Tensores em coordenadas
"A introdução dos números como coordenadas é um ato de violência."
Hermann Weyl.
10.1 Notação indicial para tensores
10.1.1 Começar pelo tipo antes de começar pelos índices
A primeira pergunta de um cálculo tensorial é: quais são as entradas e qual é a saída? O número e a posição dos índices registram essa informação. Fixemos uma base \(e_i\) de \(V\) e sua base dual \(e^i\).
| Objeto | Componentes | Ação ou representação |
|---|---|---|
| Vetor $v$ | $v^i$ | $v=v^ie_i$; recebe uma avaliação de covetor. |
| Covetor $\alpha$ | $\alpha_i$ | $\alpha(v)=\alpha_iv^i$. |
| Operador $A$ | $A^i{}_j$ | $(Av)^i=A^i{}_jv^j$. |
| Forma bilinear $H$ | $H_{ij}$ | $H(u,v)=H_{ij}u^iv^j$. |
| Tensor trilinear $T$ | $T_{ijk}$ | $T(u,v,w)=T_{ijk}u^iv^jw^k$. |
Um vetor pode ser entendido como funcional sobre covetores pela avaliação \(\alpha \mapsto \alpha (v)\), usando a identificação canônica com o bidual em dimensão finita. Isso torna a descrição multilinear compatível com os índices superiores; não significa que um vetor seja um covetor.
Para conferir uma igualdade, verifique que os índices livres coincidem nos dois lados e mantêm sua posição. Depois confira cada índice somado: na convenção geral, deve aparecer exatamente duas vezes, uma acima e uma abaixo. Por fim, se há derivadas ou uma métrica, verifique se a base é fixa, coordenada ou ortonormal. Essas verificações dão significado às regras que serão apresentadas a seguir.
Agora que o objeto tensorial foi definido, a notação por índices serve para executar cálculos. Antes de manipular uma expressão, identifique o tipo do tensor, a faixa dos índices e quais deles são livres. Essa leitura fornece uma verificação rápida da consistência de cada igualdade.
Até agora usamos um formalismo independente de coordenadas para definir e descrever tensores. Entretanto, em muitos cálculos uma base de \(V\) é fixada, e é necessário calcular as componentes dos tensores nessa base. Nesses casos, a notação indicial facilita os cálculos.
Suponha que a base \(\left\{ \mathbf{e}_{1},...,\mathbf{e}_{n}\right\} \) de \(V\) esteja fixada; então a base dual \(\left\{ \mathbf{e}^{k}\right\} \) também está fixada. Todo vetor \(\mathbf{v}\in V\) se decompõe como \(\mathbf{v}=\displaystyle \sum _{k}v^{k}\mathbf{e}_{k}\), e todo covetor como \(\mathbf{f}^{*}=\displaystyle \sum _{k}f_{k}\mathbf{e}^{k}\).
Todo tensor de \(V\otimes V\) se decompõe como
e assim por diante. A ação de um covetor sobre um vetor é
e, se \(A:V\to V\) é um operador linear com componentes \(A^j{}_k\), então
Como é trabalhoso escrever continuamente essas somas, a notação indicial retém apenas as componentes e deixa implícitas as somas determinadas pelos índices repetidos.
10.1.2 Definição da notação indicial
As regras para expressar tensores na notação indicial são as seguintes:
Os vetores da base \(\mathbf{e}_{k}\) e os tensores da base (por exemplo, \(\mathbf{e}_{k}\otimes \mathbf{e}_{l}^{*}\)) nunca são escritos explicitamente. (Supõe-se que a base esteja fixada e seja conhecida.)
Em vez de um vetor \(\mathbf{v}\in V\), escreve-se seu conjunto de componentes \(v^{k}\) com o índice sobrescrito. Os covetores \(\mathbf{f}^{*}\in V^{*}\) são escritos como \(f_{k}\), com índice subscrito. O índice \(k\) percorre os inteiros de \(1\) a \(n\). As componentes de vetores e tensores podem ser vistas como números.
Os tensores são escritos como matrizes multidimensionais de componentes com índices sobrescritos ou subscritos conforme necessário, por exemplo \(\mathsf{A}_{jk}\in V^{*}\otimes V^{*}\) ou \(\mathsf{B}_{k}^{lm}\in V\otimes V\otimes V^{*}\). Assim, por exemplo, o símbolo delta de Kronecker é escrito como \(\delta ^{j}{}_{k}\) quando representa o operador identidade \(\hat{1}_{V}\).
Tensores com índices subscritos, como \(\mathsf{A}_{ij}\), são chamados covariantes, enquanto tensores com índices sobrescritos, como \(A^{k}\), são chamados contravariantes. Tensores com os dois tipos de índices, como \(\mathsf{A}_{lk}^{lmn}\), são chamados de tipo misto.
Índices subscritos, e não apenas tensores subscritos, também são chamados de “covariantes”, e índices sobrescritos, de “contravariantes”.
Para a invariância tensorial, um par de índices mudos deve, em geral, ser complementar quanto ao tipo de variância; isto é, um covariante e o outro contravariante.
A ordem de um tensor de tipo \((r,s)\) é \(r+s\). Em uma expressão indicial, porém, os índices repetidos são somados e apenas os índices livres descrevem o tipo do tensor resultante. Assim, uma expressão com um único índice livre representa um tensor de ordem 1, e uma expressão com dois índices livres representa um tensor de ordem 2.
A escolha dos índices deve ser consistente; cada índice corresponde a uma cópia particular de \(V\) ou \(V^{*}\). Assim, é errado escrever \(v_{j}=u_{k}\) ou \(v_{i}+u^{i}=0\). As equações corretas são \(v_{j}=u_{j}\) e \(v^{i}+u^{i}=0\). Isso impede expressões sem sentido como \(\mathbf{v}^{*}+\mathbf{u}\) (não se podem somar vetores de espaços diferentes).
Somatórios sobre índices, como \(\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{k}\), não são escritos explicitamente; o símbolo \(\displaystyle \sum \) é omitido e usa-se a convenção de somatório de Einstein: a soma sobre todos os valores de um índice é sempre implícita quando sua letra aparece uma vez como subscrito e uma vez como sobrescrito. Nesse caso, a letra é chamada de índice mudo (ou silencioso). Assim, escreve-se \(f_kv^k\) em vez de \(\displaystyle \sum _k f_kv^k\) e \(\mathsf{A}^{j}{}_{k}v^{k}\) em vez de \(\displaystyle \sum _k\mathsf{A}^{j}{}_{k}v^{k}\).
