

Por isso escrevemos frequentemente \(\pi _1(X)\) quando \(X\) é conexo por caminhos e o ponto base não é relevante.

13.2.1 Aplicações contínuas e invariância

Uma aplicação contínua entre espaços pontuados induz um homomorfismo entre seus grupos fundamentais.

Teorema 13.15

Se

\[ f:(X,x_0)\longrightarrow (Y,y_0) \]

é contínua e \(f(x_0)=y_0\), então

\[ f_*:\pi _1(X,x_0) \longrightarrow \pi _1(Y,y_0), \qquad f_*([\alpha ])=[f\circ \alpha ], \]

é um homomorfismo.

Além disso,

\[ (\operatorname {id}_X)_* = \operatorname {id}_{\pi _1(X,x_0)} \]

e

\[ (g\circ f)_* = g_*\circ f_*. \]

Demonstração ▼

Se \(\alpha \simeq _{\mathrm{ef}}\beta \), então uma homotopia entre eles pode ser composta com \(f\), produzindo uma homotopia com extremos fixos entre \(f\circ \alpha \) e \(f\circ \beta \). Assim \(f_*\) está bem definida.

Também

\[ f\circ (\alpha *\beta ) = (f\circ \alpha )*(f\circ \beta ), \]

o que prova que \(f_*\) é um homomorfismo. As demais identidades seguem diretamente da definição.

Corolário 13.16 (Invariância por homeomorfismo)
Se \(f:X\to Y\) é um homeomorfismo e \(x_0\in X\), então
\[ f_*:\pi _1(X,x_0)\longrightarrow \pi _1(Y,f(x_0)) \]
é um isomorfismo.

Demonstração ▼

De fato,

\[ (f^{-1})_*\circ f_* = (\operatorname {id}_X)_* \]

e

\[ f_*\circ (f^{-1})_* = (\operatorname {id}_Y)_*. \]

Corolário 13.17
Todo espaço contrátil é simplesmente conexo.

Demonstração ▼

Se

\[ H:X\times I\to X \]

contrai \(X\) ao ponto \(a\), então o caminho

\[ s\longmapsto H(x,s) \]

liga cada \(x\in X\) a \(a\). Logo \(X\) é conexo por caminhos.

Fixe \(x_0\in X\) e escreva

\[ \lambda (s)=H(x_0,s), \]

um caminho de \(x_0\) a \(a\). Se \(\alpha \) é um laço baseado em \(x_0\), considere

\[ K(t,s)=H(\alpha (t),s). \]

A borda desse quadrado é, a menos de reparametrização, o laço

\[ \overline\lambda *\alpha *\lambda \]

baseado em \(a\). Como o próprio quadrado fornece um preenchimento dessa borda, esse laço é nul-homotópico. Portanto

\[ \Phi _\lambda ([\alpha ])=1. \]

Como \(\Phi _\lambda \) é um isomorfismo pela Proposição 13.14, segue que \([\alpha ]=1\).

Proposição 13.18 (Grupo fundamental de um produto)
Para espaços pontuados \((X,x_0)\) e \((Y,y_0)\),
\[ \pi _1(X\times Y,(x_0,y_0)) \cong \pi _1(X,x_0)\times \pi _1(Y,y_0). \]

Demonstração ▼

As projeções \(\pi _X:X\times Y\to X\) e \(\pi _Y:X\times Y\to Y\) induzem

\[ \Psi ([\gamma ]) = \bigl([\pi _X\circ \gamma ],[\pi _Y\circ \gamma ]\bigr). \]

Na direção oposta, defina

\[ \Theta ([\alpha ],[\beta ]) = [t\longmapsto (\alpha (t),\beta (t))]. \]

Homotopias nas duas coordenadas produzem uma homotopia no produto, de modo que \(\Theta \) está bem definida. As duas aplicações preservam concatenação e são inversas uma da outra.

13.2.2 Esferas de dimensão pelo menos dois

O círculo fornecerá um exemplo de grupo fundamental não trivial. Demonstraremos primeiro que as esferas de dimensão pelo menos dois têm grupo fundamental trivial.

