Capítulo 1

Espaços Métricos

1.1 Da distância à estrutura

Em análise, a noção de aproximação depende dos objetos considerados. Para números reais, a distância é medida por \(|x-y|\); para vetores, por uma norma; para funções, pode ser medida pelo maior erro pontual ou por um erro médio. Essas medidas têm propriedades comuns: pontos distintos têm distância positiva, a ordem dos pontos não altera a distância e a distância direta não excede a soma das distâncias por um ponto intermediário.

Fréchet reuniu essas propriedades em 1906, ao introduzir os espaços métricos. Essa formulação permite estudar proximidade, abertura, continuidade e convergência sem recorrer a coordenadas, conservando as propriedades da distância necessárias a esses conceitos.

O ponto de partida pode ser visto na definição usual de continuidade. Para \(f:I\subset \mathbb {R}^n\to \mathbb {R}^m\), escrevemos

\[ \| x-a\| \lt \delta \quad \Longrightarrow \quad \| f(x)-f(a)\| \lt \varepsilon . \]

O papel das normas nessa expressão é apenas medir duas distâncias: uma no domínio e outra no contradomínio. Se \(X\) e \(Y\) admitirem funções distância \(d_X\) e \(d_Y\), a mesma condição se escreve

\[ d_X(x,a)\lt \delta \quad \Longrightarrow \quad d_Y(f(x),f(a))\lt \varepsilon . \]

Para generalizar a continuidade dessa maneira, é necessário definir quais propriedades uma função distância deve satisfazer.

1.2 Métricas e primeiros exemplos

Definição 1.1 (Métrica)

Seja \(X\) um conjunto. Uma métrica em \(X\) é uma função

\[ {d: X\times X \to \mathbb {R}} \]

tal que, para quaisquer \(x,y,z\in X\),

\(d(x,y)\geq 0\);
\(d(x,y)=0\) se, e somente se, \(x=y\);
\(d(x,y)=d(y,x)\);
\(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\).

O par \((X,d)\) é chamado espaço métrico. Quando a métrica já estiver clara, diremos apenas que \(X\) é um espaço métrico.

Os elementos de \(X\) serão chamados de pontos. Essa terminologia é útil mesmo quando \(X\) é um conjunto de funções, sequências ou outros objetos sem uma representação geométrica imediata. A desigualdade do último item é a desigualdade triangular; ela formaliza a ideia de que passar por um ponto intermediário não encurta o caminho direto.

Em algumas aplicações, a medida de distância disponível não distingue todos os objetos. A noção de pseudométrica permite considerar essa situação.

Definição 1.2 (Pseudométrica)

Uma pseudométrica em \(X\) é uma função \(d:X\times X\to \mathbb {R}\) não negativa e simétrica, com

\[ d(x,x)=0 \quad \text{e}\quad d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \]

para todos \(x,y,z\in X\). Nesse caso, \((X,d)\) é um espaço pseudométrico.

Uma pseudométrica pode satisfazer \(d(x,y)=0\) para \(x\ne y\). Essa é a única diferença entre as duas definições. Ao identificar pontos cuja distância é zero, obtém-se um espaço métrico; um exercício ao fim da seção tornará essa passagem precisa.

Exemplo 1.3 (A métrica discreta)

Em qualquer conjunto \(X\), ponha

\[ d_{\mathrm{disc}}(x,y)= \begin{cases} 0,& x=y,\\ 1,& x\ne y. \end{cases} \]

A desigualdade triangular é automática: quando o lado esquerdo vale \(1\), ao menos uma das duas parcelas do lado direito também vale \(1\). Essa métrica trata todos os pares de pontos distintos da mesma maneira; ela retém a noção de separação, mas descarta qualquer escala intermediária de proximidade.

Exemplo 1.4 (As métricas usuais em \(\mathbb {R}^n\))

Para \(1\leq p\lt \infty \), defina

\[ d_p(x,y)= \left(\sum _{j=1}^{n}|x_j-y_j|^p\right)^{1/p}, \]

e, para \(p=\infty \),

\[ d_\infty (x,y)=\max _{1\leq j\leq n}|x_j-y_j|. \]

São as métricas associadas às normas \(\ell ^p\). Os casos \(p=1\), \(p=2\) e \(p=\infty \) correspondem, respectivamente, à soma dos desvios coordenados, à distância euclidiana e ao maior desvio coordenado. Para \(1\lt p\lt \infty \), a desigualdade triangular é a desigualdade de Minkowski.

No caso euclidiano ela também pode ser vista diretamente. Escrevendo \(u=a-c\) e \(v=c-b\) e usando Cauchy–Schwarz,

\[ \begin{aligned} \| u+v\| _2^2 & =\| u\| _2^2+\| v\| _2^2+2\langle u,v\rangle \\ & \leq \| u\| _2^2+\| v\| _2^2+2\| u\| _2\| v\| _2 =(\| u\| _2+\| v\| _2)^2. \end{aligned} \]

Como os dois lados são não negativos, segue que \(d_2(a,b)\leq d_2(a,c)+d_2(c,b)\).

Exemplo 1.5 (Subespaços)

Se \((X,d)\) é métrico e \(S\subset X\), a restrição

\[ d_S:S\times S\longrightarrow \mathbb {R}, \qquad d_S(x,y)=d(x,y), \]

continua satisfazendo todos os axiomas. Chamamos \((S,d_S)\) de subespaço métrico de \(X\). Assim, a distância usual em um círculo, em \(\mathbb {Q}\) ou em um intervalo pode ser entendida simplesmente como a distância herdada do espaço ambiente.

Exemplo 1.6 (Distâncias entre funções)

Fixe \(a\lt b\) e denote por \(\mathcal B([a,b])\) o conjunto das funções limitadas \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\). O maior erro entre duas funções define a métrica

\[ d_\infty (f,g)=\sup \{ |f(x)-g(x)|:x\in [a,b]\} , \]

chamada métrica do supremo. Aqui, cada função é um ponto do espaço; a distância registra a pior discrepância entre os dois gráficos.

Ilustração: Métricas e primeiros exemplos

Como funções contínuas em \([a,b]\) são limitadas, \(C([a,b],\mathbb {R})\) é um subespaço de \(\mathcal B([a,b])\). Nesse subespaço também podemos medir um erro médio: para \(1\leq p\lt \infty \),

\[ d_p(f,g)=\left(\int _a^b |f(x)-g(x)|^p\, dx\right)^{\frac{1}{p}}. \]

A desigualdade triangular é a desigualdade de Minkowski. Além disso, como \(|f-g|^p\) é contínua e não negativa, integral nula implica \(f=g\); portanto, nessa classe de funções, as expressões acima são de fato métricas. Essas métricas não medem a mesma coisa que \(d_\infty \); mais adiante veremos que essa diferença altera inclusive quais sequências de funções convergem.

Exemplo 1.7 (Distância combinatória)

Se \(G=(V,E)\) é um grafo conexo, defina \(d_G(x,y)\) como o menor número de arestas em um caminho que liga \(x\) a \(y\). A concatenação de um caminho mínimo de \(x\) a \(y\) com um caminho mínimo de \(y\) a \(z\) produz um percurso de \(x\) a \(z\). Como a distância é o menor comprimento possível,

\[ d_G(x,z)\leq d_G(x,y)+d_G(y,z). \]

As demais propriedades são imediatas. Essa é a distância no grafo.

Exemplo 1.8 (Uma geometria não arquimediana)

Escolha um primo \(p\). Para cada \(q\in \mathbb {Q}\setminus \{ 0\} \) existe um único inteiro \(r\) para o qual podemos escrever

\[ q=p^r\frac{c}{d}, \]

com \(c,d\in \mathbb {Z}\) não divisíveis por \(p\). Embora \(c/d\) não seja único, o expoente \(r\) é. Ponha

\[ |q|_p=p^{-r}, \qquad |0|_p=0, \]

e defina

\[ d_p(x,y)=|x-y|_p \]

em \(\mathbb {Q}\). A desigualdade triangular decorre da estimativa mais forte

\[ |x+y|_p\leq \max \{ |x|_p,|y|_p\} . \]

Um exercício desenvolverá essa verificação. O resultado é uma geometria em que números são próximos quando sua diferença é divisível por uma potência alta de \(p\).

Exemplo 1.9 (Duas pseudométricas)

No conjunto \(\mathcal R([a,b])\) das funções Riemann-integráveis, a expressão

\[ d_2(f,g)=\left(\int _a^b |f(t)-g(t)|^2\, dt\right)^{\frac{1}{2}} \]

é uma pseudométrica, mas não uma métrica. De fato, a função \(f\) dada por \(f(a)=1\) e \(f(x)=0\) para \(x\gt a\) não é nula, embora

\[ \int _a^b |f(t)|^2\, dt=0, \]

e, portanto, \(d_2(f,0)=0\).

