Capítulo 6

Enumerabilidade

Os axiomas de separação estabelecem condições para distinguir pontos e conjuntos por abertos. As propriedades de enumerabilidade tratam de outra questão: a existência de famílias enumeráveis que permitam descrever a topologia do espaço ou as vizinhanças de cada ponto.

O primeiro axioma de enumerabilidade é uma condição local: cada ponto possui uma base enumerável de vizinhanças. O segundo exige uma única base enumerável para todos os abertos do espaço. Compararemos essas condições entre si e com a separabilidade e a propriedade de Lindelöf. Ao final, estudaremos seu papel na definição de variedade topológica.

6.1 Axiomas de Enumerabilidade

Primeiro e segundo axiomas

Definição 6.1

Dizemos que um espaço topológico $X$ é segundo-enumerável quando possui uma base enumerável. Dizemos que $X$ é primeiro-enumerável quando cada ponto $x\in X$ possui uma base enumerável de vizinhanças.

O segundo axioma fornece uma descrição enumerável da topologia inteira; o primeiro fornece apenas uma descrição enumerável da topologia vista a partir de cada ponto. Essa distinção explica por que o segundo axioma é, em geral, muito mais forte.

Exemplo 6.2 (Espaços métricos)

Todo espaço métrico é primeiro-enumerável. De fato, para cada $x\in X$,

\[ B\! \left(x,1\right)\supset B\! \left(x,\frac12\right) \supset B\! \left(x,\frac13\right)\supset \cdots \]

forma uma base enumerável de vizinhanças de $x$.

Esse é o motivo pelo qual, em espaços métricos, tantas propriedades locais podem ser testadas por sequências. A seção sobre sequências mostra que o mesmo mecanismo vale em todo espaço primeiro-enumerável.

Exemplo 6.3

Se $X$ é finito, qualquer topologia em $X$ é finita. Portanto, $X$ é ao mesmo tempo primeiro e segundo enumerável.

Exemplo 6.4

Um espaço discreto é sempre primeiro-enumerável: para cada $x\in X$, a família $\{ \{ x\} \} $ é uma base local. Ele é segundo-enumerável exatamente quando $X$ é enumerável.

Exemplo 6.5

O espaço $\mathbb {R}^n$ com a topologia usual é segundo-enumerável. Os retângulos

\[ (a_1,b_1)\times \cdots \times (a_n,b_n), \qquad a_i,b_i\in \mathbb {Q}, \]

formam uma base enumerável.

Exemplo 6.6 (A topologia da caixa)

A topologia da caixa em $\mathbb {R}^{\mathbb {N}}$ não é primeiro-enumerável. Seja $0=(0,0,\ldots )$ e suponha, por absurdo, que $A_1,A_2,\ldots $ seja uma base enumerável de vizinhanças de $0$. Para cada $n$, escolha um aberto básico em caixa

\[ C_n=\prod _{k\geq 1}U_{n,k} \qquad \text{com}\qquad 0\in C_n\subset A_n. \]

Podemos escolher $0\lt \varepsilon _n\lt 1/4$ de modo que $(-\varepsilon _n,\varepsilon _n)\subset U_{n,n}$. Considere então

\[ V=\prod _{n\geq 1}\left(-\frac{\varepsilon _n}{2}, \frac{\varepsilon _n}{2}\right). \]

Esse conjunto é uma vizinhança de $0$ na topologia da caixa. Entretanto, para cada $n$ existe um ponto de $C_n$ cuja $n$-ésima coordenada pertence a $(\varepsilon _n/2,\varepsilon _n)$ e cujas demais coordenadas são nulas. Portanto $A_n\not\subset V$ para todo $n$, contradizendo que $(A_n)$ fosse uma base local.

Em particular, a topologia da caixa em $\mathbb {R}^{\mathbb {N}}$ também não é segundo-enumerável.

A segunda enumerabilidade é formulada em termos de bases, mas pode igualmente ser descrita por sub-bases. Para famílias infinitas, a passagem de uma sub-base à base de interseções finitas não aumenta a cardinalidade.

Proposição 6.7

Se a topologia de $X$ possui infinitos abertos, então existe uma base de cardinalidade $\kappa $ se, e somente se, existe uma sub-base de cardinalidade $\kappa $. Em particular, $X$ possui base enumerável se, e somente se, possui sub-base enumerável.

Demonstração ▼

Toda base é uma sub-base. Reciprocamente, seja $\mathcal S$ uma sub-base. Como a topologia possui infinitos abertos, $\mathcal S$ é infinita. A família formada por $X$ e pelas interseções finitas de elementos de $\mathcal S$ é uma base. Para cada $n\geq 1$, a família das interseções de $n$ elementos de $\mathcal S$ tem cardinalidade no máximo $|\mathcal S|^n=|\mathcal S|$, e uma união enumerável dessas famílias ainda tem cardinalidade $|\mathcal S|$. Logo a base obtida tem a mesma cardinalidade da sub-base.

Uma base local enumerável pode sempre ser reorganizada de forma decrescente; essa forma será usada repetidamente.

Proposição 6.8

Se $x\in X$ possui uma base enumerável de vizinhanças, então existe uma base local $B_1,B_2,\ldots $ tal que

\[ B_1\supset B_2\supset B_3\supset \cdots . \]

Se a base original é finita, podemos tomar uma base local formada por um único conjunto.

Demonstração ▼

Se $B'_1,B'_2,\ldots $ enumera uma base local infinita, faça

\[ B_n=\bigcap _{j=1}^n B'_j. \]

Cada $B_n$ é uma vizinhança de $x$, a sequência é decrescente e, se $V$ é uma vizinhança qualquer de $x$, algum $B'_m$ está contido em $V$; então $B_m\subset B'_m\subset V$. No caso finito, a interseção de todos os elementos da base é ainda uma vizinhança de $x$ e, sozinha, forma uma base local.

