Capítulo 9

Tensores

Começamos pelos covetores e pelas formas bilineares e, a partir deles, definimos tensores como aplicações multilineares. Em seguida, estudamos suas componentes, mudanças de base, simetrias e o produto exterior.

9.1 Funcional linear

Um covetor mede um vetor e devolve um número. Essa interpretação já apareceu no diferencial de uma função: em um ponto fixo, o diferencial recebe um deslocamento e fornece sua variação de primeira ordem. A linearidade dessa medida é a propriedade central.

Definição 9.1

A função $f:\mathbb {R}^n\to \mathbb {R}$ é um funcional linear se satisfaz a

\[ \text{\textbf{condição de linearidade:}\quad } f(a \mathbf{u}+ b \mathbf{v}) = a f(\mathbf{u}) + b f(\mathbf{v})\, , \]

ou, em palavras: “o valor em uma combinação linear é a combinação linear dos valores.”

Um funcional linear também é chamado de função linear, 1-forma ou covetor.

Isso se estende facilmente a combinações lineares com qualquer número de termos; por exemplo,

\[ f(\mathbf{v}) =f\left(\displaystyle \sum _{i=1}^N v^i \mathbf{e}_i\right) = \displaystyle \sum _{i=1}^N v^i f(\mathbf{e}_i) \]

onde os coeficientes $f_i\equiv f(\mathbf{e}_i) $ são as “componentes” de um covetor em relação à base $\{ \mathbf{e}_i\} $, ou, em nossa notação abreviada,

\begin{align*} f(\mathbf{v}) & = f(v^i \mathbf{e}_i) & & \text{(expressão na base)}\\ & = v^i f(\mathbf{e}_i) & & \text{(linearidade)}\\ & = v^i f_i \, .& & \text{(definição das componentes)} \end{align*}

Um covetor $f$ é inteiramente determinado por seus valores $f_i$ nos vetores da base, isto é, por suas componentes em relação a essa base.

Nossa condição de linearidade costuma ser apresentada separadamente como duas condições relativas às operações que definem um espaço vetorial:

regra da soma: o valor da função na soma de vetores é a soma dos valores, $f(\mathbf{u}+\mathbf{v})=f(\mathbf{u})+f(\mathbf{v})$;
regra do múltiplo escalar: o valor da função em um múltiplo escalar de um vetor é o escalar vezes o valor no vetor, $f(c\mathbf{u})=cf(\mathbf{u})$.

Exemplo 9.1

Na notação usual em $\mathbb {R}^3$, com coordenadas cartesianas $(x^1,x^2,x^3)=(x,y,z)$, todo funcional linear tem a forma $f(x,y,z)=ax+by+cz$.

Exemplo 9.2

Se fixarmos um vetor $\mathbf{n}$ no espaço euclidiano usual $\mathbb {R}^n$, temos uma função $\mathbf{n}^*: \mathbb {R}^n\to \mathbb {R}$ definida por

\[ \mathbf{n}^*(\mathbf{v}):=\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}, \]

que é uma função linear.

Exercícios

Exercício 9.1 (code=N133,label=ex:N133,title=Consolidação; básico)

Determine quais funções são funcionais lineares: $x+y$, $x+y+1$, $xy$ e $2x-3y+z$.

Ver solução

$x+y$ e $2x-3y+z$ são funcionais lineares nos seus respectivos espaços. $x+y+1$ não é linear porque seu valor no vetor zero é $1$. $xy$ não é linear: em $(1,0)$ e $(0,1)$ vale zero, mas na soma $(1,1)$ vale $1$. Basta um contraexemplo para refutar linearidade.

Exercício 9.2 (code=N134,label=ex:N134,title=Aplicação; básico)

Um sensor tem resposta linear $\alpha (x,y,z)=3x-y+2z$. Determine suas componentes na base canônica e o conjunto de deslocamentos que não alteram a leitura.

Ver solução

As componentes são $\alpha _i=(3,-1,2)$. Os deslocamentos que não mudam a leitura pertencem ao núcleo $3x-y+2z=0$, um plano pela origem. Uma base desse plano é $\{ (1,3,0),(0,2,1)\} $. O covetor fornece uma leitura escalar, não um deslocamento vetorial.

Exercício 9.3 (code=N135,label=ex:N135,title=Justificação; básico)

Para $f(u)=a\cdot u$, mostre a linearidade e explique qual estrutura foi usada para transformar $a$ em um covetor.

Ver solução

A bilinearidade do produto interno dá $a\cdot (cu+dv)=c(a\cdot u)+d(a\cdot v)$, portanto $f$ é linear. Foi usada a métrica euclidiana para associar o vetor $a$ ao covetor $a^\flat $. Sem uma métrica escolhida, não existe essa identificação canônica entre $V$ e $V^*$, embora o pareamento de um covetor com um vetor já esteja definido.

9.2 Espaços duais

Os covetores formam um espaço vetorial próprio. A base dual registra como extrair cada coordenada de um vetor, sem exigir que a base original seja ortogonal. Identificar vetores e covetores pelo produto interno é uma escolha adicional; o pareamento entre eles existe antes dessa escolha.

Definição 9.2

Definimos o espaço dual de $\mathbb {R}^n$, denotado por $\left(\mathbb {R}^n\right)^*$, como o conjunto de todas as funções lineares reais definidas em $\mathbb {R}^n$;

\[ \left(\mathbb {R}^n\right)^*=\{ f: \, f:\mathbb {R}^n\to \mathbb {R}\text{ é uma função linear }\} \]

O espaço dual $\left(\mathbb {R}^n\right)^*$ é, ele próprio, um espaço vetorial de dimensão $n$, com combinações lineares de covetores definidas da maneira usual para combinações lineares de funções, isto é, em termos dos valores: Para covetores $f,g$, escalares $a,b$ e um vetor $v$, temos

\[ (af+bg)(v)=af(v)+bg(v). \]

Teorema 9.1

Suponha que os vetores de $\mathbb {R}^n$ sejam representados como vetores coluna

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}. \]

Para cada vetor linha

\[ [a]=[a_1\ \dots \ a_n] \]

existe um funcional linear $f$ definido por

\[ f(\mathbf{x}) = [a_1 \dots a_n] \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}. \]

\[ f(\mathbf{x}) = a_1x_1 + \cdots + a_n x_n, \]

e todo funcional linear em $\mathbb {R}^n$ pode ser expresso dessa forma

Observação 9.2

Como consequência do teorema anterior, podemos ver vetores como colunas e covetores como matrizes linha. A ação de covetores sobre vetores é o produto matricial do vetor linha pelo vetor coluna.

\begin{align} \mathbb {R}^n & =\left\{ \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, x_i\in \mathbb {R}\right\} \tag{9.1} \\ \left(\mathbb {R}^n\right)^*& =\left\{ [a_1 \dots a_n], a_i\in \mathbb {R}\right\} \tag{9.2} \end{align}

Exercício 9.4 (Fechamento do espaço dual)

Justificaçãomédio

Mostre que o espaço dual é fechado sob essa operação de combinação linear. Em outras palavras, mostre que, se $f,g$ são funções lineares que satisfazem nossa condição de linearidade, então $a\, f + b\, g$ também satisfaz a condição de linearidade das funções lineares:

\[ (a\, f + b\, g)(c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}) = c_1 (a\, f + b\, g)(\mathbf{u}) + c_2 (a\, f + b\, g)(\mathbf{v})\, . \]

Ver solução

Pela linearidade de $f$ e $g$,

\begin{align*} (af+bg)(c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}) & =a\bigl(c_1f(\mathbf{u})+c_2f(\mathbf{v})\bigr) +b\bigl(c_1g(\mathbf{u})+c_2g(\mathbf{v})\bigr)\\ & =c_1(af+bg)(\mathbf{u})+c_2(af+bg)(\mathbf{v}). \end{align*}

Logo $af+bg$ é linear, e o espaço dual é fechado sob combinações lineares.

9.2.1 A base dual

Vamos construir uma base para $\left(\mathbb {R}^n\right)^*$, chamada base dual $\{ \mathbf{e}^i\} $ ou “a base dual a $\{ \mathbf{e}_i\} $”, definindo $n$ covetores que satisfazem as seguintes “relações de dualidade”:

\[ \mathbf{e}^i(\mathbf{e}_j) =\delta ^i_j\equiv \begin{cases} 1& \text{se $i=j$\, ,}\\ 0& \text{se $i\not=j$\, ,} \end{cases} \]

onde o símbolo $\delta ^i_j$ é chamado de “delta de Kronecker”, nada mais que um símbolo para as componentes da matriz identidade $n\times n$, $I=(\delta ^i_j)$. Em seguida, estendemos esses covetores a qualquer outro vetor por linearidade. Então, pela linearidade,

\begin{align*} \mathbf{e}^i(\mathbf{v}) & = \mathbf{e}^i(v^j \mathbf{e}_j) & & \text{(expansão na base)} \\ & = v^j\mathbf{e}^i(\mathbf{e}_j) & & \text{(linearidade)} \\ & = v^j\delta ^i_j & & \text{(dualidade)} \\ & =v^i & & \text{(definição do delta de Kronecker)} \end{align*}

onde a última igualdade decorre do fato de que, para cada $i$, apenas o termo com $j=i$ na soma em $j$ contribui para a soma. Alternativamente, multiplicar um vetor pela matriz identidade, $\delta ^i_j v^j = v^i$, não altera o vetor. Assim, o cálculo mostra que o $i$-ésimo covetor da base dual, $\mathbf{e}^i$, seleciona a $i$-ésima componente $v^i$ de um vetor $v$.