Outro exemplo aparece no conjunto \(\mathcal F(X)\) de todas as funções \(X\to \mathbb {R}\). Fixado \(x_0\in X\), a fórmula

\[ d(f,g)=|f(x_0)-g(x_0)| \]

compara somente o valor observado em \(x_0\). Duas funções que coincidam nesse ponto ficam a distância zero, ainda que sejam diferentes em todo o restante do domínio.

1.2.1 Bolas e conjuntos abertos

Definição 1.10 (Bolas)

Sejam \((X,d)\) um espaço métrico, \(x\in X\) e \(r\gt 0\). A bola aberta e a bola fechada de centro \(x\) e raio \(r\) são, respectivamente,

\[ B\left({x};{r}\right)=\{ y\in X:d(x,y)\lt r\} , \qquad {B\left[{x};{r}\right]}=\{ y\in X:d(x,y)\leq r\} . \]

Os adjetivos “aberta” e “fechada” serão justificados em breve. Eles não significam que uma seja o complementar da outra: o complementar de \(B\left({x};{r}\right)\) é formado pelos pontos a distância ao menos \(r\) de \(x\).

Figura 1.1 Bolas abertas em ℝ^2 para as métricas ell ^1, ell ^2 e ell ^∞ . — Figura 1.1 Bolas abertas em \(\mathbb {R}^2\) para as métricas \(\ell ^1\), \(\ell ^2\) e \(\ell ^\infty \).

Exemplo 1.11 (Bolas na métrica do supremo)

No espaço \(\mathcal B([a,b])\), munido da métrica do supremo,

\[ d_\infty (f,g)=\sup \{ |f(x)-g(x)|:x\in [a,b]\} , \]

temos \(g\in {B\left[{f};{\varepsilon }\right]}\) exatamente quando

\[ |f(x)-g(x)|\leq \varepsilon \qquad \text{para todo }x\in [a,b]. \]

Para a bola aberta há uma sutileza. A condição pontual

\[ |f(x)-g(x)|\lt \varepsilon \qquad \text{para todo }x\in [a,b] \]

é necessária, mas não é suficiente para funções apenas limitadas: os valores podem permanecer abaixo de \(\varepsilon \) e ainda ter supremo \(\varepsilon \). Em \([0,1]\), por exemplo, tome \(f=0\), \(\varepsilon =1\) e

\[ g(x)= \begin{cases} x,& 0\leq x\lt 1,\\ 0,& x=1. \end{cases} \]

Então \(|g(x)|\lt 1\) para todo \(x\), mas \(d_\infty (f,g)=1\).

Se \(f\) e \(g\) forem contínuas, \(|f-g|\) atinge o máximo em \([a,b]\). Nesse caso,

\[ g\in B\left({f};{\varepsilon }\right) \quad \Longleftrightarrow \quad |f(x)-g(x)|\lt \varepsilon \ \text{ para todo }x\in [a,b]. \]

A Figura 1.2 ilustra a faixa uniforme em torno de \(f\).

Figura 1.2 Bola aberta na métrica L^∞ no espaço das funções contínuas. — Figura 1.2 Bola aberta na métrica \(L^\infty \) no espaço das funções contínuas.

Proposição 1.12

Dois pontos distintos de um espaço métrico possuem bolas abertas disjuntas ao seu redor. Mais precisamente, se \(x\ne y\), existe \(r\gt 0\) tal que

\[ B\left({x};{r}\right)\cap B\left({y};{r}\right)=\varnothing . \]

Figura 1.3 Dois pontos distintos x e y podem ser “separados” por bolas disjuntas. — Figura 1.3 Dois pontos distintos \(x\) e \(y\) podem ser “separados” por bolas disjuntas.

Demonstração ▼

Tome \(r=d(x,y)/3\). Se algum ponto \(z\) pertencesse às duas bolas, então

\[ d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\lt 2r\lt d(x,y), \]

uma contradição.

Esse argumento mostra que uma métrica permite separar pontos distintos por bolas disjuntas. Em uma pseudométrica, isso pode falhar: pontos distintos a distância zero pertencem exatamente às mesmas bolas.

Definição 1.13 (Conjuntos abertos e fechados)

Seja \((X,d)\) um espaço métrico. Um subconjunto \(U\subset X\) é aberto quando cada um de seus pontos pode ser envolvido por uma bola inteiramente contida em \(U\): para todo \(a\in U\), existe \(r\gt 0\) tal que

\[ B\left({a};{r}\right)\subset U. \]

Um subconjunto \(F\subset X\) é fechado quando \(X\setminus F\) é aberto.

Figura 1.4 Em torno de cada ponto de um aberto cabe uma bola ainda contida nele.

Proposição 1.14

Toda bola aberta é aberta.
Toda bola fechada é fechada.

Demonstração ▼

Se \(x\in B\left({a};{r}\right)\), ainda resta a margem \(s=r-d(x,a)\gt 0\). Para \(y\in B\left({x};{s}\right)\),

\[ d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a)\lt s+d(x,a)=r. \]

Logo, \(B\left({x};{s}\right)\subset B\left({a};{r}\right)\).
Se \(x\notin {B\left[{a};{r}\right]}\), ponha \(s=d(x,a)-r\gt 0\). Para \(y\in B\left({x};{s}\right)\), a desigualdade triangular escrita como \(d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)\) fornece

\[ d(y,a)\gt d(x,a)-s=r. \]

Assim, \(B\left({x};{s}\right)\) está contida no complementar de \({B\left[{a};{r}\right]}\).

Definição 1.15 (Conjunto limitado)

Um subconjunto \(A\) de \((X,d)\) é limitado quando cabe em alguma bola: existem \(a\in X\) e \(r\gt 0\) tais que

\[ A\subset B\left({a};{r}\right). \]

Uma função \(f:Y\to X\) é limitada quando \(f(Y)\) é limitado em \(X\).

1.2.2 A topologia determinada pela métrica

Teorema 1.16

Os conjuntos abertos de um espaço métrico \((X,d)\) satisfazem:

\(\varnothing \) e \(X\) são abertos;
interseções finitas de abertos são abertas;
uniões arbitrárias de abertos são abertas.

Demonstração ▼

Os dois conjuntos extremos são abertos diretamente pela definição: em \(\varnothing \) não há ponto a verificar, e qualquer bola em \(X\) está contida em \(X\).

Se \(U_1,\ldots ,U_n\) são abertos e \(x\in U_1\cap \cdots \cap U_n\), escolha \(r_i\gt 0\) com \(B\left({x};{r_i}\right)\subset U_i\). Então

\[ B\left({x};{\min \{ r_1,\ldots ,r_n\} }\right) \subset U_1\cap \cdots \cap U_n. \]

Finalmente, se \(x\in \bigcup _{i\in I}U_i\), então \(x\in U_{i_0}\) para algum \(i_0\). Uma bola centrada em \(x\) e contida em \(U_{i_0}\) também está contida na união.

Proposição 1.17

Um subconjunto de \(X\) é aberto se, e somente se, pode ser escrito como união de bolas abertas.

Demonstração ▼

Uma união de bolas abertas é aberta pela proposição anterior e pelo teorema. Na direção oposta, se \(U\) é aberto, escolha para cada \(x\in U\) um raio \(r_x\gt 0\) com \(B\left({x};{r_x}\right)\subset U\). Então

\[ U=\bigcup _{x\in U}B\left({x};{r_x}\right). \]

Definição 1.18 (Topologia induzida)

A família de todos os abertos de \((X,d)\) é a topologia induzida por \(d\); ela será denotada por \(\mathcal T_{d}\).

O Teorema 1.16 diz precisamente que \(\mathcal T_{d}\) é uma topologia. No capítulo seguinte inverteremos o percurso: as três propriedades dos abertos serão tomadas como axiomas, mesmo quando nenhuma distância tiver sido escolhida.

1.2.3 Quando distâncias diferentes geram os mesmos abertos

Definição 1.19 (Métricas equivalentes)

Duas métricas \(d_1\) e \(d_2\) no mesmo conjunto \(X\) são equivalentes quando

\[ \mathcal T_{d_1}=\mathcal T_{d_2}. \]

Equivalência não significa igualdade das distâncias. Em \(\mathbb {Z}\), por exemplo, a métrica usual e a métrica discreta induzem a mesma topologia. Para a primeira,

\[ \{ m\} =B_{|\cdot |}(m;\frac12), \]

e, na métrica discreta, \(\{ m\} =B_{\mathrm{disc}}(m;\frac12)\). Logo, em ambas, todo subconjunto é aberto.