Separabilidade, c.c.c. e Lindelöf

A separabilidade já apareceu no estudo de conjuntos densos. Aqui ela é colocada ao lado dos axiomas de enumerabilidade e da propriedade de Lindelöf, formando uma rede de implicações que reaparecerá ao longo do livro.

Definição 6.9 (Espaço separável)

Um espaço topológico $X$ é separável quando possui um subconjunto enumerável denso.

Exemplo 6.10

A reta de Sorgenfrey é separável: $\mathbb {Q}$ é enumerável e intercepta todo aberto básico $[a,b)$ não vazio.

Exemplo 6.11

O espaço euclidiano $\mathbb {R}^n$ é separável, pois $\mathbb {Q}^n$ é enumerável e denso.

Exemplo 6.12 (Topologia de um ponto)

Se $X$ é um conjunto e $a\in X$, considere a topologia do ponto $\mathcal T_a=\{ U\subseteq X:a\in U\} \cup \{ \varnothing \} $. O conjunto $\{ a\} $ é finito e denso; portanto $(X,\mathcal T_a)$ é separável, independentemente da cardinalidade de $X$.

Exemplo 6.13 (Um espaço métrico não separável)

Considere em $\mathbb {R}^2$ a métrica

\[ d_*(p,q)= \begin{cases} \| p\| +\| q\| , & \| p\| \neq \| q\| ,\\ \| p-q\| , & \| p\| =\| q\| . \end{cases} \]

Se $p\neq 0$ e $0\lt \delta \lt \| p\| $, então $B_{d_*}(p,\delta )$ está contida no círculo de raio $\| p\| $ centrado na origem. Um conjunto denso precisa, portanto, interceptar cada um dos não enumeravelmente muitos círculos centrados na origem. Logo $(\mathbb {R}^2,d_*)$ não é separável.

Proposição 6.14

Todo espaço segundo-enumerável é separável.

Demonstração ▼

Se $\mathcal B=\{ B_1,B_2,\ldots \} $ é uma base enumerável, descarte o elemento vazio e escolha $x_n\in B_n$. O conjunto $D=\{ x_n:n\geq 1\} $ é enumerável. Se $U$ é aberto não vazio, algum elemento da base $B_n$ satisfaz $\varnothing \neq B_n\subset U$, e então $x_n\in D\cap U$. Portanto $D$ é denso.

Em espaços métricos, a recíproca também vale.

Proposição 6.15

Um espaço métrico é separável se, e somente se, é segundo-enumerável.

Demonstração ▼

Uma das implicações é a proposição anterior. Para a outra, seja $D\subset X$ um conjunto denso enumerável. A família

\[ \mathcal B=\{ B(a,r):a\in D,\ r\in \mathbb {Q}_{\gt 0}\} \]

é enumerável. Se $U$ é aberto e $x\in U$, escolha $\varepsilon \gt 0$ com $B(x,\varepsilon )\subset U$. Pela densidade, escolha $a\in D$ com $d(a,x)\lt \varepsilon /3$ e depois um racional $r$ tal que

\[ d(a,x)\lt r\lt \varepsilon -d(a,x). \]

Então $x\in B(a,r)\subset U$. Logo $\mathcal B$ é uma base.

Definição 6.16 (Condição de cadeia enumerável)

Dizemos que $X$ satisfaz a condição de cadeia enumerável, ou c.c.c., quando toda família de abertos não vazios dois a dois disjuntos é enumerável.

Proposição 6.17

Todo espaço separável satisfaz a c.c.c.

Demonstração ▼

Seja $D$ um subconjunto denso enumerável e $\mathcal U$ uma família de abertos não vazios dois a dois disjuntos. Para cada $U\in \mathcal U$, escolha $x_U\in D\cap U$. Como os elementos de $\mathcal U$ são disjuntos, a aplicação $U\mapsto x_U$ é injetiva. Portanto $\mathcal U$ é enumerável.

Definição 6.18 (Lindelöf)

Um espaço topológico $X$ é Lindelöf quando toda cobertura aberta de $X$ possui uma subcobertura enumerável.

Definição 6.19 (Hereditariamente Lindelöf)

Diremos que $X$ é hereditariamente Lindelöf — também chamado, em algumas referências, fortemente Lindelöf — quando todo subespaço de $X$ é Lindelöf.

Na propriedade de Lindelöf, exige-se uma subcobertura enumerável. A compacidade, que estudaremos no capítulo seguinte, exige uma subcobertura finita. Essa diferença conduz a propriedades distintas.

Exemplo 6.20 (Lindelöf não implica separável)

Seja $X$ um conjunto não enumerável e escolha $p\notin X$. Em $Y=X\cup \{ p\} $ declare todos os pontos de $X$ isolados e tome como vizinhanças abertas de $p$ os conjuntos $\{ p\} \cup W$ para os quais $X\setminus W$ é enumerável. Toda cobertura aberta contém um elemento que cobre $p$ e deixa de fora, no máximo, enumeravelmente muitos pontos; escolhendo um aberto para cada um deles obtemos uma subcobertura enumerável. Portanto $Y$ é Lindelöf.

Por outro lado, nenhum subconjunto enumerável é denso, pois cada ponto de $X$ é isolado. Assim, $Y$ não é separável. O subespaço $X$ é discreto não enumerável, logo esse exemplo também mostra que a propriedade de Lindelöf não é hereditária.

Exercício 6.1

Mostre que, se $(X,\tau )$ é separável, então $\{ x\in X:\{ x\} \in \tau \} $ é enumerável.

Exercício 6.2

Seja $X$ um conjunto não vazio com a topologia cofinita $\tau $. Caracterize, em termos de $|X|$, quando $(X,\tau )$ é:

primeiro-enumerável;
segundo-enumerável;
separável.

