Escolher coordenadas adaptadas à geometria pode simplificar um campo ou uma região. O custo é que os vetores de base passam a depender da posição. Os fatores de escala convertem incrementos das coordenadas em comprimentos físicos.
A posição de um ponto \(P\) no espaço pode ser representada de muitas maneiras diferentes. Três sistemas comumente usados em aplicações são o sistema cartesiano retangular de coordenadas \((x,y,z)\), o sistema de coordenadas polares cilíndricas \((r,\phi ,z)\) e o sistema de coordenadas esféricas \((r,\varphi ,\phi )\). Os dois últimos são os exemplos mais importantes de sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais \((u_{1},u_{2},u_{3})\).
Definição 8.1
Uma função \(\mathbf{u}:U \to V\) é chamada de mudança de coordenadas (diferenciável) se
\(\mathbf{u}\) é bijetiva
\(U\) e \(V\) são abertos e \(\mathbf{u}\) é de classe \(C^1\)
\(\mathrm{D}\mathbf{u}\) é invertível em todo ponto.
Figura8.1Sistema de Coordenadas
No caso tridimensional, suponha que \((x,y,z)\) possam ser expressas como funções unívocas das variáveis \((u_1,u_2,u_3)\). Suponha também que \((u_1,u_2,u_3)\) possam ser expressas como funções unívocas de \((x,y,z)\).
Por cada ponto \(P:(a,b,c)\) do espaço passam três superfícies: \(u_1=c_1\), \(u_2=c_2\) e \(u_3=c_3\), em que as constantes \(c_i\) são dadas por \(c_i=u_i(a,b,c)\).
Se, por exemplo, \(u_{2}\) e \(u_{3}\) forem mantidos fixos e \(u_{1}\) variar, obtém-se uma trajetória. Essa trajetória é chamada de curva \(u_{1}\). As curvas \(u_{2}\) e \(u_{3}\) são construídas de modo análogo. cvtcurvnonlinear()-cvtcurvwarp()*3+cvtcurvwarp()-cvtcurvwarp()*2+()-cvtcurvwarp()-cvtcurvwarp()-cvtcurvwarp()+()
O sistema \((u_1,u_2,u_3)\) é chamado de sistema de coordenadas curvilíneas.
Exemplo 8.1
As coordenadas cilíndricas parabólicas são definidas em termos das coordenadas cartesianas por:
\begin{align*} x & = \sigma \tau \\ y & = \frac{1}{2} \left( \tau ^2 - \sigma ^2 \right) \\ z & = z \end{align*}
As superfícies coordenadas constantes são o plano
\[ z=z_1 \]
e os cilindros parabólicos
\[ 2 y = \frac{x^2}{\sigma ^2} - \sigma ^2 \]
e
\[ 2 y = -\frac{x^2}{\tau ^2} + \tau ^2 \]
Coordenadas I
As superfícies \(u_2=u_2(P)\) e \(u_3=u_3(P)\) se intersectam em uma curva ao longo da qual apenas \(u_1\) varia.
Seja \(\mathbf{\hat e}_1\) o vetor unitário tangente à curva em \(P\). Sejam \(\mathbf{\hat e}_2,\, \mathbf{\hat e}_3\) vetores unitários tangentes às curvas ao longo das quais apenas \(u_2\) e \(u_3\), respectivamente, variam.
Sejam \((\mathbf{\hat e}^1,\mathbf{\hat e}^2,\mathbf{\hat e}^3)\) vetores unitários em \(P\), nas direções normais a \(u_1=u_1(P)\), \(u_2=u_2(P)\) e \(u_3=u_3(P)\), respectivamente, orientados de modo que \(u_1,u_2,u_3\) cresçam nas direções \(\mathbf{\hat e}^1, \mathbf{\hat e}^2,\hat a_3\). Claramente, devemos ter
Se \((\mathbf{\hat e}^1, \mathbf{\hat e}^2,\mathbf{\hat e}^3)\) são mutuamente ortogonais, dizemos que o sistema de coordenadas é um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonais.