Teorema 9.3

Os $n$ covetores $\{ \mathbf{e}^i\} $ formam uma base de $\left(\mathbb {R}^n\right)^*$.

Demonstração ▼

Se $f\in V^*$, defina $f_i=f(e_i)$. Para $v=v^je_j$, a linearidade dá

\[ f(v)=v^jf(e_j)=f_jv^j=(f_i e^i)(v). \]

Como a igualdade vale para todo $v$, temos $f=f_i e^i$, portanto a família gera $V^*$. Para a independência, se $a_i e^i=0$, avalie em cada $e_j$:

\[ 0=(a_i e^i)(e_j)=a_i\delta ^i_j=a_j. \]

Todos os coeficientes são nulos. A família é uma base e $\dim V^*=\dim V=n$. O argumento também mostra que as componentes de um covetor são seus valores nos vetores da base original.

Exemplo 9.3 (Uma medida em duas bases)

No plano, use a base $E=((1,1),(1,-1))$. Encontre sua base dual, as coordenadas de $v=(3,1)$ e as componentes do covetor $\alpha (x,y)=2x-y$. Confira $\alpha (v)$.

Solução

Escrevemos $(x,y)=c_1(1,1)+c_2(1,-1)$, de onde $c_1=(x+y)/2$ e $c_2=(x-y)/2$. Logo,

\[ e^1(x,y)=\frac{x+y}{2},\qquad e^2(x,y)=\frac{x-y}{2}. \]

As coordenadas de $v$ são $(2,1)$, e as componentes do covetor são $\alpha (e_1)=1$, $\alpha (e_2)=3$. Portanto,

\[ \alpha (v)=\alpha _i v^i=1\cdot 2+3\cdot 1=5, \]

igual ao cálculo cartesiano $2\cdot 3-1$. Vetor e covetor alteram suas componentes de formas diferentes, mas a leitura permanece a mesma.

Exercícios

Exercício 9.5 (code=N136,label=ex:N136,title=Consolidação; médio)

Encontre a base dual de $E=((1,0),(1,2))$ e avalie cada covetor nos dois vetores da base.

Ver solução

Escrevendo $(x,y)=c_1(1,0)+c_2(1,2)$, obtemos $c_2=y/2$ e $c_1=x-y/2$. Assim $e^1(x,y)=x-y/2$ e $e^2(x,y)=y/2$. Os valores são $e^1(e_1)=1$, $e^1(e_2)=0$, $e^2(e_1)=0$ e $e^2(e_2)=1$, precisamente as relações de dualidade.

Exercício 9.6 (code=N137,label=ex:N137,title=Consolidação; médio)

Determine as componentes de $\alpha (x,y)=x-2y$ em $E=((1,1),(1,-1))$ e confira sua ação em $(2,3)$.

Ver solução

As componentes do covetor na base dual de $E$ são suas avaliações: $\alpha (e_1)=-1$ e $\alpha (e_2)=3$. Para $v=(2,3)$, $[v]_E=(5/2,-1/2)$. Portanto $\alpha (v)=(-1)(5/2)+3(-1/2)=-4$, igual a $2-2\cdot 3$. A invariância da leitura confere a transformação contrária das componentes de vetor e covetor.

Exercício 9.7 (code=N138,label=ex:N138,title=Justificação; médio)

Se $B$ tem como colunas os vetores de uma base, mostre que as linhas de $B^{-1}$ representam sua base dual em coordenadas canônicas.

Ver solução

As coordenadas de $v$ na base de colunas $B$ são $B^{-1}v$. Cada linha de $B^{-1}$ define o funcional que extrai uma dessas coordenadas. Como a linha $i$ de $B^{-1}$ aplicada à coluna $j$ de $B$ dá $\delta ^i_j$, essas linhas representam a base dual. A matriz deve ser invertível, pois suas colunas formam uma base.

9.3 Formas Bilineares

Uma forma bilinear mede dois vetores de maneira linear em cada um separadamente. Sua matriz permite calcular esses valores, mas não a transforma automaticamente em um operador de vetores. A diferença aparecerá tanto na mudança de base quanto no uso de uma métrica.

Uma forma bilinear é uma função linear em cada argumento separadamente:

$B(\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w}) = B(\mathbf{u}, \mathbf{w}) + B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \quad \text{ e } B(\lambda \mathbf{u}, \mathbf{v}) = \lambda B(\mathbf{u}, \mathbf{v})$
$B(\mathbf{u}, \mathbf{v} + \mathbf{w}) = B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + B(\mathbf{u}, \mathbf{w}) \quad \text{ e } B(\mathbf{u}, \lambda \mathbf{v}) = \lambda B(\mathbf{u}, \mathbf{v})$

Seja $B(\mathbf{v},\mathbf{w})$ uma forma bilinear e sejam $\mathbf{e}_1,\, \dots ,\, \mathbf{e}_n$ uma base desse espaço. Os números $B_{ij}$ determinados pela fórmula

\begin{equation} \hskip-22.0ptB_{ij}=B(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) \label{1.7} \tag{9.3}\end{equation}

chamam-se coordenadas ou componentes da forma $B$ na base $\mathbf{e}_1,\, \dots ,\, \mathbf{e}_n$. Os números de 9.3 são escritos na forma de uma matriz

\begin{equation} B=\begin{bmatrix} B_{11} & \hdots & B_{1n} \\ \vspace{1.5ex} \vdots & \ddots & \vdots \\ \vspace{1.5ex} B_{n1} & \hdots & B_{nn} \end{bmatrix}, \label{1.8} \tag{9.4} \end{equation}

que é chamada matriz da forma bilinear $B$ na base $\mathbf{e}_1, \, \dots ,\, \mathbf{e}_n$. Para o elemento $B_{ij}$ da matriz 9.4, o primeiro índice $i$ especifica o número da linha e o segundo índice $j$ especifica o número da coluna.

A matriz de uma forma bilinear simétrica $B$ também é simétrica: $B_{ij}=B_{ji}$. Sejam $v^1,\, \dots ,\, v^n$ e $w^1,\, \dots ,\, w^n$ as coordenadas de dois vetores $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ na base $ \mathbf{e}_1,\, \dots ,\, \mathbf{e}_n$. Então os valores $B(\mathbf{v},\mathbf{w})$ são calculados pelas seguintes fórmulas:

\begin{align} & \hskip-22.0ptB(\mathbf{v},\mathbf{w})=\displaystyle \sum ^n_{i=1}\displaystyle \sum ^n_{j=1} B_{ij}\, v^i\, w^j, \label{1.9} \tag{9.5} \end{align}

Exemplo 9.4 (Energia quadrática de dois modos)

Em um modelo normalizado, a energia de dois deslocamentos é $E(u)=\tfrac 12u^TKu$, com $K=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. Calcule $E(1,2)$ e a força de restituição. Explique o papel da forma bilinear.

Solução

A forma é $B(u,v)=u^TKv$. Para $u=(1,2)$,

\[ Ku=(4,7),\qquad B(u,u)=18,\qquad E(u)=9. \]

Como $K$ é simétrica, o diferencial da energia é $\mathop{}\! \mathrm{d}E_u(h)=B(u,h)$. Essa expressão é um covetor em $h$. Após usar a métrica euclidiana para representá-lo por um vetor, $\nabla E=Ku$ e a força de restituição é $-\nabla E=(-4,-7)$. A forma bilinear e o operador associado têm matrizes iguais nessa base ortonormal, mas seus papéis geométricos são diferentes.

Exercícios

Exercício 9.8 (code=N139,label=ex:N139,title=Consolidação; básico)

Escreva a matriz da forma $B(u,v)=2u_1v_1+u_1v_2+u_2v_1+3u_2v_2$ e calcule $B((1,2),(2,-1))$.

Ver solução

A matriz é $K=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, com a convenção $B(u,v)=u^TKv$. Para $v=(2,-1)$, $Kv=(3,-1)$, e para $u=(1,2)$, $B(u,v)=3-2=1$. Indicar a ordem dos argumentos torna a convenção matricial explícita.

Exercício 9.9 (code=N140,label=ex:N140,title=Justificação; médio)

Para a forma anterior, mostre que $B(u,u)\gt 0$ para $u\ne 0$, completando quadrados.

Ver solução

Temos

\[ B(u,u)=2u_1^2+2u_1u_2+3u_2^2 =2(u_1+u_2/2)^2+\frac52u_2^2. \]

Se a expressão é zero, ambos os quadrados são zero, logo $u=0$. Portanto a forma é positiva definida. A soma de quadrados prova a positividade sem depender de uma interpretação como operador.

Exercício 9.10 (code=N141,label=ex:N141,title=Consolidação; básico)

Determine as partes simétrica e antissimétrica da forma com matriz $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Ver solução

Com $M=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, as partes são

\[ S=\frac{M+M^T}2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\qquad A=\frac{M-M^T}2=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}. \]

Conferimos $S^T=S$, $A^T=-A$ e $M=S+A$. São as partes simétrica e alternada da forma bilinear.

