Basta verificar que \(\mathcal{T}\sb {X}\) satisfaz os axiomas listados na Definição 2.1. Por exemplo,

Vamos caso por caso.

1. \( X \) é fechado porque \( X \setminus X = \varnothing \) é aberto.

   Além disso, \( \varnothing \) é fechado porque \( X \setminus \varnothing = X \) é aberto.

2. \( \bigcap _{i \in I} F_i \) é fechado porque, aplicando as leis de De Morgan temos que

   \begin{equation*} X \setminus \left(\bigcap _{i \in I} F_i \right) = \bigcup _{i \in I} X \setminus F_i \end{equation*}

   é aberto por ser uma união arbitrária de abertos.

3. \( \bigcup _{i = 1} ^n F_i \) é fechado, para isso tome o complementar e veja que ele é aberto porque é uma interseção finita de abertos.

   \begin{equation*} X \setminus \left(\bigcup _{i = 1} ^{n} F_i \right) = \bigcap _{i = 1} ^n X \setminus F_i \end{equation*}

Com isso terminamos a demonstração.

Como \(X,\varnothing \in \mathcal F\), seus complementos \(\varnothing \) e \(X\) pertencem a \(\mathcal{T}\). Se \(U_i=X\setminus F_i\in \mathcal{T}\), então, pelas leis de De Morgan,

pois \(\mathcal F\) é fechada por interseções arbitrárias. Analogamente, para \(F_1,\ldots ,F_n\in \mathcal F\),

Logo \(\mathcal{T}\) é uma topologia. Pela própria definição, seus complementos de abertos, isto é, seus fechados, são exatamente os elementos de \(\mathcal F\).

1. é óbvio.

2. Por a \(\overline{A}\subset \overline{\overline{A}}. \mathrm{E}\) como \(\overline{A}\) é um fechado contendo \(\overline{A}\), segue que \(\overline{\overline{A}}\subset \overline{A}.\)

3. Como \(\varnothing \) é um fechado contendo \(\varnothing \), segue que \(\overline{\varnothing }\subset \varnothing .\)

4. Começamos observando que \(A\subset B\) implica \(\overline{A}\subset \overline{B}.\)

   Como \(A\subset A\bigcup B\) e \(B\subset A\bigcup B\), segue que \(\overline{A}\subset \overline{A\bigcup B}\) e \(\overline{B}\subset \overline{A\bigcup B}\). Logo \(\overline{A}\bigcup \overline{B}\subset \overline{A\bigcup B}\). Por outro lado \(\overline{A}\bigcup \overline{B}\) é um fechado contendo \(A\bigcup B\). Logo \(\overline{A\bigcup B}\subset \overline{A}\bigcup \overline{B}.\)

5. A demonstração é direta.

É imediato que \(X\in \mathcal{F}.\) E assim segue de c que \(\varnothing \in \mathcal{F}.\)

Pela Proposição 2.52 item d temos que a união de dois subconjuntos de \(\mathcal{F}\) pertence \(\mathrm{a}\mathcal{F}.\)

Antes de demonstrar que qualquer interseção de subconjuntos de \(\mathcal{F}\) pertence a \(\mathcal{F},\) provemos que \( A\subset B\) implica \(\overline{A}\subset \overline{B}.\)

Novamente pela Proposição 2.52 item d temos que :

Agora sejam \(A_{i}\in \mathcal{F}\) para todo \(i\in I. \) Então \(\bigcap _{i\in I}A_{i}\subset A_{i}\), e portanto \(\overline{\bigcap _{i\in I}A_{i}}\subset \overline{A_{i}}=A_{i}\) para todo \(i\in I\). Logo \(\displaystyle \overline{\bigcap _{i\in I}A_{i}}\subset \bigcap _{i\in I}A_{i}\), e segue que \(\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\in \mathcal{F}.\)

Assim \(\mathcal{F}\) é a família de fechados para uma topologia \(\mathcal{T}\) em \(X\). Finalmente demonstraremos que \(\overline{A}\) é o fecho de \(A\) com relação a \(\mathcal{T}\). Começamos observando que

e portanto

Por outro lado segue da Proposição 2.52 item \((\ref{it:prop4.2b})\) que \(\overline{A}\in \mathcal{F}\) e \(\overline{A}\supset A\). Consequentemente

E assim podemos concluir que \(\overline{A}\) é o fecho de \(A.\)

Por definição,

Logo, pelas leis de De Morgan,

A segunda identidade é a primeira aplicada a \(X\setminus A\).

