Capítulo 10

Espaços Regulares e Normais

Os axiomas \(T_0\), \(T_1\) e \(T_2\) estabelecem condições para distinguir pontos por abertos. Regularidade e normalidade tratam da separação entre um ponto e um fechado que não o contém e entre dois fechados disjuntos, respectivamente.

O estudo dessas condições conduzirá à construção de funções contínuas que separam conjuntos. O lema de Urysohn e o teorema de extensão de Tietze estabelecerão essa relação para espaços normais. A separação de pontos e fechados por funções contínuas levará, em seguida, aos espaços de Tychonoff e à compactificação de Stone–Čech.

10.1 Espaços regulares

Definição 10.1 (Regularidade)

Um espaço topológico \(X\) é regular se, dados um fechado \(F\subset X\) e um ponto \(x\notin F\), existem abertos disjuntos \(U,V\subset X\) tais que

\[ F\subset U, \qquad x\in V. \]

Dizemos que \(X\) é \(T_3\) quando é regular e \(T_1\).

A condição \(T_1\) não faz parte da definição de regularidade adotada aqui. Essa convenção separa duas ideias distintas: regularidade controla a separação entre pontos e fechados; \(T_1\) garante que os próprios pontos sejam fechados.

Exemplo 10.2

Todo espaço discreto é \(T_3\).
Todo espaço métrico é \(T_3\).
Um espaço indiscreto é regular, mas, se possui mais de um ponto, não é \(T_1\) e portanto não é \(T_3\).
O espaço de Sierpiński não é regular.

A regularidade pode ser caracterizada pela existência, dentro de uma vizinhança aberta dada, de outra vizinhança cujo fecho ainda esteja contido na primeira.

Proposição 10.3 (Caracterizações da regularidade)

Para um espaço topológico \(X\), são equivalentes:

\(X\) é regular;
se \(x\in U\) e \(U\) é aberto, existe um aberto \(V\) tal que

\[ x\in V\subset \overline V\subset U; \]
todo ponto possui uma base de vizinhanças fechadas.

Demonstração ▼

Suponha \(X\) regular e tome \(x\in U\) aberto. O conjunto \(F=X\setminus U\) é fechado e não contém \(x\). Escolha abertos disjuntos \(V\ni x\) e \(W\supset F\). Como \(V\cap W=\varnothing \), temos

\[ x\in V\subset \overline V\subset X\setminus W\subset U. \]

Isso prova a segunda condição. Ela implica a terceira, pois os fechamentos \(\overline V\) assim obtidos são vizinhanças fechadas que refinam qualquer vizinhança aberta de \(x\).

Reciprocamente, seja \(F\) fechado e \(x\notin F\). Pela terceira condição, existe uma vizinhança fechada \(K\) de \(x\) contida em \(X\setminus F\). Escolha um aberto \(V\) com \(x\in V\subset K\). Então \(V\) e \(X\setminus K\) são abertos disjuntos, contendo respectivamente \(x\) e \(F\).

Proposição 10.4

Todo subespaço de um espaço regular é regular. Consequentemente, todo subespaço de um espaço \(T_3\) é \(T_3\).

Demonstração ▼

Se \(S\subset X\), \(A\) é fechado em \(S\) e \(x\in S\setminus A\), escreva \(A=S\cap F\) com \(F\) fechado em \(X\). Como \(x\notin F\), a regularidade de \(X\) fornece abertos disjuntos \(U,V\) com \(F\subset U\) e \(x\in V\). As interseções \(U\cap S\) e \(V\cap S\) são abertos disjuntos em \(S\), contendo respectivamente \(A\) e \(x\).

Proposição 10.5

Um produto arbitrário de espaços regulares é regular. Portanto, um produto arbitrário de espaços \(T_3\) é \(T_3\).