Teorema 13.19
Para todo \(n\ge 2\),
\[ \pi _1(\mathbb {S}^n)=0. \]

Demonstração ▼

Veja \(\mathbb {S}^n\) como a esfera unitária de \(\mathbb {R}^{n+1}\) com o produto interno euclidiano. Seja \(\alpha :I\to \mathbb {S}^n\) um laço. Como \(\alpha \) é uniformemente contínua, podemos escolher uma partição

\[ 0=t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_m=1 \]

tão fina que, para cada \(j\), a imagem de \([t_{j-1},t_j]\) esteja contida no hemisfério aberto

\[ H_j= \{ u\in \mathbb {S}^n: \langle u,\alpha (t_{j-1})\rangle \gt 0\} . \]

Em cada subintervalo, ligue \(\alpha (t_{j-1})\) a \(\alpha (t_j)\) pelo arco

\[ \beta (t) = \frac{(1-r)\alpha (t_{j-1})+r\alpha (t_j)}{\| (1-r)\alpha (t_{j-1})+r\alpha (t_j)\| }, \qquad r=\frac{t-t_{j-1}}{t_j-t_{j-1}}. \]

O denominador não se anula porque os extremos pertencem ao mesmo hemisfério aberto. Os arcos se colam e formam um laço \(\beta \).

Além disso, para cada \(t\in [t_{j-1},t_j]\), os pontos \(\alpha (t)\) e \(\beta (t)\) pertencem ao mesmo hemisfério \(H_j\) e, portanto, não são antipodais. Assim

\[ K(t,s) = \frac{(1-s)\alpha (t)+s\beta (t)}{\| (1-s)\alpha (t)+s\beta (t)\| } \]

está bem definida em cada subintervalo. Essas fórmulas concordam nos pontos \(t_j\) e fornecem uma homotopia com extremos fixos entre \(\alpha \) e \(\beta \).

A imagem de \(\beta \) está contida em uma união finita de grandes círculos. Cada um deles é a interseção de \(\mathbb {S}^n\) com um subespaço linear próprio de \(\mathbb {R}^{n+1}\). Uma união finita de subespaços lineares próprios não cobre \(\mathbb {R}^{n+1}\); logo existe

\[ a\in \mathbb {S}^n\setminus \beta (I). \]

A projeção estereográfica identifica

\[ \mathbb {S}^n\setminus \{ a\} \cong \mathbb {R}^n. \]

Nesse espaço, \(\beta \) é nul-homotópico pela interpolação linear. Como \(\alpha \simeq _{\mathrm{ef}}\beta \), o laço \(\alpha \) também é nul-homotópico.

13.3 Espaços de recobrimento

A definição seguinte abstrai exatamente o comportamento da aplicação

\[ \mathbb {R}\to \mathbb {S}^1. \]

Definição 13.20 (Aplicação de recobrimento)

Uma aplicação contínua e sobrejetiva

\[ p:\widetilde X\longrightarrow X \]

é uma aplicação de recobrimento se, para todo \(x\in X\), existe um aberto \(U\ni x\) tal que

\[ p^{-1}(U) = \coprod _{\lambda \in \Lambda }V_\lambda , \]

onde cada \(V_\lambda \) é aberto em \(\widetilde X\) e

\[ p|_{V_\lambda }:V_\lambda \longrightarrow U \]

é um homeomorfismo.

Nesse caso, \(\widetilde X\) é um espaço de recobrimento de \(X\).

O aberto \(U\) é dito distinguido, e os conjuntos \(V_\lambda \) são as folhas do recobrimento sobre \(U\).

Ilustração: Espaços de recobrimento

A definição diz que, localmente no espaço de base, o recobrimento é apenas uma coleção disjunta de cópias do mesmo aberto.

Proposição 13.21
Toda aplicação de recobrimento é um homeomorfismo local e uma aplicação aberta.

Demonstração ▼

Dado \(\widetilde x\in \widetilde X\), escolha um aberto distinguido \(U\) contendo \(p(\widetilde x)\) e a folha \(V\) que contém \(\widetilde x\). Então

\[ p|_V:V\to U \]

é um homeomorfismo. Logo \(p\) é um homeomorfismo local.