Exercício 6.3

Repita o exercício anterior para a topologia coenumerável

\[ \tau ' = \{ X\setminus E:E\subset X,\ |E|\leq \aleph _0\} \cup \{ \varnothing \} . \]

Exercício 6.4

Sejam $X$ separável e $Y\subset X$. Mostre que $Y$ é separável em cada um dos casos seguintes:

$X$ é metrizável;
$Y$ é aberto em $X$;
$X$ é segundo-enumerável e $Y$ é denso em $X$.

Exercício 6.5

Dados $X$ infinito e $x_0\in X$, considere a base

\[ \mathcal B=\{ \{ x\} :x\neq x_0\} \cup \{ A\subset X:x_0\in A,\ X\setminus A\text{ é finito}\} . \]

Determine quais das propriedades deste capítulo o espaço resultante satisfaz.

Exercício 6.6

Quais axiomas de enumerabilidade a reta de Michael satisfaz?

Exercício 6.7

Sejam $\tau \subset \sigma $ duas topologias sobre o mesmo conjunto $X$. Investigue, para o primeiro e o segundo axiomas de enumerabilidade, em quais direções a propriedade é preservada ao passar de $\tau $ para $\sigma $.

Exercício 6.8

Seja $X$ segundo-enumerável e $\mathcal B$ uma base qualquer de $X$. Mostre que existe uma subfamília enumerável $\mathcal B'\subset \mathcal B$ que ainda é base de $X$.

6.2 Sequências

O primeiro axioma de enumerabilidade permite caracterizar fecho e continuidade por meio de sequências. Essas caracterizações, válidas em espaços métricos, podem falhar em espaços topológicos arbitrários.

Retomamos agora a convergência de sequências definida no Capítulo 2. A novidade é que o primeiro axioma de enumerabilidade permite usar sequências para caracterizar fecho e continuidade.

Proposição 6.21

Se $X$ é primeiro-enumerável, $A\subset X$ e $x\in X$, então

\[ x\in \overline A \quad \Longleftrightarrow \quad \text{existe uma sequência }(a_n)\subset A\text{ com }a_n\to x. \]

Demonstração ▼

Se $a_n\to x$, toda vizinhança de $x$ contém algum termo da sequência; logo $x\in \overline A$.

Reciprocamente, suponha $x\in \overline A$. Escolha uma base local decrescente $V_1\supset V_2\supset \cdots $ em $x$. Como cada $V_n$ intercepta $A$, escolha $a_n\in A\cap V_n$. Se $V$ é uma vizinhança de $x$, algum $V_N$ está contido em $V$; para $n\geq N$ temos $a_n\in V_n\subset V_N\subset V$. Portanto $a_n\to x$.

Proposição 6.22

Seja $f:X\to Y$ e suponha $X$ primeiro-enumerável. Então são equivalentes:

$f$ é contínua;
para toda sequência $x_n\to x$ em $X$, temos $f(x_n)\to f(x)$ em $Y$.

Demonstração ▼

Se $f$ é contínua e $V$ é uma vizinhança de $f(x)$, então existe uma vizinhança $U$ de $x$ tal que $f(U)\subset V$. Como $x_n\to x$, eventualmente $x_n\in U$, e portanto eventualmente $f(x_n)\in V$.

Para a recíproca, suponha que $f$ não seja contínua. Existe um aberto $V\subset Y$ e um ponto

\[ x\in f^{-1}(V)\setminus \operatorname {int}f^{-1}(V). \]

Escolha uma base local decrescente $B_1\supset B_2\supset \cdots $ em $x$. Como $x$ não é interior a $f^{-1}(V)$, cada $B_n$ contém um ponto $x_n\notin f^{-1}(V)$. Então $x_n\to x$, mas $f(x_n)\notin V$ para todo $n$, enquanto $f(x)\in V$. Logo $f(x_n)$ não converge para $f(x)$.

Sem a hipótese de primeiro enumerável, a continuidade sequencial pode não implicar continuidade, como mostra o exemplo seguinte.

Proposição 6.23

Se $X$ é primeiro-enumerável e toda sequência em $X$ possui no máximo um limite, então $X$ é Hausdorff.

Demonstração ▼

Suponha que $X$ não seja Hausdorff. Existem pontos distintos $x,y\in X$ tais que toda vizinhança de $x$ encontra toda vizinhança de $y$. Escolha bases locais decrescentes $(U_n)$ em $x$ e $(V_n)$ em $y$. Para cada $n$, escolha $z_n\in U_n\cap V_n$. Então $z_n\to x$ e $z_n\to y$, contradizendo a unicidade do limite.

Para sequências, chamaremos $x$ de ponto de aderência sequencial de $(x_n)$ quando, para toda vizinhança $V$ de $x$ e todo $N$, existe $n\geq N$ com $x_n\in V$.

Proposição 6.24

Se $X$ é primeiro-enumerável, então $x$ é ponto de aderência sequencial de $(x_n)$ se, e somente se, alguma subsequência de $(x_n)$ converge para $x$.

Demonstração ▼

Se uma subsequência converge para $x$, então toda vizinhança de $x$ contém termos dessa subsequência com índices arbitrariamente grandes. Reciprocamente, escolha uma base local decrescente $B_1\supset B_2\supset \cdots $ em $x$. Indutivamente, escolha $n_k\gt n_{k-1}$ com $x_{n_k}\in B_k$. Então $x_{n_k}\to x$.

O resultado seguinte caracteriza as vizinhanças de um ponto que admite uma base local enumerável por meio das sequências convergentes para esse ponto.

Proposição 6.25

Se $x\in X$ possui base local enumerável e $V\subset X$, então

\[ V\text{ é vizinhança de }x \quad \Longleftrightarrow \quad \text{toda sequência }x_n\to x\text{ está eventualmente em }V. \]

Demonstração ▼

A implicação direta é a definição de convergência. Para a recíproca, suponha que $V$ não seja vizinhança de $x$. Escolha uma base local decrescente $(B_n)$ em $x$. Como nenhum $B_n$ está contido em $V$, podemos escolher $x_n\in B_n\setminus V$. Então $x_n\to x$, mas nenhum termo pertence a $V$.

