Capítulo 4

Construções de Espaços Topológicos

Neste capítulo, construiremos espaços topológicos a partir de espaços conhecidos. Estudaremos quatro operações: a passagem a subespaços, a formação de produtos, a identificação de pontos por quocientes e a formação de somas disjuntas. As topologias dessas construções serão caracterizadas pela continuidade de aplicações associadas a cada uma delas.

As noções de topologia inicial e final fornecerão uma formulação comum a essas construções. Começaremos pelos subespaços, cuja topologia é determinada pelos abertos do espaço ambiente.

4.1 Subespaços

Definição 4.1

Seja \((X,\mathcal T)\) um espaço topológico e \(S\subset X\). A topologia de subespaço em \(S\) é

\[ \mathcal T_S=\{ S\cap U:U\in \mathcal T\} . \]

O espaço \((S,\mathcal T_S)\) é chamado subespaço de \(X\). Também usaremos a expressão topologia induzida; seus elementos são os abertos relativos de \(S\).

Um conjunto aberto em \(S\) não precisa ser aberto no espaço ambiente: ele é a interseção de \(S\) com algum aberto de \(X\). O termo “relativo” indica essa distinção, que deve ser considerada ao comparar propriedades de um subespaço com as do espaço ambiente.

Exemplo 4.2

\(\mathbb {Z}\), com a topologia induzida por \(\mathbb {R}\), é um espaço topológico discreto.
Identificando \(\mathbb R\) com o eixo horizontal \(\mathbb R\times \{ 0\} \), obtemos um subespaço de \(\mathbb R^2\).
Se \(S=[0,1]\) recebe a topologia de subespaço de \(\mathbb R\), então o próprio \(S\) é aberto e fechado em \(S\). Visto como subconjunto de \(\mathbb R\), porém, \([0,1]\) é fechado e não é aberto.
Os números racionais \(\mathbb Q\), com a topologia induzida de \(\mathbb R\), não formam um espaço discreto: por exemplo, \(\{ 0\} \) não é aberto em \(\mathbb Q\). Se \(a\lt b\) são racionais, então \((a,b)\cap \mathbb Q\) é aberto em \(\mathbb Q\) e \([a,b]\cap \mathbb Q\) é fechado. Se \(a\lt b\) são irracionais, \((a,b)\cap \mathbb Q\) é simultaneamente aberto e fechado em \(\mathbb Q\).
Considere a topologia \(\mathcal{T}= \{ X, \varnothing , \{ a\} , \{ c, d\} , \{ a, c, d\} , \{ b, c, d, e\} \} \) em \(X = \{ a, b, c, d, e\} \) e o subconjunto \(S = \{ a, d, e\} \) de \(X\). Temos \(X \cap S = S\), \(\{ a\} \cap S = \{ a\} \), \(\{ a, c, d\} \cap S = \{ a, d\} \), \(\varnothing \cap S = \varnothing \), \(\{ c, d\} \cap S = \{ d\} \), \(\{ b, c, d, e\} \cap S = \{ d, e\} \) Portanto, topologia induzida no subespaço \(S\) é \(\mathcal{T}_{S} = \{ S, \varnothing , \{ a\} , \{ d\} , \{ a, d\} , \{ d, e\} \} \).

Figura 4.1 O conjunto A é um aberto na topologia do subespaço no retângulo em ℝ^(2) — Figura 4.1 O conjunto \(A\) é um aberto na topologia do subespaço no retângulo em \(\mathbb {R}^{2}\)

Proposição 4.3

Seja \(S\) um subespaço de \(X\). Então:

\(U\) é aberto em \(S\) se, e somente se, existe um aberto \(U'\subset X\) tal que \(U=S\cap U'\).
\(F\) é fechado em \(S\) se, e somente se, existe um fechado \(F_1\subset X\) tal que \(F=S\cap F_1\).
Se \(A\subset S\), então

\[ \overline A^{\, S}=S\cap \overline A^{\, X}. \]
Se \(x\in S\), um conjunto \(U\subset S\) é vizinhança de \(x\) em \(S\) se, e somente se, existe uma vizinhança \(U'\) de \(x\) em \(X\) tal que \(U=S\cap U'\).

Demonstração ▼

O primeiro item é a definição da topologia de subespaço.

Para o segundo, tome complementos dentro de \(S\). Se \(F\) é fechado em \(S\), então \(S\setminus F=S\cap U'\) para algum aberto \(U'\) de \(X\); logo

\[ F=S\cap (X\setminus U'), \]

e \(X\setminus U'\) é fechado em \(X\). A recíproca segue pelo mesmo cálculo.

Para o fecho, use a caracterização por vizinhanças. Um ponto \(x\in S\) pertence a \(\overline A^{\, S}\) exatamente quando toda vizinhança de \(x\) em \(S\) encontra \(A\). Pelo item seguinte — ou diretamente pela definição de aberto relativo — essas vizinhanças são os recortes por \(S\) das vizinhanças de \(x\) em \(X\). Como \(A\subset S\), isso equivale a dizer que toda vizinhança de \(x\) em \(X\) encontra \(A\), isto é, \(x\in \overline A^{\, X}\). Portanto

\[ \overline A^{\, S}=S\cap \overline A^{\, X}. \]

Resta justificar a afirmação sobre vizinhanças. Se \(U'\) é vizinhança de \(x\) em \(X\), escolha um aberto \(V'\) com \(x\in V'\subset U'\). Então \(S\cap V'\) é aberto em \(S\) e

\[ x\in S\cap V'\subset S\cap U', \]

de modo que \(S\cap U'\) é vizinhança de \(x\) em \(S\).

Reciprocamente, seja \(U\) vizinhança de \(x\) em \(S\). Existe um aberto relativo \(V=S\cap V'\) com \(x\in V\subset U\), onde \(V'\) é aberto em \(X\). Defina

\[ U'=V'\cup (U\setminus V). \]

Então \(x\in V'\subset U'\), portanto \(U'\) é vizinhança de \(x\) em \(X\), e \(S\cap U'=U\).

Observação 4.4 (Propriedades hereditárias)

Uma propriedade topológica é hereditária quando passa do espaço para todos os seus subespaços. Se essa passagem é garantida apenas para subespaços fechados, dizemos que a propriedade é fracamente hereditária.

Observação 4.5 (Primeiro e segundo enumeráveis são hereditários)

Todo subespaço de um espaço primeiro enumerável é primeiro enumerável; todo subespaço de um espaço segundo enumerável é segundo enumerável.

Proposição 4.6

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos, e seja \(S\) um subespaço de X. Se \(f\) : \(X\rightarrow Y\) é contínua, então a restrição \(f\restriction _{S}:S\rightarrow Y\) é contínua.

Demonstração ▼

Para um aberto \(V\subset Y\),

\[ (f\restriction _S)^{-1}(V)=S\cap f^{-1}(V). \]

A continuidade de \(f\) torna \(f^{-1}(V)\) aberto em \(X\); seu recorte por \(S\) é aberto na topologia de subespaço. Logo \(f\restriction _S\) é contínua.

Exemplo 4.7 (Esfera unitária)

Dado \(n\in \mathbb {N}\), a \(n\)-esfera de raio \(1\) é definida como o subespaço do espaço euclidiano \((n + 1)\) dimensional dos pontos que estão à distância \(1\) de um ponto central. Assim,

\[ \mathbb {S}^n= \left\{ x \in \mathbb {R} ^{n + 1}: \left\| x \right\| = 1 \right\} . \]

A \(0\)-esfera é um par de pontos, a \(1\)-esfera é um círculo e a \(2\)-esfera é a esfera usual.

A topologia de subespaço também permite tratar a esfera sem criar uma estrutura nova. Um primeiro fato geométrico importante é que a esfera, depois de retirado um ponto, pode ser descrita por coordenadas euclidianas. Para isso usamos a projeção estereográfica. Se \(Q\) é um ponto de \(\mathbb {S}^n\) e \(\mathbb H\) o hiperplano em \(\mathbb {R} ^{n + 1}\) definido pela equação \(x_{n+1}=0\), então a projeção estereográfica de um ponto \(P\in \mathbb {S}^n \setminus \{ Q\} \) é o ponto \(P'\) da interseção da reta \(QP\) com \(H\).

