Roteiro de leitura: proximidade agora, compacidade depois
Este capítulo tem dois ritmos de leitura. Para começar a calcular limites, precisamos saber o que significa aproximar um ponto pelo domínio da função. Para justificar resultados válidos em uma região inteira, precisaremos mais tarde de compacidade. Os dois conjuntos de ideias permanecem no texto, mas podem ser estudados em momentos diferentes.
Conceito
Função no percurso do livro
Bola e vizinhança
Traduzir ``suficientemente perto'' na definição de limite.
Ponto de acumulação
Garantir que existem aproximações pelo domínio, mesmo quando a função não está definida no ponto.
Interior e fronteira
Identificar de quais direções o domínio permite aproximações.
Aberto e fechado
Descrever domínios de diferenciação e conjuntos de restrição; preparar a caracterização dos compactos.
Compacidade
Garantir extremos de funções contínuas e permitir controles uniformes nas provas de integração.
Na primeira leitura, concentre-se nos três primeiros usos e passe aos limites. Retorne aos fechados e à compacidade antes da otimização e das integrais múltiplas. Isso organiza a leitura sem dispensar as demonstrações. Em particular, a frase “aproximar a origem” sempre significa aproximá-la por pontos do domínio: vazões positivas, por exemplo, não permitem todos os caminhos do plano.
O limite exige controlar todos os pontos suficientemente próximos de um ponto de referência. Bolas e vizinhanças formalizam essa proximidade. Antes de calcular limites, distinguiremos pontos interiores, pontos de fronteira e pontos de acumulação, pois o domínio determina por onde podemos aproximar-nos.
Definição 2.1
Seja \(\mathbf{a}\in \mathbb {R}^n\) e seja \(\varepsilon \gt 0\). A bola aberta de centro \(\mathbf{a}\) e raio \(\varepsilon \) é
em que \(a_k,b_k\in \mathbb {R}\) e \(a_k\lt b_k\).
A bola \(B_{\varepsilon }(\mathbf{a})\) também é chamada de vizinhança-\(\varepsilon \) de \(\mathbf{a}\).
Bola aberta em \(\mathbb {R}^2\).
Retângulo aberto em \(\mathbb {R}^2\).
Bola aberta em \(\mathbb {R}^3\).
Caixa aberta em \(\mathbb {R}^3\).
Exemplo 2.1
Uma bola aberta em \(\mathbb {R}\) é um intervalo aberto; em \(\mathbb {R}^2\), é um disco aberto; e, em \(\mathbb {R}^3\), é uma bola aberta no sentido geométrico usual. Uma caixa aberta em \(\mathbb {R}\) é um intervalo aberto; em \(\mathbb {R}^2\), é um retângulo sem sua fronteira; e, em \(\mathbb {R}^3\), é uma caixa sem sua fronteira.
Definição 2.2
Um conjunto \(A\subseteq \mathbb {R}^n\) é aberto se, para todo \(\mathbf{a}\in A\), existe \(\varepsilon \gt 0\) tal que
\[ B_{\varepsilon }(\mathbf{a})\subseteq A. \]
Em outras palavras, cada ponto de \(A\) pode ser cercado por uma bola aberta suficientemente pequena inteiramente contida em \(A\).
Figura2.1Conjuntos abertos
Exemplo 2.2
O intervalo aberto \(]-1;1[\) é aberto em \(\mathbb {R}\). O intervalo \(]-1; 1]\), porém, não é aberto, pois nenhum intervalo centrado em \(1\) está inteiramente contido em \(]-1;1]\).
Exemplo 2.3
A região \(]-1;1[\times ]0;+\infty [\) é aberta em \(\mathbb {R}^2\).
Exemplo 2.4
A região elíptica \(\left\{ (x,y)\in \mathbb {R}^2: x^2 + 4y^2 \lt 4\right\} \) é aberta em \(\mathbb {R}^2\).
Caixas abertas e regiões definidas por desigualdades estritas de funções contínuas fornecem exemplos naturais de abertos. Além disso, uniões arbitrárias de conjuntos abertos e interseções finitas de conjuntos abertos continuam sendo abertas.
Definição 2.3
Um conjunto \(F \subseteq \mathbb {R}^n\) é dito fechado em \(\mathbb {R}^n\) se seu complemento \(\mathbb {R}^n \setminus F\) é aberto.