Se \(A\subset \widetilde X\) é aberto e \(\widetilde x\in A\), então

\[ p(A\cap V) \]

é uma vizinhança aberta de \(p(\widetilde x)\) contida em \(p(A)\). Portanto \(p(A)\) é aberto.

Definição 13.22 (Fibra)
Se \(x\in X\), o conjunto
\[ p^{-1}(x) \]
é a fibra sobre \(x\).

Proposição 13.23
Cada fibra é um subespaço discreto de \(\widetilde X\). Além disso, a função
\[ x\longmapsto |p^{-1}(x)| \]
é localmente constante. Se \(X\) é conexo, todas as fibras têm a mesma cardinalidade.

Demonstração ▼

Se \(\widetilde x\in p^{-1}(x)\) e \(V\) é uma folha sobre um aberto distinguido \(U\ni x\), então

\[ V\cap p^{-1}(x)=\{ \widetilde x\} , \]

pois \(p|_V\) é injetiva. Logo a fibra é discreta.

Sobre um mesmo aberto distinguido \(U\), cada ponto possui exatamente um ponto da fibra em cada folha. Portanto a cardinalidade da fibra é constante em \(U\).

13.3.1 Exemplos

Exemplo 13.24 (A reta sobre o círculo)

A aplicação

\[ p:\mathbb {R}\longrightarrow \mathbb {S}^1, \qquad p(t)=e^{2\pi i t}, \]

é um recobrimento de infinitas folhas.

Todo ponto do círculo possui um arco aberto pequeno o bastante para admitir uma determinação contínua do argumento. A imagem inversa desse arco é uma união disjunta de intervalos, e cada intervalo se projeta homeomorficamente sobre o arco.

Exemplo 13.25 (Recobrimentos finitos do círculo)
Para \(m\ge 1\),
\[ p_m:\mathbb {S}^1\longrightarrow \mathbb {S}^1, \qquad p_m(z)=z^m, \]
é um recobrimento de \(m\) folhas.

Exemplo 13.26 (Espaço projetivo real)
A aplicação quociente
\[ q:\mathbb {S}^n\longrightarrow \mathbb {P}^n, \qquad q(x)=[x], \]
identifica pontos antipodais. Ela é um recobrimento de duas folhas.

Nem todo homeomorfismo local é um recobrimento.

Exemplo 13.27
A aplicação
\[ p:(0,2)\longrightarrow \mathbb {S}^1, \qquad p(t)=e^{2\pi i t}, \]
é um homeomorfismo local, mas não é um recobrimento. Perto de \(1\in \mathbb {S}^1\), as componentes de \(p^{-1}(U)\) próximas de \(0\) e de \(2\) não se projetam sobre todo o arco \(U\).

13.4 Levantamento de caminhos

Definição 13.28 (Levantamento)
Se
\[ p:\widetilde X\to X \]
é contínua e \(f:Y\to X\) é contínua, um levantamento de \(f\) através de \(p\) é uma aplicação contínua
\[ \widetilde f:Y\to \widetilde X \]
tal que
\[ p\circ \widetilde f=f. \]

Para caminhos, aplicações de recobrimento garantem existência e unicidade depois de escolhido o ponto inicial.

Teorema 13.29 (Levantamento de caminhos)
Seja
\[ p:\widetilde X\to X \]
uma aplicação de recobrimento, seja \(\alpha :I\to X\) um caminho e escolha
\[ \widetilde x_0\in p^{-1}(\alpha (0)). \]
Então existe um único caminho
\[ \widetilde\alpha :I\to \widetilde X \]
tal que
\[ p\circ \widetilde\alpha =\alpha \qquad \text{e}\qquad \widetilde\alpha (0)=\widetilde x_0. \]

Demonstração ▼

As imagens inversas, por \(\alpha \), dos abertos distinguidos formam uma cobertura aberta de \(I\). Pelo lema do número de Lebesgue para coberturas abertas de um intervalo compacto, existe uma partição

\[ 0=t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_m=1 \]

tão fina que, para cada \(j\),

\[ \alpha ([t_{j-1},t_j]) \]

está contido em algum aberto distinguido \(U_j\).

