Capítulo 5

Axiomas de Separação

As noções de continuidade, subespaço, produto e quociente não exigem que pontos distintos possam ser distinguidos por abertos. Sem hipóteses adicionais, podem ocorrer situações ausentes em espaços métricos: pontos distintos podem ter as mesmas vizinhanças, sequências podem ter vários limites e conjuntos unitários podem não ser fechados.

Os axiomas de separação estabelecem condições para distinguir pontos por abertos. Partiremos da exigência de distinguir dois pontos e chegaremos à condição de Hausdorff, que exige vizinhanças disjuntas. Posteriormente, a separação entre pontos e fechados e entre pares de fechados levará às noções de regularidade e normalidade.

5.1 Separando pontos

Definição 5.1 (Axiomas de separação)

Seja $X$ um espaço topológico.

$X$ é Kolmogorov, ou $T_0$, se, dados $x\neq y$, existe um aberto que contém um deles e não contém o outro.
$X$ é Fréchet, ou $T_1$, se, dados $x\neq y$, existe um aberto $U$ com $x\in U$ e $y\notin U$, e existe um aberto $V$ com $y\in V$ e $x\notin V$.
$X$ é Hausdorff, ou $T_2$, se, dados $x\neq y$, existem abertos disjuntos $U,V$ tais que $x\in U$ e $y\in V$.

As condições formam uma cadeia:

\[ T_2 \Longrightarrow T_1 \Longrightarrow T_0. \]

Cada passo acrescenta uma forma mais forte de distinguir pontos. Em um espaço $T_0$, sabemos ao menos que dois pontos não têm exatamente a mesma informação topológica. Em um espaço $T_1$, cada ponto pode ser excluído por uma vizinhança do outro. Em um espaço Hausdorff, os dois pontos podem ser isolados um do outro simultaneamente.

Exemplo 5.2

Um espaço indiscreto com pelo menos dois pontos não é $T_0$.
O espaço de Sierpiński é $T_0$, mas não é $T_1$.
Todo espaço discreto é Hausdorff.
Todo espaço métrico é Hausdorff: se $x\neq y$, tome $r\lt d(x,y)/2$; então $B(x,r)$ e $B(y,r)$ são disjuntas.
Um conjunto infinito com a topologia cofinita é $T_1$, mas não é Hausdorff. De fato, pontos são fechados, mas dois abertos não vazios sempre se intersectam.
A topologia de Zariski em $\mathbb {R}^n$ é $T_1$ e, para $n\geq 1$, não é Hausdorff.

A condição $T_0$ pode ser caracterizada pelos fechos dos conjuntos unitários.

Proposição 5.3

Um espaço $X$ é $T_0$ se, e somente se,

\[ x\neq y \quad \Longrightarrow \quad \overline{\{ x\} }\neq \overline{\{ y\} }. \]

Demonstração ▼

Suponha primeiro que $X$ seja $T_0$ e sejam $x\neq y$. Sem perda de generalidade, existe um aberto $U$ com $x\in U$ e $y\notin U$. Então $x\notin \overline{\{ y\} }$, pois $U$ é uma vizinhança de $x$ que não encontra $\{ y\} $. Como $x\in \overline{\{ x\} }$, os dois fechos são distintos.

Reciprocamente, se $X$ não é $T_0$, existem $x\neq y$ tais que todo aberto que contém um deles contém também o outro. Assim, $x\in \overline{\{ y\} }$ e $y\in \overline{\{ x\} }$. Pela monotonicidade do fecho,

\[ \overline{\{ x\} }\subset \overline{\{ y\} } \quad \text{e}\quad \overline{\{ y\} }\subset \overline{\{ x\} }, \]

logo os fechos coincidem.

Para $T_1$, a caracterização é dada pelo fechamento dos conjuntos unitários.

Proposição 5.4

Para um espaço topológico $X$, são equivalentes:

$X$ é $T_1$;
todo conjunto unitário $\{ x\} $ é fechado;
todo subconjunto $A\subset X$ é interseção dos abertos que o contêm.

Demonstração ▼

Se $X$ é $T_1$ e $x\in X$, então, para cada $y\neq x$, existe um aberto $U_y$ que contém $y$ e não contém $x$. Logo

\[ X\setminus \{ x\} =\bigcup _{y\neq x}U_y \]

é aberto, e $\{ x\} $ é fechado.