Exemplo 2.5
O intervalo fechado \([-1;1]\) é fechado em \(\mathbb {R}\), pois seu complemento, \(\mathbb {R}\setminus [-1;1] = ]-\infty ;-1[\cup ]1; +\infty [\) é aberto em \(\mathbb {R}\). O intervalo \(]-1;1]\), porém, não é aberto nem fechado em \(\mathbb {R}\).
Exemplo 2.6
A região \([-1;1]\times [0;+\infty [\times [0;2]\) é fechada em \(\mathbb {R}^3\).
Lema 2.1
Se \(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in B_r(\mathbf{x}_0)\) para algum \(r\gt 0\), então todo ponto do segmento de reta que liga \(\mathbf{x}_1\) a \(\mathbf{x}_2\) também pertence a \(B_r(\mathbf{x}_0)\).
isto é, uma sequência \(\{ \mathbf{x}_k\} \) de pontos em \(\mathbb {R}^n\) converge para um limite \(\overline{\mathbf{x}}\) se, e somente se, as sequências de componentes de \(\{ \mathbf{x}_k\} \) convergem para as respectivas componentes de \(\overline{\mathbf{x}}\).
Teorema 2.3 (Critério de convergência de Cauchy)
Uma sequência \(\{ \mathbf{x}_k\} \) em \(\mathbb {R}^n\) converge se, e somente se, para cada \(\varepsilon \gt 0\) existe um inteiro \(K\) tal que
\[ \lVert \mathbf{x}_r-\mathbf{x}_s\rVert \lt \varepsilon \text{ se } r,s\ge K. \]
Definição 2.5
Seja \(S\subseteq \mathbb {R}^n\) e seja \(\mathbf{x}_0\in \mathbb {R}^n\).
\(\mathbf{x}_0\) é um ponto de acumulação de \(S\) se, para todo \(\varepsilon \gt 0\),
\(\mathbf{x}_0\) é um ponto de fronteira de \(S\) se toda vizinhança de \(\mathbf{x}_0\) contém pelo menos um ponto de \(S\) e pelo menos um ponto de \(S^c\). O conjunto desses pontos é a fronteira de \(S\), denotada por \(\partial S\).
O fecho de \(S\), denotado por \(\overline{S}\), é o conjunto formado pelos pontos de \(S\) e por seus pontos de acumulação. Equivalentemente,
\[ \overline{S}=S\cup \partial S. \]
\(\mathbf{x}_0\) é um ponto isolado de \(S\) se \(\mathbf{x}_0\in S\) e existe uma vizinhança de \(\mathbf{x}_0\) que não contém nenhum outro ponto de \(S\).
\(\mathbf{x}_0\) é exterior a \(S\) se pertence ao interior de \(S^c\). O conjunto desses pontos é o exterior de \(S\).
Exemplo 2.7
Seja \(S=(-\infty ,-1]\cup (1,2)\cup \{ 3\} \). Então
O conjunto dos pontos de acumulação de \(S\) é \((-\infty ,-1]\cup [1,2]\).
Seja \(S\) o conjunto dos números racionais. Como todo intervalo contém um número racional, todo número real é ponto de acumulação de \(S\); portanto, \(\overline{S}=\mathbb {R}\). Como todo intervalo também contém um irracional, todo número real é ponto de fronteira de \(S\); portanto, \(\partial S=\mathbb {R}\). O interior e o exterior de \(S\) são ambos vazios, e \(S\) não possui pontos isolados. \(S\) não é aberto nem fechado.
O teorema seguinte afirma que \(S\) é fechado se, e somente se, \(S=\overline{S}\) (Exercício 2.1).
Teorema 2.4
Um conjunto \(S\) é fechado se, e somente se, nenhum ponto de \(S^c\) é ponto de acumulação de \(S\).
Demonstração▼
Suponha que \(S\) seja fechado e que \(x_0\in S^c\). Como \(S^c\) é aberto, existe uma vizinhança de \(x_0\) contida em \(S^c\) e, portanto, sem pontos de \(S\). Logo, \(x_0\) não pode ser ponto de acumulação de \(S\). Reciprocamente, se nenhum ponto de \(S^c\) é ponto de acumulação de \(S\), então todo ponto de \(S^c\) possui uma vizinhança contida em \(S^c\). Portanto, \(S^c\) é aberto e \(S\) é fechado.