Cada item é dual ao item correspondente da Proposição 2.52, por complementação e pela Proposição 2.56. Por exemplo,

Os demais itens seguem do mesmo modo; alternativamente, decorrem diretamente do fato de \({\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\) ser o maior aberto contido em \(A\).

Pelos axiomas dados, \(X\in \mathcal T\). A monotonicidade do operador interior segue das propriedades: se \(A\subseteq B\), então \(A=A\cap B\) e

portanto \({\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\subseteq {\kern 0ptB}^{\mathrm{o}}\). Se \(U,V\in \mathcal T\), então

logo \(U\cap V\in \mathcal T\).

Se \((U_i)_{i\in I}\subseteq \mathcal T\) e \(U=\bigcup _iU_i\), então, para cada \(i\), \(U_i={\kern 0ptU_i}^{\mathrm{o}}\subseteq {\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\) pela monotonicidade. Assim \(U\subseteq {\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\). Como sempre \({\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\subseteq U\), obtemos \(U={\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\), isto é, \(U\in \mathcal T\). Além disso, \({\kern 0pt\varnothing }^{\mathrm{o}}\subseteq \varnothing \), logo \(\varnothing \in \mathcal T\). Portanto \(\mathcal T\) é uma topologia.

Finalmente, \({\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\) pertence a \(\mathcal T\) pela idempotência e está contido em \(A\). Se \(U\in \mathcal T\) e \(U\subseteq A\), a monotonicidade fornece \(U={\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\subseteq {\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\). Logo \({\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\) é exatamente o maior aberto contido em \(A\).

O primeiro item faz parte da própria construção: a topologia gerada é escolhida entre as topologias que contêm \(\mathcal S\).

Para o segundo, suponha \(\mathcal S\subseteq \mathcal D\). A topologia \(\mathcal T\langle \mathcal D\rangle \) contém \(\mathcal S\); pela minimalidade de \(\mathcal T\langle \mathcal S\rangle \), segue que

No terceiro item, se \(\mathcal S\subseteq \mathcal T\), então \(\mathcal T\) é uma das topologias consideradas na interseção que define \(\mathcal T\langle \mathcal S\rangle \); logo \(\mathcal T\langle \mathcal S\rangle \subseteq \mathcal T\). A recíproca decorre do primeiro item. O quarto item é o caso particular em que os geradores já formam uma topologia. O quinto é um princípio de sanduíche:

implica, pelo terceiro item, \(\mathcal T\langle \mathcal S\rangle \subseteq \mathcal T\), e portanto igualdade.

Resta o último item. Ponha

Como cada \(\mathcal S_\lambda \) está contida em \(\mathcal T\langle \mathcal S\rangle \), o terceiro item fornece

Consequentemente, a topologia gerada pela família formada por todas as \(\mathcal T\langle \mathcal S_\lambda \rangle \) está contida em \(\mathcal T\langle \mathcal S\rangle \).

Para a inclusão oposta, cada gerador pertencente a alguma \(\mathcal S_\lambda \) já pertence a \(\mathcal T\langle \mathcal S_\lambda \rangle \). Assim, a topologia do lado esquerdo contém toda a união \(\mathcal S\). Pela minimalidade da topologia gerada por \(\mathcal S\), ela contém \(\mathcal T\langle \mathcal S\rangle \). As duas inclusões provam a igualdade.

A equivalência entre os dois primeiros itens é apenas uma mudança de linguagem: dizer que \(\mathcal B\) é base significa exatamente dizer que os abertos de \(\mathcal T\) são as uniões de subfamílias de \(\mathcal B\).

Suponha o segundo item e tome \(x\in U\), com \(U\in \mathcal T\). Escrevendo

algum elemento \(B\in \mathcal B_U\) contém \(x\). Como todos os elementos dessa subfamília aparecem na união que forma \(U\), temos \(B\subseteq U\). Além disso, cada elemento de \(\mathcal B\) é uma união de uma subfamília unitária de \(\mathcal B\), logo pertence a \(\mathcal T\). Isso fornece o terceiro item.

Agora suponha o terceiro item. Para cada \(U\in \mathcal T\) e cada \(x\in U\), escolha \(B_x\in \mathcal B\) com \(x\in B_x\subseteq U\). Então

de modo que todo aberto de \(\mathcal T\) é união de elementos de \(\mathcal B\). Como \(\mathcal B\subseteq \mathcal T\), toda união de elementos de \(\mathcal B\) é aberta. Assim vale o segundo item.