Exercício 6.9

Decida se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique:

toda sequência em um espaço com a topologia trivial converge para todo ponto;
nenhuma sequência em um espaço discreto converge.

Exercício 6.10

Descreva as sequências convergentes em $\mathbb {Z}$ com a topologia cofinita.

Exercício 6.11

Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Mostre diretamente que $x_n\to x$ na topologia métrica se, e somente se, $d(x_n,x)\to 0$.

Exercício 6.12

Sejam $X,Y$ espaços topológicos. Mostre que $(x_n,y_n)\to (x,y)$ em $X\times Y$ se, e somente se, $x_n\to x$ e $y_n\to y$.

Exercício 6.13

Seja $X$ não enumerável, $x_0\in X$, e considere a topologia gerada pela base

\[ \mathcal B=\{ \{ x\} :x\neq x_0\} \cup \{ A\subset X:x_0\in A,\ X\setminus A\text{ é enumerável}\} . \]

Se $Y$ é $T_1$ e primeiro-enumerável, prove que $f:X\to Y$ é contínua se, e somente se,

\[ \{ x\in X:f(x)\neq f(x_0)\} \]

é enumerável.

Exercício 6.14

Mostre que $\mathbb {R}^{\mathbb {N}}$ com a topologia da caixa não satisfaz o primeiro nem o segundo axioma de enumerabilidade.

6.3 Relações entre os Axiomas da Enumerabilidade

As propriedades estudadas até aqui não são versões diferentes da mesma ideia. Elas medem aspectos distintos do espaço e, fora de classes especiais, nenhuma delas deve ser confundida com outra. O quadro básico é

\begin{align*} \text{segundo-enumerável} & \Longrightarrow \text{primeiro-enumerável},\\ \text{segundo-enumerável} & \Longrightarrow \text{separável},\\ \text{segundo-enumerável} & \Longrightarrow \text{Lindelöf}. \end{align*}

Em espaços métricos há uma coincidência adicional importante:

\[ \text{separável} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{segundo-enumerável} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{Lindelöf}. \]

Todo espaço métrico é, independentemente dessas condições, primeiro-enumerável.

Teorema 6.26 (Segundo enumerável implica Lindelöf)

Todo espaço segundo-enumerável é Lindelöf. Mais ainda: todo espaço segundo-enumerável é hereditariamente Lindelöf.

Demonstração ▼

Seja $\mathcal B=\{ B_1,B_2,\ldots \} $ uma base e $\mathcal U$ uma cobertura aberta de $X$. Para cada $B_n$ que esteja contido em algum elemento de $\mathcal U$, escolha um $U_n\in \mathcal U$ com $B_n\subset U_n$. A família $(U_n)$ é enumerável.

Ela cobre $X$: dado $x\in X$, escolha $U\in \mathcal U$ com $x\in U$ e depois um elemento da base $B_n$ com $x\in B_n\subset U$. Pela construção, algum $U_n$ foi escolhido contendo $B_n$, logo contém $x$.

Por fim, todo subespaço de um espaço segundo-enumerável é segundo-enumerável; aplicando o argumento anterior a cada subespaço, obtemos a afirmação hereditária.

Observação 6.27 (Primeiro enumerável não implica segundo enumerável)

Um conjunto não enumerável com a topologia discreta é primeiro-enumerável, mas não pode ser segundo-enumerável: qualquer base precisa conter cada singleton.

Exemplo 6.28 (A reta de Sorgenfrey não é segundo-enumerável)

Se $\mathcal B$ fosse uma base enumerável da reta de Sorgenfrey, para cada $x\in \mathbb {R}$ escolheríamos $B_x\in \mathcal B$ com

\[ x\in B_x\subset [x,x+1). \]

Como $B_x$ é aberto em Sorgenfrey e contém $x$, ele contém algum intervalo $[x,x+\varepsilon )$. Em particular, $x$ é o mínimo de $B_x$. Assim $x\mapsto B_x$ é injetiva, o que obrigaria $\mathcal B$ a ser não enumerável.

Observação 6.29 (Separável não implica segundo enumerável)

A reta de Sorgenfrey é separável pelo Exemplo 6.10, mas não é segundo-enumerável pelo exemplo anterior.

Observação 6.30

A reta usual $\mathbb {R}$ é segundo-enumerável e, portanto, hereditariamente Lindelöf.

A reta de Sorgenfrey fornece um exemplo mais sutil: ela é Lindelöf, embora não seja segundo-enumerável.

Teorema 6.31 (A reta de Sorgenfrey é Lindelöf)

A reta de Sorgenfrey é Lindelöf.

Demonstração ▼

Seja $\mathcal U$ uma cobertura aberta da reta de Sorgenfrey. Para cada $x\in \mathbb {R}$, escolha $U_x\in \mathcal U$ e $b_x\gt x$ tais que

\[ [x,b_x)\subset U_x. \]

Considere, agora na topologia usual de $\mathbb {R}$, o aberto

\[ G=\bigcup _{x\in \mathbb {R}}(x,b_x). \]

Como a reta usual é Lindelöf, existem $x_1,x_2,\ldots $ tais que

\[ G=\bigcup _{n\geq 1}(x_n,b_{x_n}). \]

Resta cobrir $E=\mathbb {R}\setminus G$. Mostremos que $E$ é enumerável. Para cada $x\in E$, escolha um racional $q_x\in (x,b_x)$. Se $x\lt y$ pertencem a $E$, então $y\notin (x,b_x)$; portanto $b_x\leq y$ e

\[ q_x\lt b_x\leq y\lt q_y. \]

Logo $x\mapsto q_x$ é injetiva em $\mathbb {Q}$, e $E$ é enumerável.