Em coordenadas cartesianas, se \(P=(x_1,\dots ,x_{n+1})\) e \(P'=(X_1,\dots ,X_n,0)\), a projeção a partir do polo norte \(Q=(0,\dots ,0,1)\) é dada por

\[ X_i=\frac{x_i}{1-x_{n+1}},\qquad i=1,\dots ,n. \]

Definindo

\[ E ^{2} = \sum _{j = 1} ^{n} X_{j} ^{2} \]

sua inversa é dada por

\[ \displaystyle x_{n+1}={\frac{E^{2}-1}{E^{2}+1}}\quad {\mbox{e}}\quad x_{i}={\frac{2X_{i}}{E^{2}+1}}\quad \quad (i=1,\dots ,n) \]

As fórmulas acima mostram diretamente que a projeção estereográfica e sua inversa são contínuas: seus denominadores não se anulam nos respectivos domínios. Portanto, \(S^n\setminus \{ Q\} \) é homeomorfa a \(\mathbb R^n\).

Proposição 4.8 (Lema da colagem)

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos. Suponha \(X=S_1\cup S_2\), onde \(S_1\) e \(S_2\) são ambos abertos ou ambos fechados. Se as restrições

\[ f\restriction _{S_1}:S_1\to Y, \qquad f\restriction _{S_2}:S_2\to Y \]

são contínuas, então \(f:X\to Y\) é contínua.

Demonstração ▼

No caso aberto, dado \(V\subset Y\) aberto, cada conjunto \((f\restriction _{S_i})^{-1}(V)\) é aberto em \(S_i\) e, como \(S_i\) é aberto em \(X\), é também aberto em \(X\). Como

\[ f^{-1}(V) = (f\restriction _{S_1})^{-1}(V) \cup (f\restriction _{S_2})^{-1}(V), \]

a imagem inversa de todo aberto é aberta.

Se \(S_1\) e \(S_2\) são fechados, usamos a caracterização da continuidade por fechados. Para \(F\subset Y\) fechado, cada \((f\restriction _{S_i})^{-1}(F)\) é fechado em \(S_i\) e, portanto, em \(X\). Sua união finita é \(f^{-1}(F)\), que é fechada. Assim \(f\) é contínua nos dois casos.

Proposição 4.9

Seja \((X,\mathcal{T})\) um espaço topológico e \(A\subset X\).

Com a topologia de subespaço, a inclusão \(i:A\to X\) é contínua.
Se \(\mathcal{T}'\) é qualquer topologia em \(A\) para a qual \(i:A\to X\) é contínua, então \(\mathcal{T}_A\subset \mathcal{T}'\).

Em particular, a topologia de subespaço é a menor topologia em \(A\) que torna a inclusão contínua.

Demonstração ▼

Para \(U\in \mathcal{T}\),

\[ i^{-1}(U)=A\cap U\in \mathcal{T}_A, \]

logo a inclusão é contínua. Se \(\mathcal{T}'\) também torna \(i\) contínua, então cada \(A\cap U=i^{-1}(U)\), com \(U\in \mathcal{T}\), pertence a \(\mathcal{T}'\). Como esses conjuntos são exatamente os abertos de \(\mathcal{T}_A\), segue que \(\mathcal{T}_A\subseteq \mathcal{T}'\).

Proposição 4.10 (Propriedade universal do subespaço)

Sejam \((X,\mathcal{T}_X)\) e \((Z,\mathcal{T}_Z)\) espaços topológicos, \(A\subseteq X\) com a topologia de subespaço e \(i:A\hookrightarrow X\) a inclusão. Para uma aplicação \(g:Z\to A\),

\[ g\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad i\circ g\text{ é contínua}. \]

Ilustração: Subespaços

Demonstração ▼

Uma direção é a estabilidade da continuidade por composição. Para a recíproca, suponha \(i\circ g\) contínua e tome um aberto relativo \(U\subset A\). Escreva \(U=A\cap V=i^{-1}(V)\) com \(V\) aberto em \(X\). Então

\[ g^{-1}(U) = g^{-1}(i^{-1}(V)) = (i\circ g)^{-1}(V), \]

que é aberto em \(Z\). Portanto \(g\) é contínua.

Exercício 4.1

Sejam \(X\) um espaço topológico, \(S\) um subespaço de \(X\) e \(A \subseteq S\). Mostre que \(\operatorname {\mathrm{Int}}_{S}(A) \supseteq S \cap \operatorname {\mathrm{Int}}_{X}(A)\).

Exercício 4.2

Considere \(X = \mathbb {R}^{2}\) munido da topologia usual e \(S = A = \{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} : y = 0\} \). Mostre que \(\operatorname {\mathrm{Int}}_{S}(A) = S\) e que \(\operatorname {\mathrm{Int}}_{X}(A) = \varnothing \)

Exercício 4.3

Seja \(X\) um espaço topológico. Mostre que se \(Y\) é um subespaço de \(X\) e \(Z \subseteq Y\), então a topologia sobre \(Z\) induzida pela topologia de \(Y\) coincide com a topologia sobre \(Z\) induzida pela topologia de \(X\).

Exercício 4.4

Sejam \((X,\mathcal{T})\) um espaço topológico, \((Y,\mathcal{T}_Y)\) subespaço de \(X\) e \(U\) um subconjunto de \(Y\).

Mostre que o fecho de \(U\) em \((Y,\mathcal{T}_Y)\) é a interseção de \(Y\) com o fecho de \(U\) em \((X,\mathcal{T})\).
Mostre que \(U\subset Y\) é denso em \(Y\) se e só se \(\bar{U}=\bar{Y}\) em \(X\).

Exercício 4.5

Sejam \((X,\mathcal{T})\) um espaço topológico, \((Y,\mathcal{T}_Y)\) subespaço de \(X\) e \(U\) um subconjunto de \(Y\).

Mostre que um ponto \(y\in Y\) é ponto de acumulação de \(U\) em \((Y,\mathcal{T}_Y)\) se, e somente se, \(y\) é ponto de acumulação de \(U\) em \((X,\mathcal{T})\).
A propriedade análoga para pontos interiores é verdadeira? Justifique.

4.2 Topologias Inicial e Final

A topologia de subespaço é um caso de uma construção mais geral, na qual a topologia é determinada pela continuidade de certas aplicações. Quando o conjunto a topologizar é o domínio das aplicações, procuramos a topologia mais fraca que as torne contínuas. Quando ele é o contradomínio, procuramos a topologia mais forte com essa propriedade.

Essas construções recebem os nomes de topologia inicial e topologia final. A primeira será utilizada nos produtos; a segunda, nos quocientes e nas somas.

4.2.1 Topologia Inicial

Comecemos com uma única aplicação

\[ f:X\longrightarrow (Y,\mathcal{T}_Y), \]

onde \(X\) é apenas um conjunto. Para que \(f\) seja contínua, toda imagem inversa \(f^{-1}(U)\), com \(U\in \mathcal{T}_Y\), deve ser aberta em \(X\). Isso sugere usar exatamente essas imagens inversas.

Proposição 4.11

A família

\[ f^{-1}(\mathcal{T}_Y)=\{ f^{-1}(U):U\in \mathcal{T}_Y\} \]

é uma topologia em \(X\). Além disso, é a menor topologia em \(X\) que torna \(f\) contínua.

Demonstração ▼

Temos \(f^{-1}(\varnothing )=\varnothing \) e \(f^{-1}(Y)=X\). Como imagens inversas comutam com uniões arbitrárias e interseções finitas,

\[ f^{-1}\! \left(\bigcup _\alpha U_\alpha \right)=\bigcup _\alpha f^{-1}(U_\alpha ), \qquad f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V), \]

a família \(f^{-1}(\mathcal{T}_Y)\) é uma topologia. Se \(\mathcal{T}\) é qualquer topologia em \(X\) para a qual \(f\) é contínua, então \(f^{-1}(U)\in \mathcal{T}\) para todo \(U\in \mathcal{T}_Y\). Portanto \(f^{-1}(\mathcal{T}_Y)\subseteq \mathcal{T}\).

Para uma família de aplicações, reúnem-se todas as imagens inversas e toma-se a topologia que elas geram.

Definição 4.12 (Topologia inicial)

Seja

\[ f_\lambda :X\longrightarrow (Y_\lambda ,\mathcal{T}_\lambda ),\qquad \lambda \in \Lambda , \]

uma família de aplicações. A topologia inicial induzida pela família \((f_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\) é a topologia gerada pela sub-base

\[ \mathcal S=\{ f_\lambda ^{-1}(U):\lambda \in \Lambda ,\ U\in \mathcal{T}_\lambda \} . \]

Equivalentemente, é a menor topologia em \(X\) que torna todas as aplicações \(f_\lambda \) contínuas. Também é chamada topologia fraca.

Uma aplicação injetiva fornece um caso particularmente importante. Se \(f:Y\to X\) é injetiva e \(Y\) recebe a topologia inicial induzida por \(f\), então \(f\) identifica \(Y\) com o subespaço \(f(Y)\subseteq X\).