O Teorema 2.4 costuma ser enunciado da seguinte forma.
Corolário 2.5
Um conjunto é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.
A curva poligonal \(P\) é uma curva especificada por uma sequência de pontos \((A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})\) chamados de seus vértices. A curva é formada pelos segmentos de reta que ligam vértices consecutivos.
Figura2.2Curva poligonal
Definição 2.6
Um domínio é um conjunto aberto e conexo por caminhos. Um conjunto \(D\) é conexo por caminhos se, para quaisquer \(\mathbf{x},\mathbf{y}\in D\), existe uma curva contínua
\[ \gamma :[0,1]\to D \]
tal que \(\gamma (0)=\mathbf{x}\) e \(\gamma (1)=\mathbf{y}\).
Em um aberto de \(\mathbb {R}^n\), a conexão por caminhos pode ser verificada usando curvas poligonais: quaisquer dois pontos de um domínio podem ser ligados por uma curva poligonal contida no próprio domínio.
Definição 2.7
Um domínio \(U\subseteq \mathbb {R}^n\) é simplesmente conexo se toda curva fechada em \(U\) pode ser contraída continuamente a um ponto sem sair de \(U\).
Mais precisamente, se \(\gamma :[0,1]\to U\) satisfaz \(\gamma (0)=\gamma (1)\), existe uma deformação contínua de \(\gamma \) para uma curva constante, inteiramente contida em \(U\).
Domínio simplesmente conexoDomínio não simplesmente conexo
Figura2.3 Domínios
Exercícios
00
Problema
Consolidaçãobásico Determine se os seguintes subconjuntos de \(\mathbb {R}^2\) são abertos, fechados ou nenhum dos dois em \(\mathbb {R}^2\).
Aprofundamentodifícil Seja \(p(x,y)\) um polinômio com coeficientes reais nas variáveis \(x\) e \(y\), definido em todo o plano \(\mathbb {R}^2\). Quais são as possibilidades para a imagem (contradomínio) de \(p(x,y)\)? Ver solução
Como os polinômios são funções contínuas e a imagem de um conjunto conexo por uma função contínua é conexa, a imagem deve ser algum tipo de intervalo. Se a imagem fosse um intervalo finito, então \(f(x,kx)\) seria limitada para toda constante \(k\), e a imagem seria apenas o ponto \(f(0,0)\). As possibilidades são, portanto,
um único ponto (por exemplo, \(p(x,y)= 0\)),
um intervalo semil infinito com uma extremidade (por exemplo \(p(x,y) = x^2\), cuja imagem é \([0; +\infty [\)),
um intervalo semil infinito sem extremidade (por exemplo \(p(x,y) = (xy - 1)^2 + x^2\), cuja imagem é \(]0; +\infty [\)),
todos os números reais (por exemplo, \(p(x,y) = x\)).
Putnam 1998
Aprofundamentodifícil Seja \({\cal F}\) uma coleção finita de discos abertos em \(\mathbb {R}^2\) cuja união contém um conjunto \(E\subseteq \mathbb {R}^2\). Mostre que existe uma subcoleção de discos dois a dois disjuntos \(D_1,\ldots ,D_N\) em \({\cal F}\) tais que
\[ E\subseteq \bigcup _{j=1}^{N}3D_j, \]
onde \(3D_j\) denota o disco concêntrico a \(D_j\) com raio três vezes maior.
Problema
Justificaçãomédio Um conjunto \(S\) é fechado se, e somente se, nenhum ponto de \(S^c\) é ponto de acumulação de \(S\).
2.2 Limites
Passamos da proximidade entre pontos à proximidade entre valores de uma função. Um limite conjunto deve ser o mesmo para toda aproximação permitida pelo domínio. Encontrar dois caminhos com resultados diferentes prova sua inexistência; verificar alguns caminhos com o mesmo resultado apenas sugere um candidato.