A soma é permitida somente sobre um índice subscrito e um sobrescrito, mas nunca sobre dois índices subscritos ou dois sobrescritos, e nunca sobre três ou mais índices coincidentes. Isso corresponde a exigir que só possamos calcular o pareamento canônico de \(V\) e \(V^{*}\), e nenhum outro pareamento. A expressão \(v^{k}v^{k}\) não é permitida porque não existe pareamento canônico entre \(V\) e \(V\); por exemplo, a soma \(\displaystyle \sum _{k=1}^{n}v^{k}v^{k}\) depende da escolha da base. Pela mesma razão (dependência da base), expressões como \(u^{i}v^{i}w^{i}\) ou \(\mathsf{A}_{ii}\mathsf{B}^{ii}\) não são permitidas. Expressões corretas são \(u_{i}v^{i}w_{k}\) e \(\mathsf{A}_{ik}\mathsf{B}^{ik}\).
É preciso prestar muita atenção à escolha e à posição das letras como \(j,k,l\) etc. usadas como índices. Índices que não se repetem são índices livres. Eles determinam o tipo da expressão tensorial resultante. Assim, \(\mathsf{A}_{k}^{j}v^{k}\) é um tensor de tipo \((1,0)\) e ordem 1 (isto é, um vetor), pois a expressão possui um único índice livre, \(j\), e uma soma sobre \(k\) está implícita.
O símbolo do produto tensorial \(\otimes \) nunca é escrito. Por exemplo, se
\[ \mathbf{v}\otimes \mathbf{f}^{*} =\sum _{j,k}v^j f_k\, \mathbf{e}_j\otimes \mathbf{e}^k, \]escreve-se simplesmente \(v^j f_k\) para representar suas componentes. As letras dos índices na expressão \(v^{k}f_{j}\) são escolhidas intencionalmente para serem diferentes (neste caso, \(k\) e \(j\)), de modo que nenhum somatório seja implícito. Em outras palavras, um produto tensorial é escrito simplesmente como um produto de componentes, com as letras dos índices escolhidas adequadamente. Assim, pode-se interpretar \(v^{k}f_{j}\) apenas como o produto de números. Em particular, não faz diferença escrever \(f_{j}v^{k}\) ou \(v^{k}f_{j}\). A posição dos índices (e não a ordem dos vetores) mostra, em cada caso, como o produto tensorial é formado. Observe que não é possível distinguir \(V\otimes V^{*}\) de \(V^{*}\otimes V\) na notação indicial.
O operador \(\hat{A}\equiv \hat{1}_{V}+\lambda \mathbf{v}\otimes \mathbf{u}^{*}\in V\otimes V^{*}\) atua sobre um vetor \(\mathbf{x}\in V\). Calcule o vetor resultante \(\mathbf{y}\equiv \hat{A}\mathbf{x}\).
Na notação sem índices, o cálculo é
Na notação indicial, o cálculo fica:
Nessa fórmula, \(j\) é um índice mudo e \(k\) é um índice livre. Também poderíamos ter escrito \(\lambda x^{j}v^{k}u_{j}\) em vez de \(\lambda v^{k}u_{j}x^{j}\), pois a ordem das componentes não faz diferença na notação indicial.
10.1.3 Vantagens e desvantagens da notação indicial
A notação indicial é conceitualmente mais fácil que a notação sem índices, pois podemos imaginar que manipulamos “apenas” tabelas de números, em vez de “vetores abstratos”. Em outras palavras, trabalhamos com objetos menos abstratos. O preço é obscurecer a interpretação geométrica do que fazemos, e tornar mais difíceis de compreender as demonstrações de teoremas gerais.
A principal vantagem da notação indicial é tornar mais rápidos os cálculos com tensores complicados.
Algumas desvantagens da notação indicial são:
Se a base muda, todas as componentes precisam ser recalculadas. Em livros que usam a notação indicial, dedica-se bastante tempo ao estudo das leis de transformação das componentes sob uma mudança de base. Se bases diferentes forem usadas simultaneamente, pode surgir confusão.
O significado geométrico de muitos cálculos parece escondido atrás de uma massa de índices. Às vezes não fica claro se uma expressão longa com índices pode ser simplificada nem como prosseguir com os cálculos.
Apesar dessas desvantagens, a notação indicial permite realizar cálculos práticos com espaços de tensores de ordem alta, como os necessários na teoria de campos e na relatividade geral. Por esse motivo, e também por razões históricas (Einstein usou a notação indicial ao desenvolver a teoria da relatividade), a maioria dos livros de física usa essa notação. Em alguns casos, os cálculos podem ser feitos com a mesma rapidez nas notações indicial e sem índices. Em outros, especialmente na dedução de propriedades gerais dos tensores, a notação sem índices é superior.
Exercícios
Ver solução
Em dimensão \(2\), \(w^1=A^1{}_1v^1+A^1{}_2v^2\) e \(w^2=A^2{}_1v^1+A^2{}_2v^2\). O índice \(i\) é livre e identifica a componente de saída; \(j\) é mudo e é somado. Escrever a expansão ajuda a conferir que a contração usa um índice inferior do operador e um superior do vetor.
Ver solução
\(A^i{}_iv^i\) é inválida porque \(i\) aparece três vezes. Se a intenção é multiplicar o vetor pelo traço, escreva \(A^j{}_jv^i\). Se a intenção é aplicar o operador, escreva \(A^i{}_jv^j\). A expressão \(v^i+w_j\) soma componentes de objetos de tipos distintos e tem índices livres incompatíveis; não há uma correção canônica sem definir a intenção. Com uma métrica, pode-se somar \(v^i+g^{ij}w_j\). Já \(A^i{}_jv^j\) é válida e representa a componente \(i\) de um vetor. Não se deve corrigir índices alterando silenciosamente a operação.
Ver solução
Uma renomeação válida é \(A^i{}_pB^p{}_qv^q\). Os nomes \(p,q\) substituem \(j,k\) e percorrem os mesmos valores; \(i\) permanece livre. As somas explícitas \(\sum _{j,k}\) e \(\sum _{p,q}\) são idênticas após essa troca de nomes. Não se pode renomear um índice livre apenas de um lado de uma igualdade.
10.2 Tensores novamente: mudança de coordenadas
10.2.1 Uma mudança de base acompanhada do começo ao fim
Se \(B\) tem como colunas a base nova escrita na base antiga, então \(v=Bv'\). Essa igualdade fixa o sentido da mudança e evita memorizar matrizes de transição sem saber de onde partem. Representaremos vetores e covetores por colunas de componentes, mas a avaliação é \(\alpha ^Tv\). Da invariância dos objetos, deduzimos
As duas últimas regras seguem, respectivamente, de comparar as coordenadas de \(Av\) e de escrever \(H(u,v)\) em coordenadas novas. A mesma matriz numérica na base antiga pode representar objetos de tipos diferentes; sua regra de transformação depende do tipo escolhido.
Para um tensor covariante de ordem três,
Cada argumento vetorial introduz uma cópia de \(B\). Para um tensor misto, cada índice superior introduz \(B^{-1}\) e cada inferior introduz \(B\). Essa observação recupera as fórmulas gerais do capítulo: no formalismo ali adotado, \(T=B\) e \(S=B^{-1}\), com a posição dos índices correspondente.