Por fim, como \(\mathcal B\subseteq \mathcal T\), temos \(\mathcal T\langle \mathcal B\rangle \subseteq \mathcal T\). Pela caracterização por uniões, a topologia \(\mathcal T\langle \mathcal B\rangle \) contém todos os abertos de \(\mathcal T\), pois contém \(\mathcal B\) e é fechada por uniões arbitrárias. Portanto

Seja \(\mathcal U\) a família de todas as uniões de elementos de \(\mathcal B\). O vazio pertence a \(\mathcal U\) como união vazia, e \(X\in \mathcal U\) pela hipótese de cobertura. A família é fechada por uniões arbitrárias por construção.

Se \(U,V\in \mathcal U\) e \(x\in U\cap V\), escolha \(B_1,B_2\in \mathcal B\) com

Pela hipótese existe \(B_3\in \mathcal B\) com \(x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\subseteq U\cap V\). Logo

e portanto \(U\cap V\in \mathcal U\). Assim, \(\mathcal U\) é uma topologia.

Ela contém \(\mathcal B\), e qualquer topologia que contenha \(\mathcal B\) contém todas as suas uniões. Portanto \(\mathcal U=\mathcal T\langle \mathcal B\rangle \), e \(\mathcal B\) é uma base da topologia que gera. A formulação equivalente segue porque uma interseção é união de elementos de \(\mathcal B\) exatamente quando todo ponto da interseção admite um refinamento básico contido nela.

Se \(\mathcal T\subseteq \mathcal T'\), então todo elemento de \(\mathcal B\subseteq \mathcal T\) pertence automaticamente a \(\mathcal T'\).

Reciprocamente, suponha \(\mathcal B\subseteq \mathcal T'\). Seja \(U\in \mathcal T\). Como \(\mathcal B\) é base de \(\mathcal T\), existe uma subfamília \(\mathcal B_U\subseteq \mathcal B\) tal que

Cada \(B\in \mathcal B_U\) é aberto em \(\mathcal T'\) por hipótese; portanto a união \(U\) também é aberta em \(\mathcal T'\). Logo \(\mathcal T\subseteq \mathcal T'\).

Denote por \(\mathcal B=\mathcal B\langle \mathcal C\rangle \) a família das interseções finitas de elementos de \(\mathcal C\). Como toda topologia que contém \(\mathcal C\) é fechada por interseções finitas, temos

Considere agora

O vazio pertence a \(\mathcal U\) como união vazia, e \(X\) pertence a \(\mathcal B\) por corresponder à interseção da família vazia. Logo \(X\in \mathcal U\). A família \(\mathcal U\) é fechada por uniões arbitrárias por construção.

Para interseções, escreva

com \(\mathcal A,\mathcal D\subseteq \mathcal B\). Então

Como \(A\) e \(B\) são interseções finitas de elementos de \(\mathcal C\), também \(A\cap B\) é uma interseção finita de elementos de \(\mathcal C\); portanto \(A\cap B\in \mathcal B\). Segue que \(U\cap V\in \mathcal U\).

Assim, \(\mathcal U\) é uma topologia. Ela contém \(\mathcal C\), pois cada \(C\in \mathcal C\) é uma interseção finita com um único fator. Pela minimalidade,

A inclusão oposta já foi observada, porque todos os elementos de \(\mathcal B\) e suas uniões pertencem à topologia gerada. Portanto \(\mathcal U=\mathcal T\langle \mathcal C\rangle \), e \(\mathcal B\) é uma base dessa topologia.

1. Se \(A\in \mathcal{V}_{x}, \text{ então }x\in {\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\subset A.\)

2. Se \(A, B\in \mathcal{V}_{x}, \) então \(x\in {\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\cap {\kern 0ptB}^{\mathrm{o}}={\kern 0pt(A\cap B)}^{\mathrm{o}}\). Logo \(A\cap B\in \mathcal{V}_{x}.\)

3. Dado \(A\in \mathcal{V}_{x}\), seja \(C={\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\). Então \(x\in C\subset A\). Se \(y\in C\), o próprio \(C\) é uma vizinhança aberta de \(y\); portanto \(C\) é vizinhança de todos os seus pontos.