Demonstração ▼

Seja \(X=\prod _{i\in I}X_i\), suponha cada \(X_i\) regular e tome um aberto \(U\) que contém \(x=(x_i)\). Escolha um aberto básico

\[ x\in B=\bigcap _{j\in J}\pi _j^{-1}(U_j)\subset U, \]

com \(J\) finito. Para cada \(j\in J\), pela regularidade de \(X_j\), escolha um aberto \(V_j\) com

\[ x_j\in V_j\subset \overline{V_j}\subset U_j. \]

Então

\[ V=\bigcap _{j\in J}\pi _j^{-1}(V_j) \]

é aberto, contém \(x\) e satisfaz \(\overline V\subset B\subset U\). Pela caracterização anterior, o produto é regular.

10.2 Espaços normais

Regularidade separa um ponto de um fechado. Normalidade pede a mesma possibilidade para dois fechados.

Definição 10.6 (Normalidade)

Um espaço topológico \(X\) é normal se, dados fechados disjuntos \(A,B\subset X\), existem abertos disjuntos \(U,V\) tais que

\[ A\subset U, \qquad B\subset V. \]

Dizemos que \(X\) é \(T_4\) quando é normal e \(T_1\).

Exemplo 10.7

Todo espaço métrico é normal. Se \(A\) e \(B\) são fechados disjuntos, as funções \(x\mapsto d(x,A)\) e \(x\mapsto d(x,B)\) são contínuas, e os conjuntos

\[ U=\{ x:d(x,A)\lt d(x,B)\} , \qquad V=\{ x:d(x,B)\lt d(x,A)\} \]

são abertos disjuntos contendo, respectivamente, \(A\) e \(B\). Assim todo espaço métrico é \(T_4\).

Exemplo 10.8

Todo espaço compacto Hausdorff é normal. De fato, o capítulo de compacidade mostrou que um ponto e um compacto disjunto podem ser separados por abertos; uma segunda aplicação da compacidade separa então dois compactos disjuntos. Como, em um compacto Hausdorff, os fechados são compactos, obtemos normalidade.

A normalidade também possui uma forma de encolhimento.

Proposição 10.9 (Caracterização da normalidade)

Um espaço \(X\) é normal se, e somente se, sempre que \(F\subset U\), com \(F\) fechado e \(U\) aberto, existe um aberto \(V\) tal que

\[ F\subset V\subset \overline V\subset U. \]

Demonstração ▼

Se \(X\) é normal, separe os fechados \(F\) e \(X\setminus U\) por abertos disjuntos \(V\) e \(W\). Então

\[ F\subset V\subset \overline V\subset X\setminus W\subset U. \]

Reciprocamente, dados fechados disjuntos \(F,G\), aplique a hipótese a \(F\subset X\setminus G\). Obtenha um aberto \(V\) com \(F\subset V\subset \overline V\subset X\setminus G\). Então \(V\) e \(X\setminus \overline V\) são abertos disjuntos contendo \(F\) e \(G\).

Exemplo 10.10 (A reta de Sorgenfrey)

A reta de Sorgenfrey é normal. Se \(A\) e \(B\) são fechados disjuntos, para cada \(a\in A\) escolha \(a'\gt a\) de modo que \([a,a')\cap B=\varnothing \), e para cada \(b\in B\) escolha \(b'\gt b\) com \([b,b')\cap A=\varnothing \). Então

\[ U=\bigcup _{a\in A}[a,a'), \qquad V=\bigcup _{b\in B}[b,b') \]

são abertos contendo \(A\) e \(B\). Se \(a\lt b\), a condição \([a,a')\cap B=\varnothing \) força \(a'\leq b\); se \(b\lt a\), analogamente \(b'\leq a\). Logo os intervalos usados na construção de \(U\) e \(V\) são sempre disjuntos, e \(U\cap V=\varnothing \).

Normalidade não é hereditária para subespaços arbitrários, mas é para subespaços fechados.

Proposição 10.11

Todo subespaço fechado de um espaço normal é normal. Em particular, todo subespaço fechado de um espaço \(T_4\) é \(T_4\).

