Redes, filtros e ultrafiltros
Em espaços métricos, as sequências caracterizam o fecho e a continuidade; além disso, em um espaço compacto, toda sequência possui uma subsequência convergente. Essas caracterizações não se estendem, em geral, a espaços topológicos arbitrários. A estrutura enumerável dos índices de uma sequência pode ser insuficiente para descrever todas as condições impostas pelas vizinhanças de um ponto.
Redes e filtros permitem formular essas propriedades no caso geral. Uma rede substitui o conjunto de índices \(\mathbb {N}\) por um conjunto dirigido. Um filtro considera famílias de conjuntos, abstraindo a noção de pertencer a um conjunto a partir de certo índice. As duas linguagens são equivalentes para o estudo da convergência, mas oferecem formulações diferentes: redes conservam a descrição por pontos indexados, enquanto filtros permitem trabalhar diretamente com famílias de subconjuntos.
Estudaremos essas duas linguagens e, em seguida, os filtros maximais, chamados ultrafiltros. Suas propriedades de convergência fornecerão uma segunda demonstração do teorema de Tychonoff. A prova do Capítulo 7 utiliza o teorema da sub-base de Alexander; a nova demonstração será baseada nos ultrafiltros e em suas imagens pelas projeções coordenadas.
8.1 Por que sequências não bastam
Antes de ampliar a noção de sequência, vejamos concretamente o que ela deixa de detectar.
Uma vizinhança básica de \(p\) exige que apenas um número finito de coordenadas, digamos as coordenadas de um conjunto \(F\subseteq I\), sejam iguais a \(1\). O ponto \(x_F\) definido por
pertence a \(A\) e à vizinhança dada. Portanto, toda vizinhança de \(p\) encontra \(A\), e assim \(p\in \overline A\).
Por outro lado, seja \((x_n)\) uma sequência em \(A\). O conjunto
é enumerável, pois é reunião enumerável de conjuntos finitos. Como \(I\) não é enumerável, existe \(i_0\in I\setminus J\). Logo \(x_n(i_0)=0\) para todo \(n\), e a sequência não pode convergir para \(p\), cuja coordenada \(i_0\) vale \(1\).
O exemplo mostra que nenhuma sequência em \(A\) converge para \(p\). Para aproximar esse ponto, utilizaremos os subconjuntos finitos de \(I\) como índices, ordenados pela inclusão. A noção de rede permite trabalhar com esse conjunto de índices sem exigir uma enumeração.
8.2 Redes
8.2.1 Conjuntos dirigidos
\(d\preceq d\) para todo \(d\in D\);
se \(d\preceq e\) e \(e\preceq f\), então \(d\preceq f\);
para quaisquer \(d,e\in D\), existe \(f\in D\) tal que \(d\preceq f\) e \(e\preceq f\).
O símbolo \(d\preceq e\) deve ser lido como “\(e\) ocorre depois de \(d\)”. A terceira condição afirma que duas exigências finitas podem ser atendidas em um mesmo estágio posterior. Por indução, o mesmo vale para qualquer família finita de índices.
Todo conjunto não vazio totalmente ordenado é dirigido: entre dois elementos, o maior deles é um majorante comum. Em particular, \(\mathbb {N}\), \(\mathbb {Z}\) e \(\mathbb {R}\), com a ordem usual, são dirigidos.
O conjunto
\[ \operatorname {Fin}(I)=\{ F\subseteq I:F\text{ é finito}\} , \]ordenado por inclusão, é dirigido: \(F\cup G\) sucede simultaneamente a \(F\) e a \(G\).
Se \(x\) pertence a um espaço topológico \(X\), a família \(\mathcal N(x)\) de todas as vizinhanças de \(x\) torna-se dirigida pela inclusão reversa:
\[ U\preceq V\quad \Longleftrightarrow \quad V\subseteq U. \]Passar a um índice posterior significa, portanto, passar a uma vizinhança menor.
Para descrever \(t\to 0^+\), podemos usar \((0,\infty )\) com a relação
\[ s\preceq t\quad \Longleftrightarrow \quad t\le s. \]Nessa direção, os índices posteriores estão mais próximos de zero.
Se \(D\) e \(E\) são dirigidos, então \(D\times E\) é dirigido pela ordem coordenada.
Toda sequência é uma rede, mas o conjunto de índices de uma rede pode ser não enumerável e não precisa ter uma ordem linear. Os índices podem, assim, ser associados às condições de vizinhança que se deseja satisfazer.
As duas noções são complementares: \((x_d)\) não está eventualmente em \(A\) se, e somente se, está frequentemente em \(X\setminus A\).
Todo limite é um ponto de aderência, mas a recíproca não vale em geral. Para sequências em espaços primeiro enumeráveis, essa distinção reproduz a diferença familiar entre limite da sequência e limite de uma subsequência. Sem hipóteses de enumerabilidade, o instrumento adequado será uma sub-rede.
