Capítulo 3

Funções Contínuas

Os conjuntos abertos determinam a estrutura de um espaço topológico. Uma aplicação é contínua quando a imagem inversa de cada aberto do contradomínio é aberta no domínio. Partiremos dessa formulação global e, em seguida, estudaremos sua caracterização local por vizinhanças de cada ponto.

3.1 Continuidade e imagens inversas

A identidade

\[ f^{-1}\! \left(\bigcup _{\lambda }U_\lambda \right) =\bigcup _{\lambda }f^{-1}(U_\lambda ), \qquad f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V) \]

explica por que a imagem inversa é o operador natural na definição: ela preserva exatamente as operações que aparecem nos axiomas de uma topologia.

Definição 3.1
Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f\colon X\to Y\). Dizemos que \(f\) é contínua quando a imagem inversa de todo aberto de \(Y\) é aberta em \(X\):
\[ V\in \mathcal T_Y \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(V)\in \mathcal T_X. \]
Também diremos que \(f\) é contínua em \(a\in X\) quando, para cada aberto \(V\subseteq Y\) que contém \(f(a)\), existe um aberto \(U\subseteq X\) com
\[ a\in U \qquad \text{e}\qquad f(U)\subseteq V. \]
Mais adiante verificaremos que a continuidade global equivale à continuidade em todos os pontos.

Notação 3.2
Denotaremos por \(C(X,Y)\) o conjunto das aplicações contínuas de \(X\) em \(Y\). Quando \(Y=\mathbb R\), escreveremos simplesmente \(C(X)\).

Figura 3.1 Continuidade: abertos do contradomínio têm imagens inversas abertas.

Figura 3.1 Continuidade: abertos do contradomínio têm imagens inversas abertas.

A caracterização por fechados é a forma dual da mesma condição, obtida por complementação.

Proposição 3.3
Para uma aplicação \(f\colon X\to Y\) entre espaços topológicos, são equivalentes:

  1. \(f\) é contínua;

  2. \(f^{-1}(A)\) é aberto em \(X\) para todo aberto \(A\) de \(Y\);

  3. \(f^{-1}(F)\) é fechado em \(X\) para todo fechado \(F\) de \(Y\).

Demonstração ▼

Os dois primeiros itens são a definição. Para comparar abertos e fechados, use

\[ f^{-1}(Y\setminus A)=X\setminus f^{-1}(A). \]

Assim, preservar abertos por imagem inversa é equivalente a preservar fechados.

Observação 3.4 (Importância das topologias)
A continuidade depende das topologias escolhidas. Se refinamos a topologia do domínio, há mais candidatos a abertos para as imagens inversas; se engrossamos a topologia do contradomínio, há menos abertos a testar. Em ambos os movimentos a continuidade se torna, em geral, mais fácil de satisfazer.

Observação 3.5 (Casos extremos)

  1. Se o domínio \(X\) é discreto, toda aplicação \(X\to Y\) é contínua.

  2. Se o contradomínio \(Y\) possui a topologia trivial, toda aplicação \(X\to Y\) é contínua.

Observação 3.6 (Aplicações constantes e identidade)

  1. Toda aplicação constante é contínua: a imagem inversa de um aberto é \(X\) ou \(\varnothing \).

  2. A identidade

    \[ \operatorname {id}\colon (X,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}}) \longrightarrow (X,\mathcal{T}_{\mathrm{trivial}}) \]

    é contínua e bijetiva. Se \(X\) tem mais de um ponto, sua inversa não é contínua.

3.1.1 A leitura local

A condição pontual da Definição 3.1 é a versão local da condição por imagens inversas. Se \(f\) é contínua e \(V\) é aberto com \(f(a)\in V\), podemos tomar \(U=f^{-1}(V)\). No sentido inverso, suponha \(f\) contínua em cada ponto e fixe um aberto \(V\subseteq Y\). Para cada \(a\in f^{-1}(V)\), escolha um aberto \(U_a\) com

\[ a\in U_a\subseteq f^{-1}(V). \]

Então

\[ f^{-1}(V)=\bigcup _{a\in f^{-1}(V)}U_a \]

é aberto. Portanto, \(f\) é contínua se, e somente se, é contínua em cada ponto.