Definição 4.13 (Mergulho)

Uma aplicação \(f:Y\to X\) entre espaços topológicos é um mergulho se \(f\) é um homeomorfismo de \(Y\) sobre o subespaço \(f(Y)\) de \(X\).

Proposição 4.14 (Caracterização dos mergulhos)

Se \(f:Y\to X\) é injetiva, então \(f\) é um mergulho se, e somente se, a topologia de \(Y\) é a topologia inicial induzida por \(f\).

Demonstração ▼

Como \(f:Y\to f(Y)\) é uma bijeção, dizer que a topologia de \(Y\) é induzida por \(f\) significa precisamente que

\[ U\subseteq Y\text{ é aberto} \quad \Longleftrightarrow \quad U=f^{-1}(V)\text{ para algum aberto }V\subseteq f(Y). \]

Isso equivale a dizer que \(f:Y\to f(Y)\) e sua inversa são contínuas.

4.2.2 Topologia Final

Consideremos agora uma aplicação cujo contradomínio será topologizado. Seja

\[ f:(X,\mathcal{T}_X)\longrightarrow Y, \]

onde \(Y\) ainda é apenas um conjunto. Queremos a topologia mais forte em \(Y\) para a qual \(f\) seja contínua. Um subconjunto \(U\subseteq Y\) pode ser declarado aberto exatamente quando sua imagem inversa já é aberta em \(X\).

Definição 4.15 (Topologia final)

Dada uma família

\[ f_\lambda :(X_\lambda ,\mathcal{T}_\lambda )\longrightarrow Y, \qquad \lambda \in \Lambda , \]

a topologia final induzida por \((f_\lambda )\) é

\[ \mathcal{T}_{\mathrm{final}} = \{ U\subseteq Y:f_\lambda ^{-1}(U)\in \mathcal{T}_\lambda \text{ para todo }\lambda \in \Lambda \} . \]

Ela é a maior topologia em \(Y\) que torna todas as aplicações \(f_\lambda \) contínuas.

Proposição 4.16

Para uma única aplicação \(f:(X,\mathcal{T}_X)\to Y\), a topologia final é

\[ {\mathcal{T}^{f}}=\{ U\subseteq Y:f^{-1}(U)\in \mathcal{T}_X\} . \]

Demonstração ▼

A família indicada contém \(\varnothing \) e \(Y\). As propriedades de imagem inversa mostram que ela é fechada por uniões arbitrárias e interseções finitas. Logo é uma topologia. Qualquer topologia em \(Y\) que torne \(f\) contínua só pode conter conjuntos \(U\) cuja imagem inversa seja aberta; portanto está contida nessa família.

Quando \(f\) não é sobrejetiva, a topologia final torna \(Y\setminus f(X)\) discreto e separa esse conjunto de \(f(X)\). Nos exemplos mais importantes, especialmente nos quocientes, trabalharemos com aplicações sobrejetivas.

4.2.3 Sub-bases e continuidade

A construção inicial também fornece um critério útil para verificar continuidade quando a topologia do contradomínio é dada por geradores.

Proposição 4.17

Se \(\mathcal C\subseteq \mathcal P(Y)\) e \(f:X\to Y\), então

\[ {{\mathcal{T}}\langle {f^{-1}(\mathcal C)} \rangle } = f^{-1}\! \left({{\mathcal{T}}\langle \mathcal C \rangle }\right). \]

Demonstração ▼

A imagem inversa comuta com uniões arbitrárias e interseções finitas. Portanto, aplicar \(f^{-1}\) às uniões de interseções finitas que geram \({{\mathcal{T}}\langle \mathcal C \rangle }\) produz exatamente a topologia gerada por \(f^{-1}(\mathcal C)\).

Proposição 4.18

Se a topologia de \(Y\) é gerada por uma sub-base \(\mathcal C\), então uma aplicação \(f:X\to Y\) é contínua se, e somente se,

\[ f^{-1}(C)\text{ é aberto em }X\qquad \text{para todo }C\in \mathcal C. \]

Demonstração ▼

Se \(f\) é contínua, as imagens inversas dos elementos de \(\mathcal C\) são abertas. Reciprocamente, se isso vale para todos os elementos de \(\mathcal C\), a proposição anterior mostra que as imagens inversas de todos os abertos de \(Y\) pertencem à topologia gerada por essas imagens inversas; portanto são abertas em \(X\).

4.2.4 Propriedades Universais

As propriedades universais das topologias inicial e final fornecem critérios de continuidade expressos por composições de aplicações. Com eles, não é necessário descrever novamente todos os abertos a cada verificação.

Ilustração: Propriedades Universais Dizemos que o diagrama 4.1 comuta quando \(c\circ a=d\circ b\).

Proposição 4.19 (Propriedade universal da topologia inicial)

Se \(X\) recebe a topologia inicial induzida por \(f:X\to Y\), então, para toda aplicação \(g:Z\to X\),

\[ g\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad f\circ g\text{ é contínua}. \]

Além disso, a topologia inicial é a única topologia em \(X\) com essa propriedade e para a qual \(f\) é contínua.

Demonstração ▼

Se \(g\) é contínua, a continuidade de \(f\circ g\) segue pela composição. Reciprocamente, todo aberto da topologia inicial tem a forma \(f^{-1}(U)\), com \(U\) aberto em \(Y\), e

\[ g^{-1}(f^{-1}(U))=(f\circ g)^{-1}(U). \]

Logo a continuidade de \(f\circ g\) implica a de \(g\). A unicidade segue aplicando essa equivalência à identidade entre duas possíveis topologias em \(X\).

Proposição 4.20 (Propriedade universal da topologia inicial: família)

Se \(X\) recebe a topologia inicial induzida por uma família \(f_\lambda :X\to Y_\lambda \), então, para toda aplicação \(g:Z\to X\),

\[ g\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad f_\lambda \circ g\text{ é contínua para todo }\lambda \in \Lambda . \]

Demonstração ▼

É a Proposição 4.18 aplicada à sub-base \(\{ f_\lambda ^{-1}(U)\} \). De fato,

\[ g^{-1}(f_\lambda ^{-1}(U))=(f_\lambda \circ g)^{-1}(U). \]

Proposição 4.21 (Propriedade universal da topologia final)

Se \(Y\) recebe a topologia final induzida por uma aplicação \(f:X\to Y\), então, para toda aplicação \(g:Y\to Z\),

\[ g\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad g\circ f\text{ é contínua}. \]

A topologia final é a única topologia em \(Y\) com essa propriedade e para a qual \(f\) é contínua.

Demonstração ▼

Uma direção segue pela composição. Para a outra, se \(V\) é aberto em \(Z\) e \(g\circ f\) é contínua, então

\[ f^{-1}(g^{-1}(V))=(g\circ f)^{-1}(V) \]

é aberto em \(X\). Pela definição da topologia final, \(g^{-1}(V)\) é aberto em \(Y\). A unicidade segue novamente aplicando a propriedade à identidade.

4.2.5 Exemplos

Exemplo 4.22

Seja \((X,d)\) um espaço métrico. Para cada \(x\in X\), considere

\[ f_x:X\to \mathbb R,\qquad f_x(y)=d(x,y). \]

A topologia métrica é exatamente a topologia inicial induzida pela família \((f_x)_{x\in X}\). Com efeito, cada \(f_x\) é contínua na topologia métrica, enquanto

\[ B(x,r)=f_x^{-1}(({-}\infty ,r)) \]

mostra que as bolas abertas pertencem à topologia inicial.

Exemplo 4.23

Considere o conjunto \(\mathcal L(\mathbb R)\) das funções limitadas \(\mathbb R\to \mathbb R\). Para cada ponto \(x\) do domínio há uma aplicação de avaliação

\[ F_x:\mathcal L(\mathbb R)\longrightarrow \mathbb R,\qquad F_x(f)=f(x). \]

A topologia inicial produzida por toda a família \((F_x)_{x\in \mathbb R}\) é justamente aquela em que convergir significa convergir em cada ponto do domínio. Na Seção 4.3 veremos essa mesma estrutura como um caso de topologia produto.

Exemplo 4.24

Considere

\[ f:\mathbb R\to S^1,\qquad f(t)=e^{2\pi i t}. \]

A topologia inicial em \(\mathbb R\) induzida pela topologia usual de \(S^1\) é mais fraca que a topologia usual de \(\mathbb R\): seus abertos são invariantes por translações inteiras. A topologia final induzida por essa mesma aplicação, por outro lado, será um dos exemplos centrais da seção de espaços quocientes.

