Capítulo 11

Espaços Metrizáveis

Nos primeiros capítulos, uma métrica apareceu como uma maneira de produzir uma topologia. Neste capítulo fazemos a pergunta inversa: dada uma topologia, quando ela pode ser descrita por alguma distância?

O principal resultado será o Teorema de Metrização de Urysohn. Sob as hipóteses de separação e enumerabilidade indicadas adiante, funções contínuas com valores em \([0,1]\) permitirão construir um mergulho no cubo de Hilbert, que é um espaço métrico.

O percurso será

\[ \text{regularidade + segunda enumerabilidade} \Longrightarrow \text{normalidade} \Longrightarrow \text{coordenadas contínuas enumeráveis} \Longrightarrow X\hookrightarrow [0,1]^{\mathbb N} \Longrightarrow \text{metrizabilidade}. \]

Cada uma dessas setas já apareceu, em alguma forma, nos capítulos anteriores. O objetivo aqui é reuni-las numa única demonstração.

11.1 Métricas compatíveis

Definição 11.1 (Espaço metrizável)
Seja \((X,\tau )\) um espaço topológico. Dizemos que \(X\) é metrizável quando existe uma métrica \(d\) em \(X\) tal que a topologia induzida por \(d\) coincide com \(\tau \). Nesse caso, dizemos que \(d\) é compatível com a topologia de \(X\).

Uma topologia metrizável quase nunca determina uma única métrica. Mesmo quando uma métrica já está disponível, é útil substituí-la por outra com propriedades mais convenientes sem alterar os abertos.

Proposição 11.2 (Truncamento de uma métrica)
Se \(d\) é uma métrica em \(X\), então
\[ \bar d(x,y)=\min \{ 1,d(x,y)\} \]
também é uma métrica, é limitada por \(1\) e induz a mesma topologia que \(d\).

Demonstração ▼

As propriedades de simetria, positividade e separação de pontos são imediatas. Para a desigualdade triangular basta observar que, para \(a,b\geq 0\),

\[ \min \{ 1,a+b\} \leq \min \{ 1,a\} +\min \{ 1,b\} . \]

Logo

\[ \bar d(x,z) \leq \min \{ 1,d(x,y)+d(y,z)\} \leq \bar d(x,y)+\bar d(y,z). \]

Se \(0\lt r\lt 1\), então

\[ B_{\bar d}(x,r)=B_d(x,r). \]

Portanto as duas métricas possuem as mesmas vizinhanças suficientemente pequenas em cada ponto e, consequentemente, induzem a mesma topologia.

11.2 O que uma métrica força

A metrizabilidade impõe fortes restrições de separação e de comportamento local. Todo espaço métrico é Hausdorff, regular, normal e primeiro enumerável. Esses resultados já foram demonstrados nos capítulos anteriores. Para a metrização de Urysohn, porém, a relação entre separabilidade, segunda enumerabilidade e a propriedade de Lindelöf será especialmente importante.

Teorema 11.3 (Enumerabilidade em espaços métricos)
Se \(X\) é um espaço métrico, são equivalentes:

  1. \(X\) é separável;

  2. \(X\) é segundo enumerável;

  3. \(X\) é Lindelöf.

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(X\) seja separável e seja \(D\subset X\) um conjunto enumerável e denso. A família

\[ \mathcal B= \bigl\{ B(q,r):q\in D,\ r\in \mathbb Q,\ r\gt 0\bigr\} \]

é enumerável. Mostremos que ela é uma base. Se \(x\in U\) e \(U\) é aberto, escolha \(\varepsilon \gt 0\) tal que \(B(x,\varepsilon )\subset U\). Pela densidade de \(D\), existe \(q\in D\) com \(d(x,q)\lt \varepsilon /3\). Escolhendo \(r\in \mathbb Q\) de modo que

\[ d(x,q)\lt r\lt \frac{2\varepsilon }{3}, \]

temos

\[ x\in B(q,r)\subset B(x,\varepsilon )\subset U. \]

Logo \(X\) é segundo enumerável.

Agora suponha que \(\mathcal B=\{ B_1,B_2,\ldots \} \) seja uma base enumerável e seja \(\mathcal U\) uma cobertura aberta de \(X\). Considere os elementos \(B_n\) da base que estão contidos em algum membro de \(\mathcal U\). Para cada um deles escolha um aberto \(U_n\in \mathcal U\) com \(B_n\subset U_n\). A família dos \(U_n\) escolhidos é enumerável e ainda cobre \(X\), pois todo ponto pertence a algum elemento básico contido em um membro da cobertura. Assim \(X\) é Lindelöf.