Demonstração ▼

Se \(S\) é fechado em \(X\) e \(A,B\) são fechados disjuntos em \(S\), então \(A\) e \(B\) também são fechados em \(X\). Separe-os em \(X\) por abertos disjuntos e intersecte esses abertos com \(S\).

A normalidade é preservada pelas aplicações que satisfazem as hipóteses da proposição seguinte.

Proposição 10.12

Se \(f:X\to Y\) é contínua, fechada e sobrejetiva e \(X\) é normal, então \(Y\) é normal.

Demonstração ▼

Sejam \(A,B\subset Y\) fechados disjuntos. Os conjuntos \(f^{-1}(A)\) e \(f^{-1}(B)\) são fechados disjuntos em \(X\). Escolha abertos disjuntos \(U,V\) que os contenham. Defina

\[ U'=Y\setminus f(X\setminus U), \qquad V'=Y\setminus f(X\setminus V). \]

Como \(f\) é fechada, \(U'\) e \(V'\) são abertos. Além disso, \(A\subset U'\) e \(B\subset V'\). Finalmente, \(f^{-1}(U')\subset U\) e \(f^{-1}(V')\subset V\), de modo que \(U'\cap V'=\varnothing \) pela sobrejetividade de \(f\).

A propriedade de Lindelöf permite deduzir a normalidade a partir da regularidade.

Teorema 10.13 (Regular + Lindelöf implica normal)

Todo espaço regular e Lindelöf é normal.

Demonstração ▼

Sejam \(A,B\) fechados disjuntos. Pela regularidade, para cada \(a\in A\) existe um aberto \(U_a\) tal que

\[ a\in U_a, \qquad \overline{U_a}\cap B=\varnothing . \]

Como \(A\) é fechado em um espaço Lindelöf, é Lindelöf. Escolha uma subcobertura enumerável \(U_1,U_2,\ldots \) de \(A\). Do mesmo modo, escolha abertos \(V_1,V_2,\ldots \) cobrindo \(B\) com \(\overline{V_n}\cap A=\varnothing \).

Defina

\[ U=\bigcup _{n\geq 1}\left(U_n\setminus \bigcup _{k\leq n}\overline{V_k}\right), \]

\[ V=\bigcup _{n\geq 1}\left(V_n\setminus \bigcup _{k\leq n}\overline{U_k}\right). \]

Cada termo das uniões é aberto. Como os fechos \(\overline{V_k}\) não encontram \(A\), temos \(A\subset U\); analogamente, \(B\subset V\).

Se um ponto pertencesse simultaneamente ao termo de índice \(n\) da primeira união e ao termo de índice \(m\) da segunda, então, se \(n\leq m\), o segundo termo o excluiria por pertencer a \(\overline{U_n}\); se \(m\lt n\), o primeiro o excluiria por pertencer a \(\overline{V_m}\). Portanto \(U\cap V=\varnothing \).

10.3 O lema de Urysohn

O lema de Urysohn reforça a separação por abertos: em um espaço normal, dois fechados disjuntos podem ser distinguidos por uma função contínua com valores em \([0,1]\) que assume os valores \(0\) e \(1\) sobre eles.

Teorema 10.14 (Lema de Urysohn)

Um espaço topológico \(X\) é normal se, e somente se, para quaisquer fechados disjuntos \(A,B\subset X\) existe uma função contínua

\[ f:X\to [0,1] \]

tal que \(f|_A=0\) e \(f|_B=1\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro \(X\) normal. Seja \(D\) o conjunto dos números diádicos de \([0,1]\). Construiremos abertos \((U_r)_{r\in D}\) tais que

\[ A\subset U_0, \qquad \overline{U_r}\subset U_s\quad (r\lt s), \qquad U_1=X\setminus B. \]

Pela caracterização da normalidade, escolha primeiro \(U_0\) com

\[ A\subset U_0\subset \overline{U_0}\subset X\setminus B=U_1. \]

Tendo construído os abertos nos diádicos de denominador \(2^n\), insira entre cada par consecutivo \(r\lt s\) um aberto \(U_{(r+s)/2}\) satisfazendo

\[ \overline{U_r}\subset U_{(r+s)/2} \subset \overline{U_{(r+s)/2}}\subset U_s. \]

Isso é possível novamente pela normalidade.