Teorema 8.1
As seguintes afirmações são equivalentes:
\((\mathbf{\hat e}^1, \mathbf{\hat e}^2,\mathbf{\hat e}^3)\) são mutuamente ortogonais;
\((\mathbf{\hat e}_1, \mathbf{\hat e}_2,\mathbf{\hat e}_3)\) são mutuamente ortogonais;
\begin{align*} x & = r \cos \theta & r & = \sqrt{x^2 + y^2}\\ y & = r \sin \theta & \theta & = \tan ^{-1} \left( \dfrac {y}{x} \right)\\ z & = z & z & = z \end{align*}
em que \(~ 0 \le \theta \le \pi ~ ~ \) se \(~ ~ y \ge 0~ ~ \) e \(~ ~ \pi \lt \theta \lt 2\pi ~ ~ \) se \(~ ~ y \lt 0\) Para as coordenadas cilíndricas \((r,\theta ,z)\) e as constantes \({r}_{0}\), \({\theta }_{0}\) e \({z}_{0}\), vemos na Figura 1.5 que a superfície \(r={r}_{0}\) é um cilindro de raio \({r}_{0}\) centrado no eixo \(z\), a superfície \(\theta ={\theta }_{0}\) é um semiplano que parte do eixo \(z\), e a superfície \(z={z}_{0}\) é um plano paralelo ao plano \(xy\).
Os vetores unitários \(\hat r, \hat\theta ,\hat k\) em qualquer ponto \(P\) são perpendiculares às superfícies \(r=\) constante, \(\theta =\) constante e \(z=\) constante que passam por \(P\), nas direções de crescimento de \(r\), \(\theta \) e \(z\). Observe que as direções dos vetores unitários \(\hat r\) e \(\hat\theta \) variam de ponto para ponto, ao contrário dos vetores unitários cartesianos correspondentes.
Observação 8.2
Nas fórmulas do rotacional e nas relações por produto vetorial, assumimos que a base ortonormal local \((\mathbf{\hat e}_1,\mathbf{\hat e}_2,\mathbf{\hat e}_3)\) tem orientação positiva. As componentes \(A_i\) deste capítulo são componentes físicas nessa base unitária. Elas não devem ser confundidas com componentes na base coordenada não normalizada \(\partial r/\partial u_i\), que serão estudadas no cálculo tensorial.
Calcule os fatores de escala de \(r(u,v,z)=(uv,(v^2-u^2)/2,z)\) e verifique a ortogonalidade. Determine onde a parametrização é singular. Ver solução
Os vetores coordenados são \(r_u=(v,-u,0)\), \(r_v=(u,v,0)\) e \(r_z=(0,0,1)\). Seus produtos internos cruzados são zero. Logo \(h_u=h_v=\sqrt{u^2+v^2}\) e \(h_z=1\). O determinante é \(u^2+v^2\), portanto a parametrização é singular exatamente quando \(u=v=0\). Fora desse eixo no domínio, ela é localmente regular; a ortogonalidade não garante injetividade global, pois \((u,v)\) e \((-u,-v)\) têm a mesma imagem.
Para as coordenadas cilíndricas, expresse os vetores unitários em termos de \(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\) e derive-os em relação a \(\theta \). Ver solução
Portanto \(\partial _\theta e_r=e_\theta \), \(\partial _\theta e_\theta =-e_r\) e \(\partial _\theta e_z=0\). Mesmo que componentes físicas sejam constantes, a derivada do vetor pode não ser zero porque a base varia com a posição.
Explique por que nenhuma faixa angular que identifique \(\theta \) e \(\theta +2\pi \) pode ser usada como uma única carta bijetiva. Ver solução
A aplicação angular envia \(\theta \) e \(\theta +2\pi \) ao mesmo ponto. Se ambos são parâmetros distintos no domínio, não há injetividade. Se as extremidades são identificadas, o domínio já não é uma faixa aberta usual de \(\mathbb {R}\): ele tem a topologia do círculo. Uma carta deve usar um intervalo aberto sem essa identificação, e mais de uma carta é necessária para cobrir a direção angular completa.