9.4 Tensores

A multilinearidade estende os exemplos anteriores a vários argumentos. O tipo do tensor informa quais argumentos são vetores e quais são covetores. As componentes são obtidas avaliando esses argumentos em bases e bases duais; não constituem a definição do objeto.

Seja $V=\mathbb {R}^n$ e seja $V^*={\mathbb {R}^n}^*$ seu espaço dual. Definimos

\[ V^k = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{\text{$k$ vezes}}. \]

Definição 9.3

Uma aplicação multilinear de ordem $k$ em $V$ é uma função $\mathsf{T}: V^k \to \mathbb {R}$ que é linear em cada variável. Para cada posição $i$, mantendo os demais argumentos fixos,

\[ \begin{aligned} & T(v_1,\ldots ,\lambda v+w,\ldots ,v_k)\\ & \quad =\lambda T(v_1,\ldots ,v,\ldots ,v_k) +T(v_1,\ldots ,w,\ldots ,v_k). \end{aligned} \]

Em outras palavras, dados $(k-1)$ vetores, $v_1,v_2, \ldots ,v_{i-1},v_{i+1}, \ldots ,v_k$, a aplicação $\mathsf{T}_i: V \to \mathbb {R}$ definida por $\mathsf{T}_i(\mathbf{v}) = \mathsf{T}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots ,\mathbf{v},\mathbf{v}_{i+1}, \ldots ,\mathbf{v}_k)$ é linear.

Definição 9.4

Um tensor de tipo $(r,s)$ em $V$ é uma aplicação multilinear

\[ \mathsf{T}\colon (V^*)^r\times V^s\longrightarrow \mathbb {R}. \]
Um $k$-tensor contravariante em $V$ é uma aplicação multilinear $\mathsf{T}\colon (V^*)^k\to \mathbb {R}$; portanto, é um tensor de tipo $(k,0)$.
Um $k$-tensor covariante em $V$ é uma aplicação multilinear $\mathsf{T}\colon V^k\to \mathbb {R}$; portanto, é um tensor de tipo $(0,k)$.

Essa convenção é a usual: o primeiro número conta os índices superiores (contravariantes) e o segundo, os índices inferiores (covariantes).

Exemplo 9.5

Vetores podem ser vistos como funções $V^*\to \mathbb {R}$, portanto são tensores contravariantes.
Funcionais lineares são tensores covariantes.
Produtos internos são funções de $V\times V \to \mathbb {R}$, portanto são tensores covariantes.
Em dimensão $n$, o determinante é uma função multilinear das $n$ colunas (ou linhas) de uma matriz quadrada. Portanto, como aplicação $(\mathbb {R}^n)^n\to \mathbb {R}$, é um tensor covariante de tipo $(0,n)$.

A terminologia acima parece invertida; Michael Spivak explica:

“Hoje em dia, tais situações são sempre distinguidas chamando de ‘covariantes’ as coisas que seguem na mesma direção e de ‘contravariantes’ as que seguem na direção oposta. A terminologia clássica usava essas mesmas palavras, mas acabou invertendo essa distinção. [...] Portanto, é fácil lembrar qual tipo de tensor é covariante e qual é contravariante: basta considerar o oposto do que ele logicamente deveria ser.”

Definição 9.5

Denotamos o espaço de tensores de tipo $(r,s)$ por $\mathsf{T}^r_s(V)$.

Em particular,

\begin{align*} \mathsf{T}^k(V) := \mathsf{T}^k_0(V) & = \{ \text{tensores contravariantes de ordem $k$}\} , \\ \mathsf{T}_k(V) := \mathsf{T}^0_k(V) & = \{ \text{tensores covariantes de ordem $k$}\} . \end{align*}

Dois casos especiais importantes são:

\begin{align*} \mathsf{T}^1(V) & =V^{**}\cong V,\\ \mathsf{T}_1(V) & =V^*. \end{align*}

A primeira linha significa que podemos considerar vetores $\mathbf{v} \in V$ como 1-tensores contravariantes. Isto é, todo vetor $\mathbf{v} \in V$ pode ser considerado um funcional linear $V^* \to \mathbb {R}$ por meio de

\[ v(\omega ) := \omega (\mathbf{v}), \]

onde $\omega \in V^*$.

A ordem de um tensor de tipo $(r,s)$ é $r+s$.

Em particular, vetores e covetores têm ordem 1.

Definição 9.6

Se $\mathsf{S} \in \mathsf{T}^{r_1}_{s_1}(V)$ é um tensor $(r_1,s_1)$ e $\mathsf{T} \in \mathsf{T}^{r_2}_{s_2}(V)$ é um tensor $(r_2,s_2)$, podemos definir seu produto tensorial $\mathsf{S} \otimes \mathsf{T} \in \mathsf{T}^{r_1 + r_2}_{s_1 + s_2}(V)$ por

\[ \begin{aligned} & (S\otimes T)(\omega _1,\ldots ,\omega _{r_1+r_2}, v_1,\ldots ,v_{s_1+s_2})\\ & \quad =S(\omega _1,\ldots ,\omega _{r_1},v_1,\ldots ,v_{s_1})\\ & \qquad \cdot T(\omega _{r_1+1},\ldots ,\omega _{r_1+r_2}, v_{s_1+1},\ldots ,v_{s_1+s_2}). \end{aligned} \]

Exemplo 9.6

Sejam $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$. Como $V\cong \mathsf{T}^1(V)$, podemos considerar $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ como tensores de tipo $(1,0)$. Seu produto tensorial $\mathbf{u}\otimes \mathbf{v}\in \mathsf{T}^2(V)$ é um tensor de tipo $(2,0)$ definido por $(\mathbf{u}\otimes \mathbf{v})(\omega ,\eta )=\omega (\mathbf{u})\, \eta (\mathbf{v})$

Exemplo 9.7

Seja $V = \mathbb {R}^3$. Escreva $\mathbf{u}= (1,2,3)^\top \in V$ na base padrão, e $\eta = (4,5,6) \in V^*$ na base dual. Para as entradas, escrevamos também $\omega = (x,y,z) \in V^*$ e $\mathbf{v} = (p,q,r) ^\top \in V$. Então

\begin{align*} (\mathbf{u}\otimes \eta )(\omega ,\mathbf{v})& =\omega (\mathbf{u})\, \eta (\mathbf{v})\\ & = [x,y,z]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \cdot [4,5,6]\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix}\\ & = (x + 2y + 3z)(4p + 5q + 6r) \\ & =4px+5qx+6rx\\ & \quad +8py+10qy+12ry\\ & \quad +12pz+15qz+18rz\\ & = [x,y,z]\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 12 & 15 & 18 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix}\\ & = \omega \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 12 & 15 & 18 \end{bmatrix}\mathbf{v}. \end{align*}

Exemplo 9.8

Se $\mathsf{S}$ é de tipo $(1,2)$, com componentes $\alpha ^j{}_{ik}$, e $\mathsf{T}$ é de tipo $(2,0)$, com componentes $\beta ^{rs}$, então $\mathsf{S}\otimes \mathsf{T}$ é de tipo $(3,2)$ e suas componentes são

\[ (\mathsf{S}\otimes \mathsf{T})^{jrs}{}_{ik} =\alpha ^j{}_{ik}\beta ^{rs}. \]

Os tensores satisfazem leis algébricas como:

$\mathsf{R} \otimes (\mathsf{S}+\mathsf{T}) = \mathsf{R} \otimes \mathsf{S} + \mathsf{R} \otimes \mathsf{T}$,
$(\lambda \mathsf{R}) \otimes \mathsf{S} = \lambda (\mathsf{R} \otimes \mathsf{S}) = \mathsf{R} \otimes (\lambda \mathsf{S})$,
$(\mathsf{R} \otimes \mathsf{S}) \otimes \mathsf{T} = \mathsf{R} \otimes (\mathsf{S} \otimes \mathsf{T})$.

Em geral, porém,

\[ \mathsf{S}\otimes \mathsf{T}\neq \mathsf{T}\otimes \mathsf{S}. \]

A diferença não vem da multiplicação das componentes, que são escalares e portanto comutam, mas da ordem dos argumentos. Por exemplo, para $f,g\in V^*$,

\[ (f\otimes g)(u,v)=f(u)g(v), \qquad (g\otimes f)(u,v)=g(u)f(v), \]

e essas duas expressões não precisam coincidir. Tomando $f=\mathbf{e}^1$, $g=\mathbf{e}^2$, $u=\mathbf{e}_1$ e $v=\mathbf{e}_2$, obtemos respectivamente $1$ e $0$.

Seguiremos essa convenção em todo o restante do livro: índices superiores correspondem às cópias de $V$ e índices inferiores às cópias de $V^*$.

9.4.1 Base de tensores

Fixe uma base $\{ \mathbf{e}_1,\ldots ,\mathbf{e}_n\} $ de $V$ e sua base dual $\{ \mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^n\} $.