10.2.2 A métrica: medir comprimentos sem supor ortogonalidade
Nesta discussão euclidiana, a métrica é uma forma bilinear positiva definida. Em uma base geral, seus números são \(g_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle \), de modo que
A matriz \(g^{ij}\) é a inversa da matriz \(g_{ij}\). Abaixar índices transforma o vetor em seu covetor métrico; elevar faz a operação inversa. Isso acrescenta estrutura à avaliação canônica, não redefine essa avaliação.
Na base \(E\) do exemplo,
Para as coordenadas \(v'=(-1,3)\) do vetor cartesiano \((2,3)\), as componentes covariantes são \((v_i)=(2,5)\), e \(v_iv^i=-2+15=13\). O comprimento é \(\sqrt{13}\). As duas listas representam papéis distintos da mesma informação métrica.
Se \(f\) é uma função diferenciável, seu diferencial tem componentes \(\alpha _i=\partial _if\), enquanto seu gradiente tem componentes
Em uma base ortonormal, a matriz \(g\) é a identidade e as listas numéricas coincidem. Em uma base coordenada oblíqua ou curvilínea, essa simplificação não é válida. Aqui reaparece a distinção entre diferencial e gradiente estudada no capítulo de diferenciação.
A lei de transformação expressa a invariância do objeto geométrico quando suas coordenadas mudam. Cada índice superior acompanha a transformação das componentes de um vetor; cada índice inferior acompanha a de um covetor. Um quadro de números só representa um tensor se obedecer à lei correspondente.
Vetores, covetores, operadores lineares e formas bilineares são exemplos de tensores. São aplicações multilineares que são representadas numericamente quando se escolhe uma base no espaço.
Essa representação numérica é específica para cada um: vetores e covetores são representados por arrays unidimensionais, enquanto operadores lineares e formas quadráticas são representados por arrays bidimensionais. Além do número de índices, sua posição também importa. As coordenadas de um vetor são numeradas por um índice superior, chamado índice contravariante. As coordenadas de um covetor são numeradas por um índice inferior, chamado índice covariante. Em uma matriz de forma bilinear usamos dois índices inferiores; por isso, formas bilineares são chamadas de tensores duas vezes covariantes. Operadores lineares são tensores de tipo misto; suas componentes são numeradas por um índice superior e um inferior. O número de índices e suas posições determinam as regras de transformação, isto é, a maneira como as componentes de cada tensor particular se comportam sob uma mudança de base. No caso geral, todo tensor é representado por uma matriz multidimensional com um número definido de índices superiores e um número definido de índices inferiores. Denotemos esses números por \(r\) e \(s\). Então temos um tensor de tipo \((r,s)\). Um tensor de tipo \((r,s)\) é chamado de tensor \(r\)-vezes contravariante e \(s\)-vezes covariante. Essa é a terminologia; passemos agora à definição coordenada, que codifica precisamente essas leis de transformação.
Os índices \(i_1,\, \dots ,\, i_r\) e \(j_1,\, \dots ,\, j_s\) são índices livres. No lado direito da igualdade 10.1, eles aparecem distribuídos nas matrizes \(S\) e \(T\), cada um com uma única ocorrência e mantendo sua posição; isto é, os índices superiores \(i_1,\, \dots ,\, i_r\) continuam superiores, e os índices inferiores \(j_1,\, \dots ,\, j_s\) continuam inferiores no lado direito de 10.1.
Os demais índices \(h_1,\, \dots ,\, h_r\) e \(k_1,\, \dots ,\, k_s\) São índices de soma; eles entram no lado direito de 10.1 em pares: uma vez como índice superior e outra como índice inferior, uma vez em uma das matrizes \(S\) ou \(T\) e outra nas componentes do array \(\tilde{ \mathsf{X}}^{h_1\dots \, h_r}_{k_1\dots \, k_s}\).
Ao expressar \(\mathsf{X}^{i_1\dots \, i_r}_{j_1\dots \, j_s}\) em termos de \(\tilde{ \mathsf{X}}^{h_1\dots \, h_r}_{k_1\dots \, k_s}\), cada índice superior é associado à matriz de transição direta \(S\) e produz uma soma em 10.1:
De modo semelhante, cada índice inferior é associado à matriz de transição inversa \(T\) e também produz uma soma na fórmula 10.1:
As fórmulas 10.3 e 10.4 são equivalentes a 10.1 e destacam a estrutura de 10.1. A seguir, veremos exemplos de objetos conhecidos cujas componentes obedecem a essa lei de transformação.
10.2.3 Ordem
Neste texto, a ordem de um tensor de tipo \((r,s)\) é \(r+s\). Assim, por exemplo, \(\mathsf{A}^{i}{}_{jk}\) é um tensor de ordem 3.
É importante distinguir a ordem do tensor do número de índices livres em uma expressão. Índices repetidos em uma contração são índices mudos. A contração de um índice superior com um índice inferior produz um novo tensor de tipo \((r-1,s-1)\) e, portanto, reduz a ordem em duas unidades.
O tensor nulo é o tensor cujas componentes são todas nulas.
Escalares são tensores de ordem 0; vetores e covetores têm ordem 1.
Tensores de ordem \(\ge 1\) podem ser descritos de modo intrínseco, sem índices, ou por suas componentes em uma base. A notação indicial é muito eficiente para cálculos, mas as componentes dependem da base escolhida.
10.2.4 Exemplos de tensores de diferentes ordens
Tensores de ordem 0 são escalares. Exemplos físicos incluem massa, temperatura, energia, volume e densidade. Um escalar é descrito por um único número, independentemente da escolha de base; por isso, é invariante sob transformações de coordenadas.
Tensores de ordem 1 incluem vetores e covetores. Deslocamento, velocidade, aceleração, força e campo elétrico são exemplos usuais de vetores. Em uma base de um espaço \(n\)-dimensional, um vetor é descrito por \(n\) componentes; essas componentes mudam quando a base muda, embora o vetor geométrico permaneça o mesmo.
Tensores de ordem 2 incluem formas bilineares, operadores lineares e, em aplicações, os tensores de tensão, deformação e inércia. Suas componentes possuem dois índices.
Tensores de ordem 3 aparecem, por exemplo, nos módulos piezoelétricos. Em dimensão três, o símbolo de Levi-Civita também possui três índices e, depois de fixadas métrica e orientação, representa as componentes da forma volume.
Exemplos de tensores de ordem 4 incluem os tensores de elasticidade, rigidez e complacência, além do tensor de momento de inércia de quarta ordem.
Tensores de ordens elevadas são relativamente raros na ciência.