Exercício 4.6

Seja \(f_\lambda :X\to Y_\lambda \) uma família de aplicações. Mostre diretamente que a topologia gerada por todos os conjuntos \(f_\lambda ^{-1}(U)\), com \(U\) aberto em \(Y_\lambda \), é a menor topologia que torna todas as \(f_\lambda \) contínuas.

Exercício 4.7

Considere um espaço topológico \((X,\mathcal{T})\) e o espaço de Sierpiński \(S\). Seja \(F\) a família de todas as aplicações contínuas \(f:X\to S\). Mostre que a topologia inicial em \(X\) induzida por \(F\) coincide com \(\mathcal{T}\).

Exercício 4.8

Se \(\mathcal{T}\) é uma topologia em \(\mathbb R\) que possui exatamente as mesmas funções contínuas \(\mathbb R\to \mathbb R\) que a topologia usual, mostre que \(\mathcal{T}\) é a topologia usual.

Exercício 4.9

Seja \(X\) um conjunto e \(\{ f_\alpha :X\to A_\alpha \} _{\alpha \in \mathcal A}\) uma família de funções. Se \(\mathcal{T}\) é a topologia inicial gerada por essa família e \(Y\subseteq X\), mostre que a topologia de subespaço em \(Y\) é a topologia inicial gerada pelas restrições \(f_\alpha |_Y\).

Exercício 4.10

Descreva a topologia inicial em \(\mathbb R\) gerada por cada uma das famílias abaixo, supondo os contradomínios com a topologia usual.

A família das funções constantes.
A aplicação identidade.
O conjunto de todas as funções contínuas para a topologia usual.
O conjunto das funções reais limitadas e contínuas para a topologia usual.

4.3 Topologia Produto

A topologia produto é a topologia mais fraca que torna contínuas as projeções sobre os fatores. Trata-se, portanto, da topologia inicial associada a essas projeções. Para dois fatores, os retângulos abertos fornecem uma descrição concreta da construção.

4.3.1 Produto Finito

Definição 4.25 (Topologia do Produto de dois Espaços)

Sejam \({\left({X}, {\mathcal{T}\sb {X}}\right)}\) e \({\left({Y}, {\mathcal{T}\sb {Y}}\right)}\) espaços topológicos. No conjunto \(X\times Y\), a topologia produto é a topologia gerada pelos retângulos

\[ U\times V,\qquad U\in \mathcal{T}\sb {X},\quad V\in \mathcal{T}\sb {Y}. \]

O conjunto cartesiano equipado com essa topologia é o espaço produto. Quando não houver ambiguidade, também escreveremos \(\mathcal{T}\sb {X}\times \mathcal{T}\sb {Y}\) para designá-la.

Exemplo 4.26

Dado \(X = \{ a,b\} \) com a topologia de Sierpinski \(\{ \varnothing , \{ a\} , \{ a,b\} \} \).

Então a topologia produto possui exatamente os seguintes abertos:

\[ \varnothing ,\quad \{ (a,a)\} ,\quad \{ a\} \times X,\quad X\times \{ a\} ,\quad (\{ a\} \times X)\cup (X\times \{ a\} ),\quad X\times X. \]

Essa topologia está representada na figura 4.2.

Figura 4.2 Topologia produto de dois espaços de Sierpiński.

Definimos as projeções canônicas em \(X\) e \(Y\) como:

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} \pi _X:& X \times Y & \to & X \\ & (x,y) & \mapsto & x \end{array}\end{equation*}

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} \pi _Y:& X \times Y & \to & Y \\ & (x,y) & \mapsto & y \end{array}\end{equation*}

As projeções caracterizam a topologia produto. A proposição seguinte reúne as descrições equivalentes que serão utilizadas adiante.

Exemplo 4.27 (Cilindro)

Considere o círculo unitário \({\mathbb {S}^{1}}\) e o intervalo \(I=[0,1]\). Então o produto \({\mathbb {S}^{1}}\times [0,1]\) é o cilindro.

Figura 4.3 O cilindro é o produto de S^(1)× [0,1] — Figura 4.3 O cilindro é o produto de \(S^{1}\times [0,1]\)

Proposição 4.28

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e seja \(\tau \) uma topologia qualquer em \(X\times Y\). Então as condições abaixo são equivalentes.

\(\tau \) coincide com a topologia produto.
Os conjuntos da forma \(A \times B\), com \(A\in \mathcal{T}\sb {X}\) e \(B\in \mathcal{T}\sb {Y}\), formam uma base de \(\tau \).
Os conjuntos da forma \(A \times Y\) e \(X \times B\), com \(A\in \mathcal{T}\sb {X}\) e \(B\in \mathcal{T}\sb {Y}\), formam uma sub-base de \(\tau \).
\(\tau \) é a topologia inicial determinada por \(\pi _X\) e \(\pi _Y\); isto é, a menor topologia em \(X\times Y\) que torna as duas projeções contínuas.
Para qualquer espaço topológico \(Z\) e qualquer função \(f:Z\to X\times Y\), a continuidade de \(f\) equivale à continuidade simultânea de suas duas funções coordenadas \(\pi _X\circ f\) e \(\pi _Y\circ f\).

Figura 4.4 Dois abertos da sub-base da topologia produto em azul e em laranja um aberto da base que não é da sub-base.

Figura 4.5 Uma aplicação com valores em X× Y é contínua exatamente quando suas duas componentes coordenadas são contínuas. — Figura 4.5 Uma aplicação com valores em \(X\times Y\) é contínua exatamente quando suas duas componentes coordenadas são contínuas.

Demonstração ▼

\(\ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:definicao} \Leftrightarrow \ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:base} \Leftrightarrow \ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:sub-base}\)

Interseções finitas dos cilindros sub-básicos são retângulos, pois

\[ (U\times Y)\cap (X\times V)=U\times V. \]

Reciprocamente, todo retângulo básico aparece dessa forma.

\(\ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:sub-base} \Leftrightarrow \ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:projecoes}\)

A continuidade de \(\pi _X\) força a abertura de todos os conjuntos \(\pi _X^{-1}(U)=U\times Y\), e a continuidade de \(\pi _Y\) força a abertura de \(\pi _Y^{-1}(V)=X\times V\). Assim, qualquer topologia que torne as projeções contínuas contém a sub-base do item anterior. A topologia por ela gerada já torna as projeções contínuas e, portanto, é a menor com essa propriedade.

\(\ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:projecoes} \Leftrightarrow \ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:composicao_com_projecao}\)

É um caso particular da Proposição 4.20.

Observação 4.29

Uma aplicação \(f:Z\to X\times Y\) é determinada pelas funções coordenadas

\[ f_X=\pi _X\circ f,\qquad f_Y=\pi _Y\circ f. \]

A propriedade universal diz que \(f\) é contínua exatamente quando \(f_X\) e \(f_Y\) são contínuas.

Observação 4.30 (Continuidade separada não basta)

A propriedade universal anterior vale para aplicações com valores em um produto. Ela não afirma que uma função \(f:X\times Y\to Z\) seja contínua quando suas duas seções são contínuas. De fato, considere

\[ f(x,y)= \begin{cases} 0,& (x,y)=(0,0),\\ \dfrac {xy}{x^2+y^2},& (x,y)\neq (0,0). \end{cases} \]

As seções pelos eixos são identicamente nulas e, portanto, contínuas. Entretanto, \(f(1/n,1/n)=1/2\) para todo \(n\), enquanto \((1/n,1/n)\to (0,0)\). Logo \(f\) não é contínua na origem. O ponto é que variar uma coordenada de cada vez não controla aproximações simultâneas no produto.

Observação 4.31

Para a topologia produto de dois espaços,

\begin{equation} \label{obs:eq:topologia_produto_com_sequencias} (x_n,y_n)\longrightarrow (x,y) \quad \Longleftrightarrow \quad x_n\longrightarrow x\ \text{ e }\ y_n\longrightarrow y. \tag{4.2} \end{equation}

A equivalência decorre da descrição das vizinhanças básicas \(U\times V\). Em espaços topológicos gerais, porém, sequências convergentes não determinam necessariamente toda a topologia.

A construção se estende a qualquer número finito de fatores, impondo a continuidade de todas as projeções coordenadas.