Definição 2.8
Seja \(f:A\subseteq \mathbb {R}^n\to \mathbb {R}^m\) e seja \(\mathbf{a}\) um ponto de acumulação de \(A\). Dizemos que \(f\) tem limite \(\mathbf{L}\) em \(\mathbf{a}\) se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, para todo \(\mathbf{x}\in A\),
Não é necessário que \(f\) esteja definida em \(\mathbf{a}\). A exigência de que \(\mathbf{a}\) seja ponto de acumulação evita uma condição vazia. Nesse caso, escrevemos
As estimativas incluem os pontos dos eixos em que a função está definida e independem do caminho. Pelo Teorema 2.6, o limite vetorial é \((0,0)\).
Exemplo 2.11 (Mistura de correntes: limite dependente da operação (médio))
Duas correntes de um mesmo líquido, com temperaturas de \(80\, ^{\circ }\mathrm{C}\) e \(20\, ^{\circ }\mathrm{C}\), são misturadas sem perdas de calor. Admitindo capacidades térmicas iguais e vazões positivas \(q_1,q_2\), a temperatura é
\[ T(q_1,q_2)=\frac{80q_1+20q_2}{q_1+q_2}. \]
Existe uma temperatura limite quando ambas as vazões tendem a zero?
Solução
No caminho \(q_1=q_2=t\gt 0\), temos \(T=50\). No caminho \(q_1=3t\), \(q_2=t\), temos \(T=65\). Ambos se aproximam de \((0,0)\) dentro do domínio físico e produzem resultados diferentes. Portanto, o limite conjunto não existe. O modelo conserva a razão entre as vazões; reduzir a vazão total não fixa essa razão. Nenhuma escolha de \(T(0,0)\) torna a função contínua na origem.
Exemplo 2.12 (Controle de erro em uma leitura térmica (médio))
Em coordenadas adimensionais, uma correção térmica é modelada por
Mostre que a leitura converge para \(T_0\) e obtenha uma tolerância espacial que assegure erro menor que \(\varepsilon \).
Solução
Como \(y^2/(x^2+y^2)\le 1\),
\[ |T(x,y)-T_0|\le |x|\le \sqrt{x^2+y^2}. \]
Assim, basta exigir \(0\lt \sqrt{x^2+y^2}\lt \delta \), com \(\delta =\varepsilon \). Essa escolha serve simultaneamente para todos os caminhos. Definir \(T(0,0)=T_0\) produz uma extensão contínua.
Exemplo 2.13 (Calibração: por que todas as retas podem enganar (difícil))
Na reta vertical \(x=0\), a resposta também é zero. Portanto, toda reta pela origem fornece o mesmo candidato. Entretanto, na parábola \(x=y^2\), com \(y\ne 0\), temos \(G(y^2,y)=1/2\). O limite conjunto não existe. A escolha da parábola vem do equilíbrio entre os termos do denominador, \(x^2\) e \(y^4\). Mesmo a estimativa \(|G|\le 1/2\), obtida de \(2|x|y^2\le x^2+y^4\), assegura apenas que a resposta é limitada; ela não assegura convergência.
Exemplo 2.14 (Erro oscilante em um modelo tridimensional (difícil))
Embora o seno oscile indefinidamente, sua amplitude tende a zero. Logo, \(E\to 0\). A escolha \(\delta =(27\varepsilon )^{1/4}\) satisfaz a definição de limite. A estimativa quantifica a precisão do modelo, além de determinar o limite.
devem ser tratados com cuidado. Valem as seguintes observações.
Se o limite conjunto \(\lim _{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L\) existe e, para \(y\) próximo de \(y_0\), existe o limite interno \(\lim _{x\to x_0}f(x,y)\), então o limite iterado correspondente, quando definido, é igual a \(L\). O mesmo vale com \(x\) e \(y\) trocados.
Se os dois limites iterados existem e são diferentes, então o limite conjunto não existe.
A igualdade dos limites iterados não garante a existência do limite conjunto. Também pode ocorrer que o limite conjunto exista, mas algum limite interno necessário para formar um dos limites iterados não exista.
Exercícios
00
Problema
Aplicaçãobásico Esboce o domínio de definição de \((x,y)\mapsto \sqrt{4-x^2-y^2}\).
Problema
Aplicaçãobásico Esboce o domínio de definição de \((x,y)\mapsto \log (x+y)\).
Problema
Aplicaçãobásico Esboce o domínio de definição de \((x,y)\mapsto \dfrac {1}{x^2+y^2}\).
mas ainda assim \(\lim \limits _{(x,y)\to (0,0)} \dfrac {x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}\) não existe.