Exercícios
Ver solução
A matriz da base é \(B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Para \(A=\operatorname {diag}(2,3)\),
A segunda coluna significa \(A(1,1)=-(1,0)+3(1,1)=(2,3)\). A matriz perde a aparência simétrica nessa base oblíqua, mas continua representando o mesmo operador euclidiano autoadjunto.
Ver solução
Para a forma bilinear de matriz \(G=\operatorname {diag}(2,3)\),
A matriz continua simétrica. Comparada com N158, a mudança de regra reflete a diferença de tipo: uma forma tem dois argumentos vetoriais e dois índices inferiores; um operador tem uma entrada vetorial e uma saída vetorial, com um índice de cada tipo.
Ver solução
Se \(v'=B^{-1}v\) e \(\alpha '=B^T\alpha \) nas representações em colunas, então
Em índices, os fatores de mudança do covetor e do vetor se cancelam pela relação entre uma matriz e sua inversa. A leitura escalar é independente da base, embora cada conjunto de componentes mude.
Exercícios de ampliação
Ver solução
As componentes de \(df\) são \((2r\cos \theta ,-r^2\sin \theta )\). Multiplicando pela métrica inversa, as componentes coordenadas do gradiente são \((2r\cos \theta ,-\sin \theta )\). Na base unitária, são \((2r\cos \theta ,-r\sin \theta )\). A norma ao quadrado é \(4r^2\cos ^2\theta +r^2\sin ^2\theta \). O fator de escala angular explica a diferença entre os dois conjuntos de componentes.
Ver solução
As componentes do covetor transformam-se para \(\alpha '=(2,3)\). Logo \(T'_{ijk}=\alpha '_i\alpha '_j\alpha '_k\): \(T'_{111}=8\), as três componentes com dois índices \(1\) valem \(12\), as três com dois índices \(2\) valem \(18\), e \(T'_{222}=27\). Para \([v]_E=(1,-1)\), a leitura é \(\alpha '(v)=-1\), e \(T(v,v,v)=-1\). Na base canônica, \(v=(0,-1)\), confirmando o mesmo valor.
10.3 Operações tensoriais em coordenadas
As operações em componentes devem reproduzir operações geométricas bem definidas. Somas exigem tipos compatíveis; produtos acrescentam argumentos; contrações usam o pareamento entre vetor e covetor. Conferir os índices livres antes e depois do cálculo ajuda a distinguir essas operações.
Há muitas operações que podem ser realizadas sobre tensores para produzir, em geral, outros tensores. Alguns exemplos são adição/subtração, multiplicação por um escalar (tensor de ordem 0), multiplicação de tensores (cada um de ordem \(\gt 0\)), contração e permutação. Algumas dessas operações, como adição e multiplicação, envolvem mais de um tensor, enquanto outras são realizadas sobre um único tensor, como contração e permutação.
Na álgebra tensorial, não há uma operação canônica de divisão por um tensor. Pode-se dividir um tensor por um escalar não nulo, mas tomar o recíproco componente a componente, por exemplo \(1/A_i\), em geral não produz as componentes de um tensor.
10.3.1 Adição e subtração
Tensores da mesma ordem e do mesmo tipo podem ser somados algebricamente para produzir um tensor da mesma ordem e do mesmo tipo, por exemplo,
As componentes de \(X\) e \(Y\) obedecem à mesma lei de transformação. Somando essas duas leis termo a termo e usando a distributividade, obtemos
que é exatamente a lei de transformação de um tensor de tipo \((r,s)\).
A adição de tensores é associativa e comutativa:
10.3.2 Multiplicação por escalar
Um tensor pode ser multiplicado por qualquer escalar para produzir um tensor do mesmo tipo e da mesma ordem, por exemplo,
onde \(a\) é um escalar.
Se \(X\) satisfaz a lei de transformação de tipo \((r,s)\), então
pois o escalar \(\alpha \) não depende da base. Esta é a lei de transformação de um tensor do mesmo tipo.
Como indicado acima, multiplicar um tensor por um escalar significa multiplicar cada componente do tensor por esse escalar.
A multiplicação por um escalar é comutativa e associativa quando há mais de dois fatores envolvidos.
10.3.3 Produto tensorial
Essa operação também é chamada, em alguns contextos, de produto direto ou diádico. Não deve ser confundida com o produto exterior \(\wedge \), que é uma operação antissimétrica.
O produto tensorial é definido por uma fórmula um pouco mais elaborada. Suponha que tenhamos o tensor \(\mathsf{X}\) de tipo \((r,s)\) e o tensor \(\mathsf{Y}\) de tipo \((p,q)\). Então podemos escrever:
A fórmula 10.11 define um tensor \(Z\) de tipo \((r+p,s+q)\), chamado produto tensorial de \(X\) e \(Y\) e denotado por \(Z=X\otimes Y\).
A multiplicação direta de tensores não é comutativa.
O produto tensorial é distributivo em relação à soma:
A multiplicação de um tensor por um escalar (veja \(\S \) 10.3.2) pode ser considerada um caso particular da multiplicação direta.
O tensor de ordem 2 construído como resultado da multiplicação direta de dois vetores é comumente chamado díade.
Tensores podem ser expressos como somas finitas de produtos tensoriais dos elementos dos espaços envolvidos. Em cada produto simples, a ordem do produto resultante é igual ao número de fatores de ordem um envolvidos (por exemplo, 2 para díades e 3 para tríades).
Nem todo tensor pode ser sintetizado como produto de tensores de ordem inferior.
10.3.4 Contração
A contração é definida escolhendo um índice superior e um índice inferior, igualando seus símbolos e somando sobre o índice repetido. Para um tensor de tipo \((r,s)\) com \(r,s\ge 1\), a contração produz um tensor de tipo \((r-1,s-1)\). Por exemplo,
A contração reduz a ordem em 2, pois implica a eliminação de dois índices livres. Portanto, a contração de um tensor de ordem 2 é um escalar, a de um tensor de ordem 3 é um tensor de ordem 1 (vetor ou covetor, conforme a variância restante), a de um tensor de ordem 4 é um tensor de ordem 2, e assim por diante.
A exigência de um índice superior e um inferior não depende do sistema de coordenadas: ela expressa o pareamento canônico entre \(V^*\) e \(V\). Contrações entre dois índices do mesmo tipo só fazem sentido depois de introduzida uma estrutura adicional, como uma métrica.
Um tensor de tipo \((p,q)\) pode ter \(p\times q\) contrações possíveis, isto é, uma contração para cada par formado por um índice inferior e um superior.
Na álgebra matricial, calcular o traço (somar os elementos da diagonal) também pode ser considerado uma contração da matriz, que sob certas condições pode representar um tensor de ordem 2; assim, produz o traço, que é um escalar.
10.3.5 Produto interno
Ao tomar o produto tensorial de dois tensores de ordem pelo menos um e contrair um índice superior com um inferior, obtém-se uma operação de produto interno. A contração canônica só é possível quando há índices de variância oposta; para contrair dois índices do mesmo tipo, é preciso introduzir uma estrutura adicional, como uma métrica. Uma única contração reduz a ordem total em duas unidades: se os fatores têm ordens \(m\) e \(n\), o resultado tem ordem \(m+n-2\).