8.2 Elementos de Linha e de Volume em Sistemas de Coordenadas Ortogonais
Os fatores de escala aparecem no comprimento, na área e no volume. Em coordenadas ortogonais, as direções coordenadas são perpendiculares, de modo que o elemento de volume é o produto dos três comprimentos locais.
Definição 8.3 (Elemento de Linha)
Como \(\mathbf r=\mathbf r(u_1,u_2,u_3)\), o elemento de linha \(\mathop{}\! \mathrm{d}\mathbf r\) é dado por
Em particular, os elementos de linha ao longo das curvas de interseção das superfícies \(u_i\) têm comprimentos \(h_1\mathop{}\! \mathrm{d}u_1,\, h_2\mathop{}\! \mathrm{d}u_2,\, h_3\mathop{}\! \mathrm{d}u_3\), respectivamente.
Definição 8.4 (Elemento de Volume)
Em \(\mathbb {R}^3\), o elemento de volume é dado por
Determine o volume e a área da superfície de uma esfera de raio \(a\), bem como a área de uma calota esférica que subtende um ângulo \(\alpha \) no centro da esfera.
São elementos positivos, nos intervalos \(r\gt 0\), \(0\lt \phi \lt \pi \). Para elementos orientados, a ordem dos diferenciais e o sinal do Jacobiano também devem ser considerados.
Uma hélice tem \(r=a\), \(\theta =t\), \(z=bt\), \(0\le t\le 2\pi \). Calcule o comprimento usando o elemento de linha cilíndrico. Ver solução
No elemento de linha cilíndrico \(ds^2=dr^2+r^2d\theta ^2+dz^2\), a hélice tem \(dr=0\), \(d\theta =dt\) e \(dz=b\, dt\). Logo \(ds=\sqrt{a^2+b^2}\, dt\) e \(L=2\pi \sqrt{a^2+b^2}\). O resultado coincide com o módulo da derivada da parametrização cartesiana.
A fórmula pressupõe \(0\leq a\lt b\); se \(a=0\), a singularidade de coordenadas no centro não altera a integral, pois esse ponto tem volume zero.
8.3 Gradiente em Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
O gradiente é um vetor geométrico, e sua expressão deve produzir a mesma variação escalar em qualquer sistema. Comparar \(\mathop{}\! \mathrm{d}\Phi \) com \(\nabla \Phi \cdot \mathop{}\! \mathrm{d}r\) determina os fatores de escala sem memorizar uma fórmula.
em um sistema geral de coordenadas, em que \(\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3\) devem ser determinados. Recorde que o elemento de comprimento é dado por
Para \(\Phi (r)=1/r\) em \(r\gt 0\), calcule o gradiente esférico e interprete a direção. Ver solução
Como a função depende apenas do raio, \(\nabla (1/r)=-e_r/r^2\). A direção é radial para dentro: o valor aumenta ao aproximar-se da origem. A fórmula vale apenas para \(r\gt 0\), pois a função é singular no centro.
Calcule \(\nabla (x^2+y^2)\) em coordenadas cartesianas e cilíndricas e mostre que os vetores obtidos coincidem. Ver solução
Em cartesianas, o gradiente é \((2x,2y,0)\). Em cilíndricas, \(x^2+y^2=r^2\), logo o gradiente é \(2r\, e_r\). Como \(e_r=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\), essa expressão é \((2r\cos \theta ,2r\sin \theta ,0)=(2x,2y,0)\). As componentes mudam, o vetor não.
8.4 Divergência em Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
A divergência mede fluxo por volume. Em coordenadas curvilíneas, as áreas das faces de uma célula variam com a posição; por isso, derivamos o produto da componente física do campo pelos fatores de área.