2.3 Continuidade
Quando o valor da função coincide com seu limite, pequenas alterações das entradas produzem pequenas alterações da saída. Em funções definidas por partes, o trabalho está em compatibilizar as expressões na interface; fora dela, as regras usuais de continuidade normalmente resolvem a questão.
Definição 2.9
Seja \(U\subset \mathbb {R}^m\) um domínio e seja \(f:U\to \mathbb {R}^d\) uma função. Dizemos que \(f\) é contínua em \(a\) se \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a)\).
Definição 2.10
Se \(f\) é contínua em todo ponto \(a\in U\), dizemos que \(f\) é contínua em \(U\) (ou simplesmente que \(f\) é contínua).
Valem novamente os resultados usuais sobre continuidade do cálculo de uma variável. Somas, produtos, quocientes (com denominador não nulo) e composições de funções contínuas também são funções contínuas.
A noção de continuidade é útil para calcular limites ao longo de curvas arbitrárias.
Proposição 2.7
Seja \(f:\mathbb {R}^d\to \mathbb {R}\) uma função e \(a\in \mathbb {R}^d\). Seja \(\gamma :[0,1]\to \mathbb {R}^d\) uma função contínua qualquer tal que \(\gamma (0)=a\) e \(\gamma (t)\ne a\) para todo \(t\gt 0\). Se \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=l\), então \(\lim \limits _{t\to 0}f(\gamma (t))=l\).
Corolário 2.8
Se existem duas funções contínuas \({\gamma }_{1}, {\gamma }_{2}: [0, 1] \to \mathbb {R}^d\) tais que, para \(i \in \{ 1, 2\} \), temos \(\gamma _i(0) = a\) e \(\gamma _i(t) \neq a\) para todo \(t \gt 0\). Se \(\lim \limits _{t \to 0} f({\gamma }_{1}(t)) \neq \lim \limits _{t \to 0} f({\gamma }_{2}(t))\), então \(\lim \limits _{x \to a} f(x)\) não pode existir.
Teorema 2.9
A função vetorial \(\mathbf{f}:\mathbb {R}^d\to \mathbb {R}^m\) é contínua em \(\mathbf{a}\) se, e somente se, cada uma de suas funções coordenadas \(f_1,\ldots ,f_m\) é contínua em \(\mathbf{a}\).
A demonstração deste teorema é muito semelhante à demonstração do Teorema 2.6.
Exemplo 2.20 (Compatibilidade em uma interface)
Para \((x,y)\ne (0,0)\), seja \(f(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}\) e ponha \(f(0,0)=c\). Determine \(c\) para que \(f\) seja contínua em todo o plano.
Solução
Fora da origem, a função é um quociente de funções contínuas com denominador positivo. Na origem,
Logo, a única escolha possível é \(c=0\), e ela é suficiente. A verificação exige um limite conjunto; o valor nos eixos, isoladamente, não seria suficiente.
Um modelo de leitura é \(H(x,y)=xy/(x^2+y^2)\) fora da origem. Mostre que nenhuma escolha de \(H(0,0)\) torna a leitura contínua. Ver solução
No caminho \(y=0\), temos \(H=0\). No caminho \(y=x\ne 0\), temos \(H=1/2\). Ambos chegam à origem dentro do domínio da expressão. Como os limites são diferentes, o limite conjunto não existe e nenhuma escolha do valor na origem pode produzir continuidade. Ajustar um único valor não corrige a dependência do caminho.
Para \(\alpha \gt 0\), estude a continuidade na origem de \(f_\alpha (x,y)=(x^2+y^2)^{\alpha /2}\sin (1/(x^2+y^2))\), estendida por zero. Encontre uma tolerância \(\delta \) em função de \(\varepsilon \). Ver solução
Com \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), a estimativa \(|f_\alpha |\leq r^\alpha \) mostra que a extensão por zero é contínua para todo \(\alpha \gt 0\). Para garantir \(|f_\alpha |\lt \varepsilon \), basta escolher \(\delta =\varepsilon ^{1/\alpha }\) e exigir \(0\lt r\lt \delta \). A função é contínua também fora da origem. A oscilação do seno não impede a convergência porque sua amplitude tende a zero.