Finalmente, suponha \(X\) Lindelöf. Para cada \(n\geq 1\), a família

\[ \bigl\{ B(x,1/n):x\in X\bigr\} \]

é uma cobertura aberta. Escolha uma subcobertura enumerável e denote por \(D_n\) o conjunto de seus centros. Então

\[ D=\bigcup _{n\geq 1}D_n \]

é enumerável. Dado um aberto não vazio \(U\), escolha \(x\in U\) e \(\varepsilon \gt 0\) com \(B(x,\varepsilon )\subset U\). Tome \(n\) com \(2/n\lt \varepsilon \). Como as bolas de raio \(1/n\) centradas em \(D_n\) cobrem \(X\), existe \(q\in D_n\) tal que \(x\in B(q,1/n)\). Então \(d(x,q)\lt 1/n\lt \varepsilon \), e portanto \(q\in U\). Logo \(D\) é denso.

A equivalência do teorema depende da hipótese de metrizabilidade. Fora dessa classe, as três propriedades não são, em geral, equivalentes, como mostram os contraexemplos examinados ao final do capítulo.

11.3 Produtos enumeráveis e o cubo de Hilbert

A prova de Urysohn produzirá uma sequência de funções contínuas

\[ f_1,f_2,\ldots :X\longrightarrow [0,1]. \]

Para tratá-las como coordenadas, precisamos saber que um produto enumerável de espaços métricos continua sendo metrizável.

Teorema 11.4 (Produto enumerável de espaços metrizáveis)
Se \((X_n,d_n)\) é um espaço métrico para cada \(n\geq 1\), então a topologia produto em
\[ X=\prod _{n\geq 1}X_n \]
é metrizável.

Demonstração ▼

Pela Proposição 11.2, podemos substituir cada \(d_n\) por

\[ \rho _n(x,y)=\min \{ 1,d_n(x,y)\} . \]

Defina, para \(x=(x_n)\) e \(y=(y_n)\),

\[ D(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\rho _n(x_n,y_n). \]

A série converge, pois cada termo é no máximo \(2^{-n}\). A positividade, a simetria e a separação de pontos são imediatas, e a desigualdade triangular segue termo a termo. Portanto \(D\) é uma métrica.

Resta comparar as topologias. Para cada \(k\),

\[ \rho _k(x_k,y_k)\leq 2^kD(x,y), \]

logo a projeção \(\pi _k:(X,D)\to X_k\) é contínua. Como a topologia produto é a menor topologia que torna todas as projeções contínuas, ela está contida na topologia induzida por \(D\).

Reciprocamente, fixe \(x\in X\) e \(\varepsilon \gt 0\). Escolha \(N\) tal que

\[ \sum _{n\gt N}2^{-n}\lt \frac{\varepsilon }{2}. \]

Para cada \(1\leq n\leq N\), escolha \(\delta _n\gt 0\) tal que \(2^{-n}\delta _n\lt \varepsilon /(2N)\) e \(\delta _n\leq 1\). O conjunto

\[ V= \prod _{n\geq 1}V_n, \qquad V_n= \begin{cases} B_{\rho _n}(x_n,\delta _n),& n\leq N,\\ X_n,& n\gt N, \end{cases} \]

é uma vizinhança básica de \(x\) na topologia produto. Se \(y\in V\), então

\[ D(x,y) \lt \sum _{n=1}^{N}\frac{\varepsilon }{2N} +\sum _{n\gt N}2^{-n} \lt \varepsilon . \]

Assim \(V\subset B_D(x,\varepsilon )\), e as duas topologias coincidem.

Definição 11.5 (Cubo de Hilbert)
O espaço
\[ \mathcal H=[0,1]^{\mathbb N}, \]
munido da topologia produto, é chamado cubo de Hilbert.

Pelo teorema anterior, uma métrica compatível com \(\mathcal H\) é

\[ d_{\mathcal H}(x,y) = \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}|x_n-y_n|. \]

Proposição 11.6
O cubo de Hilbert é separável e segundo enumerável.

Demonstração ▼

Considere o conjunto \(D\) das sequências \((q_n)\) tais que \(q_n\in \mathbb Q\cap [0,1]\) para todo \(n\) e \(q_n=0\) a partir de algum índice. Esse conjunto é enumerável. Toda vizinhança básica no produto restringe apenas um número finito de coordenadas; escolhendo valores racionais nessas coordenadas obtemos um elemento de \(D\) dentro da vizinhança. Logo \(D\) é denso.