A família formada pelos $U_{x_n}$ e por um elemento de $\mathcal U$ contendo cada ponto de $E$ é uma subcobertura enumerável de $\mathbb {R}$.

Proposição 6.32

Se $X$ é não enumerável e possui a topologia cofinita, então $X$ não é primeiro-enumerável.

Demonstração ▼

Fixe $a\in X$ e suponha que $V_1,V_2,\ldots $ seja uma base local em $a$, com cada $V_n$ aberto. Como $X\setminus V_n$ é finito,

\[ X\setminus \bigcap _{n\geq 1}V_n =\bigcup _{n\geq 1}(X\setminus V_n) \]

é enumerável. Como $X$ é não enumerável, existe $b\neq a$ em $\bigcap _nV_n$. O aberto $X\setminus \{ b\} $ é uma vizinhança de $a$, mas nenhum $V_n$ está contido nele, contradição.

Esse mesmo exemplo mostra que Lindelöf e separável não implicam primeiro enumerável: a topologia cofinita em um conjunto não enumerável é compacta, logo Lindelöf, e qualquer subconjunto infinito enumerável é denso.

No caso métrico, as implicações ausentes reaparecem.

Proposição 6.33

Se $(M,d)$ é separável, então é segundo-enumerável.

Demonstração ▼

É a Proposição 6.14.

Proposição 6.34

Se $(M,d)$ é Lindelöf, então é segundo-enumerável.

Demonstração ▼

Para cada $n\geq 1$, a família $\{ B(x,1/n):x\in M\} $ cobre $M$. Escolha uma subcobertura enumerável $\mathcal B_n$ e faça

\[ \mathcal B=\bigcup _{n\geq 1}\mathcal B_n. \]

A família $\mathcal B$ é enumerável. Se $U$ é aberto e $x\in U$, escolha $\varepsilon \gt 0$ com $B(x,\varepsilon )\subset U$ e $n$ com $2/n\lt \varepsilon $. Alguma bola $B(a,1/n)\in \mathcal B_n$ contém $x$; para $y\in B(a,1/n)$,

\[ d(y,x)\lt \frac2n\lt \varepsilon , \]

logo $x\in B(a,1/n)\subset U$. Portanto $\mathcal B$ é uma base.

6.4 Comportamento Topológico

As propriedades anteriores também diferem quanto ao comportamento sob as construções do Capítulo 4. Algumas passam a subespaços, outras são melhor preservadas por imagens contínuas, e produtos infinitos exigem hipóteses adicionais.

6.4.1 Subespaços

Proposição 6.35

Primeiro e segundo enumerabilidade são propriedades hereditárias.

Demonstração ▼

Se $Y\subset X$ e $(B_n)$ é uma base local de $x\in Y$ em $X$, então $(B_n\cap Y)$ é uma base local em $Y$. Se $\mathcal B$ é uma base enumerável de $X$, então $\{ B\cap Y:B\in \mathcal B\} $ é uma base enumerável de $Y$.

Separabilidade não é hereditária em geral. Se $X$ é não enumerável e recebe a topologia do ponto $a$, então $\{ a\} $ é denso, mas o subespaço $X\setminus \{ a\} $ é discreto não enumerável.

Para subespaços abertos, porém, a separabilidade é preservada.

Proposição 6.36 (Separabilidade em abertos)

Se $X$ é separável e $Y\subset X$ é aberto, então $Y$ é separável.

Demonstração ▼

Se $D$ é denso e enumerável em $X$, então $D\cap Y$ é enumerável. Todo aberto não vazio de $Y$ é também aberto em $X$, pois $Y$ é aberto; logo intercepta $D$ e, portanto, $D\cap Y$. Assim $D\cap Y$ é denso em $Y$.

A propriedade de Lindelöf não é hereditária: no exemplo do ponto especial da Seção 6.1, o espaço é Lindelöf, mas seu subespaço discreto não enumerável não possui essa propriedade. Para subespaços fechados, porém, a propriedade é preservada.

Proposição 6.37 (Lindelöf e fechados)

Todo subespaço fechado de um espaço Lindelöf é Lindelöf.

Demonstração ▼

Seja $Y\subset X$ fechado e $\{ U_\alpha \} $ uma cobertura aberta de $Y$. Para cada $\alpha $, escreva $U_\alpha =Y\cap V_\alpha $ com $V_\alpha $ aberto em $X$. Então

\[ \{ V_\alpha \} \cup \{ X\setminus Y\} \]

é uma cobertura aberta de $X$. Escolha uma subcobertura enumerável. Retirando $X\setminus Y$, se necessário, os correspondentes $U_\alpha $ formam uma subcobertura enumerável de $Y$.

6.4.2 Quocientes

O primeiro e o segundo axiomas de enumerabilidade podem deixar de valer em um quociente. No exemplo seguinte, a identificação de uma família discreta infinita de pontos produz um ponto que não admite base local enumerável.

Exemplo 6.38 (Uma flor com infinitas pétalas)

Em $\mathbb {R}$ com a topologia usual, identifique todos os inteiros entre si e nenhum outro par de pontos. Denote o quociente por $Y$ e por $p$ a classe de $\mathbb {Z}$. Embora $\mathbb {R}$ seja segundo-enumerável, $Y$ não é primeiro-enumerável.

Suponha que $U_1,U_2,\ldots $ seja uma base local aberta em $p$. Os conjuntos $W_n=q^{-1}(U_n)$ são abertos saturados contendo todos os inteiros. Para cada $n\geq 1$, escolha $0\lt \varepsilon _n\lt 1/4$ tal que

\[ (n-\varepsilon _n,n+\varepsilon _n)\subset W_n. \]

Defina $\delta _n=\varepsilon _n/2$ para $n\geq 1$ e, para os inteiros não positivos, tome $\delta _n=1/8$. O conjunto

\[ W=\bigcup _{k\in \mathbb {Z}}(k-\delta _k,k+\delta _k) \]

é aberto, saturado e contém $\mathbb {Z}$; logo $V=q(W)$ é uma vizinhança aberta de $p$.