O critério local pode ser verificado usando apenas elementos de bases de vizinhanças.

Proposição 3.7
Seja \(f\colon X\to Y\), e sejam \(\mathcal{B}_a\) e \(\mathcal{B}_{f(a)}\) bases de vizinhanças de \(a\) e \(f(a)\), respectivamente. São equivalentes:

  1. \(f\) é contínua em \(a\);

  2. para cada \(V\in \mathcal{V}\sb {}\left(f(a)\right)\), existe \(U\in \mathcal{V}\sb {}\left(a\right)\) tal que \(f(U)\subseteq V\);

  3. para cada \(V\in \mathcal{B}_{f(a)}\), existe \(U\in \mathcal{B}_a\) tal que \(f(U)\subseteq V\).

Demonstração ▼

Se \(f\) é contínua em \(a\) e \(V\) é uma vizinhança de \(f(a)\), escolha um aberto \(V_0\) com \(f(a)\in V_0\subseteq V\) e depois um aberto \(U_0\) com \(a\in U_0\) e \(f(U_0)\subseteq V_0\). Isso prova a\(\Rightarrow \)b.

Para passar de b a c, refine a vizinhança do domínio por um elemento de \(\mathcal{B}_a\).

Finalmente, suponha c. Dado um aberto \(V\ni f(a)\), escolha \(V_0\in \mathcal{B}_{f(a)}\) com \(V_0\subseteq V\), e depois \(U_0\in \mathcal{B}_a\) com \(f(U_0)\subseteq V_0\). Como \(U_0\) é uma vizinhança, contém um aberto \(U\ni a\); então \(f(U)\subseteq V\).

3.1.2 Composição

A estabilidade por composição pode ser vista tanto globalmente quanto localmente.

Proposição 3.8
Se \(f\colon X\to Y\) é contínua em \(a\) e \(g\colon Y\to Z\) é contínua em \(f(a)\), então \(g\circ f\) é contínua em \(a\).

Demonstração ▼

Dada uma vizinhança \(W\) de \(g(f(a))\), escolha uma vizinhança \(V\) de \(f(a)\) com \(g(V)\subseteq W\) e, em seguida, uma vizinhança \(U\) de \(a\) com \(f(U)\subseteq V\). Então

\[ (g\circ f)(U)\subseteq W. \]

Proposição 3.9
Se \(f\colon X\to Y\) e \(g\colon Y\to Z\) são contínuas, então \(g\circ f\) é contínua.

Demonstração ▼

Para todo aberto \(W\subseteq Z\),

\[ (g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W)), \]

e as duas imagens inversas sucessivas são abertas.

3.2 Homeomorfismos e Homeomorfismos Locais

Uma aplicação contínua pode identificar pontos distintos e, por isso, não precisa preservar toda a estrutura topológica. Para expressar a equivalência entre dois espaços, consideramos bijeções nas quais tanto a aplicação quanto sua inversa são contínuas.

Definição 3.10 (Homeomorfismo)
Um homeomorfismo \(f:X\to Y\) é uma bijeção tal que \(f\) e \(f^{-1}\) são contínuas. Quando existe tal aplicação, dizemos que \(X\) e \(Y\) são homeomorfos.

Observação 3.11 (Continuidade da inversa)
Uma bijeção contínua não precisa ser um homeomorfismo. A continuidade da inversa é o que garante que a correspondência preserve a topologia nas duas direções.

Exemplo 3.12 (Homeomorfismos)

  1. A identidade

    \[ \operatorname {id}\colon (X,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}}) \to (X,\mathcal{T}_{\mathrm{trivial}}) \]

    é contínua e bijetiva, mas não é um homeomorfismo quando \(X\) tem mais de um ponto.

  2. Considere a lemniscata \(L\subset \mathbb R^2\) parametrizada por

    \[ \varphi (t)=\left(\frac{t}{1+t^4},\frac{t^3}{1+t^4}\right). \]

    A reta real não é homeomorfa a \(L\). Ainda não dispomos das ferramentas formais para provar isso, mas a geometria antecipa a conexidade: ao remover o ponto \(O=(0,0)\), pequenas vizinhanças de \(O\) em \(L\) exibem quatro ramos, enquanto pequenas vizinhanças de um ponto da reta exibem apenas dois.