No primeiro intervalo, escolha a folha \(V_1\) que contém \(\widetilde x_0\) e defina

\[ \widetilde\alpha (t) = (p|_{V_1})^{-1}(\alpha (t)). \]

Indutivamente, ao chegar a \(t_{j-1}\), existe uma única folha \(V_j\) sobre \(U_j\) que contém \(\widetilde\alpha (t_{j-1})\), e usamos a mesma fórmula com \(V_j\). O lema da colagem fornece um caminho contínuo em todo o intervalo.

Para a unicidade, sejam \(\widetilde\alpha _1\) e \(\widetilde\alpha _2\) dois levantamentos com o mesmo ponto inicial. O conjunto

\[ A= \{ t\in I: \widetilde\alpha _1(t)=\widetilde\alpha _2(t)\} \]

é não vazio. Se \(t\in A\), escolha uma vizinhança distinguida \(U\) de \(\alpha (t)\) e a folha \(V\) que contém o valor comum dos dois levantamentos. Para \(s\) suficientemente próximo de \(t\), ambos permanecem em \(V\) e são dados por

\[ (p|_V)^{-1}(\alpha (s)). \]

Logo \(A\) é aberto.

Se \(t\notin A\), os dois valores pertencem a folhas distintas sobre alguma vizinhança distinguida de \(\alpha (t)\). Pela continuidade dos levantamentos, eles permanecem nessas folhas distintas para \(s\) próximo de \(t\). Portanto \(I\setminus A\) também é aberto. Como \(I\) é conexo,

\[ A=I. \]

A demonstração estabelece também a unicidade: fixado o ponto inicial, o caminho levantado fica inteiramente determinado.

Corolário 13.30 (Unicidade de levantamentos)
Se \(Y\) é conexo e
\[ \widetilde f,\widetilde g:Y\to \widetilde X \]
são levantamentos da mesma aplicação \(f:Y\to X\), então a igualdade
\[ \widetilde f(y_0)=\widetilde g(y_0) \]
em algum ponto \(y_0\in Y\) implica
\[ \widetilde f=\widetilde g. \]

Demonstração ▼

Seja

\[ A=\{ y\in Y:\widetilde f(y)=\widetilde g(y)\} . \]

Em torno de um ponto de \(A\), os dois levantamentos caem na mesma folha de uma vizinhança distinguida de \(f(y)\) e são dados pela mesma inversa local de \(p\); logo \(A\) é aberto. Em torno de um ponto fora de \(A\), os dois valores pertencem a folhas distintas e continuam separados em uma vizinhança; portanto \(Y\setminus A\) também é aberto. Como \(Y\) é conexo e \(A\) é não vazio, \(A=Y\).

13.5 Levantamento de homotopias

Para que o ponto final de um levantamento dependa apenas da classe de homotopia do caminho, precisamos levantar famílias contínuas de caminhos.

Teorema 13.31 (Levantamento de homotopias)
Se
\[ p:\widetilde X\to X \]
é um recobrimento,
\[ H:Y\times I\to X \]
é uma homotopia e
\[ \widetilde f:Y\to \widetilde X \]
é um levantamento de
\[ H_0(y)=H(y,0), \]
então existe uma única homotopia
\[ \widetilde H:Y\times I\to \widetilde X \]
tal que
\[ p\circ \widetilde H=H \qquad \text{e}\qquad \widetilde H(y,0)=\widetilde f(y). \]

Demonstração ▼

Para cada \(y\in Y\), levante o caminho

\[ t\longmapsto H(y,t) \]

a partir de \(\widetilde f(y)\). Isso define uma única candidata \(\widetilde H(y,t)\).