Teorema 9.4

Uma base de $\mathsf{T}^r_s(V)$ é formada pelos tensores

\[ \mathbf{e}_{i_1}\otimes \cdots \otimes \mathbf{e}_{i_r} \otimes \mathbf{e}^{j_1}\otimes \cdots \otimes \mathbf{e}^{j_s}, \qquad 1\le i_1,\ldots ,i_r,j_1,\ldots ,j_s\le n. \]

Em particular,

\[ \dim \mathsf{T}^r_s(V)=n^{r+s}. \]

Para $\mathsf{T}\in \mathsf{T}^r_s(V)$, definimos suas componentes nessa base por

\[ T^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s} := \mathsf{T} (\mathbf{e}^{i_1},\ldots ,\mathbf{e}^{i_r}, \mathbf{e}_{j_1},\ldots ,\mathbf{e}_{j_s}). \]

Teorema 9.5

O tensor $\mathsf{T}$ é reconstruído a partir de suas componentes pela fórmula

\[ \mathsf{T} = \sum _{i_1=1}^{n}\cdots \sum _{i_r=1}^{n} \sum _{j_1=1}^{n}\cdots \sum _{j_s=1}^{n} T^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s} \, \mathbf{e}_{i_1}\otimes \cdots \otimes \mathbf{e}_{i_r} \otimes \mathbf{e}^{j_1}\otimes \cdots \otimes \mathbf{e}^{j_s}. \]

A fórmula anterior é a versão multilinear da expansão em uma base: os valores do tensor nos elementos das bases de $V^*$ e $V$ determinam todos os seus valores.

Teorema 9.6

\[ \omega _a=\sum _{i_a=1}^n (\omega _a)_{i_a}\mathbf{e}^{i_a}, \qquad 1\le a\le r, \]

\[ \mathbf{v}_b=\sum _{j_b=1}^n v_b^{j_b}\mathbf{e}_{j_b}, \qquad 1\le b\le s, \]

então

\[ \mathsf{T}(\omega _1,\ldots ,\omega _r,\mathbf{v}_1,\ldots ,\mathbf{v}_s) = \sum _{i_1=1}^n\cdots \sum _{i_r=1}^n \sum _{j_1=1}^n\cdots \sum _{j_s=1}^n T^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s} (\omega _1)_{i_1}\cdots (\omega _r)_{i_r} v_1^{j_1}\cdots v_s^{j_s}. \]

Exemplo 9.9

Considere uma função trilinear

\[ f\colon \mathbb {R}^2\times \mathbb {R}^2\times \mathbb {R}^2\to \mathbb {R}. \]

Uma base de $\mathbb {R}^2$ é $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\} = \{ (1,0), (0,1)\} .$ Seja

\[ f(\mathbf{e}_{i},\mathbf{e}_{j},\mathbf{e}_{k}) = \mathsf{A}_{ijk}, \]

onde $i,j,k \in \{ 1,2\} $. Em outras palavras, a constante $\mathsf{A}_{i j k}$ é o valor da função em uma das oito triplas possíveis de vetores da base (pois há duas escolhas para cada um dos três argumentos), a saber:

\[ \begin{gathered} (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1),\quad (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2),\quad (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1),\quad (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2),\\ (\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1),\quad (\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2),\quad (\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1),\quad (\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2). \end{gathered} \]

Cada vetor $\mathbf{v}_i \in V_i = \mathbb {R}^2$ pode ser expresso como combinação linear dos vetores da base

\[ \mathbf{v}_i = \displaystyle \sum _{j=1}^{2} v_{i}^j \mathbf{e}_{j} = v_{i}^1\mathbf{e}_1 + v_{i}^2\mathbf{e}_2 = v_{i} ^1(1, 0) + v_{i} ^2(0, 1). \]

O valor da função em uma coleção arbitrária de três vetores $\mathbf{v}_i \in \mathbb {R}^2$ pode ser expresso como

\[ f(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) = \displaystyle \sum _{i=1}^{2} \displaystyle \sum _{j=1}^{2} \displaystyle \sum _{k=1}^{2} \mathsf{A}_{i j k} v_{1}^i v_{2}^j v_{3}^k. \]

Ou, na forma expandida,

\begin{align} f((a,b),(c,d)& ,(e,h)) =ace\, f(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_1) +ach\, f(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2) \tag{9.6}\\ & +ade\, f(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1) +adh\, f(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_2) \tag{9.7}\\ & +bce\, f(\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_1) +bch\, f(\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2) \tag{9.8}\\ & +bde\, f(\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1) +bdh\, f(\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_2). \tag{9.9} \end{align}

9.4.2 Contração

O caso básico de contração é o pareamento canônico entre $V$ e $V^*$:

\[ C:V\otimes V^*\longrightarrow \mathbb {R}, \qquad C(\mathbf{v}\otimes f)=f(\mathbf{v}). \]

Essa operação se estende a tensores de tipo $(r,s)$ com $r,s\ge 1$. Escolhemos um fator contravariante e um fator covariante e aplicamos o pareamento acima. Em componentes, se contraímos o $a$-ésimo índice superior com o $b$-ésimo índice inferior, obtemos

\[ (C_{ab}T)^{i_1\ldots \widehat{i_a}\ldots i_r}{}_{j_1\ldots \widehat{j_b}\ldots j_s} = \sum _{k=1}^n T^{i_1\ldots k\ldots i_r}{}_{j_1\ldots k\ldots j_s}. \]

O chapéu indica o índice que desaparece depois da contração. Portanto,

\[ C_{ab}:\mathsf{T}^r_s(V)\longrightarrow \mathsf{T}^{r-1}_{s-1}(V). \]

A definição independe da base: a soma acima é apenas a expressão em coordenadas do pareamento natural $V^*\times V\to \mathbb {R}$.

9.4.3 Um tensor de três argumentos, do objeto às componentes

Exemplo 9.10 (Três direções medidas separadamente)

Em $V=\mathbb {R}^2$, considere

\[ T(u,v,w)=u_1v_2w_1-u_2v_1w_2. \]

Identifique seu tipo, calcule suas componentes, avalie em $u=(1,2)$, $v=(3,-1)$, $w=(2,1)$ e descreva a forma bilinear obtida quando se fixa o terceiro argumento. Depois transforme as componentes para a base $E=((1,0),(1,1))$ e confira a mesma avaliação.

Solução

Cada argumento pertence a $V$ e a saída é real. A expressão é linear em cada argumento separadamente; portanto $T$ é um tensor de tipo $(0,3)$, isto é, um elemento de $V^*\otimes V^*\otimes V^*$. Na base canônica, $T_{ijk}=T(e_i,e_j,e_k)$ fornece apenas $T_{121}=1$ e $T_{212}=-1$ como componentes não nulas. Sua avaliação é $1(-1)2-2(3)1=-8$.

Fixando $w=(2,1)$, obtemos a forma bilinear $B_w(u,v)=2u_1v_2-u_2v_1$, de matriz

\[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Esse procedimento reduz o número de argumentos por avaliação. Não é uma contração entre dois índices do próprio tensor.

Na base $E$, as componentes são $T'_{ijk}=T(E_i,E_j,E_k)$. As não nulas são

\[ T'_{121}=1,\quad T'_{122}=1,\quad T'_{212}=-1,\quad T'_{221}=1. \]

A componente $T'_{222}$ é zero porque os dois termos se cancelam. As coordenadas dos três vetores são $u'=(-1,2)$, $v'=(4,-1)$ e $w'=(1,1)$. Contraindo com as quatro componentes, obtemos

\[ T(u,v,w)=1+1-8-2=-8. \]

O objeto e sua avaliação permanecem os mesmos; a lista de componentes não nulas mudou. O cálculo mostra por que um tensor não deve ser identificado com um arranjo numérico fixo.

Exercícios

Exercício 9.11 (code=N142,label=ex:N142,title=Consolidação; médio)

Se $\alpha =(1,2)$ e $\beta =(3,-1)$ na base dual canônica, calcule as quatro componentes de $\alpha \otimes \beta $ e sua avaliação em $u=(1,0)$ e $v=(0,1)$.

Ver solução

O tensor é covariante de ordem $2$, com componentes $T_{ij}=\alpha _i\beta _j$. Logo

\[ (T_{ij})=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}. \]

Sua avaliação é $T(u,v)=\alpha (u)\beta (v)=1\cdot (-1)=-1$. Trocar os dois fatores tensorais produz outro tensor em geral; a multiplicação dos valores só é comutativa depois de fixados os argumentos correspondentes.

Exercício 9.12 (code=N143,label=ex:N143,title=Consolidação; médio)

Para $T(u,v,w)=u_1v_2w_1-u_2v_1w_2$, determine as componentes não nulas e verifique a multilinearidade.

Ver solução

As únicas componentes não nulas são $T_{121}=1$ e $T_{212}=-1$, pois $T_{ijk}=T(e_i,e_j,e_k)$. A expressão é linear em cada argumento separadamente, porque cada termo contém uma componente de cada vetor e as demais permanecem constantes quando um argumento varia. Assim $T\in V^*\otimes V^*\otimes V^*$, um tensor de tipo $(0,3)$.

Exercício 9.13 (code=N144,label=ex:N144,title=Justificação; médio)

Para o operador $A=v\otimes \alpha $, mostre que $A(w)=\alpha (w)v$ e que sua contração é $\operatorname {tr}A=\alpha (v)$.

Ver solução

O tensor misto $A=v\otimes \alpha $ tem componentes $A^i{}_j=v^i\alpha _j$. Aplicado a $w$, produz $A^i{}_jw^j=v^i\alpha (w)$, portanto $A(w)=\alpha (w)v$. Contraindo, $A^i{}_i=v^i\alpha _i=\alpha (v)$. Essa contração é o traço do operador e independe da base.