4. Se \(A\in \mathcal{V}_{x}\text{ e }A\subset B\subset X, \text{ então }x\in {\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\subset {\kern 0ptB}^{\mathrm{o}}\). Logo \(B\in \mathcal{V}_{x}\).

Um conjunto aberto é vizinhança de todos os seus pontos. Reciprocamente, suponha que \(A \subset X\) seja vizinhança de todos os seus pontos. Vamos mostrar que \(A\) é aberto.

Por hipótese, para todo \(a \in A\) existe um aberto \(U_a\) tal que \(a \in U_a \subset A\). Logo,

E como \(A\) é uma união de abertos \(U_a\), temos que \(A\) é aberto.

Primeiro demonstraremos que \(\mathcal{T}\) é uma topologia em \(X.\)

É imediato que \(\varnothing \in \mathcal{T}\). Para demonstrar que \( X\in \mathcal{T}\), seja \(x\in X\), e seja \(U\in \mathcal{V}_{x}\). Como \(U\subset X\), segue da Proposição 2.63 item d que \(X\in \mathcal{V}_{x}\). Logo \(X\in \mathcal{T}.\)

Sejam \( U_{i}\in \mathcal{T}\) para todo \(i\in I\), e seja \(x\displaystyle \in \bigcup _{i\in I}U_{i}.\) Então \(x\in U_{i}\) para algum \(i\in I\). Como \( U_{i}\in \mathcal{T}\), temos que \(U_{i}\in \mathcal{V}_{x}\). Como \(U_{i}\displaystyle \subset \bigcup _{i\in I}U_{i}\), pela Proposição 2.63 item d temos que \(\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \mathcal{V}_{x}.\) E assim \(\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \mathcal{T}.\)

Sejam \(U, V\in \mathcal{T}\), e seja \(x\in U\cap V. \) Então \(U, V\in \mathcal{V}_{x}\), e segue da Proposição 2.63 item b que \(U\cap V\in \mathcal{V}_{x}\). Logo \(U\cap V\in \mathcal{T}.\)

A seguir demonstraremos que toda vizinhança de \(x\) pertence a \(\mathcal{V}_{x}\). Seja \(U\) uma vizinhança de \(x. \) Então \(x\in {\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\). Como \( {\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\in \mathcal{T}\), segue que \({\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\in \mathcal{V}_{x}\). Como \({\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\subset U\), pela Proposição 2.63 item d podemos concluir que \(U\in \mathcal{V}_{x}.\)

Finalmente demonstraremos que todo \(U\in \mathcal{V}_{x}\) é uma vizinhança de \(x\). Seja \(U\in \mathcal{V}_{x}\), e seja \(V=\{ y\in U:U\in \mathcal{V}_{y}\} \). Segue da Proposição 2.63 item a que \(x\in U\), e como \(U\in \mathcal{V}_{x},\) temos que \(x\in V.\)

A seguir veremos que \( V\in \mathcal{T}\). Dado \(y\in V\), temos que \(U\in \mathcal{V}_{y}\). Pela Proposição 2.63 item c temos que existe \(W\in \mathcal{V}_{y}, W\subset U\), tal que \(U\in \mathcal{V}_{z}\) para todo \(z\in W\). Segue então da Proposição 2.63 item a que \(W\subset V\). Segue do item d dessa proposição que \(V\in \mathcal{V}_{y}\). Logo \(V\in \mathcal{T}.\)

Como \( x\in V\) e \(V\in \mathcal{T}\), podemos concluir que \(x\in {\kern 0ptU}^{\mathrm{o}}\). Logo \(U\) é uma vizinhança de \(x.\)

O primeiro item segue porque todo elemento de \(\mathcal{B}_x\) é uma vizinhança de \(x\). Para o segundo, se \(U,V\in \mathcal{B}_x\), então \(U\cap V\) é uma vizinhança de \(x\) pela Proposição 2.60; como \(\mathcal{B}_x\) é base local, existe \(W\in \mathcal{B}_x\) com \(W\subseteq U\cap V\).

Para o terceiro, tome \(U\in \mathcal{B}_x\). Pela Proposição 2.60, existe uma vizinhança \(O\subseteq U\) de \(x\) que é vizinhança de todos os seus pontos. Escolha \(V\in \mathcal{B}_x\) com \(V\subseteq O\). Para cada \(y\in V\), como \(U\) é uma vizinhança de \(y\), a base \(\mathcal{B}_y\) contém algum \(W\subseteq U\).