Como \(\mathcal H\) é métrico, o Teorema 11.3 implica que \(\mathcal H\) é segundo enumerável.

11.4 De uma base enumerável a coordenadas enumeráveis

No capítulo anterior vimos que espaços de Tychonoff possuem funções contínuas reais suficientes para separar pontos de fechados e, por meio da aplicação de avaliação, podem ser mergulhados em um cubo \([0,1]^I\). Para obter uma métrica, o ponto decisivo é reduzir o conjunto de coordenadas a uma família enumerável.

Seja \(X\) um espaço regular, \(T_1\) e segundo enumerável, e fixe uma base

\[ \mathcal B=\{ B_1,B_2,\ldots \} . \]

Considere o conjunto de pares

\[ \mathcal P= \bigl\{ (i,j)\in \mathbb N^2:\overline{B_i}\subset B_j\bigr\} . \]

Ele é enumerável.

Lema 11.7 (Pares que refinam qualquer vizinhança)
Para todo aberto \(U\subset X\) e todo \(x\in U\), existem índices \(i,j\) tais que
\[ x\in B_i\subset \overline{B_i}\subset B_j\subset U. \]

Demonstração ▼

Escolha primeiro \(B_j\in \mathcal B\) com

\[ x\in B_j\subset U. \]

Pela regularidade, existe um aberto \(V\) tal que

\[ x\in V\subset \overline V\subset B_j. \]

Escolha então \(B_i\in \mathcal B\) com \(x\in B_i\subset V\). Assim

\[ x\in B_i\subset \overline{B_i} \subset \overline V\subset B_j\subset U. \]

Como \(X\) é segundo enumerável, é Lindelöf. Pelo resultado do capítulo anterior, um espaço regular e Lindelöf é normal. Podemos, portanto, aplicar o Lema de Urysohn.

Para cada \((i,j)\in \mathcal P\), escolha uma função contínua

\[ f_{ij}:X\longrightarrow [0,1] \]

tal que

\[ f_{ij}=1\quad \hbox{em }\overline{B_i}, \qquad f_{ij}=0\quad \hbox{em }X\setminus B_j. \]

Proposição 11.8 (Uma família enumerável de coordenadas)
A família \(\{ f_{ij}:(i,j)\in \mathcal P\} \) é enumerável e possui a seguinte propriedade: se \(U\) é aberto e \(x\in U\), existe uma função \(f\) da família tal que
\[ x\in f^{-1}\bigl((1/2,1]\bigr)\subset U. \]
Em particular, essas funções separam pontos.

Demonstração ▼

A enumerabilidade decorre de \(\mathcal P\subset \mathbb N^2\). Dados \(x\in U\), escolha \(i,j\) pelo Lema 11.7. Como \(x\in B_i\), temos \(f_{ij}(x)=1\). Além disso,

\[ f_{ij}^{-1}\bigl((1/2,1]\bigr)\subset B_j\subset U, \]

pois \(f_{ij}\) vale zero fora de \(B_j\).

Se \(x\neq y\), aplique a propriedade ao aberto \(U=X\setminus \{ y\} \), que contém \(x\) porque \(X\) é \(T_1\). Obtemos uma função \(f\) com \(f(x)\gt 1/2\) e \(f(y)=0\). Logo a família separa pontos.

Enumere essa família como \(f_1,f_2,\ldots \) e defina

\[ F:X\longrightarrow \mathcal H, \qquad F(x)=\bigl(f_1(x),f_2(x),\ldots \bigr). \]

Proposição 11.9 (Mergulho no cubo de Hilbert)
A aplicação \(F\) é um mergulho topológico de \(X\) no cubo de Hilbert.

Demonstração ▼

Cada coordenada de \(F\) é contínua; pela propriedade universal da topologia produto, \(F\) é contínua. A Proposição 11.8 mostra que as coordenadas separam pontos, portanto \(F\) é injetiva.

Resta verificar que a topologia de \(X\) coincide com a topologia induzida por \(F\). Se \(U\) é aberto e \(x\in U\), escolha \(f_n\) tal que

\[ x\in f_n^{-1}\bigl((1/2,1]\bigr)\subset U. \]

O conjunto

\[ W_n=\{ z\in \mathcal H:z_n\gt 1/2\} \]

é aberto em \(\mathcal H\) e

\[ x\in F^{-1}(W_n)\subset U. \]

Logo todo aberto de \(X\) é aberto para a topologia inicial determinada por \(F\). A inclusão oposta segue da continuidade de \(F\). Assim \(F\) é um homeomorfismo de \(X\) sobre o subespaço \(F(X)\subset \mathcal H\).