Definição 1.20 (Comparação de métricas)

Dizemos que \(d_1\) é mais fina que \(d_2\), e escrevemos \(d_1\geq d_2\), quando, para todo \(a\in X\) e todo \(r\gt 0\), existe \(s\gt 0\) tal que

\[ B_{d_1}(a;s)\subset B_{d_2}(a;r). \]

Equivalentemente, todo aberto para \(d_2\) é aberto para \(d_1\), isto é, \(\mathcal T_{d_2}\subset \mathcal T_{d_1}\). Portanto, as métricas são equivalentes exatamente quando

\[ d_1\geq d_2 \quad \text{e}\quad d_2\geq d_1. \]

Exemplo 1.21

A métrica discreta é mais fina que qualquer métrica no mesmo conjunto: para \(0\lt s\lt 1\), a bola discreta \(B_{\mathrm{disc}}(a;s)\) é apenas \(\{ a\} \).

Proposição 1.22

Se existe uma constante \(c\gt 0\) tal que

\[ d_2(x,y)\leq c\, d_1(x,y) \]

para todos \(x,y\in X\), então \(d_1\) é mais fina do que \(d_2\).

Demonstração ▼

Dada a bola \(B_{d_2}(a;r)\), a estimativa mostra que

\[ B_{d_1}(a;r/c)\subset B_{d_2}(a;r). \]

Dizemos que \(d_1\) e \(d_2\) são Lipschitz-equivalentes quando existem \(h,k\gt 0\) com

\[ hd_2(x,y)\leq d_1(x,y)\leq kd_2(x,y) \]

para todos \(x,y\in X\).

Corolário 1.23

Métricas Lipschitz-equivalentes induzem a mesma topologia.

Demonstração ▼

Cada uma das duas estimativas fornece uma das comparações entre as métricas.

Exercício 1.1

Fixe \(x\) em um espaço métrico \((X,d)\).

Prove que \(y\in B\left({x};{r}\right)\) se, e somente se, \(x\in B\left({y};{r}\right)\).
Se \(0\lt r\leq s\), mostre que \(B\left({x};{r}\right)\subset B\left({x};{s}\right)\).
A inclusão precisa ser estrita quando \(r\lt s\)? Decida a questão e exiba um contraexemplo quando a resposta for negativa.

Ver solução

As duas primeiras afirmações seguem, respectivamente, da simetria de \(d\) e da implicação \(d(x,y)\lt r\leq s\). A última resposta é negativa: na métrica discreta, \(0\lt r\lt s\lt 1\) fornece \(B\left({x};{r}\right)=B\left({x};{s}\right)=\{ x\} \).

Exercício 1.2

Seja \(q:X\times X\to \mathbb {R}\) uma função simétrica que satisfaz \(q(x,x)=0\) e a desigualdade triangular. Sem supor previamente que \(q\) seja não negativa, prove que

\[ q(x,y)\geq 0 \qquad (x,y\in X). \]

Ver solução

Aplicando a desigualdade triangular ao percurso \(x\to y\to x\),

\[ 0=q(x,x)\leq q(x,y)+q(y,x)=2q(x,y). \]

Exercício 1.3

Uma função \(q:X\times X\to \mathbb {R}\) satisfaz as condições

\(q(x,y)=0\) se, e somente se, \(x=y\);
\(q(x,z)\leq q(z,y)+q(y,x)\) para todos \(x,y,z\in X\).

Mostre que essas duas condições caracterizam as métricas em \(X\). Em particular, deduza delas a simetria, a não negatividade e a desigualdade triangular na forma usual.
Verifique que, em \(X=\mathbb {R}\), a função \(q(x,y)=x-y\) satisfaz a primeira condição e viola a segunda, enquanto \(q(x,y)=|x-y|+1\) satisfaz a segunda e viola a primeira.

Ver solução

Uma métrica satisfaz as condições por simetria e pela desigualdade triangular. Reciprocamente, tomando \(z=y\) na segunda condição obtemos \(q(x,y)\leq q(y,x)\); trocando \(x\) e \(y\), segue a igualdade. Com \(z=x\), obtemos \(0=q(x,x)\leq 2q(x,y)\). Substituindo a simetria na segunda condição, recuperamos a desigualdade triangular usual. Os dois exemplos mostram que nenhuma das condições pode ser omitida: para \(q(x,y)=x-y\), a segunda desigualdade exigiria \(x-z\leq z-x\) para todos \(x,z\); já \(|x-y|+1\) satisfaz essa desigualdade por causa da desigualdade triangular, mas vale \(1\) quando \(x=y\).

Exercício 1.4

Seja \(\mathcal R([a,b])\) o conjunto das funções Riemann-integráveis em um intervalo não degenerado \([a,b]\). Considere

\[ d(f,g)=\int _a^b |f(x)-g(x)|\, dx, \qquad f,g\in \mathcal{R}([a,b]). \]

Determine qual axioma de métrica pode falhar e dê duas funções distintas a distância zero.
Defina \(f\sim g\) quando \(d(f,g)=0\). Prove que \(\sim \) é uma relação de equivalência e que

\[ \bar d([f],[g])=d(f,g) \]

é uma métrica bem definida no conjunto quociente \(\mathcal R([a,b])/\! \sim \).

Ver solução

A função que vale \(1\) apenas em \(a\) e a função nula são distintas, mas têm distância zero. Logo, \(d\) é apenas uma pseudométrica. Se \(f\sim g\) e \(g\sim h\), a desigualdade triangular mostra que \(d(f,h)=0\); reflexividade e simetria são imediatas. Portanto, \(\sim \) é uma relação de equivalência. Além disso, se \(f\sim f'\) e \(g\sim g'\), a desigualdade triangular dá

\[ d(f,g)\leq d(f,f')+d(f',g')+d(g',g)=d(f',g'). \]

Trocando os pares, obtemos a igualdade; portanto, \(\bar d\) independe dos representantes. Os axiomas restantes passam ao quociente, e a definição das classes transforma distância zero em igualdade.

Exercício 1.5

A métrica \(p\)-ádica. Seja \(p\) primo. Para \(q\in \mathbb {Q}\setminus \{ 0\} \), denote por \(v_p(q)\) o único inteiro \(r\) tal que \(q=p^r c/d\), com \(c,d\in \mathbb {Z}\) não divisíveis por \(p\). Defina \(v_p(0)=+\infty \) e

\[ |q|_p=p^{-v_p(q)},\qquad |0|_p=0. \]

Prove que \(v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y)\) e conclua que \(|xy|_p=|x|_p|y|_p\).
Mostre que

\[ v_p(x+y)\geq \min \{ v_p(x),v_p(y)\} \]

e que há igualdade quando \(v_p(x)\ne v_p(y)\). Traduza esse resultado para o valor absoluto \(p\)-ádico.
Conclua que \(d_p(x,y)=|x-y|_p\) é uma métrica em \(\mathbb {Q}\).
Explique por que a construção, escrita dessa forma, não pode usar um inteiro composto no lugar de \(p\).

Ver solução

A aditividade de \(v_p\) segue da multiplicação das potências de \(p\). Para a soma, suponha \(m=v_p(x)\leq n=v_p(y)\) e escreva \(x=p^m u\), \(y=p^n v\), com \(u,v\) sem fatores \(p\). Então

\[ x+y=p^m\bigl(u+p^{n-m}v\bigr). \]

O fator entre parênteses não é divisível por \(p\) quando \(m\lt n\) e pode adquirir fatores adicionais de \(p\) quando \(m=n\). Portanto,

\[ |x+y|_p\leq \max \{ |x|_p,|y|_p\} , \]

com igualdade se \(|x|_p\ne |y|_p\). Aplicada a \(x-z=(x-y)+(y-z)\), essa desigualdade implica a desigualdade triangular para \(d_p\); os demais axiomas são imediatos.

A primalidade garante que “não divisível por \(p\)” seja estável no argumento acima e que o expoente esteja bem definido. Para \(6\), por exemplo,

\[ \frac23=6^0\frac23=6^1\frac19, \]

e os fatores residuais de ambas as expressões têm numerador e denominador não divisíveis por \(6\). Não há, portanto, um expoente único.

Exercício 1.6

Seja \(X\ne \varnothing \) e seja \(\mathcal B(X)\) o espaço vetorial das funções limitadas \(X\to \mathbb {R}\). Verifique que

\[ \| f\| _\infty =\sup \{ |f(x)|:x\in X\} \]

é uma norma. Indique em qual passo a hipótese de limitação é usada.