Retomemos a Proposição 8.1. Para cada \(F\in \operatorname {Fin}(I)\), seja \(x_F\) a função indicadora de \(F\). A rede \((x_F)_{F\in \operatorname {Fin}(I)}\), dirigida pela inclusão, converge para o ponto \(p\) constantemente igual a \(1\).
De fato, uma vizinhança básica de \(p\) fixa o valor \(1\) em um conjunto finito \(F_0\) de coordenadas. Se \(F\supseteq F_0\), então \(x_F\) pertence a essa vizinhança. A rede percorre exatamente a informação finita que uma vizinhança do produto consegue observar.
8.2.2 Fecho, continuidade e separação
As redes restauram, em espaços gerais, as caracterizações familiares por sequências.
Se uma rede em \(A\) converge para \(x\), toda vizinhança de \(x\) contém algum termo da rede; logo encontra \(A\), e \(x\in \overline A\).
Reciprocamente, suponha \(x\in \overline A\). Considere
e ordene \(D\) declarando
O conjunto \(D\) é dirigido: dados \((U,a)\) e \((V,b)\), a vizinhança \(U\cap V\) encontra \(A\), e qualquer \(c\in A\cap U\cap V\) produz um majorante \((U\cap V,c)\). A rede \(y_{(U,a)}=a\) está contida em \(A\). Se \(W\) é uma vizinhança de \(x\), escolha \(a\in A\cap W\); todos os termos posteriores a \((W,a)\) pertencem a \(W\). Portanto, \(y_{(U,a)}\to x\).
Em espaços primeiro enumeráveis, a rede do teorema pode ser substituída por uma sequência. O resultado seguinte recupera, em particular, a caracterização por sequências válida nos espaços métricos.
Se \((U_n)_{n\ge 1}\) é uma base local enumerável, substitua-a por
Então \((V_n)\) continua sendo uma base local e \(V_{n+1}\subseteq V_n\). Escolha \(a_n\in A\cap V_n\). Toda vizinhança de \(x\) contém algum \(V_N\) e, para \(n\ge N\), temos \(a_n\in V_n\subseteq V_N\). Logo \(a_n\to x\).
\(f\) é contínua;
para toda rede \((x_d)\) em \(X\) e todo \(x\in X\),
\[ x_d\to x\quad \Longrightarrow \quad f(x_d)\to f(x). \]
Suponha \(f\) contínua e \(x_d\to x\). Se \(V\) é uma vizinhança de \(f(x)\), então \(f^{-1}(V)\) é uma vizinhança de \(x\). Eventualmente \(x_d\in f^{-1}(V)\) e, portanto, eventualmente \(f(x_d)\in V\).
Para a recíproca, suponha que \(f\) não seja contínua em algum ponto \(x\). Existe uma vizinhança \(V\) de \(f(x)\) tal que, para toda \(U\in \mathcal N(x)\), há um ponto \(a\in U\) com \(f(a)\notin V\). Considere
ordenado pela inclusão reversa das primeiras coordenadas. Esse conjunto é dirigido: dados \((U,a)\) e \((W,b)\), existe \(c\in U\cap W\) tal que \(f(c)\notin V\), e \((U\cap W,c)\) sucede aos dois índices. A rede \(x_{(U,a)}=a\) converge para \(x\), mas nenhum de seus termos é levado a \(V\). Assim, \(f(x_{(U,a)})\) não converge para \(f(x)\).
Suponha \(X\) Hausdorff e que uma rede \((x_d)\) converja para pontos distintos \(x\) e \(y\). Escolha vizinhanças disjuntas \(U\) de \(x\) e \(V\) de \(y\). A rede está eventualmente em \(U\) e eventualmente em \(V\); como o conjunto de índices é dirigido, ela está eventualmente em \(U\cap V=\varnothing \), uma contradição.
Reciprocamente, suponha que \(X\) não seja Hausdorff. Existem pontos distintos \(x,y\in X\) tais que \(U\cap V\ne \varnothing \) para todas as vizinhanças \(U\) de \(x\) e \(V\) de \(y\). Seja
com
Esse conjunto é dirigido. De fato, dados \((U,V,z)\) e \((U',V',z')\), os conjuntos \(U\cap U'\) e \(V\cap V'\) são vizinhanças de \(x\) e \(y\), respectivamente. Logo existe
e \((U\cap U',V\cap V',w)\) é um majorante comum. Além disso, depois de um índice cuja primeira coordenada é \(U_0\in \mathcal N(x)\), todos os termos pertencem a \(U_0\); o mesmo vale para as segundas coordenadas e as vizinhanças de \(y\). Logo a rede \(z_{(U,V,z)}=z\) converge simultaneamente para \(x\) e para \(y\).
Se \(x_d\to x\), a convergência de cada rede coordenada segue da continuidade de \(\pi _i\).
