Espaços Métricos Completos
Metrizabilidade e completude são propriedades distintas. A primeira exige a existência de uma métrica que induza a topologia dada. A segunda se refere a uma métrica escolhida e exige que toda sequência de Cauchy tenha limite no espaço.
Essa distinção é essencial. O intervalo \((0,1)\) com a métrica usual não é completo, embora seja homeomorfo a \(\mathbb R\) e, portanto, admita uma métrica compatível completa. Depois de estudar completamentos, veremos duas consequências centrais da completude: o Teorema do Ponto Fixo de Banach e o Teorema de Baire.
12.1 Sequências de Cauchy e completude
Toda sequência convergente é de Cauchy. A recíproca caracteriza precisamente a completude.
Se \((x_n)\) é de Cauchy, existe \(N\) tal que
Em particular, para \(n\geq N\) temos \(d(x_n,x_N)\lt 1\). Os termos anteriores a \(x_N\) são finitos em número. Logo toda a sequência está contida em alguma bola centrada em \(x_N\).
se \(X\) é completo e \(A\) é fechado, então \(A\) é completo;
se \(A\) é completo, então \(A\) é fechado em \(X\).
Se \((a_n)\) é de Cauchy em \(A\), então também é de Cauchy em \(X\). Pela completude de \(X\), existe \(x\in X\) com \(a_n\to x\). Como \(A\) é fechado, \(x\in A\).
Reciprocamente, suponha \(A\) completo e seja \(x\in \overline A\). Para cada \(n\geq 1\), escolha \(a_n\in A\) com \(d(a_n,x)\lt 1/n\). Então \(a_n\to x\) em \(X\), logo \((a_n)\) é de Cauchy em \(A\). Pela completude de \(A\), existe \(a\in A\) com \(a_n\to a\). A unicidade do limite em espaços métricos dá \(x=a\in A\).
O exemplo mostra que a completude de uma métrica não é determinada apenas pela topologia que ela induz. A existência de alguma métrica compatível completa, por outro lado, é uma propriedade topológica.
12.2 Completamento
A construção é análoga à passagem dos racionais aos reais: pontos ausentes são representados por sequências de Cauchy.
Seja \(\mathcal C\) o conjunto de todas as sequências de Cauchy em \(X\). Para \((x_n),(y_n)\in \mathcal C\), defina
É imediato verificar que \(\sim \) é uma relação de equivalência.
Pela desigualdade triangular,
O lado direito tende a zero quando \(m,n\to \infty \). Logo \((d(x_n,y_n))\) é uma sequência de Cauchy em \(\mathbb R\), que é completo.
Defina
e, para classes \(\xi =[(x_n)]\) e \(\eta =[(y_n)]\),
O Lema 12.8 garante a existência do limite. Se \((x_n)\sim (x'_n)\) e \((y_n)\sim (y'_n)\), então
logo o valor do limite não depende dos representantes.
As propriedades de simetria e desigualdade triangular passam ao limite. Além disso,
se, e somente se, \(d(x_n,y_n)\to 0\), isto é, se, e somente se, as duas sequências representam a mesma classe.
Para \(x\in X\), seja \(\iota (x)\) a classe da sequência constante \((x,x,\ldots )\).
A aplicação \(\iota :X\to \widehat X\) é isométrica, pois
Mostremos primeiro que \(\iota (X)\) é densa. Seja \(\xi =[(x_n)]\in \widehat X\). Para cada \(N\),
Como \((x_n)\) é de Cauchy, esse valor tende a zero quando \(N\to \infty \).
Resta provar que \(\widehat X\) é completo. Seja \((\xi _m)\) uma sequência de Cauchy em \(\widehat X\). Pela densidade de \(\iota (X)\), escolha \(x_m\in X\) de modo que
Então \((x_m)\) é de Cauchy em \(X\), pois
Seja \(\xi =[(x_m)]\in \widehat X\). Como
o lado direito tende a zero quando \(m\to \infty \). Portanto
Logo \(\widehat X\) é completo.
Dado \(\)
Se outra sequência \((x'_n)\) satisfaz \(\iota (x'_n)\to y\), então \(d(x_n,x'_n)\to 0\), e daí \(d_Z(\jmath(x_n),\jmath(x'_n))\to 0\). Logo \(T\) está bem definida.
Passando ao limite nas igualdades
vemos que \(T\) preserva distâncias. Em particular, é injetiva. Sua imagem é completa e, portanto, fechada em \(Z\) pela Proposição 12.4; ela contém o conjunto denso \(\jmath(X)\), logo é todo \(Z\). A condição \(T\circ \iota =\)\(\) determina \(\)T\(\) num conjunto denso e, por continuidade, garante a unicidade.
12.3 O Teorema do Ponto Fixo de Banach
A demonstração do teorema de Banach fornece, além da existência e da unicidade do ponto fixo, um processo iterativo que converge para ele.
Pela propriedade de contração,
Se \(m\gt n\), a desigualdade triangular fornece
Logo \((x_n)\) é de Cauchy. Pela completude, existe \(p\in X\) com \(x_n\to p\). Como uma contração é Lipschitz, é contínua, e portanto
Se \(p\) e \(r\) são pontos fixos,
o que, como \(q\lt 1\), implica \(d(p,r)=0\). Assim o ponto fixo é único.