Calcule a divergência do campo vetorial expresso em coordenadas esféricas \((r,\phi ,\theta )\) por \(\mathbf{f}= \hat{r}+ \hat{\phi }+\hat{\theta } \)
Em coordenadas cilíndricas, calcule a divergência de \(A=cr\, \hat r\) e confira o resultado em coordenadas cartesianas. Ver solução
A divergência cilíndrica é \(r^{-1}\partial _r(rA_r)+r^{-1}\partial _\theta A_\theta +\partial _zA_z\). Para \(A_r=cr\), ela vale \(r^{-1}\partial _r(cr^2)=2c\). Em cartesianas, o campo é \((cx,cy,0)\), cuja divergência também é \(2c\). O campo estende-se regularmente ao eixo, embora a base cilíndrica individual não esteja definida ali.
Em coordenadas esféricas, determine a condição para \(A=f(r)\hat r\) ter divergência nula em \(a\lt r\lt b\). Ver solução
Para um campo radial esférico, \(\nabla \cdot A=r^{-2}(r^2f)'\). Divergência zero no intervalo implica \(r^2f=C\), logo \(f=C/r^2\). A constante corresponde ao fluxo dividido por \(4\pi \). A região deve ter \(r\gt 0\); a extensão ao centro pode introduzir uma singularidade.
Um escoamento cilíndrico radial tem vazão por unidade de altura constante. Use a divergência para encontrar a dependência de sua velocidade com \(r\). Ver solução
Um campo cilíndrico radial independente de \(z\) e do ângulo tem divergência \(r^{-1}(rv_r)'\). Para vazão volumétrica por unidade de altura constante \(q\), o fluxo pelo cilindro de raio \(r\) e altura unitária é \(2\pi rv_r=q\). Portanto \(v_r=q/(2\pi r)\). O mesmo resultado segue da divergência nula. A fórmula vale fora do eixo e pressupõe o regime estacionário sem fontes na região considerada.
8.5 Rotacional em Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
O rotacional mede circulação por área orientada. Sua expressão envolve tanto as componentes do campo quanto a variação dos vetores de base. A notação por determinante organiza o cálculo, mas as derivadas devem atuar sobre os produtos indicados na última linha.
Vamos calcular o rotacional da primeira componente de \(\mathbf A\):
Calcule o rotacional de \(A=\omega r\, \hat\theta \) em coordenadas cilíndricas. Ver solução
A componente axial do rotacional é \(r^{-1}\partial _r(rA_\theta )=r^{-1}\partial _r(\omega r^2)=2\omega \); as demais são zero. Logo \(\nabla \times A=2\omega e_z\). É a mesma rotação rígida estudada em cartesianas no exercício N031.
Para \(A=c\hat\theta /r\), com \(r\gt 0\), calcule o rotacional e a circulação em um círculo de raio \(a\). Explique por que os resultados são compatíveis. Ver solução
Para \(A_\theta =c/r\), \(\partial _r(rA_\theta )=\partial _rc=0\), e as demais componentes do rotacional também são zero. No círculo de raio \(a\), a circulação positiva é \(\int _0^{2\pi }(c/a)a\, d\theta =2\pi c\). Não há contradição com Stokes: qualquer disco que preencha esse círculo encontra o eixo, onde o campo não está definido. Em uma coroa, as circulações das duas bordas se cancelam.
Use a fórmula cilíndrica para conferir que o rotacional de \(\nabla \Phi \) é zero para \(\Phi =r^2z\), em uma carta regular. Ver solução
Para \(\Phi =r^2z\), \(\nabla \Phi =2rz\, e_r+r^2e_z\). A componente angular do rotacional é \(\partial _z(2rz)-\partial _r(r^2)=2r-2r=0\); as outras são zero porque não há dependência angular nem componente angular. A identidade vale na carta regular e resulta também da comutação das derivadas mistas.
8.6 O Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
O laplaciano escalar é a divergência do gradiente. Combinar as fórmulas anteriores conserva os fatores geométricos necessários. Para campos com simetria radial, ele se reduz a uma equação de uma variável, útil em problemas de difusão e potencial.
Das fórmulas já obtidas para o gradiente e a divergência, vemos que
Proposição 8.7 (O Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas Ortogonais)
Em coordenadas cartesianas, a diferenciação direta mostra que \(\nabla \lVert \textbf{r}\rVert ^2 = 2\, \textbf{r}\) e \(\Delta \lVert \textbf{r}\rVert ^2 = 6\), em que \(\textbf{r}(x,y,z) = x\, \textbf{i} + y\, \textbf{j} + z\, \textbf{k}\) em coordenadas cartesianas. Verifique que obtemos os mesmos resultados ao passar para coordenadas esféricas.