Finalmente, se \(U\) é aberto e \(x\in U\), então \(U\) é uma vizinhança de \(x\) e contém algum elemento de \(\mathcal{B}_x\). Reciprocamente, se para cada \(x\in U\) existe \(V_x\in \mathcal{B}_x\) com \(V_x\subseteq U\), então \(U\) é vizinhança de cada um de seus pontos e, pela Proposição 2.61, é aberto.

Para todo \(x\in X\) seja

É claro que as famílias \(\mathcal{V}_{x}\) verificam as propriedades a, b, c e d da Proposição 2.63, e que

Pela Proposição 2.63 \(\mathcal{T}\) é uma topologia em \(X\) e \(\mathcal{V}_{x}\) é o sistema de vizinhanças de \(x\) em \((X,\mathcal{T})\) para todo \(x\in X\). Segue que \(\mathcal{B}_{x}\) é uma base de vizinhanças de \(x\) em \((X,\mathcal{T})\) para todo \(x\in X.\)

1. É exatamente o quarto item da Proposição 2.65.

2. O conjunto \(A\) é fechado se, e somente se, \(X\setminus A\) é aberto. Aplicando o item anterior a \(X\setminus A\), obtemos a equivalência desejada.

3. Se \(x\notin \overline A\), então, aplicando b ao fechado \(\overline A\), existe \(V\in \mathcal{B}_x\) tal que \(V\cap \overline A=\varnothing \); em particular, \(V\cap A=\varnothing \).

   Reciprocamente, suponha que exista \(V\in \mathcal{B}_x\) tal que \(V\cap A=\varnothing \). Como \(V\) é uma vizinhança de \(x\), temos \(x\in {\kern 0ptV}^{\mathrm{o}}\). Além disso, \(A\subseteq X\setminus V\subseteq X\setminus {\kern 0ptV}^{\mathrm{o}}\). O último conjunto é fechado; logo

   \[ \overline A\subseteq X\setminus {\kern 0ptV}^{\mathrm{o}}, \]

   e portanto \(x\notin \overline A\).

4. Pela Proposição 2.56, \(X\backslash {\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}=\overline{(X\backslash A)}\). Se \(B\) denota o conjunto da direita em d, então usando c segue que

   \( x\not\in {\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}\Leftrightarrow x\in \overline{(X\backslash A)}\Leftrightarrow V\cap (X\backslash A)\neq \varnothing \) para todo \(V\in \mathcal{B}_{x}\)

   \(\Leftrightarrow V\not\subset A\) para todo \(V\in \mathcal{B}_{x}\Leftrightarrow x\not\in B.\)

A demonstração é imediata, demonstraremos a contenção dupla.

1. Vamos ver que todos os pontos \( \overline{A} \setminus A \) estão em \( A '\). Com efeito, dado um \( x \not\in A\) e aderente a \( A \), temos que para todas as vizinhanças \( U_x \) de \( x \)

   \begin{equation*} U_x \cap A \not= \varnothing \end{equation*}

   Como \( x \not\in A \), temos \( (U_x \setminus \{ x \} ) \cap A \not= \varnothing \), cumprindo a definição do ponto de acumulação.

2. Está claro que \( A \subset \overline{A} \), então resta apenas verificar que \( A '\subset \overline{A} \). Se \(x\in A'\), toda vizinhança de \(x\) contém um ponto de \(A\) diferente de \(x\) e, em particular, intersecta \(A\). Pela Proposição 2.67, temos \(x\in \overline A\).

Suponha primeiro que \(A\) seja denso e seja \(U\) um aberto não vazio. Escolha \(x\in U\). Como \(x\in \overline{A}\) e \(U\) é uma vizinhança de \(x\), temos \(U\cap A\neq \varnothing \).

Reciprocamente, suponha que todo aberto não vazio intercepte \(A\). Seja \(x\in X\) e seja \(V\) uma vizinhança de \(x\). Existe um aberto \(U\) tal que \(x\in U\subset V\). Por hipótese, \(U\cap A\neq \varnothing \), e portanto também \(V\cap A\neq \varnothing \). Logo \(x\in \overline{A}\). Como \(x\) é arbitrário, \(\overline{A}=X\).

Usando as identidades de dualidade entre fecho e interior,

Nós sabemos que

Assim, basta que \( \overline{A} \cap (X\setminus {\kern 0ptA}^{\mathrm{o}}) = \overline{A} \setminus {\kern 0ptA}^{\mathrm{o}} \), o que é evidente pela definição de diferença.