Definição 4.32

Dada uma família finita de espaços topológicos \({\left({X_1}, {\mathcal{T}\sb {X_1}}\right)},\dotsc ,{\left({X_n}, {\mathcal{T}\sb {X_n}}\right)}\), a topologia produto em \(X_1\times \cdots \times X_n\) é a menor topologia que torna contínuas as projeções coordenadas

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} \pi _j:& X_1 \times \dotsb \times X_n & \to & X_j \\ & (x_1, \dotsc , x_n) & \mapsto & x_j \end{array}, \end{equation*}

são contínuas. O espaço produto \({\left({X_1}, {\mathcal{T}\sb {X_1}}\right)} \times \dotsb \times {\left({X_n}, {\mathcal{T}\sb {X_n}}\right)}\), é o conjunto \(X_1 \times \dotsb \times X_n\), dotado da topologia produto.

Os retângulos \(U_1\times \cdots \times U_n\), com \(U_i\) aberto em \(X_i\), formam uma base. Equivalentemente, uma aplicação com valores no produto finito é contínua se, e somente se, cada uma de suas coordenadas é contínua; é a mesma propriedade universal usada no caso de dois fatores.

4.3.2 Produto Cartesiano Infinito

Antes de definir a topologia, fixemos a notação para produtos com um conjunto arbitrário de índices.

Definição 4.33

Se \(\Lambda \) é um conjunto e \(X\) um conjunto, uma família \((x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\) de elementos de \(X\) é simplesmente uma função \(x:\Lambda \to X\); escrevemos \(x_\lambda =x(\lambda )\). O conjunto de todas essas famílias é denotado por \(X^\Lambda \).

Definição 4.34

Dada uma família de conjuntos \((A_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\), seu produto cartesiano é

\[ \prod _{\lambda \in \Lambda }A_\lambda = \left\{ (x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }:x_\lambda \in A_\lambda \text{ para todo }\lambda \in \Lambda \right\} . \]

Equivalentemente, seus elementos são as funções

\[ x:\Lambda \longrightarrow \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_\lambda \]

tais que \(x(\lambda )\in A_\lambda \) para todo \(\lambda \).

Se todos os fatores são iguais a um mesmo conjunto \(Y\), escrevemos simplesmente \(Y^\Lambda \). Assim,

\[ Y^{\mathbb N}=\prod _{n\in \mathbb N}Y \]

é o conjunto das sequências em \(Y\), enquanto \(\mathbb R^{\mathbb R}\) é o conjunto de todas as funções reais de variável real. Essa identificação entre funções e pontos de um produto será usada várias vezes.

4.3.3 Produto Infinito

Se cada \(X_\lambda \) é um espaço topológico, a topologia produto será definida pela continuidade das projeções coordenadas. Como veremos, seus abertos básicos impõem restrições em apenas finitas coordenadas.

Definição 4.35 (Topologia produto)

Dada uma família de espaços topológicos \((X_\lambda ,\mathcal{T}_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\), a topologia produto em

\[ X=\prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda \]

é a topologia inicial induzida pelas projeções

\[ \pi _\gamma :X\longrightarrow X_\gamma , \qquad \pi _\gamma ((x_\lambda )_\lambda )=x_\gamma . \]

Equivalentemente, é a menor topologia em \(X\) que torna todas as projeções contínuas.

Proposição 4.36

Os conjuntos

\[ S(\lambda ,U)=\pi _\lambda ^{-1}(U), \qquad \lambda \in \Lambda ,\quad U\in \mathcal{T}_\lambda , \]

formam uma sub-base da topologia produto.

Isso é apenas a descrição da topologia inicial pelas imagens inversas dos abertos dos fatores. Interseções finitas desses cilindros fornecem uma base.

Proposição 4.37

Uma base da topologia produto é formada pelos conjuntos

\[ B=\bigcap _{j=1}^n\pi _{\lambda _j}^{-1}(U_j), \]

onde \(\lambda _1,\dots ,\lambda _n\) são índices distintos e \(U_j\in \mathcal{T}_{\lambda _j}\). Em outras palavras, um aberto básico restringe apenas um número finito de coordenadas.

Exemplo 4.38

Em \(\mathbb R^{\mathbb N}\),

\[ \mathbb R\times (a,b)\times \mathbb R\times (c,d)\times \mathbb R\times \cdots \]

é um aberto básico: apenas duas coordenadas foram restringidas. Essa é a diferença essencial entre a topologia produto e a topologia da caixa, que veremos adiante.

Proposição 4.39

Se \(Y\) é um espaço topológico e

\[ f:Y\longrightarrow \prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda , \]

então

\[ f\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad \pi _\lambda \circ f\text{ é contínua para todo }\lambda \in \Lambda . \]

Demonstração ▼

É exatamente a propriedade universal da topologia inicial, Proposição 4.20.

Proposição 4.40

Cada projeção canônica

\[ \pi _\gamma :\prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda \longrightarrow X_\gamma \]

é uma aplicação aberta.

Demonstração ▼

É suficiente verificar a imagem de um aberto básico

\[ B=\bigcap _{j=1}^n\pi _{\lambda _j}^{-1}(U_j). \]

Se \(B=\varnothing \), não há nada a provar. Se \(B\neq \varnothing \) e \(\gamma =\lambda _j\) para algum \(j\), então \(\pi _\gamma (B)=U_j\); se \(\gamma \) não está entre os índices restringidos, \(\pi _\gamma (B)=X_\gamma \). Em qualquer caso a imagem é aberta. Como todo aberto é união de abertos básicos, \(\pi _\gamma \) é aberta.

Proposição 4.41

Suponha que a topologia de \(X\) seja a topologia inicial induzida por uma família

\[ f_\lambda :X\to X_\lambda , \qquad \lambda \in \Lambda . \]

Se \(S\subseteq X\) recebe a topologia de subespaço, então a topologia de \(S\) é a topologia inicial induzida pelas restrições

\[ f_\lambda |_S:S\to X_\lambda . \]

Demonstração ▼

Uma base da topologia inicial de \(X\) é formada por interseções finitas

\[ \bigcap _{j=1}^n f_{\lambda _j}^{-1}(U_j). \]

Intersectando esses conjuntos com \(S\) obtemos

\[ S\cap \bigcap _{j=1}^n f_{\lambda _j}^{-1}(U_j) = \bigcap _{j=1}^n(f_{\lambda _j}|_S)^{-1}(U_j), \]

que é precisamente a base da topologia inicial em \(S\) induzida pelas restrições.

Definição 4.42

Uma família \((f_\lambda :X\to X_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\) separa pontos de \(X\) quando, dados \(x\neq y\), existe \(\lambda \) tal que \(f_\lambda (x)\neq f_\lambda (y)\).

A família \((f_\lambda )\) determina uma única aplicação

\[ \varepsilon :X\longrightarrow \prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda , \qquad \varepsilon (x)=(f_\lambda (x))_{\lambda \in \Lambda }, \]

chamada aplicação de avaliação.

Proposição 4.43

A aplicação \(\varepsilon \) é um mergulho se, e somente se:

a família \((f_\lambda )\) separa os pontos de \(X\);
a topologia de \(X\) é a topologia inicial induzida pela família \((f_\lambda )\).

Demonstração ▼

Se \(\varepsilon \) é um mergulho, então é injetiva, logo os \(f_\lambda =\pi _\lambda \circ \varepsilon \) separam pontos. Além disso, a topologia de \(\varepsilon (X)\) é a topologia inicial induzida pelas restrições das projeções, pela Proposição 4.41; transportando-a pelo homeomorfismo \(\varepsilon :X\to \varepsilon (X)\), obtemos precisamente a topologia inicial induzida pelos \(f_\lambda \).

Reciprocamente, se os \(f_\lambda \) separam pontos, \(\varepsilon \) é injetiva. Pela propriedade universal do produto, \(\varepsilon \) é contínua. Para provar que \(\varepsilon :X\to \varepsilon (X)\) é um homeomorfismo, é suficiente verificar que uma base de \(X\) é levada em abertos de \(\varepsilon (X)\). Se

\[ U=\bigcap _{j=1}^n f_{\lambda _j}^{-1}(U_j), \]

então, usando a injetividade de \(\varepsilon \),

\[ \varepsilon (U) = \varepsilon (X)\cap \bigcap _{j=1}^n\pi _{\lambda _j}^{-1}(U_j), \]

que é aberto no subespaço \(\varepsilon (X)\).

Exemplo 4.44 (Representação decimal)

Seja \(A=\{ 0,1,\dots ,9\} \) com a topologia discreta. Um ponto de \(A^{\mathbb N}\) é uma sequência de algarismos \((a_0,a_1,\dots )\), e podemos associar a ela o número

\[ f((a_n))=\sum _{n=0}^{\infty }a_n10^{-n-1}\in [0,1]. \]

A aplicação não é injetiva, pois algumas expansões decimais têm duas representações, como \(0,1000\dots =0,0999\dots \).