Ver solução

A limitação garante que o supremo seja finito. Homogeneidade e positividade são diretas, e \(\| f\| _\infty =0\) força \(f(x)=0\) para todo \(x\). Finalmente,

\[ |f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)| \leq \| f\| _\infty +\| g\| _\infty ; \]

tomando o supremo em \(x\), obtemos a desigualdade triangular.

Exercício 1.7

Seja \(V\) um espaço vetorial real munido de uma norma \(\| \cdot \| \).

Prove que

\[ d(x,y)=\| x-y\| , \qquad x,y\in V, \]

é uma métrica em \(V\).
Verifique que essa métrica é invariante por translações e homogênea:

\[ d(x+z,y+z)=d(x,y), \qquad d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |\, d(x,y). \]
Dê uma métrica em um espaço vetorial real que não possa provir de norma alguma e justifique sua escolha.
Mostre a recíproca: se uma métrica em \(V\) satisfaz as duas identidades acima, então

\[ \| x\| =d(x,0) \]

define uma norma cuja métrica induzida é a métrica original.

Ver solução

Positividade, simetria e separação seguem dos axiomas da norma, e

\[ d(x,z)=\| (x-y)+(y-z)\| \leq \| x-y\| +\| y-z\| \]

prova a desigualdade triangular. As duas identidades pedidas resultam de \(\| (x+z)-(y+z)\| =\| x-y\| \) e \(\| \lambda (x-y)\| =|\lambda |\| x-y\| \).

Para o contraexemplo, pode-se usar a métrica discreta em \(V\ne \{ 0\} \): ela não é homogênea, pois \(d(2x,0)=1\ne 2d(x,0)\) para \(x\ne 0\). Na recíproca, a invariância por translações dá \(d(x,y)=d(x-y,0)\); a homogeneidade fornece a homogeneidade da norma, e a desigualdade triangular da métrica fornece \(\| x+y\| \leq \| x\| +\| y\| \).

Exercício 1.8

Seja \(V\) um espaço vetorial real.

Partindo de um produto interno em \(V\), prove que

\[ \| x\| =\sqrt{\langle x,x\rangle } \]

é uma norma.
Deduza a identidade do paralelogramo

\[ \| x+y\| ^2+\| x-y\| ^2 = 2\bigl(\| x\| ^2+\| y\| ^2\bigr). \]
Se \(X\) é um conjunto com pelo menos dois pontos, use duas funções de suportes disjuntos para mostrar que a norma do supremo em \(\mathcal B(X)\) não provém de um produto interno.
Suponha que uma norma real satisfaça a identidade do paralelogramo. Mostre que ela provém do produto interno dado pela fórmula de polarização

\[ \langle x,y\rangle =\frac14\bigl(\| x+y\| ^2-\| x-y\| ^2\bigr). \]
Aplique o critério às três normas de \(\mathbb {R}^n\):

\[ \| x\| _2=\left(\sum _{i=1}^n |x_i|^2\right)^{1/2}, \qquad \| x\| _1=\sum _{i=1}^n |x_i|, \qquad \| x\| _\infty =\max _{1\leq i\leq n}|x_i|. \]

Para \(n\geq 2\), quais são induzidas por um produto interno?

Ver solução

Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,

\[ \| x+y\| ^2 =\| x\| ^2+2\langle x,y\rangle +\| y\| ^2 \leq (\| x\| +\| y\| )^2, \]

o que dá a desigualdade triangular; os outros axiomas de norma são diretos. Somando as expansões de \(\| x+y\| ^2\) e \(\| x-y\| ^2\), obtemos a identidade do paralelogramo.

Para mostrar que a norma do supremo falha, escolha funções \(f,g\) que valem \(1\) em pontos distintos e \(0\) no restante. Então \(\| f+g\| _\infty =\| f-g\| _\infty =1\), enquanto \(2(\| f\| _\infty ^2+\| g\| _\infty ^2)=4\).

Para a recíproca, ponha \(Q(x)=\| x\| ^2\) e

\[ B(x,y)=\frac14\bigl(Q(x+y)-Q(x-y)\bigr). \]

A identidade do paralelogramo mostra que

\[ B(x+z,y)+B(x-z,y)=2B(x,y). \]

Trocando \(x\) e \(z\) e usando \(B(-u,y)=-B(u,y)\), obtemos também \(B(x+z,y)-B(x-z,y)=2B(z,y)\). Portanto, \(B(x+z,y)=B(x,y)+B(z,y)\). Seguem a homogeneidade para escalares racionais e, pela continuidade da norma, a homogeneidade para escalares reais. Como \(B\) é simétrica, ela é bilinear; além disso, \(B(x,x)=\| x\| ^2\), de modo que \(B\) é o produto interno procurado.

Finalmente, \(\| \cdot \| _2\) provém do produto interno usual. Para \(e_1,e_2\), a identidade do paralelogramo dá \(8=4\) na norma \(\ell ^1\) e \(2=4\) na norma \(\ell ^\infty \). Assim, quando \(n\geq 2\), apenas \(\| \cdot \| _2\) entre as três normas listadas é induzida por produto interno.

Exercício 1.9

Sejam \(d_1\) e \(d_2\) métricas em \(X\), com topologias \(\mathcal T_1\) e \(\mathcal T_2\). Compare as três afirmações:

existe \(c\gt 0\) tal que \(d_2(x,y)\leq cd_1(x,y)\) para todos \(x,y\in X\);
para cada \(x\in X\) e \(r\gt 0\), alguma bola \(B_{d_1}(x;s)\) está contida em \(B_{d_2}(x;r)\);
\(\mathcal T_2\subset \mathcal T_1\).

Prove que (a) implica (b) e que (b) e (c) são equivalentes.
Partindo da métrica usual \(d_2(x,y)=|x-y|\) em \(\mathbb {R}\), defina

\[ d_1(x,y)=\frac{d_2(x,y)}{1+d_2(x,y)}. \]

Mostre que \(d_1\) é uma métrica equivalente a \(d_2\).
Prove que não existe \(c\gt 0\) para o qual \(d_2\leq cd_1\) em todo \(\mathbb {R}\). Isso mostra que métricas equivalentes não precisam ser Lipschitz-equivalentes.

Ver solução

Em (a), tome \(s=r/c\). A equivalência entre (b) e (c) resulta da definição de aberto: (b) diz exatamente que toda bola de \(d_2\) é vizinhança para \(d_1\). Para a transformação, use que \(\phi (t)=t/(1+t)\) é crescente, anula-se apenas em \(0\) e satisfaz \(\phi (u+v)\leq \phi (u)+\phi (v)\). Além disso, para \(0\lt r\lt 1\),

\[ d_1(x,y)\lt r \quad \Longleftrightarrow \quad d_2(x,y)\lt \frac{r}{1-r}, \]

o que identifica os abertos. Por fim, \(d_1(x,y)\lt 1\), enquanto \(d_2(x,y)\) é ilimitada.

Exercício 1.10

Em \(\mathbb {R}^n\), denote por \(d_2\) a métrica euclidiana e por \(d_\infty \) a métrica do supremo. Prove que

\[ d_\infty (x,y)\leq d_2(x,y) \leq \sqrt n\, d_\infty (x,y), \]

e conclua que elas determinam os mesmos conjuntos abertos.

Ver solução

Se \(a_i=|x_i-y_i|\) e \(M=\max _i a_i\), então \(M^2\leq \sum _i a_i^2\leq nM^2\). Basta extrair a raiz quadrada e usar as duas comparações de métricas.

Exercício 1.11

Seja \((X,d)\) um espaço métrico. Trunque as grandes distâncias definindo

\[ \overline{d}(x,y)=\min \{ d(x,y),1\} . \]

Prove que \(\overline{d}\) é uma métrica.
Mostre que \(d\) e \(\overline{d}\) induzem a mesma topologia.
Compare a noção de conjunto limitado nas duas métricas.

Ver solução

A desigualdade triangular decorre de

\[ \min \{ u+v,1\} \leq \min \{ u,1\} +\min \{ v,1\} \qquad (u,v\geq 0). \]

Para raios menores que \(1\), as bolas das duas métricas coincidem; logo, as topologias são iguais. Entretanto, \(\overline{d}\leq 1\), de modo que todo subconjunto é limitado para a métrica truncada. Assim, limitação não é uma propriedade puramente topológica.