Defina

\[ f(x)=\inf \bigl(\{ r\in D:x\in U_r\} \cup \{ 1\} \bigr). \]

Como \(A\subset U_0\), temos \(f=0\) em \(A\). Como \(B\) não encontra nenhum \(U_r\) com \(r\leq 1\), temos \(f=1\) em \(B\).

Resta verificar a continuidade. Para \(a\in (0,1]\),

\[ \{ x:f(x)\lt a\} =\bigcup _{r\lt a}U_r, \]

que é aberto. Para \(b\in [0,1)\),

\[ \{ x:f(x)\gt b\} =\bigcup _{r\gt b}\bigl(X\setminus \overline{U_r}\bigr), \]

que também é aberto. Esses conjuntos formam uma sub-base da topologia de \([0,1]\), logo \(f\) é contínua.

Reciprocamente, se tal função existe para todo par de fechados disjuntos, tome

\[ U=f^{-1}\bigl([0,1/3)\bigr), \qquad V=f^{-1}\bigl((2/3,1]\bigr). \]

São abertos disjuntos contendo \(A\) e \(B\). Portanto \(X\) é normal.

O lema de Urysohn transforma separação topológica em uma coordenada real. Essa ideia aparecerá novamente na completa regularidade e na compactificação de Stone–Čech.

10.3.1 O lema de Jones

Uma consequência do lema de Urysohn fornece um obstáculo à normalidade.

Proposição 10.15 (Lema de Jones)

Se \(X\) é separável e normal e \(D\subset X\) é fechado e discreto, então

\[ 2^{|D|}\leq 2^{\aleph _0}. \]

Em particular, \(|D|\lt 2^{\aleph _0}\).

Demonstração ▼

Para cada \(E\subset D\), os conjuntos \(E\) e \(D\setminus E\) são fechados e disjuntos em \(X\). Pelo lema de Urysohn, existe \(f_E:X\to [0,1]\) com \(f_E(E)=\{ 0\} \) e \(f_E(D\setminus E)=\{ 1\} \). Assim, \(E\mapsto f_E\) é injetiva e

\[ 2^{|D|}\leq |C(X,\mathbb {R})|. \]

Se \(S\subset X\) é denso e enumerável, uma função contínua real é determinada por sua restrição a \(S\), pois \(\mathbb {R}\) é Hausdorff. Logo

\[ |C(X,\mathbb {R})|\leq |\mathbb {R}|^{\aleph _0}=2^{\aleph _0}. \]

A primeira desigualdade segue. Se \(|D|\geq 2^{\aleph _0}\), então, pelo teorema de Cantor, \(2^{|D|}\gt 2^{\aleph _0}\), contradição.

Exemplo 10.16 (O plano de Sorgenfrey não é normal)

O plano de Sorgenfrey \(\mathbb S\times \mathbb S\) é separável: \(\mathbb {Q}^2\) é denso. A antidiagonal

\[ D=\{ (x,-x):x\in \mathbb {R}\} \]

é fechada e discreta na topologia produto de Sorgenfrey, e possui cardinalidade do contínuo. Pelo lema de Jones, o plano de Sorgenfrey não pode ser normal.

Assim, mesmo o produto de dois espaços normais pode deixar de ser normal.

10.4 O teorema de extensão de Tietze

Urysohn prescreve dois valores, \(0\) e \(1\), em dois fechados. O teorema de Tietze substitui esses dois valores por uma função contínua arbitrária definida em um fechado e mostra que ela pode ser estendida ao espaço todo.

A prova parte do seguinte lema de aproximação.