Exercício 9.14 (code=N145,label=ex:N145,title=Justificação; médio)

Explique por que contrair dois índices covariantes exige uma métrica inversa, enquanto o pareamento de um índice superior com um inferior é natural.

Ver solução

O pareamento $V^*\times V\to \mathbb {R}$ já faz parte da definição de covetor, permitindo somar um índice inferior com um superior. Para dois índices inferiores de $T_{ij}$, não há pareamento natural entre dois covetores. Uma métrica não degenerada fornece a inversa $g^{ij}$, e então $g^{ij}T_{ij}$ é uma contração escalar. A expressão $\sum _iT_{ii}$ sem essa estrutura só tem a interpretação usual em bases adequadas, como bases ortonormais euclidianas.

Exercícios de ampliação

Exercício 9.15 (code=A008,label=ex:A008,title=Consolidação; médio)

Sejam $\alpha (x,y)=x+2y$ e $H(v,w)=v_1w_1+3v_2w_2$. Identifique o tipo de $T(u,v,w)=\alpha (u)H(v,w)$, liste suas componentes não nulas e avalie em $u=(1,1)$, $v=(1,2)$, $w=(2,-1)$.

Ver solução

$T$ é de tipo $(0,3)$. As componentes não nulas são $T_{111}=1$, $T_{122}=3$, $T_{211}=2$ e $T_{222}=6$. No ponto proposto, $\alpha (u)=3$ e $H(v,w)=2-6=-4$, logo $T(u,v,w)=-12$. O produto de um covetor com uma forma bilinear cria três entradas vetoriais separadas.

Exercício 9.16 (code=A009,label=ex:A009,title=Consolidação; médio)

Identifique espaços de entrada, saída e tipo tensorial dos objetos: $A(w)=\alpha (w)v$; $H(u,w)=\beta (u)\gamma (w)$; $T(\alpha ,\beta ,w)=\alpha (u)\beta (v)\gamma (w)$, para vetores e covetores fixos indicados pelas respectivas letras.

Ver solução

$A:V\to V$ tem tipo $(1,1)$. A forma $H:V\times V\to \mathbb {R}$ tem tipo $(0,2)$. O terceiro objeto tem entradas em $V^*\times V^*\times V$ e saída real, portanto tem tipo $(2,1)$: $T=u\otimes v\otimes \gamma $. Os índices superiores correspondem às entradas covetoriais; os inferiores, às entradas vetoriais, na descrição multilinear escalar.

Exercício 9.17 (code=A010,label=ex:A010,title=Consolidação; médio)

Para $T(u,v)=(u_1v_1,u_2v_1+u_1v_2)$, verifique a bilinearidade, interprete $T$ como tensor de tipo $(1,2)$, determine suas componentes não nulas e calcule $T((1,2),(3,-1))$.

Ver solução

A expressão é linear em cada argumento. Interpretando-a como uma aplicação $V\times V\to V$, seus coeficientes são $T^1{}_{11}=1$, $T^2{}_{21}=1$ e $T^2{}_{12}=1$, e os demais são zero. Assim ela determina um tensor de tipo $(1,2)$. A avaliação pedida é $(3,6-1)=(3,5)$. Para obter uma descrição escalar com três argumentos, pode-se avaliar a saída por um covetor.

9.5 Mudança de coordenadas

A mudança de base altera os vetores básicos e, em sentido compensatório, as componentes. A identidade que deve permanecer é o valor de uma avaliação completa, como $\alpha (v)$ ou $B(u,v)$. Usaremos essa invariância para conferir as fórmulas.

9.5.1 Vetores e covetores

Sejam $E=(v_1,\ldots ,v_n)$ e $F=(w_1,\ldots ,w_n)$ bases ordenadas de $V$, com bases duais $E^*=(v^1,\ldots ,v^n)$ e $F^*=(w^1,\ldots ,w^n)$. Escrevamos a mudança de base na forma

\[ w_i=\sum _{j=1}^n\lambda _i^jv_j, \qquad \Lambda =(\lambda _i^j). \]

Para encontrar a mudança correspondente na base dual, escrevemos

\[ w^j=\sum _{k=1}^n\mu _k^jv^k, \qquad M=(\mu _k^j). \]

A condição de dualidade $w^j(w_i)=\delta _i^j$ dá

\[ \sum _{k=1}^n\lambda _i^k\mu _k^j=\delta _i^j, \qquad \Lambda M=I. \]

Portanto, $M=\Lambda ^{-1}$. Em particular, se listamos as bases duais em colunas, sua relação é

\[ \begin{bmatrix} w^1 \\ \vdots \\ w^n \end{bmatrix} =\Lambda ^{-T} \begin{bmatrix} v^1 \\ \vdots \\ v^n \end{bmatrix}. \]

Essa é a transformação das bases. Para distinguir dela a transformação das componentes, escreva $x=\sum _i x_E^iv_i=\sum _i x_F^iw_i$. A relação entre as bases implica $x_F=\Lambda ^{-T}x_E$. Para um covetor $\alpha =\sum _i a_i v^i=\sum _j\tilde a_jw^j$, como $M=\Lambda ^{-1}$, temos

\[ \begin{bmatrix} \tilde a_1 \\ \vdots \\ \tilde a_n \end{bmatrix} =\Lambda \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}. \]

Assim, as componentes de um covetor transformam pela matriz inversa da transposta que transforma as componentes de um vetor.

9.5.2 Formas bilineares

Sejam $\mathbf{e}_1,\, \dots ,\, \mathbf{e}_n$ e $\tilde{\mathbf{e}}_1,\, \dots , \tilde{\mathbf{e}}_n$ duas bases de um espaço vetorial $V$. Denotemos por $\mathsf{S}$ a matriz de transição da primeira base para a segunda. Defina $\mathsf{T}=S^{-1}$. A partir de 9.3, obtemos facilmente a fórmula que relaciona as componentes de uma forma bilinear $\mathsf{f}(\mathbf{v},\mathbf{w})$ nessas duas bases. Para isso, basta substituir a expressão da mudança de base na fórmula 9.3 e usar a bilinearidade da forma $\mathsf{f}(\mathbf{v},\mathbf{w})$:

\[ \mathsf{f}_{ij}=\mathsf{f}(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)=\displaystyle \sum ^n_{k=1}\displaystyle \sum ^n_{q=1}\mathsf{T}^k_i\, \mathsf{T}^q_j\, \mathsf{f}(\tilde{\mathbf{e}}_k,\tilde{\mathbf{e}}_q)=\displaystyle \sum ^n_{k=1}\displaystyle \sum ^n_{q=1} \mathsf{T}^k_i\, \mathsf{T}^q_j\, \tilde{ f_{kq}}. \]

A fórmula inversa, que expressa $\tilde f_{kq}$ em termos de $f_{ij}$, é obtida de modo semelhante:

\begin{alignat}{2}& \hskip-22.0ptf_{ij}=\displaystyle \sum ^n_{k=1}\displaystyle \sum ^n_{q=1}\mathsf{T}^k_i\, \mathsf{T}^q_j\, \tilde f_{kq}, & & \tilde f_{kq}=\displaystyle \sum ^n_{i=1}\displaystyle \sum ^n_{j=1}S^i_k\, S^j_q\, f_{ij}. \label{1.11} \tag{9.10} \end{alignat}

Na forma matricial, essas relações são escritas como:

\begin{alignat}{2}& \hskip-22.0ptF=\mathsf{T}^{T}\, \tilde F\, T, & & \tilde F=S^{T}\, F\, S. \label{1.12} \tag{9.11} \end{alignat}

Aqui, $\mathsf{S}^{T}$ e $\mathsf{T}^{T}$ são as matrizes obtidas de $\mathsf{S}$ e $\mathsf{T}$ por transposição.

Exercícios

Exercício 9.18 (code=N146,label=ex:N146,title=Consolidação; médio)

Considere a base com matriz $B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Transforme as componentes de $v=(2,3)$ e de $\alpha =(1,-2)$ e confira $\alpha (v)$.

Ver solução

Como $B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, as coordenadas novas do vetor são $[v]_E=(-1,3)^T$. As componentes novas do covetor são $\alpha _E=B^T(1,-2)^T=(1,-1)^T$. Assim $\alpha _E^T[v]_E=-1-3=-4$, igual à leitura cartesiana $2-6$. O vetor transforma por $B^{-1}$; o covetor, por $B^T$ quando representado como coluna de componentes.

Exercício 9.19 (code=N147,label=ex:N147,title=Consolidação; médio)

Para uma forma bilinear de matriz canônica $G=I$, calcule $G_E=B^TGB$ na base do exercício anterior e confira o comprimento de um vetor.

Ver solução

A métrica na nova base é $G_E=B^TB=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Para o vetor cartesiano $(2,3)$, suas coordenadas são $c=(-1,3)$. Logo $c^TG_Ec=1-6+18=13$, igual a $2^2+3^2$. Somar apenas os quadrados das novas coordenadas daria $10$, porque a base não é ortonormal.

Exercício 9.20 (code=N148,label=ex:N148,title=Justificação; médio)

Compare a transformação por congruência de uma forma bilinear com a transformação por semelhança de um operador linear na mesma mudança de base.