Resta verificar a continuidade conjunta. Fixe \(y_0\in Y\). A imagem compacta

\[ H(\{ y_0\} \times I) \]

pode ser percorrida em finitos trechos, cada um contido em um aberto distinguido. Assim, para alguma partição

\[ 0=t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_m=1, \]

há abertos distinguidos \(U_j\) tais que

\[ H(\{ y_0\} \times [t_{j-1},t_j])\subset U_j. \]

Pela continuidade de \(H\) e pela compacidade de cada intervalo fechado, podemos escolher uma vizinhança \(N\) de \(y_0\) tal que

\[ H(N\times [t_{j-1},t_j])\subset U_j \]

para todo \(j\). Encolhendo \(N\) se necessário, a continuidade de \(\widetilde f\) garante ainda que \(\widetilde f(N)\) esteja na mesma folha de \(p^{-1}(U_1)\) que contém \(\widetilde f(y_0)\).

No primeiro trecho, portanto,

\[ \widetilde H(y,t) = (p|_{V_1})^{-1}(H(y,t)) \]

para uma folha fixa \(V_1\). No extremo \(t_1\), a imagem de \(N\) cai continuamente em uma única folha sobre \(U_2\) depois de um novo encolhimento de \(N\). Repetindo o argumento finitas vezes, obtemos, em cada faixa \(N\times [t_{j-1},t_j]\), uma expressão contínua dada pela inversa de uma folha fixa. As expressões coincidem nos extremos pela unicidade do levantamento e, pelo lema da colagem, \(\widetilde H\) é contínua em \(N\times I\).

Como \(y_0\) foi arbitrário, a continuidade vale em todo \(Y\times I\).

A unicidade segue, para cada \(y\), da unicidade do levantamento do caminho \(t\mapsto H(y,t)\).

Corolário 13.32
Se \(\alpha ,\beta :I\to X\) são homotópicos com extremos fixos e seus levantamentos \(\widetilde\alpha ,\widetilde\beta \) começam no mesmo ponto, então terminam no mesmo ponto:
\[ \widetilde\alpha (1) = \widetilde\beta (1). \]

Demonstração ▼

Levante uma homotopia com extremos fixos entre \(\alpha \) e \(\beta \). As bordas verticais da homotopia levantada permanecem em fibras. Como fibras são discretas e \(I\) é conexo, essas bordas são constantes.

Esse corolário permite relacionar o levantamento de caminhos às classes de homotopia que definem o grupo fundamental.

13.6 Recobrimentos e o grupo fundamental

Fixe um recobrimento pontuado

\[ p:(\widetilde X,\widetilde x_0) \longrightarrow (X,x_0). \]

Teorema 13.33
O homomorfismo induzido
\[ p_*: \pi _1(\widetilde X,\widetilde x_0) \longrightarrow \pi _1(X,x_0) \]
é injetivo.

Demonstração ▼

Suponha

\[ p_*([\widetilde\alpha ])=1. \]

Então o laço \(p\circ \widetilde\alpha \) é homotópico, com extremos fixos, ao laço constante em \(x_0\). Levante essa homotopia começando em \(\widetilde\alpha \).

A borda esquerda da homotopia levantada projeta no caminho constante em \(x_0\) e começa em \(\widetilde x_0\); pela unicidade, ela permanece constantemente em \(\widetilde x_0\). Assim, no instante final, obtemos um levantamento do laço constante começando em \(\widetilde x_0\). Pela unicidade, esse levantamento é o próprio laço constante. As duas bordas verticais permanecem fixas, de modo que a homotopia levantada é uma homotopia com extremos fixos. Logo \(\widetilde\alpha \) é nul-homotópico e

\[ [\widetilde\alpha ]=1. \]

Corolário 13.34 (Quando um laço levanta a um laço)
Se \(\alpha \) é um laço baseado em \(x_0\) e \(\widetilde\alpha \) é seu levantamento com
\[ \widetilde\alpha (0)=\widetilde x_0, \]
então
\[ \widetilde\alpha (1)=\widetilde x_0 \]
se, e somente se,
\[ [\alpha ] \in p_*\bigl(\pi _1(\widetilde X,\widetilde x_0)\bigr). \]

Demonstração ▼

Se \(\widetilde\alpha \) é um laço, então

\[ [\alpha ] = p_*([\widetilde\alpha ]). \]

Reciprocamente, suponha

\[ [\alpha ] = p_*([\widetilde\beta ]) \]

para algum laço \(\widetilde\beta \) baseado em \(\widetilde x_0\). Os caminhos \(\alpha \) e \(p\circ \widetilde\beta \) são homotópicos com extremos fixos. Seus levantamentos a partir de \(\widetilde x_0\) terminam no mesmo ponto pelo Corolário 13.32. Como \(\widetilde\beta \) é fechado, \(\widetilde\alpha \) também é.