Suponha agora que todas as redes coordenadas convergem. Toda vizinhança de \(x\) contém uma vizinhança básica da forma
em que \(F\subseteq I\) é finito e \(U_i\) é uma vizinhança de \(\pi _i(x)\). Para cada \(i\in F\), existe \(d_i\) a partir do qual \(\pi _i(x_d)\in U_i\). Se \(F\) é não vazio, escolha um índice \(d_0\) posterior a todos os \(d_i\); se \(F\) é vazio, qualquer índice serve. Então \(x_d\in W\) para todo \(d\succeq d_0\). Logo \(x_d\to x\).
Na topologia produto, uma vizinhança básica impõe condições em apenas finitas coordenadas. A propriedade de direção permite reunir essas condições em um índice a partir do qual todas são satisfeitas.
8.3 Sub-redes e pontos de aderência
Uma subsequência é obtida escolhendo índices cada vez maiores. Para redes, a mesma ideia exige duas condições: os novos índices devem respeitar a direção e devem alcançar estágios arbitrariamente tardios da rede original.
\(e_1\preceq e_2\) implica \(\varphi (e_1)\preceq \varphi (e_2)\);
para todo \(d\in D\), existe \(e\in E\) tal que \(d\preceq \varphi (e)\).
Quando \(D=E=\mathbb {N}\), toda função estritamente crescente \(\varphi \colon \mathbb {N}\to \mathbb {N}\) produz a subsequência usual. A definição permite, contudo, que uma sub-rede repita termos ou use um conjunto de índices inteiramente diferente.
Suponha \(x_d\to x\) e seja \((x_{\varphi (e)})_{e\in E}\) uma sub-rede. Dada uma vizinhança \(U\) de \(x\), escolha \(d_0\) tal que \(x_d\in U\) para \(d\succeq d_0\). Pela cofinalidade, existe \(e_0\) com \(\varphi (e_0)\succeq d_0\). Se \(e\succeq e_0\), o crescimento de \(\varphi \) fornece \(\varphi (e)\succeq \varphi (e_0)\succeq d_0\), e portanto \(x_{\varphi (e)}\in U\).
Suponha que \((x_{\varphi (e)})_{e\in E}\) seja uma sub-rede convergente para \(x\). Dados uma vizinhança \(U\) de \(x\) e um índice \(d_0\in D\), escolha \(e_0\in E\) com \(\varphi (e_0)\succeq d_0\) e escolha \(e_1\in E\) a partir do qual \(x_{\varphi (e)}\in U\). Um índice \(e\) posterior a \(e_0\) e \(e_1\) satisfaz
Logo a rede original está frequentemente em \(U\).
Reciprocamente, suponha que \(x\) seja ponto de aderência de \((x_d)\). Defina
e ordene \(E\) por
Esse conjunto é dirigido. De fato, dados \((d,U)\) e \((e,V)\), escolha \(c\succeq d,e\). Como \(x\) é ponto de aderência, existe \(f\succeq c\) com \(x_f\in U\cap V\); então \((f,U\cap V)\) sucede aos dois índices dados.
A função \(\varphi \colon E\to D\), \(\varphi (d,U)=d\), é crescente e cofinal; para a cofinalidade, basta observar que \((d,X)\in E\) para todo \(d\in D\). A rede \((x_{\varphi (d,U)})\) converge para \(x\): dada \(W\in \mathcal N(x)\), escolha \(d_0\) com \(x_{d_0}\in W\). Todo índice posterior a \((d_0,W)\) possui segunda coordenada contida em \(W\), e seu termo pertence a essa segunda coordenada.
O teorema relaciona pontos de aderência de uma rede a limites de suas sub-redes. Ele estende, a espaços gerais, a caracterização por subsequências convergentes utilizada nos espaços métricos.
8.4 Filtros
Redes descrevem aproximação por meio de termos. Filtros registram somente os conjuntos que contêm todos os termos suficientemente tardios. Ao descartar a ordem específica dos índices, retêm exatamente a informação relevante para a convergência.
8.4.1 Filtros e bases de filtros
\(\varnothing \notin \mathcal F\) e \(X\in \mathcal F\);
se \(A,B\in \mathcal F\), então \(A\cap B\in \mathcal F\);
se \(A\in \mathcal F\) e \(A\subseteq B\subseteq X\), então \(B\in \mathcal F\).
Os axiomas de filtro exigem estabilidade por interseções finitas e por passagem a conjuntos maiores. Assim, duas condições representadas por elementos de \(\mathcal F\) podem ser consideradas simultaneamente. A exclusão de \(\varnothing \) impede que essa interseção seja vazia e que o filtro contenha todos os subconjuntos de \(X\).
todo \(B\in \mathcal B\) é não vazio;
para quaisquer \(B_1,B_2\in \mathcal B\), existe \(B_3\in \mathcal B\) com \(B_3\subseteq B_1\cap B_2\).
As duas condições garantem que \(\langle \mathcal B\rangle \) é realmente um filtro. Como \(\mathcal B\) é não vazia, o conjunto \(X\) pertence ao filtro gerado; a primeira condição exclui o conjunto vazio. A segunda fornece, dentro da interseção de dois elementos do filtro gerado, um novo elemento de \(\mathcal B\). A estabilidade sob passagem a conjuntos maiores decorre da própria definição.