Se pontos são fechados, então

\[ A=\bigcap _{x\notin A}(X\setminus \{ x\} ), \]

uma interseção de abertos que contêm $A$.

Finalmente, aplicando o terceiro item a $A=\{ x\} $, para cada $y\neq x$ algum aberto da interseção contém $x$ e exclui $y$. Trocando os papéis de $x$ e $y$ obtemos a condição $T_1$.

A condição Hausdorff está ligada a resultados de unicidade. O primeiro exemplo é o limite de uma sequência.

Proposição 5.5

Em um espaço Hausdorff, uma sequência converge para no máximo um ponto.

Demonstração ▼

Suponha $x_n\to x$ e $x_n\to y$, com $x\neq y$. Escolha vizinhanças abertas disjuntas $U\ni x$ e $V\ni y$. A partir de certo índice, $x_n\in U$; a partir de outro, $x_n\in V$. Para índices suficientemente grandes teríamos então $x_n\in U\cap V=\varnothing $, absurdo.

O mesmo princípio vale para funções: em contradomínios Hausdorff, uma função contínua fica determinada por seus valores num conjunto denso.

Proposição 5.6

Sejam $f,g:X\to Y$ contínuas, com $Y$ Hausdorff. Se existe um conjunto denso $D\subset X$ tal que $f|_D=g|_D$, então $f=g$ em todo $X$.

Demonstração ▼

Suponha, por absurdo, que $f(x)\neq g(x)$ para algum $x\in X$. Escolha abertos disjuntos $U\ni f(x)$ e $V\ni g(x)$. O conjunto

\[ W=f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V) \]

é aberto, contém $x$ e, portanto, encontra $D$. Se $d\in W\cap D$, então $f(d)\in U$ e $g(d)\in V$, mas $f(d)=g(d)$, contradizendo $U\cap V=\varnothing $.

5.2 Comportamento sob construções

Os axiomas de separação são propriedades topológicas e, portanto, são preservados por homeomorfismos. Resta examinar seu comportamento sob as construções básicas do capítulo anterior.

5.2.1 Subespaços

Proposição 5.7

Todo subespaço de um espaço $T_i$ é $T_i$, para $i=0,1,2$.

Demonstração ▼

Se $S\subset X$ e dois pontos de $S$ são separados em $X$ pelos abertos exigidos pelo axioma correspondente, as interseções desses abertos com $S$ continuam abertas em $S$ e preservam as mesmas relações de incidência e disjunção.

5.2.2 Produtos

Proposição 5.8

Se $(X_j)_{j\in J}$ é uma família não vazia de espaços $T_i$, então

\[ \prod _{j\in J}X_j \]

é $T_i$, para $i=0,1,2$.

Demonstração ▼

Se $x\neq y$ no produto, existe uma coordenada $j_0$ tal que $x_{j_0}\neq y_{j_0}$. Para $T_0$ ou $T_1$, use nessa coordenada os abertos que distinguem os pontos e tome suas imagens inversas pela projeção $\pi _{j_0}$.

No caso Hausdorff, escolha abertos disjuntos $U,V\subset X_{j_0}$ com $x_{j_0}\in U$ e $y_{j_0}\in V$. Então

\[ \pi _{j_0}^{-1}(U)\quad \text{e}\quad \pi _{j_0}^{-1}(V) \]

são abertos disjuntos do produto contendo, respectivamente, $x$ e $y$.

A prova anterior mostra um princípio simples da topologia produto: para separar dois pontos, é suficiente usar uma coordenada em que eles diferem. Não é necessário restringir todas as coordenadas.

5.2.3 Somas

Proposição 5.9

Uma soma arbitrária de espaços $T_i$ é $T_i$, para $i=0,1,2$.

Demonstração ▼

Dois pontos que pertencem ao mesmo somando são separados dentro dele e, como a inclusão do somando é um mergulho aberto, os mesmos abertos funcionam na soma. Se pertencem a somandos distintos, os próprios somandos são abertos disjuntos.

5.2.4 Quocientes

A passagem a um quociente pode deixar de preservar os axiomas de separação.