Se $(U_n)$ fosse base, algum $U_n$ estaria contido em $V$. Mas o ponto $t_n=n+3\varepsilon _n/4$ pertence a $W_n=q^{-1}(U_n)$ e não pertence a $W$. Portanto $U_n\not\subset V$ para todo $n$, contradição.

Separabilidade e Lindelöf, ao contrário, são preservadas por imagens contínuas. Por isso passam automaticamente a quocientes.

Proposição 6.39 (Imagem contínua de separável)

Se $X$ é separável e $f:X\to Y$ é contínua, então $f(X)$ é separável.

Demonstração ▼

Se $D\subset X$ é denso e enumerável, então $f(D)$ é enumerável. Pela continuidade,

\[ f(X)=f(\overline D)\subset \overline{f(D)}, \]

onde o fecho é tomado em $f(X)$. Portanto $f(D)$ é denso em $f(X)$.

Proposição 6.40 (Imagem contínua de Lindelöf)

Se $X$ é Lindelöf e $f:X\to Y$ é contínua, então $f(X)$ é Lindelöf.

Demonstração ▼

Se $\{ U_\alpha \} $ é uma cobertura aberta de $f(X)$, então $\{ f^{-1}(U_\alpha )\} $ é uma cobertura aberta de $X$. Escolha uma subcobertura enumerável. Os correspondentes $U_\alpha $ cobrem $f(X)$.

6.4.3 Produtos Finitos

Produtos finitos preservam primeiro e segundo enumerabilidade. O mesmo vale para separabilidade.

Proposição 6.41 (Produtos e separabilidade)

Se $X_1,\ldots ,X_r$ são separáveis, então $X_1\times \cdots \times X_r$ é separável.

Demonstração ▼

Escolha densos enumeráveis $D_i\subset X_i$. O produto $D_1\times \cdots \times D_r$ é enumerável e intercepta todo aberto básico não vazio do produto; logo é denso.

A propriedade de Lindelöf é diferente: mesmo o produto de dois espaços Lindelöf pode deixar de ser Lindelöf.

Exemplo 6.42 (O plano de Sorgenfrey)

A reta de Sorgenfrey é Lindelöf, mas seu quadrado não é. Considere a antidiagonal

\[ D=\{ (x,-x):x\in \mathbb {R}\} . \]

Ela é fechada no plano de Sorgenfrey: se $(a,b)\notin D$, então $a+b\neq 0$, e um retângulo básico suficientemente pequeno $[a,a+\varepsilon )\times [b,b+\varepsilon )$ permanece de um mesmo lado da equação $x+y=0$.

Além disso, $D$ é discreta. Para $(x,-x)\in D$,

\[ [x,x+\varepsilon )\times [-x,-x+\varepsilon ) \]

intercepta $D$ apenas em $(x,-x)$. Portanto $D$ é um subespaço fechado, discreto e não enumerável. Se o plano de Sorgenfrey fosse Lindelöf, $D$ seria Lindelöf por ser fechado; mas um espaço discreto não enumerável não é Lindelöf.

6.4.4 Produtos Infinitos

Em produtos infinitos, os abertos básicos restringem apenas finitas coordenadas. Para as propriedades de enumerabilidade, é necessário considerar também a quantidade de fatores do produto.

Proposição 6.43

Seja $\{ X_i:i\in I\} $ uma família não vazia de espaços $T_1$ não triviais. Então

\[ \prod _{i\in I}X_i \]

é primeiro-enumerável se, e somente se, cada $X_i$ é primeiro-enumerável e $I$ é enumerável.

Demonstração ▼

Suponha primeiro que o produto $X$ seja primeiro-enumerável. Fixando pontos em todos os fatores exceto um, cada $X_i$ é homeomorfo a um subespaço de $X$; logo é primeiro-enumerável.

Fixe $a=(a_i)\in X$ e uma base local enumerável $(U_n)$ em $a$. Refinando cada $U_n$ por um aberto básico, podemos supor

\[ V_n=\bigcap _{j\in J_n}\pi _j^{-1}(V_{n,j})\subset U_n, \]

com $J_n$ finito. Se $J=\bigcup _nJ_n$ não fosse todo $I$, escolha $k\in I\setminus J$ e $b_k\neq a_k$. Como $X_k$ é $T_1$, existe um aberto $W_k$ com $a_k\in W_k$ e $b_k\notin W_k$. A vizinhança $\pi _k^{-1}(W_k)$ de $a$ não contém nenhum $V_n$: para cada $n$, mantenha as coordenadas de $a$ exceto a $k$-ésima e substitua esta por $b_k$. O ponto obtido pertence a $V_n$ e não pertence a $\pi _k^{-1}(W_k)$, uma contradição. Portanto $I=J$ é enumerável.

Reciprocamente, suponha $I=\mathbb {N}$ e cada $X_n$ primeiro-enumerável. Para cada $n$, escolha uma base local enumerável $(B_{n,m})_{m\geq 1}$ em $a_n$. As interseções

\[ \bigcap _{n=1}^N\pi _n^{-1}(B_{n,m_n}), \qquad N,m_1,\ldots ,m_N\in \mathbb {N}, \]

formam uma base local enumerável em $a$.

Proposição 6.44

Seja $\{ X_i:i\in I\} $ uma família não vazia de espaços $T_1$ não triviais. O produto $\prod _{i\in I}X_i$ é segundo-enumerável se, e somente se, cada $X_i$ é segundo-enumerável e $I$ é enumerável.

Demonstração ▼

Se o produto é segundo-enumerável, é primeiro-enumerável; pela proposição anterior, $I$ é enumerável. Cada fator é homeomorfo a um subespaço do produto, portanto é segundo-enumerável.