Na topologia produto, \((a^m)\) converge para \(a\) exatamente quando cada coordenada estabiliza: para todo \(J\), existe \(M\) tal que, se \(m\ge M\), então os primeiros \(J\) algarismos de \(a^m\) coincidem com os de \(a\). Disso segue diretamente que \(f\) é contínua. Substituindo \(A\) por \(\{ 0,1\} \) obtemos a versão binária da mesma construção.

Exemplo 4.45 (Espaço de funções)

Se \(X\) é um conjunto e \(Y\) um espaço topológico, identificamos o conjunto das funções \(X\to Y\) com

\[ Y^X=\prod _{x\in X}Y_x, \]

onde cada \(Y_x\) é uma cópia de \(Y\). Um aberto básico em torno de \(f\in Y^X\) impõe condições apenas em um número finito de pontos \(x_1,\dots ,x_n\):

\[ \bigcap _{j=1}^n\pi _{x_j}^{-1}(U_j), \qquad f(x_j)\in U_j. \]

Fora dessas coordenadas, a função pode assumir valores arbitrários. Essa é a geometria da topologia da convergência pontual.

Figura 4.6 Um aberto básico da topologia produto no espaço das funções X→ Y. — Figura 4.6 Um aberto básico da topologia produto no espaço das funções \(X\to Y\).

Proposição 4.46 (Convergência pontual)

Uma sequência \((f_n)\) em \(Y^X\), com a topologia produto, converge para \(f\) se, e somente se,

\[ f_n(x)\longrightarrow f(x) \qquad \text{para todo }x\in X. \]

Demonstração ▼

Se \(f_n\to f\) no produto, a continuidade de cada projeção \(\pi _x\) dá \(f_n(x)\to f(x)\). Reciprocamente, seja

\[ V=\bigcap _{j=1}^k\pi _{x_j}^{-1}(U_j) \]

uma vizinhança básica de \(f\). Para cada uma das finitas coordenadas \(x_j\), a convergência \(f_n(x_j)\to f(x_j)\) fornece um índice a partir do qual \(f_n(x_j)\in U_j\). Tomando o máximo desses índices, obtemos \(f_n\in V\) para todo \(n\) suficientemente grande.

Exemplo 4.47

Em \(X=[0,1]^{\mathbb N}\), considere as métricas

\[ d_\infty (x,y)=\sup _{n\ge 0}|x_n-y_n| \qquad \text{e}\qquad d_w(x,y)=\sup _{n\ge 0}\frac{|x_n-y_n|}{n+1}. \]

A métrica \(d_w\) induz a topologia produto. De fato, para um raio \(\varepsilon \gt 0\), a condição

\[ d_w(x,a)\lt \varepsilon \]

impõe \(|x_n-a_n|\lt (n+1)\varepsilon \); como \(|x_n-a_n|\le 1\), apenas um número finito de coordenadas produz restrições não triviais. Reciprocamente, dado um aberto básico que restringe apenas finitas coordenadas, escolhemos \(\varepsilon \) suficientemente pequeno para que uma bola de \(d_w\) esteja contida nele.

Já \(d_\infty \) induz uma topologia estritamente mais fina. Uma bola de raio \(\varepsilon \lt 1\) exige simultaneamente

\[ |x_n-a_n|\lt \varepsilon \qquad \text{para todo }n, \]

e portanto restringe infinitas coordenadas. Ela não é, em geral, aberta na topologia produto: qualquer vizinhança básica de \(a\) deixa alguma coordenada livre, permitindo alterar essa coordenada por uma quantidade maior que \(\varepsilon \).

4.3.4 Topologia da Caixa

A topologia da caixa é a alternativa em que permitimos restrições em todas as coordenadas ao mesmo tempo.

Definição 4.48 (Topologia da caixa)

Dada uma família de espaços topológicos \((X_\lambda ,\mathcal{T}_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\), a topologia da caixa em \(\prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda \) é a topologia cuja base é formada pelos conjuntos

\[ \prod _{\lambda \in \Lambda }U_\lambda , \qquad U_\lambda \in \mathcal{T}_\lambda \text{ para todo }\lambda . \]

A topologia produto está contida na topologia da caixa. Para produtos finitos elas coincidem; em produtos infinitos, a inclusão pode ser estrita.

Exemplo 4.49

Considere

\[ f:\mathbb R\to \mathbb R^{\mathbb N}, \qquad f(x)=(x,x,x,\dots ). \]

Na topologia da caixa,

\[ B=\prod _{n\ge 1}(-2^{-n},2^{-n}) \]

é aberto, mas \(f^{-1}(B)=\{ 0\} \). Logo \(f\) não é contínua para a topologia da caixa, embora cada coordenada \(\pi _n\circ f\) seja contínua. Portanto, a topologia da caixa não possui a propriedade universal que caracteriza a topologia produto.

Proposição 4.50 (Convergência de sequências na topologia da caixa)

Suponha que \(Y\) seja \(T_1\). Uma sequência \((f_n)\) em \(Y^X\), com a topologia da caixa, converge para \(f\) se, e somente se, existe um conjunto finito \(F\subseteq X\) e um índice \(N\) tais que

\[ f_n(x)=f(x) \qquad \text{para todo }n\ge N\text{ e todo }x\notin F, \]

e, para cada \(x\in F\), temos \(f_n(x)\to f(x)\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro que existam \(F\) e \(N\) com a propriedade indicada. Uma vizinhança em caixa de \(f\) impõe uma condição em cada coordenada; fora de \(F\) a igualdade já vale para \(n\ge N\), e nas coordenadas de \(F\) tomamos o máximo dos finitíssimos índices de convergência necessários.

Para a necessidade, suponha que não existam tais \(F\) e \(N\). Então podemos escolher índices crescentes \(n_k\) e coordenadas distintas \(x_k\) tais que \(f_{n_k}(x_k)\neq f(x_k)\). Como \(Y\) é \(T_1\), o conjunto

\[ U_{x_k}=Y\setminus \{ f_{n_k}(x_k)\} \]

é uma vizinhança aberta de \(f(x_k)\). Tomando \(U_x=Y\) nas demais coordenadas, obtemos uma vizinhança em caixa \(\prod _{x\in X}U_x\) de \(f\) que não contém nenhum dos termos \(f_{n_k}\), contradizendo \(f_n\to f\).

Exercício 4.11

Seja \((X_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\) uma família de espaços topológicos e escolha um subconjunto de índices \(\Gamma \subseteq \Lambda \). Escreva

\begin{equation*} X_\Lambda = \prod _{\lambda \in \Lambda } X_\lambda \quad \text{ e } \quad X_\Gamma = \prod _{\lambda \in \Gamma } X_\lambda . \end{equation*}

Mostre que a aplicação

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} \Pi _\Gamma :& X_\Lambda & \to & X_\Gamma \\ & (x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda } & \mapsto & (x_\lambda )_{\lambda \in \Gamma } \end{array}\end{equation*}

é contínua e aberta.

Ver dica

Para a continuidade, teste cada coordenada do contradomínio compondo \(\Pi _\Gamma \) com a projeção \(X_\Gamma \to X_\lambda \). Para a abertura, comece por um aberto básico do produto.

Ver solução

A continuidade de \(\Pi _\Gamma \) segue da propriedade universal do produto, pois para cada \(\lambda \in \Gamma \),

\[ \pi _{\Gamma ,\lambda }\circ \Pi _\Gamma =\pi _\lambda . \]

Para provar que é aberta, basta considerar um aberto básico \(B\subseteq X_\Lambda \). Sua imagem por \(\Pi _\Gamma \) é vazia ou um aberto básico de \(X_\Gamma \): as restrições impostas às coordenadas fora de \(\Gamma \) desaparecem, e as restrições nas coordenadas de \(\Gamma \) permanecem. Logo \(\Pi _\Gamma \) é aberta.

Exercício 4.12

Mantenha a notação do Exercício 4.11 e seja \(\widetilde\Gamma \) uma partição do conjunto de índices \(\Lambda \). Mostre que a aplicação

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} f:& X_\Lambda & \to & \prod _{\Gamma \in \tilde{\Gamma }} X_\Gamma \\ & x & \mapsto & (\Pi _\Gamma (x))_{\Gamma \in \tilde{\Gamma }} \end{array}\end{equation*}

é um homeomorfismo.

Ver dica

A função apenas reorganiza as coordenadas em blocos determinados pela partição. Use a propriedade universal do produto tanto para \(f\) quanto para a aplicação que desfaz esse reagrupamento.