Exemplo 5.10 (Um quociente que deixa de ser Hausdorff)

Considere $\mathbb {R}$ com a topologia usual e colapse todos os racionais a um único ponto. No quociente $\mathbb {R}/\mathbb {Q}$, qualquer aberto não vazio contém o ponto $[\mathbb {Q}]$: se um aberto do quociente não o contivesse, sua imagem inversa seria um aberto não vazio de $\mathbb {R}$ disjunto de $\mathbb {Q}$, o que é impossível pela densidade dos racionais. Assim, o quociente não é $T_1$ e, em particular, não é Hausdorff.

Mesmo $T_0$ pode se perder.

Exemplo 5.11 (Um quociente que deixa de ser $T_0$)

Considere $X=\{ 0,1,2\} $ com a topologia

\[ \{ \varnothing ,\{ 2\} ,\{ 1,2\} ,X\} . \]

Esse espaço é $T_0$. Identifique então $0\sim 2$ e deixe $1$ sozinho. Os únicos abertos saturados de $X$ são $\varnothing $ e $X$; portanto o quociente tem dois pontos e topologia indiscreta. Logo não é $T_0$.

Consequentemente, sem hipóteses adicionais, quocientes não preservam nenhum dos três axiomas de separação considerados aqui.

5.2.5 Resumo

	Subespaços	Quocientes	Produtos	Somas
$T_0$	Sim	Não	Sim	Sim
$T_1$	Sim	Não	Sim	Sim
$T_2$	Sim	Não	Sim	Sim

A condição de Hausdorff também pode ser caracterizada pela topologia produto: $X$ é Hausdorff se, e somente se, a diagonal

\[ \Delta _X=\{ (x,x):x\in X\} \]

é fechada em $X\times X$. A demonstração é proposta como exercício.

Exercício 5.1

Prove que $X$ é Hausdorff se, e somente se, a diagonal $\Delta _X\subset X\times X$ é fechada.

Exercício 5.2

Prove que $X$ é $T_1$ se, e somente se, para todo $A\subset X$, $A$ é a interseção de todos os abertos que o contêm.

Exercício 5.3

Seja $X$ um espaço $T_1$ e $x$ um ponto de acumulação de $A\subset X$. Mostre que toda vizinhança de $x$ contém infinitos pontos de $A$.

Exercício 5.4

Sejam $\tau \subset \sigma $ topologias no mesmo conjunto $X$. Para $i\in \{ 0,1,2\} $, determine quais das seguintes implicações são verdadeiras:

$(X,\tau )$ é $T_i$ $\Rightarrow $ $(X,\sigma )$ é $T_i$;
$(X,\sigma )$ é $T_i$ $\Rightarrow $ $(X,\tau )$ é $T_i$.

Exercício 5.5

Seja

\[ \tau =\{ U\subset \mathbb {R}: \forall x\in U\setminus \mathbb {Q}\ \exists \varepsilon \gt 0 \text{ tal que }(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\cap \mathbb {Q}\subset U\} . \]

Determine, para $i=0,1,2$, se $(\mathbb {R},\tau )$ é $T_i$.

Exercício 5.6

Mostre que, se toda sequência em $X$ possui no máximo um limite, então $X$ é $T_1$. Mostre ainda que, se $X$ é primeiro-enumerável, essa condição implica que $X$ é Hausdorff.

Exercício 5.7

Seja $X$ um espaço discreto. Mostre que, na topologia da caixa em $X^{\mathbb {N}}$, toda sequência convergente é eventualmente constante.

Exercício 5.8

Considere $[0,1]$ e a relação

\[ x\sim y \Longleftrightarrow x=y \text{ ou } x,y\in (0,1). \]

Mostre que o quociente não é $T_1$.

Exercício 5.9

Prove diretamente que produtos e somas arbitrárias de espaços $T_0$ são $T_0$.

Exercício 5.10

Prove diretamente que produtos e somas arbitrárias de espaços $T_1$ são $T_1$.

A cadeia $T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$ reúne condições progressivamente mais fortes de separação, de $T_0$ a $T_2$. No capítulo seguinte, estudaremos outra propriedade das famílias de abertos: a possibilidade de descrever a topologia, local ou globalmente, por famílias enumeráveis.