Se \(C\subseteq X\) é não vazio, então
\[ \mathcal F_C=\{ A\subseteq X:C\subseteq A\} \]é o filtro principal gerado por \(C\). Quando \(C=\{ x\} \), escrevemos \(\mathcal F_x\).
Se \(X\) é infinito, a família dos subconjuntos com complemento finito é o filtro de Fréchet em \(X\).
Para \(x\) em um espaço topológico \(X\), a família \(\mathcal N(x)\) de todas as vizinhanças de \(x\) é um filtro, chamado filtro de vizinhanças de \(x\). Toda base local em \(x\) é uma base para esse filtro.
Se \((x_d)_{d\in D}\) é uma rede, os conjuntos
\[ T_{d_0}=\{ x_d:d\succeq d_0\} ,\qquad d_0\in D, \]formam uma base de filtro. Seus elementos são as caudas da rede.
Um filtro convergente para \(x\) tem \(x\) como ponto de aderência, pois \(U,A\in \mathcal F\) implica \(U\cap A\in \mathcal F\) e, portanto, \(U\cap A\ne \varnothing \). A recíproca pode falhar: aderência afirma apenas que os elementos do filtro passam arbitrariamente perto de \(x\), não que todas as vizinhanças de \(x\) já pertençam ao filtro.
Se \(\mathcal F\subseteq \mathcal G\), dizemos que \(\mathcal G\) é mais fino que \(\mathcal F\), ou que \(\mathcal G\) refina \(\mathcal F\). Um refinamento declara como grandes ao menos todos os conjuntos que já pertenciam ao filtro original.
Se \(\mathcal G\supseteq \mathcal F\) converge para \(x\), então \(\mathcal N(x)\subseteq \mathcal G\). Para \(U\in \mathcal N(x)\) e \(A\in \mathcal F\), temos \(U,A\in \mathcal G\), logo \(U\cap A\ne \varnothing \). Assim, \(x\) é aderente a \(\mathcal F\).
Reciprocamente, suponha \(x\) aderente a \(\mathcal F\). A família
é uma base de filtro. De fato, seus elementos são não vazios pela aderência de \(x\), e a interseção de \(U_1\cap A_1\) com \(U_2\cap A_2\) é o elemento da mesma forma obtido com \(U_1\cap U_2\) e \(A_1\cap A_2\). Além disso, tomando \(U=X\) ou \(A=X\), vemos que o filtro gerado contém \(\mathcal F\) e \(\mathcal N(x)\); portanto, converge para \(x\).
8.4.2 Imagens e produtos
As propriedades de filtro seguem das identidades \(f^{-1}(Y)=X\), \(f^{-1}(\varnothing )=\varnothing \) e \(f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\), juntamente com a preservação de inclusões por imagens inversas. A definição, além de não exigir que \(f\) seja sobrejetiva, interage diretamente com a continuidade.
Se \(f\) é contínua e \(V\) é uma vizinhança de \(f(x)\), então \(f^{-1}(V)\) é uma vizinhança de \(x\). De \(\mathcal F\to x\) segue \(f^{-1}(V)\in \mathcal F\), isto é, \(V\in f_*\mathcal F\).
Reciprocamente, aplique a hipótese ao filtro \(\mathcal N(x)\). Para toda vizinhança \(V\) de \(f(x)\), a convergência de \(f_*\mathcal N(x)\) implica \(f^{-1}(V)\in \mathcal N(x)\). Logo \(f\) é contínua em \(x\).
A necessidade segue da continuidade das projeções. Para a recíproca, considere uma vizinhança básica
de \(x\), com \(F\) finito. Como \(U_i\in (\pi _i)_*\mathcal F\), temos \(\pi _i^{-1}(U_i)\in \mathcal F\) para todo \(i\in F\). A estabilidade por interseções finitas fornece \(W\in \mathcal F\). Toda vizinhança de \(x\) contém uma vizinhança básica desse tipo e, pela terceira propriedade dos filtros, também pertence a \(\mathcal F\).
8.4.3 A equivalência entre redes e filtros
Toda rede determina um filtro sem perda da informação assintótica.
As caudas formam uma base de filtro: duas delas contêm uma terceira, iniciada depois dos dois índices correspondentes. Portanto, a família acima é de fato um filtro.
\(x_d\to x\) se, e somente se, \(\mathcal F_{(x_d)}\to x\);
\(x\) é ponto de aderência de \((x_d)\) se, e somente se, é ponto de aderência de \(\mathcal F_{(x_d)}\).
Para a primeira afirmação, \(\mathcal F_{(x_d)}\to x\) significa que toda vizinhança de \(x\) contém uma cauda da rede, isto é, que \((x_d)\) está eventualmente em cada uma dessas vizinhanças. Essa é precisamente a definição de \(x_d\to x\).