Lema 10.17 (Aproximação)

Se \(X\) é normal, \(A\subset X\) é fechado e \(h:A\to \mathbb {R}\) é contínua com \(|h|\leq M\), então existe uma função contínua \(g:X\to \mathbb {R}\) tal que

\[ |g|\leq \frac M3 \]

\[ |h-g|\leq \frac{2M}{3} \qquad \text{em }A. \]

Demonstração ▼

Os conjuntos

\[ A_- = \{ x\in A:h(x)\leq -M/3\} , \qquad A_+ = \{ x\in A:h(x)\geq M/3\} \]

são fechados em \(X\) e disjuntos. Pelo lema de Urysohn, existe \(u:X\to [0,1]\) com \(u=0\) em \(A_-\) e \(u=1\) em \(A_+\). Faça

\[ g=\frac M3(2u-1). \]

Então \(|g|\leq M/3\). Em \(A_-\) e \(A_+\), a escolha de \(g\) reduz o erro para no máximo \(2M/3\); no conjunto restante, \(|h|\lt M/3\) e \(|g|\leq M/3\), de modo que a mesma estimativa vale.

Teorema 10.18 (Teorema de Extensão de Tietze)

Se \(X\) é normal, \(A\subset X\) é fechado e \(f:A\to \mathbb {R}\) é contínua, então existe uma função contínua \(F:X\to \mathbb {R}\) tal que \(F|_A=f\).

Se \(f(A)\subset [-M,M]\), a extensão pode ser escolhida com \(F(X)\subset [-M,M]\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro \(|f|\leq 1\). Aplique o lema anterior a \(f\) e obtenha \(g_0\) com \(\| g_0\| _\infty \leq 1/3\) e

\[ |f-g_0|\leq 2/3 \qquad \text{em }A. \]

Aplique o lema novamente ao resíduo \(f-g_0|_A\), depois ao novo resíduo, e assim por diante. Obtemos funções contínuas \(g_n:X\to \mathbb {R}\) tais que

\[ \| g_n\| _\infty \leq \frac13\left(\frac23\right)^n \]

\[ \left|f-\sum _{k=0}^n g_k\right| \leq \left(\frac23\right)^{n+1} \qquad \text{em }A. \]

A série \(\sum g_n\) converge uniformemente em \(X\). Portanto

\[ F=\sum _{n=0}^\infty g_n \]

é contínua. Em \(A\), o erro tende a zero, logo \(F|_A=f\). Além disso,

\[ |F|\leq \sum _{n=0}^\infty \frac13\left(\frac23\right)^n=1. \]

Escalando, obtemos o resultado para funções com imagem em \([-M,M]\).

Para uma função real arbitrária, escolha um homeomorfismo \(\varphi :\mathbb {R}\to (-1,1)\) e aplique a parte anterior a \(\varphi \circ f\). Obtenha \(H:X\to [-1,1]\) estendendo \(\varphi \circ f\). O fechado

\[ C=\{ x:|H(x)|=1\} \]

é disjunto de \(A\). Pelo lema de Urysohn, existe \(u:X\to [0,1]\) com \(u=1\) em \(A\) e \(u=0\) em \(C\). Então \(G=uH\) satisfaz \(|G|\lt 1\) em todo \(X\) e \(G|_A=\varphi \circ f\). Assim

\[ F=\varphi ^{-1}\circ G \]

é a extensão desejada.

O teorema de Tietze e o lema de Urysohn são, de fato, duas faces da normalidade. Se toda função contínua definida num fechado e com valores em \([0,1]\) puder ser estendida, aplique essa propriedade à função definida em \(A\cup B\) que vale \(0\) em um fechado \(A\) e \(1\) no outro fechado \(B\). A extensão recupera o lema de Urysohn e, portanto, a normalidade.

10.5 Espaços completamente regulares

Normalidade separa dois fechados por uma função. Para muitas construções, principalmente produtos e compactificações, é suficiente pedir a separação de um ponto e um fechado.

Definição 10.19 (Completa regularidade)

Um espaço \(X\) é completamente regular se, para todo fechado \(F\subset X\) e todo \(x\notin F\), existe uma função contínua \(f:X\to [0,1]\) tal que

\[ f(x)=1, \qquad f|_F=0. \]

Um espaço é de Tychonoff, ou \(T_{3\frac12}\), se é completamente regular e \(T_1\).