Ver solução

A aplicação \(f\) é bijetiva, pois apenas reagruppa as coordenadas segundo a partição \(\widetilde\Gamma \). Para cada bloco \(\Gamma \in \widetilde\Gamma \), a coordenada correspondente de \(f\) é \(\Pi _\Gamma \), que é contínua pelo exercício anterior. Logo \(f\) é contínua pela propriedade universal do produto.

A inversa apenas recoloca cada coordenada em sua posição original. Para cada \(\lambda \in \Lambda \), se \(\Gamma \) é o único bloco que contém \(\lambda \), então a \(\lambda \)-ésima coordenada de \(f^{-1}\) é a composição da projeção no bloco \(\Gamma \) com a projeção \(X_\Gamma \to X_\lambda \). Essa composição é contínua. Novamente pela propriedade universal do produto, \(f^{-1}\) é contínua. Portanto \(f\) é um homeomorfismo.

4.4 Espaços Quocientes

Quocientes são a maneira topológica de colar pontos. O modelo mais simples é o intervalo \([0,1]\): se identificarmos as duas extremidades, obtemos um círculo. A relação de equivalência registra quais pontos devem ser identificados; a topologia quociente determina quais conjuntos permanecem abertos depois da colagem.

4.4.1 Relações de equivalência e a topologia quociente

Notação 4.51

Dada uma relação de equivalência \(\sim \) em um conjunto \(X\), denotamos por \(X/{\sim }\) o conjunto das classes de equivalência e por

\[ \pi :X\longrightarrow X/{\sim },\qquad \pi (x)=[x], \]

a projeção canônica.

Se \(X\) já possui uma topologia, queremos que a projeção \(\pi \) seja contínua. A escolha canônica é usar no conjunto de classes a topologia final de \(\pi \).

Definição 4.52 (Topologia quociente)

Se \((X,\mathcal{T})\) é um espaço topológico e \(\sim \) uma relação de equivalência em \(X\), a topologia quociente em \(X/{\sim }\) é

\[ \mathcal{T}_{\sim } = \{ U\subseteq X/{\sim }:\pi ^{-1}(U)\in \mathcal{T}\} . \]

O espaço \((X/{\sim },\mathcal{T}_{\sim })\) é chamado espaço quociente.

Um conjunto de classes é aberto no quociente se, e somente se, a união dessas classes é aberta no espaço original \(X\). Assim, a abertura no quociente é verificada pela imagem inversa da projeção canônica.

Exemplo 4.53 (O círculo a partir de um intervalo)

Em \(I=[0,1]\), considere a relação que identifica apenas as extremidades:

\[ x\sim y \quad \Longleftrightarrow \quad x=y\text{ ou }\{ x,y\} =\{ 0,1\} . \]

O quociente \(I/{\sim }\) é o espaço obtido ao colar \(0\) e \(1\). Veremos abaixo que ele é homeomorfo a \(S^1\).

4.4.2 A propriedade universal

A propriedade universal da topologia quociente permite verificar a continuidade de uma aplicação definida nas classes de equivalência por meio de sua composição com a projeção canônica.

Proposição 4.54 (Propriedade universal do quociente)

Se \(\pi :X\to X/{\sim }\) é a projeção canônica e \(f:X\to Z\) é uma função constante em cada classe de equivalência, então existe uma única função

\[ \bar f:X/{\sim }\longrightarrow Z \]

tal que

\[ f=\bar f\circ \pi . \]

Ela é dada por

\[ \bar f([x])=f(x). \]

Se \(X/{\sim }\) recebe a topologia quociente, então

\[ \bar f\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad f\text{ é contínua}. \]

Demonstração ▼

A hipótese de que \(f\) é constante nas classes garante que a fórmula \(\bar f([x])=f(x)\) não depende do representante escolhido. Como \(\pi \) é sobrejetiva, essa fatoração é única. Por fim,

\[ f=\bar f\circ \pi , \]

e a equivalência de continuidade é exatamente a propriedade universal da topologia final, Proposição 4.21.

Não se deve escrever uma expressão do tipo \(f\circ \pi ^{-1}\): em geral, a projeção \(\pi \) não é injetiva e \(\pi ^{-1}\) não é uma função. A aplicação \(\bar f\) é definida diretamente nas classes pela fórmula acima.

4.4.3 Aplicações quocientes

Definição 4.55 (Aplicação quociente)

Uma aplicação sobrejetiva \(q:X\to Y\) entre espaços topológicos é uma aplicação quociente quando

\[ U\subseteq Y\text{ é aberto} \quad \Longleftrightarrow \quad q^{-1}(U)\text{ é aberto em }X. \]

Equivalentemente, a topologia de \(Y\) é a topologia final induzida por \(q\).

Toda projeção canônica \(\pi :X\to X/{\sim }\) é, por definição, uma aplicação quociente.

Exemplo 4.56 (A aplicação sinal)

Seja \(S=\{ +,-,0\} \) e considere

\[ s:\mathbb R\to S,\qquad s(x)= \begin{cases} +,& x\gt 0,\\ -,& x\lt 0,\\ 0,& x=0. \end{cases} \]

A topologia final induzida por \(s\) é

\[ \{ \varnothing ,S,\{ +\} ,\{ -\} ,\{ +,-\} \} . \]

Com essa topologia, \(s\) é uma aplicação quociente.

Toda aplicação sobrejetiva determina uma relação de equivalência por suas fibras.

Proposição 4.57 (Quociente pelas fibras)

Se \(q:X\to Y\) é sobrejetiva, defina

\[ x\sim _q y\quad \Longleftrightarrow \quad q(x)=q(y). \]

Então a aplicação

\[ \bar q:X/{\sim _q}\longrightarrow Y,\qquad \bar q([x])=q(x), \]

é uma bijeção. Além disso, \(q\) é uma aplicação quociente se, e somente se, \(\bar q\) é um homeomorfismo quando \(X/{\sim _q}\) recebe a topologia quociente.

Demonstração ▼

A definição de \(\sim _q\) garante que \(\bar q\) é bem definida e injetiva; a sobrejetividade de \(q\) garante a sobrejetividade de \(\bar q\). Como

\[ q=\bar q\circ \pi , \]

a propriedade universal mostra que \(\bar q\) é contínua quando \(q\) é contínua. Para a inversa, um conjunto \(U\subseteq Y\) é aberto se, e somente se, \(q^{-1}(U)\) é aberto em \(X\) exatamente quando \(\pi ^{-1}(\bar q^{-1}(U))\) é aberto; isso equivale a \(\bar q^{-1}(U)\) ser aberto no quociente. Portanto, se \(q\) é quociente, \(\bar q\) é um homeomorfismo. Reciprocamente, se \(\bar q\) é um homeomorfismo, a mesma equivalência de abertos mostra que \(q\) é uma aplicação quociente.

Proposição 4.58 (Critérios suficientes)

Se \(q:X\to Y\) é uma aplicação contínua e sobrejetiva, então cada uma das condições abaixo é suficiente para que \(q\) seja quociente:

\(q\) é aberta;
\(q\) é fechada.

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(q\) seja aberta e que \(q^{-1}(U)\) seja aberto em \(X\). Pela sobrejetividade,

\[ U=q(q^{-1}(U)), \]

logo \(U\) é aberto em \(Y\). O argumento para aplicações fechadas é o mesmo, usando complementos.

4.4.4 Conjuntos saturados

Definição 4.59 (Conjunto saturado)

Um subconjunto \(A\subseteq X\) é saturado quando é união de classes de equivalência. Equivalentemente,

\[ \pi ^{-1}(\pi (A))=A. \]

Proposição 4.60 (Caracterização por abertos saturados)

Os abertos de \(X/{\sim }\) são exatamente as imagens, pela projeção canônica, dos abertos saturados de \(X\):

\[ \mathcal{T}_{\sim } = \{ \pi (W):W\in \mathcal{T}\text{ e }W\text{ é saturado}\} . \]

Demonstração ▼

Se \(U\) é aberto no quociente, então \(\pi ^{-1}(U)\) é aberto e saturado, e a sobrejetividade de \(\pi \) dá

\[ \pi (\pi ^{-1}(U))=U. \]

Reciprocamente, se \(W\) é aberto e saturado,

\[ \pi ^{-1}(\pi (W))=W \]

é aberto; logo \(\pi (W)\) é aberto no quociente.

O mesmo argumento, usando complementos, mostra que os fechados do quociente são precisamente as imagens dos fechados saturados.