    Figura 3.2 A lemniscata antecipa um argumento local que será formalizado por conexidade.

    Figura 3.2 A lemniscata antecipa um argumento local que será formalizado por conexidade.

  3. Considere dois subconjuntos \(X,Y\subset \mathbb R^2\), cada um formado por três segmentos que se encontram apenas num mesmo extremo. Emparelhe os três segmentos de \(X\) com os de \(Y\) e use interpolação linear em cada par.

    Figura 3.3 Homeomorfismo construído segmento a segmento.

    Figura 3.3 Homeomorfismo construído segmento a segmento.

    A parametrização do segmento com extremos \(a,b\) é

    \begin{equation} \label{interpolacao} \begin{array}{cc} f_{ab}:& [0,1]\to \mathbb {R}^2\\ & t\mapsto (1-t)a+tb. \end{array} \tag{3.1} \end{equation}

    Ela é um homeomorfismo de \([0,1]\) sobre \([a,b]\). Portanto um homeomorfismo de \([c,d]\) em \([a,b]\) é \(f_{ab}\circ f_{cd}^{-1}\). Como as definições coincidem no extremo comum, o lema da colagem permite unir as três aplicações parciais; o mesmo vale para a inversa. Ilustração: Homeomorfismos e Homeomorfismos Locais

3.2.1 Homeomorfismos locais

Definição 3.13 (Homeomorfismo local)
Uma aplicação \(f:X\to Y\) é um homeomorfismo local em \(x_0\) se existe um aberto \(U\ni x_0\) tal que \(f(U)\) é aberto em \(Y\) e
\[ f|_U:U\longrightarrow f(U) \]
é um homeomorfismo. Se isso vale para todo \(x_0\in X\), dizemos que \(f\) é um homeomorfismo local.

Todo homeomorfismo é um homeomorfismo local. A noção local permite comparar vizinhanças em espaços que não precisam ser globalmente homeomorfos.

Exemplo 3.14 (Esfera e plano)
A esfera
\[ {\mathbb {S}^{2}}=\{ x\in \mathbb R^3:\| x\| =1\} \]
é localmente homeomorfa a \(\mathbb R^2\). Se \(p=(x_0,y_0,z_0)\) tem \(z_0\neq 0\), tome uma vizinhança \(U\) de \(p\) contida no hemisfério determinado pelo sinal de \(z_0\). A projeção
\[ \pi _{xy}:U\to \pi _{xy}(U),\qquad (x,y,z)\mapsto (x,y), \]
é um homeomorfismo, com inversa
\[ (x,y)\longmapsto \left(x,y,\frac{z_0}{|z_0|}\sqrt{1-x^2-y^2}\right). \]
Se \(x_0\neq 0\), pode-se usar a projeção no plano \(yz\); os demais casos são análogos, escolhendo uma coordenada não nula.

3.2.2 Aplicações abertas, fechadas e mergulhos

Definição 3.15 (Aplicações abertas, fechadas e mergulhos)
Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos.

  1. Uma aplicação \(f:X\to Y\) é um homeomorfismo se é bijetiva e \(f,f^{-1}\) são contínuas.

  2. \(f\) é aberta se leva abertos de \(X\) em abertos de \(Y\).

  3. \(f\) é fechada se leva fechados de \(X\) em fechados de \(Y\).

  4. \(f\) é um mergulho se é um homeomorfismo de \(X\) sobre o subespaço \(f(X)\subset Y\).

Proposição 3.16
Se \(f:X\to Y\) é uma bijeção, são equivalentes:

  1. \(f\) é um homeomorfismo;

  2. \(f\) é contínua e aberta;

  3. \(f\) é contínua e fechada.

Demonstração ▼

Se \(f\) é um homeomorfismo e \(U\subseteq X\) é aberto, então

\[ f(U)=(f^{-1})^{-1}(U) \]

é aberto; o mesmo argumento com complementos mostra que \(f\) é fechada.