13.7 O grupo fundamental do círculo

Voltamos agora ao recobrimento

\[ p:\mathbb {R}\longrightarrow \mathbb {S}^1, \qquad p(t)=e^{2\pi i t}. \]

Escolha \(1\in \mathbb {S}^1\) como ponto base. Se \(\alpha \) é um laço baseado em \(1\), seja \(\widetilde\alpha \) seu levantamento começando em \(0\). Como

\[ \alpha (1)=1, \]

temos

\[ \widetilde\alpha (1)\in p^{-1}(1)=\mathbb {Z}. \]

Definição 13.35 (Número de voltas)
Definimos
\[ w([\alpha ]) = \widetilde\alpha (1). \]

Proposição 13.36
A aplicação
\[ w:\pi _1(\mathbb {S}^1,1)\to \mathbb {Z} \]
está bem definida e é um homomorfismo.

Demonstração ▼

Se \(\alpha \) e \(\beta \) são homotópicos com extremos fixos, seus levantamentos começando em \(0\) terminam no mesmo ponto pelo Corolário 13.32. Logo \(w\) depende apenas da classe \([\alpha ]\).

Se

\[ w([\alpha ])=m, \qquad w([\beta ])=n, \]

o levantamento de \(\beta \) que começa em \(m\) é

\[ t\longmapsto m+\widetilde\beta (t). \]

Portanto o levantamento de \(\alpha *\beta \) começando em \(0\) termina em \(m+n\). Assim

\[ w([\alpha ][\beta ]) = w([\alpha ])+w([\beta ]). \]

Teorema 13.37 (Grupo fundamental do círculo)
A aplicação
\[ w:\pi _1(\mathbb {S}^1,1)\longrightarrow \mathbb {Z} \]
é um isomorfismo. Portanto
\[ \boxed {\pi _1(\mathbb {S}^1)\cong \mathbb {Z}.} \]

Demonstração ▼

Para cada \(n\in \mathbb {Z}\), considere

\[ \alpha _n(t)=e^{2\pi i nt}. \]

Seu levantamento começando em \(0\) é

\[ \widetilde\alpha _n(t)=nt, \]

logo

\[ w([\alpha _n])=n. \]

Portanto \(w\) é sobrejetiva.

Se

\[ w([\alpha ])=0, \]

o levantamento \(\widetilde\alpha \) começa e termina em \(0\). Como \(\mathbb {R}\) é convexo, a homotopia linear

\[ H(t,s)=(1-s)\widetilde\alpha (t) \]

contrai \(\widetilde\alpha \) ao laço constante e mantém os dois extremos em \(0\). Compondo com \(p\), obtemos uma nul-homotopia de \(\alpha \) com extremos fixos. Assim

\[ [\alpha ]=1, \]

e \(w\) é injetiva.

O isomorfismo associa a cada classe de laços no círculo seu número de voltas. A concatenação de laços corresponde à soma dos inteiros associados.

13.7.1 Uma aplicação: o disco não retrai sobre o círculo

Teorema 13.38 (Teorema da não retração)
Não existe retração contínua
\[ r:D^2\longrightarrow \mathbb {S}^1 \]
da inclusão
\[ i:\mathbb {S}^1\hookrightarrow D^2. \]

Demonstração ▼

Se existisse uma retração, teríamos

\[ r\circ i = \operatorname {id}_{\mathbb {S}^1}. \]

Aplicando o grupo fundamental,

\[ r_*\circ i_* = \operatorname {id}_{\pi _1(\mathbb {S}^1)}. \]

Mas

\[ \pi _1(D^2)=0, \]

pois o disco é contrátil. Logo \(i_*\) é o homomorfismo nulo, e \(r_*\circ i_*\) também seria nulo. Isso contradiz

\[ \pi _1(\mathbb {S}^1)\cong \mathbb {Z}. \]

Esse é o primeiro exemplo em que um invariante algébrico fornece uma obstrução concreta à existência de uma aplicação contínua.