Proposição 10.20

Todo espaço \(T_4\) é de Tychonoff.

Demonstração ▼

Se \(X\) é \(T_4\), então é \(T_1\) e normal. Dado um fechado \(F\) e um ponto \(x\notin F\), o singleton \(\{ x\} \) é fechado. O lema de Urysohn aplicado a \(F\) e \(\{ x\} \) fornece uma função contínua \(f:X\to [0,1]\) com \(f|_F=0\) e \(f(x)=1\). Logo \(X\) é completamente regular e \(T_1\).

Proposição 10.21

Todo espaço completamente regular é regular. Portanto todo espaço de Tychonoff é \(T_3\).

Demonstração ▼

Se \(F\) é fechado e \(x\notin F\), escolha \(f:X\to [0,1]\) com \(f(F)=0\) e \(f(x)=1\). Os abertos

\[ f^{-1}\bigl([0,1/3)\bigr) \quad \text{e}\quad f^{-1}\bigl((2/3,1]\bigr) \]

separam \(F\) e \(x\).

Proposição 10.22

Subespaços de espaços completamente regulares são completamente regulares. Em particular, subespaços de espaços de Tychonoff são de Tychonoff.

Demonstração ▼

Se \(S\subset X\), \(F\) é fechado em \(S\) e \(x\in S\setminus F\), escreva \(F=S\cap H\) com \(H\) fechado em \(X\) e \(x\notin H\). Uma função que separa \(x\) de \(H\) em \(X\), restrita a \(S\), separa \(x\) de \(F\).

Proposição 10.23

Um produto arbitrário de espaços completamente regulares é completamente regular. Consequentemente, um produto arbitrário de espaços de Tychonoff é de Tychonoff.

Demonstração ▼

Seja \(X=\prod _iX_i\), seja \(A\subset X\) fechado e \(x\notin A\). Escolha um aberto básico

\[ x\in W=\bigcap _{j\in J}\pi _j^{-1}(U_j)\subset X\setminus A, \]

com \(J\) finito. Para cada \(j\in J\), escolha uma função contínua \(g_j:X_j\to [0,1]\) tal que

\[ g_j(x_j)=1, \qquad g_j(X_j\setminus U_j)=0. \]

Então

\[ g=\prod _{j\in J}(g_j\circ \pi _j) \]

é contínua, vale \(1\) em \(x\) e vale \(0\) em \(A\), pois todo ponto de \(A\) deixa de pertencer a \(W\) em pelo menos uma das coordenadas de \(J\).

Corolário 10.24

Todo espaço localmente compacto Hausdorff é de Tychonoff.

Demonstração ▼

Pelo capítulo de compacidade, um espaço localmente compacto Hausdorff é homeomorfo a um subespaço aberto de um compacto Hausdorff. Compactos Hausdorff são \(T_4\), portanto de Tychonoff, e a propriedade de Tychonoff é hereditária.

10.5.1 Funções como coordenadas

A completa regularidade pode ser lida de outra maneira: existem funções contínuas reais suficientes para reconstruir a topologia. Em um espaço de Tychonoff, para cada aberto \(U\) e cada \(x\in U\) existe \(f:X\to [0,1]\) contínua tal que

\[ f(x)=1, \qquad f(X\setminus U)=\{ 0\} . \]

Assim, os conjuntos da forma \(f^{-1}((1/2,1])\) refinam todos os abertos do espaço.

Teorema 10.25 (Teorema de imersão de Tychonoff)

Seja

\[ \mathcal C=C(X,[0,1]) \]

a família de todas as funções contínuas de \(X\) em \([0,1]\). Um espaço \(X\) é de Tychonoff se, e somente se, a aplicação de avaliação

\[ e_X:X\longrightarrow [0,1]^{\mathcal C}, \qquad e_X(x)=(f(x))_{f\in \mathcal C}, \]

é um mergulho.