1.3 Continuidade

A continuidade não exige a preservação de distâncias, mas o controle das variações da imagem a partir das variações no domínio. O raio escolhido no domínio pode depender do ponto e da precisão exigida no contradomínio.

Definição 1.24 (Continuidade em um ponto)

Sejam \((X,d_X)\) e \((Y,d_Y)\) espaços métricos. Uma função \(f:X\to Y\) é contínua em \(a\in X\) quando, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, para todo \(x\in X\),

\[ d_X(x,a)\lt \delta \quad \Longrightarrow \quad d_Y(f(x),f(a))\lt \varepsilon . \]

Definição 1.25 (Continuidade)

A função \(f:X\to Y\) é contínua quando é contínua em cada ponto de \(X\).

Em termos de bolas, a continuidade em \(a\) significa que uma bola centrada em \(a\) pode ser escolhida de modo que sua imagem esteja contida em qualquer bola previamente fixada em torno de \(f(a)\). O resultado seguinte exprime essa condição apenas em termos de abertos, sem mencionar os raios.

Teorema 1.26

Sejam \((X,d_X)\) e \((Y,d_Y)\) espaços métricos e \(f:X\to Y\).

\(f\) é contínua em \(a\) se, e somente se, para cada aberto \(V\subset Y\) com \(f(a)\in V\) existe um aberto \(U\subset X\) tal que

\[ a\in U \quad \text{e}\quad f(U)\subset V. \]
\(f\) é contínua se, e somente se, \(f^{-1}(V)\) é aberto em \(X\) para todo aberto \(V\subset Y\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(f\) seja contínua em \(a\) e que \(V\) seja aberto com \(f(a)\in V\). Escolha \(\varepsilon \gt 0\) de modo que

\[ B\left({f(a)};{\varepsilon }\right)\subset V. \]

Pela continuidade, existe \(\delta \gt 0\) para o qual

\[ f(B\left({a};{\delta }\right))\subset B\left({f(a)};{\varepsilon }\right)\subset V. \]

Tome \(U=B\left({a};{\delta }\right)\).

Na direção contrária, aplique a condição do item ao aberto \(V=B\left({f(a)};{\varepsilon }\right)\). O aberto correspondente \(U\) contém uma bola \(B\left({a};{\delta }\right)\), e então

\[ f(B\left({a};{\delta }\right))\subset f(U)\subset B\left({f(a)};{\varepsilon }\right). \]

Isso é a definição de continuidade em \(a\) e prova o primeiro item.

Agora suponha que \(f\) seja contínua em todos os pontos e fixe um aberto \(V\subset Y\). Para cada \(a\in f^{-1}(V)\), o primeiro item fornece um aberto \(U_a\) com

\[ a\in U_a\subset f^{-1}(V). \]

Logo, \(f^{-1}(V)=\bigcup _{a\in f^{-1}(V)}U_a\) é aberto.

Reciprocamente, se imagens inversas de abertos são abertas, então, para cada \(a\in X\) e \(\varepsilon \gt 0\), o conjunto \(f^{-1}(B\left({f(a)};{\varepsilon }\right))\) é aberto e contém \(a\). Ele contém alguma bola \(B\left({a};{\delta }\right)\), isto é,

\[ f(B\left({a};{\delta }\right))\subset B\left({f(a)};{\varepsilon }\right). \]

Portanto, \(f\) é contínua em todo ponto.

Observação 1.27

Se as métricas do domínio e do contradomínio forem substituídas por métricas equivalentes, o conjunto de funções contínuas não se altera. A continuidade é, nesse sentido, uma propriedade topológica e não uma propriedade da escala numérica escolhida para as distâncias.

Proposição 1.28

Sejam \(d_1\) e \(d_2\) métricas em \(X\). Então \(d_1\) é mais fina que \(d_2\) se, e somente se, a identidade

\[ \mathrm{id}:(X,d_1)\longrightarrow (X,d_2) \]

é contínua.

Demonstração ▼

A condição de continuidade da identidade em \(a\) é exatamente: para todo \(r\gt 0\), existe \(s\gt 0\) tal que \(B_{d_1}(a;s)\subset B_{d_2}(a;r)\).

Definição 1.29 (Aplicação Lipschitz)

Uma função \(f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)\) é Lipschitz quando existe \(L\geq 0\) tal que

\[ d_Y(f(x),f(y))\leq Ld_X(x,y) \qquad (x,y\in X). \]

Proposição 1.30

Toda aplicação Lipschitz é contínua.

Demonstração ▼

Se \(L\gt 0\), dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(\delta =\varepsilon /L\). Quando \(L=0\), a função é constante e a conclusão é imediata.

Exercício 1.12

Verifique que a identidade de um espaço métrico é contínua. Em seguida, se \(f:X\to Y\) e \(g:Y\to Z\) são contínuas, prove que \(g\circ f\) é contínua. Faça a segunda parte tanto pela definição métrica quanto usando imagens inversas de abertos.

Ver solução

Para a identidade, tome \(\delta =\varepsilon \). Na composição, dado \(\varepsilon \gt 0\), a continuidade de \(g\) em \(f(a)\) fornece um raio \(\eta \gt 0\); a continuidade de \(f\) em \(a\), aplicada a \(\eta \), fornece \(\delta \gt 0\). Pela caracterização topológica,

\[ (g\circ f)^{-1}(V)=f^{-1}(g^{-1}(V)), \]

que é aberto sempre que \(V\) é aberto.

Exercício 1.13

Prove diretamente, sem usar sequências, que toda função constante entre dois espaços métricos é contínua.

Ver solução

Se \(f(x)=c\) para todo \(x\), então \(d_Y(f(x),f(a))=0\lt \varepsilon \), qualquer que seja \(\delta \gt 0\).

Exercício 1.14

Se o domínio \(X\) possui a métrica discreta, mostre que toda função \(f:X\to Y\) é contínua, qualquer que seja o espaço métrico \(Y\). Aplique o resultado às duas identidades

\[ \mathrm{id}:(\mathbb {R},d_{\mathrm{disc}})\to (\mathbb {R},|\cdot |), \qquad \mathrm{id}:(\mathbb {R},|\cdot |)\to (\mathbb {R},d_{\mathrm{disc}}), \]

e determine em quais pontos cada uma é contínua.

Ver solução

No domínio discreto, \(B(a;\frac12)=\{ a\} \); logo, qualquer função é contínua em \(a\). A primeira identidade é, portanto, contínua. A segunda é descontínua em todo \(a\): tomando \(\varepsilon =\frac12\) no contradomínio, nenhum intervalo usual em torno de \(a\) é enviado para a bola discreta \(\{ a\} \).

Exercício 1.15

No espaço \(C([0,1])\), compare a métrica integral

\[ d_1(f,g)=\int _0^1 |f(x)-g(x)|\, dx. \]

com a métrica do supremo. Em cada uma delas, decida se a avaliação

\[ F:C([0,1])\longrightarrow \mathbb {R}, \qquad F(f)=f(0), \]

é contínua.

Ver solução

Para a métrica do supremo, \(|F(f)-F(g)|\leq d_\infty (f,g)\), portanto \(F\) é Lipschitz. Na métrica integral, considere

\[ f_n(x)=\max \{ 1-nx,0\} . \]

Temos \(d_1(f_n,0)=1/(2n)\to 0\), mas \(F(f_n)=1\). Mais diretamente, para qualquer \(\delta \gt 0\) existe \(n\) com \(d_1(f_n,0)\lt \delta \), enquanto \(|F(f_n)-F(0)|=1\); logo, \(F\) não é contínua em \(0\).

Exercício 1.16

Considere \(\mathbb {Q}\) e \(\{ 0,1\} \) com as métricas herdadas de \(\mathbb {R}\). Construa uma função contínua e sobrejetiva \(f:\mathbb {Q}\to \{ 0,1\} \). Por que a mesma construção não fornece uma função contínua de \(\mathbb {R}\) em \(\{ 0,1\} \)?

Ver solução

Escolha \(\alpha \in \mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}\) e ponha \(f(q)=0\) para \(q\lt \alpha \) e \(f(q)=1\) para \(q\gt \alpha \). Os dois conjuntos \((-\infty ,\alpha )\cap \mathbb {Q}\) e \((\alpha ,\infty )\cap \mathbb {Q}\) são abertos em \(\mathbb {Q}\), de modo que \(f\) é contínua e sobrejetiva. Em \(\mathbb {R}\), o ponto de corte \(\alpha \) pertenceria ao domínio e seria um ponto de descontinuidade.