Reciprocamente, suponha \(f\) contínua e aberta. Para todo aberto \(U\subseteq X\), \((f^{-1})^{-1}(U)=f(U)\) é aberto, logo \(f^{-1}\) é contínua. Se \(f\) é contínua e fechada, aplicamos o mesmo argumento aos fechados.

Exemplo 3.17

  1. Uma aplicação aberta que não é contínua: tome \(X=(\mathbb R,\mathcal{T}_{\mathrm{usual}})\), \(Y=(\{ a,b\} ,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}})\) e

    \[ f(x)=\begin{cases} a,& x\ge 0,\\ b,& x\lt 0.\end{cases} \]

    Toda imagem de aberto é aberta em \(Y\), mas \(f^{-1}(\{ a\} )=[0,\infty )\) não é aberto. Como \(Y\) é discreto, \(f\) também é fechada.

  2. Uma aplicação que não é aberta nem fechada: se \(A\) tem ao menos dois elementos, considere a identidade de \((A,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}})\) em \((A,\mathcal{T}_{\mathrm{trivial}})\).

  3. Uma aplicação aberta que não é fechada: tome \(X=(\{ a,b\} ,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}})\), \(Y=(\{ a,b\} ,\{ \varnothing ,\{ a\} ,\{ a,b\} \} )\) e a aplicação constante com valor \(a\).

  4. Uma aplicação fechada que não é aberta: tome \(X=(\{ a,b\} ,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}})\), \(Y=(\mathbb R,\mathcal{T}_{\mathrm{usual}})\) e defina \(f(a)=0\), \(f(b)=1\).

  5. A identidade de um espaço topológico em si mesmo é aberta e fechada.

Ilustração: Aplicações abertas, fechadas e mergulhos

Exercício 3.1

Seja \((X,d)\) um espaço métrico.

  1. Mostre que, para todo subconjunto não vazio \(A\subseteq X\), a função

    \[ \begin{array}{rcl} d(\, \cdot \, ,A)\colon X & \longrightarrow & \mathbb {R}\\ x & \longmapsto & d(x,A) \end{array} \]

    é contínua.

  2. Sejam \(A,B\subseteq X\) fechados, não vazios e disjuntos. Mostre que a função \(f\colon X\to [0,1]\) dada por

    \[ f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)} \]

    é contínua.

Exercício 3.2

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f\colon X\to Y\).

  1. Seja \(\mathcal{U}\) uma família de abertos de \(X\) tal que \(X=\bigcup \mathcal{U}\). Mostre que, se \(f|_U\) é contínua para todo \(U\in \mathcal{U}\), então \(f\) é contínua.

  2. Sejam \(A\) e \(B\) fechados em \(X\), com \(X=A\cup B\). Mostre que, se \(f|_A\) e \(f|_B\) são contínuas, então \(f\) é contínua.

  3. Conclua que, se \(\mathcal{F}\) é uma família finita de subconjuntos fechados de \(X\), \(X=\bigcup \mathcal{F}\), e \(f|_F\) é contínua para todo \(F\in \mathcal{F}\), então \(f\) é contínua.

  4. Dê um contraexemplo mostrando que a hipótese de finitude não pode ser omitida no item anterior.

  5. Dê um contraexemplo mostrando que a hipótese de os conjuntos serem fechados não pode ser omitida no item (b).

Exercício 3.3

Considere \(\{ 0,1\} \) com a topologia trivial e a aplicação \(f\colon \mathbb {R}\to \{ 0,1\} \) definida por

\[ f(x)= \begin{cases} 0,& x\in \mathbb {Q},\\ 1,& x\notin \mathbb {Q}. \end{cases} \]

Mostre que \(f\) é sobrejetora, contínua e aberta. Portanto, a imagem de um espaço metrizável por uma aplicação contínua e aberta não precisa sequer ser \(T_0\). O que acontece se substituirmos “aberta” por “fechada”?

Exercício 3.4

Mostre que toda bola aberta de \(\mathbb {R}^n\) é homeomorfa a \(\mathbb {R}^n\).

  1. Mostre que quaisquer dois intervalos fechados e limitados de \(\mathbb {R}\) com mais de um ponto são homeomorfos.

  2. Dê um contraexemplo mostrando que a palavra “limitados” não pode ser omitida no item anterior.