Ver solução

Para uma forma bilinear, $B(u,v)=u^TGv$ e $u=Bc$, $v=Bd$ dão $G_E=B^TGB$. Para um operador, $Av=A Bc$, e suas coordenadas de saída são $B^{-1}ABc$, logo $A_E=B^{-1}AB$. A primeira regra é congruência; a segunda é similaridade. Confundi-las altera o tipo geométrico do objeto representado pela matriz.

9.6 Propriedades de simetria dos tensores

A simetria é uma propriedade do tensor, e por isso não depende da base. Para tensores de segunda ordem, a decomposição em partes simétrica e antissimétrica separa dois comportamentos sob a troca dos argumentos e é única sobre os reais.

As propriedades de simetria envolvem o comportamento de um tensor sob a troca de dois ou mais argumentos. Para considerar o valor de um tensor após a permutação de alguns argumentos, os argumentos devem ser do mesmo tipo; isto é, covetores devem ocupar argumentos de covetores e vetores devem ocupar argumentos de vetores, sem outras combinações.

O caso mais simples são tensores com apenas 2 argumentos do mesmo tipo. Para argumentos vetoriais, temos tensores de tipo $(0,2)$. Para um tensor desse tipo $\mathsf{T}$, introduzimos a seguinte terminologia:

\begin{align*} \mathsf{T}(Y,X)& =\mathsf{T}(X,Y)\, ,\quad & & \text{$\mathsf{T}$ é \textbf{simétrico} em $X$ e $Y$,} \\ \mathsf{T}(Y,X)& =-\mathsf{T}(X,Y)\, ,\quad & & \text{$\mathsf{T}$ é \textbf{antissimétrico}, ou \textbf{alternado}, em $X$ e $Y$.} \end{align*}

Tomando $(X,Y)=(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)$ e usando a definição de componentes, obtemos uma condição correspondente para as componentes:

\begin{align*} T_{ji} & = T_{ij}\, , \quad & & \text{$\mathsf{T}$ é simétrico no par de índices $(i,j)$,} \\ T_{ji} & =- T_{ij}\, , \quad & & \text{$\mathsf{T}$ é antissimétrico (alternado) no par de índices $(i,j)$.} \end{align*}

Para um tensor antissimétrico, a última condição implica imediatamente que nenhum índice pode se repetir sem que a componente correspondente seja nula:

\[ T_{ji} =- T_{ij} \rightarrow T_{ii}=0\, . \]

Todo tensor $(0,2)$ pode ser decomposto em partes simétrica e antissimétrica, definindo

\begin{align*} [\operatorname {SYM}(\mathsf{T})](X,Y) & = \dfrac 12 [\mathsf{T}(X,Y)+\mathsf{T}(Y,X)]\, , \quad & & \text{(parte simétrica de $\mathsf{T}$),} \\ {} [\operatorname {ALT}(\mathsf{T})](X,Y) & = \dfrac 12 [\mathsf{T}(X,Y)-\mathsf{T}(Y,X)]\, , \quad & & \text{(parte antissimétrica de $\mathsf{T}$),} \\ T & = \operatorname {SYM}(\mathsf{T}) + \operatorname {ALT}(\mathsf{T})\, . \end{align*}

A última igualdade vale porque avaliá-la no par $(X,Y)$ conduz imediatamente a uma identidade.

Novamente, tomando $(X,Y)=(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)$, obtemos as fórmulas correspondentes para as componentes:

\begin{align*} [\operatorname {SYM}(T)]_{ij}& =\tfrac 12(T_{ij}+T_{ji})=T_{(ij)},\\ {} [\operatorname {ALT}(T)]_{ij}& =\tfrac 12(T_{ij}-T_{ji})=T_{[ij]},\\ T_{ij}& =T_{(ij)}+T_{[ij]}. \end{align*}

Há $n(n+1)/2$ componentes independentes na parte simétrica e $n(n-1)/2$ na antissimétrica. Sua soma é $n^2$, o número de componentes do tensor original.

Parênteses em torno de um par de índices denotam a operação de simetrização, enquanto colchetes denotam a antissimetrização. Essa é uma abreviação muito conveniente. Tudo isso pode ser repetido para tensores de tipo $(2,0)$ e apenas reflete o que já sabemos sobre as partes simétrica e antissimétrica de matrizes.

Exercícios

Exercício 9.21 (code=N149,label=ex:N149,title=Consolidação; básico)

Decomponha $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ em partes simétrica e antissimétrica.

Ver solução

Para $M=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $S=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ e $A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$. Resultam das fórmulas $(M+M^T)/2$ e $(M-M^T)/2$. A soma recupera $M$, e as transposições conferem as simetrias.

Exercício 9.22 (code=N150,label=ex:N150,title=Justificação; médio)

Prove a unicidade da decomposição $T=S+A$, com $S$ simétrico e $A$ antissimétrico.

Ver solução

Se $T=S_1+A_1=S_2+A_2$, então $D=S_1-S_2=A_2-A_1$ é simultaneamente simétrico e antissimétrico. Logo $D=D^T=-D$, e sobre $\mathbb {R}$ isso implica $D=0$. Assim $S_1=S_2$ e $A_1=A_2$. A divisão por $2$ pressupõe um corpo de característica diferente de $2$.

Exercício 9.23 (code=N151,label=ex:N151,title=Consolidação; médio)

Conte as componentes independentes de um tensor totalmente alternado de ordem $3$ em dimensão $4$ e compare com um tensor sem simetrias.

Ver solução

Um tensor totalmente alternado anula-se quando dois índices coincidem. As componentes restantes são determinadas, com sinal, pelas triplas crescentes. Existem $\binom 43=4$ dessas triplas: $123,124,134,234$. Um tensor covariante de ordem $3$ sem simetrias tem $4^3=64$ componentes independentes. A alternância reduz drasticamente a quantidade de dados.

9.7 Formas

As formas alternadas registram área e volume com orientação. O produto exterior reúne esse comportamento em uma álgebra válida em qualquer dimensão. A estrela de Hodge acrescenta métrica e orientação, estabelecendo a ponte com os produtos e operadores do cálculo vetorial.

9.7.1 Motivação

Área e volume orientados

Fixada uma orientação do plano, definimos a função de área orientada $A(\mathbf{a},\mathbf{b})$ por

\[ A(\mathbf{a},\mathbf{b})=\| \mathbf{a}\| \, \| \mathbf{b}\| \sin \theta , \]

onde $\theta $ é o ângulo orientado de $\mathbf a$ para $\mathbf b$, positivo no sentido anti-horário.

Propriedade:

A área orientada $A(\mathbf{a},\mathbf{b})$ de um paralelogramo gerado pelos vetores $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$ no espaço euclidiano bidimensional é uma função antissimétrica e bilinear dos vetores $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$:

\begin{align*} A(\mathbf{a},\mathbf{b}) & =-A(\mathbf{b},\mathbf{a}),\\ A(\lambda \mathbf{a},\mathbf{b}) & =\lambda \, A(\mathbf{a},\mathbf{b}),\\ A(\mathbf{a},\mathbf{b}+\mathbf{c}) & =A(\mathbf{a},\mathbf{b})+A(\mathbf{a},\mathbf{c}).\qquad \text{(lei da soma)}\end{align*}

A área ordinária (não orientada) é obtida como o valor absoluto da área orientada, $Ar(\mathbf{a},\mathbf{b})=\left|A(\mathbf{a},\mathbf{b})\right|$. Verifica-se que a área orientada, devido às suas propriedades estritas de linearidade, é uma construção muito mais conveniente e poderosa que a área não orientada.

Teorema 9.7

Sejam $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ e $\mathbf{c}$ vetores em $\mathbb {R}^3$. O volume orientado do paralelepípedo gerado por eles é $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$.

Propriedade:

O volume orientado $V(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ de um paralelepípedo gerado pelos vetores $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ e $\mathbf{c}$ no espaço euclidiano tridimensional é uma função antissimétrica e trilinear dos vetores $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ e $\mathbf{c}$:

\begin{align*} V(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) & =-V(\mathbf{b},\mathbf{a},\mathbf{c}),\\ V(\lambda \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) & =\lambda \, V(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}),\\ V(\mathbf{a},\mathbf{b}+\mathbf{d},\mathbf{c}) & =V(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})+V(\mathbf{a},\mathbf{d},\mathbf{c}). \end{align*}

Essas propriedades seguem imediatamente da fórmula do produto misto

\[ V(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) =(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}, \]

ou, equivalentemente, da multilinearidade e da alternância do determinante.

9.7.2 Produto exterior

Em três dimensões, uma área orientada é representada pelo produto vetorial $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$, que é de fato um produto antissimétrico e bilinear. Portanto, esperamos que a área orientada em dimensões maiores possa ser representada por algum novo produto antissimétrico de $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$; denotemos esse produto (a ser definido abaixo) por $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$, lido “a cunha b”. O valor de $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$ será um vetor em um espaço vetorial novo. Também construiremos explicitamente esse novo espaço.

Definição do produto exterior

A maneira mais limpa de construir o produto exterior é partir da álgebra tensorial. Seja

\[ T(V)=\mathbb {R}\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V^{\otimes 3})\oplus \cdots \]

e seja $I$ o ideal gerado pelos elementos $\mathbf{v}\otimes \mathbf{v}$, com $\mathbf{v}\in V$.