A operação de produto interno costuma ser simbolizada por um único ponto entre os dois tensores, por exemplo, \(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}\), para indicar uma contração após a multiplicação externa.
Em geral, o produto interno não é comutativo. Quando um ou ambos os tensores envolvidos têm ordem \(\gt 1\), a ordem dos fatores é relevante.
A operação de produto interno é distributiva em relação à soma algébrica de tensores:
A multiplicação de duas matrizes \(n\times n\) é outro exemplo de produto interno (veja a Eq. 1.14).
Para tensores cujo produto externo produz um tensor de ordem \(\gt 2\), podem ocorrer várias operações de contração entre diferentes conjuntos de índices e, assim, podem ser definidos vários produtos internos, em geral diferentes. Além disso, quando o produto externo produz um tensor de ordem \(\gt 3\), mais de uma contração pode ocorrer simultaneamente.
10.3.6 Permutação
Um tensor pode ser obtido trocando os índices de outro tensor, por exemplo, pela troca dos argumentos de uma forma bilinear. A transposição da matriz de um operador de tipo \((1,1)\) não representa, em uma base arbitrária, outro operador do mesmo tipo sem uma identificação adicional entre vetores e covetores.
Evidentemente, a permutação tensorial aplica-se apenas a tensores de ordem \(\ge 2\).
Permutar índices produz, em geral, outro tensor da mesma ordem; quando o tensor possui simetrias, algumas dessas permutações podem coincidir ou diferir apenas por um sinal.
10.3.7 Contração, avaliação e produto: conferir o resultado
Um tensor geral é uma soma finita de produtos de elementos dos espaços envolvidos. Um único produto é chamado tensor simples ou decomponível. Por exemplo, uma matriz de posto dois não representa \(v\otimes \alpha \), que tem posto no máximo um. As expansões em uma base tensorial garantem representação por soma; não garantem representação por um único produto.
10.3.8 Transposição e adjunto: qual operação é intrínseca?
Uma forma bilinear \(H\) pode ter seus argumentos permutados: a forma \(H^T(u,v)=H(v,u)\) tem matriz transposta em qualquer base. Para um operador \(A:V\to V\), a operação intrínseca associada à transposição é inicialmente o operador dual \(A^*:V^*\to V^*\), definido por \(A^*(\alpha )=\alpha \circ A\). Ele atua em outro espaço.
Com uma métrica, podemos definir o adjunto \(A^\dagger :V\to V\) por \(\langle Au,v\rangle =\langle u,A^\dagger v\rangle \). Em componentes,
De fato, \(u^TA^Tgv=u^TgA^\dagger v\) para todos \(u,v\), logo \(A^Tg=gA^\dagger \). Só em uma base ortonormal euclidiana o adjunto é a transposta comum. Para \(A'=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) e a métrica oblíqua do exemplo anterior, o cálculo dá \((A')^\dagger =A'\), embora \((A')^T\ne A'\).
10.3.9 Uma contração completa que mede um tensor
Para uma forma bilinear \(H\), a métrica positiva definida induz
Na base ortonormal, ela é a soma dos quadrados das componentes. A expressão com as duas métricas inversas permite o mesmo cálculo em qualquer base. Para \(H=\operatorname {diag}(2,3)\), a norma ao quadrado é \(13\); na base oblíqua, usar \(H'=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\) e \(g^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\) dá novamente \(13\). Somar os quadrados das entradas de \(H'\) daria \(37\), um número que não mede o mesmo objeto. A fórmula pressupõe uma métrica positiva definida; com uma métrica indefinida, a contração não é necessariamente uma norma.
10.3.10 Por que a contração independe da base
A invariância pode ser conferida diretamente, sem memorizar uma regra adicional. Para um operador, escreva
Contraindo os índices de saída e entrada,
Os fatores \(B\) e \(B^{-1}\) se cancelam no par contraído; os demais índices, quando existem, conservam seus próprios fatores de mudança. Esse argumento prova a lei de transformação do tensor que resta depois de qualquer contração entre um índice superior e um inferior. Na norma de uma forma bilinear, as duas cópias de \(g^{-1}\) realizam primeiro os pareamentos necessários, explicando por que a expressão \(g^{ik}g^{jl}H_{ij}H_{kl}\) é um escalar em qualquer base.
Exercícios
Ver solução
\(Av=(-1,-1)\) é um vetor de tipo \((1,0)\). O produto tensorial misto é
um operador de tipo \((1,1)\). Por fim, \(\alpha (v)=2-1=1\) é um escalar de tipo \((0,0)\). Os três cálculos usam os mesmos dados, mas têm diferentes tipos de saída e diferentes padrões de contração.
Ver solução
A matriz de \(v\otimes \alpha \) é \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}\). Seu traço é \(1=\alpha (v)\). Como \(v\) e \(\alpha \) são não nulos, a imagem do operador é a reta gerada por \(v\), logo seu posto é \(1\). O traço não determina o posto: um operador desse tipo pode ter traço zero e posto um.
Ver solução
Uma contração possível é \(S^i{}_k=T^{ij}{}_{kj}\), somando \(j\). Uma contração completa é \(s=T^{ij}{}_{ij}\), somando \(i,j\). A contração de um par reduz a ordem em duas unidades. Outra escolha, como \(T^{ij}{}_{ji}\), pode dar um escalar diferente se não houver simetrias adicionais; deve-se indicar quais posições foram pareadas.
Ver solução
Para uma métrica positiva definida, a norma induzida é
Todos os índices são somados uma vez em posição inferior e uma superior. Em uma base ortonormal, a fórmula reduz a \(\sum _{i,j}T_{ij}^2\). Se a métrica é indefinida, a mesma contração define uma forma quadrática, mas não necessariamente uma norma positiva; essa hipótese não pode ser omitida.
Exercícios de ampliação
Ver solução
A fórmula dá \(A^\dagger =g^{-1}A^Tg=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), diferente de \(A^T=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Para todos \(u,v\), \(\langle Au,v\rangle =u^TA^Tgv=u^TgA^\dagger v=\langle u,A^\dagger v\rangle \). A igualdade matricial \(A^Tg=gA^\dagger \) confere simultaneamente todas as avaliações.
Ver solução
A métrica inversa é \(\operatorname {diag}(1,1/4)\). Como apenas \(H_{12}\) e \(H_{21}\) são não nulos, a contração \(g^{ik}g^{jl}H_{ij}H_{kl}\) é \(1/4+1/4=1/2\). A soma direta dos quadrados das entradas é \(2\) e não é a norma tensorial nessa base. A norma propriamente dita é \(1/\sqrt2\).