13.8 O grupo fundamental do espaço projetivo

O método de levantamento de caminhos permite também calcular o grupo fundamental do espaço projetivo real.

Teorema 13.39
Para \(n\ge 2\),
\[ \boxed {\pi _1(\mathbb {P}^n)\cong \mathbb {Z}/2\mathbb {Z}.} \]

Demonstração ▼

Considere o recobrimento de duas folhas

\[ q:\mathbb {S}^n\to \mathbb {P}^n, \qquad q(x)=[x]. \]

Fixe \(x_0\in \mathbb {S}^n\) e use \([x_0]\) como ponto base em \(\mathbb {P}^n\).

Se \(\alpha \) é um laço em \(\mathbb {P}^n\) baseado em \([x_0]\), seu levantamento \(\widetilde\alpha \) começando em \(x_0\) termina necessariamente em um dos dois pontos da fibra:

\[ \widetilde\alpha (1)\in \{ x_0,-x_0\} . \]

Pelo levantamento de homotopias, esse ponto final depende apenas da classe \([\alpha ]\).

Defina

\[ \varepsilon ([\alpha ])= \begin{cases} 0,& \widetilde\alpha (1)=x_0,\\ 1,& \widetilde\alpha (1)=-x_0. \end{cases} \]

A aplicação está bem definida pelo levantamento de homotopias.

Ela é um homomorfismo. Se \(\widetilde\beta \) é o levantamento de \(\beta \) que começa em \(x_0\), então o levantamento de \(\beta \) que começa em \(-x_0\) é \(-\widetilde\beta \), pois a transformação antipodal comuta com \(q\). Assim, ao levantar \(\alpha *\beta \), o segundo trecho preserva ou troca a folha exatamente como o levantamento de \(\beta \) a partir de \(x_0\). Consequentemente,

\[ \varepsilon ([\alpha ][\beta ]) = \varepsilon ([\alpha ])+\varepsilon ([\beta ]) \pmod2. \]

Ele é sobrejetivo: escolha um caminho em \(\mathbb {S}^n\) de \(x_0\) até \(-x_0\); sua projeção é um laço cujo levantamento termina em \(-x_0\).

Resta mostrar que o núcleo é trivial. Se o levantamento de \(\alpha \) termina em \(x_0\), então ele é um laço em \(\mathbb {S}^n\). Como \(n\ge 2\),

\[ \pi _1(\mathbb {S}^n)=0 \]

pelo Teorema 13.19. Logo \(\widetilde\alpha \) é nul-homotópico, e sua projeção \(\alpha \) também é. Portanto \(\varepsilon \) é injetiva.

13.9 Daqui em diante: topologia algébrica

A teoria de recobrimentos prossegue em várias direções. Sob hipóteses locais naturais, pode-se construir um recobrimento universal e classificar os recobrimentos conexos por subgrupos do grupo fundamental. Transformações de deck, ações sobre fibras e o teorema de Seifert–van Kampen pertencem à continuação natural da teoria.

Os resultados desenvolvidos neste capítulo relacionam as seguintes noções:

\[ \boxed { \text{laços} \longrightarrow \pi _1 \longrightarrow \text{levantamentos} \longrightarrow \text{obstruções topológicas}. } \]

O grupo fundamental não determina toda a topologia do espaço:

\[ \pi _1(\mathbb {S}^2)=0 \]

e \(\mathbb {S}^2\) não é contrátil. Os exemplos estudados mostram, porém, que ele distingue o círculo de um ponto, impede uma retração do disco sobre sua fronteira e distingue a esfera do espaço projetivo. Esses resultados ilustram o uso de invariantes algébricos no estudo de problemas topológicos.

13.10 Exercícios

Exercício 13.1

Verifique diretamente que homotopia relativa a um subconjunto é uma relação de equivalência.