Solução: Como \(\lVert \textbf{r}\rVert ^2=x^2+y^2+z^2=\rho ^2\) em coordenadas esféricas, tome \(F(\rho ,\theta ,\phi )=\rho ^2\) (de modo que \(F(\rho ,\theta ,\phi )=\lVert \textbf{r}\rVert ^2\)). O gradiente de \(F\) em coordenadas esféricas é
Tabela8.1Operadores vetoriais em coordenadas curvilíneas ortogonais \(u_1,u_2,u_3\).
Exemplo 8.8 (Condução radial em uma casca esférica)
Uma casca \(a\lt r\lt b\), com \(0\lt a\lt b\), tem condutividade constante e não possui fontes internas. Em regime estacionário e com simetria esférica, a temperatura \(T(r)\) satisfaz \(\Delta T=0\). Determine \(T\) quando \(T(a)=T_a\) e \(T(b)=T_b\).
O fluxo radial de calor é \(q_r=-\kappa T'=\kappa B/r^2\). Seu fluxo por qualquer esfera da casca é \(4\pi r^2q_r=4\pi \kappa B\), constante. A queda com \(1/r^2\) compensa o aumento da área, como exige a conservação em regime estacionário.
Calcule \(\Delta r^p\) em coordenadas esféricas, para \(r\gt 0\) e \(p\in \mathbb {R}\), e identifique os valores de \(p\) que dão funções harmônicas. Ver solução
O laplaciano radial esférico é \(\Delta f=r^{-2}(r^2f')'\). Para \(f=r^p\),
\[ \Delta r^p=p(p+1)r^{p-2}. \]
Portanto as funções são harmônicas para \(p=0\) ou \(p=-1\), no domínio \(r\gt 0\). A função \(1/r\) não é regular na origem; a afirmação de harmonicidade não inclui esse ponto.
Ela satisfaz os dois valores de fronteira. O perfil logarítmico distingue a condução radial cilíndrica da condução esférica, cujo perfil estacionário é da forma \(A+B/r\).
Confira o laplaciano de \(x^2+y^2+z^2\) em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. Ver solução
Em cartesianas, cada quadrado contribui com \(2\), logo \(\Delta (x^2+y^2+z^2)=6\). Em cilíndricas, a função é \(r^2+z^2\): a contribuição radial é \(r^{-1}(2r^2)'=4\), e a axial é \(2\). Em esféricas, escrevendo o raio como \(\rho \), a função é \(\rho ^2\), e \(\rho ^{-2}(2\rho ^3)'=6\). As três expressões representam o mesmo operador euclidiano.
8.7 Exemplos de Coordenadas Ortogonais
Os sistemas abaixo são escolhidos pelo formato de suas superfícies coordenadas. Os fatores de escala devem ser calculados das derivadas da parametrização e usados apenas onde a mudança de coordenadas é regular. Eixos, polos e cortes angulares exigem outras cartas ou tratamento separado.
\begin{align} x & = \frac{a\sinh v \cos \theta }{\cosh v - \cos u} \tag{8.50}\\ y & = \frac{a\sinh v \sin \theta }{\cosh v - \cos u} \tag{8.51} \\ z & = \frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u} \tag{8.52} \end{align}
Os fatores de escala das coordenadas toroidais são:
\begin{align} h_1& =h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u} \tag{8.53}\\ h_3& =\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u} \tag{8.54} \end{align}
Nos Exercícios 12–23, demonstre a fórmula indicada (\(r = \lVert \textbf{r}\rVert \) é o comprimento do campo vetorial posição \(\textbf{r}(x,y,z) = x\, \textbf{i} + y\, \textbf{j} +z\, \textbf{k}\)).
\(r = {r}_{0}\) 
\(\theta = {\theta }_{0}\) 
\(z = {z}_{0}\)