11.5 O Teorema de Metrização de Urysohn

Os resultados anteriores permitem agora demonstrar o teorema de metrização.

Teorema 11.10 (Teorema de Metrização de Urysohn)
Para um espaço topológico \(T_1\), são equivalentes:

  1. \(X\) é metrizável e separável;

  2. \(X\) é regular e segundo enumerável;

  3. \(X\) é homeomorfo a um subespaço do cubo de Hilbert \([0,1]^{\mathbb N}\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(X\) seja metrizável e separável. Espaços métricos são regulares e \(T_1\); pelo Teorema 11.3, a separabilidade implica a segunda enumerabilidade. Logo (1) implica (2).

A implicação (2) \(\Rightarrow \) (3) é precisamente a Proposição 11.9.

Finalmente, suponha (3). O cubo de Hilbert é metrizável; portanto todo seu subespaço é metrizável, pela restrição da métrica. Além disso, o cubo de Hilbert é segundo enumerável pela Proposição 11.6, e essa propriedade é hereditária para subespaços. Assim \(X\) é métrico e segundo enumerável. Novamente pelo Teorema 11.3, \(X\) é separável. Logo (3) implica (1).

Corolário 11.11 (Forma usual do teorema de Urysohn)
Todo espaço regular, \(T_1\) e segundo enumerável é metrizável.

Demonstração ▼

Pelo Teorema 11.10, tal espaço é homeomorfo a um subespaço do cubo de Hilbert, que é métrico.

A construção utilizada na prova permite também escrever explicitamente uma métrica compatível com a topologia.

Corolário 11.12 (Uma métrica construída pelas coordenadas)
Sob as hipóteses do Corolário 11.11, escolha as funções \(f_1,f_2,\ldots \) da Proposição 11.8. Então
\[ d(x,y)= \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}|f_n(x)-f_n(y)| \]
é uma métrica compatível com a topologia de \(X\).

Demonstração ▼

Essa é exatamente a métrica do cubo de Hilbert restrita a \(F(X)\) e transportada para \(X\) pelo mergulho \(F\).

11.6 O cubo de Hilbert como espaço universal

O teorema anterior admite uma leitura geométrica particularmente útil:

\[ \boxed {\text{espaços métricos separáveis} = \text{subespaços de }[0,1]^{\mathbb N}\text{, a menos de homeomorfismo}.} \]

Assim, dentro da classe separável, não precisamos procurar um espaço ambiente novo para cada exemplo. O mesmo cubo contém, como subespaços, todos eles.

Corolário 11.13
Todo espaço compacto, Hausdorff e segundo enumerável é homeomorfo a um subespaço compacto, portanto fechado, do cubo de Hilbert.

Demonstração ▼

Espaços compactos Hausdorff são regulares. O Teorema de Urysohn fornece um mergulho em \(\mathcal H\). A imagem é compacta e, como \(\mathcal H\) é Hausdorff, é fechada.

A segunda enumerabilidade é justamente o mecanismo que reduz o número de coordenadas. Sem ela, o teorema de imersão de Tychonoff ainda pode fornecer um mergulho em \([0,1]^I\), mas o conjunto de índices \(I\) pode ser não enumerável; nesse caso, o produto deixa de se comportar como um espaço métrico.

11.7 Fronteiras da metrizabilidade

Os exemplos seguintes mostram por que as hipóteses do teorema não podem ser retiradas em geral.

Exemplo 11.14 (Um espaço metrizável que não é segundo enumerável)

Se \(X\) é um conjunto não enumerável com a topologia discreta, então

\[ d(x,y)= \begin{cases} 0,& x=y,\\ 1,& x\neq y \end{cases} \]

é uma métrica compatível. Entretanto, qualquer base da topologia discreta deve conter todos os singletons \(\{ x\} \); portanto nenhuma base pode ser enumerável.

Isso não contradiz Urysohn. O teorema caracteriza os espaços metrizáveis e separáveis, e não todos os espaços metrizáveis.

Exemplo 11.15 (A reta de Sorgenfrey)

Na reta de Sorgenfrey, os intervalos \([a,b)\) formam uma base. O espaço é separável: \(\mathbb Q\) é denso, pois todo intervalo básico não vazio contém um racional.