Fazendo \(m\to \infty \) na estimativa anterior obtemos
12.3.1 Uma aplicação a equações diferenciais
O mesmo mecanismo transforma uma equação diferencial em uma equação de ponto fixo.
Se \((f_n)\) é de Cauchy para \(d_\infty \), então, para cada \(t\in K\), a sequência \((f_n(t))\) é de Cauchy em \(Y\) e possui um limite \(f(t)\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(N\) tal que
Fixando \(n\geq N\) e fazendo \(m\to \infty \), obtemos
uniformemente em \(t\). Logo \(f_n\to f\) uniformemente. O limite uniforme de funções contínuas é contínuo, de modo que \(f\in C(K,Y)\) e \(d_\infty (f_n,f)\to 0\).
Como \(R\) é compacto e \(F\) é contínua, existe
Escolha \(h\gt 0\) com
No espaço completo
considere o subconjunto fechado
Defina
A escolha de \(h\) garante que \(T(\mathcal X)\subset \mathcal X\). Além disso,
Logo \(T\) é uma contração. Pelo Teorema 12.13, existe uma única \(\varphi \in \mathcal X\) tal que \(T\varphi =\varphi \). Pela regra fundamental do cálculo, essa identidade integral é equivalente ao problema diferencial.
A prova revela o conteúdo algorítmico do resultado: as iterações
são as aproximações sucessivas de Picard e convergem para a solução.
12.4 O teorema de interseção de Cantor
A completude também pode ser reconhecida por conjuntos fechados encaixados.
Escolha \(x_n\in F_n\). Se \(m\geq n\), então \(x_m,x_n\in F_n\), logo
Portanto \((x_n)\) é de Cauchy e converge, pela completude, para algum \(x\in X\).
Para cada \(n\), todos os termos \(x_m\) com \(m\geq n\) pertencem a \(F_n\). Como \(F_n\) é fechado, \(x\in F_n\). Logo \(x\) pertence à interseção.
Se \(x,y\) pertencem à interseção, então, para todo \(n\),
Fazendo \(n\to \infty \), obtemos \(d(x,y)=0\), portanto \(x=y\).
12.5 Categoria de Baire
O Teorema de Baire estabelece uma consequência topológica da completude. Sua formulação utiliza conjuntos cujo fecho tem interior vazio e uniões enumeráveis desses conjuntos. Introduziremos primeiro essas noções.
Sejam \(G_1,G_2,\ldots \) abertos densos em \(X\) e seja \(U\) um aberto não vazio. Mostraremos que
Como \(G_1\) é denso, \(U\cap G_1\) é aberto não vazio. Escolha uma bola fechada
com \(0\lt r_1\lt 1\). Suponha escolhida \(\overline B(x_n,r_n)\). Como \(G_{n+1}\) é denso,
é aberto não vazio. Escolha
com \(0\lt r_{n+1}\lt 2^{-(n+1)}\).
Temos, assim, uma sequência encaixada de bolas fechadas
cujos diâmetros tendem a zero. Pelo Teorema 12.18, existe um único ponto \(x\) na interseção. Como a primeira bola está contida em \(U\) e a \(n\)-ésima bola está contida em \(G_n\), segue que
Como \(U\) era um aberto não vazio arbitrário, a interseção é densa.
Se
com cada \(A_n\) denso em lugar nenhum, então
é aberto e denso. Pelo Teorema de Baire, \(\bigcap _n G_n\) é denso e, em particular, não vazio. Mas
contradição.
Se
então
Cada singleton é fechado e tem interior vazio, logo é denso em lugar nenhum. Isso contradiz o Corolário 12.23, pois \(\mathbb R\) com a métrica usual é completo.
Exercícios
Mostre que \(\mathbb Q\), com a métrica usual, não é completo e identifique seu completamento.
Mostre que \(\mathbb R^n\), com qualquer uma das métricas usuais \(d_1,d_2,d_\infty \), é completo.
Seja \((X,d)\) completo e seja \(A\subset X\) fechado. Dê uma segunda prova de que \(A\) é completo usando o Teorema de Interseção de Cantor.
Mostre que o produto de uma família finita de espaços métricos completos, munido da métrica do máximo, é completo.
Mostre que o produto enumerável de espaços métricos completos, munido da métrica
\[ D(x,y)=\sum _{n\geq 1}2^{-n}\min \{ 1,d_n(x_n,y_n)\} , \]é completo.
Seja \(T:X\to X\) uma contração de razão \(q\lt 1\) em um espaço completo. Mostre que
\[ d(x_n,p)\leq \frac{q}{1-q}\, d(x_n,x_{n-1}) \]para as iterações de Banach.
Use o Teorema de Banach para provar que a equação
\[ x=e^{-x} \]possui uma única solução em \([0,1]\).
No Teorema 12.16, explique exatamente onde entram a completude do espaço de funções e a condição de Lipschitz.
Prove a recíproca do Teorema de Interseção de Cantor: se toda sequência decrescente de fechados não vazios com diâmetros tendendo a zero possui interseção não vazia, então o espaço métrico é completo.
Mostre que todo aberto de um espaço métrico completo é um espaço de Baire com a topologia relativa.
Mostre que \(\mathbb Q\) é magro em si mesmo. Isso entra em conflito com o fato de \(\mathbb Q\) ser denso em \(\mathbb R\)? Explique.