Definição 9.7

A álgebra exterior de $V$ é o quociente

\[ \bigwedge V:=T(V)/I. \]

A imagem de $\mathbf{v}_1\otimes \cdots \otimes \mathbf{v}_k$ nesse quociente é denotada por

\[ \mathbf{v}_1\wedge \cdots \wedge \mathbf{v}_k, \]

e a componente homogênea de grau $k$ é chamada de $k$-ésima potência exterior de $V$ e denotada por $\bigwedge ^kV$.

Por construção, o produto $\wedge $ é bilinear e associativo e satisfaz

\[ \mathbf{v}\wedge \mathbf{v}=0. \]

Aplicando essa identidade a $\mathbf{u}+\mathbf{v}$, obtemos

\[ 0=(\mathbf{u}+\mathbf{v})\wedge (\mathbf{u}+\mathbf{v}) =\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}+\mathbf{v}\wedge \mathbf{u}, \]

e portanto

\begin{equation} \label{eq:tensor-wedge-antisymm} \mathbf{u}\wedge \mathbf{v}=-\mathbf{v}\wedge \mathbf{u}. \tag{9.12} \end{equation}

Em particular, o produto exterior é alternado. Mais geralmente, para $\alpha \in \bigwedge ^pV$ e $\beta \in \bigwedge ^qV$,

\[ \alpha \wedge \beta =(-1)^{pq}\beta \wedge \alpha . \]

Essa construção também explica a relação com tensores antissimétricos. Sobre $\mathbb {R}$, $\bigwedge ^kV$ pode ser identificado canonicamente, por antissimetrização, com o espaço dos tensores totalmente antissimétricos de grau $k$. Dependendo da normalização escolhida para o operador de antissimetrização, aparecem fatores como $k!$; a álgebra exterior evita que esses fatores contaminem as regras de cálculo.

Teorema 9.8

Se $\{ \mathbf{e}_1,\ldots ,\mathbf{e}_n\} $ é uma base de $V$, então

\[ \bigl\{ \mathbf{e}_{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_{i_k}: 1\le i_1\lt \cdots \lt i_k\le n \bigr\} \]

é uma base de $\bigwedge ^kV$. Consequentemente,

\[ \dim \bigwedge ^kV=\binom nk, \qquad \bigwedge ^kV=\{ 0\} \quad \text{se }k\gt n. \]

Demonstração ▼

Pela multilinearidade, cada produto de $k$ vetores se expande em produtos de vetores da base. Termos com um índice repetido se anulam; os demais podem ser reordenados, com um sinal, para índices estritamente crescentes. Assim, a família indicada gera $\bigwedge ^kV$.

Para provar a independência, fixe $I=(i_1\lt \cdots \lt i_k)$ e use a forma alternada

\[ \omega _I(v_1,\ldots ,v_k)=\det \bigl(e^{i_a}(v_b)\bigr)_{a,b=1}^k. \]

Ela induz um funcional em $\bigwedge ^kV$ e assume valor $1$ no produto básico de índices $I$ e $0$ em todos os outros produtos básicos crescentes. Avaliar uma combinação linear nula nesses funcionais força cada coeficiente a ser zero. Há $\binom nk$ escolhas de índices; se $k\gt n$, todo produto básico tem repetição e é nulo.

Assim, cálculos com o produto exterior são feitos apenas com multilinearidade, associatividade e antissimetria. Por exemplo,

\[ (\mathbf{u}+\mathbf{v})\wedge (\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \mathbf{u}\wedge \mathbf{v} +\mathbf{u}\wedge \mathbf{w} +\mathbf{v}\wedge \mathbf{w}. \]

O termo $\mathbf{v}\wedge \mathbf{v}$ desaparece automaticamente.

Elementos de $\bigwedge ^2V$ são chamados de bivetores. Um bivetor não precisa ser decomponível, isto é, não precisa ter a forma $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$. Analogamente, elementos de $\bigwedge ^kV$ são chamados de $k$-vetores. Adotamos ainda

\[ \bigwedge ^0V=\mathbb {R}, \qquad \bigwedge ^1V=V. \]

Para vetores $\mathbf{v}_1,\ldots ,\mathbf{v}_k$, a notação

\[ \bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf{v}_j = \mathbf{v}_1\wedge \cdots \wedge \mathbf{v}_k \]

será usada sem ambiguidade. Em particular,

\[ \mathbf{u}\wedge \mathbf{v}_1\wedge \cdots \wedge \mathbf{v}_k =(-1)^k \mathbf{v}_1\wedge \cdots \wedge \mathbf{v}_k\wedge \mathbf{u}. \]

Pergunta:

Como calcular expressões que contêm vários produtos, como $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$?

Resposta:

Aplique as regras de multilinearidade, associatividade e antissimetria. Por exemplo, podemos permutar vetores adjacentes e trocar o sinal,

\[ \mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}=-\mathbf{b}\wedge \mathbf{a}\wedge \mathbf{c}=\mathbf{b}\wedge \mathbf{c}\wedge \mathbf{a}, \]

podemos expandir os parênteses,

\[ \mathbf{a}\wedge (\mathbf{x}+4\mathbf{y})\wedge \mathbf{b}=\mathbf{a}\wedge \mathbf{x}\wedge \mathbf{b}+4\mathbf{a}\wedge \mathbf{y}\wedge \mathbf{b}, \]

e assim por diante. Se os vetores $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ são dados como combinações lineares de vetores de uma base $\left\{ \mathbf{e}_{j}\right\} $, podemos reduzir $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$ a uma combinação linear de produtos exteriores de vetores da base, como $\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{3}$, $\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{4}$, etc.

Exemplo 1:

Suponha que trabalhemos em $\mathbb {R}^{3}$ com os vetores $\mathbf{a}=\left(0,\dfrac {1}{2},-\dfrac {1}{2}\right)$, $\mathbf{b}=\left(2,-2,0\right)$ e $\mathbf{c}=\left(-2,5,-3\right)$. Vamos calcular alguns produtos exteriores. Os cálculos ficam mais simples se introduzirmos explicitamente a base $\left\{ \mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\right\} $:

\[ \mathbf{a}=\dfrac {1}{2}\left(\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3}\right),\quad \mathbf{b}=2(\mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}),\quad \mathbf{c}=-2\mathbf{e}_{1}+5\mathbf{e}_{2}-3\mathbf{e}_{3}. \]

Calculamos o 2-vetor $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$ usando as propriedades do produto exterior, como $\mathbf{x}\wedge \mathbf{x}=0$ e $\mathbf{x}\wedge \mathbf{y}=-\mathbf{y}\wedge \mathbf{x}$, e simplesmente expandindo os parênteses como na álgebra usual:

\begin{align*} \mathbf{a}\wedge \mathbf{b} & =\dfrac {1}{2}\left(\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3}\right)\wedge 2\left(\mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}\right)\\ & =\left(\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3}\right)\wedge \left(\mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}\right)\\ & =\mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{3}\wedge \mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{2}+\mathbf{e}_{3}\wedge \mathbf{e}_{2}\\ & =-\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}+\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{3}-\mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{3}.\end{align*}

A última expressão é o resultado; observe que agora não há mais nada a calcular ou simplificar. Expressões como $\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}$ são as expressões básicas a partir das quais o espaço $\bigwedge ^2\mathbb {R}^3$ é construído.

Vamos também calcular o 3-vetor $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$,

\begin{align*} & \mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}=\left(\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\right)\wedge \mathbf{c}\\ & =\left(-\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}+\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{3}-\mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{3}\right)\wedge (-2\mathbf{e}_{1}+5\mathbf{e}_{2}-3\mathbf{e}_{3}).\end{align*}

Ao expandirmos os parênteses, termos como $\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{1}$ se anulam, pois

\[ \mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{1}=-\mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{1}=0, \]

portanto, basta manter os termos que contêm vetores distintos, e obtemos

\begin{align*} \mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c} & =3\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{3}+5\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{3}\wedge \mathbf{e}_{2}+2\mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{3}\wedge \mathbf{e}_{1}\\ & =\left(3-5+2\right)\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{3}=0.\end{align*}

Observamos que todos os termos são proporcionais ao 3-vetor $\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{3}$; assim, bastava determinar o coeficiente de $\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}_{3}$; por coincidência, esse coeficiente acabou sendo zero. Portanto, o resultado é o 3-vetor nulo.$\blacksquare $

Observação: origem do nome “exterior”

A construção do produto exterior é uma formulação moderna de ideias que remontam a H. Grassmann (1844). Um 2-vetor $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$ representa um elemento de área orientado do paralelogramo gerado por $\mathbf a$ e $\mathbf b$. Analogamente, $\mathbf a\wedge \mathbf b\wedge \mathbf c$ representa um elemento de 3-volume orientado. Com o produto interno induzido em $\bigwedge ^2V$, por exemplo,

\[ \| \mathbf a\wedge \mathbf b\| ^2 =\| \mathbf a\| ^2\| \mathbf b\| ^2-\langle \mathbf a,\mathbf b\rangle ^2, \]

de modo que a norma recupera a área ordinária; a norma de um 3-vetor recupera o volume ordinário, enquanto uma forma volume orientada registra seu sinal. Pela antissimetria do produto exterior, $(\mathbf{a}\wedge \mathbf{b})\wedge (\mathbf{a}\wedge \mathbf{c})=0$ e $(\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c})\wedge (\mathbf{b}\wedge \mathbf{d})=0$, entre outras identidades. Geometricamente, isso diz que o “produto” de dois volumes se anula quando eles têm um vetor em comum. Essa observação motivou Grassmann a chamar seu produto antissimétrico de “exterior”: em sua interpretação, o produto de duas “quantidades extensivas”, como retas, áreas ou volumes, é não nulo apenas quando cada uma está geometricamente “no exterior” da outra.