Prove a proposição sobre restrição de limites a curvas, aplicando a continuidade de \(\gamma \) à escolha de \(\delta \) na definição de limite. Ver solução
Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(\delta \gt 0\) de modo que \(0\lt \| x-a\| \lt \delta \) implique \(|f(x)-l|\lt \varepsilon \). Pela continuidade de \(\gamma \) em zero e por \(\gamma (0)=a\), existe \(\eta \gt 0\) tal que \(0\leq t\lt \eta \) implique \(\| \gamma (t)-a\| \lt \delta \). A hipótese \(\gamma (t)\ne a\) para \(t\gt 0\) permite usar a estimativa perfurada. Logo, para \(0\lt t\lt \eta \), \(|f(\gamma (t))-l|\lt \varepsilon \). O limite é unilateral, pois o parâmetro pertence a \([0,1]\).
2.4 \(\ast \) Compacidade
A compacidade transforma controles locais em controles válidos em um conjunto inteiro. Ela será usada, por exemplo, para garantir extremos de funções contínuas e para escolher finitamente muitas vizinhanças em argumentos de integração.
A noção de compacidade desempenhará um papel importante em vários argumentos posteriores. Começamos com o diâmetro de um conjunto.
Definição 2.11
Se \(S\) é um subconjunto não vazio de \(\mathbb {R}^n\), seu diâmetro é
Se \(d(S)\lt \infty \), dizemos que \(S\) é limitado; caso contrário, \(S\) é ilimitado.
Uma coleção \(\mathcal H\) de conjuntos abertos é uma cobertura aberta de \(S\) se
\[ S\subseteq \bigcup _{H\in \mathcal H}H. \]
Definição 2.12
Um conjunto \(S\subseteq \mathbb {R}^n\) é compacto se toda cobertura aberta de \(S\) admite uma subcobertura finita.
Antes de caracterizar os compactos de \(\mathbb {R}^n\), registramos um princípio de encaixe.
Teorema 2.10 (Princípio dos conjuntos encaixados)
Se \(S_1,S_2,\ldots \) são subconjuntos fechados não vazios de \(\mathbb {R}^n\) tais que
\[ S_1\supseteq S_2\supseteq \cdots \]
e
\[ \lim _{r\to \infty }d(S_r)=0, \]
então
\[ \bigcap _{r=1}^{\infty }S_r \]
contém exatamente um ponto.
Demonstração▼
Escolha \(\mathbf{x}_r\in S_r\) para cada \(r\ge 1\). Como os conjuntos são encaixados, \(\mathbf{x}_r\in S_k\) sempre que \(r\ge k\). Assim,
\[ \lVert \mathbf{x}_r-\mathbf{x}_s\rVert \le d(S_k), \qquad r,s\ge k. \]
Como \(d(S_k)\to 0\), a sequência \(\{ \mathbf{x}_r\} \) é de Cauchy e, pelo Teorema 2.3, converge para algum \(\overline{\mathbf{x}}\in \mathbb {R}^n\).
Fixado \(k\), toda a cauda da sequência pertence ao fechado \(S_k\); portanto, \(\overline{\mathbf{x}}\in S_k\). Logo,
para todo \(k\). Fazendo \(k\to \infty \), obtemos \(\mathbf{y}=\overline{\mathbf{x}}\).
Teorema 2.11 (Teorema de Heine–Borel)
Um subconjunto \(S\subseteq \mathbb {R}^n\) é compacto se, e somente se, é fechado e limitado.
Demonstração▼
O caso \(S=\emptyset \) é imediato. Suponha primeiro que \(S\) seja fechado e limitado. Seja \(\mathcal H\) uma cobertura aberta de \(S\) e suponha, por contradição, que nenhuma subcoleção finita de \(\mathcal H\) cubra \(S\).