Demonstração ▼

Se \(X\) é de Tychonoff, as funções de \(\mathcal C\) separam pontos: se \(x\neq y\), o conjunto \(\{ y\} \) é fechado e existe \(f\in \mathcal C\) com \(f(x)=1\) e \(f(y)=0\). Logo \(e_X\) é injetiva. A propriedade universal do produto mostra que \(e_X\) é contínua.

Além disso, se \(U\) é aberto e \(x\in U\), a completa regularidade fornece \(f\in \mathcal C\) com \(f(x)=1\) e \(f(X\setminus U)=0\). Então

\[ x\in f^{-1}((1/2,1])\subset U. \]

Portanto a topologia de \(X\) é exatamente a topologia inicial gerada pelas coordenadas de \(e_X\). Isso diz que \(e_X\) é um homeomorfismo de \(X\) sobre sua imagem.

Reciprocamente, \([0,1]^{\mathcal C}\) é de Tychonoff e a propriedade de Tychonoff é hereditária para subespaços. Logo qualquer espaço homeomorfo a um subespaço desse cubo é de Tychonoff.

10.6 Comportamento topológico

As propriedades estudadas neste capítulo têm comportamentos diferentes sob as construções básicas.

	Subespaços	Quocientes	Produtos	Somas
Regular	Sim	Não em geral	Sim	Sim
Tychonoff	Sim	Não em geral	Sim	Sim
Normal	fechados	Não em geral	Não em geral	Sim

Para normalidade, há duas ressalvas. Imagens contínuas, fechadas e sobrejetivas preservam normalidade, como vimos. Produtos, por outro lado, podem falhar já para dois fatores, como mostra o plano de Sorgenfrey.

10.7 Compactificação de Stone–Čech

A compactificação de Alexandroff é obtida acrescentando um ponto, cujas vizinhanças são determinadas pelos compactos do espaço original. A compactificação de Stone–Čech será caracterizada por uma propriedade de extensão: toda aplicação contínua do espaço em um compacto Hausdorff deve admitir uma extensão contínua à compactificação.

Se \(X\) é de Tychonoff, seja novamente

\[ \mathcal C=C(X,[0,1]) \]

e considere o mergulho de avaliação

\[ e_X:X\longrightarrow [0,1]^{\mathcal C}. \]

Definição 10.26 (Compactificação de Stone–Čech)

Para um espaço de Tychonoff \(X\), definimos

\[ \beta X=\overline{e_X(X)} \subset [0,1]^{\mathcal C}. \]

Identificando \(X\) com \(e_X(X)\), chamamos \(\beta X\) de compactificação de Stone–Čech de \(X\).

Pelo teorema de Tychonoff, o cubo \([0,1]^{\mathcal C}\) é compacto Hausdorff. Logo \(\beta X\), sendo fechado nesse cubo, também é compacto Hausdorff. Por definição, \(X\) é denso em \(\beta X\).

O resultado central é a propriedade universal.

Teorema 10.27 (Propriedade universal de Stone–Čech)

Se \(X\) é de Tychonoff, \(K\) é compacto Hausdorff e \(f:X\to K\) é contínua, então existe uma única função contínua

\[ \widetilde f:\beta X\to K \]

tal que

\[ \widetilde f|_X=f. \]

Demonstração ▼

Como \(K\) é compacto Hausdorff, é de Tychonoff. Seja

\[ \mathcal D=C(K,[0,1]) \]

e considere o mergulho

\[ e_K:K\longrightarrow [0,1]^{\mathcal D}. \]

Para cada \(g\in \mathcal D\), a composição \(g\circ f\) pertence a \(C(X,[0,1])=\mathcal C\). Portanto ela é uma das coordenadas usadas na definição de \(\beta X\) e se estende naturalmente a uma função contínua

\[ \widehat{g\circ f}:\beta X\to [0,1] \]

pela projeção correspondente do cubo.