Para a segunda, suponha que a rede esteja frequentemente em toda vizinhança \(U\) de \(x\). Se \(A\in \mathcal F_{(x_d)}\), existe \(d_0\) a partir do qual \(x_d\in A\). Escolhendo \(d\succeq d_0\) com \(x_d\in U\), obtemos \(x_d\in U\cap A\). Logo \(x\) é aderente ao filtro.
Reciprocamente, cada cauda \(T_{d_0}\) pertence ao filtro de eventualidade. Se \(x\) é aderente a esse filtro, então \(U\cap T_{d_0}\ne \varnothing \) para toda vizinhança \(U\) e todo \(d_0\). Isso significa precisamente que a rede está frequentemente em \(U\).
A passagem inversa também é possível, e pode ser feita de modo que o filtro de eventualidade obtido seja exatamente o filtro inicial.
Considere
com a relação
O conjunto é dirigido: se \((A,a)\) e \((B,b)\) são dados, escolha \(c\in A\cap B\); então \((A\cap B,c)\) sucede aos dois. Defina \(x_{(A,a)}=a\).
Se \(C\in \mathcal F\), escolha \(c\in C\). Todo termo posterior a \((C,c)\) pertence a \(C\), de modo que \(C\in \mathcal F_{(x_d)}\).
Por outro lado, suponha que a rede esteja eventualmente em \(C\). Existe \((A,a)\) tal que todo termo posterior a esse índice pertence a \(C\). Se houvesse \(b\in A\setminus C\), o índice \((A,b)\) seria posterior a \((A,a)\), mas seu termo seria \(b\notin C\). Logo \(A\subseteq C\) e, como \(A\in \mathcal F\), concluímos \(C\in \mathcal F\).
Redes e filtros fornecem, portanto, descrições equivalentes da convergência e da aderência. Os resultados de uma linguagem podem ser formulados na outra, o que permite escolher a mais conveniente em cada demonstração.
8.5 Ultrafiltros e redes universais
8.5.1 Ultrafiltros
Um ultrafiltro em \(X\) é um filtro maximal para a inclusão: se \(\mathcal U\subseteq \mathcal F\) e \(\mathcal F\) é um filtro em \(X\), então \(\mathcal F=\mathcal U\).
O ultrafiltro \(\mathcal F_x=\{ A\subseteq X:x\in A\} \) é chamado ultrafiltro principal em \(x\). Um ultrafiltro que não é principal é chamado livre.
A maximalidade admite a seguinte caracterização: para cada subconjunto de \(X\), o ultrafiltro contém esse conjunto ou seu complementar.
Suponha primeiro que \(\mathcal U\) seja maximal e que \(A\notin \mathcal U\). A família \(\mathcal U\cup \{ A\} \) não pode ter a propriedade da interseção finita; caso contrário, geraria um filtro próprio contendo estritamente \(\mathcal U\). Logo existe \(F\in \mathcal U\) tal que \(F\cap A=\varnothing \). Como \(F\subseteq X\setminus A\), segue que \(X\setminus A\in \mathcal U\).
Reciprocamente, suponha que a dicotomia valha e que \(\mathcal U\subseteq \mathcal F\), com \(\mathcal F\) um filtro. Se \(A\in \mathcal F\setminus \mathcal U\), então \(X\setminus A\in \mathcal U\) e, portanto, \(A,X\setminus A\in \mathcal F\). Isso obrigaria \(\varnothing \in \mathcal F\), uma contradição. Logo não existe tal \(A\) e \(\mathcal F=\mathcal U\).
Por fim, \(A\) e \(X\setminus A\) não podem pertencer simultaneamente a um filtro, pois sua interseção é vazia.
Ao menos um pertence: caso contrário, todos os complementos \(X\setminus A_j\) pertenceriam a \(\mathcal U\), e a interseção desses complementos seria vazia. Dois membros distintos da partição não podem ambos pertencer ao filtro, pois são disjuntos.
A existência de ultrafiltros que refinam um filtro dado será demonstrada por uma aplicação do lema de Zorn.
Seja \(\mathscr P\) a família dos filtros em \(X\) que contêm um filtro dado \(\mathcal F\), ordenada pela inclusão. A família é não vazia, pois contém \(\mathcal F\).
Se \(\mathscr C\subseteq \mathscr P\) é uma cadeia não vazia, então
é um filtro. De fato, dois de seus elementos pertencem a dois filtros da cadeia; um desses filtros contém o outro e, portanto, contém a interseção dos dois elementos. Além disso, \(X\in \mathcal G\) e \(\varnothing \notin \mathcal G\). Se \(A\in \mathcal G\) e \(A\subseteq B\subseteq X\), algum \(\mathcal H\in \mathscr C\) contém \(A\); como \(\mathcal H\) é filtro, também contém \(B\). Logo \(B\in \mathcal G\). Assim, \(\mathcal G\) é uma cota superior de \(\mathscr C\) em \(\mathscr P\).
A cadeia vazia também possui cota superior, por exemplo o próprio filtro \(\mathcal F\). Portanto, toda cadeia de \(\mathscr P\) possui cota superior em \(\mathscr P\).