Como \(S\) é limitado, ele está contido em algum hipercubo fechado \(T_0\). Divida \(T_0\) em \(2^n\) hipercubos fechados congruentes. Pelo menos um deles, digamos \(T_1\), tem a propriedade de que \(S_1=S\cap T_1\) não pode ser coberto por uma subcoleção finita de \(\mathcal H\). Repetindo o procedimento, construímos hipercubos encaixados
tais que nenhum \(S_k\) admite uma subcobertura finita extraída de \(\mathcal H\). A cada etapa, o comprimento dos lados é dividido por \(2\); portanto,
\[ d(S_k)\le d(T_k)\longrightarrow 0. \]
Pelo princípio dos conjuntos encaixados, existe um único ponto
Como \(\mathcal H\) cobre \(S\), existe \(H\in \mathcal H\) com \(\overline{\mathbf{x}}\in H\). Como \(H\) é aberto, existe \(\varepsilon \gt 0\) tal que
\[ B_\varepsilon (\overline{\mathbf{x}})\subseteq H. \]
Para \(k\) suficientemente grande, \(d(S_k)\lt \varepsilon \). Como \(\overline{\mathbf{x}}\in S_k\), segue que
Assim, \(B_\delta (\mathbf{x})\cap S=\emptyset \). Todo ponto de \(S^c\) possui, portanto, uma vizinhança contida em \(S^c\); logo, \(S^c\) é aberto e \(S\) é fechado.
Teorema 2.12 (Bolzano–Weierstrass)
Todo subconjunto infinito e limitado de \(\mathbb {R}^n\) possui pelo menos um ponto de acumulação.
Demonstração▼
Suponha, por contradição, que \(S\subseteq \mathbb {R}^n\) seja infinito, limitado e não possua pontos de acumulação. Então \(S\) é fechado. Além disso, para cada \(\mathbf{x}\in S\), existe uma vizinhança aberta \(N_{\mathbf{x}}\) tal que
é uma cobertura aberta de \(S\). Pelo Teorema de Heine–Borel, \(S\) é compacto; portanto, uma quantidade finita dessas vizinhanças cobre \(S\). Como cada uma contém apenas um ponto de \(S\), concluímos que \(S\) é finito, contradição.
Classifique como compactos ou não: \(\{ (x,y):x^2+y^2\le 1\} \), \(\{ (x,y):x^2+y^2\lt 1\} \) e \(\{ (x,y):xy=1\} \). Identifique qual hipótese de Heine–Borel falta em cada caso negativo. Ver solução
O disco fechado é fechado e limitado, portanto compacto por Heine–Borel. O disco aberto é limitado, mas não fechado: uma sequência interior pode convergir para a circunferência. O conjunto \(xy=1\) é fechado, por ser um conjunto de nível de uma função contínua, mas é ilimitado: contém \((n,1/n)\). Assim, não é compacto.
Considere \(K_n=[-1/n,1/n]^2\). Calcule seu diâmetro e sua interseção. Compare com os conjuntos fechados encaixados \([n,+\infty )\), cuja interseção é vazia. Ver solução
Os vértices opostos de \(K_n\) distam \(2\sqrt2/n\), seu diâmetro. Um ponto na interseção deve satisfazer \(|x|,|y|\leq 1/n\) para todo \(n\), logo a interseção é \(\{ (0,0)\} \). Já \([n,+\infty )\) são fechados, não vazios e encaixados, mas nenhum número real pertence a todos. A hipótese de controle por compacidade, ou no teorema usado aqui o diâmetro tendendo a zero, não pode ser descartada.
Usando a compacidade, prove que uma função contínua em um compacto é limitada. Dica: em uma vizinhança de cada ponto, seu valor difere do valor no centro por menos que \(1\); extraia uma subcobertura finita. Ver solução
Para cada \(a\in K\), a continuidade fornece uma vizinhança relativa \(U_a\) em que \(|f(x)-f(a)|\lt 1\). Esses abertos relativos cobrem \(K\). Extraia uma subcobertura finita \(U_{a_1},\ldots ,U_{a_m}\). Em cada ponto \(x\in K\), alguma dessas vizinhanças contém \(x\), portanto
\[ |f(x)|\lt 1+\max _{1\leq j\leq m}|f(a_j)|. \]
Isso prova a limitação sem pressupor a existência prévia de um máximo. Se \(K\) é vazio, a afirmação é imediata.
Bola aberta em \(\mathbb {R}^2\). 
Retângulo aberto em \(\mathbb {R}^2\). 
Bola aberta em \(\mathbb {R}^3\). 
Caixa aberta em \(\mathbb {R}^3\). 
Domínio simplesmente conexo 
Domínio não simplesmente conexo 
Exemplo 2.17. 
Exemplo 2.18. 
Exemplo 2.19. 
Exemplo 2.16.