Exercício 1.17

No conjunto \(X=[0,1]^{\mathbb {N}}\), considere

\[ d_\infty (x,y)=\sup _{j\geq 1}|x_j-y_j|, \qquad d_w(x,y)=\sum _{j=1}^{\infty }2^{-j}|x_j-y_j|. \]

Prove que a identidade

\[ \mathrm{id}:(X,d_\infty )\longrightarrow (X,d_w) \]

é Lipschitz, mas que a identidade na direção contrária não é contínua em \(0=(0,0,\ldots )\).

Ver solução

Como \(|x_j-y_j|\leq d_\infty (x,y)\) e \(\sum _{j\geq 1}2^{-j}=1\),

\[ d_w(x,y)\leq d_\infty (x,y). \]

Para a direção contrária, fixe \(\varepsilon =\frac12\). Dado \(\delta \gt 0\), escolha \(n\) com \(2^{-n}\lt \delta \) e seja \(e^{(n)}\) o ponto que vale \(1\) na coordenada \(n\) e \(0\) nas demais. Então \(d_w(e^{(n)},0)\lt \delta \), mas \(d_\infty (e^{(n)},0)=1\).

Exercício 1.18

Mostre que a identidade de \((X,d_w)\) em \((X,d_\infty )\) do Exercício 1.17 é descontínua em todos os pontos, e não apenas na origem.

Ver solução

Fixe \(a=(a_j)\in X\) e \(\delta \gt 0\). Escolha \(n\) com \(2^{-n}\lt \delta \) e altere somente a coordenada \(n\): tome \(b_n=0\) se \(a_n\geq \frac12\) e \(b_n=1\) caso contrário. Então

\[ d_w(a,b)\leq 2^{-n}\lt \delta , \qquad d_\infty (a,b)=|a_n-b_n|\geq \frac12. \]

Assim, a condição de continuidade falha em \(a\) para \(\varepsilon =\frac12\).

Exercício 1.19

Defina \(f:\mathbb {Q}\to \mathbb {R}\) por

\[ f(q)= \begin{cases} 0,& q\lt \sqrt2,\\ 1,& q\gt \sqrt2. \end{cases} \]

Mostre que \(f\) é contínua para as métricas usuais. Explique por que não há um terceiro caso na definição.

Ver solução

Não existe racional igual a \(\sqrt2\). A função assume valores no subespaço discreto \(\{ 0,1\} \subset \mathbb {R}\), e as fibras

\[ f^{-1}(\{ 0\} )=(-\infty ,\sqrt2)\cap \mathbb {Q}, \qquad f^{-1}(\{ 1\} )=(\sqrt2,\infty )\cap \mathbb {Q} \]

são abertas em \(\mathbb {Q}\). Portanto, imagens inversas de abertos são abertas e \(f\) é contínua.

Exercício 1.20

Considere a função de Dirichlet

\[ D(x)= \begin{cases} 0,& x\in \mathbb {Q},\\ 1,& x\notin \mathbb {Q}. \end{cases} \]

Prove pela definição \(\varepsilon \)–\(\delta \) que \(D:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) não é contínua em ponto algum. Depois determine o que ocorre com as restrições de \(D\) a \(\mathbb {Q}\) e a \(\mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}\).

Ver solução

Fixe \(a\in \mathbb {R}\) e tome \(\varepsilon =\frac12\). Todo intervalo \((a-\delta ,a+\delta )\) contém racionais e irracionais; escolhendo um ponto de tipo oposto ao de \(a\), obtemos \(|D(x)-D(a)|=1\). Logo, nenhuma escolha de \(\delta \) funciona. Em cada um dos dois subespaços indicados, a restrição é constante e, portanto, contínua.

1.4 Sequências e Convergência

A convergência em um espaço métrico pode ser estudada por meio de distâncias, que são números reais. Isso permite formular limites em \(X\) sem supor que seus pontos possam ser somados, ordenados ou descritos por coordenadas.

Definição 1.31 (Sequência)

Uma sequência em \(X\) é uma função \(x:\mathbb {N}\to X\). Denotaremos seu \(n\)-ésimo valor por \(x_n\) e a sequência inteira por

\[ (x_n)_{n\geq 1} \quad \text{ou apenas}\quad (x_n). \]

Definição 1.32 (Convergência)

Uma sequência \((x_n)\) em \((X,d)\) converge para \(x\in X\) se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(N\in \mathbb {N}\) tal que

\[ n\geq N \quad \Longrightarrow \quad d(x_n,x)\lt \varepsilon . \]

Escrevemos \(x_n\to x\) ou \(x=\lim _{n\to \infty }x_n\).

Em outras palavras, \(x_n\to x\) exatamente quando a sequência real \(d(x_n,x)\) converge para zero. A mesma condição pode ser lida apenas com bolas.

Proposição 1.33

Para uma sequência \((x_n)\) em \(X\) e um ponto \(x\in X\), são equivalentes:

\(x_n\to x\);
cada bola aberta centrada em \(x\) contém todos os termos de \((x_n)\) a partir de algum índice;
para todo \(m\geq 1\), a bola \(B\left({x};{1/m}\right)\) contém todos os termos de \((x_n)\) a partir de algum índice.

Demonstração ▼

Os dois primeiros itens são equivalentes porque \(x_n\in B\left({x};{\varepsilon }\right)\) significa \(d(x_n,x)\lt \varepsilon \). O segundo implica o terceiro escolhendo os raios \(1/m\). Para a recíproca, dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(m\) com \(1/m\lt \varepsilon \) e use \(B\left({x};{1/m}\right)\subset B\left({x};{\varepsilon }\right)\).

Proposição 1.34 (Unicidade do limite)

Toda sequência convergente em um espaço métrico possui um único limite.

Demonstração ▼

Se \(x_n\to x\) e \(x_n\to y\), então, para qualquer \(\varepsilon \gt 0\), existe um índice a partir do qual

\[ d(x,y)\leq d(x,x_n)+d(x_n,y)\lt 2\varepsilon . \]

Como isso vale para todo \(\varepsilon \), temos \(d(x,y)=0\) e, portanto, \(x=y\).

Em espaços topológicos mais gerais, uma sequência pode ter mais de um limite. A unicidade acima é uma consequência da separação por bolas estabelecida na Proposição 1.12.

Teorema 1.35 (Critério sequencial de continuidade)

Uma função \(f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)\) é contínua em \(a\in X\) se, e somente se, toda sequência \((x_n)\) que converge para \(a\) satisfaz \(f(x_n)\to f(a)\).

Demonstração ▼

Se \(f\) é contínua em \(a\), dado \(\varepsilon \gt 0\) escolha \(\delta \gt 0\) na definição de continuidade. Como \(x_n\to a\), eventualmente \(d_X(x_n,a)\lt \delta \), e então \(d_Y(f(x_n),f(a))\lt \varepsilon \).

Para a recíproca, suponha que \(f\) não seja contínua em \(a\). Existe \(\varepsilon _0\gt 0\) tal que, para cada \(n\geq 1\), podemos escolher \(x_n\in B_X(a;1/n)\) com

\[ d_Y(f(x_n),f(a))\geq \varepsilon _0. \]

Então \(x_n\to a\), mas \(f(x_n)\) não converge para \(f(a)\), contradizendo a hipótese sequencial.

Exercício 1.21

Escreva a negação formal de \(x_n\to x\) e prove que ela equivale à existência de \(\varepsilon _0\gt 0\) tal que, para todo \(N\), algum \(n\geq N\) satisfaz

\[ d(x_n,x)\geq \varepsilon _0. \]

Use esse critério para mostrar que, na reta usual, as sequências \(((-1)^n)\) e \((n)\) não convergem.

Ver solução

A afirmação “para todo \(\varepsilon \gt 0\) existe \(N\) tal que, para todo \(n\geq N\), vale \(d(x_n,x)\lt \varepsilon \)” é negada exatamente pela frase do enunciado. Para \((-1)^n\), qualquer candidato \(x\) fica a uma distância positiva de pelo menos um dos valores \(-1\) e \(1\), que reaparece infinitas vezes. Para \((n)\), dado \(x\in \mathbb {R}\), eventualmente \(|n-x|\geq 1\).

Exercício 1.22

Prove que toda subsequência de uma sequência convergente converge para o mesmo limite. Deduza que uma sequência que possui duas subsequências com limites distintos não pode convergir.

Ver solução

Se \(x_n\to x\) e \(n_k\geq k\), então, dado o índice \(N\) da definição, temos \(n_k\geq N\) sempre que \(k\geq N\). Logo, \(x_{n_k}\to x\). A consequência usa a unicidade do limite.

Exercício 1.23

Caracterize completamente as sequências convergentes em um espaço munido da métrica discreta.