Por outro lado, a reta de Sorgenfrey não é segundo enumerável. Se \(\mathcal B\) fosse uma base enumerável, para cada \(x\in \mathbb R\) poderíamos escolher \(B_x\in \mathcal B\) com

\[ x\in B_x\subset [x,x+1). \]

Então \(x\) é o menor elemento de \(B_x\), de modo que \(x\mapsto B_x\) é injetiva. Isso é impossível porque \(\mathbb R\) é não enumerável.

Se a reta de Sorgenfrey fosse metrizável, sua separabilidade implicaria, pelo Teorema 11.3, a segunda enumerabilidade. Portanto ela não é metrizável.

Proposição 11.16 (Um produto com coordenadas demais)
Se \(I\) é não enumerável, então \([0,1]^I\), com a topologia produto, não é primeiro enumerável. Em particular, não é metrizável.

Demonstração ▼

Fixe \(x\in [0,1]^I\) e suponha que \(U_1,U_2,\ldots \) seja uma base local enumerável em \(x\). Para cada \(n\), escolha uma vizinhança básica \(V_n\) tal que

\[ x\in V_n\subset U_n. \]

Cada \(V_n\) restringe apenas um conjunto finito \(F_n\subset I\) de coordenadas. Logo

\[ F=\bigcup _{n\geq 1}F_n \]

é enumerável. Escolha \(i\in I\setminus F\).

Tome um aberto próprio \(O\subset [0,1]\) que contenha \(x_i\) e considere

\[ W=\pi _i^{-1}(O). \]

Como \((U_n)\) é uma base local, existe \(n\) com \(U_n\subset W\), e portanto \(V_n\subset W\). Mas \(i\notin F_n\), de modo que \(V_n\) não impõe restrição alguma à coordenada \(i\). Podemos alterar apenas essa coordenada para um valor fora de \(O\) e obter um ponto de \(V_n\) que não pertence a \(W\), contradição.

Espaços métricos são primeiro enumeráveis, logo \([0,1]^I\) não é metrizável.

A diferença em relação ao cubo de Hilbert está na enumerabilidade. Para produtos enumeráveis, as métricas dos fatores podem ser combinadas em uma métrica compatível com a topologia produto. No produto não enumerável considerado acima, a ausência de uma base local enumerável impede a metrizabilidade.

Observação 11.17 (Critérios mais gerais)
Existem teoremas de metrização mais gerais, entre eles os critérios de Nagata–Smirnov e de Bing. Suas demonstrações exigem uma teoria de famílias localmente finitas e discretas que não será desenvolvida aqui. Por isso não os incluímos como teoremas sem prova: o papel deste capítulo é levar até o fim, com todas as etapas visíveis, o critério de Urysohn.

Exercícios

  1. Seja \(X\) um espaço metrizável e \(F\subseteq X\) fechado. Mostre que \(F\) é um conjunto \(G_\delta \), isto é, que existem abertos \(U_n\subseteq X\) tais que

    \[ F=\bigcap _{n\in \mathbb N}U_n. \]

  2. Mostre diretamente que todo subespaço de um espaço metrizável é metrizável.

  3. Seja \((X,d)\) um espaço métrico. Mostre que

    \[ \rho (x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \]

    é uma métrica limitada compatível com a mesma topologia.

  4. Em \(\mathbb R^{\mathbb N}\), escreva explicitamente uma métrica que induza a topologia produto.

  5. Mostre diretamente, sem usar o Teorema 11.3, que o cubo de Hilbert possui uma base enumerável.

  6. Seja \(X\) compacto, Hausdorff e segundo enumerável. Mostre que existe uma sequência de funções \(f_n:X\to [0,1]\) que separa pontos e que a aplicação \(x\mapsto (f_n(x))_{n\geq 1}\) identifica \(X\) com um subconjunto fechado do cubo de Hilbert.

  7. Mostre que um quociente de um espaço metrizável pode deixar de ser Hausdorff e conclua que a metrizabilidade não é preservada por quocientes arbitrários. Você pode reutilizar um dos exemplos do capítulo sobre axiomas de separação.

  8. Generalize a Proposição 11.16: suponha que \((X_i)_{i\in I}\) seja uma família de espaços e que, para não enumeravelmente muitos índices, \(X_i\) possua pelo menos dois pontos e um desses pontos admita uma vizinhança própria. Mostre que o produto não é primeiro enumerável em pontos adequados.

  9. Prove que todo espaço compacto, Hausdorff e com base enumerável é metrizável.