Exercício 9.24 (Potências exteriores de grau maior que a dimensão)

Justificaçãomédio

Mostre que, em um espaço bidimensional $V$, todo 3-vetor, como $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$, reduz-se ao 3-vetor nulo. Prove o mesmo para $n$-vetores em espaços de dimensão $N$ quando $n\gt N$.

Ver solução

Se $\dim V=N$, escreva cada vetor como combinação linear de uma base $\{ e_1,\ldots ,e_N\} $. Pela multilinearidade, um produto exterior de $n$ vetores é combinação de termos $e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_n}$. Quando $n\gt N$, algum índice se repete; pela alternância, cada termo é nulo. Em particular, para $N=2$ todo produto de três vetores é zero.

Também podemos considerar as potências exteriores do espaço dual $V^{*}$. Elementos de $\bigwedge ^{n}V^{*}$ são geralmente chamados, por razões históricas, de $n$-formas (em vez de “$n$-covetores”).

Definição 3:

A ação de uma $k$-forma $\mathbf{f}_{1}^{*}\wedge ...\wedge \mathbf{f}_{k}^{*}$ sobre um $k$-vetor $\mathbf{v}_{1}\wedge ...\wedge \mathbf{v}_{k}$ é definida por

\[ \sum _{\sigma \in S_k}\operatorname {sgn}(\sigma ) \mathbf{f}_{1}^{*}(\mathbf{v}_{\sigma (1)})\cdots \mathbf{f}_{k}^{*}(\mathbf{v}_{\sigma (k)}), \]

onde $\operatorname {sgn}(\sigma )$ é o sinal da permutação e $S_k$ é o conjunto das permutações de $\{ 1,\ldots ,k\} $. Essa soma é o determinante da matriz com entradas $\mathbf{f}_i^*(\mathbf{v}_j)$.

Exemplo 2:

Para $k=3$, temos

\begin{align*} & (\mathbf{p}^{*}\wedge \mathbf{q}^{*}\wedge \mathbf{r}^{*})(\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c})\\ & =\mathbf{p}^{*}(\mathbf{a})\mathbf{q}^{*}(\mathbf{b})\mathbf{r}^{*}(\mathbf{c}) -\mathbf{p}^{*}(\mathbf{a})\mathbf{q}^{*}(\mathbf{c})\mathbf{r}^{*}(\mathbf{b})\\ & \quad -\mathbf{p}^{*}(\mathbf{b})\mathbf{q}^{*}(\mathbf{a})\mathbf{r}^{*}(\mathbf{c}) +\mathbf{p}^{*}(\mathbf{b})\mathbf{q}^{*}(\mathbf{c})\mathbf{r}^{*}(\mathbf{a})\\ & \quad +\mathbf{p}^{*}(\mathbf{c})\mathbf{q}^{*}(\mathbf{a})\mathbf{r}^{*}(\mathbf{b}) -\mathbf{p}^{*}(\mathbf{c})\mathbf{q}^{*}(\mathbf{b})\mathbf{r}^{*}(\mathbf{a}). \end{align*}

Exercício 9.25 (Permutações e potências de bivetores)

Aprofundamentodifícil

a) Mostre que $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \omega =\omega \wedge \mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$, onde $\omega $ é qualquer multivetor homogêneo (por exemplo, $\omega =\mathbf{x}\wedge \mathbf{y}\wedge \mathbf{z}$).

b) Mostre que

\[ \omega _{1}\wedge \mathbf{a}\wedge \omega _{2}\wedge \mathbf{b}\wedge \omega _{3}=-\omega _{1}\wedge \mathbf{b}\wedge \omega _{2}\wedge \mathbf{a}\wedge \omega _{3}, \]

onde $\omega _{1}$, $\omega _{2}$ e $\omega _{3}$ são multivetores homogêneos arbitrários e $\mathbf{a},\mathbf{b}$ são vetores.

c) Devido à antissimetria, $\mathbf{a}\wedge \mathbf{a}=0$ para qualquer vetor $\mathbf{a}\in V$. Também é verdade que $\omega \wedge \omega =0$ para qualquer bivetor $\omega \in \bigwedge ^{2}V$?

Ver solução

Se $\omega $ tem grau $q$, a regra de troca dá

\[ \mathbf a\wedge \mathbf b\wedge \omega =(-1)^{2q}\omega \wedge \mathbf a\wedge \mathbf b =\omega \wedge \mathbf a\wedge \mathbf b, \]

provando (a). Para (b), seja $q=\deg \omega _2$. Reordenando os fatores para $\omega _1\wedge \omega _2\wedge \mathbf a\wedge \mathbf b\wedge \omega _3$, o lado esquerdo adquire o fator $(-1)^q$, enquanto o direito adquire $(-1)^{q+1}$, pois $\mathbf b\wedge \mathbf a=-\mathbf a\wedge \mathbf b$. Logo, os dois lados são opostos.

Em geral, a resposta a (c) é não. Em $V=\mathbb {R}^4$, tome $\omega =e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4$. Então

\[ \omega \wedge \omega =2e_1\wedge e_2\wedge e_3\wedge e_4\ne 0. \]

Se $\dim V\lt 4$, toda forma de grau $4$ é nula e, portanto, $\omega \wedge \omega =0$ para qualquer bivetor.

9.7.3 Operador estrela de Hodge

Seja $V$ um espaço euclidiano orientado de dimensão $n$. O produto interno em $V$ induz um produto interno em $\bigwedge ^kV^*$ e determina a forma volume unitária $\operatorname {vol}$. O operador estrela de Hodge é a aplicação linear

\[ \star :\bigwedge ^kV^*\longrightarrow \bigwedge ^{n-k}V^* \]

caracterizada por

\[ \alpha \wedge \star \beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \, \operatorname {vol}, \qquad \alpha ,\beta \in \bigwedge ^kV^*. \]

Em uma base ortonormal positivamente orientada $\{ \mathbf{e}_1,\ldots ,\mathbf{e}_n\} $, com base dual $\{ \mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^n\} $, a estrela envia uma forma básica no produto exterior das formas complementares, com o sinal determinado pela orientação. Em $\mathbb {R}^3$, por exemplo,

\[ \star \mathbf{e}^1=\mathbf{e}^2\wedge \mathbf{e}^3, \qquad \star (\mathbf{e}^1\wedge \mathbf{e}^2)=\mathbf{e}^3, \qquad \star (\mathbf{e}^1\wedge \mathbf{e}^2\wedge \mathbf{e}^3)=1. \]

Essa operação fará a ponte entre a linguagem de formas diferenciais e os operadores usuais do cálculo vetorial.

Exercícios

Exercício 9.26 (code=N152,label=ex:N152,title=Consolidação; básico)

Calcule $(e_1+2e_2)\wedge (e_2+e_3)$ em $\mathbb {R}^3$ e expresse o resultado na base de bivetores.

Ver solução

Pela bilinearidade,

\[ (e_1+2e_2)\wedge (e_2+e_3) =e_1\wedge e_2+e_1\wedge e_3+2e_2\wedge e_3. \]

O termo $2e_2\wedge e_2$ é zero. A expressão já está na base de bivetores com índices crescentes.

Exercício 9.27 (code=N153,label=ex:N153,title=Aprofundamento; difícil)

Para $\alpha =e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4$ em $\mathbb {R}^4$, calcule $\alpha \wedge \alpha $ e conclua que $\alpha $ não é decomponível.

Ver solução

Os quadrados de $e_1\wedge e_2$ e $e_3\wedge e_4$ são zero. Como duas formas de grau $2$ comutam no produto exterior, os termos cruzados somam:

\[ \alpha \wedge \alpha =2e_1\wedge e_2\wedge e_3\wedge e_4\ne 0. \]

Se $\alpha =u\wedge v$, seu quadrado teria fatores repetidos e seria zero. Portanto esse $\alpha $ não é decomponível. A conclusão usa uma condição necessária, suficiente para refutar a decomposição nesse exemplo.

Exercício 9.28 (code=N154,label=ex:N154,title=Consolidação; médio)

Em $\mathbb {R}^3$ euclidiano positivamente orientado, calcule $\star (e^1\wedge e^3)$ e $\star (e^2+2e^3)$.

Ver solução

Na orientação $e^1\wedge e^2\wedge e^3$ positiva,

\[ \star (e^1\wedge e^3)=-e^2,\qquad \star (e^2+2e^3)=e^3\wedge e^1+2e^1\wedge e^2. \]

O primeiro sinal garante $(e^1\wedge e^3)\wedge (-e^2)$ igual à forma volume. A segunda igualdade usa a linearidade da estrela. A métrica e a orientação escolhidas fazem parte da definição dessa operação.