Ver solução

Uma sequência converge para \(x\) se, e somente se, é eventualmente constante igual a \(x\). Basta aplicar a definição com qualquer raio menor que \(1\).

Exercício 1.24

Em \([0,1]^{\mathbb {N}}\), considere novamente

\[ d_w(x,y)=\sum _{j=1}^{\infty }2^{-j}|x_j-y_j|. \]

Verifique que a série converge e que \(d_w\) é uma métrica.
Para uma sequência de pontos \(x^{(n)}=(x^{(n)}_j)_{j\geq 1}\), prove que

\[ x^{(n)}\longrightarrow x\text{ em }d_w \quad \Longleftrightarrow \quad x^{(n)}_j\longrightarrow x_j\text{ para cada }j. \]

Ver solução

Como \(|x_j-y_j|\leq 1\), a série é dominada por \(\sum _{j\geq 1}2^{-j}\). Os axiomas da métrica seguem dos axiomas de \(|\cdot |\), aplicados termo a termo.

Se \(d_w(x^{(n)},x)\to 0\), então, para cada \(j\) fixo,

\[ |x^{(n)}_j-x_j|\leq 2^jd_w(x^{(n)},x)\longrightarrow 0. \]

Na direção oposta, dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(M\) de modo que \(\sum _{j\gt M}2^{-j}\lt \varepsilon /2\). Pela convergência das primeiras \(M\) coordenadas, existe \(N\) tal que, para \(n\geq N\) e \(1\leq j\leq M\), \(|x^{(n)}_j-x_j|\lt \varepsilon /2\). Assim,

\[ d_w(x^{(n)},x) \lt \frac{\varepsilon }{2}\sum _{j=1}^{M}2^{-j} +\sum _{j\gt M}2^{-j} \lt \varepsilon . \]

Exercício 1.25

Considere

\[ X=\left\{ x=(x_j)\in [0,1]^{\mathbb {N}}:\sum _{j=1}^{\infty }x_j\lt \infty \right\} \]

com a métrica

\[ d_1(x,y)=\sum _{j=1}^{\infty }|x_j-y_j|. \]

Construa uma sequência em \(X\) que converge coordenada a coordenada para um ponto de \([0,1]^{\mathbb {N}}\) que não pertence a \(X\).
Construa uma sequência em \(X\) que converge coordenada a coordenada para \(0\in X\), mas não converge para \(0\) na métrica \(d_1\).
Compare os dois fenômenos com o Exercício 1.24. Qual papel é desempenhado pelos pesos \(2^{-j}\)?

Ver solução

Para a primeira parte, tome

\[ u^{(n)}_j= \begin{cases} 1,& j\leq n,\\ 0,& j\gt n. \end{cases} \]

Cada \(u^{(n)}\) pertence a \(X\), mas o limite coordenado é \((1,1,\ldots )\), que não pertence a \(X\). Para a segunda, use \(e^{(n)}\), igual a \(1\) apenas na coordenada \(n\). Então \(e^{(n)}_j\to 0\) para cada \(j\), enquanto \(d_1(e^{(n)},0)=1\). Os pesos tornam a cauda uniformemente pequena, independentemente dos valores das coordenadas em \([0,1]\); sem eles, o controle de cada coordenada isolada não controla a soma inteira.

Exercício 1.26

Em \([0,1]^{\mathbb {N}}\), seja

\[ d_\infty (x,y)=\sup _{j\geq 1}|x_j-y_j|. \]

Mostre que \(x^{(n)}\to x\) nessa métrica se, e somente se, as coordenadas convergem uniformemente em \(j\): para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(N\) tal que

\[ n\geq N \quad \Longrightarrow \quad |x^{(n)}_j-x_j|\lt \varepsilon \quad \text{para todo }j\geq 1. \]

Ver solução

Se \(d_\infty (x^{(n)},x)\lt \varepsilon \), cada diferença coordenada é menor que \(\varepsilon \). Reciprocamente, aplique a condição uniforme com \(\varepsilon /2\). Então, para \(n\) suficientemente grande,

\[ d_\infty (x^{(n)},x) =\sup _j|x^{(n)}_j-x_j| \leq \varepsilon /2\lt \varepsilon . \]

O uso de \(\varepsilon /2\) é necessário: diferenças todas estritamente menores que \(\varepsilon \) podem ter supremo igual a \(\varepsilon \).

Exercício 1.27

Dê um exemplo de uma sequência em \([0,1]^{\mathbb {N}}\) que converge em cada coordenada, mas não converge para a métrica do supremo. Identifique exatamente onde falta uniformidade.

Ver solução

Use novamente \(e^{(n)}\): para cada \(j\) fixo, \(e^{(n)}_j=0\) quando \(n\ne j\) e, portanto, \(e^{(n)}_j\to 0\). No entanto, \(d_\infty (e^{(n)},0)=1\) para todo \(n\). A coordenada na qual ocorre o erro unitário se desloca com \(n\), impedindo uma escolha de \(N\) que funcione para todas as coordenadas ao mesmo tempo.

1.5 Vizinhanças

Na formulação da continuidade, as bolas podem ser substituídas por conjuntos que contenham um aberto em torno do ponto. Esses conjuntos não precisam ser bolas nem possuir uma forma geométrica particular. Isso motiva a noção de vizinhança.

Definição 1.36 (Vizinhança)

Seja \((X,d)\) um espaço métrico e \(x\in X\). Um conjunto \(V\subset X\) é uma vizinhança de \(x\) quando contém alguma bola centrada em \(x\):

\[ B\left({x};{r}\right)\subset V \qquad \text{para algum }r\gt 0. \]

A família das vizinhanças de \(x\) será denotada por \(\mathcal{V}_{x}\).

Uma vizinhança não precisa ser aberta. Ela apenas precisa conter um aberto que contenha \(x\). Essa distinção será útil quando a linguagem métrica for substituída pela linguagem puramente topológica.

Proposição 1.37

Para cada \(x\in X\), a família \(\mathcal{V}_{x}\) possui as seguintes propriedades:

se \(A\in \mathcal{V}_{x}\) e \(A\subset B\), então \(B\in \mathcal{V}_{x}\);
se \(A,B\in \mathcal{V}_{x}\), então \(A\cap B\in \mathcal{V}_{x}\);
para cada \(A\in \mathcal{V}_{x}\) existe \(B\subset A\), com \(x\in B\), tal que \(B\) é vizinhança de todos os seus pontos.

Demonstração ▼

O primeiro item é imediato. Para o segundo, se \(B\left({x};{r}\right)\subset A\) e \(B\left({x};{s}\right)\subset B\), então

\[ B\left({x};{\min \{ r,s\} }\right)\subset A\cap B. \]

Para o terceiro, escolha uma bola aberta \(B\) centrada em \(x\) e contida em \(A\). Como \(B\) é aberto, todo ponto de \(B\) possui uma bola ainda contida em \(B\); portanto, \(B\) é vizinhança de cada um de seus pontos.

Proposição 1.38

Uma função \(f:X\to Y\) é contínua em \(a\) se, e somente se, para toda vizinhança \(V\) de \(f(a)\), a imagem inversa \(f^{-1}(V)\) é uma vizinhança de \(a\).

Demonstração ▼

Suponha que \(f\) seja contínua em \(a\). Se \(V\) contém uma bola \(B\) centrada em \(f(a)\), a definição de continuidade mostra que \(f^{-1}(B)\) contém uma bola centrada em \(a\). Como \(f^{-1}(B)\subset f^{-1}(V)\), este último conjunto é uma vizinhança de \(a\).

Na direção contrária, aplique a hipótese às bolas centradas em \(f(a)\). Suas imagens inversas contêm bolas centradas em \(a\), que é exatamente a condição \(\varepsilon \)–\(\delta \).

Definição 1.39 (Base de vizinhanças)

Uma família \(\mathcal{B}\subset \mathcal{V}_{x}\) é uma base de vizinhanças de \(x\) quando toda vizinhança \(V\in \mathcal{V}_{x}\) contém algum \(B\in \mathcal{B}\). Equivalentemente,

\[ \mathcal{V}_{x}=\{ V\subset X:B\subset V\text{ para algum }B\in \mathcal{B}\} . \]

Para cada \(x\), as bolas \(\{ B\left({x};{r}\right):r\gt 0\} \) formam uma base de vizinhanças. A família enumerável

\[ \left\{ B\left({x};{1/m}\right):m\geq 1\right\} \]

também é uma base. A possibilidade de usar apenas os raios \(1/m\) fundamenta as caracterizações por sequências nos espaços métricos.