Reunindo essas coordenadas, obtemos uma aplicação contínua

\[ F:\beta X\to [0,1]^{\mathcal D}, \qquad F(z)=\bigl(\widehat{g\circ f}(z)\bigr)_{g\in \mathcal D}. \]

Em \(X\), temos

\[ F|_X=e_K\circ f. \]

Como \(K\) é compacto e o cubo é Hausdorff, \(e_K(K)\) é fechado. Assim,

\[ F(\beta X) \subset \overline{F(X)} =\overline{e_K(f(X))} \subset e_K(K). \]

Podemos então definir

\[ \widetilde f=e_K^{-1}\circ F. \]

Ela é contínua e estende \(f\).

A unicidade segue da densidade de \(X\) em \(\beta X\): duas aplicações contínuas de \(\beta X\) em um espaço Hausdorff que coincidem em um conjunto denso coincidem em todo o espaço.

Corolário 10.28

Toda função contínua limitada \(f:X\to \mathbb {R}\) admite uma única extensão contínua a \(\beta X\).

Demonstração ▼

A imagem de \(f\) está contida em algum intervalo compacto \([-M,M]\). Aplique a propriedade universal com \(K=[-M,M]\).

A propriedade universal caracteriza \(\beta X\) a menos de homeomorfismo: se outra compactificação de \(X\) possui a mesma propriedade de extensão para compactos Hausdorff, as extensões das identidades produzem homeomorfismos inversos entre as duas compactificações.

Exercício 10.1

Prove diretamente que todo espaço métrico é \(T_4\).

Exercício 10.2

Mostre que o espaço de Sierpiński é normal, mas não é regular nem Hausdorff.

Exercício 10.3

Seja \(X\) normal. Dados fechados disjuntos \(A,B\subset X\), prove que existem abertos \(U,V\) tais que

\[ A\subset U,\quad B\subset V, \qquad \overline U\cap \overline V=\varnothing . \]

Exercício 10.4

Mostre que o limite uniforme de funções contínuas reais é contínuo.

Exercício 10.5

Se \(f,g:X\to \mathbb {R}\) são contínuas, mostre que \(\max \{ f,g\} \) e \(\min \{ f,g\} \) são contínuas.

Exercício 10.6

Mostre que a versão do lema de Urysohn com valores constantes \(\alpha \neq \beta \) é equivalente à versão com valores \(0\) e \(1\).

Exercício 10.7

Sejam \(\tau \subset \sigma \) topologias no mesmo conjunto. Investigue se regularidade e normalidade passam de \((X,\tau )\) para \((X,\sigma )\) ou na direção contrária.

Exercício 10.8

Se \(\prod _iX_i\) é normal, mostre que cada fator \(X_i\) é normal.

Exercício 10.9

O espaço \(\mathbb {R}^{\mathbb {N}}\) com a topologia produto é normal? Justifique.

Exercício 10.10

Dê uma prova direta do lema de Urysohn para espaços métricos usando

\[ f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}. \]

Exercício 10.11

Mostre diretamente que o teorema de Tietze implica o lema de Urysohn.

Exercício 10.12

Prove que todo espaço regular e segundo-enumerável é normal.

Exercício 10.13

Mostre que o produto de dois espaços Lindelöf pode não ser Lindelöf, usando a reta de Sorgenfrey.

Exercício 10.14

Mostre que todo compacto Hausdorff é de Tychonoff de duas maneiras: primeiro via \(T_4\) e Urysohn; depois via a compactificação de Alexandroff aplicada a um subespaço aberto adequado.

Exercício 10.15

Dizemos que \(X\) é perfeitamente normal se é normal e todo fechado é \(G_\delta \). Prove que isso equivale a dizer que todo aberto é união enumerável de fechados cujos interiores o recobrem. Compare essa condição com metrizabilidade.

As funções contínuas relacionam os axiomas de separação às construções estudadas neste capítulo. Nos espaços de Tychonoff, a separação de pontos e fechados por essas funções permite realizar um mergulho em um cubo. A compactificação de Stone–Čech é obtida tomando o fecho da imagem de avaliação e é caracterizada pela extensão de aplicações contínuas com valores em compactos Hausdorff.