10.4 Delta de Kronecker e símbolo de Levi-Civita
O delta de Kronecker realiza o pareamento da identidade, e o símbolo alternante organiza permutações e determinantes. Em uma base geral, a forma volume incorpora o fator da métrica; os valores \(0,\pm 1\) do símbolo não devem ser tratados automaticamente como componentes invariantes de um tensor.
Esses dois objetos aparecem continuamente no cálculo tensorial, mas é importante distingui-los. As componentes \(\delta ^i{}_j\) do delta de Kronecker representam o operador identidade e, portanto, definem um tensor intrínseco. Já o símbolo de Levi-Civita \(\epsilon _{i_1\ldots i_n}\) é, antes de tudo, um símbolo de permutação; suas componentes representam a forma volume depois de fixadas uma orientação e uma estrutura métrica.
10.4.1 Kronecker \(\delta \)
O delta de Kronecker é definido por
Ele representa a identidade \(I:V\to V\), pois
Assim, \(\delta ^i{}_j\) tem as mesmas componentes numéricas em qualquer base. Em uma base euclidiana ortonormal, subir ou descer índices com a métrica identidade permite escrever também
mas essa identificação não vale em uma base geral.
10.4.2 Permutação \(\epsilon \)
O símbolo de Levi-Civita em dimensão \(n\) é totalmente antissimétrico: trocar dois índices muda seu sinal, e qualquer componente com índices repetidos é nula. Em uma base ortonormal positivamente orientada, ele fornece as componentes da forma volume. Sob uma mudança ortogonal que inverte a orientação, essas componentes mudam de sinal; por isso, na linguagem clássica do cálculo tensorial, \(\epsilon \) é frequentemente descrito como um pseudotensor.
Daqui até o final desta seção, quando índices de \(\delta \) ou \(\epsilon \) forem levantados ou abaixados sem exibir a métrica, estaremos trabalhando em uma base cartesiana ortonormal.
Definição de \(\epsilon \) de ordem 2 (\(\epsilon _{ij}\)):
Definição de \(\epsilon \) de ordem 3 (\(\epsilon _{ijk}\)):
A definição de \(\epsilon \) de ordem \(n\) (\(\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}\)) é semelhante à definição de \(\epsilon \) de ordem 3, considerando a repetição de índices e as permutações pares ou ímpares de seus índices \(\left(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{n}\right)\) correspondentes a \(\left(1,2,\cdots ,n\right)\), isto é,
Em uma base cartesiana ortonormal, a métrica euclidiana é a identidade; por isso, numericamente, as componentes de \(\epsilon \) com índices levantados ou abaixados coincidem. Essa igualdade de componentes não deve ser confundida com uma lei tensorial válida em coordenadas gerais.
10.4.3 Identidades úteis envolvendo \(\delta \) e/ou \(\epsilon \)
Nesta subseção adotaremos, excepcionalmente, a convenção euclidiana tradicional: em uma base cartesiana ortonormal, índices repetidos podem ser somados mesmo quando aparecem ambos em posição inferior. Isso equivale a levantar um deles com a métrica \(\delta ^{ij}\) e evita sobrecarregar as identidades clássicas com deltas adicionais.
Identidades envolvendo \(\delta \)
Quando um índice do delta de Kronecker participa de uma operação de contração pela repetição de um índice em outro tensor no mesmo termo, o efeito é substituir o índice compartilhado no outro tensor pelo outro índice do delta de Kronecker, isto é,
Nesses casos, o delta de Kronecker é descrito como operador de substituição ou de troca de índices. Assim,
Analogamente,
onde \(n\) é a dimensão do espaço.
Como as coordenadas são independentes umas das outras:
Consequentemente, em um espaço de dimensão \(n\), temos
Para sistemas cartesianos ortonormais:
Para um conjunto de vetores de base ortonormais em sistemas cartesianos ortonormais:
O produto interno duplo de dois díades formados por vetores de base ortonormais de um sistema cartesiano ortonormal é dado por:
Identidades envolvendo \(\epsilon \)
Para \(\epsilon \) de ordem 3:
Essas equações demonstram que \(\epsilon \) de ordem 3 é totalmente antissimétrico em todos os seus índices, pois a troca de quaisquer dois índices inverte o sinal. Isso também reflete o fato de que o sistema tensorial acima possui apenas uma componente independente.
Para \(\epsilon \) de ordem 2, com \(i,j\in \{ 1,2\} \):
Para \(\epsilon \) de ordem 3, com \(i,j,k\in \{ 1,2,3\} \):
Para \(\epsilon \) de ordem 4:
Para \(\epsilon \) de ordem \(n\):
onde \(S(n-1)\) é a função super fatorial de \((n-1)\), definida por
Uma fórmula mais simples para \(\epsilon \) de ordem \(n\) pode ser obtida da anterior ignorando o módulo dos fatores de multiplicação e considerando apenas seus sinais, isto é,
onde
Para \(\epsilon \) de ordem \(n\):
pois essa é a soma dos quadrados de \(\epsilon _{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}\) em todas as permutações de \(n\) índices distintos, que é igual a \(n!\). O valor de \(\epsilon \) em cada uma dessas permutações é \(+1\) ou \(-1\); portanto, em ambos os casos seu quadrado é 1.
Para um tensor simétrico \(\mathsf{A}_{jk}\):
pois a troca dos dois índices de \(\mathsf{A}_{jk}\) não altera seu valor, devido à simetria, enquanto uma troca semelhante desses índices em \(\epsilon _{ijk}\) inverte o sinal; assim, cada termo da soma tem seu oposto e a soma total se anula.
pois, devido à comutatividade da multiplicação, uma troca dos índices nos \(A\)’s não altera o valor, mas uma troca correspondente nos índices de \(\epsilon _{ijk}\) provoca uma mudança de sinal; assim, cada termo da soma tem seu oposto e a soma total é zero.
Para um conjunto de vetores de base ortonormais em um espaço tridimensional com um sistema cartesiano ortonormal orientado à direita:
Identidades envolvendo \(\delta \) e \(\epsilon \)
Para \(\epsilon \) de ordem 2:
Para \(\epsilon \) de ordem 3:
Expandindo o determinante:
A última identidade é muito útil para manipular e simplificar expressões tensoriais e demonstrar identidades vetoriais e tensoriais.
pois a ordem e a dimensão de \(\epsilon \) são iguais, ambas valendo 3 neste caso.
Para \(\epsilon \) de ordem \(n\):
De acordo com as Eqs. 10.19 e 10.21:
10.4.4 \(\ast \) Delta de Kronecker generalizado
Para \(1\le p\le n\), o delta de Kronecker generalizado é definido por
Ele é totalmente antissimétrico nos índices superiores e também nos inferiores. Em particular, vale \(+1\) ou \(-1\) quando as duas listas de índices contêm os mesmos \(p\) índices distintos, com o sinal da permutação que relaciona uma lista à outra; vale zero nos demais casos. Essa caracterização é equivalente à definição pelo determinante.