Pelo lema de Zorn, \(\mathscr P\) possui um elemento maximal. Esse elemento é um ultrafiltro que contém \(\mathcal F\).
Se \(X\) é infinito, o filtro de Fréchet está contido em algum ultrafiltro \(\mathcal U\). Esse ultrafiltro não pode ser principal. De fato, se fosse principal em \(x\), conteria \(\{ x\} \); mas o filtro de Fréchet, também contido em \(\mathcal U\), contém \(X\setminus \{ x\} \). Isso é impossível em um filtro.
Portanto, uma vez admitido o lema do ultrafiltro, todo conjunto infinito admite ultrafiltros livres.
Para \(B\subseteq Y\), a dicotomia aplicada a \(f^{-1}(B)\) fornece
Logo \(B\in f_*\mathcal U\) ou \(Y\setminus B\in f_*\mathcal U\). Pelo Teorema 8.28, \(f_*\mathcal U\) é ultrafiltro.
\(\mathcal U\to x\);
\(x\) é ponto de aderência de \(\mathcal U\).
Já sabemos que convergência implica aderência para qualquer filtro. Suponha, reciprocamente, que \(x\) seja aderente a \(\mathcal U\). Se alguma vizinhança \(V\) de \(x\) não pertencesse a \(\mathcal U\), a dicotomia daria \(X\setminus V\in \mathcal U\). Mas então
contrariando a aderência de \(x\). Portanto, \(\mathcal N(x)\subseteq \mathcal U\), isto é, \(\mathcal U\to x\).
8.5.2 Redes universais
Na linguagem das redes, a condição correspondente à maximalidade de um filtro será expressa pela eventualidade em cada subconjunto ou em seu complementar.
Pela definição do filtro de eventualidade,
Assim, a condição de rede universal coincide exatamente com a dicotomia do Teorema 8.28.
O lema do ultrafiltro também pode ser formulado em termos de sub-redes.
Seja \((x_d)_{d\in D}\) uma rede. No próprio conjunto \(D\), considere o filtro das caudas, gerado pelos conjuntos
Pelo lema do ultrafiltro, esse filtro está contido em um ultrafiltro \(\mathcal V\) sobre \(D\).
Defina
e ordene \(E\) por
O conjunto \(E\) é dirigido. Com efeito, dados \((d,A)\) e \((e,B)\), escolha \(c\succeq d,e\). O conjunto
pertence a \(\mathcal V\) e é não vazio. Se \(f\in C\), então \((f,C)\) sucede aos dois índices dados.
A função \(\varphi \colon E\to D\), dada por \(\varphi (d,A)=d\), é crescente. É também cofinal, pois \(\uparrow d_0\in \mathcal V\) e \((d_0,\uparrow d_0)\in E\) para todo \(d_0\in D\). Logo \((x_{\varphi (e)})_{e\in E}\) é uma sub-rede de \((x_d)\).
Para provar que ela é universal, fixe \(C\subseteq X\) e ponha
Como \(\mathcal V\) é ultrafiltro, \(H\in \mathcal V\) ou \(D\setminus H\in \mathcal V\). No primeiro caso, escolha \(d\in H\). Depois do índice \((d,H)\), a primeira coordenada de todo índice posterior pertence a \(H\); logo a sub-rede está eventualmente em \(C\). No segundo caso, o mesmo argumento, aplicado a \(D\setminus H\), mostra que ela está eventualmente em \(X\setminus C\).
8.6 Compacidade revisitada
No Capítulo 7, a compacidade foi definida por coberturas abertas e relacionada à propriedade da interseção finita. Redes e ultrafiltros condensam essas duas formulações em critérios de convergência.
\(X\) é compacto;
toda rede em \(X\) possui um ponto de aderência;
toda rede em \(X\) possui uma sub-rede convergente;
todo ultrafiltro em \(X\) converge;
toda rede universal em \(X\) converge.
\((1)\Rightarrow (2)\). Se \((x_d)_{d\in D}\) é uma rede, denote sua cauda a partir de \(d\) por
A família de fechados \((\overline{T_d})_{d\in D}\) tem a propriedade da interseção finita: dada uma família finita de caudas, uma cauda iniciada depois de todos os índices está contida na interseção delas. Pela compacidade, existe
Toda vizinhança de \(x\) encontra toda cauda, logo \(x\) é ponto de aderência da rede.
\((2)\Rightarrow (1)\). Se \(X=\varnothing \), a conclusão é imediata. Suponha \(X\ne \varnothing \). Seja \(\mathscr C\) uma família de fechados com a propriedade da interseção finita. Podemos supor \(\mathscr C\ne \varnothing \). Considere o conjunto dirigido
com a relação
Esse conjunto é dirigido: a união de duas primeiras coordenadas é finita e, pela propriedade da interseção finita, a interseção dos fechados nela registrados contém um ponto. A rede \(x_{(\mathscr E,x)}=x\) possui, por hipótese, um ponto de aderência \(p\).