Reciprocamente, para $I$ enumerável e bases enumeráveis $\mathcal B_i$ nos fatores, os cilindros básicos que restringem apenas finitas coordenadas usando elementos das $\mathcal B_i$ formam uma base enumerável do produto.

Para separabilidade, o quadro é diferente. Um produto pode ter não enumeravelmente muitos fatores e ainda assim possuir um subconjunto denso enumerável; o limite natural é a cardinalidade do contínuo.

Proposição 6.45 (Hewitt–Marczewski–Pondiczery)

Seja $\{ X_i:i\in I\} $ uma família não vazia de espaços Hausdorff não triviais. Então

\[ \prod _{i\in I}X_i \]

é separável se, e somente se, cada $X_i$ é separável e $|I|\leq |\mathbb {R}|$.

Demonstração ▼

Suponha o produto $X$ separável e seja $D\subset X$ denso e enumerável. Cada fator $X_i=\pi _i(X)$ é separável por ser imagem contínua de $X$.

Para cada $i$, escolha abertos não vazios disjuntos $U_i,V_i\subset X_i$. Defina

\[ D_i=D\cap \pi _i^{-1}(U_i). \]

Se $i\neq j$, o aberto básico $\pi _i^{-1}(U_i)\cap \pi _j^{-1}(V_j)$ é não vazio e, pela densidade, contém algum $d\in D$. Esse ponto pertence a $D_i$ e não a $D_j$. Logo $i\mapsto D_i$ é uma injeção de $I$ em $\mathcal P(D)$, e

\[ |I|\leq 2^{\aleph _0}=|\mathbb {R}|. \]

Reciprocamente, suponha que cada $X_i$ seja separável e $|I|\leq |\mathbb {R}|$. Identifique $I$ com um subconjunto de $\mathbb {R}$ e escolha, para cada $i$,

\[ D_i=\{ x_{i,1},x_{i,2},\ldots \} \]

denso em $X_i$.

Considere todos os dados finitos formados por intervalos abertos $J_1,\ldots ,J_m$ de extremos racionais, dois a dois disjuntos, e números $n_1,\ldots ,n_m\in \mathbb {N}$. A cada dado associe $y=(y_i)\in X$ por

\[ y_i= \begin{cases} x_{i,n_k}, & i\in J_k,\\ x_{i,1}, & i\notin J_1\cup \cdots \cup J_m. \end{cases} \]

Há apenas enumeravelmente muitos desses pontos; denote o conjunto deles por $D$.

\[ U=\bigcap _{k=1}^m\pi _{i_k}^{-1}(U_k) \]

é um aberto básico não vazio, escolha $n_k$ com $x_{i_k,n_k}\in U_k$. Como os pontos $i_1,\ldots ,i_m$ são distintos, existem intervalos de extremos racionais $J_k$ dois a dois disjuntos contendo $i_k$. O ponto de $D$ associado a esses dados pertence a $U$. Logo $D$ é denso e o produto é separável.

6.4.5 Somas

Nas somas, a primeira enumerabilidade é preservada sem restrição sobre o número de somandos, pois é uma propriedade local. Para as outras três propriedades, a quantidade de somandos não vazios também deve ser considerada.

Proposição 6.46 (Enumerabilidade em somas)

Se $X=\bigsqcup _{i\in I}X_i$, com todos os $X_i$ não vazios, então:

$X$ é primeiro-enumerável se, e somente se, cada $X_i$ é primeiro-enumerável;
$X$ é segundo-enumerável se, e somente se, cada $X_i$ é segundo-enumerável e $I$ é enumerável;
$X$ é separável se, e somente se, cada $X_i$ é separável e $I$ é enumerável;
$X$ é Lindelöf se, e somente se, cada $X_i$ é Lindelöf e $I$ é enumerável.

Demonstração ▼

Cada $X_i$ aparece na soma como um subespaço aberto e fechado homeomorfo ao fator original. As condições necessárias sobre os fatores seguem dessas inclusões.

Para o primeiro item, uma base local em um ponto da soma é simplesmente a imagem de uma base local no único fator que contém esse ponto.

Para os demais itens, se $I$ é enumerável, a união das bases ou dos subconjuntos densos escolhidos em cada fator continua enumerável; no caso Lindelöf, reúnem-se as subcoberturas enumeráveis obtidas em cada componente. Reciprocamente, uma base enumerável, um subconjunto denso enumerável ou uma subcobertura enumerável da cobertura $\{ X_i:i\in I\} $ só pode encontrar enumeravelmente muitos componentes; como todos são não vazios e abertos, isso força $I$ a ser enumerável.

Corolário 6.47 (Lindelöf e somas)

Toda soma enumerável de espaços Lindelöf é Lindelöf.

Demonstração ▼

É o quarto item da proposição anterior.

6.4.6 Tabela de comportamento topológico

Para produtos finitos e somas finitas, o quadro pode ser resumido da seguinte forma. As restrições para produtos e somas infinitos foram descritas nas duas subseções anteriores.

	Subespaço	Quociente	Produto finito	Soma finita
Primeiro enumerável	Sim	Não	Sim	Sim
Segundo enumerável	Sim	Não	Sim	Sim
Separável	Abertos	Sim$^*$	Sim	Sim
Lindelöf	Fechados	Sim$^*$	Não	Sim

Tabela 6.1 Comportamento das principais propriedades de enumerabilidade.

O símbolo $^*$ indica preservação por imagem contínua. A tabela não diz que separabilidade ou Lindelöf sejam hereditárias apenas nesses casos; diz apenas que abertos, respectivamente fechados, fornecem as hipóteses gerais simples que estabelecemos acima.

Exercício 6.15

Mostre diretamente que um subespaço aberto de um espaço separável é separável.

Exercício 6.16

Mostre que $(\mathbb {R}\setminus \mathbb {Q})^2$, com a topologia induzida de $\mathbb {R}^2$, é separável.