Consequentemente, a relação entre o \(\epsilon \) de ordem \(n\) e o delta de Kronecker generalizado em um espaço \(n\)-dimensional é dada por:
Assim, o tensor de permutação \(\epsilon \) pode ser considerado um caso particular do delta de Kronecker generalizado. Consequentemente, o símbolo de permutação pode ser escrito como um determinante \(n\times n\) formado por deltas de Kronecker usuais.
Para \(p=2\),
Em dimensão três, a contração do delta generalizado de ordem três satisfaz
com soma sobre \(k\). Em dimensão \(n\) arbitrária, o fator correto é \(\delta _{lmk}^{ijk}=(n-2)\delta _{lm}^{ij}\). Assim, a identidade 10.48 é precisamente a forma tridimensional dessa relação. Outras identidades envolvendo \(\delta \) e \(\epsilon \) também podem ser formuladas em termos do delta de Kronecker generalizado.
Comparando a Eq. 10.51 com a Eq. 10.53, concluímos que
10.4.5 Do símbolo alternante à forma volume
Fixe uma orientação e uma métrica positiva definida. Em uma base positivamente orientada, a forma volume tem componentes
Para entender o fator, escreva a base como colunas de \(B\) em uma base ortonormal positiva. A avaliação da forma volume nos vetores da base é \(\det B\), e \(g=B^TB\) implica \(\det g=(\det B)^2\). O sinal da orientação é fixado separadamente; uma base de orientação oposta exige o sinal oposto nas componentes da mesma forma volume.
Exercícios
Ver solução
\(\delta ^i{}_i=3\). Há seis permutações de \(123\) com símbolo de Levi–Civita não nulo, e cada quadrado vale um, logo \(\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}=6\). Finalmente,
Para \(i=l\), há dois pares não nulos; para \(i\ne l\), não há par \((j,k)\) que contribua aos dois fatores. Aqui a soma de índices inferiores é a abreviação euclidiana em base cartesiana ortonormal especificada no enunciado.
Ver solução
Escreva \((a\times b)_i=\epsilon _{ijk}a_jb_k\). Então
O primeiro termo pareia componentes do mesmo vetor; o segundo pareia uma componente de \(a\) com uma de \(b\). As fórmulas são usadas na base cartesiana ortonormal do problema.
Ver solução
A forma volume euclidiana padrão avaliada nas colunas de \(B\) dá \(\det B\). Como \(g=B^TB\), temos \(\det g=(\det B)^2\). Na orientação positiva, \(\det B\gt 0\), portanto \(\det B=\sqrt{\det g}\). Logo as componentes da forma volume em uma base oblíqua são \(\sqrt{\det g}\, \epsilon _{ijk}\) em dimensão três. O símbolo numérico \(\epsilon _{ijk}\), isoladamente, não incorpora o volume da nova célula de base.
Exercícios de ampliação
Ver solução
\(g=B^TB=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}\) tem determinante \(36\). A forma área padrão avaliada nas duas colunas dá \(\det B=6=\sqrt{\det g}\). Se a ordem das colunas for invertida, a forma orientada muda de sinal; a área geométrica continua sendo \(6\). No cálculo de uma medida positiva, usa-se o módulo do determinante.
10.5 Tipos de campos tensoriais
Simetria de argumentos e invariância sob rotações são propriedades distintas. Um tensor pode ser simétrico e anisotrópico. Em modelos materiais, essa distinção separa a reciprocidade das componentes da existência de direções preferenciais.
Nas subseções seguintes, introduzimos vários tipos e categorias de tensores e destacamos suas principais características e diferenças. Esses tipos e categorias não são mutuamente exclusivos e, portanto, em geral se sobrepõem; além disso, podem não ser exaustivos em suas classes, pois alguns tensores podem não pertencer a nenhum dos tipos de um conjunto complementar, como ser simétrico ou antissimétrico.
10.5.1 Tensores isotrópicos e anisotrópicos
Chamaremos de isotrópico um tensor cujas componentes permanecem inalteradas sob toda mudança ortogonal de base. Com essa convenção, um escalar é isotrópico, assim como o vetor nulo e o tensor identidade \(\delta ^i{}_j\). O símbolo de Levi-Civita exige uma ressalva: ele é preservado pelas rotações próprias, mas muda de sinal quando a orientação é invertida.
Em aplicações, a palavra “isotrópico” também é usada para descrever leis constitutivas ou campos que não distinguem direções espaciais. O significado preciso deve sempre ser entendido a partir da ação do grupo de transformações considerado.
Fixe uma base ortonormal. Para \(i\ne j\), considere a reflexão que troca o sinal do \(i\)-ésimo vetor da base e mantém os demais. A invariância de \(T\) faz a componente \(T_{ij}\) permanecer a mesma, enquanto a lei de transformação troca seu sinal. Logo \(T_{ij}=0\), e \(T\) é diagonal.
Agora considere uma transformação ortogonal que permuta os vetores \(\mathbf{e}_i\) e \(\mathbf{e}_j\). A invariância implica \(T_{ii}=T_{jj}\). Todas as entradas diagonais são, portanto, iguais a um mesmo escalar \(\lambda \), e \(T_{ij}=\lambda \delta _{ij}\).
10.5.2 Tensores simétricos e antissimétricos
Esses tipos de tensor aplicam-se somente a ordens altas (ordem \(\ge 2\)). Além disso, eles não são exaustivos, mesmo para tensores de ordem \(\ge 2\), pois existem tensores de ordem alta que não são nem simétricos nem antissimétricos.
Um tensor de ordem 2 \(\mathsf{A}_{ij}\) é simétrico se, e somente se, para todo \(i\) e \(j\),
e antissimétrico, se, e somente se,
Condições semelhantes aplicam-se aos tensores contravariantes (veja também o que segue).
Um tensor de ordem \(n\) \(\mathsf{A}_{i_{1}\ldots i_{n}}\) é simétrico em seus dois índices \(i_{j}\) e \(i_{l}\) se, e somente se,
e antissimétrico, em seus dois índices \(i_{j}\) e \(i_{l}\) se, e somente se,
Qualquer tensor de ordem 2 \(\mathsf{A}_{ij}\) pode ser construído a partir de (ou decomposto em) uma parte simétrica \(\mathsf{A}_{(ij)}\) (marcada por parênteses envolvendo os índices) e uma parte antissimétrica \(\mathsf{A}_{[ij]}\) (marcada por colchetes), onde
A decomposição em duas partes é completa para ordem dois ou para uma simetrização em um par fixo de índices: a troca nesse par tem quadrado igual à identidade. Para ordem três ou maior, a parte totalmente simétrica e a parte totalmente alternada não somam, em geral, o tensor original; pode restar uma parte de simetria mista. O exercício A018 mostra explicitamente essa diferença.