Fixe \(C_0\in \mathscr C\). A partir de qualquer índice cuja primeira coordenada contenha \(C_0\), todos os termos pertencem a \(C_0\). Como \(p\) é ponto de aderência, toda vizinhança de \(p\) encontra \(C_0\). Portanto \(p\in \overline{C_0}=C_0\). Isso vale para todo \(C_0\in \mathscr C\), e assim \(\bigcap \mathscr C\ne \varnothing \). Pela caracterização por fechados, \(X\) é compacto.
A equivalência entre \((2)\) e \((3)\) é exatamente o Teorema 8.15.
\((1)\Rightarrow (4)\). Se \(\mathcal U\) é um ultrafiltro, a família
tem a propriedade da interseção finita: para \(A_1,\dots ,A_n\in \mathcal U\), o conjunto \(A_1\cap \cdots \cap A_n\) pertence ao filtro, é não vazio e está contido em \(\overline{A_1}\cap \cdots \cap \overline{A_n}\). Pela compacidade, há um ponto \(x\in \bigcap _{A\in \mathcal U}\overline A\). Logo \(x\) é aderente a \(\mathcal U\) e, pela Proposição 8.34, \(\mathcal U\to x\).
\((4)\Rightarrow (1)\). Se \(X=\varnothing \), não há o que provar. Suponha \(X\ne \varnothing \). Se \(\mathscr C\) é uma família de fechados com a propriedade da interseção finita, a família
na qual a interseção da família vazia é \(X\), forma uma base de filtro. Pelo lema do ultrafiltro, o filtro gerado por essa base está contido em um ultrafiltro \(\mathcal U\). Por hipótese, \(\mathcal U\to x\) para algum \(x\in X\). Se \(C\in \mathscr C\), então \(C\in \mathcal U\). Toda vizinhança de \(x\) também pertence a \(\mathcal U\) e, por isso, encontra \(C\). Assim, \(x\in \overline C=C\). Concluímos que \(x\in \bigcap \mathscr C\) e que \(X\) é compacto.
\((4)\Rightarrow (5)\). O filtro de eventualidade de uma rede universal é ultrafiltro, pela Proposição 8.36. Se esse filtro converge, a própria rede converge, pela Proposição 8.25.
\((5)\Rightarrow (4)\). Dado um ultrafiltro \(\mathcal U\), tome a rede associada a ele na Proposição 8.26. Seu filtro de eventualidade é \(\mathcal U\), logo a rede é universal. Por hipótese, ela converge; portanto, \(\mathcal U\) converge.
A existência do limite segue da compacidade. A unicidade segue da propriedade de Hausdorff, aplicada à rede associada ao ultrafiltro.
Em espaços métricos, a compacidade pode ser caracterizada pela existência de uma subsequência convergente para cada sequência. Nos espaços gerais, essa caracterização é substituída pela existência de sub-redes convergentes ou, equivalentemente, pela convergência de todos os ultrafiltros.
8.7 Uma segunda prova do teorema de Tychonoff
A prova do Capítulo 7 utiliza uma cobertura por abertos sub-básicos. Na demonstração seguinte, consideraremos um ultrafiltro no produto e suas imagens pelas projeções coordenadas.
Se algum fator é vazio, então \(X\) é vazio e, portanto, compacto. Suponha que todos os fatores sejam não vazios.
Seja \(\mathcal U\) um ultrafiltro em \(X\). Para cada \(i\in I\), considere o ultrafiltro imagem
Ele é de fato um ultrafiltro pela Proposição 8.33. Como \(X_i\) é compacto, o Teorema 8.38 fornece um ponto \(x_i\in X_i\) tal que
Escolha simultaneamente um desses limites em cada coordenada e escreva \(x=(x_i)_{i\in I}\in X\). Pela Proposição 8.23, das convergências \((\pi _i)_*\mathcal U\to x_i\) para todo \(i\) segue
na topologia produto.
Portanto, todo ultrafiltro em \(X\) converge. Novamente pelo Teorema 8.38, o espaço \(X\) é compacto.
A etapa central da demonstração pode ser expressa da seguinte forma. Se
é uma vizinhança básica de \(x\), então \(V_i\in \mathcal U_i\) para cada \(i\in F\). Logo \(\pi _i^{-1}(V_i)\in \mathcal U\) e, como \(F\) é finito, \(W\in \mathcal U\). A conclusão utiliza duas propriedades: as vizinhanças básicas do produto restringem finitas coordenadas e o ultrafiltro é estável por interseções finitas.
A demonstração usa o lema do ultrafiltro e, quando os fatores não são Hausdorff, escolhe simultaneamente um limite para cada ultrafiltro coordenado. Embora o lema do ultrafiltro seja mais fraco que o axioma da escolha completo, essa seleção simultânea constitui uma aplicação adicional de escolha. Para fatores compactos Hausdorff, os limites coordenados são únicos e essa escolha adicional desaparece.
No quadro usual de ZFC, todas essas escolhas estão disponíveis. A prova anterior, via sub-base de Alexander, também recorre a princípios de escolha. As duas demonstrações não eliminam essa dependência; apenas a organizam de modos conceitualmente diferentes.