Proposição 1.40

Se \(\mathcal{B}\) é uma base de vizinhanças de \(x\), então \(x_n\to x\) se, e somente se, cada \(B\in \mathcal{B}\) contém todos os termos da sequência a partir de algum índice.

Demonstração ▼

Se \(x_n\to x\), a propriedade vale para toda vizinhança de \(x\), logo também para os elementos da base. Reciprocamente, dada uma vizinhança \(V\) de \(x\), escolha \(B\in \mathcal{B}\) com \(B\subset V\). Os termos eventualmente pertencem a \(B\) e, portanto, a \(V\).

Proposição 1.41

Se \(\mathcal{B}\) é uma base de vizinhanças de \(f(a)\), então \(f:X\to Y\) é contínua em \(a\) se, e somente se, \(f^{-1}(B)\) é uma vizinhança de \(a\) para todo \(B\in \mathcal{B}\).

Demonstração ▼

A necessidade segue da Proposição 1.38. Para a suficiência, seja \(V\) uma vizinhança de \(f(a)\) e escolha \(B\in \mathcal{B}\) com \(B\subset V\). Por hipótese, \(f^{-1}(B)\) é uma vizinhança de \(a\); como \(f^{-1}(B)\subset f^{-1}(V)\), também \(f^{-1}(V)\) é uma vizinhança de \(a\). Use agora a Proposição 1.38.

1.6 Produtos finitos de espaços métricos

Considere espaços métricos \((M_i,d_i)\), com \(1\leq i\leq n\), e escreva \(M=M_1\times \cdots \times M_n\). Há três escolhas particularmente úteis para medir a distância entre \(x=(x_1,\ldots ,x_n)\) e \(y=(y_1,\ldots ,y_n)\):

\begin{align*} d_{\Sigma }(x,y)& =\sum _{i=1}^nd_i(x_i,y_i),\\ d_{\max }(x,y)& =\max _{1\leq i\leq n}d_i(x_i,y_i),\\ d_2(x,y)& =\left(\sum _{i=1}^nd_i(x_i,y_i)^2\right)^{1/2}. \end{align*}

Cada fórmula reúne as distâncias das coordenadas de uma maneira diferente. Como o número de fatores é finito, porém, as três conduzem à mesma noção de proximidade.

Proposição 1.42

As funções \(d_{\Sigma }\), \(d_{\max }\) e \(d_2\) são métricas em \(M\). Além disso, para quaisquer \(x,y\in M\),

\[ d_{\max }(x,y)\leq d_2(x,y)\leq d_{\Sigma }(x,y) \leq n\, d_{\max }(x,y). \]

Em particular, as três métricas são Lipschitz equivalentes.

Demonstração ▼

A positividade, a simetria e a separação de pontos seguem das propriedades das métricas \(d_i\). A desigualdade triangular de \(d_{\Sigma }\) resulta da soma das desigualdades coordenada a coordenada; para \(d_{\max }\), usamos

\[ d_i(x_i,y_i) \leq d_i(x_i,z_i)+d_i(z_i,y_i) \leq d_{\max }(x,z)+d_{\max }(z,y) \]

e tomamos o máximo em \(i\). Para \(d_2\), a desigualdade triangular em cada coordenada, seguida da desigualdade de Minkowski em \(\mathbb {R}^n\), fornece

\[ d_2(x,y) \leq \left(\sum _{i=1}^n \bigl(d_i(x_i,z_i)+d_i(z_i,y_i)\bigr)^2 \right)^{1/2} \leq d_2(x,z)+d_2(z,y). \]

Resta comparar as fórmulas. Se \(a_i=d_i(x_i,y_i)\), então

\[ \max _i a_i\leq \left(\sum _i a_i^2\right)^{1/2} \leq \sum _i a_i\leq n\max _i a_i, \]

o que prova as estimativas anunciadas.

Proposição 1.43

Uma sequência \(x^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)})\) converge para \(x=(x_1,\ldots ,x_n)\) em qualquer uma das três métricas anteriores se, e somente se,

\[ x_i^{(k)}\longrightarrow x_i \quad \text{em }(M_i,d_i),\qquad 1\leq i\leq n. \]

Demonstração ▼

É suficiente trabalhar com \(d_{\max }\). Se \(d_{\max }(x^{(k)},x)\to 0\), então

\[ d_i(x_i^{(k)},x_i)\leq d_{\max }(x^{(k)},x) \]

para cada \(i\). Reciprocamente, dado \(\varepsilon \gt 0\), a convergência da \(i\)-ésima coordenada fornece um índice \(N_i\) a partir do qual \(d_i(x_i^{(k)},x_i)\lt \varepsilon \). Para \(k\geq \max \{ N_1,\ldots ,N_n\} \), todas essas desigualdades valem ao mesmo tempo, e portanto \(d_{\max }(x^{(k)},x)\lt \varepsilon \).

Exercício 1.28

Sejam \(a_1,\ldots ,a_n\) números positivos. Mostre que

\[ d_a(x,y)=\sum _{i=1}^n a_id_i(x_i,y_i) \]

é uma métrica em \(M_1\times \cdots \times M_n\) e que ela é Lipschitz equivalente a \(d_{\max }\).

Ver solução

As propriedades de métrica seguem das propriedades de cada \(d_i\) e da positividade dos pesos. Se \(a_{\min }=\min _i a_i\) e \(a_{\max }=\max _i a_i\), então

\[ a_{\min }d_{\max }(x,y) \leq d_a(x,y) \leq n a_{\max }d_{\max }(x,y). \]

As duas estimativas provam a equivalência.

Exercício 1.29

Para \(1\leq i\leq n\), seja \(\pi _i:M_1\times \cdots \times M_n\to M_i\) a projeção na \(i\)-ésima coordenada.

Mostre que \(\pi _i\) é Lipschitz quando o produto está munido de \(d_{\max }\).
Dado um espaço métrico \(Z\), prove que uma função \(f:Z\to M_1\times \cdots \times M_n\) é contínua se, e somente se, cada função coordenada \(\pi _i\circ f\) é contínua.

Ver solução

Temos

\[ d_i(\pi _i(x),\pi _i(y))\leq d_{\max }(x,y), \]

logo \(\pi _i\) é \(1\)-Lipschitz. Assim, a continuidade de \(f\) implica a de cada \(\pi _i\circ f\). Para a recíproca, fixe \(z\in Z\) e \(\varepsilon \gt 0\). Para cada \(i\), a continuidade da função coordenada produz \(\delta _i\gt 0\). Tomando \(\delta =\min _i\delta _i\), obtemos simultaneamente

\[ d_i\bigl(\pi _i(f(w)),\pi _i(f(z))\bigr)\lt \varepsilon \quad (1\leq i\leq n) \]

sempre que \(d_Z(w,z)\lt \delta \). Logo \(d_{\max }(f(w),f(z))\lt \varepsilon \).

Exercício 1.30

Suponha \(a\lt b\) e denote por \(\mathcal C([a,b])\) o conjunto das funções contínuas de \([a,b]\) em \(\mathbb {R}\). Considere

\[ d_{\infty }(f,g)=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)| \quad \text{e}\quad d_1(f,g)=\int _a^b|f(x)-g(x)|\, dx. \]

Verifique que \(d_{\infty }\) e \(d_1\) são métricas.
Mostre que a topologia de \(d_{\infty }\) é estritamente mais fina que a topologia de \(d_1\).

Ver solução

Somente a separação de pontos para \(d_1\) pede atenção: se uma função contínua e não negativa possui integral nula, então ela é identicamente nula. As demais propriedades decorrem diretamente do módulo e da integral.

Como

\[ d_1(f,g)\leq (b-a)d_{\infty }(f,g), \]

a identidade de \((\mathcal C([a,b]),d_{\infty })\) em \((\mathcal C([a,b]),d_1)\) é contínua. A inclusão de topologias é própria. De fato, para \(n\geq 1\), defina

\[ f_n(x)=\max \left\{ 1-\frac{n(x-a)}{b-a},0\right\} . \]

Então \(d_1(f_n,0)=(b-a)/(2n)\to 0\), enquanto \(d_{\infty }(f_n,0)=1\) para todo \(n\).

Uma métrica fornece simultaneamente uma linguagem quantitativa e uma estrutura topológica: com ela medimos distâncias, mas também reconhecemos abertos, continuidade e convergência. As comparações feitas ao longo do capítulo mostram, contudo, que a parte topológica não registra todos os detalhes numéricos da distância. No capítulo seguinte, os conjuntos abertos passarão a ser o dado inicial, sem que seja preciso escolher antes uma métrica.