Um tensor de ordem 3 \(\mathsf{A}_{ijk}\) pode ser simetrizado por
e antissimetrizado por
Um tensor de ordem \(n\) \(\mathsf{A}_{i_{1}\ldots i_{n}}\) pode ser simetrizado por
e antissimetrizado por
Para um tensor simétrico \(\mathsf{A}_{ij}\) e um tensor antissimétrico \(\mathsf{B}^{ij}\) (ou vice-versa), temos
Os índices cuja troca define as relações de simetria e antissimetria devem ser do mesmo tipo de variância, isto é, ambos superiores ou ambos inferiores.
As características de simetria e antissimetria de um tensor são invariantes sob transformações de coordenadas.
Um tensor de ordem alta (\(\gt 2\)) pode ser simetrizado ou antissimetrizado com respeito a apenas alguns de seus índices, em vez de todos, por exemplo:
Um tensor é totalmente simétrico se, e somente se,
e totalmente antissimétrico se, e somente se,
Para um tensor totalmente antissimétrico (isto é, antissimétrico em todos os seus índices), componentes não nulas só podem ocorrer quando todos os índices são diferentes.
10.5.3 Campos tensoriais: a base também pode variar
Até aqui, uma mudança de base em um ponto foi suficiente para explicar as operações algébricas. Em um campo tensorial, o objeto varia com a posição. Em coordenadas curvilíneas, a própria base varia. Para derivar um campo, é preciso incluir as duas variações.
Considere coordenadas \(u^i\) regulares de classe \(C^2\) no espaço euclidiano, com vetores coordenados \(E_i=\partial r/\partial u^i\). Esses vetores não são, em geral, unitários. Para \(X=X^iE_i\), a regra do produto fornece
Como \(E_i\) é uma base, existem coeficientes definidos por
Eles registram a variação da base. No espaço euclidiano com base coordenada, são os coeficientes da conexão euclidiana, ou símbolos de Christoffel. Não são componentes de um tensor sob mudanças gerais de coordenadas. As componentes da derivada covariante são
A soma corrige a variação da base e produz o objeto geométrico adequado.
Para um covetor, o sinal é oposto:
De fato, a regra do produto para o escalar \(\alpha _iX^i\) exige
Comparando os coeficientes de \(X^i\), que pode ser escolhido arbitrariamente, resulta a regra do sinal negativo. Os termos de conexão se cancelam no escalar. Para um tensor misto, cada índice superior recebe um termo positivo e cada inferior, um termo negativo. Por exemplo,
Essa subseção é um aprofundamento da relação entre os operadores de coordenadas curvilíneas e o formalismo tensorial; não pressupõe uma teoria geral de curvatura.
10.5.4 Recuperar divergência e gradiente em polares
A métrica coordenada polar é \(g=\operatorname {diag}(1,r^2)\). Para uma função \(f\), o gradiente tem componentes coordenadas \((f_r,f_\theta /r^2)\) e componentes físicas \((f_r,f_\theta /r)\). Isso recupera a fórmula do capítulo de coordenadas curvilíneas. Para um campo com componentes coordenadas \(X^r,X^\theta \),
Escrevendo as componentes físicas como \(A_r=X^r\) e \(A_\theta =rX^\theta \), resulta
O termo \(X^r/r\) não é um artifício algébrico: ele registra a expansão das células coordenadas com o raio. Essa ponte ajuda a interpretar as fórmulas dos dois capítulos como descrições do mesmo cálculo.
Exercícios
Ver solução
A matriz é simétrica porque coincide com sua transposta. É anisotrópica porque possui respostas principais distintas, \(1,2,3\), e não é um múltiplo da identidade. Simetria significa reciprocidade entre índices; isotropia significa ausência de direção privilegiada. Uma propriedade não implica a outra.
Ver solução
Interprete isotropia como invariância sob todas as rotações: \(Q^TAQ=A\) para toda matriz ortogonal de orientação positiva. Como \(A\) é real simétrica, existe uma base ortonormal de autovetores. Rotações que trocam direções dos eixos impõem igualdade dos autovalores, de modo que \(A=\lambda I\). Reciprocamente, um múltiplo da identidade é preservado por toda mudança ortogonal. A hipótese envolve todas as rotações, não apenas uma rotação particular.
Ver solução
Defina \(S_{ijk}=(T_{ijk}+T_{jik})/2\) e \(A_{ijk}=(T_{ijk}-T_{jik})/2\). Antissimetrizar \(S\) no mesmo par dá zero. Se \(P\) troca \(i,j\), então \(P^2=I\), e os operadores são \(S=(I+P)/2\), \(A=(I-P)/2\). Assim \(S^2=S\), \(A^2=A\), \(SA=AS=0\) e \(S+A=I\). O índice \(k\) não participa da simetrização e permanece livre.
Exercícios de ampliação
Ver solução
As componentes coordenadas são \(X^r=r\) e \(X^\theta =0\). Temos \(\nabla _rX^r=1\), \(\nabla _\theta X^\theta =(1/r)X^r=1\) e as duas componentes cruzadas são zero. Logo a divergência é \(2\). Em cartesianas, \(X=(x,y)\) tem matriz derivada identidade e a mesma divergência. O termo angular não pode ser omitido só porque a componente angular do campo é zero.
Ver solução
\(dx=\cos \theta \, dr-r\sin \theta \, d\theta \), logo \(\alpha _r=\cos \theta \) e \(\alpha _\theta =-r\sin \theta \). A regra covariante dá \(\nabla _r\alpha _r=0\); \(\nabla _r\alpha _\theta =-\sin \theta -(1/r)(-r\sin \theta )=0\); \(\nabla _\theta \alpha _r=-\sin \theta -(1/r)(-r\sin \theta )=0\); e \(\nabla _\theta \alpha _\theta =-r\cos \theta -(-r)\cos \theta =0\). As variações das componentes cancelam com as da base dual.
Ver solução
Se os coeficientes de conexão fossem componentes de um tensor, a transformação linear homogênea da lista zero cartesiana produziria a lista zero em qualquer carta. Mas em polares há coeficientes \(-r\) e \(1/r\), não nulos. Eles incluem a variação da base e transformam-se com um termo adicional. Na derivada covariante, esse termo compensa a transformação não tensorial das derivadas parciais das componentes, deixando um objeto tensorial.
Ver solução
Na tripla \(123\), \(T_{(123)}=1/6\) e \(T_{[123]}=1/6\), porque apenas uma das seis componentes originais é não nula. Sua soma é \(1/3\), diferente de \(T_{123}=1\). Portanto a decomposição em parte totalmente simétrica mais parte totalmente alternada não é geral para ordem três. Em um único par, os operadores \((I+P)/2\) e \((I-P)/2\) continuam complementares e somam a identidade; o problema está em generalizar essa complementaridade para todas as permutações ao mesmo tempo.