4.4.5 Exemplos geométricos

Exemplo 4.61 (O círculo)

Considere

\[ q:\mathbb R\to S^1,\qquad q(t)=e^{2\pi i t}=(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t). \]

Temos

\[ s\sim t\quad \Longleftrightarrow \quad s-t\in \mathbb Z. \]

A aplicação \(q\) é um homeomorfismo local e, em particular, uma aplicação aberta; como é sobrejetiva, é quociente. Portanto

\[ \mathbb R/\mathbb Z\cong S^1. \]

A mesma geometria pode ser descrita usando apenas o intervalo \([0,1]\). A aplicação

\[ q_0:[0,1]\to S^1,\qquad q_0(t)=e^{2\pi i t}, \]

identifica somente \(0\) e \(1\). Ela também é quociente: longe do ponto \((1,0)\) isso segue da descrição local acima; em \((1,0)\), a abertura de \(q_0^{-1}(U)\) contém simultaneamente um intervalo relativo junto de \(0\) e outro junto de \(1\), que juntos projetam em um arco aberto em torno de \((1,0)\). Assim

\[ [0,1]/(0\sim 1)\cong S^1. \]

Esse é o modelo básico de uma colagem topológica: colar as extremidades de um intervalo produz um círculo.

Exemplo 4.62 (O toro)

O toro bidimensional pode ser visto como

\[ T^2=S^1\times S^1. \]

Considere

\[ q:\mathbb R^2\to S^1\times S^1, \qquad q(x,y)= (\cos 2\pi x,\sin 2\pi x,\cos 2\pi y,\sin 2\pi y). \]

A relação de equivalência associada é

\[ (x,y)\sim (x',y') \quad \Longleftrightarrow \quad x-x'\in \mathbb Z\text{ e }y-y'\in \mathbb Z. \]

Como \(q\) é aberta e sobrejetiva,

\[ \mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong T^2. \]

O quadrado \([0,1]^2\) fornece um modelo particularmente útil. Identificamos os lados opostos com a mesma orientação:

\[ (0,y)\sim (1,y),\qquad (x,0)\sim (x,1). \]

O quociente resultante é homeomorfo a \(T^2\). O quadrado é, neste exemplo, um polígono fundamental: uma região simples cuja borda registra as colagens necessárias. Não precisamos de uma definição geral de “domínio fundamental” aqui; o conceito será usado apenas nesses modelos geométricos, onde a escolha é explícita.

Figura 4.8 Polígono fundamental do toro: lados opostos são identificados segundo as setas.

Exemplo 4.63 (Outros quocientes geométricos)

A esfera \(S^2\) pode ser obtida a partir do disco fechado \(D^2\) identificando todos os pontos da borda em um único ponto. Também pode ser construída colando dois discos ao longo de suas bordas.

Figura 4.9 Um esquema de identificação que produz a esfera.
O plano projetivo real \(\mathbb {RP}^2\) pode ser obtido do disco identificando cada ponto da borda com o ponto antipodal. Equivalentemente, pode ser descrito como o quociente de \(S^2\) pela relação \(x\sim -x\).

Figura 4.10 Polígono fundamental do plano projetivo real.
A mesma linguagem de polígonos com lados identificados produz a banda de Möbius e a garrafa de Klein. Esses exemplos mostram por que quocientes são uma ferramenta geométrica tão poderosa: espaços aparentemente diferentes podem ser construídos a partir de regiões muito simples, desde que se registre corretamente como suas bordas são coladas.

Exercício 4.13

O quociente de Kolmogorov de um espaço topológico é definido como o quociente pela relação de indistinguibilidade topológica. Mostre que o quociente de Kolmogorov de qualquer espaço é \(T_0\) e que todo espaço \(T_0\) é naturalmente identificado com seu próprio quociente de Kolmogorov.

Exercício 4.14

Verifique diretamente que a família \(\mathcal{T}_{\sim }\) da definição de topologia quociente é uma topologia em \(X/{\sim }\).

Exercício 4.15

Seja \(q:X\to Y\) uma aplicação quociente e \(g:Y\to Z\). Prove que \(g\) é contínua se, e somente se, \(g\circ q\) é contínua.

Exercício 4.16

Quais são os quocientes de um espaço discreto? E de um espaço com topologia trivial?

Exercício 4.17

Descreva uma relação de equivalência em \(\mathbb R^2\) cujo quociente seja homeomorfo a um círculo.

Exercício 4.18

Sejam \(X=[0,1]\) e

\[ x\sim y\quad \Longleftrightarrow \quad x=y\text{ ou }x,y\in (0,1). \]

Mostre que \(X/{\sim }\) não é \(T_1\).

Exercício 4.19

Sejam \(X=\mathbb R\) e

\[ x\sim y\quad \Longleftrightarrow \quad x=y\text{ ou }x,y\in \mathbb Z. \]

Mostre que \(X/{\sim }\) não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

Exercício 4.20

Seja \(q:X\to Y\) uma aplicação sobrejetiva.

Mostre que \(C\subseteq Y\) é fechado na topologia quociente se, e somente se, \(q^{-1}(C)\) é fechado em \(X\).
Se \(Y\) já possui uma topologia e \(q\) leva fechados em fechados, compare essa topologia com a topologia quociente.
Mostre que, se \(q\) é contínua, sobrejetiva e fechada, então é uma aplicação quociente.
Dê um exemplo de aplicação quociente que não seja fechada.

Exercício 4.21

Mostre diretamente que o quociente do quadrado \([0,1]^2\) pelas identificações

\[ (0,y)\sim (1,y),\qquad (x,0)\sim (x,1) \]

é homeomorfo a \(S^1\times S^1\).

4.5 Soma de Espaços Topológicos

A soma, ou união disjunta, reúne cópias dos espaços mantendo-as distintas. Mesmo que os conjuntos originais tenham elementos em comum, cada ponto da soma é identificado também pelo espaço ao qual pertence. Essa distinção será expressa por meio de pares ordenados.

Exemplo 4.64

Se \(A_1=\{ 1,2,3\} \) e \(A_2=\{ 3,4,5\} \), substituímos cada elemento por um par que registra sua origem:

\[ \{ 1\} \times A_1=\{ (1,1),(1,2),(1,3)\} ,\qquad \{ 2\} \times A_2=\{ (2,3),(2,4),(2,5)\} . \]

Essas duas cópias são disjuntas, embora \(A_1\) e \(A_2\) não fossem.

Definição 4.65 (União disjunta)

Dada uma família de conjuntos \((X_i)_{i\in I}\), sua união disjunta é

\[ \bigsqcup _{i\in I}X_i = \bigcup _{i\in I}(\{ i\} \times X_i). \]

Para cada \(i\), definimos a inclusão canônica

\begin{equation} \label{inclusao} j_i:X_i\longrightarrow \bigsqcup _{k\in I}X_k, \qquad j_i(x)=(i,x). \tag{4.3} \end{equation}

Se cada \(X_i\) possui uma topologia \(\mathcal{T}_i\), a topologia natural na soma é a topologia final induzida pelas inclusões \(j_i\).

Definição 4.66 (Topologia da soma)

A topologia da soma em \(\bigsqcup _{i\in I}X_i\) é caracterizada por

\[ U\text{ aberto} \quad \Longleftrightarrow \quad j_i^{-1}(U)\text{ é aberto em }X_i\text{ para todo }i\in I. \]

Equivalentemente, uma base é formada pelos conjuntos

\[ \{ i\} \times U, \qquad U\in \mathcal{T}_i. \]

Proposição 4.67 (Propriedade universal da soma)

Para todo espaço topológico \(Z\), uma aplicação

\[ g:\bigsqcup _{i\in I}X_i\longrightarrow Z \]

é contínua se, e somente se, cada restrição

\[ g\circ j_i:X_i\longrightarrow Z \]

é contínua.

Demonstração ▼

É exatamente a propriedade universal da topologia final aplicada à família das inclusões \((j_i)_{i\in I}\).

Observação 4.68 (Propriedades da soma)

Para cada \(i\in I\), a cópia \(\{ i\} \times X_i\) é simultaneamente aberta e fechada na soma. Além disso:

\(A\subseteq \bigsqcup _iX_i\) é aberto se, e somente se, \(A\cap (\{ i\} \times X_i)\) é aberto em \(\{ i\} \times X_i\) para todo \(i\);
a mesma caracterização vale para conjuntos fechados;
cada inclusão \(j_i\) é um mergulho aberto e fechado.

Exercício 4.22

Prove que as inclusões definidas em 4.3 são mergulhos abertos e fechados.

Exercício 4.23

Mostre diretamente que a topologia da soma é a maior topologia que torna todas as inclusões \(j_i\) contínuas.