Exercício 13.2

Complete os detalhes da Proposição 13.8, escrevendo homotopias explícitas para

\[ c_x*\alpha \simeq _{\mathrm{ef}}\alpha \]

e

\[ \alpha *c_y\simeq _{\mathrm{ef}}\alpha . \]
Exercício 13.3

Mostre que

\[ \overline{\alpha *\beta } \simeq _{\mathrm{ef}} \overline\beta *\overline\alpha . \]
Exercício 13.4

Prove que a mudança de ponto base da Proposição 13.14 é um homomorfismo.

Exercício 13.5

Use a Proposição 13.18 para mostrar que todo produto finito de espaços simplesmente conexos é simplesmente conexo.

Exercício 13.6

Complete os detalhes da prova de que

\[ \pi _1(\mathbb {S}^n)=0, \qquad n\ge 2, \]

justificando a aproximação do laço por uma cadeia finita de arcos geodésicos.

Exercício 13.7

Verifique que

\[ p_m:\mathbb {S}^1\to \mathbb {S}^1, \qquad p_m(z)=z^m, \]

é um recobrimento de \(m\) folhas.

Exercício 13.8

Mostre diretamente que a fibra de uma aplicação de recobrimento é discreta.

Exercício 13.9

Analise por que

\[ (0,2)\to \mathbb {S}^1, \qquad t\mapsto e^{2\pi i t}, \]

é um homeomorfismo local mas não um recobrimento.

Exercício 13.10

Complete os detalhes da prova da unicidade do levantamento de caminhos, mostrando que o conjunto de coincidência e seu complemento são abertos.

Exercício 13.11

Seja

\[ \alpha (t)=e^{2\pi i(at+b)}. \]

Determine explicitamente seu levantamento para \(\mathbb {R}\) depois de escolhido o ponto inicial.

Exercício 13.12

Mostre que o número de voltas satisfaz

\[ w([\overline\alpha ]) = -w([\alpha ]). \]
Exercício 13.13

Para

\[ f_m:\mathbb {S}^1\to \mathbb {S}^1, \qquad f_m(z)=z^m, \]

determine o homomorfismo

\[ (f_m)_*:\pi _1(\mathbb {S}^1)\to \pi _1(\mathbb {S}^1) \]

sob a identificação

\[ \pi _1(\mathbb {S}^1)\cong \mathbb {Z}. \]
Exercício 13.14

Use

\[ \pi _1(\mathbb {S}^1)\cong \mathbb {Z} \]

e a Proposição 13.18 para mostrar que

\[ \pi _1(\mathbb {S}^1\times \mathbb {S}^1) \cong \mathbb {Z}^2. \]
Exercício 13.15

Use o Teorema 13.38 para provar o teorema do ponto fixo de Brouwer no disco: toda aplicação contínua

\[ f:D^2\to D^2 \]

possui um ponto fixo.

Exercício 13.16

No recobrimento antipodal

\[ q:\mathbb {S}^n\to \mathbb {P}^n, \]

descreva explicitamente a classe não trivial de

\[ \pi _1(\mathbb {P}^n), \qquad n\ge 2. \]
Exercício 13.17

Mostre que o cilindro

\[ \mathbb {S}^1\times I \]

tem o mesmo grupo fundamental do círculo.

Exercício 13.18

Mostre que o anel

\[ A=\{ x\in \mathbb {R}^2:1\le \| x\| \le 2\} \]

é homeomorfo a \(\mathbb {S}^1\times I\) e conclua que

\[ \pi _1(A)\cong \mathbb {Z}. \]
Exercício 13.19

Explique por que o grupo fundamental não pode distinguir \(\mathbb {S}^2\) de um ponto, embora esses espaços não sejam homeomorfos.

As classes de homotopia de laços definem o grupo fundamental. O levantamento de caminhos em recobrimentos permite estudar essas classes por meio das extremidades dos caminhos levantados. No círculo, esse procedimento fornece o isomorfismo com o grupo dos inteiros, expresso pelo número de voltas.

A associação entre deformações contínuas e estruturas algébricas, utilizada nesses cálculos, é um dos métodos básicos da topologia algébrica.