As duas provas de Tychonoff utilizam condições finitas de maneiras distintas. Na primeira, elas aparecem nos cilindros sub-básicos e nas interseções de fechados. Na segunda, aparecem nos axiomas de filtro e nas vizinhanças básicas do produto. Em ambos os casos, a compacidade permite concluir a existência a partir da compatibilidade dessas condições finitas.
O exemplo inicial mostrou um ponto do fecho que não é limite de nenhuma sequência no conjunto considerado. A substituição dos índices em \(\mathbb {N}\) por conjuntos dirigidos permitiu caracterizar fecho, continuidade e compacidade em espaços gerais. A prova de Tychonoff por ultrafiltros aplica essa formulação da convergência a produtos arbitrários de compactos.
Mostre que, em um conjunto dirigido, toda família finita de índices possui um majorante comum. Seja \(D\) um conjunto dirigido cuja relação não seja antissimétrica. Defina \(d\sim e\) quando \(d\preceq e\) e \(e\preceq d\). Prove que \(\sim \) é uma relação de equivalência e que a relação induzida em \(D/{\sim }\) é uma ordem parcial dirigida. Para cada \(F\in \operatorname {Fin}(\mathbb {N})\), seja \(x_F\in \mathbb {R}^{\mathbb {N}}\) definido por Ordene \(\operatorname {Fin}(\mathbb {N})\) por inclusão. Determine o limite de \((x_F)\) na topologia produto e mostre que a mesma rede não converge para esse limite na topologia da caixa. Prove diretamente, usando redes, que: o fecho de um conjunto é fechado; uma função \(f\colon X\to Y\) é contínua se, e somente se, \(f(\overline A)\subseteq \overline{f(A)}\) para todo \(A\subseteq X\); a composição de funções contínuas preserva limites de redes. Mostre que a composição de duas funções crescentes e cofinais entre conjuntos dirigidos é crescente e cofinal. Conclua que uma sub-rede de uma sub-rede é uma sub-rede da rede original. Considere \(X=\mathbb {R}^{\mathbb {N}}\). Mostre que a sequência \(x_n\), dada por \(x_n(k)=1\) se \(k=n\) e \(x_n(k)=0\) caso contrário, converge coordenadamente para zero. Conclua que \(x_n\to 0\) na topologia produto. Mostre que a mesma sequência não converge para zero na topologia da caixa. Explique por que a Proposição 8.12 não contradiz esse fato. Seja \((x_d)_{d\in D}\) uma rede convergente e suponha que \(D\) possua um subconjunto cofinal enumerável. Construa uma sequência crescente e cofinal \((d_n)\) em \(D\) e conclua que \((x_{d_n})\) é uma sub-rede sequencial convergente. Mostre que a primeira enumerabilidade do espaço, por si só, não garante esse resultado: em um espaço com um único ponto, considere uma rede constante indexada por \(\operatorname {Fin}(I)\), com \(I\) não enumerável. Verifique que a família dos conjuntos coenumeráveis de um conjunto não enumerável é um filtro. Compare-a com o filtro de Fréchet. Seja \(\mathcal B\) uma família não vazia de subconjuntos de \(X\). Mostre que \(\mathcal B\) é base de filtro se, e somente se, seus elementos são não vazios e toda interseção finita de elementos de \(\mathcal B\) contém algum elemento de \(\mathcal B\). Seja \(f\colon X\to Y\) e seja \(\mathcal F\) um filtro em \(X\). Mostre que \((g\circ f)_*\mathcal F=g_*(f_*\mathcal F)\) para toda função \(g\colon Y\to Z\). Prove que um ultrafiltro \(\mathcal U\) é principal se, e somente se, contém algum conjunto finito. Conclua que todo ultrafiltro em um conjunto finito é principal. Seja \(X\) infinito. Use o lema do ultrafiltro para provar que existe um ultrafiltro em \(X\) que contém todos os subconjuntos cofinitos de \(X\) e não contém nenhum subconjunto finito. Seja \(\mathcal U\) um ultrafiltro e sejam \(A_1,\dots ,A_n\subseteq X\) tais que \(A_1\cup \cdots \cup A_n\in \mathcal U\). Prove que \(A_j\in \mathcal U\) para algum \(j\). Mostre que uma rede universal que possui um ponto de aderência converge para esse ponto. Deduza novamente a implicação “compacto \(\Rightarrow \) toda rede universal converge”. Prove que um espaço \(X\) é compacto e Hausdorff se, e somente se, todo ultrafiltro em \(X\) converge para exatamente um ponto. Seja \(K\) compacto, \(Y\) Hausdorff e \(f\colon K\to Y\) contínua. Use ultrafiltros para provar que \(f\) é uma aplicação fechada. Refaça a prova do teorema de Tychonoff trabalhando apenas com redes universais: tome uma rede universal no produto, projete-a em cada coordenada e use a Proposição 8.12.