Exercício 6.17

Prove novamente, sem usar a proposição do texto, que todo espaço separável satisfaz a c.c.c.

Exercício 6.18

Considere $X=\mathbb {R}$ e a relação

\[ x\sim y\quad \Longleftrightarrow \quad x=y \text{ ou }x,y\in \mathbb {Z}. \]

Mostre diretamente que $X/{\sim }$ não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

Exercício 6.19

Dê um exemplo de dois espaços Lindelöf cujo produto não é Lindelöf e explique exatamente onde a demonstração usual para produtos compactos deixa de funcionar.

Exercício 6.20

Prove a caracterização do segundo axioma de enumerabilidade para produtos enumeráveis apresentada na Proposição 6.43 construindo explicitamente uma base.

6.5 Variedades Topológicas

As propriedades anteriores permitem definir uma classe importante de espaços topológicos: as variedades. A condição local exige que cada ponto tenha uma vizinhança homeomorfa a um aberto de $\mathbb {R}^n$. Acrescentam-se as hipóteses de Hausdorff e de segunda enumerabilidade, que controlam, respectivamente, a separação entre pontos e a existência de uma base enumerável para o espaço.

Definição 6.48 (Carta local)

Seja $M$ um espaço topológico. Uma carta local de dimensão $n$ é um par $(U,\varphi )$ em que $U\subset M$ é aberto e

\[ \varphi :U\longrightarrow \varphi (U)\subset \mathbb {R}^n \]

é um homeomorfismo sobre um aberto de $\mathbb {R}^n$. As coordenadas de $\varphi (p)$ são chamadas coordenadas locais de $p$ nessa carta.

Definição 6.49 (Variedade topológica)

Um espaço topológico $M$ é uma variedade topológica de dimensão $n$ quando:

todo ponto de $M$ pertence ao domínio de uma carta local $n$-dimensional;
$M$ é Hausdorff;
$M$ é segundo-enumerável.

As três condições têm papéis diferentes. A primeira afirma que a geometria local é euclidiana; Hausdorff garante uma separação mínima entre pontos; o segundo axioma de enumerabilidade controla o tamanho global do espaço. Sem a última hipótese, por exemplo, uma união disjunta não enumerável de cópias de $\mathbb {R}^n$ seria Hausdorff e localmente euclidiana, mas não seria uma variedade na convenção adotada aqui.

Exemplo 6.50

$\mathbb {R}^n$ é uma variedade de dimensão $n$.
Todo espaço discreto enumerável é uma variedade de dimensão $0$.
Um espaço discreto não enumerável é Hausdorff e localmente euclidiano de dimensão $0$, mas não é segundo-enumerável; portanto não é uma variedade segundo a definição acima.
O círculo $S^1$ é uma variedade de dimensão $1$.
O toro e a garrafa de Klein são variedades de dimensão $2$.
A esfera $S^n$ é uma variedade de dimensão $n$; a projeção estereográfica fornece cartas explícitas.

Definição 6.51 (Atlas topológico)

Um atlas topológico de dimensão $n$ em $M$ é uma família de cartas $(U_i,\varphi _i)_{i\in I}$ cujos domínios cobrem $M$:

\[ M=\bigcup _{i\in I}U_i. \]

Se $U_i\cap U_j\neq \varnothing $, a aplicação

\[ \varphi _{ij} =\varphi _i\circ \varphi _j^{-1}: \varphi _j(U_i\cap U_j)\longrightarrow \varphi _i(U_i\cap U_j) \]

é um homeomorfismo entre abertos de $\mathbb {R}^n$ e recebe o nome de mudança de coordenadas.

Proposição 6.52 (Propriedade de cociclo)

As mudanças de coordenadas de um atlas satisfazem, sempre que as composições estão definidas,

\[ \varphi _{ii}=\operatorname {id}, \qquad \varphi _{ij}=\varphi _{ji}^{-1}, \qquad \varphi _{ik}\circ \varphi _{kj}=\varphi _{ij}. \]

Demonstração ▼

As identidades são consequência direta das definições. Por exemplo,

\[ (\varphi _i\circ \varphi _k^{-1}) \circ (\varphi _k\circ \varphi _j^{-1}) =\varphi _i\circ \varphi _j^{-1}. \]

O segundo axioma de enumerabilidade garante que se pode escolher uma família enumerável de cartas cujos domínios cobrem a variedade.

Proposição 6.53 (Atlas enumerável)

Toda variedade topológica admite um atlas enumerável.

Demonstração ▼

Seja $\mathcal B=\{ B_1,B_2,\ldots \} $ uma base enumerável de $M$. Para cada $B_n$ que esteja contido no domínio de alguma carta, escolha uma dessas cartas $(U_n,\varphi _n)$ e restrinja-a a $B_n$:

\[ \varphi _n|_{B_n}:B_n\longrightarrow \varphi _n(B_n). \]

Essa restrição ainda é uma carta, pois $B_n$ é aberto em $U_n$.

Esses domínios cobrem $M$. De fato, dado $p\in M$, escolha uma carta $(U,\varphi )$ contendo $p$ e depois um elemento da base $B_n$ com $p\in B_n\subset U$. Portanto as cartas escolhidas formam um atlas enumerável.

Nas variedades, a segunda enumerabilidade garante, portanto, a existência de um atlas enumerável. O capítulo seguinte tratará da compacidade, uma condição formulada pela existência de subcoberturas finitas em coberturas abertas.

Exercício 6.21

Mostre que uma união disjunta não enumerável de cópias de $\mathbb {R}^n$ é Hausdorff e localmente euclidiana, mas não é segundo-enumerável.

Exercício 6.22

Mostre diretamente que todo espaço discreto enumerável é uma variedade topológica de dimensão $0$.

Exercício 6.23

Seja $(U,\varphi )$ uma carta de uma variedade $M$ e $V\subset U$ um aberto. Mostre que $(V,\varphi |_V)$ também é uma carta.